KR101533929B1 - 유한체 ＧＦ（３ⁿ）상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기, 그 방법 및 이를 기록한 기록매체 - Google Patents

Abstract

본 발명은 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저(shifted polynomial basis)를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기, 그 방법 및 이를 기록한 기록매체에 관한 것으로, 특히 쉬프트 된 다항식 기저를 이용하여 기약인 삼항 다항식(irreducible trinomial)에 의해 정의된 유한체 GF(3^ｎ)상에서 곱셈 연산을 수행할 수 있도록 하는 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기, 그 방법 및 이를 기록한 기록매체에 관한 것이다.
본 발명의 실시예에 따른 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기는 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 b를 b의 코디네이트 벡터 (b₀, b₁,…,b_n-1)로 입력받아 테블리츠 행렬 T를 계산하는 테블리츠(Toeplitz) 행렬 산출부(100); 상기 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 a를 a의 코디네이트 벡터( a₀, a₁, …, a_n-1)로 입력받아 상기 테블리츠 행렬과 승산시켜 벡터( d₀, d₁, …, d_n-1)를 생성하는 벡터 생성부(200); 및 상기 벡터( d₀, d₁, …, d_n-1)를 입력받아 유한체 GF(3ⁿ)의 원소인 a 및 b의 곱 c의 코디네이트 벡터( c₀, c₁, …, c_n-1)로 변환시키는 코디네이트 벡터 생성부(300);를 포함할 수 있다.

Description

유한체 ＧＦ（３ⁿ）상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기, 그 방법 및 이를 기록한 기록매체{Subquadratic Space Complexity Parallel Multiplier for using shifted polynomial basis, method thereof, and recording medium using this}

본 발명은 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저(shifted polynomial basis)를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기, 그 방법 및 이를 기록한 기록매체에 관한 것으로, 특히 쉬프트 된 다항식 기저를 이용하여 기약인 삼항 다항식(irreducible trinomial)에 의해 정의된 유한체 GF(3^ｎ)상에서 곱셈 연산을 수행할 수 있도록 하는 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기, 그 방법 및 이를 기록한 기록매체에 관한 것이다.

유한체상에서 곱셈 연산은 다양한 분야에 널리 활용되는 핵심 기술이다. 유한체상에서 연산의 효율성은 유한체의 원소를 표현하는데 사용되는 기저(basis)의 선택에 크게 영향을 받는다. 가장 많이 쓰이는 기저는 다항식 기저(polynomial basis)이다. 유한체 GF(pⁿ)를 정의하는 GF(p)상의 기약 다항식(irreducible polynomial)의 한 근(root)을 α라 할 때, M:={1, α, α², …, α^n-1}을 GF(p)상에서 GF(pⁿ)의 다항식 기저라고 한다. 2005년에 Fan과 Dai는 유한체 GF(2ⁿ) 상에서 다항식 기저의 일반화(generalization)라고 볼 수 있는 쉬프트 된 다항식 기저를 제안하였다. 그 이후, 쉬프트 된 다항식 기저를 이용하여 유한체 GF(2ⁿ)상에서 좀 더 효율적인 곱셈 연산을 수행할 수 있는 곱셈기들이 제안되어 오고 있다.

GF(2ⁿ)상에서 정의된 쉬프트된 다항식 기저는 임의의 유한체 GF(pⁿ)으로 확장하여 정의 될 수 있다. 그 정의는 다음과 같다.

(정의 1)

v를 정수라 하자. M:={1, α, α², …, α^n-1}가 GF(p)상에서 GF(pⁿ)의 다항식 기저라 할 때, α^{- v}M:={α^-v, α^1-v, …, α^n-1-v} 또한 GF(p)상에서 GF(pⁿ)의 기저가 되며, 이 기저를 쉬프트 된 다항식 기저(shifted polynomial basis:이하, “SPB”라 함)라고 부른다.

최근, 유한체 중 GF(3ⁿ)상의 슈퍼싱글러 타원 곡선(supersingular elliptic curve)이 페어링 기반 암호(paring-based cryptography)에 널리 쓰이면서 유한체 GF(3ⁿ)상에서의 효율적인 곱셈기(multiplier)의 연구가 주목받고 있다. 지금까지 유한체 GF(3ⁿ)상에서 제안된 병렬 곱셈기(multiplier)들은 이차 이상의 공간 복잡도(quadratic space complexity)를 가진다. 다시 말해, 곱셈 연산을 수행 할 때 필요한 GF(3)상에서의 곱셈(multiplication)과 덧셈(addition) 연산의 수가 O(n²) 이상이다. 최근 스마트 폰의 확산으로 인해 IT 기기의 소형화 및 경량화가 요구됨에 따라, 곱셈 연산을 수행할 때 필요한 공간 복잡도, 즉 GF(3)상에서 필요한 연산의 수가 O(n^ε)(ε<2)이 되는 이차 미만의 공간 복잡도(subquadratic space complexity)를 가진 병렬 곱셈기 설계가 요구되고 있다.

한국 등록특허 제 10-0954584 호[발명의 명칭 : ＭＳＤ ｆｉｒｓｔ ＧＦ（３＾ｍ） 직렬 곱셈 장치, 그방법 및 이를 기록한 기록매체] 한국 공개특허 제2007-0111718호[발명의 명칭 : 유한체 ＧＦ（2ｍ）상의 곱셈기] 한국 공개특허 제2005-0062820호[발명의 명칭 : ＧＦ（３＾ｍ)의 유한체 곱셈 연산에 적합한 유한체 곱셈연산 장치, 이에 적합한 ｍｏｄ 3 비트 곱셈기, 그리고 이에 적합한 ｍｏｄ 3 비트열 덧셈기] 일본공개특허 제2008-134812호[발명의 명칭: 유한체 GF(3)의 연산 방법 및 연산 장치]

이와 같은 요구를 충족시키기 위해 본 발명은 쉬프트 된 다항식 기저(shifted polynomial basis)를 이용하여 기약인 삼항 다항식(irreducible trinomial)에 의해 정의된 유한체 GF(3^ｎ)상에서 곱셈 연산을 수행할 수 있도록 하는 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기, 그 방법 및 이를 기록한 기록매체를 제공하는 것을 목적으로 한다.

또한, 본 발명은 기존의 곱셈기와 비교하여 낮은 공간 복잡도를 가짐으로써, 제한된 환경에도 적용 가능한 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기, 그 방법 및 이를 기록한 기록매체를 제공하는 것을 목적으로 한다.

본 발명의 실시예에 따른 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기는 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 b를 b의 코디네이트 벡터 (b₀, b₁,…,b_{n -1})로 입력받아 테블리츠(Toeplitz) 행렬 T를 계산하는 테블리츠(Toeplitz) 행렬 산출부(100); 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 a를 a의 코디네이트 벡터( a₀, a₁, …, a_{n -1})로 입력받아 상기 테블리츠 행렬과 승산시켜 벡터 (d₀, d₁, …, d_{n -1})를 생성하는 벡터 생성부(200); 및 벡터( d₀, d₁, …, d_{n -1})를 입력받아 유한체 GF(3ⁿ)의 원소인 a 및 b의 곱 c의 코디네이트 벡터( c₀, c₁, …, c_{n -1})로 변환시키는 코디네이트 벡터 생성부(300)를 포함할 수 있다.

본 발명과 관련된 실시예로서, 벡터 생성부(200)로 입력되는 벡터( a₀, a₁, …, a_{n -1}) 및 상기 테블리츠 행렬 산출부(100)로 입력되는 벡터 (b₀, b₁,…,b_{n -1})는 원소

의 각각 코디네이트 벡터일 수 있다.

여기서 원소 a 및 b는 코디네이트 벡터(coordinate vector) ( a₀, a₁, …, a_{n -1}) 및 (b₀, b₁,…,b_{n -1})임

본 발명과 같은 실시예로서, 코디네이트 벡터 생성부(300)에서 산출되는 벡터 (c₀, c₁, …, c_{n -1})를 코디네이트 벡터로 하는 원소 c는 하기 수학식1에 의해 생성될 수 있다.

(수학식1)

여기서, (a₀, a₁,…, a_{n -1})^t은 행렬(a₀, a₁,…, a_{n -1})의 전치행렬이고, 행렬 Z는 n×n 크기이며, 행렬 Z의 i번째 열벡터 Z_i는 원소 α^{i- k}b을 SPB{α^-k, α^1-k,…, α^n-1-k}을 이용하여 표현했을 때의 코디네이터 벡터임

본 발명과 관련된 실시예로서, 행렬 Z는 관계식

을 통해 산출되며, 행렬 z는

형태를 가질 수 있다.

여기서, 행렬들 M₁, M₂, M₃, M₄는 각각 k×k, k×(n-k), (n-k)×k, (n-k)×(n-k) 크기의 테블리츠(Toeplitz) 행렬이 됨

본 발명과 관련된 실시예로서, 코디네이트 벡터 생성부(300)의 코디네이트 벡터(c₀,c₁,…,c_{n -1})^t는 하기의 수학식2에 의해 생성될 수 있다.

(수학식 2)

여기서, 변환 행렬

의 역행렬(inverse matrix) U^{- 1}는 행렬 U의 전치행렬

와 같음

본 발명의 실시예에 따른 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈방법은 테블리츠(Toeplitz) 행렬 산출부(100)는 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 b를 b의 코디네이트 벡터 (b₀, b₁,…,b_{n -1})로 입력받아 테블리츠 행렬 T를 계산하는 단계; 벡터 생성부(200)는 상기 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 a를 a의 코디네이트 벡터( a₀, a₁, …, a_{n -1})로 입력받아 상기 테블리츠 행렬과 승산시켜 벡터( d₀, d₁, …, d_{n -1})를 생성하는 단계; 및 코디네이트 벡터 생성부(300)는 상기 벡터( d₀, d₁, …, d_{n -1})를 입력받아 유한체 GF(3ⁿ)의 원소인 a 및 b의 곱 c의 코디네이트 벡터( c₀, c₁, …, c_n-1)로 변환시키는 단계를 포함할 수 있다.

본 발명과 관련된 실시예로서, 벡터 생성부(200)로 입력되는 벡터( a₀, a₁, …, a_n-1) 및 상기 테블리츠 행렬 산출부(100)로 입력되는 벡터 (b₀, b₁,…,b_n-1)는 원소

의 각각 코디네이트 벡터일 수 있다.

여기서 원소 a 및 b는 코디네이트 벡터(coordinate vector) ( a₀, a₁, …, a_n-1) 및 (b₀, b₁,…,b_{n -1})임

본 발명과 관련된 실시예로서, 코디네이트 벡터 생성부(300)에서 산출되는 벡터 (c₀,c₁,…,c_n-1)를 코디네이트 벡터로 하는 원소 c는 하기 식에 의해 생성될 수 있다.

여기서, (a₀, a₁,…, a_{n -1})^t은 행렬(a₀, a₁,…, a_{n -1})의 전치행렬이고, 행렬 Z는 n×n 크기이며, 행렬 Z의 i번째 열벡터 Z_i는 원소 α^{i- k}b을 SPB{α^-k, α^1-k,…, α^n-1-k}을 이용하여 표현했을 때의 코디네이터 벡터임

본 발명과 관련된 실시예로서, 행렬 Z는 관계식

을 통해 산출되며, 행렬 z는

형태를 가질 수 있다.

여기서, 행렬들 M₁, M₂, M₃, M₄는 각각 k×k, k×(n-k), (n-k)×k, (n-k)×(n-k) 크기의 테블리츠(Toeplitz) 행렬이 됨

본 발명과 관련된 실시예로서, 코디네이트 벡터 생성부(300)의 코디네이트 벡터(c₀,c₁,…,c_{n -1})^t는 하기의 식에 의해 생성될 수 있다.

여기서, 변환 행렬 렬

의 역행렬(inverse matrix) U^-1는 행렬 U의 전치행렬

와 같음

본 발명에 따른 실시예로서 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈방법을 컴퓨터에서 수행할 수 있는 프로그램으로 기록된 기록매체를 제공한다.

본 발명은 쉬프트 된 다항식 기저(shifted polynomial basis)를 이용하여 기약인 삼항 다항식(irreducible trinomial)에 의해 정의된 유한체 GF(3^ｎ)상에서 곱셈 연산을 수행할 수 있도록 함으로써, 필요한 공간 복잡도(space complexity)를 줄일 수 있도록 하고, 필요한 공간 복잡도를 감소시킴으로 인해 해당 원천 기술의 비용을 절감시킬 수 있는 효과가 있다.

또한, 본 발명은 기존의 곱셈기와 비교하여 낮은 공간 복잡도를 가짐으로써, 제한된 환경에도 적용 가능하다는 효과가 있다.

또한, 본 발명은 기약인 삼항 다항식에 의해 정의된 유한체 GF(3^ｎ) 상에서 곱셈 연산을 효율적으로 수행할 수 있어 타원 곡선 암호(elliptic curve cryptography)나 페어링 기반 암호(pairing-based cryptography) 등 보안 분야의 핵심 기술로 적용 가능한 효과가 있다.

도 1은 본 발명에 따른 유한체 GF(3ⁿ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기를 설명하기 위한 도면이다.
도 2는 도 1에 적용된 테블리츠(Toeplitz) 행렬 산출부(100)의 구성을 상세하게 도시한 도면이다.
도 3은 본 발명에 따른 유한체 GF(3ⁿ)상의 병렬 곱셈기들의 공간 복잡도를 표로 나타낸 도면이다.

본 발명에서 사용되는 기술적 용어는 단지 특정한 실시 예를 설명하기 위해 사용된 것으로, 본 발명을 한정하려는 의도가 아님을 유의해야 한다. 또한, 본 발명에서 사용되는 기술적 용어는 본 발명에서 특별히 다른 의미로 정의되지 않는 한, 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 일반적으로 이해되는 의미로 해석되어야 하며, 과도하게 포괄적인 의미로 해석되거나, 과도하게 축소된 의미로 해석되지 않아야 한다. 또한, 본 발명에서 사용되는 기술적인 용어가 본 발명의 사상을 정확하게 표현하지 못하는 잘못된 기술적 용어일 때에는, 당업자가 올바르게 이해할 수 있는 기술적 용어로 대체되어 이해되어야 할 것이다. 또한, 본 발명에서 사용되는 일반적인 용어는 사전에 정의되어 있는 바에 따라, 또는 전후 문맥상에 따라 해석되어야 하며, 과도하게 축소된 의미로 해석되지 않아야 한다.

또한, 본 발명에서 사용되는 단수의 표현은 문맥상 명백하게 다르게 뜻하지 않는 한 복수의 표현을 포함한다. 본 발명에서, "구성된다" 또는 "포함한다" 등의 용어는 발명에 기재된 여러 구성 요소들, 또는 여러 단계를 반드시 모두 포함하는 것으로 해석되지 않아야 하며, 그 중 일부 구성 요소들 또는 일부 단계들은 포함되지 않을 수도 있고, 또는 추가적인 구성 요소 또는 단계들을 더 포함할 수 있는 것으로 해석되어야 한다.

이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명에 따른 바람직한 실시 예를 상세히 설명하되, 도면 부호에 관계없이 동일하거나 유사한 구성 요소는 동일한 참조 번호를 부여하고 이에 대한 중복되는 설명은 생략하기로 한다.

또한, 본 발명을 설명함에 있어서 관련된 공지 기술에 대한 구체적인 설명이 본 발명의 요지를 흐릴 수 있다고 판단되는 경우 그 상세한 설명을 생략한다.

또한, 첨부된 도면은 본 발명의 사상을 쉽게 이해할 수 있도록 하기 위한 것일 뿐, 첨부된 도면에 의해 본 발명의 사상이 제한되는 것으로 해석되어서는 아니 됨을 유의해야 한다.

도 1은 본 발명에 따른 유한체 GF(3ⁿ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기를 설명하기 위한 도면이다. 도 2는 도 1에 적용된 테블리츠(Toeplitz) 행렬 산출부(100)의 구성을 상세하게 도시한 도면이다. 도 3은 본 발명에 따른 유한체 GF(3ⁿ)상의 병렬 곱셈기와 기존의 병렬 곱셈기의 공간 복잡도를 표로 나타낸 도면이다.

도 1에 도시된 바와 같이 유한체 GF(3ⁿ)상에서 병렬 곱셈기는 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 b를 b의 코디네이트 벡터 (b₀, b₁,…,b_{n -1})로 입력받아 테블리츠 행렬 T를 계산하는 테블리츠(Toeplitz) 행렬 산출부(100); 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 a를 a의 코디네이트 벡터( a₀, a₁, …, a_{n -1})로 입력받아 상기 테블리츠 행렬과 승산시켜 벡터( d₀, d₁, …, d_{n -1})를 생성하는 벡터 생성부(200); 및 벡터( d₀, d₁, …, d_{n -1})를 입력받아 유한체 GF(3ⁿ)의 원소인 a 및 b의 곱 c의 코디네이트 벡터( c₀, c₁, …, c_{n -1})로 변환시키는 코디네이트 벡터 생성부(300)를 포함할 수 있다.

본 발명과 관련된 실시예로서, 벡터 생성부(200)로 입력되는 벡터( a₀, a₁, …, a_n-1) 및 상기 테블리츠 행렬 산출부(100)로 입력되는 벡터 (b₀, b₁,…,b_n-1)는 원소

의 각각 코디네이트 벡터일 수 있다.

여기서 원소 a 및 b는 코디네이트 벡터(coordinate vector) ( a₀, a₁, …, a_{n -1}) 및 (b₀, b₁,…,b_{n -1})이다.

본 발명과 같은 실시예로서, 코디네이트 벡터 생성부(300)에서 산출되는 벡터 (c₀, c₁, …, c_n-1)를 코디네이트 벡터로 하는 원소 c는 하기 [수학식1]에 의해 생성될 수 있다.

여기서, (a₀, a₁,…, a_{n -1})^t은 행렬(a₀, a₁,…, a_{n -1})의 전치행렬이고, 행렬 Z는 n×n 크기이며, 행렬 Z의 i번째 열벡터 Z_i는 원소 α^{i- k}b을 SPB{α^-k, α^1-k,…, α^n-1-k}을 이용하여 표현했을 때의 코디네이터 벡터이다.

본 발명과 관련된 실시예로서, 행렬 Z는 관계식

을 통해 산출되며, 행렬 z는

형태를 가질 수 있다.

여기서, 행렬들 M₁, M₂, M₃, M₄는 각각 k×k, k×(n-k), (n-k)×k, (n-k)×(n-k) 크기의 테블리츠(Toeplitz) 행렬이 된다.

본 발명과 관련된 실시예로서, 코디네이트 벡터 생성부(300)의 코디네이트 벡터(c₀,c₁,…,c_{n -1})^t는 하기의 [수학식2]에 의해 생성될 수 있다.

여기서, 변환 행렬

의 역행렬(inverse matrix) U^{- 1}는 행렬 U의 전치행렬

와 같다.

상기와 같이 본 발명에 따라 구성된 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기에 대해서 설명하면 다음과 같다.

본 발명에 따른 유한체 GF(3^ｎ)는 기약인 삼항 다항식에 의해 정의된다. 실제 암호 관련 분야에서는 n이 홀수(odd)인 경우를 주로 다루기 때문에, 본 발명에서는 n이 홀수인 경우에 대해서만 설명하기로 한다, 그러면, 유한체 GF(3^ｎ)을 정의하는 기약인 삼항 다항식 중에는

의 형태를 갖는 삼항 다항식이 항상 존재한다. 이때, α를

의 한 근이라 하자. 그러면 유한체 GF(3^ｎ)은

와 동형(isomorphism)이다. 여기서는 유한체GF(3^ｎ)의 원소를 표현하기 위해 SPB{α^-k, α^1-k,…,α^n-1-k} 를 이용한다. 다시 말해, 유한체 GF(3^ｎ)의 임의의 두 원소 a와 b는 다음과 같이 표현된다.

여기서 원소 a 및 b의 코디네이트 벡터(coordinate vector)는 각각 ( a₀, a₁, …, a_n-1) 및 (b₀, b₁,…,b_{n -1})이다.

그러면 두 원소 a와 b의 곱 c는 다음을 만족한다.

여기서, (a₀, a₁,…, a_{n -1})^t은 행렬(a₀, a₁,…, a_{n -1})의 전치행렬(transpose matrix)이며, 행렬 Z는 n×n 크기이며, 행렬 Z의 i번째 열벡터 Z_i는 원소 α^{i- k}b을 SPB{α^-k, α^1-k,…, α^n-1-k}을 이용하여 표현했을 때의 코디네이터 벡터이다. 관계식 f(α)=α^n-α^k+1=0을 이용하여 행렬 Z를 구하면 행렬 Z는 다음과 같은 형태를 갖는다.

즉, 행렬 z는

형태를 가질 수 있다.

여기서, 행렬들 M₁, M₂, M₃, M₄는 각각 k×k, k×(n-k), (n-k)×k, (n-k)×(n-k) 크기의 테블리츠(Toeplitz) 행렬이 된다. 테블리츠 행렬의 정의는 하기에 나타내기로 한다.

(정의 2)

행렬 T=(t_ij)_{0≤i≤n-1,0≤j≤m-1}의 성분들이 1≤i≤n-1, 1≤j≤m-1에 대해 t_ij=t_{i -1,j-1}을 만족하면 행렬 T를 Toeaplitz 행렬이라고 한다.

정의 2에 의해 테블리츠(Toeaplitz) 행렬은 첫번째 행과 열이 결정되면 행렬의 모든 성분들이 결정된다. 테블리츠(Toeaplitz) 행렬 M₁, M₂, M₃, M₄의 첫번째 행과 열은 다음과 같다.

M₁의 첫 번째 행: [(b₀+b_k),b_{k -l},…,b₁],

M₁의 첫 번째 열 : [(b₀+b_k),…,(b_{k -l},+b_2k-1)]^t,

M₂의 첫 번째 행 : [b₀,－b_n－1,…,b_k－1],

M₂의 첫 번째 열 : [b₀, b₁,…,b_k－1]^t,

M₃의 첫 번째 행 : [b_2k,…,b_k－1],

M₃의 첫 번째 열 : [b_2k,…,b_n－1,－b₀,…,－b_k－1]^t

M₄의 첫 번째 행 : [b_k,(b_k－1＋b_n－1),…,(b₀+b_n－k),(b_n－k－1－b_n－1),…,(b_k＋1－b_2k＋1)],

M₄의 첫 번째 열 : [b_k,…,b_n－1]^t

행렬 Z를 변형하여 테블리츠(Toeaplitz) 행렬 T로 바꾸기 위해 변환 행렬(transformation matrix) U를 다음과 같이 정의한다.

여기서 O_{i ×j}는 크기 i×j의 영행렬(zero matrix)이고, I_{l ×l}는 크기 ｌ×ｌ의 항등 행렬(identity matrix)이다. 그러면

는 테블리츠(Toeaplitz) 행렬이 되며, 행렬 T의 첫번째 행과 열은 다음과 같다.

T의 첫 번째 행:

T의 첫 번째 열:

도 1의 테블리츠 행렬 산출부(100)은 벡터(b_{0 ,}b₁,…,b_{n -1})로부터 테블리츠(Toeaplitz) 행렬 T, 다시 말해 T의 첫번째 행과 열

[b_{2k ,}…,b_k,(b_{k -1}+_.b_{n -1}),…,(b₀+_.b_{n -k}),(b_{n -k-1,}－b_{n -1}),…,(b_{k +1}－_.b_{2k +1})],

[b_{2k ,}…,b_n-1,－b₀,…,－b_k-1,－(b₀+_.b_k),…,－(b_k-1+b_2k-1)]^t

을 계산하는 과정이다.

도 2는 도 1의 테블리츠(Toeplitz) 행렬 산출부(100)를 통해 테블리츠(Toeplitz) 행렬을 산출하는 과정을 f(x)가 기약인 삼항 다항식 x⁵-x+1일 때보다 상세하게 도시화한다.

도 1과 도 2에서 θ는 GF(3^ｎ)의 원소에 음의 부호(negation)를 붙인 것을 의미한다.

도 1의 벡터 생성부(200)는 GF(3^ｎ)의 원소 a를 벡터 (a₀,a₁,…,a_{n -1})로 받아 도 1의 테블리츠(Toeplitz) 행렬 산출부(100)를 통해 계산된 테블리츠(Toeaplitz) 행렬 T와의 곱 (d₀,d₁,…,d_{n -1})^t=T(a₀,a₁,…,a_{n -1})^t를 계산한다.

유한체 GF(3^ｎ) 상에서 테블리츠(Toeaplitz) 행렬-벡터의 곱은 k-way splitting 방법을 이용하여 계산할 수 있다. 이 방법은 Hasan과 Negre가 유한체 GF(2) 상에서 제안하였던 k-way splitting 방법을 유한체 GF(3)로 확장한 것이며, 이차 미만의 공간 복잡도를 가진다.

도 1의 벡터 생성부(200)에 의해 계산된 테블리츠(Toeaplitz) 행렬 및 벡터 (a₀,a₁,…,a_{n -1})의 곱(d₀,d₁,…,d_{n -1})^t=T(a₀,a₁,…,a_{n -1})^t로부터 두원소 a와 b의 곱 c의 코디네이트 벡터 (c₀,c₁,…,c_{n -1})^t는 다음과 같이 계산된다.

여기서, 변환 행렬 U의 역행렬(inverse matrix) U^{- 1}는 행렬 U의 전치행렬

와 같다.

도 1의 코디네이트 벡터 생성부(300)는 벡터 (d₀,d₁,…,d_{n -1})^t을 입력받아 c의 코디네이트 벡터(c₀,c₁,…,c_{n -1})^t를 계산하여 출력하는 과정이다.

다음으로 도 1에 따라 수행된 GF(3^ｎ)상의 곱셈기의 복잡도를 설명하면, 도 1의 테블리츠(Toeaplitz) 행렬 산출부(100)는 벡터 (b₀,b₁,…,b_{n -1})^t으로부터 행렬 T를 계산하는 과정으로 행렬 T가 테블리츠(Toeaplitz) 행렬이므로 첫번째 행과 열

만 계산하면 된다. 따라서, k+(n-2k-1)+k=(n-1) 덧셈이 필요하다. GF(3) 원소의 음의 부호는 히드웨어에서 아무 비용없이 계산될 수 있다. 도 1의 벡터 생성부(200)는 테블리츠(Toeaplitz) 행렬-벡터의 곱을 수행하는 단계로 이차 미만의 공간 복잡도 O(n^ε)(ε<2)를 가진 연산 방법으로 수행한다.

도 1의 코디네이트 벡터 생성부(300)에 있는 GF(3^ｎ) 원소의 음의 부호와 순환은 하드웨어에서 아무 비용없이 수행될 수 있다. 따라서 도 1에 따라 수행된 GF(3^ｎ) 상의 곱셈기의 공간 복잡도는 O(n^ε)+(n-1)=O(n^ε)(ε<2)로 이차 미만의 공간 복잡도를 가지게 된다.

도 3은 기약인 삼항 다항식에 의해 정의된 유한체 GF(3^ｎ) 상에서의 기존 병렬 곱셈기와 여기서 제안된 곱셈기를 비교한다. 도 3에 의하면 제안된 곱셈기는 최초로 이차 미만의 공간 복잡도를 가지고 있다.

전술한 내용은 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자라면 본 발명의 본질적인 특성에서 벗어나지 않는 범위에서 수정 및 변형이 가능할 것이다. 따라서, 본 발명에 개시된 실시예들은 본 발명의 기술 사상을 한정하기 위한 것이 아니라 설명하기 위한 것이고, 이러한 실시예에 의하여 본 발명의 기술 사상의 범위가 한정되는 것은 아니다. 본 발명의 보호 범위는 아래의 청구범위에 의하여 해석되어야 하며, 그와 동등한 범위 내에 있는 모든 기술 사상은 본 발명의 권리범위에 포함되는 것으로 해석되어야 할 것이다.

100 : 테블리츠(Toeplitz) 행렬 산출부
200 : 벡터 생성부
300 : 코디네이트 벡터 생성부(300)

Claims (11)

1. 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 b를 b의 코디네이트 벡터 (b₀, b₁,…,b_{n -1})로 입력받아 테블리츠 행렬 T를 계산하는 테블리츠(Toeplitz) 행렬 산출부(100);
   상기 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 a를 a의 코디네이트 벡터( a₀, a₁, …, a_{n -1})로 입력받아 상기 테블리츠 행렬과 승산시켜 벡터( d₀, d₁, …, d_{n -1})를 생성하는 벡터 생성부(200); 및
   상기 벡터( d₀, d₁, …, d_{n -1})를 입력받아 유한체 GF(3ⁿ)의 원소인 a 및 b의 곱 c의 코디네이트 벡터( c₀, c₁, …, c_{n -1})로 변환시키는 코디네이트 벡터 생성부(300);
   를 포함하는 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기.
   
2. 제 1 항에 있어서,
   상기 벡터 생성부(200)로 입력되는 벡터( a₀, a₁, …, a_n-1) 및 상기 테블리츠 행렬 산출부(100)로 입력되는 벡터 (b₀, b₁,…,b_n-1)는 원소

   

   의 각각 코디네이트 벡터인 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기.
   
3. 제 1 항에 있어서,
   상기 코디네이트 벡터 생성부(300)에서 산출되는 벡터 (c₀, c₁, …, c_n-1)를 코디네이트 벡터로 하는 원소 c는 하기 (수학식1)에 의해 생성되는 것을 특징으로 하는 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기.
   (수학식 1)
   

   

   
   여기서, (a₀, a₁,…, a_{n -1})^t은 행렬(a₀, a₁,…, a_{n -1})의 전치행렬이고, 행렬 Z는 n×n 크기이며, 행렬 Z의 i번째 열벡터 Z_i는 원소 α^{i- k}b을 SPB{α^-k, α^1-k,…, α^n-1-k}을 이용하여 표현했을 때의 코디네이터 벡터임
   
4. 제 3 항에 있어서,
   상기 행렬 Z는 관계식

   

   을 통해 산출되며, 행렬 z는

   

   형태를 가지는 것을 특징으로 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기.
   여기서, 행렬들 M₁, M₂, M₃, M₄는 각각 k×k, k×(n-k), (n-k)×k, (n-k)×(n-k) 크기의 테블리츠(Toeplitz) 행렬이 됨
   
5. 제 1 항에 있어서,
   상기 코디네이트 벡터 생성부(300)의 코디네이트 벡터(c₀,c₁,…,c_{n -1})^t는 하기의 (수학식2)에 의해 생성되는 것을 특징으로 하는 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈기.
   (수학식 2)
   

   

   
   여기서, 변환 행렬

   

   의 역행렬(inverse matrix) U^{- 1}는 행렬 U의 전치행렬

   

   와 같음
   
6. 테블리츠(Toeplitz) 행렬 산출부(100)는 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 b를 b의 코디네이트 벡터 (b₀, b₁,…,b_{n -1})로 입력받아 테블리츠 행렬 T를 계산하는 단계;
   벡터 생성부(200)는 상기 유한체 GF(3ⁿ)의 원소 a를 a의 코디네이트 벡터( a₀, a₁, …, a_{n -1})로 입력받아 상기 테블리츠 행렬과 승산시켜 벡터( d₀, d₁, …, d_{n -1})를 생성하는 단계; 및
   코디네이트 벡터 생성부(300)는 상기 벡터( d₀, d₁, …, d_{n -1})를 입력받아 유한체 GF(3ⁿ)의 원소인 a 및 b의 곱 c의 코디네이트 벡터( c₀, c₁, …, c_{n -1})로 변환시키는 단계;
   를 포함하는 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈방법.
   
7. 제 6 항에 있어서,
   상기 벡터 생성부(200)로 입력되는 벡터( a₀, a₁, …, a_n-1) 및 상기 테블리츠 행렬 산출부(100)로 입력되는 벡터 (b₀, b₁,…,b_n-1)는 원소

   

   의 각각 코디네이트 벡터인 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈방법.
   
8. 제 6 항에 있어서,
   상기 코디네이트 벡터 생성부(300)에서 산출되는 벡터 (c₀,c₁,…,c_n-1)를 코디네이트 벡터로 하는 원소 c는 하기 식에 의해 생성되는 것을 특징으로 하는 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈방법.
   

   

   
   여기서, (a₀, a₁,…, a_{n -1})^t은 행렬(a₀, a₁,…, a_{n -1})의 전치행렬이고, 행렬 Z는 n×n 크기이며, 행렬 Z의 i번째 열벡터 Z_i는 원소 α^{i- k}b을 SPB{α^-k, α^1-k,…, α^n-1-k}을 이용하여 표현했을 때의 코디네이터 벡터임
   
9. 제 8 항에 있어서,
   상기 행렬 Z는 관계식

   

   을 통해 산출되며, 행렬 z는

   

   형태를 가지는 것을 특징으로 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈방법.
   여기서, 행렬들 M₁, M₂, M₃, M₄는 각각 k×k, k×(n-k), (n-k)×k, (n-k)×(n-k) 크기의 테블리츠(Toeplitz) 행렬이 됨
   
10. 제 6 항에 있어서,
    상기 코디네이트 벡터 생성부(300)의 코디네이트 벡터(c₀,c₁,…,c_{n -1})^t는 하기의 식에 의해 생성되는 것을 특징으로 하는 유한체 GF(3^ｎ)상에서 쉬프트 된 다항식 기저를 이용한 이차 미만의 공간복잡도를 갖는 병렬 곱셈방법.
    

    

    
    여기서, 변환 행렬

    

    의 역행렬(inverse matrix) U^{- 1}는 행렬 U의 전치행렬

    

    와 같음
    
11. 제 6 항 내지 제 10 항 중 어느 한항의 방법을 컴퓨터에서 수행할 수 있는 프로그램으로 기록된 기록매체.

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