WO2017021644A1 - Traitement de donnees geometriques, avec approximation isotopique dans un volume de tolerance - Google Patents

Traitement de donnees geometriques, avec approximation isotopique dans un volume de tolerance Download PDF

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WO2017021644A1
WO2017021644A1 PCT/FR2016/051997 FR2016051997W WO2017021644A1 WO 2017021644 A1 WO2017021644 A1 WO 2017021644A1 FR 2016051997 W FR2016051997 W FR 2016051997W WO 2017021644 A1 WO2017021644 A1 WO 2017021644A1
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points
tolerance
volume
point
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PCT/FR2016/051997
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Pierre Alliez
David COHEN-STEINER
Manish MANDAD
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Inria Institut National De Recherche En Informatique Et En Automatique
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    • G06T2219/012—Dimensioning, tolerancing

Definitions

  • Geometric data processing with isotopic approximation in a tolerance volume.
  • the invention relates to computer techniques for constructing or reconstructing geometric surfaces.
  • a surface or shape can be represented by a set of points in space. This is called a "point cloud”.
  • a two-dimensional surface is often represented by a mesh based on triangular primitives.
  • a three-dimensional volume can be represented by a tetrahedral mesh.
  • triangular mesh and triangulation cover all of these cases.
  • a representation of surfaces by "triangular mesh” or parametric surfaces can be imperfect, most often because of the limits of the sensors used to establish it and the algorithms of surface reconstruction from measurements. Faults can be eg holes, or auto-intersections (because it is rare that a surface of the real world crosses itself).
  • the expression “soup of triangles” is used to aim for a triangulation that may be imperfect.
  • isotopy means that there is a continuous deformation that deforms one form over another, while maintaining a homeomorphism between these two forms.
  • Geometric simplification reduces the number of primitives.
  • Topological simplification can repair holes and degenerations present in existing discretizations. These two types of simplifications can be used in combination to reconstruct clean forms from raw geometric data such as point clouds, or triangle soups.
  • the error metric considered is the unidirectional Hausdorff distance that goes back to the input mesh, but some have used bidirectional distance [Ref 9].
  • the method proposed for this purpose leaves, as input data, a tolerance volume ⁇ .
  • This tolerance volume can be determined, as part of a pre-treatment, from raw geometric raw data starting, for example on the basis of a cloud of points or a soup of triangles, or from any set of geometric data, even heterogeneous.
  • the proposed method comprises the following steps:
  • a geometric data processing device comprising:
  • a geometric data memory for receiving graphic data representing a tolerance volume
  • An initialization member arranged to perform a first canonical triangulation between the edge of the tolerance volume and points located outside thereof
  • a refinement organ arranged to specify said first triangulation to provide a dense mesh of the tolerance volume, which preserves a classification condition of the points of the triangulation
  • a simplification element arranged to simplify said dense mesh, preserving the topology and the classification of its points, and a pilot which successively actuates the initialization member, the refinement member, and the simplification member, for changing graphic data from the same tolerance volume.
  • Other features are also proposed, for the process as for the corresponding device.
  • the initialization step B may comprise the sub-step of sampling the limits of the tolerance volume according to a selected sampling density ⁇ , which provides the set S of sample points.
  • Step B may include marking each sample point of the set S with a tag value that represents the index of the edge connected component of that point in the tolerance volume.
  • the refinement step C then comprises the iterative generation of the canonical triangulation, by inserting one point at a time, on at least a part of the set S of points, until all the points concerned verify a condition of classification, based on the value of a function F itself depending on their index value, and on its interpolation by an interpolation function f applied to each mesh of the 3D triangulation.
  • Step C can be completed by the construction of a piecewise linear isosurface Zset, using the points where the interpolation function f has the same selected intermediate value, in particular zero, this Zset isosurface being a closed surface. , which forms a surface approximation of the volume of tolerance.
  • the canonical triangulation is a Delaunay triangulation.
  • the raw geometric raw data can be 2D data or 3D data.
  • the simplification step D. can comprise the following operations:
  • the triangulation modification operations comprise edge fusions and / or half-edge fusions.
  • the order can be determined according to an optimization criterion.
  • step D. relates to a so-called “simple tolerance” volume that approaches the tolerance volume by a mesh of the canonical triangulation, the Zset isosurface being contained in this volume called “simplistic tolerance” ,
  • the invention is also directed to a computer program product comprising portions of program code for implementing the above method or device, when the program is run on a computer.
  • FIG. 2 is the general flow diagram of the mechanism proposed according to the invention.
  • FIG. 3 illustrates an example of the beginning of application of the invention.
  • FIG. 4 is a flow diagram which details that of FIG. 2,
  • FIG. 5 is a drawing illustrating the definition of barycentric ratios
  • FIG. 6 is a flow diagram which details a preferred embodiment of the refinement step 203 of FIGS. 2 and 4,
  • FIGS. 7 show different state of the triangulation during the refinement phase, in another example, very geometric, of application of the invention.
  • FIGS. 8 show different state of the triangulation during the simplification phase, on the same example, very geometric, of application of the invention
  • FIG. 9 are drawings illustrating a particular case of application of the invention
  • FIGS. 10 are representations of elephants showing the robustness of the method according to the invention
  • FIGS. 11 diagrammatically illustrate other examples of application of the invention, on the same object as FIGS.
  • FIG. 12 is a diagram illustrating certain advantages of the invention.
  • FIG. 13 is another diagram illustrating certain advantages of the invention.
  • FIG. 14 is another representation, called “fertility", on which the diagrams of FIGS. 12 and 13
  • FIGS. 15 are representations comparable to that of FIG. 3, making it possible to better understand the sub-phase of mutual triangulation, in the simplification phase,
  • FIG. 16 illustrates two mechanisms for melting edges and half-edges
  • FIG. 17 is a flow diagram which details a preferred embodiment for the simplification step 207 of FIGS. 2 and 4;
  • FIG. 18 is the block diagram of a device according to the invention.
  • FIG. 19 is the block diagram of a classification operator used according to the invention.
  • FIGS. 1a to 1e will firstly be examined for a very general description of the invention, with reference to FIG. 2, which illustrates the major operating steps of the proposed method, and FIG. 4, which details the FIG. 2.
  • Figure 1-a illustrates the starting point, namely a tolerance volume ⁇ relative to a mechanical part measured by a laser scanner, with an input tolerance ⁇ of 0.6%.
  • Figure 1-b illustrates what is obtained after the refinement step (203, Figure 2). The result is a piecewise linear function Z, corresponding to a surface mesh of the tolerance volume ⁇ of FIG. 1. The number of vertices is 20.4k (20,400). Simplifications are then carried out in accordance with step 207 (FIG. 2).
  • FIG. 1-c illustrates the same mesh as FIG. 1b, but after it has undergone a first simplification (simplification of the edge oT of the "simplistic" tolerance ⁇ , step 2072, FIG. 4), which makes it go down to 5 , 3k vertices.
  • a first simplification simplification of the edge oT of the "simplistic" tolerance ⁇ , step 2072, FIG. 4
  • FIG. 1-d illustrates the same mesh, after mutual triangulation and simplification of Z (step 2074, FIG. 4), which makes it go down to 1.01 k vertices.
  • FIG. 1-e illustrates the mesh at the end of simplification (step 2076, FIG. 4), which is further reduced to 752 vertices.
  • FIG. 2 illustrates the major operating steps of the proposed method.
  • Figure 4 illustrates some process steps in more detail.
  • the tolerance volume ⁇ is defined by a spiral curvilinear shape, whose 0 ⁇ boundary area has two borders ⁇ and 0 ⁇ 2 , in a sectional view in plan.
  • Step 201 of Figures 2 and 4 is an initialization.
  • the initialization first includes a sampling of the edge (or the border) of the tolerance volume.
  • a set S of sample points 5 is obtained, stored in step 2013 (FIG. 4).
  • This sampling is in principle " ⁇ -dense". This means that balls of radius ⁇ centered on all points s of S completely cover the 0 ⁇ boundary zone of the tolerance volume ⁇ .
  • ⁇ is a fraction of the thickness ⁇ of ⁇ .
  • the 0 ⁇ boundary area has only two connected components of edge surfaces, namely ⁇ (external boundary) and 0 ⁇ 2 (internal boundary). In this case, it is easy to distinguish the inside and the outside from one end to the other of the 0 ⁇ border zone.
  • F (s) which is, for example:
  • F (s) -1 if the point s is on ⁇ Q 2 .
  • This value F (s) can be seen as a representation of the index (or "index") of the connected edge component of the considered point s, in the tolerance volume.
  • f (x, M) is a convex linear combination of the values of F at the vertices vi of the mesh M:
  • one of the eu is the value a for X with respect to the vertex A of the triangle, denoted (A (X), which is the ratio of the surface of the triangle XBC to the surface of the triangle ABC.
  • f (x, M) a A (X) F (A) + a B (X) F (B) + a c (X) F (C)
  • a for X with respect to the vertex A of the tetrahedron denoted by (A (X)
  • the interpolated function f (x, M) is constrained to be a function that satisfies the so-called Lipschitz condition (having a limited derivative).
  • Lipschitz condition having a limited derivative
  • ZeroSet a polygonal line (a 3D surface) called ZeroSet.
  • This ZeroSet polygonal line also abbreviated as Z, is a linear part-line, which is placed within the tolerance volume.
  • ⁇ I f (s, M) - F (s) I, where the notation
  • the point s has a value F (s).
  • this one receives an interpolated value f (s, M).
  • a value ⁇ close to 1 indicates that the mesh must be refined.
  • This refining is done by adding to the set Sp (set of points which are the subject of the triangulation) a point x of the set S which is not yet part of Sp.
  • This point x inserted in the mesh has a value-label F (x).
  • Step points the points that are added to the current set of samples to be triangulated (Sp) are called “Steiner points.” (Not to to confuse with the Fermat point of a triangle, which some also call “Steiner's point”).
  • Figure 7.0 shows a tolerance volume as is.
  • Figure 7.1 shows the initialization phase, in which the points S of the sampling S of the edges of the border zone of the tolerance volume appear.
  • the points S of the sampling S of the edges of the border zone of the tolerance volume appear.
  • these points are hollow circles.
  • Figure 7.2 shows a so-called extended bounding box envelope LBB.
  • This expanded bounding box LBB (or "Loose Bounding Box”) can be constructed by calculating the strict bounding box of the tolerance volume, using the minimum and maximum coordinates in x, y, z points of the tolerance volume. .
  • This box LBB is enlarged by homothety by a factor 1.5, for example.
  • the expanded bounding box LBB includes the points LBB1 to LBB4 shown in Figure 7.2.
  • the bounding box is formed by only 4 points, against 8 points in 3D.
  • Other means can be used to define external points whose embedding property is guaranteed.
  • step 2015 of FIG. 4 one starts by making a triangulation T from these first points of the LBB placed in Sp, but which are not points of S.
  • the points of the LBB are given special label values, which depend on their distance from the edge of the tolerance volume. These special tag values can be greater than 1.
  • the label-value 1 is assigned to the outermost edge of the tolerance volume, and the label 'd + to the vertices of the LBB, where d is the normalized distance between a vertex of the LBB and the point of the outer edge the tolerance volume that is closest to the top of the LBB. Normalization is a function of the tolerance volume thickness, which is determined at value 2 (the difference between -1 and +1).
  • the interpolation function f is constructed, as before, for each cell (2D triangle, 3D tetrahedron): For a point x of the set S p , present in a tetrahedral cell, a linear interpolation function is computed f (x, M), defined on the basis of the label values F (s) at the vertices of the tetrahedron mesh M, and the barycentric coordinates of the point x considered, with respect to the vertices of the mesh. And each time the error quantity ⁇ is calculated, which indicates whether the point x is or is not well classified.
  • the hollow circles of Figure 7.1 have a + 1 positive label. They are therefore of the same sign as the interpolated function on the two triangles, and therefore well classified. Therefore, these hollow circles in Figure 7.1 become squares in Figure 7.2.
  • a first point of Steiner SP1 is added in the triangulation. This point SP1 is added to the set S p of the points to be triangulated. This point SP1 may be the one whose error ⁇ is maximum, as indicated here elsewhere.
  • the two extreme points LBB1 and LBB3 of the diagonal Ll are part of the LBB.
  • f (SPl) -1, which classifies well the added point SPl.
  • an isosurface IS1 0. This isosurface is illustrated by a black broken line in bold lines, almost square, in figure 7.3.
  • the other elements of the IS1 contour depend on the "SP1" version of the function f, as explained above.
  • the isovalue IS1 represents the zero level of the interpolated function, which is therefore positive on one side of IS1, and negative on the other side of IS1.
  • the points of the sample are well classified when they are located on the side of ISl, which corresponds to the sign of their label or value-label.
  • the Delaunay triangulation is completed when all the points of the set S are correctly classified (step 2033 of FIG. 4).
  • steps 2031 to 2033 of FIG. 4 are repeated, inserting a new Steiner point.
  • the quadrant CC24 becomes well classified, unlike segments aligned on him, but outside of IS2.
  • the CC25 and CC26 square segments become misclassified, unlike the segments aligned on them, but outside IS2.
  • steps 2031 to 2033 of FIG. 4 are repeated by inserting a new Steiner point SP3, as illustrated in FIG. 7.5.
  • Steps 2031 to 2033 of FIG. 4 will be repeated several times, each time inserting a new Steiner point.
  • the isosurface obtained approximates the general shape of the volume of tolerance, but there are still badly classified points.
  • Steps 2031 to 2033 of FIG. 4 will be repeated several times, each time inserting a new Steiner point. This leads to Figure 7.7, where the isosurface is entirely contained in the Tolerance Volume, and there are no more crosses (misclassified points).
  • Step 203 of Figures 2 and 4, which is called “refinement”, has been described.
  • One of the goals of this refinement is to arrive at a mesh without surface intersection, which corresponds to the topology of the volume of tolerance.
  • the mesh itself can be done using a Delaunay triangulation, whose data structures do not accept intersecting surfaces. Other techniques can be used to construct canonical triangulations that do not intersect.
  • the Applicant currently prefers a triangulation using the Delaunay property, with the proof of termination and the topology guarantee that it allows.
  • step 601 for each tetrahedron of the triangulation T, a list of those sample points s of the set S that are contained in this tetrahedron is maintained. Each point is accompanied by its label, and its error ⁇ . The points of the set S p that are already included in the triangulation are not in this list.
  • step 603 a dynamic priority queue is maintained for each tetrahedron of the triangulation T, containing the maximum error points in the tetrahedrons, sorted by decreasing error.
  • step 605 which corresponds to step 2031 of FIG. 4, the maximum tail end error point is added to triangulation T, which can then be deleted from the tail.
  • step 607 which corresponds to step 2032 of FIG. 4, the error calculations are updated.
  • a test 609 which corresponds to step 2033 of FIG. 4, examines whether the topology is correct, i.e. if the set S is completely classified. If this is not the case, we return to 601. Otherwise, we can proceed to the next phase of simplification of the mesh.
  • FIGS. 7.6 and 7.7 are correct, in particular in that it does not include intersections, and that it is isotopic. On the other hand, it is too dense, and contains an excessive number of meshes (or vertices). We will simplify it, as we will see later. We will first consider Figure 7.8.
  • the "simple tolerance”, denoted by ⁇ , is the union of the tetrahedra which constitutes a meshed (triangulated) approximation of the tolerance volume ⁇ . These tetrahedra have vertices with different labels.
  • the edge of this "simple tolerance” is noted dT (in Figure 7.8). In 3D, this edge is composed of triangles which are the free faces of the mesh tetrahedra. It is a triangulated representation of the boundary of the tolerance domain.
  • the mixed line in Figure 7.8 illustrates those edges of this triangulated representation that are in the plane of the figure.
  • Figure 16.0 shows the ends A and B of an edge that can be fused (we will see the conditions later).
  • the general merge operator deletes the edge that joins the vertices, at least one of these two vertices, and the faces or tetrahedra adjacent to the removed edge (Figure 16.2).
  • the position of the vertex P resulting from the fusion (target vertex) is a degree of freedom (continuous) of this operator, under condition to preserve the topology and to classify all the points well.
  • the error is, for example, the sum of the squares of the distances from this point to the support planes of the facets of the isosurface Z, these facets being selected in a local neighborhood at the considered edge.
  • This local neighborhood may include facets of the isosurface that are located at a distance 2 from the edge in the triangulation graph (so-called "2-ring"). We look for the optimum point that minimizes this error.
  • This error calculation serves as an optimization criterion. Indeed, as preferred point P, we can then take the point located in the region of validity, and which is as close as possible to the optimum point that minimizes said error.
  • a purely combinatorial operator that is called a "half-edge fusion operator”: in this less general variant, the operator is forced to merge one vertex of the edge on the other. In FIG. 16.1, the vertex A is thus fused to the sum B.
  • the optimization criterion is defined by the distance between the target point (here the point B) and the optimum point Q. calculated as above. .
  • This half-edge merge operator is less powerful than the edge merge operator that admits to placing the vertex resulting from the merge at a position that generates the P in space, but it is much faster to simulate, since we directly know the target point B, without having to look for the best point P.
  • the half-edge fusion operator is called combinatorial in the sense that there exists a finite number of degrees of freedom: 2 E possible fusions, where E represents the number of edges of the triangulation. Then, when no half-edge fusion is possible, one uses the more general operator of fusion of edges.
  • sample points are inserted in a canonical triangulation (whose connectivity is determined by the positions of the points). So, in this phase of refinement, the degrees of freedom are only in terms of choice of points.
  • a priority queue sorts the operators that are valid (which preserve the topology and classification of the points), following a score that depends on a optimization criterion.
  • this condition ensures that any neighborhood of a point is homeomorphic (topologically equivalent) to a disk or a half-disk.
  • this condition requires that each edge is adjacent to exactly one or two triangular faces, and that each vertex is adjacent to a single connected component.
  • this condition ensures that any neighborhood of a point is homeomorphic (topologically equivalent) to a ball or half-ball.
  • the nucleus of a polyhedron is the place of the points which see the whole edge of the polyhedron.
  • the nucleus is either empty or a convex polyhedron.
  • the polyhedron considered for the calculation of the nucleus is the polyhedron formed by the union of the tetrahedra adjacent to the two vertices of the edge.
  • the nucleus is non-empty, we can merge the edge by placing the target vertex in the nucleus: the triangulation remains valid, that is to say without overlapping or inverting tetrahedra.
  • the kernel is empty you can not merge the edge without creating an invalid triangulation.
  • we use the construction of the nucleus to delimit a zone of search of points which classify well (this is the point below).
  • a merge operator being simulated will therefore be considered valid if:
  • the valid embedding condition is verified, the classification of the points of the sample is preserved.
  • the simplification process may be in accordance with Figure 17.
  • step 1701 For each edge, step 1701 first simulates the fusion of this edge, to determine if this fusion is possible ("valid"). As already indicated, we will first try a half-edge merge operator, then a general edge merge operator. The simulation is based on the current state of the triangulation. If the merge operator being simulated is valid, step 1703 stores the definition in a dynamic priority queue. The order of priority is defined by the aforementioned optimization criterion.
  • step 1705 the first merge operator is applied in the order of the priority queue.
  • step 1707 updates the priority queue: deletion of operators that are no longer required because they relate to an edge deleted by the merge operator that has just been executed.
  • An operator is "modified" when the merge operator that has just been executed has modified the parts of the triangulation that are adjacent to at least one of the two vertices of the edge on which it is carrying (or both vertices ).
  • Sub-steps 2072 to 2076 of step 207 of FIG. 4 show that the operation is carried out in three stages. At each time, half-edge fusions are first considered, followed by general edge fusions.
  • a reciprocal triangulation takes place in step 2074, within the simplification phase. It would be conceivable to perform this reciprocal triangulation just after doing the refinement. In other words, one can imagine simplifying all possible edges after doing all the refinement, including reciprocal triangulation. The proposed process is considered more parsimonious because it allows a lower complexity of the triangulation.
  • the Applicant currently believes that it is preferable to simplify the triangulation of the tolerance volume (the simplistic tolerance) before launching the reciprocal triangulation, then the rest of the simplification.
  • the idea is to reduce the size of the triangulation before simplifying it because the number of operators to use depends on this size.
  • the proposed 3D triangulation is that of Delaunay; it is convenient because it is canonical for a set of points, and we know how to prove the termination of refinement. But it is "verbose”: for it is at fixed points a triangulation the most isotropic possible- so to speak little parsimonious (in points) in places where the geometry is anisotropic. The idea is to reduce the size of the triangulation before simplifying it because the number of operators to use depends on this size. The simplification will now be illustrated with reference to Figures 8.0 to 8.11.
  • Figure 8.0 shows the mesh, in its state of figure 7.7, whose figure 7.8 showed that it was the simplistic tolerance ⁇ .
  • the simplification first concerns the edge of the "simplistic tolerance” (step 2072 of FIG. 4).
  • step h3. Perform a mutual triangulation between the isosurface (Zset) and the so-called “simplistic tolerance" volume, as modified in step h2 (step 2074 of FIG. 4).
  • step h3 we will somehow integrate the isosurface Z to the general triangulation of the volume of "simplistic tolerance", noted ⁇ .
  • the mutual triangulation between a 2D triangulation T and a polygonal line L consists to insert all the vertices of L in T, all the edges of L in T, then to conform the triangulation by adding edges to T to obtain only triangles.
  • Figure 15.2 illustrates the reciprocal triangulation of the Zset curve and the existing triangulation: new vertices (small black disks) appear on the Zset line, new edges, and new triangles.
  • the Zset curve is now represented as a chain of edges of the triangulation.
  • FIG. 8.5 For the example of FIG. 8, the result is illustrated in FIG. 8.5. There are edges added to the hatched triangulation, and new vertices (small black disks). h4. Make fusions of edges on this isosurface Z, which takes its final configuration, after these simplifications. ( Figures 8.6 to 8.8). h5. Continue to perform edge fusions on all possible edges in the "simplistic tolerance" volume, including checking the preservation of the S-point classification condition of sample points (step 2076 of Figure 4).
  • edge merge operators as triangulation modification operators. It is conceivable to use other triangulation modification operators, at least in part, for example: continuous operators (vertex displacement), combinatorial operators, which, in addition to the "half-edge” merger, already cited, include operators such as those called “4-4 flips", or "edge-removal", as shown in Figure 1 since http://graphics.berkelev.edu/papers/Klingner-ATM-2007-10/Klingner-ATM-2007- 10. pdf and mixed operators whose general edge fusion is an example.
  • Figure 8.11 is similar to Figure 8.10, but has been removed from the symbols illustrating the classification of points. In the final contour of Figure 8.11, the Zset isosurface fits exactly within the tolerance volume.
  • the Zset isosurface forms a meshed surface approximation of the tolerance volume.
  • heterogeneous tetrahedra which are those whose vertices have different label values F (s).
  • F (s) a magnitude or "height" h, which is the distance between the maximum dimension triangles, formed by the vertices of the tetrahedron that have the same label value.
  • the three vertices B, C and D have the same label, and h is the minimum distance between the vertex A and the support plane of the BCD face.
  • the value to choose for a depends on the nature of the input data.
  • the value a 0.2 is suitable, at least as a starting value.
  • Fig. 10 depicts at the top of the picture crude representations of an elephant (from left to right: a cloud of points without noise, a soup of triangles without noise, a cloud of points with noise, and a soup of triangles with noise), and in the lower part the triangulation obtained according to the invention.
  • the raw data is converted to a tolerance volume by calculating a sub-level of the distance function to the data (points or triangles).
  • the starting image is a cloud of points that have no noticeable effect on the final triangulated surface.
  • the starting data forms a soup of unorganized triangles (with intersections, holes) that also have no noticeable effect on the quality of the triangulated final surface.
  • the starting data is a cloud of points with a high level of noise (uncertainty in their coordinates) which also has no noticeable effect on the quality of the triangulated final surface .
  • the starting data form a very irregular and noisy triangles soup that also has no noticeable effect on the quality of the final triangulated surface. It is simply noted that the triangulation is less detailed in Figures 10C and 10D, where the starting data have a high noise level, and for which a larger tolerance volume is chosen.
  • CGAL library available from Geometry Factory, 20, Yves Emmanuel Baudoin Avenue, 06130 Grasse, France,
  • Fig. 11 shows the part of Figs. 1.
  • Fig. 11.0 is the tolerance volume.
  • Figures 11.1 to 11.4 illustrate the final grid obtained, with different processing conditions, with respect to the factor ⁇ , which is the separation distance between the boundaries of the tolerance volume, expressed as a percentage.
  • the following table shows the values of ⁇ , the processing time with the equipment indicated above, the figure with the final mesh, and the number of vertices thereof.
  • M MGS-A which is a variant of the same M MGS software with the mesh anisotropy option
  • Open Flipper which is the process described in [Ref20], with software available for download from www.openfjipper.org/, version 2.1.
  • Simplification Envelopes which is [Ref9], with software version 1.2, transmitted by email by the first author.
  • the Haussdorf distance measures the dissimilarity between two geometrical forms.
  • the unidirectional distance Haussdorf (A, B) is defined by the maximum of the Euclidean distance between the form A and the form B, for every point of A, and vice versa for Haussdorf (B, A).
  • the symmetrical variant is the maximum of Haussdorf (A, B) and Haussdorf (B, A).
  • the ordinate scale of Figure 12 corresponds to Hausdorff's distance H
  • the abscissa scale is the number of vertices at the output. This figure 12 shows that the invention is better than the other techniques by Haussdorf distances lower, with numbers of peaks in the final lower, in addition to the robustness already shown above.
  • Figures 12 and 13 have as input a gross surface mesh of the images of Figures 14 (about 14,000 vertices).
  • Figure 13 shows the time of treatment. It illustrates the evolution of the mesh complexity as a function of processing and time for different values of the input tolerance ⁇ , indicated in the legend rectangle.
  • ⁇ the input tolerance
  • the invention also makes it possible to treat surfaces having holes, for example when they are obtained by laser scanning which tangents concave zones.
  • the holes can be deleted, as long as the tolerance volume includes them.
  • Figure 18 shows the elements of Figure 4, the steps are performed by operators. In numerical references, the most significant figure is 2 for steps, as opposed to 3 for operators.
  • the initialization step 201 of FIG. 4 is performed by the initialization operator 301 of FIG. 18. It starts from the tolerance volume, stored in 310. Inside this initialization, the step 2011 of Figure 4 is performed by the contour sampling operator 3011 of Figure 18.
  • Figure 19 illustrates a point classification operator, referenced 1900.
  • a 1901 operator calculates the interpolation function f, as described above with reference to FIG. 5. It provides a label calculated for this point.
  • the operator 1902 deduces whether the point is well classified or not, as already described.
  • This point classification operator, 1900 is called many times, in particular by the operators 3013 and 3032 of FIG. 18, as well as by the simulation operator 1701 of FIG. 17, insofar as the latter must check that the classification of points is preserved. Appendix 1 - Definitions
  • a homeomorphism is a continuous bijective application, of a topological space in another, whose reciprocal bijection is also continuous. In view of the above, it is an isomorphism between two topological spaces.
  • isotopy is particularly important in node theory: two nodes are considered identical if they are isotopic, that is to say if one can deform one to obtain the other without the "rope” tears or does not penetrate.
  • Tolerance volume (in English: "volume tolerance") This applies to a three-dimensional component.
  • the tolerance volume for a component is the volume between its largest and the smallest allowable outer surface.
  • AMENTA N., CHOI, S., DEY, T.K., AND LEE HA, N. 2000. A simple algorithm for homeomorphic surface reconstruction. In Proceedings of ACM Symposium on Computational Geometry, 213-222. [Ref4]. BISCHOFF, S., PAVIC, D. AND KOBBELT, L. 2005. Automatic restoration of polygon models. ACM Transactions on Graphics 24, 1332-1352.

Abstract

Le traitement de données géométriques part d'un volume de tolérance Ω, relatif à des données géométriques brutes de départ. On initie (201) une triangulation canonique dans le volume de tolérance, à partir d'un jeu S de points échantillons pris aux limites de ce volume de tolérance, et de points LBB situés à l'extérieur de celui-ci. On raffine (203) cette triangulation canonique, jusqu'à classifier les points de l'échantillon,ce qui fournit un maillage dense du volume de tolérance. Et l'on simplifie (207) ce maillage dense par des opérations de modification de triangulation, en préservant la topologie et la classification des points de l'échantillon.

Description

Traitement de données géométriques, avec approximation isotopique dans un volume de tolérance.
L'invention concerne les techniques informatiques de construction ou reconstruction de surfaces géométriques. A la base, une surface ou une forme peut être représentée par un ensemble de points dans l'espace. On parle alors d'un "nuage de points".
Pour en permettre un traitement informatique en tant que surface, une surface à deux dimensions est souvent représentée par un maillage à base de primitives triangulaires. De même, un volume à trois dimensions peut être représenté informatiquement par un maillage tétraédrique. Les expressions "maillage triangulaire" et triangulation couvrent l'ensemble de ces cas.
Une représentation de surfaces par "maillage triangulaire" ou surfaces paramétriques peut être imparfaite, le plus souvent en raison des limites des capteurs utilisés pour l'établir et des algorithmes de reconstruction de surfaces à partir de mesures. Les défauts peuvent être par exemple des trous, ou encore des auto-intersections (car il est rare qu'une surface du monde réel se traverse elle-même). L'expression "soupe de triangles" est utilisée pour viser une triangulation qui peut être imparfaite.
Réaliser une approximation fidèle de formes complexes avec des mailles triangulaires (que l'on appelle aussi simplicielles, de l'anglais "simplicial") est un problème à facettes multiples, qui fait intervenir la géométrie, la topologie, et leur discrétisation (découpage en primitives).
Ce problème a suscité un intérêt considérable, du fait de sa vaste gamme d'applications, et de la disponibilité toujours croissante de capteurs géométriques. Il en découle une disponibilité nettement accrue de modèles géométriques scannés, ce qui ne signifie pas que leur qualité croît : alors que de nombreux praticiens ont accès à des systèmes d'acquisition de haute précision, la tendance récente est à remplacer ces outils coûteux par une combinaison hétérogène de dispositifs d'acquisition du niveau grand public. Les mesures engendrées par ces derniers sont insusceptibles d'un traitement direct. C'est encore plus vrai si l'on cherche à fusionner les données hétérogènes provenant de différents capteurs grand public. De même, la diversité des outils de traitement géométrique se traduit par une augmentation du nombre de défauts dans les données : la conversion de et vers différentes représentations géométriques a souvent pour effet de perdre en qualité par rapport au signal d'entrée. Rares sont les algorithmes qui procurent, sur leur sortie, des garanties de qualité meilleures que leurs exigences en termes de signal d'entrée.
On a recours à des discrétisations de plus en plus fines, pour capturer des formes géométriques complexes. Ceci fait que le souci devient dominant d'offrir des garanties géométriques strictes, pour être robustes à l'apparition d'artefacts et rendre possible la certification des algorithmes.
Par "garanties géométriques", on entend la fixation d'un maximum aux erreurs de l'approximation géométrique, et l'absence d'auto-intersections.
Il s'y ajoute des garanties topologiques, comme l'homotopie, l'homéomorphisme ou l'isotopie. Ces notions sont définies plus loin.
En l'occurrence, l'isotopie signifie qu'il existe une déformation continue qui déforme une forme sur une autre, tout en maintenant un homéomorphisme entre ces deux formes.
Des maillages de surface offrant ces garanties sont requis pour obtenir un rendu sans artefact, pour l'ingénierie numérique, pour l'ingénierie inverse, pour la fabrication, et pour l'impression 3D.
La simplification géométrique permet de réduire le nombre de primitives. La simplification topologique peut réparer des trous et des dégénérescences présents dans les discrétisations existantes. Ces deux types de simplifications peuvent être utilisés en combinaison pour reconstruire des formes propres à partir de données géométriques brutes telles que des nuages de points, ou des soupes de triangles.
De nombreuses techniques ont été proposées au fil des ans pour réaliser des approximations informatiques de formes. Peu d'entre elles procurent une limite supérieure des erreurs.
Le Document [Refl] (Annexe 2) a proposé une méthode d'approximation en temps polynomial, avec une garantie de descendre à un nombre minimal de sommets pour une tolérance d'erreur maximale donnée. Mais ce résultat est purement théorique, et ce document n'offre pas d'algorithme pratique de mise en œuvre. L'approximation à erreur maximale a été recherchée également par regroupement ("clustering") dans [Refl8], par décimation de mailles [Ref9], [Refl5], [ReflO], [Ref28] ou encore par une combinaison de ces deux techniques [Ref24].
En général, la métrique d'erreur considérée est la distance de Hausdorff unidirectionnelle qui remonte au maillage d'entrée, mais certains ont utilisé la distance bidirectionnelle [Ref 9].
De façon générale, ces approches ne sont pas suffisamment génériques pour travailler sur des données d'entrée hétérogènes et imparfaites. Et elles ne permettent pas de garantir une sortie dénuée d'intersections.
On peut éviter de créer des intersections pendant la décimation de mailles ([Ref26]), mais cela ne suffit pas dans le cas de données d'entrées qui comprennent elles-mêmes des auto-intersections, et ces évitements impliquent une fin prématurée de la phase de simplification, et ce qui se traduit au bout du compte par des maillages trop complexes.
De façon générale, il est important d'engendrer en sortie un maillage qui soit isotopique aux données d'entrée, et se contente d'un faible nombre de triangles (ou de sommets). En 2D, ceci s'appelle le problème des polygones inscrits minimaux ("minimum nested polygons"), et a été bien étudié dans le cas convexe [Ref22]. En 3D cela devient le problème des polyèdres inscrits minimaux, dont on a montré qu'il est de difficulté N-P. Bien que ce problème soit ancien, il n'existe toujours pas de solution robuste et pratique qui réponde à ce défi scientifique et technique. La présente invention vient y remédier.
Le procédé proposé à cet effet part, comme données d'entrée, d'un volume de tolérance Ω. Ce volume de tolérance peut être déterminé, dans le cadre d'un pré-traitement, à partir de données géométriques brutes de départ, par exemple sur la base d'un nuage de points ou d'une soupe de triangles, ou encore à partir de n'importe quel ensemble de données géométriques, même hétérogènes. Le procédé proposé comprend les étapes suivantes :
A. recevoir un volume de tolérance Ω, relatif à des données géométriques brutes de départ,
B. initier une triangulation canonique dans le volume de tolérance, à partir d'un jeu S de points échantillons pris aux limites de ce volume de tolérance, et de points situés à l'extérieur de celui-ci,
C. raffiner cette triangulation canonique, jusqu'à classifier les points de l'échantillon, ce qui fournit un maillage primaire dense, de topologie correcte, pour le volume de tolérance, et
D. simplifier ce maillage dense par des opérations de modification de triangulation, en préservant la topologie et la classification des points de l'échantillon.
Est également proposé un dispositif de traitement de données géométriques, comprenant :
Une mémoire de données géométriques, pour recevoir des données graphiques représentant un volume de tolérance,
Un organe d'initialisation, agencé pour réaliser une première triangulation canonique entre le bord du volume de tolérance et des points situés à l'extérieur de celui-ci,
Un organe de raffinement, agencé pour préciser ladite première triangulation jusqu'à fournir un maillage dense du volume de tolérance, qui préserve une condition de classification des points de la triangulation,
Un organe de simplification, agencé pour simplifier ledit maillage dense, en préservant la topologie et la classification de ses points, et un pilote qui actionne successivement l'organe d'initialisation, l'organe de raffinement, et l'organe de simplification, pour des données graphiques en évolution à partir du même volume de tolérance. D'autres caractéristiques sont également proposées, pour le procédé comme pour le dispositif correspondant.
L'étape B d'initialisation peut comprendre la sous-étape d'échantillonner les limites du volume de tolérance selon une densité d'échantillonnage choisie σ, ce qui fournit l'ensemble S de points échantillons.
L'étape B peut comprendre le marquage de chaque point échantillon de l'ensemble S par une valeur-étiquette qui représente l'index de la composante connexe de bord de ce point, dans le volume de tolérance. L'étape C de raffinement comprend alors la génération itérative de la triangulation canonique, en insérant un point à la fois, sur au moins une partie de l'ensemble S de points, jusqu'à ce que tous les points concernés vérifient une condition de classification, appuyée sur la valeur d'une fonction F elle- même dépendant de leur valeur d'index, et sur son interpolation par une fonction d'interpolation f appliquée à chaque maille de la triangulation 3D.
Ainsi, il peut être fait usage d'un opérateur de classification de point, qui reçoit la désignation d'un point à traiter, et détermine une fonction d'interpolation f sur la base de la maille entourant ce point à traiter, et de valeurs-étiquettes relatives aux sommets de cette maille, pour fournir une étiquette interpolée, et comparer celle-ci à une étiquette courante du point à traiter, ce qui permet de déterminer une condition de classification du point à traiter. L'étape C peut se compléter par la construction d'une isosurface linéaire par morceaux Zset, à l'aide des points où la fonction d'interpolation f possède une même valeur intermédiaire choisie, en particulier nulle, cette isosurface Zset étant une surface fermée, qui forme une approximation surfacique du volume de tolérance.
De préférence, la triangulation canonique est une triangulation de Delaunay. Les données géométriques brutes de départ peuvent être des données 2D ou des données 3D.
De son côté, l'étape D. de simplification peut comprendre les opérations suivantes :
Dl. déterminer si des opérations de modification de triangulation sont valides, c'est-à- dire préservent la topologie du maillage et préservent la condition de classification de l'ensemble S de points échantillons, et
D2. effectuer les opérations de modification de triangulation valides dans un ordre déterminé.
De préférence, les opérations de modification de triangulation comprennent des fusions d'arêtes et/ou des fusions de demi-arêtes. L'ordre peut être déterminé en fonction d'un critère d'optimisation.
Dans un mode de réalisation, l'étape D. porte sur un volume dit "tolérance simplicielle" qui approche le volume de tolérance par une union de mailles de la triangulation canonique, l'isosurface Zset étant contenue dans ce volume dit "tolérance simplicielle",
Les étapes Dl et D2 peuvent alors être effectuées :
D'abord sur le bord du volume dit "tolérance simplicielle",
Ensuite sur le fruit d'une triangulation mutuelle entre l'isosurface (Zset) et le volume dit "tolérance simplicielle", cette triangulation mutuelle ajoutant des sommets, des arêtes et des mailles dans la triangulation, sur l'isosurface,
Enfin, avec d'autres arêtes contenues dans le volume dit "tolérance simplicielle", jusqu'à couvrir toutes les arêtes possibles.
L'invention vise également un produit-programme d'ordinateur comprenant des portions de code de programme pour mettre en œuvre le procédé ou le dispositif précités, lorsque le programme est exécuté sur un ordinateur.
D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à l'examen de la description détaillée ci-après, et des dessins annexés, sur lesquels :
- Les figures 1-a à 1-e illustrent schématiquement un premier exemple d'application de l'invention ;
- la figure 2 est le diagramme de flux général du mécanisme proposé selon l'invention,
- la figure 3 illustre un exemple de début d'application de l'invention.
- la figure 4 est un diagramme de flux qui détaille celui de la figure 2,
- la figure 5 est un dessin illustrant la définition de ratios barycentriques,
- la figure 6 est un diagramme de flux qui détaille une réalisation préférentielle de l'étape de raffinement 203 des figures 2 et 4,
- les figures 7 montrent différents état de la triangulation pendant la phase de raffinement, sur un autre exemple, très géométrique, d'application de l'invention,
- les figures 8 montrent différents état de la triangulation pendant la phase de simplification, sur le même exemple, très géométrique, d'application de l'invention, - les figures 9 sont des dessins illustrant un cas particulier d'application de l'invention, - les figures 10 sont des représentations d'éléphants montrant la robustesse du procédé selon l'invention,
- les figures 11 illustrent schématiquement d'autres exemples d'application de l'invention, sur le même objet que les figures 1,
- la figure 12 est un diagramme, illustrant certains avantages de l'invention,
- la figure 13 est un autre diagramme, illustrant certains avantages de l'invention,
- la figure 14 est une autre représentation, dite « fertilité », sur laquelle portent les diagrammes des figures 12 et 13,
- les figures 15 sont des représentations comparables à celle de la figure 3, permettant de mieux comprendre la sous-phase de triangulation mutuelle, dans la phase de simplification,
- les figures 16 illustrent deux mécanismes de fusion d'arêtes et de demi-arêtes,
- la figure 17 est un diagramme de flux qui détaille une réalisation préférentielle pour l'étape de simplification 207 des figures 2 et 4, - la figure 18 est le schéma de principe d'un dispositif selon l'invention, et
- la figure 19 est le schéma de principe d'un opérateur de classification utilisé selon l'invention.
Les dessins et la description ci-après contiennent, pour l'essentiel, des éléments de caractère certain. Ils pourront donc non seulement servir à mieux faire comprendre la présente invention, mais aussi contribuer à sa définition, le cas échéant. La nature de l'invention fait que certaines caractéristiques ne s'expriment complètement que par le dessin.
La description est suivie d'une Annexe 1 comportant des définitions, et d'une Annexe 2 regroupant les coordonnées des documents auxquels il est fait ici référence. Ces annexes font partie intégrante de la description.
On examinera d'abord les figures la à le, pour une description très générale de l'invention, faite en référence à la figure 2, qui illustre les grandes étapes de fonctionnement du procédé proposé, et à la figure 4, qui détaille la figure 2.
La figure 1-a illustre le point de départ, à savoir un volume de tolérance Ω relatif à une pièce mécanique mesurée par un scanner laser, avec une tolérance d'entrée δ de 0,6 %. La figure 1-b illustre ce qu'on obtient après l'étape de raffinement (203, figure 2). Le résultat est une fonction linéaire par morceaux Z, correspondant à un maillage surfacique du volume de tolérance Ω de la figure 1. Le nombre de sommets est 20,4k (20.400). On procède ensuite à des simplifications, conformément à l'étape 207 (figure 2).
La figure 1-c illustre le même maillage que la figure l.b, mais après qu'il ait subi une première simplification (simplification du bord oT de la tolérance "simplicielle" Γ, étape 2072, figure 4), qui le fait descendre à 5,3 k sommets.
La figure 1-d illustre le même maillage, après triangulation mutuelle et simplification de Z (étape 2074, figure 4), qui le fait descendre à 1,01 k sommets.
Enfin, la figure 1-e illustre le maillage en fin de simplification (étape 2076, figure 4) qui est descendu encore à 752 sommets.
On observe, à l'œil, que, même simplifié, le maillage de la figure 1-e représente bien l'objet défini par les figures précédentes. II est maintenant fait référence à la figure 3, qui utilise un volume de tolérance curviligne symbolique, plus simple que celui des figures 1.
On a vu que la figure 2 illustre les grandes étapes de fonctionnement du procédé proposé. La figure 4 illustre certaines étapes du procédé de façon plus détaillée.
Sur la figure 3, le volume de tolérance Ω est défini par une forme curviligne boudinée, dont la zone frontière 0Ω présente deux bordures όΩι et 0Ω2, dans une vue en coupe en plan.
L'étape 201 des figures 2 et 4 est une initialisation. Comme indiqué en 2011 (Figure 4), l'initialisation comprend d'abord un échantillonnage du bord (ou de la frontière) du volume de tolérance. On obtient un ensemble S de points échantillons 5, stocké à l'étape 2013 (figure 4). Cet échantillonnage est en principe "σ-dense". Cela signifie que des boules de rayon σ centrées sur tous les points s de S recouvrent intégralement la zone frontière 0Ω du volume de tolérance Ω. En pratique, σ est une fraction de l'épaisseur δ de Ω.
Dans le cas le plus simple, celui de la figure 3, la zone frontière 0Ω n'a que deux composantes connexes de surfaces de bord, à savoir όΩι (frontière externe) et 0Ω2 (frontière interne). Dans ce cas, on distingue facilement l'intérieur et l'extérieur d'un bout à l'autre de la zone frontière 0Ω. Cela peut se faire formellement, en affectant à chaque échantillon s de l'ensemble S une valeur d'étiquette (ou label) F(s) qui est, par exemple:
F(s) = 1 si le point s est sur όΩι, et
F(s) = -1 si le point s est sur ÔQ2. Cette valeur F(s) peut être vue comme une représentation de l'index (ou "indice") de la composante connexe de bord du point s considéré, dans le volume de tolérance.
Une autre fonction 'f est construite : Pour un point x, présent dans une maille M (triangulaire en 2D, tétraédrique en 3D), on calcule une fonction d'interpolation linéaire f(x, M), définie sur la base des valeurs F(s) aux trois ou quatre sommets de la maille M (triangle ou tétraèdre), et des coordonnées barycentriques du point x considéré, par rapport aux sommets de la maille. Plus précisément, f(x, M) est une combinaison linéaire convexe des valeurs de F aux sommets vi de la maille M :
où pour tout i, eu est positif ou nul, et la som me des eu est 1. Les valeurs de eu se définissent par exemple comme indiqué sur la figure 5 :
Pour un point X situé dans une maille triangulaire ABC, l'un des eu est la valeur a pour X par rapport au sommet A du triangle, notée ( A(X), qui est le rapport de la surface du triangle XBC à la surface du triangle ABC.
On aura donc : f(x,M) = aA(X) F(A) + aB(X) F(B) + ac(X) F(C)
C'est la même chose avec une maille tétraédrique, qui comporte un sommet de plus, et où les surfaces deviennent des volumes.
Pour un point X situé dans une maille tétraédrique ABCD, la valeur a pour X par rapport au sommet A du tétraèdre, notée ( A(X), est le rapport du volume du tétraèdre XBCD au volume du tétraèdre ABCD. Et la formule devient : f(x,M) = aA(X) F(A) + aB(X) F(B) + ac(X) F(C) + aD(X) F(D)
En 3D, dans le cas de tétraèdres, la fonction interpolée f(x, M) est contrainte à être une fonction qui vérifie la condition dite de Lipschitz (avoir une dérivée limitée). L'homme du métier sait comment mettre en œuvre cette condition supplémentaire, qui s'impose au cours du raffinement. On en donnera des exemples plus loin, en référence aux figures 9.
D'autres informations sur ces calculs barycentriques sont disponibles dans [Ref25].
A côté de cela, l'ensemble des points p où f(p) = 0 correspond à une ligne polygonale (une surface en 3D) dite ZeroSet. Cette ligne polygonale ZeroSet, également notée Z en abrégé, est une surface linéaire par parties, qui se place à l'intérieur du volume de tolérance.
On utilise aussi une grandeur d'erreur ε, qui peut être définie comme suit : ε (s) = I f(s, M) - F(s) I, où la notation | x | vise la fonction valeur absolue de x. Faisant partie de l'ensemble S, le point s possède une valeur F(s). Dans la maille M du maillage qui contient ce point s, celui-ci reçoit une valeur interpolée f(s, M).
On considère un paramètre a, avec (0 < a < 1). La valeur par défaut de a peut être fixée à 0,2. On dira alors : si ε (s) <= (1 - a), que le point s est bien classifié avec la marge a, - Sinon, que le point s est mal classifié.
Une valeur ε proche de 1 indique que le maillage doit être raffiné.
Ce raffinage se fait en ajoutant à l'ensemble Sp (ensemble des points qui font l'objet de la triangulation) un point x de l'ensemble S qui ne fait pas encore partie de Sp. Ce point x inséré dans le maillage possède une valeur-étiquette F(x). On refait alors le calcul de classification, et de l'erreur ε, pour tous les points non insérés de l'ensemble S (c'est-à-dire pour tous les points de l'ensemble S qui ne font pas partie de l'ensemble Sp).
En théorie du moins, il serait possible de procéder dans un ordre arbitraire. On préfère actuellement commencer par les points qui donnent l'erreur la plus grande, et faire une itération ensuite. C'est ce que l'on décrira plus loin, en référence au mécanisme illustré sur la figure 6.
On observe que ce mécanisme converge quel que soit le mode de sélection des points ajoutés: dans le pire des cas on ajouterait tous les points de l'échantillon, et ils sont alors tous bien classifiés. Dans le cadre d'un raffinement de Delaunay, les points que l'on ajoute à l'ensemble courant d'échantillons à trianguler (Sp) sont appelés "points de Steiner." (A ne pas confondre avec le point de Fermât d'un triangle, que certains appellent aussi "point de Steiner").
Quand ceci est terminé, et que tous les points sont correctement classifiés, c'est-à-dire que l'erreur est partout <= (1 - a), on dispose d'un maillage primaire correct, mais compliqué.
On recommencera maintenant la description sur la base des figures 7, qui sont très géométriques, ce qui facilite la compréhension. Ces figures illustrent le traitement en deux dimensions, que l'homme du métier saura transposer en trois dimensions. Seule l'illustration 2D est possible ; en effet, des figures en 3D seraient illisibles, car tout se superposerait à l'écran.
La figure 7.0 montre un volume de tolérance tel quel.
La figure 7.1 montre la phase d'initialisation, dans laquelle apparaissent les points s de l'échantillonnage S des bordures de la zone frontière du volume de tolérance. A l'extérieur, pour l'étiquette F(s) = 1, ces points sont des ronds creux. A l'intérieur, pour l'étiquette F(s) = -1, ce sont des ronds pleins.
La figure 7.2 fait apparaître une enveloppe dite boîte englobante élargie LBB. Cette boîte englobante élargie LBB (ou "Loose Bounding Box") peut être construite en calculant la boite englobante stricte du volume de tolérance, à l'aide du minimum et du maximum des coordonnées en x,y,z des points du volume de tolérance. Cette boîte LBB est agrandie par homothétie d'un facteur 1.5, par exemple.
La boîte englobante élargie LBB comprend les points LBB1 à LBB4 visibles sur la figure 7.2. En 2D, la boîte englobante est formée par seulement 4 points, contre 8 points en 3D. On peut utiliser d'autres moyens permettant de définir des points externes dont la propriété d'englobement est garantie. On considère alors un autre ensemble Sp de points sp. Au départ vide, cet ensemble Sp reçoit d'abord tous les points de la boîte englobante élargie LBB.
A l'étape 2015 de la figure 4, on commence par réaliser une triangulation T à partir de ces premiers points de la LBB placés dans Sp, mais qui ne sont pas des points de S.
Les segments de droite qui forment les limites des mailles sont illustrés en trait tireté long et fin, sur les figures 7.
On donne aux points de la LBB des valeurs étiquettes spéciales, qui dépendent de leur distance par rapport au bord du volume de tolérance. Ces valeurs étiquettes spéciales peuvent être supérieures à 1. Par exemple : on assigne la valeur-étiquette 1 au bord le plus externe du volume de tolérance, et l'étiquette 'd+ aux sommets de la LBB, où d représente la distance normalisée entre un sommet de la LBB et le point du bord externe du volume de tolérance qui est le plus proche du sommet de la LBB. La normalisation est fonction de l'épaisseur du volume de tolérance, qui est déterminée à la valeur 2 (la différence entre -1 et +1).
On fait alors le calcul de classification, et de l'erreur ε, pour tous les points non insérés de l'ensemble S, auxquels s'ajoutent les points de la boîte englobante élargie qui sont dans l'ensemble Sp. Ce calcul souffre une exception dans le cas où un point de l'échantillon est localisé dans une maille où la fonction est homogène, c'est-à-dire avec des valeur-étiquettes identiques aux sommets de la maille. Dans ce cas si la fonction a le même signe que le label du point de l'échantillon alors il est bien classifié, et mal classifié sinon, sans qu'on se serve de l'erreur ε. Comme déjà indiqué, tous les points s de l'ensemble S se sont vu affecter une valeur étiquette F(s). La fonction d'interpolation f est construite, comme précédemment, pour chaque maille (triangle en 2D, tétraèdre en 3D) : Pour un point x de l'ensemble Sp, présent dans une maille tétraédrique, on calcule une fonction d'interpolation linéaire f(x, M), définie sur la base des valeurs étiquette F(s) aux sommets de la maille tétraèdre M, et des coordonnées barycentriques du point x considéré, par rapport aux sommets de la maille. Et l'on calcule à chaque fois la grandeur d'erreur ε, qui indique si le point x est ou non bien classifié.
Sur la figure 7.2, un point bien classifié est représenté par un carré. Un point mal classifié est représenté par une croix. On observe que la fonction interpolée sur les deux triangles LLB1-LBB2-LBB3, ainsi que LLB1-LBB3-LBB4 est ici homogène et positive en tous points, puisque les sommets de la LBB ont tous une étiquette 'd+ qui est nettement positive.
On est donc dans le cadre de l'exception précitée.
Les ronds creux de la figure 7.1 ont un label positif + 1. Ils sont donc de même signe que la fonction interpolée sur les deux triangles, et par conséquent bien classifiés. Par conséquent, ces ronds creux de la figure 7.1 deviennent des carrés sur la figure 7.2.
De leur côté, les ronds pleins de la figure 7.1 ont un label négatif - 1. Ils sont donc de signe contraire à la fonction interpolée sur les deux triangles, et par conséquent mal classifiés. Par conséquent, ces ronds pleins de la figure 7.1 deviennent des croix sur la figure 7.2. Commence ensuite le raffinement proprement dit (étape 203 de la figure 2, et cadre 203 de la figure 4).
A l'étape 2031 de la figure 4, on ajoute un premier point de Steiner SPl dans la triangulation. Ce point SPl est ajouté à l'ensemble Sp des points à trianguler. Ce point SPl peut être celui dont l'erreur ε est maximum, comme indiqué ici par ailleurs.
Sur la figure 7.3, ce premier point de Steiner SPl se trouve par hasard être proche de la diagonale Ll de l'enveloppe LBB. L'étiquette de SPl est F(SP1) = -1.
On refait alors le calcul de classification, et de l'erreur ε, pour tous les points de l'ensemble S, et pour le point SPl ajouté (étape 2032 de la figure 4).
Les deux points extrêmes LBB1 et LBB3 de la diagonale Ll font partie de la LBB. Cela détermine une version "SPl" de la fonction f, calculée comme indiqué plus haut, dans les 4 mailles triangulaires LBB1-LBB2-SP1, LBB2-LBB3-SP1, LBB1-LBB4-SP1, LBB3-LBB4- SP1. On obtient finalement f(SPl) = -1, ce qui classifie bien le point ajouté SPl. Autour du point SPl est alors définie une isosurface ISl, où f = 0. Cette isosurface est illustrée par une ligne brisée noire en traits gras, presque carrée, sur la figure 7.3.
Considérons le triangle LBB1-LBB2-SP1. La fonction interpolée vaut -1 en SPl, et une valeur positive plus grande que 1 en LBB1 et LBB2, disons 5. Le long de l'arête SP1- LBB1 la fonction varie donc linéairement de -1 à 5, et on trouve donc le niveau zéro de la fonction interpolée f près de SPl, au dessus.
Considérons maintenant le triangle LBB3-LBB4-SP1. Par symétrie, on trouve un autre niveau zéro de la fonction interpolée f près de SPl, au dessous, cette fois.
Les deux segments verticaux de ISl s'expliquent de la même manière, en considérant les triangles LBB2-LBB3-SP1 et LBB1-LBB4-SP1. L'analyse en 2D faite ci-dessus peut s'extrapoler vers le 3D de la manière suivante : En 3D, la fonction interpolée f est toujours linéaire par morceau, mais évolue dans l'espace donc il y a une profondeur en plus ; et l'isosurface zeroset (ou Zset) n'est plus un segment dans un triangle, mais un polygone planaire dans un tétraèdre, à savoir un triangle ou un quadrilatère. On observe que, sur la ligne horizontale de points contenue au centre de ISl, les points sont maintenant bien classifiés, et les croix sont devenues des carrés, avec F(s) = 1. Au contraire, les points situés à l'extérieur de ISl sont restés des croix, avec F(s) = -1, donc mal classifiés. On observe que la partie basse du contour ISl est à mi-chemin entre la ligne horizontale de points contenue dans ISl, et la ligne de croix située en dessous.
Les autres éléments du contour ISl dépendent de la version "SP1" de la fonction f, comme on l'a expliqué plus haut. L'isovaleur ISl représente le niveau zéro de la fonction interpolée, qui est donc positive d'un côté de ISl, et négative de l'autre côté de ISl. Les points de l'échantillon sont bien classifiés lorsqu'ils sont situés du côté de ISl, qui correspond au signe de leur label ou valeur-étiquette.
D'autres informations utiles pour construire une triangulation de Delaunay pourront être trouvées dans [Ref23]. Ces informations sont à considérer comme incorporées à la présente description.
Il est à noter que, pour des points en position générale (en 2D, pas plus de 3 points co- circulaires, et en 3D pas plus de 4 points co-sphériques), il existe une seule triangulation de Delaunay, qui est donc canonique. Une propriété est en 2D que les cercles circonscrits aux triangles ne contiennent aucun autre point; de même, en 3D, les sphères circonscrites aux tétraèdres du réseau (constitués par des points du sous- ensemble Sp de S) sont vides, et ne contiennent aucun autre point que les sommets du tétraèdre.
La triangulation de Delaunay est terminée quand tous les points de l'ensemble S sont correctement classifiés (étape 2033 de la figure 4).
Si ce n'est pas le cas, on répète les étapes 2031 à 2033 de la figure 4, en insérant un nouveau point de Steiner.
C'est ce qui est fait avec le point SP2 de la figure 7.4, qui est ajouté à l'ensemble Sp des points à trianguler. On refait alors le calcul de classification, et de l'erreur ε, pour tous les points de l'ensemble S, et pour les points SP1 et SP2 ajoutés (étape 2032 de la figure 4). Il en découle une version dite "SP2" de la fonction f.
Les points où cette version "SP2" de la fonction f est nulle définissent une nouvelle isosurface IS2, qui englobe les points SP1 et SP2. Sur les segments CC20 et CC22 du contour du volume de tolérance, les points restent mal classifiés (des croix). Par contre, au voisinage de SP2, les segments CC21 et CC23 contenus dans IS2 comprennent maintenant des points bien classifiés.
De même, le segment en équerre CC24 devient bien classifié, contrairement aux segments alignés sur lui, mais extérieurs à IS2. Inversement, les segments en équerre CC25 et CC26 deviennent mal classifiés, contrairement aux segments alignés sur eux, mais extérieurs à IS2.
A l'étape de test 2033 de la figure 4, certains points de l'ensemble S restent mal classifiés. On répète donc les étapes 2031 à 2033 de la figure 4, en insérant un nouveau point de Steiner SP3, comme illustré sur la figure 7.5.
On refait alors le calcul de classification, et de l'erreur ε, pour tous les points de l'ensemble S, et pour les points SP1, SP2 et SP3 ajoutés (étape 2032 de la figure 4). Il en découle une version "SP3" de la fonction f. Les points où cette version "SP3" de la fonction f est nulle définissent une nouvelle isosurface IS3, qui englobe les points SP1, SP2 et SP3.
Comme précédemment, on observe que les points qui sont à l'intérieur de IS3 n'ont pas la même classification que les points situés sur la même ligne qu'eux, mais à l'extérieur de IS3. A l'étape de test 2033 de la figure 4, certains points de l'ensemble S restent mal classifiés.
On va répéter plusieurs fois les étapes 2031 à 2033 de la figure 4, en insérant à chaque fois un nouveau point de Steiner. Cela donne la figure 7.6, où les points de Steiner sont de gros ronds noirs, si leur valeur-étiquette est négative, ou bien de gros cercles intérieurement blancs, si leur valeur-étiquette est positive. L'isosurface obtenue se rapproche de la forme générale du volume de tolérance, mais il reste des points mal classifiés.
On va encore répéter plusieurs fois les étapes 2031 à 2033 de la figure 4, en insérant à chaque fois un nouveau point de Steiner. Cela aboutit à la figure 7.7, où l'isosurface est entièrement contenue dans le volume de tolérance, et il n'y a plus de croix (de points mal classifiés).
A l'étape de test 2033 de la figure 4, on a maintenant atteint la fin du raffinement.
On passe donc à la phase 207 de simplification (ou décimation), des figures 2 et 4.
On a ainsi décrit l'étape 203 des figures 2 et 4, qui est dite "raffinement". L'un des buts de ce raffinement est d'arriver à un maillage sans intersection de surface, qui corresponde à la topologie du volume de tolérance. Comme l'indique le mot "raffinement", on fait évoluer le maillage "de-grossier-à-fin", à l'aide des points successivement insérés. Le maillage lui-même peut se faire en utilisant une triangulation de Delaunay, dont les structures de données n'acceptent pas d'intersection de surfaces. On peut utiliser d'autres techniques pour construire des triangulations canoniques qui ne s'intersectent pas. Le Demandeur préfère actuellement une triangulation utilisant la propriété de Delaunay, avec la preuve de terminaison et la garantie de topologie qu'elle permet.
Comme indiqué, la sélection des points de Steiner insérés peut se faire en fonction de la grandeur d'erreur ε. Ceci peut être réalisé sur la base du mécanisme de la figure 6, que l'on décrira maintenant, en version 3D. A l'étape 601, on maintient, pour chaque tétraèdre de la triangulation T, une liste de ceux des points échantillons s de l'ensemble S qui sont contenus dans ce tétraèdre. Chaque point est accompagné de son étiquette, et de son erreur ε. Les points de l'ensemble Sp qui sont déjà inclus dans la triangulation ne sont pas dans cette liste. A l'étape 603, on maintient une queue dynamique de priorité, pour chaque tétraèdre de la triangulation T, contenant les points d'erreur maximale dans les tétraèdres, triés par erreur décroissante.
A l'étape 605, qui correspond à l'étape 2031 de la figure 4, on ajoute dans la triangulation T le point d'erreur maximale en tête de queue, qui peut être alors supprimé de la queue.
A l'étape 607, qui correspond à l'étape 2032 de la figure 4, les calculs d'erreur sont mis à jour. Un test 609, qui correspond à l'étape 2033 de la figure 4, examine si la topologie est correcte, i.e. si l'ensemble S est complètement classifié. Si ce n'est pas le cas, on retourne en 601. Sinon, on peut passer à la phase suivante de simplification du maillage.
En fin de raffinement, la représentation maillée des figures 7.6 et 7.7 est correcte, en ce sens notamment qu'elle ne comprend pas d'intersections, et qu'elle est isotopique. Par contre, elle est trop dense, et contient un nombre excessif de mailles (ou de sommets). On va donc la simplifier, comme on le verra plus loin. On considérera d'abord la figure 7.8.
Au terme du maillage par triangulation qui constitue le raffinement, on a un ensemble de tétraèdres. On appelle la "tolérance simplicielle", notée Γ, l'union des tétraèdres qui constituent une approximation maillée (triangulée) du volume de tolérance Ω. Ces tétraèdres ont des sommets avec des étiquettes différentes. Le bord de cette "tolérance simplicielle" est noté dT (sur la Figure 7.8). En 3D, ce bord est composé des triangles qui sont les faces libres des tétraèdres du maillage. C'est une représentation triangulée de la frontière du domaine de tolérance. Le trait mixte sur la figure 7.8 illustre celles des arêtes de cette représentation triangulée qui sont dans le plan de la figure.
A partir de là, la simplification de la représentation maillée des figures 7.7 ou 7.8 peut s'effectuer essentiellement en utilisant un processus dit "fusion d'arêtes" (en anglais "edge collapse").
La nature de ce processus sera maintenant décrite en référence aux figures 16, qui sont en 2D.
La figure 16.0 indique les extrémités A et B d'une arête que l'on peut fusionner (on en verra plus loin les conditions).
L'opérateur général de fusion supprime l'arête qui joint les sommets, l'un au moins de ces deux sommets, et les faces ou tétraèdres adjacents à l'arête supprimée (Figure 16.2). La position du sommet P résultant de la fusion (sommet cible) est un degré de liberté (continu) de cet opérateur, sous condition de préserver la topologie et de bien classifier tous les points.
Dans le cas où ces deux contraintes (topologie et classification) peuvent être satisfaites, il existe une ou plusieurs régions de l'espace (région de validité) où le sommet cible P peut être placé. On peut le placer arbitrairement dans cette région, mais il est préférable de choisir un point optimum.
Pour cela, on peut utiliser un calcul d'erreur en un point. L'erreur est par exemple la somme des carrés des distances de ce point aux plans support des facettes de l'isosurface Z, ces facettes étant sélectionnées dans un voisinage local à l'arête considérée. Ce voisinage local peut comprendre les facettes de l'isosurface qui sont localisées à une distance 2 de l'arête dans le graphe de la triangulation (ce que l'on appelle « 2-ring »). On recherche le point optimum qui minimise cette erreur.
Ce calcul d'erreur sert de critère d'optimisation. En effet, comme point P préféré, on peut alors prendre le point situé dans la région de validité, et qui se trouve le plus près possible du point optimum qui minimise ladite erreur.
Il est à noter que ce mode de calcul d'erreur et de détermination du point P préféré est particulièrement pertinent pour des surfaces planaires par partie ; on peut cependant imaginer d'autres solutions en fonction de la nature des surfaces en entrée. Par exemple pour les surfaces courbes par parties, on peut imaginer choisir non plus des plans mais des surfaces paramétriques de type quadriques ou cubiques, et prendre comme erreur la somme des carrés des distances à ces surfaces.
En pratique, pour augmenter la rapidité du traitement, il est intéressant d'utiliser aussi, en variante, un opérateur purement combinatoire que l'on appelle « opérateur de fusion de demi-arête » : dans cette variante moins générale, l'opérateur est contraint à fusionner un sommet de l'arête sur l'autre. Sur la figure 16.1, on fusionne ainsi le sommet A sur le som met B. Et le critère d'optimisation est défini par la dista nce entre le point cible (ici le point B) et le point Q. optimum calculé comme ci-dessus.
Cet opérateur de fusion de demi-arête est moins puissant que l'opérateur de fusion d'arête qui admet de placer le sommet résultant de la fusion à une position généra le P dans l'espace, mais il est beaucoup plus rapide à simuler, puisque l'on connaît directement le point cible B, sans avoir à rechercher le meilleur point P.
L'opérateur de fusion de demi-arête est dit combinatoire dans le sens où il existe un nombre fini de degrés de liberté : 2 E fusions possibles, où E représente le nombre d'arêtes de la triangulation. Ensuite lorsqu'aucune fusion de demi-arête n'est possible, on a recours à l'opérateur plus général de fusion d'arêtes.
I l convient de bien comprendre la différence entre les deux phases : raffinement et simplification.
Pendant le raffinement on insère des points de l'échantillon dans une triangulation canonique (dont la connectivité est déterminée par les positions des points). Donc, dans cette phase de raffinement, les degrés de liberté ne sont qu'en termes de choix de points.
Pendant la simplification, on va voir que les opérateurs de fusion agissent par arêtes ou demi-arêtes, donc une queue de priorité trie les opérateurs qui sont valides (qui préservent la topologie et classification des points), suivant un score qui dépend d'un critère d'optimisation.
Le but final est de simplifier le plus possible, et on observe que certaines positions de points après fusion sont propices à une simplification plus importante, intuitivement en préparant mieux les simplifications futures car davantage d'opérateurs de fusion seront valides par la suite.
On précisera maintenant les contraintes (topologie et classification) qui vont permettre de déterminer si un opérateur de fusion en cours de simulation est applicable (« valide ») ou non.
Pour la contrainte de préservation de la topologie, on peut utiliser trois notions : Une « link condition », décrite dans [Ref21], pour la propriété D-manifold. En 2D cette condition assure que tout voisinage d'un point est homéomorphe (topologiquement équivalent) à un disque ou à un demi-disque. Sur le plan topologique cette condition impose que chaque arête est adjacente à exactement une ou deux faces triangulaires, et que chaque sommet est adjacent à une seule composante connexe. En 3D cette condition assure que tout voisinage d'un point est homéomorphe (topologiquement équivalent) à une boule ou une demi-boule.
La détermination d'un noyau de polyèdres pour vérifier que le plongement est valide [Ref27]. En 3D le noyau d'un polyèdre est le lieu des points qui voient tout le bord du polyèdre. Dans le cas général le noyau est soit vide, soit un polyèdre convexe. Le polyèdre considéré pour le calcul du noyau est le polyèdre formé par l'union des tétraèdres adjacents aux deux sommets de l'arête. Lorsque le noyau est non vide on peut fusionner l'arête en plaçant le sommet cible dans le noyau : la triangulation reste valide, c'est-à-dire sans chevauchement ni retournement de tétraèdres. Lorsque le noyau est vide on ne peut pas fusionner l'arête sans créer une triangulation invalide. Dans notre contexte on utilise la construction du noyau pour délimiter une zone de recherche de points qui classifient bien (c'est le point ci-après).
La préservation de la classification des points de l'échantillon, qui se fait comme précédemment, et que l'on reverra ci-après.
Un opérateur de fusion en cours de simulation sera donc considéré comme valide si :
La « link condition » est vérifiée,
La condition de plongement valide est vérifiée, la classification des points de l'échantillon est préservée. Le processus de simplification peut être conforme à la figure 17.
On considère une à une toutes les arêtes existant dans différentes parties de la triangulation, en commençant par le bord de la tolérance simplicielle, comme on le verra.
Pour chaque arête, l'étape 1701 simule d'abord la fusion de cette arête, pour déterminer si cette fusion est possible (« valide »). Comme déjà indiqué, on essaiera d'abord un opérateur de fusion de demi-arête, puis un opérateur de fusion d'arête générale. La simulation se fait sur la base de l'état courant de la triangulation. Si l'opérateur de fusion en cours de simulation est valide, l'étape 1703 en stocke la définition dans une queue dynamique de priorité. L'ordre de priorité est défini par le critère d'optimisation précité.
A l'étape 1705, on applique le premier opérateur de fusion, dans l'ordre de la queue de priorité.
Après cela, l'étape 1707 met à jour la queue de priorité : suppression des opérateurs qui n'ont plus de raison d'être, car ils portent sur une arête supprimée par l'opérateur de fusion qui vient d'être exécuté.
Re-simulation des opérateurs modifiés, que l'on remet dans la queue, avec leur critère d'optimisation recalculé. Un opérateur est « modifié » lorsque l'opérateur de fusion qui vient d'être exécuté a modifié les parties de la triangulation qui sont adjacentes à l'un au moins des deux sommets de l'arête sur laquelle il porte (ou aux deux sommets).
Les sous-étapes 2072 à 2076 de l'étape 207 de la figure 4 montrent que l'on opère en trois temps. A chaque temps, on considérera d'abord des fusions de demi-arête, puis des fusions d'arête générales.
Ici, une triangulation réciproque (décrite en détail plus loin) s'effectue dans l'étape 2074, au sein de la phase de simplification. Il serait concevable d'effectuer cette triangulation réciproque juste après avoir fait le raffinement. Autrement dit, on peut imaginer simplifier toutes les arêtes possibles après avoir fait tout le raffinement, y compris la triangulation réciproque. Le procédé proposé est considéré comme plus parcimonieux, car il permet une plus faible complexité de la triangulation.
Ainsi, le Demandeur estime actuellement qu'il est préférable de simplifier la triangulation du volume de tolérance (la tolérance simplicielle) avant de lancer la triangulation réciproque, puis le reste de la simplification. L'idée est de réduire la taille de la triangulation avant de la simplifier car le nombre d'opérateurs à utiliser est fonction de cette taille.
A noter aussi le point suivant : dans le raffinement, la triangulation 3D proposée est celle de Delaunay ; elle est commode, car canonique pour un ensemble de points, et on sait prouver la terminaison du raffinement. Mais c'est « verbeux » : car c'est à points fixés une triangulation la plus isotrope possible- autant dire peu parcimonieuse (en points) aux endroits ou la géométrie est anisotrope. L'idée est donc de réduire la taille de la triangulation avant de la simplifier car le nombre d'opérateurs à utiliser est fonction de cette taille. La simplification sera maintenant illustrée, en référence aux figures 8.0 à 8.11.
La figure 8.0 reprend le maillage, en son état de la figure 7.7, dont la figure 7.8 a montré qu'il s'agissait de la tolérance simplicielle Γ. On sait que l'isosurface Zset est contenue dans ce volume de "tolérance simplicielle" noté Γ. La simplification porte d'abord sur le bord dT de la "tolérance simplicielle" (étape 2072 de la figure 4).
Sur la figure 8.0, deux des points sont reliés par une arête SFl, illustrée en gras, pour indiquer qu'ils peuvent être fusionnés.
Comme déjà indiqué, la fusion entre deux sommets adjacents fait disparaître l'arête qui les joint, l'un de ces deux sommets, et les faces ou tétraèdres adjacents à l'arête supprimée.
Lorsque l'on fusionne deux sommets en 3D, on va aussi fusionner (effondrer l'une sur l'autre) deux arêtes situées entre ces deux points et un troisième (qui n'est pas dans le plan de la figure). Par conséquent, il faut considérer l'ensemble des primitives (triangles en 2D ou tétraèdres en 3D) qui sont adjacentes aux sommets de l'arête supprimée. Les points de l'échantillon qui sont situés dans ces primitives sont appelés ici "points concernés par la fusion".
Il faut alors que, au voisinage des arêtes à effondrer, l'erreur ε en tous les points concernés par la fusion vérifie la condition précitée : ε <= (1- a) autrement dit que tous les points concernés par la fusion soient bien classifiés (symbolisés par des carrés) après la fusion. C'est ce qu'on appelle préserver la condition de classification des points de l'ensemble S. Comme indiqué, on détermine à l'avance quels sont les opérateurs de fusion qui préservent la classification et la topologie en les « simulant », sans les appliquer. Seuls les opérateurs de fusion retenus comme convenables (« valides ») après simulation sont rangés dans la queue de priorité dynamique de l'étape 1703.
Dans le but d'accélérer les traitements, on effectue d'abord les fusions de demi-arête (half-edge collapse), dont les opérateurs sont beaucoup plus rapides à simuler. Ensuite lorsqu'aucune fusion demi-arête n'est possible on considère les opérateurs plus généraux de fusion d'arêtes. On peut dire aussi que les mailles de Delaunay concernées doivent être homogènes en ce qui concerne la bonne classification des points. A noter qu'au niveau de la simplification, il n'est pas vérifié que le maillage continue à satisfaire les conditions de Delaunay. Le résultat après cette première fusion de de demi-arêtes et/ou d'arêtes est illustré sur la figure 8.1.
On a refait le calcul de classification, et de l'erreur ε, pour ceux des points de l'ensemble S qui sont concernés par la fusion. On a également recalculé l'isosurface.
Sur la figure 8.2, deux des points sont reliés par une arête SF2, illustrée en gras, pour indiquer qu'ils peuvent être fusionnés eux aussi.
Le résultat après cette autre fusion est illustré sur la figure 8.3.
Ceci est répété avec tous les points qui peuvent être fusionnés. Ouand il n'y a plus d'arêtes à fusionner (de points qui peuvent être fusionnés) au niveau du bord de la tolérance simplicielle oT, on aboutit au résultat de la figure 8.4. En résumé, jusqu'à présent, la simplification a comporté les étapes suivantes : hl. Délimiter un volume dit "tolérance simplicielle", noté Γ. Il est constitué d'une union de mailles de la triangulation de Delaunay 3D, choisies pour constituer une approximation maillée du volume de tolérance. C'est illustré en 2D sur la figure 7.8, où le trait mixte indique le bord oT de cette tolérance simplicielle. - h2. Effectuer des fusions d'arêtes dans oT, en vérifiant la préservation de la condition de classification de S (Figures 8.1 à 8.4).
On continue comme suit : h3. Effectuer une triangulation mutuelle entre l'isosurface (Zset) et le volume dit "tolérance simplicielle", tel que modifié à l'opération h2 (étape 2074 de la figure 4). Cette triangulation mutuelle (parfois appelée triangulation réciproque) ajoute des sommets avec la valeur F(v)=0 (où v désigne un sommet), des arêtes et des mailles dans la triangulation 3D, sur l'isosurface.
Par cette opération de triangulation mutuelle de l'étape h3, on va en quelque sorte intégrer l'isosurface Z à la triangulation générale du volume de "tolérance simplicielle", noté Γ.
En 2D la triangulation mutuelle entre une triangulation 2D T et une ligne polygonale L (dont les sommets coïncident avec les arêtes de la triangulation) consiste à insérer tous les sommets de L dans T, toutes les arêtes de L dans T, puis conformer la triangulation en ajoutant des arêtes à T pour n'obtenir que des triangles.
Le fonctionnement de la triangulation mutuelle est illustré par les figures 15, sur un objet de même allure que celui de la figure 3 : Au début (figure 15.1), on a la triangulation existante (au point où elle en est rendue) en traits hachurés, et l'isosurface Zset en traits gras.
La figure 15.2 illustre la triangulation réciproque de la courbe Zset et de la triangulation existante : apparaissent de nouveaux sommets (petits disques noirs) sur la ligne Zset, de nouvelles arêtes, et de nouveaux triangles. La courbe Zset est maintenant représentée sous la forme d'une chaîne d'arêtes de la triangulation.
Enfin, sur la figure 15.3, les triangles sont classifiés en fonction du signe de la fonction interpolée (blanc = positive, gris = négative).
Pour l'exemple des figures 8, le résultat est illustré sur la figure 8.5. On y voit des arêtes ajoutées à la triangulation en traits hachurés, et des nouveaux sommets (petits disques noirs). h4. Effectuer des fusions d'arêtes sur cette isosurface Z, qui prend sa configuration définitive, après ces simplifications. (Figures 8.6 à 8.8). h5. Continuer à effectuer des fusions d'arêtes, sur toutes les arêtes possibles dans le volume de "tolérance simplicielle", en vérifiant notamment la préservation de la condition de classification de l'ensemble S de points échantillons (étape 2076 de la figure 4).
Le processus continue, tant qu'il reste des arêtes à fusionner, du côté intérieur de Z. Il s'arrête lorsqu'aucune arête ne peut être fusionnée sans violer les conditions de classifications des points et de topologie. Dans ce qui précède, la simplification utilise des opérateurs de fusion d'arête comme opérateurs de modification de triangulation. Il est concevable d'utiliser d'autres opérateurs de modification de triangulation, au moins en partie, par exemple : les opérateurs continus (déplacement de sommets), les opérateurs combinatoires, qui, outre la fusion « half-edge », déjà citée, comprennent des opérateurs comme ceux dits « 4-4 flips », ou encore « edge- removal », comme visibles sur la figure 1 depuis http://graphics.berkelev.edu/papers/Klingner-ATM-2007-10/Klingner-ATM-2007- 10. pdf et les opérateurs mixtes dont la fusion d'arête générale est un exemple.
Sont également utilisables des combinaisons d'opérateurs (par exemple fusion d'arête générale, suivie d'un flip 4-4, puis d'un edge-removal).
Le mode de réalisation décrit évite des besoins excessifs en termes de complexité mémoire et calcul. Son résultat final est illustré sur la figure 8.10. La Figure 8.11 est semblable à la figure 8.10, mais débarrassée des symboles illustrant la classification des points. Dans le contour final de la figure 8.11, l'isosurface Zset s'inscrit exactement à l'intérieur du volume de tolérance.
En finale, l'isosurface Zset forme une approximation surfacique maillée du volume de tolérance. On peut considérer que Zset et oT se sont rejoints, lors de la triangulation mutuelle. Le mécanisme qui vient d'être décrit (raffinement + simplification) fonctionne bien dans le cas général. Il peut devoir être aménagé dans des situations particulières.
Certains facteurs pourraient compromettre la phase de raffinement de la topologie.
Tout d'abord, il se peut que l'isosurface Zset traverse 5Ω entre deux échantillons, par exemple en raison de la présence d'un tétraèdre plat ("sliver"). Cela est au moins en partie évité en utilisant le paramètre a précité, dans la classification. On a vu qu'un point s est considéré comme bien classifié si ε (s) <= (1 - a)
On considère alors les tétraèdres hétérogènes, qui sont ceux dont les sommets ont des valeurs étiquettes F(s) différentes. On considère aussi une grandeur ou "hauteur" h, qui est la distance entre les triangles de dimension maximale, formés par les sommets du tétraèdre qui ont la même valeur étiquette.
Sur la figure 9A, les trois sommets B, C et D ont la même étiquette, et h est la distance minimale entre le sommet A et le plan support de la face BCD.
Sur la figure 9B, les sommets A et B ont la même étiquette. De même, les sommets C et D ont la même étiquette, h est la distance minimale entre la droite support de AB et la droite support de CD. Et l'on contraint ces tétraèdres hétérogènes de sorte que h >= 2/ (σα).
C'est une manière de faire en sorte que la fonction d'interpolation f vérifie le critère de Lipschitz, suivant lequel la valeur absolue du gradient de cette fonction f est bornée.
Un choix convenable de a fait ainsi que les problèmes de tétraèdre plat ("sliver") sont naturellement résolus.
Comme autres facteurs perturbateurs du raffinement, on peut aussi rencontrer des problèmes d'orientation (direction des perpendiculaires ou "normales") dans des zones complexes.
Ils peuvent être résolus en utilisant ce qui précède. De préférence, et optionnellement, on vérifiera aussi pour chaque tétraèdre qu'une extension de la fonction linéaire par morceau en dehors du tétraèdre, classifie bien aussi des points de l'échantillon pas seulement dans le tétraèdre, mais aussi en dehors. On dira alors que la fonction d'interpolation f classifie la "géométrie locale".
La valeur à choisir pour a dépend de la nature des données d'entrée. La valeur a = 0.2 convient bien, au moins comme valeur de départ.
Il est maintenant fait référence aux figures 10, qui illustrent en partie haute des représentations brutes d'un éléphant (de gauche à droite : un nuage de points sans bruit, une soupe de triangles sans bruit, un nuage de points avec bruit, et une soupe de triangles avec bruit), et en partie basse la triangulation obtenue selon l'invention. Pour chaque exemple les données brutes sont converties en un volume de tolérance en calculant un sous-niveau de la fonction distance aux données (points ou triangles).
A gauche (figure 10 A), l'image de départ est un nuage de points qui n'ont pas d'effet notable sur la surface finale triangulée. Plus à droite (figure 10 B), les données de départ formes une soupe de triangles non organisés (avec des intersections, des trous) qui n'ont pas non plus d'effet notable sur la qualité de la surface finale triangulée. Encore plus à droite (figure 10 C), les données de départ sont un nuage de points avec un fort niveau de bruit (incertitude sur leurs coordonnées) qui n'a pas non plus d'effet notable sur la qualité de la surface finale triangulée. Enfin, tout à fait à droite (figure 10 D), les données de départ forment une soupe de triangles très irrégulière et bruitée qui n'a pas non plus d'effet notable sur la qualité de la surface finale triangulée. On note simplement que la triangulation est moins détaillée sur les figures 10 C et 10 D, là où les données de départ ont un fort niveau de bruit, et pour lesquelles un plus grand volume de tolérance est choisi.
Ces exemples illustrent bien la robustesse de la technique selon l'invention. L'invention a été mise au point en utilisant la base informatique suivante :
Machine INTEL Intel 2.4GHz à 16 cœurs avec 128 Gigaoctets de mémoire vive,
Pour les structures de données de triangulation, bibliothèque CGAL, disponible auprès de la société Geometry Factory, 20, Avenue Yves Emmanuel Baudoin, 06130 Grasse, France,
Bibliothèque INTEL "Threading Building Blocks library" pour la parallélisation. Il est observé que les traitements "atomiques" sur les tétraèdres et les points échantillons sont indépendants, et peuvent donc facilement être conduits en parallèle.
Les figures 11 reprennent la pièce des figures 1. La figure 11.0 est le volume de tolérance. Les figures 11.1 à 11.4 illustrent le maillage final obtenu, avec des conditions de traitement différentes, en ce qui concerne le facteur δ, qui est la distance de séparation entre les frontières du volume de tolérance, exprimée en pourcentage. Le tableau suivant indique les valeurs de δ, le temps de traitement avec l'équipement indiqué plus haut, la figure avec le maillage final, et le nombre de sommets de celui-ci.
Figure imgf000028_0001
Il apparaît que le temps de calcul diminue quand la tolérance augmente. De façon générale, le processus est lent, ce qui est une contrepartie de sa robustesse.
Les performances obtenues par l'invention sont illustrées sur la figure 12.
On observera qu'une comparaison stricte à l'art antérieur n'est pas possible puisque les contraintes du problème posé ici sont différentes.
L'invention peut cependant se comparer aux propositions suivantes : - Lindstrom-Turk, qui est le procédé décrit dans [Refl9], qui peut être mis en œuvre à l'aide de la bibliothèque CGAL version 4.6, commercialisée par la société Geometry Factory déjà citée,
MMGS, qui est le procédé décrit dans [Ref7], mis en œuvre par un logiciel MMGS version 2.0a, transmis directement par Pascal Frey, second auteur de [Ref7], M MGS-A, qui est une variante du même logiciel M MGS avec l'option anisotropie de mailles,
Open Flipper, qui est le procédé décrit dans [Ref20], avec un logiciel disponible en téléchargement sur le site www.openfjipper.org/, version 2.1. - Simplification Envelopes, qui est [Ref9], avec un logiciel version 1.2, transmis par email par le premier auteur.
La distance de Haussdorf mesure la dissembla nce entre deux formes géométriques. La distance unidirectionnelle Haussdorf(A,B) est définie par le maximum de la distance euclidienne entre la forme A et la forme B, pour tout point de A, et vice-versa pour Haussdorf(B,A). La variante symétrique est le maximum de Haussdorf(A,B) et Haussdorf(B,A).
L'échelle des ordonnées de la figure 12 correspond à la distance de Hausdorff H |o->i, qui est la distance de Hausdorff unidirectionnelle entre la sortie et l'entrée. L'échelle des abscisses correspond au nombre de sommets en sortie. Cette figure 12 montre que l'invention est meilleure que les autres techniques par des distances de Haussdorf plus faibles, avec des nombres de sommets en finale moins élevés, en plus de la robustesse déjà montrée plus haut.
Les figures 12 et 13 ont pour entrée un maillage de surface brut des images des figures 14 (environ 14 000 sommets). La figure 13 porte sur les tem ps de traitement. Elle illustre l'évolution de la complexité du maillage en fonction du traitement et du temps pour différentes valeurs de la tolérance d'entrée δ, indiquées dans le rectangle de légende. En abscisse, on a les différentes étapes du traitement, à savoir :
Raffinement, - Simplification par fusions de demi-arêtes de la frontière dT de la tolérance simplicielle,
Simplification par fusions d'arêtes de la frontière dT de la tolérance simplicielle, Triangulation mutuelle et fusions de demi-arêtes du zeroSet Z, Fusions d'arêtes du zeroSet Z,
Simplification de tous les bords. L'invention permet également de traiter des surfaces ayant des trous, par exemple lorsqu'elles sont obtenues par balayage laser qui tangente des zones concaves. Les trous peuvent être supprimés, dès lors que le volume de tolérance les englobe.
L'invention peut également être définie comme un dispositif. La figure 18 reprend les éléments de la figure 4, dont les étapes sont réalisées par des opérateurs. Dans les références numériques, le chiffre le plus significatif est 2 pour les étapes, contre 3 pour les opérateurs.
Ainsi l'étape d'initialisation 201 de la figure 4 est réalisée par l'opérateur d'initialisation 301 de la figure 18. Il part du volume de tolérance, mémorisé en 310. A l'intérieur de cette initialisation, l'étape 2011 de la figure 4 est réalisée par l'opérateur 3011 d'échantillonnage de contour de la figure 18.
La figure 19 illustre un opérateur de classification de points, référencé 1900.
Pour un point à classifier, on part des données suivantes (au moins en partie, certaines données étant déductibles des autres): - les coordonnées de ce point, l'étiquette ou label de ce point, la maille qui entoure ce point, avec les coordonnées et étiquettes des sommets de cette maille.
Un opérateur 1901 calcule la fonction f d'interpolation, comme décrit plus haut en référence à la figure 5. Il fournit une étiquette calculée pour ce point. L'opérateur 1902 en déduit si le point est bien classifié ou non, comme déjà décrit.
On observera que cette figure 19 ne reflète pas les cas d'exception, comme celui où tous les sommets de la maille ont la même valeur étiquette.
Cet opérateur de classification de points, 1900, est appelé à de nombreuses reprises, notamment par les opérateurs 3013 et 3032 de la figure 18, ainsi que par l'opérateur de simulation 1701 de la figure 17, dans la mesure où celui-ci doit vérifier que la classification des points est préservée. Annexe 1 - Définitions
Isomorphisme
En mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure et dont la réciproque préserve aussi la structure (Pour beaucoup de structures en algèbre, cette seconde condition est automatiquement remplie ; mais ce n'est pas le cas en topologie par exemple où une bijection peut être continue, sans que sa réciproque ne le soit).
Hom(é)omorphisme (en anglais : "homomorphism")
En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est elle aussi continue. Au vu de ce qui précède, c'est un isomorphisme entre deux espaces topologiques.
Lorsque l'on dit que deux espaces topologiques sont homéomorphes, cela signifie qu'ils sont « le même », vu différemment. Cela ne tombe pas toujours sous le sens. On montre par exemple qu'une tasse (avec anse) est homéomorphe à un tore, car il existe une transformation qui fait passer de l'une à l'autre : combler le corps de la tasse de matière, puis le déformer progressivement, avec son anse, pour que l'ensemble forme un tore. La transformation réciproque redonne la tasse.
Isotopie
La notion d'isotopie est notamment importante en théorie des nœuds : deux nœuds sont considérés identiques s'ils sont isotopes, c'est-à-dire si on peut déformer l'un pour obtenir l'autre sans que la « corde » ne se déchire ou ne se pénètre.
Cette notion d'isotopie ne doit pas être confondue avec l'isotopie en chimie, ni avec l'isotropie en physique des matériaux.
Volume de tolérance (en anglais : "tolérance volume") Cela s'applique à un composant à trois dimensions. Le volume de tolérance pour un composant est le volume compris entre sa plus grande et sa plus petite surface extérieure admissible.
En pratique, il peut y avoir plusieurs composantes connexes du volume de tolérance. Il peut aussi y avoir plusieurs composantes connexes de ses surfaces de bord, même si le volume de tolérance n'a lui-même qu'une seule composante connexe. Annexe 2 - Références
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Claims

Revendications
Procédé de traitement de données géométriques, comprenant les étapes suivantes :
A. recevoir un volume de tolérance Ω, relatif à des données géométriques brutes de départ,
B. initier (201) une triangulation canonique dans le volume de tolérance, à partir d'un jeu S de points échantillons pris aux limites de ce volume de tolérance, et de points situés à l'extérieur de celui-ci,
C. raffiner (203) cette triangulation canonique, jusqu'à classifier les points de l'échantillon, ce qui fournit un maillage dense du volume de tolérance, et
D. simplifier (207) ce maillage dense par des opérations de modification de triangulation, en préservant la topologie et la classification des points de l'échantillon.
Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que l'étape B comprend la sous-étape (2011) d'échantillonner les limites du volume de tolérance selon une densité d'échantillonnage choisie σ, ce qui fournit l'ensemble S de points échantillons.
Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que l'étape B comprend le marquage (2013) de chaque point échantillon de l'ensemble S par une valeur- étiquette qui représente l'index de la composante connexe de bord de ce point, dans le volume de tolérance, et en ce que l'étape C comprend la génération itérative de la triangulation canonique, en insérant un point à la fois (2031), sur au moins une partie de l'ensemble S de points, jusqu'à ce que tous les points concernés (2033) vérifient une condition de classification (2032), appuyée sur la valeur d'une fonction F elle-même dépendant de leur valeur d'index, et sur son interpolation par une fonction d'interpolation f appliquée à chaque maille de la triangulation 3D, et la construction d'une isosurface linéaire par morceaux Zset, à l'aide des points où la fonction d'interpolation f possède une même valeur intermédiaire choisie, en particulier nulle, cette isosurface Zset étant une surface fermée, qui forme une approximation surfacique du volume de tolérance.
4. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que la triangulation canonique est une triangulation de Delaunay.
5. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que les données géométriques brutes de départ sont des données 3D.
6. Procédé de traitement de données géométriques selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'étape D. comprend les opérations suivantes :
Dl. déterminer (1701) si des opérations de modification de triangulation sont valides, c'est-à-dire préservent la topologie du maillage et préservent la condition de classification de l'ensemble S de points échantillons, et
D2. effectuer (1703-1709) les opérations de modification de triangulation valides dans un ordre déterminé.
7. Procédé selon la revendication 6, caractérisé en ce que les opérations de modification de triangulation comprennent des fusions d'arêtes et/ou des fusions de demi-arêtes.
8. Procédé selon l'une des revendications 6 et 7, caractérisé en ce que l'ordre est déterminé en fonction d'un critère d'optimisation.
9. Procédé selon l'une des revendications 6 et 7, caractérisé en ce que l'étape D. porte sur un volume dit "tolérance simplicielle" qui approche le volume de tolérance par une union de mailles de la triangulation canonique, l'isosurface Zset étant contenue dans ce volume dit "tolérance simplicielle",
Et en ce que les étapes Dl et D2 sont effectuées :
D'abord (2072) sur le bord du volume dit "tolérance simplicielle",
Ensuite sur le fruit (2074) d'une triangulation mutuelle entre l'isosurface (Zset) et le volume dit "tolérance simplicielle", cette triangulation mutuelle ajoutant des sommets, des arêtes et des mailles dans la triangulation, sur l'isosurface,
Enfin (2076), avec d'autres arêtes contenues dans le volume dit "tolérance simplicielle", jusqu'à couvrir toutes les arêtes possibles.
10. Dispositif de traitement de données géométriques, comprenant :
Une mémoire de données géométriques, pour recevoir des données (310) représentant un volume de tolérance, Un organe d'initialisation (301), agencé pour réaliser une première triangulation canonique entre le bord du volume de tolérance et de points situés à l'extérieur de celui-ci,
Un organe de raffinement (303), agencé pour préciser ladite première triangulation jusqu'à fournir un maillage dense du volume de tolérance, qui préserve une condition de classification des points de la triangulation,
Un organe de simplification (307), agencé pour simplifier ledit maillage dense, en préservant la topologie et la classification de ses points, et
Un pilote (300) qui actionne successivement l'organe d'initialisation (301), l'organe de raffinement (303), et l'organe de simplification (307), pour des données graphiques en évolution à partir du même volume de tolérance.
11. Dispositif selon la revendication 10, caractérisé en ce qu'il comprend : un opérateur de classification de point (1900), qui reçoit la désignation d'un point à traiter, et détermine une fonction d'interpolation sur la base de la maille entourant ce point à traiter, et de valeurs-étiquettes relatives aux sommets de cette maille, pour fournir une étiquette interpolée, et comparer celle-ci à une étiquette courante du point à traiter, ce qui permet de déterminer une condition de classification du point à traiter.
12. Produit-programme d'ordinateur comprenant des portions de code de programme pour mettre en œuvre le procédé selon l'une des revendications 1 à 9, ou le dispositif selon l'une des revendications 10 et 11, lorsque le programme est exécuté sur un ordinateur.
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