WO2013132597A1 - シミュレーションプログラム、シミュレーション方法及びシミュレーション装置 - Google Patents

シミュレーションプログラム、シミュレーション方法及びシミュレーション装置 Download PDF

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Definitions

  • the present invention relates to a simulation program, a simulation method, and a simulation apparatus.
  • particle methods that do not use a grid for numerical calculations do not require special treatment for handling moving boundaries. Therefore, the particle method has been widely used in recent years.
  • FIG. 1 is a diagram for explaining problems of the particle method.
  • This is a particle method developed to easily handle deformed and moving boundaries, such as free surfaces, but the continuum is simply a group of particles composed of particles 11 due to the discretization method. Therefore, as shown in FIG. 1, the boundary surface of the continuum becomes unclear somewhere. For this reason, the particle method cannot deal with problems that require explicit handling of boundaries such as surface tension.
  • a CSF Continuous Surface Force
  • the application of the CSF model to the particle method was performed by X.Y. Hu and N.A. Adams, and the surface tension can be calculated by the particle method (for example, see Non-Patent Document 2).
  • a method for determining surface tension see, for example, Patent Document 1
  • a method for obtaining surface tension from deviation from the center of gravity of neighboring particles for example, non-patent. References 3, 4).
  • FIG. 2 is a diagram illustrating a continuous function obtained by superimposing an influence radius and a kernel function.
  • the color function ⁇ C i > used for calculating the surface tension is defined as follows.
  • the subscript i represents the value of the i-th particle 11
  • j represents the value of the j-th particle 11.
  • the gradient ( ⁇ C i ) of the color function is a standard method of the SPH method, and is calculated as follows.
  • the surface tension applied to the particle i is defined as follows.
  • the calculation method using the CSF model is a calculation method in which the surface tension obtained by the above (Equation 3) is used for time evolution.
  • FIG. 3 to FIG. 7 are diagrams showing the change over time of the results obtained by using the calculation method based on the conventional CSF model.
  • the calculation method based on the CSF model is a calculation method in which a mass of fluid falls by gravity while being affected by surface tension and collides with a plane.
  • the initial shape of the fluid 31 is a square of 0.05 [m] ⁇ 0.05 [m].
  • the kernel function was a cubic spline function.
  • the particle positions in the initial state are arranged in a uniform grid (33 per side and the total number is 1089), and the velocity is 0 for all particles.
  • the fluid 31 has a smooth circular distribution at time 0.04 [s] as shown in FIG. 4, and collides with the wall at time 0.14 [s] as shown in FIG. Deforms greatly.
  • an object of the present invention is to provide a simulation program, a simulation method, and a simulation apparatus capable of outputting a simulation result in which a behavior such as generation of an unnatural velocity distribution is suppressed. .
  • a simulation program, a simulation method, or a simulation apparatus for simulating a change in shape of a fluid over time a fluid model based on a particle method in which a fluid is represented by a set of particles is used for an interface with another phase.
  • the surface tension of the interface is calculated using an approximation function for approximately calculating the surface energy
  • the shape change of the fluid is calculated based on the calculated surface tension
  • the calculated shape change is output.
  • Embodiments to which the present invention is applied are a simulation program, a simulation method, and a simulation apparatus to be executed by a computer, in which a fluid to be simulated is regarded as a set of particles, and interactions between particles based on variation
  • the surface tension which is a force, is calculated using a predetermined approximate function, and the shape change of the fluid is simulated by using the calculated surface tension.
  • FIG. 8 is a diagram for explaining the surface tension coefficient.
  • the surface energy of a fluid can be defined as follows.
  • the above surface energy is discretized by the particle method and calculated, and the surface tension applied to the fluid particles can be obtained from the first variation.
  • the integration region on the right side of the above (Equation 4) is the entire boundary surface of the fluid, Takes a value of 1 when the fluid is in contact with the air and 0 when the fluid is not touched. 8, respectively, are the surface tension coefficient of the part in contact with air and the surface tension coefficient of the part in contact with the solid, as shown in FIG.
  • FIG. 9 is a diagram illustrating a configuration example of a simulation apparatus to which the present invention is applied.
  • the simulation apparatus 900 includes a processing unit 901, a storage unit 902, and an output unit 903. Then, the simulation apparatus 900 calculates the surface tension by performing a numerical calculation by a particle method that expresses a continuous body such as a fluid as a collection of particles using an approximate interval number described later. The calculation result is used to calculate a shape change of the continuum, and a simulation result 912 is output.
  • the storage unit 902 stores information on each calculation formula used when executing a simulation program to which the present invention is applied.
  • the processing unit 901 executes a simulation process to which the present invention is applied, which will be described later as the first and second embodiments.
  • the output unit 903 outputs the simulation result 912 executed by the processing unit 901.
  • FIG. 10 is a diagram for explaining a function that smoothly approximates the surface energy ⁇ ⁇ with a width ⁇ .
  • Equation 5 The approximation function defined as (Equation 5) is a sum of quantities having the same dimensions as the particle length of the fluid surface, and is regarded as approximating the surface integral of (Equation 4).
  • Equation 5 The gradient of the surface energy discretized by the particle method in (Equation 5) is calculated, and the net surface tension applied to each particle is derived as follows. The calculation of the surface tension using the approximate function has been described above.
  • FIG. 11 is a diagram illustrating an example of a two-dimensional fluid, in which a y-axis is set in a vertical direction from a plane serving as a wall surface, and an x-axis is set along the wall surface.
  • (Expression 7) represents the effect of increasing the density in the case of the velocity field where the fluid 112 is gathered, and the effect of decreasing the density in the case of the velocity field where the fluid 112 is separated.
  • the first term on the right side of (Equation 8) is a pressure gradient term, which represents the effect of the force generated by the fluid 112 from the high pressure portion to the low pressure portion.
  • the second term on the right side is a viscous stress term that represents the effect of applying a brake to the fluid flow.
  • the third term on the right side is the gravity term. Is the acceleration of gravity, Is a unit vector in the y direction.
  • the subscript indicates the particle number. That is, the position vector, velocity vector, density, and pressure of the i-th particle are It is. Is the jth mass. Is a constant introduced to calculate the viscosity term.
  • Equation 12 is obtained by discretizing the equation of motion of (Equation 8) by the particle method, the second term on the right side represents the pressure gradient term, and the third term represents the viscous stress term.
  • the fifth term on the right side of (Equation 12) is a force to prevent the interparticle distance from being too close, Is a constant, It becomes.
  • FIG. 12 is a diagram for explaining a state in which particles collide with a wall surface.
  • each slope is calculated as follows.
  • FIG. 13 is a flowchart showing a flow of simulation processing to which the present invention is applied.
  • step S1301 the position vector and velocity vector of each particle are acquired as the physical quantity data of the fluid to be simulated, and in step S1302, the current velocity is used using (Equation 9) described above. Update the particle position by time dt / 2.
  • Step S1303 when it is determined that the particle passes through the wall surface as a result of y ⁇ 0 (Step S1303: Yes), in Step S1304, the above-described (Expression 11) Is used to correct the position and velocity of the particles so that the particles do not pass through the wall surface, that is, y ⁇ 0.
  • step S1305 the force applied to the fluid particles is calculated by the physical model by calculating the second term to the fifth term on the right side of (Expression 12) described above.
  • step S1306 the surface tension related to each fluid particle is calculated by calculating the sixth term on the right side of the above (Equation 12).
  • step S1308 the position of the fluid particle is updated to the position after the elapse of time dt / 2 by using the above-described (Equation 13) and using the speed updated in step S1307.
  • Step S1310 the above-described (Expression 14) Is used to correct the position and velocity of the particles so that the particles do not pass through the wall surface, that is, y ⁇ 0.
  • step S1311 the velocity of the fluid particles is updated, and the above steps S1302 to S1311 are repeatedly executed.
  • FIG. 14 to FIG. 18 are diagrams showing changes over time in the result of using the simulation processing to which the present invention is applied with respect to the shape of the fluid. Note that the calculation conditions are the same as those in the calculation in the prior art of FIGS.
  • the initial shape of the fluid 141 is a square of 0.05 [m] ⁇ 0.05 [m]. Also, each initial condition is [N / m 2 ], [kg / m 3 ], [m], [m / s], [s], , Viscosity Is 0.001 [m 2 / s], gravitational acceleration [m / s 2 ], , [m].
  • the particles in the initial state are arranged in a uniform lattice pattern (33 per side and the total number is 1089), and the velocity is 0 for all particles and the density is 1000 [kg / m 3 ].
  • the fluid 141 has a uniform circular distribution at time 0.04 [s] as in FIG. And as shown in FIG. 16, it collides with a wall at time 0.14 [s], and deform
  • FIG. 19 is a diagram illustrating the effect of the approximation function in the second embodiment.
  • Forma 31 An approximate function that smooths 191 near the origin, The size of the local minimum is Is substantially the same as “0.1”.
  • the present invention is applicable to the calculation of fluid motion in which the surface tension is effective in the calculation of the particle method.
  • it is effective for simulation of molten metal pouring and simulation of resin pouring.
  • simulating a change in the shape of a fluid that collides with a solid such as a wall surface there is no need to make a setting for placing particles on the wall surface or the like as in the prior art.
  • the simulation apparatus in FIG. 9 can be realized using, for example, an information processing apparatus (computer) as shown in FIG.
  • the information processing apparatus in FIG. 20 includes a CPU (Central Processing Unit) 2001, a memory 2002, an input device 2003, an output device 2004, an external storage device 2005, a medium driving device 2006, and a network connection device 2007. These are connected to each other by a bus 2008.
  • a CPU Central Processing Unit
  • the memory 2002 is a storage device such as a ROM (Read Only Memory), a RAM (Random Access Memory), or a flash memory, and stores programs and data used for simulation processing.
  • the CPU 2001 performs the above-described simulation process by executing a program using the memory 2002.
  • the memory 2002 can also be used as the storage unit 902 in FIG.
  • the input device 2003 is, for example, a keyboard, a pointing device, etc., and is used for inputting instructions and information from an operator.
  • the output device 2004 is, for example, a display device, a printer, a speaker, and the like, and is used to output an inquiry to an operator and a processing result.
  • the output device 2004 can also be used as the output unit 903 in FIG.
  • the external storage device 2005 is, for example, a magnetic disk device, an optical disk device, a magneto-optical disk device, a tape device, or the like.
  • the external storage device 2005 includes a hard disk drive.
  • the information processing apparatus can store programs and data in the external storage device 2005 and load them into the memory 2002 for use.
  • the medium drive device 2006 drives the portable recording medium 2009 and accesses the recorded contents.
  • the portable recording medium 2009 is a memory device, a flexible disk, an optical disk, a magneto-optical disk, or the like.
  • the portable recording medium 2009 includes Compact Disk-Read Only Memory (CD-ROM), Digital Versatile Disk (DVD), Universal Serial Bus (USB) memory, and the like. The operator can store programs and data in the portable recording medium 2009 and load them into the memory 2002 for use.
  • the computer-readable recording medium for storing the program and data used for the simulation processing is a physical (non-temporary) such as the memory 2002, the external storage device 2005, and the portable recording medium 2009. )
  • a recording medium is included.
  • the network connection device 2007 is a communication interface that is connected to the communication network 2010 and performs data conversion accompanying communication.
  • the information processing apparatus can receive a program and data from an external apparatus via the network connection apparatus 2007, and can use them by loading them into the memory 2002.
  • the network connection apparatus 2007 can also be used as the output unit 903 in FIG.
  • the present invention is not limited to the embodiment described above, and can take various configurations or shapes without departing from the gist of the present invention.

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Abstract

　流体の経時的な形状変化をシミュレーションするシミュレーションプログラム、シミュレーション方法又はシミュレーション装置において、前記流体を粒子の集合で表現した流体モデルについて、前記流体の相以外の相である他相との界面の表面エネルギーを算出する関数を用いて、前記界面の表面張力を算出させ、算出された前記表面張力に基づいて、前記流体の形状変化を算出させることを特徴とするシミュレーションプログラム、シミュレーション方法及びシミュレーション装置を提供することができる。

Description

シミュレーションプログラム、シミュレーション方法及びシミュレーション装置
　本発明は、シミュレーションプログラム、シミュレーション方法及びシミュレーション装置に関する。
　近年の計算機の演算能力の向上につれて、計算機シミュレーションの手法も発展してきた。その結果として、様々な応用分野に計算機シミュレーションが用いられるようになってきた。
　流体や弾性体等の連続体の問題を解く数値計算手法としては、格子をベースにして微分方程式の近似解を求解する有限差分法、有限要素法、又は有限体積法等が多く用いられてきた。近年では数値計算をＣＡＥ（Computer Aided Engineering）などの応用分野で活用するため、これらの数値計算手法も発展し、流体と構造物が相互作用する問題が解かれるようになってきた。
　しかしながら、数値計算に格子を用いる手法では、自由表面などの界面の存在する問題や、流体・構造連成問題などの移動境界が発生する場合には、取り扱いが複雑なため、プログラム作成が困難である場合が多い。
　これに対して数値計算に格子を用いない粒子法（ＭＰＳ（Moving Particle Semi-implicit）法、ＳＰＨ（Smoothed Particle Hydrodynamics）法等）では、移動境界の取り扱いに特別な処置を必要としない。それゆえ、近年粒子法は広く用いられるようになっている。
　図１は、粒子法の問題点を説明するための図である。
　自由表面などの、変形し移動する境界を容易に扱いたいがために開発された粒子法であるが、離散化方法から、連続体が、粒子１１から構成されるただの粒子群となってしまっているため、図１に示すように、連続体の境界面がどこかはっきりしなくなる。そのため、粒子法では表面張力などの境界を陽に扱う必要がある問題に対しては、統一的手法は出来ていない。
　差分法や有限要素法では、ＣＳＦ（Continuum Surface Force）モデルと呼ばれる表面張力の計算方法がある（例えば、非特許文献１参照。）。ＣＳＦモデルの粒子法への応用がX.Y. Hu, N.A. Adamsにより行われ、粒子法による表面張力の計算が可能となった（例えば、非特許文献２参照。）。また、他にも粒子間の相互作用として、表面張力を決定する手法（例えば、特許文献１参照。）や、近傍粒子の重心位置からのずれから表面張力を求める手法がある（例えば、非特許文献３、４参照。）。
　ここで、粒子法に適用されているＣＳＦモデルによる計算方法の概略を説明する。
　図２は、影響半径、およびカーネル関数の重ねあわせによる連続関数を示す図である。
　まず、表面張力の算出に用いるcolor関数＜Ｃi＞を以下のように定義する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
　ここで、下付き添え字iはi番目の粒子１１の値を表わし、ｊはｊ番目の粒子１１の値を表わす。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000002
はそれぞれ粒子１１の位置ベクトル、粒子１１の質量および密度であり、各粒子１１に値が与えられている。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000003
はＳＰＨ法で用いられるカーネル関数２２の重ね合わせで、３次のスプライン関数２３などがよく用いられる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000004
はカーネル関数２２の値が非ゼロとなる球形領域の半径を表し、図２に示したように影響半径２１と呼ばれる。
　color関数の勾配（▽Ｃi）はＳＰＨ法の標準的な手法であり、以下のように計算される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
　上記（式２）を用いて粒子iにかかる表面張力を以下のように定義する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
　ここで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
 である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000008
は表面張力係数、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000009
は次元、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000010
は単位行列である。
　ＣＳＦモデルによる計算方法は、上記（式３）により得られた表面張力を用いて時間発展させる計算方法である。
　図３乃至図７は、従来のＣＳＦモデルによる計算方法を用いた結果の経時的変化を示す図である。
　図３乃至図７に示すように、ＣＳＦモデルによる計算方法は、流体の塊が表面張力の影響を受けながら重力により落下し、平面に衝突する計算方法である。図３乃至図７に示した挙動の計算は、非特許文献２に開示されている計算方法を用いた。図３乃至図７においては、ｙ＝０が壁面を表すように鉛直方向をｙ軸に設定しており、ｙ＜０となる位置には流体３１が侵入できないようになっている。
　図３に示すように、流体３１の初期形状は、０．０５[m]×０．０５[m]の正方形である。また、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
 [N/m2]、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
 [kg/m3]、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000013
 [m]、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000014
 [m/s]、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000015
 [s]、粘性率
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000016
は０．００１[m2/s]、重力加速度
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000017
 [m/s2]、カーネル関数は３次のスプライン関数を用いた。初期状態の粒子位置は均等格子状におき（一辺当たり３３個で総数は１０８９個)、速度はすべての粒子で０を与える。
　計算結果を見ると、図４に示すように、流体３１は時刻０．０４[s]では滑らかな円形分布になり、図５に示すように、時刻０．１４[s]で壁と衝突し大きく変形する。
特開２００８－１１１６７５号公報
B. Lafaurie, C. Nardone, R. Scardovelli, S. Zaleski, and G. Zanetti, "Modelling Merging and Fragmentation in Multiphase Flows with SuRFER", Journal of Computaional Physics, 113, 134, 147, (1994) X.Y. Hu, N.A. Adams, "A multi-phase SPH method for macroscopic and mesoscopic flows", Journal of Computaional Physics, 213, pp. 844-861 (2006) T. Hongo, M. Shigeta, S.  Izawa, and Y. Fukunishi, "３次元非圧縮ＳＰＨ法における気液界面に作用する表面張力モデル", 第２３回数値流体力学シンポジウム, A8-5 (2009) M. Agawa, M. Shigeta, S.  Izawa, and Y. Fukunishi, "斜面上を流下する液体の非圧縮ＳＰＨシミュレーション", 第２３回数値流体力学シンポジウム, A9-4 (2009)
　しかしながら、上述のような従来の表面張力計算手法においては、衝突した流体３１が大きく変形した場合に、流体３１において不自然な速度分布が発生するなどの挙動を示す場合がある、という問題点がある。
　上述の例では、図６に示すように、時刻０．７[s]では形状が崩れ、図７に示すように、不自然な分布の速度分布３２が発生している。
　１つの側面では、本発明は、不自然な分布の速度分布が発生するなどの挙動を抑制したシミュレーション結果を出力することが可能なシミュレーションプログラム、シミュレーション方法及びシミュレーション装置を提供することを目的とする。
　１つの案では、流体の経時的な形状変化をシミュレーションするシミュレーションプログラム、シミュレーション方法又はシミュレーション装置の一観点によれば、流体を粒子の集合で表現した粒子法による流体モデルについて他相との界面の表面エネルギーを近似的に算出するための近似関数を用いて前記界面の表面張力を算出し、前記算出された表面張力に基づいて前記流体の形状変化を算出し、前記算出された形状変化を出力するシミュレーションプログラム、シミュレーション方法又はシミュレーション装置が提供される。
　不自然な分布の速度分布が発生するなどの挙動を抑制したシミュレーション結果を出力することができる。
粒子法の問題点を説明するための図である。 影響半径、およびカーネル関数の重ねあわせによる連続関数を示す図である。 従来のＣＳＦモデルによる計算方法を用いた結果の経時的変化（時刻＝０[s]）を示す図である。 従来のＣＳＦモデルによる計算方法を用いた結果の経時的変化（時刻＝０．０４[s]）を示す図である。 従来のＣＳＦモデルによる計算方法を用いた結果の経時的変化（時刻＝０．１４[s]）を示す図である。 従来のＣＳＦモデルによる計算方法を用いた結果の経時的変化（時刻＝０．７[s]）を示す図である。 従来のＣＳＦモデルによる計算方法を用いた結果の経時的変化（時刻＝０．７[s]：不自然な速度分布発生）を示す図である。 表面張力係数を説明するための図である。 本発明を適用したシミュレーション装置の構成例を示す図である。 表面エネルギーΧ（カイ）を幅εで滑らかに近似した関数を説明するための図である。 ２次元流体の例を示す図である。 粒子が壁面に衝突した状態を説明するための図である。 本発明を適用したシミュレーション処理の流れを示すフローチャートである。 流体の形状について、本発明を適用したシミュレーション処理を用いた結果の経時的変化（時刻＝０[s]）を示す図である。 流体の形状について、本発明を適用したシミュレーション処理を用いた結果の経時的変化（時刻＝０．０４[s]）を示す図である。 流体の形状について、本発明を適用したシミュレーション処理を用いた結果の経時的変化（時刻＝０．１４[s]）を示す図である。 流体の形状について、本発明を適用したシミュレーション処理を用いた結果の経時的変化（時刻＝０．７[s]）を示す図である。 流体の形状について、本発明を適用したシミュレーション処理を用いた結果の経時的変化（時刻＝０．７[s]：不自然な速度分布の発生無し）を示す図である。 第２の実施の形態における近似関数の効果を示す図である。 情報処理装置の構成図である。
　以下、本発明の実施の形態について、図面を参照しながら詳細に説明する。
　本発明を適用した実施の形態は、コンピュータに実行させるシミュレーションプログラム、シミュレーション方法及びシミュレーション装置であって、シミュレーションの対象である流体を粒子の集合として捉え、変分を基にした粒子間の相互作用力である表面張力を、所定の近似関数を用いて算出し、その算出した表面張力を用いることにより、流体の形状変化をシミュレーションする。
（第１の実施の形態）
　図８は、表面張力係数を説明するための図である。
　一般に流体の表面エネルギーは以下のように定義できる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000018
　そして、上記の表面エネルギーを粒子法により離散化して計算し、第一変分より流体粒子にかかる表面張力を求めることができる。
　ここで、上記（式４）の右辺の積分領域は、流体の境界面全域であり、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000019
は流体が空気に触れている部分では１、それ以外の部分では０の値をとる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000020
はそれぞれ、図８に示すように、空気に触れている部分の表面張力係数、固体に触れている部分の表面張力係数である。
　図９は、本発明を適用したシミュレーション装置の構成例を示す図である。
　図９において、シミュレーション装置９００は、処理部９０１、格納部９０２及び出力部９０３を備える。そして、シミュレーション装置９００は、後述する近似間数を用い、流体等の連続体を粒子の集まりとして表現する粒子法による数値計算を行って表面張力を算出する。その計算結果を用いて連続体の形状変化を算出し、シミュレーション結果９１２を出力する。
　格納部９０２は、本発明を適用したシミュレーションプログラムを実行する場合に用いられる各計算式の情報を格納する。
　処理部９０１は、第１および第２の実施の形態として後述する、本発明を適用したシミュレーション処理を実行する。
　出力部９０３は、処理部９０１が実行したシミュレーション結果９１２を出力する。
　まず、近似関数を用いて表面張力を算出する手法について説明する。
　上述の（式４）の積分を、下記（式５）の近似関数のように定義する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000021
　ここで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000022
は定数であり、表面張力波の振動周期と合うように決められる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000023
は空間の次元、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000024
はそれぞれ、液体が空気と触れているときの表面張力と液体が固体と触れているときの表面張力である。
は粒子の位置から決まる関数で、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000026
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000027
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000028
 とする。
　図１０は、表面エネルギーΧ（カイ）を幅εで滑らかに近似した関数を説明するための図である。
　（式５）中の
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000029
は（式４）の
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000030
を幅
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000031
で、図１０に示したように滑らかに近似した関数であり、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000032
は粒子iと固体境界との距離である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000033
が面積の次元をもち、さらにＳＰＨ法では
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000034
は流体の内部の粒子では１に近く、表面近くになると値が小さくなり、影響半径ｈ内に１つも粒子がなくなると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000035
という値となる。
　（式５）のように定義した近似関数は、流体表面の粒子の長さと同じ次元を持つ量を足し合わせたものであり、（式４）の表面積分を近似すると見なす。
　（式５）で粒子法により離散化された表面エネルギーの勾配を計算し、各粒子にかかる正味の表面張力を導出すると以下のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000036
 　以上、近似関数を用いた表面張力の算出について説明した。
　次に、上述のようにして算出した表面張力を用いて、流体の形状変化の算出について説明する。
　図１１は、２次元流体の例を示す図であり、壁面となる平面から鉛直方向にｙ軸を設定するとともに、壁面に沿ってｘ軸を設定している。
　図１１のような状況下、すなわちｙ＝０の固体１１１の平面の上に置かれた流体１１２での、非圧縮性粘性流体の運動方程式を考える。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000037
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000038
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000039
 において、（式７）は質量保存則、（式８）は運動量保存則、（式９）は状態方程式である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000040
 はそれぞれ、流体１１２の密度場、速度場、圧力場、音速である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000041
は粘性応力テンソルで、流体１１２の粘性係数を
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000042
（定数）とすると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000043
 である。
　（式７）は、流体１１２が集まってくるような速度場の場合に密度が上昇する効果を表わし、逆に流体１１２が離れていくような速度場の場合に密度が低下する効果を表わす。（式８）の右辺第１項は圧力勾配項で、流体１１２が圧力の大きい部分から圧力の小さい部分へ向かって力が発生する効果を表す。右辺第２項は粘性応力項で、流体の流れにブレーキがかかるような効果をあらわす。右辺第３項は重力項である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000044
は重力加速度、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000045
はy方向の単位ベクトルである。
　本第１の実施の形態では（式９）のような密度と圧力のみの関係を用いているが、一般の温度や内部エネルギー、エントロピー等を用いた状態方程式を用いても良い。
　また、空気と接触部には
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000046
の表面張力係数（定数）、固体１１１との接触部には
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000047
の表面張力係数（定数）がかかっているものとする。
　そして、（式７）乃至（式９）を、ＳＰＨ法を用いて以下のように離散化し、上述した表面張力項を導入する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000048
　ここで、（式１０）で計算した
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000049
のｘ成分、ｙ成分をそれぞれ
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000050
，
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000051
とし、i番目の速度の成分を
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000052
として、以下の計算を行う。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000053
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000054
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000055
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000056
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000057
　ここで、下付き添え字は粒子の番号を表す。すなわちi番目の粒子の位置ベクトル、速度ベクトル、密度、圧力はそれぞれ
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000058
である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000059
はj番目の質量である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000060
は粘性項を計算するために導入した定数である。
　（式１２）は（式８）の運動方程式を粒子法により離散化したもので、右辺第２項は圧力勾配項、第３項は粘性応力項を表したものである。（式１２）の右辺第５項は粒子間距離が近づきすぎないようにするための力で、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000061
を定数とすれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000062
 となる。
　右辺第６項
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000063
は、上述したような表面張力による力で、（式６）が適用されるが、上述のシミュレーションの場合ｙ＝０の平面が固体１１１の壁面であるため、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000064
 である。
　図１２は、粒子が壁面に衝突した状態を説明するための図である。
　上述の（式１２）および（式１４）は、粒子の位置を移動させ、ｙ＝０の平面の位置にある壁面を通過しようとする場合に、図１２の上に示したように壁面をそのまま通過するのではなく、図１２の下に示したように壁面に衝突した瞬間に止まるという現実に即した修正を表す。
　ここで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000065
は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000066
 の再標準化行列である。さらに、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000067
 とおく。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000068
 ，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000069
 である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000070
は粒子ｉ，ｊ間での１次元リーマン問題を解いて求めた時空間の中間値である。具体的には以下のように決定する。
　まず、粒子ｉ，ｊに関して、以下の特性量を定める。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000071
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000072
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000073
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000074
　さらに、各勾配を以下のよう計算する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000075
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000076
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000077
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000078
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000079
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000080
　ここで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000081
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000082
 とし、上記の量を用いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000083
は以下のように決定する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000084
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000085
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000086
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000087
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000088
　図１３は、本発明を適用したシミュレーション処理の流れを示すフローチャートである。
　まず、ステップＳ１３０１において、シミュレーションの対象とする流体の物理量のデータとして、各粒子の位置ベクトル、速度ベクトルを取得し、ステップＳ１３０２において、上述の（式９）を用いて、現在の速度を用いて粒子の位置を時間ｄｔ／２更新する。
　そして、（式１１）におけるｙの値による場合分けにおいて、ｙ＜０となる結果、粒子が壁面を通り抜けると判断された場合（ステップＳ１３０３：Ｙｅｓ）は、ステップＳ１３０４において、上述の（式１１）を用いて、粒子が壁面を通り抜けないよう、すなわち、ｙ≧０となるように粒子の位置と速度を補正する。
　一方、（式１１）におけるｙの値による場合分けにおいて、ｙ≧０となる結果、粒子が壁面を通り抜けていないと判断された場合（ステップＳ１３０３：Ｎｏ）は、粒子の位置と速度は補正しない。
　次に、ステップＳ１３０５において、上述の（式１２）右辺の第２項乃至第５項を算出することにより、物理モデルにより流体粒子にかかる力を算出する。
　そして、ステップＳ１３０６において、上述の（式１２）右辺の第６項を算出することにより、各流体粒子に係る表面張力を算出する。
　各境界粒子に対する表面張力の計算が終了したら、ステップＳ１３０７において、流体粒子の速度を更新する。
　次に、ステップＳ１３０８において、上述の（式１３）を用いて、ステップＳ１３０７で更新した速度を用いて流体粒子の位置を時間ｄｔ／２経過後の位置に更新する。
　そして、（式１４）におけるｙの値による場合分けにおいて、ｙ＜０となる結果、粒子が壁面を通り抜けると判断された場合（ステップＳ１３０９：Ｙｅｓ）は、ステップＳ１３１０において、上述の（式１４）を用いて、粒子が壁面を通り抜けないよう、すなわち、ｙ≧０となるように粒子の位置と速度を補正する。
　一方、（式１４）におけるｙの値による場合分けにおいて、ｙ≧０となる結果、粒子が壁面を通り抜けていないと判断された場合（ステップＳ１３０３：Ｎｏ）は、粒子の位置と速度は補正しない。
　その後、ステップＳ１３１１において、流体粒子の速度を更新し、上記ステップＳ１３０２乃至ステップＳ１３１１を繰り返し実行する。
　以上、説明したシミュレーション処理を実行すると、流体の形状は図１４乃至図１８に示したようになる。
　図１４乃至図１８は、流体の形状について、本発明を適用したシミュレーション処理を用いた結果の経時的変化を示す図である。なお、図３乃至図７の従来技術での計算と同様の計算条件である。
　図１４に示すように、流体１４１の初期形状は、０．０５[m]×０．０５[m]の正方形である。また、それぞれの初期条件を、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000089
 [N/m2]、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000090
 [kg/m3]、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000091
 [m]、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000092
 [m/s]、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000093
 [s]、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000094
 、粘性率
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000095
は０．００１[m2/s]、重力加速度
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000096
 [m/s2]、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000097
 、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000098
 [m]とした。
　初期状態の粒子は均等格子状に配置し（一辺当たり３３個で総数は１０８９個)、速度はすべての粒子で０と密度は１０００[kg/m3]を与える。
　計算結果を見ると、図１５に示すように、流体１４１は時刻０．０４[s]では図４と同様に均一な円形分布になる。そして、図１６に示すように、時刻０．１４[s]で壁と衝突し大きく変形する。
　図１７に示したように、時刻０．７[s]では、図６に示した従来手法の計算結果とは異なり、流体１４１の形状は崩れず、図１８に示すように、速度分布も落ち着き定常状態が維持されている。
（第２の実施の形態）
　本発明を適用した第２の実施の形態では、上述の第１の実施の形態で、（式４）の積分を（式５）の近似関数のように近似した代わりに、（式４）の積分を下記（式３１）の近似関数のように近似する。第１の実施の形態中の圧力「ｐ１」を「ｐ２」に置き換えることにより、第１の実施の形態中の説明を第２の実施の形態に適用できる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000099
　ここで
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000100
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000101
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000102
 である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000103
も面積と同様の次元を持つため、（式６）は表面エネルギーを近似したものと見なす。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000104
は再標準化行列であり、粒子の非一様な分布における勾配計算を補正する。
　図１９は、第２の実施の形態における近似関数の効果を示す図である。
　上記（式３１）中の
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000105
１９２は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000106
１９１を原点付近で滑らかにした近似関数で、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000107
極小値の大きさが、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000108
とほぼ同じであり、「０．１」となっている。
　（式６）のエネルギーを基にして粒子ｋにかかる正味の力を導出すると以下のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000109
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000110
はそれぞれ、ｘ，ｙ，ｚ方向の単位ベクトルである。
　上述したように、本発明は粒子法の計算で、表面張力が効果的な流体運動の計算に対して適用可能である。特に溶けた金属の流し込みのシミュレーションや、樹脂の流し込みのシミュレーション等には効果的である。また、壁面等の固体に衝突するような流体の形状変化をシミュレーションする際に、従来のように壁面等に粒子を置く設定を行う必要が無くなる。
　図９のシミュレーション装置は、例えば、図２０に示すような情報処理装置（コンピュータ）を用いて実現することが可能である。図２０の情報処理装置は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）２００１、メモリ２００２、入力装置２００３、出力装置２００４、外部記憶装置２００５、媒体駆動装置２００６及びネットワーク接続装置２００７を備える。これらはバス２００８により互いに接続されている。
　メモリ２００２は、例えば、ＲＯＭ（Read Only Memory）、ＲＡＭ（Random Access Memory）、フラッシュメモリ等の記憶装置であり、シミュレーション処理に用いられるプログラム及びデータを格納する。例えば、ＣＰＵ２００１は、メモリ２００２を利用してプログラムを実行することにより、上述のシミュレーション処理を行う。メモリ２００２は、図９の格納部９０２としても使用できる。
　入力装置２００３は、例えば、キーボード、ポインティングデバイス等であり、オペレータからの指示や情報の入力に用いられる。出力装置２００４は、例えば、表示装置、プリンタ、スピーカ等であり、オペレータへの問い合わせや処理結果の出力に用いられる。出力装置２００４は、図９の出力部９０３としても使用できる。
　外部記憶装置２００５は、例えば、磁気ディスク装置、光ディスク装置、光磁気ディスク装置、テープ装置等である。この外部記憶装置２００５には、ハードディスクドライブも含まれる。情報処理装置は、この外部記憶装置２００５にプログラム及びデータを格納しておき、それらをメモリ２００２にロードして使用することができる。
　媒体駆動装置２００６は、可搬型記録媒体２００９を駆動し、その記録内容にアクセスする。可搬型記録媒体２００９は、メモリデバイス、フレキシブルディスク、光ディスク、光磁気ディスク等である。この可搬型記録媒体２００９には、Compact Disk Read Only Memory（ＣＤ－ＲＯＭ）、Digital Versatile Disk（ＤＶＤ）、Universal Serial Bus（ＵＳＢ）メモリ等も含まれる。オペレータは、この可搬型記録媒体２００９にプログラム及びデータを格納しておき、それらをメモリ２００２にロードして使用することができる。
　このように、シミュレーション処理に用いられるプログラム及びデータを格納するコンピュータ読み取り可能な記録媒体には、メモリ２００２、外部記憶装置２００５、及び可搬型記録媒体２００９のような、物理的な（非一時的な）記録媒体が含まれる。
　ネットワーク接続装置２００７は、通信ネットワーク２０１０に接続され、通信に伴うデータ変換を行う通信インタフェースである。情報処理装置は、プログラム及びデータを外部の装置からネットワーク接続装置２００７を介して受け取り、それらをメモリ２００２にロードして使用することができる。ネットワーク接続装置２００７は、図９の出力部９０３としても使用できる。
　開示の実施形態とその利点について詳しく説明したが、当業者は、特許請求の範囲に明確に記載した本発明の範囲から逸脱することなく、様々な変更、追加、省略をすることができるであろう。
　例えば、（式５）または（式３１）のように定義した近似関数の代わりに、適切な近似関数を用いることもできる。
　すなわち、本発明は、以上に述べた実施の形態に限定されるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない範囲内で種々の構成または形状を取ることができる。
　そして、開示されたシミュレーションプログラム、シミュレーション方法及びシミュレーション装置によれば、シミュレーション対象である流体について、不自然な速度分布が発生するなどの挙動を示すことなく、適切なシミュレーション結果を出力する、という効果を奏する。

Claims (5)

  1. 　流体の経時的な形状変化をシミュレーションするシミュレーションプログラムにおいて、
    　コンピュータに、
    　前記流体を粒子の集合で表現した流体モデルについて、前記流体の相以外の相である他相との界面の表面エネルギーを算出する関数を用いて、前記界面の表面張力を算出させ、
    　算出された前記表面張力に基づいて、前記流体の形状変化を算出させることを特徴とするシミュレーションプログラム。
  2. 　前記関数は、空気との界面の表面エネルギーを算出した結果と前記空気以外との界面の表面エネルギーを算出した結果の和を算出する関数であることを特徴とする請求項１記載のシミュレーションプログラム。
  3. 　前記形状変化の算出は、前記流体が前記他相を通り抜けようとする場合、前記関数を構成する前記粒子の位置及び速度を補正することを特徴とする請求項１記載のシミュレーションプログラム。
  4. 　流体の経時的な形状変化をシミュレーションするシミュレーション方法において、
    　コンピュータが、
    　前記流体を粒子の集合で表現した流体モデルについて、前記流体の相以外の相である他相との界面の表面エネルギーを算出する関数を用いて、前記界面の表面張力を算出し、
    　算出された前記表面張力に基づいて、前記流体の形状変化を算出することを特徴とすることを特徴とするシミュレーション方法。
  5. 　流体の経時的な形状変化をシミュレーションするシミュレーション装置において、
    　前記流体を粒子の集合で表現した流体モデルについて、前記流体の相以外の相である他相との界面の表面エネルギーを算出する近似関数を用いて、前記界面の表面張力を算出する表面張力算出部と、
    　算出された前記表面張力に基づいて、前記流体の形状変化を算出する形状変化算出部と、
    　算出された前記形状変化を出力する出力部を備えることを特徴とするシミュレーション装置。
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