US10756762B2 - Method of channel coding for communication systems and apparatus using the same - Google Patents

Abstract

Disclosed herein are a channel coding/decoding method in which a parity check matrix is transformed and an apparatus using the same. The channel-coding method includes loading a first exponent matrix, transforming the first exponent matrix into a second exponent matrix, creating a parity check matrix corresponding to a required block size using the second exponent matrix, and performing LDPC encoding using the parity check matrix.

Description

CROSS REFERENCE TO RELATED APPLICATIONS

This application claims the benefit of Korean Patent Application No. 10-2017-0102013, filed Aug. 11, 2017, and No. 10-2018-0088550, filed Jul. 30, 2018, which are hereby incorporated by reference in their entirety into this application.

BACKGROUND OF THE INVENTION 1. Technical Field

The present invention relates generally to channel coding, and more particularly to data encoding and decoding methods for communication systems using low-density parity-check (LDPC) code.

2. Description of the Related Art

Wireless communication systems are widely used to provide various types of communication content, such as voice, data, and the like. These systems may be multiple-access systems that are capable of supporting communication with multiple users by sharing available system resources (for example, bandwidth and transmission power). Examples of such multiple-access systems include Code-Division Multiple Access (CDMA) systems, Time-Division Multiple Access (TDMA) systems, Frequency-Division Multiple Access (1-DMA) systems, 3rd-Generation Partnership Project (3GPP) Long-Term Evolution (LTE) systems, LTE-Advanced (LTE-A) systems, and Orthogonal Frequency-Division Multiple Access (OFDMA) systems.

In the current information age, binary values (that is, 1s and 0s) are used to represent various types of information, such as video, audio, statistical information, and the like, and are also used for communication. However, while binary data is being stored, transmitted, and/or processed, errors may occur. For example, data ‘1’ may change to ‘0’, or data ‘0’ may change to ‘1’.

In order to provide a mechanism for checking errors and correcting errors in some cases, binary data may be coded so as to adopt carefully designed redundancy. Coding a unit of data generates a so-called ‘codeword’. Due to the redundancy, a codeword may include a greater number of bits than the input unit of data from which the codeword is generated. As described above, adding parity bits (redundant bits) to information bits is called ‘channel coding’.

In order to generate a codeword, an encoder adds redundant bits to a bitstream to be transmitted. When the transmitted signals generated from the codewords are received or processed, the redundant information included in the codeword, which is observed in the signal, may be used to detect and/or correct errors in the received data or to eliminate distortion from the received signal in order to reconstruct the original data unit. Such error checking and/or error correction may be implemented as part of a decoding process.

Occasionally, communication systems need to operate at different rates, and the recent communication systems are actively using low-density parity-check (LDPC) code as a channel-coding method.

Generally, in order to applicably operate in devices having a wide performance range, communication systems are required to reduce the expenses of implementing an encoder and a decoder.

Accordingly, a new channel-coding method that may reduce the complexity of LDPC encoding and decoding is strongly required.

SUMMARY OF THE INVENTION

An object of the present invention is to perform LDPC encoding/decoding by transforming the parity check matrix of given LDPC code and creating another parity check matrix having similar algebraic characteristics, thereby maximizing the efficiency of channel encoding/decoding.

Another object of the present invention is to transform different formats of parity check matrices of LDPC code into a unified format, thereby reducing the complexity of encoding/decoding.

In order to accomplish the above objects, a channel-coding method according to the present invention includes loading a first exponent matrix; transforming the first exponent matrix into a second exponent matrix; creating a parity check matrix corresponding to a required block size using the second exponent matrix; and performing low-density parity-check (LDPC) encoding using the parity check matrix.

Here, transforming the first exponent matrix into the second exponent matrix may include performing a circular column permutation on one column of the first exponent matrix and thereby creating a column-permutated exponent matrix; and creating conversion values for elements that are greater than 0 in the column-permutated exponent matrix and creating the second exponent matrix using the conversion values.

Here, the one column may be a (k_b+1)-th column of the first exponent matrix (where k_b is a natural number that is acquired by subtracting a number of rows in the first exponent matrix from a number of columns therein).

Here, the first exponent matrix and the second exponent matrix may be classified as two types, which are a first type and a second type, depending on first four elements in the (k_b+1)-th column of the first exponent matrix.

Here, when the first four elements include a single natural number (a), which is greater than 0, the exponent matrix may be classified as the first type, and when the first four elements include two natural numbers (a), the exponent matrix may be classified as the second type.

Here, when the first exponent matrix is the first type, the second exponent matrix may be the second type, and when the first exponent matrix is the second type, the second exponent matrix may be the first type.

Here, the circular column permutation may be performed using the natural number (a), which is greater than 0.

Here, the circular column permutation may be performed using the following equation,
V′ _ij=(V _ij −a)mod Z _max for 0≤V _ij ≤Z _max−1

where V′_ij denotes elements of the column-permutated exponent matrix, V_ij denotes elements of the first exponent matrix, mod denotes a modulo operator, Z_max denotes a maximum block size, and a denotes the natural number, which is greater than 0.

Here, the conversion value may be created by subtracting an element that is greater than 0 in the column-permutated exponent matrix from the maximum block size.

Here, the second exponent matrix may be created using the following equation,

$W_{\mathrm{ij}}=\{\begin{array}{cc}{V}_{\mathrm{ij}}^{\prime },& V_{\mathrm{ij}}^{\prime }=-1,0,\\ Z_{\mathrm{ma}x}-V_{\mathrm{ij}}^{\prime },& V_{\mathrm{ij}}^{\prime }>0\end{array}.$

where W_ij denotes elements of the second exponent matrix, V′_ij denotes elements of the column-permutated exponent matrix, and Z_max denotes the maximum block size.

Also, a channel encoder according to an embodiment of the present invention includes memory for storing data pertaining to a first exponent matrix corresponding to an original parity check matrix; and a processor for creating a parity check matrix corresponding to a second exponent matrix that is created by transforming the first exponent matrix and for performing low-density parity-check (LDPC) encoding using the created parity check matrix.

Here, the second exponent matrix may be created using conversion values for elements that are greater than 0 in a column-permutated exponent matrix; and the column-permutated exponent matrix may be created by performing a circular column permutation on one column of the first exponent matrix.

Here, the one column may be a (k_b+1)-th column of the first exponent matrix (where k_b is a natural number that is acquired by subtracting a number of rows in the first exponent matrix from a number of columns therein).

Here, the first exponent matrix and the second exponent matrix may be classified as two types, which are a first type and a second type, depending on first four elements in the (k_b+1)-th column of the first exponent matrix.

Here, when the first four elements include a single natural number, which is greater than 0, the exponent matrix may be classified as the first type, and when the first four elements include two natural numbers, the exponent matrix may be classified as the second type.

Here, when the first exponent matrix is the first type, the second exponent matrix may be the second type, and when the first exponent matrix is the second type, the second exponent matrix may be the first type.

Here, the circular column permutation may be performed using the natural number included in the first four elements, which is greater than 0.

Here, the circular column permutation may be performed using the following equation,
V′ _ij=(V _ij −a)mod Z _max for 0≤V _ij ≤Z _max−1

where V′_ij denotes elements of the column-permutated exponent matrix, V_ij denotes elements of the first exponent matrix, mod denotes a modulo operator, Z_max denotes a maximum block size, and a denotes the natural number included in the first four elements, which is greater than 0.

Here, the second exponent matrix may be created using the following equation,

$W_{\mathrm{ij}}=\{\begin{array}{cc}{V}_{\mathrm{ij}}^{\prime },& V_{\mathrm{ij}}^{\prime }=-1,0,\\ Z_{\mathrm{ma}x}-V_{\mathrm{ij}}^{\prime },& V_{\mathrm{ij}}^{\prime }>0\end{array}.$

where W_ij denotes elements of the second exponent matrix, V′_ij denotes elements of the column-permutated exponent matrix, and Z_max denotes the maximum block size.

Also, a channel decoder according to an embodiment of the present invention includes memory for storing data pertaining to a first exponent matrix corresponding to an original parity check matrix; and a processor for creating a parity check matrix corresponding to a second exponent matrix that is created by transforming the first exponent matrix and for performing low-density parity-check (LDPC) decoding using the created parity check matrix.

BRIEF DESCRIPTION OF THE DRAWINGS

The above and other objects, features and advantages of the present invention will be more clearly understood from the following detailed description taken in conjunction with the accompanying drawings, in which:

FIG. 1 and FIG. 2 are views that show examples of binary matrices corresponding to basic graphs;

FIG. 3 and FIG. 4 are views that show examples of exponent matrices corresponding to the basic graphs illustrated in FIG. 1 and FIG. 2;

FIG. 5 is a flowchart that shows a channel coding/decoding method according to an embodiment of the present invention;

FIG. 6 is a block diagram that shows a communication system according to an embodiment of the present invention; and

FIG. 7 is a block diagram that shows an example of the channel encoder or the channel decoder illustrated in FIG. 6.

DESCRIPTION OF THE PREFERRED EMBODIMENTS

The present invention will be described in detail below with reference to the accompanying drawings. Repeated descriptions and descriptions of known functions and configurations which have been deemed to unnecessarily obscure the gist of the present invention will be omitted below. The embodiments of the present invention are intended to fully describe the present invention to a person having ordinary knowledge in the art to which the present invention pertains. Accordingly, the shapes, sizes, etc. of components in the drawings may be exaggerated in order to make the description clearer.

Hereinafter, a preferred embodiment of the present invention will be described in detail with reference to the accompanying drawings.

Generally, low-density parity-check (LDPC) code, which is linear block code that can be defined as a parity check matrix, creates a codeword configured with N_ldpc bits by receiving information or an information word configured with K_ldpc bits or symbols (where K_ldpc is a natural number and N_ldpc is a natural number that is greater than K_ldpc).

Recently, in order to improve the efficiency of implementation and to maximize throughput as well as to improve the performance of encoding and decoding of LDPC code, encoding and decoding methods based on quasi-cyclic LDPC code have been proposed.

The present invention provides a method for transforming the parity check matrix of given quasi-cyclic LDPC code and thereby creating LDPC code having similar algebraic characteristics. The LDPC code designed through such transformation has almost the same algebraic characteristics as the given quasi-cyclic LDPC code, which is the target to be transformed. Here, the submatrix of the parity check matrix corresponding to the parity of an LDPC codeword is transformed into a specific format, whereby the effect of reducing the complexity of encoding may be acquired.

The symbols and terms used in the following description are specifically described in pages 2894-2901 of IEEE transactions on Information Theory, August 2005, and in a thesis titled “Lifting methods for quasi-cyclic LDPC codes”, written by S. Myung, K. Yang, and J. Kim and published in IEEE Communications Letters (Volume 10, Issue 6, pp. 489-497) in June 2006.

First, quasi-cyclic LDPC code may be defined based on circulant permutation matrices. Here, a Z×Z circulant permutation matrix, P=(P_ij) (P_ij is the element in the i-th row and the j-th column), may be defined as shown in the following Equation (1):

$\begin{array}{cc}{P}_{\mathrm{ij}}=\{\begin{array}{cc}1,& \mathrm{if}i+1\equiv j\left(\mathrm{mod}Z\right)\\ 0,& \mathrm{otherwise}\end{array}.& \left(1\right)\end{array}$

Generally, the parity check matrix of quasi-cyclic LDPC code may be represented as shown in the following Equation (2):

$\begin{array}{cc}H=\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{<figure-callout\; id="11"\; label="pV"\; filenames="US10756762-20200825-D00004.png"\; state="\{\{state\}\}">pV</figure-callout>}}_{11}& {\mathrm{pV}}_{12}& \dots & {\mathrm{pV}}_{1k_b}& \dots & {\mathrm{pV}}_{1n_b}\\ {\mathrm{pV}}_{21}& {\mathrm{<figure-callout\; id="22"\; label="pV"\; filenames="US10756762-20200825-D00001.png,US10756762-20200825-D00002.png"\; state="\{\{state\}\}">pV</figure-callout>}}_{22}& \dots & {\mathrm{pV}}_{2k_b}& \dots & {\mathrm{pV}}_{2n_b}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathrm{pV}}_{m_{b}1}& {\mathrm{pV}}_{m_{b}2}& \dots & {\mathrm{pV}}_{m_b{k}_b}& \dots & {\mathrm{pV}}_{m_b{n}_b}\end{array}\right]& \left(2\right)\end{array}$

In Equation (2), the value of V_ij (i and j are natural numbers) is an integer that is generally defined in the range {−1, 0, 1, 2, . . . }. Here, for V_ij≥0, P^Vij is the same as the circulant permutation matrix acquired by circularly shifting each element of a Z×Z identity matrix to the right by V_ij. Also, in the present invention, P⁻¹ indicates a Z×Z zero matrix.

In the present invention, the case in which a single Z×Z sub-block corresponds to a single circulant permutation matrix in Equation (2) is described for convenience of description, but the technical idea of the present invention may also be identically applied to the case in which a single Z×Z sub-block corresponds to multiple circulant permutation matrices. For reference, a Z×Z sub-block consisting of multiple circulant permutation matrices is generally regarded as a circulant matrix, and the parity check matrix of LDPC code configured with such circular matrices or circular permutation matrices as shown in Equation (2) is generally treated as quasi-cyclic LDPC code.

The above Equation (2) shows a parity check matrix that represents quasi-cyclic LDPC code that is configured with a total of m_b row-blocks and a total of n_b column-blocks. Accordingly, the total length of a codeword is n_bZ. Also, if the parity check matrix is full rank, when k_b=n_b−m_b is satisfied, the length of an information word is k_bZ.

Here, an m_b×n_b binary matrix may be created from the parity check matrix in Equation (2) by replacing Z×Z circulant permutation matrices with ‘1’s and replacing Z×Z zero matrices with ‘0’s, and the m_b×n_b binary matrix may be referred to as a basic graph, a base matrix, or a mother matrix.

FIG. 1 and FIG. 2 are views that show examples of binary matrices, which are basic graphs.

In the examples illustrated in FIG. 1 and FIG. 2, the matrix D may be a diagonal matrix, and the matrix Z may be a zero matrix.

In the example illustrated in FIG. 1, the binary matrix is a 46×68 matrix, Z is a 4×42 zero matrix, D is a 42×42 diagonal matrix, A is a 4×22 matrix, the elements of which are 0 or 1, B is a 4×4 matrix, in which the elements in the first row are 1, 1, 0 and 0, the elements in the second row are 1, 1, 1 and 0, the elements in the third row are 0, 0, 1 and 1, and the elements in the fourth row are 1, 0, 0 and 1, and C is a 42×26 matrix, the elements of which are 0 or 1. The basic graph having the above-described structure may be referred to as a BG#1 type.

In the example illustrated in FIG. 2, the binary matrix is a 42×52 matrix, Z is a 4×38 zero matrix, D is a 38×38 diagonal matrix, A is a 4×10 matrix, the elements of which are 0 or 1, B is a 4×4 matrix, in which the elements in the first row are 1, 1, 0 and 0, the elements in the second row are 0, 1, 1 and 0, the elements in the third row are 1, 0, 1 and 1, and the elements in the fourth row are 1, 0, 0 and 1, and C is a 38×14 matrix, the elements of which are 0 or 1. The basic graph having the above-described structure may be referred to as a BG#2 type.

The examples of the basic graphs described with reference to FIG. 1 and FIG. 2 may correspond to a table that represents only the row index and the column index of the element ‘1’, as shown in the following Table 1. Here, when i is 0, this indicates the first row, and when j is 0, this indicates the first column.

TABLE 1
	Column indices (j)	Column indices (j)
Row	of every element of value	of every element of value
index (i)	1 for BG#1	1 for BG#2

0	0, 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13,	0, 1, 2, 3, 6, 9, 10, 11
	15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23
1	0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15,	0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
	16, 17, 19, 21, 22, 23, 24	11, 12
2	0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14,	0, 1, 3, 4, 8, 10, 12, 13
	15, 17, 18, 19, 20, 24, 25
3	0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13,	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
	14, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 25	10, 13
4	0, 1, 26	0, 1, 11, 14
5	0, 1, 3, 12, 16, 21, 22, 27	0, 1, 5, 7, 11, 15
6	0, 6, 10, 11, 13, 17, 18, 20, 28	0, 5, 7, 9, 11, 16
7	0, 1, 4, 7, 8, 14, 29	1, 5, 7, 11, 13, 17
8	0, 1, 3, 12, 16, 19, 21, 22, 24, 30	0, 1, 12, 18
9	0, 1, 10, 11, 13, 17, 18, 20, 31	1, 8, 10, 11, 19
10	1, 2, 4, 7, 8, 14, 32	0, 1, 6, 7, 20
11	0, 1, 12, 16, 21, 22, 23, 33	0, 7, 9, 13, 21
12	0, 1, 10, 11, 13, 18, 34	1, 3, 11, 22
13	0, 3, 7, 20, 23, 35	0, 1, 8, 13, 23
14	0, 12, 15, 16, 17, 21, 36	1, 6, 11, 13, 24
15	0, 1, 10, 13, 18, 25, 37	0, 10, 11, 25
16	1, 3, 11, 20, 22, 38	1, 9, 11, 12, 26
17	0, 14, 16, 17, 21, 39	1, 5, 11, 12, 27
18	1, 12, 13, 18, 19, 40	0, 6, 7, 28
19	0, 1, 7, 8, 10, 41	0, 1, 10, 29
20	0, 3, 9, 11, 22, 42	1, 4, 11, 30
21	1, 5, 16, 20, 21, 43	0, 8, 13, 31
22	0, 12, 13, 17, 44	1, 2, 32
23	1, 2, 10, 18, 45	0, 3, 5, 33
24	0, 3, 4, 11, 22, 46	1, 2, 9, 34
25	1, 6, 7, 14, 47	0, 5, 35
26	0, 2, 4, 15, 48	2, 7, 12, 13, 36
27	1, 6, 8, 49	0, 6, 37
28	0, 4, 19, 21, 50	1, 2, 5, 38
29	1, 14, 18, 25, 51	0, 4, 39
30	0, 10, 13, 24, 52	2, 5, 7, 9, 40
31	1, 7, 22, 25, 53	1, 13, 41
32	0, 12, 14, 24, 54	0, 5, 12, 42
33	1, 2, 11, 21, 55	2, 7, 10, 43
34	0, 7, 15, 17, 56	0, 12, 13, 44
35	1, 6, 12, 22, 57	1, 5, 11, 45
36	0, 14, 15, 18, 58	0, 2, 7, 46
37	1, 13, 23, 59	10, 13, 47
38	0, 9, 10, 12, 60	1, 5, 11, 48
39	1, 3, 7, 19, 61	0, 7, 12, 49
40	0, 8, 17, 62	2, 10, 13, 50
41	1, 3, 9, 18, 63	1, 5, 11, 51
42	0, 4, 24, 64
43	1, 16, 18, 25, 65
44	0, 7, 9, 22, 66
45	1, 6, 10, 67

Also, as shown in the following Equation (3), an m_b×n_b integer matrix V=(V_ij) that consists of V_ij, which is the exponent of a circulant permutation matrix or the exponent representing a zero matrix in the parity check matrix in Equation (2), is referred to as an exponent matrix, a shift matrix, or a shift value matrix.

$\begin{array}{cc}V=\left(V_{\mathrm{ij}}\right)=\left[\begin{array}{cccccc}{V}_{11}& V_{12}& \dots & V_{1k_b}& \dots & V_{1n_b}\\ V_{21}& {\mathrm{<figure-callout\; id="22"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00001.png,US10756762-20200825-D00002.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{22}& \dots & p_{2k_b}& \dots & V_{2n_b}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ V_{m_{b}1}& V_{m_{b}2}& \dots & V_{m_b{k}_b}& \dots & V_{m_b{n}_b}\end{array}\right]& \left(3\right)\end{array}$

Generally, when an exponent matrix and Z, which is the size of the circulant permutation matrix corresponding to the exponent matrix, are known, the parity check matrix of LDPC code may be correctly determined. In other words, when the size of the circulant permutation matrix, Z×Z, is known, encoding and decoding of LDPC code may be performed based on the exponent matrix. Hereinafter, Z indicates the size of a circulant permutation matrix or a block size.

In order to store the parity check matrix of LDPC code, not only the method of storing an exponent matrix but also various other methods may be used. For example, when only the base matrix of given LDPC code and the elements V_ij that are not equal to −1 in Equation (3) are known, the parity check matrix of LDPC code may be correctly determined. As described above, in some cases, when only the base matrix of LDPC code, an LDPC sequence corresponding to elements V_ij of an exponent matrix, and Z, which is the size of a circulant permutation matrix, are stored, the same effect as storing the entire parity check matrix of LDPC code may be acquired. Consequently, there may be various methods algebraically having the same effect as the method of storing a parity check matrix.

In order to create LDPC code having a different length from a given single exponent matrix, as shown in Equation (3), or from an LDPC sequence, a lifting method may be used. For example, when an exponent matrix V=(V_ij), shown in Equation (3), is given, each element V_ij is converted into v_ij using the block size, Z, through v_ij(Z)=V_ij mod Z, and then a parity check matrix based on a Z×Z circulant permutation matrix may be defined for v_ij(Z), as shown in the following Equation (4), and may be used for LDPC encoding and decoding.

$\begin{array}{cc}H\left(Z\right)=\left(v_{\mathrm{ij}}\left(Z\right)\right)=\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{<figure-callout\; id="11"\; label="P\; v"\; filenames="US10756762-20200825-D00004.png"\; state="\{\{state\}\}">P</figure-callout>}}^{v_{}}& P^{v_{12}\left(Z\right)}& \dots & P^{v_{1k_b}\left(Z\right)}& \dots & P^{v_{1n_b}\left(Z\right)}\\ P^{v_{21}\left(Z\right)}& {\mathrm{<figure-callout\; id="22"\; label="P\; v"\; filenames="US10756762-20200825-D00001.png,US10756762-20200825-D00002.png"\; state="\{\{state\}\}">P</figure-callout>}}^{v_{}}& \dots & P^{v_{2k_b}\left(Z\right)}& \dots & P^{v_{2n_b}\left(Z\right)}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ P^{v_{m_{b}1}\left(Z\right)}& P^{v_{m_{b}2}\left(Z\right)}& \dots & P^{v_{m_b{k}_b}\left(Z\right)}& \dots & P^{v_{m_b{n}_b}\left(Z\right)}\end{array}\right]& \left(4\right)\end{array}$

When the given single exponent matrix is transformed into a new exponent matrix by converting elements V_ij into v_ij(Z) through v_ij(Z)=V_ij mod Z depending on the block size Z and the new exponent matrix is used, it is possible to acquire the same effect as storing various exponent matrices when only V=(V_ij) and the available value of Z are known. Therefore, the storage efficiency that is required when LDPC encoding and decoding are implemented may be maximized.

For example, block sizes may be categorized into eight sets, as shown in the following Equation (5), and different exponent matrices may be applied depending on the respective block size sets. All of the block sizes included in the block size sets in Equation (5) or some of the block sizes therein may be used in the system.
Set 1: Z ₁={2,4,8,16,32,64,128,256},
Set 2: Z ₂={3,6,12,24,48,96,192,384},
Set 3: Z ₃={5,10,20,40,80,160,320},
Set Z ₄={7,14,28,56,112,224},
Set 5: Z ₅={9,18,36,72,144,288},
Set 6: Z ₆={11,22,44,88,176,352},
Set 7: Z ₇={13,26,52,104,208},
Set 8: Z ₈={15,30,60,120,240}  (5)

FIG. 3 and FIG. 4 are views that show examples of exponent matrices corresponding to the basic graphs illustrated in FIG. 1 and FIG. 2.

Referring to FIG. 3 and FIG. 4, FIG. 3 shows an exponent matrix corresponding to the basic graph of FIG. 1, and FIG. 4 shows an exponent matrix corresponding to the basic graph of FIG. 2. Here, elements ‘0’s in the matrices shown in FIG. 1 and FIG. 2 are changed to ‘−1’s in the matrices shown in FIG. 3 and FIG. 4, and elements ‘1’s in the matrices shown in FIG. 1 and FIG. 2 are changed to integers, each of which falls within the range {0, 1, 2, . . . }, in the matrices shown in FIG. 3 and FIG. 4. Particularly, ‘1’s in the diagonal matrix D in FIG. 1 and FIG. 2 are changed to ‘0’s in D′ in the matrices illustrated in FIG. 3 and FIG. 4.

In the examples illustrated in FIG. 3 and FIG. 4, the matrix D′ is a matrix created by replacing elements ‘0’s in D, which is a diagonal matrix, with ‘−1’s and replacing elements ‘1’s in D with ‘0’s. That is, the matrix D′ may be a square matrix in which the elements of the main diagonal thereof are ‘0’s and the remaining elements are ‘−1’s. In the examples illustrated in FIG. 3 and FIG. 4, the matrix Z′ is a matrix created by replacing elements ‘0’s in Z, which is a zero matrix, with ‘−1’s. That is, the matrix Z′ may be a matrix in which all elements are equal to ‘−1’.

In the example illustrated in FIG. 3, the exponent matrix is a 46×68 matrix, Z′ is a 4×42 matrix in which all elements are equal to ‘−1’, D′ is a 42×42 matrix in which the elements of the main diagonal are equal to ‘0’ and the remaining elements are equal to ‘−1’, A′ is a 4×22 matrix, the elements of which are integers that fall within the range {−1, 0, 1, 2, . . . }, B′ is a 4×4 matrix, the elements of which are integers that fall within the range {−1, 0, 1, 2, . . . }, and C′ is a 42×26 matrix, the elements of which are integers that fall within the range {−1, 0, 1, 2, . . . }. The exponent matrix having the above-described structure may be referred to as a BG#1 type.

In the example illustrated in FIG. 4, the exponent matrix is a 42×52 matrix, Z′ is a 4×38 matrix in which all elements are equal to ‘−1’, D′ is a 38×38 matrix in which the elements of the main diagonal are equal to ‘0’ and the remaining elements are equal to ‘−1’, A′ is a 4×10 matrix, the elements of which are integers that fall within the range {−1, 0, 1, 2, . . . }, B′ is a 4×4 matrix, the elements of which are integers that fall within the range {−1, 0, 1, 2, . . . }, and C′ is a 38×14 matrix, the elements of which are integers that fall within the range {−1, 0, 1, 2, . . . }. The exponent matrix having the above-described structure may be referred to as a BG#2 type.

On the other hand, assuming that the basic graph is known, the exponent matrix in Equation (3) may store only exponent values that are not equal to −1 in order to reduce the amount of memory required for storage or to improve storage efficiency. Here, the exponent values that are not equal to −1 may be read column by column and stored, or the exponent values that are not equal to −1 may be read row by row and stored.

For example, the exponent matrix corresponding to BG#1 in Table 1, FIG. 1, and FIG. 3 may be represented as the following.

[BG#1—the efficient storage form of Set 1 (row by row)]

Value of V=[250 69 226 159 100 10 59 229 110 191 9 195 23 190 35 239 31 1 0 2 239 117 124 71 222 104 173 220 102 109 132 142 155 255 28 0 0 0 106 111 185 63 117 93 229 177 95 39 142 225 225 245 205 251 117 0 0 121 89 84 20 150 131 243 136 86 246 219 211 240 76 244 144 12 1 0 157 102 0 205 236 194 231 28 123 115 0 183 22 28 67 244 11 157 211 0 220 44 159 31 167 104 0 112 4 7 211 102 164 109 241 90 0 103 182 109 21 142 14 61 216 0 98 149 167 160 49 58 0 77 41 83 182 78 252 22 0 160 42 21 32 234 7 0 177 248 151 185 62 0 206 55 206 127 16 229 0 40 96 65 63 75 179 0 64 49 49 51 154 0 7 164 59 1 144 0 42 233 8 155 147 0 60 73 72 127 224 0 151 186 217 47 160 0 249 121 109 131 171 0 64 142 188 158 0 156 147 170 152 0 112 86 236 116 222 0 23 136 116 182 0 195 243 215 61 0 25 104 194 0 128 165 181 63 0 86 236 84 6 0 216 73 120 9 0 95 177 172 61 0 221 112 199 121 0 2 187 41 211 0 127 167 164 159 0 161 197 207 103 0 37 105 51 120 0 198 220 122 0 167 151 157 163 0 173 139 149 0 0 157 137 149 0 167 173 139 151 0 149 157 137 0 151 163 173 139 0 139 157 163 173 0 149 151 167 0]

Here, other exponent matrices may also be stored in the form of a sequence, as shown in the above example.

In order to explain the method for transforming a parity check matrix, proposed by the present invention, assume that the structure of the exponent matrix to be applied to each block size in FIG. 5 is the same as one of the following four Equations (6) to (9).

$\begin{array}{cc}V=\left(V_{\mathrm{ij}}\right)=\left[\begin{array}{cccccccccc}{\mathrm{<figure-callout\; id="11"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00004.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{11}& \dots & V_{1k_b}& 0& 0& -1& -1& -1& \dots & -1\\ V_{21}& \dots & V_{2k_b}& a& 0& 0& -1& -1& \dots & -1\\ V_{31}& \dots & V_{3k_b}& -1& -1& 0& 0& -1& \dots & -1\\ V_{41}& \dots & {\mathrm{<figure-callout\; id="4"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00001.png,US10756762-20200825-D00002.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{4k_b}& 0& -1& -1& 0& -1& \dots & -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& 0& -1& -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& -1& \ddots & -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& -1& -1& 0\end{array}\right]& \left(6\right)\\ V=\left(V_{\mathrm{ij}}\right)=\left[\begin{array}{cccccccccc}{\mathrm{<figure-callout\; id="11"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00004.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{11}& \dots & V_{1k_b}& 0& 0& -1& -1& -1& \dots & -1\\ V_{21}& \dots & V_{2k_b}& -1& 0& 0& -1& -1& \dots & -1\\ V_{31}& \dots & V_{3k_b}& a& -1& 0& 0& -1& \dots & -1\\ V_{41}& \dots & {\mathrm{<figure-callout\; id="4"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00001.png,US10756762-20200825-D00002.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{4k_b}& 0& -1& -1& 0& -1& \dots & -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& 0& -1& -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& -1& \ddots & -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& -1& -1& 0\end{array}\right]& \left(7\right)\\ V=\left(V_{\mathrm{ij}}\right)=\left[\begin{array}{cccccccccc}{\mathrm{<figure-callout\; id="11"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00004.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{11}& \dots & V_{1k_b}& a& 0& -1& -1& -1& \dots & -1\\ V_{21}& \dots & V_{2k_b}& 0& 0& 0& -1& -1& \dots & -1\\ V_{31}& \dots & V_{3k_b}& -1& -1& 0& 0& -1& \dots & -1\\ V_{41}& \dots & {\mathrm{<figure-callout\; id="4"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00001.png,US10756762-20200825-D00002.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{4k_b}& a& -1& -1& 0& -1& \dots & -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& 0& -1& -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& -1& \ddots & -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& -1& -1& 0\end{array}\right]& \left(8\right)\\ V=\left(V_{\mathrm{ij}}\right)=\left[\begin{array}{cccccccccc}{\mathrm{<figure-callout\; id="11"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00004.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{11}& \dots & V_{1k_b}& a& 0& -1& -1& -1& \dots & -1\\ V_{21}& \dots & V_{2k_b}& -1& 0& 0& -1& -1& \dots & -1\\ V_{31}& \dots & V_{3k_b}& 0& -1& 0& 0& -1& \dots & -1\\ V_{41}& \dots & {\mathrm{<figure-callout\; id="4"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00001.png,US10756762-20200825-D00002.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{4k_b}& a& -1& -1& 0& -1& \dots & -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& 0& -1& -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& -1& \ddots & -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& -1& -1& 0\end{array}\right]& \left(9\right)\end{array}$

The exponent matrices in Equations (6) to (9) have the structure illustrated in FIG. 3 or FIG. 4. That is, a 4×4 matrix that consists of elements in the (k_b+1)-th to (k_b+4)-th columns in the first row of the matrix shown in Equations (6) to (9), elements in the (k_b+1)-th to (k_b+4)-th columns in the second row thereof, elements in the (k_b+1)-th to (k_b+4)-th columns in the third row thereof, and elements in the (k_b+1)-th to (k_b+4)-th columns in the fourth row thereof corresponds to the matrix B′ in FIG. 3 and FIG. 4.

In Equations (6) to (9), a is an integer that satisfies 1≤a≤(Z_max−1) (where Z_max is the maximum block size). Here, Z_max may be the size of the largest block in the block size set defined in order to apply the exponent matrix V=(V_ij).

Here, an exponent matrix in which the first four elements in the (k_b+1)-th column-block consist of a single ‘a’, a single ‘−1’, and two ‘0’s, as shown in Equations (6) and (7), may be classified as type A, and an exponent matrix in which the first four elements in the (k_b+1)-th column-block consist of two ‘a’s, a single ‘−1’, and a single ‘0’, as shown in Equations (8) and (9), may be classified as type B.

The exponent matrix illustrated in FIG. 3, which corresponds to the base matrix in FIG. 1, may correspond to the exponent matrix structure in Equation (6) or (8) because the third element in the first column of the matrix B′ in FIG. 3 is ‘−1’. Also, the exponent matrix illustrated in FIG. 4, which corresponds to the base matrix in FIG. 2, may correspond to the exponent matrix structure in Equation (7) or (9) because the second element in the first column of the matrix B′ in FIG. 4 is ‘−1’.

Therefore, the exponent matrices having the structure illustrated in FIG. 3 or FIG. 4 may be classified as type A or type B.

According to an embodiment of the present invention, parity check matrices of LDPC code that have different formats (types) may be transformed into parity check matrices in a single unified format. Here, the format of a parity check matrix indicates the structure of a submatrix corresponding to the parity of the parity check matrix, and when the structures of the submatrices corresponding to the parity are the same, an LDPC encoding/decoding process may be identically applied.

According to an embodiment of the present invention, exponent matrices in the format of Equation (8) or (9) (type B) are transformed into exponent matrices in the format of Equation (6) or (7) (type A). Hereinafter, for the convenience of description, the process of transforming an exponent matrix in the format of Equation (8) into an exponent matrix in the format of Equation (6) will be described in detail.

Similarly, according to the present invention, it is possible to transform an exponent matrix in the format of Equation (6) into an exponent matrix in the format of Equation (8).

Also, it is possible to transform an exponent matrix in the format of Equation (9) into an exponent matrix in the format of Equation (7) and vice versa by applying the similar process.

In a parity check matrix, “column permutation” means the effect of rearranging only the order of codeword bits. Therefore, the performance of code is not affected by the application of a column permutation. That is, the algebraic characteristics of a parity check matrix are not changed even though a column permutation is applied thereto. The present invention considers a method and apparatus for encoding and decoding based on quasi-cyclic LDPC code. Accordingly, a column permutation may be applied using the characteristics of quasi-cyclic LDPC code.

When a modulo operation using Z_max is performed after ‘−a’ is applied to all of the exponents for the (k_b+1)-th column-block, the result has the same effect as the application of a circular column permutation to the parity check matrix. This process may be represented as the following Equation (10):
V′ _ij=(V _ij −a)mod Z _max for 0≤V _ij ≤Z _max−1  (10)

where V′_ij denotes elements of the column-permutated exponent matrix, V_ij denotes elements of a first exponent matrix, mod denotes a modulo operator, Z_max denotes the maximum block size, and a is a natural number greater than 0.

The above Equation (10) is applied only to the (k_b+1)-th column-block.

Here, because V_ij=−1 means a zero matrix, regardless of the column permutation that is applied thereto, the result always becomes a zero matrix. That is, regardless of the exponent value that is added thereto or deleted therefrom, V_ij=−1 is maintained. Therefore, when a modulo operation for Z_max is applied after ‘−a’ is applied to exponent values that are not equal to −1, among the exponent values for the (k_b+1)-th column block in Equation (8), the result may be represented as shown in the following Equation (11):

$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }=\left(V_{\mathrm{ij}}^{\prime }\right)=\left[\begin{array}{cccccccccc}{\mathrm{<figure-callout\; id="11"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00004.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{11}& \dots & V_{1k_b}& 0& 0& -1& -1& -1& \dots & -1\\ V_{21}& \dots & V_{2k_b}& Z_{\mathrm{ma}x}-a& 0& 0& -1& -1& \dots & -1\\ V_{31}& \dots & V_{3k_b}& -1& -1& 0& 0& -1& \dots & -1\\ V_{41}& \dots & {\mathrm{<figure-callout\; id="4"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00001.png,US10756762-20200825-D00002.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{4k_b}& 0& -1& -1& 0& -1& \dots & -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& 0& -1& -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& -1& \ddots & -1\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& -1& -1& 0\end{array}\right]& \left(11\right)\end{array}$

The present invention considers LDPC encoding and decoding for predetermined block size sets in Equation (5). Because block sizes included in each block set in Equation (5) are multiples of the preceding block sizes therein, even though a modulo operation for Z_max is applied as shown in Equation (10), the algebraic characteristic are not changed.

Then, the following Equation (12) is applied to the exponent matrix V′=(V′_ij), which is transformed as shown in Equation (11), whereby V_w=(W_ij) is created.

$\begin{array}{cc}{W}_{\mathrm{ij}}=\{\begin{array}{cc}{V}_{\mathrm{ij}}^{\prime },& V_{\mathrm{ij}}^{\prime }=-1,0,\\ Z_{\mathrm{ma}x}-V_{\mathrm{ij}}^{\prime },& V_{\mathrm{ij}}^{\prime }>0\end{array}.& \left(12\right)\end{array}$

where W_ij denotes elements of a second exponent matrix, V′_ij denotes elements of the column-permutated exponent matrix, and Z_max denotes the maximum block size.

In Equation (12), Z_max may also denote the maximum block size in the block size set defined for applying the exponent matrix.

The finally created V_w=(W_ij) may be represented as the following Equation (13):

$\begin{array}{cc}{V}_W=\hspace{1em}[\begin{array}{cccccccccccc}{Z}_{\mathrm{ma}x}& -{\mathrm{<figure-callout\; id="11"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00004.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{11}& \dots & Z_{\mathrm{ma}x}& -V_{1k_b}& 0& 0& -1& -1& -1& \dots & -1\\ Z_{\mathrm{ma}x}& -V_{21}& \dots & Z_{\mathrm{ma}x}& -V_{2k_b}& a& 0& 0& -1& -1& \dots & -1\\ Z_{\mathrm{ma}x}& -V_{31}& \dots & Z_{\mathrm{ma}x}& -V_{3k_b}& -1& -1& 0& 0& -1& \dots & -1\\ Z_{\mathrm{ma}x}& -V_{41}& \dots & Z_{\mathrm{ma}x}& -{\mathrm{<figure-callout\; id="4"\; label="V"\; filenames="US10756762-20200825-D00001.png,US10756762-20200825-D00002.png"\; state="\{\{state\}\}">V</figure-callout>}}_{4k_b}& 0& -1& -1& 0& -1& \dots & -1\\ & ⋮& \dots & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& 0& -1& -1\\ & ⋮& \dots & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& -1& \ddots & -1\\ & ⋮& \dots & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& -1& -1& 0\end{array}]& \left(13\right)\end{array}$

In the structure of Equation (13), the first four elements in the (k_b+1)-th column-block of V_w=(W_ij) are 0, a, −1 and 0, and these are the same as the first four elements in the (k_b+1)-th column-block of the exponent matrix in Equation (6). That is, it may be understood that the exponent matrix of Equation (8) of type B is transformed into the exponent matrix of Equation (6) of type A.

When the above-described embodiment of the present invention is applied, the exponent matrix of Equation (6) (type A) and the exponent matrix of Equation (8) (type B) may be transformed into each other, and the exponent matrix of Equation (7) (type A) and the exponent matrix of Equation (9) (type B) may be transformed into each other.

As described above, if the basic graph is known, the exponent matrix of Equation (13) may be stored using the method of storing only exponent values that are not equal to −1 in order to reduce the amount of memory required for storage and to improve storage efficiency. Here, the exponent values that are not equal to −1 may be read column by column or row by row and then stored.

For example, when the exponent matrix corresponding to BG#1 in Table 1, FIG. 1, and FIG. 3, which is stored row by row, is transformed using Equations (10) and (12) and stored column by column, it may be represented as the following:

[BG#1—the efficient storage form of the result of transformation of Set 1 (column by column)]

Value of V_w=[6 254 150 135 99 51 73 36 144 153 179 96 79 50 216 249 196 105 192 144 61 128 40 35 129 219 89 99 107 117 187 145 167 154 20 212 252 74 158 215 214 160 192 214 183 7 100 233 231 170 161 254 95 58 83 89 105 107 30 17 71 107 109 13 69 97 139 172 62 249 8 207 70 170 117 83 132 193 236 97 89 20 41 91 99 156 185 139 135 246 163 106 234 120 152 59 105 34 27 125 225 96 105 184 140 79 89 107 99 152 79 13 89 207 129 62 119 197 83 161 39 105 117 93 27 217 120 228 147 235 191 32 86 183 99 89 146 36 170 189 235 224 207 209 140 215 65 154 10 25 45 173 201 23 114 144 49 93 247 114 37 12 114 22 193 248 68 136 36 147 31 45 152 198 92 74 20 57 151 61 124 31 50 195 92 205 233 114 16 228 154 74 129 197 147 93 101 11 180 245 242 240 255 98 97 107 66 51 12 99 195 249 181 101 104 172 136 105 83 221 1 5 92 109 75 0 17 139 112 45 40 71 205 125 225 228 244 133 147 178 27 112 85 193 45 0 1 0 142 16 5 103 97 35 85 154 84 0 0 234 194 134 0 0 166 247 135 119 0 0 77 250 195 117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

Alternatively, when the exponent matrix corresponding to BG#1 in Table 1, FIG. 1, and FIG. 3, which is stored row by row, is transformed using Equations (10) and (12) and stored row by row, it may be represented as the following:

[BG#1—the efficient storage form of the result of transformation of Set 1 (row by row)]

Value of V_w=[6 187 30 97 156 246 197 27 146 65 247 61 233 66 221 17 225 0 0 254 17 139 132 185 34 152 83 36 154 147 124 114 101 1 228 1 0 0 150 145 71 193 139 163 27 79 161 217 114 31 31 11 51 5 139 0 0 135 167 172 236 106 125 13 120 170 10 37 45 16 180 12 112 244 0 0 99 154 0 51 20 62 25 228 133 142 0 73 234 228 189 12 245 99 45 0 36 212 97 225 89 152 0 144 252 249 45 154 92 147 16 166 0 153 74 147 235 114 242 195 40 0 158 107 89 96 207 198 0 179 215 173 74 178 5 234 0 96 214 235 224 22 249 0 79 8 105 71 194 0 50 201 50 129 240 27 0 216 160 191 193 181 77 0 192 207 207 205 103 0 249 92 197 255 112 0 214 23 248 101 109 0 196 183 184 129 32 0 105 70 39 209 97 0 7 135 147 125 85 0 192 114 68 98 0 100 109 86 104 0 144 170 20 140 35 0 233 120 140 74 0 61 13 41 195 0 231 152 62 0 128 91 75 193 0 170 20 172 250 0 40 183 136 247 0 161 79 85 195 0 35 144 57 135 0 254 69 215 45 0 129 89 92 97 0 95 59 49 154 0 219 151 205 136 0 58 36 134 0 89 105 99 93 0 83 117 107 0 0 99 119 107 0 89 83 117 105 0 107 99 119 0 105 93 83 117 0 117 99 93 84 0 107 105 89 0]

When a lifting method depending on the block size Z is applied to the exponent matrix of Equation (13), parity check matrices suitable for various block sizes may be created and applied to LDPC encoding and decoding.
w _ij(Z)=W _ij(mod Z)  (14)

where Z denotes a block size.

Finally, the parity check matrix may be represented as the following Equation (15):

$\begin{array}{cc}{H}_W\left(Z\right)=\left(w_{\mathrm{ij}}\left(Z\right)\right)=\hspace{1em}\left[\begin{array}{cccccccccc}{P}^{Z_{\mathrm{ma}x}-{\mathrm{<figure-callout\; id="11"\; label="v"\; filenames="US10756762-20200825-D00004.png"\; state="\{\{state\}\}">v</figure-callout>}}_{11}\left(Z\right)}& \dots & P^{Z_{\mathrm{ma}x}-v_{1k_b}\left(Z\right)}& I& I& O& O& O& \dots & O\\ P^{Z_{\mathrm{ma}x}-v_{21}\left(Z\right)}& \dots & P^{Z_{\mathrm{ma}x}-v_{2k_b}\left(Z\right)}& P^a& I& I& O& O& \dots & O\\ P^{Z_{\mathrm{ma}x}-v_{31}\left(Z\right)}& \dots & P^{Z_{\mathrm{ma}x}-v_{3k_b}\left(Z\right)}& O& O& I& I& O& \dots & O\\ P^{Z_{\mathrm{ma}x}-v_{41}\left(Z\right)}& \dots & P^{Z_{\mathrm{ma}x}-{\mathrm{<figure-callout\; id="4"\; label="v"\; filenames="US10756762-20200825-D00001.png,US10756762-20200825-D00002.png"\; state="\{\{state\}\}">v</figure-callout>}}_{4k_b}\left(Z\right)}& I& O& O& I& O& \dots & O\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& I& O& O\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& O& \ddots & O\\ ⋮& \dots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& O& O& I\end{array}\right]& \left(15\right)\end{array}$

where P denotes a circulant permutation matrix, I denotes an identity matrix, and O denotes a zero matrix.

FIG. 5 is a flowchart that shows a channel coding/decoding method according to an embodiment of the present invention.

Referring to FIG. 5, in the channel coding/decoding method according to an embodiment of the present invention, a first exponent matrix is loaded at step S510.

Also, in the channel coding/decoding method according to an embodiment of the present invention, the first exponent matrix is transformed into a second exponent matrix at step S520.

Here, step S520 may include performing a circular column permutation on one column of the first exponent matrix and thereby creating a column-permutated exponent matrix (Equation (10)); and creating conversion values for elements that are greater than 0 in the column-permutated exponent matrix and creating the second exponent matrix using the conversion values (Equation (12)).

Here, the one column may be the (k_b+1)-th column of the first exponent matrix (where k_b is a natural number that is acquired by subtracting the number of rows in the first exponent matrix from the number of columns therein).

Here, the first exponent matrix (V=(V_ij)) and the second exponent matrix (V_w=(W_ij)) may be classified as two types, which are a first type (type A) and a second type (type B), depending on the first four elements in the (k_b+1)-th column of the first exponent matrix.

Here, when the first four elements include only one natural number a, which is greater than 0, the exponent matrix may be classified as the first type, and when the first four elements include two natural numbers (a), the exponent matrix may be classified as the second type.

Here, when the first exponent matrix is the first type, the second exponent matrix is the second type, and when the first exponent matrix is the second type, the second exponent matrix is the first type.

Here, a circular column permutation may be performed using the natural number a, which is greater than 0.

Here, the circular column permutation may be performed using Equation (10).

Here, the conversion value may be created by subtracting the element that is greater than 0 in the column-permutated exponent matrix from the maximum block size (Z_max).

Here, the second exponent matrix may be created using Equation (12).

Also, in the channel coding/decoding method according to an embodiment of the present invention, a parity check matrix corresponding to the required block size is created using the second exponent matrix at step S530.

Here, at step S530, the parity check matrix may be created using Equation (14), and the created parity check matrix may be represented as shown in Equation (15).

Also, in the channel coding/decoding method according to an embodiment of the present invention, LDPC encoding/decoding is performed using the parity check matrix at step S540.

FIG. 6 is a block diagram that shows a communication system according to an embodiment of the present invention.

Referring to FIG. 6, in the communication system according to an embodiment of the present invention, a transmitter 10 and a receiver 30 communicate with each other via a physical channel 20.

The transmitter 10 creates n bits of codeword by encoding k bits of information bits 11 in a channel encoder 13. The codeword is modulated by a modulator 15 and transmitted through an antenna 17. The signal transmitted via the physical channel 20 is received by the antenna 31 of the receiver 30. In the receiver 30, the process performed in the transmitter 10 is performed in reverse order. That is, the received data is demodulated by a demodulator 33 and decoded by a channel decoder 35, whereby the information bits may be reconstructed.

The transmission/reception process described above includes minimal descriptive information in order to describe the characteristics of the present invention, and those skilled in the art to which the present invention pertains may understand that additional processes may be added for data transmission.

Particularly, the channel encoder and the channel decoder illustrated in FIG. 6 may transform the parity check matrix of given LDPC code and thereby create a new parity check matrix having similar algebraic characteristics, and may efficiently perform LDPC encoding/decoding through such transformation.

FIG. 7 is a block diagram that shows an example of the channel encoder (or channel decoder) illustrated in FIG. 6.

Referring to FIG. 7, an example of the channel encoder (or channel decoder) may be implemented in a computer system 700. As illustrated in FIG. 7, the computer system 700 may include one or more processors 710, memory 730, a user-interface input device 740, a user-interface output device 750, and storage 760, which communicate with each other via a bus 720. The computer system 700 may further include a network interface 770 connected with a network 780. The processor 710 may be a central processing unit (CPU) or a semiconductor device for executing processing instructions stored in the memory 730 or the storage 760. The memory 730 and the storage 760 may be various types of volatile or nonvolatile storage media. For example, the memory 730 may include ROM 731 or RAM 732.

Here, the memory 730 may store data pertaining to the first exponent matrix corresponding to the original parity check matrix.

Here, the processor 710 may create a parity check matrix corresponding to the second exponent matrix, which is created by transforming the first exponent matrix, and may perform LDPC encoding (or LDPC decoding) using the created parity check matrix.

Here, the second exponent matrix is created using conversion values for elements that are greater than 0 in a column-permutated exponent matrix, and the column-permutated exponent matrix may be created by performing a circular column permutation on one column of the first exponent matrix.

Here, the one column may be the (k_b+1)-th column of the first exponent matrix (where k_b is a natural number acquired by subtracting the number of rows in the first exponent matrix from the number of columns therein).

Here, the first exponent matrix and the second exponent matrix may be classified as two types, which are a first type (type A) and a second type (type B), depending on the first four elements in the (k_b+1)-th column of the first exponent matrix.

Here, when the first four elements include only one natural number a, which is greater than 0, the exponent matrix may be classified as the first type, and when the first four elements include two natural numbers (a), the exponent matrix may be classified as the second type.

Here, when the first exponent matrix is the first type, the second exponent matrix is the second type, and when the first exponent matrix is the second type, the second exponent matrix is the first type.

Here, a circular column permutation may be performed using the natural number a, which is greater than 0.

Here, the circular column permutation may be performed using Equation (10).

Here, the second exponent matrix may be created using Equation (12).

Accordingly, an embodiment of the present invention may be implemented as a nonvolatile computer-readable storage medium in which methods implemented using a computer or instructions executable in a computer are recorded. When the computer-readable instructions are executed by a processor, the computer-readable instructions may perform a method according to at least one aspect of the present invention.

Table 2 shows an example of the matrices A, B and C illustrated in FIG. 1, and Table 3 shows an example of the matrices A, B and C illustrated in FIG. 2.

That is, a basic graph may be formed in such a way that the matrices Z and D illustrated in FIG. 1 are added on the right side of the matrix illustrated in Table 2. Also, a basic graph may be formed in such a way that the matrices Z and D illustrated in FIG. 2 are added on the right side of the matrix illustrated in Table 3.

TABLE 2
1	1	1	1	0	1	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	0
1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	1	1	1	0	1	0	1	1	1	1	0
1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	0	0	1	1	1	0	1	1	1	1	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	0	1	1	1	0	1	1	1	1	1	0	1	1	1	0	1	1	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	0	1	0	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	0
1	1	0	0	1	0	0	1	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0	1	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	1	0	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	1
0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

TABLE 3
1	1	1	1	0	0	1	0	0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0
1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	1	0	1	1
0	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	0
1	0	0	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	0
0	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	1
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	0	0	1	0	1	1	0	0
1	1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1
0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1
0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	1	0
1	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1
0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1
1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0

Tables 4 to 11 show examples of the matrices A′, B′ and C′ illustrated in FIG. 3.

That is, the matrices Z′ and D′ illustrated in FIG. 3 are added on the right side of the matrix shown in any one of Tables 4 to 11, whereby an exponent matrix may be formed.

Referring to Tables 4 to 11, ‘0’ or natural numbers are located at the positions at which ‘1’s are located in FIG. 1.

Table 4, Table 5, Table 6, Table 7, Table 8, Table 9, Table 10, and Table 11 may correspond to Set 1, Set 2, Set 3, Set 4, Set 5, Set 6, Set 7, and Set 8 in Equation (5), respectively.

Referring to the number of natural numbers (a) in the leftmost column of the 4×4 matrix in the top-right corner of Tables 4 to 11, Table 4 is type B, Table 5 is type B, Table 6 is type B, Table 7 is type B, Table 8 is type B, Table 9 is type B, Table 10 is type A, and Table 11 is type B.

TABLE 4
250	69	226	159	−1	100	10	−1	−1	59	229	110	191	9
2	−1	239	117	124	71	−1	222	104	173	−1	220	102	−1
106	111	185	−1	63	117	93	229	177	95	39	−1	−1	142
121	89	−1	84	20	−1	150	131	243	−1	136	86	246	219
157	102	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
205	236	−1	194	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	231	−1
183	−1	−1	−1	−1	−1	22	−1	−1	−1	28	67	−1	244
220	44	−1	−1	159	−1	−1	31	167	−1	−1	−1	−1	−1
112	4	−1	7	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	211	−1
103	182	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	109	21	−1	142
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TABLE 5
307	19	50	369	−1	181	216	−1	−1	317	288	109	17	357
76	−1	76	73	288	144	−1	331	331	178	−1	295	342	−1
205	250	328	−1	332	256	161	267	160	63	129	−1	−1	200
276	87	−1	0	275	−1	199	153	56	−1	132	305	231	341
332	181	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
195	14	−1	115	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	166	−1
278	−1	−1	−1	−1	−1	257	−1	−1	−1	1	351	−1	92
9	62	−1	−1	316	−1	−1	333	290	−1	−1	−1	−1	−1
307	179	−1	165	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	18	−1
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48	102	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	8	−1
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TABLE 6
73	15	103	49	−1	240	39	−1	−1	15	162	215	164	133
303	−1	294	27	261	161	−1	133	4	80	−1	129	300	−1
68	7	80	−1	280	38	227	202	200	71	106	−1	−1	295
220	208	−1	30	197	−1	61	175	79	−1	281	303	253	164
233	205	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
83	292	−1	50	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	318	−1
289	−1	−1	−1	−1	−1	21	−1	−1	−1	293	13	−1	232
12	88	−1	−1	207	−1	−1	50	25	−1	−1	−1	−1	−1
295	133	−1	130	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	231	−1
189	244	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	36	286	−1	151
−1	14	80	−1	211	−1	−1	75	161	−1	−1	−1	−1	−1
16	147	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	290	−1
229	235	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	169	48	−1	105
39	−1	−1	302	−1	−1	−1	303	−1	−1	−1	−1	−1	−1
78	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	299	−1
229	290	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	60	−1	−1	130
−1	69	−1	140	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	45	−1	−1
257	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	260	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	294	291
64	181	−1	−1	−1	−1	−1	101	270	−1	41	−1	−1	−1
301	−1	−1	162	−1	−1	−1	−1	−1	40	−1	130	−1	−1
−1	79	−1	−1	−1	175	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
177	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	20	55
−1	249	50	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	133	−1	−1	−1
289	−1	−1	280	110	−1	−1	−1	−1	−1	−1	187	−1	−1
−1	172	−1	−1	−1	−1	295	96	−1	−1	−1	−1	−1	−1
270	−1	110	−1	318	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	210	−1	−1	−1	−1	29	−1	304	−1	−1	−1	−1	−1
11	−1	−1	−1	293	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	27	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
91	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	23	−1	−1	105
−1	222	−1	−1	−1	−1	−1	308	−1	−1	−1	−1	−1	−1
210	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	22	−1
−1	170	20	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	140	−1	−1
187	−1	−1	−1	−1	−1	−1	296	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	207	−1	−1	−1	−1	158	−1	−1	−1	−1	−1	55	−1
259	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
1	298	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	15
151	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	179	64	−1	181	−1
−1	102	−1	77	−1	−1	−1	192	−1	−1	−1	−1	−1	−1
32	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	80	−1	−1	−1	−1	−1
−1	154	−1	47	−1	−1	−1	−1	−1	124	−1	−1	−1	−1
226	−1	−1	−1	65	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	228	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
234	−1	−1	−1	−1	−1	−1	227	−1	259	−1	−1	−1	−1
−1	101	−1	−1	−1	−1	228	−1	−1	−1	126	−1	−1	−1

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141

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208

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−1

TABLE 7
223	16	94	91	−1	74	10	−1	−1	0	205	216	21	215
141	−1	45	151	46	119	−1	157	133	87	−1	206	93	−1
207	203	31	−1	176	180	186	95	153	177	70	−1	−1	77
201	18	−1	165	5	−1	45	142	16	−1	34	155	213	147
170	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
164	59	−1	86	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	80	−1
158	−1	−1	−1	−1	−1	119	−1	−1	−1	113	21	−1	63
17	76	−1	−1	104	−1	−1	100	150	−1	−1	−1	−1	−1
33	95	−1	4	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	217	−1
9	37	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	213	105	−1	89
−1	82	165	−1	174	−1	−1	19	194	−1	−1	−1	−1	−1
57	11	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	2	−1
142	175	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	136	3	−1	28
81	−1	−1	56	−1	−1	−1	72	−1	−1	−1	−1	−1	−1
14	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	175	−1
90	120	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	131	−1	−1	209
−1	154	−1	164	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	43	−1	−1
56	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	199	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	110	200
8	6	−1	−1	−1	−1	−1	103	198	−1	8	−1	−1	−1
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−1	192	−1	−1	−1	131	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
53	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	0	3
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−1	208	−1	−1	−1	−1	141	−1	174	−1	−1	−1	−1	−1
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34	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	130	−1	−1	210
−1	175	−1	−1	−1	−1	−1	49	−1	−1	−1	−1	−1	−1
192	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	209	−1
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−1	12	−1	77	−1	−1	−1	49	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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−1	23	−1	215	−1	−1	−1	−1	−1	60	−1	−1	−1	−1
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−1	206	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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TABLE 8
211	198	188	186	−1	219	4	−1	−1	29	144	116	216	115
179	−1	162	223	256	160	−1	76	202	117	−1	109	15	−1
258	167	220	−1	133	243	202	218	63	0	3	−1	−1	74
187	145	−1	166	108	−1	82	132	197	−1	41	162	57	36
246	235	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
261	181	−1	72	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	283	−1
80	−1	−1	−1	−1	−1	144	−1	−1	−1	169	90	−1	59
169	189	−1	−1	154	−1	−1	184	104	−1	−1	−1	−1	−1
54	0	−1	252	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	41	−1
162	159	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	93	134	−1	45
−1	178	1	−1	28	−1	−1	267	234	−1	−1	−1	−1	−1
55	23	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	274	−1
225	162	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	244	151	−1	238
231	−1	−1	0	−1	−1	−1	216	−1	−1	−1	−1	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	186	−1
170	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	183	−1	−1	108
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153	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	161	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	151	0
0	0	−1	−1	−1	−1	−1	118	144	−1	0	−1	−1	−1
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−1	180	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	0	−1	−1	−1
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−1	205	−1	−1	−1	−1	0	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1
0	−1	0	−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	45	−1	−1	−1	−1	36	−1	72	−1	−1	−1	−1	−1
275	−1	−1	−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	90	−1	−1	252
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0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	211	−1
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190	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	0	0	−1	0	−1
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57

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TABLE 9
294	118	167	330	−1	207	165	−1	−1	243	250	1	339	201
77	−1	225	96	338	268	−1	112	302	50	−1	167	253	−1
226	35	213	−1	302	111	265	128	237	294	127	−1	−1	110
97	94	−1	49	279	−1	139	166	91	−1	106	246	345	269
42	256	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
219	130	−1	251	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	322	−1
294	−1	−1	−1	−1	−1	73	−1	−1	−1	330	99	−1	172
3	103	−1	−1	224	−1	−1	297	215	−1	−1	−1	−1	−1
348	75	−1	22	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	312	−1
156	88	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	293	111	−1	92
−1	175	253	−1	27	−1	−1	231	49	−1	−1	−1	−1	−1
25	322	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	200	−1
123	217	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	142	110	−1	176
311	−1	−1	251	−1	−1	−1	265	−1	−1	−1	−1	−1	−1
22	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	322	−1
176	348	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	15	−1	−1	81
−1	190	−1	293	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	332	−1	−1
110	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	47	−1	−1	−1	−14	−1	−1	−1	−1	−1	−1	286	246
87	110	−1	−1	−1	−1	−1	147	258	−1	204	−1	−1	−1
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−1	162	−1	−1	−1	264	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
280	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	157	236
−1	18	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	181	−1	−1	−1
38	−1	−1	170	249	−1	−1	−1	−1	−1	−1	288	−1	−1
−1	279	−1	−1	−1	−1	255	111	−1	−1	−1	−1	−1	−1
325	−1	326	−1	226	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	91	−1	−1	−1	−1	326	−1	268	−1	−1	−1	−1	−1
102	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	273	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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−1	100	−1	−1	−1	−1	210	−1	−1	−1	−1	−1	195	−1
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−1	236	−1	264	−1	−1	−1	37	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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−1	123	−1	77	−1	−1	−1	−1	−1	25	−1	−1	−1	−1
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−1	210	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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−1	82	−1	−1	−1	−1	67	−1	−1	−1	235	−1	−1	−1

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TABLE 10
0	0	0	0	−1	0	0	−1	−1	0	0	0	0	0
22	−1	11	124	0	10	−1	0	0	2	−1	16	60	−1
132	37	21	−1	180	4	149	48	38	122	195	−1	−1	155
4	6	−1	33	113	−1	49	21	6	−1	151	83	154	87
24	204	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
185	100	−1	24	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	65	−1
6	−1	−1	−1	−1	−1	27	−1	−1	−1	163	50	−1	48
145	88	−1	−1	112	−1	−1	153	159	−1	−1	−1	−1	−1
172	2	−1	131	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	141	−1
6	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	145	53	−1	201
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184	394	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	123	−1
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52	−1	−1	147	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	202	−1
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−1	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	41	167
12	6	−1	−1	−1	−1	−1	166	184	−1	191	−1	−1	−1
6	−1	−1	12	−1	−1	−1	−1	−1	15	−1	5	−1	−1
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4	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	92	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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−1	4	−1	−1	−1	−1	45	−1	−1	−1	−1	−1	168	−1
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3

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−1

−1

TABLE 11
135	227	126	134	−1	84	83	−1	−1	53	225	205	128	75
96	−1	236	136	221	128	−1	92	172	56	−1	11	189	−1
189	4	225	−1	151	236	117	179	92	24	68	−1	−1	6
128	23	−1	162	220	−1	43	186	96	−1	−1	216	22	24
64	211	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
2	171	−1	47	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	143	−1
199	−1	−1	−1	−1	−1	22	−1	−1	−1	23	100	−1	92
77	146	−1	−1	209	−1	−1	32	166	−1	−1	−1	−1	−1
181	105	−1	141	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	223	−1
169	12	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	206	221	−1	17
−1	116	151	−1	70	−1	−1	230	115	−1	−1	−1	−1	−1
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−1	183	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	215	180
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−1	115	−1	188	−1	−1	−1	168	−1	−1	−1	−1	−1	−1
4	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	103	−1	−1	−1	−1	−1
−1	53	−1	189	−1	−1	−1	−1	−1	215	−1	−1	−1	−1
222	−1	−1	−1	170	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	22	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
191	−1	−1	−1	−1	−1	−1	211	−1	187	−1	−1	−1	−1
−1	177	−1	−1	−1	−1	114	−1	−1	−1	93	−1	−1	−1

−1

135

217

−1

220

90

105

137

1

0

−1

−1

95

85

153

87

−1

163

−1

216

0

0

0

−1

101

33

−1

96

125

67

230

−1

−1

−1

0

0

167

−1

200

32

235

−1

172

219

1

−1

−1

0

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

210

−1

−1

−1

−1

180

180

−1

−1

−1

−1

−1

−1

207

52

−1

13

−1

−1

−1

−1

−1

18

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

177

−1

−1

145

−1

199

153

−1

38

−1

−1

−1

−1

212

92

−1

205

−1

−1

−1

−1

−1

84

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

152

165

107

−1

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−1

−1

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−1

80

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−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

178

−1

−1

150

−1

−1

−1

182

95

72

−1

−1

−1

76

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

142

−1

−1

−1

−1

−1

−1

49

−1

−1

−1

−1

−1

−1

5

−1

205

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−1

−1

112

−1

106

219

−1

−1

−1

129

−1

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−1

−1

−1

−1

−1

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143

14

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−1

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−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

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−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

130

−1

−1

−1

−1

−1

215

−1

−1

−1

65

216

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

178

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

199

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

58

−1

−1

−1

181

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

98

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−1

−1

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−1

−1

−1

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−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

200

−1

205

−1

−1

−1

−1

32

−1

−1

−1

118

−1

−1

−1

−1

−1

−1

103

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

105

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

175

−1

−1

108

151

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

211

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

65

−1

−1

−1

−1

−1

142

−1

180

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

100

−1

−1

−1

207

42

−1

−1

100

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

161

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

52

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

30

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

24

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

71

−1

−1

−1

127

−1

49

−1

−1

−1

−1

−1

−1

125

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

148

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

Tables 12 to 19 show examples of the matrices A′, B′ and C′ illustrated in FIG. 4.

That is, the matrices Z′ and D′ illustrated in FIG. 4 are added on the right side of the matrix shown in any one of Tables 12 to 19, whereby an exponent matrix may be formed.

Referring to Tables 12 to 19, ‘0’ or natural numbers are located at positions at which ‘1’s are located in FIG. 2.

Table 12, Table 13, Table 14, Table 15, Table 16, Table 17, Table 18, and Table 19 may correspond to Set 1, Set 2, Set 3, Set 4, Set 5, Set 6, Set 7, and Set 8 in Equation (5), respectively.

Referring to the number of natural numbers (a) in the leftmost column of the 4×4 matrix in the top-right corner of Tables 12 to 19, Table 12 is type A, Table 13 is type A, Table 14 is type A, Table 15 is type B, Table 16 is type A, Table 17 is type A, Table 18 is type A, and Table 19 is type B.

TABLE 12
9	117	204	26	−1	−1	189	−1	−1	205	0	0	−1	−1
167	−1	−1	166	253	125	226	156	224	252	−1	0	0	−1
81	114	−1	44	52	−1	−1	−1	240	−1	1	−1	0	0
−1	8	58	−1	158	104	209	54	18	128	0	−1	−1	0
179	214	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	71	−1	−1
231	41	−1	−1	−1	194	−1	159	−1	−1	−1	103	−1	−1
155	−1	−1	−1	−1	228	−1	45	−1	28	−1	158	−1	−1
−1	129	−1	−1	−1	147	−1	140	−1	−1	−1	3	−1	116
142	94	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	230	−1
−1	203	−1	−1	−1	−1	−1	−1	205	−1	61	247	−1	−1
11	185	−1	−1	−1	−1	0	117	−1	−1	−1	−1	−1	−1
11	−1	−1	−1	−1	−1	−1	236	−1	210	−1	−1	−1	56
−1	63	−1	111	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	14	−1	−1
83	2	−1	−1	−1	−1	−1	−1	38	−1	−1	−1	−1	222
−1	115	−1	−1	−1	−1	145	−1	−1	−1	−1	3	−1	232
51	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	175	213	−1	−1
−1	203	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	142	−1	8	242	−1
−1	254	−1	−1	−1	124	−1	−1	−1	−1	−1	114	64	−1
220	−1	−1	−1	−1	−1	194	50	−1	−1	−1	−1	−1	−1
87	20	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	185	−1	−1	−1
−1	26	−1	−1	105	−1	−1	−1	−1	−1	−1	29	−1	−1
76	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	42	−1	−1	−1	−1	210
−1	222	63	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
23	−1	−1	235	−1	238	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	46	139	−1	−1	−1	−1	−1	−1	8	−1	−1	−1	−1
228	−1	−1	−1	−1	156	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	29	−1	−1	−1	−1	143	−1	−1	−1	−1	160	122
8	−1	−1	−1	−1	−1	151	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	98	101	−1	−1	135	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
18	−1	−1	−1	28	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	71	−1	−1	240	−1	9	−1	84	−1	−1	−1	1
−1	106	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
242	−1	−1	−1	−1	44	−1	−1	−1	−1	−1	−1	166	−1
−1	−1	132	−1	−1	−1	−1	164	−1	−1	235	−1	−1	−1
147	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	85	36
−1	57	−1	−1	−1	40	−1	−1	−1	−1	−1	63	−1	−1
140	−1	38	−1	−1	−1	−1	154	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	219	−1	−1	151
−1	31	−1	−1	−1	66	−1	−1	−1	−1	−1	38	−1	−1
239	−1	−1	−1	−1	−1	−1	172	−1	−1	−1	−1	34	−1
−1	−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	75	−1	−1	120
−1	129	−1	−1	−1	229	−1	−1	−1	−1	−1	118	−1	−1

TABLE 13
174	97	166	66	−1	−1	71	−1	−1	172	0	0	−1	−1
27	−1	−1	36	48	92	31	187	185	3	−1	0	0	−1
25	114	−1	117	110	−1	−1	−1	114	−1	1	−1	0	0
−1	136	175	−1	113	72	123	118	28	186	0	−1	−1	0
72	74	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	29	−1	−1
10	44	−1	−1	−1	121	−1	80	−1	−1	−1	48	−1	−1
129	−1	−1	−1	−1	92	−1	100	−1	49	−1	184	−1	−1
−1	80	−1	−1	−1	186	−1	16	−1	−1	−1	102	−1	143
118	70	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	152	−1
−1	28	−1	−1	−1	−1	−1	−1	132	−1	185	178	−1	−1
59	104	−1	−1	−1	−1	22	52	−1	−1	−1	−1	−1	−1
32	−1	−1	−1	−1	−1	−1	92	−1	174	−1	−1	−1	154
−1	39	−1	93	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	11	−1	−1
49	125	−1	−1	−1	−1	−1	−1	35	−1	−1	−1	−1	166
−1	19	−1	−1	−1	−1	118	−1	−1	−1	−1	21	−1	163
68	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	63	81	−1	−1
−1	87	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	177	−1	135	64	−1
−1	158	−1	−1	−1	23	−1	−1	−1	−1	−1	9	6	−1
186	−1	−1	−1	−1	−1	6	46	−1	−1	−1	−1	−1	−1
58	42	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	156	−1	−1	−1
−1	76	−1	−1	61	−1	−1	−1	−1	−1	−1	153	−1	−1
157	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	175	−1	−1	−1	−1	67
−1	20	52	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
106	−1	1	86	−1	95	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	182	153	−1	−1	−1	−1	1	−1	64	−1	−1	−1	−1
45	−1	−1	−1	−1	21	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	67	−1	−1	−1	−1	137	−1	−1	−1	−1	55	85
103	−1	−1	−1	−1	−1	50	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	70	111	−1	−1	168	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
110	−1	−1	−1	17	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	120	−1	−1	154	−1	52	−1	56	−1	−1	−1	−1
−1	3	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	170
84	−1	−1	−1	1	8	−1	−1	−1	−1	−1	−1	17	−1
−1	−1	165	−1	−1	−1	−1	179	−1	−1	124	−1	−1	−1
173	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	177	12
−1	77	−1	−1	−1	184	−1	−1	−1	−1	−1	18	−1	−1
25	−1	151	−1	−1	−1	−1	170	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	37	−1	−1	31
−1	84	−1	−1	−1	151	−1	−1	−1	−1	−1	190	−1	−1
93	−1	−1	−1	−1	−1	−1	132	−1	−1	−1	−1	57	−1
−1	−1	103	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	107	−1	−1	163
−1	147	−1	−1	−1	7	−1	−1	−1	−1	−1	60	−1	−1

TABLE 14
0	0	0	0	−1	−1	0	−1	−1	0	0	0	−1	−1
137	−1	−1	124	0	0	88	0	0	55	−1	0	0	−1
20	94	−1	99	9	−1	−1	−1	108	−1	1	−1	0	0
−1	38	15	−1	102	146	12	57	53	46	0	−1	−1	0
0	136	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	157	−1	−1
0	131	−1	−1	−1	142	−1	141	−1	−1	−1	64	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	124	−1	99	−1	45	−1	148	−1	−1
−1	0	−1	−1	−1	45	−1	148	−1	−1	−1	96	−1	78
0	65	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	87	−1
−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	97	−1	51	85	−1	−1
0	17	−1	−1	−1	−1	156	20	−1	−1	−1	−1	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	7	−1	4	−1	−1	−1	2
−1	0	−1	113	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	48	−1	−1
0	112	−1	−1	−1	−1	−1	−1	102	−1	−1	−1	−1	26
−1	0	−1	−1	−1	−1	138	−1	−1	−1	−1	57	−1	27
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	73	99	−1	−1
−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	79	−1	111	143	−1
−1	0	−1	−1	−1	24	−1	−1	−1	−1	−1	109	18	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	18	86	−1	−1	−1	−1	−1	−1
0	158	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	154	−1	−1	−1
−1	0	−1	−1	148	−1	−1	−1	−1	−1	−1	104	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	17	−1	−1	−1	−1	33
−1	0	4	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
0	−1	−1	75	−1	158	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	0	69	−1	−1	−1	−1	−1	−1	87	−1	−1	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	65	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	0	−1	−1	−1	−1	100	−1	−1	−1	−1	13	7
0	−1	−1	−1	−1	−1	32	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	0	126	−1	−1	110	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
0	−1	−1	−1	154	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	0	−1	−1	35	−1	51	−1	134	−1	−1	−1	−1
−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	20
0	−1	−1	−1	−1	20	−1	−1	−1	−1	−1	−1	122	−1
−1	−1	0	−1	−1	−1	−1	88	−1	−1	13	−1	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	19	78
−1	0	−1	−1	−1	157	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1
0	−1	63	−1	−1	−1	−1	82	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	0	−1	−1	144
−1	0	−1	−1	−1	93	−1	−1	−1	−1	−1	19	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	24	−1	−1	−1	−1	138	−1
−1	−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	36	−1	−1	143
−1	0	−1	−1	−1	2	−1	−1	−1	−1	−1	55	−1	−1

TABLE 15
72	110	23	181	−1	−1	95	−1	−1	8	1	0	−1	−1
53	−1	−1	156	115	156	115	200	29	31	−1	0	0	−1
152	131	−1	46	191	−1	−1	−1	91	−1	0	−1	0	0
−1	185	6	−1	36	124	124	110	156	133	1	−1	−1	0
200	16	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	101	−1	−1
185	138	−1	−1	−1	170	−1	219	−1	−1	−1	193	−1	−1
123	−1	−1	−1	−1	55	−1	31	−1	222	−1	209	−1	−1
−1	103	−1	−1	−1	13	−1	105	−1	−1	−1	150	−1	181
147	43	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	152	−1
−1	2	−1	−1	−1	−1	−1	−1	30	−1	184	83	−1	−1
174	150	−1	−1	−1	−1	8	56	−1	−1	−1	−1	−1	−1
99	4	−1	−1	−1	−1	−1	138	−1	110	−1	−1	−1	99
−1	46	−1	217	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	109	−1	−1
37	113	−1	−1	−1	−1	−1	−1	143	−1	−1	−1	−1	140
−1	36	−1	−1	−1	−1	95	−1	−1	−1	−1	40	−1	116
116	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	200	110	−1	−1
−1	75	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	158	−1	134	97	−1
−1	48	−1	−1	−1	132	−1	−1	−1	−1	−1	206	2	−1
68	−1	−1	−1	−1	−1	16	156	−1	−1	−1	−1	−1	−1
35	138	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	86	−1	−1	−1
−1	6	−1	−1	20	−1	−1	−1	−1	−1	−1	141	−1	−1
80	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	43	−1	−1	−1	−1	81
−1	49	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
156	−1	−1	54	−1	134	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	153	88	−1	−1	−1	−1	−1	−1	63	−1	−1	−1	−1
211	−1	−1	−1	−1	94	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	90	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	221	6
27	−1	−1	−1	−1	−1	118	−1	1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	216	212	−1	−1	193	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
108	−1	−1	−1	61	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	106	−1	−1	44	−1	185	−1	176	−1	−1	−1	−1
−1	147	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	182
108	−1	−1	−1	−1	21	−1	−1	−1	−1	−1	−1	110	−1
−1	−1	71	−1	−1	−1	−1	12	−1	−1	109	−1	−1	−1
29	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	201	69
−1	91	−1	−1	−1	165	−1	−1	−1	−1	−1	55	−1	−1
−1	−1	175	−1	−1	−1	−1	83	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	40	−1	−1	12
−1	37	−1	−1	−1	97	−1	−1	−1	−1	−1	46	−1	−1
106	−1	−1	−1	−1	−1	−1	181	−1	−1	−1	−1	154	−1
−1	−1	98	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	35	−1	−1	36
−1	120	−1	−1	−1	101	−1	−1	−1	−1	−1	81	−1	−1

TABLE 16
3	26	53	35	−1	−1	115	−1	−1	127	0	0	−1	−1
19	−1	−1	94	104	66	84	98	69	50	−1	0	0	−1
95	106	−1	92	110	−1	−1	−1	111	−1	1	−1	0	0
−1	120	121	−1	22	4	73	49	128	79	0	−1	−1	0
42	24	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	51	−1	−1
40	140	−1	−1	−1	84	−1	137	−1	−1	−1	71	−1	−1
109	−1	−1	−1	−1	87	−1	107	−1	133	−1	139	−1	−1
−1	97	−1	−1	−1	135	−1	35	−1	−1	−1	108	−1	65
70	69	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	88	−1
−1	97	−1	−1	−1	−1	−1	−1	40	−1	24	49	−1	−1
46	41	−1	−1	−1	−1	101	96	−1	−1	−1	−1	−1	−1
28	−1	−1	−1	−1	−1	−1	30	−1	116	−1	−1	−1	64
−1	33	−1	122	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	131	−1	−1
76	37	−1	−1	−1	−1	−1	−1	62	−1	−1	−1	−1	47
−1	143	−1	−1	−1	−1	51	−1	−1	−1	−1	130	−1	97
139	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	96	128	−1	−1
−1	48	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	9	−1	28	8	−1
−1	120	−1	−1	−1	43	−1	−1	−1	−1	−1	65	42	−1
17	−1	−1	−1	−1	−1	106	142	−1	−1	−1	−1	−1	−1
79	28	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	41	−1	−1	−1
−1	2	−1	−1	103	−1	−1	−1	−1	−1	−1	78	−1	−1
91	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	75	−1	−1	−1	−1	81
−1	54	132	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
68	−1	−1	115	−1	56	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	30	42	−1	−1	−1	−1	−1	−1	101	−1	−1	−1	−1
128	−1	−1	−1	−1	63	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	142	−1	−1	−1	−1	28	−1	−1	−1	−1	100	133
13	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	106	77	−1	−1	43	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
133	−1	−1	−1	25	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	87	−1	−1	56	−1	104	−1	70	−1	−1	−1	−1
−1	80	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	139
32	−1	−1	−1	−1	89	−1	−1	−1	−1	−1	−1	71	−1
1	−1	135	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	2	−1	−1	−1
37	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	25	114
−1	60	−1	−1	−1	137	−1	−1	−1	−1	−1	93	−1	−1
121	−1	129	−1	−1	−1	−1	26	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	97	−1	−1	56
−1	−1	−1	−1	−1	70	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
119	−1	−1	−1	−1	−1	−1	32	−1	−1	−1	−1	142	−1
−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	73	−1	−1	102
−1	48	−1	−1	−1	47	−1	−1	−1	−1	−1	19	−1	−1

TABLE 17
156	143	14	3	−1	−1	40	−1	−1	123	0	0	−1	−1
17	−1	−1	65	63	1	55	37	171	133	−1	0	0	−1
98	168	−1	107	82	−1	−1	−1	142	−1	1	−1	0	0
−1	53	174	−1	174	127	17	89	17	105	0	−1	−1	0
86	67	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	83	−1	−1
79	84	−1	−1	−1	35	−1	103	−1	−1	−1	60	−1	−1
47	−1	−1	−1	−1	154	−1	10	−1	155	−1	29	−1	−1
−1	48	−1	−1	−1	125	−1	24	−1	−1	−1	47	−1	55
53	31	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	161	−1
−1	104	−1	−1	−1	−1	−1	−1	142	−1	99	64	−1	−1
111	25	−1	−1	−1	−1	174	23	−1	−1	−1	−1	−1	−1
91	−1	−1	−1	−1	−1	−1	175	−1	24	−1	−1	−1	141
−1	122	−1	11	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1
29	91	−1	−1	−1	−1	−1	−1	27	−1	−1	−1	−1	127
−1	11	−1	−1	−1	−1	145	−1	−1	−1	−1	8	−1	166
137	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	103	40	−1	−1
−1	78	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	158	−1	17	165	−1
−1	134	−1	−1	−1	23	−1	−1	−1	−1	−1	62	163	−1
173	−1	−1	−1	−1	−1	31	22	−1	−1	−1	−1	−1	1
13	135	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	145	−1	−1	−1
−1	128	−1	−1	52	−1	−1	−1	−1	−1	−1	173	−1	−1
156	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	166	−1	−1	−1	−1	40
−1	18	163	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
110	−1	−1	132	−1	150	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	113	108	−1	−1	−1	−1	−1	−1	61	−1	−1	−1	−1
72	−1	−1	−1	−1	136	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	36	−1	−1	−1	−1	38	−1	−1	−1	−1	53	145
42	−1	−1	−1	−1	−1	104	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	64	24	−1	−1	149	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
139	−1	−1	−1	161	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	84	−1	−1	173	−1	93	−1	29	−1	−1	−1	−1
−1	117	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	148
116	−1	−1	−1	−1	73	−1	−1	−1	−1	−1	−1	142	−1
−1	−1	105	−1	−1	−1	−1	137	−1	−1	29	−1	−1	−1
11	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	41	162
−1	126	−1	−1	−1	152	−1	−1	−1	−1	−1	172	−1	−1
73	−1	154	−1	−1	−1	−1	129	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	167	−1	−1	38
−1	112	−1	−1	−1	7	−1	−1	−1	−1	−1	19	−1	−1
109	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	105	−1
−1	−1	160	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	156	−1	−1	82
−1	132	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	8	−1	−1

TABLE 18
143	19	176	165	−1	−1	196	−1	−1	13	0	0	−1	−1
18	−1	−1	27	3	102	185	17	14	180	−1	0	0	−1
126	163	−1	47	183	−1	−1	−1	132	−1	1	−1	0	0
−1	36	48	−1	18	111	203	3	191	160	0	−1	−1	0
43	27	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	117	−1	−1
136	49	−1	−1	−1	36	−1	132	−1	−1	−1	62	−1	−1
7	−1	−1	−1	−1	34	−1	198	−1	168	−1	12	−1	−1
−1	163	−1	−1	−1	78	−1	143	−1	−1	−1	107	−1	58
101	177	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	22	−1
−1	186	−1	−1	−1	−1	−1	−1	27	−1	205	81	−1	−1
125	60	−1	−1	−1	−1	177	51	−1	−1	−1	−1	−1	−1
39	−1	−1	−1	−1	−1	−1	29	−1	35	−1	−1	−1	8
−1	18	−1	155	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	49	−1	−1
32	53	−1	−1	−1	−1	−1	−1	95	−1	−1	−1	−1	186
−1	91	−1	−1	−1	−1	20	−1	−1	−1	−1	52	−1	109
174	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	108	102	−1	−1
−1	125	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	31	−1	54	176	−1
−1	57	−1	−1	−1	201	−1	−1	−1	−1	−1	142	35	−1
129	−1	−1	−1	−1	−1	203	140	−1	−1	−1	−1	−1	−1
110	124	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	52	−1	−1	−1
−1	196	−1	−1	35	−1	−1	−1	−1	−1	−1	114	−1	−1
10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	122	−1	−1	−1	−1	23
−1	202	126	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
52	−1	−1	170	−1	13	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	113	161	−1	−1	−1	−1	−1	−1	88	−1	−1	−1	−1
197	−1	−1	−1	−1	194	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	164	−1	−1	−1	−1	172	−1	−1	−1	−1	49	161
168	−1	−1	−1	−1	−1	193	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	14	186	−1	−1	46	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
50	−1	−1	−1	27	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	70	−1	−1	17	−1	50	−1	6	−1	−1	−1	−1
−1	115	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	189
110	−1	−1	−1	−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	163	−1
−1	−1	163	−1	−1	−1	−1	173	−1	−1	179	−1	−1	−1
197	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	191	193
−1	157	−1	−1	−1	167	−1	−1	−1	−1	−1	181	−1	−1
197	−1	167	−1	−1	−1	−1	179	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	181	−1	−1	193
−1	157	−1	−1	−1	173	−1	−1	−1	−1	−1	191	−1	−1
181	−1	−1	−1	−1	−1	−1	157	−1	−1	−1	−1	173	−1
−1	−1	193	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	163	−1	−1	179
−1	191	−1	−1	−1	197	−1	−1	−1	−1	−1	167	−1	−1

TABLE 19
145	131	71	21	−1	−1	23	−1	−1	112	1	0	−1	−1
142	−1	−1	174	183	27	96	23	9	167	−1	0	0	−1
74	31	−1	3	53	−1	−1	−1	155	−1	0	−1	0	0
−1	239	171	−1	95	110	159	199	43	75	1	−1	−1	0
29	140	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	180	−1	−1
121	41	−1	−1	−1	169	8		−1	−1	−1	207	−1	−1
137	−1	−1	−1	−1	72	−1	172	−1	124	−1	56	−1	−1
−1	86	−1	−1	−1	186	−1	87	−1	−1	−1	172	−1	154
176	169	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	225	−1
−1	167	−1	−1	−1	−1	−1	−1	238	−1	48	68	−1	−1
38	217	−1	−1	−1	−1	208	232	−1	−1	−1	−1	−1	−1
178	−1	−1	−1	−1	−1	−1	214	−1	168	−1	−1	−1	51
−1	124	−1	122	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	72	−1	−1
48	57	−1	−1	−1	−1	−1	−1	167	−1	−1	−1	−1	219
−1	82	−1	−1	−1	−1	232	−1	−1	−1	−1	204	−1	162
38	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	217	157	−1	−1
−1	170	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	23	−1	175	202	−1
−1	196	−1	−1	−1	173	−1	−1	−1	−1	−1	195	218	−1
128	−1	−1	−1	−1	−1	211	210	−1	−1	−1	−1	−1	−1
39	84	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	88	−1	−1	−1
−1	117	−1	−1	227	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1
238	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	13	−1	−1	−1	−1	11
−1	195	44	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
5	−1	−1	94	−1	111	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	81	19	−1	−1	−1	−1	−1	−1	130	−1	−1	−1	−1
66	−1	−1	−1	−1	95	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	146	−1	−1	−1	−1	66	−1	−1	−1	−1	190	86
64	−1	−1	−1	−1	−1	181	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	7	144	−1	−1	16	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
25	−1	−1	−1	57	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	37	−1	−1	139	−1	221	−1	17	−1	−1	−1	−1
−1	201	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	46
179	−1	−1	−1	−1	14	−1	−1	−1	−1	−1	−1	116	−1
−1	−1	46	−1	−1	−1	−1	2	−1	−1	106	−1	−1	−1
184	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	135	141
−1	85	−1	−1	−1	225	−1	−1	−1	−1	−1	175	−1	−1
178	−1	112	−1	−1	−1	−1	106	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	154	−1	−1	114
−1	42	−1	−1	−1	41	−1	−1	−1	−1	−1	105	−1	−1
167	−1	−1	−1	−1	−1	−1	45	−1	−1	−1	−1	189	−1
−1	−1	78	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	67	−1	−1	180
−1	53	−1	−1	−1	215	−1	−1	−1	−1	−1	230	−1	−1

Tables 20 to 27 show matrices A′, B′ and C′ corresponding to exponent matrices (second exponent matrices) created by transforming the exponent matrices (first exponent matrices) corresponding to Tables 4 to 11.

That is, the matrices Z′ and D′ illustrated in FIG. 3 are added on the right side of the matrix shown in any one of Tables 20 to 27, whereby a transformed exponent matrix may be formed (Z′ and D′ are maintained without change after transformation).

TABLE 20
6	187	30	97	−1	156	246	−1	−1	197	27	146	65	247
254	−1	17	139	132	185	−1	34	152	83	−1	36	154	−1
150	145	71	−1	193	139	163	27	79	161	217	−1	−1	114
135	167	−1	172	236	−1	106	125	13	−1	120	170	10	37
99	154	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
51	20	−1	62	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	25	−1
73	−1	−1	−1	−1	−1	234	−1	−1	−1	228	189	−1	12
36	212	−1	−1	97	−1	−1	225	89	−1	−1	−1	−1	−1
144	252	−1	249	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	45	−1
153	74	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	147	235	−1	114
−1	158	107	−1	89	−1	−1	96	207	−1	−1	−1	−1	−1
179	215	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	173	−1
96	214	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	235	224	−1	22
79	−1	−1	8	−1	−1	−1	105	−1	−1	−1	−1	−1	−1
50	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	201	−1
216	160	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	191	−1	−1	193
−1	192	−1	207	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	207	−1	−1
249	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	214	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	23	248
196	183	−1	−1	−1	−1	−1	184	129	−1	32	−1	−1	−1
105	−1	−1	70	−1	−1	−1	−1	−1	39	−1	209	−1	−1
−1	7	−1	−1	−1	135	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
192	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	114	68
−1	100	109	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	86	−1	−1	−1
144	−1	−1	170	20	−1	−1	−1	−1	−1	−1	140	−1	−1
−1	233	−1	−1	−1	−1	120	140	−1	−1	−1	−1	−1	−1
61	−1	13	−1	41	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	231	−1	−1	−1	−1	152	−1	62	−1	−1	−1	−1	−1
128	−1	−1	−1	91	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	170	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
40	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	183	−1	−1	136
−1	161	−1	−1	−1	−1	−1	79	−1	−1	−1	−1	−1	−1
35	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	144	−1
−1	254	69	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	215	−1	−1
129	−1	−1	−1	−1	−1	−1	89	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	95	−1	−1	−1	−1	59	−1	−1	−1	−1	−1	49	−1
219	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	58	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	36
89	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	105	99	−1	93	−1
−1	83	−1	117	−1	−1	−1	107	−1	−1	−1	−1	−1	−1
99	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	119	−1	−1	−1	−1	−1
−1	89	−1	83	−1	−1	−1	−1	−1	117	−1	−1	−1	−1
107	−1	−1	−1	99	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	105	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
117	−1	−1	−1	−1	−1	−1	99	−1	93	−1	−1	−1	−1
−1	107	−1	−1	−1	−1	105	−1	−1	−1	89	−1	−1	−1

−1

61

233

−1

66

221

17

225

0

0

−1

−1

147

124

114

101

−1

1

−1

228

1

0

0

−1

31

31

−1

11

51

5

139

−1

−1

−1

0

0

45

−1

16

180

12

−1

112

244

0

−1

−1

0

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

228

−1

−1

−1

−1

133

142

−1

−1

−1

−1

−1

−1

245

99

−1

45

−1

−1

−1

−1

−1

152

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

154

−1

−1

92

−1

147

16

−1

166

−1

−1

−1

−1

242

195

−1

40

−1

−1

−1

−1

−1

198

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

74

−1

−1

−1

−1

178

5

234

−1

−1

−1

−1

−1

−1

249

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

71

−1

−1

194

−1

−1

−1

50

129

240

−1

−1

−1

27

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

181

−1

−1

−1

−1

−1

−1

77

−1

−1

−1

−1

−1

−1

205

−1

103

−1

−1

−1

92

−1

197

255

−1

−1

−1

112

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

101

109

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

97

−1

−1

−1

−1

−1

147

−1

−1

−1

125

85

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

98

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

104

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

35

−1

−1

−1

74

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

195

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

75

−1

193

−1

−1

−1

−1

20

−1

−1

−1

172

−1

−1

−1

−1

−1

−1

250

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

247

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

85

−1

−1

195

57

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

135

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

45

−1

−1

−1

−1

−1

92

−1

97

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

154

−1

−1

−1

151

205

−1

−1

136

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

134

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

0

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

107

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

105

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

119

−1

−1

−1

93

−1

83

−1

−1

−1

−1

−1

−1

117

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

84

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

TABLE 21
77	365	334	15	−1	203	168	−1	−1	67	96	275	367	27
308	−1	308	311	96	240	−1	53	53	206	−1	89	42	−1
179	134	56	−1	52	128	223	117	224	321	255	−1	−1	184
108	297	−1	0	109	−1	185	231	328	−1	252	79	153	43
52	203	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
189	370	−1	269	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	218	−1
106	−1	−1	−1	−1	−1	127	−1	−1	−1	383	33	−1	292
375	322	−1	−1	68	−1	−1	51	94	−1	−1	−1	−1	−1
77	205	−1	219	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	366	−1
18	152	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	63	251	−1	327
−1	283	45	−1	110	−1	−1	273	1	−1	−1	−1	−1	−1
336	282	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	376	−1
307	198	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	210	152	−1	334
71	−1	−1	207	−1	−1	−1	118	−1	−1	−1	−1	−1	−1
242	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	136	−1
143	382	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	174	−1	−1	66
−1	371	−1	46	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	327	−1	−1
124	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	254	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	221	104
239	171	−1	−1	−1	−1	−1	40	142	−1	187	−1	−1	−1
197	−1	−1	178	−1	−1	−1	−1	−1	120	−1	43	−1	−1
−1	179	−1	−1	−1	282	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
354	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	373	151
−1	360	295	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	323	−1	−1	−1
86	−1	−1	226	149	−1	−1	−1	−1	−1	−1	45	−1	−1
−1	312	−1	−1	−1	−1	367	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
313	−1	303	−1	308	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	190	−1	−1	−1	−1	190	−1	283	−1	−1	−1	−1	−1
162	−1	−1	−1	365	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	132	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
225	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	155	−1	−1	124
−1	284	−1	−1	−1	−1	−1	169	−1	−1	−1	−1	−1	−1
282	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	183	−1
−1	61	376	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	23	−1	−1
154	−1	−1	−1	−1	−1	−1	236	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	64	−1	−1	−1	−1	49	−1	−1	−1	−1	−1	382	−1
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TABLE 22
247	305	217	271	−1	80	281	−1	−1	305	158	105	156	187
17	−1	26	293	59	159	−1	187	316	240	−1	191	20	−1
252	313	240	−1	40	282	93	118	120	249	214	−1	−1	25
100	112	−1	290	123	−1	259	145	241	−1	39	17	67	156
87	115	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
237	28	−1	270	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	2	−1
31	−1	−1	−1	−1	−1	299	−1	−1	−1	27	307	−1	88
308	232	−1	−1	113	−1	−1	270	295	−1	−1	−1	−1	−1
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−1	306	240	−1	109	−1	−1	245	159	−1	−1	−1	−1	−1
304	173	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	30	−1
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−1

−1

TABLE 23
1	208	130	133	−1	150	214	−1	−1	0	19	8	203	9
83	−1	179	73	178	105	−1	67	91	137	−1	18	131	−1
17	21	193	−1	48	44	38	129	71	47	154	−1	−1	147
23	206	−1	59	219	−1	179	82	208	−1	190	69	11	77
54	214	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
60	165	−1	138	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	144	−1
66	−1	−1	−1	−1	−1	105	−1	−1	−1	111	203	−1	161
207	148	−1	−1	120	−1	−1	124	74	−1	−1	−1	−1	−1
191	129	−1	220	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	7	−1
215	187	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	11	119	−1	135
−1	142	59	−1	50	−1	−1	205	30	−1	−1	−1	−1	−1
172	213	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	222	−1
82	49	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	88	221	−1	196
143	−1	−1	168	−1	−1	−1	152	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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32	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	15	−1
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142	−1	−1	−1	−1	−1	−1	38	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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2	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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−1	201	−1	9	−1	−1	−1	−1	−1	164	−1	−1	−1	−1
110	−1	−1	−1	133	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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24

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TABLE 24
77	90	100	102	−1	69	284	−1	−1	259	144	172	72	173
109	−1	126	65	32	128	−1	212	86	171	−1	179	273	−1
30	121	68	−1	155	45	86	70	225	0	285	−1	−1	214
101	143	−1	122	180	−1	206	156	91	−1	247	126	231	252
42	53	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
27	107	−1	216	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	5	−1
208	−1	−1	−1	−1	−1	144	−1	−1	−1	119	198	−1	229
119	99	−1	−1	134	−1	−1	104	184	−1	−1	−1	−1	−1
234	0	−1	36	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	247	−1
126	129	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	195	154	−1	243
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TABLE 25
58	234	185	22	−1	145	187	−1	−1	109	102	351	13	151
275	−1	127	256	14	84	−1	240	50	302	−1	185	99	−1
126	317	139	−1	50	241	87	224	115	58	225	−1	−1	242
255	258	−1	303	73	−1	213	186	261	−1	246	106	7	83
310	96	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
133	222	−1	101	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	30	−1
58	−1	−1	−1	−1	−1	279	−1	−1	−1	22	253	−1	180
349	249	−1	−1	128	−1	−1	55	137	−1	−1	−1	−1	−1
4	277	−1	330	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	40	−1
196	264	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	59	241	−1	260
−1	177	99	−1	325	−1	−1	121	303	−1	−1	−1	−1	−1
327	30	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	152	−1
229	135	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	210	242	−1	176
41	−1	−1	101	−1	−1	−1	87	−1	−1	−1	−1	−1	−1
330	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	30	−1
176	4	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	337	−1	−1	271
−1	162	−1	59	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	20	−1	−1
242	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	305	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	66	106
265	242	−1	−1	−1	−1	−1	205	94	−1	148	−1	−1	−1
263	−1	−1	287	−1	−1	−1	−1	−1	197	−1	108	−1	−1
−1	190	−1	−1	−1	88	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
72	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	195	116
−1	334	346	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	171	−1	−1	−1
314	−1	−1	182	103	−1	−1	−1	−1	−1	−1	64	−1	−1
−1	73	−1	−1	−1	−1	97	241	−1	−1	−1	−1	−1	−1
27	−1	26	−1	126	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	261	−1	−1	−1	−1	26	−1	84	−1	−1	−1	−1	−1
250	−1	−1	−1	351	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	79	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
181	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	336	−1	−1	257
−1	251	−1	−1	−1	−1	−1	55	−1	−1	−1	−1	−1	−1
1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	87	−1
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−1	252	−1	−1	−1	−1	142	−1	−1	−1	−1	−1	157	−1
217	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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273	−1	−1	−1	−1	−1	−1	108	−1	59	−1	−1	−1	−1
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TABLE 26
0	0	0	0	−1	0	0	−1	−1	0	0	0	0	0
186	−1	197	84	0	198	−1	0	0	206	−1	192	148	−1
76	171	187	−1	28	204	59	160	170	86	13	−1	−1	53
204	202	−1	175	95	−1	159	187	202	−1	57	125	54	121
184	4	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
23	108	−1	184	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	143	−1
202	−1	−1	−1	−1	−1	181	−1	−1	−1	45	158	−1	160
63	120	−1	−1	96	−1	−1	55	49	−1	−1	−1	−1	−1
36	206	−1	77	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	67	−1
202	198	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	63	155	−1	7
−1	82	131	−1	52	−1	−1	192	196	−1	−1	−1	−1	−1
24	14	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	85	−1
202	188	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	5	55	−1	104
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207	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1
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−1	207	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	167	41
196	202	−1	−1	−1	−1	−1	42	24	−1	17	−1	−1	−1
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−1	202	−1	−1	−1	122	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
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−1	204	−1	−1	−1	−1	163	−1	−1	−1	−1	−1	40	−1
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−1

−1

−1

188

−1

−1

−1

−1

−1

−1

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−1

−1

188

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14

145

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−1

−1

−1

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−1

188

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−1

−1

−1

−1

−1

−1

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116

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−1

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11

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53

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−1

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−1

−1

−1

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−1

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128

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8

31

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165

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−1

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73

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20

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−1

−1

−1

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196

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−1

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−1

−1

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−1

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80

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−1

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−1

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46

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45

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109

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110

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102

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−1

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−1

−1

−1

TABLE 27
105	13	114	106	−1	156	157	−1	−1	187	15	35	112	165
144	−1	4	104	19	112	−1	148	68	184	−1	229	51	−1
51	236	15	−1	89	4	123	61	148	216	172	−1	−1	234
112	217	−1	78	20	−1	197	54	144	−1	239	24	218	216
176	29	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
238	69	−1	193	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	97	−1
41	−1	−1	−1	−1	−1	218	−1	−1	−1	217	140	−1	148
163	94	−1	−1	31	−1	−1	208	74	−1	−1	−1	−1	−1
59	135	−1	99	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	17	−1
71	228	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	34	19	−1	223
−1	124	89	−1	170	−1	−1	10	125	−1	−1	−1	−1	−1
195	125	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	106	−1
54	25	−1	−1	−1	−1	−1	−1	1	−1	116	60	−1	142
20	−1	−1	55	−1	−1	−1	86	−1	−1	−1	−1	−1	−1
116	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	96	−1
201	102	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	20	−1	−1	67
−1	162	−1	88	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	156	−1	−1
57	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	57	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	25	60
61	132	−1	−1	−1	−1	−1	81	102	−1	44	−1	−1	−1
163	−1	−1	53	−1	−1	−1	−1	−1	37	−1	73	−1	−1
−1	43	−1	−1	−1	118	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
215	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	193	114
−1	55	113	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	123	−1	−1	−1
208	−1	−1	62	238	−1	−1	−1	−1	−1	−1	84	−1	−1
−1	213	−1	−1	−1	−1	99	229	−1	−1	−1	−1	−1	−1
77	−1	109	−1	71	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	75	−1	−1	−1	−1	8	−1	231	−1	−1	−1	−1	−1
208	−1	−1	−1	197	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	8	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
70	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	41	−1	−1	214
−1	167	−1	−1	−1	−1	−1	91	−1	−1	−1	−1	−1	−1
137	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	130	−1
−1	41	108	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	68	−1	−1
79	−1	−1	−1	−1	−1	−1	3	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	9	−1	−1	−1	−1	66	−1	−1	−1	−1	−1	95	−1
229	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	181	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	36
119	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	150	214	−1	100	−1
−1	125	−1	52	−1	−1	−1	72	−1	−1	−1	−1	−1	−1
236	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	137	−1	−1	−1	−1	−1
−1	187	−1	51	−1	−1	−1	−1	−1	25	−1	−1	−1	−1
18	−1	−1	−1	70	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	218	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
49	−1	−1	−1	−1	−1	−1	29	−1	53	−1	−1	−1	−1
−1	63	−1	−1	−1	−1	126	−1	−1	−1	147	−1	−1	−1

−1

105

23

−1

20

150

135

103

0

0

−1

−1

145

155

87

153

−1

77

−1

24

1

0

0

−1

139

207

−1

144

115

173

10

−1

−1

−1

0

0

73

−1

40

208

5

−1

68

21

0

−1

−1

0

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

30

−1

−1

−1

−1

60

61

−1

−1

−1

−1

−1

−1

33

188

−1

227

−1

−1

−1

−1

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222

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

63

−1

−1

95

−1

41

88

−1

202

−1

−1

−1

−1

28

148

−1

35

−1

−1

−1

−1

−1

156

−1

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−1

−1

−1

−1

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−1

−1

−1

−1

−1

−1

239

−1

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−1

−1

88

76

133

−1

−1

−1

−1

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−1

160

−1

−1

−1

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−1

−1

−1

−1

−1

62

−1

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90

−1

−1

−1

58

145

168

−1

−1

−1

164

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

98

−1

−1

−1

−1

−1

−1

191

−1

−1

−1

−1

−1

−1

235

−1

36

−1

−1

−1

128

−1

134

21

−1

−1

−1

111

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

97

226

−1

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−1

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−1

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−1

−1

−1

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−1

−1

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111

−1

−1

−1

−1

−1

25

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−1

175

24

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−1

−1

−1

−1

−1

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62

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−1

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−1

−1

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41

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−1

−1

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183

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59

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−1

−1

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142

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−1

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−1

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−1

−1

−1

−1

40

−1

35

−1

−1

−1

−1

208

−1

−1

−1

122

−1

−1

−1

−1

−1

−1

137

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

135

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

66

−1

−1

132

89

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

29

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

175

−1

−1

−1

−1

−1

98

−1

60

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

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−1

−1

−1

−1

−1

141

−1

−1

−1

33

198

−1

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140

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

79

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−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

188

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

210

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

216

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

169

−1

−1

−1

113

−1

191

−1

−1

−1

−1

−1

−1

115

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

93

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−1

−1

−1

−1

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−1

−1

−1

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−1

−1

−1

−1

Tables 28 to 35 show matrices A′, B′ and C′, corresponding to exponent matrices (second exponent matrices) created by transforming the exponent matrices (first exponent matrices) corresponding to Tables 12 to 19.

That is, the matrices Z′ and D′ illustrated in FIG. 4 are added on the right side of the matrix shown in any one of Tables 28 to 35, whereby a transformed exponent matrix may be formed (Z′ and D′ are maintained without change after transformation).

TABLE 28
247	139	52	230	−1	−1	67	−1	−1	51	1	0	−1	−1
89	−1	−1	90	3	131	30	100	32	4	−1	0	0	−1
175	142	−1	212	204	−1	−1	−1	16	−1	0	−1	0	0
−1	248	198	−1	98	152	47	202	238	128	1	−1	−1	0
77	42	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	185	−1	−1
25	215	−1	−1	−1	62	−1	97	−1	−1	−1	153	−1	−1
101	−1	−1	−1	−1	28	−1	211	−1	228	−1	98	−1	−1
−1	127	−1	−1	−1	109	−1	116	−1	−1	−1	253	−1	140
114	162	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	26	−1
−1	53	−1	−1	−1	−1	−1	−1	51	−1	196	9	−1	−1
245	71	−1	−1	−1	−1	0	139	−1	−1	−1	−1	−1	−1
245	−1	−1	−1	−1	−1	−1	20	−1	46	−1	−1	−1	200
−1	193	−1	145	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	242	−1	−1
173	254	−1	−1	−1	−1	−1	−1	218	−1	−1	−1	−1	34
−1	141	−1	−1	−1	−1	111	−1	−1	−1	−1	253	−1	24
205	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	1	−1	82	43	−1	−1
−1	53	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	114	−1	248	14	−1
−1	2	−1	1	1	132	−1	−1	−1	−1	−1	142	192	−1
36	−1	−1	−1	−1	−1	62	206	−1	−1	−1	−1	−1	−1
169	236	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	72	−1	−1	−1
−1	230	−1	−1	151	−1	−1	−1	−1	−1	−1	227	−1	−1
180	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	214	−1	−1	−1	−1	46
−1	34	193	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
233	−1	−1	21	1	18	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	210	117	−1	−1	−1	−1	−1	−1	248	−1	−1	−1	−1
28	−1	−1	−1	−1	100	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	227	−1	−1	−1	−1	113	−1	−1	−1	−1	96	134
248	−1	−1	−1	−1	−1	105	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	158	155	−1	−1	121	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
238	−1	−1	−1	228	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	185	−1	−1	16	−1	247	−1	172	−1	−1	−1	1
−1	150	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	255
14	−1	−1	−1	−1	212	−1	−1	−1	−1	−1	−1	90	−1
−1	−1	124	−1	−1	−1	−1	92	−1	−1	22	−1	−1	−1
109	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	171	220
−1	199	−1	−1	−1	216	−1	−1	−1	−1	−1	193	−1	−1
116	−1	218	−1	−1	−1	−1	102	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	38	−1	−1	105
−1	225	−1	−1	−1	190	−1	−1	−1	−1	−1	218	−1	−1
17	−1	−1	−1	−1	−1	−1	84	−1	−1	−1	−1	222	−1
−1	−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	182	−1	−1	136
−1	127	−1	−1	−1	27	−1	−1	−1	−1	−1	138	−1	−1

TABLE 29
210	287	218	318	−1	−1	313	−1	−1	212	1	0	−1	−1
357	−1	−1	348	336	292	353	197	199	381	−1	0	0	−1
359	270	−1	267	274	−1	−1	−1	270	−1	0	−1	0	0
−1	248	209	−1	271	312	261	266	356	198	1	−1	−1	0
312	310	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	355	−1	−1
374	340	−1	−1	−1	263	−1	304	−1	−1	−1	336	−1	−1
255	−1	−1	−1	−1	292	−1	284	−1	335	−1	200	−1	−1
−1	304	−1	−1	−1	198	−1	368	−1	−1	−1	282	−1	241
266	314	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	232	−1
−1	356	−1	−1	−1	−1	−1	−1	252	−1	200	206	−1	−1
325	280	−1	−1	−1	−1	362	332	−1	−1	−1	−1	−1	−1
352	−1	−1	−1	−1	−1	−1	292	−1	210	−1	−1	−1	230
−1	345	−1	291	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	373	−1	−1
335	259	−1	−1	−1	−1	−1	−1	349	−1	−1	−1	−1	218
−1	365	−1	−1	−1	−1	266	−1	−1	−1	−1	363	−1	221
316	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	322	303	−1	−1
−1	297	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	207	−1	249	320	−1
−1	226	−1	−1	−1	361	−1	−1	−1	−1	−1	375	378	−1
198	−1	−1	−1	−1	−1	378	338	−1	−1	−1	−1	−1	−1
326	342	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	229	−1	−1	−1
−1	308	−1	−1	323	−1	−1	−1	−1	−1	−1	231	−1	−1
227	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	209	−1	−1	−1	−1	317
−1	364	332	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
278	−1	−1	298	−1	289	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	202	231	−1	−1	−1	−1	−1	−1	320	−1	−1	−1	−1
339	−1	−1	−1	−1	363	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	317	−1	−1	−1	−1	247	−1	−1	−1	−1	329	299
281	−1	−1	−1	−1	−1	334	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	314	273	−1	−1	216	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
274	−1	−1	−1	367	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	264	−1	−1	230	−1	332	−1	328	−1	−1	−1	−1
−1	381	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	214
300	−1	−1	−1	−1	376	−1	−1	−1	−1	−1	−1	367	−1
−1	−1	219	−1	−1	−1	−1	205	−1	−1	261	−1	−1	−1
211	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	207	372
−1	307	−1	−1	−1	200	−1	−1	−1	−1	−1	366	−1	−1
359	−1	233	−1	−1	−1	−1	214	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	348	−1	−1	353
−1	300	−1	−1	−1	233	−1	−1	−1	−1	−1	194	−1	−1
291	−1	−1	−1	−1	−1	−1	252	−1	−1	−1	−1	327	−1
−1	−1	281	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	278	−1	−1	221
−1	237	−1	−1	−1	377	−1	−1	−1	−1	−1	324	−1	−1

TABLE 30
0	0	0	0	−1	−1	0	−1	−1	0	1	0	−1	−1
183	−1	−1	196	0	0	232	0	0	265	−1	0	0	−1
300	226	−1	221	311	−1	−1	−1	212	−1	0	−1	0	0
−1	282	305	−1	218	174	308	263	267	274	1	−1	−1	0
0	184	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	163	−1	−1
0	189	−1	−1	−1	178	−1	179	−1	−1	−1	256	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	196	−1	221	−1	275	−1	172	−1	−1
−1	0	−1	−1	−1	275	−1	172	−1	−1	−1	224	−1	242
0	255	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	233	−1
−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	223	−1	270	235	−1	−1
0	303	−1	−1	−1	−1	164	300	−1	−1	−1	−1	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	313	−1	316	−1	−1	−1	318
−1	0	−1	207	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	272	−1	−1
0	208	−1	−1	−1	−1	−1	−1	218	−1	−1	−1	−1	294
−1	0	−1	−1	−1	−1	182	−1	−1	−1	−1	263	−1	293
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	248	221	−1	−1
−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	241	−1	209	177	−1
−1	0	−1	−1	−1	296	−1	−1	−1	−1	−1	211	302	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	302	234	−1	−1	−1	−1	−1	−1
0	162	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	167	−1	−1	−1
−1	0	−1	−1	172	−1	−1	−1	−1	−1	−1	216	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	303	−1	−1	−1	−1	287
−1	0	316	−1	−1	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
0	−1	−1	245	−1	162	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	0	251	−1	−1	−1	−1	−1	−1	233	−1	−1	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	255	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	0	−1	−1	−1	−1	220	−1	−1	−1	−1	307	313
0	−1	−1	−1	−1	−1	288	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	0	194	−1	−1	210	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
0	−1	−1	−1	166	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	0	−1	−1	285	−1	269	−1	186	−1	−1	−1	−1
−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	300
0	−1	−1	−1	−1	300	−1	−1	−1	−1	−1	−1	198	−1
−1	−1	0	−1	−1	−1	−1	232	−1	−1	308	−1	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	301	242
−1	0	−1	−1	−1	163	−1	−1	−1	−1	−1	314	−1	−1
0	−1	257	−1	−1	−1	−1	238	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	176
−1	0	−1	−1	−1	227	−1	−1	−1	−1	−1	301	−1	−1
0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	296	−1	−1	−1	−1	182	−1
−1	−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	285	−1	−1	177
−1	0	−1	−1	−1	318	−1	−1	−1	−1	−1	265	−1	−1

TABLE 31
152	114	201	43	−1	−1	129	−1	−1	216	0	0	−1	−1
171	−1	−1	68	109	68	109	24	195	193	−1	0	0	−1
72	93	−1	178	33	−1	−1	−1	133	−1	1	−1	0	0
−1	39	218	−1	188	100	100	114	68	91	0	−1	−1	0
24	208	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	123	−1	−1
39	86	−1	−1	−1	54	−1	5	−1	−1	−1	31	−1	−1
101	−1	−1	−1	−1	169	−1	193	−1	2	−1	15	−1	−1
−1	121	−1	−1	−1	211	−1	119	−1	−1	−1	74	−1	43
77	181	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	72	−1
−1	222	−1	−1	−1	−1	−1	−1	194	−1	41	141	−1	−1
50	74	−1	−1	−1	−1	216	168	−1	−1	−1	−1	−1	−1
125	−1	−1	−1	−1	−1	−1	86	−1	114	−1	−1	−1	125
−1	178	−1	7	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	115	−1	−1
187	111	−1	−1	−1	−1	−1	−1	81	−1	−1	−1	−1	84
−1	188	−1	−1	−1	−1	129	−1	−1	−1	−1	184	−1	108
108	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	25	114	−1	−1
−1	149	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	66	−1	90	127	−1
−1	176	−1	−1	−1	92	−1	−1	−1	−1	−1	18	222	−1
156	−1	−1	−1	−1	−1	208	68	−1	−1	−1	−1	−1	−1
189	86	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	139	−1	−1	−1
−1	218	−1	−1	204	−1	−1	−1	−1	−1	−1	83	−1	−1
144	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	181	−1	−1	−1	−1	143
−1	175	223	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
68	−1	−1	170	−1	90	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	71	136	−1	−1	−1	−1	−1	−1	161	−1	−1	−1	−1
13	−1	−1	−1	−1	130	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	134	−1	−1	−1	−1	218	−1	−1	−1	−1	3	218
197	−1	−1	−1	−1	−1	106	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	8	12	−1	−1	31	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
116	−1	−1	−1	163	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	118	−1	−1	180	−1	39	−1	48	−1	−1	−1	−1
−1	77	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	42
116	−1	−1	−1	−1	203	−1	−1	−1	−1	−1	−1	114	−1
−1	−1	153	−1	−1	−1	−1	212	−1	−1	116	−1	−1	−1
195	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	23	155
−1	133	−1	−1	−1	59	−1	−1	−1	−1	−1	169	−1	−1
223	−1	49	−1	−1	−1	−1	141	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	185	−1	−1	212
−1	187	−1	−1	−1	127	−1	−1	−1	−1	−1	178	−1	−1
118	−1	−1	−1	−1	−1	−1	43	−1	−1	−1	−1	70	−1
−1	−1	126	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	190	−1	−1	188
−1	104	−1	−1	−1	123	−1	−1	−1	−1	−1	143	−1	−1

TABLE 32
285	262	235	253	−1	−1	173	−1	−1	161	1	0	−1	−1
269	−1	−1	194	184	222	204	190	219	238	−1	0	0	−1
193	182	−1	196	178	−1	−1	−1	177	−1	0	−1	0	0
−1	168	167	−1	266	284	215	239	160	209	1	−1	−1	0
246	264	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	237	−1	−1
248	148	−1	−1	−1	204	−1	151	−1	−1	−1	217	−1	−1
179	−1	−1	−1	−1	201	−1	181	−1	155	−1	149	−1	−1
−1	191	−1	−1	−1	153	−1	253	−1	−1	−1	180	−1	223
218	219	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	200	−1
−1	191	−1	−1	−1	−1	−1	−1	248	−1	265	239	−1	−1
242	247	−1	−1	−1	−1	187	192	−1	−1	−1	−1	−1	−1
260	−1	−1	−1	−1	−1	−1	258	−1	172	−1	−1	−1	224
−1	255	−1	166	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	157	−1	−1
212	251	−1	−1	−1	−1	−1	−1	226	−1	−1	−1	−1	241
−1	145	−1	−1	−1	−1	237	−1	−1	−1	−1	158	−1	191
149	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	193	160	−1	−1
−1	240	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	279	−1	260	280	−1
−1	168	−1	−1	−1	245	−1	−1	−1	−1	−1	223	246	−1
271	−1	−1	−1	−1	−1	182	146	−1	−1	−1	−1	−1	−1
209	260	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	248	−1	−1	−1
−1	286	−1	−1	185	−1	−1	−1	−1	−1	−1	210	−1	−1
197	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	213	−1	−1	−1	−1	207
−1	234	156	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
220	−1	−1	173	−1	232	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	258	246	−1	−1	−1	−1	−1	−1	187	−1	−1	−1	−1
160	−1	−1	−1	−1	225	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	146	−1	−1	−1	−1	260	−1	−1	−1	−1	188	155
275	−1	−1	−1	−1	−1	278	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	182	211	−1	−1	245	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
155	−1	−1	−1	263	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	201	−1	−1	232	−1	184	−1	218	−1	−1	−1	−1
−1	208	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	149
256	−1	−1	−1	−1	199	−1	−1	−1	−1	−1	−1	217	−1
−1	−1	153	−1	−1	−1	−1	282	−1	−1	287	−1	−1	−1
251	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	263	174
−1	228	−1	−1	−1	151	−1	−1	−1	−1	−1	195	−1	−1
167	−1	159	−1	−1	−1	−1	262	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	192	−1	−1	232
−1	287	−1	−1	−1	218	−1	−1	−1	−1	−1	287	−1	−1
169	−1	−1	−1	−1	−1	−1	256	−1	−1	−1	−1	146	−1
−1	−1	282	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	216	−1	−1	186
−1	240	−1	−1	−1	241	−1	−1	−1	−1	−1	269	−1	−1

TABLE 33
196	209	338	349	−1	−1	312	−1	−1	229	1	0	−1	−1
335	−1	−1	287	289	351	297	315	181	219	−1	0	0	−1
254	184	−1	245	270	−1	−1	−1	210	−1	0	−1	0	0
−1	299	178	−1	178	225	335	263	335	247	1	−1	−1	0
266	285	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	269	−1	−1
273	268	−1	−1	−1	317	−1	249	−1	−1	−1	292	−1	−1
305	−1	−1	−1	−1	198	−1	342	−1	197	−1	323	−1	−1
−1	304	−1	−1	−1	227	−1	328	−1	−1	−1	305	−1	297
299	321	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	191	−1
−1	248	−1	−1	−1	−1	−1	−1	210	−1	254	288	−1	−1
241	327	−1	−1	−1	−1	178	329	−1	−1	−1	−1	−1	−1
261	−1	−1	−1	−1	−1	−1	177	−1	328	−1	−1	−1	211
−1	230	−1	341	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	348	−1	−1
323	261	−1	−1	−1	−1	−1	−1	325	−1	−1	−1	−1	225
−1	341	−1	−1	−1	−1	207	−1	−1	−1	−1	344	−1	186
215	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	250	312	−1	−1
−1	274	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	194	−1	335	187	−1
−1	218	−1	−1	−1	329	−1	−1	−1	−1	−1	290	189	−1
179	−1	−1	−1	−1	−1	321	330	−1	−1	−1	−1	−1	−1
339	217	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	208	−1	−1	−11
−1	224	−1	−1	300	−1	−1	−1	−1	−1	−1	179	−1	−1
196	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	186	−1	−1	−1	−1	312
−1	334	189	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
242	−1	−1	220	−1	202	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	239	244	−1	−1	−1	−1	−1	−1	291	−1	−1	−1	−1
280	−1	−1	−1	−1	216	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	316	−1	−1	−1	−1	314	−1	−1	−1	−1	299	207
310	−1	−1	−1	−1	−1	248	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	288	328	−1	−1	203	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
213	−1	−1	−1	191	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	268	−1	−1	179	−1	259	−1	323	−1	−1	−1	−1
−1	235	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	204
236	−1	−1	−1	−1	279	−1	−1	−1	−1	−1	−1	210	−1
−1	−1	247	−1	−1	−1	−1	215	−1	−1	324	−1	−1	−1
341	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	311	190
−1	226	−1	−1	−1	200	−1	−1	−1	−1	−1	180	−1	−1
279	−1	198	−1	−1	−1	−1	223	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	186	−1	−1	314
−1	240	−1	−1	−1	345	−1	−1	−1	−1	−1	333	−1	−1
243	−1	−1	−1	−1	−1	−1	346	−1	−1	−1	−1	247	−1
−1	−1	192	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	197	−1	−1	270
−1	220	−1	−1	−1	346	−1	−1	−1	−1	−1	344	−1	−1

TABLE 34
65	189	32	43	−1	−1	12	−1	−1	195	1	0	−1	−1
190	−1	−1	181	205	106	23	191	194	28	−1	0	0	−1
82	45	−1	161	25	−1	−1	−1	76	−1	0	−1	0	0
−1	172	160	−1	190	97	5	205	17	48	1	−1	−1	0
165	181	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	91	−1	−1
72	159	−1	−1	−1	172	−1	76	−1	−1	−1	146	−1	−1
201	−1	−1	−1	−1	174	−1	10	−1	40	−1	196	−1	−1
−1	45	−1	−1	−1	130	−1	65	−1	−1	−1	101	−1	150
107	31	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	186	−1
−1	22	−1	−1	−1	−1	−1	−1	181	−1	4	127	−1	−1
83	148	−1	−1	−1	−1	31	157	−1	−1	−1	−1	−1	−1
169	−1	−1	−1	−1	−1	−1	179	−1	173	−1	−1	−1	200
−1	190	−1	53	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	159	−1	−1
176	155	−1	−1	−1	−1	−1	−1	113	−1	−1	−1	−1	22
−1	117	−1	−1	−1	−1	188	−1	−1	−1	−1	156	−1	99
34	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	101	106	−1	−1
−1	83	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	177	−1	154	32	−1
−1	151	−1	−1	−1	7	−1	−1	−1	−1	−1	66	173	−1
79	−1	−1	−1	−1	−1	5	68	−1	−1	−1	−1	−1	−1
98	84	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	157	−1	−1	−1
−1	12	−1	−1	173	−1	−1	−1	−1	−1	−1	94	−1	−1
198	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	86	−1	−1	−1	−1	185
−1	6	82	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
156	−1	−1	38	−1	195	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	95	47	−1	−1	−1	−1	−1	−1	120	−1	−1	−1	−1
11	−1	−1	−1	−1	14	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	44	−1	−1	−1	−1	36	−1	−1	−1	−1	159	47
40	−1	−1	−1	−1	−1	15	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	194	22	−1	−1	162	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
158	−1	−1	−1	181	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	138	−1	−1	191	−1	158	1	202	−1	−1	−1	−1
−1	93	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	19
98	−1	−1	−1	−1	0	−1	−1	−1	−1	−1	−1	45	−1
−1	−1	45	−1	−1	−1	−1	35	−1	−1	30	−1	−1	−1
11	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	17	15
−1	51	−1	−1	−1	41	−1	−1	−1	−1	−1	27	−1	−1
11	−1	41	−1	−1	−1	−1	29	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	28	−1	−1	15
−1	51	−1	−1	−1	35	−1	−1	−1	−1	−1	17	−1	−1
27	−1	−1	−1	−1	−1	−1	51	−1	−1	−1	−1	35	−1
−1	−1	15	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	46	−1	−1	29
−1	17	−1	−1	−1	11	−1	−1	−1	−1	−1	41	−1	−1

TABLE 35
95	109	169	219	−1	−1	217	−1	−1	128	0	0	−1	−1
98	−1	−1	66	57	213	144	217	231	73	−1	0	0	−1
166	209	−1	237	187	−1	−1	−1	85	−1	1	−1	0	0
−1	1	69	−1	145	130	81	41	197	165	0	−1	−1	0
211	100	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	60	−1	−1
119	199	−1	−1	−1	71	−1	152	−1	−1	−1	33	−1	−1
103	−1	−1	−1	−1	168	−1	68	−1	116	−1	184	−1	−1
−1	154	−1	−1	−1	54	−1	153	−1	−1	−1	68	−1	86
64	71	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	15	−1
−1	73	−1	−1	−1	−1	−1	−1	2	−1	193	172	−1	−1
202	23	−1	−1	−1	−1	32	8	−1	−1	−1	−1	−1	−1
62	−1	−1	−1	−1	−1	−1	26	−1	72	−1	−1	−1	189
−1	116	−1	118	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	168	−1	−1
192	183	−1	−1	−1	−1	−1	−1	73	−1	−1	−1	−1	21
−1	158	−1	−1	−1	−1	8	−1	−1	−1	−1	36	−1	78
202	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	24	83	−1	−1
−1	70	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	217	−1	65	38	−1
−1	44	−1	−1	−1	67	−1	−1	−1	−1	−1	45	22	−1
112	−1	−1	−1	−1	−1	29	30	−1	−1	−1	−1	−1	−1
201	156	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	153	−1	−1	−1
−1	123	−1	−1	13	−1	−1	−1	−1	−1	−1	234	−1	−1
2	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	227	−1	−1	−1	−1	229
−1	45	196	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
235	−1	−1	146	−1	129	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	159	221	−1	−1	−1	−1	−1	−1	110	−1	−1	−1	−1
174	−1	−1	−1	−1	145	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	94	−1	−1	−1	−1	174	−1	−1	−1	−1	50	154
176	−1	−1	−1	−1	−1	59	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	233	96	−1	−1	224	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
215	−1	−1	−1	183	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	203	−1	−1	101	−1	19	−1	223	−1	−1	−1	−1
−1	39	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	194
61	−1	−1	−1	−1	226	−1	−1	−1	−1	−1	−1	124	−1
−1	−1	194	−1	−1	−1	−1	238	−1	−1	135	−1	−1	−1
56	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	105	99
−1	155	−1	−1	−1	15	−1	−1	−1	−1	−1	65	−1	−1
62	−1	128	−1	−1	−1	−1	134	−1	−1	−1	−1	−1	−1
−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	87	−1	−1	126
−1	198	−1	−1	−1	199	−1	−1	−1	−1	−1	135	−1	−1
73	−1	−1	−1	−1	−1	−1	195	−1	−1	−1	−1	51	−1
−1	−1	162	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	174	−1	−1	60
−1	187	−1	−1	−1	25	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1

According to the present invention, LDPC encoding/decoding may be performed by transforming the parity check matrix of given LDPC code and creating another parity check matrix having similar algebraic characteristics, whereby the efficiency of channel encoding/decoding may be maximized.

Also, the present invention may transform different formats of parity check matrices of LDPC code into a single unified format, whereby the complexity of encoding/decoding may be reduced.

Also, the present invention may create a new parity check matrix in which most of the algebraic characteristics of the original parity check matrix before transformation are maintained, whereby performance degradation may be prevented when channel encoding/decoding is performed.

As described above, the channel coding/decoding method and apparatus using the method according to the present invention are not limitedly applied to the configurations and operations of the above-described embodiments, but all or some of the embodiments may be selectively combined and configured, so that the embodiments may be modified in various ways.

Claims (14)

What is claimed is:

1. A channel-coding method, comprising:

loading a first exponent matrix;

transforming the first exponent matrix into a second exponent matrix;

creating a parity check matrix corresponding to a required block size using the second exponent matrix;

performing low-density parity-check (LDPC) encoding using the parity check matrix,

wherein transforming the first exponent matrix into the second exponent matrix comprises,

performing an operation of addition or subtraction by using a first natural number on one column of the first exponent matrix and thereby creating a temporal exponent matric, the operation corresponding to a circular column permutation;

creating conversion values for elements that are greater than 0 in the temporal exponent matrix to create the second exponent matrix using the conversion values, and

wherein the one column is a (k_b+1)-th column of the first exponent matrix (where k_b is a second natural number that is acquired by subtracting a number of rows in the first exponent matrix from a number of columns therein).

2. The channel-coding method of claim 1, wherein the first exponent matrix and the second exponent matrix are classified as two types, which are a first type and a second type, depending on first four elements in the (k_b+1)-th column of the first exponent matrix.

3. The channel-coding method of claim 2, wherein the exponent matrix is classified as the first type or as the second type according to a number of natural numbers included in the first four elements.

4. The channel-coding method of claim 3, wherein, when the first exponent matrix is the first type, the second exponent matrix is the second type, and when the first exponent matrix is the second type, the second exponent matrix is the first type.

5. The channel-coding method of claim 1, wherein the operation is performed using a following equation,

V′ _ij=(V _ij −a)mod Z _max for 0≤V _ij ≤Z _max−1

where V′_ij denotes elements of the temporal exponent matrix, V_ij denotes elements of the first exponent matrix, mod denotes a modulo operator, Z_max denotes a maximum block size, and a denotes the first natural number.

6. The channel-coding method of claim 5, wherein the conversion value is created by subtracting an element that is greater than 0 in the temporal exponent matrix from the maximum block size.

7. The channel-coding method of claim 6, wherein the second exponent matrix is created using a following equation,

$W_{\mathrm{ij}}=\{\begin{array}{cc}{V}_{\mathrm{ij}}^{\prime },& V_{\mathrm{ij}}^{\prime }=-1,0,\\ Z_{\mathrm{ma}x}-V_{\mathrm{ij}}^{\prime },& V_{\mathrm{ij}}^{\prime }>0\end{array},$

where W_ij denotes elements of the second exponent matrix, V′_ij denotes elements of the temporal exponent matrix, and Z_max denotes the maximum block size.

8. A channel encoder, comprising:

memory for storing data pertaining to a first exponent matrix corresponding to an original parity check matrix;

a processor for creating a parity check matrix corresponding to a second exponent matrix that is created by transforming the first exponent matrix and for performing low-density parity-check (LDPC) encoding using the created parity check matrix,

wherein the second exponent matrix is created using conversion values for elements that are greater than 0 in a temporal exponent matrix;

the temporal exponent matrix is created by performing an operation of addition or subtraction by using a first natural number on one column of the first exponent matrix, the operation corresponding to a circular column permutation, and

wherein the one column is a (k_b+1)-th column of the first exponent matrix (where k_b is a second natural number that is acquired by subtracting a number of rows in the first exponent matrix from a number of columns therein).

9. The channel encoder of claim 1, wherein the first exponent matrix and the second exponent matrix are classified as two types, which are a first type and a second type, depending on first four elements in the (k_b+1)-th column of the first exponent matrix.

10. The channel encoder of claim 9, wherein the exponent matrix is classified as the first type or the second type according to a number of natural numbers included in the first four elements.

11. The channel encoder of claim 10, wherein, when the first exponent matrix is the first type, the second exponent matrix is the second type, and when the first exponent matrix is the second type, the second exponent matrix is the first type.

12. The channel encoder of claim 8, wherein the operation is performed using a following equation,

V′ _ij=(V _ij −a)mod Z _max for 0≤V _ij ≤Z _max−1

where V′_ij denotes elements of the temporal exponent matrix, V_ij denotes elements of the first exponent matrix, mod denotes a modulo operator, Z_max denotes a maximum block size, and a denotes the natural number.

13. The channel encoder of claim 12, wherein the second exponent matrix is created using a following equation,

$W_{\mathrm{ij}}=\{\begin{array}{cc}{V}_{\mathrm{ij}}^{\prime },& V_{\mathrm{ij}}^{\prime }=-1,0,\\ Z_{\mathrm{ma}x}-V_{\mathrm{ij}}^{\prime },& V_{\mathrm{ij}}^{\prime }>0\end{array},$

where W_ij denotes elements of the second exponent matrix, V′_ij denotes elements of the temporal exponent matrix, and Z_max denotes the maximum block size.

14. A channel decoder, comprising:

memory for storing data pertaining to a first exponent matrix corresponding to an original parity check matrix; and

a processor for creating a parity check matrix corresponding to a second exponent matrix that is created by transforming the first exponent matrix and for performing low-density parity-check (LDPC) decoding using the created parity check matrix,

wherein the second exponent matrix is created using conversion values for elements that are greater than 0 in a temporal exponent matrix; and

the temporal exponent matrix is created by performing an operation of addition or subtraction by using a first natural number on one column of the first exponent matrix, the operation corresponding to a circular column permutation,

wherein the one column is a (k_b+1)-th column of the first exponent matrix (where k_b is a second natural number that is acquired by subtracting a number of rows in the first exponent matrix from a number of columns therein).

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