TWI426397B - Can be used in a signal interval in the unequal spacing of the sample, the signal in this interval between a single and multiple numerical integration device. - Google Patents

Description

可利用一個信號區間中之不等間距樣本，計算該信號在此一區間之一次與多次數值積分之裝置。

為一種數值積分計算之數位信號處理技術領域。

目前有關數值積分法常見的有四種，茲略述之於下：

(一)梯形積分法(Trapezoidal Integral Method)：這種積分法是依積分定義直接推演而得。它是將f(t)在待積分之區間[a,b]中分割成n個子區間[a,a+△t]，[a+△t,a+2△]，---，[a+(n-1)△t,a+n△]，然後將每個子區間與函數f(t)所圍成之圖形視為一個小梯形，最後計算這些小梯型面積之和即為f(t)在t[a,b]間之近似積分值。這個梯形積分近似公式為：

其中，，nN。

一般而言，(2)-1式只適合較簡單之函數(例如頻率較低，曲線波度較小等)計算，如遇較複雜之函數，欲使之精確則所擷取之樣本必須夠多(即n需夠大，△t需夠小)；因此並不適合所有函數之計算。

(二)辛普申積分法(Simpson’s Integral Method)與牛頓-卡茲積分法(Newton-Cotes Integral Method)：前述的梯形積分法中，係對函數f(t)所積分之區間分割成n個子區間，視每個子區間之圖形為直線而積分之。現在如果吾人將[a,b]所分割之子區間中，每連續兩子區間之圖形視為二次函數之曲線而積分之，則這種積分法便是辛普申積分法，其積分之近似公式為：

進一步地，吾人如將[a,b]所分割之子區間中，每連續三個子區間之圖形視為三次函數之曲線而積分之，則這種積分便是牛頓-卡茲積分法，其近似之積公式為：

(2)-2式及(2)-3式中之。

(2)-2及(2)-3式很明顯的，在相同之n(即等數量之樣本)下，其積分之結果將比(2)-1式正確。

但是，(2)-2式及(2)-3式之計算，對於較複雜之函數仍難正確地進算。

(三)農伯格積分法(Romberg Integral Method)：農伯格積分法是仿照外推導數法(Extrapolated Derivative)之性質推演而得，吾人可先藉由梯形積分法，求出各子區間中之梯形積分近似值，再藉由這些近似積分值進一步外推求辛普申積分近似值，最後再利用這些近似的辛普申積分值去外推求出近似的牛頓-卡茲 積分值；如此反覆推導，最後所求得者便是農伯格積分值。

農伯格積分公式可用遞迴的方式表示於下：令：

其中，k≦n；n為積分區間[a,b]所被分割之子區間數；。

(2)-4式中當k=n時，A(n,n)即為農伯格積分值，即：

農伯格積分法的優點是比梯形積分法、辛普申積分法與牛頓-卡茲積分法精確，缺點是計算時間長，且也只能適合較簡單之函數的計算。

(四)高斯積分法(Gaussian Integration)：高斯積分法之理論較深，必須用專章討論，由於篇幅所限，筆者於此僅將以數語敝之。

設f(t)為t[a,b]間的待積分函數，則高斯積分法是：

1.在[a,b]對f(t)擷取n個樣本f(t ₁)、f(t ₂)、f(t ₃)…………f(t_n)。

2.以f(t_i)用Lagrange’s多項式。

3.將上述的Lagrange’s多項式再用Legendre’s多項式表示出。

4.利用Legendre’s多項式之正交性質計算出n個權量係數(Weighting Coefficient)W₁、W₂、W₃、....W_n，以使下式成立：

(2)-6式便為高斯積分公式。

高斯積分法一般而言可積較困難複雜之函數。權量係數W_i(i=1,2,...n)之值不能全為零，其大小與其所在之t=t _i 的位置，及f(t _i )、f(t _i )鄰近之樣本值有關；因此它是一個調整係數。

如圖1所示，t=t ₄時因斜率較大，W ₄會明顯的變大，在t=t _i 時因斜率趨近於零(但為負值)，此使W _i 亦趨近於零(亦為負值)，而在t=t _i+2時W _i+2則會變為較大之負值。

高斯積分法雖然為現行數值積分法中最精確的方法，但其仍有盲點存在，如圖2所示，當採樣速率不符曲線斜率變化之需求時，不論權量係數如何取，均無法計算出正確值(除非提高採樣速率，即增加樣本數)。

以上所述為目前常見之數值積分法。

本發明之目的在提供比前述目前數值積分法中更為精確的積分方法。

本發明之積分方法，其對函數f(t)所擷取的樣本是不等間距的。兩相鄰樣本間之間距與前一樣本點之f(t)的斜率有關，斜率愈大間距愈小，否則反之。因此在進行數值積分之計算前，需先藉由一電路一來判斷決定。

如圖3之c所示便為樣本取捨之判斷的判斷電路方塊，茲以下列數點說明之：

1.吾人事先必須知道待積分f(t)所含成分之最高頻率。

2.視積分所需之精度預先決定一個正數m(m N)，如果f(t)所含之最高頻率為f _n ，則電路方塊b之轉換器的採樣頻率便定為mf _n 。這代表頻率為f _n 時，其每週被擷取了m個樣本。

3.在相同精度之要求下，只要每週能維持著被擷取m個樣本即可。

4.但是，b方塊是固定以採樣速率為mf _n 在採樣的，而輸入之待積分信號f(t)有時會像如圖4之[T₁,T₂]間所示較為平穩(即頻率較低)，有時則會像[T₂,T₃]間所示較為變化多端(即頻率較高)；因此以固定的採樣速率所採得之樣本做積分計算是沒必要的。

5.一次微分電路方塊a的每一瞬時之輸出代表著函數f(t)在該一瞬時間之斜率，而該斜率則決定了下一個樣本之擷取時機。

6.設在t=t _x 時，b提供了一個樣本f(t _x )給c，c將之保留。c在接受並儲存了f(t _x )時，同時也得到了來自a所提供之f'(t _x )資訊，該f'(t _x )即為f(t)在t=t _x 時之斜率，因此c可以據此計算出此時之f(t)的”瞬時頻率”，若此”瞬時頻率”為f _x ，則其”瞬時採樣速率”應為，即”瞬時樣本間距”應為。如此，c在接受樣本f(t _x )後便等到時間間距為 後所出現的第一個樣本再接受，而其間所出現者均捨棄。

7.上述6的動作一直進行下去，最後便可收集一些不等間距的樣本供d電路方塊做積分計算。

8.至於圖3中之電路方塊a、b與c，吾人可依上述所需之功能設計之，此乃熟知之技術，故恕從略。

現在，吾人開始說明如何利用上述一些不等間距之樣本去做數值積分計算，說明將分兩個部分，其一為一次數值積分，其二為二次以上之數值積分。

(一)一次數值積分：設f(t)在t [a,b]中被擷取了n個樣本f(t ₁),f(t ₂),.......f(t _n )，其中每任兩相鄰間之樣本間距即t _i+1-t _i (i=1,2,.....n)並不一定相等。

依Lagrange’s多項式，f(t)在t [a,b]中可用樣本f(t _i )(i=1,2,.....n)近似地以t之n-1次方多項式表示於下：

其中L(i,t)即為(1)-4式所示，茲重寫於下：

現在，直接在(3)-1式兩邊做[a,b]間之定積分得：

因為L(i,t)為t之多項式，故可直接應用現行之多項式積分公式計算出，令：

則(3)-2式便可寫成：

如用Sf(a,b)表示f(t)在t [a,b]間之一次積分，則其數學式便為如(1)-2-1式所示，茲重寫於下：

上式便為吾人想要的一次數值積分數學式。

(二)二次以上之數值積分：這裡所稱的二次或二次以上之數值積分，並非一般所稱的二重或二重以上之數值積分；一般所稱的二重或二重以上者，其被積函數有二個或二個以上之變數：但本發明所揭式的f(t)只有一個變數t，因此所稱的一次、二次、---..數值積分，是指對函數f(t)之t變 數的一次、二次、------.積分。於此先特別釐清。

將(1)-2-1式中之b視為變數，並以t代之，則：

與在t [a,b]中對f(t)擷取樣本之時間點，對Sf(a,t)擷取n個樣本Sf(a,t ₁),Sf(a,t ₂)………Sf(a,t _n )，然後再用這些樣本以Lagrange’s多項式去表示Sf(a,t)，即：

其中：L(j,t)即為(1)-4式所示。

在 t [a,b]間對(3)-4式兩邊積分得：

將(1)-3式代入上式即得：

如令：

則：

(3)-5式或(3)-6式均為f(t)在t [a,b]間之二次數值積分數學式。

不斷重複上述之行為k-1次，則可得：

如今：

則即可得(1)-2-2式，重寫於下：

(3)-7式或(1)-2-2式均為f(t)在t [a,b]中之k次數值積分之數學式。

本發明之說明內容至此終告完成矣！

如前所述，本發明的一個重要關鍵係在如何適時地改變其採樣速率，圖三之說明已闡述了一切。

在此實施例裡吾人將再提供另一方法，此方法是：直接將信號頻率值轉換為等值或等比例之頻率的脈波，此脈波再直接去對信號擷取樣本。

圖五所示便為本發明所揭示的一個簡單的實施例，茲以下例數點說明之：

(一)圖中1所示即為上述之信號的”頻率/脈波”轉換器。

(二)2所示為採樣速率直接由1所控制之A/D轉換器。

(三)A/D轉換器在待積分區間[a,b]中所擷取到之信號樣本f(t_i)(i=1,2,....n)必須暫時予以儲存；圖示3便是儲存f(t_i)之暫存器。

(四)吾人必須事先將參數一一計算妥當，爾後儲存於記憶體4中；其中，L(i,x)為x之Lagrange’s多項式，i=1,2,....n。

(五)5所示為之計算器，其最後之輸出便為f(t)在[a,b]間之數值積分值。

至於圖中之各個電路方塊中之詳細結構圖係熟知之技術，故其詳細說明恕發明人從略。

1‧‧‧頻率/脈波轉換器

2‧‧‧A/D轉換器

3‧‧‧暫存器

4‧‧‧記憶體

5‧‧‧連加計算器

圖一：曲線各點之權量係數與該點之斜率有關之說明圖

圖二：採樣速率不符曲線斜率變化需求時之圖示

圖三：樣本擷取之判斷圖示

圖四：曲線頻率較低與較高之比較圖示

圖五：數值積分之實施例方塊圖

1‧‧‧頻率/脈波轉換器

2‧‧‧A/D轉換器

3‧‧‧暫存器

4‧‧‧記憶體

5‧‧‧連加計算器

Claims (3)

1. 一種在區間[a,b]間內之樣本間距不需相等的積分裝置，該裝置之結構主要乃係包括：一個可將信號之頻率轉換為由脈波之頻率來表示的頻率/脈波轉換器；一個樣本之採樣頻率乃藉由上述之頻率/脈波轉換器所選擇決定之A/D轉換器；一組做為暫存上述A/D轉換器所擷取之樣本資料f(t_i)用的樣本暫存器；一組做為預存計算積分所需參數用的參數記憶體；其中； n N，t_j與t_j-1間為不一定相等之兩相鄰樣本之間距；x為[a,b]間之積分啞變數；複數個作為計算上述樣本暫存器中之樣本資料f(t_i)與參數記憶體中之參數資料之積用的乘算器；及一個做為將上述複數個乘算器之輸出累加用之累加器。
2. 如申請專利範圍第1項所述之裝置，其中所蘊涵之一項特徵乃係包含有一做為可選擇決定採樣頻率用之頻率/脈波轉換器。
3. 如申請專利範圍第1項所述之裝置，其中所蘊涵之一項特徵乃係包含有一做為預存計算積分所需參數用之參數記憶體；其中； n N，t_j與t_j-1間為不一定相等之兩相鄰樣本之間距，x為[a,b]間之積分啞變數者。