TWI412948B - 三維物件的碰撞模擬方法 - Google Patents

Description

三維物件的碰撞模擬方法

本發明是有關於一種三維物件的模擬方法，且特別是有關於一種三維物件的碰撞模擬方法。

近年來，三維(three dimensional,3D)影像的模擬技術越來越成熟，應用的範圍也相當地廣泛。除了3D遊戲、3D動畫外，應用在醫療、3D設計、服飾等領域的例子也越來越多。舉凡手術模擬、容顏修復、整形、人體工學、應力應變分析、物件動態模擬、網路購物、服裝設計、服裝模擬、鞋子設計、鞋子模擬等等都可看到3D影像的應用。

一般而言，3D動態物體常用的模擬方法主要分為彈簧模型與有限分析兩種。彈簧模型原理較為簡單，且計算速度較快，但缺點是精準度較差。有限元素分析則是工程上常用的方法，且準確性高。但是，有限元素分析運算的資料量通常很大，因此計算時間長也需耗費大量記憶體。所以，有限元素分析往往不適用在需要即時反應的應用上。另一方面，有限元素分析要求3D物件必須是規則性的網格模型，而對許多非利用電腦輔助設計(CAD)所製作的3D不規則模型而言，也很難達到。

利用彈簧模型計算物體受外力作用時的外型變化是物理上常用的方法。在彈簧模型的模擬中，3D物件通常是由許多的三角網格(mesh)所構成，且三角網格之角點(vertex)間會視為以彈簧連接。彈簧力的計算可依據虎克定律F _i =k ΔL _ij ，其中，且L _ij 、與k 分別表示彈簧受力後的長度、彈簧未受力的長度以及彈性係數。

通常在模擬開始時，會先初始化模型中所有角點的參數，例如位置(p _i )、速度(v _i )與質量(m _i )等。接著，計算物體的受力(F _i )，例如外力(重力)、內力(變形的彈簧力)，以及此物體的加速度(a _i =F _i /m _i )。之後，利用加速度可計算出下一刻的速度。接著，再利用更新後的速度計算出物體的位置。

在新位置與新速度算出後，再使用此新資訊算出下一時刻的力及加速度，並再計算速度與新的位置。以此方式，不斷疊代，即可算出在每一時刻物體的變形、移動等物理反應。

然而，使用標準方法實施彈簧模擬是有些缺點的。舉例來說，標準彈簧模型無法給予模型額外的限制(例如：面與面之間必須保持某個夾角，或者彈簧須保持固定長度)，而導致模擬結果的錯誤。此外，當物體與物體產生碰撞時，點與網格間的物理反應也難以被描述。並且，Δt 通常不能過大，才能精確地描述物體的變形。但是，在要算出下一時刻物體的的變形時，所有的角點都要以Δt 為單位來更新。如此一來，隨著Δt 越小，所有角點所需的更新次數也越多，使得運算量相當龐大且非常沒有效率。

本發明提供一種三維物件的碰撞模擬方法，能夠提高碰撞反應的準確度，與節省記憶體的使用量。

本發明提出一種三維物件的碰撞模擬方法，其中三維物件由多數個多角形網格所構成。此方法包括下列步驟。偵測這些多角形網格受到一物體的碰撞；當這些多角形網格中之一者受到物體碰撞時，於這些多角形網格中之一者中受到物體碰撞的一第一位置產生至少一虛擬點；這些多角形網格中之一者包括多數個角點。連接至少一虛擬點至這些角點，以構成多數個子網格；計算物體與至少一虛擬點之間的受力關係，以更新至少一虛擬點的第一位置為一第二位置；根據至少一虛擬點的第二位置，計算至少一虛擬點與這些角點之間的受力關係，以更新這些角點的位置。

基於上述，本發明藉由在三維物件受到碰撞處產生虛擬點，而能夠提高模擬的精準度。

為讓本發明之上述特徵能更明顯易懂，下文特舉實施例，並配合所附圖式作詳細說明如下。

圖1為本發明一實施例之三維物件的碰撞模擬方法的流程圖，圖2A~圖2G為示意圖1之碰撞模擬方法的三維物件的局部示意圖。在以下的說明中，將配合圖1、圖2A~圖2G來說明三維物件100受一物體50碰撞的模擬情形。三維物件100由多數個多角形網格所構成(圖2A中僅示意地繪出三個角點110、120、130所構成的多角形網格M)。在本實施例中，這些多角形網格分別為一三角形網格，但本發明並不以此為限。

首先，進行步驟S110，偵測這些多角形網格受到物體50的碰撞。在物理反應的模擬中，也可將三維物件100受到外力作用的情形視為受到物體碰撞，以方便模擬。一般來說，碰撞大致會有下列兩種。一種是點與網格間的碰撞(包含點與點的碰撞)，另一種是網格與網格間的碰撞。針對物體的碰撞偵測，本實施例可依序進行容納盒偵測(bounding box checking)、同面偵測(same side checking)、數值不精確性偵測(numerical imprecision checking)、交集點偵測(intersection point checking)與最小長度記錄(record minimal-distance)。

在碰撞偵測的過程中，可先進行bounding box checking。bounding box checking會記錄三維物件100與物體50延伸的最大範圍。藉由最大範圍的判斷，可以在一開始就粗略地估計三維物件100與物體50間是否有重疊。如果沒有重疊則當作兩者無碰撞發生；若有重疊，則進入same side checking等後續的偵測過程。如果上述檢測均通過則表示三維物件100與物體50間有碰撞行為產生。此時，三維物件100上一些不可能發生碰撞的區域亦可刪除掉，以減少後續的運算量。接下來，計算物體50在三維物件100上碰撞點的位置並進行記錄。

接著進行步驟S120，當偵測到多角形網格M受到物體50碰撞時，於多角形網格M中受到物體50碰撞的一第一位置產生一虛擬點140(如圖2C所示)。在本實施例中，物體50與多角形網格M為點與網格間的碰撞，所以多角形網格M僅產生一虛擬點140，但本發明並不以此為限。在另一未繪示的實施例中，若是物體50與多角形網格M為網格與網格間碰撞時，可在多角形網格M受到物體50碰撞的區域內產生其他多數個虛擬點。

然後進行步驟S130，連接虛擬點140至這些角點110、120、130，以構成多數個子網格M1、M2、M3(如圖2C所示)。如此一來，相較於對三維物件100中其他多角形網格，受到碰撞的多角形網格M中的角點分布密度隨虛擬點140的增加而提高。藉此，碰撞的過程可由較多的角點來模擬，進而提高模擬的準確度。此外，由於其他未被碰撞的多角形網格的角點分布密度不變，所以其他多角形網格的數據運算量不變。因此，模擬準確度不但能夠提升，系統運算上的負擔也不會太重。

接著進行步驟S140，計算物體50與虛擬點140之間的受力關係，以更新虛擬點140的第一位置為一第二位置(如圖2D所示)。舉例來說，可根據物體50的質量與加速度來計算出撞擊的力量。

之後進行步驟S150，根據虛擬點140的第二位置，計算虛擬點140與這些角點110、120、130之間的受力關係，以更新這些角點110、120、130的位置(如圖2E所示)。在本實施例中，虛擬點與這些角點110、120、130之間的受力關係是藉由一彈簧模型所計算出來。

圖3為圖1之三維物件的碰撞模擬方法的詳細步驟的流程圖。為了更清楚地說明利用彈簧模型計算受力關係的過程，在以下的說明中請參考圖1與圖3。計算受力關係的步驟S150可包括多數個子步驟S152~S158。首先進行步驟S152，計算這些角點110、120、130的一質量分布。詳細來說，可利用周圍連接的角點、面積與密度來估計各角點的質量。其中ρ _j 表周圍連結面積的密度，A _j 表周圍連結的面積。舉例來說，角點110的質量m ₁₁₀ =ρ _j ×((子網格M1的面積)+(子網格M2的面積))。ρ _j 可由使用者根據實際的情形決定大小。

接著進行步驟S154，記錄更新前之虛擬點140與這些角點110、120、130之間的一第一長度關係。如圖2C所示，分別記錄虛擬點140與這些角點110、120、130之間的長度，以作為彈簧模擬中虎克定律的初始條件。

然後進行步驟S156，記錄更新後之虛擬點140與這些角點110、120、130之間的一第二長度關係。如圖2D所示，在虛擬點140的位置更新後，分別記錄虛擬點140與這些角點110、120、130之間的長度。

之後進行步驟S158，根據質量分布、第一長度關係與第二長度關係，藉由彈簧模型計算這些角點110、120、130的速度與位置。詳細來說，受力關係可由簡單的彈簧模型算出這些角點110、120、130受到物體50碰撞的影響。其中，F _i 為外力、k _s 為彈簧模型預設的彈性係數，為第一長度關係與第二長度關係的差值。

更進一步來說，在更新這些角點110、120、130的位置(步驟S150)之後，還可進行步驟S170~S190。首先進行步驟S170，判斷物體50是否離開更新後的虛擬點140與這些角點110、120、130所構成的一空間範圍。當物體50離開空間範圍時，進行步驟S180，刪除虛擬點(如圖2F所示)，使得三維物件100恢復成未碰撞前的狀態。但若是物體50還未離開空間範圍時，表示碰撞仍在進行中。此時，進行步驟S190，保留虛擬點140，並運行於模擬中(如圖2G所示)。由於根據虛擬點140所產生的子網格M1、M2、M3也會同時進行物理模擬運算，所以能夠提高模擬的準確度。一旦物體50離開網格時，虛擬點140將被刪除，使得運算量得以降低。

值得一提的是，習知對於點與網格間的碰撞都以剛體的方式去處理此碰撞物理反應。然而，絕大部分的物體皆非剛體，所以用剛體的物理方式描述與實際情形有很大的出入，這樣的誤差也直接影響了模擬的結果。相較於此，本實施例是藉由在多角形網格受到碰撞處產生虛擬點，所以對於點與網格間碰撞的處理較能符合實際情況。

圖4為本發明一實施例之三維物件的碰撞模擬方法之量化時間步階(time step)的流程圖。請參考圖4，首先進行步驟S210，計算各個角點110、120、130的時間步階。可以選擇最小的時間步階做為各個角點110、120、130的時間步階Δt _i =min(Δt _{c 1} ,Δt _{c 2} ),Δt _{c 1} 與Δt _{c 2} 為收斂條件。

由於每個角點可能連結一個以上的角點，因此取其最小的數值做為此角點所需的Δt 。在此Δt 範圍內，此角點的運動可視為線性。所以，欲達到正確的物理模擬，時間步階Δt 必須夠小，以保證此物理模擬結果的收斂性。但由於每個角點V _i 所受周圍環境不同，因此受力狀況也不同。所以，每個角點V _i 適合收斂的時間步階條件也不同。在本實施例中，可以先估計每個角點所適合的收斂條件Δt _{c 1} =c ₁ (ΔL _ij /Δv _ij )、，c ₁ 與c ₂ 表示可由使用者調整的兩常數。其中，ΔL _ij 表示兩角點間的彈簧變形情況，Δv _ij 表示兩角點間的相對速度。根據實驗的經驗，c ₁ 與c ₂ 必須小於0.01可讓模擬結果收斂，如大於0.01則結果很容易發散。

接著，量化這些角點110、120、130的時間步階。舉例來說，可將這些角點110、120、130的時間步階Δt _i 量化成。其中，i≧1，Δt ₁ 為這些角點110、120、130中最小的時間步階。

接著，根據量化後時間步階的大小，依序更新這些角點110、120、130，直到這些角點110、120、130分別到達一系統時間。此系統時間表示這些角點110、120、130中最大的。

圖5A與圖5B分別為多數個角點在量化時間步階前後的示意圖。請參考圖5A與圖5B，為了更清楚說明圖4之量化時間步階的流程，以下將針對7個角點V ₁ ~V ₇ 的時間步階Δt ₁ ~Δt ₇ 量化成3種時間步階、與的情形來說明。其中，。詳細來說，量化的作法為選擇所有角點V ₁ ~V ₇ 中最小的時間步階(例如Δt ₁ )來量化成

圖6為圖5B之角點更新的時序圖。請參考圖5B與圖6，首先，更新屬於最大的角點V ₂ 、V ₄ 。接著，更新屬於的角點V ₃ 、V ₅ 。然後，更新屬於的角點V ₁ 、V ₆ 、V ₇ ，直到到達系統時間為止。每次更新的資料僅限於屬於此類的角點，任何需要其他類別的角點訊息，例如位置、速度等，均可藉由線性內插得到。因此利用此方法可以有效率的加速整個模擬所需的運算時間。

值得一提的是，習知模擬的方法是選取最小的時間步階做為系統的時間步階Δt _sys =min(Δt _i )。在得到Δt _sys 後，再算出每個角點的力、碰撞偵測等，以得到新的位置。但每更新一次Δt _sys ，都必須對所有角點進行計算。因此，模擬效率會變的極差。相較於此，本實施則是將各個大小不同的Δt _i ，因此量化變成。因此，每次僅更新屬於此的角點，而不用更新所有的角點，使得運算效率變得非常的高。

圖7A~圖7F為圖5A之角點量化成4種時間步階的時序圖。由於把時間步階分成8等分較符合實際的情形，以下就時間步階8等分的情形來做說明。請先參考圖7A，首先，所有角點V ₁ ~V ₇ 分別更新的時間。此時，屬於最大的角點V ₂ 、V ₇ 更新完成。接著請參考圖7B，更新角點V ₃ 、V ₆ ，使角點V ₃ 、V ₅ 、V ₆ 的時間步階一致。之後請參考圖7C，更新角點V ₃ 、V ₅ 、V ₆ ，使角點V ₁ 、V ₄ 、V ₅ 的時間步階一致。然後請參考圖7D，更新角點V ₃ 、V ₆ ，使角點V ₁ 、V ₃ 、V ₄ 、V ₅ 、V ₆ 的時間步階一致。再來請參考圖7E，更新角點V ₁ 、V ₃ 、V ₄ 、V ₅ 、V ₆ ，使角點V ₁ 、V ₂ 、V ₄ 、V ₇ 的時間步階一致。接著請參考圖7F，更新角點V ₃ 、V ₆ ，使角點V ₃ 、V ₅ 、V ₆ 的時間步階一致。之後請參考圖7G，更新角點V ₃ 、V ₅ 、V ₆ ，使角點V ₁ 、V ₄ 、V ₅ 的時間步階一致。最後請參考圖7H，更新角點V ₃ 、V ₆ ，使所有角點V ₁ ~V ₇ 的時間步階一致。

圖8為圖1之三維物件的碰撞模擬方法所延伸之模型修正的流程圖。一般來說，大部分的模型，其運動皆有其限制。例如，兩平面間具有一定固定的角度(bending angle)或長度限制，亦或者模型的某些區域必須固定在空間的某個點或某個區域。所以，本實施例更延伸出模型修正的流程，以更加地符合模型的實際狀況。請參考圖1與圖8，在這些角點110、120、130更新的過程中，可監測這些角點110、120、130更新後的狀態超過一預定模擬條件(步驟S310)。詳細來說，監測可大致區分為兩種型態。一種是靜態偵測，由使用者給予模擬條件，在模擬過程所屬的角點恆等於此模擬條件。例如：物質具有某部份不可變形或具有不可移動的性質。另一種則是動態偵測，當角點在演算過程超過某個使用者自訂的臨界點時，加入限制(constraint)條件。例如：當變形量超過某個範圍時，進行修正。

當這些角點110、120、130其中之一者更新後的狀態超過預定模擬條件時，根據預定模擬條件進行修正。在本實施例中，模擬條件可包括三維物件100的長度、角度、面積、體積、應力及應變至其中之一。此外，由於本實施例之虛擬點140與該些角點110、120、130之間的受力關係是藉由一彈簧模型所計算出來。因此，根據預定模擬條件進行修正的步驟可包括限制彈簧模型的彈簧變形範圍。由於限制長度需要角點間保持某段長度的限制，所以此限制條件可描述如下：

當f (x _i ,y _i ,z _i )=0時表示滿足此限定的長度。接著，對f (x _i ,y _i ,z _i )微分取得極值：、、。因此，我們可得到修正量Δx _i =-Δf /f _x 、Δy _i =-Δf /f _y 、Δz _i =-Δf /f _z 。藉此修正量，我們可以保持角點間長度固定。

圖9為本發明另一實施例之三維物件的碰撞模擬方法的流程圖。圖9為整合上述實施例所歸納出的流程，以下將配合圖1、3、4、8來說明圖9的實施例。請參考圖9，首先進行步驟S410，初始化模型中所有角點的參數，例如位置(p _i )、速度(v _i )與質量(m _i )等。

接著進行步驟S420，步驟S420對應圖4之量化時間步階的各步驟。步驟S420可包含S422~S428等多數個子步驟。首先進行步驟S422，對時間步階進行量化及切割成多等分。接著進行步驟S424，根據時間步階，更新未決定的角點的加速度、速度與時間。然後進行步驟S426，根據量化後時間步階的大小，更新角點並內插所有所需資訊。之後進行步驟S428，判斷所有未決定的角點是否都已完成更新。

在所有角點都已完成更新之後，進行步驟S430。步驟S430則對應至圖8的模型修正流程。步驟S430可包括S432~S436等多數個子步驟。首先進行步驟S432，監測角點更新後的狀態是否超過一預定模擬條件。接著進行步驟S434，判斷是否有角點更新後的狀態超過模擬條件。當判斷有角點更新後的狀態超過模擬條件時，進行修正(步驟S436)。否則進行步驟S440，碰撞偵測與碰撞反應。

步驟S440則對應至圖1之碰撞偵測與碰撞反應流程，在此不在贅述。在完成碰撞偵測與碰撞反應之後，進入下個時間步階(步驟S450)。如此不斷地疊帶，即可達到模擬三維物件物理反應狀態的效果。

綜上所述，本發明藉由在三維物件受到碰撞處產生虛擬點，而能夠增加碰撞處的解析度，進而提高模擬的精準度。此外，本發明藉由量化時間步階，而可減少運算資料量。另外，在處理流程中還能給予系統適當的模擬限制條件，而可提高此物理模擬方法更廣的應用範圍。

雖然本發明已以實施例揭露如上，然其並非用以限定本發明，任何所屬技術領域中具有通常知識者，在不脫離本發明之精神和範圍內，當可作些許之更動與潤飾，故本發明之保護範圍當視後附之申請專利範圍所界定者為準。

50．．．物體

100．．．三維物件

110、120、130．．．角點

140．．．虛擬角點

M．．．多角形網格

M1、M2、M3．．．子網格

S110~S190、S210~S236、S310~S320、S410~S450．．．步驟

Δt ₁ ~Δt ₇ 、．．．時間步階

V ₁ ~V ₇ ．．．角點

圖1為本發明一實施例之三維物件的碰撞模擬方法的流程圖。

圖2A~圖2G為示意圖1之碰撞模擬方法的三維物件的局部示意圖。

圖3為圖1之三維物件的碰撞模擬方法的詳細步驟的流程圖。

圖4為本發明一實施例之三維物件的碰撞模擬方法之量化時間步階的流程圖。

圖5A與圖5B分別為多數個角點在量化時間步階前後的示意圖。

圖6為圖5B之角點更新的時序圖。

圖7A~圖7H為圖5A之角點量化成4種時間步階的時序圖。

圖8為圖1之三維物件的碰撞模擬方法所延伸之模型修正的流程圖。

圖9為本發明另一實施例之三維物件的碰撞模擬方法的流程圖。

S110~S150．．．步驟

Claims (10)

1. 一種三維物件的碰撞模擬方法，其中該三維物件由多數個多角形網格所構成，其中該方法用以提升模擬準確度，該方法包括：偵測該些多角形網格受到一物體的碰撞；當該些多角形網格中之一者受到該物體碰撞時，於該些多角形網格中之一者中受到該物體碰撞的一第一位置產生至少一虛擬點，其中該些多角形網格中之一者包括多數個角點；連接該至少一虛擬點至該些角點，以構成多數個子網格，其中各子網格是由虛擬點與其中兩個角點所形成的三角形；計算該物體與該至少一虛擬點之間的受力關係，以更新該至少一虛擬點的該第一位置為一第二位置；以及根據該至少一虛擬點的該第二位置，計算該至少一虛擬點與該些角點之間的受力關係，以更新該些角點的位置。
2. 如申請專利範圍第1項所述之三維物件的碰撞模擬方法，其中該至少一虛擬點與該些角點之間的受力關係是藉由一彈簧模型所計算出來。
3. 如申請專利範圍第2項所述之三維物件的碰撞模擬方法，其中計算該至少一虛擬點與該些角點之間的受力關係的步驟，包括：計算該些角點的一質量分布；記錄更新前之該至少一虛擬點與該些角點之間的一第一長度關係；記錄更新後之該至少一虛擬點與該些角點之間的一 第二長度關係；以及根據該質量分布、該第一長度關係與該第二長度關係，藉由該彈簧模型計算該些角點的速度與位置。
4. 如申請專利範圍第1項所述之三維物件的碰撞模擬方法，其中在該更新該些角點的位置之後，更包括：判斷該物體離開更新後的該至少一虛擬點與該些角點所構成的一空間範圍；以及當該物體離開該空間範圍時，刪除該至少一虛擬點。
5. 如申請專利範圍第1項所述之三維物件的碰撞模擬方法，其中更新該些角點的位置的步驟，包括：量化該些角點的時間步階；以及根據量化後時間步階的大小，依序更新該些角點，直到該些角點分別到達一系統時間。
6. 如申請專利範圍第5項所述之三維物件的碰撞模擬方法，其中量化該些角點的時間步階的步驟，包括：將該些角點的時間步階量化成，其中i≧1，為該些角點中最小的時間步階。
7. 如申請專利範圍第1項所述之三維物件的碰撞模擬方法，更包括：監測該些角點更新後的狀態超過一預定模擬條件；以及當該些角點之一者更新後的狀態超過該預定模擬條件時，根據該預定模擬條件進行修正。
8. 如申請專利範圍第7項所述之三維物件的碰撞模擬方法，其中該至少一虛擬點與該些角點之間的受力關係是藉由一彈簧模型所計算出來，而根據該預定模擬條件進行修正的步驟，包括：限制該彈簧模型的彈簧變形範圍。
9. 如申請專利範圍第7項所述之三維物件的碰撞模擬方法，其中該模擬條件包括該三維物件的長度、角度、面積、體積、應力及應變至其中之一。
10. 如申請專利範圍第1項所述之三維物件的碰撞模擬方法，其中該些多角形網格分別為一三角形網格。