JP2008171135A - 二分割二統合に基づく実時間適応的四面体メッシュを用いたレオロジー物体の変形シミュレーション方法及びその変形シミュレーションプログラム - Google Patents

Abstract

【課題】レオロジー物体の変形シミュレーションを高速で高精度に行うことのできる、二分割二統合に基づく実時間適応的四面体メッシュを用いたレオロジー物体の変形シミュレーション方法を提供する。
【解決手段】シミュレーション対象となる物体について、四面体を要素とするアダプティブグリッドを生成し、格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行い、前記物体内部の変化量を定義し、外側に外力が付与されたときに、変化量の多い四面体を、四面体の二分割方法を用いてそれぞれの最小の四面体要素に分割し、変化量の少ない四面体を統合する。
【選択図】 図５

Description

本発明は、四面体の二分割法を用いたレオロジー物体の適応的変形シミュレーション方法及びその変形シミュレーションプログラムに関する。

リアルタイムインタラクティブモデルと柔軟物体の変形挙動のシミュレーションは、ロボティックス、コンピュータグラフィック、ＣＡＤ、コンピュータ支援手術などの分野で重要な役割を果たしている。ある物体をメッシュベースで表現する場合、表現の正確さはメッシュの解像度と呼ばれる要素数に関係している。モデリングの計算時間を制御するため、多重解像度モデルの概念が提唱されている。多重解像度モデルは、異なるレベルの解像度を用いて、物体とその挙動を表現するモデルである。多重解像度モデルの主な長所は、低解像度で十分と考えられる領域を少ないデータ量でモデリングすることにより、全体の計算コストを下げることが可能であるという点である。

シミュレーションにおいて、現実的な挙動を得るために、異なる領域が高解像度によって表現されている必要があるため、その関心の対象となる領域を細分化する必要がある。関心の対象となる領域は主に以下のように分類される。すなわち、「接触領域」や「変形量の大きい領域」、「大きな曲率をもつ領域」である。
メッシュを細分化するために主に２つのアプローチが利用されている。ひとつは、ドロネーアルゴリズムである。もうひとつは、the longest-side bisection algorithmsに基づく二分割アルゴリズムである。二つ目のアプローチは、線形時間で質の良い表面三角形を生成、あるいは四面体を生成する。また、一つ目のアプローチは、２次元の場合、Ｏ（NlogN）の計算時間を要する。

また、従来、接触領域を高解像度で表現する、柔軟物体のリアルタイム変形モデルが提案されており、メッシュの細分化にはドロネーアルゴリズムが使用されている。しかしこれまで、変形量の大きな領域を高解像度で表現する適応モデルは検討されていない。

特に、医療用画像処理やコンピュータグラフィックスの分野においては、柔軟物体の変形シミュレーションが、技術的に重要な課題である（例えば、非特許文献１参照）。柔軟物体が材料や生体組織のようなレオロジー物体である場合には、変形シミュレーションに適した高精度でリアルタイムの表現手段が必要となる。

Celine Paloc,Fernando Bello,Richard Kitney and Ara Darzi "Online Multiresolution Volumetric Mass Spring Model for Real Time Soft Tissue Deformation" MICCAI(2) 2002,219-226

しかし、レオロジー物体の変形シミュレーションを高速で高精度に行う技術は未だ確立されていない。
そこで本発明は、レオロジー物体の変形シミュレーションを高精度でリアルタイムに行うことができる手段を提供することを目的とする。

前記目的を達成するために、この発明は、シミュレーション対象となる物体について、四面体要素を構成するアダプティブグリッドを生成し、格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行い、前記物体内部の変化量を定義し、外側に外力が付与されたとき、変化量の多い四面体要素を、四面体の二分割方法を用いてそれぞれの最小の四面体要素に分割し、変化量の少ない四面体要素を統合することを特徴とする二分割二統合に基づく実時間適応的四面体メッシュを用いたレオロジー物体の変形シミュレーション方法である。

また、この発明は、コンピュータを、シミュレーション対象となる物体について、四面体要素を構成するアダプティブグリッドを生成する手段、格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行う手段、前記物体内部の変化量を定義する手段、外側に外力が付与されたとき、変化量の多い四面体要素を、四面体の二分割方法を用いてそれぞれの最小の四面体要素に分割し、変化量の少ない四面体要素を統合する手段として機能させるための二分割二統合に基づく実時間適応的四面体メッシュを用いたレオロジー物体の変形シミュレーションプログラムである。

この変形シミュレーション方法及び変形シミュレーションプログラムによれば、物体内部の変化量を定義することにより、変形中の物体の変形が多い所に適応的に質点を配分することができ、高精度に変形のシミュレーションを行うことができる。また、物体内部の変化量を定義することにより、変形中の物体の変形が少なくなる所に適応的に質点を削減することができ、高速に変形のシミュレーションを行うことができる。また、四面体の二分割方法を用いているため、リアルタイムで高速に変形シミュレーションを行うことができる。

この発明によれば、物体内部の変化量を定義することにより、変形中の物体の変形が多くなる所又は少なくなる所に適応的に質点を配分・削除することができ、高速で高精度に変形のシミュレーションを行うことができる。

以下、この発明の実施の形態を説明する。なお、以下の変形シミュレーション方法は、当該変形シミュレーション方法を実現するコンピュータプログラムがインストールされたコンピュータによって実行される。

[二分割細分化に基づく適応的四面体メッシュ]
図１は、多重解像度モデリングのための適応的四面体メッシュの概要を示している。メッシュ生成アルゴリズムは、フィールド値とその勾配（等値面の方向と曲率)などの局所ボリューム特徴に基づいて、メッシュのノードの数を増やしながら再帰的に四面体要素を二分割していく。そしてその分割は、全てのボリュームにおいて、View-invariantの精度が指定されたレベル内に近似されるまで続く。

[再帰的な二分割による細分化]
階層的表現を構成するためのアルゴリズムは、初期格子の段階的詳細化に基づいている。精度基準が与えられた場合、四面体Ｔｐを構成する６つのエッジのうちの１つでも精度基準を超えたとき、その四面体Ｔｐは二分割される。最大長さを持つ基底エッジＥ（＝Ｐ１−Ｐ２ベクトル）の中点に新しいノードＭを生成することで四面体Ｔｐが左の四面体Ｔｌと右の四面体Ｔｒとに分割される。その際、フィールド値やその勾配（方向やノードＭを含む等値面の曲率）などの局所特徴を持つノードＭの初期化が必要となる。その後、左の四面体Ｔｌと右の四面体Ｔｒとのそれぞれに対して、精度基準を超えているかどうかが独立に評価される。

[四面体の基本形状]
図２に示すように、再帰的な二分割法において、鏡面対称を含めると３つの四面体のプリミティブ（タイプ−Ｉ、タイプ−ＩＩ、タイプ−ＩＩＩ）だけが、３Ｎ、３Ｎ＋１、３Ｎ＋２のレベルのそれぞれにおいて生成される。図３に、タイプ−Ｉ、タイプ−ＩＩ、タイプ−ＩＩＩに対する、親ノード（Ｐ０、Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３）とノードＭとを用いた四面体Ｔｌと四面体Ｔｒの再帰的な定義を示す。
図２が、３Ｎレベルでのタイプ−Ｉの親四面体Ｔｐの３つの連続した分割を示すように、エッジの長さが２分の１、体積は８分の１であるタイプ−１のgreat-ground childrenと同じタイプを生成する。

タイプ−Ｉ、タイプ−ＩＩ、タイプ−ＩＩＩの面の形状は、二等辺三角形又は直角三角形である。タイプ−Ｉの最小エッジ長さに対する最長エッジ長さの比率は３^１／２であり、タイプ−ＩＩでは２×（２^１／２）／（３^１／２）、タイプ−ＩＩＩでは２である。このように、中点を使用した二分割は、等角の必要条件を満たしている。この二分割のもう一つの長所は、連続的なレベルのボリューム近似を提供することである。なぜなら、より少しの子孫と一緒の木にはボリューム変化の所定の範囲のために近いもののより多くのレベルがあるからである。

[不連続に対するクラックの捕捉]
適応的な分割方法における主な問題は、各々の四面体が独立して分割されることで、クラック（すなわち不連続）が発生することである。初期の格子要素の近くに大きなフィールド変化があるとき、格子要素の間で境界に沿ってクラックが発生する可能性がある。このクラックの発生は、大きなフィールド変化がある片方の格子要素だけが分割されることに起因する。そこで、隣接四面体間におけるクラックの発生を防ぐために、フィールド値のＣ^０とＣ^１の不連続を発見し、クラックを形成させることなく維持する並列アルゴリズムとしている。このクラックをハンドルするアルゴリズムは、再帰的に隣接四面体の近傍を拡大することによって、不連続が観察されるまで、フィールド不連続情報を収集する。この再帰的な拡大によって達成する境界は、格子要素にとっての三次元の参照地域を定義する。この境界参照領域参照の局所的な定義によって、各々の格子要素を独立して再分割することが可能である。このように,クラックのない階層的な並列処理は、限られた時間と空問で実行される。

[動的適応解像度モデル：質点バネモデル]
質点バネモデルは、質量を持ったノードとバネ、ダンパから構成されるモデルであり、計算の効率性と実装の簡易さから広く利用されている。この発明では、粘弾性物体の変形シミュレーションを対象とし、各ノード間にフォークトモデル（図４）を配置することで、三次元形状を表現する。

質点バネモデルにおいて、質点ｉにかかる力は次の式（１）のように表せる。式（１）において、ｌは現在のエッジ長、Ｌはエッジの初期長、ｅはエッジの方向ベクトル、Σは質点ｉに接続されたすべてのエッジの総和を意味する。

質点ｉの質量をＭｉ、座標をＰｉ、外カをＦｉ^ｅｘｔとすると、各質点において、次の式（２）の運動方程式を解くことで物体の変形を表現することができる。

しかし質点バネモデルにおいて、物体の全てのノードを扱う変形のリアノレタイムシミュレーションは困難である。したがって、計算のコストを下げるために、局所的な細分化と質点バネモデルが併用されている。そこで、この発明では、変形量が大きな領域の解像度を自動的に適応化している。以下、これを説明する。

[粘弾性バラメータ]
質点バネモデルにおいては、各要素のパラメータの決定方法が変形挙動に大きく影響を与える。解像度の変化にもかかわらず、物体全体の特性を維持するためのパラメータの決定方法が提案されている。
この発明では、動的にモデルの解像度を変更する際、次の式（３）を用いて各パラメータを更新する。式（３）において、Ｄは物体の密度、Ｅはヤング率、Ｌはエッジの自然長である。また。ΣＶは、各要素に隣接する四面体の初期体積の総和である。

[変形量の定義]
四面体メッシュモデルにおける変形量として、歪エネルギーの密度を利用する。すなわち、各四面体の変形量を次の式（４）のように定義する。

ここで、Σは四面体を構成する６本のエッジの総和を意味している。言い換えれば、変形量が大きな領域というのは、四面体の歪エネルギー密度Ｄがある基準Ｄｔを超えた四面体であるといえる。

[二分割アルゴリズムによる細分化]
四面体の歪エネルギーの密度Ｄ_{ｅｎｅｒｇｙ}が、与えられた閾値Ｄ_{ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ}を超えたとき、その四面体を二分割アルゴリズムを用いて細分化する。二分割アルゴリズムにおいては、限定された形状の要素しか生成されない。ゆえに、初期要素の質が良ければ、細分化によって質の悪い要素が生成されることはない。

変形量の大きな領域を細分化するために、前記二分割アルゴリズムを使用する。二分割アルゴリズムでは、四面体は基辺の間で２つの小さな四面体に分割される。このアルゴリズムの計算の複雑さは線形時間となる。二分割細分化における主な問題点は、不連続（クラック）の発生である。

また、四面体格子構造は階層構造を持っているため、次の式（５）のように、各四面体の階層レベルに応じて閾値を変更することが可能である。すなわち、変形量が大きさに応じて、解像度を徐々に高めることが可能である。

[二分割アルゴリズムによる統合]
シミュレーションの間、一度変形量が増加した領域の変形量が常に大きいとは限らない。このため、変形量が小さくなった場合、計算コストを下げるために最初の解像度に戻す必要がある。分割された四面体の変形量が、与えられた基準Ｄｓより小さくなれば、細分化されたメッシュを単純化するために統合処置を行う。図５に示すように、細分化された四面体は元の四面体に徐々に統合される。この際においても、異なる解像度での挙動の一貫性を保つため、質量とバネ、ダンパのパラメータは、前記の式（３）によって更新される。

図１１は、二分割二統合に基づく実時間適応的四面体メッシュを用いたレオロジー物体の変形シミュレーションプログラムを説明するフローチャートである。
この変形シミュレーションプログラムは、前記の変形シミュレーション方法を行うために、コンピュータを、シミュレーション対象となる物体について、四面体を要素とするアダプティブグリッドを生成する手段、格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行う手段、前記物体内部の変化量を定義する手段、外側に外力が付与されたとき、変化量の多い四面体を、四面体の二分割方法を用いてそれぞれの最小の四面体要素に分割し、変化量の少ない四面体を統合する手段として機能させるためのものである。

[シミュレーション結果]
図６は、四面体メッシュでモデリングされた直方体を示している。物体の一端は固定されており、もう一方は解放されている。図６（ａ）は低解像度モデルであり、図６（ｂ）は高解像度モデルである。低解像度モデルと高解像度モデルとを比較し、適応解像度モデルの物体の変形を検討する。図７は、物体の右端に一定の鉛直方向の力を与えたときの変形シミュレーション結果を示している。図７（ａ）（ｂ）はそれぞれ低解像度、高解像度モデルの変形形状である。図７（ｃ）は、はじめは低解像度で表現されたモデルに対し、前記の手段により動的に解像度を変化させた結果である。物体の形状に関しては、図７（ｂ）と（ｃ）との間で大きな違いは見られない。

図８は、前記の適応的な解像度モデルにおける変形過程の状態を示している。図９は、解像度ごとの計算時間の推移を示している。低解像度モデルでは、常に計算時間は小さく、高解像度モデルでは、常に計算時間が大きい。適応的解像度モデルでは、変形量が大きくなるにしたがって、徐々に計算時間が増加している。適応的解像度モデルにおいては細分化の処理を必要とするが、計算時間は高解像度モデルと比較して小さい。

図１０は、別の物体によるシミュレーションを示している。前記の場合と同様に、変形量の定義に基づいて動的に解像度を変化させている。物体の左端は固定されており、右面の中央に強制変位を与えた。図１０（ａ）と（ｂ）はそれぞれ低解像度モデルと高解像度モデルの結果である。低解像度では変形を表現するのに不十分な解像度であることが分かる。一方、図１０（ｃ）は適応解像度モデルの結果であり、高解像度モデルと比較してほとんど形状の違いは見られない。このシミュレーションは、変形量による細分化を行った結果、接触領城が動的に細分化されたことを示している。すなわち、変形量に応じた動的な細分化は、接触領域の細分化を含んだ、一般化した細分化基準であるといえる。

以上のように、柔軟物体の変形シミュレーションのために、変形量の大きな頼域の解像度を自動的に変化させる適応モデルについて説明した。計算コストを削減するため、計算コストが線形時間である二分割による細分化アルゴリズムを用いた。シミュレーション結果は、この発明の有用性を示している。また、この発明は、物体の形状だけでなく、触覚提示装置を導入したハプティックレンダリングに適用することもできる。

[四面体の二分割法を用いて行うレオロジー物体のアダプティブヴォリューム切断シミュレーションプログラム及び切断シミュレーション方法]
図１２は、四面体の二分割法を用いて行うレオロジー物体のアダプティブヴォリューム切断シミュレーションプログラム及び切断シミュレーション方法を説明するフローチャートである。
この切断シミュレーション方法は、シミュレーション対象となるレオロジー物体について、四面体を要素とするアダプティブグリッドを生成し、格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行い、外側にある点Ｐに所定の大きさ以上の力が付与されたとき、点Ｐを含む四面体を、前記四面体の二分割方法を用いてそれぞれの最小の四面体要素に分割し、点Ｐを含む最小の四面体要素を取り除くことによって行われる。

これによれば、四面体の二分割方法を用いていることにより、切断シミュレーションをリアルタイムで高速に行うことができる。また、切断により、力の付与方向すなわち切断方向に最小の四面体要素が出現する。したがって、切断シミュレーションを高速かつ高精度に行うことができる。

また、本発明のシミュレーション方法及びプログラムは、上記実施形態に限定されるものではない。

適応的四面体メッシュを説明する図である。 四面体の周期的分割を説明する図である。 四面体の再帰的定義を説明する図である。 フォークトモデルを示す図である。 分割化と統合処理を説明する図である。 四面体メッシュでモデリングされた直方体の初期形状であり、（ａ）は低解像度モデルであり、（ｂ）は高解像度モデルである。 図６の直方体の変形形状を示しており、（ａ）は低解像度モデルであり、（ｂ）は高解像度モデルであり、（ｃ）は動的に解像度を変化させたモデルである。 時間の経過に伴う細分化の様子を示した図である。 解像度ごとの計算時間の推移を示した図である。 別の物体によるシミュレーションを示しており、（ａ）と（ｂ）はそれぞれ低解像度モデルと高解像度モデルの結果であり、（ｃ）は適応解像度モデルの結果である。 二分割二統合に基づく実時間適応的四面体メッシュを用いたレオロジー物体の変形シミュレーションプログラムを説明するフローチャートである。 四面体の二分割法を用いて行うレオロジー物体のアダプティブヴォリューム切断シミュレーションプログラム及び切断シミュレーション方法を説明するフローチャートである。

符号の説明

Ｔｌ 四面体
Ｔｐ 四面体
Ｔｒ 四面体

Claims (2)

1. シミュレーション対象となる物体について、四面体を要素とするアダプティブグリッドを生成し、
   格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行い、
   前記物体内部の変化量を定義し、
   外側に外力が付与されたとき、変化量の多い四面体を、四面体の二分割方法を用いてそれぞれの最小の四面体要素に分割し、変化量の少ない四面体を統合する
   ことを特徴とする二分割二統合に基づく実時間適応的四面体メッシュを用いたレオロジー物体の変形シミュレーション方法。
2. コンピュータを、
   シミュレーション対象となる物体について、四面体を要素とするアダプティブグリッドを生成する手段、
   格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行う手段、
   前記物体内部の変化量を定義する手段、
   外側に外力が付与されたとき、変化量の多い四面体を、四面体の二分割方法を用いてそれぞれの最小の四面体要素に分割し、変化量の少ない四面体を統合する手段
   として機能させるための二分割二統合に基づく実時間適応的四面体メッシュを用いたレオロジー物体の変形シミュレーションプログラム。