TW516306B

TW516306B - Method and apparatus for fast signal convolution using spline kernel

Info

Publication number: TW516306B
Application number: TW090100624A
Authority: TW
Inventors: Richard E Crandall
Original assignee: Etec Systems Inc
Priority date: 2000-01-11
Filing date: 2001-02-27
Publication date: 2003-01-01
Also published as: EP1248995A2; WO2001052101A3; US6701028B1; US20010051860A1; US6912323B2; AU2001227790A1; WO2001052101A2

Description

516306 五、發明說明（1 ) 發明藏_ 本發明有關對表示圖案（如表示一像素陣列的 Ή核心馬(或近似於)-樣條函數。較佳的褶積枋 (或近似於卜多項式樣條函數，其爲-分段多項气'/盤發明背景于又夕只式函數。褶積通常進行於信號上，包括的範圍有語音、靜態影，、視頻、光刻、無線電(雷達)信號處理。通常來説，被相積的鏤等仏號爲圖案信號。在此所使用的，，圖案"及” 信號”等字爲廣泛、以表示―次元順序或是二（或更高） =元數據文字（其可爲像素，但不一定是）陣列。通常，該，數據文字元包含二進制位元，且該褶積以離散的方式進行於該等二進制位元上，使用軟體、數位[信號處理電路、客户硬體、或是FPGA系統（場式可程式閘極陣列爲主之計算系統）。 ν亥名巧數據”在此表示一或是一以上表示數據的信號，且該詞”數據文字"於此表示一或是一以上表示數據文字的信號。即使在處理表示非常大模式的數據時，快速地實施褶積的動機極多。本發明的動機啓始於對光刻範疇中的近距離修正需要而來。在該等問題中，有一人嘗試在一表示大型模式ΠΡ”（該模式爲一大型一次元或是二次元像素陣列）的數據及一擴散核心”d"間進行一二次元的褶積。通常該核心爲一鬲斯或是高斯的疊置，要不然就是一平順的核心。更 -4 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) —訂---------· 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 ^i〇3〇6 A7 '--------SI__— 五、發明說明（2 ) 特疋地说，本發明源於對設立一合適的"〇(N)"演算法（—種需求階層數不超過”N”個乘法及加法之演算法），做爲對包 fN像素的一次元模式褶積，n非常大，有一高斯核心（或是j他平順核心）使得該褶積爲完全或是非常接近完全，，或是有一合適之"〇(NN，)"演算法（一種需求階層數不超過 NN個乘法及加法之演算法）做爲對一包含nn，像素的二次π模式褶積，每一 >1與N，都非常大，有一高斯核心（或是其他平順核心）使得該褶積爲完全或是非常接近完全。進行近距離修正（在光刻的範疇中）的目的，爲以產生一”原始，，（raw)光學信號（或是，，原始，，電子束信號），其可以輸^ 給一組反射或是折射鏡（或是電子束鏡），以將光學鏡輸出以所欲之圖案投射在一遮罩或是晶圓上。爲了決定引起在遮罩或晶圓上投射所要的圖案的原始光學信號（或是原始電子束信號）的特性，通常在一非常大的像素陣列（其決^ 圖案”P")上施行一解褶積的運算，以對該熟知之近距離問題做修正。在電子束光刻的案例中，該近距離問題是從電子在被寫入之基材（遮罩或晶圓）上的散射而來。該散射使電子曝光於基材上擴寬的區域（即每一被寫成之像素其環繞著像素本身之區域），該散射有效地擴寬該電子束、'超過電子束入射基材之上的該電子束直徑。在幾乎所有的近距離修正方案中，該解褶積運算包括至少一褶積的步驟。如此，在進行典型之近距離修正時，有一非常大的像素陣列（決定圖案V，）必須使用一擴散核心被褶積。雖然該褶積通常施行於一包含非常大的一二進位陣列之上，以下的討論不必受該限制，且本發明也不必受該 -5 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 x 297公釐） C請先閱讀背面之注音？事項再填寫本頁) 訂---------· 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 (d χΛ p) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 516306 五、發明說明（3 ) :艮制。確實’本發明可以對表示任何或小，且可以爲-次元或是二次元或是多於:可能爲：可以以二進位或非-,、私从々疋夕於一次兀，且其循i稽t圖"的數據及—稽積核心Υ，我們考慮其 (dxp)n= J；diPj i+j=n(modN) 及—非循環褶積，其只在指數束制與範圍不同而已·· i5n ^ 其中”XA”表示該褶積運算器x具有一非循環的特性。组，心4、U、中4圖木P馬一按次序之N數據値、，八核"馬按次序之M値組），該循環褶積的社果且有長度N (其包“個數據 =的、、。果具有，度=Μ人對—次元與二次元兩者情況都有興趣。安「中入(即—由一Ν乘Ν ’陣列數據値所決定的圖木')中’其在公式中的下指I · 曰下扣數11 1、J及域長度Ν爲2次元向 -y 〇該褶積d X p的標準表•示法友J以焉成一相當之矩陣向量乘積： d X p = Dp ，其中的循環（circulam)矩陣（於此後都稱爲㈣循環矩 (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁)

* 6 - 516306

五、發明說明（4 ) 陣），其一次元的形式定

D { dQ dx d2 d3 ... dN^ 〇f〇 d2 ^ 、^ d2 d3 cf4 …$ 傳統之梢積方法可以以矩陣幾何的語言來經濟部智慧財產局員工消費合作社印製如將於後所示寫成。本發明的中心思想爲以一多項式樣條核心f (其中f爲一樣條函數f(x)其將一 j階之多項式用]^片以4來分段）來近似一平順核心d，然後使用適當之運算器將每一已知之多項 j消減（或平坦化）（其方式將再討論）以快速計算該f與p的褶積。在一些具體實施例中，該平順核心d的近似方式（根據本發明）爲由樣條核心f，其雖不是一多項式樣條核心，但包含Μ片定義在其範圍内之鄰接片段（在典型的二次元案例中，該樣條核心後者爲徑向對稱的函數，其範圍爲有一些連續或離散之該徑向參數値組）。雖然根 ^稽積具有傳統子波方案的特性，並且爲—g(n)的演算表 =(如同子波方案），本發明之"樣條"稽積有—好處，就是 2 = i表示一由_資料値所组成之圖案P上)CN個异術運异（乘積與加法），而傳統子波的褶積會需要bNl倂，$質甘杜以寺相同的數據上折）、土通常（即通常之錯誤分析）逆車父因數”c”大許多。換句， Q當獻、土？以樣條_積暗示之大- 〇吊數逆小於傳統子波褶積的常數。本發明樣條褶積方法其他重、对處將於以下討論。爲

(請先閱讀背面之注咅？事項再填寫本頁) -------訂-------- 516306 A7 五、發明說明（5 ) 了對本發明較傳統韻方法優良的好處有更深的了解來解釋兩種傳統槽積的方法：以傅與子波褶積。 ^ 一如所熟知，以傅立葉爲主的褶積是基於如果F爲立葉矩陣的實際狀況，譬如説 F; jk r jk/ 經濟部智慧財產局員工消費合作社印制衣而該循環矩陣之轉換FDIM爲對角，於此我們計算：Dp = F.1 (FDF·1) Fp，其中該最右邊之運算Fp爲普通之傅立葉轉換，在括孤部分的運算（由於其對角性）爲二元乘積，而最後之運算^爲傅立葉轉換之反置。任意D需要實際三次傅立葉轉換，因爲對角矩陣FDP的產生需要一次轉換。然而，如果D爲固定，並轉換以一次爲主，那麼接下來的邱褶積，如所孰知，每次只需要兩個_。以#立葉爲主的循環稽積的複雜性，對一長度爲N (—由N個數據値決定的圖案）的圖案p j積，對所需要之該等2或3個FFTs (快速傅立葉轉換）而吕，因此爲0(N對數N)個運算（即在N對數N個左右的乘積與加法）。應該要注意的是該傅立葉方法爲一完全方法（由該快速傅立葉轉換精確度決定捨入錯誤）。另一傳統褶積方法課題爲子波褶積方法，其特性通常爲非完全。其基礎之想法是極好的，且其進行方式根據矩陣 4何範例。假設來説，已知一 N乘N循環矩陣d，其可能發現一矩陣W(此通常爲一所謂之小型子波轉換），其具有以 -8 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) -^1 .1 I n 1 n )eJs n ϋ ϋ ϋ ϋ n ·1 I · 516306 A7 ____ B7____ 五、發明說明（6 ) 下特質： (1) W爲單位矩陣（即W·1伴隨W); (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) (2) W爲稀疏矩陣；及 (3) WDW·1爲稀疏矩陣，其中在本文中之”稀疏·，僅表示對稀疏矩陣S而言，任何矩陣向量乘積Sx，對一任意X，有關其縮小之複雜性〇( N)而不是0( N2)。由其假設之特質，我們可以計算：

Dp = W'1 (WDW'^Wp 以一個稀疏矩陣向量乘積的方式，注意該單位性暗示w」的稀疏性。因此該以子波爲主的褶積複雜性爲〇( N)，用以對由N個數據値所決定之圖案p來褶積，然對已知循環矩陣 D而& ’除了其通常不可能找得到之外，一矩陣w嚴厲地已知該等兩個稀疏特質。通常來説，如果該褶積樣條d足夠平順的話，那麼可以在某些可以接受的近似錯誤範圍之内找到子波運算器W，使得以上的特質（3)有效。以上所提 <特質（1)與（2)至少對小型子波的家族來説爲一般通常爲近似的）。經濟部智慧財產局員工消費合作社印製如所 >王意，根據本發明之樣條褶積之一好處，就是其可 =進行（在表示-由N個資料値所組成之圖案p上）州算術運二而傳統子波在該等相同的數據上的褶積會需要⑽算術夕异，其中”b"通常（即通常之錯誤預算）遠較因數"c”大發明樣條”褶積之其他好處（與傳統稽積方法相馬· 7條褶積相對樣條核心f爲完全，而子波褶積設計爲本紙張厂度適標準

J)UO

發明說明（近似（而且子波褶積的錯褶積之信號長度爲非限：，析極難進行）；由樣條稽積來瓦反馬非限制（即其不必个些傳統褶積方法，而且人万’如- 而且樣條褶積允許非循環& Λ、彳壬何特別的型式）；葉梢積則對非循環加袍傳統傅立發明概述全〈附加零)。

在具體實施例中，太私日日A 安，ν’ ί即矣- 一闽在發月馬以一平順擴散核心d對—圖二不一圖衣v，的數據）進行循環或非循環褶積的一種万法，以產生表示褶積結果 r=Dp，其中D爲d的循裱矩陣（有時在此稱爲，，循環矩陣f，）。圖案,，p” 可以爲’人元，其由一連續的一次元數據値（如像素等）範圍（或是離散組）而決定，或者其可以爲二次元，其由一連續的二次元數據値範圍（或是離散數據値的陣列）而決定，或是p可以爲高於二次元。在典型的離散應用中，該圖案 ’•P’’爲一次元，其由一離散、有次序的數據値仏（如像素等）組而決定，其中i從0變化至1^1 (N爲信號長度），或者爲二次元’由一數據値Ρϋ的陣列決定，其中i從〇變化至，而 j從0變化至Ν’-1，或者其次元數高於二（其由一三次或是更高次元數據値組來決定）。通常該核心d由一數據値dij陣列決定，其中i從0變化至N-1，而j從0變化至N，-l (但是該核心d可以以一離散組數據値dGsdN1來決定）。在較佳之具體實施例中，本發明的方法用以下步驟成就該褶積Dp : 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） C請先閱讀背面之注音？事項再填寫本頁} --------訂--------·: 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 516306 f η -(亇)+(々)-⑺…。 0价⑺价·. 0 fi1 卜⑺...〇 ’ A7 五、發明說明（8 ) (a) 以一多項式樣條核心f近似該核心d (除非該核心4本身爲一多項式樣條核心，此時，d= f，而省略步驟（a)); (b) 計算q=Bp= △糾Fp，其中ρ爲核心f的循環矩陣，△心丨爲一消滅運算器（其形式通常視多項式片段F的階層j而定），其運算於循環矩陣F之上，使得△糾F=B爲稀疏；及 •(c)反解△川rappr()x=q以決定 rappr(>x=Fp。在該核心d本身爲一多項式樣條核心的案例中（d= f且， F=D)，本方法產生一完全的結果（rappr()x=r=Dp)。否則，在該方法中固有的錯誤爲（f - d) X p，其中X表示該交又乘積，且因此該錯誤容易被限定（bounded)。在一次元案例中，（其中褶積的圖案爲一長度一次元圖案），△川具有該N X N循環矩陣的型式，其定義如下： Δ 其中每一項目爲一二項式係數，且β爲該樣條核心f樣條片段的最大次階。例如，d = 2，其中該樣條核心f包含二次片段。在二次或更高次元案例中，該消滅運算器可以定義爲交·· .¾ , 其中 < 爲對第h階之d座標的第η次偏微分。例如， 11 - 私紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） v( f ---------訂--------- C請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁} 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 516306 經濟部智慧財產局員工消費合作社印制衣 A7 B7 五、發明說明（9

Laplacian 將消滅d次元自變數卜f(Xi，χ2, ··· Xd)分段平面的函數。在該一次元案例中，樣條核心f的每一自變數的該等端點 (支點）可以爲核心d連續的元素山及di+ i，而步驟（a)可以用進行曲線配合的方式，來選擇該樣條核心的每一片段合而爲一 ’其可以適當地匹配該核心d的對應片段（假設在每一支點的邊際條件能被滿足，.如在支點處以微分匹配或是滿足一些其他平順的條件）。在較佳之實施例中，步驟（c)包括一初步”點火”步驟，其中rapPr〇x= Fp的該少數目的最低分量之計算方式爲p與ρ的少許列的完全乘積，以及之後使用一自然再現的核心樣條與該運算器△ , +1間的關係來決定〜叩⑽其他分量的步驟。例如’在一次元的案例中，該rapprQX之最低分量爲Γ〇、 ΐΊ、···、~，其中” j "爲樣條f的核心片段的最大次階（例如’在樣條核心包含二次片段的rG、Γι及Γ2)，而該等” β，，分量由ρ與F的” β，，列的完全乘積而決定。然後，” r d ”的其餘分量由使用核心樣條與該運算器所決定的自然再現關係來決定。產生該分量爲、ri、…、r<y的"點火，，運算可以用〇(Ν)個運算來成就。自然再現的關係也可以用〇(Ν) 個運算來成就。 * 在其他的具體實施例中，本發明的褶積方法用以下步驟成就該褶積r=Dp : -12 - 本紙張尺度適用τ關家標準（CNS)A4規格（ X 297公髮） (請先閱讀背面之注咅？事項再填寫本頁)

516306 A7 B7 五、發明說明（10) (a) 以一多項式樣條核心f近似該核心d(除非該核心4本身爲多項式樣條核心’此時’ f，而省略步驟（a)); (b) 冲鼻q Bp— △ Fp ’其中F爲核心f的循環矩陣，△ β 爲一平坦運算器（其形式通常、視多項式片段1?的次6而定，且其運算於循環矩陣F之上，使得幾乎在所有地方都爲一區域常數矩陣）；及 (c) 反解△ <^ρρΓ()χ== q以決疋rapprox= pp。在一次元案例中， (其中p長度爲N)，具有該Nx N循環矩陣的型式： I·叫 =：。+(¾ -(¾ +@ ··· 〇 • -(¾ ··· 。+⑻ 其中每一項目爲一二項式係數，且J爲該樣條核心f樣條片丰又的取大次階。在較高次元的案例中，該平坦運算器△J 的定義類似。在後者具體貫施例（在步驟（b)中使用平坦運算器，而非消滅運算器的）中，步驟（c)可以用較少的乘積進行（因爲其”點火”步驟可以用一計算較小數目之rappr。尸巧最低分量的方式進行，即，只有rapprox〇、rappr()xl、…、rappr〇x卜1其中” d ” 爲樣條f的核心片段的最大次元），但是其要求更多額外的運算。 ’、在其他的具體實施例中，本發明方法Dp褶積（其中D爲平順核心d的循環矩陣）的成就，是用以下步驟進行： -13 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） (請先閱讀背面之注咅？事項再填寫本頁) 訂---------線4 經濟部智慧財產局員工消費合作社印制取 516306 A7 五、發明說明（11 ) (a) 以一多項式樣條核心f近似該核心d (除非該核心4本身爲一多項式樣條核心，此時，d= f，而省略步驟（a));

(b) 計算q=BP=AFP，其中F爲核心f的循環矩陣，a爲〜消滅或是平坦運算器，當A爲消滅運算器時，A運算於循環矩陣F上的方式使得AF=B爲稀疏，當A爲平坦運算器時，A 運算於循環矩陣F之上，使得AF=B幾乎在所有地方都爲一區域常數矩陣；及 ⑷反解 Arappr〇x=q以決定 rappn)x=Fp。、在其他具體實施例中，本發明使用軟體將一電腦編寫程式，根據本發明方法之具體實施例對數據進行褶積。本發明其他褶積的具體實施例包括一數位信號處理器，其包括根據本發明方法之任何具體實施例配置，以對數據進行褶積的數位信號處理電路；一種裝置（如定製或是專用之電子私路或疋以現場可程式閘陣列爲主的計算系統 (FPGA系統）），其根據本發明方法之任何具體實施例配置以對數據進行褶積；以及一光刻系統，其包括該數位信號處理電路、該定製或是專用之電子電路、或是該FPGA 系統。經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 :同本發明的範圍内，有一電腦可讀式儲存媒介，其二::腦可執行的指令，在該等指令中，一電腦回應執行二等札々，以進行本發明方法的具體實施例。 1馬—連續褶積核心d(x)經過一組支點{(Xi，di ·· (I))卜0 ’ ’ Μ}的曲線圖。圖1將從原點反映（reflected),

1田由现闳 -14 - ’ΓΚΐς、Α4描这mr)x㈧7公砮 516306 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 A7 五、發明說明（12 ) 以畫完全的核心d( X)。核心d( X)根據本發明以樣條函數f( X) 近似，其將一 β階之多項式fi(x)片段連接起來，包含乂片 fi( X) ’每一片與一對鄰接的支點重合（coinciding)。圖2爲一使用於本發明方法之較佳具體實施例中徑向對稱之二次元樣條函數f( r)的曲線圖。函數f( r)將一二次多j員式fi(r)片段，以三片段f〇(r)，f\(r)及⑴連接之圖：f‘）對小於或等於rG的r定義；f\(r)對大於或等於Γ。並小於或等於R的r定義；f2(r)對大於R的r定義爲〇 (^(0 = 0)。圖3爲圖2之樣條函數f( r)的拉帕拉契函數V2f的曲線圖。圖4爲圖2之樣條函數f( r)對長方形座標乂與y的曲線圖，其中 x=r(cos(9)及 y=(sini9) 0 圖5爲一電腦系統用軟體編寫程式，以執行本發明方去的方塊圖。圖6爲一光刻系統的方塊圖，包括一數位式信號處理器配置以對影像數據進行褶積（根據本發明），及一裝置其從該福積的影像數據結果產生一圖案信號（如具有時間變化幅度之一光束電子束）。該圖案信號提供給一組光學儀器 (如反射或折射鏡，或電子束鏡），而該光學鏡的輸出以— 圖案投射於一玻璃盤上，因此產生一可使用於積體電路製造中的遮罩。圖7爲一方塊圖，示一數位式信號處理器（可以使用做圖6 中的數位式信號處理器）配置以對影像數據進行褶積（根據本發明）。圖8爲一光刻系統（其爲圖6系統的一變化）的方塊圖。 -15 ^紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公爱） ^----------------訂--------- f請先閱讀背面之注音？事項再填寫本頁} 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 516306 五、發明說明（13 ) 圖9爲一簡化之電腦可讀式儲存媒介（CD_R〇M)的透視圖，其儲存電腦可執行的指令，其中指令的編寫，使電腦反應執行孫等指令，以進行本發明的一具體實施例。較佳具體實施例的詳細説明在本發明中，包括專利申請範圍，名詞”數據"表示一或疋一以上表示數據文字（data words)的信號。因此，該表示圖案P"的數據（根據本發明）與表示一平順核心，，d，，的數據褶積的敘述，表示一或是一以上表示圖案p的信號與另一組一或是一以上表示核心d的信號來處理，以產生表示褶積的結果數據（即一或是一以上的信號）。本發明的較佳具體實施例將以提及”消滅"及"平坦"運器的方式來描述。首先，考慮"消滅"運算器A運作於一循環矩陣d B= AD爲稀疏。 f 當想要進行褶積r=Dp時，如果對D可以找到—消器A的話，原則上可以計算鼻 A(Dp) = B p，並且’希望能從A(Dp)推論出所想要的褶積Dp。本於明極許異地發現該反解答（baeksGlutiQn)在# A爲奇矩== 時也可以解。吾人將説明（在其他地方此發現）是如何發生了解到該反解答有時爲可能的，接下來的之一快速褶積方法（以一消滅運算器爲主）的總綱：發明 (1)已知一褶積核心d及其循環矩陣D，以一

质果矩陣爲F -16 - 本紙張尺度適用中國國豕標準（CNS)A4規格（210 X 297公爱 !---Γ I-------------I I ^ ---------· (請先閱讀背面之注音？事項再填寫本頁} 516306 A7 五、發明說明（Μ) 先閱讀背面之注意事項之多項式樣條核心f、且找到_運算器Α使得b = af爲稀疏，來近似該核心d (除非d本身爲一多項式樣條核心，如此的話該運算器A應具有B=AD爲稀疏的特質）。 2) 計算q=Bp (如在〇(N)運算中）；及 3) 反解Arappr()x=q中的(如在〇(N)運算中），視情況而定，使用-0(N)”點火"步驟，以決定‘=作（其爲 r= Dp —良好的近似）。很明顯地，該方法會失敗，除非在步驟⑴中可以找到一適當的運算HA，以及該反解答可以在步驟（3)中有效。我們在以下説明對-特別組多項式樣條核心（nfn)，該等兩個狀況，可以符合，使得該方法可以實際地被施行。、訂接著（仍假設一褶積核心d及其循環矩陣D，以一循環矩陣爲F的多斤項式樣條核心、f來近似），考慮肖組平坦運算器 c ’、其運异於循環矩陣F上的方式使得g=cf幾乎在所有的地万，馬一局邵常矩陣。我們在以下説明本發明使用該平坦運算器的一組具體實施例。該等具體實施例在二次元設定下特別地有效（即被褶積之圖案V爲二次元）。不=使用一，，平坦”運算器之本發明實施例，連使用一消除運算器之實施例皆假設-平順褶積核心d，該褶積核心d 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 f (或近似爲）一多項樣條核心"fn。因此，下面我們將定我多項樣條核心” f ”的意義。，我們假設(實際上爲相當典型的假設)該所欲之褶積核心d 局對，函數。即是，在一次元案例中，我們有d(X)=d(-X)，且在二次元案例中該核心d爲一徑向函數（即d=d(r)，4與 17 - 本紙張尺錢时關家⑽χ 297"ϋ" A7 B7 五、發明說明（15 極角度無關）。一次元案例的一範例齡会土、參考圖1來説明。圖1假設一連、.只相積核心d(x)其通過一組支點 ^ , 、（（ 1 d, · —d(xi)) : i=〇 ’ …’ Μ }，其中爲了万便之故，我們強迫^〜+…完全核心 dw的圖經過原點反映。我們以一樣條函數f⑴來近似核 d( X) 4樣條函數f( χ)爲片段j次階、μ片段以X)多項式 fi(>0，其特質如下： υ對每一 1=1，，M而言，該樣條段fi(x)具有最高1次階，且包括一對相鄰的支點（Xil，dil)w di);及 2)滿足其他適當的邊界條件，以在支點微分匹配的形式或是其他平順的準則。因此’ 1¾樣條核心f( X)被選取來近似該核心d( χ)，被強这通過一組孩核心d( χ)的支點，而且在支點處滿足適當的邊界條件。在本發明典型的硬體或軟體的具體實施例中，每一核心d( X)及f( X)對一離散組χ的値有定義，且一離散組的數據値決定每一核心。一角度d樣條通常具有分段的形式爲： fi(x) = a丨〇 + aux + …+ aity χβ 因此’需要某種M( d + 1)的束制組以完全決定{ aij}。

我們接著描述幾個樣條核心f( x)的範例： lULij——立方（d = 3)的樣條核心，有任意數Μ (正値χ) 個支點，包含Μ個分段（對正値χ而言），每一形式爲： fi(x) = ai0+anx+ai2x2+ai3x3 ? i=l ^ ? M -18 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） I . 11111 ^---—----- (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 516306 A7 B7 五、發明說明（16) 我們需要-總數4M的束制，以完全描述該樣條核心的特徵。一束制該係數ay的方式是強迫： =山；fi(Xi+i)==di+i;㈣，，⑹， f’i(x〇 : =〇H〇 ; f，M ι(Χμ) = 0 f支點在di=d㈤對i=〇，…，心，且該最後兩個狀況给予原點以及在最後的支點消失的斜率，且最後 fi(Xi+i) = f’i+1(xi+1) ; i=〇，·· ，M-2·，及 f i(xi+i) = fni+1(xi+1) ; i=〇，·，M_2。假設該等束制，其束制總數爲2_2+2(]^1) = 41^，且因而決定該多項式係數{aij}。吾人應了解仍有其他方法可以用來特定束制，且任何對一立方樣條提供41^束制的方法都爲一可能的選擇。然而，該特別的微分束制在此段落中的形式，總是允許一可解、非奇樣條的系統。 —二次（卜2, M=2,且支點％，-Χ2, χι，χ2)的樣條核心，定義爲： /(X) = I r \κ\Η ^ Χι I〜叫2;丨心（W) 其形成一”鐘形曲線"，具拋物線的中央部分（在以及相反曲率的凸緣部分（在x< %及x> X1)來完成該鐘的形狀。使用該表示式丨X|n來表示從乂至〇 (m〇d⑴的絕對距離，不官在那一方向，只要是最短距離。所以舉例來説 |16U=4，依此類推。此舉確保循環邊界條件m〇dul〇該圖案長度N。應該注意的是此樣條可以在χ〉χ2&χ<_χ2處隨所 -19 - 本紙張尺度適用中國國豕“準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） (請先閱讀背面之注音？事項再填寫本頁) 訂--------- 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 516306 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 A7 B7 五、發明說明（17 ) 意消失。此樣條的一組admissibility條件爲： c( l-2(x2-X!)) = b( 1-2x0 ? a-bx21=c(x2-x1)2 ^ 其一起確保f( X)的連續性與其在點（X〗，d! : = f( χι))的離散微分。注意該離散微分條件（該等兩個匹配條件之頭一）的重要特徵’即是在連體微積分中告訴我們我們要 f ι(Χι) - [2(Χι) ’其可以導致，然而在計算上卻是很方便來要求： fi(Xi)-fi(xi-l) = f2(Xi+ l)-f2(Xi) » 即是’以要求該在段的終點處進入的微分與在匕段起點出去的微分相符。此第一差分（first-differences)的匹配，簡化了該稀疏矩陣的結構。範例3」—.範例2所給的一二次樣條核心f( X)，選擇特定的 Xi=4 ; x2=8 ; a=32 ; b= 1 ；及 c= 1。此爲一鐘形曲線n，其支點在x= -4及χ= 4、斜率方便地定爲連續（在此案中，不管是在連續或是離散模型）且其在 χ>8及χ<-8時消失。範例_·4 :將多項式（整個核心d(χ))内插，以決定尚未被考慮的樣條核心f( X)，因爲該由該單一多項式配合所決定的樣條核心，只是一退化（M=l)的樣條核心。該樣條核心的一例子，爲一二次樣條近似（其在M= 1爲退化至）一高斯核心d(x)，其具有形式： f( χ) = a+ cx2+ ex4，其條件爲範圍[-R，R]: f(土 R) : = 〇，f，（土 R) : = 〇，且曲 -20 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐）卜丨丨---— II----------二π-__ (請先閱讀背面之注咅？事項再填寫本頁) 516306 A7 B7 五、發明說明（18 率條件、反曲條件、或是正常化條件：條 j f( X) d( X) = 1。一 R 在後者（正常化的）案例中，吾人發現一封閉的退化樣 d(x) = f(x) 15 15 15

XA 8R 4R3 SR: 其中該有效範圍R爲一調諧（tuning)參數。在j[樣條的有趣現象是在根據本發明進行褶積時，其計算的複雜性竟然極度地低。本發明較佳之具體實施例使用一特定組的”有限差分，，運算器爲消滅或是平坦運算器。該組的有限差分運算器由該 N乘N循環矩陣（在其中每一 N2個元素爲二項係數）來定義： I I I I I I . I — — — — — — ---I----- (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製卜(3 ,…。+(ί 其被解釋爲一第η階的有限差分運算器，其中每一Ν2個元素爲二項係數。例如，當信號（圖案）長度Ν = 6時，該第二階運算器爲： 1-2 1 0 〇〇 0 1-2100 0 0 1-2 1 0 0 0 0 1 -2 1 1 0 0 0 1 -2 -2 1 0 0 0 1 -21 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐）五、 Ο Ο 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製發明說明（！9) 貫際上，每一 Δη可以從連續應用該第一差分運算器而建立起來。在本發明核心的一概念，就是一 d階的樣條段由該△ d +1 運异器而消滅，或是由該A》運算器平坦化（成一常數）。因此，在該稀疏矩陣AF的非消失之元素，本質上（其中，，A，，爲△ d + 1或是△ a )將從支點升起。應該注意的是，△ n爲奇異運算器，但是此在一已知q 中’並不一定能防止反解關係式△ ηΓ== q中的r。該基本的概念（允許反解關係式，爲找到一些r的entries，然後使用一自然之再現關係。該程序可以用以下的範例來了解。該範例假設由以上”範例2”所識別出來之該二次樣條核〜f( X)爲貫際之褶積核心d( X)。因此，D= F爲d的循環矩陣 (即爲f的循環矩陣）。可以在此範例中設爲： 0 0 ··· -2b -2 c 〇 ··· 〇 c Ο Ο D •一 -2々-2 c Ο ··. 〇、 · 其中在△ (本身爲循環矩·陣）之最上列中該非消失的項爲：四個非消失的項，以_2b爲開始，其分別發生在Χι _ 2， Xi - 1，x2 - 2，x2 - 1的位置，位置〇爲該列的最左項；且一組額外之相同的四個坪消失項發生於自然反曲點〜， xdmodN)，但是其正負號相反，如由符號〇所示。明顯地，琢矩陣ΔΑ爲稀疏，·而我們則（假設我們希望對表示一一次7L的圖案Ρ以核心d進行褶積）有一顯式演算法基於以下的正式關係： -22 - (請先閱讀背面之注音？事項再填寫本頁)

516306 A7 B7 //+3 = + 五、發明說明（2〇 ) r : =Dp， q ： =( Δ3ϋ)ρ= ^3Γ , 且其以下的再現關係從該特別之消減運算器而來 Τ μ - 3τ μ +l"^3r^ + 2~Γ

-2bpxl · 2+, -2cpxl .卜 CU Ρ一 ") + 2bpN-x丨〜+ 2cpN -C (Pn - x2 - 2+ # +PN - x2 — i + ")，其中xl，x2, -xl，-X2表示該核心"f”的支點。因此，（仍假 $又由以上”範例2”所識別出來之二次樣條核心” f，，爲實際之褶積核心"d”，係數rG，^及!*2預先被計算好的（以p與八^中三列的完全乘積），而該等剩餘之係數Γ〃爲使用該再現關係所計算的。基於觀察前一段文中所示的範例，即使在此項技藝中一般的人士，也可以決定其他階及次元之再現關係。接下來’我們要説明本發明方法對表示圖案”ρ”（比較Ν 數據値，且因此具有”長度，，Ν)的數據，以表示一褶積核心 nd”數據，之快速褶積的較佳具體實施例。在該等較佳具體實施例中，該核心”d，，以一二次樣條核心f( X)(其具有在以上範例2所特定的形式）近似。然後，進行以下的步驟：決定該樣條核心f之支點Xl、X2、-〜及-X2及剩餘參數a、 b、c (在一些較佳具體實施例中，該等參數可以被選擇來具有範例3中特定的値）；計算q= Z^Fp，其中f爲核心f的循環矩陣；反解△Αρρηχΐ,以決定rappr()x=Fp，以直接計算rapp_=Fp -23 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公爱） •J----L----------------訂--- (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印制衣 516306 發明說明（2巧 aPPr㈣、raPproxl&rappr〇x2 (此”點火丨丨運算要該前三個褶積元素Γ 走fVMW®馮朁、 ' WI—aPPr〇X2、凡始人！异要，然後使用以上所設之該再現關係決定剩餘的 raPpr〇X3、ra 、·、 -主，，a 上 0X4 •…、。咖^丨凡素^匕需求…州個加 Η但是除了與常數外，不需其他的乘積）。雖然以上最後的步驟需求與一些常數的乘積，但在實際上，與一常數的乘積可以較一般的乘積更快地進行，而且較廉價位式信號處理器中）。例如，一表示一數據値進位位7G與—的次方（p〇wer 〇f tw〇)之乘積，僅僅爲一少4而已（如使用移位暫存器），而用其他常數乘積器的乘積可以使用查用表來進行，如果該等常數的陣列不是太大（extensive)的話。因此，在以下所設的理論特定之運算數目並不包括與常數的乘積。在本發明方法對表示圖案” p”（具有”長度，，N)數據以表示一褶和核心’’d"數據之快速褶積的其他較佳具體實施例中，該核心”d”由一大於2之d階之樣條核心f(x)來近似。此包括決疋該樣條核心f(x)所有三個支點及剩餘的參數。然後，進行以下的步驟：計算q= Δ/ρ，其中F爲核心f的循環矩陣； △ a rapprox- q，經濟部智慧財產局員工消費合作社印製以決疋rappr()x= Fp ’以直接計算rappr。，Fp該前j +丨個褶積元素 rapproxG、rappr()xi、…、rapprQX(y (此丨’點火”運算要求 q(n)之運算，假設N遠大於J)，然後使用從特別之消滅運算器及循環矩陣F之再現關係來決定剩餘的rapprc)X(y + i、....、 rapproxN-1元素（此需求0( N)力口法’但是除了與常數夕卜，不需 -24 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 516306 A7 B7 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製五、發明說明（今其他的乘積）。本發明者已經設定了以下的理論（其可應用於本發明的

具體實施例，包括反解△川Γ__=(Δ(ί+ι]ρ)ρ以決定^㈣尸 Fp的步驟： Pp°X 理論：對一具有在原點右邊Μ個支點（也稱爲“個，，正値，，支點）之d階樣條核心f而言，本發明的每一使用消減△川運算為的具體實施例，在〇( 1)中，需求不多於 (β + 1)N個乘積+ j(2M+ 1)N個加法以解該完全、長度爲N的循環褶積f x p。 f x P的褶積結果，在一容易限制的近似錯誤（f-d) χ p中，等於该所欲之褶積結果d x p。對一核心d : = f (即當d本身爲一片段多項式時），該褶積結果f X P完全等於d X p。注意在此理論中乘積的數目（即該”（β +丨）N”項），從該點火程序出現，藉此該等元素rapp_。、rapprQxi、...、的叶算’有考慮到再現（with a view to eventual recurrence) 〇該理論中加法的數目（即該” j ( 2M+ 1) Nn項），則從使用該再現關係（該相當稀疏矩陣△ , + 具有約2M d個非消失的對角項）出現。因此，該理論暗示，使用不超過”點火，，運算所用之乘積及加法數目以決定該前d + 1個rappr()X元素，接著使用一再現關係以決定％pprc)X”其餘元素rappr。" +1、…、及 rapproxN-l ’ △ efapprox: q總是可以反解。在本發明其他的具體實施例中，使用一平坦運算器（而非消滅運算器）’以更加地降低必須進行之乘積的最大總數，以解該完全、長度N的循環褶積f X p。對d階之樣條 -25 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 0 fi ϋ κν— ϋ Bn ϋ n n n I · ϋ I 1 ϋ I n ϋ 一， n ϋ ϋ n (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 峰 516306 經濟部智慧財產局員工消費合作社印剩衣 A7 ____B7___ 五、發明說明（23 ) 核心f( X)來説，本發明者已經決定一合適的平坦運算器僅僅爲△,。要示範此平坦運算器於一 J階之多項式分段，除了端點效應之外，對整個分段產生一常數是很直接的。例如’本發明方法的具體實施例，對表示圖案”p”（具有由 N個數據値所決定、，，長度"n)的數據以表示一褶積核心，，d，，數據之進行快速褶積，該核心nd’’以具有在以上範例2所特定的一二次樣條核心f( X)的形式近似。然後，進行以下的步驟：決定該樣條核心f之支點Xi、x2、-Xi及-x2及剩餘參數a、 b、c (在一些較佳具體實施例中，該等參數可以選擇來具有範例3中特定的値）；· 計算q== Δβρ，其中F爲核心f的循環矩陣；反解△zfapproj q ’ 以決定 rapprC)X= Fp ’ 以直接計算 rapprcx== Fp 該前兩個褶積元素rappr—及 rappr0xl (此爲一”點火”運算），然後使用以上所設之該相關再現關係決定剩餘的ra阶。u、 rappr0X3、····、rappr〇x>M元素。爲方便之故，假設該樣條核心 f爲該實際褶積核心d，D= F爲核心d的循環矩陣（即f的循環矩陣），且Δ2Ρ=Α2〇展示平坦也： . -2jb -2h …-2Jb 0 2c 2c ··1 2c c ··· - -，2Jb -2Jb -2b ··· -2i> 0 2c 2σ …2c c ·.· ·：：其相關兑再現關係的形式爲： 1^-2!^+1+1^+2=有 P 的項，該等在該再現關係右邊的” p”項可以容易地藉由一列一列地 J----1----------------訂--------- (請先閱讀背面之注音？事項再填寫本頁) 1 26 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公爱）經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 516306 ------------B7____ 五、發明說明（24 ) 差刀（在矩陣Δβ- 的最上列之_2b項對在任何兩個列、只有在孩樣條段端點有些許差異的圖案”ρΠ指積，以此類推）的方式來汁算。因此，只需要將該快速褶積演算法經由預先計算rappr()x。及rappn)xl來點火，其需求大約2ν個乘積（但以更多加法爲代價），而不是在使用相同樣條核心[之消滅運算器A3 (不疋平坦運算器△ d的具體實施例中大約個的乘積。如所註明，本發明的褶積方法對一本身爲一多項式核心f (即田d . f時）的福積核心d爲完全。其對與任何核心^(其可以以進行本發明合適複雜度之樣條函數f«d、使用任何良好的準確度來近似）的褶積亦成立1然，該樣條函數『越複雜（及更高的J階及/或支點⑷，計算的複雜度就越高，如前所提之理論所建議。然而，不像傳統之子波之門徑（appr()aehes)，本發明對特別的實施之近似錯誤幾乎是太微不足道：假使£對該眞褶積核心d而言爲一樣條近似，則在本發明方法的基本演法中的錯誤爲：、异 (f - d) X p，且其容易被限制，特別在p爲一二進位圖案時（由—二進位元陣列所決定的圖案）。在P爲一二進位圖案的案；^ 該錯誤的上限僅爲 ’ V sup | f-d| ^ 其中7爲該核心d的正常化（即d對全面單一矩陣的褶積）在p爲一二進位圖案的的具體實施例中，本發明可以1。甚 -27- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（21〇 X 297公釐）〕卜 —l;l·----------------訂------ (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 516306 A7 B7 經濟部智慧財產局員工消費合作社印制农五、發明說明（25 ) 至比以上理論所設更少的乘積與加法運算來施行。吾人可能會思想使用一再現關係來解rappr^=Fp (在本發明的具體實施例中）的元素是否爲穩定或是容易出錯。對這問題，有幾個答案，其中之一爲假使本發明完全使用整數演算法的話，其可以爲零錯誤（相對該樣條本身而言）。第二個答案爲，可以在該再現以brute_f〇rce評估三個數r、的方式重新啓始（至少一次）時進行浮點⑽η叩 point implentations)，如此重新點火該演算法（至少一次）將所有的錯誤重設。、在説明根據本發明之二次元褶積之前，我們注意該實際之重要非循環褶積案例，其實並不比根據本發明之循環案例固難。其成立的原因很簡單，我們只要應用該相關演算法（即本發明之相關具體實施例）以其與該核心4涵蓋範圍的再現關係即可。因此’並不需求循環的邊界條件，而 ^，通常從循環褶積而附加零技術以達成非循環褶積，則疋根本不需要的。再者，表示一任何長度或大小的圖案 P，可以根據本發明被褶積（不論是循環或好㈣在現關係在何處結束-樣，沒有甚麼特^)數；; 理淪、。在此方面，本發明像子波方法，後者常常允許非常般之（雖然常常也不完全一般）信號長度。我們已經説明本發明以上相對一樣條核心、（如_二次樣條核心）的一次元（即表示一圖案P包含一組一次元數據値 <數據的褶積）褶積之具體實施例。我們接著要說明本發明相對-樣條核心的二次元（即表示_圖案P包含_二次元 -28 - 本紙張尺度適格⑽X 297公度） • ^^--------裝--------訂— (請先閱讀背面之注咅？事項再填寫本頁) A7 B7 五、發明說明（26) 陣列數據値之數據的褶積）;^積之具體實施例。圖2爲-根據本發明的較佳具體實施例之」欠 :，使用做爲稽積—二次元圖案（即表示—二次元陣列數據値4像素或其他數據値）的範例。圖2中之該二次樣心爲-徑向對稱之函射⑴，具有以下特質： … 1 · f( r)在某適當的半徑r= R處（及超過）時消失； 2· f(r)在r = Γ()處具有一反射點；及 3·及拉帕拉契函數v2f在由所定義的圓碟（^sk)上，有固疋乏負値Si，且在由r〇<KR所定義的區域中，有一固定之正値h(如圖3所示）。 :、應該很明顯的是，召用該第三個條件，是因爲此乃引起 β自然、一次凡差分運算器來產生局部平坦（或是局部幾乎平坦）的曲率（將於以下解釋）。一般來説，條件： ▽ 2f=s (局部常數）於一環形區域，意味著v2爲一平坦運算器，因爲其暗示： 4f(x5y)-f(x+ l?y)-f(x5y+ l)-f(X.l)y).f(x?y.l) «-s =後者條件可以被當做—二次元的再現關係。經濟部智慧財產局員工消費合作社印製當根據本發明施行二次元褶積，以決定r=邝時（該” d，，的褶積核心等於一樣條核·心”f”，使得D=F的，，〇，，爲4的循環蟑陣’而F爲f的循環矩陣），如果V2f= s (局部常數）成立，則泫褶積爲一〇( N)程序。一根據本發明二次元褶積以準確、數字來施行（使用一滿足以上所提之三個準則，以有限差分的π爲平坦運算器 -29 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（21〇 x 297公釐 A7

516306 五、發明說明（27 ) 的徑向對稱之樣條核心f( 0 )並不是用解析的方式解該拉帕拉契關係，卻是使用電腦驅動之鬆弛法，爲要強迫該以上所描述之二次X，y差分，以準確地產生該相關常數。可以進行該鬆弛的運算來反解V2Fp=q以決定Fp，因爲該運算器 ▽2f爲常數（平坦）於兩個環形區（r<r(^rG<I^R)，只有一稀疏、半徑爲rG的"圓”及一些附近的元素不平坦。甚至如果一鬆弛案使用於設立一眞平坦矩陣，該二次元樣條核心f( r) 一解析的決定，將在該鬆弛啓始之時極有價値（即在決定該Fp最低的分量，其接著被使用以進行該鬆弛程序以決定其他的Fp分量）。在此，我們現在給一以下开> 式的解析樣條解答。有幾種方法可以束制該樣條f( r)，因此讓我們選擇一，其中該啓始步驟爲根據以下方式決定參數rG、R、Sl。爲使範例清楚之故，我們假設該褶積核心 d(r)爲一高斯褶積核心。我們假設d(r)在原點（Γ=〇)的曲率以決定S!、d( r)的反曲半徑以決定rG，以及選擇一有效的半徑R爲某標準偏差數，若超過其上該褶積就不重要了。然後，我們定義一二次元樣條f爲：

KlI-l·-------------- 丨訂--------- S (請先閱讀背面之注咅？事項再填寫本頁) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印制衣其中 f<r) * { , 2 a^-raSj/4 ;rir0 卜（r。（5ι 〜/4 ‘rj? (F -巧）1〇g (r/r。）/2 · a = ^2r〇2sx log (R/rn) 2 (r〇2-i?2)

卜 R2/rV -30

r0<r^R 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐）經濟部智慧財產局員工消費合作社印制农 516306 A7 ---_______ 五、發明說明（28 ) 以上所有在1¾等束制之下，都有適當的行爲。此近似該高斯核心d( r)的樣條核心f( Γ)解析表示法，使用二次元靜電理論而導出。圖2及4爲一樣條核心的圖，其爲以解析方式所決足之该樣條核心f( r)，含有以下參數以=丨、R= 5、及

Sl=-1的一例子。圖2爲一値爲Θ的樣條核心的圖（在ρ $ 平面）。圖4爲一 1^與|9範圍中的樣條核心的圖（在$平面）0 该f( r)特足之解析表示法與由以一相等但是方向相反之電荷環所包圍之碟片電荷所引起的電子勢具有相同的功能形式，都在r、Θ平面上，以該環狀之外部邊緣與電勢f : =0來接地。吾人應了解孩樣條核心f( r)，其解析之表示法於以上所已知，不是一多項式核心（因爲該第二個片段，對r〇 < r〈 R定義，不是一多項式，而卻包括一項其爲該參數r的對數函數）在本發明的一些具體實施例中，一平順的核心d以一樣條核心f來近似，其樣條核心f非爲一多項式樣條核心，卻由Μ片定義在其範圍之鄰接分段上，且以一平坦運算器或是消滅運算器來平坦化或是消滅。在該等具體實施例的較佳實施方案中，該褶積結果以反解 Arappr。x=AFp而得’其中F爲樣條核心f的循環矩陣，而A爲該平坦或是消滅運算器。在本具體實施例之普通二次元實施例中，該樣條核心爲一徑向對稱的函數，其範圍爲該徑向參數値等的連續或是離散組。其他根據本發明之二次元具體實施例的實施方法，使用 -31 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公爱） ---------------------訂--------- (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 516306 五、發明說明（29) 樣^核心f(r)，其較以上所已知之樣條核心f⑴解析表示式 f仔複雜’且其對應更複雜之靜電模型，在其中電荷分佈疋攸不同包荷強度（但爲局部常數）之同心環帶所建立。兮等環帶對應該-次元樣條核心f(x)之樣條分段。使用較= 雜之樣條核心f⑴，吾人可以任意、接近地近似一已知褶積核〜d(r)。然而，如在一次元之具體實施例中一般，較好的近似（其以使用在二次元具體實施例中更多的環帶的方式達成）的代價，爲需要更多的乘積與加法運算用來進行褶積。不管那-情況，任何多個環帶的複雜性（即所要求之乘積與除法運算的數目）、二次元樣條褶積將會在該” 面積”之大小（並等於該”面積，，與某因數乘積，k的決定視所使用之樣條核心f(r)的特徵而定），其中，,面積，，表示數據値的數目（由在r、θ平面上的値所指引)在該二次元數據値陣列，其決定將被褶積之二次元圖案p。我們接著將説明較佳使用一二次元再現關係，以反解 AFp q來決足戎褶積結果Fp(其中a爲一平坦運算器，如 A ▽ F或疋一消滅運算器）的技術，假設在之前已經決定了一樣條核心f(X，y)，其爲褶積核心d之一適當的近似（或疋相等）。在一離散的模型中，其樣條核心f( χ，幻具有片丰又平坦曲率，使得二次有限差分近乎爲局部常數，且要被才白積之圖案p爲一像素或其他數據値之ΝχΝ，陣列（其中^與 Ν馬大數），吾人可以使用預先計算在最首之兩列（對所有的X値來説y=〇，及對所有的χ値來説y=1)的數據値，以及 -32 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐

Jl· 丨L------- (請先閱讀背面之注咅？事項再填寫本頁) 訂--- 經濟部智慧財產局員工消費合作社印則衣 516306 A7

I 請卜閱 ί 讀I 背I 面之

i 5l63〇6 五、發明說明（31) 對那些在該稀疏運算中非消提及之在半徑r〇處之薄圓形失元素的總和罷了。乂對二次元樣條稽積·來等級允許完全、以整教：’有—較-般的運算器等級’該部分。定義-核心m 计算，因爲該樣條沒有對數斟本 π /——^(Χ 5 y) = a(r〇4-2r〇2(x2+y2) + x2+ 2)2) 對丰住Vx2 + y2 ，否則f := 勃，止招产^雜η 0。在此a與r〇爲樣條的調諧參數，其現在馬雙變數的容曰多 f姑以拓f、认、式形式，缺乏對數項。此核心 f被以矩陣局王的褶積太+ a 谓万式疋義之運算器〆平坦化： (〇 0 1 0 2 1 -8 20 0 2 -8 ‘〇 0 1 然後，對此V4運算器之完韭爲·· 疋王非循銥、二次元褶積步驟 1) 對已知圖案p附加零； 2) ^用E: =(v4f) χρ，以繼續用辭典編集式的方式，以產生r= f X p的解。此案例，當在實施時，爲„ 〇rxn 士、土 ^ 〇(N)万法，其中N爲p圖案像素的總數；而且在整數爲电苠+人去 < •馬王馬心全時，爲該等計算的總數。發明方法二次元的另一實施例中，離散褶積是使用一矩陣形成法’藉之使用辭典编集式的七丨方式，將二次元像素的長方形轉換成-次元行向量。在此狀況下，該循 -34 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐 516306 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 A7 ---------B7__________ 五、發明說明（32 ) 環矩陣F變成一 NN’乘NN1的龐然大物，但是當應用一消滅運算器A(該離散拉帕拉契之任何合理之差分）時，該運算器AF將爲稀疏。此級之具體實施例具有將該非消失圓形區域轉換成確定性索引之矩陣元素的好處。在一些具體貫施例，本發明爲用一平順核心對一圖案p (由一組N像素所決定）進行褶積的方法，其中該平順核心爲至少近似等於一由Μ個多項式分段所決定之多項式樣條核心，並且具有循環矩陣F (其中至少一分段的階層爲6，且沒有大於6的階層），該方法包括以下步驟·· (a) 處理表示圖案p的圖案數據及表示樣條核心的核心數據，以產生額外表示q=AFp的數據，其中A爲一消滅運算器（較佳的實施方式爲以上所定義之消滅運算器△η〇 ;及 (b) 處理該額外的數據，以反解q的，因而產生至少近似於表示該圖案與平順核心稽積的數據，其中步驟（a)與（b)合起來需要不超過（d +1)N乘積+ d (2m+i)n 的加法運算。在其他的具體實施例中，本發明爲一種用一平順核心對一圖案p(由一組N像素所決定）進行褶積的方法，其中該平順核心爲至少約等於一由“個多項式分段所決定之多項式樣條核心，並且具有循環矩陣F (其中至少一分段的階層爲 d，且沒有大於ί的階層），該方法包括以下步驟： (a)處理表示圖案ρ的圖案數據及表示樣條核心的核心數據，以產生額外表示q=AFp的數據，其中A爲一平坦運算器（較佳的實施方式爲以上所定義之平坦運算器;及 -35 - G氏張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公爱）----- —--------|^裳--------訂--- (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 禮- 516306 A7 五、發明說明（33 ) ⑻處理該額外的數據，以反解〜心的，因而產生至少近似於表示該圖案與平順核心褶積的數據，其步驟⑷與（b)合起來需要不超過⑷N乘積+(；(2M+1)N的加法運算。圖5爲一方塊圖，示一具體實施本發明之一電腦系統。該系統包括處理器2 (其以軟體程式編寫，用做施行本發明稽積方法之任何具體實施例），冑^裝^、輸入裝置 6'記憶體8 (還有視情況而選擇之輸出裝置5)與處理器城合。其中處理器2爲一典型之處理器，配置以處理二進位，據/其被軟體編寫程式，用以施行本發明方法之一"離散”實施例。通常，記憶體8儲存表示該褶積核心d的循環矩陣D、該樣條核心1的循環矩陣F、將被褶積之圖案p、在進行本發明方法所產生之中間數量、以及表示該槽積信號 rap，=FP的數據。在某些實施例中，處理器二被編寫程式以決定（從一使用者特定之褶積核心句一樣條核心f特別的參數，樣條核心f使得該樣條核心近似該褶積核心d (受制用者特定之束制）。在某些實施例中，處理器2產生一或疋以上之查用表，將其儲存於記憶體8 (或是與處理器 2相關〈快速存取記憶體）中，然後於進行本發明時接達該儲存之查用表。該使用者使用輸入裝置6來控制處理器2 (、包括以特定處理參數或是束制的方式）。由處理器2產生足又字與影像（如根據本發明產生表示一將被褶積之二次元圖衣p及其褶積之結果Fp)顯示於顯示器裝置4上。輸出裝置5(其可以代替顯示器裝置4使用或是在顯示器裝置&之 -36 (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 訂--- 禮！經濟部智慧財產局員工消費合作社印製經濟部智慧財產局員工消費合作社印制农束，其入輸出束。單位12的間（對DSP 該掃描控的方式爲至一像素其入射於束。鏡18 12的掃描五、發明說明（3^) 外再加上之）較佳武一製單位、一1/0於可圖案（capable)裝置’如一音響再儲存）之裝置（或=)出4)、或是—信號處理（及/或圖6爲一包括數位纟女地θ 八仏唬處理器（nDSPn)10之光刻系統的万塊圖，該DSP 1〇醃茧成丄，鉍械、r —、 -置對於儲存於記憶體單位14中之影像旦^^丁心貝（根據本發明）。該儲存於記憶體單位14中之妒據决毛被稽積之圖案P。DSP 10處理該影像數二’：，出表示該褶積結果r一，的數據。該輸出數艨，儲存於記情鹗$ ^ ^丄 μ把早仏14中（且視情況可再進行處理），及 /或被輸出至”圖案作號號（如-束光@ H ι生裝置16。裝置16產生—圖案信射、干或疋其他具有隨時間變化幅度之電磁輻彳Λ > ^疋具有隨時間變化幅度之電子束），對應其從DSP Η所接收來的數據。在人了具體實施例中’裝置16發射一光學輕射 ^於鏡18上’以致使鏡18對光刻目標2G來投射一 ^爿$ ^輻出束掃描過光刻目標20，其爲對控制掃描信號的回應。從裝置16發射之束幅度爲一時 1〇輸^數據的回應，DSP 10接收從自單位12來的制t號所决疋的掃描圖案）的函數變化，其變化使得居掃描之輸出束（韓丨8的輸出）將目標π曝光的圖案。在其他具體實施例中，裝置16發射一電子束，，以致使鏡18對光刻目標2〇來投射一輸出將孩輸出束掃描過光刻目標20，其爲對控制單位 (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁)

-37 A7 A7 B7 五、發明說明（35) ^號的回應。從裝置丨6發射之輪* I栌Μ门f 束幅度爲一時間（對DSP 1〇輸出數據的回應，Dsp 1〇接收、 υ 作號所土 — Α 自早位12來的該掃描控制㈣）的函數變化，其變化的方使该掃描之輸出束（鏡丨8的輸出八圖案。不^ 8的1^出）將目標20曝光至一像素的，者是，裝置16可以發射輻射，其由㈣聚焦（沒有被掃 =，以投料光刻目標2G—包含像素之影像，該影像決疋圖木。例如，裝置16的一具體實施例發射由鏡18聚焦的光學輻射’使得從鏡18投射—圖案於目標2〇之上，而無舄使用鏡18，來將任何束掃描過目標2〇。二我們將稱裝置16的輸出爲一，，圖案信號,，，了解到該圖案信號的範例等包括一束光或是其他由鏡18掃描的輕射，及由鏡18聚焦而不掃描的輻射。鏡18可以爲一組反射及/或折射銃（有或無掃描的能力，包括移動一或是一以上該等鏡元素’以將一束掃描過目標2〇的裝置），或是其可以爲一組電子束鏡（具掃描的能力，包括移動一或是一以上該等鏡7L素’以將一束掃描過目標20的裝置）。該鏡i 8的輸出被投射（如因被掃描而包括在内）爲光刻目標20的圖案。通常’目標20爲一玻璃板（使得在其上投射之圖案產生一在積體電路製造上有用.的遮罩）或是半導體晶圓。鏡18通常將該圖案信號聚焦使得一非常小的圖案投射在目標20之雖然從裝置16輸出之該”原始”圖案信號決定一圖案，由鏡18(或是在影像束及目標2〇之間固有的）所引起的繞射加 -38 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） (請先閱讀背面之注意事項 ϋ I · n I ·1 1 i_i — 二一 ov ϋ n am— I l I . 寫丄經濟部智慧財產局員工消費合作社印制π 5!63〇6 A7 ___B7_______ — 五、發明說明（36 ) (請先閱讀背面之注音？事項再填寫本頁) 工（或是其他加工），可能使得該圖案實際投射在目標2〇之上與此圖案不同。例如，考慮從裝置丨6輸出之該”原始，，圖案信號輸出爲一電子束、由電子束鏡18聚焦的案例，爲了要將一由聚焦的電子束入射在每一該序列的單一像素所決定的圖案投射在目標20上。在此案例中，熟知之，，近距離問題π(由以上討論），使得包圍在每一像素（在其上該聚焦之電子束入射）周圍之區域曝光（由於電子從每一該像素散射至該目標周圍的區域）。結果，實際投射在目標2〇上的該圖案，由導引該序列的每一像素處聚焦的電子束結果的疊置而得，在一多個束區域之處，每一次該由聚焦的電子束入射在該序列的每一像素處曝光。經濟部智慧財產局員工消費合作社印製因此’ DSP 10的配置，是爲了產生輸出數據（其將引起裝置16來輸出一具有需要將一想要的圖案投射在目的2〇之上之特徵的"原始π圖案信號）。爲達成此目的，DSP 1〇在一像素之大陣列（儲存在記憶體14中的影像數據）上進行一解槽積的運算，以對任何期望被鏡18及/或任何（由目標2〇)從鏡 18入射在目標20之上之電子束之散射所引起的加工做補償。由該DSP 10所進行的解褶積運算（根據本發明進行）包括對擷取自記憶體14所儲存的影像數據之上的解稽積運算’於其處該影像數據決定一非常大的像素陣列，由此決定一圖案>"。DSP 10因此根據本發明處理該影像數據，以產生表示該褶積結果rappr()x=Fp的數據。後者之數據然後被送至裝置16確定，或是於送至裝置丨6確定之前作更進一步處理。 -39 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公爱）

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五、發明說明（37 16^及^工制a 12提供適當之㈣信號給單位10、14、及18,並能夠，舉例其來對特定之參數執行該褶積運算“1〇,以使 :上一且數:：信號處理器(DSP)(其可以使用於圖6爲 ,,.+, 〃？皮配置以根據本發明對影像數據進行槽積）々万塊圖。圖7的DSP包括算術計算單位（acu)34，其 ;=法電路(用以進行該矩陣乘積，以及需要施行該 ^ 、關係運算）、程式記憶體叫其儲存由該DSP進仃格積運异尸斤執行的指令）、程式控制單位（pcu)32、記憶體管理單位36、以及數據記憶體38, #圖所示連接。爲對使用者命令的回應，圖6之控制器12載入適當指令至記憶體30，而表示一圖案"p"的數據（在圖7中標示爲"ΐΝρυτ"的數據）被載入至記憶體3 8。 PCU 32包括指令提取電路，用以從程式記憶體3〇、指令解碼電路、及暫存器提取一序列的指令，用以儲存由該解碼黾路所產生之控制位元，來在適當的時機送至單位3 6及 /或單位34確定。圮憶體管理單位36的配置是，以產生位址信號（每一識別在1己憶體3 8中的一記憶體位置，用以將數據寫至之或是從其讀取數據），以爲對從PCU 32來之控制位元的回應，及將該位址信號經一位址匯流排送至記憶體38確定。因此，對從PCU 32來之控制位元（其已在pCu 32中以解碼從程式記憶體30來的指令的方式產生）的回應，單位36將位址信號送至數據記憶體3 8確定。 40 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） [------- (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 訂--- 禮丨經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 bl63〇6 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 A7 五、發明說明（38 ) 爲了對記憶體管理單位36確定之位址的回應，數據記憶體38傳送表示數據的信號至ACU 34 (經一位址匯流排）。琢從ACU 34結果之輸出信號（表示部分處理的數據，或是表不孩最後褶積結果，rappr(>x=Fp，其中〇爲多項式樣條核心fn的循環矩陣）可以於一位址匯流排上傳播至於由單位 36斷言至記憶體38之位址所決定之記憶體38位址，做爲儲存之用。在一些具體實施例中，記憶體38做爲DSP之I/O緩衝器的功能，且表示該最後褶積結果的數據從記憶體38 (輸出數據"outputi")中輸出至圖案信號產生器16。在其他之具體實施例中，表示該最後褶積結果的數據，直接 (或是經由一緩衝器）從ACU 34流至圖案信號產生器16 (輸出數據，，OUTPUT2n)。圖8爲圖6系統的一變化案，其中元件16、18、及2〇與圖6 中所標示的元件完全相同。在圖8之具體實施例中，元件 =的配置是以對由從記憶體單位44所接收之影像數據（決定褶積之圖案p)進行褶積（根據本發明之任何具體實施例）。7G件46 (其可以爲一數位式信號處理器，包括一以根製或是專用之電子電路的數位式信號處，包路，以根據本發明万法、或是一根據本之任何具體施例配置之可程式之閘門以陣列爲主之計算系統，配：以根據本發明方法對數據進行褶積)處理該影像數據二生表示褶積結果rapprc)x=Fp的輸出數據。該輸出數據直接 DSP流向圖案信號產生裝置16，且裝置16產生一以回應自元件46來的輸出數據。圖8系統之控制器適當·^控制信號給元件44、46、16、及18，廿处认、次18，並能夠，舉例本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（21〇 x 297公釐 J----1----------------訂--------- (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) ^306 A7

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Claims

516306 9L 8. ，年 f-[ q '-..............;

申請專利範圍修正順核心進行對圖案p褶積的方法，圖幸是由-組N個像素所決定，而該平順核圖案P: =條I，定之多項式樣條核心，並且= 中该等分段至少其中之一具有占度，又都〉又有大於5度的，該方法包括以下步驟· 、（旬處理表示該圖案p的圖案數據及表示樣條核心的核心數據，以產生表示q=AFp的額外數據，其中A 消滅運算器；及 (b)處理該額外的數據’以反解=化咖，因 ^ 生至少近似表示該平順核心對該圖案褶積之數據。 2,如申請專利範圍第1項之方法，其中步驟（^及〇)合起來’需求不大於6(2M+1)N個加法運算，加上除了與常數相乘之外的（5 + 1) N個乘法運算。 3·如申請專利範圍第丨項之方法，其中a為一消滅運算器八 ’具有以下形式： (請先閲讀背面之注意事項再塡寫本頁) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 -fi1) 十 2+1) -(V)… 0 厶= 0 -(δι+1) f η… 0 f2+1) … 0 .(Υ 4 ·如申請專利範圍第3項之方法，其中步驟（b)包括以下步驟： -44 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X297公箸) 91. 8 年 29绦正 Γ- 一》一 A8 B8 C8 ----— 08 、申請專利範圍 …(C)進仃一點火運算，在其中處理該圖案數據及該核據以决定rapprQX= Fp —小部分的分量；及 σ在步驟（C)之後，使用一由該多項式樣條核心[及异器△s+i所決定之自然再現關係，來決定所有剩餘之 rapprC)x~~Fp 的分量。 5·=種以一平順核心進行圖案P褶積的方法，圖案P是由一組N個像素所決定，而該平順核心至少約等於一由％樣條刀4又所決疋之多項式樣條核心，並且具有循環矩陣F ,其中該等分段至少其中之一具有占度，且所有的4等分段都沒有大於5度的，該方法包括以下步驟： 0)處理表示該圖案ρ的圖案數據及表示樣條核心的核、數據’以產生表示q= CFp的額外數據，其中C為一平坦運算器；及 ⑻處理該額外的數據’以反解^_=咖—，因此產生至少近似表示該平順核心對該圖案褶積之數據。 6 ·如申凊專利範圍第5項之方法，其中步驟（a)及（b)合起來，需求不大於（5(2M+1)N個加法運算，加上除了與常數相乘之外的（5 )N個乘法運算。 7 .如申請專利範圍第5項之方法，其中^為一平坦運算器△ 占’具有以下形式： -45 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X297公釐) ...........變.........訂.........線· (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 516306 ABCD

申請專利範圍 (ίκ) ·® (i) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 8 ·如申請專利範圍第7項之方法，其中步驟（b)包括以下步驟： (C)進行一點火運算，在其中處理該圖案數據及該核心數據’以決定raPPn>x=Fp—小部分的分量；及 (d)在步驟（C)之後，使用一由該多項式樣條核心f及運算器△ 5所決定之自然再現關係，來決定所有剩餘之 Fapprox- Fp 的分置。 9· 一種對表示一圖案p的第一數據與一具有循環矩陣〇的平順核心d褶積的方法，其中該平順核心^至少約等於一具有循環矩陣F的樣條核心f，該方法包括的步驟有： (a) 處理表示該樣條核心f的第二數據及該第一數據，以產生表示q=AFp的第三數據，其中A為從該消滅運算器及平坦運算器中所選出的一運算器；及 (b) 處理該第三數據，以反解Arappr()x= q的rappr()x，以產生表示rappr〇x=Fp的第四數據，藉之，第四數據為至少近似表示I- Dp，其為以該圖案p對該核心d之褶積。 10.如申請專利範圍第9項之方法，其中該核心d不等於該樣條核心f，且亦包括以下步驟： (c) 在步驟（a)之前’決定該樣條核心f對該核心d來說 -46 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X297公釐) (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 9ί· 8. 29像 $ 年 >、：μ 〇 ym 六 A8 B8 C8 ------ D8 申請專利範圍 J否為適當地近似，且識別表示該樣條核心_第二數申請專利範圍第10項之方法，其中該樣條核心f為一 I含多項式分段之多項式樣條核心，其每一分段定義 ;在不同成對支點間的範圍内，且步驟（c)包括以步驟： Γ 凡進行曲線匹配’以選擇該多項式樣條核心f之每一分 1又為一適當符合該核心d之對應分段，包括以滿足在每 —支點的邊界條件的方式。 •如申凊專利範圍第9項之方法，其中該樣條核心f為一多項式樣條核心。 13 如申凊專利範圍第12項之方法，其中A為一消滅運算器。 •如申凊專利範圍第13項之方法，其中該圖案p為一次元’該樣條核心f包含Μ個多項式分段，其中Μ不小於占為该等多項式分段的最大度，該消滅運异器Α運作於循環矩陣F上，使得△piF=B為稀疏，且具有之形式為： •f0+1) -〇(δ2+1) -(δ3+1)- 0 厶δη = 0 +(δ〇+1) -fl1) d·. 0 •-⑺ 十⑺… 0 +(v). 11如申請專利範圍第14項之方法，其中步驟（b)包括以下 -47 - 本紙張尺度適用中國國家標準(cns)a4規格(210X 297公釐) ;............變.........、玎......... (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) 516306 A8 B8 C8 D8 申請專利範圍經濟部智慧財產局員工消費合作社印製步驟： (C)進行一點火運算，在其中處理該第一數據及該苐二數據，以決Srappr〇x=Fp—小部分的分里，及 (d)在步驟（c)之後，使用一由該多項式樣條核心f及運算器△ d + !所決定之自然再現關係，來決疋所有剩餘之h pprox — Fp的分量。 16·如申請專利範圍第14項之方法，其中該圖案P由N個數據值所決定，且步驟（a)與（b)的達成，是以不超過除了與常數相乘之外的（占+ 1) n個左右的乘法運算，加上3 (2M+1) N個左右的加法運算。 17.如申請專利範圍第14項之方法，其中該圖案p為一由 NxNf個數據值所決定之二次元圖案。 18·如申請專利範圍第丨4項之方法，尚包括以下步驟·· (a) 回應該至少一部分由該第四數據所決定之褶積影像，以產生一圖案信號；及 (b) 致使該圖案信號入射於一組光學鏡之上，並自該等光學鏡回應該圖案信號，以投射一圖案影像至一光刻目標之上。 19·如申請專利範圍第1 8項之方法光學信號。 20·如申請專利範圍第1 8項之方法電子束信號。 21·如申請專利範圍第18項之方法之該褶積影像為該第四數據。其中該圖案信號為其中該圖案信號為其中使用於步驟（c)中 -48 -

π^· (請先閲讀背面之注意事項再塡寫本頁) )16306 Α8 Β8 C8 D8 91· 8· 29 簽 ΐΕ 年 r 一 · 尤丨申請專利範圍如申W專利範圍第12項之方法，其中步驟（b)包括以下步驟： (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) (0進行一點火運算，在其中處理該第一數據及該第一數據’以決定rapprQx=Fp—小部分的分量；及 (d)在步驟（c)之後，使用一由該多項式樣條核心f及該運算器A所決定之自然再現關係，來決定所有剩餘之 hppro^Fp的分量。 23·如申請專利範圍第22項之方法，其中該多項式樣條核 % f包含Μ個多項式分段，其中％不小於一，5為該等多項式分段的最大度，該圖案P由N個數據值所決定，該運算器A為一消滅運算器，且步驟（勾與（1})的達成，不超過除了與常數相乘之外的（5+1)n個左右的乘法運算及5( 2M+ 1) N個左右加法運算。 24. 如申請專利範圍第12項之方法，其中a為一平坦運瞀器。 # 25. 如申請專利範圍第24項之方法，其中該圖案p為一次元，該樣條核心f包含Μ個多項式分段，其中M不小於經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 ’ 5為该等多項式分段的最大度，該平坦運算琴A在循環矩陣F上的運算使得b= a § f幾乎在任何地方都為局部常數矩陣，且Α δ具有以下形式：。

ABCD

516306 六、申請專利範圍 26. 如申請專利範圍第25項之方法，其中步驟⑼包括以下步驟： (C)進仃一點火運算，在其中處理該第一數據及該第二數據’以決定rappx=FP一小部分的分量；及 (d)在步驟（c)之後，使用一由該多項式樣條核心f及運算器Δ 3所決定之自然再現關係，來決定所有剩餘之 rappr〇x= Fp 的分量。 27. 如申租專利範圍第25項之方法，其中該圖案p為由NxN，個數據值所決定之二次元圖案。 28·如申請專利範圍第25項之方法，其中m= 2，5=2，該多項式樣條核心f為一徑向對稱二次樣條核心f( Γ)，其於 RS r時消失，該核心f( r)在广r。處具有一反射點，且該核心f(r)之拉帕拉契函數V2f(r)於一由所定義之圓碟上具有一固定的負值^，而於r〇<r<R處具有一固定的正值s2 〇 29. 如申請專利範圍第25項之方法，尚包括以下步驟： (c) 回應該至少一部分由該第四數據所決定之褶積影像，以產生一圖案信號；及 (d) 致使該圖案信號入射於一組光學鏡之上，並自該等光學鏡回應該圖案信號，以投射一圖案影像至一光刻目標之上。 30. 如申請專利範圍第29項之方法，其中該圖案信號為一光學信號。 31. 如申請專利範圍第29項之方法，其中該圖案信號為一 -50 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X 297公釐) ·.· ............丨_ (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) 訂經濟部智慧財產局員Η消賓洽％案 516306 ABCD 一年正充/rrv爾六經濟部智慧財產局員工消費合作社印製申清專利範圍電子束信號。 32·如申請專利範圍第29項之方法，其中使用於步驟（幻中之该褶積之影像數據為該第四數據。 33·如申請專利範圍第24項之方法，其中該多項式樣條核〜f為一徑向對稱二次樣條核心f( 〇，其於^時消失， R為一參數，該核心f(r)在γ==γ〇處具有一反射點，且該核心f(0之拉帕拉契函數於一由Γ<Γ。所定義之圓碟上具有一固定的負值^，而於r〇<r^R處具有一固定的正值s2 〇 34·如申請專利範圍第12項之方法，其中該圖案p由N個數據值所決定，該運算器A為一消滅運算器，該多項式樣條核心f包含Μ個多項式分段，其中μ不小於一，5為該等多項式分段的最大度，且步驟（幻與（13)實施循環褶積的方式’不超過除了與常數相乘之外的（5+1)ν個左右的乘法運算，及5(2Μ+ 1)Ν個左右加法運算。 35·如申請專利範圍第丨2項之方法，其中該圖案ρ由Ν個數據值所決定，該運算器Α為一消滅運算器，該多項式樣條核心f包含Μ個多項式方段，其中μ不小於一，（5為該等多項式分段的最大度，且步驟（a)與（b)實施非循環褶積的方式’以不超過除了與常數相乘之外的（占+1)N個左右的乘法運算，及5(2M+ 1)N個左右加法運算。 36·如申請專利範圍第12項之方法，其中該第一數據、第一數據、及表示该多項式樣條核心f的數據，為二進位數據’且步驟（a)與（b)以處理該二進位數據而不將該二 -51 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X 297公釐) ...............變.........、玎.........$· (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 516306

經濟部智慧財產局員工消費合作社印製、申請專利範圍進位數據附加零的方式，實施非循環褶積。 37.如申請專利範圍第12項之方法，尚包括以下步驟： (c) 回應該至少一部分由該第四數據所決定之褶積影像，以產生一圖案信號；及 (d) 致使該圖案信號入射於一組光學鏡之上，並自該等光學鏡回應該圖案信號，以投射一圖案像至一光刻目標之上。 38·如申請專利範圍第37項之方法，其中該圖案信號為一光學信號。 39 .如申請專利範圍第37項之方法，其中該圖案信號為一電子束信號。 40.如申請專利範圍第3 7項之方法，其中使用於步驟（c)中之該褶積之影像數據為該第四數據。 41· 一種電腦系統，其包含：一處理器’其以一軟體編寫程式，用以對表示一圖案 P的第一數據以一具有循環矩陣D的平順核心d褶積，其中該平順核心d至少約等於一具有循環矩陣F的樣條核心f，以處理表示該樣條核心f的第二數據及該第一數據的方式，產生表示q=AFp的第三數據，其中A為從消滅運算器及平坦運算器中所選出的一運算器，及以處理該第三數據的方式，反解，以產生表示raPpr〇x=Fp的第四數據，藉之，該第四數據為至少近似表示r= Dp、其為以p對d之褶積；至少一記憶體與該處理器耦合，且可以被該處理器接 -52 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X297公釐) .............費.........訂.......—丨線· (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) 申請專利範圍達’亚配置以儲存該第一數據、該第二數據、及四數據；及 (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) -輸入裝置與該處理器耦合，其中該處理器回應自該雨入I置來的至少一控制信號以執行該軟體。少申σ月專利1已圍第41項之系統，其中該樣條核心f為-夕項式樣條核心。經濟部智慧財產局員工消費合作社印製。申β專利範圍第42項之系統，其中該處理器被編寫轾式用進行一點火運算的方式，以處理該第三數據 approx 的 Tappr〇x » 在其中處理該第一數據及該第^^數據，以決定rappn3X=FP 一小部分分量；及在步驟（C: 之後，使用一由該多項式樣條核心f及運算器A所決定之自然再現關係，來決定所有剩餘之^。广^的分量。 44·如申請專利範圍第43項之系統，其中該多項式樣條核〜f包含Μ個多項式分段，其中“不小於一，占為該等多項式分段的最大度，該圖案ρ由Ν個數據值所決定，該運算器Α為一消滅運算器，且該處理器被程式編寫以處理該第一數據及表示該多項式樣條核心f的數據，以產生該第三數據，並以處理該第三數據來產生該第四數據’以不超過（除了與常數相乘之外）（δ+1)Ν個左右的乘法運算，及5(2Μ+1)Ν個左右加法運算。 45·如申請專利範圍第42項之電腦系統，其中該圖案ρ為一 -人元’该樣條核心f包含Μ個多項式分段，其中不小於一 ’（5為該等多項式分段的最大度，且該運算器a為一消滅運算器其在循環矩陣F上的運算使得△ 5 + tF== B為稀 53 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X297公釐) 516306 A8 B8 C8 D8 91. 8. 2 9；it 乎,4 ^ 補見六申請專利範圍且△ + (5 + 丨具有以下形式： +(δ〇+1) -r：1) 心+ι) 'I6；1)- 0 △“1 = 〇 w) -fl1) TO ... 0 -fi1) f2+i) 〇 f;1). 46·如申請專利範圍第42項之電腦系統，其中該圖案p為一次元’該樣條核心f包含Μ個多項式分段，其中μ不小於一 ’ 5為該等多項式分段的最大度，該運算器a為一平坦運算器其在循環矩陣F上的運算使得B=asF幾乎在任何地方都為局部常數矩陣，且△ s具有以下形式： δ 3 δ 2 ------ (*. I + /m\ --\ + I \—/ δ 1 /n\ —/ δ 2 ο \!/ δ ο / --\ 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 47. —種數位式信號處理器，其包括：數位式信號處理電路，其配置成用以於數據上進行算術運算，數據包括表示一圖案p之第一數據、及·表示一具有循環矩陣F之樣條核心f的第二數據，該樣條核心f 為至少約等於一具有循環矩陣D之平順核心d ;及一程式控制單位’其與該數位式信號處理電路耦合，並配置成用以產生控制位元來回應指令、並斷言該控制位元給該數位式信號處理電路，以致使該數位式信 -54 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格⑵〇χ297公 .............費.........、耵.........s (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) 516306 A BCD 91年

正充申請專利範圍請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁唬處理電路對第一數據進行褶積，以處理第一數據及第二數據的方式產生表示q=AFp的第三數據，其中A為從消滅運算器及平坦運算器所選出的一運算器，及以處理该第二數據的方式，反解，以產 1 approx 〜1 approx 〜压生表示raPprox= Fp的第四數據，藉之，該第四數據為至少近似表示r=Dp、其為以p對d之褶積。 48·如申請專利範圍第47項之數位式信號處理器，其中該數位式信號處理電路配置成用以處理該第三數據以回應該控制位元，用進行一點火運算的方式以反解 4一 AraPPr〇x的rapprox ’在其_處理該第一數據及該第二數據以決疋=Fp —小部分的分量，及在點火運算之後’使用一由該多項式樣條核心f及運算器A所決定之自然再現關係’來決定所有剩餘之rapprQx= Fp的分量。 49.如申請專利範圍第47項之數位式信號處理器，其中該樣條核心f為一多項式樣條核心。經濟部智慧財產局員工消費合社印製 5〇·如申請專利範圍第49項之數位式信號處理器，其中該多項式樣條核心f包含Μ個多項式分段，其中μ不小於一 ’ 5為該等多項式分段的最大度，該圖案ρ*Ν個數據值所決定，該運算器Α為一消滅運算器，且該數位式 "ί吕號處理電路被配置以回應該控制位元，來處理該第一數據及第二數據，回應該控制位元以產生該第四數據，來產生該第三數據並處理該第三數據，以不超過 (除了與常數相乘之外）（5+ 1)Ν個左右的乘法運算，及 5(2Μ+1)Ν個左右加法運算。 51.如申請專利範圍第50項之數位式信號處理器，其中該 -55 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X297公釐) 516306 91· 8· 2 9:文 X

申請專利範圍圖案Ρ為一次元，該樣條核心f包含Μ個多項式分段，其中 Μ不】於’占為该等多項式分段的最大度，且該運算器 A為一消滅運算器其在循環矩陣F上的運算使得△ 為稀疏，且△ 5 + 1具有以下形式：占 Ά1) -(δι+1) A1) -(δ3+1)- 0 Δδ>1 = 0 +(δ〇+1) -fi1) A1),· 0 十 2+1) 0 f〇+1). 52.如申請專利範圍第49項之數位式信號處理器，其中該圖案ρ為一次元，該樣條核心f包含Μ個多項式分段，其中Μ不小於一，δ為該等多項式分段的最大度，該運算器 Α為一平坦運算器其在循環矩陣f上的運算使得Β= △占F 幾乎在任何地方都為局部常數矩陣，且△ 5具有以下形式： ......................訂 (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁)

經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 53· —種光刻系統，其包括：一數位式信號處理器，其包含數位式信號處理電路及一與該數位式信號處理電路耦合之程式控制單位，該數位式信號處理電路配置成用以於數據上進行算術運 -56 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X297公釐) 六. ______^__ 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製申請專利範圍厂L數據包括表示一圖案P之第一數據、及表示一具有 t，矩陣F之樣條核心f的第二數據，該樣條核心£為至 1二等於一具有循環矩陣D之平順核心d，及該程式控制早位配置以產生控制位元來回應指令，.並斷言該控制位元給該數位式信號處理電路，以致使該數位式信遽處理電路對第一數據進行褶積，以處理第一數據及第=數據的方式產生表示q=AFp的第三數據，其中a為從消滅運算器及平坦運算器所選出的一運算器，及以處理譎第二數據的方式，反解q=Ar”prj Γ_χ ,以產生表示rappr。, Fp的第四數據，藉之，第四數據為至少近似表示r= Dp、其為以p對d之褶積；一圖案信號產生器，其配置為回應該至少一部分由該第四數據所決定之褶積影像，以產生一圖案信號；及一組光學鏡，其定位使得該圖案信號入射於其上，其中该光學鏡回應該圖案信號，投射一圖案像至一光刻目標之上。 54. 如申請專利範圍第53項之光刻系統，其中該數位式信號處理為確定該第四數據傳至給該圖案信號產生器，且該圖案信號產生器配置回應該第四數據，以產生該圖案信號。 55. 如申請專利範圍第54項之光刻系統，其中該圖案信號為一光學信號。 56·如申請專利範圍第55項之光刻系統，其中該光學信號為一光束，且該組光學鏡配置，以聚焦該光束來產生 -57- 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X297公釐) (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) 516306

申請專利範圍 κ "、、的光束，且以將該聚焦的光束相對於該光刻目標掃描。 (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) 57·如申凊專利範圍第54項之光刻系統，其中該圖案信號為一電子束信號。 58.如申請專利範圍第57項之光刻系統，其中該組光學鏡配置成用以聚焦該電子束來產生一聚焦的電+束，且以將該聚#、的電子束相對於該光刻目標掃描。 59·，申請專利範圍第53項之光刻系統，其中該數位式信號處理電路配置成回應該控制位元，以處理該第三數據，用進行一點火運算的方式以 τ Η 八^approx ν raPpr〇x ,在其中處理該第一數據及該第二數據，以決定 raPPr〇x=Fp—小部分的分量，及在點火運算之後，使用一由該多項式樣條核心£及運算器A所決定之自然再現關係，來決定所有剩餘之rapprQX=FP的分量。 60·如申請專利範圍第53項之光刻系統，其中該樣條核心f 為一多項式樣條核心。經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 61·如申請專利範圍第6〇項之光刻系統，其中該多項式樣條核心f包含Μ個多項式分段，其中M不小於一，占為該等多項式分段的最大度，該圖案p由N個數據值所決定，該運异器A為一消滅運算器，且該數位式信號處理電路配置成用以回應該控制位元來處理該第一數據及第二數據’回應該控制位元以產生該第四數據，來產生該第二數據並處理該第三數據，以不超過（除了與常數相乘之外）（5+1)Ν個左右的乘法運算，及5(2M+1)N個左 -58 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X297公釐) 516306

六、申請專利範圍右加法運算。 62•如申請專利範圍第61項之光刻系統，其中該圖案p為二次元，該樣條核心f包含Μ個多項式分段，其中M不小於一，5，該等多項式分段的最大度，且該運算器a為一消滅運异器，其在循環矩陣F上的運算使得△ B為豨疏’且具有以下形式： +f〇+1) -fi1) +(δ2+1) -ίδ3+1) Ο /δ^ΐ\ 、+1)Τ) /δ+1\ 2 ·1\ Ο ο ίδ+1、 63·如申請專利範圍第60項之光刻系統，其中該圖案p為二次元，该樣條核心f包含Μ個多項式分段，其中μ不小於一，5為該等多項式分段的最大度，該運算器a為一平坦運算器，其在循環矩陣F上的運算使得幾乎在任何地方都為局部常數矩陣，且△ 5具有以下形式：

---------訂--------- (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 64. —種以一具有循環矩陣D之平順核心d對一圖案p褶積的裝置，該平順核心d至少約等於一具有循環矩陣F的樣條核心f ’該裝置配置成用以處理表示該樣條核心f的第一數據及一表示該圖案p的第二數據，以產生表示 -59 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X297公爱) 516306 A8 B8 C8 D8 申Μ專利範圍 *正 ,、'.士A J尤經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 q Fp的第二數據，其中A為從消滅運算器平運算器二所選出的-運算器，及以處理該第三數：來一反解 ^ Ar=pr〇x的rappr〇x，並產生一表示、的第四數 ’猎之’該第四數據為至少近似表示r=：I) 其為以圖案P對核心d之褶積。 65·如申凊專利範圍第64項之裝置路組成。 66·如申請專利範圍第64項之裝置程式之閘陣列為主的計算系統。 67·如申請專利範圍第64項之裝置多項式樣條核心。 68· —種儲存指令之電腦可讀取儲存媒介，其中該等指令可被一電腦執行，且其中該等指令使得該電腦因回應該等指令、進行一褶積的方法，以一具有循環矩陣D的平順核心d對表示一圖案p的第一數據褶積，其中該平順核心d至少約等於一具有循環矩陣ρ的樣條核心f，該方法包括以下步驟：處理表不該樣條核心f的第二數據及該第一數據，以產生表不q=AFp的第三數據，其中A為從消滅運算器及平坦運算器中所選擇出的一運算器；及處理5亥第二數據來反解q= Arapp⑽的rapprQX，並產生一表示rappM^Fp的第四數據，藉之，該第四數據為至少近似表示1-Dp、其為以圖案p對核心d之褶積。 69.如申請專利範圍第68項之電腦可讀取儲存媒介，其中其中該裝置由電子電其中該裝置為一以可其中該樣條核心f為一 .............餮.........、可.........S (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 60 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X 297公楚) 516306 ABCD 1A 9 2 U:, 六、申請專利範圍該樣條核心f為一多項式樣條核心。 (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製本紙張尺度適用中國國家標準(CNS)A4規格(210X297公釐)