TW202344015A - 使用基於晶格之信號星座進行信號調變之方法及設備 - Google Patents

Abstract

一種資料調變方法包括在一處理器處接收一位元串，以及基於該位元串而識別一組二進位字串。在不使用一查找表的情況下，將該組二進位字串中之各二進位字串映射至一基於晶格之信號星座的一組元素中之一元素。基於該映射而自該組元素識別實數值點。該方法亦包括引發具有基於該等實數值點之一調變的一信號之發射。

Description

使用基於晶格之信號星座進行信號調變之方法及設備

本發明係關於用於通訊系統之信號處理，更具體言之係關於基於晶格之資料調變方法。

晶格係 n維空間中之點的週期性排列。通訊工程師及資訊理論者使用晶格進行量化及調變，例如執行有損壓縮(「信號源編碼」)及/或雜訊抗擾性(「通道編碼」)。

在一些實施例中，一種資料調變方法包括在一處理器處接收一位元串，以及基於該位元串而識別一組二進位字串。在不使用一查找表的情況下，將該組二進位字串中之各二進位字串映射至一基於晶格之信號星座的一組元素中之一元素。基於該映射而自該組元素識別實數值點。該方法亦包括引發具有基於該等實數值點之一調變的一信號之發射。

在一些實施例中，一種資料解調方法包括在一處理器處且自一發射器接收對一位元串進行編碼之一信號。經由該處理器基於該信號及一最接近向量演算法而識別與該信號相關聯之一 n維晶格的一點。經由該處理器使該 n維晶格之該點乘以該 n維晶格之一基的一倒數，以識別與該信號相關聯之一 n維矩陣ℤ ⁿ的複數個元素中之一元素。經由該處理器藉由減小信號模數 m之分量來基於該信號而恢復位元，以產生一商ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ之一元素。

相關申請之交互參照本申請案主張於2022年2月22日申請且題為「METHODS AND APPARATUS FOR SIGNAL MODULATION USING LATTICE-BASED SIGNAL CONSTELLATIONS」之美國臨時專利申請案第63/312,496號的優先權及權益，該美國臨時專利申請案之內容以全文引用之方式併入本文中。

存在關於用於無線通訊之調變技術的大量文獻。一個相關研究領域正使用各種類型之密集填料及/或(通常規則的)晶格以將資料調變至較高維度空間。此等構想追溯至Claude Shannon之原創作品(參見例如Shannon, Claude E.，「Probability of Error for Optimal Codes in a Gaussian Channel」，《貝爾系統技術雜誌(Bell System Tech. J.)》38, 611-656)以及香農定理(Shannon-Hartley theorem)，且研究持續至今。

在無線通訊社群內，一個已知想法為使用較高維度空間中之點，該等較高維度空間中之點相較於常見正交調幅/幅相鍵控(QAM/APSK)星座而更為「密集」。這使得星座點之間的距離(例如，漢明距離(Hamming distance)或歐氏距離(Euclidean distance))更大，此降低了通道雜訊或其他通道失真將導致錯誤之機率。亦多次嘗試組合編碼理論與調變，例如網格編碼調變與多級碼。

大部分前述方法使用編碼理論建構(例如，在Conway, J及Sloane, N之「Sphere Packings, Lattices, and Groups」，施普林格出版社(Springer)，1993年，中所論述的方法中之一者)或無基礎編碼之晶格星座。

已知編碼理論建構方法通常包括將晶格或一組晶格切割成一組晶格陪集。一組經編碼位元接著用以選擇陪集(做為晶格或晶格組之子集)，並且一組未經編碼位元用以選擇該子集內之點。舉例而言，一組訊息位元可經由標準(二進位)錯誤校正碼(例如，迴旋編碼器)運行，並且輸出(經編碼)位元用以選擇陪集。其餘訊息位元接著用以在該陪集中選擇點。

另一已知方法為使用無基礎編碼之晶格星座，但改用一系列精密查找表(此在較高輸貫量/較大星座下會變得難以處理)，或使用幾何學上更方便之成形區，例如矩形(此降低星座之效率)。

與前述已知技術相反，本發明之一些實施例有助於針對基於晶格之星座的位元至符號映射及符號至位元映射，例如在數據機/基頻處理器中且用於將位元映射至複雜基頻I/Q點，而不管任何基礎編碼理論方案，且不挑出晶格之最接近元素。此外，本發明之實施例不使用查找表來將位元串映射至晶格點，或映射至晶格點之子集。再者，在一些實施方案中，本發明之實施例不使用矩形成形區。

如本文中所使用，晶格可指由具有至多 n個線性無關向量之基組之整數係數的所有線性組合給定之 n維空間中的一組點。晶格之一個實例為Leech晶格，下文進一步論述。如本文中所使用，晶格點之沃羅諾伊(Voronoi)區可指 n維空間之相較於所有其他晶格點而更接近於該晶格點的區。程式碼係具有指定長度之一組有限碼字，碼字係對在通訊系統內待發射之訊息進行編碼的符號序列。碼字經由調變為實數及/或複數值而轉譯為信號(經編碼信號)。經編碼信號可表示為信號空間內之點。晶格碼由位於給定晶格之預定義區內的一組有限晶格點定義，該預定義區在本文中稱為「成形區」。

考慮 維晶格 ⁿ之有序基 。該基為自ℤ ⁿ(整數之 n維向量)至 ⁿ之點的同構。此外，應注意，對於 ℤ， 限於子組 ℤ ^{n n}之同構。如下文所說明，應注意，由於圖式左側之正方形交換，因此具有商映射圖 之基的組合物具有核心(「 ker」) ℤ ⁿ(亦即， ℤ ⁿ)。現在，根據餘核之通用性質，存在獨特同態， :ℤ ⁿ/ ℤ ^{n n}/ ⁿ，其使右側正方形交換。

藉由採用使用 ^-1之相同策略，便能獲得映射圖 : ⁿ/ ⁿ ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ，其使右側交換。因此， ^-1，使 為同構。因此，商 ⁿ/ ⁿ作為阿貝耳群同構於商ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ。空間ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ係整數模數 之n個複本的集合(亦即，形式為(a ₁, a ₂, a ₃, … , a _n)，其中各自a _i (0,..., -1)。此集合之大小為 ⁿ。並且，由於以上交換圖表所隱含之同構， ⁿ/ ⁿ之大小亦為 ⁿ。

若 之值為2之次冪(以使得 ^k)，則商 ⁿ/ ⁿ中的點數目為2 ^nk。這表示自長度 之二進位字串(或子字串)至商 ⁿ/ ⁿ之元素存在對射。

作為此對射之明確建構，考慮 位元之2 ^nk字串的集合。若任何給定位元串分成k個位元之區塊或子字串，則各k位元子字串可藉由將該k位元子字串視為整數之二進位擴展而自然地映射至整數模數 。以此方式，將各長度 位元串映射至ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ， 值取自整數模數 ^k。因此，給定映射至元素 ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ之長度 位元串，則可使用基來產生晶格 之點。具體言之，晶格之點將為 ⁿ。

藉由減去最接近 的 ⁿ之點，點 可減小為原點處之放大沃羅諾伊單元，從而使得點 ⁿ/ ⁿ。

可能出現之一個細微差別為 ⁿ之基本/沃羅諾伊區可能穿過 ⁿ的一些點。假設點 ⁿ與 ⁿ之基本區相交。藉由晶格之群組性質，此意味著- 亦與 ⁿ之基本區相交。如本文中所使用，「基本區」係指原點之沃羅諾伊單元，或其中每個點相較於任何其他晶格點而更接近於原點之晶格區。若 ，則藉由線性，產生- 之點係- 。但 及- 兩者均為ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ之兩個元素。

作為此之說明，使 =2且使 =1，並且使晶格基 具有基向量 及 - ，因此矩陣為 =

有效 向量之集合為(0,0)、(0,1)、(1,0)及(1,1)。 將此等分別映射至(0,0)、(1,-1)、(1,1)及(2,0)。然而，考慮增加三個非零 向量之反數- (0,-1)、(-1,0)及(-1,-1)。 將此等分別映射至(-1,1)、(-1,-1)及(-2,0)。然而，點(0,-1)及(0,1)係等價模數2，正如點(-1,0)及(1,0)以及點(-1,-1)及(1,1)。因此，對於位於 ⁿ之基本區之表面上的點，存在多義性。

可藉由針對選擇待使用之點而建立定則來解析該多義性。舉例而言，此定則可包括選擇待使用之基本區的面，且接著僅使用該(選定)面上之點。替代地，該定則可包括使基本區稍微移位而遠離原點，以「破壞」在基本區表面上產生點之對稱性。舉例而言，使基本區稍微移位(亦即，產生「經移位基本區」)可指以最小量(且在適當方向上)使基本區移位，此防止任何點與放大基本區相交。

現轉向圖式，圖1係根據一實施例之基於晶格之資料調變系統的圖式。基於晶格之資料調變系統100可用於例如藉由校正時序及頻率偏移來修復信號失真。如圖1中所展示，基於晶格之資料調變系統100包括與信號接收器130通訊(例如，經由有線或無線通訊網路「N」)之信號發射器110。視情況，信號發射器110及信號接收器130中之一者或兩者亦與一或多個遠端計算裝置120通訊(例如，經由有線或無線通訊網路「N」) (例如，以供遠端儲存資料)。信號發射器110包括可操作地耦接至通訊介面114及記憶體116之處理器112。記憶體116儲存資料及/或處理器可執行指令(例如，以執行圖7之方法700，如下文所論述)。舉例而言，如圖1中所展示，記憶體116包括位元串116A、二進位字串116B、基於晶格之信號星座116C (包括晶格元素116D)、實數值點116E、符號116F、演算法116G (例如，一或多個最接近向量演算法)以及視情況商116H。同樣的，信號接收器130包括可操作地耦接至通訊介面134及記憶體136之處理器132。記憶體136儲存資料及/或處理器可執行指令(例如，以執行圖8之方法800，如下文所論述)。舉例而言，如圖1中所展示，記憶體136包括位元串136A、二進位字串136B、基於晶格之信號星座136C (包括晶格元素136D)、實數值點136E、符號136F、演算法136G (例如，一或多個最接近向量演算法)以及視情況商136H。

為繪示上文所論述之程序，考慮圖2至圖6中所展示之星座圖。圖2展示藉由上文給定之B矩陣產生的晶格。此圖中的每個圓點皆表示晶格 ²之點。空心圓表示僅在 ²中之點。實心點係 ²及 ²兩者中之點。周圍有圓圈之實心點係在 ²、 ²及 ²中。圖中心處之菱形表示 ²之基本區(以菱形中心處之點為原點)。在此實例中， =2 (亦即，2維晶格)。

藉由使 =1，可包括 ²之基本區，如圖3中所展示。基本區之兩側以實線繪製，並且兩個相對側以虛線繪製。圖3之圖式繪示定則的實施，其中僅包括(1)完全在基本區內部之點以及(2)當且僅當點與實線相交時位於表面上之點。藉由此定則選擇之 ⁿ=( ^k) ⁿ=( ¹) ²= 4個點展示為其上繪製有加號(+)符號。此等4個點為將用於位元至符號映射之晶格點。

類似地，對於 =2，可繪製 ²之基本區，且可使用與圖3中所應用之定則類似的定則，如圖4中所展示。在圖4之圖式中，經選擇以用於資料調變之 ⁿ=( ^k) ⁿ=( ²) ²= 16個點由加號(+)表示。換言之，此等16個點為將用於位元至符號映射之晶格點。

在其他實施例中，如圖5中所展示，對於 =1，可使基本區移位。小菱形(正方形旋轉45°)展示在 ²之基本區的中心點處，並且4個選定點標有加號(+)。

類似地，如圖6之實施例中所展示，對於 =2，可使基本區移位，並且經選擇以用於資料調變之16個點由加號(+)標記。

在一些實施方案中，當使用自原點之小偏移來產生2 ^nk個點時，可能有利的為使基本區之各點移位以使標記為「A」的圓點成為點集合之實際中心，因此所有資料點之集合具有零平均值。偏移係歐氏空間(ℝ _n)中之單一向量，且並非由晶格點構成。

在一些實施例中，資料調變方法包括執行使用晶格星座之位元至符號映射。

在一些實施例中，資料解調方法包括執行使用晶格星座之符號至位元映射。

在一些實施例中，基於晶格之資料調變方法或解調方法不包括晶格編碼，且不包括使用冗餘晶格點。

在一些實施例中，資料調變方法或解調方法包括使用晶格與以正整數縮放之該晶格之複本的商。

在一些實施例中，資料調變方法包括將2 ^nk二進位字串(長度為 )映射至商 ⁿ/2 ^{k n}之元素，或映射至該商之經移位複本(例如，如參考圖5所論述及展示)。此可藉由首先將各長度 二進位字串映射至元素 ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ且接著使用晶格基 產生點 ⁿ來執行。接著，經由選定最接近向量演算法(例如，在使用最接近向量演算法之前選定)判定2 ^{k n}中最接近於 之點，並且自 中減去該最接近之點。保證所得點在2 ^{k n}之基本區中(或等效地，在 ⁿ/2 ^{k n}中)。接著可將位元所映射至之實數值點用作基頻處之信號的同相及正交分量。在一些實施方案中，實數值點與2 ^{k n}中最接近於 之點相同。替代地或另外，給定一組點(例如，圖6中所展示之16個點)，所有點將用於調變方案中。舉例而言，8個點可用於信號之同相分量，並且其餘8個點可用於信號之正交分量。替代地或另外，在不使用矩形成形區之情況下執行將2 ^nk二進位字串映射至商 ⁿ/2 ^{k n}之元素(或映射至該商之經移位複本)。替代地或另外，將2 ^nk二進位字串映射至商 ⁿ/2 ^{k n}之元素(或映射至該商之經移位複本)並非基於晶格編碼。

接著，可發射實數值點(視情況藉由以下中之任一者：上取樣、濾波、驅動至載波、經由數位至類比轉換器(DAC)發送等)，並且由接收方接收該等實數值點。接收器可接著執行同步及/或均衡。為解調/恢復位元，接收器接著將使用預先選擇之最接近向量演算法來恢復 ⁿ的「最接近」點，而此所恢復之最接近點會乘以倒數B ^-1，進而產生ℤ ⁿ的元素，或者其用以恢復關於可接著饋送至錯誤校正方案中之所接收值的軟資訊。個別分量(亦即，ℤ ⁿ之元素)接著減小模數2 ^k(亦即，對個別分量執行模數算術)，以產生ℤ ⁿ/ ^kℤ ⁿ之元素(或者，更一般地說，ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ，其中 m係正整數)。若商涉及由位於2 ^{k n}之基本區的表面上之 ⁿ點產生的多義性，則可例如藉由執行選擇使用基本區之一組「面」的定則來解析該多義性(例如，如上文所論述)。替代地，可藉由執行包括使2 ^{k n}之基本區圍繞遠離原點之點居中的定則來解析該多義性，該點不會產生位於基本區之表面上的 ⁿ之元素(如以上參考圖5及圖6所論述)。若使用遠離原點之移位，則所得星座可移位一常數向量以確保其具有零平均值。

圖7係根據一實施例之繪示基於晶格之資料調變方法的流程圖。如圖7中所展示，方法700包括在702處，在處理器處接收位元串，以及在704處，基於位元串而識別一組二進位字串。在706處，在不使用查找表的情況下，將該組二進位字串中之各二進位字串映射至基於晶格之信號星座的一組元素中之元素。在不使用查找表的情況下將二進位字串映射至基於晶格之信號星座的元素係有利的，至少因為：如上文所論述，在較高輸貫量下及/或對於較大星座，查找表的使用可變得難以處理。在708處，基於映射而自該組元素識別實數值點。方法700亦包括在710處，引發具有基於實數值點之調變的信號之發射。

在一些實施方案中，實數值點表示同相/正交(I/Q)點或分量。

在一些實施方案中，該組元素係與第一晶格及第二晶格之商相關聯，第二晶格係以正整數縮放的第一晶格之複本。

圖8係根據一實施例之繪示基於晶格之資料解調方法的流程圖。如圖8中所展示，方法800包括在802處，在處理器處且自發射器接收表示位元串之信號。在804處，經由處理器基於信號及最接近向量演算法而識別與信號相關聯之 n維晶格的點。在806處且經由處理器使 n維晶格之點乘以 n維晶格之基的倒數，以識別與信號相關聯之 n維矩陣ℤ ⁿ的複數個元素中之元素。在808處，經由處理器藉由減小信號模數 m(例如，2 ^k，其中「k」表示位元串中之位元數目)之I/Q點來基於信號而恢復位元，以產生商ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ(例如，ℤ ⁿ/ ^kℤ ⁿ)之元素。

在一些實施方案中，該方法亦包括在識別與信號相關聯之 n維晶格的點之前執行信號之同步或均衡中之至少一者。

在一些實施方案中，該點係第一點，並且該方法亦包括經由處理器識別與商ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ相關聯之多義性。回應於識別多義性，可經由處理器選擇 n維晶格之基本區的一組面；並且經由處理器基於 n維晶格之基本區的該組面而識別與信號相關聯之 n維晶格的第二點，恢復位元之指令包括進一步基於第二點而恢復位元之指令。

在一些實施方案中，該點係第一點，並且該方法亦包括經由處理器識別與商ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ相關聯之多義性。回應於識別多義性，使 n維晶格之基本區圍繞 n維晶格的遠離 n維晶格之原點的第二點居中，以使得 n維矩陣ℤ ⁿ之複數個元素不位於基本區的表面上。

Leech 晶格本發明之一些實施例改良使用Leech晶格作為基於晶格之信號星座之基的已知通訊技術。Leech晶格係24維歐氏空間中之偶麼模晶格Λ24，並且係有吸引力的候選者。以下論述量化了Leech晶格可達成之增益，與一些已知星座形成對比，假設近似之球形成形區在一些情況下使用如本文中所描述的經縮放沃羅諾伊。

預期Leech晶格具有一些令人感興趣之通訊能力。考慮在對於某一固定正整數 n 而半徑為 之球體內或上所包含的 之點 ( 在本文中亦稱為「中心」 ) 的集合，並且藉由 表示此集合，亦即 。各點可充當信號向量。 Ʌ _n 中之彼等信號在本文中稱為表面向量，並且其他信號在本文中稱為 之內部向量。用於內部向量之決策區係由196,560個超平面定界，此使得不太可能發現錯誤機率之準確表述。然而，可發現錯誤機率之上限及/或錯誤機率之下限。

假設所有信號都同樣有可能，並且考慮在發送內部向量之情況下的錯誤機率。此外，假設通道具有藉由平均零及方差之高斯隨機變數獨立地加擾各信號分量之效果 。正確決策 P(C)之機率大於經擾動向量保持在關於所發送信號向量的半徑為 之球體內的機率。為計算此機率，藉由下式表示各自具有平均零及方差 之自變量的二十四維高斯分佈：

E ₂₄中之半徑為 r的球體具有表面積： .

因此，信號向量保留在半徑為 之球體內部的機率為

藉由改變變數 ，此最後一個表達式可寫為： 其中 P( a, x)係不完全伽瑪函數。針對表面向量之正確決策的機率將略高於此數量。在此，積分區位於上述之相同球體上方，加上在半徑為 之球體的外部之圓錐形區。圓錐形區之積分可以二重積分表示，該二重積分可為計算複雜的，並且可能較小，除了在極高雜訊級下。為簡單起見，可忽略此術語。因此，Leech晶格 之子集的錯誤機率 P _L ( E)之界限由下式給出： 其可寫為： (1) 其中

Ʌ ⁿ 之信號向量的能量受以下限制： 且因此 E _N = (16/24) n= 2 n/3，其中 E _N 係每維度之能量，且下標 N係24。因此，在上限(1)中，

對於藉由24 E _N 而能量受限之信號，將界限(1)與界限 P _G ( E)進行比較： (2) 其中 並且

對於 n= 10或等效地對於 R= 1.2597，在圖9中繪製兩個錯誤界限(1)及(2)之機率，其中： M係信號數目。曲線藉由其方程式數字標記。應注意，在Leech晶格之情況下，僅某些速率係可能的。如圖9中可見，對於 n= 10，Leech晶格之上限低於界洛格(Gallagers)上限。

對於較大值 ，並且界洛格上限表現為： (3) 其中 K係常數。在(1)中， 之界限表現為 其提供指數減小，而非 n次冪。此反映於圖9之曲線的表現中。

針對 n之其他值，兩個界限以大致相同方式表現。考慮自 n= 10至 n= 100之變化的影響。使用 ¹⁰⁰中點數目之漸近值，獲得：

對界限(1)之影響僅為使曲線向右移位10 db。對界限(2)之影響為將 n= 10之值乘以 。對於 之值，使得 ，亦即 ，藉由方程式(3)指示之表現會變成極佳近似值。在圖中使用之對數尺度上，此意味著界限(2)將非常接近直線。使用界限之此直線近似值，可發現，5.852 X 10 ¹¹之相乘等效於略大於10 db之界限右移量。

應注意，界限(2)僅對 有效，其意味著對於 n= 10及 R= 1.2597，界限僅對以下有效：

嘗試為(1)之界限找到可靠性或指數函數，但沒有成功。

歐氏碼歐氏碼係 n維真實歐氏空間 R ⁿ 中之一組有限點 x ₁、……、 x _M 。歐氏碼可用作用於高斯通道之信號集合、用作向量量化器中之代表點(或輸出向量)且用於許多其他應用程式中。歐氏碼應具有多個所要性質： 1) 碼向量之數目 M 應較大； 2) 總能量Σ║ x _i ║ ²(或替代地，最大峰值能量║ x _i ║ ²)應較小； 3) x _i 之間的最小距離應較大(或替代地，若在高斯通道上使用該碼，則不正確解碼之機率應較小)； 4) 給定 k，應有可能容易地找到第 k碼向量 x _k ； 5) 給定 x _k ，應有可能容易地找到其索引 k；以及 6) 給定任意點 z∈ R ⁿ ，應有可能容易地找到最接近碼向量 x _k 。

前述性質(在本文中亦稱為待解決之「問題」)未必與彼此無關，並且在其之間/當中可能存在權衡。晶格碼包括 R ⁿ 中之某一晶格的點之子集，其為相等 n維球體之晶格填料的一組點。該碼係藉由指定 R ⁿ 中之晶格Ʌ及空間 R ⁿ 的某一區而界定，並且由此區內部之所有晶格點組成。

對於此等碼，最小距離係晶格點之間的最小距離，且碼向量之數目係由晶格之密度判定。因此，性質1)及3)相當於表示晶格應具有高密度，並且性質2)表述了界定碼之空間區應儘可能接近球形。

一些已知極快速之演算法已用於滿足用於一大類之晶格碼的性質6)。根據本發明之一些實施例，類似晶格用以滿足性質4)及5)。因為若該等碼用於高斯通道，則6)係解碼問題，而4)及5)係編碼問題，因此預期性質4)及5)可能會比性質6)更容易解決。然而，對於此等碼，性質4)、5)及6)似乎具有相當之難度。

根據一些實施例，為解決性質4)及5)，僅考慮由某些極特殊之空間區界定的晶格碼，該等區可稱為沃羅諾伊形狀，且此類區在本文中稱為沃羅諾伊碼。

沃羅諾伊碼可具有以下兩個缺點：僅可達到某些速率，且由於界定其之沃羅諾伊形狀區並非球形，因此其通常不具有最小可能總能量(儘管差值可能較小)。在本文中所闡述之表示法下，向量x之範數║ x║ ²係其平方長度 xž x。

編碼演算法以解決問題4)：自其索引找到碼向量 給定索引向量( k ₁, …, k _n )，其中0 ⩽ k _ir ⩽ - 1，假設需要在沃羅諾伊碼 C _Ʌ( r, a)中找到該向量 x，其中索引( x) = ( k ₁, …, k _n )。為此，首先形成 x'= Σ k _iv _i ，其具有等於( k ₁, …, k _n )之索引，但不需要在碼中。隨後，所要晶格點 x係以下唯一解決方案： x≡ x'(模數 rɅ), x∈ a+ V _r (4) (依據 C _Ʌ( r, a)之定義)。若存在演算法可用於求解性質6)，亦即用於找到Ʌ之最接近空間任意點的點，則易於求解方程式(4)。實情為，若設定 z= r ^-1( x'- a)，且λ係Ʌ之最接近 z的點，則 x= x'- rλ係所要晶格點。因此，可如下求解性質4)。

給定索引向量( k ₁, …, k _n )， 計算 x' =Σ k _iv _i 且 z = r ^{- 1} ( x'- a) 。找到λ ∈Ʌ 之最接近 z的點( 使用例如[3]中之演算法)。 接著 x = x' - rλ - a 係在沃羅諾伊碼 C _Ʌ( r, a)中 且具有索引( k ₁, …, k _n ) 。

舉例而言，考慮自 D ₄晶格獲得之四維沃羅諾伊碼 C _{D 4}(4, a)。假設給定索引向量係(2, 0, 0, 1)。接下來，計算： x'= (5, 0, 0, 1), z= (5, - , - , ) = (1.25, - 0.05 žžž , - 0.09 žžž , 0.12 žžž ) λ  = (2, 0, 0, 0, 0)，以及 x= ( - 3, 0, 0, 1) - a。

找到 n 維整數晶格 ℤ ⁿ 之最接近點 根據一些實施例，使用用於找到整數晶格ℤ ⁿ 之與任意點 x∈ ℝ ⁿ 最接近之點的演算法。對於實數 x，使： f( x)=最接近 x之整數。

在相同情況下，選擇具有最小絕對值之整數。對於 x=  ( x ₁, žžž , x _n ) ∈ ℝ ⁿ ，使： f( x) = ( f( x ₁), žžž , f( x _n)).

亦界定 g( x)，其與 f( x)相同，不同之處在於 x之 最差分量——最偏離整數——以 錯誤方式四捨五入。在相同情況下，具有最小下標之分量以錯誤方式四捨五入。更正式而言，對於 x∈ ℝ，以錯誤方式四捨五入之 f( x)及函數 w( x)定義如下。(此處， m係整數。) 若 x= 0，                         則 f( x) = 0， w( x) = 1。 若0 ＜ m≤ x≤ m + ，        則 f( x) = m， w( x) = m+ 1。 若0 ＜ m+ ＜ x＜ m + 1，     則 f( x) = m + 1， w( x) = m. 若- m- ≤ x≤ - m ＜ 0，   則 f( x) = - m， w( x) = - m - 1. 若- m- 1 ＜ x＜ - m - ，      則 f( x) = - m- 1， w( x) = - m. (5) (處置此等聯繫以便優先考慮較小範數之點。)並且： x= f( x) + δ( x), 以使得*δ( x) * ≤ 1/2係自 x至最接近整數之距離。

給定 x= ( x ₁, žžž , x _n ) ∈ ℝ ⁿ ，使 k(1 ≤ k≤ n)為使得： * δ( x _k ) * ≤ * δ( x _i ) *     對於所有1 ≤ i≤ n並且 * δ( x _k ) * = * δ( x _i ) * Y k≤ i 。

接著， g( x)定義如下： g( x) - ( f( x ₁), f( x ₂), žžž , w( x _k ), žžž , f( x _n ))。

演算法 1 ——找到ℤ ⁿ 之最接近 x的點：給定 x∈ℝ ⁿ ，ℤ ⁿ 之最接近點係 f( x)。(若 x與ℤ ⁿ 中之兩個或更多個點等距，則此程序會找到具有最小範數之一個點。)

為查看該程序是否起作用，使 u= ( u ₁, žžž , u _n )成為ℤ _n 之任何點。接著， 其藉由針對 i= 1, žžž , n選擇 u _i = f( x _i )而最小化。由於(5)，聯繫被正確地打破，從而有利於具有最小範數之點。

找到 D _n 之最接近點 演算法 2 ——找到 D _n 之最接近 x的點：給定 x∈ℝ ⁿ ， D _n 之最接近點係 f( x)及 g( x)中具有偶數分量總和之一者(一個具有偶數總和，另一個具有奇數總和)。若 x與 D _n 之兩個或更多個點等距，則此程序產生具有最小範數之最接近點。

此程序起作用係因為 f( x)係ℤ ⁿ 之最接近 x的點並且 g( x)係其次最接近的。 f( x)及 g( x)在一個座標上恰好相差一，且因此Σ f( x _i )及Σ g( x _i )中之一者恰好為偶數且另一者為奇數。同樣地，(5)意味著聯繫被正確地打破。

實例：找到 D ₄ 之最接近 x(0.6, - 1.1, 1.7, 0.1)的點。計算： f( x) = (1, - 1, 2, 0) 以及 g( x) = (0, - 1, 2, 0)， 因為 x之第一分量係最遠離整數的。 f( x)之分量總和係1 - 1 + 2 + 0 = 2，其為偶數，而 g( x)之分量總和係0 - 1 + 2 + 0 = 1，其為奇數。因此， f( x)係 D ₄ 之最接近 x的點。

為繪示如何處置聯繫，假設： x = ( , , , )。

實情為， x現與 D ₄ 之八個點等距，亦即(0, 0, 0, 0)，(1, 1, 0, 0)及(1, 1, 1, 1)之任何排列。演算法計算： f( x) = (0, 0, 0, 0)，總和=0，偶數， g( x) = (1, 0, 0, 0)，總和=1，奇數， 並且選擇 f( x)。事實上， f( x)確實具有八個相鄰點中之最小範數。

找到 E ₈之最接近點 由於 E ₈係 D _{8 之兩個陪集的聯集，}因此前一章節中之論述產生以下程序。

演算法 3 ——找到 E ₈ 之最接近 x的點：給定 x= ( x ₁, žžž , x ₈) ∈ℝ ⁸。 計算 f( x)及 g( x)，並且選擇具有偶數分量總和之一者；將其稱為 y ₀。計算f( x- )及 g( x- )，其中： = ( ), 並且選擇具有偶數分量總和之一者；增加 並且將結果稱為 y ₁。

藉由 x比較 y ₀及 y ₁，並且選擇最接近的。舉例而言，為找到 E ₈之最接近以下的點 x= (0.1, 0.1, 0.8, 1.3, 2.2, - 0.6, - 0.7, 0.9)， 計算 f( x) = (0, 0, 1, 1, 2, - 1, - 1, 1)，總和=3，奇數， g( x) =(0, 0, 1, 1, 2, 0, - 1, 1)，總和=4，偶數， 並且選取 y ₀= g( x)。並且， x- = (- 0.4, - 0.4, 0.3, 0.8, 1.7, - 1.1, - 1.2, 0.4)， f( x- ) = (0, 0, 0, 1, 2, - 1, - 1, 0)，總和=1，奇數， g( x- ) = ( - 1, 0, 0, 1, 2, - 1, - 1, 0)，總和=0，偶數， 且因此 y ₁= g( x- ) + = (- 0.5, 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, - 0.5, - 0.5, 0.5)。 最後， ║ x- y ₀║ ²= 0.65，     ║ x- y ₁║ ²= 0.95， 並且結論為 y ₀= g( x)係最接近 x之點。

找到 A _n 、 、 E ₇及 中之最接近點 演算法 4 —— 找到 A _n 之最接近 x的點： 步驟 1 ：給定 x∈ ℝ ^{n +1}，計算 且藉由以下替換 x . 步驟 2 ：計算 及 缺陷 。 步驟 3 ：按 之遞增值的次序將 排序(定義於章節III中)。獲得0、1、……、 n之重排編號，比如 i ₀、 i ₁、……、 i _n，以使得 . 步驟 4 ：若 ，則 f( x’)係 A _n 之最接近 x的點。 若 ，則最接近點係藉由自分量 中減去1而獲得。 若 ，則最接近點係藉由將分量 增加1而獲得。

評價：如上文所論述， f( x)係 之最接近 x的點。此處描述之程序找到 A _n 之最接近點，因為其對使 變為零所需的 f( x)之範數作出了最小變化。

步驟1將 x投影至 x′，超平面之最接近點 。由於 A _n 按定義包含於此超平面中，因此有可能假定 x已位於此處，在該種情況下可省略步驟1。

所需之唯一大量計算係用於步驟3中之排序，其採用 O( nlog n)步驟。然而，若預期 x接近 A _n ，則可省略步驟3。在此情況下， 將較小，且步驟3及4可藉由以下替換：

步驟 3′ ：若 ，則 f( x′)係 A _n 之最接近 x的點。若 ，則找到 x′之 分量，比如 ，對此， 係儘可能小的(亦即儘可能接近於 )。 A _n 之最接近點係藉由自 f( x)之分量 中減去一而獲得。

若 ，則找到 x′之 分量，比如 ，對此， 係儘可能大的(亦即儘可能接近於 )。 A _n 之最接近點係藉由將 f( x)之分量 增加1而獲得。

在任何情況下， 不可超過 n/2。然而，若 預期較大，則演算法之第一版本係較佳的。使用 係 A _n 之 n+ 1陪集的聯集這一事實，可找到 之最接近點。舉例而言，圖10中展示六角晶格 A ₂，以及用於該等點之一般二維座標( u ₁, u ₂)。其中 x ₀+ x ₁+ x ₂= 0之三維座標( x ₀, x ₁, x ₂)係藉由將右側的( u ₁, u ₂)乘以矩陣而獲得： .

相反地， u座標可藉由以下而自 x座標獲得： .

舉例而言，點(0, 0)、(1, 0)、(1/2, 、(-1/2, 分別具有 x座標(0, 0, 0)、(1, 0, -1)、(1, -1, 0)、(0, -1, 1)。藉由座標找到 A _n 之最接近點 P的點： , 首先找到 P之 x座標，其為 x= ( x ₀, x ₁, x ₂)  = (0.169, 0.462, -0.631)。

由於 x ₀+ x ₁+ x ₂= 0自動保持，因此省略演算法情況之步驟1。步驟2產生： f( x) = (0, 0, -1)， 具有缺陷 。在步驟3處，獲得： .

在步驟4處，將1增加至 f( x ₁)，獲得： (0, 1, -1)， 其為 A ₂之最接近點。用於此點之 u座標為： (參見圖10)。

由於 ，演算法2優於演算法4以用於找到面心立方晶格之最接近點。最後， 及 可經由用於 之演算法處置。

對 Leech 晶格進行解碼在本發明之一或多個實施例中，某些晶格可藉由「程式碼式」定義，如下。使整數 之標準二進位表示為： , 其中 稱為2 ^k 之 係數， k≥ 0，並且同餘關係 n ≥ 0 可用以遞迴地判定係數(尤其在 x為負之情況下)。使 C ₀、 C ₁、 C ₂……為長度 N之一組二進位區塊碼，其必須為嵌套式且滿足某些其他條件以產生晶格。接著，將Λ定義為所有整數 N元組 x之集合，對於所有 k≥ 0，其2 ^k 之係數 N元組係碼C _k 中的碼字。前述內容可藉由「程式碼式」象徵性地書寫： .

與往常一樣，當允許2 ^k 之係數針對 k≥ K取任何值時，亦即，當 C _k 係針對 k＞ K 之全域 (N, N)程式碼時，可寫為： , 其中 Z ^N 係 N維整數晶格。

Leech晶格Λ ₂₄之一個標準定義將其表示為子晶格 H ₂₄與 H ₂₄之陪集 H ₂₄+ a 的聯集。此處， H ₂₄係晶格，有時稱為「Leech 半晶格」，其可由程式碼式定義： , 其中 C ₀= (24,12)係二進位格雷(Golay)碼，並且 C ₁= (24,23)係單一同位檢查碼。轉譯24元組 a 可被視為 。

格雷碼具有最小距離8及759個權重8之碼字。在此表示中，在Λ ₂₄或 H ₂₄中之點之間的最小平方距離為 8。 H ₂₄具有歐氏範數8之98,256個晶格點，亦即(24·23/2)·4 = 1,104個點，其具有量值0之量值2及22的兩個座標，加上759·128 = 97,152個點，其具有零之量值1及16的八個座標。Λ ₂₄具有範數8之196,560個點，亦即 H ₂₄之點，加上 H ₂₄+ a 中的24·4096 = 98,304個點，其具有一個量值3/2之座標以及23個量值1/2之座標。

晶格Λ之 沃羅諾伊區 係至少與Λ中之任何其他點一樣接近於 0的點集合；亦即，沃羅諾伊區基本上為用於Λ之最大似然解碼演算法的決策區(至多邊界上之解析聯繫中所涉及的多義性)。填料半徑 r _min(Λ)或錯誤校正半徑係 中可描述之最大球體的半徑，並且等於 d _min(Λ)/2，其中 (Λ)係Λ中之點之間的最小平方距離。吻接數 N ₀(Λ)或錯誤係數係具有範數 (Λ)之 的邊界上之點數目，並且等於範數 (Λ)之Λ中的點數目。對於 H ₂₄， ( H ₂₄) = 8， ( H ₂₄) = 2，並且 N ₀( H ₂₄) = 98256 [2]。對於Λ ₂₄， (Λ ₂₄) = 8， (Λ ₂₄) = 2，並且 N ₀(Λ ₂₄) =196,560。

使 G ₂₄為由所有整數24元組組成之「建構Λ」晶格，其一係數 N元組係(24,12)二進位格雷碼中之碼字；亦即， G ₂₄具有程式碼式 G ₂₄= (24,12) + 2 Z ²⁴。接著， H ₂₄係 G ₂₄之子晶格，並且實情為， G ₂₄係 H ₂₄與 H ₂₄之陪集 H ₂₄+ b 的聯集，其中可取 b = (2,0 ²³)。因此， H ₂₄係 G ₂₄之子集，其中二係數24元組具有偶同位，並且 H ₂₄+ b 係具有奇同位之子集。

用於格雷碼之任何軟決策解碼演算法可用作針對 G ₂₄的解碼演算法，如下。給定任何真實24元組 r ，首先找到最接近 r 之各座標 的偶數及奇數整數 及 。平方距離之差值，± [( r ₁ - k _{j 0}) ²- ( r ₁ - k _{j 1}) ²] /2 = ± [( r _j - ( k _{j 0}+ k _{j 1}) /2]，可在用於格雷碼之任何軟決策解碼演算法中被分別視為用於該座標的0及1之「度量」。接著，經解碼之格雷碼字在第 j座標處映射回至 k _{j 0}或 k _{j 1}，此取決於經解碼之碼字在該座標中是0還是1。使用平均每24元組約700至800次操作之用於格雷碼之最大似然解碼演算法可用作用於 G ₂₄的最大似然解碼器；亦即，此演算法可用於找到 G ₂₄中之最接近任何給定真實24元組 r 的點。

接著，可將用於 H ₂₄之解碼演算法指定如下。解碼演算法1 (H ₂₄)：給定表示所接收字組之任何真實24元組 r ，首先找到 G ₂₄中最接近 r 的點 x ₀。檢查 x ₀之二係數24元組的同位；若為偶數，則其位於 H ₂₄中，因此請接受。若為奇數，則在座標 x _{j 0}中將一個座標 x ₀改變±2，其中此改變將使平方距離( r _j - x _{j 0}) ²增加最小可能量，亦即，其中| r _j - x _{j 0}|為最大。所得點 具有偶二係數同位且因此位於 H ₂₄中。

解碼演算法1中之超出解碼 G ₂₄的額外複雜性可包括同位檢查及/或計算及比較24個量值| r _j - x _{j 0}|，但此複雜性可忽略。

解碼演算法1始終藉由建構將 r 映射至 H ₂₄中之點，但未必映射至 H ₂₄中之最接近點。舉例而言，24元組 x = (- 1, 1 ⁷, 0 ¹⁶)在 G ₂₄中而不在 H ₂₄中，並且點 r = x/2與 x 及原點 0兩者相距平方距離2，其位於所有晶格中。若 G ₂₄解碼器藉由選擇 x 解析此聯繫，則同位檢查將會失敗。然而，將一個座標改變±2不可產生原點 0，其為 H ₂₄中之最接近點，但是一定產生範數8之 H ₂₄中的某一其他點，其與 r 相距平方距離4。

然而，當 r - x 在 H ₂₄之錯誤校正半徑內時，解碼演算法1始終將 r 映射至 H ₂₄中之最接近點 x ，如現在所展示。換言之，解碼演算法1係具有與用於 H ₂₄之最大似然解碼器相同的錯誤指數之有界距離解碼演算法。

輔助定理 1 ：給定24元組 r ，若點 x 存在於 H ₂₄中以使得|| r - x || ²＜ 2，則解碼演算法1將 r 解碼為 x 。

證明：在不損失一般性的情況下，使得 x = 0，此係由於若解碼演算法1將 r 映射至 x ，則其將 r + x ˊ映射至 x + x ˊ；亦即，假設|| r || ²＜ 2。接著，由於第一步驟找到 G ₂₄中之最接近點 x ₀，因此 x ₀必須為 0或範數|| x ₀|| ²＜ 8之 G ₂₄中的點 x ₀。範數小於8之 G ₂₄中之僅有點係 0及具有量值為2的單個非零座標之點。然而，若 x ₀為後面點中之任一者，則同位將失敗，並且 0將為經修改點 x _{0’ 的候選者中之一者。}實情為，必須選擇 0，因為任何其他候選點係在 H ₂₄中，因此具有至少8之範數，且因此不可比 0更接近 r 。因此，其中|| r || ²＜ 2之所有點 r映射至 0。

映射至 0之所有點 r 的集合稱為解碼演算法1之決策區 。藉由轉譯性質，映射至任何晶格點 x 之所有點的集合為 = + x 。輔助定理1展示 含有範數小於2之所有點。由於圍繞 H ₂₄之點繪製的半徑2之球體必須接觸，因此 之邊界上必須存在範數2之點。具有範數|| r || ²= 2之 之邊界上的點數目係解碼演算法1之有效錯誤係數 N _0,eff。輔助定理2展示解碼演算法1大致使 H ₂₄之有效錯誤係數加倍。

輔助定理 2 ：解碼演算法1之有效錯誤係數為 N _0,eff= 98,256 + 97,152 = 195,408。

證明：除了範數8之 H ₂₄中的98,256個點以外，存在具有0之量值1及16的八個座標之範數8的759·128 = 97,152個點，該等點在 G ₂₄中而不在 H ₂₄中(具有奇二係數同位之彼等點)。若 G ₂₄解碼器在解碼演算法1之第一步驟中將 r 解碼為此等點中之任一者，則第二步驟無法得出 = 0。

為對Leech晶格Λ ₂₄進行解碼，解碼演算法1可兩次應用於 H ₂₄(其Λ ₂₄為聯集)之兩個陪集。

解碼演算法 2(Λ ₂₄)：給定任何真實24元組 r ，將解碼演算法1應用於 r 以找到 H ₂₄中之點 x ₀；並且，將解碼演算法1應用於 r - a 以找到 H ₂₄中的點 x ₁，其轉譯 x ₁+ a 係在 H ₂₄+ a 之陪集中。計算平方距離|| r - x ₀|| ²及|| r - x ₁+ a )|| ²，並且根據哪一距離較小而選擇 x ₁或 x ₁+ a 。

解碼演算法2之複雜性不超過解碼演算法1之複雜性的兩倍，此係因為相較於格雷解碼之複雜性，以 a 轉譯 r 及 x ₁與計算及比較兩個平方距離之複雜性較小。

可展示出解碼演算法2係有界距離解碼演算法，其達成Λ ₂₄之錯誤校正半徑且僅將有效錯誤係數增加約1.5倍。因此，若雜訊為高斯且所要錯誤率約為10 ^-6，則解碼演算法2所需之有效信雜比相較於最大似然解碼之有效信雜比僅差了約0.1 dB。

定理 1 ：給定24元組 r ，若Λ ₂₄中存在點 x 以使得|| r - x || ²，則解碼演算法2將 r 解碼為 x 。

證明：若 x 係在 H ₂₄中，則藉由輔助定理1，應用於 r 之解碼演算法1產生 x ；若 x 係在 H ₂₄+ a 中，則 x - a 係在 H ₂₄中，且因此藉由輔助定理1，應用於 r - a 之解碼演算法1產生 x - a 。因為 (Λ ₂₄) = 8，所以Λ ₂₄中僅存在一個點 x 以使得|| r - x || ²＜ 2。若兩個試驗解碼中之任一者找到該種點，則必須將其選為最接近點。

定理 2 ：解碼演算法2之有效錯誤係數為 N _0,eff= 196,560 + 97,152 = 293,712。

證明：有效錯誤係數為範數2之決策區 之邊界上的點數目，其與範數8之 G ₂₄或 G ₂₄+ a 中之點 x 的數目相同，該等點係在Λ ₂₄中或不可在一個座標中以±2之變化修改為 0。此包括範數8之Λ ₂₄中的196,560個點以及範數8之處在 G ₂₄中而非 H ₂₄中的在輔助定理2之證明中所提及的97,152個點。 G ₂₄+ a = G ₂₄+ (1/2) ²⁴中之任何點可在第一座標中以±2之變化修改為 H ₂₄+ a 中之點，以使得不存在此類型之其他點。

成形區 vs. 形狀增益權衡在一些實施例中，當選擇用於資料傳輸之信號星座的邊界時，其試圖將來自給定填料之給定數目個點之星座的平均能量最小化。由於使用區 作為邊界而非超立方體，每兩個維度之平均能量的減小稱為 之成形增益 。待支付用於成形之價格涉及因子星座擴展比( )之增大、因子峰均功率比(PAR)的增大以及定址複雜性之增大。然而，在 與 、PAR之間存在權衡，如本文中所論述，可選擇具有同時最佳化權衡之結構的 N維成形區，如下文所論述。

在本發明之一或多個實施例中，最終區 上的一般形式函數之積分 經計算為：

此積分用以計算 區之體積及二次矩。結果連同 V( ) 及 一起可用於計算 、 及PAR，其中 V( )為成形區 之體積且 R ₂ 為半徑。圖11展示 N之不同值的對應權衡曲線。隨著 ，沿著 區之2-D子空間的誘發機率分佈趨向於截斷高斯分佈；此等區之最佳性的結果。

表達式 可用作 區之歸一化參數。該區之完整表示法為 。對於 ，獲得球形區 。此情況對應於權衡曲線上之最終點。對於 ，藉由增加 ，沿著曲線朝向其初始部分移動。最後，對於 ，具有 。此產生權衡曲線上之起始點。 之兩種情況分別產生區 )及( 。

參考圖11，可見，一般而言，最佳權衡曲線之初始部分具有陡峭斜率。此意謂可藉由 、PAR之較小值達成對應於球形區之最大成形增益的顯著部分。表I (下文)含有來自最佳權衡曲線之一組點。此等為圖11中之曲線上標記之點。 表I——來自圖11之最佳權衡曲線之一組點

S點對應於球形區且在給定維度達成最大成形增益。 K點對應於 r _s = N/4 ( = = 1.41)。其達成 S點之幾乎所有成形增益，但具有 、PAR之低得多的值。 L點對應於 。其以極低 、PAR達成顯著 。 B點對應於 。 A點對應於基於晶格 之定址方案且產生 。對於 N= 4，此點對應於球形區。

自圖11可見，對於 N約為12，在 之情況下的 A點位於最佳權衡曲線之彎曲部附近。對於較大維度，具體言之對於 N＞ 16，其更接近於曲線之初始部分。此意謂對於 N＞ 16，每 N維度之一個冗餘位元過小。維度 之空間中的解決方案係使用晶格 來使 子空間成形，且接著在此等子空間之 倍笛卡耳(Cartesian)積上達成另一級成形。此為多級成形/定址方案之應用的一個實例。

更一般而言，考慮 區。此區沿著其組成 子空間中之各者具有 區。基礎想法為 子區可經修改以使得 N-D空間中之定址的複雜性降低同時總體次佳性較小。具體言之，在吾人之一些方案中，1) 區由區 替換，及/或2)此區分割成有限數目個能量殼，且接著 子空間之笛卡耳積可經成形。

與本發明之實施例相容的關於多維信號星座、信號調變及其他方法/技術之額外細節可見於以下參考文獻，以上各者的全部內容分別出於所有目的以引用之方式併入本文中且作為附件A-D而隨附於本文：G. R. Lang及F. M. Longstaff之「A Leech lattice modem」，《IEEE通訊選域期刊(IEEE Journal on Selected Areas in Communications)》，第7卷，第6期，第968-973頁，1989年8月，doi：10.1109/49.29618 (附件A)；於2009年5月6日發佈且題為「Apparatus and Method for Space-Frequency Block Coding/Decoding in a Communication System」之歐洲專利號EP1608081(附件B)；Zamir, Ram的「Lattice Coding for Signals and Networks」，劍橋大學出版社(Cambridge University Press)，2014年，(附件C)；以及Hao, W. & Zhang, J.-Q & Song, H.-B (2014)之「A lattice based approach to the construction of multi-dimensional signal constellations」，《電子學報(Tien Tzu Hsueh Pao/Acta Electronica Sinica)》，42, 1672-1679. 10.3969/j.issn.0372-2112.2014.09.002(附件D)。

與本發明之實施例相容的關於晶格建構及晶格編碼之額外細節可見於Blake, Ian之「The Leech Lattice as a Code for the Gaussian Channel」，《信息與控制(Information and Control)》19, 66-74 (1971)；J. Choi、Y. Nam及N. Lee之「Spatial Lattice Modulation for MIMO Systems」，《IEEE信號處理彙刊(IEEE Transactions on Signal Processing)》，第66卷，第12期，第3185-3198頁，2018年6月15日，doi：10.1109/TSP.2018.2827325；G. D. Forney之「Coset codes. I. Introduction and geometrical classification」，《IEEE信息論彙刊(IEEE Transactions on Information Theory)》，第34卷，第5期，第1123-1151頁，1988年9月，doi：10.1109/18.21245；G.D. Forney 之「Coset codes. II. Binary lattices and related codes」，《IEEE信息論彙刊(IEEE Transactions on Information Theory)》，第34卷，第5期，第1152-1187頁，1988年9月，doi：10.1109/18.21246；J. Conway及N. Sloane之「A fast encoding method for lattice codes and quantizers」，《IEEE信息論彙刊(IEEE Transactions on Information Theory)》，第29卷，第6期，第820-824頁，1983年11月，doi：10.1109/TIT.1983.1056761；於2017年6月27日發佈且題為「Product Coded Modulation Scheme Based on E8 Lattice and Binary and Nonbinary Codes」的美國專利號9,692,456；於2006年4月25日發佈且題為「Practical Coding and Metric Calculation for the Lattice Interfered Channel」之美國專利號7,036,071；G. Forney、R. Gallager、G. Lang、F. Longstaff及S. Qureshi的「Efficient Modulation for Band-Limited Channels」，《IEEE通訊選域期刊(IEEE Journal on Selected Areas in Communications)》，第2卷，第5期，第632-647頁，1984年9月，doi：10.1109/JSAC.1984.1146101；A. K. Khandani及P. Kabal之「An efficient block-based addressing scheme for the nearly optimum shaping of multidimensional signal spaces」，《IEEE信息論彙刊(IEEE Transactions on Information Theory)》，第41卷，第6期，第2026-2031頁，1995年11月，doi：10.1109/18.476330；S. Stern及R. F. H. Fischer的「Lattice-Reduction-Aided Precoding for Coded Modulation over Algebraic Signal Constellations」，WSA 2016；《第20屆ITG智能天線國際研討會(20th International ITG Workshop on Smart Antennas)》，2016年，第1-8頁；以及G. D. Forney及G. Ungerboeck之「Modulation and coding for linear Gaussian channels」，《IEEE信息論彙刊(IEEE Transactions on Information Theory)》，第44卷，第6期，第2384-2415頁，1998年10月，doi：10.1109/18.720542，以上各者的全部內容出於所有目的以引用之方式併入本文中。

與本發明之實施例相容的關於晶格解碼演算法之額外細節可見於：D. J. Costello及G. D. Forney之「Channel coding: The road to channel capacity」， 《電氣與電子工程師協會會報 (Proceedings of the IEEE) 》，第95卷，第6期，第1150-1177頁，2007年6月，doi：10.1109/JPROC.2007.895188；J. Conway及N. Sloane之「Fast quantizing and decoding and algorithms for lattice quantizers and codes」，《IEEE信息論彙刊(IEEE Transactions on Information Theory)》，第28卷，第2期，第227-232頁，1982年3月，doi：10.1109/TIT.1982.1056484；以及G. D. Forney之「A bounded-distance decoding algorithm for the Leech lattice, with generalizations」，《IEEE信息論彙刊(IEEE Transactions on Information Theory)》，第35卷，第4期，第906-909頁，1989年7月，doi：10.1109/18.32173，以上各者的全部內容出於所有目的以引用之方式併入本文中。

與本發明之實施例相容的關於用於資料傳輸中之信號星座的邊界選擇之額外細節可見於：A. K. Khandani及P. Kabal之「Shaping multidimensional signal spaces. I. Optimum shaping, shell mapping」，《IEEE信息論彙刊(IEEE Transactions on Information Theory)》，第39卷，第6期，第1799-1808頁，1993年11月，doi：10.1109/18.265491；以及A. K. Khandani及P. Kabal之「Shaping multidimensional signal spaces. II. Shell-addressed constellations」，《IEEE信息論彙刊(IEEE Transactions on Information Theory)》，第39卷，第6期，第1809-1819頁，1993年11月，doi：10.1109/18.265493，以上各者的全部內容出於所有目的以引用之方式併入本文中。

與本發明之實施例相容的晶格星座之實例應用可見於：於2015年10月27日發佈且題為「High Speed Transceiver Based on Embedded Leech Lattice Constellation」之美國專利號9,172,578；於2015年5月24日發佈且題為「High Speed Transceiver Based on Concatenates of a Leech Lattice with Binary and Nonbinary Codes」的美國專利號8,989,283；G. Ungerboeck之「Channel coding with multilevel/phase signals」，《IEEE信息論彙刊(IEEE Transactions on Information Theory)》，第28卷，第1期，第55-67頁，1982年1月，doi：10.1109/TIT.1982.1056454；以及U. Wachsmann、R. F. H. Fischer及J. B. Huber之「Multilevel codes: theoretical concepts and practical design rules」，《IEEE信息論彙刊(IEEE Transactions on Information Theory)》，第45卷，第5期，第1361-1391頁，1999年7月，doi：10.1109/18.771140，以上各者的全部內容出於所有目的以引用之方式併入本文中。

本文中所描述之各種技術的實施方案可以在數位電子電路系統中實現，或在電腦硬體、韌體、軟體(在硬體中執行或儲存)中實現，或在其組合中實現。實施方案可實施為電腦程式產品，亦即，有形地體現於例如機器可讀儲存裝置(電腦可讀媒體、非暫時性電腦可讀儲存媒體、有形電腦可讀儲存媒體等)中以供由資料處理設備處理或控制該資料處理設備(例如，可程式化處理器、電腦或多個電腦)之操作的電腦程式。電腦程式，例如上面描述之電腦程式，可以用任何形式之程式設計語言編寫，包括編譯或解釋語言，並且可以以任何形式部署，包括作為一個獨立程式或作為一個模組、組件、子程式或其他適合在電腦環境中使用的單元。電腦程式可以部署在一部電腦上處理，也可以部署在一個站點的多部電腦上處理，也可以分佈在多個站點上並藉由通訊網路相互連接。

可以由執行電腦程式以藉由操作輸入資料及產生輸出來執行功能之一或多個可程式設計的處理器執行方法步驟。特殊用途邏輯電路系統，例如場可程式化閘陣列(FPGA)或特殊應用積體電路(ASIC)，亦可能執行方法步驟，並且可能作為設備實現。

適用於處理電腦程式之處理器包括：舉個範例，一般和特殊用途之微處理器，以及任意種類之數位電腦的一或多種處理器。通常，處理器將自唯讀記憶體或隨機存取記憶體或兩者接收指令及資料。電腦之元件可以包括用於執行指令的至少一個處理器，以及用於儲存指令及資料之一或多個記憶體裝置。通常，電腦還可以包括用於儲存資料之一或多個大容量儲存裝置，例如磁碟、磁光碟，或光碟，或在操作上耦接以自該一或多個大容量儲存裝置接收資料或傳送資料至該一或多個大容量儲存裝置或此兩者。適合體現電腦程式指令及資料之資訊載體包括所有形式的非揮發性記憶體，包括舉例來說半導體記憶體裝置，例如EPROM、EEPROM及快閃記憶體裝置；磁碟，例如內部硬碟或可抽換式碟片；磁光碟；以及CD‑ROM及DVD-ROM碟片。處理器及記憶體可由專用邏輯電路系統補充或併入於專用邏輯電路系統中。

為了提供與使用者之互動，實施方案可以在具有顯示裝置的電腦上實現，例如，液晶顯示器(LCD或LED)監視器、用來向使用者顯示資訊之觸控螢幕顯示器，以及鍵盤及指向裝置，例如，滑鼠或軌跡球，使用者可以透過它向電腦提供輸入。其他種類之裝置也可以用來提供與使用者的互動，舉例來說，提供給使用者之回饋可以是任何形式的感官回饋，例如，視覺回饋、聽覺回饋或觸覺回饋；以及來自使用者的輸入可以以任何形式接收，包括聲學、語音或觸覺輸入。

實施方案可以在計算系統中實現，該計算系統包括後端組件，例如資料伺服器，或者包括中介軟體組件，例如應用伺服器，或包括前端組件，例如具有圖形使用者介面或Web瀏覽器之用戶端電腦，透過此等，使用者可與實施方案互動，或此類後端、中介軟體或前端組件之任何組合。組件可藉由例如通訊網路等數位資料通訊之任何形式或媒體互連。通訊網路之實例包括局部區域網路(LAN)及寬廣區域網路(WAN)，例如網際網路。

雖然所描述之實施方案的某些特徵已經如本文所描述進行了說明，但對於本領域技術人員而言，現在將出現許多修改、替換、變化及等效物。因此，應理解，所附申請專利範圍旨在涵蓋屬於實施方案範圍內之所有此類修改及變化。應理解，其僅以舉例方式呈現，而非限制，所以形式及細節可能會有各種變化。在此描述之設備及/或方法的任何部分可能以任何組合方式組合，但互斥組合除外。本文中所描述之實施方案可以包括所描述之不同實施方案的功能、組件及/或特徵之各種組合及/或子組合。

100:基於晶格之資料調變系統 110:信號發射器 112:處理器 114:通訊介面 116:記憶體 116A:位元串 116B:二進位字串 116C:基於晶格之信號星座 116D:晶格元素 116E:實數值點 116F:符號 116G:演算法 116H:商 120:遠端計算裝置 130:信號接收器 132:處理器 134:通訊介面 136:記憶體 136A:位元串 136B:二進位字串 136C:基於晶格之信號星座 136D:晶格元素 136E:實數值點 136F:符號 136G:演算法 136H:商 700:方法 702:步驟 704:步驟 706:步驟 708:步驟 710:步驟 800:方法 802:步驟 804:步驟 806:步驟 808:步驟

圖1係根據一實施例之基於晶格之資料調變系統的圖式。

圖2至圖6展示根據一些實施例之星座圖的各種態樣，其繪示本發明之各種態樣。

圖7係根據一實施例之繪示基於晶格之資料調變方法的流程圖。

圖8係根據一實施例之繪示基於晶格之資料解調方法的流程圖。

圖9係根據一實施例之與Leech晶格相關聯之錯誤邊界的機率圖。

圖10展示根據一或多個實施例之用於資料調變/解調之實例六角晶格。

圖11展示根據一或多個實施例之針對與 N維度成形區相關聯之 N的不同值之成形區與形狀增益權衡曲線。

700:方法

702:步驟

704:步驟

706:步驟

708:步驟

710:步驟

Claims (20)

1. 一種非暫時性處理器可讀媒體，其儲存指令，該等指令在由一處理器執行時使該處理器： 接收一位元串； 基於該位元串而識別複數個二進位字串； 在不使用一查找表的情況下，將該複數個二進位字串中之各二進位字串映射至一基於晶格之信號星座的複數個元素中之一元素； 基於該映射而自該複數個元素識別複數個實數值點；並且 引發具有基於該複數個實數值點之一調變的一信號之發射。
2. 如申請專利範圍第1項所述的非暫時性處理器可讀媒體，其中該複數個實數值點表示複數個同相/正交(I/Q)點。
3. 如申請專利範圍第1項所述的非暫時性處理器可讀媒體，其中該複數個實數值點中的各實數值點係與該基於晶格之信號星座的一沃羅諾伊單元之一基本區內的一點相關聯。
4. 如申請專利範圍第1項所述的非暫時性處理器可讀媒體，其中該複數個實數值點中的各實數值點係與該基於晶格之信號星座的一沃羅諾伊單元之一經移位基本區內的一點相關聯。
5. 如申請專利範圍第1項所述的非暫時性處理器可讀媒體，其中該複數個元素係與一第一晶格及一第二晶格之一商相關聯，該第二晶格係以一正整數縮放的該第一晶格之一複本。
6. 如申請專利範圍第1項所述的非暫時性處理器可讀媒體，其中該複數個二進位字串中的各二進位字串係該商ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ之一整數的一二進位擴展，其中ℤ ⁿ係整數之一 n­-維向量， n係一正整數並且 係一正整數。
7. 如申請專利範圍第1項所述的非暫時性處理器可讀媒體，其進一步儲存指令，該等指令在由該處理器執行時使該處理器進行以下中之至少一者：對該複數個實數值點進行上取樣；對該複數個實數值點進行濾波；將該複數個實數值點驅動至載波；或在引發該信號的發射之前經由一數位至類比轉換器發送該複數個實數值點。
8. 一種方法，其包含： 在一處理器處接收一位元串； 經由該處理器基於該位元串而識別複數個二進位字串； 在不使用一矩形成形區的情況下，經由該處理器將該複數個二進位字串中之各二進位字串映射至一基於晶格之信號星座的複數個元素中之一元素； 經由該處理器基於該映射而自該複數個元素識別實數值點；並且 引發具有基於該等實數值點之一調變的一信號之發射。
9. 如申請專利範圍第8項所述的方法，其中將該複數個二進位字串中的各二進位字串映射至該基於晶格之信號星座的該複數個元素中之一元素並非基於晶格編碼。
10. 如申請專利範圍第8項所述的方法，其中將該複數個二進位字串中的各二進位字串映射至該基於晶格之信號星座的該複數個元素中之一元素並非基於冗餘晶格點。
11. 如申請專利範圍第8項所述的方法，其中該等實數值點表示同相/正交(I/Q)點。
12. 如申請專利範圍第8項所述的方法，其中該複數個元素係與一第一晶格及一第二晶格之一商相關聯，該第二晶格係以一正整數縮放的該第一晶格之一複本。
13. 如申請專利範圍第8項所述的方法，其中該等實數值點中的各實數值點係與該基於晶格之信號星座的一沃羅諾伊單元之一基本區內的一點相關聯。
14. 如申請專利範圍第8項所述的方法，其中該等實數值點中的各實數值點係與該基於晶格之信號星座的一沃羅諾伊單元之一經移位基本區內的一點相關聯。
15. 如申請專利範圍第8項所述的方法，其中該複數個二進位字串中的各二進位字串係該商ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ之一整數的一二進位擴展，其中ℤ ⁿ係整數之一 n­-維向量， n係一正整數並且 係一正整數。
16. 如申請專利範圍第8項所述的方法，其進一步包含以下中之至少一者：對該等實數值點進行上取樣；對該等實數值點進行濾波；將該等實數值點驅動至載波；或在引發該信號的發射之前經由一數位至類比轉換器發送該等實數值點。
17. 一種非暫時性處理器可讀媒體，其儲存指令，該等指令在由一處理器執行時使該處理器： 在一處理器處且自一發射器接收對一位元串進行編碼之一信號； 經由該處理器且基於該信號及一最接近向量演算法而識別與該信號相關聯之一 n維晶格的一點； 經由該處理器使該 n維晶格之該點乘以該 n維晶格之一基的一倒數，以識別與該信號相關聯之一 n維矩陣ℤ ⁿ的複數個元素中之一元素；並且 經由該處理器藉由減小信號模數 m之分量來基於該信號而恢復位元，以產生一商ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ之一元素，其中 n係一正整數並且 m係一正整數。
18. 如申請專利範圍第17項所述的非暫時性處理器可讀媒體，其進一步包含指令，該等指令在由該處理器執行時使該處理器在識別與該信號相關聯之一 n維晶格的該點之前執行該信號之同步或均衡中之至少一者。
19. 如申請專利範圍第17項所述的非暫時性處理器可讀媒體，其中該點係一第一點，該等媒體進一步包含指令，該等指令在由該處理器執行時使該處理器： 經由該處理器識別與該商ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ相關聯之一多義性；並且 回應於識別該多義性： 經由該處理器選擇該 n維晶格之一基本區的一組面；並且 經由該處理器且基於該 n維晶格之該基本區的該組面而識別與該信號相關聯之該 n維晶格的一第二點， 恢復該等位元之該等指令包括進一步基於該第二點而恢復該等位元之指令。
20. 如申請專利範圍第17項所述的非暫時性處理器可讀媒體，其中該點係一第一點，該等媒體進一步包含指令，該等指令在由該處理器執行時使該處理器： 經由該處理器識別與該商ℤ ⁿ/ ℤ ⁿ相關聯之一多義性；並且 回應於識別該多義性： 使該 n維晶格之一基本區圍繞該 n維晶格的遠離該 n維晶格之一原點的一第二點居中，以使得該 n維矩陣ℤ ⁿ之該複數個元素不位於該基本區的一表面上。