SU1520545A1

SU1520545A1 - Устройство дл определени закона распределени

Info

Publication number: SU1520545A1
Application number: SU874328289A
Authority: SU
Inventors: Юрий Евгеньевич Алыпов; Сергей Владимирович Фатиков
Original assignee: Уфимский авиационный институт им.Серго Орджоникидзе
Priority date: 1987-11-16
Filing date: 1987-11-16
Publication date: 1989-11-07

Abstract

Изобретение относитс к области статистической обработки случайных величин и может использоватьс дл определени закона распределени случайных величин при малом числе измерений. Целью изобретени вл етс повышение точности определени закона распределени . В устройстве осуществл етс априорна непараметрическа оценка плотности веро тности, уточн юща финальную информационную оценку. Работа устройства включает три этапа. На первом этапе осуществл етс вычисление параметров распределени . При этом решаетс система уравнений с двум неизвестными. На втором этапе по найденным двум параметрам распределени определ етс третий параметр. На третьем этапе по известным параметрам определ етс оценка плотности искомого распределени . Устройство содержит блок 1 вычислени начальных моментов, коммутаторы 2-6, блок 7 пам ти, блок 8 индикации, квадратор 9, вычитатель 10, умножители 11-13, 27, 28, синхронизатор 14, сумматоры 15, 16, блок 17 вычислени экспоненты, элементы ИЛИ 18, 19, блок 20 вычислени натурального логарифма, элемент НЕ 21, регистры 22, 30, блоки 23, 24 определени первого и второго параметров экспоненциального распределени , блок 25 вычислени непараметрической оценки плотности распределени , мультиплексор 26, элемент 29 задержки. 1 ил.

Description

сд го

ел

4 CL

лени . При этом решаетс система уравнений с двум неизвестными. На втором этапе по найденным двум параметрам распределени определ етс третий параметр. На третьем этапе по известным параметрам определ етс оценка, плотности искомого распределени . Устройство содержит блок 1 вычислени начальных моментов, коммутаторы 2-6, блок 7 пам ти, блок 8 индикации , квадратор 9, вычитатель 10,

Изобретение относитс к статистичес КОЙ обработке случайных величин и может использоватьс дл определени закона распределени случайной величи ны при малом числе измерений.

Целью изобретени вл етс повышение точности определени закона распределени .

На фиг. 1 показана блок-схема уст- ройства дл определени закона распределени ; на фиг. 2 - блок-схема блока определени параметров распределени .

Устройство содержит блок 1 вычислени начальных моментов, коммутато-. ры 2-6, блок 7 пам ти, блок 8 индикации , квадратор 9, вычитатель 10, умножители 11-13, синхронизатор-14, сумматоры 15 и 16, блок 17 вычислени экспоненты, элементы ИЛИ 18, 19, блок 20 вычислени натурального логарифма , элемент НЕ 21, регистр 22, блоки 23 и 24 определени первого и второго параметров экспоненциального распределени , блок 25 вычислени непараметрической оценки точности распределени , мультиппексор 26, умножители 27 и 28, элемент 29 задержки и регистр 30.

Первый блок 23 определени пара- метров распределени (фиг. 2) содержит регистры 31-37, элементы ИЛИ. 38-42, сзтмматор 43, вычитатель 44, делитель 45 на два, элемент 46 сравнени , узел 47 вьщелени знака, на- капливающий сумматор 48, элемент НЕ 49, элементы И 50 и 51 и синхронизатор 52.

Блок вычислени непараметрической оценки плотности распределени извес- тен.

В основу работы устройства положено использование нового метода оп .умножители 11-13, 27, 28, синхронизатор 14, сумматоры 15, 16, блок 17 вычислени экспоненты, элементы ИЛИ 18, 19, блок 20 вычислени натурального логарифма, элемент НЕ 21, регистры 22, 30, блоки 23, 24 определени первого и второго параметров экспоненциального распределени , блок 25 вычислени непараметрической оценки плотности распределений, мультиплексор 26, элемент 29 задержки. 2 ил.

ределени закона распределени случайной величины при малом числе наблюдений , базирующегос на идее получени наиболее правдоподобной, наиболее объективной оценки рдспределени при Ф1еющихс априорных данных. Пусть, имеетс набор экспериментальных данных (выборка) объема N. Статистически данные представлены в виде гистограммы с частотами N, NQ, ..., . Пусть гистограмме ставитс в соответствие некоторое распределение Р, , Р, «., Ре отражающее априорные знани (или предположени ) о законе распределени . Оценим веро тност того, что в эксперименте получены именно наблюдаемые реализации случайной величины при условии, что закон распределени есть Р , Р, ..., Р..

Веро тность совместного наступлени г - независимых событий, каждое из которых заключаетс в попадании NP реализаций в i-й столбец, есть

(1)

Р

I И

Веро тность того, что наблюдаемый набор данных получен из генеральной совокупности с законом распределени Р Piz

ПР-Г- .

П N-. (2)

Можно показать, что эта веро тность достигает единицы при полном совпадении теоретических веро тностей Р. и эмпирических веро тностей

NI

PJ - jT . Этот вариант идеальный, недостижимый практически. Необходимо установить другое - при каком распределении выборки эта веро тность

максимальна. Дл этого рассмотрим величину

Q

Inq

N

координаты максимума которой совпадют с координатами максимума веро тности q. После р да преобразований получаем

г

Q -7 Р In

1

IL

Р;

(4)

Величина Q вл етс информационной мерой близости распределений Pj и р. , i 1, г. Доказано, что функци Q имеет нулевой максимум при р PJ , i 1, г, т.е.. когда ап- .риорные : предположени о законе распределени полностью подтверждаютс результатами эк сперимента.

На практике имеет смысл ставить задачу так: найти такое распределение выборки, которое бы максимально приближалось к априорному распределению и не противоречило бы результатам опыта. Такой подход приводит к задаче максимизации функции Q при ограничени х, вытекающих из результатов наблюдений. Эти ограничени должны отражать факт совпадени определенных числовых характеристик искомого закона с их оценками, найденными по выборке.

Поскольку все существенные особенности распределений характеризуютс их моментами, в качестве ограничений

целесообразно выбрать уравнени

- -2 .

. Р -S:, k 1, 2, ..., m, (5)

ЬА

В левой части которых наход тс выражени дл начальных моментов искомого распределени , а в правой - оценк этих моментов, вычисленные по выборке

л л -f

(6)

ЧнЬ

k 1, 2,

m.

а х;

где X; - коо-рдината середины интервала аппроксимации.

Эти уравнени дополн ютс ем нормировки

г

И i

р; 1

Таким образом, решение ищетс в классе распределений, первые момен

10

15

20

25

и g ты которых совпадают со статистически оценками моментов. Совпадение нескол ь- ких первых моментов вл етс практической гарантией того, что распределение- ,оценка аппроксимирует неизвестное реальное распределение. Доказано, что оптимальное число учитываемых -моментов зависит от числа опытных данных и возрастает с его ув еличением. При малых объемах выборки наиболее целесообразно использовать в ограничени х первые два момента. Реша поставленную оптимизацию-за- методом неопределенных множителей Лангража получаем выражение дл искомого распределени

Р Р;ехр{ . ,

i 1, г..(8)

Параметры распределени при этом определ ютс следующей системой уравнений:

V ln CP;exp ;A,S; ; (9)

+ ) О,

(10)

. II(i -).Р;ехр(;,х, ; -..

:k 1, 2.

30 Точность данного метода существенно зависит от точности определени априорной плотности веро тности Pj . В случае, когда отсутствует возможность получить достаточно хорошую

og оценку априорного распределени , целесообразно примен ть двухэтапную процедуру определени закона распределени . На первом этапе реализации выборки из оцениваемой генеральной

40 совокупности обрабатываютс одним из непараметр11ческих методов (в устройстве используетс метод последовательной дихотомии).

g

50

55

На втором этапе полученна оценка плотности веро тности принимаетс в качестве априорной дл описанного метода. При этом из множества допустимых оценок искомого распределени выбираетс наиболее близка к априорной непараметрической оценка. Описанна процедура позвол ет учитывать не только концентрированную информацию о выборке, заключенную в моментах распределени (что характерно дл информационного метода), но и вклад каждой отдельной реализации выборки, что приводит к повышению точности оценивани .

Дл численного решени системы уравнений (10) используетс метод двумерной дихотомии, основанный на известной процедуре уточнени корней уравнени методом делени отрезка пополам. Рассмотрим алгоритм работы метода двумерной дихотомии, предполага , что решаетс система

( fvC/l.a) 0;.

. I fa(/l,, k) О

Координаты U| , V( , , ( характеризует область, в которой заведомо находитс искомое решение, границы области легко найти путем предварительных исследований.

Вначале параметру /l,присваиваетс значение bri V. и уравнени

f,(,, ba) 0; f(b b) О

(12)

решаютс относительно параметра / методом делени отрезка пополам при допустимой погрешности . Резуль- . таты обозначим ;U и м, знак разности м

S sign(|,- jMj)

Определ етс

(13)

значение

Далее параметру Л присваиваетс

--;, и уравнени (12)

вновь решаютс относительно Д(. Результаты обозначим fl / и Tiii, Определ етс знак разности уи / ,-1

S,. sign( .(14)

Если S S, то дл следующей итерации принимают Ь/2 Яе , в противном случае принимают a/i g. Процесс продолжаетс до тех пор, пока не будет выполнено условие

. Ь - а бй,(15)

где - допустима погрешность определени параметра /ig.

Полученные в результате значени /i и Я параметров //2 вл ютс решением системы (11), Подсо авив найденные значени в формулу (9), находим параметр /1о, и искомое распределение (8) полностью определено.

Устройство работает следующим образом .

Предварительно, по первым г-адре- сам блока 7 пам ти занос тс значе- i 1, г, коммутаторы 2-6

а ни X

установлены в первое положение„ В регистре 30 хранитс код ширины интервала аппроксимации Л , На информационные входы регистров 31 и 32 поданы соответственно коды минимального и максимального значений параметра /1(, на соответствующие входы блоков 23 и 24 поданы коды минимального и максимального значений параметра . коды и ,2 допустимых погрешностей определени параметров / и ,j. В регистр 22 занесен нулевой код.

Реализации х;, j 1, N,исследуемой случайно величины поступают на , информационные входы блока 1 вычислени начальных моментов и блока 25, fla выходах блока 25 формируютс зна-;

5

0

5

0

5

0

чени Н

)

г J ординат нормироQ ванной непараметрической оценки плот-, ности распределени , Процесс вычисле- ни моментов , блоком 1 заканчиваетс формированием на его управл ющем выходе импульса. По этому импульсу запускаютс блоки 23 и 24,

Процесс решени уравнений (10) методом делени отрезка пополам методом двумерной дихотомии организуетс в блоках 23 и 24,

По окончании вычислений блока 24 формируетс импульс, переключшощий коммутаторы 4 и 5 во второе положение , В устройстве -при этом осуществл етс вычисление параметра формуле (9). По окончании обработки всех

t

зна:чений х-,; и Pj код IZP; ехр( Д; + .+ 7(у ) с выхода сумматора 1 6 поступает на вход блока 20 вычислени натурального логарифма. Полученный код параметра/Ig через элемент НЕ 21 записываетс в регистр 22. Далее коммутатор 6 переключаетс во второе положение . При этом в устройстве осуществл етс вычисление значений , i 1, г,искомого закона распределени согласно (8), Результирующий код с выхода блока 17 вычислени экспоненты через второй вход коммутатора 4 и второй выход коммутатора 6 поступает на вход блока 8 индикации.

Claims

Формула изобретени

Устройство дл определени закона распределени , содержащее квадратор, п ть коммутаторов, три умножител , блок определени натурального логарифма , элемент НЕ, два сумматора,

блок вычислени экспоненты, блоки пам ти, блок индикации, блок вычислени начальных моментов, вычитатель, два элемента ИЛИ, регистр, синхрони- .затор, блок определени первого параметра экспоненциального распределени , блок определени второго параметра экспоненциального распределени входы задани минимального значени первого параметра распределени , максимального значени первого параметра распределени , допустимой погрешности определени первого параметра распределени блока определени первого параметра экспоненциального распределени и входы задани минимального значени второго параметра распределени , максимального значени . второго параметра распределени , допустимой погрешности второго параметра распределени блока определени второго параметра экспоненциального распределени вл ютс соответствен- Но одноименными входами устройства, информационный вход блока вычислени начальных моментов вл етс информационным входом устройства, выход первого момента блока вычислени начальных моментов соединен с первым информационным входом первого коммутатора выход второго момента блока вычислени начальных моментов соединен с вторым информационным входом первого коммутатора, с выходом окончани вычислений первого параметра блока определени первого параметра экспоненциального распределени , с вторым входом запуска блока определени второго параметра экспоненциального распределени , выход первого коммутатора соединен с входом уменьшаемого вы- читател , вход вычитаемого которого соединен с выходом второго коммутатора , первый информационный вход которого соединен с выходом блока пам ти , с первым информационным входом первого умножител и через квадратор с вторым информационным входом второго коммутатора и с первым информационным входом второго умножител , вход разрешени считывани блока пам ти соединен с первьм выходом синхронизатора , адресный вход блока пам ти соединен с вторым выходом синхронизатора , тактовые входы вычитател и первого и второго умножителей соединены с третьим выходом синхронизатора , выход вычитател соединен с пер , , 152054510

вым информационным входом третьего умножител , второй информацоинный вход первого з множител соединен с выходом первого параметра блока определени первого параметра экспонен0

5

0

0

циального распределени , с входом первого параметра блока определени второго параметра экспоненциального распределени , выход первого умножител соединен с первым информацион- ным входом первого сумматора, второй информационный вход которого соединен с выходом второго умножител , вто5)ой информационный вход которого соединен с выходом второго параметра блока определени второго параметра экспоненциального распределени , третий информационный вход первого сумматора соединен с выходом регистра, а тактовый вход третьего сз мматора соединен с четвертым выходом синхронизатора выход первого сумматора соединен с информационным входом g блока вычислени экспоненты, такто- вый вход которого соединен с п тым выходом синхронизатора, тактовый вход третьего умножител соединен с шестым выходом синхронизатора, выход третьего умножител соединен с первым информационным входом третьего коммутатора, управл ющий вход которого соединен с управл ющим входом четвертого коммутатора, с выходом первого элемента ИЛИ, первый вход ко-, торого соединен с первым входом вто- . рого элемента ИЛИ, с входом установки в О регистра, с седьмым выходом синхронизатора, с входом останова блока определени первого параметра экспоненциального распределени и с входом останова блока определени второго параметра экспоненциального распределени , вход разрешени записи регистра соединен с вторым входом второго элемента ИЛИ и с восьмым выходом синхронизатора, информационный вход регистра через элемент НЕ соединен с выходом блока вычислени натурального логарифма, тактовый вход которого соединен с дев тым выходом синхронизатора, информационный вход блока вычислени натурального логарифма соединен с первым выходом чет- вертого коммутатора, второй выход которого соединен с информационньм входом блока определени первого па- раметра экспоненциального распределени , информационный вход четвертого

5

5

0

11

коммутатора соединен с выходом второго сумматора, тактовый вход которого соединен с дес тым выходом Синхронизатора , вход разрешени считывани второго сумматора соединен с одиннадцатым выходом синхронизатора, с входом тактирован ш выделени знака текущего значени блока определени первого параметра экспоненциального распреде- лени , вход установки в О второго сумматора соединен с выходом окончани вычислени второго приближени блока определени первого параметра экспоненциального распределени , ин- формационный вход второго сумматора .соединен с первым выходом п того коммутатора , управл ющий вход которого соединен с выходом второго элемента ИЛИ, информшдионный вход п того ком- мутатора соединен с выходом третьего коммутатора, а выход соединен с входом блока индикации, двенадцатый выход синхронизатора соединен с тактовым входом блока определени перво- го параметра экспоненциального распределени , вход запуска импульсов синхронизации первой группы синхронизатора соединен с выходом окончани вычислени первого приближени блока определени первого параметра экспоненциального распределени , вход запуска импульсов синхронизации второй группы синхронизатора соединен с входом разрешени вычислени третьего параметра блока определени первого параметра экспоненциального распределени и с вторым входом первого элемента ИЛИ, выходом окончани вычисле

ни второго параметра блока распреде- Q затора, а выход соединен с первым

лени второго параметра экспоненциального распределени , вьгход окончани вычислени второго приближени блока определени первого параметра экспоненциального распределени соединен с входом тактировани , вычислени разности первого и второго приближений блока определени второго параметра экспоненциального распределени выход окончани вычислени первого гфиближени блока определени первого параметра экспоненциального распределени соединен с входом разрешени записи первого приближени первого параметра блока определени второго параметра блока определени второго параметра экспоненциального распределени 5 выход окончани вычислени текущего приближени блока определе 4512

ни параметра экспоненциального рас 5

пределени соединен с входом,начала вычислени первого приближени ,с входом п того элемента И второго блока определени первого параметра экспоненциального распределени , отличающеес тем, что, с целью повышени точности определени закона распределени , в него введены блок вычислени непараметрической оценки плотности распределени , мультиплексор , .четвертый и п тый умножители, элемент задержки и второй регистр, причем информационный вход блока вычислени непараметрической оценки плотности распределени подключен к информационному входу устройства, входы задани числа реализаций, числа инт.ервалов разбиений и ширины интервала анализа блока вычислени непараметрической оценки плотности распределени вл ютс одноименными входами устройства, каждый выход блока определени непараметрической оценки плотности распределени соединен с соответствующим информационным входом мультиплексора, тактовый вход которого соединен с входом разрешени считывани второго регистра и первым выходом синхронизатора, адресный вхой мультиплексора соединен с вторым выходом синхронизатора, выход мультиплексора соединен с первым информа- ционным входом четвертого умножител , второй информационный вход которого соединен с выходом второго регистра, тактовый вход четвертого умкожител соединен с третьим выходом синхрони0

5

0

5

информационным входом п того умножи- .тел , второй информационный вход которого соединен с выходом блока вычислени экспоненты, тактовый вход п того з множител соединен с тринадцатым выходом синхронизатора, а выход соединен с вторым информационным входом третьего коммутатора и третьего умножител , выход окончани вычислений блока вычислени начальных моментов : через элемент задержки соединен с входами запуска блоков определени первого и второго параметров экспоненциального распределени ,с вторым входом шестого элемента ИЛИ первого блока определени параметров распределени , с вторым входом первого и второго элементов И второго блока определени параметров распределени , с вторыми входами четвертого и п того элементов ИЛИ второго блока определени .параметров распределени , с первым входом шестого элемента ИЛИ второго блока определени параметров распределени , с входом разрешени записи четвертого регистра второго блока определени параметров распределени .