RU2491569C2 - Способ пеленгования с повышенной разрешающей способностью - Google Patents

Abstract

Изобретение относится к измерительной технике и может быть использовано в акустике и радиотехнике для восстановления изображений и определения с повышенной разрешающей способностью азимутального и угломестного направлений на источники волн различной природы: упругих волн в различных средах, в частности звуковых, волн на поверхности жидкости и электромагнитных волн. Достигаемым техническим результатом изобретения является повышение эффективности пеленгования близко расположенных источников излучения сигналов волн различной природы. Повышение вычислительной эффективности пеленгования близко расположенных источников излучения сигналов обеспечивается за счет формирования сигналов N-направленной комплексной фазирующей функции и вычисления циклической свертки на основе алгоритма быстрого преобразования Фурье. 2 з.п. ф-лы, 1 ил., 1 табл.

Description

Изобретение относится к измерительной технике и может быть использовано в акустике и радиотехнике для восстановления изображений и определения с повышенной разрешающей способностью азимутального и угломестного направлений на источники волн различной природы: упругих волн в различных средах, в частности звуковых, волн на поверхности жидкости и электромагнитных волн.

Достижение теоретически предельной точности восстановления изображений и определения пространственных координат в условиях многолучевого распространения волн ограничивается существенной априорной неопределенностью относительно параметров среды распространения и несовершенством известных способов обработки сигналов, в настоящее время не решающих эффективно проблему пространственного разделения близко расположенных источников сигналов.

Известен способ пеленгования с повышенной разрешающей способностью [1], включающий

преобразование входных сигналов, принятых отдельными элементами антенной решетки, в цифровые данные,

формирование из цифровых данных сигнала комплексной пространственной корреляционной матрицы $$\dot{R}$$

,

формирование сигнала углового спектра по формуле

$$P({\alpha }_m,{\beta }_m)={({\dot{A}}_m{}^{+}{\dot{R}}^{-1}{\dot{A}}_m)}^{-1}$$

, где

- сигналы столбцов матрицы фазирующей функции

,

определение азимута α₀ и угла места β₀ каждого луча принятого многолучевого сигнала по максимумам сигнала углового спектра P(α_m,β_m).

Данный способ обеспечивает ограниченное повышение разрешающей способности пеленгования по сравнению с классическим способом формирования луча.

Известен способ пеленгования с повышенной разрешающей способностью [2], свободный от этого недостатка и принятый за прототип. Согласно этому способу:

1. Принимают многолучевой сигнал источника акустического или электромагнитного излучения антенной решеткой из N элементов, расположенных равномерно по окружности, и формируют ансамбль сигналов x_n(t), зависящих от времени t и номера антенного элемента n=0,…,N-1.

2. Синхронно преобразуют ансамбль принятых сигналов x_n(t) в цифровые сигналы x_n(z), где z - номер временного отсчета сигнала.

3. Преобразуют цифровые сигналы x_n(z) в сигнал комплексной пространственной корреляционной матрицы

, описывающий амплитуды и фазы взаимных сигналов, принятых элементами решетки.

4. Преобразуют сигнал пространственной корреляционной матрицы

в сигналы собственных значений λ_k и собственных векторов

, где $$k=\overline{\mathrm{0,}N-1}$$

- текущий номер;

5. Сравнивают сигналы собственных значений λ_k с порогом и при непревышении порога сигнал соответствующего собственного вектора

идентифицируют как сигнал собственного вектора, принадлежащий шумовому подпространству

где

- элементы вектора $${\dot{\upsilon }}_j,j=\overline{\mathrm{0,}J-1}$$

- текущий номер сигналов собственных векторов, принадлежащих шумовому подпространству, a J - их число, J<N. Порог выбирают исходя из ожидаемого уровня мощности шумов.

6. Формируют и запоминают N×N матрицу сигналов собственных векторов шумового подпространства

;

7. Формируют и запоминают двумерный сигнал

комплексной фазирующей функции размером N×M, зависящий от заданной частоты приема и описывающий возможные направления прихода сигнала от каждого потенциального источника, где М - число угловых положений, соответствующих заданным потенциально возможным направлениям прихода сигналов по азимуту α_m и углу места β_m, $$\text{m}=\overline{\mathrm{0,}M-1}$$

- номер направления. Отдельный элемент двумерного сигнала

описывается соотношением

где d_n(α_m,β_m) - комплексная диаграмма направленности n-го элемента; r, α_n - цилиндрические координаты антенных элементов кольцевой решетки; f - заданная частота приема; с - скорость распространения волны.

8. Используя сформированную матрицу собственных векторов шумового подпространства

и сигнал фазирующей функции

, формируют сигнал углового спектра по формуле

, где

- сигналы столбцов матрицы фазирующей функции

.

9. По максимумам сигнала углового спектра D(α_m,β_m) определяют азимут α₀ и угол места β₀ каждого луча принятого многолучевого сигнала.

10. Полученные двумерные пеленги (α₀,β₀) выделенных лучей отображаются на картографическом фоне.

Способ-прототип обеспечивает повышенную разрешающую способность оценки угловых координат. Однако данному способу свойственен следующий основной недостаток - высокая вычислительная сложность операций синтеза сигнала углового спектра

что существенно ограничивает его применение на практике.

Техническим результатом изобретения является повышение вычислительной эффективности пеленгования близко расположенных источников излучения сигналов различной волновой природы.

Повышение вычислительной эффективности пеленгования близко расположенных источников излучения сигналов достигается за счет формирования сигналов N-направленной комплексной фазирующей функции вместо сигналов однонаправленной комплексной фазирующей функции и вычисления циклической свертки на основе алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Технический результат достигается тем, что в способе пеленгования с повышенной разрешающей способностью, заключающемся в том, что принимают многолучевой сигнал источника акустического или электромагнитного излучения антенной решеткой из N элементов, расположенных равномерно по окружности, формируют ансамбль сигналов, зависящих от времени и номера антенного элемента, синхронно преобразуют ансамбль принятых сигналов в цифровые сигналы, преобразуют цифровые сигналы в сигнал комплексной пространственной корреляционной матрицы, описывающий амплитуды и фазы взаимных сигналов, принятых элементами решетки, преобразуют сигнал пространственной корреляционной матрицы в сигналы собственных значений и собственных векторов, сравнивают сигналы собственных значений с порогом и при непревышении порога сигнал соответствующего собственного вектора идентифицируют как сигнал собственного вектора, принадлежащий шумовому подпространству, согласно изобретению преобразуют сигналы собственных векторов шумового подпространства в сигналы дискретных спектров собственных векторов, которые запоминают, формируют сигналы N-направленной комплексной фазирующей функции, зависящие от заданной частоты приема и описывающие возможные направления прихода сигнала от каждого потенциального источника, преобразуют сигналы N-направленной фазирующей функции в сигналы дискретных спектров фазирующей функции, которые запоминают, используя сигналы дискретных спектров собственных векторов и сигналы дискретных спектров фазирующей функции, формируют сигнал углового спектра, по максимумам сигнала углового спектра определяют азимут α₀ и угол места β₀ каждого луча принятого многолучевого сигнала, полученные двумерные пеленги (α_0,β₀) выделенных лучей отображают на картографическом фоне.

Возможны частные случаи осуществления способа:

1. Формирование сигналов N-направленной комплексной фазирующей функции осуществляют по формуле $${\dot{a}}_l(q,n)=d(q\delta +n\Delta \text{},\text{}{\beta }_l)\exp \text{}(2\pi i(\text{}rf/c)\cos ({\beta }_l)\cos (q\delta +n\Delta \text{})),$$

где $$q=\overline{\mathrm{0,}Q-1}$$

- номер сдвига фазирующей функции по азимуту α; Q=M/N; М - число узлов сетки по азимуту α; δ=Δ/Q - шаг по азимуту α; Δ=2π/N; β_l - заданные узлы сетки по углу места β; $$l=\overline{\text{1}\text{,L}}$$

- номер узла по углу β; L - число узлов; d(qδ+nΔ,β_l) - комплексная диаграмма направленности n-го элемента; r - радиус антенной решетки; f - заданная частота приема.

Это обеспечивает возможность одновременного вычисления сигнала углового спектра для N угловых направлений.

2. Формирование сигнала углового спектра осуществляют по формуле $$D({\alpha }_m,{\beta }_l)={\left({\displaystyle \sum _{j=0}^{J-1}{\left|F^{-1}\left\{{\tilde{\dot{\upsilon }}}_m{\tilde{\dot{a}}}_l(q,n\right\}\right|}^2}\right)}^{-1},$$

где F^-1{…} - оператор обратного ДПФ, α_m=mδ, $$\text{m}=\overline{\text{0}\text{,M}-\text{1}}$$

- номер узла сетки по азимуту α, m=q+nQ, n=0…,N-1, $$j=\overline{\mathrm{0,}J-1}$$

- текущий номер сигналов собственных векторов, J - число сигналов собственных векторов, $${\tilde{\dot{\upsilon }}}_{jn}$$

- сигналы дискретных спектров собственных векторов, $${\tilde{\dot{a}}}_l(q,n)$$

- сигналы дискретных спектров фазирующей функции.

Это обеспечивает повышение вычислительной эффективности пеленгования.

В предложенном способе операции формирования сигнала углового спектра могут выполняться как последовательно, так и параллельно во времени. При последовательной схеме для каждого угла места перемножают сигналы $${\tilde{\dot{\upsilon }}}_{jn}$$

и $${\tilde{\dot{a}}}_l(q,n)$$

, выполняют Q×J операций ДПФ с использованием алгоритма БПФ, в результате получают M×J комплексных отсчетов, квадраты модулей которых суммируют по j и получают М отсчетов сигнала углового спектра. Существенное повышение вычислительной эффективности обеспечивает распараллеливание вычислений, при котором Q×J операций БПФ выполняют одновременно.

Физический смысл предлагаемого способа заключается в следующем. Производится Q-кратное повторение операций обратного ДПФ, длина которого равна числу антенн N, находятся произведения сигналов дискретных спектров собственных векторов шумового подпространства на сигналы дискретных спектров N-направленной фазирующей функции, зависящие от циклического сдвига qδ. Это эквивалентно дискретному вращению N-направленной фазирующей функции на угол qδ, при котором каждый раз находится N значений углового спектра. Этим достигается повышение вычислительной эффективности пеленгования близко расположенных источников излучения сигналов различной волновой природы по сравнению с прототипом, в котором каждый раз находится одно значение углового спектра.

Операции способа поясняются структурной схемой устройства пеленгования с повышенной разрешающей способностью.

Предложенный способ может быть осуществлен как последовательными, так и более эффективными с вычислительной точки зрения параллельными устройствами обработки сигналов.

Рассмотрим работу устройства параллельной обработки, реализующего способ пеленгования с повышенной разрешающей способностью.

Устройство, в котором реализуется предложенный способ, содержит последовательно соединенные антенную решетку 1, многоканальный преобразователь частоты 2, многоканальный аналого-цифровой преобразователь (АЦП) 3, формирователь корреляционной матрицы, векторов шумового подпространства и их спектров 4, вычислитель углового спектра 5, устройство управления и отображения 6, формирователь спектров N-направленной комплексной фазирующей функции 7.

В свою очередь, вычислитель 5 содержит матрицу устройств 8 (j,l), элементы которых зависят от индексов $$\text{j}=\overline{\text{0}\text{,J}-\text{1}}$$

и $$l=\overline{\text{1}\text{,L}}$$

, где J - число сигналов собственных векторов, L - число узлов сетки по углу места β, матрицу сумматоров 9 (q,l), элементы которых зависят от индексов $$q=\overline{\mathrm{0,}Q-1}$$

и $$l=\overline{\text{1}\text{,L}}$$

, где Q - число сдвигов фазирующей функции по азимуту α, а также устройство оценки угловых координат 10. Каждое устройство 8 (j,l) включает параллельно подсоединенные к выходу формирователя 4 Q блоков обратного БПФ 11, вторые входы которых соединены с выходом формирователя 7, а выходы подключены ко входам соответствующих сумматоров 9. Выходы сумматоров 9 соединены со входом устройства 10. Управляющий выход устройства 6 подключен ко входам преобразователя частоты 2 и формирователя 7. Второй информационный выход устройства 6 используется для соединения с внешними системами.

Антенная решетка 1 содержит N антенн, расположенных равномерно по окружности, с номерами n=0,…,N-1.

Преобразователь частоты 2 выполнен с общим гетеродином и с полосой пропускания каждого канала, соответствующей ширине спектра радиосигнала. Общий гетеродин обеспечивает многоканальный когерентный прием сигналов. Если разрядность и быстродействие АЦП 3 достаточны для непосредственного аналого-цифрового преобразования входных сигналов, как, например, в акустике или в KB-диапазоне радиоволн, то вместо преобразователя 2 могут использоваться частотно избирательный полосовой фильтр и усилитель. Кроме этого, преобразователь 2 обеспечивает подключение одной из антенн вместо всех антенн решетки для периодической калибровки каналов по внешнему источнику сигнала с целью устранения их амплитудно-фазовой неидентичности. Возможна калибровка по внутреннему источнику сигнала. При этом может быть использован генератор шума, выход которого также может подключаться вместо всех антенн для периодической калибровки каналов.

Формирователь 4 реализован по многопроцессорной схеме, что обеспечивает максимальное быстродействие формирования

пространственной корреляционной матрицы, преобразования ее в сигналы собственных значений и собственных векторов, идентификации сигналов собственных векторов, принадлежащих шумовому подпространству, и преобразования их в сигналы дискретных спектров.

Формирователь 7 также реализован по многопроцессорной схеме, что обеспечивает максимальное быстродействие формирования сигналов N-направленной комплексной фазирующей функции и их преобразование в сигналы дискретных спектров.

Устройство работает следующим образом.

По сигналу устройства 6 значение заданной частоты приема поступает в преобразователь 2 и формирователь 7. Преобразователь 2 перестраивается на заданную частоту приема. При этом принятый каждой антенной с номером n решетки 1 зависящий от времени t многолучевой сигнал x_n(t) в преобразователе 2 переносится на более низкую частоту.

Сформированный в преобразователе 2 ансамбль сигналов x_n(t) синхронно преобразуется с помощью АЦП 3 в ансамбль цифровых сигналов x_n(z), где z - номер временного отсчета сигнала, который поступает в формирователь 4.

В формирователе 4 из цифровых сигналов x_n(z) формируется сигнал комплексной пространственной корреляционной матрицы

, описывающий амплитуды и фазы взаимных сигналов, принятых элементами решетки.

Формирование сигнала корреляционной матрицы

возможно применением ряда известных алгоритмов цифровой обработки сигналов во временной и частотной областях [3].

При формировании сигнала матрицы

в частотной области выполняют следующие действия:

- формируют сигналы комплексных спектральных плотностей

цифровых сигналов x_n(z), где F_t{…} - оператор дискретного Фурье-преобразования по времени, s - номер частотной дискреты, 1≤s≤S;

- перемножением и усреднением сформированных спектральных плотностей $${\dot{y}}_n(s)$$

и комплексно сопряженной спектральной плотности

сигнала, измеренного на антенне решетки с номером n', восстанавливают N×N пространственную корреляционную матрицу принятого сигнала в виде $$\dot{R}={\left[{\dot{r}}_{nn\text{'}}={\displaystyle \sum _{s=1}^S{\dot{y}}_n(s){\dot{y}}_{n^{\prime }}^{*}(s),n=\overline{\mathrm{0,}N,}{n}^{\prime }=\overline{\mathrm{0,}N-\mathrm{1,}}}\right]}^T,$$

где ()* - означает комплексное сопряжение.

Кроме того, в формирователе 4 выполняются следующие действия:

- сформированный сигнал пространственной корреляционной матрицы

преобразуется в сигналы собственных значений λ_k и собственных векторов

, где $$k=\overline{\mathrm{0,}N-1}$$

- текущий номер.

Преобразование выполняется известными способами [4, стр.170];

- сравниваются сигналы собственных значений λ_k с порогом и при непревышении порога сигнал соответствующего собственного вектора

идентифицируется как сигнал собственного вектора, принадлежащий шумовому подпространству

, где $${\dot{\upsilon }}_{jn}$$

и - элементы вектора $${\dot{\upsilon }}_j$$

, $$\text{j}=\overline{\text{0}\text{,J}-\text{1}}$$

- текущий номер сигналов собственных векторов, принадлежащих шумовому подпространству, a J - их число, J<N. Порог выбирают исходя из ожидаемого уровня мощности шумов;

- сигналы собственных векторов шумового подпространства $${\dot{\upsilon }}_j$$

преобразуются в сигналы дискретных спектров собственных векторов шумового подпространства

, где $${\tilde{\dot{\upsilon }}}_{jn}$$

- элементы вектора $${\tilde{\dot{\upsilon }}}_j$$

. Сигналы дискретных спектров собственных векторов шумового подпространства $${\tilde{\dot{\upsilon }}}_j$$

получаются путем ДПФ последовательности $${\dot{\upsilon }}_{jn}$$

по индексу n.

Полученные сигналы дискретных спектров собственных векторов шумового подпространства

поступают на первые входы блоков 11, соответствующих номеру j устройств 8 вычислителя 5, где запоминаются.

Одновременно с перестройкой преобразователя 2 на заданную частоту, приемом и преобразованием сигналов в АЦП 3 и в формирователе 4 в формирователе 7 выполняются следующие действия:

- формируются сигналы N-направленной комплексной фазирующей функции, зависящие от заданной частоты приема и описывающие возможные направления прихода сигнала от каждого потенциального источника

, где $$q=\overline{\mathrm{0,}Q-1}$$

- номер сдвига фазирующей функции по азимуту α; Q=М/N; М - число узлов сетки по азимуту α; δ=Δ/Q - шаг по азимуту α; Δ=2π/N; β_l - заданные узлы сетки по углу места β; $$l=\overline{\mathrm{1,}L}$$

- номер узла по углу β; L - число узлов; d(qδ+nΔ,β_l) - комплексная диаграмма направленности n-го элемента; r - радиус антенной решетки; f - заданная частота приема;

- сигналы N-направленной фазирующей функции

преобразуются в сигналы дискретных спектров N-направленной фазирующей функции

.

Формирование сигналов дискретных спектров

осуществляется путем дискретного преобразования Фурье (ДПФ) q-й последовательности сигнала

по индексу n. Для повышения вычислительной эффективности формирования сигналов дискретных спектров

используется алгоритм БПФ.

Сформированные сигналы дискретных спектров N-направленной фазирующей функции

поступают на вторые входы блоков 11, соответствующих номерам j,l устройств 8 вычислителя 5, где запоминаются.

В вычислителе 5 по сигналам $${\tilde{\dot{\upsilon }}}_{jn}$$

дискретных спектров собственных векторов шумового подпространства и сигналам дискретных спектров N-направленной фазирующей функции

формируется сигнал углового спектра по формуле

, где F^-1{…} - оператор обратного ДПФ, $$\text{m}=\overline{\text{0}\text{,M}-\text{1}}$$

- текущий номер узла сетки по азимуту α, m=q+nQ.

При этом для повышения вычислительной эффективности сигнал углового спектра формируется в соответствии с развернутым видом этой формулы

, которая эффективно реализуется на основе алгоритма БПФ. Для этого в устройствах 8 вычислителя 5 выполняются следующие действия:

- в блоках 11 для каждого сочетания индексов j, q, l с использованием алгоритма БПФ одновременно формируются сигналы квадратов модулей циклических сверток длины N сигналов $${\dot{\upsilon }}_{jn}$$

собственных векторов и сигналов N-направленной фазирующей функции

по формуле

, которые поступают на вход соответствующего сумматора 9;

- в каждом сумматоре 9 для одного сочетания индексов l, q находится сигнал суммы квадратов модулей

, который поступает на вход устройства 10.

В устройстве 10 выполняются следующие операции:

- находится обратная величина сигнала суммы квадратов модулей

, то есть формируется сигнал углового спектра

- по максимумам сигнала углового спектра D(α_m,β₁) определяют азимут α₀ и угол места β₀ каждого луча принятого многолучевого сигнала.

Полученные двумерные пеленги (α₀, β₀) выделенных лучей поступают в устройство 6, где отображаются на картографическом фоне, а также поступают на внешние системы, чем обеспечивается повышение информативности пеленгования.

Описанное устройство, реализующее предложенный способ, по сравнению с прототипом обеспечивает существенное повышение вычислительной эффективности η(N). Величина η(N) характеризует уменьшение числа вычислительных операций при использовании предложенного способа по сравнению с прототипом. В таблице приведены значения вычислительной эффективности η(N) в зависимости от числа антенн N в решетке и числа М узлов сетки формирования углового спектра по азимуту.

N	9	12	16	24
м	1044	1044	1040	1056
η(N)	142.0	162.0	135.0	135.0

Из таблицы следует, что описанное устройство параллельной обработки, реализующее предложенный способ, по сравнению с прототипом обеспечивает более чем 100-кратное повышение вычислительной эффективности пеленгования при использовании широкого класса антенных решеток.

Отметим, что по мере повышения требований к пространственному разрешению число М узлов сетки формирования углового спектра должно увеличиваться и, как следствие, относительная вычислительная эффективность описанного устройства, реализующего предложенный способ, также будет возрастать.

Таким образом, за счет применения в предложенном способе пеленгования с повышенной разрешающей способностью N-направленной фазирующей функции, обеспечивающей одновременное формирование N значений углового спектра, в отличие от прототипа, в котором каждый раз находится одно значение углового спектра, и вычисления циклической свертки на основе алгоритма быстрого преобразования Фурье удается решить поставленную задачу с достижением указанного технического результата.

Источники информации

1. Ратынский М.В. Адаптация и сверхразрешение в антенных решетках. - М.: Радио и связь, 2004.

2. US, патент, 6567034 В1, кл. G01S 7/36; G01S 13/00; G01S 5/02, 2003 г.

3. Шевченко В.Н. Оценивание углового положения источников когерентных сигналов на основе методов регуляризации // Радиотехника. - 2003. - №9. - С.3-10.

4. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.

Claims (3)

1. Способ пеленгования с повышенной разрешающей способностью, заключающийся в том, что принимают многолучевой сигнал источника либо акустического, либо электромагнитного излучения антенной решеткой из N элементов, расположенных равномерно по окружности, формируют ансамбль сигналов, зависящих от времени и номера антенного элемента, синхронно преобразуют ансамбль принятых сигналов в цифровые сигналы, преобразуют цифровые сигналы в сигнал комплексной пространственной корреляционной матрицы, описывающий амплитуды и фазы взаимных сигналов, принятых элементами решетки, преобразуют сигнал пространственной корреляционной матрицы в сигналы собственных значений и собственных векторов, сравнивают сигналы собственных значений с порогом и при не превышении порога сигнал соответствующего собственного вектора идентифицируют как сигнал собственного вектора, принадлежащий шумовому подпространству, отличающийся тем, что преобразуют сигналы собственных векторов шумового подпространства в сигналы дискретных спектров собственных векторов, которые запоминают, формируют сигналы N-направленной комплексной фазирующей функции, зависящие от заданной частоты приема и описывающие возможные направления прихода сигнала от каждого потенциального источника, преобразуют сигналы N-направленной фазирующей функции в сигналы дискретных спектров фазирующей функции, которые запоминают, используя сигналы дискретных спектров собственных векторов и сигналы дискретных спектров фазирующей функции, формируют сигнал углового спектра, по максимумам сигнала углового спектра определяют азимут α₀ и угол места β₀ каждого луча принятого многолучевого сигнала, полученные двумерные пеленги (α₀, β₀) выделенных лучей отображают на картографическом фоне.

2. Способ по п.1, отличающийся тем, что формирование сигналов N-направленной комплексной фазирующей функции осуществляют по $${\dot{a}}_{\ell }(q,n)=d(q\delta +n\Delta \text{},\text{}{\beta }_{\ell })\exp \text{}(2\pi i(\text{}rf/c)\cos ({\beta }_{\ell })\cos (q\delta +n\Delta \text{})),$$

где $$q=\overline{\mathrm{0,}Q-1}$$

- номер сдвига фазирующей функции по азимуту α, n=0,1N-1 - номер антенного элемента, Q=M/N, М - число узлов сетки по азимуту α, δ=A/Q - шаг по азимуту α, Δ=2π/N, β_l - заданные узлы сетки по углу места β, $$\ell =\overline{\text{1}\text{,L}}$$

- номер узла по углу β, L - число узлов, d(qδ+nΔ,β_l) - комплексная диаграмма направленности n-го элемента, r - радиус антенной решетки, f - заданная частота приема, с - скорость распространения сигнала.

3. Способ по п.1, отличающийся тем, что формирование сигнала углового спектра осуществляют по формуле $$D({\alpha }_m,{\beta }_{\ell })={\left({\displaystyle \sum _{j=0}^{J-1}{\left|F^{-1}\left\{{\tilde{\dot{\upsilon }}}_{jn}{\tilde{\dot{\alpha }}}_{\ell }(q,n\right\}\right|}^2}\right)}^{-1},$$

где F^-1{…} - оператор обратного дискретного преобразования Фурье, α_m=mδ, $$\text{m}=\overline{\text{0}\text{,M}-\text{1}}$$

- номер узла сетки по азимуту α, М - число узлов сетки по азимуту α, $$q=\overline{\mathrm{0,}Q-1}$$

- номер сдвига фазирующей функции по азимуту α, Q=M/N, m=q+nQ, β_l - заданные узлы сетки по углу места β, $$\ell =\overline{\text{1}\text{,L}}$$

- номер узла по углу β, L - число узлов, n=0,…,N-1 - номер антенного элемента, $$j=\overline{\mathrm{0,}J-1}$$

- текущий номер сигналов собственных векторов, J - число сигналов собственных векторов, $${\tilde{\dot{\upsilon }}}_{jn}$$

- сигналы дискретных спектров собственных векторов, $${\tilde{\dot{a}}}_{\ell }(q,n)$$

- сигналы дискретных спектров фазирующей функции.

Images