PL226563B1

PL226563B1 - Sposób pomiaru jednorodności materiału przewodzącego prąd elektryczny

Info

Publication number: PL226563B1
Application number: PL405007A
Authority: PL
Inventors: Krzysztof Szymański
Original assignee: Univ W Białymstoku
Priority date: 2013-08-06
Filing date: 2013-08-06
Publication date: 2017-08-31
Also published as: PL405007A1; EP2835633A1; EP2835633B1

Description

Przedmiotem wynalazku jest sposób pomiaru jednorodności materiału przewodzącego prąd elektryczny.

Znany jest sposób wyznaczania rezystancji właściwej określającej przewodnictwo elektryczne materiałów przy użyciu metody czteropunktowej opisany w artykule „Monitoring material property transformations with electric al resistivity”, Materials Evaluation, 47, 1989, pp. 619-630, którego autorem jest W. Hain oraz w artykule „Characterization of metals and alloys by electrical resistivity measurements”, Materials Evaluation, 41, 1983, pp.1074-1077, którego autorami są R. L. Cohen i K. W. West. Sposób polega na przyłożeniu czterech kontaktów oznaczanych jako a, b, c, d do powierzchni próbki, przepuszczeniu prądu lab pomiędzy dwoma kontaktami a, b i pomiaru napięcia U_cd pomiędzy kontaktami c, d. Na podstawie stosunku dwóch wielkości elektrycznych wyrażającego rezystancję czteropunktową R = U_cd/I_ab, położeń kontaktów oraz rozmiarów geometrycznych próbki można wyznaczyć rezystancję właściwą materiału. Metody tego typu wymagają znajomości położeń kontaktów oraz znajomości rozwiązań równań rozpływu prądów dla danych położeń kontaktów.

Znany jest sposób pomiaru stosunku rezystancji właściwej do grubości (lub rezystancji na jednostkę powierzchni) dla jednorodnych, płaskich próbek o dowolnym kształcie (L. J. van der Pauw: „Philips Research Reports 13”, 1, 1958 oraz. L. J. van der Pauw: „Philips Technical Review 20”, 220,1958). W sposobie tym cztery punktowe kontakty przykłada się do brzegu próbki w dowolnych miejscach. Jest to ogromna zaleta metody, ponieważ nie jest wymagany pomiar położenia kontaktów i metoda nie jest obarczona błędem eksperymentalnym związanym z koniecznością wyznaczania położeń kontaktów. Charakterystycznym wymogiem metody jest to, że płaska próbka może mieć dowolny kształt, ale nie może zawierać niejednorodności w postaci np. dziur.

Wykorzystując rozwiązania rozpływu prądów w jednorodnej, cienkiej próbce o dużych rozmiarach w stosunku do rozstawienia kontaktów, w patencie nr US 6 943 571 B2 podano sposób wyznaczania rezystancji na jednostkę powierzchni przez zastosowanie układu wielu kontaktów rozłożonych równomiernie wzdłuż linii prostej na powierzchni płaskiej próbki z daleka od brzegu.

W metodzie wykorzystuje się wielokrotne pomiary metodą czteropunktową, co pozwala wyeliminować położenia kontaktów. Dotychczasowe sposoby pomiaru parametrów próbek materiałów przewodzących prąd elektryczny, w szczególności parametrów elektrycznych, takich jak rezystancja właściwa nie umożliwiają określenia jednorodności badanej próbki.

W publikacji K. Szymański i inni, Van der Pauw method ona sample with an insolated hole, Physics Letters A, vol. 377, no. 8, 01 03 2013, s. 651-654, ISNN: 0375-96091 zostały zaprezentowane analityczne rozwiązania dla potencjałów i prądów w jednorodnej próbce z jedną izolowaną dziurą. Rozwiązania te stanowią uogólnienie oraz rozszerzenie metody van der Pauwa odkrytej dla jednorodnych próbek bez dziury. Rozwiązania teoretyczne zostały poparte wynikami eksperymentalnymi, które otrzymano tak jak w technice van der Pauwa, czyli przy wykorzystaniu czterech kontaktów. W pracy tej zawarto hipotezę, że zaprezentowana tam nierówność matematyczna będzie mogła być użyta do wyznaczania jakości materiałów.

W pracy nie zostało jednak podane w jaki sposób można by tę jakość materiałów wyznaczać. Co więcej, w pracy tej zostało pokazane, że jeśli na próbkach z dziurą przeprowadzi się pomiary typu van der Pauwa, otrzymuje się rozrzut wyników eksperymentalnych opisywany nierównością matematyczną która wtedy nie została udowodniona i której do dnia dzisiejszego nikomu nie udało się matematycznie udowodnić.

Ustawienie czterech kontaktów na brzegu próbki w dowolnych miejscach w próbce z dziurą prowadzi w oczywisty sposób do otrzymania oporności czteropunktowych o różnych wartościach. Są to tzw. oporności na kwadrat, czyli wielkości, których jednostką jest om. Z pracy nie wynika w jaki sposób można by wykryć istnienie dziury w próbce.

Celem wynalazku jest wskazanie takiego sposobu pomiaru jednorodności materiału przewodzącego prąd elektryczny, który polega na pomiarze rezystancji czteropunktowych, gdzie co najmniej sześć kontaktów umieszcza się w dowolny sposób w sześciu różnych punktach na brzegu próbki badanego materiału o dowolnym kształcie i mierzy się co najmniej sześć rezystancji czteropunktowych, a stopień jednorodności próbki wyznacza się poprzez zastosowanie teorii rozpływu prądu w dwuwymiarowej jednorodnej próbce z izolowaną dziurą.

PL 226 563 B1

Otrzymywane w ten sposób wyniki wskazują precyzyjnie, że w jednorodnym materiale istnieje dziura odpowiadająca określonej wartości tzw. modułu Riemanna, który jest niezmiennikiem w przekształceniach konforemnych.

Otrzymany wynik jest bezwymiarowy, w odróżnieniu od wyników otrzymywanych standardową metodą van der Pauwa, których jednostką jest om.

W sposobie według wynalazku korzystne jest takie rozłożenie kontaktów, aby sześć rezystancji czteropunktowych miało tę samą wartość, co pozwala na zwiększenie precyzji wyznaczenia parametru jednorodności.

Korzystne jest, gdy wykorzystuje się znaną wartość rezystancji na jednostkę powierzchni w celu zwiększenia precyzji wyznaczenia parametru jednorodności.

Korzystne jest, gdy wykorzystuje się znaną wartość rezystancji na jednostkę powierzchni próbki oraz znane położenia kontaktów w celu zwiększenia precyzji wyznaczenia parametru jednorodności.

Sposób pomiaru jednorodności próbek materiału polega na wyznaczeniu bezwymiarowego parametru jednorodności próbki h poprzez pomiar rezystancji czteropunktowych w układzie sześciu kontaktów rozmieszczonych w dowolny sposób na brzegu próbki materiału. Parametr jednorodności h wyznacza się poprzez wykorzystanie zjawiska fizycznego jakim jest rozpływ prądów w dwuwymiarowym układzie, który stanowi jednorodna próbka o dowolnym kształcie z izolowaną dziurą.

Teoria zjawiska rozpływu prądów w dwuwymiarowym układzie, którym jest jednorodna próbka o dowolnym kształcie z izolowaną dziurą przewiduje, że prądy i napięcia w dowolnych punktach próbki są niezmiennicze względem przekształceń konforemnych. Oznacza to, że napięcie zmierzone dla określonego kształtu będą takie same jak dla innego kształtu otrzymanego poprzez odwzorowania konforemne. Istota wynalazku polega na tym, że w odpowiednich napięciach zmierzonych na brzegu próbki, zawarta jest informacja o izolowanej dziurze.

Teoria zjawiska przewiduje dalej, że sposób uzyskania takiej informacji nie zależy od kształtu próbki. Zatem sposób uzyskania informacji o wielkości dziury będzie taki sam dla próbki o kształcie pierścienia jak i próbki o kształcie dowolnym.

W tabeli 1 przedstawione zostały połączenia dla dziewięciu rezystancji czteropunktowych r1, r2, r3, r4, r5, r6, r7, r8, r9 otrzymanych z sześciu kontaktów rozłożonych na brzegu w sześciu różnych punktach oznaczonych kolejno jako a, b, c, d, e, f.

T a b e l a 1

Oznaczenie rezystancji	Kontakty prądowe	Kontakty napięciowe
r1	ab	ef
r₂	bc	fa
r3	cd	ab
R	de	bc
r5	ef	cd
r6	fa	de
r7	ab	de
r8	bc	ef
r9	cd	fa

W celu pomiaru stopnia jednorodności dokonuje się pomiaru odpowiednich rezystancji czteropunktowych z kontaktami rozłożonymi na brzegu a, następnie wyznacza się stopień jednorodności h z układu równań zależnych od wyznaczonych rezystancji czteropunktowych r_h, w którym niewiadomymi są: parametr jednorodności h oraz bezwymiarowe położenia φ₁, φ₂, φ₃, φ₄, φ₅.

PL 226 563 B1

Układ równań ma postać:

₌ 2L _1η ^σ(<?ι + ρ₆Α)

Σ m G{(p_x,hYj{<p_{+φ₂+<p₆,hY

ZL ₌ X _1η σ(ι_; + <γ/ί)σ(ι>ι +??₂,/0 Σ m G0,/00+<ρ,+^₃,/ζ)’ ₌ ± _ln G0 + ·?₄Α)σ(<?2 + <?₃Α)

Σ m ΰ(φ₂,Η\}(φ₂+φ₂+φ₄,/ιΥ

A = J_ ι_η ^σ(^4 + ^h)

Σ m G(q>₄,h)G(<P'+<p₂ + (p₆,hy k ₌ ± _ln ^G+<Ρ5>ίι)

Σ m G0. A)g(v>, + φ₂ + φ₃, h)' = -L ln Υ⁺0)Υ^+ί0)

Σ m G(^₆)G0+^₃ + ę?₄) ’

G. ₌ J_ i_n ^G(^i ⁺⁽Pi ⁺ 0 + <P*>^h)

Σ m G0+ę?₃, A)g(<)9₅+<p_ć, A)

Zk ₌ J_in + <°j ⁺ Ψ*, h)G{<P\ + k + <Pt,i h)

Σ m G^+<p₄,h}G(<Py<P₆T)

G. ₌ X _ln ^G(^i ^{+ <}P2⁺ V>3’ *Μ?ι + + <P₆, h)

Σ m ΰ(φ₄ + + φ₂,Ιι) gdzie ς = Σί (=1 oraz w = ln g ₌ G(<?| +

G (p,, h )G 0, h )G 0, h )

G0 +<!?₅₁ A)G0 +^,/ιΧ?Α +y>_ć,A)

h) ’ a funkcja G jest zdefiniowana poprzez nieskończony iloczyn:

Położenie φ₆ występujące w układzie równań dane jest z warunku:

Parametr h, którym oznaczony jest bezwymiarowy stopień jednorodności próbki przyjmuje wartości z przedziału (0, <»). W przypadku próbki doskonale jednorodnej parametr jednorodności ma wartość nieskończoną. Układ równań składa się z dziewięciu równań nieliniowych na sześć niewiadomych: stopień jednorodności h i pięć niezależnych położeń φ₁, φ₂, φ₃, φ₄, φ₅. Można w dowolny sposób wybrać sześć równań spośród dziewięciu i rozwiązać układ sześciu równań na sześć niewiadomych: h, φ₁, φ₂, φ₃, φ₄, φ₅. Wybór tych, czy innych równań prowadzi do tego samego rozwiązania, a więc

PL 226 563 B1 jednoznacznego określenia parametru niejednorodności h. Układ równań rozwiązuje się metodą mi₂ nimalizacji. Definiuje się wielkość χ²:

₌ Γχ _ _!__)n g(p, +p₂,A)G(g>| +P_Ć,/»)V m G^.AjG^, + ¢,, + ^₆,A)J + fZl _ _L _ln ^Gfa ^{+ +} (Σ m G^.AjG^, + φ. + ₊ f X _ X _)n pg + 1₄Χ)θ(<Ζ>, + ¢,,.Α)Ϋ l Σ m G(ę₃,tifi(<p₂ + + (p^h)) ₊ Γ h_ _ X _)η + ^Χ)ρ(^ + <ρ₄,Α)Υ α ^m θ(φ,,η)θ((ρ_ί + φ, + φ₆,Η)) ₊ f X _ X _)η ^G^> ^+<A)g(»>., + ¢,,, Α))²m + φ.₂ + ¢,,, A)J ₊ ίχ X _in ^G^i⁺ + Ά)Υ (Σ m θ{φ^{φ₁ + ¢,, + φ,) } + (χ _ X l_n ^G^‘ ^{+ +} + <P₄,h)X (Σ m ΰ(φ₂ + φ,,Η)θ(φ₅ + ¢,,,A) J ₊ fX - X In ^G^^{; + +} <P^^h)G{fP, + <Ρι + <Α)Ί l Σ m Giffl, + ¢,,.A/j^, + ¢,4,/1) J + fX _ X In ^G^- ^{1 1} Α)Α +φ₂+ <A)Y \Σ m G(cp₄ + (p^hjGfa + p₂,h) J ₂ i szuka minimum χ ze względu na sześć zmiennych: h, φ₁, φ₂, φ₃, φ₄, φ₅.

Korzystne jest, gdy znana jest wartość rezystancji na jednostkę powierzchni próbki λ, wyznaczona na przykład metodą van der Pauwa. Układ równań ze znaną wartością rezystancji na jednostkę powierzchni ma postać:

_r = 2π ln ' ' A) ^; +Ψι + <P₆>^hY

G^+tp^hfifa + y₂,A) ² ~^ag(<p₂,h^_+(P2+(Pi,_hy _ Gq + ę?₄,/l)G (¢9, + ¢,3,/1) ¢(¢,^(^+^ +«,₄,A)’

G(ff₄ +y_s,/i)G (ff₃ + ¢,,,/1) ⁴ G^.AJg^,+p₂+<p₆,A)’ _ . . G(ff_s +p₆,A)G(ę?₄+ff_s,A)

0(^)0(^+^+^,A)’ ckw, ⁺⁽p2 + <p4

A. ⁺⁽p2 + ¢,3^)0^, + cp₂ + <p₄,h) r₇ = Ζπ In-7-7—7-r-,

G{<P₂ +<Ρ3’>ιΥΛ<Ρ5 + (P^ h) _r - Win ^G^2 + <?, +<?₄,Α)Α| +<P; +^6>A) ‘ 0(^+^^)0(^,+^,A) ’ _ , . A + <Ρι +φ„ΙτΥ3{φ_λ+φ₂+φ₆^) ⁹ Ο^+^,Α^,+^,Α) ’

PL 226 563 B1

Parametr jednorodności h wyznacza się tak, że wybiera się sześć równań spośród dziewięciu i rozwiązuje układ sześciu równań na sześć niewiadomych: h, φ₁, φ₂, φ₃, φ₄, φ₅. Znajomość rezystancji na jednostkę powierzchni λ powoduje zwiększenie precyzji wyznaczenia parametru jednorodności h.

W przypadku, gdy wartość rezystancji na jednostkę powierzchni próbki A jest znana, układ rów₂ nań można rozwiązać metodą minimalizacji. Definiuje się wielkość χ²:

₂ i szuka minimum χ ze względu na 6 zmiennych: h, φ₁, φ₂, φ₃, φ₄, φ₅.

Sposób według wynalazku charakteryzuje się tym, że położenia kontaktów są rozmieszczone na brzegu próbki w dowolnych położeniach.

Korzystne jest, gdy kontakty rozmieści się tak, żeby rezystancje czteropunktowe r1, r2, r3, r4, r5, r6, były sobie równe. W przypadku próbki o kształcie pierścienia realizuje się to poprzez rozmieszczenie kontaktów na brzegu pierścienia w równych odległościach mierzonych tukiem. W przypadku próbki o dowolnym kształcie położenia kontaktów można uzyskać metodą odwzorowań konforemnych. Takie ustawienie kontaktów pozwala na wyznaczenie stopnia jednorodności h z równania:

W przypadku znajomości położeń kontaktów wyznaczanie parametru jednorodności h gdzie r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = r₅ = r₆, a funkcja H jest zdefiniowana jako:

PL 226 563 B1

W przypadku znajomości położeń kontaktów wyznaczania parametru jednorodności h cechuje większa precyzja niż w przypadku wyznaczania poprzez rozwiązywanie układu równań z niewiadomymi położeniami.

Z teorii odwzorowań konforemnych wynika, że rozpływ prądów w próbce z izolowaną pojedynczą dziurą jest równoważny rozpływowi prądów w próbce o kształcie pierścienia. Prądy i natężenia, a więc i rezystancje czteropunktowe otrzymane dla pierścienia nie zmienią się po dokonaniu transformacji konforemnej. W wyniku transformacji konforemnej pierścień ulega zmianie na inny kształt z izolowaną dziurą. Zatem formuły są prawdziwe dla dowolnego kształtu z izolowaną dziurą. Parametr jednorodności jest miarą wielkości dziury w idealnym przypadku jednorodnej próbki z dziurą. W przypadku próbki z wieloma dziurami lub w przypadku ciągłych zmian jednorodności próbki w funkcji położenia w próbce, teoria zagadnienia nie jest do końca sformułowana, natomiast doświadczenia pokazują, że parametr jednorodności wyznaczony metodą według wynalazku niesie istotne informacje o rzeczywistej jednorodności próbki.

Przedmiot wynalazku został bliżej objaśniony na przykładzie wykonania przedstawiającym pomiar jednorodności zestawu próbek wykonanych z jednorodnej blachy aluminiowej o grubości 0,1 mm w kształcie kół o średnicy 351 mm. Do próbek wprowadzono w kontrolowany sposób niejednorodność w postaci koncentrycznego otworu. Średnice otworów przedstawiono w tabeli 2 w kolumnie 1. W kolumnie 2 przedstawiono teoretyczne wartości parametru jednorodności h, który w przypadku koła o średnicy D z koncentrycznym otworem o średnicy d jest równy h = 2In(DId). Przeprowadzono pomiary rezystancji czteropunktowych a wyniki pomiarów są zestawione w kolumnach od 2 do 10. Wy₂ znaczono parametr jednorodności minimalizując wielkość χ²:

_z2 ₌ f± j_n ⁺ ^2»^ΛΧ⁷(^Ι +?6^Γ| ^Z ί,Σ m + <p₂ + (p,,h)) ₊ (X _ _L _ln ^G'(x + MM?, + tM)T Σ m ϋ(φ₂,Η}ϋ(φ_ί + φ₂ + φ₃,Η)) ₊ (ϊ±_ ¹ in ^G(^ + <P*JjG(<p₂ + <ą,,/QY (Σ m G(<p₃,h)G(<p₂ + φ₃ + ₊ f3 _ _L_ln ^G(^4 + <Ρί>ΐήρ((ρ₃ + ę>₄,A)Y m G^/j^ę?, + φ₂ + (p₆,h\ + fΖλ _ _LIn ^G^ +^6.^(^4 +<Ps,ft)Y

X m Gip^hWfP' + φ₂ +(p^h)) + X _ _Li_n +^»^(^5 + ff₆,ft)Y 1^Σ m G(^_Ć)G(^₂ + φ₃ + ę?₄) J + f ϋ _ J_ l_n ^G^1 + X ⁺ + <?3 + ^3)V \^Σ m G(ę>₂ + φ₃,ϊι)ΰ(φ₅ + i?,,,/?) _? + fZk _ ±l_n ^G(^2 + <Pi + +φ₂ + ?>₆,Λ)Υ \^Σ m G(ę>₃ + ¢)4,^)0(^, + ę?₆, Λ) _> + |Χ _ 2_i_n ^G^ ⁺ <Ρι ⁺ <Ρι^(<Ρ\ + <Pi + 0>6,*)Y <^Σ m G(<p₄ + <ρ₅,/?)σ(^ + (p₂,h) _} ze względu na sześć zmiennych: h, φ₁, φ₂, φ₃, φ₄, φ₅. Otrzymane wyniki na parametr jednorodności h_eksp przedstawiono w kolumnie 12.

PL 226 563 B1

T a b e l a 2

D [mm]	ΙΊ [μΩ]	12 [μΩ]	13 [μΩ]	r4 [μΩ]	r₅ [μΩ]	Γ6 [μΩ]	Γ7 [μΩ]	18 [μΩ]	rg [μΩ]	^hteoret	^heksp
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
6,2	38,5	38,5	38,25	38,25	38,25	38,25	27,50	27,50	27,00	8,1	6,6
15,5	38,50	38,50	38,50	39,00	39,00	39,00	27,50	28,00	28,00	6,2	5,7
30,5	40,00	40,50	40,50	40,00	40,50	40,25	29,50	29,50	30,00	4,9	4,7
60,5	42,00	42,50	42,00	42,50	42,00	42,50	32,75	34,25	33,50	3,5	3,5
121	53,50	53,00	53,00	52,75	53,50	52,50	49,50	50,00	49,50	2,1	2,1

Wynalazek pozwala na ujawnienie dziur, pęknięć, ubytków materiału lub obecności fragmentów o zmienionym przewodnictwie elektrycznym w stosunku do średniej wartości przewodnictwa próbki. Szczególnie korzystne jest stosowanie wynalazku do testowania blach stalowych walcowanych, w których może pojawiać się rozwarstwienie w procesie walcowania lub do testowania blach stalowych spawanych o dużych gabarytach leżących na stosie. Blachy o dużych gabarytach leżące na stosie trudno jest badać typowymi metodami jakimi są metody ultrasonograficzne i rentgenowskie z uwagi na brak dostępu. Szczególnie korzystne w metodzie według wynalazku jest to, że wynik pomiaru jest jednym parametrem. Pozwala to na szybkie wyselekcjonowanie próbek najbardziej lub najmniej jednorodnych. Szczególne korzystne jest to, że sposób według wynalazku można stosować do badania warstw dowolnie cienkich np. warstw osadzanych metodami sputteringu, osadzanych epitaksjalnie, osadzanych związek molekularnych, osadzanych metodami transportu chemicznego, osadzanych elektrolitycznie. Wynalazek znajduje zastosowanie do wykrywania dziur w warstwach grafenu.

Claims

1. Sposób pomiaru jednorodności materiału przewodzącego prąd elektryczny polegający na pomiarze rezystancji czteropunktowych, znamienny tym, że co najmniej sześć kontaktów umieszcza się w dowolny sposób na brzegu próbki badanego materiału o dowolnym kształcie i mierzy się co najmniej sześć rezystancji czteropunktowych, a stopień jednorodności próbki wyznacza się poprzez zastosowanie teorii rozpływu prądu w dwuwymiarowej jednorodnej próbce z izolowaną dziurą.

2. Sposób według zastrz. 1, znamienny tym, że kontakty rozkłada się tak, aby by sześć rezystancji czteropunktowych miało tę samą wartość.

3. Sposób według zastrz. 1, znamienny tym, że wykorzystuje się znaną wartość rezystancji na jednostkę powierzchni próbki w celu zwiększenia precyzji wyznaczenia parametru jednorodności.

4. Sposób według zastrz. 1, znamienny tym, że wykorzystuje się znaną wartość rezystancji na jednostkę powierzchni próbki oraz znane położenia kontaktów w celu zwiększenia precyzji wyznaczenia parametru jednorodności.