NO310129B1 - Seismisk undersökelsesmetode med bruk av selv-dekonvolerende predikterende feil-filter - Google Patents

Description

Foreliggende oppfinnelse vedrører seismiske undersøk-elser, og spesielt en fremgangsmåte for å svekke støy som påvirker seismiske traser.

Det generelle prinsipp ved seismiske undersøkelser består i å bruke en seismisk kilde til å forårsake en forstyrrelse i undergrunnen, og ved å bruke sensorer (geofoner eller hydrofoner) til å registrere seismiske data for fra disse å utlede informasjon om undergrunnens geologi, spesielt for å detektere forekomsten av hydrokarboner.

Sensorene blir vanligvis jevnt fordelt ved knutepunktene i et rutenett i rommet, og registreringen y(t) som en funksjon av tiden t for de signaler som mottas av sensorene, så kjent som "seismiske traser", blir gruppert sammen og side-stilt som en fuksjon av liten x-koordinatverdiene til sensorene over rutenetter (hvor x er en romkoordinat), for å danne et seismisk snitt t-x som utgjøres av seismiske data <y>(t,x).

Seismiske data omfatter nyttig informesjon (for eksempel en rekkefølge av reflekterte seismiske ekko) innbakt i bak-grunns-støy som må elimineres ved hjelp av passende prosessering eller behandling, hvilken prosessering også må romme den mulighet at noen av trasene i det seismiske snittet kan mangle. I praksis kan det hende at noen av punktene til rutenettet ikke frembringer noen nyttig registrering, enten fordi det ikke var mulig å montere en sensor på det tilsvarende sted på grunn av terengets beskaffenhet, eller på grunn av en feil i datainnhentingsutstyret, eller fordi det signal som ble levert av en spesiell sensor, var mettet under registrering av en meget høy støy.

For å eliminere støy kan seismiske data behandles i et

f-x-platl ved å bruke Y(f,x)-data etter anvendelse av flurier-transformasjonen på de opprinnelige seismiske data y(t,x) for den tidsvariable t, eller i et f-k-plan for data Y(f,k) etter anvendelse av fiuriertransformasjonen på dataene Y(f,x) for en romvariabel x, hvor f betegner en frekvens variabel, og hvor k betegner en bølge tall-variabel.

Det er vanlig praksis å skjelne støy som er ikke-koerent tilfeldig, og av en fysisk opprinnelse som vanligvis ikke blir identifisert (for eksempel på grunn av naturlige fenomener slik som dønning eller mikrojordskjelv) , fra støy som er koerent og vanligvils genereres av fysiske fenomener som blir identifisert, slik som en spesiell seismisk bølgefor-planantningsmodus (for eksempel bølger som forplanter seg ved overflaten) , hvilken støy må elimineres fordi den ikke inneholder noen nyttig informasjon vedrørende undergrunnen, eller fordi det ville være for vanskelig å trekke ut noen nyttig informasjon som den inneholder (på grunn av såkalte multiple "refleksjoner") . Utallige fremgangsmåter er blitt foreslått til behandling av seismiske data for å svekke eller dempe støy, og disse fremgangsmåtene kan klassefiseres i flere brede kategorier avhengig av om de mer spesielt har til hensikt å eliminere støy av lokalisert beskaffenhet eller ikke.

Ved en fremgangsmåte av en første type, kjent som en deterministisk "svekningsmetode", er det vanlig å bruke f-k-planet i det håp at støy som påvirker de seismiske data Y(f,k)kan identifiseres og lokaliseres i et spesielt område av dette planet. For eksempel opptrer støy som forplanter seg med konstant hastighet, som en rett linje i f-k-planet og kan elimineres med hjelp av enkel filtrerting i relasjon til den bølgetall-variable k. Mer generelt blir data i f-k-planet behandlet ved å bli multiplisert ved hjelp av et såkalt "projeksjonsfilter" hvis verdi ideelt er lik 0 i områder hvor støy antas å være tilstese (filterets svekningsområde) og lik en andre steder (filterets passområde). Det er likevel nød-vendig å tilveiebringe en bred overgang mellom passområdene og svekkningsområdene til filteret for å begrense dettes utstrekning i det seismiske t-x-snittet, siden der ellers er bivirkninger når filteret går ut over det seismiske snitt og de manglende data blir tatt for å være lik 0 (som er ekvivalent med å sette visse koeffisienter for filteret til 0 og således å forringe ytelsen). Bivirkningene er spesielt brysomme i romdomenet hvor antallet sampler, som svarer til antallet traser, er spesielt lite. Det å velge en bred overgang som svarer til en liten utstrekning i romdomenet, leder således til et filter som er utilstrekkelig selektivt, det vil si til å svekke en gitt støy i f-k-planet, idet en ikke neglisjebar del av nyttesignalet som befinner seg i nærheten, også blir svekket. US-patent nr 5.067.112 foreslår å rette på ulempene ved konvensjonelt utfort filtrering i f-k-planet ved å utføre bølgetall-filtrering i f-x-planet. Likevel angår den beskrevne fremgangsmåte bare det spesielle tilfellet hvor derfor hver frekvens i f-x-planet er bare et bølgetall k0 som skal fjernes, og også det ikke-rekursive filter som benyttes, har de dobbelte ulemper at de er langsomme å anvende og følges av bivirkninger når det selektivt blir søkt etter høye bølgetall.

En annen type fremgangsmåte som også er kjent som den statistiske "svekningsmetode", kan anvendes når informasjonen ikke er tilgjengelig vedrørende lokaliseringen av støyen i det seismiske snitt. I artikkelen "Random noise reduction" av L.L. Canales, og publisert i "Expanded Abstracts of the 54th Annua1 SEG Meeting", Atlanta, 1984, blir det foreslått å utføre "prediktiv" filtrering i f-x-planet. I henhold til artikkelens forfatter kan den støy som påvirker et seismisk snitt, isoleres fra resten av de seismiske data ved å anvende et prediksjonsfeil-filter for den romvariable x på de seismiske data. Filterets koeffisienter blir valgt for å minimalisere den støyenergi som er et resultat av å anvende filteret på dataene. Den filtrering som er foreslått av Canales er ikke av projeksjonstypen siden den ikke eliminerer data som antas å inneholde bare støy, og den kan ikke være lik en over et gitt frekvensbånd. Enhver fremgangsmåte for svekking av støy og bevaring av nyttige signaler bør dess-verre være av projeksjonstypen: når dataene inneholder bare støy, bør den multipliseres med 0 for å bli eliminert, og i de motsatte tilfeller bør den multipliseres med 1 for å bli intakt bevart. I den fremgangsmåten som er foreslått av Canales blir de seismiske data utsatt for betydelig for-ringelse.

En tredje type fremgangsmåte som spesielt er foreslått i US-patent 5.182.729 (Duren med flere) består i å bruke en projeksjonsmatrise til å separere additiv støy fra et signal som antas å være perfekt forutsigbart. En fremgangsmåte av denne typen er bassert på følgende betraktninger: Annta Nseismiske sampler y(0), ...,y(N) hvor N er et heltall svarende til summen av et perfekt forutsigbart signal y0(0),

•••/ Yo(N) pluss støy e(0), ..., e(N).

Forutsigbarheten av y0 = [y0(o) , y0(l)/ •••/ yo(N)]T (hvor super indeks T betegner opperasjonen for transponer ing av metrisen) for et prediksjonsfeil-filter a som har p+1 koeffesienter a(0), a(l), ..., a(p) hvor p er et heltall mindre enn N, som betyr at Y0 hører til et underrom eller delrom Ay0=0, hvor A er følgende matrise N+l kolonner og N+l-p rader:

Det er da mulig å anslå y0 ved projesering av [y(0), y(l), • ••»y(N)]T på dette delrommet eller underrommet. I linjaer algebra kan dette skrives på følgende måte:

hvor I er enhetsmatrisen, A<*> er den konjugert transponerte av A, og e er den estimerte, additive støy.

Invertering av matrisens AA* krever så at det utføres en matriseberegning som setter en meget streng grense på prakti-serbarheten at av slike fremgangsmåter. Ved utførelse av seismisk behandling er omkostningene i beregningstid og lagerplass for invertering av en matrise med dimensjoner lik de for dataene, vannligvis prohibitive siden enorme mengder med data blir behandlet.

I patentet til Duren med flere blir det anvendt en projeksjonsmatrise av samme type som likning III. Dette er gjennomførbart så lenge han betrakter et spesialtilfelle hvor antallet datasampler N er 3 til 5.

Oppfinnelsen forsøker å rette på ulempene ved tidligere kjente fremgangsmåter.

Den benytter bare f iltertype-metoder på dataene siden de er meget billigere enn fremgangsmåter av matrisetypen.

Filtertype-fremgangsmåter adskiller seg fra matrisetype-fremgangsmåter ved følgende kriterium: i fremgangsmåter av matrisetypen krever beregning av koeffesientene til matrisen som skal anvendes for dataene, kunnskap om antallet sampler og krever at et sett med koef fes ienter blir beregnet og lagret for hver datasampel. Fremgangsmåter av filtertypen er kjennetegnet ved det faktum at de ikke krever kunnskap om antallet datasampler ved beregning av koeffesientene. Koeffesientene blir beregnet bare en gang og for alle dataene. Man vil forstå at for seismiske undersøkelser når en meget stor datamasse blir manipulert, er fremgangsmåter av filtertypen spasielt fordelaktige sammenliknet med matrisemetoder.

Oppfinnelsen lærer hvordan en tilnærmet projeksjon skal utføres ved filtrering. Filteret lider også av ulempen med bivirkninger. Denne oppfinnelsen lærer også hvordan disse skal ungås uten å øke beregningsomkostningene, ved å bruke den ikke-s*jbile (non-steady) f i ltrerings struktur.

I den følgende tekst dekker følgelig uttrykket "filtrering" en opperasjon som består i å beregne utgangssampler på grunnlag av lineære kombinasjoner av inngangssampler ved å bruke et tidligere beregnet sett med koeffesienter som er identiske for de forskjellige inngangssamplene.

Når en utgangssampel blir beregnet ved å bruke bare inngangssampler, så blir filtreringen sagt å være "ikke-rekursiv".

Når en utgangssampel blir beregnet fra lineære kombinasjoner av inngangssampler og tidligere beregnede utgangssampler, så blir filtreringen sagt å være "rekursiv".

Uttrykket "ikke-stabil" filtrering blir brukt som filtrering hvor koeffesientene ikke er konstante og blir beregnet på nytt i hvert tilfelle for de opprinnelige inngangssampler inntil de konvergerer på koeffesientverdier som deretter brukes på konstant måte for de andre inngangssamplene. Antallet sett med koeffesienter som skal beregnes, er større enn 1, men det forblir lite og er i alle tilfeller uavhengig av antallet datasampler.

Uttrykket "matriseopperasjon på data" blir brukt for en opperasjon som består i å beregne så mange sett med koeffesienter som der er datasampler.

Oppfinnelsen tilveiebringer en fremgangsmåte for seismiske undersøkelser hvor : en seismisk undersøkelse blir bragt til å finne sted i undergrunnen ;

sensorer blir brukt til å ta opp samplede seismiske data y =

[y(0) , ..., y(N)]T hvor n er et heltall, idet dataene inneholder et signal y0 som som skal isoleres og som er inbakt i aditiv støy;

de seismiske data blir underkastet filtrering i tidsdomenet eller frekvensdomene for å oppnå filtrerte data hvor signalet som skal isoleres, er fraværende;

filterdataene blir subtrahert fra de opprinnelige seismiske data for å oppnå behandlede data y0(0) , ..., y0(N) svarende til signalet y0 uten aditiv støy;

de data som frembringes på denne måten blir behandlet for fra disse og utlede nyttog informesjon av undergrunnens geologi; det filter som brukes til filtrering av de seismiske data som er et selvutfoldet prediksjonsfeil-frekvensfilter M(f) slik at:

M(f) = |A(f)|<2>/R(f)

eller et ekvivalent filter i tidsdomene,

A (f) er spektere til et prediksjonsf eil-f ilter a med p+1 koef fesienter a(0), ..., a(p) hvor p er at heltall mindre enn N, a er tidligere valgt for best kanselering ved folding av signalet y0 som skal isoleres,

R(f) er en på forhånd fargelagt selvkorigering av prediksjonsfilteret a tilfredstiller:

R(f) = |A(f) I<2> + e2|B(f) I2

hvor e og B(f) henholdsvis er en forhåndsf arge leggings faktor og et forhåndsfargeleggingsfilter som tidligere er valgt som en funksjon av den selektivitet som ønskes for filtreringen.

Som man vil forstå av etterfølgende er slik filtrering tilnærmet projektiv.

Fremgangsmåten gjør det i tillegg mulig å utføre det terministisk "svekkning" med et selektivt filter uten å støte på bivirkninger, og også statistisk "svekkning" ved filtrering av projeksjonstypen.

Oppfinnelsen vil bli bedre forstått ved lesing av den følgende detaljerte beskrivelse av ikke begrensende ut-før elsesformer av fremgangsmåten i følge oppfinnelsen, og på bakgrunn av de vedføyde tegninger, hvor: Fig. 1 er et blokkskjerna over fremgangsmåten i følge oppfinnelsen;

fig. 2 viser hvordan spektrummodulene til et prediksjonsfeil-filter varierer som en funksjon av frekvensen ;

fig. 3a viser spekteret til det selvutfoldede prediksjonsfeil-filteret som svarer til fig. 2 for en gitt

verdi av en beregningsparameter e;

fig. 3b viser hvordan det selvutfoldede prediksjonsfeil-filteret på fig. 3a varierer for en forskjellig

verdi av beregningsparameteren e;

fig. 4 viser et syntetisk seismisk snitt;

fig. 5 viser den forutsigbare del y0(t,x) av de seismiske data y(t,x) som er vist i det seismiske snitt på fig. 4, og som er frembragt ved implementering av

fremgangsmåten i følge oppfinnelsen;

fig. 6 viser den ikke-forutsigbare del e(t,x) av de seis-mismiske data y(t,x) som er vist i det seismiske snitt på fig. 4, og som er frembragt ved implementering av fremgangsmåten i følge oppfinnelsen; fig. 7 viser den forutsigbare del av de seismiske data y(t,x) som er vist i det seismiske snitt på fig. 4 som er oppnådd ved å implementere en tidligere

kjent fremgangsmåte;

fig. 8 viser den ikke-forutsigbare del av de seismiske data y(t,x) som er vist i det seismiske snitt på fig. 4, som er oppnådd ved å implementere en tidligere kjent fremgangsmåte;

fig. 9 viser det seismiske snitt på fig. 4 med 10 manglende traser;

fig. 10 viser et gjenopprettet seismisk snitt for implementering av fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen; fig. 11 viser den forutsigbare del av de gjenopprettede

data på fig. 10; og

fig. 12 viser den ikke-forutsigbare del av de gjenopprettede seismiske data på fig. 10.

I beskrivelsen nedenfor blir oppfinnelsen omvendt på seismiske data y(t) som en funksjon av den tidsvariable t. De seismiske data y(t) antas å ha blitt registrert i digital form og å ha blitt laget diskret med en samplingsavstand Ai = l/fe hvor fe er samplingsfrekvensen. I beskrivelsen nedenfor er At satt til å være lik 1 for å forenkle betegnelsen. Oppfinnelsen kan naturligvis anvendes på samme måte på seismiske data y(x) gitt som en funksjon avden av-standsvariable y.

Anvendt på data y(t) gjor oppfinnelsen det mulig å isolere støysignaler ved en spesiell frekvens slik som 50 Hz eller 60 Hz og påvirke de seismiske data for å eliminere nevnte støysignaler, og anvendt på dataene y(x) tjener oppfinnelsen til å fjerne forstyrrelser som for eksempel skyldes koldfigurasjon i rommet av sensorene over rutenettet.

Den heltallige variable n blir i den etterfølgende beskrivelse brukt til å betegne seismiske datasampler som er gjort diskrete. Når oppfinnelsen anvendes på seismiske data som er en funksjon av den tidsvariable t, ligger n i området O-N, hvor det totale antall sampler som er registrert av en sensor over varigheten av målingen er lik N+l. Når oppfinnelsen anvendes i det seismiske snitt t-x eller planet f-x i forbindelse med seismiske data som er en funksjon av den romvariable x, så ligger n i området 0 og summen minus en av de sidestilte trasene i det seismiske t-x-snitt som betraktes.

I den etterfølgende beskrivelse antas det generelt at de diskrete seismiske datasampler y(n) som er trukket ut fra et seismisk snitt oppnådd på en i og for seg kjent måte (trinn 1 på fig. 1) , kan løses opp i en forutsigbar komponent y0(n) som skal isoleres, og en ikke-forutsigbar komponent e(n): y(n) = y0(n) + e(n) (1)

I følge oppfinnelsen blir det beregnet et prediksjonsfeil-f ilter a med lengde p, det vil si som har p+1 koef fesienter, for å tilveiebringe best kanselering av y0(n)

(trinn 2 på fig. l).for å lette forståelsen av oppfinnelsen antas det her at prediksjonsfeil-filtere a kansellerer y0(n) fullstendig, det vil si at de p+1 koef fesientene a(0) , a(l) ,

..., a(p) for filiteret a er slik at :

I frekvensdomenet som frambringes ved å anvende furiertransformasjonen for den tidsvariable y(n), for eksempel ved hjelp av en hurtig furiertransformasjonsmetode som imple-menterer følgende ligning:

Hvor M er et heltall valgt å være større enn antallet tids-sampler i signalet, slik at ligningene (1) og (2) kan skrives på følgende måte:

hvor store bokstaver brukes til å betegne e(n) og y0(n) etter anvendel av furiertransformasjonen, og hvor A(f) er spekteret til prediksjonsfeil-filteret a.

Fra (1 *) og (2•) kan det utledes:

La D(f) være en utfoldingsoperator (deconvolution operator) for A (f).

I samsvar med opfinnelsen blir det selvutf oldede prediksjonsf eil-f ilteret D(f)A(f) anvendt på dataene Y(f) (trinn 3 på fig. 1),noe som gir:

deretter (trinn 4 på fig. 1) er det mulig å isolere nyttesignalet Y0(f) ved å benytte:

Y0(f) = Y(f) - E(f),

I praksis er prediksjonsfeil-f ilteret a aldri nøyaktig inver-tbelt, og en utf oldingsoperator D(f) kan ikke finnes slik at D(f)A(f) = 1. I praksis er utfoldinsoperatoren D(f) en tilnærmet invers operator, for eksempel bestemt ved å minimalisere:

dette uttrykket er et minimum for med

I dette uttrykket betegner den komplekse konjugerte, og e og B(f) styrer beregningen og blir valgt av en fagkyndig på området som en funksjon av den feilmargin som kan aksepteres ved beregning av D(f). c er en skalar referert til som en "forfargeleggingsfaktor" (precoloriziation factor), og B(f) er et filter referert til som "forfargeleggingsfilteret". I tidsdomene har forfargeleggingsfilteret b en endelig lengde q, fortrinnsvis mindre enn p, med koeffesienter b(0), ..., b(q) og b(0) = 1. Når B(f) = 1, blir e kalt "forblekingsfaktoren" (prebleaching faktor).

Ligning (4<1>) kan også skrives som:

med det vil si

R(f) er et filter referert til som det "forhåndsfargelagte selvkorrelasjonsfilteret" for prdiksjonsfeil-filtere a. Filteret M(f) som fremgringes og anvendes i følge oppfinnelsen på de seismiske data Y(f) er således analogt med et filter av projeksjonstypen, siden:

Fra ligning (9') krever beregning av det selvutfoldede prediksjonsfeil-filteret M(f) som skal anvendes på de seismiske data, kunnskap om prediksjonsfeil-filtere A(f) og det forhåndsfargelagte selvkorrelasjonsfilteret R(f). Etter at prediksjonsfeil-filteret a og det forhåndsfargelagte selv-korrelasjonsf ilteret er blitt beregnet, er filteret M(f) som skal anvendes på dataene i frekvensdomene, gitt av den samme ligning (9<1>). Det blir spesifisert nedenunder hvordan det skal anvendes i tidsdomenet.

Man vil huske at på en for en fagmann i og for seg kjent måte er foldingen (convolution) av to sekvenser x(Ml), ..., x(M2) ogy(Nl), ..., y(N2) sekvensen z(Ml+Nl), ...,z(M2+N2) slik at:

Det følgende uttrykk blir brukt nedenfor:

for å betegne denne fokdingsopperasjonen.

Korrelasjonsopperasjonen, det vil si foldingen av sekvensen x(i) med den reverserte konjugerte sekvens yr(i), er slik at: blir betegnet med uttrykket:

Uttrykket 6(i) blir nedenfor brukt for en sekvens slik at 5(0) = 1 og 6(i) = 0 hvis i » 0.

TERMINI STI SK BEREGNING AV PREDIKSJQNSFEIL-FILTERET QG AV DET FORHÅNDSFARGEIAGTE SELVKORREIASJONSFTLTERET

I først utførelsesform av fremgangsmåten i følge oppfinnelsen blir de p+i koef fesientene til prediksjonsfeil-f ilteret a beregnet fra kjente fysiske parametre for signalet y0 som skal isoleres, og fortrinnsvis blir de p+1 koef fesientene til prediksjonsfeil-f ilteret a beregnet fra medie for frekvensspektret Y0(f) til signalet y0 (sett med verdier av f for hvilke Y0(f) « 0) .

Prediksjonsfeil-f ilteret a kan beregnes på flere måter, når spektralmediet til det forutsigbare signalet y0 som skal isoleres fra de seismiske data y(n) er kjent, som tilfelle for eksempel er når det er ønskelig å eliminere fra de seismiske data enhver støy med 50 Hz eller 60 Hz som skyldes elektriske installasjoner. For det terministisk filtrering er det ifølge oppfinnelsen antatt at et signal er båndbegrenset uttrykt ved signalets kvasi-forutsigbarhet (kvasi-predikt-habilitet).

Signalet Yn har et spektrum av isolerte linier

i dette eksempelet blir det signal y0 som skal isoleres i de seismiske data y(n) antatt å ha et spektrum Y0(f) som utgjør-es av p linjer linjer fq (q = 1, ..., p) .

For hver linje med frekvens fq blir det definert et elementært prediksjonsfeil-filter aq med lengde 1 som har to koef fesienter aq(0) og aq(l) gitt som følger:

Koeffesientene a(0),a(l), ..., a(p) til det totalepredik-sjonsfeil-filter a som skal anvendes på de seismiske data y(n)blir så filtrert som følger:

For hvert heltall q blir likeledes den forhåndsfargede autokolorrasjonen rq med forbleking og lengde 2 også beregnet med tre koeffesienter: og så blir følgende beregnet

hvor a(i) og r(i) gjør det mulig, etter anvendelse av furiertransformasjonen, å konstruere et filter M(f) ved å buke ligning (9<1>) som forkaster de q frekvensene fq. e styrer filterets selektivitet; jo mindre e er, jo mer selektivt blir filteret.

signaler yn har et spektrum Y.( f\ forskjellig fra 0 for i det minste et frekvensområde

I dette eksempelet antas signaler y0 som skal isoleres, å ha et spektrum Y0(f) forskjellig fra 0 over i det minste et frekvensområde.

Minste kvadraters metode

I denne første fremgangsmåten blir koeffesienten a(0), a(l), ..., a(p) til prediksjonsfeil-filteret a for spekteret A(s) bestemt ved hjelp av en minste kvadraters metode, det vil si at de blir valgt slik at J^Wff) |A(f) |<2>df er et minimum hvis a(0) = 1 og W(f) er en funksjon som er lik 1 når frekvensen f er i et frekvensområde hvor spekteret Y0(f) til signalet y0 som skal isoleres ikke er 0, og er 0 andre steder.

På en for fagfolk på området kjent måte er minimalisering av det ovenfordefinerte integral ekvivalent med å løse et Toeplitz system i tidsdomenet og etter anvendelse av den Inverse furiertransformasjonen W(f) for å oppnå w(i) i tidsdomenet. Toeplitz-systemet blir dannet ved å bruke w(-p), ..., w(p) , det vil si ved hjelp av en Levinson-algoritme uten et annet medlem.

Toeplitz-matrisen M for koeffesienten m(i,j) blir beregnet ved: og på en i og for seg kjent måte blir det følgende løst

Hvor

a(0) og o er en skalar.

Ved beregning av den forhåndsf argelagte auto korrelasjon ved hjelp av ligning (6'), blir det foretrukket å bruke B(f) = 1 og en f orblekningsfaktor e som er stor sammenlignet med verdiene av modulus |A(f)f i nevnte frekvensområder.

Fremgangsmåte ved bruk av Chebyshevs polynomer

I en variant som blir foretrukket når fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen anvendes til behandling av seismiske data y(t) eller y(x) avhengig av bare en enkel tidsvariabel t eller en enkelt romvariabel x, blir spektrummediet Y0(f) i en annen fremgangsmåte splittet opp i Q frekvensområder:

hvor Afq er den halve bredden av det delområdet som er sentrert på frekvensen fq.

Q funksjoner blir definert på følgende måte:

hvor spq er tsjebysievs polynom av første type av orden pq, definert rekursivt for en variabel a som følger:

Det kan vises at:

Det vil si at etter anvendelse av den inverse furier-transf ormas jon av Sq(f) , blir signalet sq(i) i tidsdomenet oppnådd hvor de eneste koeffesienter som er » 0 er sq(0), • • • l Sq (Pq) •

Deretter blir de elementære prediksjonsfeil-filter-koeffesientene aq beregnet (etter skriving av Xq = l/sq(0)) ved : og for prediksjonsfeil-f ilteret a ved:

De elementære forhåndsfargelsgte autokorrelasjoner rq(i) blir beregnet med eq » Xq

ved:

Og så den forhåndsfargelagte autokorrulasjon r(i) ved:

Fig. 2 er et diagram for modulus |A(f)| av spekteret A(f) som en funksjon av frekvensen for Y0(f) til mediet sentrert på fj = 1/10 med Afx = 1/20. Man vil legge merke til at det resulterende prediksjonsfeil-filter a har et spektrum av modulus |A(f)| som er lite i frekvensområdet til spektrummediet Y0(f)• Fig. 3A og 3B er respektive diagrammer av spekteret M(f) for to verdier av forblekingsfaktoren e henholdsvis lik 10"<2 >og 10"<3>. Det kan sees at parameteren e tjener til å styre helningen til filteret M(f).

Det blir beskrevet nedenfor hvordan prediksjonsfeil-filteret a skal beregnes på "statistisk" måte og i samsvar med oppfinnelsen når det forutsigbare signal y0 som skal isoleres, ikke er kjent eller kan identifiseres på forhånd fra de seismiske data.

Nedenfor følger en beskrivelse av forskjellige måter i henhold til oppfinnelsen til anvendelse av det selvutfoldede prediksjonsfeil-filter på seismiske data.

ANVENDELSE AV DET SELVUTFOLDEDE PREDIKSJONSFEIL-FTLTER PÅ SEISMISKE DATA.

Frekvensf i ltrer ingsprosess

En første måte å anvende det selvutfoldede prediksjonsfeil-f ilteret på seismiske data består i å anvende filteret

M(f) som definert ovenfor ved hjelp av ligning (9<1>) direkte på seismiske data i frekvensdomenet.

Tkke-rekursiv tidsfiltreringsprosess

En annen måte å anvende det selvutfoldede prediksjonsfeil-f ilteret består i å utføre ikke-rekursiv tidsfiltrering.

Den forhåndsfargelagte autokorrelasjon R(f)=|A(f)|<2> + e<2>|B(f)|<2> i frekvensdomenet, har sin ekvivalent i tidsdomenet som er skrevet på følgende måte:

For å unngå for lang beregningstid blir lengden b(i) av forfargeleggingsfilteret fortrinnsvis valgt kortere enn lengden av a slik at settet med indekser for hvilke r(i) er forskjellig fra null, er begrenset til -p,...,0, ..., p.

Etter beregning av den forhåndsfargelagte autokorrelasjon r(i), blir den ekvivalente g(i) i tidsdomenet til G(f) beregnet som tilfredsstiller R(f) = l/|G(f)|<2> ved å løse et Toeplitz-system dannet på grunnlag av den forhåndsfargelagte autokorrelasjon r(i), ved hjelp av en Levinson-algoritme, f.eks.: Den matrise M blir beregnet som har den såkalte "Toeplitz"-form, definert ved at dens koeffisienter m(i,j) er lik: som tilfredsstiller

med 6(0) = 1 og 6(i) = 0 for i = 1, Lg og for Lg valgt for å oppnå den ønskede konvergens av l/|G(f)|<2> på R(f).

Deretter blir det følgende beregnet:

Den ikke-rekursive tidsfiltreringsprosessen kan oppsummeres på følgende måte ( prosess nr. 1): 1) Beregning av r(i), den forhåndsfargelagte autokorrelasjon for a(i): 2) Beregning av g(i) på grunnlag av r(i), hvor g(i) er slik at r(i) * g(i) * g(i) = 6(i) med 6(i) = 1 hvis i = 0 og 6(i) = 0, ellers

3) beregning av

Deretter blir det signalet som skal isoleres, beregnet

g(i) har en lengde Lg+1 som kan være stor hvis e er liten. I dette tilfellet er anvendelse av g(i) på seismiske data kostbar med hensyn til beregningstid.

Rekursiv tidsfiltreringsprosess

For å bøte på dette kan den forfargede autokkorrela-sjonen R(f) som er av endelig lengde, faktoriseres ved å skrive autokorrelasjonen r (i) med tidslengde p som autokorrelas j onen til et signal c(i) med lengde p og ved minimum fase.

En tredje måte å anvende det selvutfoldede prediksjonsfeil-f ilteret. på, består så i å utføre rekursiv tidsfiltrering som har den fordel, som forklart ovenfor, at det kreves kortere beregningstid enn ikke-rekursiv tidsfiltrering.

Det søkes et filter med koeffisienter c(i) (i = 0,...,p) og nedenfor kalt det "dempede prediksjonsfeil-filter" slik at følgende gjelder: som er en translasjon til tidsdomenet av ligning (6<1>) i frekvensdomenet:

Koeffisienten c(i) blir fortrinnsvis bestemt ved hjelp av den følgende iterative prosess for rekursiv tidsfiltrering

(prosess nr. 2) (det vises til en artikkel av G. Kunetz "Généralisation des opérateurs dantirésonance å un nombre guelcongue de réflecteurs" (generalisering antiresonans-operatorer på et vilkårlig antall reflektorer) publisert i Geophysical Prospectory, vol. 12, sidene 282-289): 1) Initialisering av beregningsvariable ep og em ep(0,i) = r(i) for i = 0, ..., p

em(0,i) = r(i+l) for i = 0, ..., p-1

em(0,p) = 0

2) Iterasjoner

For j over området 0 til L, hvor L er antall iteras jon-er , sett:

K(j) = -em(j,0)ep(j,0)

ep(j+l,i) - ep(j,i) - K(j)em(j,i) for i = 0, ..., p em(j+l,i) = em(j,i+i) - K(j)ep(j,i+1) for i = 0, ...,p-l em(j+l,p) = 0

Slutt på j-sløyfe.

Man vil legge merke til at uttrykkene K(j) blir beregnet slik at

em(j+l, -1) 0

3) Normalisering

Deretter blir c(i) beregnet på følgende måte:

c(i) = ep(L,i) />/ep(L,0) for i = 0, ..., p

L blir valgt for å gi den søkte nøyaktighet i det asymp-totiske forhold r (i) = c(i) <*> c(-i).

Hvis c(i) og a(i) er gitt, så blir u(n) beregnet for n over området 0 til N på følgende måte:

så blir, når man kjenner u(n), e(n) beregnet for n over området N til 0 på følgende måte: u(n) blir ovenfor oppnådd ved hjelp av "rekursiv oppfiltrering" som nedenfor er skrevet i symbolsk betegnelse: e(n) blir ovenfor oppnådd ved hjelp av "rekursiv nedfiltrering" som er skrevet nedenfor i symbolsk betegnelse:

Den følgende betegnelse blir også brukt nedenfor: for å betegne operasjonen:

En fagmann på området vil legge merke til at c(i) er ved minste fase og c(-i) ved maksimal fase for derved å gjøre det mulig å oppnå rekursiv opp- og nedfiltrering som er stabil i hvert tilfelle.

Den ikke-rekursive tidsfiltreringsprosessen kan summeres opp på følgende måte (prosess nr. 3) : 1) Beregning av r (i), den f orf argede autokorrelas jon av a(i) på følgende måte: 2) Beregning av det dempede prediksjonsf eil-f ilter c(i) (i =0, ..., p) som tilfredsstiller: 3) Beregning av u(n) ved hjelp av rekursiv oppfiltrering: 4) Beregning av e(n) ved hjelp av rekursiv nedfiltrering:

Signalet som skal isoleres y0(n), blir så beregnet ved hjelp av y0(n) = y(n) - e(n).

Ikke-stas-ionaer rekursiv f iltreringsprosess.

En fjerde måte til anvendelse av det selvutfoldede prediksjonsfeil-filteret i samsvar med oppfinnelsen består i å utføre filtrering som vi kaller "ikke-stasjonær rekursiv" - filtrering, som har den fordel at den reduserer bivirkninger.

Kvasi-prediktabiliteten for y0 kan i matriseform skrives:

hvor A og B er matriser konstruert fra filtere a og b og p er en beregningsvektor referert til som "innovasjonsvektoren", forfarget ved hjelp av B og multiplisert med forfargingsfaktoren e. Hvis e er null, så er y0 fullstendig prediktabel eller forutsigbar.

Eksplisitt utskriving av matriseligning (15) gir:

Man søker e og p ved å minimalisere:

hvor * betegner den konjugerte transponerte av en matrise eller en vektor.

3 er ved et minimum for

e tatt lik e^- A* (AA* + e2BB*)_1Ay

og

som ved fullstendig utskriving av verdiene for emin og <p>min blir:

La s = Ay som er resultatet av foldingen av y med A og v=R_<1>s med R = AA<*> + e<2>BB*.

For å finne v slik at Rv = s, vil en fagmann på området observere at et lineært system må løses, idet R er en kom-pleks p-bånd Toeplitz-matrise danner på grunnlag av autokorrelasjonen til a(i) pluss e<2> multiplisert med autokorrelasjonen til b(i) . En måte å finne v på, består i å bruke Cholesky-dekomponeringen av R:

R = CC<*> (C er en mindre p-bånd triangulær matrise).

Det er imidlertid en matriseoperasjon på data. Dimensjonen av R er N+l-p og således av orden N som er dimensjonen til dataene. En av karakteristikkene ved oppfinnelsen er imidlertid å observere at ved å addere forfarging, er det mulig å tilnærme en matriseoperasjon på dataene ved hjelp av ikke-stasjonær filtrering for de innledende anvendelsespunkt-er. Denne ikke-stasjonære filtreringsstruktur gjør det mulig å kombinere den lave filtreringsprisen med fravær av bivirkninger.

Implementering av denne ikke-stasjonære filtrerings-strukturen i forbindelse med Cholesky-dekomponer ing, består i å stanse oppløsningen etter at de L første kolonner av matrisen C er blitt beregnet, idet matrisen blir fiktivt kom-plettert med ci+j,j <=> ci+L,L for j > L og i=0,...,p. Vi kaller denne metoden partiell Cholesky-dekomponering.

Det antall L trinn etter hvilke beregningen kan stanses med akseptabel feil, avhenger av forfargingsfaktoren og under ingen omstendigheter av antallet datasampler N. Jo større f or fargings faktoren er, jo mindre er den verdi av L som kan velges.

I denne forbindelse kan det observeres at det er vanlig praksis ved digital beregning å addere en liten faktor til diagonalen i en positiv matrise, hvilken faktor er av samme størrelsesorden som" den nummeriske nøyaktigheten til den datamaskinen som brukes (vanligvis IO"<6>) for å garantere at Cholesky-dekomponer ingen er stabil, nummer isk. Den forfarg-ings-autokorrelasjon som brukes i den foreslåtte fremgangsmåte, er av en annen størrelsesorden, idet den er omkring IO"<2 >til IO"<1>, og forsøker å gjøre det mulig å bruke den ikke-stasjonære filtr er ingsstruktur for å tilnærme den inverse av matrisen ved hjelp av et lite antall sett med koeffisienter.

I en foretrukket variant blir koeffisientene til det ikke-stasjonære filter ikke beregnet ved hjelp av partiell Cholesky-dekommponering, men koeffisientene ep(i,j) blir beregnet ved hjelp av en fremgangsmåte som nedenfor kalles ikke-stasjonær dempet prediksjonsfeilfilter-dreining (prosess nr. 5) hvor koeffisientene ep(i,j) blir relatert til Ci,., ved hjelp av forholdet Cij = ep( j, i-j) /\/ep( j , 0) , og koeffisientene em(i,j) er interne variable i prosessen.

Initialisering

Iterasjoner

Por j over området 0 til L, hvor L er mindre enn eller lik N og er antallet iterasjoner som fastsettes ved å oppnå konvergens av ep(j,i) uansett i:

ep(j+l,i) - ep(j,i) - K(j)em(j,i) for i = 0,...,p em(j+l,i) = em(j,i+l)-K(j)ep(j,i+l) for i = 0,...,p-l em(j+l,p) = 0

Slutt på j-sløyfe.

Det kan bemerkes at uttrykkene i K(j) blir beregnet slik at:

em(j+l,-l) =0

Normaliserina

For j over området 0 til L er

5 = l/v/ep( j,0)

ep(j,i) - £.ep(j,i) i = 0, ..., p

Slutt på j-sløyfe.

Uttrykkene i ep blir så fiktivt fullført ved å bruke ®P(j/i) = ep(L,i) for j = L+l, ..., N og i = 0, ..., p.

Med "fiktiv" avslutning av uttrykkene menes at når betegnelsen ep(j,i) deretter opptrer, skal det erstattes med ep(L,i) hvis j er større enn L. Når fremgangsmåten blir realisert på en datamaskin, er det selvfølgelig ikke noe behov for å tildele minnerom til lagring av alle ep(j,i) for j>L, heller ikke er det noe behov for å tildele rom til lagring av citi som er fiktivt avsluttet i den foregående prosessen. Dette viser klart at prosessene nr. 4 og nr. 5 som beskrevet ovenfor, virkelig er ikke-stasjonære filtrerings-prosesser og ikke matriseberegninger på dataene.

Prosess nr. 2 til beregning av den dempede prediktor c(i) er ekvivalent med å ta:

c(i) = ep(L,i)

Følgelig kan ep(j,i) betraktes som et ikke-stasjonært dempet prediksjonsfeil-filter.

Som en oppsummering omfatter den foretrukne ikke-stasjonære rekursive filtreringsoperasjon følgende trinn (prosess nr. 6):

1) Beregning av den forfargede autokorrelasjon

2) Bruk av prosess nr. 5 og r (i) til å beregne det ikke-stasjonære dempede prediksjonsfeil-filter:

ep(0, ..., L; 0, ..., p) fiktivt avsluttet til

ep(0, ..., N; 0, ..., p)

3) Beregning av

4) Beregning av 5) Beregning av for n = N-p, ..., 0 6) Beregning av

for n = -p, .••, N-p

Nedenfor blir den samme betegnelse u=C_<1>s brukt symbolsk for å betegne beregning av u fra s ved hjelp av en ikke-stasjonær filtreringsmetode, uavhengig av den fremgangsmåte som brukes, enten det er en partiell Cholesky-dekomponering, (prosess nr. 4) eller den foretrukne fremgangsmåten ifølge prosess nr. 5 og trinn 4) i prosess nr. 6 ovenfor, eller noen annen fremgangsmåte som innbefatter et trinn hvor et antall L av iterasjoner blir valgt utover hvilken en stasjonær til-nærmelse blir gjort. Spesielt kan den ikke-rekursive filtrer-ingsmetoden (metode nr. 1) også generaliseres som en ikke-stasjonær ikke-rekursiv filtreringsmetode. Levinson-algoritmen når den anvendes på et antall iterasjoner lik antallet datasampler, gjør det mulig å beregne en matrise G slik at: R'<1> = G* G som gjør det mulig å skrive:

Dette er en matriseoperasjon på data. Læren ifølge oppfinnelsen gjør det mulig å tilnærme denne operasjonen med ikke-stasjonær filtrering ved å stanse Levinson-algoritmen etter L iterasjoner og fiktivt avslutte matrisen G.

Betegnelsen for beregning av det ikke-stasjonære rekursive filter C slik at CC<*> = R og anvendelse av filteret ved u=C_<1>s kan således også forstås som beregning av det ikke-stasjonære ikke-r ekur sive filter G slik at G*G = R"<1> og anvendelse av filteret ved u = Gs.

Likeledes blir betegnelsen v = C*<_1>u brukt til å betegne beregning av v fra u, uavhengig av den brukte fremgangsmåte, f.eks. trinn 5) i prosess nr. 4, men fortrinnsvis ved å bruke trinn 5) i prosess nr. 6.

Når prediksjonsf eil-f ilteret a ikke blir beregnet på deterministisk måte fra spektret Y0(f) til signalet y0, blir a beregnet iterativt på den "statistiske" måte.

STATISTISK BEREGNING AV PREDIKSJONSFEIL- FILTERET.

Akkurat lik anvendelsen av det selvutfoldede feilfilteret, kan statistisk beregning av prediksjonsfeil-filteret a utføres på forskjellige måter. I alle tilfeller blir den ikke-forutsigbare del av data beregnet ved hjelp av en lineær operator M: e = My hvor M kan uttrykkes på forskjellige måter: i frekvens blir M(f) definert ved hjelp av ligning

(8«);

i tid

ikke-rekursiv filtrering:

- stasjonær- rekursiv filtrering: ikke-stasjonær rekursiv filtrering: ikke-stasjonær ikke-rekursiv filtrering:

Ikke-stasionær rekursiv filtrering

a kan i samsvar med oppfinnelsen beregnes ved å minimalisere en feilnorm avhengig av a og av y; det er således mulig for beregning av a å minimalisere normen til ikke-prediksjonsdelen e av seismiske data:

e er oppnådd fra dataene ved:

e = My

idet M er en lineær operator uttrykt på en måte som avhenger av den benyttede dekonvolveringsmetode eller utfoldings-metode. Denne operatoren avhenger av prediksjonsfeil-filteret. Vi har:

Det foretrekkes likevel å forsøke å minimalisere i a(0),

..., a(p)

som, i betraktning av det ovenstående, blir det samme som å forsøke å minimalisere HC^Ayl<2.>

Det følger så en beskrivelse av flere måter til beregning av prediksjonsfeil-f ilteret ved å minimalisere l|C<-1>Ay||<2> i samsvar med oppfinnelsen.

For å beregne prediksjonsfeil-filteret ved å minimalisere ||C_1Ay||2, består en første måte i å skrive

som også kan skrives hvor a er en vektor hvis komponenter er a(0), ..., a(p) og Y er den Toeplitz-matrisen som er dannet på grunnlag av y og som har p+1 kolonner y0, •••/Yt, hvor

Minimalisering av ||C<_1>Ay||<2> blir det samme som å minimalisere d<*> d.

For å gjøre dette beregnes matrisen U = C<_1>y/ så U* U, og tilslutt ved å løse

(U<*> U)h = (1, 0, ..., 0) *

og ignorere avhengigheten av U i a.

Etter beregning av h som har komponenter h(0), ..., h(p), er det så nødvendig å beregne a(i), ved å normalisere h(i) på en slik måte at a(0) = 1, som følger

a(i) = h(i)/h(0) i = 0, ..., p

For å ta i betraktning avhengigheten av U i a blir så de ovennevnte beregninger utført igjen med nye verdier av a(i) inntil den ønskede konvergensen er blitt oppnådd.

Den ovenfor beskrevne fremgangsmåte til beregning av a på statistisk måte, kan oppsummeres på følgende måte (prosess nr. 7):

1) Velge p+1 innledende koeffisienter a(i).

2) Beregne et ikke-stasjonært filter C fra den forfargede autokorrelasjonen r(i), hvor C er slik at CC* * R, hvor R er Toeplitz-matrisen dannet fra r(i). 3) Bruke ikke-stasjonær rekursiv filtrering til å beregne de p+1 vektorene ni: 4) Beregning av kovarians-matrisen til uttrykkene uLz 5) Løse

i = 0, ..., p med 6(1) = 0, og

5(i) = 0 for i = 1, —, p

6) Beregning av a(i) = h(i)/h(0) i = 0, ..., p

7) Gjenta trinn 2) inntil den ønskede konvergens av verdiene a(i) oppnås.

8) Slutt.

I en variant for beregning av prediksjonsfeil-filteret, er det mulig å utføre den ikke-stasjonære ikke-rekursive filtrering ved å erstatte trinnene 2) og 3) i prosess nr. 7, ved: 2) Beregning av det ikke-stasjonære filter G fra den forfargede autokorrelasjonen r(i), hvor G er slik at G* G * R"<1>, hvor R er den Toeplitz-matrisen som er dannet fra r (i). 3) Beregning ved hjelp av ikke-stasjonær ikke-rekursiv filtrering av de p+1 vektorene ux slik at uA = Gy^

I en variant for å beregne prediksjonsfeil-filteret ved å minimalisere HC^Ayl<2>, er det mulig å utføre såkalt stasjonær rekursiv filtrering;

Den foregående ligning d * C_<1>Ay kan skrives symbolsk i tidsdomenet på følgende måte

med

Etter beregning av det dempede prediksjonsfeil-filter c(i) , blir u(n) beregnet ved å bruke ligning (18) , og så blir de verdier a(i) søkt som minimaliserer £|d(n)|<2>.

For fagfolk på området er det kjent mange metoder til å finne uttrykkene a (i) som minimaliserer £|d(n) |<2.>

Hvis det brukes en "korrelasjonsmetode" , antas det at u(n) er kjent for n=0, ..., N og er null for andre verdier av n, og slik at d(n) ikke er null for n=0, ..., N+p og er null ellers. Således blir følgende minimalisert: Fortrinnsvis blir det brukt en "kovariansmetode" som har den fordelen at bivirkninger tas bedre hensyn til. Det antas at u(n) er kjent for n=0, ..., N og ellers er ukjent, slik at d(n) er kjent bare for n=p, ..., N, og følgende blir minimalisert

Prosessen med statistisk beregning av prediksjonsfeil-filteret ved hjelp av stasjonær rekursiv filtrering kan oppsummeres på følgende måte (prosess nr. 8) : 1) Valg av et innledende prediksjonsfeil-f ilter a som har koeffisienter a(0), a(l), ..., a(p).

2) Beregning av den forfargede autokorrelasjon

3) Beregning av et dempet prediksjonsfeil-filter c(i) fra r(i) ved å bruke prosess nr. 2. 4) Bruke rekursiv filtrering til å beregne u(0), ..., u(N) ved hjelp av 5) Beregning av kovarians-matrisen COVu for u(n)

for i = 0, ..., p

og j = 0, ... , p

6) Beregning av vektoren h til komponentene h(0), ..., h(p) som tilfredsstiller

COVuh - [1, 0, ..., 0)]<*> (f.eks. ved hjelp av Cholesky-metoden) .

7) Beregning av a(i) ved normalisering av h(i) :

8) Retur til trinn 2) inntil den ønskede konvergens er blitt oppnådd for verdiene a(i) .

I en variant for å beregne prediksjonsfeil-filteret som minimaliserer ||C<_1>Ay||<2>, er det mulig å utføre ikke-rekursiv filtrering som innbefatter følgende trinn (prosess nr. 9): 1) Valg av et innledende prediksjonsfeil-filter a med koeffisienter a(0) = 1, a(l), ..., a(p).

2) Beregning av den forfargede autokorrelasjonen

3) Beregning av g(i) fra r (i) ved å bruke prosess nr. 1 (trinn 2).

4) Beregning av u(n) = g(i) * y(n).

5) Beregning av kovarians-matrisen COVu for u(n)

med i = 0, ..., p

Og j = 0, ..., p

6) Beregning av h(0), ..., h(p) som tilfredsstiller

COVuh = [1, 0, ..., 0]<*> (f.eks. ved hjelp av Cholesky-metoden).

7) Beregning av a(i) ved å normalisere h(i)

a(i) = h(i)/h(0)

8) Retur til trinn 2) inntil den ønskede konvergens er blitt oppnådd for verdiene a(i).

I en tredje variant for å beregne prediksjonsfeil-filteret ved å minimalisere HC^Ayfl<2>, blir følgende trinn brukt (prosess nr. 10): 1) Valg av et innledende prediksjonsfeil-filter a med koeffisienter a(0) = 1, a(l), ..., a(p). 2) Beregning av A(f) ved hjelp av en Fourier-transformasjon av a(i).

3) Beregning av UU(f) = |Y(f) |<2>/[ |A(f) |<2> + e2|B(f)|2].

4) Beregning av uu(i) ved hjelp av en invers Fourier-transformasjon av UU(f). 5) Beregning av a(i) ved å løse Toeplitz-systemet av ligninger dannet med uu(i) ved hjelp av Levinson-algoritmen uten et annet medlem, f.eks. 6) Retur til trinn 2) inntil den ønskede konvergens er blitt oppnådd for verdiene a(i).

Statistisk beregning av forfarginasfilteret

Uten å gå utover oppfinnelsens formål er det mulig å

bruke teknikker til funksjonsminimalisering kjent for fagfolk på området til å minimalisere en gitt norm som en funksjon av koeffisienter b(0), ..., b(q) for forfargingsfilteret b, med eller uten fastsetting av verdien e. Spesielt ved iterativ beregning er det mulig å anslå e og/eller b som en funksjon av anslått støystatistikk e og som en funksjon av innovasjonsvektoren p ved den foregående iterasjon. Uttrykket for

innovasjonsvektoren p, det vil si p = eB<*> R<_1>Ay viser at den kan beregnes som et biprodukt av beregningen av e.

EKSEMPLER PÅ ANVENDELSE AV EN FREMGANGSMÅTE IFØLGE OPPFINNELSEN I f■x—PLANET.

Når det brukes rekursiv filtrering, gjør oppfinnelsen det mulig å utføre deterministisk filtrering i f,x-planet, uansett formen på det signal y0 som skal isoleres i f,k-planet, uten at filterets selektivitet gir opphav til lang beregningstid, og når den ikke-stasjonære rekursive filtrering som er beskrevet ovenfor, blir brukt, gjør oppfinnelsen det også mulig å unngå ulempene med bivirkningene som man støter på i tidligere kjente fremgangsmåter.

En foretrukket implementering av fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen er som følger når signalet er definert ved sin lokalisering i f,k-planet (deterministisk filtrering): 1) Brukeren bestemmer en sone i f,k-planet som inneholder det signalet y0 som skal isoleres. 2) For alle verdier av den romvariable x, blir dataene y(t,x) til den tidsvariable t underkastet Fourier-transformasjon for å oppnå transformerte data Y(f,x) i f,x-planet.

3) Ta for hver frekvens f i f,x-planet:

3a)

y(n) = Y(f,n) ;

3b) Bestem områdene til den variable k som inneholder det forutsigbare signal y0 som skal isoleres, ved å lage en seksjon av sonen ved konstant f;

3c) beregn det elementære romrediksjonsfeil-filter (variabel x) som svarer til hvert av de ovennevnte områder i k for en gitt e (f.eks. ved å bruke den ovenfor beskrevne metode med Chebyshevs polynomer);

3d) beregn det totale prediksjonsfeil-filter a(i) og den tilsvarende f orf argede autokorrelas j onen r (i) ;

3e) beregn det ikke-stasjonære prediksjonsfeil-filter eP(j/i) fra den forfargede autokorrelasjonen r(i) (fortrinnsvis ved å bruke prosess nr. 5);

3f) beregn den ikke-forutsigbare del e(n) av dataene ved hjelp av trinnene 3), 4), 5) og 6) for den ikke-stasjonære rekursive filtreringsprosess (prosess nr.6);

3g) subtraher den ikke-forutsigbare del e(n) fra dataene y(n) for å oppnå den forutsigbare del yo(n); og

3h) vend tilbake til trinn 3a) for den følgende frekvens f med mindre den siste frekvens i f,x-planet er blitt nådd; og endelig 4) utfør for alle x den inverse Fourier-transf ormas jon for den variable f i e(n) eller y0(n) for å vende tilbake til t,x-planet.

Ved anvendelse av oppfinnelsen på seismiske data y(f,x) i f,x-planet og når prediksjonsfeil-f ilteret a blir beregnet på statistisk måte, er det mulig å minske til en viss grad ulempene ved prediktiv filtrering som man støter på i teknikkens stand, og spesielt ved den fremgangsmåten som er foreslått av Canales.

Ved utførelse av statistisk filtrering er en foretrukket utførelsesform av fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen som følger: 1) Anvend for alle x Fourier-transformasjonen på seismiske data y(t,x) for den variable t for å flytte til f,x-planet.

2) Ta for hver frekvens f i f,x-planet:

2a) y(n) = Y(f,n);

2b) velg en lengde p for prediksjonsf eil-f ilteret, en faktor e og et prefargingsf ilter b(0), ..., b(q), og også et antall iterasjoner for å oppnå konvergens i a(i);

2c) beregn:

ved rekursiv oppfiltrering, hvor c(i) er det dempede prediksjonsf eil-f ilteret til den foregående iterasjon (eller for den siste iterasjon for den foregående frekvens hvis det er den første iterasjonen for frekvensen som for øyeblikket integreres); 2d) beregn kovarians-matrisen til u(n) (trinn 5) i prosess nr. 8) ; beregn i en variant korrelasjonsmatrisen til u(n); 2e) løs systemet for å tilveiebringe koeffisientene a(i) til prediksjonsfeil-filteret, fortrinnsvis ved hjelp av trinn 6) og 7) i prosess nr. 8; 2f) beregn den forfargede autokorrelasjon r (i) (trinn 1 i prosess nr. 6) og det dempede prediksjonsfeil-filter c(i) (fortrinnsvis ved hjelp av prosess nr. 2); 2g) vend tilbake til 2c) inntil den ønskede konvergens er blitt oppnådd i verdiene av a(i); 2h) bruk prosess nr. 6 til å oppnå den ikke-forutsigbare del e(n) av dataene; 2i) subtraher den ikke-forutsigbare del e(n) fra dataene y(n) for å oppnå den forutsigbare del y0(n); og 2j) vend tilbake til 2a med mindre det er den siste frekvensen. 3) Utfør for alle x den inverse Fourier-transformasjon på y0(n) for den variable t for å tilveiebringe y0(t,x).

Prediksjonsfeil-filteret blir fortrinnsvis beregnet på en stasjonær rekursiv måte, med det selvutfoledede prediksjonsfeil-f ilteret anvendt på ikke-stasjonær rekursiv måte. Fig. 4 viser et syntetisk seismisk snitt t-x hvor tids-aksen er vertikal og x-aksen er horisontal. De seismiske data y(t,x) inneholder tre forutsigbare hendelser (representert ved rette linjer) som det er ønskelig å isolere fra ikke-forutsigbar tilfeldig støy. Fig. 5 viser den forutsigbare del y0(t,x) etter implementering av fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen. Man vil se at den tilfeldige støy er sterkt svekket. Fig. 6 viser den ikke-forutsigbare del e(t,x), og det kan sees at der ikke er noe forutsigbart signal tilstede, selv ved kantene (ingen kanteffekter). Fig. 7 og 8 viser henholdsvis de forutsigbare og de ikke-forutsigbare deler som frembringes ved implementering av fremgangsmåten som er beskrevet av Canales, forbedret ved å ta en bilateral prediksjonsfilter-feil a(-p), ..., a(0) = l, ..., a(p), og under antagelse av at den ikke-forutsigbare del blir oppnådd ved å anvende det bilaterale prediksjonsfeil-filteret på dataene.

På fig. 7 kan det sees at støysvekkingen er mindre god, og på fig. 8 at der kan være en rest av det forutsigbare signal.

Anvendt på svekning av tilfeldig støy tilveiebringer således oppfinnelsen bedre støysvekking og bedre signalbe-varing enn hva som er mulig i henhold til teknikkens stand.

Oppfinnelsen er naturligvis ikke begrenset til de eksempler som er beskrevet ovenfor.

F.eks. er det mulig å påføre en spesiell form på prediksjonsfeil-f ilteret a ved å velge de pmin innledende koeffisientene til prediksjonsfeil-filteret lik null. Prediksjonsfeil-f ilteret har da formen [1, 0, ..., 0, a(pmin + 1), ..., a(p)]. Det må selvsagt tas hensyn til denne spesielle formen av prediksjonsfeil-f ilteret ved løsing av det ligningssystem-et som dannes av kovarians-matrisen COVu i den statistiske prosessen for beregning av prediksjonsfeil-filteret. Den spesielle formen av filteret kan med fordel brukes til model-lering av forutsigbar støy som skyldes multiple refleksjoner, for å eliminere den.

De ovenfor beskrevne fremgangsmåter ifølge oppfinnelsen kan implementeres i tidsdomenet eller i romdomenet, og de kan lett generaliseres til et antall dimensjoner. En-dimensjonale ligninger kan lett konverteres til to-dimensjonale ligninger, osv., ved å bruke passende betegnelser.

F.eks. kan forutsigbarheten eller prediktabiliteten til y0(nxl,nx2) for mediet nxl<=> 0, Nxa,nx2<=> 0, ... , Nx2 ved hjelp av prediksjonsfeil-filteret a(i,j) for mediet i = 0,

•••f Pxi/ j 888 Of •••f Px2 skrives som:

a(i, j)**y0(nxl,nx2) <=> 0 (19)

hvor ** symboliserer et foldingsprodukt eller konvolverings-produkt med to dimensjoner.

La Yonxi være komponentenes vektor slik at Y0nxi(nx2) <= >Y0(nxl,nx2) , og la Ai være matrisen til komponentene Ai(n,j) = a(i,n-j).

Ligning (19) blir skrevet:

det vil si Ai(<*>)Y0nxl <=> 0

hvor (*) er en symbolsk betegnelse for matrise-foldingspro-duktet.

Med denne betegnelsesmåten blir den en-dimensjonale ligning

skrevet:

hvor Rn for alle n er en Toeplitz-matrise i blokker.

Med ikke-rekursiv filtrering må matrisen til systemet som må løses for å finne matrisene Gn, ha samme struktur som en Toeplitz-matrise i blokker, slik at systemet kan løses ved hjelp av en Levinson-algoritme som bruker blokker. Som et subsidiært punkt er hver av blokkene selv en Toeplitz-matrise.

Med rekursiv filtrering blir matrisne cn eller Ep^ beregnet fra Rn analogt med de ovenfor beskrevne rekursive filtreringsprosessene nr. 2 og 5. I det deterministiske tilfellet er minste kvadraters metode lett å generalisere til en flerhet med dimensjoner.

Oppfinnelsen kan også anvendes på f, kxl, Xi-domenet i nærvær av tre-dimensjonale data som er en funksjon av de variable t, Xx og x2. I f,Xi,x2-domenet er det fordelaktig å bruke et to-dimensjonalt prediksjonsfeil-f ilter som beskrevet ovenfor, og i f,kx2,X!-domenet blir hver kx2 underkastet behandling analog med den for de seismiske data i f ,x-planet, som beskrevet ovenfor.

Oppfinnelsen kan også anvendes til utførelse av såkalt "f lerkanal"-behandling hvor m samlinger av data y3 er til-gjengelige:

som omfatter en forutsigbar del y0j for et vanlig prediksjonsfeil-f ilter.

Da er y3(n) = y03(n) + e^n) og a(i) <*> y0j(n) <«> 0.

Statistisk flerkanal-beregning av prediksjonsfeil-filteret blir utført i samsvar med oppfinnelsen ved å minimalisere:

ved å beregne kovarians-matrisene C0Vi som svarer til hver datasamling yit ved å beregne £jcovj = COV og ved å løse systemet med COV. I prosess nr. 8 som svarer til trinn 4) og 5) som må utføres for alle j, blir trinn 6) utført med COV-matrisen.

Oppfinnelsen kan med fordel anvendes på gjenopprettelse av tapte data.

I praksis hender det ofte at den trase som svarer til en sensor anordnet ved absisse x på innsamlingsrutenettet i et seismisk snitt t-x, er ubrukbar, enten på grunn av en feil i datainnsamlingsutstyret eller fordi det signal som er levert av sensoren, ble mettet udner registrering av et meget høyt støynivå.

Oppfinnelsen gjør det mulig å gjenopprette den forutsigbare komponenten i de manglende data.

De seismiske data blir så antatt å inneholde et forutsigbart signal for et prediksjonsfeil-filter som har koeffisienter a (i), pulsstøy for de manglende verdier, og et ikke-forutsigbart additivt signal.

Dataene blir skrevet på formen:

hvor z betegner den vektor som inneholder de eksisterende og kjente seismiske data, og pi betegner den vektor som inneholder pulsresponsen til den j. pulsstøy som svarer til den j. manglende verdi for indeks I(j).

Vektoren Pj har komponenter Pj(0), ..., Pj(N) slik at

p3(n) = 1 dersom n = I(j) og Pj(n) = 0 dersom n * I(j) hvor w(j) er en skalar som betegner den ukjente amplituden til den j. pulsstøyen.

De data som mangler i vektor z, kan antas å være vilkår-lige, f.eks. lik 0.

I hvilket tilfelle

Den verdi som er gjenopprettet for posisjonen I(j) er således -w(j).

La P være den matrise hvis kolonner er vektorene p3. La w være den vektor hvis komponenter er skalarene w(j). Da er:

Det er nødvendig å underkaste den gjenopprettede y for separasjon inn i den forutsigbare del y0 og den ikke-forutsigbare del e.

Da er: e blir beregnet fra y ved å bruke en lineær operator M, hvis uttrykk varierer som en funksjon av den benyttede dekon-volverings- eller utfoldings-metode, men som i alle tilfeller blir satt på formen:

Som et eksempel i det ikke-stasjonære, rekursive tilfellet: H = C-xA.

Vektoren w blir bestemt ved å minimalisere:

fra ligning (15"), hvor X er en forblekingsfaktor. Det er blitt gjort forsøk på å minimalisere størrelsen w blir funnet ved å minimalisere (20) ved å løse: (P* MP + X<2>I)w = p* Mz, hvor I er identitetsmatrisen.

Ved å skrive D = HP og s = Hz, blir

Uttrykket for de gjenopprettede data y blir utledet fra:

Uttrykket for den ikke-forutsigbare del er: eller i virkeligheten e = H* [s - D(D* D + X<2>I)_<1>D* s] og den forutsigbare del y0 blir beregnet ved hjelp av:

Hvis inngangen er z og den gjenopprettede datautgang y, så tjener oppfinnelsen til å gjenopprette manglende data.

Hvis inngangen er z og utgangen er den forutsigbare del y0, så gjør oppfinnelsen det mulig å gjenopprette manglende data og svekke støy.

Uten å gå ut over oppfinnelsens ramme er det selvsagt mulig å generalisere til det tilfellet hvor p.,-uttrykkene blir erstattet med enhver pulsrespons for støy av kjent form Pj og ukjent amplitude w(j).

Hvis prediksjonsfeil-f ilteret a er ukjent, så må det finnes to vektorer w og a.

Vi starter fra innledende verdier for y(n) (f.eks. med de manglende verdier satt lik 0). a (i) blir beregnet med konstant y(n) ved å bruke en statistisk eller en deterministisk metode til beregning av prediksjonsfeil-filteret. Så kan den ovenfor nevnte fremgangsmåte til beregning av y fra z brukes til å oppdatere y(n) med konstant a(i). så vender metoden tilbake til beregning av a (i) hvis statistisk beregning benyttes.

For inngangsdata som er de kjente verdier av y(n) og for hver vektor pj for j = 1, ..., m som er pulsresponsen til den j. støy, omfatter den anvendte metode følgende trinn i det statistiske tilfellet (prosess nr. 11):

1) Initialisering av dataene y(n).

2) Beregning av prediksjonsfeil-filteret a(i) for aktuelle Y(n) .

3) Oppdatering av y(n) for aktuelle a(i):

3a) Beregning av m vektorer dj = Hp.,, j=l,..., m;

3b) beregning av vektoren s = Hy;

3c) beregning av matrise x(iyj) - d^d.,

i,j = 1, ..., m;

3d) addering av formleggingsfaktoren:

X(i,i)-x(i#i) + ^2 i = l/ m;

3e) beregning av vektoren k(i) = di<*>s;

3f) løsing av det lineære systemet av orden m:

3g) oppdatering av y(n) som følger: 4) Man vender tilbake til 2) inntil den ønskede konvergens er blitt oppnådd for a(i), ellers går man videre til 5).

5) Beregning av u:

6) Beregning av e = H<*> u.

7) Beregning av y0 = y - e.

Fremgangsmåten ovenfor ifølge oppfinnelsen blir med fordel anvendt i følgende tilfeller:

Koherent støy

Ved å bruke komponentene av koherent støy med ukjent amplitude som kolonner i P, er det mulig å modellere forekomsten av koherent støy i seismiske data. I f.eks. f,x-planet er f.eks. støy med kjent spredningsforhold ki(f):

Manglende traser

Fig. 9 viser et t,x-seismisk snitt hvor ti traser mangler.

Generelt antas at der er m manglende traser med indekser I(l)...I(m) i det seismiske snitt.

Matrisen P blir bygd opp til å ha m kolonner hvor den j. kolonne er vektor p3 til komponenten Pj(0), ..., Pj (N) slik at: Pj(n) = 1 dersom n=I(j), og p5(n) = 0 dersom n * I(j)

Dette modellerer forekomsten av pulsstøy for de gitte verdier, som er det samme som å si at de er ukjente.

Fortrinnsvis blir beregningstiden redusert ved å beregne bare en vektor d = Hp0 hvor p0(p) - 1 og p0(n) = 0 hvis n * p.

I dette tilfellet er Ap0 = [a(0),..., a(p), 0, ..., 0]T.

Hvis stasjonær rekursiv filtrering blir benyttet på H,

så er:

Dette er divisjonen med økende potens av to polynomer som kan stanses såsnart verdien av d(i) blir neglisjerbare.

Vektoren d5 blir oppnådd ved å forskyve vektoren d gjennom I(j)-p sampler nedover og sette de innledende I(j)-p sampler til null.

I det ikke-stasjonære, rekursive tilfellet blir operasjonene av form s = Hy utført ved hjelp av trinn 3) og 4) i prosess nr. 6, og operasjonene av formen e = H<*> u blir utført ved hjelp av trinn 5) og 6) i den samme prosessen.

En forenklet variant består i å erstatte trinn 3) for oppdatering fra y(n) til konstant a (i) med en iterativ prosess som ikke krever løsning av et lineært system. Trinn 3<*>) som erstatter 3) er som følger:

3<1>) Oppdatering av y(n) for aktuell a(i):

3a) Initialisering av yit(n) = y(n) ,

3b) beregning av den ikke-forutsigbare del e(n) av Yit(n) ,

3c) oppdatering av yit(n) f or. bare de n sampler som svarer til de manglende verdier (n = I(j) for j = 1, ..., m) på følgende måte:

3d) tilbakevending til 3b) eller videre til 3e) hvis den ønskede konvergens er oppnådd i yit(n), 3e) oppdatering av y(n) bare for de samplene n som svarer til de manglende verdier, på følgende måte:

Fig. 10 viser at dataene y er gjenopprettet ved hjelp av oppfinnelsen, og fig. 11 og 12 viser henholdsvis de forutsigbare og ikke-forutsigbare deler av de gjenopprettede data. Sammenligning av fig. 11 og 5 viser at de ti manglende trasene forringer det endelige resultatet meget lite.

Deler av manglende traser

Dette er aktuelt når det i det seismiske t-x-snittet mangler verdier for visse kjente par t,x (f.eks. for visse traser hvor verdiene y(t) som svarer til visse tidsinter-valler, mangler).

I dette tilfellet blir hver frekvens ikke behandlet uavhengig.

I det seismiske t,x-snittet:

hvor y i dette tilfellet er settet med verdier i t og x for et seismisk snitt, z inneholder settet med kjente verdier, w settet med ukjente data, og P er en lineær operator som anbringer de ukjente data i settet av verdier i t og x for det seismiske snittet.

Fortrinnsvis blir den konjugerte gradient algoritme brukt til å løse systemet:

For dette formål blir den lineære operator D skrevet på formen:

hvor F representerer den lineære operator som transformerer t,x-planet inn i f,x-planet ved å anvende Fourier-transformasjonen på den variable t i F for hver x.

Å anvende den konjugerte tradient algoritme på det lineære systemet (21) gjør at det ikke er nødvendig å skrive matrisen D, idet det er tilstrekkelig å vite hvordan følgende operasjoner skal utføres:

u = Dv og r = D<*> u

Fra uttrykket (22) består fremgangsmåten for utførelse av u = Dv i å: 1) Ta verdiene av v (v er en vilkårlig vektor med samme dimensjon som de manglende verdier) og anbringe dem på t,x-snittet med null verdier for de kjente verdier (operator P); 2) utføre Fourier-transf ormas jonen av t til f for alle x (anvend operatoren F);

3) anvend operatoren H for alle f.

Fremgangsmåten for å utføre r = D<*> u består i å:

4) Anvende operatoren H<*> for alle f over u (hvor u er et snitt i f,x-planet); 5) utføre den inverse Fourier-transf ormas jon av f til t for alle x (uten å normalisere verdiene ved å dividere dem med antallet sampler) (operator F*) ; og 6) ta fra det resulterende seksmiske t,x-snitt de verdier som opptrer på de manglende steder (operator P*).

Følgende gjelder også:

s kan derfor beregnes ved å anvende ovennevnte trinn 2) og 3) på de kjente data, idet y - D<*> s ved hjelp av trinn 4) , 5) og 6) .

Ved å bruke g og fremgangsmåten for utførelse av trinnene 1) til 6) i rekkefølge, løser den konjugerte gradient algoritmen systemet (21).

Straks w er blitt beregnet, blir det gjenopprettede seismiske t,x-snittet oppnådd ved:

Deretter kan y separeres i en forutsigbar del og en ikke-forutsigbar del i f,x-planet for å svekke støy.

Når prediksjonsfeil-f ilteret er ukjent, er det også mulig å integrere denne fremgangsmåten i prosess nr. 11 som en erstatning for trinn 3) til beregning av y(n) i denne prosessen.

Det er også mulig å omforme trinn 3 * for det tilfellet hvor deler av trasene mangler. Det følgende flytskjema blir således tilveiebragt (prosess nr. 12) ved å:

1) Initialisere data y(t,n).

2) Bruke Fourier-transformasjonen til å gå fra y(t,n) til Y(f,n).

3) Oppdatere a(f,i):

3a) for alle f:

i) y(n) = Y(f,n)

ii) beregne statistisk prediksjonsfeil-filteret

a(f,i) for y(n) og i = 0, ..., p

iii) initialisere Yit(f,n) = Y(f,n) for alle n iv) returnere til 3a)i), eller hvis siste frekvens, gå til 4).

4) Oppdatere y(t,n):

4a) Initialisere yit(t,n) = y(t,n)

4b) bruke Fourier-transformasjonen til å gå fra yit(t,n) til Yit(f,n)

4c) for alle f:

ii) beregne den ikke-forutsigbare del e(n) av yit(n) ved hjelp av operatoren M(f) beregnet fra a(f,i) som allerede er beregnet i 3c) iv) returnere til i) eller gå videre til 4d) hvis det er siste frekvens. 4d) bruke den inverse Fourier-transformasjon til å gå fra E(f,n) til e(t,n), 4e) oppdatere yit(t,n) for bare de sampler (t,n) som svarer til de manglende verdier på følgende måte:

4f) returnere til 4b) eller gå videre til 4g) hvis yit(t,n) har konvergert som ønsket

4g) oppdatere y(t,n) som følger:

5) Returnere til 2) eller fortsette til 6) hvis a(f,i) har konvergert. 6) Frembringe gjenopprettede data y(t,n) som kan separeres i y0(t,n) og e(t,n) i (f,x)-domenet.

Interpolasjon

Et gitt seismisk t,x-snitt kan erstattes med et snitt hvis rutenett i rommet har en mindre stegstørrelse, og de manglende trasene kan beregnes ved å anvende fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen.

Det blir nedenfor antatt at bare en av hver m traser er kjent.

Fortrinnsvis blir følgende fremgangsmåte anvendt:

La A(f) være prediksjonsfeil-filteret for de interpolerte data som er beregnet deterministisk eller på annen måte.

La Z(f) være det dataspektret som er frembragt fra de

kjente data som antas å være jevntrfordelt, ved å sette lik null alle de manglende data som er anbragt i et rutenett som er m ganger finere enn det kjente datarutenettet, hvor m er interpolasjonsfaktoren. La Y(f) være de interpolerte data

hvorfra støy ikke er blitt fjernet og som innledningsvis skal anslås.

Z(f) kan skrives på følgende måte:

Hvis Y(f) inneholder p frekvenslinjer f3 hvor A(f) kanselleres, vil signalet Z(f) inneholde frekvenser ft + i/m, i= 0, .««, m—l• Det følgende prediksjonsfeil-filteret blir konstruert

som gjør det mulig å fjerne frekvensene f} + i/m for i = 1,

..., m-l og gjenopprette Y(f).

I tidsdomenet blir a2(i) beregnet ved hjelp av folding eller konvolvering av de m prediksjonsfeil-f iltere som er oppnådd fra a(i) ved modulasjon. A(f + k/m), k = 1, ..., m-l har en lengde p i tidsdomenet og blir skrevet på følgende måte:

Autokorrelasjonen til hvert modulert prediksjonsfeil-filter blir også beregnet, en forblekingsfaktor blir addert til hvert av dem, og folding eller konvolvering blir utført.

Dette frembringer den f orf argede autokorrelasjon rz(i).

De interpolerte data som fremdeles inneholder støy Y(f) kan således anslås ved å anvende på Z(f) det feilfilteret M(f) som er beregnet fra prediksjonsf eil-f ilteret Az(f). I frekvenstilfellet blir dette skrevet på følgende måte:

men det kan også beregnes i tidsdomenet ved hjelp av en av de ovenfor beskrevne tidsfiltrerings-strukturene.

Ved å bruke de interpolerte data som inneholder støy Y(f) , er det mulig å beregne det interpolerte signal fra hvilket støy er blitt fjernet Y0(f) ved å bruke prediksjonsfeil-f ilteret A(f) , dets forfargede autokorrelasjon, og en av de ovenfor beskrevne fremgangsmåter. I frekvenstilfellet blir dette skrevet på følgende måte:

En annen mulighet som er hurtigere, er å sette Y(f) = Z(f) og fjerne støy etterpå, noe som er ekvivalent med å skrive: Denne fremgangsmåten kan gi gode resultater hvis filteret

har en bred svekningssone.

Claims (28)

1. Fremgangsmåte til seismiske undersøkelser, omfattende: en seismisk forstyrrelse blir forårsaket i undergrunnen og sensorer blir brukt til å ta imot samplede seismiske data y =[y(0), ..., y(N)]<T> hvor N er et heltall, idet dataene inneholder et signal y0 som skal isoleres og som er innbakt i additiv støy;karakterisert ved at: de seismiske data blir underkastet filtrering i tidsdomenet eller frekvensdomenet for å oppnå filtrerte data hvor signalet som skal isoleres er fraværende; filterdataene blir subtrahert fra de opprinnelige seismiske data for å frembringe behandlede data y0(0), ..., y0 (N) som svarer til signalet y0 uten additiv støy; de data som er frembragt på denne måten, blir behandlet for derfra å utlede nytteinformasjon om undergrunnens geologi ; idet det filteret som brukes til filtrering av de seismiske data er et selvdekonvolvert prediksjonsfeil-frekvensfilter M(f) slik at: eller et ekvivalent filter i tidsdomenet, hvor A(f) er spekteret til et prediksjonsfeil-filter a med p+1 koeffisienter a(0), a(p) hvor p er et heltall mindre enn N, hvor a er forhåndsvalgt for best kansellering ved hjelp av konvolvering av det signalet y0 som skal isoleres, R(f) er en forfarget autokorrelasjon av prediksjonsfilteret a som tilfredsstiller: hvor e og B(f) henholdsvis er en forfargingsfaktor og et forfargingsfilter som på forhånd er valgt som en funksjon av den selektivitet som er ønsket for filtreringen.

2. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at det selvdekonvolverte prediksjonsfeil-filteret er ikke-stasjonært for seismiske data nær kantene.

3. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at de p+1 koeffisientene a(0), a(l), ..., a(p) til prediksjonsfeil-filteret a blir beregnet deterministisk fra kjente fysiske parametere for signalet y0 som skal isoleres.

4. Fremgangsmåte ifølge krav 3, hvor signalet y0 har et spektrum Y0(f) som utgjøres av p frekvenslinjer fq (q = 1,<...,> p)<# > karakterisert ved at koeffisientene til prediksjonsfeil-filteret a utgjøres av:

5. Fremgangsmåte ifølge krav 3, hvor signalet y„ har et spektrum Y0(f) hvis medium innbefatter minst ett frekvensområde hvor Afq er halve bredden av det området som er sentrert på frekvensen fq, karakterisert ved at koeffisientene a(0), a(l), ..., a(p) til prediksjonsfeil-filteret a med spektrum A(f) blir bestemt ved hjelp av minste kvadraters metode ved å minimalisere integralet J"0 W (f) |A(f) |<2>df med a(0) = 1 og hvor W(f) er en funksjon lik 1 når f ligger i et frekvensområde hvor spekteret Y0(f) ikke er null, og ellers lik null.

6. Fremgangsmåte ifølge krav 3, hvor signalet y0 har et spektrum Yn(f) hvis medium innbefatter Q frekvensområder idet Afq er den halve bredde av et område sentrert på frekvensen fq, karakterisert ved at koeffisientene til prediksjonsfeil-filteret a blir bestemt av med aq(i) = sq(i)/sq(0) for q = 1, ..., Q hvor koeffisienten sq(i), i = 0, ..., pq blir bestemt av forholdet hvor Tpq er Chebyshev-polynomet av første type og av orden pq, og ved at den forfargede autokorrelasjon blir beregnet ved hjelp av:

7. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at filtreringen i frekvensområdet består av å multiplisere de seismiske data y(0), ..., y(N) med filteret M(f).

8. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at ved filtrering i tidsdomenet, blir den forfargede autokorrelasjon beregnet av r(i) svarende i tidsdomenet til R(f) og slik at: hvor b er forfargingsfilteret ekvivalent med B(f) i tidsdomenet .

9. Fremgangsmåte ifølge krav 8, karakterisert ved at filtreringen ved hjelp av det selvkonvolverte prediksjonsfeil-filteret innbefatter følgende trinn:

1) beregning av et filter g(i) slik at

2) bruk av ikke-rekursiv filtrering til å beregne e(n) for n over området 0 til N, på følgende måte: hvor e(n) er additiv støy.

10. Fremgangsmåte ifølge krav 8, karakterisert ved at filtreringen ved hjelp av det selvkonvolverte prediksjonsfeil-filteret innbefatter følgende trinn:

1) beregning av filteret c(i) slik at c(i) <*> c(-i) = p(i);

2) beregning av u(n) ved hjelp av rekursiv oppfiltrering for n over området 0 til N på følgende måte:

3) beregning av e(n) ved hjelp av rekursiv nedfiltrering for n over området 0 til N på følgende måte: hvor e(n) er additiv støy.

11. Fremgangsmåte ifølge krav 8, karakterisert ved at anvendelse av det selvkonvolverte prediksjonsfeil-filteret på data, innbefatter følgende trinn:

1) beregning av et ikke-stajonært filter G fra den for-f argede autokorrelasjon r (i), hvor G er slik at G<*>G=R~<1>, idet R er Toeplitz-matrisen dannet fra r (i);

2) bruk av stasjonær, ikke-rekursiv filtrering til å beregne s = Ay svarende til s(n) = a (i) <*> y(n);

3) bruk av ikke-stasjonær, ikke-rekursiv filtrering til å beregne u = Gs;

4) bruk av ikke-stasjonær, ikke-rekursiv filtrering til å beregne v = G<*>u;

5) bruk av stasjonær, ikke-rekursiv filtrering til å beregne e = A<*>v svarende til hvor e(n) er additiv støy.

12. Fremgangsmåte ifølge krav 8, karakterisert ved at anvendelsen av det selvkonvolverte prediksjonsfeil-filteret på seismiske data, innbefatter følgende trinn:

1) beregning av det ikke-stajonære filter C fra den forfargede autokorrelasjonen r(i), hvor C er slik at CC<*> = R, og R er Toeplitz-matrisen dannet av r (i);

2) bruk av stasjonær, ikke-rekursiv filtrering til å beregne s = Ay svarende til s(n) = a(i) <*> y(n);

3) bruk av ikke-stasjonær, rekursiv filtrering til å beregne u = C"xs;

4) bruk av ikke-stasjonær, rekursiv filtrering til å beregne v = C^u;

5) bruk av stasjonær, ikke-rekursiv filtrering til å beregne e = A<*> v svarende til e(n) = a(-i)<*> v(n) hvor e(n) er additiv støy.

13. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at de p+1 koeffisientene a(0), a(l), ..., a(p) til prediksjonsfeil-filteret a blir beregnet statistisk ved hjelp av suksessive iterasjoner, ved å minimalisere en norm avhengig av a og seismiske data y.

14 . Fremgangsmåte ifølge krav 13, karakterisert ved at de p+l koeffisientene a(0), a(l), ..., a(p) blir beregnet ved hjelp av følgende prosess:

1) beregning av Y(f) ved hjelp av en Fourier-transformasjon av dataene y(n);

2) valg av et innledende prediksjonsfeil-filter a med koeffisienter a(0) =1, a(l), ..., a(p);

3) beregning av A(f) ved hjelp av en Fourier-transformasjon av a (i) ;

4) beregning av UU (f) = | Y(f) |<2>/ [ |A(f) |<2>+ e2 |B (f) |2] ;

5) beregning av uu(i) ved hjelp av en invers Fourier-transformasjon av UU(f);

6) beregning av a(i) ved å løse systemet av Toeplitz-ligninger dannet med uu(i);

7) retur til trinn 2) inntil den ønskede konvergens for verdiene a(i) er nådd.

15. Fremgangsmåte ifølge krav 8 og 13, karakterisert ved at de p+1 koeffisientene a(0), a(l), ..., a(p) blir beregnet ved hjelp av følgende prosess:

1) valg av et innledende prediksjonsfeil-filter a med koeffisienter a(0) = 1, a(l), ..., a(p);

2) beregning av den forfargede autokorrelasjon

3) beregning av g(i) fra r(i), hvor g(i) er slik at r(i) <*> g(i) <*> g(-i) ~ 5(i) med 5 (i) = 1 hvis i = 0 og 5 (i) = 0 ellers;

4) beregning av u(n) = g(i) <*> y(n);

5) beregning av kovarians-matrisen COVu for u(n) med i = 0, ..., p og j = 0, ... , p ;

6) beregning av h(0), ..., h(p) som tilfredsstiller COVuh = [1, 0, ..., 0] *;

7) beregning av a(i) ved normalisering av h(i): a(i) = h(i) /h(0) ;

8) retur til trinn 2) inntil den ønskede konvergens av verdiene a(i) er nådd.

16. Fremgangsmåte ifølge krav 8 og 13, karakterisert ved at de p+1 koeffisientene a(0), a(l), ..., a(p) blir beregnet ved hjelp av følgende behandling: 1) valg av et innledende prediksjonsfeil-filter a med koeffisienter a(0), a(l), ...., a(p); 2) beregning av den forfargede autokorrelasjon hvor b(i) er et forfargingsfilter; 3) beregning av det dempede prediksjonsfeil-filter c(i) fra r(i) ved hjelp av en iterativ prosess med rekursiv tidsfiltrering; 4) beregning av u(0), ..., u(N) ved rekursiv filtrering og bruk av: 5) beregning av kovarians-matrisen COVu for u(n) for i = 0, ... , p og j = 0, ..., p 6) beregning av vektoren h med komponenter h(0), ..., h(p) som tilfredsstiller C0Vuh = [1, 0, ... , 0) ] *; 7) beregning av a(i) ved å normalisere h(i): 8) retur til trinn 2) inntil den ønskede konvergens for verdiene a(i) er nådd.

17. Fremgangsmåte ifølge kravene 8 og 13, karakterisert ved at de p+1 koeffisientene a(0), a(l), ..., a(p) blir beregnet ved hjelp av følgende prosess:

1) valg av p+l innledende koeffisienter a(i);

2) beregning av det ikke-stasjonære filter G fra den for-f argede autokorrelasjon r (i), hvor G er slik at G<*> G = R"<1>, og R er Toeplitz-matrisen dannet av r (i);

3) bruk av ikke-stasjonær, ikke-rekursiv filtrering til å beregne de p+1 vektorene Uit uA = Gy^-

4) beregning av kovarians-matrisen for u^

5) løsing av: hvor i = 0, ..., p, med 6(1) =0, og 5(i) =0 for i = 1, ..., p

6) beregning av a(i) = h(i)/h(0) for i = 0, ..., p;

7) retur til trinn 2) inntil ønsket konvergens for verdiene a (i) ;

8) Slutt.

18. Fremgangsmåte ifølge krav 8 og 13, karakterisert ved at i p+1 koeffisientene a(0), a(l), ..., a(p) blir beregnet ved hjelp av følgende prosess:

1) valg av p+1 innledende koeffisienter a (i);

2) beregning av det ikke-stasjonære filter C fra den forfargede autokorrelasjon r(i), hvor C er slik at CC<*> = R, og R er Toeplitz-matrisen dannet fra r (i);

3) bruk av ikke-stasjonær, rekursiv filtrering for å beregne de p+1 vektorene ut slik at: ut = C"^ med

4) beregning av kovarians-matrisen for u±:

5) løsing av: hvor i = 0, ..., p, med 6(1) = 0, og 6(i) =0 for i = 1, ..., P;

6) beregning av a(i) = h(i)/h(0) for i= 0, ..., p;

7) retur til trinn 2) inntil ønsket konvergens for verdiene a (i) ;

8) slutt.

19. Fremgangsmåte ifølge kravene 2, 3, 6, 8 og 12 i kombi-nasjon, karakterisert ved at den omfatter følgende trinn:

1) brukeren bestemmer en sone i f,k-planet som inneholder signalet y0 som skal isoleres;

2) for hver verdi av den romvariable x utføres Fourier-transf ormas j onen av dataene y(t,x) til den tidsvariable t for å oppnå transformerte data Y(f,x) i f,x-planet;

3) for hver frekvens f i f,x-planet taes: 3a) y(n) = Y(f ,n) ; 3b) bestem områdene for den variable k som inneholder det forutsigbare signal y0 som skal isoleres, ved å ta et snitt av sonen ved konstant f; 3c) beregn det elementære romprediksjonsfeil-filter (variabel x) svarende til hvert av disse områdene i k for en gitt e; 3d) beregn det totale prediksjonsfeil-filter a(i) og den tilsvarende forfargede autokorrelasjonen r (i); 3e) beregn det ikke-stasjonære prediksjonsfeil-filter ep(j,i) fra den forfargede autokorrelasjon r (i); 3f) beregn den ikke-forutsigbare del e(n) av dataene ved hjelp av ikke-stasjonær, rekursiv filtrering ved bruk av koeffisientene ep(j,i); 3g) subtraher den ikke-forutsigbare del e(n) fra data ene y(n) for å oppnå den forutsigbare del y0 (n) ; 3h) vend tilbake til trinn 3a) for den følgende fre kvens f med mindre den siste frekvens i f,x-planet er blitt nådd;

4) utfør for alle x den inverse Fourier-transformasjon av de variable f for e(n) eller for y0 (n) for å vende tilbake til t,x-planet.

20. Fremgangsmåte ifølge kravene 2, 8, 12, 13 og 16, karakterisert ved at den omfatter følgende trinn: 1) for alle x å utføre Fourier-transformasjonen av de seismiske data y(t,x) for den variable t for overføring til f,x-planet; 2) ta for hver frekvens f i f,x-planet: 2b) velge en lengde p for prediksjonsfeil-filteret, en forfargingsfaktor e og et forfargingsfilter b(0), ..., b(q), og også et antall iterasjoner for kon- vergens av a (i) ; 2c) beregne: ved rekursiv oppfiltrering, hvor c(i) er det dempede prediksjonsfeil-filteret i den foregående ite-rassjon (eller i den siste iterasjon for den foregående frekvens hvis det er den første iterasjon for den frekvensen som itereres, som blir utført); 2d) beregne kovarians-matrisen eller korrelasjonen til u (n) ; 2e) løse systemet for å oppnå koeffisientene a(i) til prediksjonsfeil-filteret; 2f) beregne den forfargede autokorrelasjon r(i) og det dempede prediksjonsfeil-filter c(i); 2g) returnere til 2c) inntil den ønskede konvergens av verdiene av a(i) blir nådd; 2h) frembring den ikke-forutsigbare del e(n) av dataene ved ikke-stasjonær, rekursiv filtrering; 2i) subtraher den ikke-forutsigbare del e(n) fra data ene y(n) for å oppnå den forutsigbare del y0(n); 2j) returner til 2a) med mindre den siste frekvens er blitt nådd;3) utfør for alle x den inverse Fourier-transformasjon på y0(n) for den variable t for å oppnå y0(t,x).

21. Fremgangsmåte ifølge krav 1, anvendt for å gjenopprette data som har manglende verdier med indeks I(j), hvor j ligger i området 1 til m, karakterisert ved at den omfatter følgende trinn: 1) initialisering av de data som skal gjenopprettes y(n); 2) beregning av prediksjonsfeil-filteret a(i) for den aktuelle y (n); 3) oppdatering av y(n) for den aktuelle a(i):3a) beregning av m vektorer dj = Hpj j = 1, ..., rn; hvor Pj er den vektor som inneholder pulsresponsen til den j. pulsstøy som svarer til den j. manglende verdi av indeks I(j), hvor H er den lineære operator slik at M = H<*> H, idet M er den operatør som gjør det mulig å beregne støyen e fra dataene y; 3b) å beregne vektoren s = Hy;3c) å beregne matrisen x(i/j) = & ±* dj i = 1, ..., m; 3d) addere en forblekingsfaktor X<2>: 3e) a beregne vektoren til komponentene k(i) = di<*>s; 3f) å løse det lineære system av orden m: 3g) oppdatering av y(n) på følgende måte: 4) å returnere til 2) inntil den ønskede konvergens for alle a(i) er nådd, hvis ikke fortsettes til 5); 5) beregning av u: 6) beregning av e = H<*> u; 7) beregning av y, = y - e.

22. Fremgangsmåte ifølge krav 21, karakterisert ved at for Pj blir komponentene tatt for koherent støy med ukjent amplitude.

23. Fremgangsmåte ifølge krav 22, karakterisert ved at følgende blir tatt: Pi(n) = e*nAxlti(£) med n = 0, ... , N, idet ki(f) er det spredningsforhold som tilfredsstilles av støyen.

24. Fremgangsmåte ifølge krav 21, karakterisert ved at trinn 3) blir erstattet med følgende trinn 3') : 3') oppdatering av y(n) for den aktuelle a(i): 3a) initialisering av yit (n) = y(n) ;3b) beregning av den ikke-forutsigbare del e(n) av Yit (n) ;3c) oppdatering av yit(n) for bare de sampler n som svarer til de manglende verdier (n = I(j) for j= 1, ..., m) på følgende måte:3d) retur til 3b) hvis den ønskede konvergens for ylt (n) er blitt nådd, ellers fortsettes videre til 3e); 3e) oppdatering av y(n) for bare de sampler n som svar er til de manglende verdier, på følgende måte:

25. Fremgangsmåte ifølge krav 21, anvendt til gjenoppretting av manglende trasepartier, karakterisert ved at den omfatter følgende trinn: 1) initialisering av data y(t,n); 2) bruk av Fourier-transformasjonen til å gå fra y(t,n) til Y(f ,n) ; 3) oppdatering av a(f,i): 3a) for alle f: ii) statistisk beregning av prediksjonsfeil-filteret a(f,i) for y(n) og i = 0, ..., p; iii) initialisering av Yit(f,n) = Y(f,n) for alle n; iv) retur til 3a)i), eller hvis det er siste frekvens, fortsett videre til 4); 4) oppdatering av y(t,n): 4a) initialisering av yit(t,n) = y(t,n) ; 4b) bruk av Fourier-transformasjonen til å gå fra <y>lt(t,n) til Ylt(f ,n) ;4c) for alle f: i) yit(n) = Yit(f ,n) ; ii) beregning av den ikke-forutstigbare del e(n) av yit(n) ved hjelp av operatoren M(f) beregnet fra a(f,i) som allerede er beregnet i 3c); iii) E(f,n) = e(n); iv) retur til i) eller fortsett til 4d) hvis det er siste frekvens; 4d) bruk av den inverse Fourier-transformasjon for å gå fra E(f,n) til e(t,n); 4e) oppdatering av yit(t,n) for bare de sampler (t,n) som svarer til de manglende verdier på følgende måte :<y>it(t,n) = (1 - X<2>)yit(t,n) + X<2>y(t,n) - e(t,n) 4f) retur til 4b) eller fortsett til 4g) hvis yiy(t,n) har konvergert som ønsket; 4g) oppdatering av y(t,n) på følgende måte: y(t,n) = yit (t,n) ; 5) retur til 2) eller fortsett til 6) hvis a(f,i) har konvergert; 6) frembring gjenopprettede data y{t,n) som kan separeres i y0(t,n) og e(t,n) i (f,x)-domenet.

26. Fremgangsmåte ifølge krav 1, anvendt til interpolering av seismiske data, karakterisert ved at den innbefatter følg-ende trinn utført i frekvensdomenet: 1) beregn et prediksjons-filter A(f) for de interpolerte data,- 2) beregn Z(f) ved anvendelse av Fourier-transformasjon på de kjente data, som antas å være jevnt fordelt, idet de manglende data som er anordnet på et rutenett som er m ganger finere enn rutenettet til de kjente data, settes til null, hvor m er interpolasjonsfaktoren; 3) konstruer prediksjonsfeil-filteret: 4) beregn de interpolerte data hvorfra støy ikke er blitt fjernet, på følgende måte: hvor Rz(f) er en forfarget autokorrelasjon for A2(f).

27. Fremgangsmåte ifølge krav 1, anvendt til interpolasjon av seismiske data, karakterisert ved at den innbefatter følg-ende trinn utført i frekvensdomenet: 1) beregn et prediksjonsfeil-filter A(f) for de interpolerte data; 2) beregn Z(f) ved å anvende Fourier-transformasjonen på de kjente data som antas å være jevnt fordelt, idet de manglende data som er anbragt på et rutenett som er m ganger finere enn rutenettet for kjente data, settes til null, hvor m er inter-polasjonsf aktoren ; 3) beregn interpolerte data hvorfra støy er blitt fjernet på følgende måte:

28. Fremgangsmåte ifølge krav 21, karakterisert ved at trinnene i kravene 26 eller 27 blir realisert i tidsdomenet.