KR20130084780A - 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법 - Google Patents

속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법 Download PDF

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KR20130084780A
KR20130084780A KR1020120005612A KR20120005612A KR20130084780A KR 20130084780 A KR20130084780 A KR 20130084780A KR 1020120005612 A KR1020120005612 A KR 1020120005612A KR 20120005612 A KR20120005612 A KR 20120005612A KR 20130084780 A KR20130084780 A KR 20130084780A
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황익호
김상재
조성진
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국방과학연구소
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    • G05D1/00—Control of position, course, altitude or attitude of land, water, air or space vehicles, e.g. using automatic pilots
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Abstract

속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법에 있어서, 속도-고도 평면에서의 기준궤적 추적을 위한 시변 시스템 운동방정식은 다음 식(9)과 같이 되는 것을 특징으로 하는 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법에 관한 것이다.
Figure pat00148
식(9)
여기서,u= 제어입력,
Figure pat00149
,
Figure pat00150
,
Figure pat00151

그리고, e=오차,
Figure pat00152
,
Figure pat00153
,
Figure pat00154
,
Figure pat00155

V=UAV(Unmanned Air Vehicle)의 속도벡터,a=가속도,ｇ=중력,γ=비행경로각, θ=기준궤적기울기

Description

속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법{Control method for following vertical profile in the speed-height plane}
본 발명은 속도-고도 평면에서의 수직궤적 추종을 위한 제어방법에 관한 것으로서, 보다 상세하게는 비행체가 실제로 비행하는 공간은 아니지만 비행체의 성능을 표현하고 고려하는데 매우 편리한 속도-고도 평면에서 비행체의 고도전이 기준궤적을 결정하고, 이렇게 결정된 기준궤적에 따라 실제 고도전이 비행을 수행하도록 하는 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법에 관한 것이다.
UAV(Unmanned Air Vehicle)의 궤적 결정을 위하여 널리 이용되는 방법은 기준궤적을 미리 정해주고 따라가도록 제어기를 설계하는 것이다. 일반적으로 그 궤적은 일련의 직선들로 구성할 수 있으며, 이때 제어기 설계는 직선 추종 문제로 고려할 수 있다. 본 발명에서는 수직면에서 주어진 직선을 따라 상승할 수 있는 제어 알고리즘을 제안한다.
선추종 기법으로 주로 이용되는 방법은 중력이 보상된 이득-스케쥴 PD-type 궤환 제어기 (Gain-scheduled PD-type feedback controller)를 설계하는 것이다. 그러나, 광범위한 속도-고도의 비행영역을 망라하기 위해서는 안정적으로 동작할 수 있을 정도의 충분히 많은 수의 설계점을 선정하고, 각각에 대하여 제어기를 설계해야 한다. 정해진 설계점들의 수가 충분하지 않으면, 성능이 나빠지거나 심지어 불안정한 상태에 이르기도 한다.
참고문헌 [1, 2]는 이러한 고전적인 설계 방식에 의한 문제점들을 극복하기 위한 방안을 제안한다. [1, 2]를 제외하고는 거의 찾아보기 힘들다.
참고문헌[1] : I.H. Whang and T.W. Hwang, "Horizontal Waypoint Guidance Design Using Optimal Control," IEEE Trans. Aerosp. Electr. Syst., July 2002, Vol. 38, No. 3, pp 1116-1120.
참고문헌[2] : I.H. Whang and S. Cho, "LQR Gain-Schedule Controller for Vertical Line Following," Electornics Letters 8th, July 2010, Vol 46, No. 14, pp 991-993.
참고문헌[3] : Donald E. Kirk, Optimal Control Theory, Prentice-Hall, 1970
참고문헌 [1]에서 제안하는 방식은 수평면에만 적용할 수 있다는 점에서 수직면을 위한 본 발명과는 다르다. 수직면에 존재하는 궤적을 추종하기 위해서는 중력뿐만 아니라, 추력의 변화, 고도변화, 가속/감속 등의 조건들을 고려해야 한다. 최근에 참고문헌 [2]에서 도 1의 UAV 운동기하를 바탕으로 수직면의 선을 추종할 수 있는 알고리즘을 제안하고 있으나, 아래의 관점에서 차이점이 있다. 먼저, 대부분의 UAV 엔진은 도 2에서 보듯이 속도와 고도에 대하여 동작영역이 존재한다. 즉, 일정 속도와 고도 이상과 이하에서만 동작할 수 있다. 그리고 또 다른 점은 추종해야 할 기준궤적 또한 속도-고도 평면에서 주어지는 경우가 많다. 따라서 참고문헌 [2]의 방안으로는 속도-고도의 동작영역을 고려할 수 없을뿐더러, 그 평면에서는 주어지는 기준궤적을 추종할 수도 없다. 본 발명은 이와 같은 문제점을 극복할 수 있는 방안을 제시한다는 점에서 참고문헌[2]와 차이점이 있다.
본 발명은 기준궤적이 속도-고도 평면에서 주어지는 경우에, 기준궤적과 수직평면에서 UAV의 수직운동을 묘사하는 운동방정식을 서로 결합하여, 그 기준궤적을 추종할 수 있는 기술을 제안하였다. 이 기술은 속도-고도 평면에서 주어진 기준궤적을 추종할 수 있는 최적 해를 유도했다는 점에서 종래 방식과 큰 차이를 보인다. 그리고, 기준궤적은 일반적으로 속도-고도 평면에서 주어진다는 점에서 본 발명에서 제안한 기술이 큰 장점이 될 수 있다.
본원 발명의 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법에서, 속도-고도 평면에서의 기준궤적 추적을 위한 시변 시스템 운동방정식은
Figure pat00001
식(9)인 것을 특징으로 한다. 여기서 u= 제어입력,
Figure pat00002
,
Figure pat00003
,
Figure pat00004
그리고, e=오차,
Figure pat00005
,
Figure pat00006
,
Figure pat00007
,
Figure pat00008
V=UAV(Unmanned Air Vehicle)의 속도벡터,a=가속도,ｇ=중력,γ=비행경로각, θ=기준궤적기울기 이다. 본 발명의 제어방법은 LQR(linear quadratic regulator) 이득 제어기를 모델로 한 것이다.
본원 발명인 상기 시변 시스템 방정식 식(9)에 대하여 다음의 성능지수 J
Figure pat00009
식(13) 를 최소화하는 제어입력 U* 의 최적해는
Figure pat00010
식(17)
인 것을 특징으로 한다.
여기서, R=1 이고,
Figure pat00011
이다.
본원 발명의 속도-고도 평면에서 수직궤도 추종을 위한 제어방법에서, 속도-고도 평면에서의 기준궤적 추적을 위한 시불변 시스템 운동방정식은 다음 식(22)과 같이 되는 것을 특징으로 한다.
Figure pat00012
식(22)
여기서,
Figure pat00013
이다.
본 발명의 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법에 있어서,
속도-고도 평면에서의 기준궤적 추적을 위한 시불변 시스템 운동방정식으로부터 유도된 특성방정식 식(23)을 전형적인 2차 선형시스템의 특성방정식으로 표현된 식(23-1)의 양변의 계수비교로부터 식(25)를 구하고,이 식으로부터 비행제어기 이득을 결정하고 성능을 예측하는 것을 특징으로 하는 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법.
Figure pat00014
식(23-1)
Figure pat00015
식(25)
여기서,
Figure pat00016
〓 Damping Ratio ,ωn 〓 고유주파수 이다.
수직평면에서 비행체가 상승하면서 속도를 증가시켜야 하는 경우에, 어떤 궤적을 추종하느냐에 따라 도달거리와 속도 등에 차이가 있을 수 있다. 제한된 연료로 최대한 높이 멀리 가고자 하는 경우에, 대기에 의한 저항이 큰 고도 영역을 비행할 때, 대기저항이 최대한 작은 궤적을 추종하는 것이 중요하다. 이와 더불어 주어진 궤적을 안정적으로 효율적으로 추종하는 기술 또한 매우 중요하다.
본 발명에서는 주어진 궤적을 추종하는 기술과 관련되어 있다. 기준궤적이 속도-고도 평면에서 주어지는 경우에, 기준궤적과 수직평면에서 UAV의 수직운동을 묘사하는 운동방정식을 서로 결합하여, 그 기준궤적을 추종할 수 있는 기술을 제안하였다. 이 기술은 속도-고도 평면에서 주어진 기준궤적을 추종할 수 있는 최적 해를 유도했다는 점에서 종래 방식과 큰 차이를 보인다. 그리고, 기준궤적은 일반적으로 속도-고도 평면에서 주어진다는 점에서 본 발명에서 제안한 기술이 큰 장점이 될 수 있다.
도 5~10은 본 발명에서 제안한 기술을 가지고 컴퓨터 시뮬레이션을 수행하여 얻은 결과들이다. 도 5와 도 6은 도 3에서 속도-고도 평면에서의 기준궤적 명령일 때, 추종결과와 오차를 나타내 보인 것으로써, 좋은 성능을 보임을 알 수 있다. 그리고 도 7에서는 피치 가속도 명령과 응답을 보였으며, 과도한 기동없이 순조로운 변화를 보여줌을 알 수 있다. 그 외 비행경로각, 고도, 그리고 속도변화를 참고로 나타내었다. 컴퓨터 시뮬레이션 결과 본 발명에서 제안하는 기술이 잘 동작함과 동시에 실제의 경우에 아주 효과적으로 적용할 수 있을 것으로 판단된다.
도 1은 수직면에서 상승하는 기준궤적 추종을 위한 기하도형적인 도면. (참고문헌 [2])
도 2는 속도-고도 평면에서의 엔진 동작영역과 기준궤적을 나타내는 도면.
도 3은 속도-고도 평면에서의 기준궤적을 나타내는 도면.
도 4는 수직평면에서의 UAV 운동을 나타내는 도면.
도 5는 속도-고도(V-h)를 도시하는 도면.
도 6은 오차(e)를 도시하는 도면.
도 7은 피치 가속도 명령과 응답(ac, a)을 나타내는 도면.
도 8은 비행경로각(
Figure pat00017
)를 도시하는 도면.
도 9는 고도(h)를 도시하는 도면.
도 10은 속도(V)를 도시하는 도면.
속도-고도 평면에서의 기준궤적 추적을 위한 시변 시스템 운동방정식을 유도해보자. 본 발명의 제어방법은 LQR(linear quadratic regulator) 이득 제어기를 모델로 한 것이다. 도 3과 4에 나타낸 기준궤적과 UAV 운동을 서로 결합하여 UAV 시스템 운동방정식을 얻는 것이 목적이다. 도 3에서는 기준궤적의 기울기로서 다음과 같다.
Figure pat00018
(1)
여기서
Figure pat00019
와
Figure pat00020
은 기준궤적 상에서 궤적추종을 시작하는 시점과 현재 시점에서의 고도와 속도를 각각 의미한다. 그리고 일반적으로 수직평면 기준궤적 추종의 경우 속도제어 없이 일정추력을 작용시키기 때문에, 단지 도 3에서 보듯이 속도 제한치를 설정하여 주어진 범위를 넘지 않도록 한다. 이와 같은 이유로 오차 e는
Figure pat00021
에 대응하는 고도
Figure pat00022
을 달성함으로써 e=0 를 얻는다. 따라서 오차 e 를 다음과 같이 정의한다.
Figure pat00023
(2)
여기서
Figure pat00024
는 UAV의 현재고도를 의미한다.
도 4는 수직평면에서 UAV의 운동을 나타낸 기하이다. 여기서 V는 UAV의 속도벡터,
Figure pat00025
는 비행경로각, a 는 가속도, 그리고 g 는 중력이다. 이 그림으로부터
Figure pat00026
이기 때문에,
Figure pat00027
(3)
따라서
Figure pat00028
(4)
여기서 수식 전개의 편리를 위하여, 다음과 같이 변수
Figure pat00029
를 도입한다.
Figure pat00030
(5)
이때,
Figure pat00031
(6)
그리고 도 4로부터 다음 식을 유도하여
Figure pat00032
(7)
식 (7)을 식 (6)에 대입하고, (5)를 이용하여 정리하면 다음의 식을 얻을 수 있다.
Figure pat00033
(8)
이제 식 (4)와 (8)로부터 기준선 추종을 위한 시변 시스템 방정식을 다음과 같이 얻을 수 있다.
Figure pat00034
(9)
여기서
Figure pat00035
,
Figure pat00036
,
Figure pat00037
그리고
Figure pat00038
와
Figure pat00039
는 다음과 같다.
Figure pat00040
(10)
Figure pat00041
(11)
Figure pat00042
(12)
본 발명에 따라 제어기를 설계함에 있어, 오차
Figure pat00043
을 유지하면서 기준선을 추종할 수 있는 제어기를 설계하는 것이다. 이를 위하여 시스템 방정식 (9)에 대하여 다음과 같이 성능지수
Figure pat00044
를 최소화하는 제어입력
Figure pat00045
를 찾는 LQR 문제로 접근한다.
성능지수
Figure pat00046
를 최소화하는 제어입력
Figure pat00047
를 찾아보자.
시스템 방정식:
Figure pat00048
(9)
성능지수:
Figure pat00049
(13)
여기서
Figure pat00050
,
Figure pat00051
식 (13)를 최소화하는 최적해
Figure pat00052
는 다음과 같이 주어진다(참고문헌 [3]).
Figure pat00053
(14)
여기서 P>0이고, 아래의 Algebraic Riccati Equation (ARE)
Figure pat00054
(15)
를 만족한다. 따라서 식 (15)로부터
Figure pat00055
(16)
이고, 식 (14)의 최적해
Figure pat00056
는
Figure pat00057
(17)
식 (11)을 이용하여, 다음의 가속도 명령
Figure pat00058
를 얻을 수 있으며, 이것은 도 4에서 속도벡터 V에 수직하게 적용되는 피치 가속도 명령이 된다.
Figure pat00059
(18)
위의 식 (18)에 (17)을 대입하면 다음과 같고,
Figure pat00060
(19)
식 (5)를 대입하여 다시 정리하면, 다음과 같이 피치 가속도 명령을 얻을 수 있다.
Figure pat00061
(20)
제어기 파라미터를 선정하여 보자.
식 (9)은 시변 시스템이기 때문에 시스템의 거동을 파악하기 쉽지 않을뿐더러 (20)에 포함된 파라미터
Figure pat00062
과
Figure pat00063
값 선택 또한 쉽지 않다. 이를 위하여 근사화된 시불변 2차 선형 시스템을 유도한다.
식 (9)에 식 (17)의 최적해
Figure pat00064
를
Figure pat00065
대신 대입하면
Figure pat00066
Figure pat00067
(21)
위에서
Figure pat00068
이므로
Figure pat00069
따라서 다음과 같이 근사화된 시불변 시스템 방정식을 얻을 수 있다.
Figure pat00070
(22)
여기서,
Figure pat00071
.
식 (22)의 특성방정식을 구하면
Figure pat00072
(23)
상기 식(23)을 아래 식(23-1)과 같이 놓으면,
Figure pat00073
(23-1)
상기 식(23-1)의 양변계수로부터 E,F는
Figure pat00074
(24)
따라서 식 (20)에 포함된
Figure pat00075
과
Figure pat00076
를 다음과 같이 얻을 수 있다.
Figure pat00077
(25)
Remark 1:
만약 Damping Ratio를
Figure pat00078
로 제한하면 다음과 같이 최대 Overshoot가 약 5%인 응답을 얻을 수 있다.
Figure pat00079
(26)
Remark 2:
Critical Damping 의 경우,
Figure pat00080
, 식 (22)은
Figure pat00081
(27)
이며, 이 때 특성방정식은
Figure pat00082
(28)
그리고 오차 e 와 식 (6)에서
Figure pat00083
의 초기치를 각각
Figure pat00084
와
Figure pat00085
라고 할 때, 해는
Figure pat00086
(29)
이며, Inverse Laplace 변환에 의해
Figure pat00087
Figure pat00088
(30)
따라서 Critical Damping 인 경우에, 식 (30)을 이용하여 시변 시스템 (9)의 근사화된 응답특성을 파악해 볼 수 있다.
시스템 안정도 분석에 있어서, 제어기 (20)를 시스템 (9)에 적용하였을 때 시스템이 안정적으로 동작하는가를 조사하는 것이 매우 중요하다. 이를 위하여 식 (14)의 최적해
Figure pat00089
를 식 (9)의
Figure pat00090
대신에 대입하고, 식 (10)에서
Figure pat00091
의 불확실성
Figure pat00092
를 고려한 다음의 시스템 방정식을 고려한다.
Figure pat00093
(31)
여기서
Figure pat00094
(32)
안정도 분석을 위하여 다음과 같이 리아푸노프 함수를 선택하면
Figure pat00095
(33)
도함수
Figure pat00096
는 식 (31)과 (15)를 이용하여 다음과 같이 얻을 수 있다.
Figure pat00097
(34)
여기서
Figure pat00098
(35)
시스템 (31)의 안정도 조건
Figure pat00099
를 위해서는 D > 0를 만족해야 한다. 이를 위하여 여기서는 D 의 Principal minor들이 모두 양수가 되는 조건을 찾는다. 식 (9), (13), (16), 그리고 (31)로부터
Figure pat00100
(36)
Principal minor 들을 각각
Figure pat00101
과
Figure pat00102
라고 할 때, 다음과 같다.
Figure pat00103
(37)
Figure pat00104
Figure pat00105
(38)
위에서 Q 의 성분을 항상
Figure pat00106
,
Figure pat00107
가 되도록 선택하기 때문에, 식 (37)에서
Figure pat00108
가 되며, 식 (38)에서 이기 위하여
Figure pat00110
(39)
를 만족해야 한다. 근의 공식으로부터
Figure pat00111
(40)
이고, 식 P는 식 (15)를 만족하는 P는
Figure pat00112
이므로, 식 (16)에서
Figure pat00113
이다. 따라서 다음과 같이 불확실성
Figure pat00114
에 대한 범위를 나타낼 수 있다.
Figure pat00115
(41)
불확실성이 식 (41)의 범위 내에 존재할 때, 시스템 (31)는 안정적으로 동작한다.
이상에서와 같이, 본 발명의 바람직한 실시예를 참조하여 설명하였지만, 본 발명이 속하는 분야의 당업자이면 본 발명의 실시예를 다양하게 변형하여 실시할 수 있는 것이다. 그러므로, 본 발명의 특허권리범위는 본 발명에 기재된 실시예에 한정하는 것이 아니며, 본 발명의 기술적 사상 및 영역으로부터 벗어나지 않는 균등물의 범주 내에서의 실시물들은 본 발명의 특허권리범위에 속하는 것이라 하겠다.

Claims (8)

  1. 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법에 있어서,
    속도-고도 평면에서의 기준궤적 추적을 위한 시변 시스템 운동방정식은 다음 식(9)과 같이 되는 것을 특징으로 하는 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법.
    Figure pat00116
    식(9)
    여기서,u= 제어입력,
    Figure pat00117
    ,
    Figure pat00118
    ,
    Figure pat00119

    그리고, e=오차,
    Figure pat00120
    ,
    Figure pat00121
    ,
    Figure pat00122
    ,
    Figure pat00123

    V=UAV(Unmanned Air Vehicle)의 속도벡터,a=가속도,ｇ=중력,γ=비행경로각, θ=기준궤적기울기이다.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 시변 시스템 운동방정식 식(9)은, 기준궤적과 UAV 운동을 결합하는 UAV 시스템 운동방정식에서, 기준궤적 상에 기준고도를 hr(t),UAV의 현재고도를 h(t)라고 할 때, 오차 e(t)는,
    Figure pat00124
    식(2)
    가 되고, 오차 e 를 벡터속도 V에 대해 미분하면,
    Figure pat00125
    식(4)
    가 되며, 여기서
    Figure pat00126
    (식(5)) 라고 놓고 베타를 미분하면,
    Figure pat00127
    식(6)
    으로 되며, 여기서 감마를 미분한 것은 도 4로부터,
    Figure pat00128
    식(7)
    이 되며, 식(5)를 이용하여 정리하면,
    Figure pat00129
    식(8)
    을 얻을 수 있으며, 식(4)와 식(8)로 부터 상기 시스템 운동방정식 식(9)가 얻어지는 것을 특징으로 하는 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법.
  3. 제1항에 있어서,
    상기 시변 시스템 방정식
    Figure pat00130
    식(9) 에 대하여 다음의 성능지수 J
    Figure pat00131
    식(13) 를 최소화하는 제어입력 U* 의 최적해는
    Figure pat00132
    식(17)
    인 것을 특징으로 하는 속도-고도 평면에서 기준궤적 추종을 위한 제어방법.
    여기서, R=1 이고,
    Figure pat00133
    이다.
  4. 제3항에 있어서,
    상기 성능지수 J를 최소화하는 최적해 U* 는,
    Figure pat00134
    식(14)
    으로 되며,여기서 P > 0 이고,아래의 Algebraic Riccati Equation(ARE)
    Figure pat00135
    식(15)
    를 만족하며, 식(15)로부터
    Figure pat00136
    식(16)
    이 되고, 이로부터 식(14)의 최적해 U* 가 유도되는 것을 특징으로 하는 속도-고도 평면에서 기준궤적 추종을 위한 제어방법.
  5. 제3항에 있어서,
    속도벡터 V에 수직하게 적용되는 피치 가속도 ac 는 도 4로부터
    Figure pat00137
    식(18)
    와 같이 되고 이 식에 식(17)을 대입하고,이를 식(5)에 대입하며 정리하면, 다음의 피치 가속도 ac
    Figure pat00138
    식(20)
    을 얻는 것을 특징으로 하는 속도-고도 평면에서 기준궤도 추종을 위한 제어방법.
  6. 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법에 있어서,
    속도-고도 평면에서의 기준궤적 추적을 위한 시불변 시스템 운동방정식은 다음 식(22)과 같이 되는 것을 특징으로 하는 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법.
    Figure pat00139
    식(22)
    여기서,
    Figure pat00140
    이다.
  7. 제6항에 있어서,
    시불변 시스템 운동방정식 식(22)은, 식(9)에 식(17)의 최적해 U* 를 U 대신 대입하면,
    Figure pat00141

    Figure pat00142
    식(21)
    위에서
    Figure pat00143
    이므로,
    Figure pat00144
    이 되므로,
    상기 식(22) 와 같이 근사화된 시불변 시스템 방정식을 얻는 것을 특징으로 하는 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법.
  8. 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법에 있어서,
    속도-고도 평면에서의 기준궤적 추적을 위한 시불변 시스템 운동방정식으로부터 유도된 특성방정식 식(23)을 전형적인 2차 선형시스템의 특성방정식으로 표현된 식(23-1)의 양변의 계수비교로부터 식(25)를 구하고,이 식으로부터 비행제어기 이득을 결정하고 성능을 예측하는 것을 특징으로 하는 속도-고도 평면에서 수직궤적 추종을 위한 제어방법.
    Figure pat00145
    식(23-1)
    Figure pat00146
    식(25)
    여기서,
    Figure pat00147
    〓 Damping Ratio ,ωn 〓 고유주파수 이다.
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