KR20100084070A - 회전체 블레이드의 진동해석방법 - Google Patents

회전체 블레이드의 진동해석방법 Download PDF

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Abstract

본 발명은 테이퍼 단면을 갖는 여러 개의 블레이드로 구성된 다중 패킷 블레이드의 고유진동특성을 효과적이고 정확하게 예측할 수 있는 회전체 블레이드의 진동해석방법에 관한 것으로, 가정모드법(Assumed Modes Method)을 적용하여 운동방정식을 이산화하는 단계, 질량행렬 및 강성행렬을 도출하는 단계, 수치해석을 하는 단계로 이루어지며, 이때 상기 수치해석을 하는 단계는 RSG(Real Symmetric Generalized) 서브루틴을 이용하는 것을 특징으로 한다.
다중 패킷 블레이드 회전체, 테이퍼 다면, 고유진동특성, 가정모드법, RSG 서브루틴

Description

회전체 블레이드의 진동해석방법{VIBRATION ANALYSIS OF ROTATOR BLADE}
본 발명은 회전체 블레이드의 진동해석방법에 관한 것으로, 구체적으로는 테이퍼 단면을 갖는 다중 패킷 블레이드의 진동해석방법에 관한 것이다.
회전운동을 하는 주기적 순환 구조물의 형태를 가진 공학적 예제는 터빈 발전기, 터보 엔진이나 터보 팬, 그리고 헬리콥터의 회전익 등이 있다. 이러한 순환구조물은 축 또는 디스크에 고정단을 갖는 외팔 보 형태의 블레이드(blade)들로 구성되며 또한 각각의 블레이드는 쉬라우드(shroud)라 불리는 지지구조에 의해서 연결되어 있다. 디스크와 쉬라우드는 그 강성에 의해 블레이드 간 연성효과를 야기하는데 이는 단일 블레이드의 경우에는 찾아볼 수 없는 시스템의 고유진동특성에 가장 큰 영향을 미치는 요소 중 하나이다. 따라서 이러한 구조 시스템의 적절한 설계를 위해서는 그 동적 특성을 정확히 예측할 수 있는 해석방법이 요구된다.
회전하는 구조물의 진동 특성에 관한 연구는 Southwell과 Gough의 연구를 그 시초로 하고 있다. 이들은 외팔보의 회전에 따른 고유진동수를 구할 수 있는 해석적 모델을 최초로 제시하였다. 그 후 Schilhansl은 회전 외팔보의 진동 방정식을 유도하고 Ritz방법을 적용하여 Southwell의 방정식에 대한 정확성을 제고하였다. 1970년대에 들어와 전산기의 본격 사용에 힘입어 운동방정식을 고유치 문제로 변환하여 해석을 수행하는 수치적인 방법들이 등장하였으며 최근에는 인장방향 변형변수를 사용하는 모델링 방법도 등장하였다. 그러나 이러한 연구들은 단일 외팔보의 진동특성 연구에 초점을 맞추고 있으며 여러 개의 블레이드와 패킷(packet) 형태로 구성된 블레이드 시스템에 대한 연구는 상당히 드문 편이다.
본 발명은 상술한 제반 문제점을 해결하기 위한 것으로서 테이퍼 단면을 갖는 여러 개의 블레이드로 구성된 다중 패킷 블레이드의 고유진동특성을 효과적이고 정확하게 예측할 수 있는 회전체 블레이드의 진동해석방법을 제공하는데 그 목적이 있다.
상술한 목적을 달성하기 위한 본 발명에 의한 회전체 블레이드의 진동해석방법은, 가정모드법(Assumed Modes Method)을 적용하여 운동방정식을 이산화하는 단계, 질량행렬 및 강성행렬을 도출하는 단계, 수치해석을 하는 단계로 이루어진다. 이때, 상기 수치해석을 하는 단계는 RSG(Real Symmetric Generalized) 서브루틴을 이용하는 것을 특징으로 한다.
본 발명에 의한 회전체 블레이드의 진동해석방법은 터빈블레이드, 항공기회전익, 터보엔진 팬 등 테이퍼 단면 외팔보로 구성된 시스템 설계 시 간단한 수치 해석적 모델을 적용하여 비용, 시간, 인력의 절감 효과를 기대할 수 있다.
첨부된 도면을 참조하여 본 발명에 따른 실시예를 상세히 설명한다.
도 1은 본 발명에 의한 테이퍼 단면을 갖는 다중 패킷 블레이드 회전체를 도시한 도면이고, 도 2는 도 1의 다중 패킷 블레이드 회전체 중 테이퍼 단면을 갖는 블레이드를 확대 도시한 도면이며, 도 3은 도 1의 다중 패킷 블레이드 회전체의 일부를 확대 도시한 도면이다.
본 발명에 의한 회전체 블레이드의 진동해석방법은 테이퍼 단면을 갖는 여러 개의 블레이드로 구성된 다중 패킷 블레이드의 고유진동특성을 효과적이고 정확하게 예측하기 위한 것으로, 가정모드법(Assumed Modes Method)을 적용하여 운동방정식을 이산화하는 단계, 질량행렬 및 강성행렬을 도출하는 단계, 수치해석을 하는 단계로 이루어진다. 이때, 상기 수치해석을 하는 단계는 RSG(Real Symmetric Generalized) 서브루틴을 이용한다.
이를 위하여 본 실시예에서는 도 1에 도시된 바와 같이, 8개 패킷(1개의 패킷 당 6개 블레이드를 포함)으로 구성된 모델을 사용한다. 또한, 각 패킷에 포함된 블레이드는 테이퍼 단면을 갖는 외팔보로 가정하였으며, 디스크를 연결하는 쉬라우드는 연성강성을 갖는 스프링으로 가정하였다. 또한, 블레이드들 간에 연결된 쉬라우드의 강성 및 위치 등을 고려한 패킷 블레이드 회전체의 운동방정식을 유도하기 위하여 복합 변형 변수와 Rayleigh-Ritz method를 적용하였으며, 패킷 블레이드 회전체의 일반적인 특성을 파악하기 위해 무차원 운동방정식의 형태로 전환하였 다.
도 2와 도 3을 참조하여 복합 변형 변수를 이용한 동적 모델링에 의한 테이퍼 단면을 갖는 다중 패킷 블레이드 회전체의 운동방정식 유도과정을 살펴보면 다음과 같다.
여기서, 테이퍼 단면을 갖는 회전 외팔보의 모델을 토대로 테이퍼 단면 비, 블레이드 간의 연성, 쉬라우드의 위치, 블레이드 길이에 대한 축반경비, 회전각속도 등을 고려하여 진동특성 변화를 종합적으로 조사해 시스템 분석 및 설계를 위한 토대를 구축하는 것이 바람직하다.
이를 좀 더 상세히 설명하면, 도 2에 도시된 바와 같이 블레이드의 단면 테이퍼 비율은 단면 두께와 폭의 감소된 정도를 나타내는 두 가지 파라미터
Figure 112009002773338-PAT00001
와
Figure 112009002773338-PAT00002
로 나타낼 수 있다. 만약, 고정단에서 블레이드의 두께가
Figure 112009002773338-PAT00003
라고 한다면 그 자유단에서의 두께는
Figure 112009002773338-PAT00004
가 된다. 마찬가지로 고정단에서 블레이드의 폭이
Figure 112009002773338-PAT00005
라면 자유단에서는
Figure 112009002773338-PAT00006
이다. 디스크와 쉬라우드 강성 스프링은 블레이드의 중심축 상에 존재한다.
또한, 도 3에 도시된 바와 같이,
Figure 112009002773338-PAT00007
과
Figure 112009002773338-PAT00008
는 기준계(reference frame)
Figure 112009002773338-PAT00009
에 부착된 서로 수직인 단위 벡터를 나타내며,
Figure 112009002773338-PAT00010
는 보의 고정점
Figure 112009002773338-PAT00011
로부터 변형 전 임의점
Figure 112009002773338-PAT00012
까지의 거리를,
Figure 112009002773338-PAT00013
와
Figure 112009002773338-PAT00014
는 보 구조물 사이 디스크와 쉬라우드의
Figure 112009002773338-PAT00015
방향 연성스프링 강성을,
Figure 112009002773338-PAT00016
와
Figure 112009002773338-PAT00017
는 연성스프링의 연결된 위치를,
Figure 112009002773338-PAT00018
는
Figure 112009002773338-PAT00019
번째 블레이드의 탄성변위를,
Figure 112009002773338-PAT00020
는 임의 질점의 위치에서 블레이드가 인장된 길이를 각각 나타낸다.
가정모드법(Assumed Modes Method)을 이용해 상미분 운동방정식을 유도하기 위해
Figure 112009002773338-PAT00021
와
Figure 112009002773338-PAT00022
를 수식 1 및 2와 같이 근사화한다.
[수식 1]
Figure 112009002773338-PAT00023
[수식 2]
Figure 112009002773338-PAT00024
여기서
Figure 112009002773338-PAT00025
,
Figure 112009002773338-PAT00026
는 인장방향과 굽힘방향의 모드함수들이고,
Figure 112009002773338-PAT00027
,
Figure 112009002773338-PAT00028
는 시간의 함수인 일반좌표들이며,
Figure 112009002773338-PAT00029
,
Figure 112009002773338-PAT00030
는 각 방향 일반좌표의 수이다. 반경
Figure 112009002773338-PAT00031
인 강체축
Figure 112009002773338-PAT00032
가
Figure 112009002773338-PAT00033
방향으로 속력
Figure 112009002773338-PAT00034
로 회전할 때
Figure 112009002773338-PAT00035
의 각속도와
Figure 112009002773338-PAT00036
점의 속도는 수식 3 및 4와 같이 구해진다.
[수식 3]
Figure 112009002773338-PAT00037
[수식 4]
Figure 112009002773338-PAT00038
Kane의 방법을 따른 운동방정식은 수식 5와 같다.
[수식 5]
Figure 112009002773338-PAT00039
여기서,
Figure 112009002773338-PAT00040
과
Figure 112009002773338-PAT00041
는 보의 길이와 보의 단위길이 당 질량을 나타내며
Figure 112009002773338-PAT00042
는 일반좌표를 나타낸다.
Figure 112009002773338-PAT00043
는 보의 인장 및 굽힘에 의한 탄성에너지, 연성 스프링에 의한 탄성에너지로 수식 6과 같이 표현된다.
[수식 6]
Figure 112009002773338-PAT00044
여기서,
Figure 112009002773338-PAT00045
,
Figure 112009002773338-PAT00046
는 각각 디스크와 쉬라우드 연성스프링 강성을 나타내며
Figure 112009002773338-PAT00047
는 보의 영계수,
Figure 112009002773338-PAT00048
는 단면적,
Figure 112009002773338-PAT00049
는 단면의 관성 모멘트이다. 본 실시예에서 사용된 보는 테이퍼 단면을 갖고 있으므로
Figure 112009002773338-PAT00050
와
Figure 112009002773338-PAT00051
는
Figure 112009002773338-PAT00052
의 함수이다.
편속도
Figure 112009002773338-PAT00053
는 수식 4의
Figure 112009002773338-PAT00054
을
Figure 112009002773338-PAT00055
와
Figure 112009002773338-PAT00056
를 이용하여 표현함으로써 얻을 수 있으며 이를 위해 수식 7과 같은 근사화한 관계식이 사용된다.
[수식 7]
Figure 112009002773338-PAT00057
이상의 수식들을 이용하여 각속도가 일정하다는 가정 하에 운동방정식을 구하면 수식 8 및 9와 같다.
[수식 8]
Figure 112009002773338-PAT00058
[수식 9]
Figure 112009002773338-PAT00059
상술한 수식 8 및 9에 나타난 행렬들은 다음과 같다.
Figure 112009002773338-PAT00060
위 식에서
Figure 112009002773338-PAT00061
는 모드함수로서
Figure 112009002773338-PAT00062
에 대한 함수이다.
Figure 112009002773338-PAT00063
의 정의에 의해서
Figure 112009002773338-PAT00064
는 다음과 같이 표현된다.
[수식 10]
Figure 112009002773338-PAT00065
일반적으로 회전하는 보의 인장방향 고유진동수는 굽힘방향 고유진동수에 비해 매우 높으며, 따라서 두 방향 모드들은 서로 간섭 효과를 가지지 않는다는 가정 하에 두 방향 간의 연성효과는 무시할 수 있다. 인장, 굽힘 간 연성항을 제거하면 수식 8 및 9는 수식 11과 같이 정리될 수 있다.
[수식 11]
Figure 112009002773338-PAT00066
한편, 후술할 수식 13 및 14를 무차원 진동방정식으로 변환시키기 위해 다음과 같은 무차원 변수들을 정의한다.
[수식 12]
Figure 112009002773338-PAT00067
이때,
Figure 112009002773338-PAT00068
는 다음과 같다.
Figure 112009002773338-PAT00069
Figure 112009002773338-PAT00070
는 고정단에서 블레이드의 2차 면적 모멘트를 나타낸다. 위의 무차원 변수들을 사용하면 수식 13과 같은 무차원 진동방정식을 얻을 수 있다.
[수식 13]
Figure 112009002773338-PAT00071
여기서,
Figure 112009002773338-PAT00072
Figure 112009002773338-PAT00073
는
Figure 112009002773338-PAT00074
의 함수로서 보의 굽힘 방향에 대한모드함수를 무차원화한 형태이다. 위에서 나타난 무차원 매개변수들은 다음과 같다.
Figure 112009002773338-PAT00075
Figure 112009002773338-PAT00076
는 그 정의로부터 다음과 같이 유도된다.
[수식 14]
Figure 112009002773338-PAT00077
다중 패킷 블레이드 회전체의 경우, 두 패킷 사이에는 쉬라우드 스프링 강성이 존재하지 않으므로 이 같은 특성을 효율적으로 표현하기 위해 수식 15와 같이 변환된 형태의 무차원 진동방정식을 사용하였다.
[수식 15]
Figure 112009002773338-PAT00078
Figure 112009002773338-PAT00079
와
Figure 112009002773338-PAT00080
은 다음과 같이 정의되는 함수로 후술할 수식 16과 수식 17의 조건을 갖는다.
[수식 16]
Figure 112009002773338-PAT00081
[수식 17]
Figure 112009002773338-PAT00082
위 식에서
Figure 112009002773338-PAT00083
은 한 패킷 내에 존재하는 블레이드의 개수를 나타내며 함수
Figure 112009002773338-PAT00084
은
Figure 112009002773338-PAT00085
를
Figure 112009002773338-PAT00086
으로 나누었을 때의 나머지를 뜻한다. 또한, 마지막 블레이드는 첫 번째 블레이드와 연결되어 있으므로
Figure 112009002773338-PAT00087
가 시스템의 총 블레이드의 개수
Figure 112009002773338-PAT00088
와 같은 경우
Figure 112009002773338-PAT00089
은 1이 된다. 이상의 과정들을 종합하여 수식 15를 수식 19와 같은 행렬식으로 나타낼 수 있다.
[수식 19]
Figure 112009002773338-PAT00090
모드 해석을 위하여 열벡터
Figure 112009002773338-PAT00091
를 수식 20과 같이 나타낸다.
[수식 20]
Figure 112009002773338-PAT00092
여기서
Figure 112009002773338-PAT00093
는 시스템의 무차원 고유진동수이다. 수식 17과 18을 이용하여 얻는 수식 21을 통해 모드 해석을 수행할 수 있다.
[수식 21]
Figure 112009002773338-PAT00094
상술한 바와 같은 과정을 거쳐 산출된 수식을 이용하여 수치해석을 하게 되는데, 이때 앞서 가정한 바와 같이 굽힘방향 변위의 가정모드(assumed modes)로 고정된 외팔보의 굽힘진동모드를 적용하였으며 굽힘방향에 대해 5개의 모드함수가 사용되었다. 본 실시예에서 사용된 수치예제는 8개 패킷, 총 48개의 블레이드로 구성된 시스템으로서 각 패킷에는 6개의 블레이드가 존재한다. 회전체의 고유진동수는 5개 그룹, 총 240개이며 한 그룹은 48개의 고유진동수로 이루어져 있다.
도 4는 상술한 5개의 그룹 중 낮은 2개 그룹의 결과로서 고유진동수가 회전 각속도에 따라 증가하는 것을 도시하는 그래프로, 이러한 현상은 직관적으로 예측될 수 있다.
또한, 도 5와 도 6은 각각, 테이퍼 단면 비를 나타내는 무차원 매개변수
Figure 112009002773338-PAT00095
와
Figure 112009002773338-PAT00096
가 첫 번째 그룹의 고유진동수 변화에 미치는 영향을 도시한 그래프로,
Figure 112009002773338-PAT00097
와
Figure 112009002773338-PAT00098
가 커짐에 따라 고유진동수는 확연히 감소함을 확인할 수 있다. 이러한 현상은 무차원 각속도
Figure 112009002773338-PAT00099
가 증가할수록 더 뚜렷하게 나타나는데, 이는 테이퍼 단면으로 인한 효과를 나타내는
Figure 112009002773338-PAT00100
행렬이 stiffening effect항 내에 있기 때문이며, 운동방정식 상에서도 이를 확인할 수 있다. 보다 명확한 비교를 위해 표 1에서는
Figure 112009002773338-PAT00101
일 경우, 각각의 경우에 대한
Figure 112009002773338-PAT00102
번째 고유진동수를 나타내었다.
[표 1]
Figure 112009002773338-PAT00103
결론적으로, 본 실시예에서는 디스크와 테이퍼 단면을 갖는 다중 패킷 블레이드 회전체의 고유진동 특성을 예측하기 위한 모델링 방법이 제시되었으며 이를 이용해 회전각속도, 축반경 비, 디스크와 쉬라우드의 강성을 고려한 해석 결과를 도출할 수 있다. 특히, 단면의 테이퍼 비가 고유진동수 변화에 미치는 영향을 집중적으로 조사하였으며 테이퍼 비가 커짐에 따라 고유진동수가 감소함을 확인할 수 있었다. 이와 같은 현상은 각속도가 커질수록, 고차모드로 갈수록 뚜렷하게 나타나는 것을 알 수 있다. 테이퍼 단면을 갖는 다중 블레이드 형태의 구조물의 경우, 항공기 회전익이나 발전기 터빈 등 많은 분야에 사용되고 있으므로 본 실시예에 제시된 방법은 디스크와 측판의 강성들을 고려한 블레이드 구조설계 시 유용하게 사용될 수 있으며 관련 연구 분야에서도 이해되고 응용될 수 있으리라 판단된다.
본 발명의 바람직한 실시예에 따른 테이퍼 단면을 갖는 다중 패킷 블레이드 회전체를 상기한 설명 및 도면에 따라 도시하였지만, 이는 예를 들어 설명한 것에 불과하며 본 발명의 기술적 사상을 벗어나지 않는 범위 내에서 다양한 변화 및 변경이 가능하다는 것을 이 분야의 통상적인 기술자들은 잘 이해할 수 있을 것이다.
도 1은 본 발명에 의한 테이퍼 단면을 갖는 다중 패킷 블레이드 회전체를 도시한 도면.
도 2는 도 1의 다중 패킷 블레이드 회전체 중 테이퍼 단면을 갖는 블레이드를 확대 도시한 도면.
도 3은 도 1의 다중 패킷 블레이드 회전체의 일부를 확대 도시한 도면.
도 4는 테이퍼 단면을 갖는 다중 패킷 블레이드 회전체의 5개 그룹 중 낮은 2개 그룹의 결과를 도시하는 그래프.
도 5와 도 6은 테이퍼 단면 비를 나타내는 무차원 매개변수
Figure 112009002773338-PAT00104
와
Figure 112009002773338-PAT00105
가 고유진동수 변화에 미치는 영향을 도시한 그래프.

Claims (4)

  1. 회전체 블레이드의 진동해석방법에 있어서,
    가정모드법(Assumed Modes Method)을 적용하여 운동방정식을 이산화하는 단계;
    질량행렬 및 강성행렬을 도출하는 단계; 및
    수치해석을 하는 단계로 이루어지는 것을 특징으로 하는 회전체 블레이드의 진동해석방법
  2. 제1항에 있어서,
    상기 수치해석을 하는 단계는 RSG(Real Symmetric Generalized) 서브루틴을 이용하는 것을 특징으로 하는 회전체 블레이드의 진동해석방법.
  3. 제1항 또는 제2항에 있어서,
    상기 회전체 블레이드는 다중 패킷 블레이드인 것을 특징으로 하는 진동해석방법.
  4. 제3항에 있어서,
    상기 회전체 블레이드는 테이퍼 단면인 것을 특징으로 하는 진동해석방법.
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