KR101293357B1 - 다중블레이드 회전체 진동해석방법 - Google Patents

다중블레이드 회전체 진동해석방법 Download PDF

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Abstract

본 발명에 의한 다중블레이드 회전체 진동해석방법은, 디스크 외주에 복수 개의 블레이드가 하나 이상의 패킷단위로 설치되며, 상기 복수 개의 블레이드의 일측을 연결하는 복수 개의 제1 연성스프링과 상기 복수 개의 블레이드의 타측을 연결하는 복수 개의 제2 연성스프링을 구비하도록 구성되어, 분사노즐로부터 분사되는 유체에 의해 회전되는 다중블레이드 회전체의 진동을 해석하는 방법으로서, 상기 블레이드의 고유진동수를 산출하는 제1 단계와, 상기 블레이드의 고유진동수를 산출하는 제2 단계와, 상기 다중블레이드 회전체가 360° 회전될 때 각 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 구간의 각도를 산출하여, 상기 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 각도를 산출하는 제3 단계와, 상기 다중블레이드 회전체의 회전속도와 상기 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 각도를 입력값으로 하여, 과도해석을 수행함으로써 블레이드의 진동량을 파악하는 제4 단계를 포함한다.

Description

다중블레이드 회전체 진동해석방법{VIBRATION ANALYSIS METHOD OF MULTI BLADE ROTATOR}
본 발명은 분사노즐로부터 분사되는 유체에 의해 다중블레이드 회전체가 회전될 때 발생되는 진동의 특성을 해석하기 위한 진동해석방법에 관한 것으로, 더 상세하게는 분사노즐이 블레이드에 유체를 분사하는 각도를 산출하여 과도해석을 함으로써 블레이드 및 분사노즐의 개수별 다중블레이드 회전체의 진동량을 파악하도록 구성되는 진동해석방법에 관한 것이다.
회전운동을 하는 주기적 순환구조물의 형태는 터빈 블레이드, 항공기 회전익, 터보 엔진의 팬 등 여러 가지 구조물에 이용되고 있다. 이러한 순환구조물은 기준 축을 중심으로 외팔보 형태의 블레이드들로 구성되고, 기준 축과 측판의 강성으로 인하여 블레이드에 영향을 미치게 된다. 이 경우 단일 블레이드와는 동특성이 달라지며, 블레이드 디스크 전체가 하나의 시스템으로 기능하기 때문에 단일 블레이드에서 예측할 수 없었던 고유진동수와 모드형상(mode shape)이 존재한다. 따라서 이러한 순환구조시스템의 적절한 설계를 위해서는 그 동적 특성을 정확히 예측할 수 있는 방법이 요구된다.
회전하는 구조물의 진동특성에 관한 연구는 Southwell과 Gough의 연구(Southwell, R. and Gough, F., 1921, "The Free Transverse Vibration of Airscrew Blades," British A. R. C. Reports and Memoranda No.766.)를 근간으로 하고 있다. 이들은 외팔보의 회전에 따른 고유진동수를 계산할 수 있는 모델링을 제시하였다. 그 후 Schilhansl(Schilhansl, M., 1958, "Bending Frequency of a Rotating Cantilever Beam," J. of Appl. Mech. Trans. Soc. Mech. Engrs, 25, pp. 28~30)은 회전 외팔보의 굽힘진동방정식을 유도하고 이에 Ritz 방법을 적용하여 Southwell 방정식을 유도하고 이에 Ritz방법을 적용하여 Southwell 방정식의 정확성을 확보하였다. 1970년대에 들어와 전산기의 본격적 사용에 힘입어 운동방정식을 고유치 문제로 변환하여 진동해석을 하려는 수치적인 방법(Putter, S. And Manor, H., 1978, "Natural Frequencies of Radial Rotating Beams," J. Sound and Vibration, Vol.56, pp. 175~185)이 등장하였으며 최근에는 인장방향 변형변수를 사용하는 진동해석을 위한 모델링 방법도 등장하였다(Yoo, H. H., 1991, "A Linear Dynamic Modeling Using Hybrid Deformation Variables for Rotating Structures." KSAS, Vol. 19, No. 3, pp. 32~39), (Yoo, H. H., 1991, "Bending Vibration of Rotating Cantilever Beams" KSME, Vol. 16, No. 5, pp. 891~898).
그러나 이러한 연구들은 단일 외팔보 진동특성 연구에 초점을 맞추고 있으며, 블레이드와 같은 다중구조물, 패킷형태로 구성된 블레이드 디스크에 대한 연구(Singh, M. P. and Schiffer, D M., 1982, "Vibrational Characteristics of Paketed Bladed Discs," ASME Paper No. 82-DET-137 ),(Dello, J., 1987, "Frequency Evaluation of a Steam Turbine Bladed Disk," Turbomachinery International Magazine, Jan., Fab.)는 상당히 드문 편이다.
블레이드 디스크의 회전운동과 관련해 현재까지 알려진 중요한 사항은 공진에 대한 내용이다. 예로부터 고유진동수와 가진주파수의 일치를 통해 공진을 예측하는 캠벨 다이어그램(Campbell diagram)을 사용하여 왔지만 이는 시스템의 모드형상(mode shape)과 가진형상(the shape of the exciting force)의 일치 유무를 확인할 수 없기에 실제 공진을 예측하는 데 어려움이 있었다.
즉, 기존의 연구들은 단일 블레이드와 단일 노즐가진력을 고려한 모델만을 제시하였고, 이는 실제 모델인 다중블레이드와 분사노즐의 수에 따른 모델링과 상당한 차이가 있으며, 또한 블레이드 수와 분사노즐 수가 달라짐에 따라 공진주파수를 파악하는 데 있어 적합하지 못한 단점이 있었다. 또 고유진동수와 가진주파수가 일치하는 회전주파수를 공진주파수로 파악하여 왔으나, 고유진동수에 해당하는 모드형상(mode shape)과 가진력에 의한 가진형상(the shape of the exciting force)이 일치하는 회전주파수를 파악하지 못함에 따라서 공진의 정확한 예측이 어려운 단점이 있었다.
이와 같은 단점을 해결하기 위하여 다중블레이드 시스템의 고유진동수와 가진주파수의 일치여부를 확인할 뿐만 아니라, 고유진동수에 해당하는 모드형상(mode shape)과 가진형상(the shape of the exciting force)의 일치여부를 확인함으로써 다중블레이드 시스템에서 발생할 수 있는 공진주파수를 보다 정확하게 예측할 수 있는 '다중블레이드 시스템의 공진주파수 확인방법 및 그 확인장치'가 본 발명의 출원인에 의해 출원되어 등록된 바 있다(대한민국 등록특허 10-0993844호). 상기 공진주파수 확인방법 및 그 확인장치를 이용하면 공진이 발생되는 다중블레이드 시스템 회전속도와, 공진이 발생되는 다중블레이드 시스템 회전속도 별 블레이드의 공진주파수를 보다 정확하게 예측할 수 있다는 장점이 있다.
이때, 다중블레이드 시스템의 회전속도가 공진이 발생되지 아니하는 구간에 속하더라도 다중블레이드 시스템의 회전속도에 따라 블레이드의 진동이 다양한 크기로 변동되는데, 상기와 같은 다중블레이드 시스템의 공진주파수 확인방법 및 그 확인장치로는 다중블레이드 시스템의 회전속도가 얼마일 때 블레이드의 진동이 가장 작아지는지 파악할 수 없다는 단점이 있다.
또한, 블레이드의 진동은 다중블레이드 시스템의 회전속도뿐만 아니라 분사노즐의 가진력 인가방향과 블레이드 간의 각도, 블레이드의 개수 및 분사노즐의 개수에 따라 크게 변경되는데, 종래의 다중블레이드 시스템의 공진주파수 확인방법 및 그 확인장치로는 분사노즐 가진력이 블레이드에 인가되는 방향, 블레이드의 개수, 분사노즐의 개수 등에 따라 블레이드가 얼마나 진동하는 지까지 알 수 없다는 단점이 있다.
본 발명은 상기와 같은 문제점을 해결하기 위하여 제안된 것으로, 분사노즐이 블레이드에 유체를 분사하는 각도를 산출한 후 과도해석을 함으로써, 블레이드 및 분사노즐의 개수에 따른 다중블레이드 회전체의 진동량을 파악하도록 구성되는 다중블레이드 회전체 진동해석방법을 제공하는데 목적이 있다.
상기와 같은 목적을 달성하기 위한 본 발명에 의한 다중블레이드 회전체 진동해석방법은, 디스크 외주에 복수 개의 블레이드가 하나 이상의 패킷단위로 설치되며, 상기 복수 개의 블레이드의 일측을 연결하는 복수 개의 제1 연성스프링과 상기 복수 개의 블레이드의 타측을 연결하는 복수 개의 제2 연성스프링을 구비하도록 구성되어, 분사노즐로부터 분사되는 유체에 의해 회전되는 다중블레이드 회전체의 진동을 해석하는 방법으로서, 상기 블레이드의 고유진동수를 산출하는 제1 단계와, 상기 블레이드의 고유진동수를 산출하는 제2 단계와, 상기 다중블레이드 회전체가 360°회전될 때 각 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 구간의 각도를 산출하여, 상기 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 각도를 산출하는 제3 단계와, 상기 다중블레이드 회전체의 회전속도와 상기 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 각도를 입력값으로 하여, 과도해석을 수행함으로써 블레이드의 진동량을 파악하는 제4 단계를 포함한다.
다중블레이드 회전체의 진동해석을 종료하는지를 판단하여, 진동해석을 종료하지 아니하는 경우, 블레이드 개수와 분사노즐 개수 중 하나 이상을 변경하는 제5 단계; 상기 제1 단계와 동일한 방식으로 고유진동수를 산출하는 제6 단계; 상기 제2 단계와 동일한 방식으로 공진주파수를 확인하는 제7 단계; 블레이드 회전속도가 공진이 발생되는 회전속도인지를 판단하여, 블레이드 회전속도가 공진이 발생되는 회전속도이면 상기 제5 단계로 되돌아가고, 블레이드 회전속도가 공진이 발생되는 회전속도가 아니면 상기 제3 단계로 되돌아가는 제8 단계;를 더 포함한다.
상기 제3 단계는, 상기 다중블레이드 회전체가 360°회전될 때 k번째 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 구간의 상기 다중블레이드 회전체 회전각도
Figure 112011074574777-pat00001
는 하기 식에 의해 구해진다.
Figure 112011074574777-pat00002
(n b : 블레이드의 수, n f : 분사노즐의 수), (j=1,…,n f )
상기 제1 단계는, 상기 분사노즐로부터 분사된 유체가 상기 블레이드로 인가되어 가진주파수를 갖는 가진력이 상기 블레이드에 인가되는 조건에서 유도되는 운동방정식 및 진동방정식을 이용하여, 고유진동수를 산출하도록 구성된다.
상기 제2 단계는, 모드형상에 대응하는 노달 다이어미터가 표시되는 수정된 켐벨 다이어그램을 이용하여, 상기 고유진동수와 가진주파수의 일치여부 및 상기 모드형상과 가진형상의 일치 여부를 확인함으로써, 상기 블레이드의 고유진동수를 산출하도록 구성된다.
상기 진동방정식은 블레이드의 인장방향 운동은 무시하고 굽힘방향 운동만을 고려하여 유도된다.
상기 언급한 바와 같이 본 발명에 의한 다중블레이드 회전체 진동해석방법을 이용하면, 블레이드가 가진력을 인가받는 각도, 가진력의 크기 등을 입력값으로 하여 과도해석을 할 수 있으므로 블레이드 진동량을 실제와 가깝게 파악할 수 있고, 블레이드 및 분사노즐의 개수가 바뀜에 따라 변경되는 블레이드 가진력 인가각도를 구할 수 있으므로, 진동에 의한 시스템의 파손 및 손상을 방지할 수 있는 최적의 설계조건을 보다 빠르고 정확하게 산출할 수 있다는 장점이 있다.
도 1 및 도 2는 다중블레이드 회전체의 측면도 및 상세도이다.
도 3은 본 발명에 의한 다중블레이드 회전체 진동해석방법의 순서도이다.
도 4는 본 발명에 의한 다중블레이드 회전체 진동해석방법에 의해 산출된 고유진동수와 각속도의 관계를 나타낸 그래프이다.
도 5는 본 발명에 의한 다중블레이드 회전체 진동해석방법에 의해 산출된 고유진동수에 해당하는 모드형상을 예시적으로 나타낸 도면이다.
도 6은 본 발명에 의한 다중블레이드 회전체 진동해석방법에 사용되는 수정된 캠벨 다이어그램을 나타낸 그래프이다.
도 7은 2개의 분사노즐이 장착된 다중블레이드 회전체의 측면도이다.
도 8 및 도 9는 다중블레이드 회전체 중 어느 하나의 블레이드가 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 각도 범위를 도시하는 상세도이다.
도 1 및 도 2는 다중블레이드 회전체의 측면도 및 상세도이다.
도 1 및 도 2에 도시된 바와 같이 다중블레이드 회전체(100)는 디스크(110)의 외주면에 패킷단위(115)로 설치된 복수의 블레이드(120)를 포함하고, 각 블레이드(120)는 보 구조물의 형태로 이루어진다. 복수의 블레이드(120)는 로터(110)에 인접한 일측 위치에서 제1 연성스프링(131)에 의해 연결되고, 복수의 블레이드(120)는 그 외측단에 인접한 타측 위치에서 복수의 제2 연성스프링(132)에 의해 패킷단위(115)로 연결된다. 특히 제2 연성스프링(132)은 복수의 블레이드(120)를 패킷단위(115)로 연결함에 따라 블레이드(120)들 중에서 패킷단위(115)들이 인접하는 부분은 제2 연성스프링(132)이 연결되지 않는다.
제1 연성스프링(131)은 디스크(110)측에 블레이드(120)를 연결시키는 디스크의 연성 강성효과(coupling stiffness effect)를 스프링으로 가정한 것이다. 또 제2 연성스프링(132)은 블레이드(120)의 외부면을 패킷단위(115)로 연결하는 슈라우드의 연성 강성효과를 스프링으로 가정한 것이다.
분사노즐(200)은 유체를 분사시키도록 구성되어 상기 블레이드(120)측에 소정의 가진력을 인가하고, 다중블레이드 회전체(100)측에 소정의 가진주파수를 발생시킨다.
제1 및 제2 연성스프링(131, 132)으로부터 각 블레이드(120)의 인장길이 및 탄성변위, 디스크(110)의 각속도, 블레이드(120)의 회전속도 등과 같은 각종 데이터를 통해 다중블레이드 회전체(100)의 운동방정식 및 진동방정식을 유도할 수 있고, 고유진동수 및 이 고유진동수에 대응하는 모드형상(mode shape)을 산출해 낼 수 있다.
또한, 고유진동수 및 모드형상을 분사노즐(200)의 가진주파수 및 가진형상과 개별적으로 비교하여 공진주파수를 확인할 수 있는데, 이와 같은 공진주파수 확인은 도 5에 도시된 바와 같이 일측에 고유진동수에 해당하는 모드형상(mode shape), 즉 노달 다이어미터(nodal diameter)가 표시된 수정된 캠벨 다이어그램(Campbell diagram)을 이용한다. 상기 수정된 캠벨 다이어그램은 블레이드(120)의 고유진동수와 가진주파수를 하나의 그래프 상에 나타낸 것으로, 수정된 캠벨 다이어그램 상에서 고유진동수와 가진주파수가 일치되는 점이 공진주파수가 된다.
도 1 및 도 2에서,
Figure 112011074574777-pat00003
과
Figure 112011074574777-pat00004
는 기준계(reference frame, A)에 부착된 서로 수직인 단위 벡터를 나타내며, x는 블레이드(120)의 고정점(O)으로부터 변형 전 임의점 P0까지의 거리, kD와 kS는 블레이드(120)들을 연결하는 제1 및 제2 연성스프링(131, 132)의 연성스프링 강성, a와 b는 제1 및 제2 연성스프링(131, 132)의 각 연결된 위치,
Figure 112011074574777-pat00005
는 n번째 블레이드(120)의 탄성변위,
Figure 112011074574777-pat00006
는 임의 질점의 위치에서 블레이드(120)가 인장된 길이를 각각 나타낸다. 그리고 다중블레이드 회전체(100)는 블레이드(120)의 단면이 일정하고, 블레이드(120)가 균일한 등방성 재질이며, 전단효과 및 회전관성효과 등은 무시되고, 그 과도해석은 굽힘방향으로만 실시하는 것을 미리 가정한 상태로 그 실험이 진행될 수 있다.
이하 첨부된 도면을 참조하여 본 발명에 의한 본 발명에 의한 다중블레이드 회전체 진동해석방법의 실시예를 상세히 설명한다.
도 3은 본 발명에 의한 다중블레이드 회전체 진동해석방법의 순서도이다.
본 발명에 의한 다중블레이드 회전체(100) 진동해석방법으로 다중블레이드 회전체(100)의 진동을 해석하고자 하는 경우, 먼저 블레이드(120)의 고유진동수를 산출하고(S10), 상기 블레이드(120)의 고유진동수를 이용하여 상기 블레이드(120)의 공진주파수를 산출한 후(S20), 다중블레이드 회전체(100)가 360°회전되는 동안 각 블레이드(120)가 상기 분사노즐(200)로부터 가진력을 인가받는 구간의 각도를 산출하여, 분사노즐(200)이 블레이드(120)에 가진력을 인가하는 각도를 산출한다(S30). 이때, 블레이드(120)가 분사노즐(200)로부터 가진력을 인가받는 구간의 각도는 블레이드(120)의 개수와 분사노즐(200)의 개수에 따라 결정되므로, 상기 블레이드(120)의 개수와 분사노즐(200)의 개수는 분사노즐(200)이 블레이드(120)에 가진력을 인가하는 각도를 산출하기 이전에 설정된다. 한편, 분사노즐(200)이 블레이드(120)에 가진력을 인가하는 각도가 산출되면, 다중블레이드 회전체(100)의 회전속도와 블레이드(120)가 상기 분사노즐(200)로부터 가진력을 인가받는 각도를 입력값으로 하여 과도해석을 수행함으로써, 블레이드(120)의 진동량을 파악한다(S40).
본 발명의 출원인에 의해 출원되어 등록된 '다중 블레이드 시스템의 공진주파수 확인방법 및 그 확인장치'(등록특허 10-0993844호)로는 공진주파수의 값을 확인하는 단계까지만 가능하므로, 다중블레이드 회전체(100)의 회전 속도를 공진이 발생되는 속도를 피하도록 설정할 수만 있을 뿐, 블레이드(120)가 어떤 특성으로 진동을 하는지는 예측할 수 없다는 한계가 있었다. 즉, 다중블레이드 회전체(100)가 공진이 발생되지 아니하는 속도로 회전한다 하더라도 블레이드(120)의 개수, 분사노즐(200)의 개수, 디스크(110)의 회전속도 등 여러 가지 조건에 따라 블레이드(120)의 진동량이 다양하게 변경되는데, 종래에는 상기 언급한 조건이 변경됨에 따라 블레이드(120)가 얼마나 진동하게 되는지를 예측할 수 없다는 한계가 있었다. 그러나 본 발명에 의한 다중블레이드 회전체(100) 진동해석방법을 이용하면, 블레이드(120)의 공진이 유발되지 아니하는 회전속도 구간 내에서 다중블레이드 회전체(100)가 회전될 때 블레이드(120)의 진동량까지 파악할 수 있으므로, 다중블레이드 회전체(100)가 파손 및 손상을 더욱 효과적으로 예측할 수 있다는 장점이 있다.
또한, 본 발명에 의한 다중블레이드 회전체(100) 진동해석방법은, 블레이드(120) 개수 및 분사노즐(200) 개수를 변경시켜가면서 여러 종류의 조건 별 블레이드(120) 진동특성을 파악할 수 있도록 구성될 수 있다.
즉, 과도해석을 통해 블레이드(120)의 진동량을 파악하는 단계(S40)이후, 다중블레이드 회전체(100)의 진동해석을 종료하는지를 판단하여(S50), 진동해석을 종료하지 아니하는 경우 블레이드(120) 개수와 분사노즐(200) 개수 중 하나 이상을 변경한 후(S60), 고유진동수를 산출하고(S70) 공진주파수를 확인한다(S80). 이때, 블레이드(120)의 개수와 분사노즐(200)의 개수를 변경하는 조작은, 사용자에 의해 수작업으로 이루어질 수도 있고, 별도의 입력 프로그램에 의해 블레이드(120) 및 분사노즐(200)의 개수가 자동 변경되어 입력되도록 구성될 수도 있다.
또한, 고유진동수를 산출하는 단계(S70)와 공진주파수를 확인하는 단계(S80)는 상기 언급한 각 단계(S10, S20)과 동일하므로, 이에 대한 상세한 설명은 생략한다.
블레이드(120) 개수 또는 분사노즐(200) 개수가 변경되면, 고유진동수 및 공진주파수가 변경되는바, 사전에 설정된 다중블레이드 회전체(100)의 회전속도가 공진이 발생하는 회전속도와 겹치는지를 판단하는 단계(S90)를 거치도록 한다. 이때, 이와 같이 다중블레이드 회전체(100)의 회전속도가 공진이 발생하는 회전속도와 겹치지 아니하면, 블레이드(120)의 가진력 인가각도를 산출하는 단계(S30)로 되돌아가 변경된 현재 조건에서 블레이드(120)가 얼마나 진동하는지를 파악한다(S40). 이와 같이 블레이드(120) 개수 및 분사노즐(200) 개수를 변경시켜가면서 각 조건 별 블레이드(120)의 진동량을 파악할 수 있으면, 블레이드(120) 및 분사노즐(200)이 각각 몇 개일 때 블레이드(120)의 진동이 최소화되는지를 추적할 수 있으므로, 다중블레이드 회전체(100)의 파손 및 손상이 방지되도록 설계를 할 수 있다는 장점이 있다.
사전에 설정된 다중블레이드 회전체(100)의 회전속도가 공진이 발생하는 회전속도와 겹치는지를 판단하는 단계(S90)에서 사전에 설정된 다중블레이드 회전체(100)의 회전속도가 공진이 발생하는 회전속도와 겹치는 경우에는, 해당 블레이드(120) 개수 및 분사노즐(200) 개수로 설계하는 것을 피해야 하므로 블레이드(120)의 진동량을 파악할 필요가 없다. 따라서 사전에 설정된 다중블레이드 회전체(100)의 회전속도가 공진이 발생하는 회전속도와 겹치는 경우에는 블레이드(120) 개수 및 분사노즐(200) 개수를 변경하는 단계(S60)로 되돌아간다.
이하, 고유진동수를 산출하는 단계(S10)와, 공진주파수를 확인하는 단계(S20)와, 블레이드의 가진력 인가각도를 산출하는 단계(S30)와, 과도해석단계(S40)에 관하여 상세히 설명하면 다음과 같다.
1) 고유진동수 산출단계( S10 )
고유진동수 산출단계(S10)는 다중블레이드 회전체(100)측에 가진력이 인가됨에 따라 복수의 블레이드(120)가 회전하고, 이에 의해 그 운동방정식 및 진동방정식이 유도될 수 있다.
[운동방정식의 유도]
먼저, 모드방법을 이용하여 상미분 운동방정식을 유도하기 위해 블레이드(120)의 탄성변위
Figure 112011074574777-pat00007
및 인장길이
Figure 112011074574777-pat00008
을 다음의 식 (1) 및 식 (2)와 같이 근사화한다.
Figure 112011074574777-pat00009
...(1)
Figure 112011074574777-pat00010
...(2)
여기서,
Figure 112011074574777-pat00011
와
Figure 112011074574777-pat00012
는 인장방향과 굽힘방향의 모드함수들이고,
Figure 112011074574777-pat00013
와
Figure 112011074574777-pat00014
는 시간의 함수인 일반좌표들이며,
Figure 112011074574777-pat00015
과
Figure 112011074574777-pat00016
는 일반좌표의 수이다. 반경 r인 디스크(110)가 속력
Figure 112011074574777-pat00017
로 회전할 때 디스크(110)의 각속도(
Figure 112011074574777-pat00018
)와 P점의 속도(
Figure 112011074574777-pat00019
)는 다음의 식(3)과 같이 구해진다.
Figure 112011074574777-pat00020
...(3)
Figure 112011074574777-pat00021
은
Figure 112011074574777-pat00022
와
Figure 112011074574777-pat00023
로 표시되어야 하며 이를 위해 다음의 식 (4)와 같이 근사화된 관계식이 사용된다.
Figure 112011074574777-pat00024
...(4)
그리고 Kane의 방법(Kane, T. and Levinson, D., 1985, Dynamics: Theory and Applications, McGraw-Hill Book Co., New York, N.Y. )에 따른 운동방정식은 다음의 식 (5)와 같이 유도될 수 있다.
Figure 112011074574777-pat00025
...(5)
여기서
Figure 112011074574777-pat00026
과
Figure 112011074574777-pat00027
는 블레이드(120)의 길이와 블레이드(120)의 단위 길이당 질량을 나타내며, U는 블레이드(120)의 인장 및 굽힘에 의한 탄성에너지, 연성스프링의 의한 탄성에너지로서 다음의 식 (6)과 같이 표현된다.
Figure 112011074574777-pat00028
...(6)
여기서 E 는 영의계수, A는 블레이드(120)의 단면적, I는 블레이드(120)의 2차 면적 모멘트이며, 상기 식(6)의
Figure 112011074574777-pat00029
은 제1 연성스프링(131)에 의한 디스크 연성강성을 나타내고, 상기 식(6)의
Figure 112011074574777-pat00030
는 제2 연성스프링(132)에 의한 슈라우드 연성강성을 나타낸다. 회전하는 패킷 블레이드 시스템의 운동방정식은 이상 과정을 종합하여 인장방향의 운동방정식에 해당하는 식 (7), 굽힘방향의 운동방정식에 해당하는 식 (8), 식 (9)와 같이 유도될 수 있다.
Figure 112011074574777-pat00031
...(7)
Figure 112011074574777-pat00032
...(8)
Figure 112011074574777-pat00033
...(9)
[진동방정식]
한편, 블레이드(120)의 경우 인장방향 모드에 의한 진동수는 굽힘방향 모드에 의한 진동수에 비해 훨씬 높다. 따라서 이 두 방향 모드들은 서로 거의 간섭효과를 가지지 않는다는 가정 하에서, 상기의 식(8)만을 사용하여 굽힘 진동해석을 실시한다. 도 1의 다중블레이드시스템은 디스크(110)의 반경이 r이고, 회전각속도가 Ω이다. 회전각속도(Ω)가 일정한 정상상태에 관하여 식 (8)을 정리하면 다음의 식 (10)과 같이 정리될 수 있다.
Figure 112011074574777-pat00034
...(10)
그리고 상기의 식(10)을 무차원화된 진동방정식으로 변환하기 위해 다음의 식(11)과 같은 무차원 매개변수 및 변수들을 정의한다.
Figure 112011074574777-pat00035
...(11)
상기의 식 (11)을 이용하여 식 (10)에서 다음의 식 (12)와 같은 무차원 진동방정식을 구할 수 있다.
Figure 112011074574777-pat00036
...(12)
상기 식(12)의 각 변수들은 다음의 식(13)과 같다.
Figure 112011074574777-pat00037
...(13)
패킷 끝에 위치한 n번째 블레이드의 경우 한쪽 끝은 슈라우드가 연결되지 않으므로, 제2 연성스프링(132)이 연결되지 않는 것으로 가정되므로 식(12)에서
Figure 112011074574777-pat00038
만큼 제외된다.
Figure 112011074574777-pat00039
는
Figure 112011074574777-pat00040
와 동일한 함수값을 가지나
Figure 112011074574777-pat00041
의 함수이며,
Figure 112011074574777-pat00042
는
Figure 112011074574777-pat00043
의
Figure 112011074574777-pat00044
에 관한 2차 미분을 나타낸다.
상기 식 (12)로부터 패킷 블레이드시스템의 진동방정식은 다음의 식 (14)와 같이 표시될 수 있다.
Figure 112011074574777-pat00045
...(14)
상기 식 (14)의 열벡터
Figure 112011074574777-pat00046
는 모드 해석을 위하여 다음의 식 (15)와 같이 나타난다.
Figure 112011074574777-pat00047
...(15)
여기서,
Figure 112011074574777-pat00048
는 고유진동수이고,
Figure 112011074574777-pat00049
는 모드형상을 나타내는 모드벡터이다. 상기의 식 (15)를 식 (14)에 대입하여 정리하면 다음의 식 (16)과 같다.
Figure 112011074574777-pat00050
...(16)
상기 식 (16)을 이용하여 모드해석을 수행할 수 있다.
이와 같이 유도된 식 (14) 내지 식 (16)을 이용하여 수치해석을 수행함으로써 다중블레이드 회전체(100)의 고유진동수 및 이에 대응하는 모드형상을 산출할 수 있다.
한편, 본 실시예에서는 굽힘방향 변위의 가상모드(assumed modes)들로서는 외팔보 구조로 이루어진 블레이드(120)의 굽힘진동모드들을 사용하였으며, 5개의 모드들을 이용하여 6개의 블레이드(120)가 패킷단위(115)로 구성된 8개의 패킷블레이드시스템, 즉 총 48개의 블레이드(120)로 구성된 다중블레이드 회전체(100)에 대해 수치해석을 수행하였다.
도 4는 고유진동수가 회전각속도에 따라 증가하는 것을 보여주며 이러한 현상은 직관적으로 예측될 수 있다. 총 5개의 그룹에서 한 그룹이 48개의 고유진동수로 이루어지고, 이 중 낮은 3개 그룹의 결과를 나타낸다.
도 5는 고유진동수에 해당하는 모드형상(mode shape)인 노달 다이어미터(Nodal Diameter, ND)를 나타낸다. 이는 복수의 블레이드(120) 및 디스크(110)를 가진 다중블레이드시스템을 하나의 시스템으로 인식함으로써 단일 블레이드에 관한 진동실험에서는 볼 수 없었던 노달 다이어미터를 표현한 것이며, 이러한 노달 다이어미터의 최대 개수는 다중블레이드 시스템에서 블레이드의 수가 짝수인 경우 N/2이고, 블레이드의 수가 홀수인 경우 (N-1)/2이다. 여기서, N은 블레이드의 수를 나타낸다.
2)공진주파수 확인단계(S20)
공진주파수 확인단계(S20)는, 상기의 고유진동수 산출단계(S10)에서 산출된 고유진동수 및 모드형상을 가진주파수 및 가진형상과 개별적으로 비교하여 다중블레이드 회전체(100)의 실제 공진발생조건(실제 공진주파수)을 확인한다. 이러한 공진주파수 확인은 실제 공진발생조건과 이를 파악하기 위한 수정된 캠벨 다이어그램(Modified Campbell diagram)을 이용한다.
도 6은 수정된 캠벨 다이어그램을 표시한 것으로, 고유진동수가 회전 각속도에 따라 증가하는 것을 보여주며 이러한 현상은 직관적으로 예측할 수 있고, 고유진동수들이 회전각속도와 일치하는 주파수에서 공진이 발생할 수 있다. 하지만 이는 단일 블레이드 혹은 패킷 해석시 유용하나 블레이드 디스크 전체 시스템에선 모드형상(노달 다이아미터)과 가진으로 인한 시스템의 가진형상의 일치를 알 수 없기에 일치하는 모든 주파수에서 공진이 발생하지 않을 수 있다. 따라서 본 발명은 다중블레이드 회전체(100)의 고유진동수와 모드형상이 가진주파수와 가진형상과의 일치 여부를 확인할 수 있는 도 6의 수정된 캠벨 다이아그램을 사용하였다. 도 6의 수정된 캠벨 다이어그램은 오른쪽 절편에 고유진동수에 해당하는 모드형상, 즉 노달 다이아미터(ND)를 표시하였다. 분사노즐 10개로 인한 가진주파수 1NPF(Nozzle Passing Frequency) 즉, 10RS(Running Speed)가 10ND의 모드형상을 가지는 고유진동수와 만나는 지점인 A, B에서 공진이 발생하는 것을 예측할 수 있다.
상기와 같은 고유진동수 산출단계(S10) 및 공진주파수 확인단계(S20)는, 본 발명의 출원인에 의해 출원되어 등록된 '다중 블레이드 시스템의 공진주파수 확인방법 및 그 확인장치'(등록특허 10-0993844호)에서도 동일하게 소개되어 있는바, 이에 대한 상세한 설명은 생략한다.
3) 블레이드 가진력 인가각도 산출단계(S30)
분사노즐(200)에서 분사되는 유체의 압력이 동일하게 유지된다 하더라도, 분사노즐(200)의 유체 분사방향 즉, 블레이드(120)가 분사노즐(200)로부터 가진력을 인가받는 각도에 따라 블레이드(120)가 받는 힘이 달라지고, 이에 따라 블레이드(200)에 발생되는 진동크기 등 각종 진동 특성이 변경된다. 따라서 멀티블레이드 회전체(100)가 실제로 회전될 때 각 블레이드(120)의 진동량을 파악하기 위해서는, 다중블레이드 회전체(100)가 360°회전되는 동안 각 블레이드(120)가 분사노즐(200)로부터 가진력을 인가받는 구간의 상기 다중블레이드 회전체 회전각도를 산출하여, 상기 블레이드(120)가 상기 분사노즐(200)로부터 가진력을 인가받는 각도를 산출하는 단계(S30)가 필수적으로 요구된다.
예를 들어, 도 7에 도시된 바와 같이 하나의 디스크(110)에 30개의 블레이드(120)가 구비되고 2개의 분사노즐(200)이 디스크(110)의 회전축을 중심으로 좌우 양측에 각각 구비되는 경우, 도 8에 도시된 바와 같이 0°방향(우측방향)으로 연장되는 첫 번째 블레이드(120a)는 분사노즐(200)로부터 가진력을 인가받게 되고, 다중블레이드 회전체(100)는 반시계방향으로 회전된다. 상기 첫 번째 블레이드(120a)는 도 9에 도시된 바와 같이 두 번째 블레이드(120b)가 분사노즐(200)로부터 가진력을 인가받기 시작하는 지점에 위치될 때까지 즉, 다중블레이드 회전체(100)가 디스크(110) 중심축을 회전축으로 하여
Figure 112011074574777-pat00051
만큼 회전되는 시점까지 분사노즐(200)로부터 가진력을 인가받게 된다.
이때, 상기 다중블레이드 회전체(100)가 360°회전되는 동안 k번째 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 구간의 상기 다중블레이드 회전체 회전각도
Figure 112011074574777-pat00052
는 하기 식 (17)에 의해 구해진다.
Figure 112011074574777-pat00053
... (17)
(n b : 블레이드의 수, n f : 분사노즐의 수), (j=1,…,n f )
예를 들어, 본 실시예에 도시된 바와 같이 블레이드(120)가 30개이고 분사노즐(200)이 2개인 경우, 첫 번째 블레이드(120a)는 다중블레이드 회전체(100)가 0°에서 12°만큼 회전되는 동안 첫 번째 분사노즐(200)(우측 분사노즐)로부터 가진력을 인가받게 되고, 열여섯 번째 블레이드(120p)는 다중블레이드 회전체(100)가 180°에서 192°까지 회전되는 동안 두 번째 분사노즐(200)(좌측 분사노즐)로부터 가진력을 인가받게 된다. 또한, 두 번째 블레이드(120b)는 다중블레이드 회전체(100)가 12°에서 24°만큼 회전되는 동안 첫 번째 분사노즐(200)(우측 분사노즐)로부터 가진력을 인가받게 되고, 열일곱 번째 블레이드(120q)는 다중블레이드 회전체(100)가 192°에서 204°까지 회전되는 동안 두 번째 분사노즐(200)(좌측 분사노즐)로부터 가진력을 인가받게 된다. 이와 같이 다중블레이드 회전체(100)가 얼마만큼 회전되는 동안 각각의 블레이드(120)가 가진력을 인가받는지를 알게 되면, 분사노즐(200)에서 분사되는 유체가 각 블레이드(120)를 타격하는 각도를 산출할 수 있으므로, 블레이드(120)가 실제로 인가받는 가진력의 크기를 알 수 있게 된다.
4) 과도해석단계(S40)
블레이드(120)가 분사노즐(200)로부터 가진력을 인가받는 각도가 산출되면, 다중블레이드 회전체(100)의 회전속도와, 블레이드(120)가 상기 분사노즐(200)로부터 가진력을 인가받는 각도를 입력값으로 하여 과도해석을 수행함으로써, 블레이드의 진동량을 파악하게 되는데, 이와 같은 과도해석은 본 발명이 해당하는 기술분야에서 시뮬레이션을 할 때 널리 활용되는 해석방법이므로, 이에 대한 상세한 설명은 생략한다.
상기 언급한 바와 같이 본 발명에 의한 다중블레이드 회전체 진동해석방법을 이용하면, 블레이드가 가진력을 인가받는 각도, 가진력의 크기 등을 입력값으로 하여 과도해석을 할 수 있으므로 블레이드 진동량을 실제와 가깝게 파악할 수 있고, 블레이드 및 분사노즐의 개수가 바뀜에 따라 변경되는 블레이드 가진력 인가각도를 구할 수 있으므로, 진동에 의한 시스템의 파손 및 손상을 방지할 수 있는 최적의 설계조건을 보다 빠르고 정확하게 산출할 수 있다는 장점이 있다.
이상, 본 발명을 바람직한 실시 예를 사용하여 상세히 설명하였으나, 본 발명의 범위는 특정 실시 예에 한정되는 것은 아니며, 첨부된 특허청구범위에 의하여 해석되어야 할 것이다. 또한, 이 기술분야에서 통상의 지식을 습득한 자라면, 본 발명의 범위에서 벗어나지 않으면서도 많은 수정과 변형이 가능함을 이해하여야 할 것이다.
100 : 다중블레이드 회전체 110 : 디스크
120 : 블레이드 131 : 제1 연성스프링
132 : 제2 연성스프링 200 : 분사노즐

Claims (6)

  1. 삭제
  2. 디스크 외주에 복수 개의 블레이드가 하나 이상의 패킷단위로 설치되며, 상기 복수 개의 블레이드의 일측을 연결하는 복수 개의 제1 연성스프링과 상기 복수 개의 블레이드의 타측을 연결하는 복수 개의 제2 연성스프링을 구비하도록 구성되어, 분사노즐로부터 분사되는 유체에 의해 회전되는 다중블레이드 회전체의 진동을 해석하는 방법으로서,
    상기 블레이드의 고유진동수를 산출하는 제1 단계;
    상기 블레이드의 고유진동수를 산출하는 제2 단계;
    상기 다중블레이드 회전체가 360° 회전될 때 각 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 구간의 상기 다중블레이드 회전체 회전각도를 산출하여, 상기 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 각도를 산출하는 제3 단계;
    상기 다중블레이드 회전체의 회전속도와 상기 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 각도를 입력값으로 하여, 과도해석을 수행함으로써 블레이드의 진동량을 파악하는 제4 단계;
    다중블레이드 회전체의 진동해석을 종료하는지를 판단하여, 진동해석을 종료하지 아니하는 경우, 블레이드 개수와 분사노즐 개수 중 하나 이상을 변경하는 제5 단계;
    상기 제1 단계와 동일한 방식으로 고유진동수를 산출하는 제6 단계;
    상기 제2 단계와 동일한 방식으로 공진주파수를 확인하는 제7 단계;
    블레이드 회전속도가 공진이 발생되는 회전속도인지를 판단하여, 블레이드 회전속도가 공진이 발생되는 회전속도이면 상기 제5 단계로 되돌아가고, 블레이드 회전속도가 공진이 발생되는 회전속도가 아니면 상기 제3 단계로 되돌아가는 제8 단계;
    를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 다중블레이드 회전체 진동해석방법.
  3. 디스크 외주에 복수 개의 블레이드가 하나 이상의 패킷단위로 설치되며, 상기 복수 개의 블레이드의 일측을 연결하는 복수 개의 제1 연성스프링과 상기 복수 개의 블레이드의 타측을 연결하는 복수 개의 제2 연성스프링을 구비하도록 구성되어, 분사노즐로부터 분사되는 유체에 의해 회전되는 다중블레이드 회전체의 진동을 해석하는 방법으로서,
    상기 블레이드의 고유진동수를 산출하는 제1 단계;
    상기 블레이드의 고유진동수를 산출하는 제2 단계;
    상기 다중블레이드 회전체가 360° 회전될 때 각 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 구간의 상기 다중블레이드 회전체 회전각도를 산출하여, 상기 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 각도를 산출하는 제3 단계;
    상기 다중블레이드 회전체의 회전속도와 상기 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 각도를 입력값으로 하여, 과도해석을 수행함으로써 블레이드의 진동량을 파악하는 제4 단계;를 포함하되,
    상기 제3 단계는,
    상기 다중블레이드 회전체가 360° 회전될 때 k번째 블레이드가 상기 분사노즐로부터 가진력을 인가받는 구간의 상기 다중블레이드 회전체 회전각도
    Figure 112013007462298-pat00054
    는 하기 식에 의해 구해지는 것을 특징으로 하는 다중블레이드 회전체 진동해석방법.
    Figure 112013007462298-pat00055

    (nb : 블레이드의 수, nf : 분사노즐의 수), (j=1,…,nf )
  4. 제2항 또는 제3항에 있어서,
    상기 제1 단계는, 상기 분사노즐로부터 분사된 유체가 상기 블레이드로 인가되어 가진주파수를 갖는 가진력이 상기 블레이드에 인가되는 조건에서 유도되는 운동방정식 및 진동방정식을 이용하여, 고유진동수를 산출하도록 구성되는 것을 특징으로 하는 다중블레이드 회전체 진동해석방법.
  5. 제2항 또는 제3항에 있어서,
    상기 제2 단계는, 모드형상에 대응하는 노달 다이어미터가 표시되는 수정된 켐벨 다이어그램을 이용하여, 상기 고유진동수와 가진주파수의 일치여부 및 상기 모드형상과 가진형상의 일치 여부를 확인함으로써, 상기 블레이드의 고유진동수를 산출하도록 구성되는 것을 특징으로 하는 다중블레이드 회전체 진동해석방법.
  6. 제4항에 있어서,
    상기 진동방정식은 블레이드의 인장방향 운동은 무시하고 굽힘방향 운동만을 고려하여 유도되는 것을 특징으로 하는 다중블레이드 회전체 진동해석방법.
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