KR20100070272A - 유한 확장체에서 제곱근 계산 장치 및 방법 - Google Patents

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Abstract

본 발명은 유한 확장체에서 제곱근 계산 장치 및 방법에 관한 것이다.
유한 확장체
Figure 112009014221328-PAT00001
(여기서 p는 소수, k는 홀수)에서 임의의 소수 p에 대해 제곱근을 효율적으로 계산하기 위하여 지수승 계산을 위한 표현법을 새로 정의함으로써, 지수 연산에 필요한 연산량을 줄일 수 있어 향상된 알고리즘의 효율성을 가질 수 있다.
유한 확장체, 제곱근, 지수승, 임의의 소수, Tonelli-Shanks

Description

유한 확장체에서 제곱근 계산 장치 및 방법{Apparatus and method for improved square root computation algorithm over finite fields}
본 발명은 유한 확장체에서 제곱근 계산 장치 및 방법에 관한 것이다.
본 발명은 지식경제부 및 정보통신연구진흥원의 IT성장동력기술개발사업의 일환으로 수행한 연구로부터 도출된 것이다[과제관리번호: 2005-S-088-04, 과제명: 안전한 RFID/USN을 위한 정보보호 기술 개발].
유한 확장체
Figure 112009014221328-PAT00002
(여기서 p는 소수, k는 홀수)에서 제곱근을 구하는 문제는, 계산 정수론과 같은 학문에서 고전적인 연구 주제 중에 하나이다. 제곱근을 구하는 알고리즘은 암호 시스템을 구성하는 요소로도 활용된다. 예를 들어, 타원곡선 암호 시스템의 경우, 좌표 표현을 효율적으로 하는데 제곱근을 구하는 알고리즘이 활용된다.
3차 다항식 f(x)에 대한 확장체
Figure 112009014221328-PAT00003
에서의 타원곡선 방정식
Figure 112009014221328-PAT00004
의 원소는 일반적으로 (a, b)와 같이 2개의 원소로 표현된다. 그러나, 좌표 표현은 a와 한 비트의 추가 정보만을 가지고도 표현될 수 있다. 여기서 한 비트 추가 정보는 예를 들어, b가 좌표 위의 값이면 1, 좌표 아래 값이면 0으로 표현할 수 있다. y의 좌표값 b는 y2 = f(x)의 근 중에서 한 비트 정도를 이용해 쉽게 결정할 수 있다.
제곱근을 구하는 방법은 표수(characteristic) p의 조건에 따라 여러 가지로 구분된다. p ≡ 3(mod 4)인 경우, 완전 제곱수
Figure 112009014221328-PAT00005
의 제곱근 x는 한 번의 지수승 x = a(q+1)/4으로 계산된다. 이와 유사하게 p ≡ 5(mod 8)의 경우에도 한 번의 지수승 연산이면 제곱근을 구할 수 있다. 반대로, p ≡ 1(mod 8)의 경우에는 제곱근을 구하는 알고리즘이 좀 더 복잡해진다. 따라서 가장 효율적으로 구하는 방법은 Tonelli-Shanks 또는 Cipolla-Lehmer 알고리즘에 기반한 것들을 이용하는 것이다.
제곱근을 구하는 알고리즘을 효율적으로 개선하기 위해, 제곱근을 구하는 알고리즘의 핵심 연산인 지수승의 지수를 새로운 방법으로 표현하는 연구가 이루어지고 있다. 예를 들어 확장체
Figure 112009014221328-PAT00006
에서 p ≡ 3(mod 4) 또는 p ≡ 5(mod 8)의 경우 제곱근 계산에 필요한 지수승의 지수 표현법을 새롭게 함으로써
Figure 112009014221328-PAT00007
에서의 계산 복잡도를
Figure 112009014221328-PAT00008
에서
Figure 112009014221328-PAT00009
으로 감소시켰다.
이 외에도 p ≡ 9(mod 16)의 조건에 활용되는 제곱근 알고리즘의 내부 지수승의 지수에 대한 주기성을 가지는 새로운 표현법을 활용하여 기존 방법보다 효율적으로 제곱근을 구하는 알고리즘이 제안되었다.
예를 들어, 기존 알고리즘의
Figure 112009014221328-PAT00010
에서의 계산 복잡도가
Figure 112009014221328-PAT00011
인데 반해, 새로운 알고리즘의 것은
Figure 112009014221328-PAT00012
이다. 이와 같은 특별한 지수들에 대한 새로운 표현법으로부터 도출된 효율성의 개선은 Itoh-Tsujii 알고리즘에 활용된 분할 및 정복(divide and conquer) 기법과 정규기저의 특성에서 기인한 것이다.
그러나, 지금까지 제안된 제곱근을 효율적으로 계산하는 방법들은 모든 소수 p에 대해 적용이 가능한 것이 아니라, 특정 소수에 대해서만 제안되었다. 특히, 임의의 소수 p에 대해서는 제곱근을 계산할 수 있는 알고리즘에 대해서는, 새로운 효율적인 계산 방법이 제안되고 있지 않다.
따라서, 본 발명은 유한 확장체에서 제곱근을 계산하는 방법을 제공한다. 특히, 임의의 소수 p에 대한 제곱근 계산 시 지수승 연산을 효율적으로 계산하는 방법을 제공한다.
상기 본 발명의 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명의 하나의 특징인 유한확장체에서 제곱근을 계산하는 방법은,
미리 설정한 조건을 만족하는 원소, 홀수 및 정수를 계산하는 단계; 상기 홀수를 포함하는 제1 지수승 및 제2 지수승의 연산을 수행하는 단계; 및 상기 제1 지 수승 및 제2 지수승의 연산을 토대로 생성된 값을 포함하고 있는 제곱근 값을 계산하는 단계를 포함한다.
상기 본 발명의 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명의 또 다른 특징인 유한확장체에서 제곱근을 계산하는 장치는,
미리 설정한 조건을 만족하는 원소, 홀수 및 정수를 계산하는 사전 계산부; 상기 홀수를 포함하는 제1 지수승 및 제2 지수승의 연산을 수행하는 주연산부; 및 상기 제1 지수승 및 제2 지수승의 연산을 토대로 생성된 값을 포함하고 있는 제곱근 값을 계산하는 후처리 연산부를 포함한다.
본 발명에 따르면, 지수 연산에 필요한 연산량을 줄일 수 있어 향상된 알고리즘의 효율성을 가질 수 있다.
아래에서는 첨부한 도면을 참고로 하여 본 발명의 실시예에 대하여 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자가 용이하게 실시할 수 있도록 상세히 설명한다. 그러나 본 발명은 여러 가지 상이한 형태로 구현될 수 있으며 여기에서 설명하는 실시예에 한정되지 않는다. 그리고 도면에서 본 발명을 명확하게 설명하기 위해서 설명과 관계없는 부분은 생략하였으며, 명세서 전체를 통하여 유사한 부분에 대해서는 유사한 도면 부호를 붙였다.
명세서 전체에서, 어떤 부분이 어떤 구성요소를 "포함"한다고 할 때, 이는 특별히 반대되는 기재가 없는 한 다른 구성요소를 제외하는 것이 아니라 다른 구성 요소를 더 포함할 수 있는 것을 의미한다. 또한, 명세서에 기재된 "…부", "…기", "모듈" 등의 용어는 적어도 하나의 기능이나 동작을 처리하는 단위를 의미하며, 이는 하드웨어나 소프트웨어 또는 하드웨어 및 소프트웨어의 결합으로 구현될 수 있다.
본 발명의 실시예에 대하여 설명하기 앞서, 임의의 소수 p에 대해 제곱근을 구하는 Tonelli-Shanks 알고리즘에 대하여 먼저 살펴보기로 한다. Tonelli-Shanks 알고리즘은 다음 표 1에 나타낸 바와 같은 단계로 수행한다.
[표 1]
Input: (
Figure 112009014221328-PAT00013
) = 1을 만족하는 a ∈ Fq
Output: x2 = a를 만족하는 x
1. (
Figure 112009014221328-PAT00014
)=-1을 만족하는 랜덤한 u ∈ Fq 선택
2. 홀수 t에 대해, q - 1 = 2S·t를 만족하는 S 찾기
3. v←s, z←ut, w←a(t-1)/2, x←a·w, and b←x·w
4. While b≠1 do
5. b2m=1을 만족하는 가장 작은 양의 정수 m 찾기
6. w←
Figure 112009014221328-PAT00015
, z←w2, b←b·z, x←x·w, v←m
7. end while
8. Return x
이와 같은 Tonelli-Shanks 알고리즘 중 본 발명의 실시예에 따라 세 번째 단계에서 이루어지는 2개의 지수승 연산 ut와
Figure 112009014221328-PAT00016
의 지수에 대한 새로운 표현법을 이용하여 효율적으로 지수승을 계산할 수 있는 제곱근 계산 장치 및 방법에 대하여 도면을 참조로 설명하기로 한다.
도 1은 본 발명의 실시예에 따른 제곱근 계산 장치의 구조도이다.
도 1에 도시된 바와 같이, 제곱근 계산 장치는 사전 계산부(100), 주연산부(200) 및 후처리 연산부(300)를 포함한다.
사전 계산부(100)는 (
Figure 112009014221328-PAT00017
)=-1을 만족하는 랜덤한 u ∈ Fq 선택한다. 여기서, Fq는 위수 q를 가지는 유한 확장체로, 2가 아닌 소수 p와 홀수 정수 k에 대해 q = pk로 정의한다. 이때, 소수 p는 확장체 Fq의 표수(characteristic)라고 한다. 그리고 (
Figure 112009014221328-PAT00018
)는 Fq의 원소 a에 대한 이차 유수 증명(quadratic residue test)의 결과를 나타낸다. a가 Fq에서 제곱근을 가지면 (
Figure 112009014221328-PAT00019
)=1이고, 그렇지 않으면 (
Figure 112009014221328-PAT00020
)=-1이다.
랜덤한 u ∈ Fq 선택한 후, 임의의 홀수 k에 대해 q = pk를 만족하는 두 정수 q와 p를 q = 2S·t + 1과 p =
Figure 112009014221328-PAT00021
·t1 + 1과 같이 표현하면, 이때의 정수 s를 검색한다. 이때, t1과 t는 홀수이다.
주연산부(200)는 사전 계산부(100)에서 검색한 정수 s와 원소를 이용하여 ut와
Figure 112009014221328-PAT00022
의 지수를 계산한다. 지수 계산에 대해서는 하기에서 도 2를 참조로 설명하기로 한다.
후처리 연산부(300)는 주연산부(200)에서 지수 계산을 수행하면,
Figure 112009014221328-PAT00023
= 1을 만족하는 가장 작은 양의 정수인 m을 찾는다. 그리고, m 값을 이용하여 x2 = a를 만족하는 즉, a의 제곱근 값인 x를 구한다.
이와 같은 구조를 갖는 제곱근 계산 장치를 이용하여 제곱근을 계산하는 방법에 대하여 도 2를 참조로 설명하기로 한다.
도 2는 본 발명의 실시예에 따른 제곱근 계산 방법을 나타낸 흐름도이다.
도 2에 도시된 바와 같이, 먼저, 사전 계산부(100)는 위수 q를 가지는 유한 확장체에서 제곱근을 갖지 않는 원소 u를 선택한다(S100). 여기서 2가 아닌 소수로 정의된 p와, 홀수 정수 k에 대해 q = pk로 정의하며, 소수 p는 확장체 Fq의 표수(characteristic)라고 정의한다. 그리고 사전 계산부(100)는 홀수 t에 대해, q - 1 = 2S·t를 만족하는 정수 s를 찾는다(S110).
사전 계산부(100)가 u, t 및 s를 찾으면, 주연산부(200)는 제1 지수승 연산 및 제2 지수승 연산을 수행한다(S120). 여기서 제1 지수승 연산은 ut의 계산을 제2 지수승 연산은
Figure 112009014221328-PAT00024
의 계산을 의미하며, 지수승 계산을 위해 본 발명의 실시예에 따른 표현법을 이용하여 수행한다. 이를 위해 홀수 k에 대해 q = pk를 만족하는 두 정수 q와 p를 q = 2s·t + 1과 p =
Figure 112009014221328-PAT00025
·t1 + 1과 같이 표현한다고 가정하면, s = s1을 만족한다. 여기서 t와 t1은 홀수이다.
S110 단계에서 구한 홀수 t와 정수 s에 대해 q = pk = 2S·t + 1을 만족한다고 가정하면, 임의의 홀수 x에 대해 p = 2S·x + 1로 표현될 수 있음을 알 수 있다.
이와같은 가정하에서 ut의 지수승에서 지수 t에 본 발명의 실시예에 따른 표현을 활용하여 지수승을 구하면, 지수 t = (pk - 1) / 2S는 다음 수학식 1과 같은 표현으로 바꾸어 표현할 수 있다.
[수학식 1]
Figure 112009014221328-PAT00026
수학식 1의 t에 대한 표현법을 이용하면 ut 지수승 계산은 다음 수학식 2와 같이 두 단계로 계산됨을 알 수 있다.
[수학식 2]
1) z1 ← ux
2) z2 ←
Figure 112009014221328-PAT00027
수학식 2를 통해 계산된 z2의 계산 결과가, ut의 결과 값이다.
본 발명의 실시예에서는 수학식 2를 통해 z2를 계산하였으나, 유한확장체를 표현하는 방법을 정규기저(Normal basis) 방법을 이용할 경우, z2를 계산하는 지수승은 Itho-Tsuji에 의해 제안된 방법을 통해서도 계산될 수 있다.
다음 또 다른 지수승인
Figure 112009014221328-PAT00028
에서 지수 (t - 1) / 2를 계산하는 방법에 대해 설명하면, (t - 1) / 2 =
Figure 112009014221328-PAT00029
는 다음 수학식 3과 같이 표현할 수 있다.
[수학식 3]
Figure 112009014221328-PAT00030
여기서, A =
Figure 112009014221328-PAT00031
, B =
Figure 112009014221328-PAT00032
이다.
수학식 3에서 표현한 (t - 1) / 2를 이용하여
Figure 112009014221328-PAT00033
지수승을 계산하면 다음 수학식 4와 같이 4 단계로 계산됨을 알 수 있다.
[수학식 4]
1) z1 ← aA
2) z2 ← aB
3) z3 ←
Figure 112009014221328-PAT00034
4) z4 ← z1 · z3
수학식 4를 통해 계산된 z4의 계산 결과가
Figure 112009014221328-PAT00035
의 결과 값이다.
여기서
Figure 112009014221328-PAT00036
의 계산을 좀 더 효율적으로 하기 위해, z1과 z2의 계산에서 중복되는 연산을 제거할 수도 있다. 다음 수학식 5는 지수 A와 표수 p를 이용해 지수 B를 전개한 것이다.
[수학식 5]
Figure 112009014221328-PAT00037
수학식 5를 이용하여 z1과 z2의 계산에서 중복되는 연산을 제거하여 계산하면 다음 표 2와 같다.
[표 2]
Input : a, p, x, s
Output : z1, z2
1) z1 ← a(x-1)/2
2) y1 ← z1 · a
3) y2 ← z1 · y1
4) y2 ←
Figure 112009014221328-PAT00038

5) y2 ← y1 · y2
6) y1 ←
Figure 112009014221328-PAT00039

7) y1 ← y1 · y2
8) z2 ←
Figure 112009014221328-PAT00040


(= a(x+1)/2)
(= ax)
(=
Figure 112009014221328-PAT00041
)
(=
Figure 112009014221328-PAT00042
)
(= ap·(x-1)/2)
(=
Figure 112009014221328-PAT00043
)
(= aB)
주연산부(200)가 지수승에 대한 계산을 수행하면, 후처리 연산부(300)는 후처리 연산을 수행하여
Figure 112009014221328-PAT00044
= 1을 만족하는 가장 작은 양의 정수인 m을 찾고, 이를 이용하여 x2 = a를 만족하는 x를 계산하는 제곱근 값을 계산한다(S130).
이상에서 설명한 방법을 이용하여 표 1의 계산량을 줄일 수 있다. 이에 대해 표 3을 참조로 설명하기로 한다.
[표 3]
Figure 112009014221328-PAT00045
표 3은 p ≡ 1(mod 16)을 예로 하며 확장체
Figure 112009014221328-PAT00046
의 크기와 확장 차수(extension degree) k의 크기에 따라 계산에 필요한 연산량에 대하여, 표 1에 나타낸 기존의 Tonelli-Shanks 알고리즘을 계산하는데 필요한 연산량과 본 발명의 실시예에 따른 연산량을 나타낸 것이다.
확장 차수 k의 범위는 3에서 15까지로 하며, q = pk의 사이즈를 100비트 간격으로 100비트부터 400비트까지 고려하였다. 그리고 향상율 항목은 개선된 알고리즘의 효율성을 나타내는 것으로, 기존의 알고리즘보다 어느 정보 효율성이 개선되었는지 나타내는 수치이다. 예를 들어, 기존의 Tonelli-Shanks 알고리즘 계산에 필요한 연산량과 본 발명의 실시예에 따른 연산량의 평균을 각각 A와 B라고 하면, 향상율은 (A-B)/A×100으로 계산한다.
표 3에 나타낸 바와 같이, 확장체의 크기 및 k의 값에 관계 없이 본 발명의 실시예에 따른 방법이 효율적임을 알 수 있다. 특히, 동일한 확장 차수에 대해서 확장체의 크기가 클수록 더 효율적임을 알 수 있다. 확장 차수 k는 홀수로 가정하였기 때문에, k = 3인 경우가 가장 작은 효율성 증대를 나타내었지만, 최소 60% 이상 효율성 향상을 가져옴을 알 수 있다.
이상에서 설명한 본 발명의 실시예는 장치 및 방법을 통해서만 구현이 되는 것은 아니며, 본 발명의 실시예의 구성에 대응하는 기능을 실현하는 프로그램 또는 그 프로그램이 기록된 기록 매체를 통해 구현될 수도 있으며, 이러한 구현은 앞서 설명한 실시예의 기재로부터 본 발명이 속하는 기술분야의 전문가라면 쉽게 구현할 수 있는 것이다.
이상에서 본 발명의 실시예에 대하여 상세하게 설명하였지만 본 발명의 권리범위는 이에 한정되는 것은 아니고 다음의 청구범위에서 정의하고 있는 본 발명의 기본 개념을 이용한 당업자의 여러 변형 및 개량 형태 또한 본 발명의 권리범위에 속하는 것이다.
도 1은 본 발명의 실시예에 따른 제곱근 계산 장치의 구조도이다.
도 2는 본 발명의 실시예에 따른 제곱근 계산 방법을 나타낸 흐름도이다.

Claims (9)

  1. 유한확장체에서 제곱근을 계산하는 방법에 있어서,
    미리 설정한 조건을 만족하는 원소, 홀수 및 정수를 계산하는 단계;
    상기 홀수를 포함하는 제1 지수승 및 제2 지수승의 연산을 수행하는 단계; 및
    상기 제1 지수승 및 제2 지수승의 연산을 토대로 생성된 값을 포함하고 있는 제곱근 값을 계산하는 단계
    를 포함하는 제곱근 계산 방법.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 제1 지수승인 t는,
    Figure 112009014221328-PAT00047
    (p =
    Figure 112009014221328-PAT00048
    ·t1 + 1, s는 정수, k, x, t1은 홀수임)
    로 표현되는 제곱근 계산 방법.
  3. 제2항에 있어서,
    상기 제1 지수승은,
    z1 ← ux을 계산하는 제1 단계; 및
    z2 ←
    Figure 112009014221328-PAT00049
    을 계산하는 제2 단계
    를 포함하는 제곱근 계산 방법.
  4. 제1항에 있어서,
    상기 제2 지수승인 (t-1)/2는,
    Figure 112009014221328-PAT00050
    (A =
    Figure 112009014221328-PAT00051
    , B =
    Figure 112009014221328-PAT00052
    임)
    로 표현되는 제곱근 계산 방법.
  5. 제4항에 있어서,
    상기 제2 지수승은,
    z1 ← aA을 계산하는 제1 단계;
    z2 ← aB을 계산하는 제2 단계;
    z3 ←
    Figure 112009014221328-PAT00053
    을 계산하는 제3 단계; 및
    z4 ← z1 · z3을 계산하는 제4 단계
    를 포함하는 제곱근 계산 방법.
  6. 제5항에 있어서,
    상기 제2 단계의 지수는,
    Figure 112009014221328-PAT00054
    로 표현되는 제곱근 계산 방법.
  7. 제6항에 있어서,
    상기 제1 단계 및 제2 단계의 계산 단계는,
    z1 ← a(x-1)/2을 계산하는 단계;
    y1 ← z1 · a 을 계산하는 단계;
    y2 ← z1 · y1 을 계산하는 단계;
    y2 ←
    Figure 112009014221328-PAT00055
    을 계산하는 단계;
    y2 ← y1 · y2 을 계산하는 단계;
    y1 ←
    Figure 112009014221328-PAT00056
    을 계산하는 단계;
    y1 ← y1 · y2 을 계산하는 단계; 및
    z2 ←
    Figure 112009014221328-PAT00057
    을 계산하는 단계
    를 포함하는 제곱근 계산 방법.
  8. 유한확장체에서 제곱근을 계산하는 장치에 있어서,
    미리 설정한 조건을 만족하는 원소, 홀수 및 정수를 계산하는 사전 계산부;
    상기 홀수를 포함하는 제1 지수승 및 제2 지수승의 연산을 수행하는 주연산부; 및
    상기 제1 지수승 및 제2 지수승의 연산을 토대로 생성된 값을 포함하고 있는 제곱근 값을 계산하는 후처리 연산부
    를 포함하는 제곱근 계산 장치.
  9. 제8항에 있어서,
    상기 제1 지수승인 t는,
    Figure 112009014221328-PAT00058
    (p =
    Figure 112009014221328-PAT00059
    ·t1 + 1, s는 정수, k, x, t1은 홀수임)로 표현되고,
    상기 제2 지수승인 (t-1)/2는,
    Figure 112009014221328-PAT00060
    (A =
    Figure 112009014221328-PAT00061
    , B =
    Figure 112009014221328-PAT00062
    임)로 표현되는 제곱근 계산 장치.
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