KR20070059105A

KR20070059105A - 네비게이션 어플리케이션을 위한 개선된 지피에스 ａｄｒ처리 방법

Info

Publication number: KR20070059105A
Application number: KR1020077006314A
Authority: KR
Inventors: 알렉산더 드래곤오브
Original assignee: 아이티티 매뉴팩츄어링 엔터프라이즈, 인코포레이티드
Priority date: 2004-09-17
Filing date: 2005-08-10
Publication date: 2007-06-11
Also published as: AU2005290192B2; AU2005290192A1; US7490008B2; JP4789216B2; KR101209667B1; CA2580539A1; WO2006036321A1; EP1792201A1; JP2008513775A; EP1792201B1; ATE414916T1; BRPI0515452A; US20060195262A1; CA2580539C; BRPI0515452B1; DE602005011158D1

Abstract

이동체의 위치와 속도를 결정하기 위해서 사용되는 GPS 네비게이션 기술에 관하여, 수신되는 GPS 신호로부터 이동체의 의사거리(pseudorange, PR) 측정과 ADR(accumulated delta range) 측정을 수행한다. 연속된 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하면, PR 측정과 ADR 차이로부터 이동체의 네비게이션 파라미터, 예컨대 위치, 속도 및 클럭 등이 예측된다. 현재의 GPS 네비게이션 애플리케이션에서 사용되는 ADR 차이 계산 기술에 비해서 본원 명세서에서 개시된 ADR 측정 수식은 ADR 차이를 계산하기 위한 ADR 측정 사이의 시간 간격이 매우 클 수 있어서 좀 더 정확한 방식이다. 또한 좀 더 정확한 네비게이션 솔루션으로 변환되기 위하여 ADR 차이가 좀 더 정확하다. 또한, ADR 차이 계산 기술은 칼만 필터 처리의 수렴 시간의 단축이 가능하여, 우주선 네비게이션에 있어서 정확도를 향상시킬 수 있다. 또한 GPS/IMU 네비게이션 애플리케이션을 통합하기 위하여 IMU 데이터가 상태 벡터를 전파하기 위한 정확한 전파 모델로서 사용되며, 따라서 고도로 정확한 ADR 처리 알고리즘 기술을 제공할 수 있다.

GPS, 네비게이션, ADR, PR, IMU, 수렴, 칼만 필터

Description

네비게이션 어플리케이션을 위한 개선된 지피에스 ＡＤＲ 처리 방법{IMPROVED GPS ACCUMULATED DELTA RANGE PROCESSING FOR NAVIGATION PROCESSING}

본 발명은 위성 항법 장치[global positioning system, GPS] 네비게이션 기술에 관한 것으로서, 좀 더 구체적으로는 좀 더 정확한 네비게이션 결과를 얻기 위하여 ADR[accumulated delta range] 측정을 사용하는 네비게이션 알고리즘을 이용한 처리 방법에 관한 것이다.

본 발명은 2004년 9월 17일자로 출원된 "GPS ADR Processing for Navigation of a Spacecraft"라는 명칭의 미국 가출원 번호 60/610,609호의 우선권을 기초로 하며, 미국 가출원 번호 60/610,609호의 명세서의 기재는 본원 발명의 명세서에 참조로서 병합된다.

GPS는 지상의 이동체나 사람 뿐만 아니라 우주선, 비행기 등의 네비게이션을 위해서 사용되는 공지 기술이다. 통상적으로 사용자는 GPS 위성으로부터 신호를 수신하며, GPS 신호 내에 포함되어 있는 데이터로부터 구해지는 의사거리(pseudorange, PR)를 사용하여 그 위치나 속도 또는 다른 파라미터를 결정할 수 있다. 여기서 "사용자"라는 용어는 GPS 신호 또는 다른 수신 가능한 거리 측정 신호[ranging signal]에 기초하여 그 위치가 계산되는 물체를 지칭한다. 만약 어플리 케이션이 높은 네비게이션 정확도를 요구하는 경우라면, PR 측정은 지점 해결[point solution] 알고리즘보다는 칼만(Kalman) 필터에 의해서 신호 처리된다. 칼만 필터는 PR 측정과 정교한 전파(propagation) 모델을 사용하여 사용자 위치와 속도 또는 다른 상태(state) 벡터 파라미터를 예측한다. 전파 모델은 시간 N-1에서의 사용자 상태가 알려지는 경우 시간 N에서의 사용자 상태를 계산하기 위해서 설계된 모델이다. 이러한 전파 모델을 이용하는 경우 칼만 필터가 현재 상태의 예측을 위해서 이미 알고 있는 사용자 상태를 사용하도록 함으로써 정확도를 개선할 수 있다.

그러나 전파 모델이 상당히 정확하다고 하더라도 이러한 전파 모델이 전파 상태의 정확도를 보장하지는 못하는 단점이 있다. 전파 모델은 이전 시기(epoch)의 상태 벡터 예측을 입력으로서 사용하며, 따라서 이러한 상태 벡터 예측의 정확도는 제한 요소가 될 수 있다. 전파 상태의 정확도는 특히 물체의 속도 예측에 있어서 특히 오차에 취약하다. 속도는 위치에 따른 상관(correlation) 때문에 간접적으로 예측된다.

높은 정확도의 네비게이션을 획득을 위해서는 속도 예측을 정확하게 하여야 한다. 이를 위하여 위치 정확도와 속도 정확도 사이에 순환(circular) 연관(dependence)이 발생한다. 실질상으로 예측 과정은 점진적인 것이며, 특정 시간 상에서 속도 및 위치의 정확도의 개선은 서로 간에 발생될 수 있다. 전체 과정은 칼만 필터의 수렴성(convergence)에 관련된다. 통상적인 사례에서 우주 어플리케이션을 위한 필터 수렴성은 몇 시간에서 며칠 또는 그 이상이 시간이 소요된다. 이러 한 것은 특히 우주선 궤도 수정[maneuver] 후에 있어서 필터가 재수렴하기 위해서는 문제가 된다.

산출되는 네비게이션 솔루션 및 칼만 필터 계산의 수렴 시간 모두에 있어서 GPS 네비게이션 신호 처리의 정확도에 있어서 개선의 여지가 있다.

이동체의 위치와 속도를 결정하기 위해서 사용되는 GPS 네비게이션 기술이 제공된다. 수신되는 GPS 신호로부터 이동체의 의사거리(pseudorange, PR) 측정과 ADR(accumulated delta range) 측정을 수행한다. 연속된 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하면, PR 측정과 ADR 차이로부터 이동체의 네비게이션 파라미터, 예컨대 위치, 속도 및 클럭 등이 예측된다.

본원 발명 명세서에서 설명되는 기술의 하나의 예시는 다음과 같다. 자동차를 이용하여 여행하는 여행자는 자동차가 운행하기 전에 스탑 워치를 작동시킨다. 일정 시간 후에, 여행자는 스탑 워치를 정지시키고 자동차가 운행한 거리를 측정한다. 스탑 워치가 동작되고 정지되는 각 시간 간격마다, 오차가 발생될 수 있다. 만약 이러한 거리의 측정을 위해서 짧은 시간 간격이 사용된다면, 자동차 속도의 예측값은 아마 정확하지는 않을 것이다. 반대로, 자동차가 일정 속도로 이동하며, 만약 여행자가 긴 시간 간격에 대해서 측정을 수행하게 된다면, 속도의 예측은 보다 정확해질 것이다. 이러한 두 번째의 경우가 좀 더 선호되지만, 항상 일정 속도로 주행하는 것은 아니기 때문에 항상 적용될 수는 없다. 또한, 상대적으로 긴 시간 간격에 대해서 속도를 측정하는 것은 이러한 시간 간격에 대해서 평균 속도를 산출하는 것과 마찬가지이다. 그러나 대부분의 애플리케이션에서 현재 상태에 대한 정보를 요구하기 때문에 평균 속도는 실용적이지 못하다.

본원 명세서에서 개시되는 기술은 상대적으로 긴 시간 간격에 대해서 이동체의 속도를 측정하는 경우의 장점에 대해서 처리 시점에서의 순간 속도 측정을 통하여 좀 더 정확한 매핑(map)을 구성하도록 결합한다. 이러한 구성은 ADR 측정의 차이를 처리하고 사용자의 현재 상태 벡터에 대해서 이러한 차이를 정확하게 매핑하는 수학적 공식에 적용하는 것에 의해서 구현될 수 있다.

현재의 GPS 네비게이션 애플리케이션에서 사용되는 ADR 차이 계산 기술에 비해서 본원 명세서에서 개시된 ADR 측정 수식은 ADR 차이를 계산하기 위한 ADR 측정 사이의 시간 간격이 매우 클 수 있어서 좀 더 정확한 방식이다. 또한 좀 더 정확한 네비게이션 솔루션으로 변환되기 위하여 ADR 차이가 좀 더 정확하다. 또한, ADR 차이 계산 기술은 칼만 필터 처리의 수렴 시간의 단축이 가능하여, 우주선 네비게이션에 있어서 정확도를 향상시킬 수 있다.

ADR 측정을 사용하는 경우의 어려운 점은 칼만 필터가 순간적인 측정을 요구하는데 비해서 특정 시간 간격 상에서 누적된/적분된 값에 ADR 측정이 관련된다는 것이다. 이러한 문제점은 본원 발명의 명세서에서 개시되듯이 ADR 측정을 정확하게 순간 측정으로 매핑하는 수학적 공식을 사용하는 것에 의해서 극복될 수 있다. 또한, 그러한 순간 측정은 주로 속도에 대한 것이고, 따라서 이동체의 정확한 속도 예측을 제공할 수 있다.

본원 명세서에서 개시된 수학적 공식에 관련된 ADR 측정을 사용하는 것은 많은 장점을 가지고 있다. 전파 모델과 결합한 속도 예측은 좀 더 정확한 전파 상태 산출에 직접적으로 관련되며, 따라서 칼만 필터의 수렴 시간을 극적으로 감소시킬 수 있다. PR 및 ADR 측정을 사용하면, 처리를 위해서 사용되는 측정 전체 회수를 대략 두 배 정도로 증가시킨다. 또한 ADR 측정은 PR 측정의 경우보다 노이즈가 매우 적다. 따라서 좀 더 많은 측정 횟수와 감소된 노이즈에 의해서 전체 정확도는 매우 향상된다.

또한 본원 발명에서는 좀 더 정확한 ADR 처리 알고리즘을 확장하여 특정한 물체의 이동에 대한 신뢰 가능한 전파 모델이 없는 경우에 대해서도 적용이 가능한 ADR 처리 알고리즘이 제공될 수 있다. 예컨대 특정한 비행기나, 육상 이동체, 또는 사람에 대해서는 정확한 전파 모델이 사용 가능하지 않다. 그러나 만약 이러한 이동체들에 대해서 가속도 및 회전률(rotation rate) 등과 같은 관성 측정이 가능하다면, 이러한 관성 측정을 통하여 ADR 차이 처리를 보조할 수 있다.

본원 발명의 다른 목적이나 장점에 대해서는 첨부한 도면을 참조로 한 이하의 실시예들의 설명에서 좀 더 명확하게 기술된다.

도 1은 GPS 위성과 이동체 내의 네비게이션 유닛을 포함하는 네비게이션 시스템의 블록도로서, 네비게이션 시스템은 PR 및 ADR 측정을 사용하여 GPS 신호로부터 또는 GPS 신호 및 IMU 데이터로부터 네비게이션 파라미터를 계산하는 경우의 블록도.

도 2는 PR 및 ADR 측정에 기초한 네비게이션 계산을 위하여 측정 및 파라미터가 칼만 필터로 입력되는 경우를 나타내는 도면.

도 3은 PR 및 ADR 측정에 기초한 전체적인 네비게이션 계산 프로세스를 나타내는 흐름도.

도 4는 다수의 시기에 의해서 구분되는 시간에서 두 개의 ADR 측정으로부터 ADR 차이가 계산되는 방식을 도시적으로 나타내는 도면.

도 5는 PR 및 ADR 측정에 기초하여 GPS 신호만으로 네비게이션 계산을 처리하는 단계를 나타내는 흐름도.

도 6은 통합된 GPS-IMU 네비게이션 계산에 대해서 상태 벡터의 전파를 위하여 사용되는 IMU 데이터의 처리 단계를 나타내는 흐름도.

도 7은 종래의 GPS 처리에 비교하여 GPS 신호만으로 네비게이션 계산을 수행하는 경우의 시간에 대한 네비게이션 오차를 나타내는 도면.

도 8은 도 7에 도시된 도면의 확대도로서, 최초 2분에 대해서 ADR 처리의 시간에 대한 네비게이션 오차를 나타내는 도면.

도 9는 PR 측정만을 사용한 경우의 IMU 데이터의 1차 전파를 사용한 시간 함수에 대해서 RSS(root-sum-square) 네비게이션 오차를 도시하는 도면.

도 10은 PR 측정만을 사용한 경우의 IMU 데이터의 3차 전파를 사용한 시간 함수에 대해서 RSS 네비게이션 오차를 도시하는 도면.

도 11은 PR 측정 및 ADR 측정을 모두 사용한 경우의 IMU 데이터의 3차 전파를 사용한 시간 함수에 대해서 RSS 네비게이션 오차를 도시하는 도면.

이하 도 1 내지 도 11을 참조로 하여 본원 발명에 따른 네비게이션 어플리케이션을 위한 개선된 지피에스 ADR 처리 방법의 실시예를 설명한다.

도 1은 본원 발명에서 개시된 네비게이션 기술들이 적용되는 환경을 도시한다. 이동체(10)는 다수의 GPS 위성[20(1) 내지 20(N)]으로부터 수신된 신호로부터 위치를 계산할 수 있다. 이동체(10)는 예컨대 위성이나 우주 비행체와 같은 우주선일 수 있으며, 또는 지상 또는 공중 물체, 예컨대 승용차, 트럭, 탱크, 비행기, 헬리콥터, 선박 등일 수 있다. 이동체(10)는 GPS 위성[20(1) 내지 20(N)]으로부터 신호를 수신할 수 있는 수신기(12)와, 수신된 신호를 측정하여 이동체(10)의 위치, 속도, 방향 등의 계산을 수행하는 프로세서(14)와, 필요시 인간에게 네비게이션 정보를 제공하는 예컨대 키보드 또는 디스플레이와 같은 이동체 인터페이스(16)를 구비할 수 있다. 또한 이동체(10)는 이동체(10)의 가속도와 회전율의 측정을 위한 데이터를 출력하는 관성 측정 유닛(IMU, 18)을 구비할 수 있다. 프로세서(14)는 수신된 GPS 신호로부터 도출되는 측정을 기초로 계산을 수행한다.

수신기(12)는 수신된 GPS 신호로부터 의사거리(PR) 측정과 ADR 측정을 수행한다. 프로세서(14)는 이후 측정 수식을 이용하여 PR 측정과 ADR 측정에 대해서 칼만 필터 계산을 수행하고, 전파 모델 계산 또는 IMU 데이터를 사용하여 상태 벡터를 갱신한다.

도 1에서는 또한 위치를 결정하기 위해서 일반적으로 사용되는 GPS 위성[20(1) 내지 20(N)] 뿐만 아니라, 거리 측정 신호를 전송하는 다른 거리 측정원 이 도시된다. 거리 측정 신호원(22)은 이러한 다른 거리 측정원, 예컨대 지상 기반 시스템 또는 가정 내 위치 추적 시스템과 같은 다른 거리 측정원을 나타낸다. GPS 신호는 거리 측정 신호의 예시일 뿐이며, 다른 거리 측정 신호가 본원 발명에서 사용될 수 있다.

칼만 필터는 다양한 유형(예컨대 PR 및 ADR 측정)의 다수의 측정으로부터의 상태 벡터(예컨대 위치, 속도 및 클럭)에 대해서 예측을 수행하는 최적의 선형 예측기이다. PR 및 ADR 측정은 수신된 GPS 신호로부터 반복적으로 수행되며, 각 측정 이벤트는 "시기"(epoch)라 지칭된다. 칼만 필터는 최소 제곱 개념에서 최소 분산(variance) 예측을 산출한다. 또한 네비게이션 상태에서 전체 네비게이션 상태에 대한 오차를 일반적으로 예측할 수 있다. 이러한 측정의 정확도는 공분산(covariance) 행렬에 의해서 표시되며, 공분산 행렬은 상태 예측에서의 오차들에 대해서 2차 중심 모멘트[second central moment)의 행렬이다.

가능한 측정(측정 수식에 의해서 표현되는 측정 모델을 기초로)을 처리하는 단계와 다음 시기에 대해서 상태 벡터 솔루션을 전파하는 단계(전파 수식에 의해서 표현되는 전파 모델을 기초로)가 교대로 반복되는 알고리즘 사이클에 대해서 통상적으로 칼만 필터는 적용된다. 전파 모델은 어떠한 방식으로 오차 상태 벡터가 시간 상에서 변화하는 지 기술하는 프로세스이다. 측정 모델은 에러 상태 벡터와 칼만 필터에 의해서 처리되는 임의의 측정 사이의 관계를 정의한다. 솔루션의 정확도는 측정의 양과 질, 측정 수식의 정확도, 전파 루틴의 정확도에 달려있다. 측정 수식이나 위성 상태의 예측의 비선형성에 따른 문제점은 통상적으로 선형화되어 처리 된다.

이러한 선형화는 상태 벡터의 성분에 대해서 측정된 값의 편미분을 계산하는 것을 포함한다. PR 측정에 대해서 이러한 편미분의 계산은 간편하며, 따라서 종래의 네비게이션 알고리즘의 기반이 된다. 그러나 ADR 측정의 편미분의 계산은 보다 복잡하다. 가장 큰 문제점은 시간 오정합(mismatch)이다. 즉 상태 벡터는 특정 시간에서의 위성 상태를 나타내는데 비해서, ADR 측정은 일정 시간 간격 상에서의 위상 측정의 누적을 나타낸다. 하나의 해결 방안은 시간 간격으로부터 시점(time instant)으로의 ADR 매핑이다. 이러한 매핑은 근사(approximation)를 포함하며 측정 잡음 오차 뿐만 아니라 네비게이션 솔루션의 오차를 발생시킨다.

개념적으로, 칼만 필터는 상태 벡터의 동적 특성과 측정의 상대적인 기여도에 대해서 가중치를 부여할 수 있다. 측정과 상태 벡터는 상대적인 공분산에 의해서 가중치가 결정된다. 만약 상태 벡터 예측에 비교할 때 측정이 부정확하다면(즉 분산이 크다면), 칼만 필터는 측정을 디엠퍼시스(deemphasize)한다. 만약 상태 벡터 예측에 비교할 때 측정이 매우 정확하다면(즉, 분산이 작다면), 칼만 필터는 측정에 대해서 가중치를 높게 부여하고, 따라서 이전에 계산된 상태 예측이 이후의 상태 예측에 대해서 작게 기여하도록 한다.

ADR 처리를 위한 기초적인 방식에서도 종래의 ADR 측정(즉, 측정 수식의 오차가 측정 잡음보다 작은 경우)에 비해서 좀 더 정확한 측정 수식을 산출할 수 있다. 그러나 네비게이션 정확도 측면에서는 측정 수식의 중요하지 않은 오차조차도 매우 커질 수 있다. 이러한 문제의 이유는 이러한 오차가 시간적으로 매우 크게 상관되어 있고 따라서 필터링을 통하여 제거되지 않기 때문이다.

측정 수식에서의 장기간(long-term) 상관 오차에 의해서 발생하는 문제점은 전파의 경우에 대해서 동일하게 발생될 수 있다. 측정 처리와 전파는 칼만 필터 알고리즘의 두 개의 단계로서, 반복적으로 실행된다. 전파 모델에서의 고려되지 않은 작은 가속도 오차에 의해서 시간상으로 누적되어 네비게이션 정확도에 영향을 미친다는 사실은 잘 알려져 있다. 이러한 영향 때문에 정교하고 정확한 전파 모델의 개발이 필요하다.

측정 수식에 대해서도 유사한 영향이 있다는 사항은 자명하다. 실지로, 측정 수식에서의 오차는 각 처리의 갱신(데이터 처리) 단계의 각 시기에서 이동체(예컨대 우주선)를 "끌어당기는"(pull) 경우가 있으며, 전파 단계에서의 모델링되지 않은 가속도로부터 유사한 영향이 발생할 수 있다. 이러한 네비게이션 솔루션에 있어서 이러한 오차에 따른 영향은 중요할 수 있다. 이 경우, 장기간 오차를 가지는 측정을 사용하는 것에 따른 결과는 ADR 측정을 전혀 사용하지 않는 경우보다 열악할 수 있다. 따라서 ADR 측정을 네비게이션에서 사용하기 위해서는 장기간 상관 오차가 없거나 매우 적도록 상태 벡터를 매핑하는 것에 매우 크게 의존한다. 이러한 정확도 요구는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 즉 측정 수식에서의 상관 오차는 전파 수익에서의 오차보다 작거나 비슷하여야 한다. 이러한 경우, ADR을 위해서 측정 수식을 사용하면 좀 더 정확도를 높일 수 있다.

이러한 것은 특히 상대적 네비게이션, 예컨대 위성 형태 비행에 있어서 적용가능하다. 차이 계산[differencing]과 이중 차이 계산은 바이어스를 제거하고 상대 적 네비게이션 솔루션에 있어서 매우 높은 정확도를 제공할 수 있다. 그러나 절대적 네비게이션 솔루션에 대해서 ADR 측정을 적용하기 위한 정확한 알고리즘의 개발에 대해서는 불확실하다. 이러한 사항은 이전의 다양한 애플리케이션들에서 우주선의 절대적 네비게이션을 위해서 ADR 측정을 사용하지 않았던 이유가 될 것이다.

본원 발명의 명세서에서 개시된 기술들의 중요한 측면은 수학적인 공식이며, 이러한 공식을 통하여 우주선의 절대적 네비게이션을 위한 정확한 ADR 측정 처리가 가능해진다. 이러한 ADR 처리는 보조적으로, 또한 종래의 PR 처리에 결합하여 사용될 수 있다. 이하에 설명되는 본원 발명에 따른 알고리즘의 주요한 특징은 그 정확도이다. 측정 수식은 고려되지 않은 오차를 포함하나, 이러한 오차의 크기는 모델링되지 않은 전파 오차의 크기와 비슷하도록 감소되어 있다.

도 2에서는 네비게이션 처리를 나타내는 도면이 도시된다. 이동체는 수신된 GPS 신호를 사용하여 PR 측정 및 ADR 차이(시간상으로 구분된 2개의 ADR 측정으로부터 구해짐)를 도출하고, 이 경우 도 3을 참조로 하여 설명된 기술을 사용할 수 있다. PR 측정과 ADR 차이는 블록(70)으로 도시된 칼만 필터에 제공된다. 또한 칼만 필터에는 만약 알려진 경우라면, 이동체(10)에 대한 전파 모델이 제공되며, 또한 이동체(10)가 IMU를 구비하는 경우 IMU 데이터가 제공될 수도 있다. IMU 데이터는 이동체(10)에 대해서 신뢰 가능한 전파 모델이 알려지지 않은 경우 등에서 통합 GPS-IMU 네비게이션 계산이 수행되어야 할 환경에서 특히 유용하다.

도 3을 참조하면, GPS 단독 또는 GPS-IMU 네비게이션 알고리즘의 기본적인 단계가 설명된다. 단계 80에서는 GPS 위성으로부터의 GPS 네비게이션 신호 또는 도 1에 도시된 다른 거리 측정원으로부터의 거리 측정 신호 등과 같은 거리 측정 신호를 이동체(10)가 수신한다. 이후 단계 82에서 이동체(10)는 단계 80에서 수신한 거리 측정 신호로부터 PR 및 ADR 측정을 수행한다. 단계 84에서는, 연속된 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 두 개의 시기, 즉 시점에 대해서 ADR 차이를 계산한다. 이러한 ADR 차이 계산 기술은 도 4를 참조로 상세히 설명된다. 단계 86에서는, 칼만 필터 내의 변형된 편미분 수식을 이용하여 ADR 차이가 처리되며, 전파 모델(그리고 PR 측정)을 이용하여 상태 벡터가 전파되거나 또는 이동체에서 획득되는 IMU 데이터를 사용하여 상태 벡터가 전파된다. 변형된 편미분 수식은 도 5를 참조하여 상세히 설명된다. IMU 데이터를 이용하여 상태 벡터를 전파하는 기술에 대해서는 도 6을 참조로 상세히 설명된다. 도 6을 참조로 설명되는 기술은 이동체의 위치 측정이 예측 가능한 가속도를 가지지 않아서 신뢰 가능한 전파 모델을 알 수 없는 경우의 네비게이션 애플리케이션에 특히 유용하다.

Ⅰ. GPS 단독 및 통합 GPS - IMU 네비게이션을 위한 ADR 예측 처리 수식

A. 바이어스 제거

ADR 데이터는 알려지지 않은 일정한[constant] 바이어스를 가진다[순환 슬립(cycle slip)이 없는 경우]. 이러한 바이어스 때문에, ADR 측정은 PR 측정의 경우와 동일하게 적용될 수 없다. 예컨대 PR 측정을 평탄화(smooth)하도록 ADR을 사용하는 것에 의해서 바이어스를 제거하도록 바이어스를 처리하는 기술이 알려져 있다. 이러한 평탄화 기술보다 월등한 기술이 본원 발명의 명세서에서 ADR 측정과 바 이어스 제거를 위해서 개시된다.

바이어스를 배제하기 위한 방식은 다음 수학식 1 형태로 측정을 사용하는 것이다.

여기서 P(t)는 ADR 측정이며, 가중치 함수 W(t)는

을 만족하도록 선택된다. ADR 측정 P(t) 내에 포함된 일정한 바이어스를 수학식 1에서 제거할 수 있다는 것은 자명하다. 가중치 함수 W(t)는 결과적인 측정

내에서의 오차를 최소화하고 또한 칼만 필터에 의한 처리 결과를 개선하도록 선택될 수 있다.

수학식 1을 사용하는 경우의 장점을 설명하기 위하여, 두 시기

에서의 ADR 측정값의 차이

를 단순하게 나타내는 특별한 경우의 가중치 함수 W(t)를 고려한다. 이 경우는 바이어스 제거에 대해서 비록 최적은 아니지만 아마도 가장 단순한 표현이며, 다음 수학식 2와 같은 측정을 산출한다.

여기서,

는 이동체의 위치 벡터이며,

는 GPS 위성의 위치 벡터이고,

는 이동체 클럭 드리프트이고, 첨자

은 두 개의 시기(연속적일 필요는 없다)를 나타낸다. 수학식 2는 GPS 위성과 이동체 사이의 상대적인 속도가 특정한 시간 간격 내에서 적분되는 것을 의미한다. 공지된 ADR 처리 기술에 있어서, ADR 측정값의 차이가 계산되는 두 개의 시점

은 두 개의 연속적인 시기에 대응한다. 그러나 본원 발명의 경우, 두 개의 시점이 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된다면 ADR 측정의 질이 매우 크게 개선될 수 있다. 좀 더 일반적인 형태에서, 이러한 사항은 가중치 함수 W(t)가 0이 아닌 경우 더 넓은 범위의 t에 대해서 대응된다. 수학식 2를 사용하는 좀 더 단순한 경우에서는 실질적인 장점을 가져온다. 수학식 1 형태의 측정을 사용하는 경우 더욱 개선이 가능할 수 있다.

B. ADR 차이 계산을 위한 ADR 측정 사이의 시간 간격 선택

수학식 2에서는 ADR 차이 계산이 수행되는 두 개의 시기 사이의 시간 간격의 주기(duration)에 대해서는 상세히 기재하지 않고 있다. 이러한 시간 간격의 주기의 선택은 아래에 제안되는 방법의 구현을 위해서 매우 중요하다.

전술한 질적인 고려에 기초하여, 두 개의 ADR 측정으로부터 도출되는 속도 예측의 기본적이고 원시적인 형태는 수학식 3과 같다.

이하에서는 칼만 필터 내에서 사용되는 측정 수식을 상세히 설명한다. 이러한 설명을 위해서, 수식화를 위하여 전파 모델을 알고 있는 것이 필요하며, 전파 모델에서의 오차는 ADR 측정에서의 측정 노이즈와 함께 속도 예측에서의 오차에 기여한다. 따라서 ADR 차이 계산을 위하여 ADR 측정 사이의 시간 간격을 증가시키는 것은 전파 모델의 정확도에 달려 있다. 좀 더 정확한 전파 모델이 있는 경우, ADR 차이 계산을 위하여 ADR 측정 사이의 시간 간격을 증가시키는 것이 가능하다. 마찬가지로, 전파를 위하여 IMU 데이터를 사용하는 경우(도 6을 참조로 상세히 설명됨) 좀 더 정확한 IMU 데이터가 있는 경우라면, ADR 차이 계산을 위하여 ADR 측정 사이의 시간 간격을 증가시키는 것이 가능하다.

전파 모델 내의 오차

는 모델링되지 않은 가속도에 기인한다고 가정하면 다음 수학식 4와 같이 측정될 수 있다.

여기서

는 모델링되지 않은 가속도이다. 두 개의 ADR 측정에서의 측정 노이즈는 서로 상관되지 않는 것으로 가정한다. 이들의 분산은 동일하다고 가정하고

로 표시할 수 있다.

속도 예측 오차의 전체 분산은 다음 수학식 5와 같이 근사화할 수 있다.

시간 간격 주기에 대해서 이러한 분산의 최소값을 찾는 것은 간단하다. 따라서 본 발명의 기술을 적용하기 위해서 사용되는 최적의 주기는 수학식 6과 같다.

만약 전파 모델의 질이 모델링되지 않은 가속도가

m/s² 정도의 수준을 가지고 또한 ADR 노이즈가

m 정도의 수준이라면, ADR 차이 계산이 수행되는 두 개의 시기 사이의 시간 간격의 최적 주기는 대략 100초 정도이고, 각 시기는 근사적으로 1초 정도이다.

도 4는 ADR 차이가 어떻게 계산되는 지에 대한 예시를 나타낸다. 현재의 GPS 네비게이션 기술이 연속적인 ADR 측정 사이의 차이를 계산하는 데 비해서, ADR 측정 사이의 시간 간격보다 큰, 특히 실질적으로 더 큰 시간 간격에 의해서 구분되는 ADR 측정 사이의 차이를 계산하는 것이 좀 더 정확한 네비게이션 솔루션을 산출할 수 있고 칼만 필터의 수렴을 신속하게 하는 것을 지원할 수 있다는 것이 본원 발명에서 알 수 있다. 예컨대 도 4의 경우 시기 E₁에서의 ADR 측정과 시기 E₁₀₀에서의 ADR 측정 사이에서(각 시기는 대략 1초 정도씩 떨어져 있음), 시기 E₂에서의 ADR 측정과 시기 E₁₀₁에서의 ADR 측정 사이에서, 시기 E₃에서의 ADR 측정과 시기 E₁₀₂에서의 ADR 측정 사이에서와 같은 방식으로 ADR 차이를 계산하는 것을 도시한다. 따라서 이 예시에서는 ADR 차이는 각각의 새로운 ADR 측정이 수신되는 경우 계산된다.

많은 시기 이전의 ADR 측정에 대해서 새로운 ADR 측정이 수신될 때마다 ADR 차이가 계산될 필요는 없다. ADR 차이는 적절한 시간 주기(예컨대 몇 개의 시기)에 의해서 구분되는 ADR 측정에 대해서 계산되면 족하며, 매 ADR 측정이 수행되는 경우마다 계산될 필요는 없다. 예컨대 ADR 차이는 시기 E₁에서의 ADR 측정과 시기 E₁₀₀에서의 ADR 측정 사이에서, 시기 E₁₀₁에서의 ADR 측정과 시기 E₂₀₀에서의 ADR 측정 사이에서 계산되는 방식으로 수행될 수도 있다. 또한 시기 E₁에서의 ADR 측정과 시기 E₁₀₀에서의 ADR 측정 사이에서, 시기 E₁₀에서의 ADR 측정과 시기 E₁₁₁에서의 ADR 측정 사이에서, 시기 E₂에서의 ADR 측정과 시기 E₁₂₁에서의 ADR 측정 사이에서 ADR 차이가 계산되는 방식으로 수행될 수도 있다. 이러한 ADR 차이는 이하의 변형 편미분 수식 을 사용하여 처리될 수 있다.

각각의 작은, 예컨대 1초 또는 매우 큰, 예컨대 10⁴ 초 정도의 시간 간격은 속도 예측에서 매우 큰 오차를 가져온다는 것을 주의하여야 한다. 최적 주기에 대해서, 속도 예측의 오차는 수학식 2의 최적값을 대체하는 것에 의해서 다음과 같이 예측될 수 있다.

오차에 대한 이러한 예측은 속도 예측의 다른 방식에 대비해서 작다. 특히 단일 측정을 처리하는 경우 매우 유효하다. 당연히 이러한 고품질 측정은 사용가능한 정확도를 가지는 측정 수식을 사용하는 것에 의해서 실현될 수 있다. 이하에서는 ADR 차이 계산의 처리를 위하여 유용한 측정 수식의 도출에 대해서 설명한다.

C. 이동체 클럭 드리프트의 완화

이하에서는 이동체 속도 및 위치, 즉 이동체(10)의 위치 및 속도에 대해서 사용가능한 양호한 전파 모델을 가정하며, 특히 위성 이동체의 경우에 적용될 수 있다. 그러나 클럭에 대한 전파 모델은 상대적으로 덜 정확하며(저가의 클럭이 사용되는 경우), 따라서 수학식 2의 마지막 항목은 정확하게 예측하기 어렵게 된다. 만약 수학식 2의 우측 부분에 대해서 부분적으로 계산이 가능하다면, 주요 부분은 클럭 드리프트에 의해서 기인될 것이며, 이러한 것은 상태 벡터의 다른 성분, 중요 하게는 속도 성분의 정확한 예측에 있어서 어려움을 가져오게 된다.

ADR 측정의 칼만 필터 처리에 있어서, 클럭 드리프트의 예측은 속도 예측과는 구분되어 있다. 완전한 구분은 가능하지도 않고 필요하지도 않다. 목표는 불안정한 클럭이 있는 경우 속도를 예측하는 것이 가능하도록 하는 것이다. 수학식 2의 마지막 항목이 모든 위성에 대해서 동일한 값을 가지며, 따라서 차이 측정을 통하여 제거될 수 있다. 따라서 칼만 필터에서 사용되기 위한 위성 쌍(p, q)에 대한 측정 레지듀얼(residual)은 다음 수학식과 같다.

이러한 레지듀얼은 사용 가능한 ADR 측정으로부터 그리고 GPS 위성과 이동체의 알 수 있거나 예측된 위치로부터 계산이 가능하다.

수학식 8에서의 측정 레지듀얼은 속도를 예측하는데 사용될 수 있다. 클럭 드리프트에 대해서, 수학식 2로부터 주어진 형태의 단일 측정 결과를 임의로 사용할 수 있다.

칼만 필터에서의 측정에 사용하기 위해서, 편미분(partial) 행렬이 계산되어야 한다. 이러한 편미분 행렬의 계산에 있어서, 순간 측정 모델이 필요하며, 이에 비해서 수학식 2는 시간 주기상에서 적분된 속도에 대한 것이다. 이러한 문제점은 도 5를 참조로 한 흐름도에 대한 설명에서 개시되는 방법에 의해서 해결될 수 있 다. 도 5에 도시되고 이를 참조로 설명된 처리 단계의 목적은 예컨대 상태 벡터의 속도 또는 위치 성분과 같은 현재 시간에서의 상태 벡터의 하나 이상의 성분에 대한 ADR 차이의 미분값을 계산하여 상태 벡터의 속도 성분의 갱신에 사용될 수 있는 순간 속도 예측을 산출하는 것이다. PR 측정 역시 칼만 필터에 의해서 처리되어 위치 성분을 갱신할 수 있고, 전파 모델 또는 IMU 데이터(도 6을 참조로 설명됨)가 상태 벡터의 전파를 위하여 사용될 수 있다. 이러한 기술들은 이하에서 명백히 설명되듯이, x를 측정 사이의 시간 차이에 비례하는 작은 파라미터라 할 때 종래의 네비게이션 기술에서 오차가 ~x인 경우와 본원 발명의 기술에서는 오차가 ~x⁴ 정도인 경우이므로 ADR 측정 사이의 시간 구분에 대비하였을 때 종래의 GPS 네비게이션 기술들에 비해서 본원 발명의 기술에서는 높은 차수의 정확도를 가지고 있다.

이러한 방법은 현재 시기에서의 상태 벡터에 대해서 이전 시기에서의 이동체 위치의 편미분을 계산하는 것을 포함한다. 이러한 계산은 시기 사이의 시간 차이에 대비해서 고차 근사, 예컨대 4차 근사이며, 이하의 전파 모델을 사용할 수 있다.

D. 관성 프레임 기준 내에서의 위치 및 속도에 대한 편미분

비록 수학식 2가 스칼라 형태이지만, 기준 프레임을 사용하여 변형될 수 있다. 이 부분에서는 관성 프레임 기준[inertial frame of reference] 이 사용된다. 지구 고정 프레임(Earth-fixed Frame, ECEF)의 편미분을 계산하기 위해서는, 우선 관성 프레임을 계산하여야 하며, 이는 시기 n에서 ECEF와 동일한 축 방향을 가지도 록 정의된다. 이러한 결과는 이후 ECEF 프레임의 편미분을 계산하는데 사용될 수 있다.

수식을 단순화하기 위하여, 위성 쌍 중의 위성 하나에 대응하도록 수학식 2를 사용하여 편미분을 계산하면 다음과 같다.

여기서

는 이동체의 위치, 속도, 클럭, 클럭 드리프트를 포함하는 이동체 상태 벡터이다.

따라서 단계 100에서는, 상태 벡터는 ECEF 프레임 기준[ECEF frame of reference]에서 관성 프레임 기준으로 변환되어야 한다. 계산 100은 선택적이다. ECEF 프레임으로부터 또는 ECEF 프레임으로의 변환은 선택적이다.

수학식 9 형태의 편미분은 각 시기 n에서 상태 벡터의 위치 성분 및 속도 성분에 대해서만 계산된다. 이러한 상태 벡터의 부분은

로 나타낼 수 있다. 클럭과 클럭 드리프트에 대한 편미분은 별도로 계산된다.

이동체 위치

이 수학식 9에서 명시적으로 사용되기 때문에, 이에 대한 편미분을 계산하는 것만이 필요하다는 인상을 심어준다. 그러나 이동체 위치

은 시기 n-1로부터의 상태 벡터 전파의 결과이다. 따라서 이동체 위치

은

의 함수이며,

은

의 함수(또는 역함수)이며,

(

의 일부임)은

의 함수이다. 이러한 결과는 편미분 계산에 있어서 좀 더 복잡한 과정을 필요로 하게 된다.

여기서,

이며,

는 6X6 행렬로서, 주대각선(main diagonal)의 처음 3 성분의 값이 1인 것을 제외하면 모두 0을 가지는 행렬이다. 수학식 10의 우측 부분은 편미분 행렬의 부분이며, 이는 칼만 필터에서 측정 처리를 위해서 사용될 수 있다.

수학식 10에서 행렬

이 사용된다. 이 행렬은 상태 벡터가 두 시기 사이에서 종속되는 것에 기인한 것이며, 상태 벡터의 전파에 영향을 미친다.

II . 추가적인 ADR 처리

A. GPS-단독 네비게이션

상태 벡터를 전파하기 위해서는, 상태 벡터의 모든 성분이 필요하다. 만약 속도 성분이 없다면, 전파는 수행되지 못한다. 행렬

가 시기 n-1에서의 위치와 시기 n에서의 위치 및 속도를 이용하는 것을 주시하자. 이러한 사항 때문에 시기 n에서 시기 n-1로 역방향으로 전파를 수행하거나 또는 차이가 계산되기 위한 ADR 측정을 구분하는 시간 간격 상에서 역방향으로 전파를 수행하는 것이 필요할 수 있다.

따라서 단계 110에서는, 상태 벡터는 룬게-쿠타(Runge-Kutta) 스킴과 같은 전파 루틴을 이용하여 한 단계 역방향으로 전파된다. 전파는 일반적인 미분 수식에 의해서 결정된다. 룬게-쿠타 스킴을 사용하는 많은 전파 루틴은 높은 정확도를 보장한다. 행렬

를 계산하는 경우, 이하의 전파 알고리즘과 같이 4차 룬게-쿠타 방식을 사용하여 높은 수준의 정확도가 유지된다. 이러한 전파 알고리즘은 상태 벡터의 전파를 위한 알고리즘(룬게-쿠타 스킴과 동일하게 양호한 다른 알고리즘이 있음)과 정확하게 매칭될 필요는 없다. 룬게-쿠타 스팀의 유용한 예시는 다음 수학식 12에 표시된다.

여기서,

는 전파의 단계이다. 수학식 11에서는 기준 형태, 즉 시기 n에서 시기 n+1로 전파하는 경우의 수식이 표시된다. 그러나 반대 방향으로 전파하는 경우도 필요하므로,

는 수학식 11에서 (-

)로 대체될 수 도 있다.

행렬

를 계산하기 위하여 편미분

가 계산된다.

여기서,

는 크로넥커(Kronecker) 델타 함수이고,

이다.

단순화를 위해서 다음 표기를 사용할 수 있다.

수학식 15를 수학식 14에 적용하면, 편미분의 계산을 위한 식은 다음과 같다.

수학식 16의 최초 수식에서

를 두 번째 수식에 적용하고, 마지막 수식까지 마찬가지로 체인 형태로 적용하면,

에 대한 k의 편미분이 획득되며, 이는 행렬

내지

을 통하여 표시될 수 있다. 이후, 모든 이러한 수식을 수학식 13에 적용하면 다음과 같은 결과를 구할 수 있다.

이러한 수학식 17은 6X6 행렬의 다중 연산을 포함하는 복잡한 수식이다. 다행스럽게도,

행렬의 특별한 형태 때문에 현저하게 수식의 단순화가 가능하다.

수학식 17의

이 수학식 10의

에 대응되는 것을 주시하자. 벡터

은 관성 기준 시스템 내에서 표현된다. 또한, 궤도 내의 이동체 움직임은 주로 위치(potential) 중력장

에 의해서 기인한다. 이러한 것은 수학식 12의 첫 번째 수식에서의

가 다음 형태를 가질 수 있는 것을 의미한다.

즉

의 처음 세 개의 성분(즉 위치의 미분에 해당되는)은 단순히 속도의 함수이고, 나중의 세 개의 성분(즉 속도의 미분에 해당되는)은 단순히 위치의 함수라는 것이다. 이러한 사실은 수학식 17의 우측 성분을 다음과 같이 단순화하는데 사용될 수 있다.

여기서

은 제로(zero) 3X3 행렬이고

는 3X3 단위 행렬이며,

는 다음 수학식과 같이 정의되는 3X3 행렬이다.

행렬의 계산은 다음과 같이 단순화될 수 있다.

여기서 첨자 a, b, c, d는 1에서 4까지의 값이다. 수학식 21을 수학식 16에 적용하면, 다음과 같이 표시될 수 있다.

여기에서,

행렬은 3X3 디멘젼(dimension)을 가지고 다음과 같이 정의된다.

4개의 4X4 행렬의 행렬 연산이 포함된 원래의 수학식 17에서의 표시와 비교하면, 수학식 22에서의

행렬은 3X3 행렬의 행렬쌍 정도의 행렬 연산을 포함하는 것을 알 수 있다. 행렬

의 디멘젼이 6X3인 것을 주시하면, 단지 4개의 3X3 행렬 2개만이 수학식 22의 우측에서 필요한 것을 알 수 있다.

이전 부분에서 설명한 대략적인 예측에서는 ADR 차이 계산을 위해 관련된 두 개의 시기 사이의 시간 간격은 상당히 길 수 있었다. 비록 수학식 22에서의 편미분이

에 대해서 4차 정확도를 가지고 계산되지만, 결과의 정확도는 상당히 긴 시간 간격에 대해서는 충분하지 않을 수 있다. 이러한 정확도를 개선하기 위한 자연스러운 방법은 여러 개의 서브스텝(substep)을 적용하여, 수학식 22의 편미분을 이러한 서브스텝에 대응하는 행렬의 연산으로 계산하는 것에 의해서 수행될 수 있다.

행렬은 수학식 22를 계산하기 위한 중요한 요소이다. 이러한 행렬은 J2 중력 위치의 경우 다음과 같이 계산될 수 있다.

여기서

는 z 방향에서의 단위 벡터이며,

이고, 는 지구의 반지름이다.

전파 모델은 지구 중력장 이외의 다른 영향을 포함할 수 있다. 이러한 영향들 중 일부는 우주선 가속도를 발생시키며, 예컨대 태양과 달에 의한 가속도, 태양 방사 압력 등과 같이 우주선 위치에 따른 함수이다. 이러한 경우 ADR 처리를 위한 편미분은 전술한 경우와 마찬가지로 적용될 수 있다. 대기 드래그(drag)와 같은 다른 영향들에서, 가속도는 위치와 속도 모두의 함수이다. 이러한 경우, 수식의 단순화를 수행하지 않고 수학식 17의 전체 형태를 사용하거나 또는 이러한 영향을 낮은 정확도를 가지는 섭동(perturbation)으로 처리할 수 있다.

따라서 단계 120에서

행렬은 수학식 24를 이용하여 룬게-쿠타 서브스텝을 각각에 대해서 적용하여 계산되거나 또는 이하에서 별도로 설명되는 J2 이상 의 고차 중력 성분에 대한 수식을 이용하여 계산될 수 있다.

행렬이 계산된 이후에는, 단계 130에서 수학식 23에 적용되고, 수학식 23의 결과가 행렬

를 계산하기위해서 수학식 22에서 사용된다.

행렬

는 편미분 수식인 수학식 10에 적용된다.

1. 지구 고정 프레임 기준에서의 위치 및 속도에 대한 편미분

이전 부분에서 관성 프레임 기준에 대해서 편미분의 계산에 대해서 설명하였다. ECEF에서 위성 위치와 고차 중력 성분이 사용 가능하므로, 이러한 프레임에서 편미분을 계산하는 것이 필요하다. 수학식 10이 관성 프레임 내의 이동체의 위치 및 속도에 대한 편미분을 계산하는 데 직접적으로 적용되므로, 단계 140에서는 수학식 10의 계산 결과를 측정 쌍에 대해서 위치와 속도에 대한 편미분을 계산하기 위한 다음 수학식 25를 기초로 ECEF로 변환한다.

여기서

는 시기 n에서의 ECEF 프레임 내에서의 위치 및 속도 벡터의 I 번째 성분이며,

는 관성 프레임에서의 동일한 벡터의 j번째 성분이다.

자코비안(Jacobian) 행렬 내의 성분

는 다음과 같이 계산될 수 있다.

여기서

이고,

는 지구 각속도의 벡터이며,

는

로부터 형성되는 3X3 스큐-시메트릭(skew-symmetric) 행렬이다.

관성 프레임 내에서 편미분이 계산되는 것을 주시하자. 이것은 수학식 19에서 관성 프레임 내에서의

행렬의 특정한 형태에 따른 것이며, 이러한 특정한 형태는 결과를 매우 간소화하기 위함이고, 우선 관성 프레임 내에서 편미분을 계산하고 이를 수학식 25를 사용하여 ECEF로 변환하는 것이 보다 경제적이기 때문이다. 그러나 이러한 것은 제한점이 아니고 단순히 간편화를 위한 것이다.

2. 클럭 및 클럭 드리프트에 대한 편미분

일부 우주선은 상대적으로 안정도가 낮은 클럭을 사용한다. 따라서 클럭 오차, 그리고 바람직하게는 클럭 드리프트에 대한 예측이 필요하다. 단계 150에서는 위치 및 속도에 대한 편미분을 클럭 및 클럭 드리프트에 대해서도 확장하여 이하 설명된다.

이 단계는 클럭 드리프트의 예측에서 시작한다. 수학식 2에 의한 형태에서의 ADR 측정 중의 하나가 사용되어 클럭 오차와 클럭 드리프트에 대한 미분값이 구해진다. 클럭 드리프트는 시기 n-1과 n에 대해서 일정하다고 가정하면, 다음과 같은 편미분이 구해진다.

여기서 h는 시기 사이의 시간 차이이며, 가장 큰 성분이다. 따라서 이러한 측정을 처리하면 클럭 드리프트의 값을 주로 갱신하게 된다. 이러한 갱신은 클럭에 대해서 양호한 전파 모델(한 모델에서 시기 사이에 클럭 드리프트는 일정하다고 가정함)이 사용되지 않는다면 매우 정확하지는 않을 수 있다. 클럭 드리프트 예측에 있어서의 부정확성은 이러한 측정이 속도 예측에서는 쓸모없게 만들 수 있다. 속도를 예측하기 위해서 차별화된 측정이 필요하다.

차별화된 측정으로부터 이동체 속도를 예측하기 위하여 편미분을 계산하는 것은 전술한 바와 같으나, 모든 편미분이 계산되는 것은 아니다. 즉, 이동체 클럭과 클럭 드리프트에 대해서 차별화된 측정의 편미분은 여전히 도출되어야 한다.

수학식 9의 분자에서는 명시적으로 클럭 오차 또는 클럭 드리프트를 포함하고 있지 않다. 시기 n에서의 클럭 오차를

라고 가정하고, 클럭 드리프트를

라고 가정하자. 이러한 것은 n번째 시기 측정이 수행될 때,

만큼 정수 초[integer second]에서 다르게 되며, n번째 시기 측정이 수행될 때 만큼 정수 초에서 달라지게 되는 것을 의미한다.

와

에서의 변화는 스냅샷 시간에 영향을 주며, 또한 측정되는 ADR에 영향을 준다. 따라서 대응되는 편미분의 연산은 다음과 같이 표현할 수 있다.

수학식 28의 우측 부분에서, 위치 및 속도의 값은 수식이 스칼라이므로 관성 또는 ECEF 프레임에서 모두 사용될 수 있다.

수학식 28의 결과를 사용하면, 편미분 행렬이 생성되어 단계 160에서 사용되며, ADR 차이로부터 순간 속도를 생성하도록 칼만 필터 측정 수식을 형성하는데 사용될 수 있다. 전술한 편미분 수식은 칼만 필터에서 ADR 차이로부터 순간 속도를 생성할 수 있는 방식으로 구성되어 있다. 따라서 단계 170에서 이러한 순간 속도는 단계 170으로 표시되는 칼만 필터 처리의 측정 위상에서 상태 벡터의 속도 성분을 갱신하는데 사용될 수 있다.

따라서 칼만 필터는 수학식 8의 형태의 거리 측정 신호원, 예컨대 GPS 위성의 쌍에 대해서 ADR 측정 레지듀얼을 처리하며, 대응되는 편미분 행렬을 사용할 수 있다. 이러한 편미분 행렬은 두 가지의 부분을 포함한다. 첫 번째 부분은 이동체, 예컨대 우주선의 위치 및 속도에 대한 것이며, 두 가지 성분의 차이로서 정의되며, 각각은 거리 측정 신호원, 예컨대 GPS 위성에 대응하며, 수학식 10의 우측 부분으로서 정의된다. 두 번째 부분은 이동체, 예컨대 우주선의 클럭 및 클럭 드리프트에 대한 것으로, 수학식 28의 우측 부분으로 정의된다. 만약 우주선 상태 벡터가 추가적인 성분, 예컨대 클럭 가속도, 태양 방사 영향 계수 등을 더 포함한다면, 이에 대응하여 편미분이 계산되어 유사한 방식으로 사용될 수 있다.

ADR 데이터의 처리를 위한 측정 수식의 도출에 대해서 설명하였다. PR의 처리를 위한 측정 수식은 공지된 것이며, 따라서 이하에서 설명하지 않는다. 칼만 필터는 단계 170에서 상태 벡터의 위치 성분을 갱신하기 위하여 PR 측정을 처리할 수도 있다.

전술한 ADR 측정 수식은 좀 더 정확하게 구성될 수 있으며, 이 경우 ADR 차이를 계산하기 위해서 사용되는 ADR 측정 사이의 시간 간격은 현재 GPS 네비게이션 애플리케이션을 위해서 사용되는 ADR 차이 측정 기술에 사용되는 경우보다 현저하게 커질 수 있다. 이러한 기술의 장점에 대해서 이하에서 설명된다.

업무용 빌딩과 같은 대형 빌딩의 디멘젼, 예컨대 길이, 폭 또는 높이를 측정하는 작업을 가정하자. 이러한 측정을 수행하는 하나의 방법은 상대적으로 작은 자를 이용하는 것이다. 자는 매우 작기 때문에, 빌딩의 한 디멘젼의 측정을 완성하기 위해서는 다수의 측정이 요구된다. 측정 오차는 이러한 작은 자를 가지고 수행하는 측정의 회수에 따라서 누적될 수 있다. 반면에, 매우 긴 측정 테이프를 이용하는 경우를 가정할 수 있다. 만약 측정 테이프가 충분히 길다면, 한 번의 측정만으로 빌딩의 디멘젼을 측정할 수 있으며, 따라서 좀 더 정확한 측정이 수행될 수 있다. 종래의 ADR GPS 네비게이션 기술은 현저하게 큰 거리를 작은 자를 이용하여 측정하는 것에 비유할 수 있다. 각 ADR 차이 계산에 있어서 측정 오차는 누적되며, 이러한 사항은 각 ADR 측정 사이의 시간 간격이 작아서, 즉 대략 1 초 정도여서, "작은 자"의 경우와 같은 문제와 유사한 문제점이 발생하기 때문이다. 이러한 ADR 측정 오차는 누적 효과 때문에 네비게이션 계산의 전체적인 정확도를 감소시킨다.

비록 칼만 필터에서 사용될 전파 모델에 대해서 개발이 수행되고 매우 정확한 것으로 개선되었지만, 이러한 사항은 ADR 데이터를 위해서 사용되는 경우에는 적용되지 못한다. 전술한 ADR 측정 수식을 통하여 공지된 다른 많은 전파 모델에 비해서 얻어지는 정확도에 비교 가능한 정도의 측정 정확도를 획득할 수 있다. 따라서 새로운 측정 데이터를 이용하여 상태 벡터의 갱신 예컨대 전파를 수행하는 데 있어서, ADR 측정 수식은 전파 수식에 대해서 높은 정확도의 측정을 제공하며, 따라서 네비게이션 계산의 전체 정확도를 현저하게 증가시킨다.

또 다른 비유는 자동차로 운전을 시작할 때 스탑워치를 작동시키고, 일정 시 간 간격 이후에, 스탑 워치를 정지시키고 자동차가 운행한 거리를 측정하는 경우이다. 매 시간 마다 스탑워치를 작동하였다가 정지시킨다면 오차가 발생한다. 만약 작은 시간 간격을 사용한다면, 속력의 예측은 아마도 부정확할 것이다. 반대로, 자동차가 일정한 속도로 주행하고, 긴 시간 주기에 대해서 측정을 수행한다면, 속도 예측은 점점 더 정확해 질 수 있다. 이러한 두 번째의 옵션이 바람직한 반면에, 일정한 속도로 주행한다고 가정하는 것이 유효하지 않기 때문에 이러한 옵션을 항상 적용할 수는 없다. 이 경우, 긴 시간 간격에 대해서 속도를 측정하는 것은 해당 간격에 대한 평균 속도만을 산출하게 된다. 평균 속도는 실용적이지 못하므로, 대부분의 애플리케이션에서는 현재 상태에 대한 정보를 요구한다.

본원 명세서에서 개시되는 기술은 상대적으로 긴 시간 간격에 대해서 이동체의 속도를 측정하는 경우의 장점에 대해서 처리 시점에서의 순간 속도 측정을 통하여 좀 더 정확한 매핑을 구성하도록 결합한다. 이러한 구성은 ADR 측정의 차이를 처리하고 사용자의 현재 상태 벡터에 대해서 이러한 차이를 정확하게 매핑하는 수학적 공식에 적용하는 것에 의해서 구현될 수 있다.

본 발명의 방법을 설명하는 하나의 방식은 다음과 같다. 자동차 속도 비유에서, 운행한 거리(본 발명에서의 ADR 차이와 유사함)는 자동차의 속도에 직접적으로 비례한다. 따라서 자동차 속도에 대한 거리의 미분은 측정의 시간 스팬(span)과 동일하다. 칼만 필터는 측정 자체(자동차 비유에서 주행 속도)를 사용하여 속도를 예측하며, 알려지지 않은 성분에 대한 편미분을 사용할 수도 있다(자동차 비유에서, 이러한 편미분은 측정의 시간 스팬임). 본 발명에서 칼만 필터에 의해서 요구되는 편미분의 계산을 위한 높은 정확도의 방법이 제시되며, 각 측정의 긴 시간 스팬과 결합하면, 이동체의 속도 예측에 있어서 높은 정확도를 구현할 수 있다.

3. 전파

이하에서는 칼만 필터에서 사용되는 전파 수식에 대해서 설명한다.

상태 벡터 자체는 역학(force) 모델과 적분(integration) 루틴(예컨대 룬게-쿠타 스킴)을 사용하여 전파될 수 있다. 이러한 사항은 공지된 사항이며 따라서 본원 명세서에서 상세히 설명되지 않는다. 공분산 행렬의 전파는 좀 더 매력적이다. 출발점은 시기 n에서의 상태 벡터에 대해서 시기 (n+1)에서의 상태 벡터의 편미분이다. 만약 이러한 편미분이 계산된다면, 표준 수식을 이용하여 공분산 행렬이 전파될 수 있다. 필요한 편미분은 다음과 같다.

이러한 상태 벡터는 위치, 속도 그리고 클럭 또는 클럭 드리프트에 대한 부분을 가진다. 따라서

행렬은 속도에 대한 위치, 클럭에 대한 위치, 위치에 대한 속도 등의 편미분 부분을 가질 수 있다. 이러한 부분은 아래에서 개별적으로 고려된다.

a. 클럭 성분을 개입하지 않은 편미분

수학식 11과 대비하면 이러한 행렬은 행렬

와 유사하며,

의 계산이

행렬의 계산에 도움을 준다고 가정할 수 있다. 그러나 수학식 29에서의 상태 벡터의 성분은 ECEF로 표시되며 따라서 단순히 행렬

를 적용하는 것 이상을 요구한다.

수학식 30에서 수학식 26에서 정의된 것처럼

라는 것을 인식할 수 있고, 수학식 22에서 주어진 바와 같이

의 표시에 대해서

라는 것을 인식할 수 있다. 첨자 "+"는 이 경우 위치 및 속도가 전파되는 것을 의미하며, 수학식 11에서

의 정의에서는 역방향 전파인 점에서 대비된다.(이러한 두 경우는 수학식 22에서 h 값을 양 및 음의 값을 사용하는 것에 대응한다).

계산되야 할 값은

이다. 이 값에서, 분자와 분모는 동일한 시간 스탬프(stamp)를 가지며, 어떠한 전파도 개입되지 않는다. 모든 편미분은 기준 프레임의 변환에 따른 것이다.

수학식 30에서 관성 시스템이 시기 n에서 ECEF 축을 기초로 정렬되는 축을 가진다고 가정할 수 있다. 이러한 사항은 시기 (n+1)에서도 동일한 방향을 유지한다. 따라서

에서

로의 변환은 두 가지 연산을 포함하는 것으로 간주할 수 있다.즉 시기 n에서 관성 프레임에서 ECEF 프레임으로의 변환과, 시기 (n+1)에서 ECEF로부터의 변환이다. 이러한 변환은 다음 수식과 같이 표시될 수 있다.

여기서

이며,

은 시기 n에서 시기 (n+1)로의 3X3 회전 행렬이다.

은

를

로 변경하는 것에 의해서

로부터 형성될 수 있다. 수학식 30의 모든 행렬을 적용하면 클럭 성분을 개입하지 않은

행렬 부분은 다음과 같이 표시될 수 있다.

b. 클럭/클럭 드리프트에 대한 위치/속도의 편미분

이하에서는 다음 편미분

및

에 대한 계산에 대해서 설명한다. 이러한 편미분을 계산하는 데 있어서, 시기 n+1에서의 위치/속도는 시기 n에서의 위치/속도에 종속적이라는 것을 주의하여야 한다. 또한 후자는 클럭 오차와 클럭 드리프트에 교대로 의존한다. 따라서 시기 n+1에서의 위치. 속도는 시기 n에서의 클럭/클럭 드리프트와 시기 n에서의 위치/속도에 암시적으로 의존한다. 그러나 편미분을 계산하는 것이 필요하며 따라서 이러한 암시적인 의존성은 배제될 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

ECEF 프레임 내에서의 지구 중력장에서의 위성 역학의 경우와 같이 신중한 수식에 대해서는 클럭 에러에 대한 의존성이 없지만(즉 편미분이 0이지만), 클럭 드리프트에 대해서는 약간의 의존성이 있다. 이러한 사항은 다음 식에 의해서 표시된다.

여기서

는 ECEF 프레임의 시기 n+1에서의 이동체 가속도이다(가속도는 학 모델을 이용하여 계산된다).

c. 다른 성분에 대한 클럭/클럭 드리프트의 편미분

이러한 편미분은 중요하지 않으며 다음과 같이 표시될 수 있다.

4. 고차 중력 항목

이 부분에서는 고차 중력 항목(term)에 대해서 행렬

의 계산에 대해서 설명한다. 중력 위치의 고차 항목은 통상적으로 극좌표(polar coordinates)에 의해서 다음 수학식과 같이 표시할 수 있다.(M. Kaplan, Modern Spacecraft Dynamics & Control, m John Wiley & Sons, 1976 참조)

수학식 35는 카플란의 책의 수학식 (7.16)에 비해서 다음과 같은 점에서 차이가 있다. 이 식에서는 위도로서

를 사용하고[극각(polar angle)이 아니라는 것을 주의하자], 경도에 대해서는

를,

를 대신해서

를 사용한다.

극좌표계에 대한

의 일차 및 이차 편미분은 다음과 같다.

카티시안(Cartesian) 좌표계에 대한 편미분은 다음과 같이 계산될 수 있다.

여기서 벡터

는

로 정의된다. 수학식 37이 카티시안 좌표계에 대해서 극 좌표계의 일차 및 이차 편미분을 포함하는 것을 주의하자. 이러한 편미분은 다음과 같이 표시돨 수 있다.

요약하면, 칼만 필터에서 ADR 차이 데이터를 처리하기 위해서 사용되는 편 미분은 다음과 같은 방식으로 계산될 수 있다.

1. ECEF로부터의 상태 벡터를 관성 프레임으로 변환하고, 이 경우 회전하지는 않지만 일시적으로 ECEF와 정렬된다.

2. 4차 룬게-쿠타 스킴을 이용하여 현재 상태 벡터를 한 단계 역방향으로 전파한다.

3. 각 단계에서

성분 행렬을 수학식 24 또는 고차 중력 항목에 대한 수식을 이용하여 계산한다.

4. 이러한 행렬을 수학식 23의 수식에 적용하여 수학식 22의 결과를 구한다. 이러한 것에 의해 행렬

를 계산하게 된다.

5. 행렬

를 수학식 10에 적용하고 수학식 25의 변환을 적용하여 위치 및 속도에 대한 편미분을 계산한다. 이를 측정 쌍에 대해서 사용한다.

6. 수학식 27을 단일 측정에 사용하고 수학식 28을 쌍에 대해서 사용하여 클럭 및 클럭 드리프트에 대한 편미분을 증가시킨다.

B. 통합 GPS - IMU 네비게이션을 위해서 IMU 데이터를 사용한 상태 벡터의 전파

이하에서는 통합 GPS-IMU 시스템에서 ADR 데이터를 처리하기 위한 네비게이션 알고리즘에 대해서 설명한다. IMU는 이동체 위치 또는 속도에 대해서 절대적 인 측정을 제공하지는 않으며, 따라서 네비게이션을 보조하는 데 주로 사용될 수 있다. 실질적인 위치 및 속도의 예측은 여전히 GPS 측정 처리를 통하여 수행된다. 그러나 IMU 데이터는 정확한 전파를 위한 수단으로서 중요하며, 이러한 것은 높은 네비게이션 성능을 얻기 위하여 중요하다. 특히 정확한 전파 모델이 이동체 관점에서 이미 사용가능한 경우가 아니라면 중요하다.

IMU 측정의 중요성에 대해서 이해하기 위해서, 우주 애플리케이션에서의 전파 모델의 역할에 대해서 설명한다. 우주선 네비게이션 애플리케이션에서 양호한 정확도를 획득하기 위해서는, 정교한 전파 모델이 중요하다. 전파 모델의 역할은 연장된 시간 주기 상에서 수집되는 측정 사이의 일관성을 보장하기 위한 것이다.

양호한 전파 모델은 처리 노이즈를 상대적으로 작은 레벨로 설정하는 것을 가능하게 하며, 따라서 이전의 측정들이 현재의 측정에 대해서 현재 예측과 비슷하도록 암시적으로 기여한다. 이러한 결과는 마치 주어진 시간에서 솔루션을 얻기 위해서 더 많은 측정이 수행된 것과 마찬가지이다.(물론, 과거의 측정은 현재에 대해서 직접적으로 적용되지는 않는다. 다만, 과거의 예측이 현재 시간으로 전파되어 솔루션에서 상당한 가중치를 가진다). 예컨대, 전파 모델이 1000초 동안 "양호"하다면, 한 시기 내에서 경우보다 대략 1000번 이상의 측정을 사용할 수 있도록 구현할 수 있으며, 따라서

배 정도의 요소로 네비게이션 오차를 감소시킬 수 있다.

또 하나의 중요한 고려 사항이 있다. 즉 전파 모델에서의 오차는 측정에서 의 다른 랜덤 오차와는 반대로 통상적으로 시간에 대해서 상관성이 높다[즉 시스테마틱(systematic)하다]는 것이다. 시스테마틱 오차는 필터 평균화를 통하여 제거되지 않으며, 따라서 작은 시스테마틱 오차도 다른 큰 랜덤 오차보다 더 큰 피해를 가져올 수 있다. 이러한 사항은 양호한 전파 모델의 필요성을 더 강조하게 된다. 전파 모델에서의 오차원(error source)은 검사되어서 완화되어야 한다. 이러한 것을 수행하는 것에 의해서, 수학적 모델의 컴퓨터 구현에 있어서 추가적인 오차를 발생시킬 수 있고, 종종 시스테마틱한 특성을 가진다는 것을 주의하여야 한다. 예컨대 우주선 전파에 대한 움직임의 미분 수식의 적분은 룬게-쿠타와 같은 높은 차수 스침을 사용하여야만 한다. 낮은 차수 스킴, 예컨대 오일러(Euler)의 스킴의 경우 이산 형태의 미분 수식을 표현하는 데 있어서 오차에 의해서 모델링되지 않은 가속도를 가지는 것과 유사하다.

양호한 전파 모델을 도출하기 위한 하나의 방안은 ADR 측정을 통한 속도 예측 방법을 통합 GPS/IMU 네비게이션 처리에까지 확장하는 것이다. 통합 GPS-IMU 네비게이션 시스템에 대해서 좀 더 양호한 전파 모델이 개발된다면, ADR 처리를 이러한 통합 GPS-IMU 네비게이션 시스템에 적용하는 것이 가능해 진다.

GPS-IMU 시스템에 있어서, 시스템의 IMU 파트는 네비게이션 솔루션의 전파를 위한 수단으로서 사용된다. 이하에서는 IMU 데이터를 사용하는 솔루션을 전파하기 위한 높은 정확도의 모델에 대해서 설명한다.

1. 관측 가능한 값과 상태 벡터

IMU는 가속도와 회전률을 측정한다. 이러한 값들은 속도와 자세 파라미터의 시간에 대한 비문이며, 상태 벡터에 포함될 수 있다. 그러나 이러한 값과 관련하여 현저하게 처리 비용이 발생할 수 있다. IMU는 통상적으로 100 Hz 내지 1000 Hz에서 데이터를 출력하며, 따라서 그러한 고속 비율로 필터 처리를 수행하는데 따른 것은 일반적으로 과도하다. 대안으로서, IMU에서의 가속도와 회전율 데이터 출력은 전파 도구(tool)로서 엄밀하게 사용된다.

IMU 데이터가 전파 도구로서 사용되는 경우라도 자세, 회전율, 가속도, 속도 및 위치 사이에서 커플링(coupling)이 있을 수 있다. 이러한 커플링은 공분산 행렬의 비대각선(off-diagonal) 요소에 의한 것으로서, 이하에서 상세히 설명된다. 위치 측정으로부터 속도 예측과 유사하다. 비록 위치/거리는 측정된 값이고, 속도는 예측된 값이라는 것이지만, 공분산 행렬의 비대각선 요소에 의해서 위치와 커플링된다.

이러한 접근은 상태 벡터에서 가속도와 회전율을 사용하는 것을 회피할 수 있게 한다. 상태 벡터에 포함될 수 있는 파라미터는 다음과 같다.

1. 위치의 세 가지 성분

2. 속도의 세 가지 성분

3. 이동체 클럭 및 클럭 비율(rate)

4. 자세

5. 바이어스, 오정렬, 스케일링 요소 및 다른 시스테마틱한 IMU 오차들

상태 벡터에서의 자세 정보의 특정 표시는 이하에서 설명된다. 여기에서는 자세는 이러한 세 가지 파라미터에 의해서 완전하게 기술된다.

2. 전파에서의 IMU 측정 오차의 영향

이 부분에서는 랜덤 IMU 오차원의 영향에 대해서 설명한다.

전파는 가속도 측정

를 이용하여 특정 시간 주기

상에서 고려되며, 스텝 크기

, 예컨대

= 0.01초에 대해서 사용 가능하다. 각 시기에 대해서

만큼의 가속도 측정이 수행된다.

만약 가속도 측정이 오차

를 가진다면,

로 예측될 수 있는 속도에서의 오차를 발생시킨다. 이러한 속도 오차는 시기의 끝부분까지, 즉

인 경우 시간 간격

동안에 유지되는 이동체 위치의 전파에 기여한다. 이러한 특정한 측정으로부터의 결과적인 위치는 다음과 같이 예측될 수 있다.

이러한 오차의 분산은 수학식 39를 제곱하는 것에 의해서 예측할 수 있다. 모든 부시기(subepoch)에서의 분산은 합산되어 시기의 끝부분에서의 전체 오차 분 산을 형성한다.

이러한 합산을 계산하면 다음과 같다.

마찬가지로 속도에 대한 오차 분산의 계산 결과는 다음과 같다.

가속도계 오차는 이동체 자세에 대한 오차에 영향을 미치지 않는다.

자이로 측정 오차는 이동체 위치 오차, 속도 오차와 자세 오차에 영향을 미친다. 만약 회전율

가 각 시기에서 오차

에 대해서 측정된다면, 자세, 위치 및 속도 오차는 다음과 같이 각각 표시될 수 있다.

여기서

는 각 시기 동안의 이동체 가속도이며(시간에 대해서 변화하나 오차 분산 계산의 편의를 위하여 예컨대 시작 부분에서와 같은 시기 내의 임의의 지저에서의 가속도가 사용될 수 있다.), 위치 및 속도 오차는 가속도에 수직인 방향에 대해서 0이 아니다.

전술하였듯이, 이러한 사항은 랜덤 오차이며, 전파된 위치, 속도 및 자세에 대해서 잡음을 인가하는 처리로 간주될 수 있다. 바이어스와 오정렬, 스케일링 요소와 다른 시스테마틱 오차는 개별적으로 취급된다.

3. 측정 갱신

측정 갱신 수식은 PR GPS 측정을 처리하며 선택적으로 ADR 측정을 처리한다. PR 측정 갱신 수신은 공지된 것이며 따라서 본원 명세서에서 상세히 설명되지 않 는다. ADR 측정 갱신은 GPS-단독 네비게이션에 대해서 제시된 것과 동일하다. 측정 행렬의 유일한 0이 아닌 성분은 위치 및 클럭 바이어스에 대응하는 성분이다.

ADR 측정에 대해서, 차이 계산 또는 적응적 방법이 속도 예측을 위해서 사용된다. 전술한 방법에서, ADR 측정은 시간 내에서 차이가 계산되어 바이어스를 제거하는데 사용된다. 이러한 완전한 전위(potential)를 위해서, ADR 차이 계산은 전술한 GPS-단독 네비게이션의 경우와 마찬가지로 다수의 시기에 걸친 시간 간격 상에서 수행된다.

칼만 필터에서와 같이 시간-차이 ADR 측정을 처리하기 위해서, 관측 행렬 (H) 이 상태 벡터 성분에 대한 측정의 편미분 계산을 위해서 사용되어 다음과 같이 계산된다.

여기에서

는 위치, 속도, 자세 및 IMU 오차를 포함하는 이동체 상태 벡터이다.

전술한 수학식 9 및 10에 대응하여 설명하면, 이동체 위치

는 명시적으 로 수학식 46에서 사용되며, 이에 대해서 편미분만을 계산하면 된다는 인상을 줄 수 있다. 그러나 객체 상태

는 시기 n-M에서의 상태 벡터 전파의 결과이다. 따라서

은

의 함수이고, 따라서

은

의 함수(역함수)이고,

의 일부분인

은

의 함수이다. 이러한 것에 의해서 편미분을 계산하기 위한 좀 더 복잡한 수식이 도출된다.

여기에서

이며,

는 주대각선 성분의 처음 3가지 요소만이 1이고 나머지는 0이다.

4. 전파

a. 순방향 전파

순방향 전파 알고리즘은 상태 벡터와 공분산 행렬 모두에서 필요로 한다. 도 6을 참조하면, PR 측정과 ADR 차이로부터 상태 벡터를 전파하기 위한 IMU 데이터를 사용하는 방법이 설명된다. 단계 200에서 관측 행렬 H는 수학식 48에서 나타낸 바와 같은 상태 벡터로부터 계산된다.

i. 자세의 전파

다음으로 단계 210에서는 IMU 본체 축으로부터 ECI 좌표계로 변화하는 벡터인 회전 행렬 C(t)를 전파시키는 것에 의해서 자세 성분이 전파된다. 이러한 것의 목적은 자이로 센서 데이터에서 사용되는 이러한 행렬을 위한 전파 알고리즘을 도출하는 것이다. 각 부시기에 대해서, 행렬 C(t)는 작은 변경이 수행된다. 이러한 변경은 이러한 부시기에 대한 IMU의 회전에 기인한 것이며, 본체 시스템 기준에서의 자이로에 의해서 비율이 측정된다. 따라서 만약 시간 (t+ dt )에 대한 본체 시스템으로부터 ECI로 변환되기 위해서 행렬 C(t+ dt )가 필요하다면, 이러한 사항은 다음의 두 개의 연속적인 단계를 인가하는 것에 의해서 수행될 수 있다.

1. 시간 (t+ dt)로부터 시간 t로의 본체 시스템 회전

2. 시간

에서의 본체 시스템으로부터 행렬 C(t)를 적용하는 것에 의해서 ECI로 회전

첫 번째 회전은 작은 것이며, 따라서 3개의 모든 각 회전은 교환 적(commutative). 이러한 것은 시간

에서의 본체 시스템으로부터 시간 (t+dt)의 본체 시스템으로부터의 회전의 역과정(inverse)이며, 다음과 같이 표시될 수 있다.

여기서 행렬

은 자이로에서 측정되는 회전율의 3개의 벡터 성분으로부터 형성되는 스큐-시메트릭 행렬이다. 이러한 행렬의 역행렬은 단순하게는 동일한 행렬이나

이후에 마이너스 부호를 가지는 것이다. 따라서 행렬 C(t)는 다음과 같이 표시된다.

이러한 수식은 매우 작은 시간 간격 dt에 대해서 전파가 필요하다면 완벽할 수 있다. 그러나 하나의 시기, 예컨대 1초에 대해서 전파되는 것을 고려하면 수정되어야 한다. 단순한 일반화를 통하여 다음과 같이 표시할 수 있다.

여기서 행렬 곱셈의 차수는 이후의 부시기가 이러한 행렬 연산의 최우측에 대응하도록 설정된다.(이러한 표시는 볼테라(Volterra) 승산(multiplicative) 적분에 깊게 관련된다.) 이러한 전파 스킴은 각 단계에서 1차 정확도를 가지며(즉, 오차가

의 차수를 가지며), 전체 시기에 대한 전파 이후에

의 차수의 오차를 가진다.

높은 정확도가 요구되지 않는 애플리케이션에서는, 이러한 단순한 일반화로 충분할 수 있으나, 개선의 여지가 있다. 우선 2차 전달이 각 단계에서 구해질 수 있다.

회전 행렬에 대한 2차 전파 스킴

첫 번째 단계는 전파 스킴을 중앙화(centralize)하는 것이다. (사실, 승산 적분보다는 부가적인 적분이 전파되며, 이러한 것으로 충분하다.). 단순화를 위해서 첨자 0이 시간 t를 의미하고, 첨자 1이 시간 (t+ dt )를 의미한다고 하면, 전파 스킴은 다음과 같이 구해질 수 있다.

여기서 C₁은 시간 (t+ dt )에서의 회전 행렬의 정확한 값이다. 이러한 수식과 정확한 전파 사이의 차이는

성분에 의한 것이다.

우선 두 개의 연속적이 시간 간격에 대해서 전파를 고려해 보자. 이러한 것에 대해서는 두 가지 방법이 있다. 한 단계는 2dt 길이이고, 또는 각각 dt 인 두 개의 단계이다. 정확한 회전 행렬이 계산되기 때문에, 결과는 다음을 만족한다.

처음 경우에서 오차

는 단일 dt 수식의 경우보다 4배 만큼 증가한 것을 주의하자. 이러한 것은 는 dt 에 대해서 정방형(quadratic) 의존성을 가지며, dt는 이제 두 배로 된 것에 따른 것이다. 두 번째 경우에서 오차는 단일 dt 수식의 경우보다 2배 만큼 증가한 것을 주의하자. 이러한 것은 전파가 두 번 수행되는 것에 의해서 동일한 오차가 2배로 되는 것에 기인한다.

에 대해서 테일러(Taylor) 확장을 사용하면, 수학식 53의 두 번째 수식은 다음과 같이 근사화될 수 있다.

이제 수학식 54에서의 연산은 계산될 수 있고 그 결과는 수학식 53의 첫 번째 수식과 동등하다. 결과는 다음과 같다(dt 에 대한 정확도의 2차 차수에 대해서)

이러한 예측은 dt 에 대한 2차 차수에 대해서 정확한 최종 결과를 위해서 수학식 52에 적용될 수 있다.

회전 행렬에 대한 3차 전파 스킴

dt에 대한 2차 차수에 대해서 유효한 공식을 얻기 위해서 동일한 과정이 반복될 수 있다. 한 단계가

길이인 경우에 대해서 이후의 회전 행렬과, 각각 dt 인 두 개의 단계에 대해서 이후의 회전 행렬에 대해서 다음과 같은 수식으로 표현될 수 있다.

유사한 연산을 통하면, 다음 수식을 구할 수 있다.

따라서,

여기서,

으로 표시될 수 있다.

ii. 위치 및 속도의 전파

단계 220에서는 전술한 전파 알고리즘이 위치 및 속도에 대해서 확장된다. 전파는 시간 상에서의 적분과 관계되며, 고차 적분 스킴을 사용하면 자세 행렬을 포함하도록 표시될 수 있다.

적분은 유한한 합으로서 표시될 수 있고, 각 단계에서의 2차 차수의 정확도에 대해서 스킴이 도출될 수 있다. 이러한 것은 각 단계에 대해서 3차 차수까지 자세 행렬이 계산되는 것을 요구한다. 실제적으로는, 현재의 단계에 선행하는 단계의 개수는 단계 크기에 반비례한다. 따라서 자세 행렬에서의 오차는 누적되어 단계 크기에 대해서 2차 차수로 될 수 있으며, 따라서 다른 스킴에 대해서 일치할 수 있다. 그러나 이러한 고려는, 2차 스킴이 적용될 수 있으며 위치에 대하 수식을 도출하기 위하여 단계 크기 내에서 자세 행렬의 근사화를 수행하는 것에 대해서는 적용되지 못한다.

이하는 위치 전파를 위한 도출이며, 속도에 대한 수식 역시 유사하게 도출될 수 있다.

각 시기(N개의 부시기를 포함함)의 끝부분에서의 위치는 다음과 같이 표시된다.

여기서

는 시기의 시작 부분에서의 위치와 속도이며,

는 가속도계에 의해서 측정되는 본체 시스템에서의 가속도이다. 부분적인 적분은 이러한 수식을 다음과 같은 단일 적분으로 단순화할 수 있다.

이러한 것의 목적은 이 적분을 계산하기 위한 것이다. 이러한 적분을 유한한 합으로 근사화하기 위해서는 사다리꼴 방법이 사용될 수 있다. 각 단계는 다음에서와 같은 기여를 가진다.

이러한 수식은 정확한 수식임을 주의하자. 사다리꼴 방법에서 모든 오차는

성분 내에 구현된다. 유사한 수식이 속도 전파에 대해서 도출될 수 있으며, 이는 수학식 63의 경우에서

와

가 없다는 점을 제외하면 동일하다.

는 3차 차수 스킴을 사용하여 시간

에 대해서 이미 전파된 것으로 가정하자(이러한 것은 n-1 부시기에 대해서 2차 차수 오차를 발생시킬 수 있다). 이러한 도출만을 위해서라면, 시간

에서의 자세 행렬로부터 시간

에서의 자세 행렬로의 갱신은 2차 차수 스킴을 사용하여 다음과 같이 표시할 수 있다.

나머지 도출 과정은 다음과 같다. 수학식 64가 수학식 63에 적용되면, 나머지 수식은 두 가지 경우로 적용된다. 한 단계에서의 한 번의 전파와 또는 두 번의 반-단계(half-step) 전파의 경우이다. 연산을 수행한 이후에 오차

에 대해서 다음과 같은 수식이 산출된다.

여기서 고차 차수 성분의 모든 파라미터들의 값은

간격(스킴이 차수를 유지함) 내에서 임의의 시간 모멘트에서 계산될 수 있다고,

는 미리 도출될 수 있다. 위치에서의 전체 증가는 수학식 65의 우측 부분의 n의 합이다.

유사하게 속도 전파에 대해서 다음과 같이 표시될 수 있다.

단순화를 위해서 다음과 같은 표시를 사용할 수 있다.

여기서,

로 표시될 수 있다.

iii. 오정렬

아직까지 IMU 오차의 취급은 자이로 센서의 오정렬에 대해서는 제한적이었다. 설명하듯이 이러한 것은 오차의 모델링이 어렵기 때문이다. 단계 230에서는, 벡터

가 칼만 필터 상태 벡터 상태 벡터로 IMU 센서에서의 바이어스와 오정렬을 나타내도록 정의되어, 대응되는 편미분이 계산된다.

만약 IMU 자이로 센스가 오정렬된다면, 측정된 회전율은 실제 본체 프레임 기준에서의 실제 회전율과는 차이가 발생한다. 이러한 영향을 기술하는 모델은 다음과 같다.

여기서

는 본체 프레임에서의 회전율의 실제 벡터이고,

는 측정된(출력) 벡터이며,

은

를

로 회전하는 특정 행렬이다. 행렬

는

로 전술한 바와 같이 정의된다. 행렬

은 회전적(rotational)이고 단위 행렬에 가까우며, 따라서 다음과 같이 표시될 수 있다.

여기서

이며, 벡터

는 3개의 오정렬 파라미터를 특징화한 것이다. 이러한 파라미터는 네비게이션 애플리케이션의 시작 부분에서는 일반적으로 알지 못하며 따라서 예측되어야 한다.

이러한 모델을 네비게이션 알고리즘에 적용하기 위해서는, 다음이 수행되어야 한다.

1. 벡터

를 칼만 필터 상태 벡터에 포함하고 대응되는 편미분을 계산한다.

2.

를 전파 수식에 사용하기 이전에 수학식 69 및 70을 적용하여 상태 벡터를 보정된 자이로 비율에 대해서 전파한다.

3. 오정렬 파라미터를 예측한다. 이러한 것은 정적으로 가정한다.

세 번째 항목에 도달하기 위해서는, 전파 행렬이 계산되어야 하며, 이러한 것은 오정렬 파라미터에 대한 위치 및 속도에 대한 편미분을 포함한다. 또한 유사한 계산이 이러한 파라미터들에 대한 편미분을 계산하는 데 적용될 수 있다.

편미분의 계산을 위해서 다음이 정의된다.

그리고

,

등이 삽입될 수 있는 에 대한 일반 수식이 도출된다. 이후 이러한 블록을 구성하여 원하는 편미분을 산출하는데 사용된다.

의 도출은 이하에서 설명하듯이 다음과 같은 결과를 가져온다.

여기에서 수학식 73의 오른쪽 부분은 회전율

를 포함하여, 오정렬에 대해서 정확하지 않다는 것을 주의하자(따라서 첨자 t가 없다). 이러한 사항은 수학식 72의 도출에 있어서 오정렬 보정이 명시적이기 때문이다.

자세 행렬의 편미분에 대해서는 다음의 재귀적인 수식이 제공된다.(여기서 모든

와 이하의 편미분은 이미 오정렬이 보정된 값을 나타낸다.)

또는 이와 동등하게,

로 표시될 수 있다.

여기에서,

이다.

위치와 속도의 편미분에 대해서는 다음과 같다.

여기에서,

이다.

iv. 순방향 전파 행렬

다음 단계 240에서는 전파 행렬이 도출된다. 상태 벡터의 편미분은 시기의 시작에서의 상태 벡터에 대해서 시기의 끝에서 계산된다.

상태 벡터에서 자세의 표시에 대해서는 더 이상 지연되지 않는다. 자세 행렬 자제는 9개의 요소를 가지기 때문에 적합하지 않으며, 따라서 3개의 독립적인 파라 미터로 정의되어야 한다. 특정 값의 퇴보(degeneration)를 구현하는 데 있어서 오일러 각도는 단점을 가지고 있다. 최종적으로, 쿼터니언(quarternion) 표시는 두 가지 단점을 가지고 있다. 즉 단지 3개가 독립적인 4개의 요소를 포함하며, 각 단계에서의 자세 행렬의 계산이 요구된다는 점이다. 두 개의 쿼터니언 회전을 연속적으로 적용하는 것은 단순하지 않다. 따라서 다음과 같이 자세 표시를 수행하게 된다. 즉 각 시기에 대해서 작은 각도의 회전이 현재 자새 행렬에 대한 3개의 오일러 각도를 기초로 정의된다. 따라서 자세 행렬은 다음과 같이 표시될 수 있다.

여기서

는 자세의 현재 예측이며,

는 다음 형태를 가지는 작은 회전이다.

각도

는 작아서, 대응되는 회전도 교환적(commutative)이다.

이러한 각도들이 상태 벡터의 자세 부분을 형성한다.

1. 특정 시간 이후에, 에러 누적이

가 더 이상 작지 않도록 만든다. 이러한 문제에 대한 해결책은 주기적으로, 예컨대 매 시기마다,

값과 자세 행렬의 재-밸런싱(re-balancing)을 수행하는 것이다. 각 시기에서,

에 대한 회전

가 인가되어 현재 자세 행렬을 갱신하고

값을 0으로 리셋하는 것이다. 이러한 것에 대응되는 변환은 또한

값의 공분산에도 적용되어야 한다. 이러한 것은 의사 거리 측정의 각 단계에 있어서 새로운 갱신된 예측 위치에 대해서 선형화하는 것과 유사하다. 차이점은 행렬에 대한 "선형화"가 합산적이 아니라 승산적이라는 것이다.

2. 작은 회전에 대한 연속적인 적용은 행렬을 산출하지만, 더 이상 회전적이 아닐 수 있다. (예컨대 직교성 조건

이 부정확해 질수 있다.) 이러한 문제점에 대한 해결책은 주기적으로 자새 행렬을 직교 형태로 재구성하는 것이다.

관성 시스템 기준에서 하나의 시기에서의 전파를 위해서 다음과 같이 도출된다.

보조적인 계산:

또한

이다.

만약 오정렬이 있다면, 최종 자세 행렬은 근소한 값만큼 차이가 있을 수 있다.

다른 측면에서는, 이러한 자세에서의 변화는 파라미터

에 의해서 모델링될 수 있다.

수학식 82와 83을 비교하면, 다음과 같은 식이 산출된다.

수학식 84의 우측 부분은 스큐-시메트릭 행렬이고,

로부터 도출된다.

위치, 속도, 자세 및 오정렬을 포함하는 상태 벡터에 대해서, 다음에 의해서 편미분이 계산된다.

다른 모든 성분은 0이다. 클럭과 클럭 드리프트에 대한 편미분은 도시되지 않았지만, GPS-기반 네비게이션의 경우와 차이가 없다.

이러한 수식은 복잡한 것으로 보이지만, 계산을 보다 효율적으로 수행하기 위해서 다양한 방법이 존재한다. 예컨대 3X3 행렬

의 다중 연산은 단순화가능하고, 다른 계산들도 재사용 가능하다.

이러한 전파 행렬은 공분산의 전파에서도 사용될 수 있다. 상태 벡터는 여전히 수학식 67 및 68을 이용하여 위치에 대해서 전파될 수 있고, 여기서 자세는 수학식 59 내지 60을 사용하여 전파된다.

b. 역방향 전파

다음으로, 단계 250에서는 역방향 전파를 위해서 역방향 전파 알고리즘이 요구되며, 역방향 전파 행렬과, 다수의 시기에 의한 상태 벡터가 요구되어, 현재 상태의 성분에 대해서 과거 상태의 편미분이 계산될 수 있다. 역방향 전파는 ADR 처리에서 사용된다.

비록 상태와 공분산 행렬이 역방향으로 전파되지만, 이러한 것은 시간을 역방향으로 진행하는 것에 의해서 계산되지는 않는다. 이러한 것은 스택 내에서 역방향 전파의 지속 동안에 IMU 데이터를 저장하는 것을 요구한다. 만약 전파 시간이 수십 초이고, IMU 비율이 수백 Hz인 경우라면, 저장 및 처리 요구사항은 과도한 것일 수 있다. 따라서 역방향 전파 루틴은 순방향으로 전파되는 것처럼 동작하도록 개선될 수 있다. 다른 말로 하면, 역방향 전파는 순방향 전파에 기초하여야(그리고 이로부터 도출될 수 있어야) 한다는 것이다. 이번 부분에서는 이러한 도출에 대해서 설명한다. 역방향 전파는 수학식 80의 순방향 전파에 기초하며,

및 값들은 다중-시기 전파 간격의 끝부분에서의 상태의 함수로서 계산된다.

각 시기에 있어서, 수학식 80의

및

값들은 오정렬 파라미터

를 사용하여 계산될 수 있고, 역방향 전파 간격의 다수의 시기의 끝부분에서 유효하다. 불행하게도, 선행하는 시기 동안에는, 이러한 미래 값들을 알지 못한다.

의 값이 전파 간격의 끝부분에서 사용가능해지면,

및

값들은

에 대한 편미분과

일대의 테일러 확장을 이용해서 근사화될 수 있다.

i. 역방향 전파 행렬

ADR 측정을 최적으로 사용하기 위해서, 다수의 시기에 대해서 역방향 전파 행렬이 계산된다. 따라서 이러한 값은 다음과 같이 계산된다.

여기서, M은 역방향으로 진행하는 시기의 개수이다.

으로 진행하기 위해서는 수학식 80을 변형하여 시작점으로 사용한다.

또한 시기

에서의 상태 벡터의 성분들에 대해서 이러한 식의 편미분이 계산된다.

상태 벡터는 다음과 같은 4개의 부분로서 구성되며,

, 여기에서,

이다. 자세 행렬

는 시기 M-1에서 시간-스탬프(time-stamped) 되고, 편미분 계산을 위해서, 시기 M에서 M-1로 자세 행렬이 역 방향 전파되는 것처럼 간주된다. 역방향 전파 행렬에 대한 수식을 얻기 전에 두 개의 보조적인 수식이 아래에서 설명된다.

ii. 보조적인 계산: 자세 행렬의 편미분

자세 행렬에 대해서는 다음 수식이 사용된다.

여기서

는 수학식 59에 의해서 주어지며,(수학식 59는 하나의 부시기에 대한 전파를 설명하고 있으며

을 구하기 위해서 여러 번 반복되어 하나의 시기에 대한 전파를 나타내는 것을 주의하자.) 다음과 같이 표시될 수 있다.

그리고

와 같이 편미분이 표시될 수 있다.

iii. 보조적인 계산:

이 부분은 이전의

계산과 유사하지만, 다음 식을 이용하여 역방향 전파에 대한 편미분이 계산된다.

만약 오정렬이 존재한다면, 최종 자세 행렬은 다음을 만족한다.

다른 측면으로는, 자세에서의 이러한 변화는 파라미터

를 이용하여 다음과 같이 모델링된다.

수학식 91과 수학식 92를 비교하면 다음이 구해진다.

이제 역방향 전파 행렬에 대한 편미분은 다음과 같이 표시할 수 있다.

모든 다른 성분은 0이다.

이러한 수식을 이용하면,

에 대한 재귀적인 수식은 다음과 같다.

c. 상태 벡터의 역방향 전파

재귀적인 알고리즘이 다음과 같이 정의된다.

여기에서,

이다.

행렬 연산

는 개별적 행렬들

의 행렬 연산

보다 크지 않다.

수학식 96을

,

에 대해서 풀고, 이를 수학식 86에 적용하면, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

M에 대해서 수학식 97을 합산하여 원하는

에 대해서 구하면 다음과 같다.

여기에서,

을 위해서 수학식 96의 두 번째 수식에 대해서 풀고 이를 수학식 86에 적용하면 다음과 같이 표시할 수 있다.

이제 수학식 98을 사용하여, 첨자를 M에서 M-1로 변경하고,

에 대해서 풀고 이를 수학식 99에 적용하면 다음가 같다.

에 대해서 수학식 100을 합산하여 원하는

에 대해서 구하면 다음과 같다.

수학식 98과 101에서,

은 수학식 96에 의해서 계산되며, 역방향 전파 알고리즘의 기초로서 작용한다.

따라서 단계 260에서 설명하였듯이, 역방향 전파 행렬은 칼만 필터 측정 수식을 형성하기 위해서 사용되며, 단계 270에서는, 칼만 필터는 PR 측정과 ADR 차이를 처리하여 상태 벡터를 갱신한다.

C. 네비게이션 성능의 도시

도 7 및 도 8은 네비게이션 오차(미터 m으로 표시되는 위치와, 미터/초 m/s로 표시되는 속도 오차)를 종래의 GPS 알고리즘(PR 측정만을 사용)하는 경우의 시간과 도 5를 참조로 설명된 PR 및 ADR 처리를 이용하는 경우와 비교하여 시뮬레이션 결과를 도시하는 도면이다. 시뮬레이션 환경은 다음과 같다.

위성은 정지궤도에 있다.

GPS 신호는 S/N₀ >27 dB·Hz가 되도록 수신된다. 이러한 것은 GPS 전송 안테나의 주 돌출부(lobe)내에서 그리고 첫 번째 부돌출부(sidelobe)의 피크에서 신호가 추적(tracking)되는 것에 대응한다.

오차 추적을 위한 코드(PR)는 가우시안 분포이고, 상관되지 않으며(uncorrelated), GPS 안테나의 조준부(boresight) 내의 신호에 대해서 1 m의 표준 편차를 가지도록 미세조정(calibration)된다. 약한 신호에 대해서는 추적 오차는 S/N₀의 1/제곱근 정도로 스케일링된다.

천문위치(ephemeris) 오차는 가우시안 분포이고, 상관되지 않으며, 의사거리 측정에 대해서 1.4 m의 표준 편차를 가지도록 미세조정된다.

반송파(ADR) 오차는 가우시안 분포이고, 상관되지 않으며, 코드에 대해서 1/100 정도의 표준 편차를 가지도록 미세조정된다.

사용자 클럭은 드리프트를 가지며 랜덤 이동(walk) 오차는 15 cm의 표준 편차를 가진다.

선 1은 종래의 PR 처리에 따른 위치 오차이다. 선 2는 PR 및 ADR 처리를 사용하는 경우의 위치 오차이다. 선 3은 종래의 PR 처리에 따른 속도 오차이다. 선 4는 PR 및 ADR 처리를 사용하는 경우의 속도 오차이다. 종래의 PR 측정만을 수행하는 경우에 대비해서 본원 발명에서 개시된 PR 및 ADR 처리를 수행하는 경우의 오차가 거의 1 차수배(order)만큼 차이가 나도록 개선된다.

도 8은 도 7의 처음 2분 동안에 대해서 부분 확대를 한 도면이다. 도 8에서 ADR 처리는 t=5에서 시작한다. 선 4에서 ADR 처리를 수행한 직후의 속도 네비게이션 오차는 급격하게 감소하는 것이 명확하다.

본원에서 개시된 GPS-IMU 알고리즘에 대해서는 다음 조건 하에서 시뮬레이션 이 수행된다.

IMU 데이터는 이상적이다. 즉 노이즈 또는 바이어스가 0이다.

의사거리 측정은 1 m 표준 편차를 가지는 가우시안 오차를 가지고, ADR 측정은 1 cm 표준 편차를 가지는 가우시안 오차를 가진다.

도 9 내지 도 10은 이러한 시뮬레이션의 결과를 도시하며, RSS(root-sum-squared) 네비게이션 오차가 위치(미터), 속도(m/s), 및 자세(라디안에 거의 대응하는 자세 행렬의 성분)에 대해서 시간 함수로서 표시된다. 도 9에서는 PR 측정만이 수행되고 전파 알고리즘이 1차로 한정되는 경우의 이러한 파라미터의 오차에 대해서 도시된다. 도 10에서는 PR 측정만이 수행되고 전파 알고리즘으로 2차를 사용하는 경우의 이러한 파라미터의 오차에 대해서 도시된다. 도 11은 PR 측정 및 ADR 차이 측정이 수행되고 전파 알고리즘으로 3차를 사용하는 경우의 이러한 파라미터의 오차에 대해서 도시된다. 이러한 도면들에서 정확한 전파 알고리즘과 ADR 처리를 사용하는 경우 위치 예측에서 1 차수배 만큼 개선되며 자세 및 속도 예측에 있어서는 2 차수배 만큼 개선되는 것을 확인할 수 있다.

정확한 전파 알고리즘은 우주 애플리케이션에 있어서 ADR 처리를 가능하게 하는 중요한 요소이다. 본원 명세서에서 개시된 방법은 우주선의 속도 측정에 있어서 월등한 정확도를 제공할 수 있다. GEO 우주선에 대한 예측은 각 개별적인 측정에 대해서 0.1 mm/s 정도의 측정 정확도를 가능하게 한다.

통합 GPS/IMU 시스템에 대한 전파 수식은 유사한 방식으로 사용될 수 있다. 더 높은 정확도를 위해서 다수의 시기만큼 분리되어 ADR 측정 및 차이 계산이 수 행된다면 더 높은 전파 품질을 얻을 수 있다. 우주 전파와 IMU-구동 전파에서의 차이점은 후자에서 ADR 측정이 속도와 자세에 대해서 적용된다는 점이다.

III . 기타 수식 도출

A. G에 대한 수식 도출

다음 항목이 사용된다.

1. 표현 1

우선 다음이 계산된다.

여기서

는 임의의 벡터이다.

이 경우

이다.

벡터

는 기준 프레임의 k번째 단위 벡터와 동일하게 설정된다. 이 경우 편미분은 다음과 같이 계산될 수 있다.

2. 표현 2

다음 단계는 다음을 계산하는 것이다.

벡터

는 기준 프레임의 k번째 단위 벡터와 동일하게 설정된다.

이 경우

로 표시할 수 있다.

이러한 경우

로 표시할 수 있다.

3. 최종 표현

블록을 구성하는 경우 다음이 계산된다.

B. 전파 수식에 대한 x, V의 도출

다음 수식에서 시작하자.

이러한 적분은 전파 수식의 위치 및 속도의 도출에 모두 사용된다.

위치에 대해서, 최종 결과는

이다. 속도에 대해서

로 설정한다.

사다리꼴 방법을 사용하면 다음과 같다.

다음으로 동일한 값이 두 개의 부-단계(half-step)를 통하여 예측된다.

여기서,

는

에서

까지의 자세 행렬 갱신이다. 두 번째 항복 J는 다음과 같이 2개의 부분으로 분리되어 표시될 수 있다.

J를

를 이용하여 대체하면(이하 n, n-1/2, n-1 등의 첨자를 생략하며, 이러한 사항은 정확도 한계에 영향을 미치지 않는다.

대해서 적용하면,

로부터 첫 번째 표현은 다음과 같이 표시할 수 있다.

로부터 두 번째 표현은 다음과 같이 표시할 수 있다.

따라서,

과 같이 표시가 가능하다.

에 대해서 다음이 사용된다.

이러한 수식을 모두 적용하면,

로 표시가 가능하다.

항목을 유지하면,

와 같다.

주요 항목을 제외하면, 다른 항목들은 모두

에 대해서 2차로 표시된다. 이러한 계산을 위해서,

로 가정하면 다음과 같다.

다시 한 번,

에 대해서 2차(또는 그 이하)를 가지는 항목만 유지하면 다음과 같다.

이러한 결과를

에 대한 두 번째 수식(반-단계 수식을 통하여 구해짐)에 적용하면 다음과 같다.

한 단계 수식과 비교하면 다음과 같다.

따라서 다음과 같은 최종 수식이 구해진다.

요약하면, 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법으로서, 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 의사거리(PR) 측정을 수행하는 단계와, 상기 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 ADR 측정을 수행하는 단계와, 연속된 상기 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 상기 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하는 단계와, 상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 상기 이동체의 네비게이션 파라미터 중 하나 이상을 예측하는 단계를 포함하는 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법이 제공된다.

유사하게, 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법으로서, 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 의사거리(PR) 측정을 수행하는 단계와, 상기 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 ADR 측정을 수행하는 단계와, 연속된 상기 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 상기 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하는 단계와, 이전 상태에서의 상태 벡터와 상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 현재 상태에서의 적어도 상기 이동체의 위치와 속도를 포함하는 상태 벡터의 성분을 예측하는 단계를 포함하는 이 동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법이 제공된다.

또한 본 발명에 개시된 방법들은 프로세서 또는 소프트웨어와 같은 인스트럭션을 저장하는 컴퓨터로 판독 가능한 매체 형태로 구현이 가능하며, 프로세서 또는 컴퓨터로 실행될 때 프로세서 또는 컴퓨터가, 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 의사거리(PR) 측정을 획득하는 기능과, 상기 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 ADR 측정을 획득하는 기능과, 연속된 상기 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 상기 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하는 기능과, 상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 상기 이동체의 네비게이션 파라미터 중 하나 이상을 예측하는 기능을 수행하도록 할 수 있다.

본원 명세서에서 개시된 시스템 및 방법들은 본원 발명의 기본적 특징이나 기술적 사상을 벗어나지 않는 범위에서 다른 형태로 구현이 가능하다. 따라서 본원 발명의 명세서에서 개시된 실시예들은 단지 예시적인 것이며 보호범위를 한정하는 것이 아니다.

본원 발명에 따르면 ADR[accumulated delta range] 측정을 사용하는 네비게이션 알고리즘을 이용하여 좀 더 정확한 네비게이션 결과를 얻을 수 있다.

Claims

이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법으로서,

(a) 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 의사거리(pseudorange, PR) 측정을 수행하는 단계와,

(b) 상기 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 ADR(accumulated delta range) 측정을 수행하는 단계와,

(c) 연속된 상기 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 상기 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하는 단계와,

(d) 상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 상기 이동체의 네비게이션 파라미터 중 하나 이상을 예측하는 단계

를 포함하는 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제1항에 있어서,

상기 ADR 차이의 계산을 위해서 사용될 상기 ADR 측정 사이의 최적 시간 간격을 결정하는 단계

를 더 포함하는 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제2항에 있어서,

상기 ADR 측정 사이의 최적 시간 간격을 결정하는 단계는 두 개의 ADR 측정 에 대한 속도 예측 오차의 최소 분산(variance)을 결정하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제3항에 있어서,

상기 최적 시간 간격의 결정은 전파(propagation) 모델의 정확도에 종속적이며, 상기 최적 시간 간격은 좀 더 정확한 상기 전파 모델을 사용하는 경우 넓어질 수 있는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제1항에 있어서,

상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 상기 이동체의 네비게이션 파라미터 중 하나 이상을 예측하는 단계는, 적어도 위치를 나타내는 상태 벡터의 속도 성분과 상기 이동체의 순간 속도 예측을 도출하기 위한 상기 이동체의 속도에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 계산하는 단계를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제1항에 있어서,

상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 상기 이동체의 네비게이션 파라미터 중 하나 이상을 예측하는 단계는,

상기 이동체의 순간 속도 예측을 도출하기 위해서 상기 이동체의 위치와 속도를 나타내는 상태 벡터의 적어도 속도 성분에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 계산하는 단계와,

시간 N-1에서의 상기 상태 벡터에 기초하여 시간 N에서의 상기 상태 벡터를 계산하기 위한 전파 수식을 이용하여 상기 상태 벡터를 전파하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제6항에 있어서,

상기 편미분을 계산하는 단계는,

상기 상태 벡터의 위치 및 속도에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 계산하는 단계와,

상기 이동체의 클럭과 클럭 드리프트(drift)에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 계산하는 단계와,

칼만 필터에서 상기 편미분들을 이용하여 상기 이동체의 순간 속도 예측을 계산하여 상기 ADR 차이를 처리하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제7항에 있어서,

상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 상기 이동체의 네비게이션 파라미터 중 하나 이상을 예측하는 단계는, 상기 이동체의 순간 속도 예측 측정과 상기 PR 측정을 사용하여 상기 상태 벡터의 위치 및 속도 성분을 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제8항에 있어서,

상기 편미분을 계산하는 단계는,

현재 시기(epoch)에서의 상태 벡터에 대해서 이전 시기의 상기 이동체 위치의 미분을 계산하는 단계를 포함하는 것이고,

상기 상태 벡터는 한 시기에서의 적어도 상기 이동체의 위치 및 속도에 대한 상분을 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제9항에 있어서,

현재 시기에서의 상태 벡터에 대해서 이전 시기의 상기 이동체 위치의 미분을 계산하는 단계는, 연속되는 시기 사이의 시간 차이에 대해서 고차(high-order) 근사를 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제10항에 있어서,

연속되는 시기 사이의 시간 차이에 대해서 고차 근사를 계산하는 단계는,

다수의 서브스텝을 구비하는 전파 루틴을 이용하여 상기 ADR 측정 사이의 시간 간격에 대해서 역방향(backward)으로 상기 상태 벡터를 전파하는 단계를 포함하는 것이고,

상기 전파 루틴의 상기 서브 스텝 각각은,

행렬의 원소에 관련된
행렬을 계산하는 단계와,

상기
행렬 각각으로부터
행렬을 계산하는 단계와,

행렬을 사용하여 상기 상태 벡터의 위치 및 속도에 대해서 이전 시기에서의 상기 이동체 위치의 편미분을 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제11항에 있어서,

역학(force) 모델과 적분(integration) 루틴을 사용하여 상기 상태 벡터를 전파하는 단계와,

현재 시기에서의 상기 상태 벡터에 대한 다음 시기에서의 상기 상태 벡터의 편미분을 계산하는 것에 의해서 공분산(covariance) 행렬을 전파하는 단계

를 더 포함하는 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제12항에 있어서,

상기 상태 벡터는 상기 이동체의 위치, 속도, 클럭 및 클럭 드리프트를 위한 부분을 구비하는 것이고,

상기 역학 모델과 적분 루틴을 사용하여 상태 벡터를 전파하는 단계는,

속도에 대한 위치의 미분과, 클럭에 위치의 미분과, 클럭 드리프트에 대한 위치의 미분과, 위치에 대한 속도의 미분과, 클럭에 대한 위치의 미분과, 클럭 드 리프트에 대한 속도의 미분에 대해서 성분을 구비하는 행렬을 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제1항에 있어서,

상기 (c) 연속된 상기 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 상기 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하는 단계는,

상기 ADR 측정이 수행되는 연속적인 두 개의 시기 사이에 대한 시간 기간(period)보다 더 큰 시간 기간에 의해서 구분된 두 시기 사이에서의 상기 ADR 측정에 대한 차이를 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제14항에 있어서,

상기 (c) 연속된 상기 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 상기 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하는 단계는,

상기 ADR 측정이 수행되는 연속적인 두 개의 시기 사이에 대한 시간 기간(period)에 비해서 수 차수배[several orders of magnitude] 큰 시간 기간에 의해서 구분된 두 시기 사이에서의 상기 ADR 측정에 대한 차이를 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제1항에 있어서,

상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 상기 이동체의 네비게이션 파라미터 중 하나 이상을 예측하는 단계는, 상기 이동체와 연관된 관성(inertial) 측정 유닛에 의해서 산출된 관성 측정 데이터에 기초하여 상기 상태 벡터를 전파하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제16항에 있어서,

상기 이동체와 연관된 관성 측정 유닛에 의해서 산출된 관성 측정 데이터에 기초하여 상기 상태 벡터를 전파하는 단계는,

상기 이동체를 위한 상태 벡터에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 포함하는 관측 행렬을 계산하는 단계를 포함하는 것이고,

상기 상태 벡터는 상기 이동체의 속도, 자세(attitude) 및 위치의 예측 및 상기 이동체와 연관된 상기 관성 측정 유닛에 의해서 산출된 상기 관성 측정 데이터의 오차 상태의 예측을 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제17항에 있어서,

상기 이동체를 위한 상태 벡터에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 포함하는 관측 행렬을 계산하는 단계는,

지구 중심 관성[earth centered inertial] 좌표계에 대해서 상기 관성 측정 유닛의 본체 축 내의 자이로 센서 데이터를 나타내는 벡터를 변환하는 선 회(rotation) 행렬을 계산하는 단계와,

상기 상태 벡터의 상기 자세 성분을 전파하기 위하여 하나의 시기 상에서 상기 선회 행렬을 전파하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제18항에 있어서,

상기 이동체를 위한 상태 벡터에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 포함하는 관측 행렬을 계산하는 단계는, 상기 상태 벡터의 상기 위치 및 상기 속도 성분을 전파하는 단계를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제19항에 있어서,

상기 관성 측정 유닛 내의 상기 자이로 센서의 오정렬 파라미터를 나타내며 칼만 필터 상태 벡터 내에 포함될 수 있는 오정렬 벡터를 계산하는 단계

를 더 포함하는 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제20항에 있어서,

순방향(forward) 전파 행렬을 생성하기 위해서 각 시기의 시작 부분에서의 상기 상태 벡터에 대해서 상기 각 시기의 끝부분에서 상기 상태 벡터의 편미분을 계산하는 단계를 더 포함하고,

상기 각 시기에서 상기 상태 벡터의 자세 성분 분할은 상기 자세의 현재 예 측에 대해서 오일러(Euler) 각도로 표현되는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제21항에 있어서,

다수의 시기들에 대해서 역방향 전파 행렬을 계산하는 단계

를 더 포함하는 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제22항에 있어서,

재귀적(recursive) 알고리즘을 사용하여 상기 역방향 전파 행렬을 통하여 상기 상태 벡터를 역방향으로 전파하는 단계

를 더 포함하는 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
제1항에 있어서,

상기 (a) 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 의사거리 측정을 수행하는 단계는, GPS 위성들로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 의사거리(PR) 측정을 수행하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 네비게이션 파라미터를 결정하는 방법.
이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법으로서,

(a) 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 의사거 리(pseudorange, PR) 측정을 수행하는 단계와,

(b) 상기 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 ADR(accumulated delta range) 측정을 수행하는 단계와,

(c) 연속된 상기 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 상기 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하는 단계와,

(d) 이전 상태에서의 상태 벡터와 상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 현재 상태에서의 적어도 상기 이동체의 위치와 속도를 포함하는 상태 벡터의 성분을 예측하는 단계

를 포함하는 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제25항에 있어서,

상기 (c) 연속된 상기 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 상기 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하는 단계는,

두 개의 ADR 측정에 대한 속도 예측 오차의 최소 분산을 계산하는 것에 의해서 결정되는 시간 간격에 대해서, 상기 시간 간격에 의해서 구분되는 ADR 측정값에 대한 상기 ADR 차이를 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제25항에 있어서,

상기 이전 상태에서의 상태 벡터와 상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 현 재 상태에서의 적어도 상기 이동체의 위치와 속도를 포함하는 상태 벡터의 성분을 예측하는 단계는,

상기 이동체의 순간 속도 예측을 도출하기 위해서 상기 상태 벡터의 적어도 속도 성분에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제27항에 있어서,

상기 ADR 차이의 편미분을 계산하는 단계는,

현재 시기에서의 상태 벡터에 대해서 이전 시기의 상기 이동체 위치의 미분을 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제28항에 있어서,

상기 현재 시기에서의 상태 벡터에 대해서 이전 시기의 상기 이동체 위치의 미분을 계산하는 단계는,

연속되는 시기 사이의 시간 차이에 대해서 고차 근사를 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제29항에 있어서,

상기 연속되는 시기 사이의 시간 차이에 대해서 고차 근사를 계산하는 단계 는,

다수의 서브스텝을 구비하는 전파 루틴을 이용하여 상기 ADR 측정 사이의 시간 간격에 대해서 역방향(backward)으로 상기 상태 벡터를 전파하는 단계를 포함하는 것이고,

상기 전파 루틴의 상기 서브 스텝 각각은,

행렬의 원소에 관련된
행렬을 계산하는 단계와,

상기
행렬 각각으로부터
행렬을 계산하는 단계와,

행렬을 사용하여 상기 상태 벡터의 위치 및 속도에 대해서 이전 시기에서의 상기 이동체 위치의 편미분을 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제30항에 있어서,

역학 모델과 적분 루틴을 사용하여 상기 상태 벡터를 전파하는 단계와,

현재 시기에서의 상기 상태 벡터에 대한 다음 시기에서의 상기 상태 벡터의 편미분을 계산하는 것에 의해서 공분산 행렬을 전파하는 단계

를 더 포함하는 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제25항에 있어서,

상기 이전 상태에서의 상태 벡터와 상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 현 재 상태에서의 적어도 상기 이동체의 위치와 속도를 포함하는 상태 벡터의 성분을 예측하는 단계는,

상기 이동체의 순간 속도 예측을 도출하기 위해서 상기 상태 벡터의 적어도 속도 성분에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 계산하는 단계와,

시간 N-1에서의 상기 상태 벡터에 기초하여 시간 N에서의 상기 상태 벡터를 계산하기 위한 전파 수식을 이용하여 상기 상태 벡터를 전파하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제25항에 있어서,

상기 이전 상태에서의 상태 벡터와 상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 현재 상태에서의 적어도 상기 이동체의 위치와 속도를 포함하는 상태 벡터의 성분을 예측하는 단계는,

상기 이동체의 순간 속도 예측을 도출하기 위하여 상태 벡터의 적어도 속도 성분에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 계산하는 단계와,

시간 N-1에서의 상기 상태 벡터에 기초하여 시간 N에서의 상기 이동체의 상기 상태 벡터를 계산하는 전파 수식을 기초로 상기 상태 벡터를 전파하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제25항에 있어서,

상기 (c) 연속된 상기 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 상기 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하는 단계는,

상기 ADR 측정이 수행되는 연속적인 두 개의 시기 사이에 대한 시간 기간(period)에 비해서 수 차수배[several orders of magnitude] 큰 시간 기간에 의해서 구분된 두 시기 사이에서의 상기 ADR 측정에 대한 차이를 계산하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제25항에 있어서,

상기 이전 상태에서의 상태 벡터와 상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 현재 상태에서의 적어도 상기 이동체의 위치와 속도를 포함하는 상태 벡터의 성분을 예측하는 단계는,

상기 이동체와 연관된 관성 측정 유닛에 의해서 산출된 관성 측정 데이터에 기초하여 상기 상태 벡터를 전파하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제35항에 있어서,

상기 이동체와 연관된 관성 측정 유닛에 의해서 산출된 관성 측정 데이터에 기초하여 상기 상태 벡터를 전파하는 단계는,

상기 이동체를 위한 상태 벡터에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 포함하는 관측 행렬을 계산하는 단계를 포함하는 것이고,

상기 상태 벡터는 상기 이동체의 속도, 자세(attitude) 및 위치의 예측 및 상기 이동체와 연관된 상기 관성 측정 유닛에 의해서 산출된 상기 관성 측정 데이터의 오차 상태의 예측을 포함하는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제36항에 있어서,

상기 이동체를 위한 상태 벡터에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 포함하는 관측 행렬을 계산하는 단계는,

지구 중심 관성 좌표계에 대해서 상기 관성 측정 유닛의 본체 축 내의 자이로 센서 데이터를 나타내는 벡터를 변환하는 선회 행렬을 계산하는 단계와,

상기 상태 벡터의 상기 자세 성분을 전파하기 위하여 하나의 시기 상에서 상기 선회 행렬을 전파하는 단계

를 포함하는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제37항에 있어서,

상기 이동체를 위한 상태 벡터에 대해서 상기 ADR 차이의 편미분을 포함하는 관측 행렬을 계산하는 단계는, 상기 상태 벡터의 상기 위치 및 상기 속도 성분을 전파하는 단계를 포함하는 것이고,

상기 관성 측정 유닛 내의 상기 자이로 센서의 오정렬 파라미터를 나타내며 칼만 필터 상태 벡터 내에 포함될 수 있는 오정렬 벡터를 계산하는 단계

를 더 포함하는 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제38항에 있어서,

순방향 전파 행렬을 생성하기 위해서 각 시기의 시작 부분에서의 상기 상태 벡터에 대해서 상기 각 시기의 끝부분에서 상기 상태 벡터의 편미분을 계산하는 단계를 더 포함하고,

상기 각 시기에서 상기 상태 벡터의 자세 성분은 상기 자세의 현재 예측에 대해서 오일러 각도로 표현되는 것인 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
제39항에 있어서,

다수의 시기들에 대해서 역방향 전파 행렬을 계산하는 단계와,

재귀적 알고리즘을 사용하여 상기 역방향 전파 행렬을 통하여 상기 상태 벡터를 역방향으로 전파하는 단계

를 더 포함하는 이동체의 위치 및 속도를 결정하는 방법.
(a) 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 의사거리(pseudorange, PR) 측정을 획득하는 기능과,

(b) 상기 거리 측정 신호원으로부터 수신되는 신호로부터 상기 이동체의 ADR(accumulated delta range) 측정을 획득하는 기능과,

(c) 연속된 상기 ADR 측정 사이의 간격보다 더 큰 시간 간격에 의해서 구분된 상기 ADR 측정 사이의 ADR 차이를 계산하는 기능과,

(d) 상기 PR 측정과 상기 ADR 차이로부터 상기 이동체의 네비게이션 파라미 터 중 하나 이상을 예측하는 기능

을 실현시키기 위한 프로그램을 기록한 컴퓨터로 판독 가능한 기록 매체.