KR20040041294A - Bch 부호의 나눗셈 없는 복호방법 및 그 장치 - Google Patents

Abstract

본 발명은 디지털 통신시스템 또는 데이터 저장시스템의 통신 채널 상에서 발생하는 오류(error)를 수신 측에서 직접 정정할 수 있도록 하는 오류정정부호 중 BCH 부호의 나눗셈 없는 복호방법 및 그 장치에 관한 것으로, 오증(syndrome)으로부터 오류위치다항식을 구하는 과정에서 나눗셈 없이 구현함으로써, 종래의 복호장치에 비하여 회로의 면적을 줄이는 효과가 있다.

Description

BCH 부호의 나눗셈 없는 복호방법 및 그 장치 {A Divisionless Decoding Method and Decoder for the BCH Codes}

BCH(Bose－Chaudhuri－Hocquenghem) 부호는 블럭부호 중 순회부호(cyclic codes)의 일종으로, 오류정정 개수를 비교적 자유롭게 선택할 수 있고 정보비트 수에 비해 검사비트(parity－check bit)의 수가 비교적 작은 매우 효율적인 부호이다.

2진(binary) BCH 부호의 복호는 한 블럭 내에서 발생한 오류의 위치를 찾아내서 그 위치의 비트를 0이면 1로, 1이면 0으로 바꾸는 것이다. 일반적으로 BCH 부호의 복호는, 수신 시퀀스로부터 오증(誤症 : syndrome)을 계산하고, 이 오증을 이용하여 오류위치다항식(error locator polynomial)을 구성한 다음, 오류위치다항식의 근(root)을 구하여 오류위치(error location number)를 찾고 그 위치의 비트를 반전시킴으로써 오류를 정정한다.

이와 같은 복호 과정 중에서 오증으로부터 오류위치다항식을 계산하는 과정이 가장 어렵고 복잡하며 이에 대한 해법에 따라 BCH 부호의 복호법을 분류하고 있다. Peterson 복호법은 오증으로부터 오류위치다항식의 계수를 직접 계산하는 방법이며, Berlekamp－Massey 복호법과 Euclid 복호법은 반복 알고리즘(iterative algorithm)을 사용하여 구하는 방법이다.

Peterson 복호법은 복호지연(decoding delay)이 짧은 고속 복호에 적합한 반면 오류정정능력 t가 커지면 회로가 복잡해진다. 일반적으로 t가 6 또는 7보다 크면 Berlekamp－Massey 복호법이나 Euclid 복호법이 더 효율적인 반면 반복 알고리즘으로 인한 복호지연이 불가피해지는 단점이 있다.

종래의 Peterson 복호법에서는 오증으로부터 오류위치다항식을 구하는 과정에서 나눗셈이 필요하게 된다. 나눗셈은 유한체 GF(2^m) 상의 연산 중에서 가장 어렵고 복잡한 연산이다. 유한체 GF(2^m) 상의 임의의 두 원소 사이의 나눗셈은 일반적으로 한 원소의 역원(inverse element)에 다른 원소를 곱하는 것으로, 나눗셈기는 역원기와 곱셈기를 포함하고 있는 것이다.

특히 역원기는 장치화가 대단히 복잡하고 어렵기 때문에 이를 효과적으로 구현하는 것이 복호장치 전체 회로의 간단화 및 고속화의 관건이 된다. 역원을 계산하는 가장 간단한 방법은 ROM(Read Only Memory)을 사용하여 처리하는 것이다. 그러나 이 방법은 유한체의 위수(order) m이 커지면 ROM의 용량이 급격히 커지게 되어 비효율적이 된다. 또 ROM의 느린 응답 속도 때문에 고속 회로에는 부적합하다.

본 발명은 Peterson 복호법을 개선하여 종래의 복호장치보다 하드웨어적으로 훨씬 더 간단한 고속 복호장치를 설계할 수 있는 방법 및 그 장치에 관한 것이다. 본 발명은 종래의 Peterson 복호법에서 나눗셈을 생략하는 것으로 이 방법을 사용하면 Peterson 복호법의 문제점인 복잡한 회로 규모를 축소시키는 효과가 있다.

먼저 Peterson 복호법에 대하여 간단히 기술한다.

한 블럭 내에서 발생한 t개 이하의 모든 오류를 정정할 수 있는 t중 오류정정 BCH 부호는, 다음과 같이 입력비트를 다항식으로 표현한 정보다항식(information polynomial) d(x)와 특수한 구조를 갖는 생성다항식(generator polynomial) g(x)의 곱으로 구성된다.

를 유한체 GF(2^m)의 원시원(primitive element)이라 할 때 생성다항식 g(x)는,,, ……,를 근(root)으로 갖는 다항식으로 정의된다. 그러므로 식 ＜1＞에(j＝1, 3, 5, ……, 2t－1)를 대입하면 g()가 0이므로

가 된다. 또 수신다항식 r(x)는 다음과 같이 부호다항식 c(x)에 오류다항식 e(x)를더한 것이다.

식 ＜3＞에(j＝1, 3, 5, ……, 2t－1)를 대입하면 다음과 같이 된다.

식 ＜4＞는 전송로 상에서 오류가 발생하지 않으면 0이 되고 오류가 발생하면 0이 되지 않는다. 그러므로 이 식을 다음과 같이 오증으로 정의한다.

식 ＜5＞에서 보듯이 오증은 수신다항식으로부터 구할 수 있다. 오류다항식을

이라 할 때, 만약 u(1≤u≤t) 개의 오류가 i₁, i₂, ……, i_u(i₁＜i₂＜……＜i_u) 위치에 발생하였다고 가정하면 식 ＜6＞의 오류다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서 오증 S_j는 다음과 같이 식 ＜7＞에(j＝1, 3, 5, ……, 2t－1)를 대입한 것이 된다.

여기에서(1≤k≤u)를 오류위치 X_k로 표기하면 식 ＜8＞은 다음과 같이 된다.

식 ＜9＞를 j＝1, 3, 5, ……, 2t－1에 대하여 풀어쓰면 다음과 같은 t개의 방정식이 된다.

BCH 부호의 복호는 이 t개의 방정식으로부터 u개의 미지수 X₁, X₂, X₃, ……, X_u를 구하는 것이다. 그러나 이 방정식은 비선형(nonlinear)이므로 직접 해를 구하는 것은 매우 어렵다. Peterson은 다음과 같은 오류위치다항식을 도입하여 위와 같은 비선형 방정식을 푸는 방법을 처음 제안하였다.

즉 오류위치다항식은 오류위치 X_k의 역수를 근으로 갖는 다항식이다. 이와 같이 정의한 오류위치다항식의 계수와 오증 S_j와의 관계는 Newton의 항등식에의하여 다음과 같이 된다. 여기에서 S_2j＝(S_j)²이다.

식 ＜12＞에서 오증 S_j는 식 ＜5＞로부터 이미 계산되어 알고 있는 상수이고, 이 방정식은 선형방정식이므로 비교적 쉽게 오류위치다항식을 구할 수 있다. 오증으로부터 오류위치다항식의 계수를 구하는 것은 BCH 부호의 복호과정 중 가장 복잡한 과정으로 이에 대한 해법이 BCH 부호의 복호에서 가장 핵심이 되는 부분이다.

Peterson은 오류가 u 또는 u－1개 발생하였을 때 식 ＜12＞의 행렬식(determinant) |A^(u)|가 0이 아니며(non singular), u－2개 이하가 발생하였을 경우 0이 됨을 증명하였다. 그러므로 행렬식 |A^(u)|를 계산하면 실제 발생한 오류의 개수를 찾을 수 있다.

따라서 복호는 먼저 수신다항식 r(x)로부터 오증 S_j를 계산하고 이 오증으로부터 행렬식 |A^(u)|를 계산한다. 행렬식 |A^(u)|의 값이 영이 아니면 식 ＜12＞를 이용하여 오류위치다항식를 구한다. 행렬식 |A^(u)|가 영이면, 행렬 A^(u)에서 가장 아래의 두 행과 가장 왼쪽의 두 열을 제거한 행렬 A^(u-2)를 구성하여 같은 과정을 반복하면 된다.

오류위치다항식을 구했으면, 그 다음 단계는 오류위치를 찾아서 그 위치의 오류를 정정하는 것이다. 여기에는 Chien의 방법이 가장 널리 사용되고 있다.

식 ＜11＞과 같은 오류위치다항식의 정의에 따라, 오류위치 X_i는 오류위치다항식의 근의 역수이므로, 오류위치를 찾기 위해서는 오류위치다항식를 구한 다음, 그 근을 찾아서 역수를 취하여야 한다. 유한체 GF(2^m)은 2^m개의 유한한 원소를 가지고 있으므로, 오류위치다항식의 근은 유한체 GF(2^m)의 모든 원소를 대입하는 방법으로 찾을 수 있다. 즉 1,,, ……,(n＝2^m－1)을에 대입하여 그 값이 0이 되는 원소가 바로의 근이 된다.

GF(2^m) 상의 임의의 한 원소(0≤i≤n－1, n＝2^m－1)가 오류위치다항식의 근이라고 하면, 오류위치는 정의에 의하여의 역수인가 된다. 유한체 GF(2^m)에서는

이므로, 임의의 한 원소의 역수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서가 오류위치다항식의 근이라고 하면 오류위치는가 된다. 그러므로 (n, k) BCH 부호에서가의 근이라고 하면, 수신비트 (r₀, r₁, r₂, ……, r_n－1) 중에서, r_n－i비트가 오류비트가 된다. 수신비트가 높은 차수부터 입력되어 차례로 복호 된다고 할 때, r_n－1비트를 복호하려면이 오류위치인지를 검사하여 오류위치이면 r_n－1비트를 반전시키고, 아니면 그대로 출력하면 된다.

이 오류위치인지를 검사하는 것은의 역수인가 오류위치다항식의 근인지를 검사하는 것이다. 즉＝0 인지를 검사하여 0이면 r_n－1비트를 반전시키고, 아니면 그대로 출력한다. 같은 방법으로 r_n－2비트는＝0 인지를, r_n－3비트는＝0 인지를, ……, r₀비트는＝＝0 인지를 검사하여 0이면 그 위치의 비트를 반전시키고, 아니면 그대로 출력하는 것이다. 이 같은 과정을 식으로 나타내면 다음과 같이 쓸 수 있다.

식 ＜15＞를 살펴보면＝0의항에를항에을, ……,항에를 계속 곱해 나가면서 값이 0이 되는지를 검사하는 것이다. 즉 다시 쓰면 다음과 같이 된다.

도 2는 식 ＜16＞을 이용하여 종래의 방법으로 장치화 한 BCH 부호의 복호장치를 도시한 블록도이다. 오류위치다항식계산부(22)에서 식 ＜12＞를 이용하여,, ‥‥‥,를 구하는데 유한체 상의 나눗셈이 필요하게 된다.

예를 들어 3개의 오류가 발생한 경우(u=3), 오류위치다항식은 식 ＜12＞에 u＝3을 대입하면

가 되며 이것을에 대하여 풀면 다음과 같이 오류위치다항식의 계수들을 구할 수 있다. 여기에서 S_2j＝(S_j)²이다.

따라서 식 ＜18＞를 계산하는 데에는 1번의 나눗셈이 필요하게 된다. 오류가2개에서 6개까지 발생한 경우에 대하여 오류위치다항식의 계수들을 구하여 살펴보면, 오류가 2개 또는 3개 발생하였을 경우(u＝2 또는 3)에는 나눗셈이 1번 필요하며, 오류가 4개 또는 5개 발생하였을 경우(u＝4 또는 5)에는 나눗셈이 2번 필요하고, 오류가 6개 발생하였을 경우(u＝6)에는 나눗셈이 3번 필요하게 된다.

상기와 같은 종래의 방법으로 오류위치다항식을 계산하는데 있어서 문제가 되는 것이 유한체 상의 나눗셈이다. 유한체 상의 나눗셈은 유한체 상의 연산 가운데 가장 복잡한 연산으로 이것을 구현하는데 많은 회로가 소요되며 지연이 많이 발생하게 된다.

「야마끼시 아쓰히로, 이노우에 도오루, 무라가미 도꾸미찌, 아사이 고우다로우, 복합 오류정정 BCH 복호회로, 공고번호 94－2112, 1994.03.17」에서는 유한체 상의 나눗셈을 구현하기 어려우므로 ROM(Read Only Memory)을 이용하여 오증을 GF(2^m)의 원시원의 지수표현으로 바꿔서 유한체 상의 곱셈과 나눗셈을 각각 정수의 덧셈과 뺄셈으로 처리하는 방법을 사용하고 있다. 그러나 이러한 방법은 유한체 상의 곱셈과 나눗셈은 쉬워지는 반면 덧셈은 어려워지는 단점을 가지고 있으며, 또 위수 m이 커지면 지수표현으로 바꾸는 ROM의 용량이 급격히 커지는 단점이 있다.

「조용석, 임용배, 2중 오류정정 BCH 부호의 복호방법 및 그 장치, 특허 제147761호 1998.05.18」에서는 BCH 부호의 복호에 있어서 이와 같은 유한체 상의 나눗셈을 생략할 수 있는 방법을 제시하였으나, 오류가 2개 이하 발생하였을 경우로만 한정되어 있었다.

따라서 본 발명의 목적은 BCH 부호의 복호에 있어서 발생한 오류의 개수에 한정되지 않고 어느 경우에나, 오증으로부터 오류위치다항식을 구하는 과정에서 나눗셈을 사용하지 않음으로써 회로면적을 줄인 BCH 부호의 복호방법 및 그 장치를 제공하는 데에 있다.

도 1은 본 발명에 의한 BCH 부호의 나눗셈 없는 복호장치 블록도이다.

도 2는 종래의 방법에 의한 BCH 부호의 복호장치 블록도이다.

＜ 도면의 주요부분에 대한 부호의 설명 ＞

11, 21 : 오증계산부 12, 22 : 오류위치다항식계산부

13, 23 : 오류위치탐지부 14, 24 : 수신 버퍼

상기의 목적을 달성하기 위하여 본 발명에서는 식 ＜12＞를 다음과 같이 변형시킨다.

여기에서 행렬식 |A^(u)|는 0이 아닌 경우이다.

식 ＜19＞에서 행렬 A^(u)의 여인자(cofactor)를라 하면, 역행렬 {A^(u)}^－1은 다음과 같이 된다.

식 ＜19＞를 식 ＜20＞에 대입하면 다음과 같이 된다.

식 ＜21＞을 풀어쓰면 다음과 같이 된다.

따라서 식 ＜22＞를 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

오류위치다항식을 다시 쓰면 다음과 같다.

식 ＜23＞을 식 ＜24＞에 대입하여 방정식＝0를 구성하면 다음과 같이 된다.

여기에서 |A^(u)|는 k와 무관하고, 또 |A^(u)|는 0이 아니라고 가정하였으므로 |A^(u)|를 양변에 곱하면 다음과 같이 된다.

그러므로 식 ＜26＞을 오류위치다항식으로 사용할 수 있다. 식 ＜26＞과 같이 변형된 오류위치다항식을로 표기하면

가 되며 여기에서 계수를 풀어쓰면 다음과 같이 된다.

식 ＜28＞과 같은 변형된 오류위치다항식을 이용하면 오증으로부터 오류위치다항식을 구할 때 나눗셈을 생략할 수 있게 된다.

예를 들어 3개의 오류가 발생한 경우(u=3) 식 ＜28＞과 같은 변형된 오류위치다항식을 계산하면 다음과 같이 된다.

식 ＜29＞는, 식 ＜18＞과 비교하면 나눗셈이 없어졌음을 알 수 있다. 따라서 식 ＜28＞과 같이 변형된 오류위치다항식을 사용하면 오류위치다항식의 계수를 구할 때 나눗셈이 없어지므로 복호장치의 구현 시 회로가 간단해지며 고속화 할 수 있게 된다.

상기의 목적을 달성하기 위하여 본 발명의 BCH 부호의 나눗셈 없는 복호방법에서는, 식 ＜28＞을 이용하여 새로운 오류위치다항식의 계수(0≤k≤u)를 구하는 단계와

상기(0≤k≤u)를 입력으로 하여를 계속 곱해 나가면서 그 합이 0이 되는지를 검사하여 0이면 그 위치의 비트를 반전시키고, 0이 아니면 그대로 출력하는 단계를 구현하였다.

상기의 목적을 달성하기 위하여 본 발명의 BCH 부호의 나눗셈 없는 복호장치에서는, 식 ＜28＞을 이용하여 새로운 오류위치다항식의 계수(0≤k≤u)를 구하는 수단과

상기(0≤k≤u)를 입력으로 하여를 계속 곱해 나가면서 그 합이 0이 되는지를 검사하여 0이면 그 위치의 비트를 반전시키고, 0이 아니면 그대로 출력하는 수단을 구비하였다.

이하, 본 발명의 실시예를 첨부한 도면을 참조하여 더 상세히 설명하기로 한다.

도 1은 본 발명의 실시예에 따른 BCH 부호의 나눗셈 없는 복호장치를 도시한 블록도로서, 수신되는 비트들을 수신버퍼(14)에 저장함과 동시에 오증 S_j를 구하여 출력하는 오증계산부(11)와

상기 오증 S_j를 입력으로 받아서, 식 ＜28＞에 따라 유한체 상의 나눗셈 없이, 덧셈과 곱셈으로만 새로운 오류위치다항식의 계수(0≤k≤u)를 구하는 오류위치다항식 계산부(12)와

상기(0≤k≤u)를 입력으로 하여를 계속 곱해 나가면서 그 합이 0이 되는지를 검사하여, 0이면 그 위치의 비트를 반전시키고, 0이 아니면 그대로 출력하는 오류위치탐지부(13)를 구비하였다.

BCH 부호의 복호 과정 중에서, 종래의 Peterson 방법에서는 오증으로부터 오류위치다항식을 구할 때 유한체 GF(2^m) 상의 나눗셈이 필요하였다. 유한체 GF(2^m) 상의 임의의 두 원소 사이의 나눗셈은 일반적으로, 한 원소의 역원에 다른 원소를 곱하는 것으로, 곱셈기와 역원기를 포함하고 있는 것이다. 따라서 장치화가 대단히 복잡하고 어렵다.

본 발명은 종래의 오류위치다항식을 변형한 새로운 오류위치다항식을 사용함으로써 나눗셈을 생략할 수 있는 방법 및 그 장치에 관한 것으로, 종래의 방법에 비하여 회로의 면적을 줄이는 효과가 있다.

예로써, 3개의 오류가 발생한 경우(u＝3), 종래의 방식을 사용하면 식 ＜18＞과 같이 유한체 상의 나눗셈이 1번 필요하게 되는데 비해서, 본 발명의 식 ＜29＞를 이용하면 나눗셈이 필요하지 않게 되어 회로가 간단해지는 효과가 있다.

이러한 효과는, 오류가 2개 또는 3개 발생하였을 경우(u＝2 또는 3)에는 나눗셈 1번이 생략되고, 오류가 4개 또는 5개 발생하였을 경우(u＝4 또는 5)에는 나눗셈 2번이 생략되며, 오류가 6개 발생하였을 경우(u＝6)에는 나눗셈 3번이 생략되는 등, 정정하려는 오류가 증가할 수록 그 효과도 커지게 된다.

Claims (2)

1. 디지털 통신시스템 또는 데이터 저장시스템의 통신 채널 상에서 발생하는 오류(error)를 수신 측에서 직접 정정할 수 있도록 하는 오류정정부호 중 BCH 부호의 복호방법에 있어서,

   수신되는 비트들을 수신버퍼에 저장함과 동시에 오증 S_j를 구하여 출력하는 오증계산 단계와

   상기 오증 S_j를 입력으로 받아서, 식 ＜28＞에 따라 유한체 상의 나눗셈 없이 덧셈과 곱셈만으로, 새로운 오류위치다항식의 계수(0≤k≤u)를 구하는 오류위치다항식계산 단계와

   상기(0≤k≤u)를 입력으로 하여를 계속 곱해 나가면서 그 합이 0이 되는지를 검사하여, 0이면 그 위치의 비트를 반전시키고, 0이 아니면 그대로 출력하는 오류위치탐지 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 BCH 부호의 나눗셈 없는 복호방법.
2. 디지털 통신시스템 또는 데이터 저장시스템의 통신 채널 상에서 발생하는 오류(error)를 수신 측에서 직접 정정할 수 있도록 하는 오류정정부호 중 BCH 부호의 복호장치에 있어서,

   수신되는 비트들을 수신버퍼에 저장함과 동시에 오증 S_j를 구하여 출력하는오증계산 수단과

   상기 오증 S_j를 입력으로 받아서, 식 ＜28＞에 따라 유한체 상의 나눗셈 없이 덧셈과 곱셈만으로, 새로운 오류위치다항식의 계수(0≤k≤u)를 구하는 오류위치다항식계산 수단과

   상기(0≤k≤u)를 입력으로 하여를 계속 곱해 나가면서 그 합이 0이 되는지를 검사하여, 0이면 그 위치의 비트를 반전시키고, 0이 아니면 그대로 출력하는 오류위치탐지 수단을 구비하는 것을 특징으로 하는 BCH 부호의 나눗셈 없는 복호장치.