KR102311412B1 - 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템 - Google Patents

오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템 Download PDF

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KR102311412B1 KR1020200033460A KR20200033460A KR102311412B1 KR 102311412 B1 KR102311412 B1 KR 102311412B1 KR 1020200033460 A KR1020200033460 A KR 1020200033460A KR 20200033460 A KR20200033460 A KR 20200033460A KR 102311412 B1 KR102311412 B1 KR 102311412B1
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Abstract

본 발명은 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템에 관한 것으로, 상기 방법의 일 실시예는 관찰자에 의해 운용되고 특정 측정단위를 갖는 속도계를 통해 이동체의 속도를 측정한 측정 속도와 상기 관찰자에 대한 상기 이동체의 실제 속도를 획득하는 단계, 상기 측정 속도를 종속변수로 하고 상기 실제 속도를 독립변수로 하는 선형회귀모형의 모델링을 수행하는 단계 및 로렌츠 속도 변환을 기준으로 선형회귀방정식(Linear Regression Equation)에 대한 오차항의 독립성을 보정한 후 상기 선형회귀방정식의 모수를 추정하는 단계를 포함한다. 따라서, 본 발명은 독립변수 구간의 제한여부에 따라 로렌츠 및 갈릴레이 속도 변환들 중 어느 하나를 선택적으로 활용할 수 있다.

Description

오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템{PARAMETER ESTIMATION METHOD BASED ON ERROR TERM INDEPENDENCE CORRECTION, AND ITS PROGRAM IMPLEMENTATION AND PERFORMANCE SYSTEM}
본 발명은 속도계의 측정단위 및 정확도 추정 기술에 관한 것으로, 보다 상세하게는 특수상대성이론 하에서 알려지지 않은 측정단위로 물체의 속도를 측정하는 오차를 갖는 속도계의 측정단위 및 정확도를 통계적으로 추정할 수 있는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템에 관한 것이다.
통계학에서, 선형회귀(linear regression)는 종속변수 y와 한 개 이상의 독립변수 (또는 설명변수) X와의 선형 상관관계를 모델링하는 회귀분석 기법이다. 한 개의 설명변수에 기반한 경우에는 단순선형회귀, 둘 이상의 설명변수에 기반한 경우에는 다중선형회귀라고 한다.
선형회귀는 선형 예측 함수를 사용해 회귀식을 모델링하며, 알려지지 않은 파라미터(모수)는 데이터로부터 추정한다. 이렇게 만들어진 회귀식을 선형 모델이라고 한다. 선형회귀는 여러 사용 사례가 있지만, 대개 두 가지 분류 중 하나로 요약할 수 있다.
먼저, 값을 예측하는 것이 목적일 경우, 선형회귀를 사용해 데이터에 적합한 예측 모형을 개발한다. 개발한 선형회귀식을 사용해 y가 없는 x값에 대해 y를 예측하기 위해 사용할 수 있다. 또한, 종속변수 y와 이것과 연관된 독립변수 X1, ..., Xp가 존재하는 경우에, 선형회귀분석을 사용해 Xj와 y의 관계를 정량화할 수 있다. Xj는 y와 전혀 관계가 없을 수도 있고, 추가적인 정보를 제공하는 변수일 수도 있다.
한국공개특허 제10-2000-0058902호 (2000.10.05)
본 발명의 일 실시예는 특수상대성이론 하에서 알려지지 않은 측정단위로 물체의 속도를 측정하는 오차를 갖는 속도계의 측정단위 및 정확도를 통계적으로 추정할 수 있는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템을 제공하고자 한다.
본 발명의 일 실시예는 속도계의 측정단위를 선형회기모형에 기초한 최소자승법으로 추정하면 측정하는 사람의 속도에 따라 측정단위의 추정치 및 이의 분산이 달라지게 되는 문제(따라서 측정단위 추정치의 신뢰구간 및 통계적 유의성이 달라지는 문제)를 해결할 수 있는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템을 제공하고자 한다.
본 발명의 일 실시예는 상대론적 운동량 중심에서 측정한 물체의 운동량과 오차항의 독립관계를 활용하여 모수를 추정함으로써 측정하는 사람의 속도에 관계없이 일정한 속도계의 측정단위의 추정치 및 이의 분산(따라서 측정단위 추정치의 신뢰구간 및 통계적 유의성)을 획득할 수 있는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템을 제공하고자 한다.
본 발명의 일 실시예는 특수상대성이론 하에서 측정단위가 알려지지 않은 오차가 있는 측정 속도와 실제 속도 간의 관계를 가진 다른 데이터에 대해서도 효과적으로 적용 가능한 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템을 제공하고자 한다.
실시예들 중에서, 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법은 관찰자에 의해 운용되고 특정 측정단위를 갖는 속도계를 통해 이동체의 속도를 측정한 측정 속도와 상기 관찰자에 대한 상기 이동체의 실제 속도를 획득하는 단계, 상기 측정 속도를 종속변수로 하고 상기 실제 속도를 독립변수로 하는 선형회귀모형(Linear Regression Model)의 모델링을 수행하는 단계 및 로렌츠 속도 변환을 기준으로 선형회귀방정식(Linear Regression Equation)에 대한 오차항의 독립성을 보정한 후 상기 선형회귀방정식의 모수를 추정하는 단계를 포함한다.
상기 실제 속도는 무시할 수 있을 만큼의 작은 오차(negligible error)를 갖는 속도계로 측정한 이동체의 속도를 포함하고, 상기 속도를 획득하는 단계는 미확인 상태의 측정단위를 상기 특정 측정단위로서 포함하고 속도 측정에 대한 오차 - 상기 오차는 무시할 수 있을 만큼의 작은 오차를 제외함 - 를 포함하는 속도계를 통해 상기 이동체의 속도를 측정하는 단계를 포함할 수 있다.
상기 모수를 추정하는 단계는 상기 선형회귀방정식으로서 다음의 수학식 1로 정의되는 모집단 회귀방정식에 대한 오차항의 독립성을 특정하는 단계를 포함할 수 있다.
[수학식 1]
Figure 112020028788740-pat00001
Yi: 속도계로 측정한 이동체 i의 속도
Xi: 이동체 i의 실제 속도(혹은 무시할 수 있을 만큼의 작은 오차를 갖는 속도계로 측정한 이동체 i의 속도)
β0: 속도계의 정확도(accuracy), 체계적 오류
β1: 속도계의 측정단위
εi: N(0,σ2)를 따르는 오차항, (N(0,σ2): 분산이 σ2인 정규분포)
상기 모수를 추정하는 단계는 상기 독립변수가 열린 구간(Open Interval) (-c,c)(상기 c는 임의의 유한값, any finite value)으로 제한되는 것으로 설정하는 단계를 포함할 수 있다.
상기 모수를 추정하는 단계는 상기 로렌츠 속도 변환에서 모든 이동체가 동일한 정지질량을 가진 것으로 설정하고 상대론적 운동량 중심에서 측정된 이동체의 신속도(Rapidity) φ를 적용하여 이동체의 속도 및 측정하는 사람의 속도와 상기 오차항의 독립성을 E[ε·f(φ)]으로 보정하는 단계를 포함할 수 있다.
상기 모수를 추정하는 단계는 보정된 상기 오차항의 독립성을 기초로 모집단 모멘트 조건으로서 E[ε] = 0 및 E[ε·sinh(φ)] = 0을 도출하고 모집단 회귀방정식 및 상기 도출된 모집단 모멘트 조건을 이용하여 상기 선형회귀방정식의 모수를 추정하는 단계를 포함할 수 있다.
상기 모수를 추정하는 단계는 상기 모집단 회귀방정식 및 상기 도출된 모집단 모멘트 조건에 대응되는 표본 회귀방정식 및 표본 모멘트 조건을 도출한 후 상기 선형회귀방정식의 모수를 추정하는 단계를 포함할 수 있다.
상기 모수를 추정하는 단계는 상기 선형회귀방정식의 모수로서 상기 속도계의 정확도와 측정단위를 각각 다음의 수학식 2를 통해 추정하는 단계를 포함할 수 있다.
[수학식 2]
Figure 112020028788740-pat00002
Figure 112020028788740-pat00003
: 속도계의 추정 정확도,
Figure 112020028788740-pat00004
: 속도계의 추정 측정단위
Figure 112020028788740-pat00005
,
Figure 112020028788740-pat00006
,
Figure 112020028788740-pat00007
Figure 112020028788740-pat00008
,
Figure 112020028788740-pat00009
상기 모수를 추정하는 단계는 상기 추정된 선형회귀방정식의 모수를 기초로 다음의 수학식 3을 통해 해당 모수에 관한 분산을 각각 추정하는 단계를 포함할 수 있다.
[수학식 3]
Figure 112020028788740-pat00010
Figure 112020028788740-pat00011
Var(
Figure 112020028788740-pat00012
):
Figure 112020028788740-pat00013
에 관한 분산, Var(
Figure 112020028788740-pat00014
):
Figure 112020028788740-pat00015
에 관한 분산
Figure 112020028788740-pat00016
,
Figure 112020028788740-pat00017
Figure 112020028788740-pat00018
,
Figure 112020028788740-pat00019
상기 모수를 추정하는 단계는 상기 추정된 선형회귀방정식의 모수를 기초로 다음의 수학식 4를 통해 해당 모수 간의 공분산을 추정하는 단계를 포함할 수 있다.
[수학식 4]
Figure 112020028788740-pat00020
Cov(
Figure 112020028788740-pat00021
,
Figure 112020028788740-pat00022
):
Figure 112020028788740-pat00023
와
Figure 112020028788740-pat00024
간의 공분산
실시예들 중에서, 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 시스템은 관찰자에 의해 운용되고 특정 측정단위를 갖는 속도계를 통해 이동체의 속도를 측정한 측정 속도와 상기 관찰자에 대한 상기 이동체의 실제 속도를 획득하는 이동체 속도 획득부, 상기 측정 속도를 종속변수로 하고 상기 실제 속도를 독립변수로 하는 선형회귀모형(Linear Regression Model)의 모델링을 수행하는 모델링 수행부 및 로렌츠 속도 변환을 기준으로 선형회귀방정식(Linear Regression Equation)에 대한 오차항의 독립성을 보정한 후 상기 선형회귀방정식의 모수를 추정하는 모수 추정부를 포함한다.
실시예들 중에서, 컴퓨터가 판독가능한 기록매체에 저장된 컴퓨터 프로그램은 상기 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법의 각 단계가 정보처리장치의 프로세서에 의해 수행될 수 있다.
개시된 기술은 다음의 효과를 가질 수 있다. 다만, 특정 실시예가 다음의 효과를 전부 포함하여야 한다거나 다음의 효과만을 포함하여야 한다는 의미는 아니므로, 개시된 기술의 권리범위는 이에 의하여 제한되는 것으로 이해되어서는 아니 될 것이다.
본 발명의 일 실시예에 따른 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템은 속도계의 측정단위를 선형회기모형을 기초로 최소자승법으로 추정하면 측정하는 사람의 속도에 따라 측정단위의 추정치 및 이의 분산(따라서 추정치의 신뢰구간 및 통계적 유의성)이 달라지게 되는 문제를 해결할 수 있다.
본 발명의 일 실시예에 따른 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템은 상대론적 운동량 중심에서 측정한 물체의 운동량과 오차항의 독립관계를 활용하여 모수를 추정함으로써 측정하는 사람의 속도에 관계없이 일정한 속도계의 측정단위의 추정치 및 이의 분산(따라서 추정치의 신뢰구간 및 통계적 유의성)을 획득할 수 있다.
본 발명의 일 실시예에 따른 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법, 이를 구현하는 컴퓨터 프로그램 및 이를 수행하도록 구성되는 시스템은 특수상대성이론 하에서 측정단위가 알려지지 않은 오차가 있는 측정 속도와 실제 속도 간의 관계를 가진 다른 데이터에 대해서도 효과적으로 적용 가능할 수 있다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 모수 추정 시스템을 나타내는 도면이다.
도 2는 도 1에 있는 모수 추정 장치의 물리적 구성을 설명하는 도면이다.
도 3은 도 1에 있는 모수 추정 장치의 기능적 구성을 설명하는 도면이다.
도 4는 본 발명의 일 실시예에 따른 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 과정을 설명하는 순서도이다.
본 발명에 관한 설명은 구조적 내지 기능적 설명을 위한 실시예에 불과하므로, 본 발명의 권리범위는 본문에 설명된 실시예에 의하여 제한되는 것으로 해석되어서는 아니 된다. 즉, 실시예는 다양한 변경이 가능하고 여러 가지 형태를 가질 수 있으므로 본 발명의 권리범위는 기술적 사상을 실현할 수 있는 균등물들을 포함하는 것으로 이해되어야 한다. 또한, 본 발명에서 제시된 목적 또는 효과는 특정 실시예가 이를 전부 포함하여야 한다거나 그러한 효과만을 포함하여야 한다는 의미는 아니므로, 본 발명의 권리범위는 이에 의하여 제한되는 것으로 이해되어서는 아니 될 것이다.
한편, 본 출원에서 서술되는 용어의 의미는 다음과 같이 이해되어야 할 것이다.
"제1", "제2" 등의 용어는 하나의 구성요소를 다른 구성요소로부터 구별하기 위한 것으로, 이들 용어들에 의해 권리범위가 한정되어서는 아니 된다. 예를 들어, 제1 구성요소는 제2 구성요소로 명명될 수 있고, 유사하게 제2 구성요소도 제1 구성요소로 명명될 수 있다.
어떤 구성요소가 다른 구성요소에 "연결되어"있다고 언급된 때에는, 그 다른 구성요소에 직접적으로 연결될 수도 있지만, 중간에 다른 구성요소가 존재할 수도 있다고 이해되어야 할 것이다. 반면에, 어떤 구성요소가 다른 구성요소에 "직접 연결되어"있다고 언급된 때에는 중간에 다른 구성요소가 존재하지 않는 것으로 이해되어야 할 것이다. 한편, 구성요소들 간의 관계를 설명하는 다른 표현들, 즉 "~사이에"와 "바로 ~사이에" 또는 "~에 이웃하는"과 "~에 직접 이웃하는" 등도 마찬가지로 해석되어야 한다.
단수의 표현은 문맥상 명백하게 다르게 뜻하지 않는 한 복수의 표현을 포함하는 것으로 이해되어야 하고, "포함하다"또는 "가지다" 등의 용어는 실시된 특징, 숫자, 단계, 동작, 구성요소, 부분품 또는 이들을 조합한 것이 존재함을 지정하려는 것이며, 하나 또는 그 이상의 다른 특징이나 숫자, 단계, 동작, 구성요소, 부분품 또는 이들을 조합한 것들의 존재 또는 부가 가능성을 미리 배제하지 않는 것으로 이해되어야 한다.
각 단계들에 있어 식별부호(예를 들어, a, b, c 등)는 설명의 편의를 위하여 사용되는 것으로 식별부호는 각 단계들의 순서를 설명하는 것이 아니며, 각 단계들은 문맥상 명백하게 특정 순서를 기재하지 않는 이상 명기된 순서와 다르게 일어날 수 있다. 즉, 각 단계들은 명기된 순서와 동일하게 일어날 수도 있고 실질적으로 동시에 수행될 수도 있으며 반대의 순서대로 수행될 수도 있다.
본 발명은 컴퓨터가 읽을 수 있는 기록매체에 컴퓨터가 읽을 수 있는 코드로서 구현될 수 있고, 컴퓨터가 읽을 수 있는 기록 매체는 컴퓨터 시스템에 의하여 읽혀질 수 있는 데이터가 저장되는 모든 종류의 기록 장치를 포함한다. 컴퓨터가 읽을 수 있는 기록 매체의 예로는 ROM, RAM, CD-ROM, 자기 테이프, 플로피 디스크, 광 데이터 저장 장치 등이 있다. 또한, 컴퓨터가 읽을 수 있는 기록 매체는 네트워크로 연결된 컴퓨터 시스템에 분산되어, 분산 방식으로 컴퓨터가 읽을 수 있는 코드가 저장되고 실행될 수 있다.
여기서 사용되는 모든 용어들은 다르게 정의되지 않는 한, 본 발명이 속하는 분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 일반적으로 이해되는 것과 동일한 의미를 가진다. 일반적으로 사용되는 사전에 정의되어 있는 용어들은 관련 기술의 문맥상 가지는 의미와 일치하는 것으로 해석되어야 하며, 본 출원에서 명백하게 정의하지 않는 한 이상적이거나 과도하게 형식적인 의미를 지니는 것으로 해석될 수 없다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 모수 추정 시스템을 나타내는 도면이다.
도 1을 참조하면, 모수 추정 시스템(100)은 사용자 단말(110), 모수 추정 장치(130) 및 데이터베이스(150)를 포함할 수 있다.
사용자 단말(110)은 모수 추정을 위한 분석데이터를 제공하고 분석 결과를 확인할 수 있는 컴퓨팅 장치에 해당할 수 있고, 스마트폰, 노트북 또는 컴퓨터로 구현될 수 있으며, 반드시 이에 한정되지 않고, 태블릿 PC 등 다양한 디바이스로도 구현될 수 있다. 사용자 단말(110)은 모수 추정 장치(130)와 네트워크를 통해 연결될 수 있고, 복수의 사용자 단말(110)들은 모수 추정 장치(130)와 동시에 연결될 수 있다.
모수 추정 장치(130)는 특수상대성이론 하에서 속도계의 측정단위 및 정확도를 추정하는 동작을 수행하고 그 결과를 제공하는 컴퓨터 또는 프로그램에 해당하는 서버로 구현될 수 있다. 모수 추정 장치(130)는 사용자 단말(110)과 네트워크를 통해 연결될 수 있고 정보를 주고받을 수 있다.
일 실시예에서, 모수 추정 장치(130)는 데이터베이스(150)와 연동하여 수집된 분석데이터를 기초로 선형회귀모형의 오차항에 대한 독립성을 보완하여 선형회귀모형의 모수를 추정하는 과정에서 필요한 데이터를 저장할 수 있다. 한편, 모수 추정 장치(130)는 도 1과 달리, 데이터베이스(150)를 내부에 포함하여 구현될 수 있다. 또한, 모수 추정 장치(130)는 시스템을 구성하는 물리적 구성으로서 프로세서, 메모리, 사용자 입출력부 및 네트워크 입출력부를 포함하여 구현될 수 있으며, 이에 대해서는 도 2에서 보다 자세히 설명한다.
데이터베이스(150)는 모수 추정 장치(130)의 동작 과정에서 필요한 다양한 정보들을 저장하는 저장장치에 해당할 수 있다. 데이터베이스(150)는 모수 추정을 위한 분석데이터를 저장할 수 있고, 분석데이터를 기초한 선형회귀모형에 관한 정보를 저장할 수 있으며, 반드시 이에 한정되지 않고, 모수 추정 장치(130)가 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정하는 과정에서 다양한 형태로 수집 또는 가공된 정보들을 저장할 수 있다.
도 2는 도 1에 있는 모수 추정 장치의 물리적 구성을 설명하는 도면이다.
도 2를 참조하면, 모수 추정 장치(130)는 프로세서(210), 메모리(230), 사용자 입출력부(250) 및 네트워크 입출력부(270)를 포함하여 구현될 수 있다.
프로세서(210)는 모수 추정 장치(130)가 동작하는 과정에서의 각 단계들을 처리하는 프로시저를 실행할 수 있고, 그 과정 전반에서 읽혀지거나 작성되는 메모리(230)를 관리할 수 있으며, 메모리(230)에 있는 휘발성 메모리와 비휘발성 메모리 간의 동기화 시간을 스케줄할 수 있다. 프로세서(210)는 모수 추정 장치(130)의 동작 전반을 제어할 수 있고, 메모리(230), 사용자 입출력부(250) 및 네트워크 입출력부(270)와 전기적으로 연결되어 이들 간의 데이터 흐름을 제어할 수 있다. 프로세서(210)는 모수 추정 장치(130)의 CPU(Central Processing Unit)로 구현될 수 있다.
메모리(230)는 SSD(Solid State Drive) 또는 HDD(Hard Disk Drive)와 같은 비휘발성 메모리로 구현되어 모수 추정 장치(130)에 필요한 데이터 전반을 저장하는데 사용되는 보조기억장치를 포함할 수 있고, RAM(Random Access Memory)과 같은 휘발성 메모리로 구현된 주기억장치를 포함할 수 있다.
사용자 입출력부(250)는 사용자 입력을 수신하기 위한 환경 및 사용자에게 특정 정보를 출력하기 위한 환경을 포함할 수 있다. 예를 들어, 사용자 입출력부(250)는 터치 패드, 터치 스크린, 화상 키보드 또는 포인팅 장치와 같은 어댑터를 포함하는 입력장치 및 모니터 또는 터치스크린과 같은 어댑터를 포함하는 출력장치를 포함할 수 있다. 일 실시예에서, 사용자 입출력부(250)는 원격 접속을 통해 접속되는 컴퓨팅 장치에 해당할 수 있고, 그러한 경우, 모수 추정 장치(130)는 서버로서 수행될 수 있다.
네트워크 입출력부(270)은 네트워크를 통해 외부 장치 또는 시스템과 연결하기 위한 환경을 포함하고, 예를 들어, LAN(Local Area Network), MAN(Metropolitan Area Network), WAN(Wide Area Network) 및 VAN(Value Added Network) 등의 통신을 위한 어댑터를 포함할 수 있다.
도 3은 도 1에 있는 모수 추정 장치의 기능적 구성을 설명하는 도면이다.
도 3을 참조하면, 모수 추정 장치(130)는 이동체 속도 획득부(310), 모델링 수행부(330), 모수 추정부(350) 및 제어부(370)를 포함할 수 있다.
이동체 속도 획득부(310)는 관찰자에 의해 운용되고 특정 측정단위를 갖는 속도계를 통해 이동체의 속도를 측정한 측정 속도와 관찰자에 대한 이동체의 실제 속도를 획득할 수 있다. 일 실시예에서, 이동체 속도 획득부(310)는 미확인 상태의 측정단위를 특정 측정단위로서 포함하고 속도 측정에 대한 오차 - 상기 오차는 무시할 수 있을 만큼의 작은 오차(negligible error)를 제외함 - 를 포함하는 속도계를 통해 이동체의 속도를 측정함으로써 측정 속도를 획득할 수 있다. 이 경우, 관찰자에 대한 이동체의 실제 속도는 무시할 수 있을 만큼의 작은 오차(negligible error)를 갖는 속도계로 측정한 이동체의 속도를 포함할 수 있다.
한편, 이동체 속도 획득부(310)는 사용자 단말(110)을 통해 특정 이동체에 관한 측정 속도 및 실제 속도를 수신하거나 또는 데이터베이스(150)에 저장된 데이터를 읽어오는 방법을 통해 해당 정보를 획득할 수 있음은 물론이다.
즉, 모수 추정 장치(130)는 알려지지 않은 측정단위로 물체의 속도를 측정하는 오차를 갖는 속도계의 속도 측정단위 및 정확도를 통계적으로 추정할 수 있다.
모델링 수행부(330)는 측정 속도를 종속변수로 하고 관찰자에 대한 이동체의 실제 속도를 독립변수로 하는 선형회귀모형(Linear Regression Model)의 모델링을 수행할 수 있다.
모수 추정부(350)는 로렌츠 속도 변환을 기준으로 오차항의 독립성을 보정한 후 선형회귀방정식의 모수를 추정할 수 있다. 일 실시예에서, 모수 추정부(350)는 독립변수가 열린 구간(Open Interval) (-c,c)(상기 c는 임의의 유한값, any finite value)으로 제한되는 것으로 설정할 수 있다. 즉, 모수 추정부(350)는 현실에서 물체의 속도는 특수상대성이론에 따라 c를 빛의 속력(광속)이라 할 때, (-c,c) 구간에서만 관찰될 수 있고, 동일한 물체의 속도는 속도가 다른 관찰자들 간에 로렌츠 속도 변환으로 변환하게 된다는 점을 반영하여 오차의 독립성을 보정할 수 있다.
한편, 본 발명에 대해 c가 광속인 경우를 예로 들어 설명하고 있으나, 반드시 이에 한정되지 않고, c는 물체의 실제 속도를 측정하는 속도계의 측정단위에 따라 임의의 유한값(finite value)이 될 수 있음은 물론이다.
보다 구체적으로, 모수 추정부(350)는 오차항이 물체의 정확한 속도뿐만 아니라 측정하는 사람의 속도에도 독립이라는 조건을 충족하는 형태로 보정할 수 있으며, 해당 보정은 측정하는 사람의 속도에 독립적이면서 물체의 속도를 특정하는 값과 오차항의 독립관계를 설정한 결과를 기초로 처리될 수 있다. 이를 위하여, 모수 추정부(350)는 각 이동체 i의 정지질량(rest mass)이 일정하다고 가정한 경우 상대론적 운동량 중심(relativistic center of momentum)에서 측정한 물체의 운동량과 오차항의 독립관계를 활용하여 모수를 추정할 수 있다.
일 실시예에서, 모수 추정부(350)는 선형회귀방정식으로서 다음의 수학식 1로 정의되는 모집단 회귀방정식에 대한 오차항의 독립성을 특정할 수 있다. 즉, 모수 추정 장치(130)는 선형회기모형을 구축하여 최소자승법(Least Square Method)을 통해 모수로서 속도계의 속도 측정단위와 정확도를 통계적으로 추정할 수 있다.
[수학식 1]
Figure 112020028788740-pat00025
여기에서, Yi: 속도계로 측정한 이동체 i의 속도이고, Xi: 이동체 i의 실제 속도(혹은 무시할 수 있을 만큼의 작은 오차를 갖는 속도계로 측정한 이동체 i의 속도)이고, β0: 속도계의 정확도(accuracy), 체계적 오류이고, β1: 속도계의 측정단위이고, εi: N(0,σ2)를 따르는 오차항이다.
만약, Xi가 무시할 수 있을 만큼의 작은 오차(negligible error)를 갖는 속도계로 측정한 이동체 i의 속도에 해당하는 경우, Yi는 속도 측정에 대한 오차 - 상기 오차는 무시할 수 있을 만큼의 작은 오차(negligible error)를 제외함 - 를 포함하는 속도계로 측정한 이동체 i의 속도에 해당할 수 있다.
일 실시예에서, 모수 추정부(350)는 로렌츠 속도 변환에서 모든 이동체가 동일한 정지질량을 가진 것으로 설정하고 상대론적 운동량 중심에서 측정된 이동체의 신속도(Rapidity) φ를 적용하여 오차항의 독립성을 E[ε·f(φ)] = 0으로 보정할 수 있다.
일 실시예에서, 모수 추정부(350)는 보정된 오차항의 독립성을 기초로 모집단 모멘트 조건(Population Moment Condition)으로서 E[ε] = 0 및 E[ε·sinh(φ)] = 0을 도출하고 모집단 회귀방정식 및 상기 도출된 모집단 모멘트 조건을 이용하여 선형회귀방정식의 모수를 추정할 수 있다.
일 실시예에서, 모수 추정부(350)는 모집단 회귀방정식 및 도출된 모집단 모멘트 조건에 대응되는 표본 회귀방정식 및 표본 모멘트 조건(Sample Moment Condition)을 도출한 후 상기 선형회귀방정식의 모수를 추정할 수 있다.
일 실시예에서, 모수 추정부(350)는 선형회귀방정식의 모수로서 속도계의 정확도와 측정단위를 각각 다음의 수학식 2를 통해 추정할 수 있다.
[수학식 2]
Figure 112020028788740-pat00026
여기에서,
Figure 112020028788740-pat00027
: 속도계의 추정 정확도이고,
Figure 112020028788740-pat00028
: 속도계의 추정 측정단위이다. 또한,
Figure 112020028788740-pat00029
,
Figure 112020028788740-pat00030
,
Figure 112020028788740-pat00031
,
Figure 112020028788740-pat00032
및
Figure 112020028788740-pat00033
이다.
일 실시예에서, 모수 추정부(350)는 추정된 선형회귀방정식의 모수를 기초로 해당 모수에 관한 분산 및 공분산을 추정할 수 있다.
일 실시예에서, 모수 추정부(350)는 추정된 선형회귀방정식의 모수를 기초로 다음의 수학식 3을 통해 해당 모수에 관한 분산을 각각 추정할 수 있다.
[수학식 3]
Figure 112020028788740-pat00034
Figure 112020028788740-pat00035
여기에서, Var(
Figure 112020028788740-pat00036
):
Figure 112020028788740-pat00037
에 관한 분산이고, Var(
Figure 112020028788740-pat00038
):
Figure 112020028788740-pat00039
에 관한 분산이다. 또한,
Figure 112020028788740-pat00040
,
Figure 112020028788740-pat00041
,
Figure 112020028788740-pat00042
및
Figure 112020028788740-pat00043
이다.
일 실시예에서, 모수 추정부(350)는 추정된 선형회귀방정식의 모수를 기초로 다음의 수학식 4를 통해 해당 모수 간의 공분산을 추정할 수 있다.
[수학식 4]
Figure 112020028788740-pat00044
여기에서, Cov(
Figure 112020028788740-pat00045
,
Figure 112020028788740-pat00046
):
Figure 112020028788740-pat00047
와
Figure 112020028788740-pat00048
간의 공분산이다.
제어부(370)는 모수 추정 장치(130)의 전체적인 동작을 제어하고, 이동체 속도 획득부(310), 모델링 수행부(330) 및 모수 추정부(350) 간의 제어 흐름 또는 데이터 흐름을 관리할 수 있다.
도 4는 본 발명의 일 실시예에 따른 오차항의 독립성 보정 기반의 속도 측정을 위한 모수 추정 과정을 설명하는 순서도이다.
도 4를 참조하면, 모수 추정 장치(130)는 이동체 속도 획득부(310)를 통해 관찰자에 의해 운용되고 특정 측정단위를 갖는 속도계를 통해 이동체의 속도를 측정한 측정 속도와 관찰자에 대한 이동체의 실제 속도를 획득할 수 있다(단계 S410). 모수 추정 장치(130)는 모델링 수행부(330)를 통해 측정 속도를 종속변수로 하고 실제 속도를 독립변수로 하는 선형회귀모형(Linear Regression Model)의 모델링을 수행할 수 있다(단계 S430). 만약 독립변수가 열린 구간으로 제한되는 경우라면, 즉 X∈(-c,c)(c는 임의의 유한값)인 경우 모수 추정 장치(130)는 모수 추정부(350)를 통해 로렌츠 속도 변환을 기준으로 선형회귀방정식(Linear Regression Equation)에 대한 오차항의 독립성을 보정한 후 선형회귀방정식의 모수를 추정할 수 있다(단계 S453).
이와 반대로, 독립변수가 열린 구간으로 제한되지 않는 경우라면, 즉 X∈(-∞,∞)인 경우 모수 추정 장치(130)는 모수 추정부(350)를 통해 갈릴레이 속도 변환을 기준으로 선형회귀방정식(Linear Regression Equation)에 대한 오차항의 독립성을 특정한 후 선형회귀방정식의 모수를 추정할 수도 있다(단계 S451). 이 경우, OLS 추정량 및 그 분산이 활용될 수 있다.
이하, 본 발명에 따른 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법에 대해 보다 구체적으로 설명한다.
1. 소개(Introduction)
선형회귀(linear regression)는 경험적 분석(empirical analysis)에서 가장 자주 사용되는 모형들 중 하나이다.
Figure 112020028788740-pat00049
여기에서, βp는 독립변수 Xp와 종속변수 Y 사이의 연관성 측도(measure of association)이며, β0은 모든 Xp들이 0과 같을 때 Y의 예상값이다. εi는 오차항(error term)이다.
선형회귀모형은 다음의 가정들(assumptions)을 기반으로 한다.
가정 1. 독립변수는 오차없이 측정된다.
가정 2. 오차는 독립변수와 독립적이다.
가정 3. 오차는 독립적이고 동일하게 정규 분포(independently and identically normally distributed)된다.
선형회귀모형에서 알려지지 않은 모수(unknown parameter)는 OLS 방법(ordinary least squares method)을 사용하여 추정되는 경우가 많다. 왜냐하면 OLS(ordinary least squares) 추정량이 불편성(unbiasedness), 일관성(consistency) 및 효율성(efficiency)과 같은 모수 추정량으로서의 바람직한 특성들을 가지기 때문이다.
선형회귀모형과 OLS 추정량은 위의 가정들이 참일 경우에만 정확한 추론과 추정값을 제공한다. 독립변수에 대해 조건부 정규 분포된다는 오차항의 가정은 종속변수가 임의의 실수(real numbers)일 수 있음을 의미한다. 종속변수의 범위가 제한된 경우(예를 들어, 변수가 불연속적이거나 경계를 가진 경우) 이 가정에 위배된다. 종속변수가 제한된 선형회귀모형은 추론의 심각한 오류를 초래할 수 있으므로 중도절단(censored) 종속변수에 대한 토빗(Tobit) 모형 및 카운트(count)(음수가 아닌 정수) 종속변수에 대한 포아송(Poisson) 회귀모형과 같은 대체 비선형 모형 및 절차가 개발 및 채택되어 왔다.
반대로, 연구자들은 외생적이고(exogenous) 오차없이 측정되는 한 제한된 범위의 독립변수가 모형에 존재하는지 여부에 주의를 기울이지 않는다. 왜냐하면, 선형회귀모형의 어떠한 가정에도 위배되지 않기 때문이다. 비록 독립변수의 범위가 제한됨에도 불구하고, 선형회귀모형의 알려지지 않은 모수를 추정하기 위해 전통적인(예를 들어, OLS) 추정량들이 사용된다.
독립변수가 외생적이고 오차없이 측정되는 한 독립변수의 범위가 제한될 때 OLS 추정량을 사용하여 문제가 발생하는가? 만약 그렇다면, 독립변수의 범위가 제한될 때 바람직한 추정량은 무엇인가?
독립변수의 범위가 제한되는 상황에서 OLS 추정량을 사용할 때 발생하는 문제를 조사하기 위해 외생적이고 오차가 없는 독립변수가 본질적으로 열린 구간(open interval)으로 제한되는 단순선형회귀모형(simple linear regression model)을 조사한다. 선형회귀모형은 특수상대성에 따라 속도계의 단위(스케일)(경사 계수) 및 정확도(절편 계수)를 추정하고자 할 때 활용된다(자세한 내용은 2장 참조). 이 모형에서, 종속변수는 정규분포를 따르는 오차를 갖는 속도계를 통해 관찰자가 측정한 물체의 속도이며, 독립변수는 관찰자에 대한 물체의 실제 속도이다. 특수상대성이론이 적용되는 실제 세계에서 관찰자에 대한 (질량을 갖는, 다시말해 정지질량이 0보다 큰) 물체의 실제 속도(독립변수)는 열린 구간, (-c,c)으로 제한된다. 여기에서, c는 빛의 속도이다.
경사 계수에 대한 OLS 추정량은 특수상대성 하에서 관찰자의 속도에 따라 달라진다. 이 문제를 해결하기 위해 본 발명은 관찰자의 속도와 무관한 경사 계수에 대한 새로운 추정량을 제안하여 사용한다. 이와 아울러 새로운 절편계수에 대한 추정량 또한 제안하여 사용한다.
제안된 추정량은 불편추정량(unbiased estimator)임이 확인되었고 c가 무한대에 가까워지면 OLS 추정량으로 수렴한다. 제안된 추정량의 분산은 OLS 추정량보다 크며, 이는 독립변수의 범위가 제한될 경우 추정된 경사계수와 절편계수의 불확실성이 더 크다는 사실을 반영한다. c가 무한대에 가까워지면 제안된 추정량의 분산도 OLS 추정량의 분산으로 수렴한다.
이하, 나머지 부분은 다음과 같이 구성된다. 2장에서는 특수 상대성에 따른 선형회귀모형을 설명한다. 3장에서는 특수상대성이론 하에서 선형회귀모형에 OLS 추정량을 사용하는 것이 부적절하다는 것을 설명한다. 4장에서는 대체 추정량(alternative estimator)의 이론적 근거를 제공한다. 5장에서는 특수상대성이론 하에서 선형회귀모형에 대한 대체 추정량을 설명한다. 6장에서는 대체 추정량의 특성을 설명한다. 마지막으로, 7장에서는 결론을 요약하여 제공한다.
2. 특수상대성 하에서의 선형회귀모형(Linear regression model under special relativity)
본 장에서는 본질적으로 열린 구간 (-c,c)으로 제한된(bounded) 독립변수를 가진 단순선형회귀모형이 나타나는 특수상대성적 상황을 설명한다.
엔지니어가 속도계를 개발했다고 가정한다. 정밀도(precision) 측면에서 속도계는 평균이 0이고 분산이 알려지지 않은 정규 분포를 따르는 랜덤(무작위적인) 오차를 가진다. 랜덤 오차는 측정되는 물체의 실제 속도뿐만 아니라 속도계를 보유한 관찰자의 속도와도 독립적이다. 엔지니어는 미터/초, 마일/시간 또는 기타 등 어떠한 단위를 통해 속도계가 물체의 속도를 측정하는지 확신할 수 없다. 물체의 실제 속도가 미터/초로 측정되면, 새로 개발된 속도계의 단위는 β1 미터/초로 나타낼 수 있다. 최악의 경우, 속도계는 물체의 실제 속도를 전혀 반영하지 않는다, 즉 β1 = 0이다. 또한, 엔지니어는 관찰자로부터 정지해 있는 물체의 속도를 측정할 때 속도계가 0으로 조정되었는지, 즉 속도계가 0의 속도로 표시되는지 확신할 수 없다. 즉, 속도계는 정확도 측면에서 체계적인 오류(systematic bias) β0를 갖는다.
엔지니어는 물체의 속도를 미터/초로 정확하게 측정하는 속도계(혹은 무시할 수 있을 만큼의 작은 오차를 갖는 속도계)가 있는 동료 연구원에게 속도계를 가져왔다. 엔지니어는 속도계가 물체의 속도를 측정할 수 있는지(즉 β1 ≠ 0 인지), 그렇다면(즉 β1 ≠ 0 이라면) 속도계가 사용하는 스케일이 얼마인지(측정단위가 무엇인지)와 관찰자로부터 정지해 있는 물체에 대해 0의 속도를 보장하기 위해 자신의 속도계를 얼마나 조정해야 하는지 연구원에게 물었다. 실제(상대론적) 세계에서, (질량을 갖는, 정지질량이 0 보다 큰) 물체의 실제 속도는 열린 구간 (-c,c)으로 제한된다. 여기에서, c는 미터/초 단위의 광속이다. 따라서, 연구원의 속도계는 항상 (-c,c) 범위 내의 값을 보여준다.
따라서, 모집단 회귀방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112020028788740-pat00050
Yi: 새로 개발된 속도계로 측정한 물체 i의 속도
Xi: 미터/초 단위로 물체 i의 실제 속도, Xi ∈ (-c,c)
β0: 관찰자로부터 정지해 있는 물체에 대한 속도계의 체계적 오류
β1: 미터/초 단위의 속도계의 스케일(측정단위)
εi: N(0,σ2)(정규분포)를 따르는 속도계의 오차항
3. 특수상대성이론 하에서 OLS 추정량의 부적합성 조사(Investigating the inadequacy of OLS estimator under special relativity)
본 장에서는 특수상대성 하에서 OLS 추정량을 사용하는 것이 부적절하다는 것을 설명한다.
3.1. 뉴턴 우주(Newtonian universe)
엔지니어와 연구원이 뉴턴 우주에 살고 있다고 가정한다. (질량을 갖는, 정지질량이 0 보다 큰) 물체의 실제 속도는 뉴턴 우주에서 -∞에서 ∞까지의 범위일 수 있으므로 회귀모형은 독립변수의 범위가 제한되지 않는 단순선형회귀모형이 된다.
연구원은 새로 개발된 속도계와 정확한 속도계(혹은 무시할 수 있을 만큼의 작은 오차를 갖는 속도계)로 직선을 따라 움직이는 N 개의 물체들의 속도를 측정하는 실험을 수행할 수 있다. 연구원은 관련 데이터를 통해 OLS 추정량을 사용하여 알 수 없는 모수(unknown parameter)들을 추정할 수 있다.
식 (2.1)에 해당하는 OLS 표본 회귀방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
Figure 112020028788740-pat00051
여기에서,
Figure 112020028788740-pat00052
및
Figure 112020028788740-pat00053
는 각각 β0 및 β1의 OLS 추정량이고,
Figure 112020028788740-pat00054
는 표본 i의 OLS 잔차(residual)이다.
OLS 추정량
Figure 112020028788740-pat00055
및
Figure 112020028788740-pat00056
의 1 차 조건은 각각
Figure 112020028788740-pat00057
및
Figure 112020028788740-pat00058
과 같다.
OLS 추정량은 모집단 모멘트 조건 E[ε] = 0 및 E[ε·X] = 0에 기초한 적률추정량(method of moments estimator)으로 간주될 수 있다.
추정값
Figure 112020028788740-pat00059
및
Figure 112020028788740-pat00060
는 이변량정규분포를 따르며(bivariate normally distributed), 그 평균(means), 분산(variances) 및 공분산(covariance)은 다음과 같다.
Figure 112020028788740-pat00061
여기에서,
Figure 112020028788740-pat00062
및
Figure 112020028788740-pat00063
이다.
Figure 112020028788740-pat00064
는 속도계의 스케일이고
Figure 112020028788740-pat00065
는 체계적 오류의 추정값이다. 이의 (동시) 신뢰 구간((simultaneous) confidence interval)은 분산과 공분산에 의해 결정될 수 있다.
만일, 연구원이 일정 속도 v*로 이전보다 상대적으로 양의 방향으로 이동하면서 정확한 속도계(혹은 무시할 수 있을 만큼의 작은 오차를 갖는 속도계)로 물체의 속도를 측정했다면,
Figure 112020028788740-pat00066
을 획득할 것이다. 이 변환은 갈릴레이 속도 변환이라 한다. xi와 x'i의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112020028788740-pat00067
여기에서,
Figure 112020028788740-pat00068
및
Figure 112020028788740-pat00069
이다.
Xi와 X'i는 동일한 평균이 제거된 속도(demeaned velocity) xi를 갖는다. 다시 말해, 평균이 제거된 속도는 갈릴레이 속도 변환(Galilean velocity transformation)에서 변하지 않는다. 또한, 평균이 제거된 속도의 합은 0이고 (
Figure 112020028788740-pat00070
), Xi, X'I 및 xi는 동일한 분산을 갖는다.
만일, 연구원이 이전보다 일정한 속도 v*로 양의 방향으로 이동하면서 새로 개발된 속도계로 물체의 속도를 측정했다면
Figure 112020028788740-pat00071
를 측정하게 될 것이다.
오차항은 연구원의 속도와 물체의 실제 속도와 독립적이어야 하므로, 실제 속도에 대한 오차항의 독립성은 연구원의 속도에서 변하지 않는 평균이 제거된 속도 xi에 의해 특정되어야 한다. 따라서, 물체의 실제 속도와 연구원의 실제 속도로부터의 오차항의 독립성은 E[ε·x] = 0으로 특정된다. E[ε·x] = 0은 E[ε·X] = 0과 동일하고 x와 독립적인 오차항은 또한 X 및 X'와 독립적이다.
X'i 및 Y'i에 기반한 OLS 추정량
Figure 112020028788740-pat00072
및 분산 Var(
Figure 112020028788740-pat00073
)는 각각
Figure 112020028788740-pat00074
및 Var(
Figure 112020028788740-pat00075
)와 동일하다.
이는 β1에 대한 OLS 추정량과 그 분산이 뉴턴 우주에서 연구원의 속도에 관계없이 변하지 않는다는 것을 보여준다. 즉, β1에 대한 OLS 추정량 및 그 분산은 갈릴레이 속도 변환에서 변하지 않는다.
3.2. 실제 상대론적 세계(Real relativistic world)
현실 세계는 뉴턴 우주와 다르다. 실제 (상대론적) 세계에서, (질량을 갖는, 정지질량이 0 보다 큰) 물체의 실제 속도는 열린 구간 (-c,c)으로 제한되며, 여기에서 c는 빛의 속도이다. 또한, 실제 (상대론적) 세계의 연구원이 이전보다 일정한 속도 v*로 양의 방향으로 이동하면서 물체의 속도를 측정한다면 로렌츠 속도 변환(Lorentz velocity transformation)에 따라 다음 속도를 획득할 수 있다.
Figure 112020028788740-pat00076
뉴턴 우주 사례와 달리 X”i 및 Y”i를 기반으로 하는 OLS 추정량
Figure 112020028788740-pat00077
및 그 분산 Var(
Figure 112020028788740-pat00078
)는
Figure 112020028788740-pat00079
및 Var(
Figure 112020028788740-pat00080
)와 다르다. 이는 β1에 대한 OLS 추정량과 그 분산이 실제 (상대론적) 세계에서 연구원의 속도에 독립적이지 않다는 것을 보여준다.
이 문제는 로렌츠 속도 변환에서 평균이 제거된 속도가 일정하지 않기 때문에 발생한다. Xi와 X”i는 서로 다른 평균이 제거된 속도, 즉 xi ≠ x”i (여기에서
Figure 112020028788740-pat00081
및
Figure 112020028788740-pat00082
이다.)를 갖기 때문에 E[ε·X] = 0은 E[ε·X”] = 0과 동일하지 않다.
이 결과는 실제 (상대론적) 세계에서 연구원의 속도와 무관한 β1 및 그 분산에 대한 추정값을 획득하려면, 물체의 속도와 오차항의 독립성과 연구원의 속도와 오차항의 독립성이 로렌츠 속도 변환에서 변하지 않는 양으로 동시에 특정될 필요가 있음을 보여준다.
4. 상대론적 우주에서 오차항의 독립성(Independence of error term in the relativistic universe)
본 장에서는 로렌츠 속도 변환에서 변하지 않는 양(불변량)을 찾고 물체의 속도와 오차항의 독립성과 연구원의 속도와 오차항의 독립성을 동시에 특정하는 방법을 제안한다. 목표는 회귀모형의 모수를 올바르게 추정하는 것이다. 특수상대성 개념과 로렌츠 불변량 개념에 대한 자세한 내용을 생략한다.
물리학에서 속도 X의 신속도(rapidity) θ는 다음과 같이 정의된다.
Figure 112020028788740-pat00083
신속도가 θ이고 정지질량이 m인 물체의 상대 운동량(relativistic momentum)과 에너지는 다음과 같이 정의된다.
Figure 112020028788740-pat00084
θi, θ”i 및 θ*를 각각 Xi, X”i 및 v*의 신속도라 하자.
Figure 112020028788740-pat00085
그렇다면, θi, θ”i 및 θ* 사이에 다음의 관계가 성립한다.
Figure 112020028788740-pat00086
따라서, Xi 및 X”i는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112020028788740-pat00087
θ0 및 θ”0를 다음과 같이 정의하자.
Figure 112020028788740-pat00088
그렇다면, θ0, θ”0 및 θ* 사이에 다음의 관계가 성립한다.
Figure 112020028788740-pat00089
φi = θi - θ0이라 하면, θi 및 θ”i는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112020028788740-pat00090
이 결과는 φi가 연구원의 속도에 관계없이 변하지 않는다는 것을 보여준다. φi는 변하지 않기 때문에 φi의 모든 함수, 특히 상대론적 운동량 sinh(φi)과 상대론적 에너지 cosh(φi)는 연구원의 속도에 관계없이 변하지 않는다. 또한, 다음 관계가 성립한다.
Figure 112020028788740-pat00091
식 (4.16)은 연구원이 이전보다 일정한 신속도 θ0으로 양의 방향으로 이동하면서 물체의 속도(신속도)를 측정했다면 모든 물체가 동일한 정지질량을 가진다고 가정할 때 물체들의 상대론적 운동량의 합은 0과 같음을 보여준다. 이 가정 하에서, 신속도 θ0는 상대론적 운동량 중심과 관련이 있다. 따라서, φi는 모든 물체가 동일한 정지질량을 가졌다고 가정할 때 상대론적 운동량 중심에서 측정된 물체 i의 신속도(rapidity)로 간주될 수 있다.
오차항은 물체의 실제 속도뿐만 아니라 연구원의 속도와도 독립적이어야 하므로 오차항의 독립성은 연구원의 속도에 대해서 변하지 않는 양으로 특정될 필요가 있다. 따라서, 오차항의 독립성은 E[ε·f(φ)] = 0으로 특정될 수 있다.
모수는 모집단 모멘트 조건 E[ε] = 0 및 E[ε·f(φ)] = 0에 대응되는 다음의 샘플 모멘트 조건을 사용하여 추정될 수 있다.
Figure 112020028788740-pat00092
β1 = 0인 경우, 만약
Figure 112020028788740-pat00093
라면 β0는 고유하게 식별되지 않는다. 그래서,
Figure 112020028788740-pat00094
가 0이어야 한다. 따라서, 모집단 모멘트 조건으로 E[ε·sinh(φ)] = 0이 선택된다.
5. 특수 상대론적 선형회귀 추정량(Special relativistic linear regression estimator)
모집단 회귀 방정식은 식 (2.1)과 같다. 모집단 모멘트 조건은 다음과 같다.
Figure 112020028788740-pat00095
표본 회귀 방정식은 다음과 같다.
Figure 112020028788740-pat00096
한편, 표본 모멘트 조건은 다음과 같다.
Figure 112020028788740-pat00097
식 (5.4)로부터 다음과 같이 도출된다.
Figure 112020028788740-pat00098
식 (5.5)로부터 다음과 같이 도출된다.
Figure 112020028788740-pat00099
Figure 112020028788740-pat00100
임을 참고하자(증명은 A.1 참조).
따라서, 다음과 같이 도출된다.
Figure 112020028788740-pat00101
6. 특수 상대론적 선형회귀 추정량의 특성(Properties of Special relativistic linear regression estimator)
본 장에서는, 제안된 추정량의 특성들을 설명한다.
6.1
Figure 112020028788740-pat00102
의 선형성(Linearity of
Figure 112020028788740-pat00103
)
추정량
Figure 112020028788740-pat00104
은 Y의 표본값, Yi(i = 1, …, N)의 선형 조합으로서 표현될 수 있다. 식 (5.8)을 참조하면,
Figure 112020028788740-pat00105
이고, 이때
Figure 112020028788740-pat00106
이다. 이는
Figure 112020028788740-pat00107
이 정규분포를 따르고 있음을 의미한다. 또한, (5.9)에서
Figure 112020028788740-pat00108
이므로,
Figure 112020028788740-pat00109
또한 정규분포를 따른다. 따라서,
Figure 112020028788740-pat00110
과
Figure 112020028788740-pat00111
은 이변량 정규분포를 따른다.
6.2
Figure 112020028788740-pat00112
과
Figure 112020028788740-pat00113
의 불편성(Unbiasedness of
Figure 112020028788740-pat00114
and
Figure 112020028788740-pat00115
)
Figure 112020028788740-pat00116
이고,
Figure 112020028788740-pat00117
이다.
Figure 112020028788740-pat00118
따라서,
Figure 112020028788740-pat00119
은 β1의 불편추정량(unbiased estimator)이다.
Figure 112020028788740-pat00120
따라서,
Figure 112020028788740-pat00121
은 β0의 불편추정량(unbiased estimator)이다.
6.3.
Figure 112020028788740-pat00122
과
Figure 112020028788740-pat00123
의 분산(Variance of
Figure 112020028788740-pat00124
and
Figure 112020028788740-pat00125
)
yi가 독립적으로 분포되어 있다는 가정을 사용하면
Figure 112020028788740-pat00126
의 분산은 다음과 같다.
Figure 112020028788740-pat00127
식 (6.1)을 참조하면 다음과 같다.
Figure 112020028788740-pat00128
따라서, 다음과 같다.
Figure 112020028788740-pat00129
Figure 112020028788740-pat00130
Figure 112020028788740-pat00131
Figure 112020028788740-pat00132
Figure 112020028788740-pat00133
,
Figure 112020028788740-pat00134
및
Figure 112020028788740-pat00135
이라 하자.
Figure 112020028788740-pat00136
Figure 112020028788740-pat00137
따라서, 다음과 같다.
Figure 112020028788740-pat00138
Figure 112020028788740-pat00139
의 분산은 다음과 같다.
Figure 112020028788740-pat00140
6.4.
Figure 112020028788740-pat00141
과
Figure 112020028788740-pat00142
간의 공분산(Covariance between
Figure 112020028788740-pat00143
and
Figure 112020028788740-pat00144
)
Figure 112020028788740-pat00145
과
Figure 112020028788740-pat00146
간의 공분산은 다음과 같다.
Figure 112020028788740-pat00147
7. 요약 및 결론(Summary and conclusions)
독립변수가 특수상대성 환경에서 열린 구간 (-c,c)으로 제한될 때 선형회귀 모수를 추정하기 위해 OLS를 사용하는 경우 발생하는 문제를 설명했다. 경사 모수(slope parameter)에 대한 OLS 추정값은 로렌츠 속도 변환 하에서 변하지 않는 것으로 나타났다.
특수상대성 하에서 선형회귀의 모수에 대한 대체 추정량으로서 로렌츠 속도 변환에서 변하지 않는 추정량을 제안했다. 제안된 추정량은 불편추정량(unbiased estimator)이고, c가 무한대에 접근할 때 OLS 추정량으로 수렴한다. c가 무한대에 접근할 때 제안된 추정량의 분산도 OLS 추정량의 분산으로 수렴한다. 따라서, 독립변수의 범위가 열린 구간으로 제한될 때 제안된 추정량은 OLS 추정량의 일반화(generalization)로 간주될 수 있다.
제안된 추정량의 분산은 OLS 추정량의 분산보다 크다. 이는 독립변수의 범위가 제한될 때 불확실성이 더 크다는 것을 나타낸다. OLS 추정량 및 그 분산으로 구성된 신뢰 구간은 제안된 추정량 및 그 분산으로 구성된 신뢰 구간보다 좁기 때문에 OLS 추정량 및 분산을 사용한 가설 검정에서 독립변수의 범위가 제한될 때 엄밀하지 않은 검정(liberal test)이 발생할 수 있음을 보여준다.
한편, 본 발명은 특수상대성이론 하에서 알려지지 않은 측정단위로 물체의 속도를 측정하는 오차를 갖는 속도계의 측정단위 및 정확도를 통계적으로 추정할 수 있는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법을 구체적으로 설명하였으나, 반드시 이에 한정되지 않고, 특수상대성이론 하에서 측정단위가 알려지지 않은 오차가 있는 측정 속도와 실제 속도 간의 관계에 대응되는 다른 유형의 데이터에 대해서도 효과적으로 적용할 수 있음은 물론이다.
상기에서는 본 발명의 바람직한 실시예를 참조하여 설명하였지만, 해당 기술 분야의 숙련된 당업자는 하기의 특허 청구의 범위에 기재된 본 발명의 사상 및 영역으로부터 벗어나지 않는 범위 내에서 본 발명을 다양하게 수정 및 변경시킬 수 있음을 이해할 수 있을 것이다.
100: 모수 추정 시스템
110: 사용자 단말 130: 모수 추정 장치
150: 데이터베이스
210: 프로세서 230: 메모리
250: 사용자 입출력부 270: 네트워크 입출력부
310: 이동체 속도 획득부 330: 모델링 수행부
350: 모수 추정부 370: 제어부

Claims (13)

  1. 관찰자에 의해 운용되고 특정 측정단위를 갖는 속도계를 통해 이동체의 속도를 측정한 측정 속도와 상기 관찰자에 대한 상기 이동체의 실제 속도를 획득하는 단계;
    상기 측정 속도를 종속변수로 하고 상기 실제 속도를 독립변수로 하는 선형회귀모형(Linear Regression Model)의 모델링을 수행하는 단계; 및
    로렌츠 속도 변환을 기준으로 선형회귀방정식(Linear Regression Equation)에 대한 오차항의 독립성을 보정한 후 상기 선형회귀방정식의 모수를 추정하는 단계를 포함하고,
    상기 모수를 추정하는 단계는 상기 로렌츠 속도 변환에서 모든 이동체가 동일한 정지질량을 가진 것으로 설정하고 상대론적 운동량 중심에서 측정된 이동체의 신속도(Rapidity) φ를 적용하여 상기 오차항의 독립성을 E[ε·f(φ)] = 0으로 보정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법.
    (여기에서, E[ε] 및 E[ε·f(φ)]는 각각 ε 및 ε·f(φ)의 기대값이며, E[ε] =
    Figure 112021064466430-pat00176
    , E[ε·f(φ)] =
    Figure 112021064466430-pat00177
    이다.)
  2. 제1항에 있어서,
    상기 실제 속도는 소정의 기준값 미만의 오차(negligible error) - 상기 기준값은 무시할 수 있을 만큼의 작은 값으로 특정됨 - 를 갖는 속도계로 측정한 이동체의 속도를 포함하고,
    상기 속도를 획득하는 단계는 알려지지 않은 측정단위를 상기 특정 측정단위로서 포함하고 속도 측정에 대한 오차 - 상기 오차는 상기 기준값 미만의 오차를 제외함 - 를 포함하는 속도계를 통해 상기 이동체의 속도를 측정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법.
  3. 제1항에 있어서, 상기 모수를 추정하는 단계는
    상기 선형회귀방정식으로서 다음의 수학식 1로 정의되는 모집단 회귀방정식에 대한 오차항의 독립성을 특정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법.

    [수학식 1]
    Figure 112021064466430-pat00148


    Yi: 속도계로 측정한 이동체 i의 속도
    Xi: 이동체 i의 실제 속도(혹은 소정의 기준값 미만의 오차를 갖는 속도계로 측정한 이동체 i의 속도)
    β0: 속도계의 정확도(accuracy), 체계적 오류
    β1: 속도계의 측정단위
    εi: N(0,σ2)를 따르는 오차항
  4. 제1항에 있어서, 상기 모수를 추정하는 단계는
    상기 독립변수가 열린 구간(Open Interval) (-c,c)(상기 c는 임의의 유한값, any finite value)으로 제한되는 것으로 설정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법.
  5. 삭제
  6. 제1항에 있어서, 상기 모수를 추정하는 단계는
    보정된 상기 오차항의 독립성을 기초로 모집단 모멘트 조건(Population Moment Condition)으로서 E[ε] = 0 및 E[ε·sinh(φ)] = 0을 도출하고 모집단 회귀방정식 및 상기 도출된 모집단 모멘트 조건을 이용하여 상기 선형회귀방정식의 모수를 추정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법.
  7. 제6항에 있어서, 상기 모수를 추정하는 단계는
    상기 모집단 회귀방정식 및 상기 도출된 모집단 모멘트 조건에 대응되는 표본 회귀방정식 및 표본 모멘트 조건(Sample Moment Condition)을 도출한 후 상기 선형회귀방정식의 모수를 추정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법.
  8. 제7항에 있어서, 상기 모수를 추정하는 단계는
    상기 선형회귀방정식의 모수로서 상기 속도계의 정확도와 측정단위를 각각 다음의 수학식 2를 통해 추정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법.

    [수학식 2]
    Figure 112020028788740-pat00149


    Figure 112020028788740-pat00150
    : 속도계의 추정 정확도,
    Figure 112020028788740-pat00151
    : 속도계의 추정 측정단위
    Figure 112020028788740-pat00152
    ,
    Figure 112020028788740-pat00153
    ,
    Figure 112020028788740-pat00154

    Figure 112020028788740-pat00155
    ,
    Figure 112020028788740-pat00156

  9. 제8항에 있어서, 상기 모수를 추정하는 단계는
    상기 추정된 선형회귀방정식의 모수를 기초로 해당 모수에 관한 분산 및 공분산을 추정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법.
  10. 제9항에 있어서, 상기 모수를 추정하는 단계는
    상기 추정된 선형회귀방정식의 모수를 기초로 다음의 수학식 3을 통해 해당 모수에 관한 분산을 각각 추정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법.

    [수학식 3]
    Figure 112020028788740-pat00157

    Figure 112020028788740-pat00158


    Var(
    Figure 112020028788740-pat00159
    ):
    Figure 112020028788740-pat00160
    에 관한 분산, Var(
    Figure 112020028788740-pat00161
    ):
    Figure 112020028788740-pat00162
    에 관한 분산
    Figure 112020028788740-pat00163
    ,
    Figure 112020028788740-pat00164

    Figure 112020028788740-pat00165
    ,
    Figure 112020028788740-pat00166

  11. 제9항에 있어서, 상기 모수를 추정하는 단계는
    상기 추정된 선형회귀방정식의 모수를 기초로 다음의 수학식 4를 통해 해당 모수 간의 공분산을 추정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법.

    [수학식 4]
    Figure 112020028788740-pat00167


    Cov(
    Figure 112020028788740-pat00168
    ,
    Figure 112020028788740-pat00169
    ):
    Figure 112020028788740-pat00170
    와
    Figure 112020028788740-pat00171
    간의 공분산
  12. 관찰자에 의해 운용되고 특정 측정단위를 갖는 속도계를 통해 이동체의 속도를 측정한 측정 속도와 상기 관찰자에 대한 상기 이동체의 실제 속도를 획득하는 이동체 속도 획득부;
    상기 측정 속도를 종속변수로 하고 상기 실제 속도를 독립변수로 하는 선형회귀모형(Linear Regression Model)의 모델링을 수행하는 모델링 수행부; 및
    로렌츠 속도 변환을 기준으로 선형회귀방정식(Linear Regression Equation)에 대한 오차항의 독립성을 보정한 후 상기 선형회귀방정식의 모수를 추정하는 모수 추정부를 포함하고,
    상기 모수 추정부는 상기 로렌츠 속도 변환에서 모든 이동체가 동일한 정지질량을 가진 것으로 설정하고 상대론적 운동량 중심에서 측정된 이동체의 신속도(Rapidity) φ를 적용하여 상기 오차항의 독립성을 E[ε·f(φ)] = 0으로 보정하는 것을 특징으로 하는 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 시스템.
    (여기에서, E[ε] 및 E[ε·f(φ)]는 각각 ε 및 ε·f(φ)의 기대값이며, E[ε] =
    Figure 112021064466430-pat00178
    , E[ε·f(φ)] =
    Figure 112021064466430-pat00179
    이다.)
  13. 제1항 내지 제4항 및 제6항 내지 제11항 중 어느 한 항에 있어서, 상기 오차항의 독립성 보정 기반의 모수 추정 방법의 각 단계가 정보처리장치의 프로세서에 의해 수행되는 컴퓨터가 판독가능한 기록매체에 저장된 컴퓨터 프로그램.
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