KR101979085B1

KR101979085B1 - 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 시스템 및 방법

Info

Publication number: KR101979085B1
Application number: KR1020170065386A
Authority: KR
Inventors: 이동익; 김재훈
Original assignee: 경북대학교 산학협력단
Priority date: 2017-05-26
Filing date: 2017-05-26
Publication date: 2019-08-28
Also published as: KR20180129407A

Abstract

발명의 실시예에 따른 선택적 스케일링 기법을 적용한 적응 무향 칼만 필터 기반 비선형 제어시스템은 요구되는 시스템 출력을 기준값으로 생성하는 기준값 생성부; 상기 생성된 기준값을 수신하는 제어부; 상기 제어부 및 적응 무향 칼만 필터부로부터 입력되는 출력값을 감하여 차이값을 출력하는 제1 합성부; 상기 제1 합성부의 출력값 및 외란(disturbance) 입력값이 융합된 출력값을 생성하는 제2 합성부; 및 상기 제2 합성부의 출력값을 수신하는 비선형 출력부;을 포함한다.

Description

선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 시스템 및 방법{System and Method for Adaptive Unscented Kalman Filter Using Selective Scaling}

본 발명은 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 시스템 및 방법에 관한 것으로, 보다 자세하게는 수렴률(convergence rate) 및 신뢰도를 개선할 수 있는 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 시스템 및 방법에 관한 것이다.

칼만 필터(Kalman Filter)는 반복되는 이산 알고리즘(Recursive discrete algorithm)에 관한 것으로, 제어시스템, 필터, 센서 융합 등의 다양한 적용성을 특징으로 하며 시스템 상태 벡터와 공분산 행렬에 대한 추정을 위하여 주로 사용된다.

하기의 수학식 1은 칼만 필터의 핵심 방정식을 나타낸다.

상기 수학식에서 x는 칼만 필터를 통해 최적화 하고자 하는 상태변수이며, u는 제어 입력, z는 측정된 센서값이다. A는 이전 상태에서 다음 상태로 연결하는 상태행렬(state matrix), B는 입력행렬(input matrix), 그리고 H는 출력행렬(output matrix)을 의미한다. K는 칼만게인이고 P는 상태 추정의 오차 공분산(the estimation error corvariance)이며 Q와 R은 각각 공정 노이즈 공분산과 관측 노이즈 공분산이다.

칼만 필터는 시스템 방정식에 근거하여 상태천이를 예측하는 Time Update 단계와 칼만게인(Kalman Gain)과 측정값을 기반으로 예측오차를 보정하는 Measurement Update 단계로 나뉘어 구현된다.

타임 업데이트(Time Update)는 예측단계(시간갱신)이며 이전 데이타와 모델을 근거로 현재 상태를 예측한다. 타임 업데이트에서 이전상태벡터 x ^+ (k-1)에 A를 곱하고 입력 u(k)에 B를 곱한 값들을 더해서 구한 x ^- (k) 는 순수한 상태예측값이다. k-1 시점의 상태공분산 행렬 P^+ (k-1) 양단에 A와 그것의 전치행렬 AT 를 곱한 값과 공정 노이즈 공분산 행렬 Q(k-1)를 더하여 k 시점의 상태공분산 행렬 P^- (k)를 예측한다.

측정 업데이트(Measurement Update)는 교정단계(측정치갱신)이며 타임 업데이트에서 예측한 상태변수와 측정값의 오차를 교정하여 최종적인 추정값을 산출하는 과정을 포함한다. 우선, 칼만게인 K(k)를 구한다 (예측한 상태 공분산과 이노베이션(innovation: Time Update 단계에서 예측한 상태변수로부터 계산된 측정값과 센서로부터 실제 측정값 사이의 오차) 공분산을 이용하여 계산). 다음으로, 칼만게인을 이용하여 예측한 상태변수 x^-(k)와 상태공분산 P^-(k)를 보정하여 최종 추정값 x⁺(k)과 P^⁺(k)를 얻는다.

결론적으로 칼만 필터는 k-1 시점에서 추정한 상태벡터가 시스템 모델을 기초로 하여 k 시점의 상태벡터와 오차 공분산이 어떤 값이 될 것인지를 예측한 후 예측값과 측정값의 차이를 보상하여 k 시점의 새로운 추정값을 계산하고 이는 칼만 필터의 결과물이 된다.

특히, 칼만 필터 중에서도, 비선형적으로 표현되는 상태 방정식을 가진 시스템에 대해 자코비안(Jacobian)을 이용하여 상태 방정식을 선형화하여 사용되는 확장 칼만 필터가 주로 사용되어 왔다. 그러나 확장 칼만 필터를 사용하기 위해서는 비선형성 시스템일지라도 구분적으로(piecewise) 선형성을 가지는 가정을 만족하여야 하는데, 가령 속도와 선수각의 곱으로 표현되는 비선형성 방정식을 갖는 운동 방정식은 이러한 가정을 충족시키지 못할 가능성이 존재한다.

부분 선형성에 대한 가정이 위배될 경우 추정 결과가 발산하게 되어 올바른 추정 결과를 기대할 수 없다.

또한, 외란(Disturbance), 마찰(friction), 불감대 요소(dead zone) 등의 미지의 입력(Unknown inputs)과, 파라미터가 불확실성(Parameter uncertainty)에 취약한 문제점이 있다.

무향칼만필터(Unscented Kalman Filter)는 확률변수로 정의된 상태 변수(state)에 대해 무향 변환(Unscented Transform, UT)으로 알려져 있는 결정론적인(deterministic) 샘플링 기술을 사용하여 비선형 동특성을 갖는 상태변수의 천이(transition)를 추정한다. 무향 변환에서는 평균 주변에 시그마 포인트(sigma point)로 불리는 샘플 포인트가 비선형 함수를 통해 전달되고, 변환된 시그마 포인트에 대해 평균과 공분산을 구하는 형태를 가진다.

확장칼만필터와 달리, 무향칼만필터는 시스템 모델의 선형화를 필요로 하지 않아 미분이 없는(derivative-free) 필터로써 알려져 있으며, 수많은 연구사례를 통해 그 우수성이 검증된 추정기법이다.

한국 등록특허 10-1086364

본 발명의 실시예에 따른 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 시스템 및 방법은 수렴률(convergence rate) 및 신뢰도(successful estimation)를 개선하는 것을 목적으로 한다.

발명의 실시예에 따른 선택적 스케일링 기법을 적용한 적응 무향 칼만 필터 기반 비선형 제어시스템은 요구되는 시스템 출력을 기준값으로 생성하는 기준값 생성부; 상기 생성된 기준값을 수신하는 제어부; 상기 제어부 및 적응 무향 칼만 필터부로부터 입력되는 출력값을 감하여 차이값을 출력하는 제1 합성부; 상기 제1 합성부의 출력값 및 외란(disturbance) 입력값이 융합된 출력값을 생성하는 제2 합성부; 및 상기 제2 합성부의 출력값을 수신하는 비선형 출력부;를 포함한다.

발명의 실시예에 따른 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 방법은 노이즈 공분산을 추정하는 단계; 상기 추정된 공분산에 대해 스케일링 행렬을 계산하는 단계; 및 상기 스케일링 행렬 계산값에 대해 스케일링 로우를 적용하는 단계;를 포함한다.

발명의 실시예에 따른 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 시스템 및 방법은 잡음 환경의 변화로 인한 오차 발생을 최소화할 수 있으며, 신뢰도를 개선할 수 있다.

도 1은 무향 변환을 나타내는 도면이다.
도 2는 발명의 실시예에 따른 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 적용 방법을 나타내는 도면이다.
도 3은 발명의 실시예에 따른 적응 무향 칼만 필터의 재귀적 알고리즘(Recursive algorithm)을 나타내는 도면이다.
도 4는 선택적 스케일링을 이용하지 않는 무향 칼만 필터의 상태 추정을 나타내는 그래프이다.
도 5는 발명의 실시예에 따라 선택적 스케일링을 이용하는 무향 칼만 필터의 상태 추정을 나타내는 그래프이다.
도 6은 일반적인 2 질량 시스템을 나타내는 도면이다.
도 7은 2 질량 시스템의 속도 및 마찰력의 관계를 나타내는 그래프이다.
도 8은 발명의 실시예에 따라 선택적 스케일링 기법이 적용된 적응 무향 칼만 필터의 시간에 따른 상태추정 결과를 나타내는 그래프이다.
도 9는 발명의 실시예에 따라 선택적 스케일링 기법이 적용된 적응 무향 칼만 필터의 시간에 따른 마찰력 추정 결과와 스케일링이 일어난 구간 및 스케일링이 적절히 일어나고 있음을 보여주는 필터의 상태공분산을 나타내는 그래프이다.
도 10은 2 계층(2nd order) 미급 감쇄(under-damped) 시스템의 시간에 따른 제타 및 오메가의 시뮬레이션 결과값을 나타내는 그래프이다.
도 11은 발명의 실시예에 따른 선택적 스케일링 기법이 적용된 적응 무향 칼만 필터 기반 제어시스템을 나타내는 도면이다.

본 발명에서 사용되는 기술적 용어는 단지 특정한 실시 예를 설명하기 위해 사용된 것으로, 본 발명을 한정하려는 의도가 아님을 유의해야 한다. 또한, 본 발명에서 사용되는 기술적 용어는 본 발명에서 특별히 다른 의미로 정의되지 않는 한, 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 일반적으로 이해되는 의미로 해석되어야 하며, 과도하게 포괄적인 의미로 해석되거나, 과도하게 축소된 의미로 해석되지 않아야 한다. 또한, 본 발명에서 사용되는 기술적인 용어가 본 발명의 사상을 정확하게 표현하지 못하는 잘못된 기술적 용어일 때에는, 당업자가 올바르게 이해할 수 있는 기술적 용어로 대체되어 이해되어야 할 것이다. 또한, 본 발명에서 사용되는 일반적인 용어는 사전에 정의되어 있는 바에 따라, 또는 전후 문맥상에 따라 해석되어야 하며, 과도하게 축소된 의미로 해석되지 않아야 한다.

또한, 본 발명에서 사용되는 단수의 표현은 문맥상 명백하게 다르게 뜻하지 않는 한 복수의 표현을 포함한다. 본 발명에서, "구성된다" 또는 "포함한다" 등의 용어는 발명에 기재된 여러 구성 요소들, 또는 여러 단계를 반드시 모두 포함하는 것으로 해석되지 않아야 하며, 그 중 일부 구성 요소들 또는 일부 단계들은 포함되지 않을 수도 있고, 또는 추가적인 구성 요소 또는 단계들을 더 포함할 수 있는 것으로 해석되어야 한다.

이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명에 따른 바람직한 실시 예를 상세히 설명하되, 도면 부호에 관계없이 동일하거나 유사한 구성 요소는 동일한 참조 번호를 부여하고 이에 대한 중복되는 설명은 생략하기로 한다.

또한, 본 발명을 설명함에 있어서 관련된 공지 기술에 대한 구체적인 설명이 본 발명의 요지를 흐릴 수 있다고 판단되는 경우 그 상세한 설명을 생략한다. 또한, 첨부된 도면은 본 발명의 사상을 쉽게 이해할 수 있도록 하기 위한 것일 뿐, 첨부된 도면에 의해 본 발명의 사상이 제한되는 것으로 해석되어서는 아니 됨을 유의해야 한다.

본 발명은 비선형 출력부의 추정기법에 관한 것으로, 시스템에 대한 정확한 프로세스 노이즈 모델이 부재한 경우에도 시스템의 상태변수뿐 아니라 외란(disturbance) 또는 파라메터(parameter)를 성공적으로 추정하는 것을 목적으로 한다.

수학식 2는 미지의 입력을 포함하는 비선형 이산시스템의 일반적인 상태 방정식이다.

.... 수학식 (2)

여기서

는 시스템의 상태변수,

는 제어 입력,

는 센서값,

는 외란 또는 파라메터이다.

는 비선형 상태천이 모델(nonlinear state-transition model),

은 관측 모델(observation model),

는 영평균(zero mean)과 공분산

를 가지는 프로세스 노이즈이며

는 영평균과 공분산

를 가지는 관측 노이즈이다.

는 상호 비상관(uncorrelated) 하다고 가정한다. 상기 수학식에서 관측 모델의 선형 의존성은 일반적으로 비선형 좌표 변환에 의해 보장될 수 있다.

외란 또는 파라메터는 무향칼만필터에서 추가적인 상태변수로 고려되며 하기의 수학식과 같이 랜덤 워크 프로세스(random walk processes)로 모델링 될 수 있다.

d(k+1)=d(k)+δ(k)....수학식(3)

여기서

는 영평균과 공분산

를 가지는 외란의 프로세스 노이즈이다. 하기의 수학식은 증강된(augmented) 상태변수

에 따른 확장된(수학식 2와 3을 통합한) 상태방정식이다.

.... 수학식 (4)

상기 수학식에서 f 와 H는 각각 확장된 상태방정식의 비선형 상태천이 모델과 관측 모델이며,

는 확장된 시스템의 프로세스 노이즈를 의미한다.

아래의 수식은 무향 칼만 필터의 핵심 방정식을 나타낸다.

.... 수학식 (5)

상기 수학식에서 k 시점에 대해 Time update 이후 예측된 상태변수와 오차 공분산은 각각 x^- (k)와 P^- (k), Measurement update 이후 최종적으로 추정된 상태변수와 오차 공분산은 각각 x⁺(k)와 P^⁺(k)로써 나타내었다. P_zz (k)는 측정 오차 공분산(measurement error covariance), K(k)는 칼만 이득(kalman gain), UT{}는 제어 입력 u(k-1)와 비선형 함수 f 가 주어진 상황에서 x ^+ (k-1)와 P^+ (k-1)에 대한 무향 변환을 나타낸다.

전통적인 무향칼만필터(Conventional UKF)는 노이즈 모델 Q(k)와 R(k) 공분산 행렬이 연역적 지식(a priori knowledge)으로써 사전에 정의될 필요가 있다. 따라서 전통적인 무향칼만필터는 적절한 노이즈 공분산 행렬 Q와 R을 사용하였을 경우에 성공적으로 시스템의 상태변수를 추정할 수 있지만 그렇지 않은 경우에는 발산하거나 편향된(biased) 추정 결과를 제공할 것이다. 만약 노이즈 모델 Q와 R 공분산 행렬이 부재한 경우 상태추정을 위한 무향칼만필터의 설계는 온라인 노이즈 공분산 추정(online noise covariance estimation), 또는 노이즈 식별(noise identification) 문제로 확장될 필요가 있다.

본 발명에서는 계측과 관련된 노이즈 공분산 R(k)은 센서 명세서로부터 적절히 모델링 될 수 있고 시간 k와 무관하다고 가정한다. 그러므로 R(k)=R 이다. 반면, 프로세스 노이즈 공분산 Q(k)는 미지의(unknown) 행렬로 가정한다. 미지의 프로세스 노이즈 공분산 Q(k)의 온라인 적응 기법은 대각원소에 대해 하기의 수학식으로 실행될 수 있다.

....수학식(6)

여기서 j ₀= k - N + 1 이다. 추정된

는 대각행렬로 가정된다. 각각의 대각 원소

는 유한폭의 관측창으로부터 측정된 최신 N개의 이노베이션 데이터를 사용하여 최대 우도(Maximum Likelihood) 비용함수(cost function)를 최적화 하는 값으로 유도된다(See for proof: A.H. Mohamed, K.P. Schwarz, "Adaptive Kalman Filtering for INS/GPS," Journal of Geodesy, 1999). 여기서

는 상태 교정 벡터(state correction vector)이다.

수학식 3에서 d(k)의 거동이 랜덤 워크 프로세스로써 적절히 모델링 된다면 상기 적응 기법을 적용한 적응 무향 칼만필터의 상태변수 추정값은 실제 값에 수렴하면서 프로세스 노이즈 공분산

를 점진적으로 감소시킬 것이다. 이때, 갑작스런 d의 변화는 모든 상태 변수의 업데이트 과정에 영향을 미치게 되어 모델 불확실성이 상승한다. 이는

가 충분히 증가되어야 함을 의미한다. 만약

의 크기를 키우기 위한 적절한 스케일링 행렬

와 초기 공분산

가 존재한다면 적응성(adaptive) 무향칼만필터의 수렴성을 향상시키기 위해 상기 적응 기법에 적용될 수 있다.

먼저, 모델 불확실성의 증가를 검출하기 위한 척도값,

를 도입한다.

....수학식(7)

이상적인 경우

는 n 자유도를 가지는 카이 자승(Chi-square) 분포를 따르며 하기의 조건식이 만족될 경우에만 스케일링 기법이 적용될 수 있다.

....수학식(8)

와

는

의 확률밀도함수(pdf)의 확률구간을 특정 짓는 하한, 상한 한계값으로 설계 파라메터(design parameter)이다.

수학식 (5)의 관측 모델이

(

는

크기의 단위 행렬)로써 표현된다고 가정하면 프로세스 노이즈 공분산은

으로 분해될 수 있다.

는 계측되는 상태변수에 대응하는 프로세스 노이즈 공분산으로 스케일링 적용과 무관하다.

는 관측되지 않는 상태변수에 대응하는 프로세스 노이즈 공분산으로 필터의 수렴성 향상을 위해 스케일링 되는 부분 행렬이다.

는 앞서 언급하였듯이 미지의 입력을 추정하기 위해 증강된 상태변수에 대응하는 프로세스 노이즈 공분산이며 상기 스케일링 조건이 만족되면 초기화가 이루어진 후 스케일링 된다. 따라서 새로운 프로세스 노이즈 공분산

를 정의할 필요가 있다.

와

는 아래의 스케일링 법칙에 따라 결정된다.

....수학식(9)

....수학식(10)

여기서

는 상태 교정 벡터 성분의 분산을 의미한다.

도 1은 무향 변환을 나타내는 도면이다. 도시된 바와 같이, 이전 상태의 평균과 공분산으로부터 생성된 시그마 포인트(sigma points)에 대해 무향 변환을 실시하면, 비선형 함수에 의해 사상된(mapping) 시그마 포인트가 존재하며, 사상된 시그마 포인트를 이용하여 가중화된 표본 평균 및 공분산(weighted sample mean and covariance)을 계산한다. 새로이 도출된 시그마 포인트의 표본 평균과 공분산은 각각 비선형 상태천이의 예측값과 예측오차를 의미한다. 무향 변환은 임의의 비선형 함수에서 2계층까지의 공분산 및 3계층까지의 정확한 평균을 계산한다.

도 2는 발명의 실시예에 따른 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 적용 방법을 나타내는 도면이다. 무향 칼만 필터의 수렴 속도를 개선하기 위해 하기의 흐름대로 진행된다.

도시된 바와 같이, 처음으로 공정 노이즈 공분산을 추정하고(S100), 이에 대해 모델 불확실성 증가 검출(S200) 및 스케일링 법칙을 적용(S300)하는 순으로 진행된다.

칼만필터는 정확한 상태추정을 위해 연역적 지식(또는 사전적 지식)인 공정 노이즈 공분산 Q와 관측 노이즈 공분산 R을 필요로 한다. 관측 노이즈 공분산은 센서 명세서로부터 적절히 모델링 될 수 있지만, 공정 노이즈의 경우 모델링 불일치, 이산화에 따른 오차, 외란 등 다양한 요인으로 인해, 만족스런 상태추정 성능을 제공하는 적절한 연역적 공정 노이즈 공분산을 찾기가 매우 어렵거나 불가능한 경우가 있는데, 이러한 문제를 극복하기 위해 발명의 실시예에 따른 적응 무향칼만필터는 공정 노이즈 공분산을 실시간 추정하여 사용한다.

하지만 상기 공정 노이즈 추정 기법은 비교적 정확한 시스템 동특성 모델이 주어진 경우에만 공정 노이즈 공분산을 적절히 추정할 수 있으며, 미지의 입력(외란 또는 파라메터 변화) 추정 문제에서 미지의 입력의 동특성은 랜덤 워크 프로세스 모델로 가정된 것으로 랜덤 워크 프로세스 모델이 미지의 입력의 정확한 동특성을 나타내지는 못한다. 따라서 기존의 공정 노이즈 추정 기법을 그대로 적용하는 것은 미지의 입력이 존재하는 환경에는 적합하지 않다는 문제점이 있다.

발명의 실시예에 따른 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 시스템 및 방법은 외란이 존재하는 경우 모델 불확실성이 크게 증가 한다는 점에 착안하여 적절한 스케일링 행렬이 있다면 추정된 공정 노이즈 공분산을 부분적으로(선택적으로) 초기화하고 스케일링하여 적응 무향칼만필터의 수렴성을 향상 시킬 수 있다. 이러한 스케일링 행렬은 스케일링 법칙(로우)에 따라 결정된다.

스케일링 법칙 적용 단계에서 모델 불확실성 증가가 검출되지 않을 경우 추정한 공정 노이즈 공분산을 그대로 사용하고 스케일링 행렬은 단위행렬로 설정된다. 반면, 모델 불확실성 증가가 검출된다면 증강된 상태변수(즉, 미지의 입력)에 대응하는 공정 노이즈 분산이 적절한 초기값으로 초기화되며, 관측되지 않는 상태변수와 증강된 상태변수에 대응하는 공정 노이즈 분산값들만 선택적으로 스케일링 된다(수학식 9 참조)

도 3은 발명의 실시예에 따른 적응 무향 칼만 필터의 재귀적 알고리즘(Recursive algorithm)을 나타내는 도면이다.

타임 업데이트와 측정 업데이트를 통해서 얻은 결과값이 적응 단계(Adaptation Steps)에서 활용되며, 프로세스 노이즈 공분산을 추정하고 스케일링 행렬을 계산한다. k 시점에서 도출한 프로세스 노이즈 공분산과 스케일링 행렬은 k+1 시점에서 사용되며 상기 과정의 반복을 통해 재귀적 알고리즘이 실행된다.

도 4는 선택적 스케일링을 이용하지 않는 무향 칼만 필터의 상태 추정을 나타내는 그래프이다. 도 4(a)는 타임 업데이트 단계(time update phase)이고, 도 4(b)는 측정 업데이트 단계(measurement update phase)이다.

추정오차가 작아지면 추정오차 공분산이 작아진다. 칼만필터는 추정오차 공분산이 작을수록 자신이 추정한 결과물에 대한 높은 신뢰를 가진다. 반대로 큰 추정오차 공분산을 가지는 무향칼만필터는 자신이 추정한 결과물보다 계측된 값을 더욱 신뢰하여 최종 추정 값을 갱신한다.

이러한 추정 메커니즘을 고려할 때, 만약 무향칼만필터의 초기 상태벡터 값이 실제 시스템의 상태변수와 오차가 있는 상황에서 매우 작은 추정오차 공분산(잘못된 믿음(wrong belief)을 야기함)으로 초기화 된다면 무향칼만필터는 편향된 추정 값을 제공하거나 발산하게 될 것이다. 무향칼만필터의 잘못된 믿음 문제는 초기 설정이 적절하지 못한 경우 외에도 무향칼만필터가 정상상태에서 시스템에 미지의 입력이 인가되는 경우에도 흔히 나타나는 문제이다.

과도상태를 지나 실제 상태벡터를 정확하게 추정한 무향칼만필터가 정상상태에 도달하면 일반적으로 무향칼만필터는 매우 작은 추정오차 공분산을 가질 것이다. 이때 미지의 입력으로 인해 예기치 못한(unexpected) 상태천이가 발생하면 무향칼만필터는 모델 불확정성의 증가로 인해 편향된 값을 제공하고 그 값이 정확하다고 믿게 된다.

도 4는 정상상태의 무향칼만필터에서 관측된 잘못된 믿음 문제를 나타낸 예시 그림으로, 붉은 실선은 추정 값의 확률밀도 함수이고 검은 실선은 실제 상태변수의 확률밀도 함수를 나타낸다. 두 그래프가 겹쳐지는 부분의 면적은 무향칼만필터가 실제 값을 성공적으로 추정할 확률을 의미한다. 계측되는 상태변수 x1의 경우 측정(measurement) 업데이트 단계에서 오차가 크게 줄지만 계측되지 않는 상태변수 x2에 대해서는 오차가 줄어드는 폭이 매우 작다.

도 5는 발명의 실시예에 따라 선택적 스케일링을 이용하는 무향 칼만 필터의 상태 추정을 나타내는 그래프이다. 도 5(a)는 타임 업데이트 단계(time update phase)이고, 도 5(b)는 측정 업데이트 단계(measurement update phase)이다.

도 5(a)의 x2의 추정된 확률밀도 함수(붉은 실선) 그래프는 선택적 스케일링 기법에 의한 것으로 실제 상태변수의 확률밀도 함수와 겹치는 면적의 증가를 야기한다. 즉, 선택적 스케일링을 이용하는 무향 칼만 필터는 미지의 입력에도 불구하고 x2에 대한 성공적인 추정 가능성을 증가시킬 수 있다. 따라서 x2에 대한 수렴 특성(convergence property)은 개선된다.

도 4(b)와 도 5(b)를 비교하면 측정 업데이트 단계에서 수렴특성이 개선되었음을 확인할 수 있다.

도 6은 일반적인 2 질량 시스템을 나타내는 도면이고, 도 7은 2 질량 시스템의 속도 및 마찰력의 관계를 나타내는 그래프이며 수학적 모델은 하기와 같다.

.....수학식(11)

두 물체는 각각 m1 및 m2의 질량을 가진다. 또한 y는 초기 위치를 기준으로 한 거리의 차이를 의미한다.

2 질량 시스템의 동특성 방정식은 하기의 수학식으로 나타낼 수 있다.

....수학식(12)

도 8은 발명의 실시예에 따라 선택적 스케일링 기법이 적용된 적응 무향 칼만 필터의 시간에 따른 상태추정 결과를 나타내는 그래프이고, 도 9는 발명의 실시예에 따라 선택적 스케일링 기법이 적용된 적응 무향 칼만 필터의 시간에 따른 마찰력 추정 결과와 스케일링이 일어난 구간 및 스케일링이 적절히 일어나고 있음을 보여주는 필터의 상태공분산을 나타내는 그래프이다.

도 10은 2 계층(2nd order) 미급 감쇄(under-damped) 시스템의 시간에 따른 제타 및 오메가의 파라메터 추정 시뮬레이션 결과값을 나타내는 그래프이다.

도시된 바와 같이, 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 시스템이 무향 칼만 필터 및 기존의 적응 무향 칼만 필터 시스템에 비해 실제와 가장 근접한 결과값을 얻어낼 수 있음을 확인할 수 있다.

도 11은 발명의 실시예에 따른 선택적 스케일링 기법이 적용된 적응 무향 칼만 필터 기반 제어시스템을 나타내는 도면이다.

발명의 실시예에 따른 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 기반의 비선형 제어시스템은 기준값 생성부(100), 제어부(200), 제1 합성부(300), 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터부(SSAUKF: 400), 제2 합성부(500), 비선형 출력부(600) 및 센서부(700)를 포함한다.

기준값 생성부(100)는 요구되는 시스템 출력을 기준값으로 생성한다. 비선형 출력부(600)는 임의의 관측가능한(Observable) 비선형 출력부를 대표한다.

제어부(200)는 기준값 생성부(100)로부터 기준값을 수신한다. 또한, 제어부(200)는 상태궤환제어기 형태로 구성되며 기준값 생성부(100)의 요구되는 시스템 출력값과 시스템의 실제 출력과 비교하여 그 오차를 감소시킬 수 있는 제어 입력을 출력한다. 이때, 시스템의 실제 출력값은 UKF에 제공하는 상태변수 추정값을 이용하여 계산될 수 있다.

제1 합성부(300)는 제2 합성부(500)에서 인가되는 외란(disturbance)를 보상하기 위해 제어부(200)의 출력값에 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향칼만필터부(400)에서 추정된 외란 추정값을 감하여 차이값을 출력한다. 이와 같이 외란을 보상해줌으로써 정상상태 오차(steady state error)를 줄이고, 이에 따라 제어성능이 향상될 수 있다. 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터부(400)는 센서값과 제1 합성부의 출력값인 보상된 제어입력을 기반으로 상태변수 및 외란을 추정하고 그 추정값을 각각 제어부(200)와 제1 합성부(300)로 전달한다.

.

제2 합성부(500)는 제1 합성부(300) 및 외란(disturbance) 입력이 융합된 출력값이 비선형 출력부(600)로 전달한다.

센서부(700)는 센서값을 측정하여 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터부(400)로 전달한다.

상술한 실시예에 설명된 특징, 구조, 효과 등은 본 발명의 적어도 하나의 실시예에 포함되며, 반드시 하나의 실시예에만 한정되는 것은 아니다. 나아가, 각 실시예에서 예시된 특징, 구조, 효과 등은 실시예들이 속하는 분야의 통상의 지식을 가지는 자에 의하여 다른 실시예들에 대해서도 조합 또는 변형되어 실시 가능하다.

따라서 이러한 조합과 변형에 관계된 내용들은 본 발명의 범위에 포함되는 것으로 해석되어야 할 것이다. 또한, 이상에서 실시예들을 중심으로 설명하였으나 이는 단지 예시일 뿐 본 발명을 한정하는 것이 아니며, 본 발명이 속하는 분야의 통상의 지식을 가진 자라면 본 실시예의 본질적인 특성을 벗어나지 않는 범위에서 이상에 예시되지 않은 여러 가지의 변형과 응용이 가능함을 알 수 있을 것이다. 예를 들어, 실시예들에 구체적으로 나타난 각 구성 요소는 변형하여 실시할 수 있는 것이다. 그리고 이러한 변형과 응용에 관계된 차이점들은 첨부한 청구 범위에서 규정하는 본 발명의 범위에 포함되는 것으로 해석되어야 할 것이다.

100: 기준값 생성부
200: 제어부
300: 제1 합성부
400: 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터부
500: 제2 합성부
600: 비선형 출력부
700: 센서부

Claims

요구되는 시스템 출력을 기준값으로 생성하는 기준값 생성부;
상기 생성된 기준값과 상태 변수의 추정값을 수신하고 제어값을 출력하는 제어부;
상기 제어값 및 외란의 추정값을 감하여 보상된 제어값을 출력하는 제1 합성부;
상기 제1 합성부의 출력값 및 상기 외란이 융합된 출력값을 생성하는 제2 합성부;
상기 제2 합성부의 출력값을 수신하는 비선형 출력부;
상기 비선형 출력부의 출력값을 측정하는 센서부; 및
상기 센서부의 측정값과 상기 보상된 제어값을 수신하여 상기 외란의 추정값과 상기 상태 변수의 추정값을 동시에 추정하고, 상기 외란의 추정값을 상기 제1 합성부로 전달하고, 상기 상태 변수의 추정값을 상기 제어부로 전달하는 적응 무향칼만필터부;를 포함하고,
상기 적응 무향칼만필터부는 모델 불확실성 증가가 검출되면, 관측되지 않은 상태변수와 추가된 상태변수와 관련된 공정 노이즈 분산값들만 선택적으로 스케일링하여 추정값들의 수렴특성을 개선하는 선택적 스케일링 기법을 적용하는 것을 특징으로 하는 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 시스템.
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제1항에 있어서,
상기 적응 무향칼만필터부는 하기의 수학식을 만족하여 최종적으로 추정된 상태변수와 오차 공분산을 출력하는 것을 특징으로 하는 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터 시스템.
[Time update]

[Measurement update]

.... (5)

는 제어 입력
와 비선형 함수
가 주어진 상황에서 추정된 상태변수
와 오차 공분산 행렬
에 대한 무향 변환을 나타내고,
무향 변환은 추정된 상태변수
값을 중심으로 오차 공분산 행렬
로 분포된 시그마 포인트 벡터들을 생성하고, 각각의 시그마 포인트 벡터는 고정된
를 갖는 비선형 함수
에 의해 사상되고(mapping), 사상된 시그마 포인트 벡터들의 평균과 오차 공분산을 각각
와
에 할당하여 반환하고,

는 예측된 상태변수이고,
는 예측된 추정 오차 공분산이고,

는 보정된 상태변수 추정값이고,

는 보정된 추정 오차 공분산이고,

는 관측모델 H와
를 곱하여 얻은 예측된 측정값이고,

는 측정 노이즈 공분산이고,

는 혁신 공분산이고,

는 칼만 이득(kalman gain)이다.
선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터링 방법에 있어서,
공정 노이즈 공분산을 추정하는 단계; 및
상기 추정된 공정 노이즈 공분산에 대해 스케일링 로우를 적용하는 단계;를 포함하고,
상기 스케일링 로우는 선택적 스케일링 기법을 적용하기 위해 스케일링 조건에 따라 추정된 공정 노이즈 공분산 행렬의 초기화 및 스케일링 행렬을 제공하는 법칙을 의미하고,
상기 선택적 스케일링 기법은 관측되지 않은 상태변수 및 추가된 상태변수와 관련된 공정 노이즈 분산값들만 선택적으로 스케일링 하는 방법을 의미하고,
스케일링 행렬은 공정 노이즈 공분산 행렬에 대해 선택적 스케일링 기법을 적용하기 위해 스케일링 로우에서 도출된 행렬로서, 스케일링 로우에 따라 스케일링 행렬의 대각성분은 관측되는 상태변수와 관련된 성분의 경우 항상 1로 설정되고, 관측되지 않은 상태변수 및 추가된 상태변수와 관련된 성분의 경우 1 또는 추정된 공정 노이즈 분산과 필터가 계산한 공정 노이즈 분산의 불일치 비율로 구성되는 것을 특징으로 하는 선택적 스케일링을 이용하는 적응 무향 칼만 필터링 방법.