KR101623578B1 - 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법 - Google Patents

기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법 Download PDF

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Abstract

본 발명은 캐드 데이터라 불리는 넙스 데이터로부터 법선, 접선, 법선의 공간미분(곡률 등)과 같은 곡면의 고차의 기하학적 정보들이 엄밀하게 표현될 수 있는 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법에 관한 것이다. 본 발명에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법은, 넙스 데이터 입력부에 의해 넙스 데이터가 입력되는 단계, 곡면 좌표계 생성부에서 상기 입력된 넙스 데이터를 이용하여 일반화된 곡면 좌표계를 생성하는 단계, 생성된 상기 일반화된 곡면 좌표계를 이용하여 아이소지오메트릭 해석모델 정규화부에 의해 아이소지오메트릭 해석 모델을 정규화하는 단계, 상기 정규화된 아이소지오메트릭 해석 모델을 이용하여 곡면 해석부에 의해 기하학적으로 엄밀한 곡면을 해석하는 단계, 및 상기 해석된 곡면을 표시부를 통해 디스플레이하는 단계를 포함한다.

Description

기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법{GEOMETRICALLY EXACT ISOGEOMETRIC SHELL ANALYSIS METHOD}
본 발명은 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭(isogeometric) 곡면 해석 방법에 관한 것으로, 특히 캐드 데이터라 불리는 넙스(NURBS) 데이터로부터 법선, 접선, 법선의 공간미분(곡률 등)과 같은 곡면의 고차의 기하학적 정보들이 엄밀하게 표현될 수 있는 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법에 관한 것이다.
일반적으로, 캐드 모델이 구현되는 직교좌표계에서 쉘 구조와 같은 곡면 구조를 모델링하고 해석하기 위해서는 유한 요소 기술에서 널리 사용되는 솔리드(solid) 요소를 사용해야 한다. 이 솔리드 요소는 등 매개변수(isoparametric) 변환을 통해 절점 값들을 보간하여 솔리드 요소로부터 쉘 표면을 구성하기 때문에 정식화가 비교적 단순하다. 그러나 직교좌표계에 표현되는 절점 정보만으로 구성된 해석 모델은 법선의 공간미분(곡률 등)과 같은 고차의 기하학적 정보를 고려하지 못하기 때문에 벤딩 스트레칭(bending-stretching) 연성 효과가 포함된 기하학적으로 엄밀한 해석이 어렵다. 또한 표면 모델임에도 불구하고 솔리드 요소를 적분해야 하기 때문에 두께 방향으로 추가적인 적분점이 필요하게 되어 실제 계산에 사용되는 적분점은 2차원 표면 모델 해석의 수배가 되어 비효율적이다.
따라서, 본 발명은 상기와 같은 종래의 문제점을 해결하기 위해 이루어진 것으로서, 본 발명의 목적은 넙스 데이터로부터 법선, 접선, 법선의 공간미분(곡률 등) 등과 같은 곡면의 고차의 기하학적 정보들이 엄밀하게 표현될 수 있는, 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법을 제공하는 데에 있다.
상기의 목적을 달성하기 위해 본 발명의 실시형태에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법은, 넙스 데이터 입력부에 의해 넙스 데이터가 입력되는 단계; 곡면 좌표계 생성부에서 상기 입력된 넙스 데이터를 이용하여 일반화된 곡면 좌표계를 생성하는 단계; 생성된 상기 일반화된 곡면 좌표계를 이용하여 아이소지오메트릭 해석모델 정규화부에 의해 아이소지오메트릭 해석 모델을 정규화하는 단계; 상기 정규화된 아이소지오메트릭 해석 모델을 이용하여 곡면 해석부에 의해 기하학적으로 엄밀한 곡면을 해석하는 단계; 및 상기 해석된 곡면을 표시부를 통해 디스플레이하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 한다.
상기 본 발명의 실시형태에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법에 있어서, 상기 일반화된 곡면 좌표계 생성 단계는, 상기 곡면 좌표계 생성부에 의해, 상기 넙스 데이터의 컨트롤 포인트와 고정 기저 벡터를 가진 직교 좌표계에서의 위치 벡터를 곡면 좌표계의 위치 벡터로 변환하는 단계, 및 상기 곡면 좌표계의 공변 기저 벡터를 구하는 단계를 포함할 수 있다.
상기 본 발명의 실시형태에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법에 있어서, 상기 아이소지오메트릭 해석 모델을 정규화하는 단계는, 상기 아이소지오메트릭 해석 모델 정규화부에 의해, 상기 공변 기저 벡터로부터 다음의 수학식
Figure 112015041747160-pat00001
[여기서,
Figure 112015041747160-pat00002
는 곡면 좌표계의 공변 기저 벡터를 나타내고, x는 곡면 좌표계의 위치벡터를 나타내고,
Figure 112015041747160-pat00003
는 넙스 기저 함수를 나타내며,
Figure 112015041747160-pat00004
는 컨트롤 포인트를 나타낸다. CP = 총 컨트롤 포인트의 수를 나타낸다]
을 이용하여 넙스 기저 함수를 획득하는 단계; 및 상기 획득된 넙스 기저 함수와 상기 컨트롤 포인트를 이용하여 다음의 수학식
Figure 112015041747160-pat00005
[S는 규정된 넙스 표면을 나타내고,
Figure 112015041747160-pat00006
및
Figure 112015041747160-pat00007
는 곡면좌표를 나타낸다]
에 의해 넙스 표면을 규정하는 단계를 포함할 수 있다.
상기 본 발명의 일실시형태에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법에 있어서, 상기 곡면을 해석하는 단계는, 상기 곡면 해석부에 의해, 상기 넙스 기저 함수와 상기 컨트롤 포인트의 응답 계수를 이용해 다음의 수학식
Figure 112015041747160-pat00008
[
Figure 112015041747160-pat00009
는 컨트롤 포인트의 응답 계수를 나타내며, d는 변위를 나타낸다]
에 의해 변위를 획득하는 단계를 포함할 수 있다.
상기 본 발명의 실시형태에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법에 있어서, 상기 디스플레이 단계는 상기 변위를 이용하여 생성된 곡면 영상을 상기 표시부를 통해 디스플레이하는 단계를 포함할 수 있다.
본 발명의 실시형태에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법에 의하면, 입력된 넙스 데이터를 이용하여 일반화된 곡면 좌표계를 생성하는 단계를 포함하므로, 기존의 유한 요소 기술에 비해 곡면 구조물의 경계조건을 기하학적으로 보다 엄밀하게 표현할 수 있으며, 특히 넙스 데이터로부터 법선, 접선, 법선의 공간미분(곡률 등)과 같은 곡면의 고차의 기하학적 정보들이 엄밀하게 표현될 수 있다는 효과가 있다.
도 1은 본 발명의 실시예에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법을 실행하기 위한 장치의 제어블록도이다.
도 2는 본 발명의 실시예에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법을 설명하기 위한 플로우챠트이다.
도 3은 본 발명의 실시예에 의한 곡면 해석 단계에서 획득된 변위를 이용하여 생성된 곡면 영상을 표시부에 디스플레이한 사진을 예시하는 도면이다.
이하, 본 발명의 실시예를 도면을 참조하여 상세히 설명하기로 한다.
도 1은 본 발명의 실시예에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법을 실행하기 위한 장치의 제어블록도이다.
본 발명의 실시예에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법을 실행하기 위한 장치는, 도 1에 도시된 바와 같이, 넙스 데이터 입력부(100), 곡면 좌표계 생성부(200), 아이소지오메트릭 해석 모델 정규화부(300), 곡면 해석부(400) 및 표시부(500)를 포함한다.
넙스 데이터 입력부(100)는 캐드 데이터인 넙스 데이터를 곡면 좌표계 생성부(200)에 입력시키는 역할을 한다. 넙스 데이터는 넙스 기저 함수(
Figure 112015041747160-pat00010
)와 컨트롤 포인트(control point)(
Figure 112015041747160-pat00011
)로 이루어져 있다.
곡면 좌표계 생성부(200)는 넙스 데이터 입력부(100)로부터 입력된 넙스 데이터를 이용하여 일반화된 곡면 좌표계를 생성하는 역할을 한다.
아이소지오메트릭 해석 모델 정규화부(300)는 곡면 좌표계 생성부(200)에서 생성된 곡면 좌표계를 이용하여 아이소지오메트릭 해석 모델을 정규화하는 역할을 한다.
곡면 해석부(400)는 아이소지오메트릭 해석 모델 정규화부(300)로부터 입력된 정규화된 아이소지오메트릭 해석 모델을 이용하여 기하학적으로 엄밀한 곡면을 해석하는 역할을 한다.
표시부(500)는 곡면 해석부(400)에 의해 해석된 곡면을 디스플레이하는 장치이다.
넙스 데이터 입력부(100), 곡면 좌표계 생성부(200), 아이소지오메트릭 해석 모델 정규화부(300), 곡면 해석부(400) 및 표시부(500)는 하나의 단말 장치(예컨대, 노트북, 퍼스널컴퓨터, PDA, PMP, 스마트폰 등)로 구성될 수 있다.
상기와 같이 구성된 본 발명의 실시예에 의한 장치를 이용하여 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법을 설명하기로 한다.
도 2는 본 발명의 실시예에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법을 설명하기 위한 플로우챠트로서, 여기서 S는 스텝(step)을 의미한다.
먼저, 넙스 데이터 입력부(100)로부터 곡면 좌표계 생성부(200)로 넙스 데이터가 입력된다(S10). 넙스 데이터는 넙스 기저 함수(
Figure 112015041747160-pat00012
)와 컨트롤 포인트(
Figure 112015041747160-pat00013
=
Figure 112015041747160-pat00014
)로 구성된다.
스텝(S20)에서는 곡면 좌표계 생성부(200)가 입력된 넙스 데이터를 이용하여 일반화된 곡면 좌표계를 생성한다. 좀더 상세하게 설명하면, 스텝(S20)에서는 곡면 좌표계 생성부(200)가 넙스 데이터의 컨트롤 포인트(
Figure 112015041747160-pat00015
=
Figure 112015041747160-pat00016
)와 고정 기저 벡터(
Figure 112015041747160-pat00017
)를 가진 직교 좌표계에서의 위치 벡터(
Figure 112015041747160-pat00018
)를 곡면 좌표계의 위치 벡터(
Figure 112015041747160-pat00019
)로 변환하고, 이어서 곡면 좌표계의 공변 기저 벡터(
Figure 112015041747160-pat00020
)를 구한다.
상기 공변 기저 벡터(
Figure 112015041747160-pat00021
)는
Figure 112015041747160-pat00022
로부터 발산되고 증가되는 좌표(
Figure 112015041747160-pat00023
)의 위치를 향한다. 공변 기저 벡터들은 반드시 서로 직교하지는 않으며, 공변 기저 벡터(
Figure 112015041747160-pat00024
) 는 일반적인 기저 벡터 상호 쌍 사이의 관계(
Figure 112015041747160-pat00025
)를 만족하도록 도입된다. 이후, 다른 기저 벡터와 공변 / 반변 기저 벡터의 내적은, 다음의 수학식 1와 같은 유용한 메트릭 계수를 정의한다.
Figure 112015041747160-pat00026
상기 내적들의 행렬식은 다음의 수학식 2와 같이 자코비안 행렬
Figure 112015041747160-pat00027
의 행렬식의 제곱이다.
Figure 112015041747160-pat00028
상기 기저 벡터들은 더 이상 일정하지 않고 그것들의 도함수가 고려될 필요가 없기 때문에, 곡면 좌표계에서의 미분은 직교 좌표계보다 더욱 복잡하다. 기저 벡터들의 부분적인 도함수를 나타내기 위해 제 2 크리스토펠 심벌을 다음의 수학식 3과 같이 도입한다.
Figure 112015041747160-pat00029
다음의 수학식 4와 같은 상기 기저 벡터의 공변 도함수를 갖는다.
Figure 112015041747160-pat00030
Figure 112015041747160-pat00031
이 일정한 디퍼런셜 평행 육면체(differential parallelepiped) 면의 표면적(
Figure 112015041747160-pat00032
)을 고려하자.
Figure 112015041747160-pat00033
상에서, 접선 곡선들은 좌표 곡선(
Figure 112015041747160-pat00034
)(
Figure 112015041747160-pat00035
)과 정렬되며,
Figure 112015041747160-pat00036
은 일정하다. 따라서
Figure 112015041747160-pat00037
은 표면(
Figure 112015041747160-pat00038
)에 수직이다. 유사하게 다른 표면들에서는,
Figure 112015041747160-pat00039
및
Figure 112015041747160-pat00040
가 각각 수직이다. 표면적(
Figure 112015041747160-pat00041
)은 이후 다음의 수학식 5와 같이 계산되며, 다른 면에서도 마찬가지이다.
Figure 112015041747160-pat00042
상기 디퍼런셜 평행 육면체의 체적(
Figure 112015041747160-pat00043
)은 다음의 수학식 6과 같다.
Figure 112015041747160-pat00044
정규 직교 좌표계는 다음의 수학식 7의 조건에 의해 획득될 수 있음을 주목하자.
Figure 112015041747160-pat00045
이후, 스텝(S30)에서는, 아이스지오메트릭 해석 모델 정규화부(300)가 스텝(S20)에서 생성된 일반화된 곡면 좌표계를 이용하여 아이소지오메트릭 해석 모델을 정규화한다. 좀더 상세하게는, 스텝(S30)에서는 아이소지오메트릭 해석 모델 정규화부(300)가 공변 기저 벡터로부터 다음의 수학식 8을 이용하여 넙스 기저 함수를 획득한 후,
Figure 112015041747160-pat00046
[여기서,
Figure 112015041747160-pat00047
는 곡면 좌표계의 공변 기저 벡터를 나타내고, x는 곡면 좌표계의 위치벡터를 나타내고,
Figure 112015041747160-pat00048
는 넙스 기저 함수를 나타내며,
Figure 112015041747160-pat00049
는 컨트롤 포인트를 나타낸다. CP = 총 컨트롤 포인트의 수를 나타낸다]
아이소지오메트릭 해석 모델 정규화부(300)가 획득된 넙스 기저 함수(
Figure 112015041747160-pat00050
)와 컨트롤 포인트(
Figure 112015041747160-pat00051
)를 이용하여 다음의 수학식 9에 의해 넙스 표면을 규정한다.
Figure 112015041747160-pat00052
[S는 규정된 넙스 표면을 나타내고,
Figure 112015041747160-pat00053
및
Figure 112015041747160-pat00054
는 곡면좌표를 나타낸다]
상기 수학식 9를 획득하는 과정에 대해서 상세히 설명하면 다음과 같다.
우선, 파라메트릭 공간(parametric space)에서의 좌표들(
Figure 112015041747160-pat00055
)의 세트인 일차원 공간 내의 매듭 백터를 다음의 수학식 10이라 하자.
Figure 112015041747160-pat00056
[여기서, p 및 m은 각각 기저 함수의 순서와 개수를 나타낸다]
만약, 매듭들이 파라메트릭 공간에서 동일하게 이격되어 있으면 균일한 매듭 벡터라고 하며, 그렇지 않을 경우 불균일한 매듭 백터라 한다. 매듭들이 동일 좌표에서 반복될 때 매듭들이 반복된다고 명명하고, 끝 매듭들이 (p+1)회 반복될 때 매듭들이 개방되었다고 명명한다. B-스플라인 기저 함수들은 다음의 수학식 11 및 12와 같이 재귀적으로 정의된다.
Figure 112015041747160-pat00057
Figure 112015041747160-pat00058
매듭 차이를 수반하는 분모들은 제로가 될 수 있음을 주목하자(반복된 매듭들의 경우). 이 경우 몫은 제로인 것으로 규정된다. B- 스플라인은 기저 함수로서 다음의 수학식 13과 같은 바람직한 특성들을 갖는다.
Figure 112015041747160-pat00059
넙스(NURBS) 곡선들은 유리 기저 함수들(
Figure 112015041747160-pat00060
)과 이에 대응하는 컨트롤 포인트들(
Figure 112015041747160-pat00061
)의 선형 조합으로부터 획득된다. p번째 순서의 B-스플라인 기저 함수(
Figure 112015041747160-pat00062
)와 이에 대응하는(투영하는) 컨트롤 포인트들의 주어진 m 쌍에 대해서, 넙스 곡선은 다음의 수학식 14와 같은 단일 파라메트릭 좌표(
Figure 112015041747160-pat00063
)에서 정의된다.
Figure 112015041747160-pat00064
수학식 14에서 다음의 수학식 15, 16, 17이 도출된다.
Figure 112015041747160-pat00065
Figure 112015041747160-pat00066
Figure 112015041747160-pat00067
3차원 유클리드 공간(d=3) 내의 포인트(
Figure 112015041747160-pat00068
)에 대해서, 예컨대 4차원 공간 내의 동차 좌표들은
Figure 112015041747160-pat00069
로서 정의된다(여기서,
Figure 112015041747160-pat00070
). 동일한 가중치 (
Figure 112015041747160-pat00071
)가 사용되면 넙스(NURBS) 곡선은 B-스플라인 곡선이 된다. 좌표들의 텐서 곱을 사용하면, 넙스(NURBS) 면들은 다음의 수학식 18로 정의된다.
Figure 112015041747160-pat00072
상기 수학식 18을 간결하게 표현하면 상기 수학식 9가 도출되게 된다.
스텝(S40)에서는 곡면 해석부(400)가 스텝(S30)에서 정규화된 아이소지오메트릭 해석 모델을 이용하여 기하학적으로 엄밀한 곡면을 해석한다. 좀더 상세하게 설명하면, 스텝(S40)에서는 곡면 해석부(400)가 스텝(S30)에서 구한 넙스 기저 함수(
Figure 112015041747160-pat00073
)와 컨트롤 포인트의 응답 계수(
Figure 112015041747160-pat00074
)를 이용해 다음의 수학식 19에 의해
Figure 112015041747160-pat00075
변위(d)를 획득한다. 상기 변위(d)는 수학식 20과 같이 표현될 수 있다.
Figure 112015041747160-pat00076
이어서, 스텝(S50)에서는 스텝(S40)에서 해석된 곡면을 표시부(500)를 통해 디스플레이한다. 좀더 상세하게는 스텝(S50)에서는 스텝(S40)에서 구한 변위(d)를 이용하여 생성된 곡면 영상을 표시부(500)를 통해 디스플레이한다. 도 3은 곡면 해석 단계(S40)에서 획득한 변위(
Figure 112015041747160-pat00077
)를 이용하여 생성된 곡면 영상을 예시하는 도면으로서, 기존의 유한 요소 기술에 비해 곡면 구조물의 경계조건이 기하학적으로 보다 엄밀하게 표현되고 있음을 알 수 있다. 특히 법선, 접선, 법선의 공간미분(곡률 등)과 같은 곡면의 고차의 기하학적 정보들이 엄밀하게 표현되고 있음을 알 수 있다.
본 발명의 실시예에 의한 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법에 의하면, 입력된 넙스 데이터를 이용하여 일반화된 곡면 좌표계를 생성하는 단계를 포함하므로, 기존의 유한 요소 기술에 비해 곡면 구조물의 경계조건을 기하학적으로 보다 엄밀하게 표현할 수 있으며, 특히 넙스 데이터로부터 법선, 접선, 법선의 공간미분(곡률 등)과 같은 곡면의 고차의 기하학적 정보들이 엄밀하게 표현될 수 있다.
도면과 명세서에는 최적의 실시예가 개시되었으며, 특정한 용어들이 사용되었으나 이는 단지 본 발명의 실시형태를 설명하기 위한 목적으로 사용된 것이지 의미를 한정하거나 특허청구범위에 기재된 본 발명의 범위를 제한하기 위하여 사용된 것은 아니다. 그러므로, 본 기술 분야의 통상의 지식을 가진자라면 이로부터 다양한 변형 및 균등한 타 실시예가 가능하다는 점을 이해할 수 있을 것이다. 따라서, 본 발명의 진정한 기술적 보호범위는 첨부된 특허청구범위의 기술적 사상에 의해 정해져야 할 것이다.
100: 넙스 데이터 입력부 200: 곡면 좌표계 생성부
300: 아이소지오메트릭 해석모델 정규화부
400: 곡면 해석부 500: 표시부

Claims (5)

  1. 삭제
  2. 삭제
  3. 아이소지오메트릭(isogeometric) 곡면 해석 방법에 있어서:
    넙스(NURBS) 데이터 입력부에 의해 넙스 데이터가 입력되는 단계;
    곡면 좌표계 생성부에서 상기 입력된 넙스 데이터를 이용하여 일반화된 곡면 좌표계를 생성하는 단계;
    생성된 상기 일반화된 곡면 좌표계를 이용하여 아이소지오메트릭 해석모델 정규화부에 의해 아이소지오메트릭 해석 모델을 정규화하는 단계;
    상기 정규화된 아이소지오메트릭 해석 모델을 이용하여 곡면 해석부에 의해 기하학적으로 엄밀한 곡면을 해석하는 단계; 및
    상기 해석된 곡면을 표시부를 통해 디스플레이하는 단계를 포함하며:
    상기 일반화된 곡면 좌표계 생성 단계는, 상기 곡면 좌표계 생성부에 의해,
    상기 넙스 데이터의 컨트롤 포인트와 고정 기저 벡터를 가진 직교 좌표계에서의 위치 벡터를 곡면 좌표계의 위치 벡터로 변환하는 단계, 및
    상기 곡면 좌표계의 공변 기저 벡터를 구하는 단계를 포함하며;
    상기 아이소지오메트릭 해석 모델을 정규화하는 단계는, 상기 아이소지오메트릭 해석 모델 정규화부에 의해,
    상기 공변 기저 벡터로부터 다음의 수학식
    Figure 112016010004905-pat00078

    [여기서,
    Figure 112016010004905-pat00079
    는 곡면 좌표계의 공변 기저 벡터를 나타내고, x는 곡면 좌표계의 위치벡터를 나타내고,
    Figure 112016010004905-pat00080
    는 넙스 기저 함수를 나타내며,
    Figure 112016010004905-pat00081
    는 컨트롤 포인트를 나타낸다. CP = 총 컨트롤 포인트의 수를 나타낸다]
    을 이용하여 넙스 기저 함수를 획득하는 단계, 및
    상기 획득된 넙스 기저 함수와 상기 컨트롤 포인트를 이용하여 다음의 수학식
    Figure 112016010004905-pat00082

    [S는 규정된 넙스 표면을 나타내고,
    Figure 112016010004905-pat00083
    및
    Figure 112016010004905-pat00084
    는 곡면좌표를 나타낸다]
    에 의해 넙스 표면을 규정하는 단계를 포함하는, 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법.
  4. 제 3 항에 있어서,
    상기 곡면을 해석하는 단계는, 상기 곡면 해석부에 의해,
    상기 넙스 기저 함수와 상기 컨트롤 포인트의 응답 계수를 이용해 다음의 수학식
    Figure 112015041747160-pat00085

    [
    Figure 112015041747160-pat00086
    는 컨트롤 포인트의 응답 계수를 나타내며, d는 변위를 나타낸다]
    에 의해 변위를 획득하는 단계를 포함하는, 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법.
  5. 제 4 항에 있어서,
    상기 디스플레이 단계는 상기 변위를 이용하여 생성된 곡면 영상을 상기 표시부를 통해 디스플레이하는 단계를 포함하는, 기하학적으로 엄밀한 아이소지오메트릭 곡면 해석 방법.
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"일반 곡면 좌표계에서 구현된 아이소-지오메트릭 형상 설계민감도 해석", 한국전산구조공학회논문집 제25권 제6호(페이지 497-504), 2012년 12월*

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