KR101293827B1

KR101293827B1 - 분말 재료의 압축성형 및 소결 공정의 유한요소 수치해석 방법

Info

Publication number: KR101293827B1
Application number: KR1020110009692A
Authority: KR
Inventors: 정명식; 이강원; 최태훈; 성지현; 이상곤; 김강은; 최상기
Original assignee: 한국생산기술연구원
Priority date: 2011-01-31
Filing date: 2011-01-31
Publication date: 2013-08-07
Also published as: KR20120088383A

Abstract

본 발명은 분말 재료의 압축성형 및 소결 공정의 유한요소 수치해석 방법에 관한 것으로서, 보다 구체적으로는 소성이론을 기초로 하여 분말 공정 시 함께 고려되어야 하는 압축성형과 소결 공정을 한가지 형태로 설명할 수 있는 통합모델 제시하는 분말 재료의 압축성형 및 소결 공정의 유한요소 수치해석 방법에 관한 것이다.

Description

분말 재료의 압축성형 및 소결 공정의 유한요소 수치해석 방법{FINITE ELEMENT METHOD FOR SIMULATING COMPACTION AND SINTERING OF POWDERS}

분말 야금(powder metallurgy)이나 요업공정(ceramic processing)과 같이 분말을 이용하여 금속 및 세라믹 제품을 제조하는 기술인 분말 공정 기술(powder processing technology)은 기원전 5000년 이전으로 거슬러 올라가는 오랜 역사를 가진 성형 방법이며, 동시에 현대의 금속 및 세라믹 제품의 제조 기술로도 널리 사용되는 방법이다. 분말공정은 주조나 단조와 같은 다른 전통적인 소성가공 공정에 비하여 공정이 간단하며, 복잡한 형상의 성형이 비교적 쉽다. 또한 세라믹과 같이 재료의 취성이 높아 후처리 공정이 어려운 재료에 대한 성형도 가능하게 해주는 장점을 갖는다. 이러한 장점으로 인해 분말공정을 이용한 가공 방법은 자동차 및 기계부품뿐만 아니라 전자 제품의 제조에 사용되는 LTCC (Low Temperature Co-fired Ceramic) 기판과 같은 첨단 소재의 가공에도 널리 이용되고 있다.

분말 공정은 일반적으로 성형체의 초기 형상을 만들어 내는 압축성형(compaction)공정과 성형체를 가열하여 치밀화시키는 소결(sintering)공정, 그리고 최종적인 후처리(finishing)공정으로 나뉜다. 일반적으로 압축성형 공정을 거치면서 성형체(compact body)는 부피가 줄어들어 약 0.7 ~ 0.8의 상대밀도(relative density)를 갖게 되며 소결 공정을 거치며 다시 한번 부피 변형이 발생하여 소결체(sintered body)는 상대밀도 1에 근접하게 된다. 상대밀도는 식 과 같이 전체 부피에서 공극(void)이 갖는 부피를 제외한 재료(base material)만이 갖는 부피로 정의 된다.

대부분의 소결제품은 주조 제품에 비해 정밀하지만 기계 가공 부품에 비해서는 덜 정밀하다. 그러나, 소결체는 더욱 낮은 단가로 제조됨으로 광범위한 부품으로서 사용 하는데 있어서는 더욱 유용하다.

분말의 형상 유지를 위하여 압력을 가하여 성형체를 만드는 분말압축 공정과 성형체에 열에너지를 가해주어 응집력을 높여주는 소결 공정은 전혀 다른 공정으로 생각할 수 있지만 두 공정은 입자들이 서로 결합되는 동안에 성형체의 형상이 유지되는 모양 성형(net-shaping) 과정으로 생각할 수 있다. 또한 궁극적으로는 성형체의 공극률(porosity)을 줄여서 원하는 형상이 유지되도록 하는 공정이라는 점에서 같은 목표를 가지는 공정이라 할 수 있다.

분말의 압축성형 공정으로 제작한 성형체는 응집력이 부족하기 때문에 요구되는 최종 물성에 도달하기 위해서는 소결이 필수적이다. 소결 공정이 진행되면서 성형체의 형상 변형이 발생하며, 뒤틀림(distortion)이나 크랙(crack) 등과 같은 결함이 소결체에 발생하기도 한다. 소결 시에 발생되는 대다수의 문제점들은 소결로에 들어가기 이전에 도입된 결함들을 반영하며 소결은 이 결함을 증폭시키는 역할을 한다. 하지만 그 원인은 소결 공정에 의한 것뿐만 아니라, 소결에 앞서 도립된 것들도 포함된 결과일 것이다.

예를 들어 분말 성형 공정이 진행 되면 성형체는 공정의 영향으로 인한 밀도 구배, 잔류 응력 등을 가지게 되고, 이는 소결 공정 후 최종 제품의 형상에 반영되어 나타날 것이다. 또한 소결 공정 시 가해주는 온도나 압력 등도 이에 영향을 미칠 것이다.

분말공정의 장점은 보다 낮은 제조 단가에 있다고 하였다. 이러한 공정 단가는 상업적으로 소결 제품을 만드는데 있어서 매우 중요한 관심사 이다. 따라서 재생산성, 최소화된 결함, 크기 및 조성 제어, 생산 효율성 등의 항목에 주의를 기울여야 한다. 하지만 소결 공정에서 발생하는 소결체의 비균일(non-uniform)한 수축으로 인해 발생하는 결함이나 허용 가능한 치수 오차 범위를 벋어나는 변형은 후처리 공정을 야기하여, 이는 분말공정의 장점을 살릴 수 없는 원인이 된다.

분말 제품의 공정 설계에서 가장 중요한 요소는 최종 제품이 원하는 형상과 기계적 성질을 갖도록 하는 것이다. 따라서 분말공정에서 최종 형상 변화를 예측할 수 있다면, 이는 분말 제품 생산에 있어 큰 도움이 될 것이다. 기술자의 경험과 직관에 의존하는 시행착오적 방법은 시간과 비용 측면에서 비효율적이다. 특히, 새로운 제조 기술과 신소재가 도입되면서, 경험에 의존하는 방식은 그 한계에 직면할 수 밖에 없다. 또한 분말의 압축성형공정에서 성형체 내부의 밀도 구배 및 결함발생은 분말의 특성을 제외하고도 금형의 형상, 금형 이동속도 그리고 금형과 소재간의 마찰계수와 같은 다양한 공정조건에 많은 영향을 받게 된다. 분말 공정에 대한 이론을 바탕으로 한 수치해석적인 접근 방법을 통한다면분말공정의 설계에 있어 시간과 비용의 측면에서 시행착오적 방법의 한계를 극복할 수 있을 것이다.

과거 수년간에 분말의 압축성형 및 소결 공정에 대하여 이론적으로 설명하고 이를 모사하는 연구들이 많이 이루어져 왔다. 여전히 실제와 이론간의 차이는 존재하지만, 분말 공정을 모사하는 모델의 정밀성이 증진된다면 이론과 실제의 차이는 좁아지게 될 것이다.

예를 들어 단일 성분 재료의 고상소결은 소결 중에서 가장 잘 이해되는 형태이다. 이러한 경우일지라도 분말이 가열됨에 따라 분말이 변하는 단계들 간에는 복잡성이 존재한다. 이러한 사실을 모델화하기 위해 확산도(diffusivity), 표면에너지 및 증기압 등을 기본 재료 물성 값으로 사용한 컴퓨터 프로그램이 개발되어 왔다. 이상적인 조건을 포함하는 단순한 계에 있어서 이러한 계산은 기본적인 소결의 이해를 증진시킨다는 것이 입증되었다. 그러나, 고상 소결일지라도 다양한 복잡성이 존재하면 이는 소결체의 변화 및 물성들을 예측하는 능력을 저하시킨다. 예를 들어 소결 공정 전 성형체가 가지고 있는 밀도 구배 등에 의해서도 형상 변화의 경향성이 달라지고, 뒤틀림과 같은 결함이 발생할 수 있을 것이다. 또한 대부분의 소결 모델은 어떤 일정한 온도로 급속가열 된다는 이상적인 소결공정 조건으로 가정되고 단순한 형상만이 고려 되었으며, 서로 다른 물성을 갖는 이종재료간의 변형에 대한 연구도 많지 않다.

또한 대부분의 분말재료의 연구에서는 분말의 압축성형 공정과 소결 공정을 서로 별개의 다른 모델로 각각 설명하고 있거나, 한가지 공정에 대한 연구만을 언급하여 설명하고 있다. 하지만 앞서 언급한 것과 같이 분말 공정에 대한 연구에서 두 공정을 함께 고려하는 것이 문제 해결에 보다 유용한 접근이 될 수 있을 것이며, 연속적인 공정을 해석하는데 효율적일 것이다. Lippmann은 두 공정을 커플(couple)된 형태로 설명하였지만, 이 모델을 소결 온도에 따라 뒤틀림이나 형상 변화가 발생하는 실제 공정으로 발전시켜 적용하지는 않았다.

본 발명에서는 소성이론을 기초로 하여 분말의 성형 및 소결 공정을 한가지 형태로 설명할 수 있는 통합형 모델을 제안하는 것을 목적으로 한다.

특히, 소성이론을 기초로 하여 분말 공정시 함께 고려되어야 하는 압축성형과 소결 공정을 한가지 형태로 설명할 수 있는 통합모델을 제공하는 것을 목적으로 한다.

본 발명은 상기 과제를 해결하기 위해 다음과 같은 과제 해결 수단을 제공한다.

본 발명에 의한 분말 재료의 압축성형 및 소결 공정의 유한요소 수치해석 방법은, 각 요소를 구성하는 다수의 절점의 지형좌표, 경계조건, 경계값, 시간단위, 계산 시간 간격을 포함하는 기본자료를 입력받는 제1 단계와, 해석 대상 분말 재료의 밀도(R), 온도(T), 분말의 반경(r₀), 표면에너지(γ)를 포함하는 물성자료를 입력받는 제2 단계와, 상기 물성자료 및 수학식 1에 근거하여 소결 구동력(σ_s)을 계산하는 제3 단계와, 수학식 2를 기초로 하여 항복 곡선을 설정하는 제4 단계와, 수학식 3을 구성방정식으로 하여 유한요소 정식화를 수행하는 제5 단계와, 상기 각 요소를 기준으로 유한요소기법을 적용하여 유도되는 행렬을 구성하고 이를 계산하여 각 요소의 속도값을 구하는 제6 단계를 포함한다.

수학식 1 :

수학식 2 :

수학식 3 :

상기 수학식 3의 비례상수

은 수학식 4에 의해 계산되는 것을 특징으로 한다.

수학식 4 :

또한, 유효 응력과 유효 변형률 속도(

)는 수학식 5에 의해 계산되는 것을 특징으로 한다.

수학식 5 :

또한, 유효 응력(

)과 유효 변형률 속도(

)의 비는 수학식 6의 형태에 맞게 온도에 따른 점도 데이터를 피팅(fiiting)하여 획득하는 것을 특징으로 한다.

수학식 6 :

상기 제5 단계의 유한요소 정식화는 수학식 7에 의하여 결정되는 것을 특징으로 한다.

수학식 7 :

또한, 위에서 요소의 임의의 점에서 속도 벡터 u를 형상함수 행렬 N과, 요소 절점의 속도 벡터 v로 근사화하고, 수학식 8 내지 수학식 11을 이용하여 유한요소 이산화하는 단계를 더 포함한다.

수학식 8 :

수학식 9 :

수학식 10 :

수학식 11 :

본 발명은 소성이론을 기초로 하여 분말의 성형 및 소결 공정을 한가지 형태로 설명할 수 있는 통합형 모델을 제안하는 새로운 유한 요소 해석 방법을 제공하는 효과가 있다.

이를 통해 기존의 발명들이 분말의 압축성형과 소결을 각기 다른 모델을 적용하여 모사한 것에 비해 연속적인 공정을 해석하는데 있어서 효율성을 향상시키는 효과가 있다.

도 1은 전단변형 및 부피변형의 메커니즘을 설명한 개념도.
도 2는 종래의 소결 공정 모델의 항복 함수의 그래프.
도 3은 종래의 소결 공정 모델에서의 원통형 시편의 상대밀도 변화를 높이 변화에 따라 나타낸 그래프.
도 4는 소결 공정 메커니즘을 나타내는 설명도.
도 5는 소결 공정 메커니즘을 나타내는 설명도.
도 6은 종래의 항복 함수의 그래프.
도 7은 본 발명에 의한 소결 공정 메커니즘에 적용되는 항복 함수의 그래프.
도 8은 본 발명에 의한 통합형 모델의 국부 응력 평형을 나타내는 다이어그램.
도 9는 본 발명에 의한 통합형 모델을 적용한 단순 압축 경우의 모델링 도시도.
도 10은 도 9의 형상과 물성을 갖는 원기둥에 축방향의 압력이 작용할 때 원기둥의 변형률 속도의 결과.
도 11은 본 발명에 의한 통합형 모델을 적용한 경우, 축방향으로 압력이 작용할 경우 상대밀도를 계산한 결과.
도 12는 본 발명에 의한 통합형 모델을 적용한 경우, 원기둥이 하강하는 공정이 진행될 때 상대밀도를 계산한 결과.
도 13은 본 발명에 의한 통합형 모델을 적용한 경우, 항복곡선에서 변형률 속도가 결정되는 과정을 설명한 개념도.
도 14는 본 발명에 의한 통합형 모델을 적용한 경우, 항복곡선에서 변형률 속도가 결정되는 과정을 설명한 개념도.
도 15는 성형체의 기공을 줄이기 위해서 작용하는 내부 힘의 개념도.
도 16은 두 개의 구형 입자 모델의 경우 소결 구동력의 형태의 개념도.
도 17은 본 발명에 의한 통합형 모델의 적용 결과 그래프.
도 18은 본 발명에 의한 통합형 모델의 적용 모델링의 그래프.
도 19는 본 발명에 의한 통합형 모델의 적용 모델링의 소결 공정 해석 그래프.
도 20은 본 발명에 의한 통합형 모델의 적용 모델링의 소결 공정 해석 그래프.
도 21은 본 발명에 의한 점성을 구하는 예시 그래프.
도 22는 본 발명에 의한 통합형 모델을 적용하는 유한요소 수치해석 방법의 흐름도.

이하 본 발명에 대해 도면을 참조하여 구체적으로 살펴보기로 한다.

다만, 본 발명을 설명함에 있어, 관련된 공지 기능 또는 구성에 대한 구체적인 설명이 본 발명의 요지를 불필요하게 흐릴 수 있다고 판단되는 경우에는 그 상세한 설명을 생략한다. 용어가 동일하더라도 표시하는 부분이 상이하면 도면 부호가 일치하지 않음을 미리 말해두는 바이다.

그리고 후술되는 용어들은 본 발명에서의 기능을 고려하여 설정된 용어들로서 이는 실험자 및 측정자와 같은 사용자의 의도 또는 관례에 따라 달라질 수 있으므로 그 정의는 본 명세서 전반에 걸친 내용을 토대로 내려져야 할 것이다.

이하 본 발명이 적용되는 이론적 배경에 대해 자세하게 설명하기로 한다.

상대 밀도(R)가 1인 기공(void)을 포함하지 않는 재료(fully dense material)는 소성 변형 시 부피 불변을 전제로 한다. 이는 정수압 응력이 소성 거동에 영향을 미치지 않음을 뜻하는 것이다. 그러나 다공질 재료는 정수압의 작용 만으로도 부피의 변형이 발생하여 밀도의 증감이 나타난다. 따라서 다공질 재료의 경우 비다공질 재료와는 달리 정수압 응력도 재료의 항복에 기여한다. 다공질 재료의 항복함수는 도 1 에서 나타낸 것과 같이 전단 변형과 부피변형 항을 모두 포함하는 보다 일반적인 형태로 발전하여야 한다.

정수압 응력에 의한 재료의 부피 변형을 포함하는 다공질 재료의 항복 함수는 일반적으로 다음과 같은 식으로 표현된다.

여기서 J1과 J'2은 각각 1차 응력 불변량과 2차 편차응력 불변량이다. 다공질 재료의 항복응력과 비다공질 재료의 항복응력의 비인 δ는 ‘기하학적 경화’ 또는 ‘치밀화 경화’ 라 불리는 값으로 상대밀도의 함수이다. 또한 A와 B로 표현하는 매개변수도 상대밀도의 함수로 표현되는 값이다. 비다공질 재료 즉 상대밀도가 1인 재료의 경우에는 A=3, B=0, 그리고 δ=1 이 되어 항복 함수는 Von Mises 항복함수를 따르게 된다.

도 2는 Shima/Oyane 모델의 항복 함수를 나타낸 것으로 상대밀도에 따라 항복 함수의 형태가 달라지는 것을 보여준다.

또한, Gurson는 완전강소성(perfect plastic) 재료 내에 하나의 구형 공극이 존재한 경우에 대해 상계 해석을 적용하여 다공성 금속의 항복식을 아래와 같이 제안하였다. 이 식은 다공성 물질에서 그 물질을 연속체로 간주하여 소성 유동을 해석하였으며 물질의 최종 파괴를 예측할 수 있도록 한 것이다.

매개변수 A와 B 그리고 δ는 비다공질 재료의 경우 Von Mises 항복 함수를 따른다고 앞에서 설명하였다. 또한 항복함수가 1축 응력 상태에서는 다음의 식과 같이 표현되므로 매개변수 A와 B는 아래의 식과 같은 상관관계를 만족하여야 한다.

다만 위의 식을 이용한 모델은 1축 응력 상태의 항복함수 조건을 만족하지 못한다. Doraivelu 등은 식 와 알루미늄 합금의 실험 결과로부터 다음과 같은 항복 함수를 제안하였다.

상기 식의 항복함수는 상대밀도 R이 특정 값(R≤0.7071)을 가지게 되면 δYo²가 음의 값을 가지게 되어 더 이상 계산이 불가능해 진다. 이에 Lee와 Kim등은 다음과 같이 임계 상대 밀도를 제안하여 다음과 같은 항복 함수를 제안하였다.

여기서 Rc는 분말의 항복 강도가 0이 되는 임계 상대 밀도를 의미한다. 이 결과는 다공성 소결 금속의 초기 항복 응력과 상대 밀도간에 직선적인 관계를 갖는다는 가정 아래 정의된 것이다. 또한 Doraivelu등은 Shima/Oyane 모델을 1축 응력 상태에서 식 를 만족하도록 수정하여 다음과 같이 매개 변수를 정하였다.

여기서 μDUM는 기존의 모델이 식의 1축 응력 상태의 항복함수 조건의 관계를 만족할 수 있도록 정한 값이다.

분말 제품의 치밀화 및 변형 거동을 예측할 수 있는 구성모델은 Cam-Clay나 Drucker-Prager모델과 같이 압축 및 인장에 대한 분말의 거동 차이를 고려하여 설명한 모델로도 설명될 수 있다. 하지만 이러한 구성모델의 경우는 인장력에 대한 분말성형체에서의 응력이 failure line을 벗어날 수 없기 때문에 크랙(crack)을 예측하기 위한 모델을 개발하는데 어려움이 있고, failure line과 Cap surface에서 구성 모델이 연속적이지 않기 때문에 수치해석의 수렴성을 해칠 수 있다.

도 3은 0.75의 초기 상대밀도(Ri)를 갖는 원통형 시편의 상대밀도 변화를 높이 변화에 따라 나타낸 그래프이다. 원통형 시편은 반경 1mm, 높이 1mm의 형상을 가지며,

[MPa]의 유동응력을 가진다. 수정된 Shima/Oyane 모델과 Doraivelu 모델의 계산 결과는 거의 비슷한 결과를 보여준다. 또한 수정된 Shima/Oyane 모델의 경우 Doraivelu의 모델과는 달리 특정 상대밀도 이하의 값에서도 계산이 가능하다. 본 발명에서는 수정된 Shima/Oyane 모델을 기본적인 항복함수(yield function)로 사용하였다.

이상 설명한 바와 같이, 소결 공정은 입자들이 서로 결합되는 동안 성형체의 형상이 유지되므로 모양 성형(net-shaping) 과정으로 설명할 수 있다. 분말의 압축성형 공정으로 제작된 성형체는 응집력이 약하기 때문에, 요구되는 최종 물성에 도달되기 위해서는 소결이 필수적이다. 과거 수년간에 걸쳐 소결공정은 매우 정밀하게 발전 되어왔다. 소결의 이해가 증진된 이유는 실험적인 관찰들을 이론을 사용하여 예측하도록 했기 때문이다. 비록 이론은 실제에 비해 뒤져 있더라도 소결 모델의 정밀성이 증진된다면 그 차이는 좁아지게 될 것이다.

이하 본 발명에서 사용되는 소결 메커니즘에 대해 구체적으로 설명하기로 한다. 소결은 입자들이 가열됨에 따라 입자들 간에 고상 결합을 형성하는 것이다. 결합은 자유표면을 제거함으로써 표면 에너지를 감소시키며, 입자성장을 통한 2차적인 입계 면적 소멸이 수반된다. 가열이 계속됨에 따라 기공 부피는 감소하며 성형체는 수축된다.

소결 현상은 도 4에서 보는 것과 같이 표면 에너지(surface energy)에 의한 구동력과 입자간 경계(grain boundary)에서 일어나는 확산 현상(diffusion)에 의한 구동력으로 일어난다고 설명되고 있다. 입자가 서로 접촉하면서 기공 부분에서는 기공의 곡률에 의한 표면 장력이 생겨 소결의 구동 응력이 되며, 입자간 경계에서는 경계를 통한 물질 이동이 이루어지면서 분말이 치밀화 되고, 기공을 줄여나간다.

도 5는 다양한 치밀화도에서 초기 점접촉을 이루는 두개의 구형입자들에 대해 소결이 진행되는 과정을 보여 준다. 부피 보존과 표면에너지 최소화 조건에 기인하여 결과적으로 두 구는 초기 직경의 1.26배 증가된 한 개의 구형 입자로 최종 모양을 형성한다. 두 구형 입자의 기하학적 모양은 대다수 소결 모델의 출발점이다. 소결 초기에 입자간의 접촉이 이루어진 이후 입자간 목성장(neck growth)이 이루어짐과 동시에 표면에너지에 의한 구동력과 경계에서 물질 확산에 의한 구동력이 작용하게 된다. 분말이 합쳐지면서 전체 성형체에서 기공이 차지하는 부분은 줄어들게 되고, 상대밀도가 상승한다. 동시에 성형체는 수축하며, 이러한 치밀화 과정을 거치면서 기공의 비율이 감소하여 표면 에너지에 의한 기여가 줄어들고, 물질 확산에 의한 이동도 점차 감소하여 더 이상 치밀화가 일어나지 않는 단계에 이르면 소결 과정이 끝난다.

이러한 일련의 과정들은 분말에 일정 온도를 가해주어서 일어나게 할 수 있으며, 다른 외부의 압력이나 영향이 없이 진행될 수 있다. 온도를 가해주는 것은 근본적으로 에너지를 전달하는 과정으로 볼 수 있다. 또한 온도가 높아지면 감소되는 항복강도 이상의 압력에서 분말은 소성유동에 의해 치밀화 될 수 있다. 고온에서 재료들은 낮은 강도를 갖기 때문에, 많은 계에서 가압 치밀화는 매력적이다. 따라서 소결 공정을 진행하는 동안 가해진 압력은 소성유동에 의한 치밀화를 촉진시킨다.

이하 본 발명에서 제안하는 소결 공정의 모사를 위한 항복함수에 대해 설명하기로 한다.

일반적으로 재료의 항복응력은 높은 가공 온도(working temperature)에서 낮은 값을 가지며, 상대적으로 낮은 응력에서 보다 큰 변형을 갖는다. 도 6은 일반적인 다공성 물질에서의 항복 곡선을 나타내고, 도 7은 본 발명에서 제안하는 항복 곡선을 나타낸다.

일반적인 다공질 재료에 대한 모델은 앞서 얘기한 것과 같이 도 6과 같이 표현할 수 있다. 다공질 재료의 온도가 높아지면 타원(ellipsoidal) 형태의 항복 곡선의 반경이 줄어들게 되며 동일한 상대밀도를 갖는 경우에 가공 온도에 따라 도 6과 같이 표현할 수 있다.

소결 공정은 분말에 일정 온도를 가해주어서 일어나게 할 수 있으며, 이는 다른 외부의 압력이나 영향이 없이 진행될 수 있다. 온도를 가해주는 것은 근본적으로 열 에너지를 전달하는 과정으로 볼 수 있으므로 외력 없이 단지 온도만을 가해 주어도 성형체의 부피가 줄어들고 형상이 변형하는 소결 현상은 일어나야 한다.

하지만 일반적인 다공질 재료에 대한 항복 함수는 외력이 작용하지 않으면 재료의 유동이 일어나지 않아 소결 현상을 설명할 수 없다. 이에 항복 함수를 도 7과와 같이 정수응력 항(hydrostatic pressure term)으로 평행 이동시켜 소결 공정을 표현하는 것이 바람직하다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같은 식으로 표현된다.

여기서 σ_s는 소결 구동력을 표현해 주는 항으로 정수응력의 형태로 표현할 수 있다. 본 발명에서 제안하는 소결 구동력에 대한 자세한 사항은 추후 논하기로 하겠다.

위의 식과 과 도 7을 통해 분말의 압축성형과 소결 공정을 한가지 형태로 설명할 수 있으며, 이는 연속공정을 해석하는데 있어 보다 효과적인 방법이다. . 소결 구동력 가 σ_s가 0이 되면 이 항복 곡선은 분말의 압축성형 공정 모사를 위한 항복 곡선과 같은 형태를 갖게되는 특징이 있다..

이하 본 발명에서 제안하는 구성방정식에 대해 구체적으로 설명하기로 한다.

- 유동법칙(associated flow rule)

소성이론(plasticity theory)을 바탕으로 한 통합형 모델의 구성방정식을 유도하기 위하여 분말의 항복 함수에 위의 식의 유동법칙(associated flow rule)을 적용하면, 다음과 같이 응력 텐서의 편미분 형태로 표현되며

이를 편차 응력과 정수 응력항으로 나누어 텐서의 편미분 계산을 하면, 각각 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

이는 아래의 과정으로 유도된 결과이다.

그리고 변형률 속도의 텐서 항을 편차 응력 성분과 정수 응력 성분으로 표현하면 다음과 같은 통합형 모델의 구성방정식을 얻을 수 있다.

- Worrate 과 비례계수 λ(proportional factor)

분말재료의 유효 응력(σ_R)을 식 와 같이 정의하겠다.

본 발명에 의한 통합형 모델의 구성방정식은 정수 응력 상에서 다음과 같이 표현할 수 있으므로

다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.

상기의 식은 다음의 식에 적용하면,

work rate은 다음의 식과 같이 표현된다.

또한 work rate은 유효 응력(effective stress)과 유효 변형률 속도(effective strain rate)에 대해서도 만족하여야 하므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

따라서 비례인자(proportional factor) 는 유효 응력과 변형률 속도 성분을 포함하여 다음과 같이 표현 된다.

위의 식의 결과에서 통합형 모델의 구성방정식이 기존의 다공질 재료의 구성방정식에 비해 소결 구동력의 영향을 추가하여 표현되는 것을 알 수 있다. 이를 응력에 대한 항으로 나타내면 다음의 과정을 거쳐 아래의 식과 같이 표현된다.

통합형 모델의 구성 방정식은 도 8과 같이 전단 변형과 부피 변형 항 그리고 소결 구동력에 의한 부피 변형 항을 모두 포함하여 분말재료의 변형 거동을 표현할 수 있다.

- 유효 응력(effective stress)과 유효 변형률 속도(effective strain rate)

분말 재료의 유효 변형률 속도와 유효 응력을 나타내는 값이다. 이경우, work rate은 다음과 같이 표현된다.

Work rate은 다음과 같이 유도된다.

따라서 유효 변형률 속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

통합형 모델의 유효 응력과 유효 변형률 속도는 기존 다공질 재료의 유효 응력과 변형률 속도에서 소결 구동력의 영향력이 추가되어 다음과 같이 표현된다.

통합형 모델의 구성방정식은 소성이론(plasticity theory)을 바탕으로 수정된 항복함수를 통해서 유도되었으며, 이는 분말의 압축 성형 공정과 소결 공정을 한가지 형태로 설명할 수 있어 연속 공정을 설명하는데 있어 효과적인 접근이 될 수 있다. 또한 유도된 구성방정식 및 유효 응력과 유효 변형률 속도는 유한요소해석의 정식화에 사용될 수 있다.

- 단순 압축(simple compression)

본 발명에 의한 통합형 모델의 구성방정식을 적용하여 단순 압축에 대한 모델링에 적용하여 보았다. 도 9는 이에 대한 모델링을 설명하는 도면이다.

도 10은 도 9의 형상과 물성(material property)을 갖는 원기둥에 축 방향(z)의 압력이 작용할 때 원기둥의 변형률 속도를 계산한 결과이다. 구성방정식은 통합형 모델을 사용 하였으며, 원기둥에 작용하는 마찰력(friction)은 없다는 가정으로 계산하였다. 기존의 다공질 재료의 모델을 통한 계산 결과에 비하여 축방향의 수축량은 더 컸으며, 반경과 원주 방향은 더 적게 늘어나는 경향을 보였다. 도 11 내지 도 12는 이러한 해석 결과에 대한 그래프이다.

원기둥의 높이 변화(height reduction)에 따른 상대밀도를 도 11과 도 12에 나타내었다. 도 11은 축 방향으로 압력이 작용할 경우 상대밀도를 계산한 결과이고, 도 12는 원기둥이 초당 1mm 속도로 하강하는 공정이 진행될 때 상대밀도를 계산한 결과이다. 상대밀도의 변화는 식 과 같이 체적 변형률 속도로부터 구하였다.

통합형 모델의 경우 압축력으로 작용하는 소결 구동력의 영향으로 인해 더 작은 높이 변화에서 기존의 모델과 동일한 상대밀도에 도달하는 것을 알 수 있다. 도 13과 도 14는 다공질 재료의 항복곡선과 소결 현상을 포함하는 통합형 모델의 항복 곡선에서 변형률 속도가 결정되는 것을 개략적으로 표현한 그림이다. 도 14에서 보는 것과 같이 통합형 모델에서의 변형률 속도는 소결 구동력만큼 항복 곡선이 평행이동 한 상태에서 결정된다. 이 경우 압축력으로 작용하는 소결 구동력에 외력이 추가되어 분말의 변형을 일으키는 구동력이 된다.

통합형 모델의 구성식을 계산 하기 위해서는 재료상수(material property)들의 결정이 필요하다. 재료에 따른 소결 구동력 (σ_s)과 비례계수(λ)를 결정하여야 하며, 비례계수를 결정하기 위하여 소결 모델 중 linear viscous model에서 말하는 재료의 점도(viscosity) 즉 유동응력(flow stress)의 결정이 필요하다.

소결 공정이 진행되면서 열에너지가 분말 성형체에 가해지고, 이에 의해 발생하는 소결 구동력은 도 15와 같이 성형체의 기공을 줄이기 위해서 작용하는 내부 힘으로 표현할 수 있다. 앞서 소결 현상은 표면 에너지(surface energy)에 의한 효과와 경계 확산(grain boundary diffusion)에 의한 효과 등에 의해서 일어난다고 설명하였다. 소결 현상을 두개의 구형 입자 간의 변형으로 가정하면 소결 구동력은 아래와 같이 표면에너지(γ, surface tension energy) 상대밀도(R, relative density), 입자크기(G, powder size/grain size) 등의 함수로 설명할 수 있다.

소결 구동력은 기본적으로 표면에너지에 의한 효과를 가정하여 설명되고, 여기에 소결체의 상대밀도 변화, 경계 확산, 입자 성장, 입자의 총 표면적 변화 등의 현상들이 추가되어 그 형태가 달라지며 기본적으로는 도 16의 두 입자 모델을 사용하여 설명된다.

본 발명에서는 도 16과 같이 두 개의 구형 입자 모델을 가정하여서 소결 구동력의 형태를 다음과 같은 식으로 사용하였다.

여기서 G는 입자의 크기, r_p는 기공의 곡률을 의미하며, γ_gb는 입자 경계(grain boundary)에서의 표면 에너지, γ_sb는 기공 표면(pore surface : solid-vapor interface)의 표면 에너지를 의미한다. 이 식은 기하학적으로 유도한 식으로 구형의 입자 모델을 가정하였다. 위 식은 소결 구동력은 표면 에너지에 비례하며, 입자 크기와 기공의 곡률에 반비례하는 경향을 보인다는 것을 보여준다. 실제 모든 소결 구동력은 입자의 크기에 반비례하고, 표면 에너지에 비례하는 형태로 표현된다.

본 발명에서는 소결의 구동 응력을 단위 질량당 표면 자유에너지를 다공물성체의 질량에 대하 미분으로 구하여 아래와 같은 식을 이용하였다.

다공질 재료의 비표면적(ξ, specific surface area)은 다음과 같이 정의된다.

여기서 V_m은 다공질 재료에서 물질(matrix material)이 차지하는 부피를 의미한다. 위의 식들로부터 다음과 같이 표현된다.

여기서 α 는 표면 장력(surface tension)을 발생시키는 표면 에너지를 의미하며, 위 식에 나온 항들은 다음과 같은 관계를 가진다.

ξ와 θ가 1대 1 대응이며 θ가 기공(pore) 표면의 평균 곡률(curvature)이라고 가정하여 이를 분말의 반경 r₀로 나타내면 비표면적은 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

여기서 B는 상수로 구형 입자의 경우 3의 값을 가진다. 또한 함수 g(θ)는 기공률이 0인 비다공질 재료의 경우 0이 되어야 하며, 기공률에 대하여 단조 증가 함수가 되어야 한다. 따라서 완전 구형의 입자와 기공을 가정한 이상적인 경우 위의 식들의 관계를 모두 종합하여 보면 다음과 같이 소결 구동력을 표현할 수 있다.

- 유동응력(점도)

입계에서의 물질 이동이 소결의 주요한 영향 인자로 생각하고 분말재료가 선형적인 점성 유동(linear viscous material flow)을 갖는다고 가정하면 점도는 다음과 같은 모델로 표현할 수 있다.

또한 점도는 일반적으로 아래의 식과 같이 유효 응력과 변형률 속도의 비로 나타낼 수 있다.

위의 두 식에서 모든 변수들을 하나의 알려지지 않는 변수(A)로 간주하여 다음과 같이 아레니우스(Arrhenius) 형식으로 표현할 수 있다.

도 21은 활성화 에너지를 찾아내는 실험치의 결과를 그래프이다. 상기 도 21을 자동화된 피팅(fitting) 프로그램을 이용하여 활성화 에너지를 결정하고, 이에 상응하여 아리니우스 형태의 점도에서 매개변수 A를 결정한다.

아래의 식은 온도에 따라 변하는 유동응력(flow stress)을 나타낸 그래프로 유효응력과 변형률 속도는 선형적인 관계에 있으며, 온도가 증가 할수록 낮은 응력에서 재료의 유동이 발생하는 것을 알 수 있다.

미세구조(micro structure)를 기본으로 하는 KMC(Kinetic Monte Carlo) 해석을 통하여 bulk modulus와 소결 구동력을 아래와 같이 나타내었으며, 이는 앞에서 설명한 소결 구동력에 대한 식을 수정한 것이다

이러한 소결 구동력을 적용하여, 온도에 따른 점성 변화에 의한 상대 밀도를 예측할 수 있다.

이하, 본 발명에 의한 분말 공정의 유한 요소 해석에 대해 설명하기로 한다.

성형 해석의 한 방법인 유한요소법(FEM, Finite Element Method)은 다양한 형태의 문제에 적용되는 일반성과, 그 결과로부터 얻을 수 있는 변형형상, 변형속도, 변형률 분포, 응력 분포, 온도 분포에 이르는 다양하고 정확한 정보 때문에 소성가공 해석에서 널리 사용되고 있다. 특히 실제 분말 공정에서는 변형이 진행되면서 재료가 단일 밀도가 아닌 다양한 밀도 구배를 갖게 된다. 유한요소법은 밀도나 온도의 구배를 표현해 주는 강점을 지니고 있으므로 분말 공정의 해석 방법으로 적합하다고 할 수 있겠다.

유한요소법은 사용하는 재료의 특성에 따라 탄소성 유한요소법(elasto-plastic FEM)과 강소성 유한요소법(rigid-plastic FEM)으로 구별할 수 있다. 분말의 압축성형이나 소결 공정은 재료의 탄성변형을 무시할 수 있는 구간이므로 본 연구에서는 강소성 유한요소법을 사용하겠다. 이 해석 방법은 증분 해석의 매 단계마다 탄성영역과 소성영역을 점검할 필요가 없으므로 계산 과정이 간단하고, 현 계산과정이 전 단계의 계산 결과와 독립적으로 이루어져 시간 증분량을 크게 할 수 있다는 장점이 있다.

- 유한요소 정식화

변형 속도장의 근사해를 구하기 위해 가상일의 원리(virtual work rate principle)와 극치 정리(extremum theorem)를 사용하면, 강소성체(rigid plastic material) 또는 점소성체(visco-plastic material)의 경계치 문제는 아래의 식과 같이 범함수(functional)를 최소화하는 동적 가용 속도장을 구하는 문제가 된다. 이는 강소성 재료에 대한 범함수식과, 강-점소성 재료에 대한 범함수식이다.

평형 방정식(equilibrium equation)의 약형(weak form)은 다음과 같이 표현된다.

이는 최종적으로 다음과 같이 표현된다.

소결 구동력을 포함하는 다공질 재료의 유효응력과 변형률 속도는 앞에서 언급한 것처럼 다음과 같이 표현 된다.

이하, 유한요소 이산화 과정에 대해 설명하기로 한다. 요소 내부의 임의의 점에서 속도 벡터 u는 다음과 같이 형상함수 행렬 N과, 요소 절점의 속도 벡터 v로 근사화하여 표현할 수 있다. 또한, 변형률 속도는 변형률 속도 행렬 B와 속도 벡터로 표현된다.

다공질 재료의 유효 변형률 속도는 식 와 같이 소결 구동력에 의해 발생하는 부분을 따로 나누어 생각할 수 있다.

위의 식의 우변의 첫째 항은 다음과 같이 표현할 수 있다.

P가 대칭 행렬이므로 변형률 속도의 변화량은 다음과 같이 표현할 수 있다.

또한, 소결 구동 응력에 의한 변형률 속도 성분의 변화량은 다음과 같이 표현할 수 있다.

따라서 유효 변형률 속도의 변화량은 다음과 같이 정리 된다.

행렬 P를 전단 변형률 속도(distortional strain rate)와 부피 변형률 속도(volumetric strain rate) 성분으로 구분하면,

이상의 식을 정리하면 아래와 같이 절점의 속도성분을 변수로 하는 식으로 표현할 수 있다.

위에서 소결 구동응력은 외력으로 작용하는 값으로 생각할 수 있으며 이는 정수압으로 작용된다. 또한 위의 식은 분말 재료에 외부 압력이나 속도 변화를 가해주지 않아도 σ_s를 포함하는 항이 구동력으로 작용하여 분말재료의 소결 거동을 표현할 수 있음을 보여준다.

도 17은 원기둥의 상대밀도 변화를 계산한 것으로 구성식을 통해 계산한 결과와 FEM(Finite Element Method) 해석을 통하여 계산한 결과를 비교한 그래프이다. 이는 소결 공정이 진행되면서 동시에 외부에서 압력을 가해주는 일종의 가압 소결 공정을 계산한 결과이다. 높이 변화에 따른 상대 밀도 변화를 표현한 두 계산 결과가 정확히 일치함을 확인할 수 있다.

서로 다른 초기 상대밀도를 갖는 디스크 형태의 산화아연(ZnO) 분말의 소결 실험 결과와 통합형 모델로 예측한 결과에 대하여 언급하였다. 두 디스크의 초기 형상과 상대 밀도는 도 18과 같으며 유한요소해석을 통하여 이 성형체의 소결 공정 결과를 Garino 의 실험 데이터와 SOVS(Skorohod Olevsky Viscous Sintering)모델을 바탕으로 계산한 FEM 결과와 비교하고자 한다. SOVS 모델을 통한 소결 공정의 계산은 KMC를 이용하여 수정한 소결 구동력과 bulk modulus를 사용한 결과이다.

소결 온도는 750℃에서 시작하여 1000℃까지 증가 하였으며, 온도 상승 속도는 5 [℃/min] 이다. 소결로(furnace)의 분위기 온도와 시편의 열 교환(heat exchange)으로 인해 성형체의 온도가 상승하여 소결이 진행되는 것으로 가정하여 계산 하였다. 디스크의 초기 상대밀도는 각각 0.47, 0.57 이며 ZnO분말의 평균 반경은 0.2μm이며 표면에너지는 1.27 [J/m²] 이다.

도 19는 소결 공정이 진행 되면서 변형되는 시편의 형상을 보여주는 것으로 축대칭의 2차원 해석 결과를 180도 회전시켜 나타내었다. 초기 온도 750℃에서 소결 공정이 시작되어 온도가 증가하면서 상대밀도가 증가하는 것을 볼 수 있다. 서로 다른 디스크의 초기 밀도로 인하여 시편이 위쪽으로 휘어지는 변형(warpage)이 발생한 것을 볼 수 있다. 이는 공정이 진행 되면서 시편의 온도가 올라가고 초기 상대밀도가 낮은 위쪽 디스크가 아래쪽 디스크에 비하여 더 크게 수축하여 발생한 결과라 볼 수 있다.

도 20은 아래·위 두 디스크의 모서리 부분의 평균 변형률을 소결 온도에 따라 나타낸 것이다. 소결 공정은 성형체의 부피가 줄어드는 압축 변형이므로 평균 변형률은 음의 값을 갖게 되며 도 20에서는 이를 절대값으로 표현하였다. 두 디스크의 평균 변형률의 차이가 온도가 증가할수록 더 크게 나타났으며, 이로 인해 시편의 휘는 정도가 점점 증가한다는 것을 알 수 있다.

이러한 기본 원리에 따라 본 발명에 의한 유한요소 수치해석 방법의 흐름도를 설명하면 다음과 같다. 이는 도 22에 도시되어 있다. 일반적으로 유한요소해석 기법과 공통적인 부분에 대해서는 자세한 설명을 생략하고, 본 발명의 특징을 중심으로 언급하기로 한다.

본 발명에 의한 분말 재료의 압축성형 및 소결 공정의 유한요소 수치해석 방법은, 각 요소를 구성하는 다수의 절점의 지형좌표, 경계조건, 경계값, 시간단위, 계산 시간 간격을 포함하는 기본자료를 입력받는 제1 단계(S100)와, 해석 대상 분말 재료의 밀도(R), 온도(T), 분말의 반경(r₀), 표면에너지(γ)를 포함하는 물성자료를 입력받는 제2 단계(S110)와, 상기 물성자료 및 수학식 1에 근거하여 소결 구동력(σ_s)을 계산하는 제3 단계(S120)와, 수학식 2를 기초로 하여 항복 곡선을 설정하는 제4 단계(S130)와, 수학식 3을 구성방정식으로 하여 유한요소 정식화를 수행하는 제5 단계(S140)와, 상기 각 요소를 기준으로 유한요소기법을 적용하여 유도되는 행렬을 구성하고 이를 계산하여 각 요소의 속도값을 구하는 제6 단계(S150)를 포함한다.