KR101252122B1 - 최대 3개 분동의 질량 합 측정을 이용하는 질량 교정 설계 방법 - Google Patents

최대 3개 분동의 질량 합 측정을 이용하는 질량 교정 설계 방법 Download PDF

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Abstract

본 발명은 질량 교정 설계 방법에 관한 것으로서, 측정횟수, 오차 및 불확도 등을 최소화하면서 미지 분동의 질량을 더욱 정확히 결정할 수 있는 질량 교정 설계 방법을 제공하는데 주된 목적이 있는 것이다. 상기한 목적을 달성하기 위해, 10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈의 분동을 사용하되, 미지 분동의 질량값을 유도해내기 위한 전체 기본측정 중 동일 관측 횟수(N)에서 각 기본측정의 조합(G')에 대해 최소자승법에서의 기준식(
Figure 112011076221543-pat00012
) 행렬의 역행렬 C를 구하는 단계와; 상기 각 기본측정의 조합에 대해서 역행렬 C의 구성 원소로부터 공분산을 최소화하기 위한 O-최적 설계 기준, 역행렬 C에서 대각 원소 Cii의 전체 합(ΣCii)이 최소화되는 A-최적 설계 기준, 및 측정 불확도를 줄이면서 전체 분동들을 고르게 사용하기 위한 밸런스 설계 기준 중 어느 한 기준 조건을 만족하는 기본측정의 조합을 선택하는 단계와; 상기 선택된 기본측정의 조합에 대해 각 기본측정의 질량 합 측정을 실시하여 질량비교측정식을 구하는 단계와; 상기 구해진 질량비교측정식으로부터 최소자승법을 이용하여 각 미지분동의 질량값을 구해내는 단계;를 포함하는 최대 3개 분동의 질량 합 측정을 이용하는 질량 교정 설계 방법이 개시된다.

Description

최대 3개 분동의 질량 합 측정을 이용하는 질량 교정 설계 방법{Mass calibration design method using weighing of maximum 3 weights}
본 발명은 질량 교정 설계 방법에 관한 것으로서, 더욱 상세하게는 오차 및 불확도를 최소화면서 미지 분동의 질량을 더욱 정확히 결정할 수 있는 질량 교정 설계 방법에 관한 것이다.
일반적으로, 질량은 관성(inertia)과 중력(gravitation)의 성질을 가지므로 이러한 역학적 성질의 척도로 설명되는 기본 물리량이며, 물질을 구성하는 요소 입자의 관점에서 보면 물질량의 척도가 되기도 한다.
물리의 세계에 소개되어 있는 질량의 크기들을 볼 때 전자의 질량(약 10-30 kg)으로부터 태양의 질량(약 1030 kg)에 이르기까지 거대한 범위에 걸쳐 다양한 측정 방법으로 질량이 결정되어 있다.
이 가운데 무게의 크기를 비교하여 질량을 측정하는 범위는 대략 10-13 ~ 106 kg이다. 여기서, 무게 측정(weighing)이라 함은 저울이나 어떤 측정장치를 사용하여 모르는 질량(unknown mass)을 질량 표준인 국제킬로그램원기의 질량 1 kg과 비교함을 의미하며, 지구와 같이 거대한 질량들은 간접적인 방법으로 국제킬로그램원기와 비교해서 결정된다.
현재 국제 단위계의 7개 기본 단위 중 하나인 질량 단위의 표준으로서 프랑스 파리의 국제도량형국(BIPM)에 보관되어 있는 국제킬로그램원기에 의해 1 kg이 정의되어 있으며, 1901년 제3차 국제도량형총회(CGPM)에서 선포된 질량 표준의 정의에 의하면 "킬로그램(kg)은 질량의 단위이며 국제킬로그램원기의 질량과 같다" 라고 되어 있다.
따라서, 각 나라에서는 국제킬로그램원기와 동일한 규격으로 만들어진 킬로그램국가원기를 국제도량형국으로부터 제공받아 질량의 국가 표준을 유지하는데 이용하고 있다.
한국에서는 한국표준과학연구원(KRISS)에 보관된 킬로그램국가원기 No.72(숫자는 국제도량형국에서 정한 국제적 일련 고유번호임)를 주원기로, 그리고 No.39를 부원기로 정하여 질량의 국가 표준을 유지하고 있고, 스테인리스강 등으로 만든 여러 등급의 킬로그램 표준분동을 통해 질량 표준을 보급하고 있다.
상기한 분동은 질량 표준의 보급에 있어 그 핵심 매개체이면서 "하나의 질량척도의 물체로서 물리적 및 화학적으로 규정에 맞춰진 것"으로 정의되고 있고, 저울은 분동의 질량과 비교해 주는 역할을 한다.
질량 측정을 목적으로 만들어진 저울, 예를 들면 물체의 양을 질량으로 계산하기 위한 상거래용 저울, 사람이나 동물의 질량을 측정하는 체중계, 실험실 등에서 표준분동과의 직접 비교를 통해 질량을 측정하는 정밀 저울 등은 그 지시값이 표준분동의 질량값에 맞추어 교정되어 있거나 표준분동의 질량과 직접 비교되기 때문에 지시값의 단위가 질량의 단위 "kg"으로 되어 있다.
이와 같이 질량 표준 보급상 사용되는 분동은 하나의 분동 자체가 고유한 질량인 하나의 질량값을 가지므로 모든 질량값을 나타내기 위해서는 통상 질량이 다른 여러 종류의 분동을 복수개로 만들고 이들을 서로 조합함으로써 원하는 분동의 질량값을 만들도록 되어 있다.
조합에 적합한 분동의 세트는 표준 보급 및 제작에 적합하도록 분동의 이름값을 시리즈(series)로 구성하여 최소의 분동 수로 모든 질량값을 나타내도록 제작되고 있다.
질량 표준 보급의 기본 매개체인 분동이 국제적 보편성을 가지도록 하기 위해 국제법정계량기구에서는 분동과 관련한 국제권고사항을 정해놓고 있으며[OIML Draft of an IR on Weight of Classes E1,E2,F1,F2,M1,M2,M3(1993)], 이를 토대로 각국의 표준기관에서는 보급되는 표준분동의 교정 설계나 검증을 수행하고 있다.
상기한 분동세트에 대해 현재 국제적으로 권고된 사항을 살펴보면 분동세트는 다음의 시리즈 가운데 하나로 구성될 수 있다.
(i) (1 ; 1 ; 2 ; 5) × 10n kg
(ⅱ) (1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 5) ×10n kg
(ⅲ) (1 ; 2 ; 2 ; 5) ×10n kg
(ⅳ) (1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 5) ×10n kg
여기서, n은 + 또는 -의 정수 혹은 영(zero)을 나타낸다.
예를 들어, (1 ; 1 ; 2 ; 5) ×10n kg 시리즈의 경우에는 (5 kg ; 2 kg ; 1 kg ; 1 kg)과 (500 g ; 200 g ; 100 g ; 100 g) 등의 분동으로 구성된다.
또한 시리즈를 구성하고 있는 각 분동의 질량은 분동의 호칭으로 사용되고 있으며, 예를 들어 1 kg 분동이라 부를 때 이 분동은 1 kg용으로 만들어진 분동을 의미하며, 이 1 kg을 그 분동의 이름값(nominal value) 혹은 표기량이라 한다.
보통 분동세트에서 상기한 바와 같은 분수 혹은 배수의 분동은 소정 방법의 교정 설계를 통해 킬로그램국가원기 또는 질량값이 미리 검증된 그 밖의 해당 표준분동과 비교하여 그 질량 표준이 보급된다.
즉, 한 세트를 이루는 분동의 질량을 결정하기 위해서는 하나 혹은 그 이상의 표준분동이 이용되어야 하며, 예컨대 1 kg의 분량 또는 배량을 이루는 분동들은 1 kg의 표준분동으로부터 질량을 유도하게 된다.
각 나라에서 질량 표준의 교정 설계 과정은 해당 국가의 표준기관(한국의 경우 한국표준과학연구원)에 의해 소개되어 있으며[도진열, 정진완, 이우갑, 장경호, "질량측정의 기초", 한국표준과학연구원, KRISS-94-049-ET(1994); 이우갑, "질량 표준의 교정 설계", 한국표준과학연구원, KRISS-96-027-ET(1996)], 이러한 교정 설계 과정에서는 각 분동의 모르는 질량값을 유도하기 위해 최소자승법의 이용이 제안되고 있다.
상기와 같이 소개된 교정 설계의 요지를 일반적으로 널리 보급되어 있는 분동 5-2-2-1 시리즈의 예를 통해 개략적으로 설명하면, 먼저 1 kg ~ 100 g 사이의 분동세트에서 이름값이 500 g, 200 g, 200 g', 100 g인 미지의 각 분동 질량은 질량을 미리 알고 있는 1 kg 표준분동의 질량(m1kg)과 비교 측정을 통해 결정될 수 있으며, 다음과 같은 측정단계를 거친다.
먼저, 이름값의 합이 같은 분동 조합끼리 비교하여 다음과 같은 일련의 질량비교측정식을 얻는다.
m1kg - (m500g + m200g + m200g' + m100g) = y1
m500g - (m200g + m200g' + m100g) = y2
m200g - m200g' = y3 ㆍㆍㆍㆍㆍㆍ(1)
여기서, m1kg, m500g, m200g, m200g', m100g은 각 분동의 질량이고, y1, y2, y3는 질량의 차이를 나타낸다.
그러나, 위의 식 (1)에서는 모르는 질량의 수보다 질량비교측정식의 수가 적은데, 여기에 m100g'의 질량을 갖는 분동을 하나 더 첨가하면 질량비교측정식의 수가 모르는 질량의 수보다 많아진다.
즉, 위의 식들을 포함한 다음의 측정디자인(weighing design)을 만들어 교정에 사용할 수 있다.
모르는 질량의 시리즈 분동 5개에 대해 7개의 질량비교측정식을 세운 질량비교 측정디자인 : 질량비교측정식의 수 = 7, 모르는 질량의 수 = 5
m1kg - (m500g + m200g + m200g' + m100g) = y1
m500g - (m200g + m200g' + m100g') = y2
m200g - m200g' = y3
m200g' - (m100g + m100g') = y4
m100g - m100g' = y5
m200g - (m100g + m100g') = y6
m500g - (m200g + m200g' + m100g) = y7 ㆍㆍㆍㆍㆍㆍ(2)
상기와 같은 측정디자인을 교정에 사용하게 되면, 질량비교측정식의 수는 7개, 질량을 모르는(Unknown) 분동의 수는 5개이므로, 여러 개의 질량비교측정식으로부터 최소자승법을 이용하여 각 분동의 모르는 질량값을 결정할 수 있게 된다.
여기서, 표준분동은 정확한 질량을 이미 알고 있는 분동으로, 위의 예(1 kg ~ 100 g 사이의 분동세트의 예)에서는 미지 분동(즉, 질량을 모르는 분동)의 질량값을 유도해내기 위해 1 kg의 표준분동을 사용하였으며, 선행된 측정을 통해 정확한 질량이 결정된 분동이라면, 이 질량을 알고 있는 분동을 이용하여 시리즈를 구성하는 나머지 미지 분동의 질량을 측정할 수 있다.
예를 들어, 질량을 정확히 알고 있는 100 g의 분동을 이용하여 미지 분동인 50 g, 20 g, 20 g', 10 g', 10 g' 분동의 질량값을 유도해낼 수 있는데, 질량비교측정식을 구한 뒤 최소자승법을 이용하여 50 g, 20 g, 20 g', 10 g', 10 g' 분동의 질량값을 구하는 예에 대해서는 등록특허 제10-0542229호(2006.01.03.)에 기재된 바와 같다.
한편, 표준분동을 교정하는 과정에서는 하나의 질량비교측정식을 구하기 위해 질량을 모르는 다수개의 분동들을 한꺼번에 고정밀 측정이 가능한 저울 위에 올려놓고 그 질량 합을 측정하여야 한다.
예를 들면, 질량비교측정식 y1에서는 미지의 분동인 500 g, 200 g, 200 g', 100 g의 분동을 저울(비교기) 위에 한꺼번에 올려놓고 측정하게 된다.
또한 질량비교측정식 y2에서는 500 g의 분동을 먼저 저울 위에 올려놓고 측정한 뒤 500 g의 분동을 내려놓고 이어 200 g, 200 g', 100 g'의 분동을 한꺼번에 올려놓고 측정하게 된다.
또한 나머지 여러 개의 질량비교측정식을 구하기 위해 상기한 방식으로 각 조합의 분동들을 한꺼번에 저울 위에 올려놓고 그 질량 합을 측정하게 된다(y4, y6, y7 등).
그러나, 이러한 교정 설계 과정에서 실시되는 미지 분동의 질량 합 측정 과정은 고정밀도를 요하는 것으로, 동일한 분동이라 하더라도 저울 위에 분동을 올려놓는 위치에 따라 편심오차가 발생할 수 있고, 측정자나 측정환경에 따라 오차가 발생할 수 있다.
특히, 종래의 질량 합 측정 과정에서는 미지 분동을 최대 4개까지 한꺼번에 저울 위에 올려놓고 측정해야 하는데(질량비교측정식 y1을 얻고자 하는 경우 1회 장진 분동의 수가 500 g, 200 g, 200 g', 100 g 4개임), 4개의 분동을 올릴 경우 저울 중심을 기준으로 좌우 양측에 각각 2개씩의 분동을 올려놓아야 한다(전체 분동들을 저울 중심을 기준으로 대칭되게 올려놓음).
이 경우 분동을 올려놓는 위치에 따라 편심오차가 발생하는 문제점이 있으며(네귀오차로 인한 불확도 증가), 이러한 편심오차를 없애기 위해 모든 분동을 저울 중심으로부터 동일한 거리에 위치되도록 올려놓는 것이 가장 이상적이나, 실제 측정에서는 그러하지 못하다.
더욱이 4개 분동에 대한 질량 합을 측정하는 경우 분동 모두를 저울 중심에서 벗어나 장진해야 하므로 4개 분동 모두에서 편심오차가 발생할 수 있고, 이로 인해 측정결과의 오차가 증가할 수 있다.
따라서, 본 발명은 상기한 점을 고려하여 창출된 것으로서, 측정횟수, 오차 및 불확도 등을 최소화하면서 미지 분동의 질량을 더욱 정확히 결정할 수 있는 질량 교정 설계 방법을 제공하는데 그 목적이 있는 것이다.
상기한 목적을 달성하기 위해, 본 발명은, 비교기 위에 장진되는 1회 장진 분동의 수를 최대 3개로 하여 미지 분동의 질량값을 결정하는 질량 교정 설계 방법으로서, 10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈의 분동을 사용하되, 미지 분동의 질량값을 유도해내기 위한 전체 기본측정 중 동일 관측 횟수(N)에서 각 기본측정의 조합(G')에 대해 최소자승법에서의 기준식(
Figure 112011076221543-pat00001
) 행렬의 역행렬 C를 구하는 단계와; 상기 각 기본측정의 조합에 대해서 역행렬 C의 구성 원소로부터 공분산을 최소화하기 위한 O-최적 설계 기준, 역행렬 C에서 대각 원소 Cii의 전체 합(ΣCii)이 최소화되는 A-최적 설계 기준, 및 측정 불확도를 줄이면서 전체 분동들을 고르게 사용하기 위한 밸런스 설계 기준 중 어느 한 기준 조건을 만족하는 기본측정의 조합을 선택하는 단계와; 상기 선택된 기본측정의 조합에 대해 각 기본측정의 질량 합 측정을 실시하여 질량비교측정식을 구하는 단계와; 상기 구해진 질량비교측정식으로부터 최소자승법을 이용하여 각 미지분동의 질량값을 구해내는 단계;를 포함하는 최대 3개 분동의 질량 합 측정을 이용하는 질량 교정 설계 방법을 제공한다.
여기서, 상기 O-최적 설계 기준을 만족하는 기본측정의 조합은 상기 각 기본측정의 조합에 대해 구해진 각 역행렬 C에서 전체 원소(Cij)의 합(ΣCij)이 최소가 되는 기본측정의 조합인 것을 특징으로 한다.
또한 상기 밸런스 설계 기준을 만족하는 기본측정의 조합은 상기 각 기본측정의 조합에 대해 구해진 각 역행렬 C에서 대각 원소(Cii)의 표준편차(
Figure 112011076221543-pat00002
)가 최소가 되는 기본측정의 조합인 것을 특징으로 한다.
또한 상기 밸런스 설계 기준을 만족하는 기본측정의 조합은 상기 역행렬 C에서 대각 원소(Cii)의 전체 합(ΣCii)이 A-최적 설계 기준을 만족하는 기본측정의 조합에서 구한 역행렬 C 내 대각 원소(Cii)의 전체 합(ΣCii)보다 설정된 기준% 이상 더 크지 않은 조건을 동시에 만족하는 기본측정의 조합인 것을 특징으로 한다.
이에 따라, 본 발명의 질량 교정 설계 방법에서는 1회 장진 분동의 수를 3개로 제한하여 측정횟수를 최소화하면서도 오차 및 불확도 등을 최소화할 수 있고, 결국 미지 분동의 질량을 더욱 정확히 결정할 수 있는 이점이 있게 된다.
도 1은 본 발명에 따른 질량 교정 설계 방법에서 비교기 위에 3개의 분동을 장진한 상태를 도시한 개략도이다.
이하, 첨부한 도면을 참조하여 본 발명의 실시예에 대해 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자가 용이하게 실시할 수 있도록 상세히 설명하기로 한다.
본 발명에서는 네귀오차로 인한 불확도를 최소화하기 위해 1회 장진 분동의 수를 3개로 제한하여 미지 분동의 질량을 결정할 수 있는 새로운 교정 설계 방법을 제시하고자 한다.
종래의 경우 최대 4개의 분동을 장진하는 방식으로 미지 분동의 질량을 결정하는 직교성 교정 설계를 사용하였으나, 4개의 분동을 장진하는 방식에서는 전술한 바와 같이 4개의 분동 모두가 저울 중심으로부터 벗어나는 위치로 장진되어야 하므로 편심오차의 증가 및 그로 인한 측정 불확도의 증가, 측정오차의 증가가 발생하는 문제점이 있었다.
이러한 문제점을 해소하기 위하여, 본 발명에서는 1회 장진 분동의 수를 3개로 제한하는 방식, 즉 최대 3개 분동의 질량 합 측정을 이용하는 방식의 질량 교정 설계 방법을 제시하고자 하는 것이며, 최대 3개 분동을 장진하여 질량 합 측정을 수행하는 교정 설계에 대해서는 아직 제시된 바가 없다.
도 1은 본 발명에 따른 질량 교정 설계 방법에서 비교기(저울)(10) 위에 3개의 분동(1)을 장진한 상태를 도시한 개략도로서, 도시된 바와 같이 3개 분동(1)에 대한 질량 합을 측정함에 있어서 비교기(10) 중심에 1개의 분동을 올려놓고, 그 좌우 양측의 대칭되는 위치에 각각 1개씩의 분동을 올려놓게 된다.
이 경우, 종래의 방식에서 분동 모두가 비교기 중심을 벗어나도록 장진하던 것에 비해, 비교기 중심에 1개의 분동이 올려지므로 편심오차 및 불확도의 최소화가 가능하고, 미지 분동의 질량을 결정함에 있어서 오차를 줄일 수 있는 이점이 있게 된다.
먼저, 종래의 직교성 교정 설계에서는 10-5-2-2'-1-1'의 시리즈 분동, 예를 들어 1 kg, 500 g, 200 g, 200 g', 100 g 시리즈의 분동을 사용하였으나, 본 발명에서는 최대 3개의 분동만을 장진하여야 하므로 5'의 미지 분동(예, 500 g'의 미지 분동) 1개를 추가하여 10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈의 분동을 사용해야 한다.
이때, 10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈는 한 개의 분동세트를 이용하여 구성할 수 없으므로 2개의 분동세트(10-5-2-2'-1-1' 분동세트 2개)로부터 구성해야 하며, 따라서 1회 최대 3개 분동을 장진하는 방식에서 사용하는 2개의 분동세트는 같은 물성을 갖는 분동이어야 하고, 그래야만 측정 환경의 불확도 및 B 형(B type) 불확도를 최소화할 수 있다.
상기 10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈는 질량을 정확히 알고 있는 10×10n kg(여기서, n은 + 또는 -의 정수, 혹은 0임)의 기지 분동과, 10×10n kg의 분량을 이루는 미지 분동들, 즉 5×10n kg, 5'×10n kg, 2×10n kg, 2'×10n kg, 1×10n kg, 1'×10n kg의 미지 분동들로 구성되며, 이때 기지 분동(즉, 질량값을 정확히 알고 있는 분동)인 10×10n kg의 분동은 1 kg(n=-1), 10 kg(n=0) 등이 될 수 있고, 미지 분동인 5×10n kg, 5'×10n kg, 2×10n kg, 2'×10n kg, 1×10n kg, 1'×10n kg의 분동은 각각 500 g, 500 g' 200 g, 200 g', 100 g, 100 g' 또는 5 kg, 5 kg', 2 kg, 2 kg', 1 kg, 1 kg'의 분동이 될 수 있다.
이하, 본 명세서에서는 10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈를 구성하는 이름값 10×10n kg, 5×10n kg, 5'×10n kg, 2×10n kg, 2'×10n kg, 1×10n kg, 1'×10n kg의 분동을 각각 10, 5, 5', 2, 2', 1, 1'의 분동으로 약칭하여 설명하기로 한다.
그리고, 10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈에서, 배수 분동은 고려되지 아니하고 분량 분동만 고려된다고 할 때, 미지 분동의 질량값을 유도해내기 위한 전체 기본측정은 14개로 구성될 수 있다.
즉, 최소자승법을 이용하여 미지 분동의 질량값을 유도해내기 위한 기본적인 질량비교측정식(=기본측정함수)(y1 ~ y14) 14개를 취할 수 있는 것이며, 이러한 질량비교측정식 14개를 나타내면 아래와 같다.
- 기본적인 질량비교측정식(=기본측정함수) : y1 ~ y14의 14개
β1 - (β2 + β3) = y1
β2 - β3 = y2
(β2 + β4) - (β3 + β5) = y3
(β2 + β5) - (β3 + β4) = y4
β2 - (β4 + β5 + β6) = y5
β2 - (β4 + β5 + β7) = y6
β3 - (β4 + β5 + β6) = y7
β3 - (β4 + β5 + β7) = y8
β4 - β5 = y9
(β4 + β6) - (β5 + β7) = y10
(β4 + β7) - (β5 + β6) = y11
β4 - (β6 + β7) = y12
β5 - (β6 + β7) = y13
β6 - β7 = y14
여기서, β1, β2, β3, β4, β5, β6, β7은 10, 5, 5', 2, 2', 1, 1'의 각 분동의 질량값을 각각 나타낸다.
이와 같이 14개의 기본측정을 요소로 하는 조합을 구성하되, 분동의 수만큼 독립적인 기본측정은 포함되어야만 미지의 해가 결정될 수 있으며, 후술하는 바와 같이 미지 분동의 수 이상의 질량비교측정식이 구해질 수 있도록 14개의 기본측정 중 선택적으로 측정이 이루어지며, 이때 최소자승법을 이용하여 미지 분동의 질량값을 구하기 위한 기본측정의 조합(G')은 후술하는 3개의 설계 기준 중 어느 하나를 만족하도록 선택된다.
그리고, 상기한 10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈의 질량비교측정식(기본측정함수)은 하기 표 1과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112011076221543-pat00003
한편, Cameron 등에 의해 소개된 바와 같이 행렬(matrix) C는 기본 교정 설계식의 역행렬, 즉 최소자승법에서의 기준식 행렬의 역행렬(기준측정함수를 최소자승법으로 표현한 기준식
Figure 112011076221543-pat00004
에서 기준식 행렬의 역행렬)로, 교정 설계의 결과를 판단하는 자료를 제공하는 주요 역할을 하며, 저울의 장기간 표준편차 δ와 역행렬 C를 이용하여 분동의 분산과 공분산을 표현하면 다음의 식 (3) 및 (4)와 같다[문헌1 : Cameron J M, Croarkin M C and Reybold R C 1977 "Designs for the calibration of mass of standards", NISTTechNote952.].
분산 :
Figure 112011076221543-pat00005
ㆍㆍㆍㆍㆍㆍ(3)
공분산 :
Figure 112011076221543-pat00006
ㆍㆍㆍㆍㆍㆍ(4)
측정 디자인을 선택하고 최소자승법으로 구한 측정 결과를 분석함에 있어서 분산 및 공분산에 대해서는 상기 문헌1 뿐만 아니라 하기 문헌2 ~ 4 등에도 소개되어 있으므로 본 명세서에서는 상세한 설명을 생략하기로 한다.
- 문헌2 : "질량 정밀측정기술" 제1장 제8절, 한국계량측정협회
- 문헌3 : 이우갑, 임수덕, "질량 교정 설계 - 정수 가중 함수, 비교기 2대", 한국표준과학연구원, KRISS-98-070-SP(1998)
- 문헌4 : 정광화, 도진열, 장경호, 홍승수, "질량단위의 유도를 위한 측정디자인과 통계적처리", 한국표준과학연구원, KSRI-MO-8(1981)
그리고, 본 발명의 질량 교정 설계 방법은, 비교기 위에 장진되는 1회 장진 분동의 수를 최대 3개로 하여 미지 분동의 질량값을 결정하는 질량 교정 설계 방법으로서, 10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈의 분동을 사용하되, 미지 분동의 질량값을 유도해내기 위한 전체 기본측정 중 동일 관측 횟수(N)에서 각 기본측정의 조합(G')에 대해 최소자승법에서의 기준식(
Figure 112013013179694-pat00007
) 행렬
Figure 112013013179694-pat00014
의 역행렬 C를 구하는 단계와; 상기 각 기본측정의 조합에 대해서 역행렬 C의 구성 원소로부터 공분산을 최소화하기 위한 O-최적 설계 기준, 역행렬 C에서 대각 원소 Cii의 전체 합(ΣCii)이 최소화되는 A-최적 설계 기준, 및 측정 불확도를 줄이면서 전체 분동들을 고르게 사용하기 위한 밸런스 설계 기준 중 어느 한 기준 조건을 만족하는 기본측정의 조합을 선택하는 단계와; 상기 선택된 기본측정의 조합에 대해 각 기본측정의 질량 합 측정을 실시하여 질량비교측정식을 구하는 단계와; 상기 구해진 질량비교측정식으로부터 최소자승법을 이용하여 각 미지분동의 질량값을 구해내는 단계;를 포함하여 구성된다.
여기서, 상기
Figure 112013013179694-pat00015
는 기본측정함수를 행렬 형태(matrix form)인 Xβ=y로 나타낼 때의 기준식이고, 이때 X는 행렬의 각 원소가 +1,-1,0의 값 중 어느 하나를 갖는 행렬이 된다.
또한 β는 각 분동의 질량값 행렬이고, y는 측정값 행렬이며,
Figure 112013013179694-pat00016
는 상기 기준식에서 오차를 포함하는 예측값(미지분동의 질량 예측값) 해를 나타내는 행렬이고, X'은 X 행렬의 전치 행렬(transposed matrix)이다.
또한 상기 기준식 행렬은
Figure 112013013179694-pat00017
를 칭하는 것으로, C는 이 기준식 행렬
Figure 112013013179694-pat00018
의 역행렬이다.
이하, 상기한 본 발명의 질량 교정 설계 방법에 대해 좀더 상세히 설명하면 다음과 같다.
분산과 공분산은 A 형(A type) 불확도만을 고려하며, 따라서 B 형 불확도는 별도로 추가되어야 하는데, 본 발명에서 유용한 교정 설계를 개발하기 위해 다음의 사항들이 고려된다.
1) 통상적으로 공분산을 제공하지 않는 직교성 교정 설계가 효율적인 설계로 이용되고 있는데, 10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈에서는 직교성 교정 설계를 이용할 수 없으므로, 역행렬 C에서 대각 원소인 Cii의 합(각 원소의 절대값의 합임)과, 역행렬 C에서 전체 원소 Cij의 합(각 원소의 절대값의 합임)을 최소화하는 설계를 찾아야 한다(원소들의 합이 최소인 것은 원소들의 산술 평균이 최소인 것을 의미함). 먼저, 본 발명에서는, 극단적인 최소화는 후술하는 "Balanced" 항목에 나쁜 영향을 주므로, 공분산이 최소화되는 기본측정의 조합(G')을 구하기 위해서는 역행렬 C에서 전체 구성 요소 Cij의 합(ΣCij)(각 원소의 절대값의 합임)이 최소화되는 설계를 우선하여 선택한다. 본 발명에서 이러한 근거로 발생되는 설계를 'O-최적 설계(O-optimal design)'라 한다.
2) 분동이 서로 결합되어 사용되지 아니한다 하더라도 B 형 불확도가 미소하면 역행렬 C의 구성 요소 중 각 분동의 불확도에 직접적인 영향을 미치는 대각 원소 Cii의 전체 합(ΣCii)을 최소화하는 설계를 선택하며, 본 발명에서 이러한 설계를 'A-최적 설계(A-optimal design)'라 한다. 이 설계는 각 분동으로 구성되는 조합의 역행렬 C에서 구성요소 Cii의 산술 평균을 최소화하는 것과 같다.
3) 분산을 최소화하는 것 이외에 시리즈 측정에서 대략적으로 전체 분동들이 최대한 같은 횟수로 고르게 장진되는 것이 바람직하다. 즉, 불확도를 줄이면서 가능한 한 전체 분동들을 최대한 고르게 사용하는 것이 바람직한 것이다. 이는 특히 장기 안전성 불확도에 연결되어 고려되어야 하는데, 직교성 교정 설계에서 1/Cii는 전체 시리즈 분동 중 교정 설계시 사용된 횟수(장진 횟수)와 일치한다. 따라서, 직교성 교정 설계를 구현할 수 없는 환경에서는, 장진 횟수를 균형 있게 하기 위해서, 대각 원소인 Cii는 구성 분동 사이에 표준편차가 최소화되어야 한다. 이러한 교정 설계를 '밸런스 설계(Ballanced design)'라 하며, 밸런스 설계는 대각 원소 Cii의 표준편차(
Figure 112013013179694-pat00008
)를 최소화하는 설계이다(분동의 사용빈도 수에 대한 표준편차가 최소화되는 설계임). 다만, 지나친 균형 잡힘은 분산을 크게 하므로, 밸런스 설계는 그 기본측정 조합(G')에서 구한 역행렬 C 내 대각 원소 Cii의 전체 합(ΣCii)이 후술하는 동일 관측 횟수 N에서 A-최적 설계 기준을 만족하는 기본측정 조합(G')에서 구한 역행렬 C 내 대각 원소 Cii의 전체 합(ΣCii)보다 기준% 이상 더 크지 않은 조건을 동시에 만족하는 기본측정 조합으로 규정한다. 여기서, 상기 기준%는 10%로 설정됨이 바람직하다. 즉, 밸런스 설계에서는 기본측정 조합(G')에서 구한 역행렬 C 내 대각 원소 Cii의 전체 합(ΣCii)이, A-최적 설계 기준을 만족하는 기본측정 조합(G')에서 구한 역행렬 C 내 대각 원소 Cii의 전체 합의 100% 값보다 기준%에 해당하는 값만큼 더 큰 값(즉, 상기 100% 값에 대하여 기준%의 값을 더한 값)의 미만인 조건(예, 110% 값 미만인 조건, 100%+10%=110%)을 만족하는 기본측정 조합으로 규정하는 것이다.
이와 같이 본 발명에서는 상기한 3개의 기준 조건에 따라 기존의 방법에서 가능한 모든 경우의 수를 고려하는 방법을 이용하여 최적의 교정 설계를 찾게 된다.
즉, 공분산을 최소화할 수 있는 기본측정 조합(G')을 원하는 경우, 임의의 관측 횟수 N에서 O-최적 설계의 기준 조건을 만족하는 기본측정 조합을 최소자승법을 통해 미지 분동의 질량값을 구하기 위한 기본측정 조합으로 선택한다.
또한 분동의 불확도에 직접적인 영향을 미치는 대각 원소 Cii의 전체 합(ΣCii)을 최소화하는 설계를 원하는 경우 A-최적 설계의 기준 조건을 만족하는 기본측정 조합을 선택하고, 불확도를 줄이면서 분동의 고른 이용(이용 횟수 및 장진 횟수 측면에서 고른 이용)을 우선하고자 하는 경우 밸런스 설계의 기준 조건을 만족하는 기본측정 조합을 선택하게 된다.
그리고, 선택된 기본측정의 조합(G')은 최소자승법을 이용하여 각 미지 분동의 질량값을 유도하는데 사용된다.
이와 같이 최소자승법을 이용하여 각 미지 분동의 질량값을 유도해내는 과정에서 필요한 기본측정으로서, 최소자승법의 이용시 표 1의 전체 기본측정 14개 중 일부 기본측정이 선택적으로 이용되며(기본측정함수 y1 ~ y14가 선택적으로 구해질 수 있음), 이때 선택된 일부 기본측정에 대해서만 각 기본측정 조합(G')의 규정된 횟수만큼 반복하여 측정하되, 나머지 일부 기본측정에 대해서는 측정을 수행하지 않는다.
상기한 최적의 교정 설계를 구함에 있어서, 전체 기본측정 중 어떤 기본측정을 선택 이용해야 하고, 또한 선택된 기본측정을 어느 횟수로 반복 수행해야 불확도를 최소화할 수 있느냐를 결정하는 것이 관건인 바, 이를 결정하기 위한 기준이 상기한 3개의 기준 조건이다.
즉, 본 발명에서 기본측정의 선택 및 그 기본측정의 반복 측정 횟수의 선택에 있어서 이를 결정하기 위한 기준 조건(기본측정의 조합을 결정하기 위한 기준 조건)이 상기 3개의 기준 조건이며, 전체 기본측정 중 일부 기본측정에 대해서는 상기한 기준 조건 중 어느 하나를 만족하는 횟수로 반복하여 기본측정을 수행하되, 일부 기본측정에 대해서는 측정을 하지 않는 최적의 교정 설계를 구하는 것이다.
이때, 미리 정해진 전체 측정 횟수(관측 횟수 n에 해당함)를 만족하도록 각 기본측정마다 측정 횟수를 정하여 반복 실시하되, 상기한 3개 기준, 즉 O-최적 설계, A-최적 설계, 밸런스 설계의 기준 조건 중 어느 하나를 만족하는 각 기본측정의 측정 횟수를 정하여 최적의 교정 설계를 구하는 것이다.
하기 표 2는 상기 3개의 기준 조건('O-optimal', 'A-optimal', 'Balanced')별로 이를 만족하는, 10부터 20까지의 전체 측정 횟수(= 관측 횟수, N)에 따른 교정 설계를 나타낸 것으로, 표 2에는 각 관측 횟수(N = 10 ~ 20)에서 10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈의 전체 14개 기본측정 중 선택된 일부 기본측정에 대해서만 정해진 횟수만큼 반복하되, 각 관측 횟수(N)에 대해 각 기준 조건을 만족하는 각 기본측정의 측정 횟수를 정하여 구한 최적의 교정 설계를 나타내는 것이다.
Figure 112011076221543-pat00009
총 7개의 분동 중 기지 분동(10의 분동, 질량값 β1)을 제외한 6개 미지 분동(5, 5', 2, 2', 1, 1'의 분동)의 질량값 β2 ~ β7을 기본측정 수행 후 최소자승법을 이용하여 결정함에 있어서, 이들 미지 분동의 질량값을 결정하기 위한 기본측정의 조합(G')은 우선하여 고려되는 기준(공분산 최소화, ΣCii의 최소화, 분동의 최대한 균형 이용)에 따라 3개의 설계 중 어느 하나로 선택되며, N번의 관측(표 2에서 관측 횟수 N = 10 ~ 20) 중 수행한 각 기본측정의 반복 측정 횟수를 표 2에서 G'의 괄호 안 숫자로 나타내었다.
즉, 괄호 안의 숫자는 전체 관측 횟수 중 선택된 설계에서 실제 수행하게 되는 기본측정의 횟수를 나타내는 것으로, 콤마로 구분된 14개 자리의 숫자 중 각 자리는 표 1에서 기본측정의 번호(Row)를 나타내는 것이며, 각 자리의 숫자는 실제 수행하게 되는 그 기본측정의 횟수를 나타내는 것이다.
예컨대, G'(2,0,1, 1,1,0, 0,1,0, 0,0,1, 1,2)는 표 1의 1(Row = 1)번 및 14번(Row = 2)의 기본측정(질량비교측정식 y1에 해당함)을 2회 반복 실시하고, 3번, 4번, 5번, 8번, 12번, 13번의 기본측정은 각각 1회씩, 그리고 나머지 기본측정은 하지않는 교정 설계를 나타내는 것이다.
이 경우, 관측 횟수가 총 10번(총 10번의 기본측정)이므로, 10개의 기본측정함수(질량비교측정식)(y1 2개, y3 1개, y4 1개, y5 1개, y8 1개, y12 1개, y13 1개, y14 2개가 구해짐)를 이용하는 최송자승법을 통하여 미지 분량의 질량값을 구해내게 된다.
또한 괄호 안의 전체 숫자를 합하면 관측 횟수 N이 되고, 14개의 각 숫자는 N의 전체 관측 횟수 중 각 자리마다의 기본측정의 측정 횟수를 나타낸다.
이와 같이 하여, 본 발명에서는 표 2에서와 같이 정해진 각 관측 횟수마다 3개 설계의 기준 조건 중 어느 하나를 만족하는 최적의 기본측정 조합(G')을 사용하되, 공분산을 최소화하기 위해서는 역행렬 C에서 Cij 원소들의 합이 최소인 교정 설계, 즉 O-최적 설계를 선택하여 사용한다.
또한 A-최적 설계는 대각 원소들 Cii의 합인 트레이스(trace)가 최소화되는 교정 설계이고, 각 분동들의 사용 횟수를 최대한 균형 있게 하는 것을 우선으로 하는 경우(각 분동들을 최대한 고르게 사용하는 것을 우선으로 하는 경우) 밸런스 설계를 선택하며, 이때 밸런스 설계는 대각 원소들의 표준편차가 최소화되는 교정 설계이다.
이와 같이 임의의 관측 횟수(N)에서 각 기본측정의 조합(G')이 결정되면, 기본측정을 수행하여 총 관측 횟수에 해당하는 개수의 질량비교측정식(기본측정함수)을 얻게 되고, 결국 이 질량비교측정식으로부터 최소자승법을 이용하여 각 설계(O-최적 설계, A-최적 설계, 밸런스 설계) 기준을 만족하는 수준으로 미지 분동의 질량값을 유도해낼 수 있게 된다.
이상으로 본 발명의 실시예에 대하여 상세하게 설명하였는 바, 본 발명의 권리범위가 이에 한정되는 것이 아니며, 다음의 특허청구범위에서 정의하고 있는 본 발명의 기본 개념을 이용한 당 업자의 여러 변형 및 개량 형태 또한 본 발명의 권리범위에 포함된다.
1 : 분동
10 : 비교기

Claims (4)

  1. 비교기 위에 장진되는 1회 장진 분동의 수를 최대 3개로 하여 미지 분동의 질량값을 결정하는 질량 교정 설계 방법으로서,
    10-5-5'-2-2'-1-1' 시리즈의 분동을 사용하되, 미지 분동의 질량값을 유도해내기 위한 전체 기본측정 중 동일 관측 횟수(N)에서 각 기본측정의 조합(G')에 대해 최소자승법에서의 기준식(
    Figure 112013013179694-pat00010
    ) 행렬
    Figure 112013013179694-pat00019
    의 역행렬 C를 구하는 단계와;
    상기 각 기본측정의 조합에 대해서 역행렬 C의 구성 원소로부터 공분산을 최소화하기 위한 O-최적 설계 기준, 역행렬 C에서 대각 원소 Cii의 전체 합(ΣCii)이 최소화되는 A-최적 설계 기준, 및 측정 불확도를 줄이면서 전체 분동들을 고르게 사용하기 위한 밸런스 설계 기준 중 어느 한 기준 조건을 만족하는 기본측정의 조합을 선택하는 단계와;
    상기 선택된 기본측정의 조합에 대해 각 기본측정의 질량 합 측정을 실시하여 질량비교측정식을 구하는 단계와;
    상기 구해진 질량비교측정식으로부터 최소자승법을 이용하여 각 미지분동의 질량값을 구해내는 단계;
    를 포함하는 최대 3개 분동의 질량 합 측정을 이용하는 질량 교정 설계 방법.
    여기서, 상기
    Figure 112013013179694-pat00020
    는 기본측정함수를 행렬로 Xβ=y로 나타낼 때의 기준식이고, 이때 X는 행렬의 각 원소가 +1,-1,0의 값 중 어느 하나를 갖는 행렬이며, β는 각 분동의 질량값 행렬,
    Figure 112013013179694-pat00021
    는 오차를 포함하는 질량 예측값 해를 나타내는 행렬, y는 측정값 행렬, 그리고 X'은 X 행렬의 전치 행렬(transposed matrix)임.
  2. 청구항 1에 있어서,
    상기 O-최적 설계 기준을 만족하는 기본측정의 조합은 상기 각 기본측정의 조합에 대해 구해진 각 역행렬 C에서 전체 원소(Cij)의 합(ΣCij)이 최소가 되는 기본측정의 조합인 것을 특징으로 하는 최대 3개 분동의 질량 합 측정을 이용하는 질량 교정 설계 방법.
  3. 청구항 1에 있어서,
    상기 밸런스 설계 기준을 만족하는 기본측정의 조합은 상기 각 기본측정의 조합에 대해 구해진 각 역행렬 C에서 대각 원소(Cii)의 표준편차(
    Figure 112011076221543-pat00011
    )가 최소가 되는 기본측정의 조합인 것을 특징으로 하는 최대 3개 분동의 질량 합 측정을 이용하는 질량 교정 설계 방법.
  4. 청구항 3에 있어서,
    상기 밸런스 설계 기준을 만족하는 기본측정의 조합은, 상기 역행렬 C에서 대각 원소(Cii)의 전체 합(ΣCii)이, A-최적 설계 기준을 만족하는 기본측정의 조합에서 구한 역행렬 C 내 대각 원소(Cii)의 전체 합(ΣCii)의 100% 값보다 설정된 기준%에 해당하는 값만큼 더 큰 값의 미만인 조건을 동시에 만족하는 기본측정의 조합인 것을 특징으로 하는 최대 3개 분동의 질량 합 측정을 이용하는 질량 교정 설계 방법.





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