KR101192335B1 - 유체 유동 시뮬레이션 방법 및 이를 수행하기 위한 기록 매체 - Google Patents

유체 유동 시뮬레이션 방법 및 이를 수행하기 위한 기록 매체 Download PDF

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Abstract

유체 유동 시뮬레이션 방법은 유체가 유동하는 공간을 규칙적인 간격의 격자로 이산화한다. 유체의 입자들이 격자 상에서 반복적으로 이동 및 충돌하는 것을 가정한다. 맥스웰-볼츠만 분포와 이산화된 맥스웰-볼츠만 분포의 n차 속도 모멘텀을 비교하여 일원 다항 방정식을 유도한다. 일원 다항 방정식을 기초로 유체의 입자들의 이산 속도에 대응하는 가중치 계수를 연산한다. 가중치 계수를 이용하여 래티스 볼츠만 모델을 도출한다. 이에 따라, 안정성과 정확성이 확보되는 래티스 볼츠만 모델을 용이하게 도출할 수 있다.

Description

유체 유동 시뮬레이션 방법 및 이를 수행하기 위한 기록 매체{METHOD FOR SIMULATING FLUID FLOW AND RECORDING MEDIUM FOR PERFORMING THE METHOD}
본 발명은 유체 유동 시뮬레이션 방법 및 이를 수행하기 위한 기록 매체에 대한 것으로, 보다 상세하게는 래티스 볼츠만 모델을 이용하는 유체 유동 시뮬레이션 방법 및 이를 수행하기 위한 기록 매체에 관한 것이다.
예를 들어, 잠수함이나 항공기 설계시 이것의 주위를 흐르는 유체의 물리량을 예측하는 것은 필수 불가결한 요소이다. 우리가 예측하고자 하는 물리량의 분포(압력, 속도, 온도 분포 등)는 나비에-스톡스(Navier-Stokes) 방정식과 같은 지배 방정식(governing equation)의 해를 구하면 얻을 수 있는데, 이것이 매우 어려워서 유한요소법(finite element method) 등의 방법을 이용하여 근사해(approximated solution)를 구한다.
그러나, 이 방법은 물체의 연속체 가정(continuum hypothesis)을 필요로 하여서, 희박한 기체(rarefied gas)나 마이크로(micro)나 나노(nano) 단위의 크기를 가지는 물체 주위를 흐르는 유체에 대해서는 올바른 답을 제공해 주지 못한다.
또한, 종래의 방법은 복합 유체계(complex fluid system), 기포나 액적의 동역학(bubble or droplet dynamics), 고체 표면에서의 친수 또는 소수 현상 (wetting on solid surface), 미끄럼 경계 조건 (interfacial slip), 다공성 물질을 통과하는 유체 흐름, 혈관에서의 유체 흐름 등을 예측하는데도 적당한 방법을 제공해 주지 못하고 있다.
따라서, 이러한 문제의 해결을 위해 유체를 연속체로 보지 않고 그것을 구성하고 있는 분자들의 집합으로 보아서 분자 수준의 입자 하나하나에 대하여 운동 방정식의 해를 구하는 방법(molecular dynamics)을 이용할 수 있으나 매우 비효율적이다. 이러한 문제를 해결하기 위해 제안된 여러 가지 방법 중의 하나로 격자 볼츠만 방법(Lattice Boltzmann Method)이 있다.
이것은 볼츠만 방정식과 바트나가-그로스-크룩(Bhatnagar-Gross-Krook, BGK) 충돌항(collision term)을 이산화(discretization or discrete process)하면 얻을 수 있다. 그러나, 현재까지의 격자 볼츠만 방법은 등온(isothermal) 유체에 주로 국한되었으며, 비등온(nonisothermal) 유체를 다룰 수 있는 열 격자 볼츠만 방법(themal lattice Boltzmann method)도 제안되었으나 안정성(stability)에 많은 문제를 안고 있다.
열 격자 볼츠만 방법에서 "열"이라는 수식어가 붙은 것은 다음과 같은 이유에서다. 격자 볼츠만 방법이 초기에 등온(isothermal) 유체에만 국한하여 적용할 수 있었기 때문에 이와 대별하기 위하여 등온 유체뿐만 아니라 비등온(nonisothermal) 유체에도 적용할 수 있다는 뜻으로 "열"이라는 수식어를 더하게 되었다.
이에, 본 발명의 기술적 과제는 이러한 점에서 착안된 것으로 본 발명의 목적은 유체의 입자들의 가중치 계수를 연산하여 효율적이고, 안정된 래티스 볼츠만 모델을 도출하는 유체 유동 시뮬레이션 방법을 제공하는 것이다.
본 발명의 다른 목적은 상기 유체 유동 시뮬레이션 방법을 수행하기 위한 기록 매체를 제공하는 것이다.
상기한 본 발명의 목적을 실현하기 위한 일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법은, 유체가 유동하는 공간을 규칙적인 간격의 격자로 이산화하는 단계; 상기 유체의 입자들(particles)이 상기 격자 상에서 반복적으로 이동 및 충돌하는 것을 가정하는 단계; 맥스웰-볼츠만 분포와 이산화된 맥스웰-볼츠만 분포(discretized Maxwell-Boltzmann distribution)의 n(여기서, n은 음이 아닌 정수)차 속도 모멘텀을 비교하여 일원 다항 방정식을 유도하는 단계; 상기 일원 다항 방정식을 기초로 상기 유체의 입자들의 이산 속도(discrete velocity)에 대응하는 가중치 계수를 연산하는 단계; 및 상기 가중치 계수를 이용하여 래티스 볼츠만 모델(lattice Boltzmann model)을 도출하는 단계를 포함한다.
본 발명의 실시예에서, 상기 레티스 볼츠만 모델을 기초로 시간에 따른 상기 유체의 온도, 밀도, 압력, 속력을 포함하는 물리량 중 적어도 하나를 측정하는 단계를 더 포함할 수 있다.
본 발명의 실시예에서, 상기 격자의 규칙적인 간격은 평균자유행로(mean free path)에 대응할 수 있다.
본 발명의 실시예에서, 상기 유체의 입자들은 상기 격자 상의 격자점들에만 존재할 수 있다.
본 발명의 실시예에서, 상기 유체의 입자들의 가중치 계수를 연산하는 단계는, 상기 가중치 계수의 소정의 소수점 자리에서 반올림하여 상기 가중치 계수의 근삿값을 결정하는 단계를 더 포함할 수 있다.
본 발명의 실시예에서, 상기 유체가 유동하는 공간은 1차원일 수 있다.
본 발명의 실시예에서, 상기 일원 다항 방정식을 유도하는 단계는, 가우시안 감마 함수(Gaussian Gamma function)를 이용하는 단계를 포함할 수 있다.
본 발명의 실시예에서, 상기 일원 다항 방정식을 유도하는 단계는, 상기 이산 속도(
Figure 112011036168729-pat00001
) 및 상기 가중치 계수(
Figure 112011036168729-pat00002
)를 아래의 식과 같이 정의하는 단계를 더 포함할 수 있고,
Figure 112011036168729-pat00003
Figure 112011036168729-pat00004
, 여기서,
Figure 112011036168729-pat00005
는 x보다 작거나 같은 최대의 정수이고,
Figure 112011036168729-pat00006
는 홀수이다.
본 발명의 실시예에서, 상기 일원 다항 방정식을 유도하는 단계는, 상기 이산 속도(
Figure 112011036168729-pat00007
)의 비를 아래의 식과 같이 정의하는 단계를 더 포함할 수 있고,
Figure 112011036168729-pat00008
, 여기서,
Figure 112011036168729-pat00009
와
Figure 112011036168729-pat00010
는 서로소이고,
Figure 112011036168729-pat00011
이다.
본 발명의 실시예에서, 상기 일원 다항 방정식을 유도하는 단계는, 아래의 식과 같은 일원 다항 방정식을 도출하는 단계를 더 포함할 수 있고,
Figure 112011036168729-pat00012
,
여기서,
Figure 112011036168729-pat00013
,
Figure 112011036168729-pat00014
,
Figure 112011036168729-pat00015
,
Figure 112011036168729-pat00016
는 각각
Figure 112011036168729-pat00017
,
Figure 112011036168729-pat00018
,
Figure 112011036168729-pat00019
,
Figure 112011036168729-pat00020
,
Figure 112011036168729-pat00021
는 홀수,
Figure 112011036168729-pat00022
는 행렬의 전치(transpose),
Figure 112011036168729-pat00023
는
Figure 112011036168729-pat00024
에 대한
Figure 112011036168729-pat00025
의 상대 크기이며,
Figure 112011036168729-pat00026
,
Figure 112011036168729-pat00027
,
Figure 112011036168729-pat00028
, 및
Figure 112011036168729-pat00029
이다.
상기한 본 발명의 다른 목적을 실현하기 위한 일 실시예에 따른 컴퓨터로 판독 가능한 저장 매체에는 전술한 유체 유동 시뮬레이션 방법을 수행하는 컴퓨터 프로그램이 기록되어 있다.
본 발명에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법 및 이를 수행하기 위한 기록 매체에 따르면, 맥스웰-볼츠만 분포와 이산화된 맥스웰-볼츠만 분포의 n차 속도 모멘텀을 비교하여 이산 속도에 대응하는 가중치 계수를 계산하여 래티스 볼츠만 모델을 도출한다. 따라서, 상기 속도 모멘텀이 만족되는 차수를 높임으로서, 래티스 볼츠만 모델의 불안정성을 극복할 수 있고, 요구되는 정확성을 획득할 수 있다.
또한, 래티스 볼츠만 모델을 도출하는 과정에서 일원 다항 방정식을 이용하므로, 래티스 볼츠만 모델을 효과적으로 도출할 수 있다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법의 흐름도이다.
도 2는 래티스 볼츠만 방법에서 사용되는 2차원 또는 3차원 공간격자를 보여주는 개념도이다.
도 3은 1차원 래티스 볼츠만 모델의 이산 속도의 모델들을 보여주는 개념도이다.
도 4 및 도 5는 2차원 래티스 볼츠만 모델의 이산 속도의 모델들을 보여주는 개념도이다.
도 6은 3차원 래티스 볼츠만 모델의 이산 속도의 모델들을 보여주는 개념도이다.
도 7은 도 1에 따른 래티스 볼츠만 모델을 기초로 밀도를 측정한 결과를 보여주는 그래프이다.
도 8은 본 발명과 비교하기 위한 종래 래티스 볼츠만 모델을 기초로 밀도를 측정한 결과를 보여주는 그래프이다.
도 9는 도 1에 따른 래티스 볼츠만 모델을 기초로 온도를 측정한 결과를 보여주는 그래프이다.
이하, 도면들을 참조하여 본 발명의 바람직한 실시예들을 보다 상세하게 설명하기로 한다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법의 흐름도이다.
도 1을 참조하면, 유체가 유동하는 공간을 규칙적인 간격의 격자로 이산화한다(단계 S10).
유체의 유동을 해석하는 수치계산 방법들 중 하나인 래티스 볼츠만 방법(lattice Boltzmann method)을 사용하기 위해 연속적인 유동의 영역을 규칙적인 격자로 이산화한다. 유체의 가상 입자들(particles)은 상기 격자 상에서 유동하며, 이하, 상기 가상 입자들은 유체의 입자들이라고 한다.
입자의 분포 함수(distribution function)로부터 유체의 거시적인(macroscopic) 변수를 결정하여 유체의 물리적인 파라메타들을 구할 수 있다. 예를 들어, 상기 물리적인 파라메타들은 상기 유체의 시간에 따른 온도, 밀도, 압력, 속력을 포함할 수 있다.
상기 유체가 유동하는 공간은 1차원, 2차원 또는 3차원 일 수 있다. 상기 유체가 유동하는 공간을 규칙적인 간격의 격자로 이산화하는 예들은 아래 도 2 내지 도 6에 의해 설명된다. 아래의 래티스 볼츠만 모델의 이산 속도의 예들은 이산 속도를 가진 어떤 입자가 어떤 이산 시간에 위치할 수 있는 점들을 격자점으로 하는 격자 공간을 이동하는 모델로 정의된다.
도 2는 래티스 볼츠만 방법에서 사용되는 2차원 또는 3차원 공간격자를 보여주는 개념도이다. 도 3은 1차원 래티스 볼츠만 모델의 이산 속도의 모델들을 보여주는 개념도이다. 도 4 및 도 5는 2차원 래티스 볼츠만 모델의 이산 속도의 모델들을 보여주는 개념도이다. 도 6은 3차원 래티스 볼츠만 모델의 이산 속도의 모델들을 보여주는 개념도이다.
도 2를 참조하면, 시뮬레이션의 대상이 되는 유체의 계산 영역을 격자 형태의 유한요소로 분할할 수 있다. 도 2a 내지 2c는 유체의 계산 영역을 격자 형태의 유한요소로 분할한 형태를 도시한 개략도이다.
도 2a 및 도 2b는 2차원 격자 형태를 도시한 것으로, 도 2a는 6각형 격자(hexagonallattice)의 형태를 보여주며, 도 2b는 4각형 격자(square lattice)의 형태를 보여준다. 도 2c는 3차원의 격자 형태를 도시한 것으로, 한 변의 단일길이를 갖는 정입방체 격자의 형태를 갖는다.
도 2에 도시한 바와 같이, 유체가 유동하는 공간은 등방성과 일정함을 유지할 수 있도록 규칙적인 간격의 격자로 이산화된다. 상기 격자의 규칙적인 간격은 평균자유행로(mean free path)에 대응할 수 있다.
도 2a 내지 2c에 도시된 격자의 각 셀들의 개수는 예시적인 것으로서, 본 발명의 실시예에서는 도시된 것보다 적거나 또는 더 많은 개수의 셀들로 이루어진 격자를 이용할 수도 있다.
도 3을 참조하면, 1차원 공간에서 래티스 볼츠만 모델의 이산 속도를 도시한 것이다. 도 3a는 0 및 1의 크기를 갖는 이산 속도의 모델로서, 3개의 이산 속도 세트를 보여준다. 또한, 도 3b는 0, 1 및 2의 크기를 갖는 이산 속도의 모델로서, 5개의 이산 속도 세트를 보여준다. 도 3c는 0, 1, 2 및 3의 크기를 갖는 이산 속도의 모델로서, 7개의 이산 속도 세트를 보여준다.
도 4를 참조하면, 2차원 공간에서 6각형 격자의 형태를 갖는 래티스 볼츠만 모델의 이산 속도를 도시한 것이다. 도 4a는 0 및 1의 크기를 갖는 이산 속도의 모델로서, 7개의 이산 속도 세트를 보여준다. 또한, 도 4b는 0, 1 및 2의 크기를 갖는 이산 속도의 모델로서, 13개의 이산 속도 세트를 보여준다. 도 4c는0, 1, 2 및 3의 크기를 갖는 이산 속도의 모델로서, 19개의 이산 속도 세트를 보여준다.
도 5를 참조하면, 2차원 공간에서 4각형 격자의 형태를 갖는 래티스 볼츠만 모델의 이산 속도를 도시한 것이다. 도 5a는 0을 포함한 9개의 이산 속도 세트를 보여준다. 또한, 도 5b는 0을 포함한 13개의 이산 속도 세트를 보여주며, 도 5c는 0을 포함한 다른 13개의 이산 속도 세트를 보여준다.
도 6을 참조하면, 도 6a 내지 도 6c는 3차원 공간에서 정입방체 격자의 형태를 갖는 래티스 볼츠만 모델의 이산 속도의 모델들의 예를 보여준다.
상기 유체가 유동하는 공간이 규칙적인 격자로 이산화 된 후(단계 S10), 상기 유체의 입자들(particles)이 상기 격자 상에서 반복적으로 이동 및 충돌하는 것으로 가정한다(단계 S20).
상기 유체의 입자들은 상기 격자 상에서 이동과 충돌을 반복한다. 상기 유체의 가상 입자들은 상기 격자 상의 격자점으로만 이동하며, 따라서 상기 입자들은 상기 격자점들에만 존재할 수 있다. 즉, 상기 유체의 가상 입자들은 이산 공간에서 이산 속도를 가지고 격자점과 격자점을 뛰어 넘어 움직이며 분포한다.
상기 가정하에, 맥스웰-볼츠만 분포와 이산화된 맥스웰-볼츠만 분포(discretized Maxwell-Boltzmann distribution)의 n차 속도 모멘텀을 비교하여 일원 다항 방정식을 유도한다(단계 S30).
이하, 상기 일원 다항 방정식을 유도하는 방법을 자세히 설명한다. 수학식에 사용되는 상징 문자(symbol)의 정의는 그 문자의 최초 출현 시 한 번만 정의한다. 따라서, 그 이후에 같은 상징 문자가 나올 때는 최초의 정의에 따른다.
볼츠만 방정식은 비선형 미적분 방정식으로서, 바트나가-그로스-크룩(Bhatnagar-Gross-Krook, BGK) 충돌항(collision term)을 포함한다. 상기 BGK 충돌항은 입자의 물리량이 충돌 전과 후에 어떻게 변화하는가를 나타내는 항으로 이것을 표현하는 방법으로 몇 가지 제안되어 있다. 그 중에서 비교적 간단한 BGK 충돌항을 이용하고 외력이 없다고 가정할 때, 볼츠만 방정식은 다음의 수학식 1과 같이 정의될 수 있다.
[수학식 1]
Figure 112011036168729-pat00030
여기서,
Figure 112011036168729-pat00031
은 미소량(infinitesimal quantity)으로서, 위치
Figure 112011036168729-pat00032
, 시간
Figure 112011036168729-pat00033
일 때, 미소 위상 공간(phase space)
Figure 112011036168729-pat00034
에 포함되어 있는 미시적(microscopic) 속도
Figure 112011036168729-pat00035
를 갖는 입자들의 개수를 나타낸다. 미시적 속도는 거시적 속도(macroscopic)와 구별되는 것으로 후자는 일반적으로 말하는 유체의 속도를 나타내고, 전자는 유체를 이루고 있는 입자 각각의 미시적 속도를 나타낸다.
상수
Figure 112011036168729-pat00036
는 릴렉세이션(relaxation) 시간을 나타내 것으로, 입자 상호간의 충돌에 의해 맥스웰-볼츠만 분포(Maxwell-Boltzmann distribution, 이하 MB 분포)로 가까워지는 빠르기를 의미한다. 상기 MB 분포 함수
Figure 112011036168729-pat00037
로부터 거시적인 물리량은 다음의 수학식 2로부터 얻을 수 있다.
[수학식 2]
Figure 112011036168729-pat00038
여기서,
Figure 112011036168729-pat00039
는 개수 밀도,
Figure 112011036168729-pat00040
는 거시적 속도,
Figure 112011036168729-pat00041
는 단위 질량당 에너지를 나타낸다.
Figure 112011036168729-pat00042
는 온도
Figure 112011036168729-pat00043
와 다음의 수학식 3의 관계를 가진다.
[수학식 3]
Figure 112011036168729-pat00044
Figure 112011036168729-pat00045
는 공간의 차원,
Figure 112011036168729-pat00046
는 볼츠만 상수,
Figure 112011036168729-pat00047
는 입자의 질량을 나타낸다. 상기 MB 분포 함수
Figure 112011036168729-pat00048
는 주어진 조건 하에서 가장 일어나기 쉬운 평형 상태로서 다음의 수학식 4와 같이 정의될 수 있다.
[수학식 4]
Figure 112011036168729-pat00049
여기서, 단위가 없는 변수들인
Figure 112011036168729-pat00050
,
Figure 112011036168729-pat00051
,
Figure 112011036168729-pat00052
는 다음의 수학식 5 내지 7에 의해 정의될 수 있다.
[수학식 5]
Figure 112011036168729-pat00053
[수학식 6]
Figure 112011036168729-pat00054
[수학식 7]
Figure 112011036168729-pat00055
수학식 1의 볼츠만 방정식을 위상 공간과 시간에 대하여 이산화하면, 다음의 수학식 8과 같이 정의된다.
[수학식 8]
Figure 112011036168729-pat00056
여기서,
Figure 112011036168729-pat00057
는 한 개의 입자가 이산 속도
Figure 112011036168729-pat00058
를 가지며, 격자 위치
Figure 112011036168729-pat00059
및 시간
Figure 112011036168729-pat00060
에서 존재할 개연성을 의미한다.
이산화에 있어, 질량, 운동량, 에너지 등의 물리량을 보존하기 위해, 다음의 수학식 9를 만족하는 이산화된 MB 분포 함수
Figure 112011036168729-pat00061
를 찾는 것은 필수적이다.
[수학식 9]
Figure 112011036168729-pat00062
여기서,
Figure 112011036168729-pat00063
를
Figure 112011036168729-pat00064
의 m차 모멘트라고 한다.
Figure 112011036168729-pat00065
는 다음의 수학식 10의 형태를 갖는 급수 전개 로 표현할 수 있다.
[수학식 10]
Figure 112011036168729-pat00067
여기서,
Figure 112011036168729-pat00068
는
Figure 112011036168729-pat00069
의
Figure 112011036168729-pat00070
차 다항식이고,
Figure 112011036168729-pat00071
이다. 또한,
Figure 112011036168729-pat00072
를 다음의 수학식 11과 같은 형태로 표현할 수 있다.
[수학식 11]
Figure 112011036168729-pat00073
여기서,
Figure 112011036168729-pat00074
는 가중치 계수로서 각 이산 속도
Figure 112011036168729-pat00075
에 대응하는 상수 계수이다. 수학식 10 및 수학식 11을 수학식 9에 대입하면, 다음의 수학식 12를 얻는다.
[수학식 12]
Figure 112011036168729-pat00076
이하, 1차원 공간의 경우를 살펴보면, 수학식 12의 거시적 속도에 대한
Figure 112011036168729-pat00077
차의 항은 다음의 수학식 13을 만족한다. 즉, 각 차수의 계수를 비교하는 미정 계수법을 이용한 것으로,
Figure 112011036168729-pat00078
은 음이 아닌 정수이다.
[수학식 13]
Figure 112011036168729-pat00079
수학식 13의 좌변을 계산하면, 다음의 수학식 14를 얻는다.
[수학식 14]
Figure 112011036168729-pat00080
여기서,
Figure 112011036168729-pat00081
는 음이 아닌 정수이고,
Figure 112011036168729-pat00082
는 가우시안 감마 함수로서, 다음의 수학식 15와 같이 겹계승(double factorial)으로 표현될 수 있다.
[수학식 15]
Figure 112011036168729-pat00083
수학식 13에서 대칭을 고려하여 더 간결하게 할 수 있다. 즉, 이산 속도
Figure 112011036168729-pat00084
및 가중치 계수
Figure 112011036168729-pat00085
를 다음의 수학식 16과 같이 정의하여 1차원
Figure 112011036168729-pat00086
개의 이산 속도의 모델을 얻을 수 있다.
[수학식 16]
Figure 112011036168729-pat00087
Figure 112011036168729-pat00088
여기서,
Figure 112011036168729-pat00089
는
Figure 112011036168729-pat00090
보다 작거나 같은 최대의 정수이다.
Figure 112011036168729-pat00091
는 0의 속도를 갖는
Figure 112011036168729-pat00092
을 포함하는 홀수로 정한다. 규칙적인 격자를 사용하기 위해,
Figure 112011036168729-pat00093
의 비는 유리수가 되어야 하고, 따라서 다음의 수학식 17과 같은 제한 조건들을 갖는다.
[수학식 17]
Figure 112011036168729-pat00094
여기서,
Figure 112011036168729-pat00095
와
Figure 112011036168729-pat00096
는 서로소이고,
Figure 112011036168729-pat00097
이다. 이러한 모델들은 이산 속도
Figure 112011036168729-pat00098
및 가중치 계수
Figure 112011036168729-pat00099
로 구성된
Figure 112011036168729-pat00100
개의 변수들을 갖지만, 대칭을 고려한 수학식 16으로부터 미지의 변수를
Figure 112011036168729-pat00101
개로 줄일 수 있다.
Figure 112011036168729-pat00102
및
Figure 112011036168729-pat00103
가 주어지는 경우, 모든
Figure 112011036168729-pat00104
는
Figure 112011036168729-pat00105
에 의해 표현될 수 있다. 결과적으로, 미지의 변수
Figure 112011036168729-pat00106
개를 갖는다.
Figure 112011036168729-pat00107
는 다음의 수학식 18과 같이 정의될 수 있다.
[수학식 18]
Figure 112011036168729-pat00108
수학식 16에 의해 정의된 변수들은 홀수
Figure 112011036168729-pat00109
에 대하여 다음의 수학식 19를 만족한다.
[수학식 19]
Figure 112011036168729-pat00110
그러므로, 미지의 변수
Figure 112011036168729-pat00111
개를 찾기 위해, 다음의 수학식 20의
Figure 112011036168729-pat00112
개의 방정식이 필요하다.
[수학식 20]
Figure 112011036168729-pat00113
수학식 20의 해가 존재한다면, 수학식 12에서
Figure 112011036168729-pat00114
차의 다항식은
Figure 112011036168729-pat00115
(
Figure 112011036168729-pat00116
)까지 이른다.
0의 속도를 갖는 경우를 제외한
Figure 112011036168729-pat00117
개의 이산 속도의 모델을 고려하는 경우,
Figure 112011036168729-pat00118
까지 이르는 다항식을 만족한다. 여기서,
Figure 112011036168729-pat00119
는 짝수이다. 이는
Figure 112011036168729-pat00120
개의 이산 속도 모델이
Figure 112011036168729-pat00121
개의 이산 속도 모델과 모멘트 정확도
Figure 112011036168729-pat00122
의 동일한 순서를 만족하는 것을 의미한다. 여기서,
Figure 112011036168729-pat00123
는 홀수이다. 그러므로, 이산 속도를 최소화하는 관점에서 볼 때, 홀수는 이산 속도의 개수로 선호된다.
수학식 20은 일원(univariate) 다항 방정식으로 줄일 수 있으며, 이를 위해
Figure 112011036168729-pat00124
,
Figure 112011036168729-pat00125
,
Figure 112011036168729-pat00126
,
Figure 112011036168729-pat00127
를 각각 수학식 21과 같이 정의할 수 있다.
[수학식 21]
Figure 112011036168729-pat00128
,
Figure 112011036168729-pat00129
,
Figure 112011036168729-pat00130
,
Figure 112011036168729-pat00131
여기서,
Figure 112011036168729-pat00132
는 행렬의 전치(transpose)를 나타내고,
Figure 112011036168729-pat00133
는
Figure 112011036168729-pat00134
에 대한
Figure 112011036168729-pat00135
의 상대 크기로서 수학식 17에 정의되어 있으며,
Figure 112011036168729-pat00136
로 정의한다.
이어, 수학식 20은
Figure 112011036168729-pat00137
,
Figure 112011036168729-pat00138
, 및
Figure 112011036168729-pat00139
에 의해서 표현될 수 있다. 앞의 두 관계로부터
Figure 112011036168729-pat00140
를 소거한다면, 매개변수
Figure 112011036168729-pat00141
를 갖는 변수
Figure 112011036168729-pat00142
만을 갖는 다음의 수학식 22의 관계를 도출할 수 있다.
[수학식 22]
Figure 112011036168729-pat00143
속도의 이산화를 수행하기 위해서는 그에 따른 가중치 계수를 구해야 한다. 따라서, 상기 수학식 22의 일원 다항 방정식을 기초로 상기 유체의 입자들의 각 이산 속도에 대응하는 가중치 계수를 연산한다(단계 S40).
수학식 22로부터 해인
Figure 112011036168729-pat00144
를 찾으면,
Figure 112011036168729-pat00145
및
Figure 112011036168729-pat00146
로부터 가중치 계수
Figure 112011036168729-pat00147
를 구할 수 있다. 가중치 계수
Figure 112011036168729-pat00148
는 소정의 소수점 자리에서 반올림하여 근삿값을 결정할 수 있다.
또한, 수학식 17로부터 이산 속도
Figure 112011036168729-pat00149
를 구할 수 있다. 이로서, 속도의 이산화가 완성된다.
이어, 상기 가중치 계수 및 이산 속도를 이용하여 래티스 볼츠만 모델(lattice Boltzmann model)을 도출한다(단계 S50).
상기 연산된 가중치 계수
Figure 112011036168729-pat00150
에 따라 대응하는 이산 속도
Figure 112011036168729-pat00151
를 용이하게 이산시킬 수 있다. 따라서, 이로부터 도출한 래티스 볼츠만 모델을기초로 시간에 따른 상기 유체의 온도, 밀도, 압력, 속력을 포함하는 물리량 중 적어도 하나를 측정할 수 있다.
도 7은 도 1에 따른 래티스 볼츠만 모델을 기초로 밀도를 측정한 결과를 보여주는 그래프이다. 도 8은 본 발명과 비교하기 위한 종래 래티스 볼츠만 모델을 기초로 밀도를 측정한 결과를 보여주는 그래프이다. 도 9는 도 1에 따른 래티스 볼츠만 모델을 기초로 온도를 측정한 결과를 보여주는 그래프이다.
도 7 및 도 8을 참조하면, 점선은 분석 결과이고, 실선은 유체 유동 시뮬레이션 방법에 따른 입자의 밀도를 측정한 결과를 보여준다. 그래프의 x축 방향의
Figure 112011036168729-pat00152
는 실험에 사용되는 쇼크 튜브의 상대적 위치를 나타내고, y축 방향의
Figure 112011036168729-pat00153
는 유체 입자의 밀도를 나타낸다.
도 7에 보여지는 바와 같이, 상기 설명한 유체 유동 시뮬레이션 방법에 따른 래티스 볼츠만 모델을 기초로 입자의 밀도를 측정한 결과는 밀도의 비가 11인 경우까지 매우 안정된 것을 알 수 있다.
반면, 종래의 유체 유동 시뮬레이션 방법에 따르면, 도 8에서 보여지는 바와 같이, 밀도의 비가 3인 경우에도 불안정함을 알 수 있다.
또한, 도 9에 보여지는 바와 같이, 상기 설명한 유체 유동 시뮬레이션 방법에 따른 래티스 볼츠만 모델을 기초로 온도와 관련된
Figure 112011036168729-pat00154
를 측정한 결과 역시 분석 결과에 비교해 볼 때 매우 안정된 것을 알 수 있다.
이에 따라, 본 발명에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법에 따르는 경우 안정성이 비약적으로 향상된 래티스 볼츠만 모델을 도출할 수 있음을 알 수 있다.
또한, 이상에서 설명한 유체 유동 시뮬레이션 방법을 수행하기 위한 컴퓨터 프로그램은 컴퓨터로 판독 가능한 기록 매체에 기록될 수 있다.
이상에서 설명한 바와 같이, 본 발명에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법 및 이를 수행하기 위한 기록 매체는 래티스 볼츠만 모델을 도출하기 위해 탁월한 수월성을 제공하는 일원 다항 방정식을 이용한다. 따라서, 종래의 방법에 비해 래티스 볼츠만 모델을 용이하게 도출할 수 있으며, 래티스 볼츠만 모델의 안정성과 정확성을 확보할 수 있다.
이상에서는 실시예들을 참조하여 설명하였지만, 해당 기술 분야의 숙련된 당업자는 하기의 특허 청구의 범위에 기재된 본 발명의 사상 및 영역으로부터 벗어나지 않는 범위 내에서 본 발명을 다양하게 수정 및 변경시킬 수 있음을 이해할 수 있을 것이다.

Claims (11)

  1. 유체가 유동하는 공간을 규칙적인 간격의 격자로 이산화하는 단계;
    상기 유체의 입자들(particles)이 상기 격자 상에서 반복적으로 이동 및 충돌하는 것을 가정하는 단계;
    맥스웰-볼츠만 분포와 이산화된 맥스웰-볼츠만 분포(discretized Maxwell-Boltzmann distribution)의 n(여기서, n은 음이 아닌 정수)차 속도 모멘텀을 비교하여 일원 다항 방정식을 유도하는 단계;
    상기 일원 다항 방정식을 기초로 상기 유체의 입자들의 이산 속도(discrete velocity)에 대응하는 가중치 계수를 연산하는 단계; 및
    상기 가중치 계수를 이용하여 래티스 볼츠만 모델(lattice Boltzmann model)을 도출하는 단계를 포함하는 유체 유동 시뮬레이션 방법.
  2. 제 1항에 있어서,
    상기 레티스 볼츠만 모델을 기초로 시간에 따른 상기 유체의 온도, 밀도, 압력, 속력을 포함하는 물리량 중 적어도 하나를 측정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 유체 유동 시뮬레이션 방법.
  3. 제 1항에 있어서,
    상기 격자의 규칙적인 간격은 평균자유행로(mean free path)에 대응하는 것을 특징으로 하는 유체 유동 시뮬레이션 방법.
  4. 제 1항에 있어서,
    상기 유체의 입자들은 상기 격자 상의 격자점들에만 존재하는 것을 특징으로 하는 유체 유동 시뮬레이션 방법.
  5. 제 1항에 있어서, 상기 유체의 입자들의 가중치 계수를 연산하는 단계는,
    상기 가중치 계수의 소정의 소수점 자리에서 반올림하여 상기 가중치 계수의 근삿값을 결정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 유체 유동 시뮬레이션 방법.
  6. 제 1항에 있어서, 상기 유체가 유동하는 공간은 1차원인 것을 특징으로 하는 유체 유동 시뮬레이션 방법.
  7. 제 6항에 있어서, 상기 일원 다항 방정식을 유도하는 단계는,
    가우시안 감마 함수(Gaussian Gamma function)를 이용하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 유체 유동 시뮬레이션 방법.
  8. 제 7항에 있어서, 상기 일원 다항 방정식을 유도하는 단계는,
    상기 이산 속도(
    Figure 112011036168729-pat00155
    ) 및 상기 가중치 계수(
    Figure 112011036168729-pat00156
    )를 아래의 식과 같이 정의하는 단계를 더 포함하고,
    Figure 112011036168729-pat00157

    Figure 112011036168729-pat00158
    ,
    여기서,
    Figure 112011036168729-pat00159
    는 x보다 작거나 같은 최대의 정수이고,
    Figure 112011036168729-pat00160
    는 홀수인 것을 특징으로 하는 유체 유동 시뮬레이션 방법.
  9. 제 8항에 있어서, 상기 일원 다항 방정식을 유도하는 단계는,
    상기 이산 속도(
    Figure 112011036168729-pat00161
    )의 비를 아래의 식과 같이 정의하는 단계를 더 포함하고,
    Figure 112011036168729-pat00162
    ,
    여기서,
    Figure 112011036168729-pat00163
    와
    Figure 112011036168729-pat00164
    는 서로소이고,
    Figure 112011036168729-pat00165
    인 것을 특징으로 하는 유체 유동 시뮬레이션 방법.
  10. 제 9항에 있어서, 상기 일원 다항 방정식을 유도하는 단계는,
    아래의 식과 같은 일원 다항 방정식을 도출하는 단계를 더 포함하고,
    Figure 112011036168729-pat00166
    ,
    여기서,
    Figure 112011036168729-pat00167
    ,
    Figure 112011036168729-pat00168
    ,
    Figure 112011036168729-pat00169
    ,
    Figure 112011036168729-pat00170
    는 각각
    Figure 112011036168729-pat00171
    ,
    Figure 112011036168729-pat00172
    ,
    Figure 112011036168729-pat00173
    ,
    Figure 112011036168729-pat00174
    ,
    Figure 112011036168729-pat00175
    는 홀수,
    Figure 112011036168729-pat00176
    는 행렬의 전치(transpose),
    Figure 112011036168729-pat00177
    는
    Figure 112011036168729-pat00178
    에 대한
    Figure 112011036168729-pat00179
    의 상대 크기이며,
    Figure 112011036168729-pat00180
    ,
    Figure 112011036168729-pat00181
    ,
    Figure 112011036168729-pat00182
    , 및
    Figure 112011036168729-pat00183
    인 것을 특징으로 하는 유체 유동 시뮬레이션 방법.
  11. 제 1항에 따른 방법을 수행하기 위한 컴퓨터 프로그램이 기록된 컴퓨터로 판독 가능한 기록 매체.
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