KR101143140B1 - 스펙트럼 분석을 이용하여 스트레치-구동형 메쉬를파라미터로 표현하는 방법 - Google Patents

Abstract

스트레치-구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 방법이 개시된다. 스트레치-구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 방법은 스펙트럼 분석을 계산하여 메쉬를 파라미터로 표현하는 단계와, 스트레치 최적화 계산을 반복하여 초기의 파라미터 표현을 더 최적화시키는 단계를 포함한다.

스트레치-구동형 매쉬, 스펙트럼 분석, 파라미터 표현

Description

스펙트럼 분석을 이용하여 스트레치-구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 방법{STRETCH-DRIVEN MESH PARAMETERIZATION USING SPECTRAL ANALYSIS}

도 1은 스펙트럼 분석을 이용하여 스트레치 구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 방법을 도시하는 블럭도.

도 2는 토끼 모델에 대한 도표 작성 및 파라미터 표현 결과를 도시하는 도면.

도 3은 그래프 컷 문제(graph cut problem)로서 최적 분할 경계(optimal partition boundary)를 알아내는 것을 도시하는 도면.

도 4는 상이한 그래프-컷 기능의 비교를 도시하는 도면.

도 5는 5개의 도표로 분할하는 스펙트럼 클러스터링을 갖는 토끼 귀 모양의 예에 대한 관 모양의 분할을 도시하는 도면.

도 6는 본 출원에 기술된 시스템 및 방법이 구현될 수 있는 예시적인 컴퓨팅 환경(600)을 도시하는 도면.

동일한 레퍼런스 번호들은 첨부된 도면에서 동일한 부분들을 나타내기 위하여 사용된다.

<도면의 주요부분에 대한 부호의 설명>

101: 스트레치 값 지정

102: 표면 스펙트럼 분석을 계산하여 초기 파라미터 표현 제공

103: 스트레치 최적화의 소수의 반복 수행

104: 유도된 파라미터 표현의 스트레치가 임계치보다 작으면 중지

105: 표면을 도표들로 분할하는 스펙트럼 클러스터링 수행

106: 그래프 컷 기술을 사용하여 도표 경계 최적화

107: 스트레치 기준이 충족될 때까지 재귀적으로 도표 분할

[문헌1] 2004년 6월 8일 출원된 미국 가출원 번호 60/577,775

본 발명은 컴퓨터 그래픽의 생성에 관한 것이다. 상세하게는, 2차원에서 3차원 객체를 사실적으로 렌더링하는 것에 관한 것이다.

텍스처(texture)를 3차원 표면에 매핑하기 위한 컴퓨터 그래픽 기술들이 소프트웨어 및 하드웨어로 개발 및 구현되어 왔다. 이러한 기존의 구현들은 보통 메쉬 구조(mesh structure)에 의해 정의된 직사각형 텍스처 샘플들을 렌더링될 표면에 매핑한다. 그러한 텍스처 샘플 또는 맵들은 이러한 맵들로부터 렌더링된 이미지의 품질에 반영될 수 있는 특정 제한을 제공하는 경향이 있다.

다음은 기본적인 이해를 제공하기 위하여 본 발명의 단순화된 요약을 제공한다. 이 요약은 본 발명의 광범위한 개요가 아니며, 본 발명의 주요/결정적 구성요소들을 식별하거나 본 발명의 범위를 서술하는 것은 아니다. 그 유일한 목적은 후에 제공되는 보다 상세한 설명에 대한 도입부로서 본 발명에 단순화된 형태로 개시된 소정 개념들을 제공하는 것이다.

본 발명의 예들은 2차원에서 3차원 객체들을 렌더링하는 방식을 제공한다. 객체의 윤곽(contour)을 매핑하기 위해 전형적으로 하나 이상의 그리드(grid)가 객체에 배치된다. 객체의 표면은 많은 부표면(subsurface)(각각이 자신의 그리드를 가짐)으로 나누어질 수 있고, 그것은 표면 높이의 변동으로 인한 스트레치 왜곡(stretch distortion)을 줄이기 위해 선택될 수 있다.

본 발명의 예들은 임의의 메쉬에서 텍스처 아틀라스(atlas)를 생성할 수 있는, Iso-도표(iso-chart)라고 불리는 완전히 자동적인 방법을 제공한다. 그것은 (왜곡 측정과 같이) 도표들을 파라미터로 표현하는 경우 뿐만 아니라 도표들을 형성하는 경우에도 스트레치를 고려한다. 출력 아틀라스는 사용자 지정 상수에 의해 스트레치를 제한할 수 있는데, 그것은 사용자가 스트레치에 대해 도표의 개수를 밸런싱하게 한다.

본 발명의 많은 부수적인 특성들은 첨부되는 도면들과 함께 고려된 후술되는 상세 설명을 참조함으로써 더 쉽게 인식되는 동시에 더 잘 이해될 것이다.

본 발명 또는 출원 파일은 채색된 적어도 하나의 도면을 포함한다. 컬러 도면을 갖는 본 특허 또는 특허 출원 공개의 사본이 요청 시 및 필요한 요금의 지불 시 특허청에 의해 제공될 것이다. 본 발명의 이러한 특징과 이점 및 기타 특징과 이점들은 첨부되는 도면의 관점에서 후술되는 상세 설명이 읽혀질 때 더 잘 이해될 것이다.

첨부된 도면들과 함께 이하에 제공된 상세 설명은 본 발명의 예들을 기술하기 위한 것이며, 본 발명이 구성되거나 이용될 수 있는 유일한 형태들을 나타내고자 하는 것이 아니다. 상세 설명은 예시된 예들과 관련하여 본 발명의 기능 및 본 발명을 구성하고 운영하기 위한 단계들의 시퀀스를 설명한다. 본 분야에서 숙련된 기술을 가진 자들은 설명된 동작 또는 단계들의 시퀀스가 예시적이며, 그 순서가 변경되어 동일한 결과를 달성할 수 있다는 점을 인식할 것이다. 또한, 동일하거나 동등한 기능 및 시퀀스가 본 발명의 상이한 예들에 의해 달성될 수 있다.

본 발명의 예들은 여기에서 2차원 컴퓨터 그래픽 시스템에서 구현되는 것으로서 설명되고 도시되지만, 기술된 시스템은 일례로서 제공되는 것이며 제한이 아니다. 본 분야에서 숙련된 기술을 가진 자들이 인식하고 있는 바와 같이, 본 발명은 컴퓨터 그래픽 등으로부터 생성된 3차원 모델을 포함한 여러 상이한 유형의 이미지 생성 시스템의 어플리케이션에 적합하다.

제공된 예는 복수의 도표를 사용하여 임의의 메쉬를 파라미터로 표현("메쉬 파라미터 표현")하기 위한 방법을 포함한다. 도표들로의 분해 및 각 도표의 파라미터 표현은 자동적일 수 있고 정점과 파라미터 표현 스트레치 사이의 측지 거리(geodesic distance)의 행렬에 대한 스펙트럼 분석의 개념에 기초할 수 있다.

메쉬 파라미터 표현은 3차원 그래픽의 연출(rendition)에서 이용될 수 있다. 3차원 그래픽의 렌더링에 노멀(normal), 컬러, 또는 셰이딩 파라미터(shading parameter)를 포함한 많은 신호(signal)들이 이용될 수 있고, 보다 사실적인 이미지를 생성하기 위한 노력으로 3차원 표면들과 연계될 수 있다. 특히, "텍스처 맵"이 표면의 텍스처를 기술하기 위하여 사용될 수 있고, 그로 인해 보다 사실적인 이미지가 재생성된다.

하기에 기술된 예는 최소의 텍스처 샘플을 사용하여 충실도(fidelity)를 제공하는 경향이 있는 텍스처 맵을 작성하는 자동적인 방법을 제공한다. 제공된 예는 텍스처 통합(texture synthesis), 기하학적 압축(geometry compression), 재메슁(remeshing) 및 여러 기타 기하학적 프로세스에도 적용될 수 있다.

이러한 유형의 분류(breakdown)는 맵 영역이 어떻게 선택되는지에 따라 스트레치를 최소화하는 경향이 있을 수 있다. 따라서, 컴퓨터 그래픽 연출을 위한 이미지를 모델링할 때, 텍스처 이미지 상으로의 임의의 메쉬의 단일 전개(single unfolding)는 재생성된 이미지에서 높은 왜곡의 영역을 생성할 수 있다. 따라서, 일반적으로 메쉬는 도표들의 집합으로 분할된다. 도표들의 집합은 텍스처 아틀라스를 구성한다. 각 도표는 텍스처 도메인의 영역에 의한 파라미터들의 집합을 할당받고, 이러한 파라미터 표현은 총괄하여 아틀라스를 형성한다.

Iso-도표라 불리는 완전히 자동적인 방법은 임의의 메쉬에 대한 텍스처 아틀라스를 생성할 수 있다. 그것은 (왜곡 측정과 같이) 도표들을 파라미터로 표현하는 경우뿐만 아니라 도표들을 형성하는 경우에도 스트레치를 고려한다. 출력 아틀라스는 사용자 지정 상수에 의해 스트레치를 제한할 수 있는데, 그것은 사용자가 그들의 스트레치에 대한 도표들의 개수를 밸런싱하게 한다.

스펙트럼 분석을 이용하여 스트레치 구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 접근법은 다음 두 기술 - 1) 로컬 메트릭 텐서(local metric tensor)의 자취(trace)의 표면 적분에 기초한 스트레치-최소화 파라미터 표현, 및 2) 메쉬 정점들의 쌍 사이의 측지 거리의 제곱의 행렬에 대한 고유-분석(eigen-analysis)에 기초한 "IsoMap" 또는 MDS("멀티-차원 스케일링") 파라미터 표현 - 을 결합한다. 전형적으로 저-스트레치 아틀라스를 획득하기 위해 비선형 스트레치 최적화의 소수의 반복만이 MDS 파라미터 표현에 적용될 필요가 있다. 이러한 두 파라미터 표현 사이에 발견된 밀접한 관계는 낮은 스트레치를 갖는 도표들로 메쉬를 분할하기 위해 MDS에 기초한 스펙트럼 클러스터링의 적용을 허용한다. 그래프 컷 알고리즘(gragh cut algorithm)은 도표 경계를 최적화하고, 또한 스트레치를 최소화하며, 뾰족한 특성들을 따르고, 구불구불함을 피하기 위하여 적용된다.

스펙트럼 분석을 사용하여 스트레치 구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 방법은 기하학적 재메슁와 같은 어플리케이션에 유용한 더 적은 도표 및 더 낮은 스트레치를 이용하여 텍스처 아틀라스를 신속하게 생성하는 경향이 있다. 또 다른 예는 표면 신호의 효율적인 샘플링을 진행하는 경향이 있고, 도표 형성 시 신호 스트레치를 고려함으로써 더 나은 텍스처 맵을 생성하는 경향이 있는 확장(extension), 신호-특수 아틀라스 생성(signal-specilized atlas creation)을 기술한다.

파라미터 표현은 텍스처 매핑, 모핑(morphing), 편집, 재메슁 및 압축과 같 은 여러 기하학 프로세싱 알고리즘에서 사용될 수 있다. 임의의 메쉬를 파라미터로 표현하기 위해, 텍스처 아틀라스가 구축될 수 있다. 모델링될 타겟 표면(target surface)은 전형적으로 먼저 도표들의 집합으로 분할되는데, 이것은 도표 작성(chartification)이라고 불리며, 파라미터로 표현되고 텍스처 도메인으로 패킹된다.

특히, 텍스처 아틀라스 생성은 보다 사실적인 이미지를 생성하려는 시도로 메쉬가 표면에 적용될 때 거리가 얼마나 많이 축소되거나 "스트레치(stretch)"되는지에 대한 고려를 포함할 수 있다.

텍스처 아틀라스로부터 재생성된 최종 이미지의 왜곡은 다양한 방식으로 교정되거나 최소화될 수 있다. 한 방식은 텍스처 아틀라스 내의 도표들의 적절한 선택을 수반한다. 또다른 방식에서는, 아틀라스 내의 도표들의 개수가 변할 수 있다. 따라서, 타겟 표면이 도표들로 분할되는 방식은 2차원에서 렌더링될 3차원 객체의 외형에 영향을 준다.

3D 표면은 2D 평면과 같은 용적(isometric)이 아니기 때문에, 파라미터 표현은 왜곡을 일으킨다. 왜곡은 각(angle) 또는 영역(area)이 얼마나 잘 보존되는지, 또는 파라미터 거리가 표면 상으로 얼마나 많이 스트레치되거나 축소되는지를 포함하여 여러 방식들로 측정될 수 있다. 스펙트럼 분석을 사용하여 스트레치 구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 것은 표면에 대한 로컬 거리의 평균 스트레칭 및 최악의 경우의 스트레칭을 측정하는 거리 왜곡, 상세하게는 기하학적 스트레치의 정의에 초점을 둔다.

스트레치 최소화는 전형적으로 비선형 최적화를 이용한다. 스트레치 최소화는 느린 경향이 있고, 뾰족한 특성을 방해하거나 도표 밀집성(compactness) 및 평면성(planarity)에 기초하여 클러스터링하는 관련없는 발견적 방법을 지지하여 도표들을 형성할 때 스트레치를 무시하는 경향이 있다. 후자는 도표에 대한 스트레치-최소화 임베딩을 계산하는 것이 비용이 많이 드는 경우, 모든 가능한 도표 분할에 대해 계산하는 것은 완전히 비실용적인 경향이 있기 때문에 사실이다.

이것을 개선하기 위한 시도로, IsoMap이라 불리는 비선형 차원 축소(nonlinear dimensionality reduction)의 형태가 적용된다. IsoMap은 메쉬 상의 정점들의 쌍 사이의 측지 거리 왜곡을 최소화하는 경향이 있다. 본 출원의 핵심은, 상당히 상이하게 정의되지만 측지 거리 왜곡이 스트레치에 밀접하게 관련된다는 것에 대한 관찰이다. 따라서, IsoMap은 아틀라스 생성 시 두가지 특성을 제공하는 경향이 있다. 스트레치 거의 없이 파라미터로 표현될 수 있는 동물 부속물과 같이 크고 기하학적으로 의미있는 부분들로 모델을 분해하기 위한, 스펙트럼 분석이라 불리는 효율적인 방식을 제공한다. 별도의 계산없이, 각 부분에 대한 초기 파라미터 표현 또한 제공한다. 사실상, 이것은 전형적으로 스트레치 최소화에 대한 좋은 출발점을 제공하며, 따라서 비선형 스트레치 최적화의 소수의 반복은 신속하게 수렴할 수 있고 "폴드오버(foldover)" 문제를 쉽게 제거한다.

스펙트럼 분석을 사용하여 스트레치 구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 특성은 측지 거리의 행렬에 대한 스펙트럼 분석에 기초하여 클러스터링하는 스트레치-구동형 도표 작성 방법이다. 그것은 일반적으로 도표의 개수를 작게 유지하면서 사용자가 스트레치를 제한하도록 허용할 수 있다. 동시에 그러한 스펙트럼 분석은 도표의 저-스트레치 파라미터 표현을 신속하게 획득한다. 두 메트릭 사이에 발견된 관계가 주어지면, 그래프 컷은 도표 경계를 최적화하고, 측지 거리 왜곡 및 그로 인한 스트레치를 고려하도록 성능 메트릭을 변경하기 위하여 사용될 수 있다. 스펙트럼 분석을 사용하여 스트레치 구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 것은 일반적으로 기하학적 부분들이 주기적(관 모양) 구조를 갖는 경우에 더 나은 도표를 생성하기 위하여 "특수 스펙트럼 클러스터링"을 사용한다. 결국, 이 접근법은 신호-특수 아틀라스 생성으로 일반화된다. 스펙트럼 분석 아틀라스를 사용하여 스트레치 구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 것은 파라미터 표현뿐만 아니라 도표 분할도 노멀 또는 컬러 맵과 같은 특정 신호에 적응되는 첫 번째 방법일 수 있다.

프로세스 개요

도 1은 스펙트럼 분석을 사용하여 스트레치 구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 방법을 도시하는 블럭도이다. 스펙트럼 분석을 사용하여 스트레치 구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 것에 대한 접근법은 탑-다운, 스트레치-구동형 방법으로서 간주될 수 있다. 블럭(101)에서 표면 및 사용자-지정 스트레치 값이 주어지면, 블럭(102)에서 표면 스펙트럼 분석이 계산되며 초기 파라미터 표현을 제공한다. 블럭(102)은 "표면 스펙트럼 분석"이라는 제목의 섹션에서 하기에 보다 상세히 기술된다. 블럭(103)에서, 기존의 스트레치 최적화의 소수의 반복이 수행된다. 블럭(104)에서, 이 도출된 파라미터 표현의 스트레치가 임계치보다 작으면, 프로세스는 중지한다. 블럭(105)에서, 표면을 도표들로 분할하는 스펙트럼 클러스터링이 수행된다. 블럭(106)에서, 그래프 컷 기술을 사용하여 도표 경계의 최적화가 수행된다. 블럭(107)에서, 도표들은 스트레치 기준이 충족될 때까지 재귀적으로 분할된다.

프로세스의 결과는 파라미터 표현이 스트레치를 제한하는 도표들의 집합이다. 도표 위상(chart topology)은 명시적으로 검사될 필요는 없다. 스트레치-구동형 프로세스는 모든 도표가 결국 위상적인 디스크들로 세분된다는 것을 보장한다. 그렇지 않으면 파라미터 표현 스트레치가 무한이기 때문이다. 전형적으로 드문 그러한 경우에 파라미터 표현 도메인이 오버랩하지 않고 세분하지 않는다는 것을 확인하기 위한 검사가 행해진다. 포스트-프로세싱(post-processing) 단계로서, 병합된 도표의 파라미터 표현 스트레치가 사용자 지정 스트레치 값보다 작다면 작은 도표들이 함께 병합된다.

왜곡은 기하학 또는 신호 스트레치(signal stretch)의 두 기준을 사용하여 제한된다. L2 기준은 표면에 대해

을 적분하고, 이어서 모든 제곱근에 대해 적분한다. L^∞기준은 전체 표면에 대해 max{Y_max, 1/Y_min}를 최대화한다. 여기서, Y_max 및 Y_min는 표면에 대한 스칼라 함수이고, 이것은 임의의 점에서 텍스처 공간으로부터 모델 또는 신호 공간으로의 유사 매핑의 야코비안(jacobian)의 가장 큰 단수 값 및 가장 작은 단수 값을 나타낸다. L^∞ 기준에서 축 소 1/Y_min 를 포함하는 것은 언더샘플링(undersampling)을 선고하는 변경이다. 기하학 또는 신호 스트레치의 두 기준을 사용하여 왜곡을 제한하는 것은 2002년 5월 1일에 출원되고 발명의 명칭이 "System and Method for Providing Signal-Specialized Parameterization"인 미국 특허 번호 제10/138,289호에 개시되어 있으며, 그 내용은 참조됨으로써 본 명세서에 포함된다.

도 2는 토끼 모델(bunny model)에 대한 도표 작성 및 파라미터 표현 결과를 보여준다. 토끼 모델(201)에 대해 생성된 Iso-도표 아틀라스(Iso-chart atlas)(200)가 도시되어 있다. 보이는 바와 같이, 토끼의 표면은 15개의 큰 도표들로 분할되어 있고, 이전 방법 (L2=1.01, L^∞=2.26)보다 통상적으로 더 낮은 스트레치로 평평하게 될 수 있다. 보이는 바와 같이, 모델의 머리, 귀 및 몸과 같은 모델의 일부분은 큰 도표들로 분해된다. 도시된 예에서 이 계산은 약 1분이 소요되었다.

도표 작성 및 파라미터 표현(chartification and parameterization)

도표 작성 및 파라미터 표현은 표면 스펙트럼 분석, 스펙트럼 분석을 이용한 스트레치의 축소, 표면 스펙트럼 클러스터링, 최적 파라미터 경계 계산, 중앙 영역 임베딩(embedding), 관 모양의 스펙트럼 클러스터링, 구현 및 신호 특수 아틀라스 생성의 적용을 포함한다.

표면 스펙트럼 분석

이 프로세스는 종래의 차원 축소 방법 IsoMap(같은 용적의 특징 매핑)에 따 라 구축된다. 소정의 고-차원 점 집합이 주어지면, IsoMap은 이웃 점들 간의 홉의 순서에 따라 매니폴드(manifold)를 따라 측지 거리를 계산한다. 이후 MDS(multidimensional scaling:다차원 스케일링)를 이들 측지 거리에 적용하여 유사한 페어 방식(pairwise)의 거리를 갖는 저-차원 공간에 임베딩된 점들의 집합을 찾는다.

IsoMap을 적용하는 것은 "표면 스펙트럼 분석"이라 불리며, 그 계산에 대한 개요가 이하에 설명된다. N개의 정점을 갖는 표면이 주어지면, x_i는(각 x_i는 3D 공간에서의 위치임),

표면 정점들 간에 제곱된 측지 거리의 대칭 행렬 D_N을 계산한다.

다음으로, 이중 센터링(centering) 및 정규화(normalization)를 D_N에 적용하여

을 산출하는데, 여기서 J_N은

에 의해 정의된 N×N 센터링 행렬이고, I는 아이덴티티 행렬이고, 1은 길이 N인 1의 벡터이다. 이것은 계산된 점 집합의 중력의 센터가 원점(origin)에 놓이도록 제한한다.

, (i=1, 2, ..., N)의 고유값 λ_i 및 그에 대응하는 고유 벡터 V_i를 계산한다.

원래 표면의 각 정점 i에 대해, 새 공간에서의 그 임베딩은 N 차원 벡터 y_i이며, 이것의 j번째 컴포넌트는

에 의해 제공된다.

, (i=1, 2, ..., N)의 고유값 λ_i 및 그에 대응하는 고유 벡터

는 표면 형상의 스펙트럼 분해를 형성한다. 벡터 y_i는 휘어진 모델(warped model)을 나타내며, 이것은 원래의 정점 x_i와 일-대-일 대응이다. 큰 고유값에 대응하는 고유 벡터는 표면 상에서 글로벌이고 저-주파수의 특징을 나타내는 반면, 작은 고유값에 대응하는 고유 벡터는 고-주파수 상세사항을 나타낸다. 고-에너지, 저-주파수 컴포넌트를 도표 작성 및 파라미터 표현의 기초로 간주하는 것은 당연하다.

N개의 정점을 지닌 표면을 완전히 나타내기 위해 N개의 고유값이 필요함에도 불구하고, 작은 수의 정점이 통상적으로 에너지를 지배한다. 도 2에 도시된 토끼 모델에 대해, 상위 5개의 고유값이 제곱된 에너지의 85%을 구성한다; 즉,

이다. 그러므로 n＜＜N인 가장 큰 고유값 및 그에 대응하는 고유 벡터만이 계산되고, 이것은 모든 정점에 대한 n차원 임베딩을 초래한다.

이 n-차원 임베딩의 왜곡은 모든 정점에 대해 측지 거리 왜곡의 합으로서 계산될 수 있다. 각 정점 i에 대해, 임베딩 하의 측지 거리 왜곡(geodesic distance distortion:"GDD")은 다음과 같이 정의될 수 있다:

여기서

는 정점 i의 n-차원 임베딩 좌표이고, d_geo(i, j)는 정점 i와 j 간의 측지 거리이다. 이 정의는 삼각형의 세 개의 정점의 왜곡의 평균을 구함으로써 한 정점에서 삼각형으로 확장될 수 있고, 이후의 섹션, "최적 분할 경계 계산"에서 사용된다.

n=2 일 때, 표면 스펙트럼 분석은 모든 정점에 대해 제곱된 GDD의 합을 최소화하는 표면 파라미터 표현을 산출한다. 따라서 표면 스펙트럼 분석이 도표 작성에 대한 분해 및 파라미터 표현이라는 두 개의 문제점에 동시에 적용될 수 있다는 것을 유의한다.

다각형 모델의 표면 점들 간의 측지 거리를 계산하기 위해, 종래의 고속 매칭 방법은

에서 수행되고, 통상적으로 Dijkstra의 그래프 탐색 방법보다는 더 정확한 결과를 획득하는데, 그 이유는 그것이 메쉬 삼각형을 가로지르는 경로가 사용되는 것을 허용하기 때문이다.

스펙트럼 분석 및 스트레치

GDD-최소화 및 스트레치-최소화 파라미터 표현 둘 다는 거리 왜곡에 촛점을 둔다. 여전히, GDD는 여러 방식으로 스트레치와는 다르다. 이것은 로컬이라기보다는 글로벌인데, 그 이유는 어느 한 점에서 야코비안에 의해 추론된 로컬 스트레치보다는 표면 상에서 임의로 멀리 있는 정점들 간의 거리를 고려하기 때문이다. 이것은 비율-기반이라기보다는 차이-기반인데, 그 이유는 단위-길이 탄젠트 벡터가 얼마나 스트레치되는가보다는 원래 거리와 파라미터의 거리 간의 차이를 선고하기 때문이다. 그리고 이것은 연속적이기보다는 이산적인데, 그 이유는 이것이 각 삼각형 및 각 방향에서의 스트레치보다는 정점 쌍 간의 거리 왜곡을 고려하기 때문이다.

정점 쌍 간에서만 거리 왜곡을 측정하는 스펙트럼 분석의 이산 속성은 삼각형 플립에 문제를 일으킨다. 스펙트럼 분석 및 스트레치를 계산하는 우리의 프로세스는 간단한 해결책을 제공한다. 삼각형 플립은 무한한 스트레치를 야기하도록 정의되고, 우리의 알고리즘은 통상적으로 그 스트레치가 사용자의 임계치를 넘는 도표를 분할하기 때문에, 임의의 유한한 임계치는 최종 아틀라스가 특정 플립을 포함하지 않을 것을 보장한다.

스펙트럼 분석은 통상적으로 일반적인 비선형 최적화보다는 저-차원 고유값 문제의 해결책을 필요로 한다. 그 계산은 이하에 설명되는 "랜드마크(landmark)" 확장을 사용함으로써 더욱 가속화될 수 있다. 스트레치와 GDD 간의 차이에도 불구하고, 스펙트럼 분석은 통상적으로 스트레치를 효과적으로 축소시킨다.

표면 스펙트럼 클러스터링

스펙트럼 분석에 의해 추론된 파라미터 표현이 사용자의 스트레치 임계치를 만족시키지 못하는 경우, 이것은 몇몇의 보다 더 작은 도표들로 분할된다. 동물의 머리, 귀, 다리 및 꼬리와 같은 모델의 글로벌 특징이 더 큰 고유값에 대응한다는 것을 상기해보면, 이것들은 분할되곤 했다. 스펙트럼 분석 결과를 사용하는 몇몇 대표적인 정점이 계산된다. 이후, "표면 스펙트럼 클러스터링"으로 지칭되는 방법으로, 이들 대표 주변에서 동시에 도표가 증대된다.

그 프로세스는 이하와 같다:

1. 표면 스펙트럼 분석으로부터 고유값 λ_i(λ₁≥λ₂≥...λ_N) 및 대응하는 고유 벡터

를 순위화한다.

2. 상위 n개의 고유값 및 고유 벡터를

이 극대화되도록 획득한다.

3. 메쉬의 각 정점 i에 대해, 그것의 n-차원 임베딩 좌표

를 계산한다.

4. n개의 임베딩 좌표 각각에 대해, 극대 좌표 값 및 극소 좌표 값을 갖는 두 개의 정점을 찾아서 그것을 2n개의 대표로 설정한다.

5. 서로 너무 밀접해 있는 대표들을 제거하여, m≤2n 인 대표를 산출한다.

6. 표면 스펙트럼 분석에서 계산된 측지 거리를 사용하여 대표 주변에서 동시에 도표들을 증대시킴으로써 메쉬를 m개의 부분으로 분할한다.

단계 2는 에너지를 고유값의 수와 관련시키고 곡선에서 "심한 굴곡부(knee)"를 찾는 상대 오류 임계치에 이른다. n의 값은 형상 복잡도의 수치이다: n＜3은 꽤 평평한 형상을 의미한다; 큰 n은 중요한 상세사항을 지닌 복잡한 형상을 의미한다. 나머지 N-n 고유값을 제거하는 것은 고 주파수 상세사항을 무시하고 너무 많은 도표들로 분할하는 것을 피한다. 본 구현은 또한 n≤10이 되도록 제한하고("구현의 상세사항"이라는 섹션 참조), 이어서 서브도표의 최대 수를 제한한다.

단계 4에서 상이한 차원들로부터 계산된 대표들이 밀접하고 너무 중복되기 때문에, 단계 5는 이것을 제거한다. 입력 메쉬의 평균 모서리 길이를 10배한 거리 임계치가 사용된다. 단계 6에서, 삼각형으로부터 대표 정점으로의 측지 거리가 대표에 대한 삼각형의 세 개의 정점의 측지 거리의 평균으로서 계산된다.

최적 분할 경계 계산

도표를 분할한 후에, 도표 간의 경계가 최적화된다. 도표 경계는 다음의 두 가지 목적을 충족시켜야 한다: 1) 도표 경계는 너무 삐쭉삐쭉하지 않게 고 곡률의 영역을 가로질러야 하고, 2) 도표 경계는 그들이 면하고 있는 도표의 임베딩 왜곡을 최소화해야 한다.

제1 목적은 종래의 방법에 의해 다루어지는데, 이것은 가장 짧은 길이의 도표 컷을 선택하거나 고 2면각을 지니는 모서리를 따라 도표 완전연속(chart compactness)의 각종 수치를 최소화한다. 메쉬를 분해하는 데에 종래의 그래프 컷 방법이 사용되며, 이 아이디어는 메쉬를 파라미터로 표현하는 데 적용된다. 제2 목적은 스트레치-최소화 분할에 관한 것이다.

제2 목적은 최적 경계 문제를 그래프 컷팅 문제로서 공식화함으로써 해결될 수 있다. 간단하게 하기 위해, 표면을 두 개로 분할하는 이진 경우가 소개된다. 두 개 이상의 도표로 세분할 때, 우리는 이웃하는 도표의 각 쌍을 차례로 고려한다.

도 3은 그래프 컷 문제로서 최적 분할 경계를 찾는 것을 도시한다. 경계를 찾을 때, 형상(300)은 세 개의 부분 즉, 문자 영역 301(적색), 302(청색) 및 중간 영역 303(녹색)으로 분해된다. 그래프(304)는 중앙 영역(303)에 대해 구성된다. 두 개의 도표(302 및 301) 간의 최적 경계를 찾는다. 초기 분할은 표면 스펙트럼 클러스터링을 사용하여 생성된다. 이후 초기 분할 경계의 두 면 중 하나로 영역을 확장함으로써 중앙 영역(303)이 생성된다. 중앙 영역의 크기는 분할되지 않은 패치의 전체 영역에 비례한다; 예를 들어 30%가 사용된다. 이제 퍼지 클러스터링 및 컷을 이용하는 계층적인 메쉬 분해의 종래 방법을 확장하여 303으로부터 방향이 없는 흐름 네트워크 그래프(305)가 구성된다. 이 방법에서, 메쉬의 두 개의 인접한 삼각형 f_i 및 f_j 간의 "용량"의 정의는 이하와 같다.

수학식 2의 제1 항은 고 2면각의 삐쭉삐쭉하지 않은 컷 스루 모서리(cut through edge)의 제1 목적에 대응된다. 이것은 이하에 의해 달성된다:

여기서, d_ang(f_i, f_j)는 (1-cos α_ij)로 정의되고, α_ij는 삼각형 f_i 와 f_j의 수직선 간의 각도이고, avg(d_ang)는 인접 삼각형 간의 평균 각 거리이다.

수학식 2의 제 2항은 임베딩 왜곡을 측정하고, 이하와 같이 정의된다.

여기서 GDD_A(f_i) 및 GDD_B(f_i)는 각각 302 또는 301에 의해 추론되는 임베딩 하에서의 삼각형 f_i의 GDD이다. avg(d_distort)는 인접하는 삼각형 각 쌍에 대한 평균 d_distort(f_i, f_j)이다. 이 c_distort(f_i, f_j)의 정의는 그 인접하는 삼각형들이 302 및 301에 의해 판정되는 임베딩 간에서 GDD를 밸런싱하는 경계 모서리를 선호한다. 다시 말해, 컷은 불필요한 왜곡을 생성하는 잘못된 면에 삼각형을 두는 것을 피해야 한다.

도 4는 서로 다른 그래프 컷 용량의 비교를 도시한다. 가중 파라미터 α는 두 가지의 목적을 트레이드 오프(trade off)한다. α=1로 설정하는 것은 뾰족한 특징을 지니는 모델에 대해 좋은 결과를 달성할 수 있다. 2면각이 중앙 영역에서 부드럽게 변화하는 형상에 대해, 이것은 가장 짧은 길이(401)의 컷을 향한다. 그러나 이 분할은 오른쪽 도표에서 너무 많은 스트레치를 생성하며, 이것은 다시 사용자의 임계치(404)를 만족하도록 다시 분할되어야 한다.

한편, α=0으로 설정하는 것은 GDD를 최소화하는데(402), 이것은 도표 급증을 막지만 경계를 삐쭉삐쭉하게 만든다. 이 둘의 조합이 α=0.5으로 나타난다 (403). 파라미터 표현 스트레치가 402보다 조금 크지만, 더 부드러운 경계는 많은 어플리케이션에서 바람직할 것이다.

중앙 영역 임베딩을 위한 랜드마크 IsoMap

도 4로 다시 돌아가서, 최적 분할을 계산하기 위해, 분할되지 않은 도표에 대한 두 개의 임베딩 즉, 면 A(302)에 대응하는 임베딩 및 면 B(301)에 대응하는 임베딩이 필요하다. 이들 두 개의 임베딩은 GDD_A 및 GDD_B 를 정의한다. 서브-도표 "코어" A 또는 B 그 어느 것도 중앙 영역 C(303)의 내부 정점을 포함하지 않는다. 따라서 A 또는 B 둘 중 하나 상에서 스펙트럼 분석을 이용하여 C의 정점의 임베딩 좌표는 계산되지 않을 수 있다. C의 어느 삼각형이 A와 결합할 것인지 및 어느 삼각형이 B와 결합할 것인지가 아직 알려지지 않았기 때문에, 다른 서브-도표에 결국 삽입된 삼각형에 의해 부당하게 왜곡된 각도 서브-도표에 대한 임베딩을 피해야 한다. 랜드마크 IsoMap이라고 불리는 IsoMap의 확장은, 각각의 코어 및 각 코어의 정점에 대한 C의 측지 거리 관계에 대해 함축적으로 제공된 임베딩에만 중앙 영역을 임베딩한다.

A 내에

개의 정점이 있다고 가정해보자. 표면 스펙트럼 분석을 수행한 후,

개의 고유값

, 및 대응하는 고유값

가 있다. A 내의 모든 정점의

-차원의 임베딩은

×

행렬

:

의 컬럼을 형성한다.

A의 외부의 정점 p는, 제약으로서 A 내의 정점으로의 그 공지의 측지 거리를 이용함으로써 그

-차원의 임베딩 공간에 위치할 수 있다. 이 동일한 생각이 GPS에서 유한한 횟수의 거리 판독을 사용하여 지리학적 위치를 식별한다.

이 P와 A 내의 정점 간의 거리 제곱의 컬럼 벡터를 표시한다고 하자.

-차원의 임베딩 좌표

는 공식:

에 의해 계산될 수 있다.

여기서,

는

의 컬럼 수단이고,

는 가짜 역수 이항 pf

:

이다.

이제, A에 의해 도출된 임베딩 하의 C 내의 모든 정점에 대한 GDD가 계산될 수 있고, B에 대해서도 마찬가지 이다.

관 모양에 대한 특수 스펙트럼 클러스터링

도 5는 5개의 도표로의 스펙트럼 클러스터링 분할을 갖는 토끼 귀 모양을 도시한다. 특히, 도 5는 관 모양의 분할을 도시한다. 컬럼(501)은 ("표면 스펙트럼 클러스터링" 섹션에서 설명된 바와 같이) 일반적인 스펙트럼 클러스터링을 도시하는 한편, 컬럼 b 내지 d(502, 503, 504)는 제1, 제2 및 제3 고유값에 기초한 이진 클러스터링을 도시한다. n개의 기본 고유값이 주어질 때, 표면 스펙트럼 클러스터링은 그 모양을 최대한 2n개의 도표들로 분할한다. 이것은 복잡한 모양에 대해서는 잘 작용하지만, n≤3인 단순한 모양에 대해서는 너무 많은 도표를 생성할 수 있 다. 501에서 보여지는 바와 같이, 스펙트럼 클러스터링은 토끼 귀를 5개의 도표로 분할한다. 과도한 분할을 피하기 위해, 대신에, 임베딩 좌표들 중 첫번째 것에 따라, 그 도표를 둘로 세분할 수 있다. 이 접근은 대체로 잘 적용되지만, 전형적인 메쉬의 흔한 특징인 관/원통의 돌출에 대해서는 이상적이지 못하다.

또 다른 방법(504)은 거리 행렬의 기본 고유쌍이 데이터 점을 주기적 분포로 검출하고 세그먼트하는 데 사용될 수 있다는 것을 안다. 그 고유값

가 다음의 조건을 만족하는 경우 모양을 관으로서 간주하는 다음의 발견이 효과가 있음이 증명되었다.

?

, 즉, 상위 3개의 고유값들은 그 모양을 잘 나타낸다.

?

/

＞3, 이것은 그 모양이 충분히 길다는 것을 의미한다.

?

/

＜2, 이것은 그 모양이 주기적임을 의미한다.

?

/

＜2, 이것은 4번째 고유값이 무시되기 충분할 정도로 빨리 감소한다는 것을 의미한다.

모양이 원통/관으로서 검출되는 한, 그것은 2개의 세부-도표로 분할될 수 있다. 제2 및 제3 차원은 주기적인 축으로서 간주될 수 있다. 보다 더 짧은 주기의 축에 대응하는 제3 원리의 차원에 따라 모양을 분할하는 것은 보다 더 평면의 패치를 생성한다. 504에서 보여지는 바와 같이, 제3 컴포넌트를 사용한 결과는 제1 또 는 제2 컴포넌트(502 또는 503)를 사용하는 것보다 더 자연스러운 분리를 제공한다.

전체 도표 세분 프로세스는 다음과 같이 요약될 수 있다. 상위 3개의 고유값들이 에너지의 90% 이하를 포함하면, ("표면 스펙트럼 클러스터링" 섹션에서 설명한 바와 같이) "일반적인" 스펙트럼 클러스터링을 수행한다. 이와 달리, 도표가 관이면, 이 섹션에서 설명된 "특수" 스펙트럼 클러스터링이 수행된다. 모든 다른 경우에, 최대 고유값에 대응하는 단일 임베딩 좌표를 이용하여, 이진 스펙트럼 클러스터링이 수행된다. 일반적으로, (처음 반복에서) 단일 비-이진 도표 세분만이 수행된다. 따라서, 이진 세분은 충분하다.

구현의 상세사항

스트레치-구동형 도표 작성 및 파라미터 표현 알고리즘의 본래 구현은 특히, 모델 정점의 개수가 증가함에 따라 비용이 많이 든다. 계산을 가속화하기 위해, 랜드마크 IsoMap 프로세스는 마지막 섹션에서 설명된 바와 같이, 미디어 영역에서 정점에 대한 임베딩 좌표를 계산하는 데 사용된다. 랜드마크 IsoMap은 랜드마크 점으로서 q 개의 정점을 선택하며, 이 때 q << N이다. 제곱 측지 거리

의 N×N 행렬을 계산하는 것 대신에, q×N 행렬

은 각각의 정점으로부터 랜드마크 점만으로의 거리를 측정하는 데 계산된다. q 개의 랜드마크 점의 임베딩 좌표는 표면 스펙트럼 분석을 이용하여 계산되는 한편, 남은 정점은 "중앙 영역 임베딩을 위한 랜드마크 IsoMap" 섹션에서 설명된 방법을 이용하여 계산될 수 있다.

랜드마크 점을 획득하기 위해, 모델은 2차 에러 측정에 기초하여 반 모서리 붕괴 동작을 수행함으로써 단순화될 수 있다. 진보적인 메쉬는 사용자가 스크래치로부터의 각각의 도표를 단순화해야 하는 것으로부터 자유롭게 할 수 있다. 충분한 정점 분할이 수행되고 PM에 기록되어 도표 내에 충분한 랜드마크 점들을 획득한다.

모든 도표에 대하여, q=100 랜드마크 점을 사용하며, 이것은 프로세스를 큰 도표 상에서도 빠르게 한다. 도표는 100개의 정점보다 더 적은 정점을 가질 때, 단순히 그것을 모두 랜드마크 점으로서 포함한다. 랜드마크 임베딩이 완전한 분석보다 더 많은 스트레치를 나타낼 수 있지만, 이것은 높은 스트레치를 갖는 큰 도표에 대해서일 뿐이고, 어쨌든 정련될 필요가 있을 것이다. 따라서, q가 도표 크기에 독립적인 랜드마크 임베딩은 빠르지만 일반적으로 이치에 맞는 발견적 방법을 제공한다.

상위 10개의 고유값은 일반적으로 테스트 모델에서 제곱 에너지의 95% 이상을 구성하기 때문에, 프로세스의 속도를 높이는 또 다른 방법은 표면 스펙트럼 분석에서 처음 10개의 고유값만을 계산하는 것이다. 요약하자면, 측지 거리 계산은

(qNlogN)로 감소되고, 스펙트럼 분해는

(q²)로 감소된다.

신호-특수화된 아틀라스 생성

지금까지, 도표 작성 및 파라미터 표현을 구동하는 데 기하학적 스트레치가 사용되었다. 스펙트럼 분석을 이용한 스트레치-구동형 메쉬 파라미터 표현에 대한 Iso-도표는 가능한 한 컴팩트한 텍스처를 이용하여 주어진 표면 신호를 나타내는 신호-특수화된 파라미터 표현을 생성하는 데에도 일반화될 수 있다.

스펙트럼 분석을 이용한 스트레치-구동형 메쉬 파라미터 표현에 대한 Iso-도표는 정점들 간의 페어 방식의 신호 거리를 계산함으로써 표면 신호로 확장될 수 있다. 2개의 정점 i 및 j와 그들 간의 측지 경로가 주어지면, 그들 간의 신호 거리는 그 경로를 따라 인접한 점들의 쌍 간의 신호 차분의 합으로서 정의된다. 스펙트럼 분석을 신호 거리의 행렬에 적용하는 것은 그것을 보호하는 파라미터 표현을 생성하고, 따라서, 기하학적 왜곡에 적용되는 것으로 상술된 프로세스와 동일한 방법으로, 스펙트럼 분석을 사용한 스트레치-구동형 메쉬 파라미터 표현에 대한 Iso-도표를 신호 왜곡에 연계시킨다.

직조된 색과 같은 일반적인 신호는 기저 기하학보다 훨씬 더 많은 변동을 나타낼 수 있다. 신호 거리를 이용한 표면 스펙트럼 분석은 일반적으로, 과도한 분할을 유도할 수 있는 다수의 지배적인 고유값과의 복잡한 임베딩을 생성한다. 이것은 그 내용이 참조로서 여기에 통합된 2002년 5월 1일자 미국 특허출원 번호 제10/138,751호의 "파라미터 표현 스킴의 기하학적 스트레치를 최적화하기 위한 시스템 및 방법"에서 설명된 바와 같이, 기하학과 신호 스트레치의 결합을 유발한다. 여기에서 달성된 해결책은 측지 거리 및 신호 거리의 유사한 결합을 가지고 거리를 정의한다.

이때,

는 i와 j 간의 신호 거리이다. 좋은 결과는 일반적으로

=0.5일 때 달성된다.

도 6은 본 출원에 개시된 본 시스템 및 방법이 구현될 수 있는 예시적인 컴퓨팅 환경(600)을 도시한다. 예시적인 컴퓨팅 환경(600)은 컴퓨팅 시스템의 일례일 뿐이며, 본 출원에 개시된 예를 이 특정 컴퓨팅 환경으로 제한하려는 것이 아니다.

컴퓨팅 환경(600)은 다수의 다른 범용 또는 특수 목적 컴퓨팅 시스템 구성으로 구현될 수 있다. 잘 알려진 컴퓨팅 시스템의 예로는, 개인용 컴퓨터, 핸드-헬드 또는 랩탑 장치, 마이크로프로세서-기반 시스템, 멀티프로세서 시스템, 셋탑 박스, 프로그램가능한 가전 제품, 게이밍 콘솔, 가전 제품, 셀룰러 폰, PDA 등이 있지만, 이것으로 제한되는 것은 아니다.

컴퓨터(600)는 컴퓨팅 장치(601) 형식의 범용 컴퓨팅 시스템을 포함한다. 컴퓨팅 장치(601)의 컴포넌트는 (CPU, GPU, 마이크로프로세서 등을 포함하여) 하나 이상의 프로세서(607), 시스템 메모리(609), 및 다양한 시스템 컴포넌트들을 연결시키는 시스템 버스(608)를 포함할 수 있다. 프로세서(607)는 다양한 컴퓨터 실행가능 명령어를 처리하여, 컴퓨팅 장치(601)의 동작을 제어하고 다른 전자 및 컴퓨 팅 장치(도시되지 않음)와 통신한다. 시스템 버스(608)는 메모리 버스 또는 메모리 제어기, 주변장치 버스, 가속된 그래픽 포트, 및 다양한 버스 아키텍처들 중 임의의 것을 이용한 프로세서 또는 로컬 버스를 포함하여 임의의 개수의 몇몇 유형의 버스 구조를 나타낸다.

시스템 메모리(609)는 랜덤 액세스 메모리(RAM)와 같은 휘발성 메모리, 및/또는 판독 전용 메모리(ROM)와 같은 비-휘발성 메모리 형태의 컴퓨터-판독가능 매체를 포함한다. 기본 입/출력 시스템(BIOS)은 ROM에 저장된다. RAM은 일반적으로, 프로세서들(607) 중 하나 이상에 의해 즉시 액세스가능하고/액세스가능하거나 현재 동작 중인 데이터 및/또는 프로그램 모듈을 포함한다.

대용량 저장 장치(604)는 컴퓨팅 장치(601)에 연결될 수도 있고, 버스에 연결함으로써 컴퓨팅 장치에 통합될 수도 있다. 그러한 대용량 저장 장치(604)는 분리형, 비휘발성 자기 디스크(예를 들어, "플로피 디스크")(605)로부터 판독하고 그곳에 기록하는 자기 디스크 드라이브, 또는 CD ROM(606) 등과 같은 분리형, 비휘발성 광 디스크로부터 판독하고/판독하거나 그곳에 기록하는 광 디스크 드라이브를 포함할 수 있다. 컴퓨터 판독가능 매체(605, 606)는 일반적으로 플로피 디스크, CD, 휴대용 메모리 스틱 등에서 공급된 컴퓨터 판독가능 명령어, 데이터 구조, 프로그램 모듈 등을 구현한다. Iso-도표 프로세스는 하나 이상의 컴퓨터 판독가능 매체 뿐만 아니라 시스템 메모리(609) 또는 그 동등물에 상주할 수 있다.

예를 들어, 오퍼레이팅 시스템, 하나 이상의 어플리케이션 프로그램, 다른 프로그램 모듈 및 프로그램 데이터를 포함한 임의의 개수의 프로그램 모듈은 하드 디스크(610), 대용량 저장 장치(604), ROM 및/또는 RAM(609) 상에 저장될 수 있다. 그러한 오퍼레이팅 시스템, 어플리케이션 프로그램, 다른 프로그램 모듈 및 프로그램 데이터 (또는 그것의 임의의 결합) 각각은 여기에 설명된 시스템 및 방법의 실시예를 포함할 수 있다.

디스플레이 장치(602)는 비디오 어댑터(611)와 같은 인터페이스를 통해 시스템 버스(608)에 접속될 수 있다. 사용자는 키보드, 포인팅 장치, 조이스틱, 게임패드, 직렬 포트 등과 같은 임의의 개수의 상이한 입력 장치들(603)을 통해 컴퓨팅 장치(702)와 인터페이스할 수 있다. 이러한 입력 장치 및 다른 입력 장치들은 시스템 버스(608)에 연결되어 있는 입/출력 인터페이스(612)를 통해 프로세서에 접속되지만, 병렬 포트, 게임 포트 및/또는 USB(universal serial bus)와 같은 다른 인터페이스 및 버스 구조에 의해 접속될 수 있다.

컴퓨팅 장치(600)는 하나 이상의 근거리 네트워크(LAN), 광역 네트워크(WAN) 등을 통해 하나 이상의 원격 컴퓨터로의 접속을 이용한 네트워크 환경에서 동작할 수 있다. 컴퓨팅 장치(601)는 네트워크 어댑터(613)를 통해, 다르게는, 모뎀, DSL, ISDN 인터페이스 등에 의해 네트워크(614)에 접속된다.

본 기술분야에 숙련된 기술을 가진 자는 프로그램 명령어에 이용된 저장 장치가 네트워크에서 분산될 수 있음을 깨닫게 될 것이다. 예를 들어, 원격 컴퓨터는 적응성 계측 런타임 모니터링 및 분석 소프트웨어와 같은 툴을 저장할 수 있다. 로컬 또는 단말 컴퓨터는 원격 컴퓨터에 액세스하여 프로그램을 실행하는 소프트웨어의 일부 또는 전부를 다운로드할 수 있다. 대안적으로, 로컬 컴퓨터는 필요 시, 소프트웨어의 단편들을 다운로드할 수도 있고, 로컬 단말 및 원격 컴퓨터(또는 컴퓨터 네트워크)의 몇몇 소프트웨어 명령어를 실행함으로써 분산적으로 처리할 수도 있다. 본 기술분야의 숙련된 기술자들은 또한, 본 기술분야에 숙련된 기술자들에게 알려진 통상적인 기술을 이용함으로써, 소프트웨어 명령어 전부 또는 일부가 DSP, 프로그램가능한 논리 어레이 등과 같은 전용 회로에 의해 수행될 수 있음을 깨닫게 될 것이다.

상기 예에서 볼 수 있는 바와 같이, 표면 상의 저점들 간의 측지 거리의 행렬에 대한 스펙트럼 분석은 아틀라스 생성의 2가지 문제점 즉, 모델은 도표들로 분할하고 그러한 도표들을 파라미터로 표현하는 것을 동시에 해결하는 빠르고, 간단하고 효과적인 방법을 제공하는 경향이 있다. 본 발명은 또한, 단순히, 기하학적 거리보다는 신호를 설명하여 특정 신호에 대한 아틀라스를 최적화하도록 생성될 수 있다. 보여지는 바와 같이, 스펙트럼 분석은 스트레치를 감소시키고, 추가적인 스트레치 최소화를 위해 시작점을 제공하는 경향이 있다. 마지막으로, 기하학적 리메슁 및 텍스처 맵 생성에 대해 이전 기술에 대한 결과를 향상시키는 스트레치-구동형 아틀라스 생성자가 나타난다.

본 발명은 스트레치-구동형 메쉬를 파라미터로 표현하는 방법을 제공한다.

Claims (37)

1. 텍스처 맵(texture map)을 생성하는 방법을 실행하기 위한 컴퓨터 판독가능 명령어들을 갖는 컴퓨터 판독가능 기록 매체로서, 상기 방법은,

   복수의 도표(chart)들 간의 경계(boundary)를 그래프 컷(graph cutting)에 의해 최적화하는 단계 - 상기 그래프 컷은 스펙트럼 클러스터링에 의해 도표를 제1 영역과 제2 영역으로 분할하는 것을 더 포함하고, 상기 도표의 경계는 인접하는 삼각형들이 상기 제1 영역과 상기 제2 영역에 의해 판정된 임베딩(embedding)들 간에서 GDD를 밸런싱하도록 선택되고, 상기 도표의 경계는 이하의 식

   

   을 갖는 임베딩 왜곡을 측정하는 GDD 밸런스 메트릭을 이용하여 선택됨 - ; 및

   상기 최적화의 결과를 디스플레이 장치에 렌더링하는 단계

   를 포함하는 컴퓨터 판독가능 기록 매체.
2. 텍스처 맵을 생성하는 방법을 실행하기 위한 컴퓨터 판독가능 명령어들을 갖는 컴퓨터 판독가능 기록 매체로서, 상기 방법은,

   복수의 도표들 간의 경계를 그래프 컷에 의해 최적화하는 단계 - 상기 그래프 컷은 스펙트럼 클러스터링에 의해 도표를 제1 영역과 제2 영역으로 분할하는 것을 포함하고, 상기 도표의 경계는 큰 2면각을 갖는 복수의 모서리들을 통한 평탄 컷(smooth cut)을 포함하고, 복수의 평탄한 모서리들은 이하의 식

   

   을 이용하여 선택됨 - ; 및

   상기 최적화의 결과를 디스플레이 장치에 렌더링하는 단계

   를 포함하는 컴퓨터 판독가능 기록 매체.
3. 텍스처 맵을 생성하는 방법을 실행하기 위한 컴퓨터 판독가능 명령어들을 갖는 컴퓨터 판독가능 기록 매체로서, 상기 방법은,

   복수의 도표들 간의 경계를 그래프 컷에 의해 최적화하는 단계 - 상기 그래프 컷은 스펙트럼 클러스터링에 의해 도표를 제1 영역과 제2 영역으로 분할하는 단계를 포함하고, 상기 도표의 경계는

   이하의 제1 식

   

   을 갖는 제1 항과, 이하의 제2 식

   

   을 갖는 제2 항의 가중된 합에 의해 선택됨 - ; 및

   상기 최적화의 결과를 디스플레이 장치에 렌더링하는 단계

   를 포함하는 컴퓨터 판독가능 기록 매체.
4. 도표 작성(chartification)을 위한 스펙트럼 분석을 수행하는 방법을 실행하기 위한 컴퓨터 판독가능 명령어들을 갖는 컴퓨터 판독가능 기록 매체로서, 상기 방법은,

   표면 스펙트럼 분석으로부터 도출된 복수의 고유값 λi 및 고유값 λi에 대응하는 복수의 고유 벡터를 λ1≥λ2≥…≥λN이 되도록 순위화하는 단계;

   상위 n 개의 고유값들의 집합과 고유 벡터들의 집합을 λn/λn+1의 양이 극대화되도록 선택하는 단계;

   복수의 메쉬의 각 정점 i 마다, n 차원 임베딩 좌표들의 집합을 계산하는 단계;

   상기 n 개의 임베딩 좌표들 각각마다, 좌표값이 극대치인 제1 정점들과 좌표값이 극소치인 제2 정점들을 찾아내고, 좌표값이 극대치인 제1 정점들과 좌표값이 극소치인 제2 정점들을 제1의 복수의 2n 개의 대표로서 설정하는 단계;

   서로 너무 밀접해 있는 상기 복수의 대표들 각각을 제거하여 제2의 m 개의 대표들의 집합을 산출해 내는 단계(여기서, m ≤ 2n);

   표면 스펙트럼 분석에 의해 계산된 측지 거리를 이용하여 상기 대표들 주변에서 도표들을 동시에 증대시켜 상기 메쉬를 m 개의 부분으로 분할하는 단계; 및

   상기 도표 작성의 결과를 디스플레이 장치에 렌더링하는 단계

   를 포함하는 컴퓨터 판독가능 기록 매체.
5. 도표 작성 방법을 수행하기 위한 컴퓨터 판독가능 명령어들을 갖는 컴퓨터 판독가능 기록 매체로서, 상기 방법은,

   컬러 신호에 대한 선험적 지식에 기초하여 표면을 복수의 도표들로 분할하는 단계 - 복수의 정점들 간에서의 복수의 페어 방식의 신호 거리들은 측지 거리와 신호 거리의 조합이고, 상기 측지 거리와 신호 거리의 조합은 이하의 식

   

   으로 표현됨 - ; 및

   도표 작성의 결과를 디스플레이 장치에 렌더링하는 단계

   를 포함하는 컴퓨터 판독가능 기록 매체.
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