KR101071070B1 - 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법 및 그 방법을 수행하는 프로그램이 저장된 기록매체 - Google Patents

Abstract

본 발명은 방정식의 근 탐색방법에 대한 것으로 더욱 상세하게는 실제 해를 구하기 어려운 방정식 및 수치해석에서 복잡한 방정식에 대한 근사해를 찾는 근 탐색방법으로서 종래 초기 추정치가 적절하지 않은 경우 계산시간이 오래 걸리거나 실제해의 수렴에 실패하는 문제점을 해결한 것으로 방정식에 대한 부호함수를 이용하여 근을 구함으로써 해를 탐색하는 시간을 현저히 줄이고 발산하지 않도록 하여 해를 효율적으로 탐색할 수 있는 근 탐색방법에 대한 것이다.

본 발명의 방정식의 근 탐색방법은 일정 구간 내에 해가 존재하는 방정식의 근사 해를 구하는 근 탐색법에 있어서, 상기 구간의 상한 값과 하한 값에 기초하여 초기 값을 계산하는 제1단계; 상기 초기 값을 부호 함수와 상기 상하한 값이 포함되는 근 탐색식에 대입하여 상기 방정식의 부호 함수에 대한 정적분식이 포함되도록 상기 근 탐색식을 정리하는 제2단계; 상기 정리된 근 탐색식에서 상기 정적분식을 수치 적분법을 이용하여 계산하고, 그 계산 결과를 정리된 근 탐색식에 귀납적으로 대입하여 근사 해를 구하는 제3단계; 상기 제3단계에서 구한 근사 해가 허용 오차를 만족할 때까지 상기 제3단계를 반복하는 제4단계;를 포함한다.

본 발명의 방정식의 근 탐색방법에 따르면 초기 추정치를 구간의 상하한 값을 이용하여 설정함으로써 추가 정보에 대한 부담을 줄이고, 근사해에 대한 수렴속도를 현저히 향상시켜 수치해석에 있어서 정확하고 효율적으로 근사해를 탐색할 수 있으며 수치해석에서의 계산량을 현저히 감소시켜 낮은 성능의 장비로도 수치해석 을 수행할 수 있는 효과가 있다.

뉴턴법, 부호함수, 근사해, 수치해석, 할선법

Description

유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법 및 그 방법을 수행하는 프로그램이 저장된 기록매체{Method for solving equations and recording medium storing the method}

본 발명은 수치해석 또는 응용수학에 관련된 것으로 수학 및 공학 계산을 위한 상용 소프트웨어에서 방정식에 대한 근사해(approximate solution)를 구할 수 있도록 한 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법 및 그 방법을 수행하는 프로그램이 저장된 기록매체에 관한 것이다.

일반적으로 가스 터빈의 형상을 설계하거나 비행기, 자동차의 외형을 설계하는 경우 유체역학을 이용하여 최적의 형상을 디자인하게 된다. 이러한 유체역학의 해석은 컴퓨터의 발달로 유체역학을 이용한 수치해석은 컴퓨터를 이용하여 이루어지고 있으며 수많은 유체역학과 관련된 방정식의 해는 근사적으로 해를 탐색하는 것이 보통이다.

종래에 근사해를 찾는 방법으로는 이분법과 뉴턴법 및 할선법을 예로 들 수 있다. 이분법의 경우 구간에 존재하는 해를 찾기 위해 구간에서 함수의 부호가 바 뀌는 것을 이용하는 방법으로 구간을 항상 반으로 나누어 함수의 부호가 바뀌는 구간을 찾아내어 근을 구하는 방식이다. 이분법의 경우 항상 근을 구할 수 있다는 장점이 있지만 수렴속도가 느리다는 단점이 있다.

뉴턴법은 도함수를 이용하여 근을 구하는 방식으로 장점으로는 근의 근처에서 수렴속도가 매우 빠르다는 점이다. 하지만 0에 가까운 기울기를 가지면 해를 구하기가 힘들고 초기 추정값을 잘못 잡으면 근에 수렴하지 않아 근을 찾을 수 없다는 문제점이 있다.

할선법은 뉴턴법에서 도함수를 계산해야 되는 문제점을 해결하기 위해 two point method로 변형시킨 방법이다. 하지만 일반적으로 뉴턴법보다는 수렴속도가 다소 떨어지며 2개의 초기 값이 필요하고 함수의 거동에 따라 수렴에 실패할 가능성을 배재할 수 없는 문제점이 있다.

위와 같이 종래의 근 탐색방법은 수렴속도가 너무 느리거나 계산시간이 느리다는 문제점이 있고, 초기 추정치를 잘못 설정하는 경우 근을 아예 찾을 수 없거나 근을 찾기 위한 계산시간이 많아진다는 문제점이 있다.

본 발명은 상기와 같은 문제점을 해결하기 위한 것으로, 본 발명의 목적은 초기 추정치를 적절하게 설정해야 한다는 부담없이도 빠른 수렴속도를 가지고 확실하고도 정확하게 근을 탐색할 수 있도록 한 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법 및 그 방법을 수행하는 프로그램이 저장된 기록매체를 제공함에 있다.

상기와 같은 목적을 달성하기 위해 본 발명에 따른 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법은 일정 구간 내에 해가 존재하는 방정식의 근사 해를 구하는 근 탐색법으로서, 상기 구간의 상한 값과 하한 값에 기초하여 초기 값을 계산하는 제1단계; 상기 초기 값을 부호 함수와 상기 상하한 값이 포함되는 근 탐색식에 대입하여 상기 방정식의 부호 함수에 대한 정적분식이 포함되도록 상기 근 탐색식을 정리하는 제2단계; 상기 정리된 근 탐색식에서 상기 정적분식을 수치 적분법을 이용하여 계산하고, 그 계산 결과를 정리된 근 탐색식에 귀납적으로 대입하여 근사 해를 구하는 제3단계; 상기 제3단계에서 구한 근사 해가 허용 오차를 만족할 때까지 상기 제3단계를 반복하는 제4단계;를 포함한다.(제1실시예)

또한, 본 발명에 따른 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법은 일정 구간 내에 해가 존재하는 방정식의 근사 해를 구하는 근 탐색법으로서, 상기 구간의 상한 값과 하한 값에 기초하여 초기 값을 계산하는 제1단계; 상기 초기 값을 부호 함수와 상기 상하한 값이 포함되는 근 탐색식에 대입하여 상기 방정식의 부호 함수에 대한 정적분식이 포함되도록 상기 근 탐색식을 정리하는 제2단계; 상기 정리된 근 탐색식에서 상기 정적분식을 수치 적분법을 이용하여 계산하고, 그 계산 결과를 정리된 근 탐색식에 귀납적으로 대입하여 근사 해를 구하는 제3단계; 상기 제3단계에서 구한 근사 해가 미리 설정된 일정 횟수만큼 반복한 후 계산된 근사해를 초기 추정값으로 하는 할선법(secant method)을 통해 근사 해를 구하는 제4단계;를 포함한다.(제2실시예)

또한, 본 발명에 따른 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법은 일정 구간 내에 해가 존재하는 방정식의 근사 해를 구하는 근 탐색법으로서, 상기 구간의 상한 값과 하한 값에 기초하여 초기 값을 계산하는 제1단계; 상기 초기 값을 부호 함수와 상기 상하한 값이 포함되는 근 탐색식에 대입하여 상기 방정식의 부호 함수에 대한 정적분식이 포함되도록 상기 근 탐색식을 정리하는 제2단계; 상기 정리된 근 탐색식에서 상기 정적분식을 수치 적분법을 이용하여 계산하고, 그 계산 결과를 정리된 근 탐색식에 귀납적으로 대입하여 근사 해를 구하는 제3단계; 상기 제3단계에서 구한 근사 해가 미리 설정된 일정 횟수만큼 반복한 후 계산된 근사해를 초기 추정값으로 하는 뉴턴법(Newton method)을 통해 근사 해를 구하는 제4단계;를 포함한다.(제3실시예)

이상과 같은 구성의 본 발명은 초기 추정값을 사용하지 않고도 근을 탐색할 수 있는 효과가 있다.

또한, 도함수를 사용하지 않고 부호함수만을 이용하여 근을 탐색함에 따라 수렴속도가 빠른 효과가 있다.

또한, 수렴속도가 빠르고 계산과정이 간단하여 저성능의 장치를 가지고도 수치해석을 정확하게 수행할 수 있는 효과가 있다.

또한, 대상함수의 거동과는 상관없이 항상 수렴하는 근사해를 얻을 수 있는 효과가 있다.

전술한 바와 같이, 가스 터빈의 형상을 설계하거나 비행기, 자동차의 외형을 설계하는 경우 유체역학을 이용하여 최적의 형상을 디자인하게 되고, 이러한 유체역학을 이용한 설계 해석은 컴퓨터의 발달로 인하여, 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템을 이용하여 이루어지고 있으며, 수많은 유체역학과 관련된 방정식의 해는 근사적으로 해를 탐색하는 것이 보통이다.

종래의 뉴턴법이나 할선법을 이용하는 경우 초기값을 설정해야하고 초기값이 적절하지 않은 경우 수렴속도가 느리고 최악의 경우 근사해를 구하지 못하고 발산하는 문제점이 있고, 근을 구하기 위해 식을 반복하기에 앞서 최초 도함수를 알아야 하고, 근이 존재하는 부근에서 그래프가 평평하다면 근을 구하지 못하는 문제점이 있다.
이에, 본 발명은 유체역학을 이용한 수치해석을 위한 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법을 통하여, 일정 구간 내에 해가 존재하는 방정식의 근사 해를 구할 수 있도록 한 것으로서, 도함수를 사용하지 않고 부호함수만을 이용하여 근을 탐색함에 따라 수렴속도가 빠르고, 계산과정이 간단하여 저성능의 장치 내지 낮은 성능의 장비로도 수치해석을 정확하게 수행할 수 있도록 한 점에 주안점이 있다.

도 1은 본 발명의 제1실시예에 따른 근탐색방법의 순서도이다. 본 발명에 따른 근 탐색방법은 함수 f(x)의 구간[a, b]에서 유일한 해가 존재할 때 구간의 상하한 값을 이용한 초기값을 계산한다. 이 초기값은 앞서 뉴턴법이나 할선법의 초기값과는 다른 값으로서 구간이 정해지고 그 구간 내에서 근을 구하려고 할 때 구간의 상하한 값을 계산하여 얻어지는 값이다.(S100)

구간의 상하한 값을 이용한 초기값은 아래 수학식 1과 같다.

p⁽⁰⁾=(a+b)/2, δ⁽⁰⁾=(b-a)/2

위의 초기값은 부호함수를 이용한 탐색 관계식에 대입한 후 정리하는데 정리되는 탐색 관계식은 근을 구하려는 함수 f(x)의 부호함수를 이용한 관계식이다.

본 발명의 탐색 관계식은 부호함수를 이용하여 구한 식으로서 근을 구하려는 함수 f(x)가 0이 되는 x값은 그 함수의 부호변환함수 sgn(f(x))에서도 불변하다는 것을 이용한 것이다. 즉, 부호변환함수 sgn(f(x))은 주어진 구간에서 원래 함수 f(x)의 근을 그대로 유지할 뿐 아니라 함수 f(x)의 거동을 -1과 1을 경계로 하는 계단모양으로 변환시키는 원리를 이용한 것이다.

위 원리에 기초하여 f(x)의 부호함수를 구간 [a, b]까지 적분한 것은 아래의 수학식 2와 같이 정리할 수 있다.

여기서 p^*는 f(x)의 구간 [a, b]에서의 실제해를 의미한다. 또한, 위식을 정리하면 아래의 수학식 3을 도출할 수 있다.

수학식 3에서 I를 구하기 위해 초기값을 대입하여 아래의 수학식 4로 근 탐색을 위한 관계식을 정리할 수 있다.(S110)

여기서 p⁽⁰⁾와 δ⁽⁰⁾는 수학식 1과 같고, p⁽⁰⁾=(a+b)/2, δ⁽⁰⁾=(b-a)/2이고,

이므로 수학식 4를 수학식 3으로부터 얻을 수 있다.

수학식 4에서

을 구하기 위해 사다리꼴 공식(trapezoidal rule)을 이용한 수치적분에 대입한 다음 아래의 수학식 5와 같은 반복법을 위한 관계식을 계산한다.(S120)

위 수학식 5를 계속 반복 계산하면 f(x)의 구간 [a, b]에서의 실제해와 가까운 값을 얻을 수 있다. 하지만 통상 수치해석에서는 일정한 오차를 두고 있는 바 실제해와 수학식 5를 통해 얻을 수 있는 근사해의 오차를 계산하여 그 오차가 허용범위에 있는지를 판단한다.(S130)

만약 허용오차범위 내의 값이 도출되면 그 때까지 계산된 값을 근사해로 출력하고 근 탐색을 종료한다.

위와 같은 근 탐색방법을 통해 본 발명은 초기 추정값 및 초기 미분 값이 필요하지 않고 기존의 근 탐색방법보다 수렴속도가 탁월한 장점을 갖는다. 통상 가스터빈 등 유체해석을 위한 상용 수치해석 코드는 방정식이 매우 복잡할 뿐만 아니라 방정식의 차수가 높아 기존의 방법을 통한 근사해의 계산에 매우 많은 로드가 걸리지만 본 발명의 근 탐색방법은 근을 확실하게 구하면서도 수렴속도 및 계산 과정이 간단하여 낮은 사양의 컴퓨터에서도 복잡한 수치해석이 가능한 잇점이 있다.
다시 말해서, 통상 가스터빈 등 유체해석을 위한 상용 수치해석 코드는 방정식이 매우 복잡할 뿐만 아니라 방정식의 차수가 높아 기존의 방법 즉, 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템을 이용하여 이루어지는 종래에 근 탐색 방법을 통한 근사해의 계산은 매우 많은 로드가 걸리지만, 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템을 이용하여 이루어지는 본 발명의 근 탐색방법은 근을 확실하게 구하면서도 수렴속도 및 계산 과정이 간단하여 낮은 사양의 컴퓨터에서도 복잡한 수치해석이 가능한 잇점이 있다.

도 2는 본 발명에 제2 및 제3실시예에 따른 근탐색방법의 순서도이다. 앞서 설명한 바와 같이 종래의 방법은 근 탐색을 위해 적절한 초기 추정값과 초기 미분 값이 필요하다. 따라서 본 발명의 제2 및 제3실시예에서는 종래의 뉴턴법 또는 할선법의 초기 추정값을 본 발명의 제1실시예를 일정 횟수만큼 반복하여 산출된 값으로 대입하여 종래의 뉴턴법 또는 할선법을 통해 허용오차범위내의 근사해를 구한다.

이를 통해 기존에 뉴턴법 및 할선법을 이용하여 근사해를 구하는 상용 수치해석 코드를 간단히 개조하여 훨씬 효율적으로 근사해를 찾을 수 있는 효과가 있다. 또한, 종래의 근 탐색법의 장점을 그대로 살리면서 훨씬 더 빠른 수렴속도를 얻을 수 있고 뉴턴법의 경우 초기 추정값을 잘못 설정하는 경우 발산하는 문제점을 해결할 수 있다.

도 3, 4는 종래의 근 탐색방법 및 본 발명에 따른 근탐색방법을 각각 이용하여 근을 구하기 위한 방정식의 그래프이다.

도 3에 도시된 함수는 아래의 수학식 6과 같으며 구간 [-2, 1.3]에서 유일한 근(-1)을 갖는다.

파란색으로 도시된 그래프가 f₁(x)이며 빨간색으로 도시된 그래프는 f₁(x)의 부호변환함수의 그래프를 나타낸다.

도 4에 도시된 함수는 아래의 수학식 7과 같으며 구간 [1, 1.6]에서 유일한 근(

)를 갖는다.

위의 f₁(x)와 마찬가지로 파란색은 f₂(x)의 그래프를 빨간색은 f₂(x)의 부호변환함수의 그래프를 나타낸다.

위 두 함수에 대해서 종래의 반복법인 뉴턴법과 할선법 및 본 발명의 근 탐색방법을 적용하여 허용오차 내의 근사해를 구했으며 그 결과는 아래의 표1과 같다.

허용오차는 10^-16이하이며, 허용오차를 만족하지 않더라도 정지조건(근사해의 함수값이 10^-40보다 작으면 반복을 중지하는 조건)을 만족하는데 걸리는 총 반복횟수를 나타내고 있다. 또한, 뉴턴법에서의 초기 추정값은 구간의 상한 값으로 선택하였다.

예제	기존 반복법		새로운 반복법(N=40)
	Newton법	할선법	제1실시예	제2, 3실시예
f1(x)=0	164	구할 수 없음	10	6
f2(x)=0	구할 수 없음	22	10	9

위 표 1에서 볼 수 있듯이 f₁(x)의 경우 할선법으로는 근사해를 구할 수 없고 뉴턴법으로도 164회 반복을 하여야 하는 반면 본 발명의 제1실시예에서는 최대 10회 반복하면 근사해를 탐색할 수 있음을 알 수 있다.

또한, f₂(x)의 경우에는 뉴턴법으로는 구할 수 없으며 할선법에서는 22회나 반복을 하여야 하지만 본 발명의 제1실시예에서는 그 절반에도 미치지 못하는 10회를 반복하면 근사해를 탐색할 수 있음을 알 수 있다.

또한, 본 발명의 제2, 3실시예의 결과를 보면 종래의 방법인 뉴턴법과 할선법과 결합하여 보다 신속하고 정확하게 근사해를 찾을 수 있음을 알 수 있다.

위에서 살펴본 두 예제는 할선법이나 뉴턴법의 적용이 불가능하거나 혹은 비효율적인 전형적인 경우에 해당된다. 실제로 도 3, 4를 보면 기존의 할선법이나 뉴턴법은 함수 거동의 부적절성(기울기가 0, 혹은 근 부근의 심한 진동)때문에 반복해의 수렴에 있어서 문제가 발생할 수 있다. 이에 비해, 본 발명에서 제시한 반복법은 계단모양의 부호변환함수 값 즉, 원래 함수의 부호 값만을 사용하기 때문에 함수의 거동과 무관하게 항상 수렴하는 반복해를 얻을 수 있다.

도 1은 본 발명의 제1실시예에 따른 근탐색방법의 순서도이고,

도 2는 본 발명에 제2 및 제3실시예에 따른 근탐색방법의 순서도이고,

도 3, 4는 종래의 근 탐색방법 및 본 발명에 따른 근탐색방법을 각각 이용하여 근을 구하기 위한 방정식의 그래프이다.

Claims (7)

1. 일정 구간 내에 해가 존재하는 방정식의 근사 해를 구할 수 있도록 유체역학을 이용한 수치해석을 위한 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법에 있어서,

   상기 구간의 상한 값과 하한 값에 기초하여 초기 값을 계산하되, 이 초기 값은 구간의 상한 값과 하한 값이 각각 a, b인 경우, p⁽⁰⁾=(a+b)/2 및 δ⁽⁰⁾=(b-a)/2 로 계산되는 제1단계;

   상기 초기 값을 부호 함수와 상기 상하한 값이 포함되는 근 탐색식에 대입하여 상기 방정식의 부호 함수에 대한 정적분식이 포함되도록 상기 근 탐색식을 정리하되, 상기 부호 함수와 상기 상하한 값이 포함되는 근 탐색식을

   

   이며

   

   로 정리하는 제2단계;

   상기 정리된 근 탐색식에서 상기 정적분식을 사다리꼴 공식을 이용한 수치 적분법을 이용하여 계산하고, 그 계산 결과를 정리된 근 탐색식에 귀납적으로 대입하여 근사 해를 구하는 제3단계;

   상기 제3단계에서 구한 근사 해가 허용 오차를 만족할 때까지 상기 제3단계를 반복하는 제4단계;를 포함하는 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법.
2. 일정 구간 내에 해가 존재하는 방정식의 근사 해를 구할 수 있도록 유체역학을 이용한 수치해석을 위한 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법에 있어서,

   상기 구간의 상한 값과 하한 값에 기초하여 초기 값을 계산하되, 이 초기 값은 구간의 상한 값과 하한 값이 각각 a, b인 경우, p⁽⁰⁾=(a+b)/2 및 δ⁽⁰⁾=(b-a)/2 로 계산되는 제1단계;

   상기 초기 값을 부호 함수와 상기 상하한 값이 포함되는 근 탐색식에 대입하여 상기 방정식의 부호 함수에 대한 정적분식이 포함되도록 상기 근 탐색식을 정리하되, 상기 부호 함수와 상기 상하한 값이 포함되는 근 탐색식을

   

   이며

   

   로 정리하는 제2단계;

   상기 정리된 근 탐색식에서 상기 정적분식을 사다리꼴 공식을 이용한 수치 적분법을 이용하여 계산하고, 그 계산 결과를 정리된 근 탐색식에 귀납적으로 대입하여 근사 해를 구하는 제3단계;

   상기 제3단계에서 구한 근사 해가 미리 설정된 일정 횟수만큼 반복한 후 계산된 근사해를 초기 추정값으로 하는 할선법(secant method)을 통해 근사 해를 구하는 제4단계;를 포함하는 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법.
3. 일정 구간 내에 해가 존재하는 방정식의 근사 해를 구할 수 있도록 유체역학을 이용한 수치해석을 위한 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법에 있어서,

   상기 구간의 상한 값과 하한 값에 기초하여 초기 값을 계산하되, 이 초기 값은 구간의 상한 값과 하한 값이 각각 a, b인 경우, p⁽⁰⁾=(a+b)/2 및 δ⁽⁰⁾=(b-a)/2 로 계산되는 제1단계;

   상기 초기 값을 부호 함수와 상기 상하한 값이 포함되는 근 탐색식에 대입하여 상기 방정식의 부호 함수에 대한 정적분식이 포함되도록 상기 근 탐색식을 정리하되, 상기 부호 함수와 상기 상하한 값이 포함되는 근 탐색식을

   

   이며

   

   로 정리하는 제2단계;

   상기 정리된 근 탐색식에서 상기 정적분식을 사다리꼴 공식을 이용한 수치 적분법을 이용하여 계산하고, 그 계산 결과를 정리된 근 탐색식에 귀납적으로 대입하여 근사 해를 구하는 제3단계;

   상기 제3단계에서 구한 근사 해가 미리 설정된 일정 횟수만큼 반복한 후 계산된 근사해를 초기 추정값으로 하는 뉴턴법(Newton method)을 통해 근사 해를 구하는 제4단계;를 포함하는 유체역학을 이용한 수치해석용 컴퓨터 시스템에서 이루어지는 방정식의 근 탐색방법.
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