KR100378254B1 - 전기화학적 미세 구조 측정방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 다공성물질의 미세구조를 측정하는 방법에 관한 것으로서, a) 다공성 물질로 이루어진 전극 및 전해질을 포함하는 전기화학계를 이용하여 주파수에 따른 임피던스를 실험적으로 측정하는 단계; b) 임피던스와 세공크기분포를 연관짓는 모델을 구성하는 단계; c) 상기 b)단계에서 구성된 모델을 근사함수로 하여 복소 비선형 최소 제곱 근사법을 통해 상기 a)단계에서 얻은 임피던스 실험치를 근사함으로써 근사 파라미터 값을 구하는 단계; d) 상기 c) 단계에서 얻은 근사 파라미터 값으로부터 대표 세공크기, 세공길이, 세공분포 크기, 세공크기분포 또는 비표면적을 계산하는 단계를 포함하는 다공성 물질의 미세구조 측정방법을 제공한다.

Description

전기화학적 미세구조 측정방법{Electrochemical porosimetry}

본 발명은 다공성 물질의 미세구조 측정방법에 관한 것으로서, 보다 상세하게는 전기화학적 임피던스 측정법(electrochemical impedance spectroscopy)에 의하여 측정되어진 다공성 물질의 임피던스를, 다공성물질의 세공크기분포와 임피던스의 상관관계를 표현할 수 있는 모델을 통해 해석하여 결과적으로 다공성물질의 미세구조, 특히 세공크기, 세공길이, 세공크기분포를 알아낼 수 있는 방법에 관한 것이다.

오래전부터 다공성 물질은 촉매의 지지체, 흡착제 등으로 이용되어 왔고, 근래에는 특히 전기화학적 축전기(electrochemical capacitors), 2차전지(secondary batteries), 연료전지(fuel cells) 등의 전기화학적 에너지 저장 장치의 전극으로사용된다. 이들 다공성 물질의 미세구조는 그것을 이용한 시스템의 특성에 큰 영향을 미친다.

다공성 물질의 미세구조, 특히 세공구조를 규명할 수 있는 방법으로는 기체 흡착법(gas adsorption technique), 액체 침투법(liquid intrusion technique), 주사전자현미경(scanning electron microscopy)을 이용한 측정, X선 회절법(X-ray diffraction technique) 등이 이용되고 있다. 그러나, 이와 같은 미세구조 측정방법들은 세공크기 분포를 측정함에 있어서 다음과 같은 단점을 갖고 있다.

기체 흡착법은 0.1㎛ 이상의 세공크기를 측정하기 곤란하고, 수은을 이용하는 액체 침투법은 높은 압력을 요구하기 때문에 세공구조가 변형될 위험성이 있다. 또한 주사 전자 현미경이나 X선 회절을 이용하는 방법은 구체적인 세공 크기 분포를 얻기에 적합한 방법은 아니다. 특히, 전기화학적 에너지 저장 장치에 사용되는 다공성 전극의 세공구조 측정에 상기 방법들을 이용할 경우에는 실제 사용될 전해질이 접근 가능한 세공크기분포를 측정할 수 없다는 단점이 있다.

전기화학적으로 의미있는 미세구조를 규명하기 위하여 전기화학적 임피던스 측정값을 이용하는 분석 방법이 드 레비(R. de Levie)에 의해 제안되었다[Electrochemical response of porous and rough electrodes, Advances in Electrochemistry and Electrochemical Engineering(P. Delahay 편집), VI권, 329쪽, 1967년, Interscience, New York, 미국]. 드 레비는 한 개의 세공 내에서 교류신호가 세공내로 침투하는 현상을 전송선 동등회로(Transmission line equivalent circiut)로 모사하여 임피던스와 세공크기간의 관계를 표현하였다. 또한, 캔디(J. Candy)와 포일룩스(P. Fouilloux)는 드 레비의 모델을 이용하여 다공성 전극이 동일 크기의 세공으로 구성되었다고 가정하고, 금 분말 충진 전극(gold powder packed electrodes), 라니(Raney) 금 전극, 소결과정을 거친 니켈 여과기 전극(sintered nickel filter electrodes) 등의 다공성 전극의 임피던스 실험치를 분석하여 각 전극에 대한 세공의 반지름, 길이 및 개수를 측정하는 방법을 제시하고 있다. 그러나, 이 방법은 다공성 전극의 세공이 동일한 크기로 이루어져 있다는 가정으로 인해 세공크기분포를 파악할 수 없고, 결과적으로 임피던스 실험치의 저주파 부분의 자료를 해석할 수 없다는 단점을 갖고 있다.

드 레비의 연구 이후 많은 연구자들이 하나의 세공내에서 교류신호의 거동에 대한 연구를 하였으나 모두 전송선 동등회로에 근간을 두고 있으며, 세공 크기분포에 대해서는 전혀 고려하지 않고 있다. 따라서, 미세구조 측정방법의 관점에서 상기한 단점들은 여전히 해결되지 않고 있다.

따라서, 본 발명이 이루고자 하는 기술적 과제는 전기화학적 임피던스 자료를 임피던스와 세공크기분포를 연결짓는 모델로 분석하여 다공성 물질의 미세구조, 특히 세공 크기 분포를 파악 할 수 있으며, 전기화학 시스템에 직접(in situ) 적용할 수 있고, 실제 사용되는 전해질이 접근 가능한 세공크기분포를 측정할 수 있는 미세구조 측정방법을 제공하는 것이다.

도 1은 다공성 탄소 전극에 대한 임피던스 실험치, 기존의 모델을 이용한 근사치, 그리고 본 발명에 의한 근사치를 비교한 그래프이다.

도 2는 본 발명의 방법 및 질소 흡착법에 의한 세공크기분포를 비교한 그래프이다.

본 발명은 상기 기술적 과제를 달성하기 위하여,

a) 다공성 물질로 이루어진 전극 및 전해질로 구성된 전기화학계에서 주파수에 따른 임피던스를 실험적으로 측정하는 단계;

b) 임피던스와 세공크기분포를 연관짓는 모델을 구성하는 단계;

c) 상기 b) 단계에서 구성된 모델을 근사함수로 하여 복소 비선형 최소 제곱 근사법(complex nonlinear least square fitting)을 통해 상기 a) 단계에서 얻은 임피던스 실험치를 근사함으로써 근사 파라미터 값을 구하는 단계;

d) 상기 c) 단계에서 얻은 근사 파라미터 값으로부터 대표 세공크기, 세공길이, 세공분포 크기, 세공크기분포 또는 비표면적을 계산하는 단계를 포함하는 다공성 물질의 미세구조 측정방법.

본 발명의 바람직한 실시예에 의하면, 상기 임피던스와 세공크기분포를 연관짓는 모델이 하기 수학식으로 표시된다. 이때 근사 파라미터는 Y_p및 a₂이다.

상기 식에서, Y_p= κV_tot/l_p ²이고,

Z_tot는 최종 임피던스, Z_p ^*는 각 세공에 대한 무차원화된 임피던스, ω는 주파수, a₂파라미터 집합, κ는 전해질의 전기전도도이며, V_tot는 총 세공부피, l_p는 세공길이, x는 세공의 기하학적 디멘젼 또는 이들의 함수, k(x:a₂)는 x의 분포함수로서 파라미터 집합인 a₂에 의해 모양이 규정된다.

본 발명의 일실시예에 의하면, 상기 임피던스와 세공크기분포 연관짓는 모델이, 임의로 선택된 세공의 임피던스의 역수에 대한 가중인자들로 구성된 하기 수학식으로 표현되는 비해석 함수일 수 있다. 이 경우 근사 파라미터는 w_i와 Y_p이다.

상기 식에서, Z_tot, Y_p및 Z_p ^*는 상기 정의한 바와 같고, r_i는 세공 반지름w_i는 r_i로 대표되는 세공크기를 가지는 세공들의 존재비율을 의미하는 가중인자이다.

본 발명의 다른 실시예에 의하면, 상기 세공크기분포를 표현하는 분포함수 k(x:a₂)로서, 분포변수 x의 평균 μ와 분포크기 σ의 함수인 해석함수 k(x:μ,σ)를 사용할 수 있다. 이 경우 근사 파라미터는 Y_p, μ 및 σ이다.

본 발명의 실시예에 의하면, 상기 해석함수는 하기 수학식의 정규분포함수일 수 있다.

본 발명의 또다른 실시예에 의하면, 상기 해석함수가 하기 수학식의 로렌찌안 분포함수일 수 있다.

이하 본 발명을 보다 구체적으로 설명한다.

본 발명에 있어서 임피던스와 세공크기 분포의 상관관계를 나타내는 모델을구성하는 방법은 다음과 같다.

우선, 세공 길이(pore length) l_p에 대한 교류신호의 세공 내로의 복소 침투깊이(complex penetration depth) λ_j의 비를 복소 침투도(complex penetrability)α_j라 정의한다. 또한, 복수 침투도 α_j는 주파수 ω에 대한 함수, 복소수 벡터, 그리고 이들을 제외한 물리화학적 물성치만으로 구성된 침투도 계수(penetration coefficient) α_o의 곱으로 나타낼 수 있다. 따라서, 복소 침투도(α_j)는 하기 수학식 1과 같이 나타낼 수 있다.

상기 식에서, α_j는 복소 침투도, α_o는 침투도 계수이다.

침투도 계수(α_o)는 전하 운반체가 이동하는 전기화학적 통로를 대변하는데, 이 때 하나의 침투도 계수는 동일한 물리화학적 성질의 군(群)으로 대표되는 전기화학적 통로와 일대일 대응한다.

최종 임피던스(Z_tot)는 각 침투도 계수(α_o)에 대한 임피던스(Z_p)의 벡터합으로 나타낼 수 있다. 이 때 각 전기화학적 통로는 서로 교차될 수 없는 전기장선(electric field line)을 따라 형성되므로 최종 임피던스(Z_tot)는 하기 수학식 2와 같이 각 임피던스(Z_p)의 역수의 벡터 합을 고려하여야 한다.

상기 식에서, Z_tot는 최종 임피던스, ω는 주파수, a₁은 물리화학적 성질의 분포를 나타내는 파라미터의 집합, Z_p는 각 침투도 계수(α_o)에 대한 임피던스, g(α_o:a₁)는 침투도계수(α_o)의 분포함수로서 g(α_o:a₁)dα_o는 α_o에서 α_o+dα_o까지의 범위에 존재하는 전기화학적 통로의 개수이다.

다공성 물질의 경우 침투도 계수의 분포는 주로 세공크기 분포에 의해 결정되며, 전기화학적 통로는 세공에 해당한다. 세공분포변수를 x라 하면 전기화학적 통로의 개수, 즉 세공의 개수는 하기 수학식 3과 같이 나타낼 수 있다.

상기 식에서, V_tot은 총 세공부피, r은 세공반지름, l_p는 세공길이, x는 세공의 기하학적 디멘젼 또는 이들의 함수, k(x:a₂)는 x의 분포함수로서 파라미터 집합인 a₂에 의해 모양이 규정된다.

x의 분포함수 k(x:a₂)는 세공의 부피에 대한 함수로서 하기 수학식 4와 같이 나타낼 수 있다.

상기 식에서, V_tot는 총 세공 부피, dV는 x와 x+dx 사이에 존재하는 세공의 부피이다.

세공분포변수가 세공 지름(r) 또는 그것의 함수로 표현된다면 분포함수 k(x)는 세공크기분포로 해석되어질 수 있다. 각 세공에 대한 임피던스 Z_p를 각 세공의 저항 R_p=l_p/(κπr²)로 나눈 무차원화된 임피던스를 Z_p ^*(x)라 하면 상기 수학식 2는 하기 수학식 5로 변환된다.

상기 식에서, Y_p= κV_tot/l_p ²이고, κ는 전해질의 전기전도도이며, x 및 a₂는 전술한 바와 같다.

각 세공에 대한 무차원화된 임피던스 Z_p ^*는 한 개의 세공내에서 교류신호의 거동을 나타낼 수 있는 모델이라면 어떠한 모델도 사용할 수 있다. 구체적으로 예를 들면 다음과 같은 모델들이 사용될 수 있다.

(1) 드 레비(R. de Levie)의 "다공성 및 거친 전극의 전기화학적 응답(Electrochemical response of porous and rough electrodes, Advances inElectrochemistry and Electrochemical Engineering, VI, 1967, Interscience, New York)" .

(2) 카이저 등(H.Keiser, K.D. Beccu, M.A.Gutjahr)의 "임피던스 측정에 의한 다공성 전극의 다공성 구조 평가(Abschatzung der Porenstruktur poroser Elektroden aus Impedanzmessungen, Electrochimica Acta, vol. 21, 1976)".

(3) 엘루트 등(K. Ellot, F. Debuyck, M. Moors, A.P. van Peteghem)의 "비실린더형 세공의 임피던스 계산(Calculation of the impedance of noncylindrical pores Part I, Introduction of a matrix calculation method, 326)".

상기 수학식 5를 근사함수(fitting function)로 하여 복소 비선형 최소제곱 근사법을 통하여 임피던스 실험치를 근사할 때, 근사 파라미터(fitting parameter)는 Y_p와 a₂가 된다. 분포함수(x)의 파라미터 집합인 a₂는 사용하는 분포함수에 따라 결정된다. 따라서, 세공크기 분포와 세공길이는 상기 근사 파라미터 Y_p및 a₂의 값들로부터 계산될 수 있고, 다공성 전극의 비표면적 등 이차적인 물성도 계산될 수 있다.

상기 분포함수는 비해석 함수(numerical function) 또는 해석함수(analytical function)일 수 있는데, 이하에서는 각각의 경우에 대하여 구체적으로 살펴본다.

<실시예 1>

먼저, 세공크기분포를 표현하는 분포함수로서 비해석함수(numericalfunction)를 사용하는 경우를 설명한다.

전기화학적 반응이 없는 전기화학계에서 드 레비의 모델은 다음과 같이 표현된다.

상기 식에서, α_j는 복소침투도로서 하기 수학식 7로 표현된다.

상기 식에서, l_p는 세공 길이, r은 세공 반지름, κ는 전해질의 전기전도도, C_d는 계면 축전상수, ω는 주파수, j는 허수단위이다.

상기 수학식 7로부터 침투도 계수 α_o는 하기 수학식 8과 같이 표현된다.

수학식 5의 근사함수는 임의로 선택된 n개의 세공반지름 r_i에 대해 하기 수학식 9의 형태로 전환될 수 있다.

상기 식에서, Z_tot는 최종임피던스, w_i는 r_i로 대표되는 세공크기를 가지는 세공들의 존재비율을 의미하는 가중인자이다.

상기 수학식 9를 근사함수로 사용할 경우 근사 파라미터는 n-1개의 w_i와 Y_p가 존재하게 되며, 따라서 근사 파라미터의 개수는 n개이다.

수학식 9를 근사함수로 하여 복소 비선형 최소제곱 근사법을 통해 임피던스 실험치를 근사할 경우 세공크기분포는 다음과 같이 측정될 수 있다.

a) 먼저, 예상되는 세공크기의 범위에 대하여 그 범위를 포괄할 수 있는 임의의 세공크기를 임의의 개수, 예를 들어 5개 선택한다.

b) 선택된 5개의 r_i에 대하여 수학식 9를 이용하여 실험치를 근사함으로써 5개의 가중인자 w_i를 구한다.

c) 상대적으로 큰값의 가중인자를 보이는 r_i전후, 예를 들어 세 번째 세공크기인 r₃의 가중인자 w₃가 상대적으로 큰 값을 나타낸다면 r₂와 r₄사이의 세공크기의 범위에서 추가로 r_i를 선택하여 다시 실험치를 근사한다.

d) 이상의 단계를 되풀이하면 세공크기분포를 얻을 수 있다.

<실시예 2>

본 실시예는 세공크기분포를 표현하는 분포함수로서 해석함수를 사용하는 경우를 설명한다.

활성탄, 활성탄소섬유, 탄소에어로젤 등의 다공성 물질은 일반적으로 하나의봉우리를 가지는 세공크기분포(unimodal distribution)를 갖는다. 이와 같이 분포모양이 알려진 세공크기분포를 구하고자 하는 경우에는 그 함수 모양이 알려진 분포함수를 사용하여 근사함수를 설정할 수 있다.

만일 복수개의 봉우리를 갖는 세공크기분포(multimodal distribution)가 예측되는 경우에는 단일 봉우리를 보이는 분포함수의 복수개의 조합으로 근사함수를 설명할 수 있다. 이하에서는 단일 봉우리를 갖는 경우를 예로 든다.

실시예 1과 같이 드 레비의 모델을 이용하여 Z_p ^*를 해석하고, 분포변수 x는 하기 수학식 10과 같이 세공 반지름(r)의 로그 형태를 취한다.

상기 식에서, r_o는 단위를 보정하기 위한 계수로서, r을 cm 단위로 할 경우 1 cm이다.

단일 봉우리를 보이는 분포함수는 정규분포(normal distribution) 또는 로렌찌안 분포(Lorentzian distribution)로 가정할 수 있다. 그리고, 분포함수를 결정짓는 파라미터의 집합 a₂는 분포변수 x의 평균인 μ와 분포크기인 σ로 구성된다. 따라서, 수학식 5의 분포함수 k(x:a₂)를 정규분포로 가정하면 하기 수학식 11, 로렌찌안 분포로 가정하면 하기 수학식 12로 나타내어진다.

상기 수학식 11 및 수학식 12의 분포함수를 이용하여 수학식 5를 근사함수로 사용할 때 적분구간은 상기 분포함수등의 적분값이 0.99 이상이 되도록 하는 구간을 취하며 적분은 수치적분을 이용한다. 이 경우의 근사 파라미터는 Y_p, μ,σ가 된다.

도 1은 탄소 여과기 전극(a), 탄소 에어로젤 전극(b), 활성탄소섬유 전극(c)에 대한 임피던스 실험치(o), 상기 수학식 6의 기존의 드 레비의 식 자체를 이용하여 근사한 모사치(실선), 본 발명의 실시예 2에서 구성한 근사함수를 이용한 근사치(+)를 나타낸 그래프이다. 숫자는 주파수(Hz)를 의미한다. 도 1에 의하면, 드 레비의 모델은 저주파 영역에서의 실험치를 표현하지 못하지만 본 발명의 실시예 2에서 구성한 식은 모든 주파수 영역에서 실험치를 성공적으로 근사함을 알 수 있다.

대표세공크기, 분포크기 및 세공길이의 측정

분포크기 σ는 근사 파라미터로부터 이미 구해진다.

전해질의 전도도 κ, 계면축전상수 C_d, 전체 세공부피 V_tot를 알고 있을 때, 근사 파라미터인 Y_p, μ로부터 대표 세공 크기(mode radius) r_μ와 세공길이 l_p는 다음과 같이 계산될 수 있다.

상기 식에서, κ, C_d, V_tot는 문헌치를 이용하거나 별도의 실험으로 구할 수 있다. 문헌치의 예로 전기 전도도 κ의 경우, 호바쓰 (A.L.Horvath)의 "수용 전해질 용액 편람(Handbook of aqueous electrolyte solutions : physical properties, estimation, and correlation methods, Halsted Press, New York, 1985)"을 참조할 수 있다.

실험방법의 예로서, 전해질 전도도 κ는 일반적인 전도도 측정법으로 측정할 수 있고, 축전상수 C_d는 순환전압법(cyclic voltammetry)를 이용하여 전기화학반응이 없는 전압에서의 전류값을 읽어 측정할 수 있으며, V_tot는 다공성 물질을 사용될 전해질에 함침시켜 그 세공에 함침된 전해질의 양을 측정함으로써 얻을 수 있다.

다공성 전극의 비표면적

비표면적은 근사 파라미터인 μ와 σ에 의해 결정된 세공크기분포 k(x:μ, σ)를 하기 수학식 15과 같이 적분하여 얻을 수 있다.

상기 식에서, S_tot은 비표면적이며, 적분구간은 분포함수 k(x:μ, σ)의 적분값이 0.99 이상이 되도록 하는 구간을 취하며 적분은 수치적분을 이용한다

탄소여과기 전극 (테크세프 (Tech-Sep), 프랑스), 탄소 에어로젤 전극 (마케테크 (MarkeTech), 미국) 및 활성탄소섬유 전극(구라레이 (Kuraray), 일본)에 대하여 대표세공크기, 분포크기, 세공길이 및 비표면적을 측정하여 기존의 방법에 의하여 측정된 값과 비교하여 표 1에 나타내었다.

전극의 종류	분석방법	대표세공크기rμ	분포크기σ	세공길이lp	비표면적(m2/g)
탄소여과기	실시예	0.31mm	0.39	0.41	2.6
	비교예	∼0.5mm	-	0.2 이상	1.7
탄소에어로젤	실시예	71Å	0.32	0.064	299
	비교예	58Å	0.23	0.016 이상	302
활성탄소섬유	실시예	11Å	0.26	0.039	1070
	비교예	8Å	0.11	0.034 이상	1164

탄소여과기의 경우, 비교예는 제조업체의 물성치이며, 탄소 에어로졸과 활성탄소섬유의 경우에는 질소흡착법을 이용하여 측정한 결과이다.

도 2는 본 발명의 방법과 질소흡착법에 의하여 측정한 탄소 에어로젤의 세공크기 분포를 나타낸 그래프이다. 본 발명에 의한 분포곡선은 실선으로, 질소흡착법에 의한 분포곡선은 막대그래프로 나타내었다. 도 2에 의하면, 양 방법에 의한 분포곡선이 비슷한 모양을 나타내고 있는데, 이는 사용한 전해질 (탄소여과기 전극의 경우 0.1M 소금물 (NaCl), 탄소에어로젤 및 활성탄소섬유의 경우 1.0M H₂SO₄수용액 사용)의 이온 크기가 질소분자의 크기와 비슷하기 때문이다. 분자량이 큰 전해질을 사용하는 경우에는 다른 결과가 나타날 수 있다.

본 발명에 의한 전기화학적 미세구조 측정방법은 기존의 방법에 비해 다음과 같은 장점이 있다.

1) 측정시간이 단축된다.

2) 세공의 크기가 사용하는 전해질 이온의 크기보다 큰 경우에도 크기 제한 없이 사용할 수 있다.

3) 측정시 시료가 변형될 우려가 없다.

4) 전기화학 시스템에 직접(in situ) 적용할 수 있다.

5) 전기화학시스템에 사용되는 다공성 전극의 미세구조 측정 시 실제 사용되는 전해질이 접근 가능한 세공크기분포를 측정할 수 있다.

Claims (9)

1. a) 다공성 물질로 이루어진 전극 및 전해질을 포함하는 전기화학계에서 주파수에 따른 임피던스를 실험적으로 측정하는 단계;

   b) 하기 수학식으로 표시되며, 근사 파라미터는 Y_p및 a₂인 것을 특징으로 하는, 임피던스와 세공크기분포를 연관짓는 모델을 구성하는 단계;

   상기 식에서, Y_p= κV_tot/l_p ²이고,

   Z_tot는 최종 임피던스, Z_p ^*는 각 세공에 대한 무차원화된 임피던스, ω는 주파수, a₂는 파라미터 집합, κ는 전해질의 전기전도도이며, V_tot는 총 세공부피, l_p는 세공길이, x는 세공의 기하학적 디멘젼 또는 이들의 함수, k(x:a₂)는 x의 분포함수로서 파라미터 집합인 a₂에 의해 모양이 규정된다.

   c) 상기 b)단계에서 구성된 모델을 근사함수로 하여 복소 비선형 최소 제곱 근사법을 통해 상기 a) 단계에서 얻은 임피던스 실험치를 근사함으로써 근사 파라미터 값을 구하는 단계;

   d) 상기 c) 단계에서 얻은 근사 파라미터 값으로부터 대표 세공크기, 세공길이, 세공분포 크기, 세공크기분포 또는 비표면적을 계산하는 단계를 포함하는 다공성 물질의 미세구조 측정방법.
2. 삭제
3. 제1항 또는 제2항에 있어서, 상기 임피던스와 세공크기분포를 연관짓는 모델이, 임의로 선택된 세공의 임피던스의 역수에 대한 가중인자들로 구성된 하기 수학식으로 표현되는 비해석 함수이며, 근사 파라미터는 w_i와 Y_p인 것을 특징으로 하는 방법:

   상기 식에서, Z_tot, Y_p및 Z_p ^*는 상기 정의한 바와 같고, r_i는 세공 반지름,w_i는 r_i로 대표되는 세공크기를 가지는 세공들의 존재비율을 의미하는 가중인자이다.
4. 제2항에 있어서, 세공크기분포를 표현하는 분포함수 k(x:a₂)로서, 분포변수 x의 평균 μ와 분포크기 σ의 함수인 해석함수 k(x:μ,σ)를 사용하며, 근사 파라미터는 Y_p,μ 및 σ인 것을 특징으로 하는 방법.
5. 제4항에 있어서, 상기 해석함수가 하기 수학식의 정규분포함수인 것을 특징으로 하는 방법.
6. 제4항에 있어서, 상기 해석함수가 하기 수학식의 로렌찌안 분포함수인 것을 특징으로 하는 방법.
7. 제4항에 있어서, 대표 세공크기 r_μ는 하기 수학식에 의해 구하는 것을 특징으로 하는 방법.

   상기 식에서, r_o는 단위를 보정하기 위한 계수이다.
8. 제4항에 있어서, 세공길이 l_p는 하기 수학식에 의해 구하는 것을 특징으로 하는 방법.
9. 제4항에 있어서, 비표면적 S_tot는 하기 수학식에 의해 구하는 것을 특징으로 하는 방법.