JPWO2020090559A1 - ハミルトニアンの励起状態を求めるための方法及びそのためのプログラム - Google Patents

Abstract

古典コンピュータは、量子ビット数ｎの第１の量子回路Ｕ（θ）と、一組のｋ＋１個の初期状態であって、量子ビット数ｎの互いに直交する初期状態とを決定する。そして、古典コンピュータは、量子計算を量子コンピュータに実行させ、計算結果を受信して記憶する。そして、各初期状態について、計算結果を統計処理してハミルトニアンＨの期待値を算出し、一組の初期状態について、期待値の和を算出する。古典コンピュータは、期待値の和が収束するまでθを変更して量子計算を繰り返し、最適値θ＊を記憶する。

Description

開示の技術は、ハミルトニアンの励起状態を求めるための方法及びそのためのプログラムに関する。

量子コンピュータは、今後１００から１５０量子ビットを超えていくことでスーパーコンピュータによるシミュレーションでは困難ないし不可能であったシミュレーションを可能とするものとして大きな期待を集めている。

量子コンピュータの実用化に向けて、量子コンピュータのハードウェアの研究が進むとともに、かかるハードウェアを用いて量子計算を実行するためのアルゴリズムの研究も進んでいる。

アルゴリズムの研究は、シミュレーションによって解きたい問題をハミルトニアンとして表現し、その基底状態を求めることから始まり、現在では基底状態のみならず励起状態を求めることが試みられている。励起状態は、これに限られないが一例として、化学反応の過程を理解すること、発光（燐光・蛍光等）現象の分析、発光現象を有する分子の設計等に有益である。

たとえば、O. Higgott, D. Wang, and S. Brierley, "Variational Quantum Computation of Excited States ", (2018), arXiv:1805.08138には、量子コンピュータと古典コンピュータを組み合わせたハイブリッドシステムにおいて、ハミルトニアンの基底状態を求める手法として知られるＶＱＥ（Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｅｉｇｅｎｓｏｌｖｅｒ）を拡張して励起状態を求める手法が開示されている。

しかしながら、上記文献に記載の手法では多大な計算時間及び量子ビット数を要する。量子計算における計算の効率化が望まれている。

開示の技術は、このような問題点に鑑みてなされたものであり、その目的は、量子コンピュータと古典コンピュータとを備えるハイブリッドシステムにおいてハミルトニアンの励起状態を求めるための方法及びそのためのプログラム並びに当該ハイブリッドシステムを構成するための古典コンピュータにおいて、計算の効率化を図ることにある。

このような目的を達成するために、開示の技術の第１の態様は、ハミルトニアンの励起状態を求めるための方法であって、量子ビット数ｎ（ｎは正の整数）のハミルトニアンＨに対する一組の互いに直交するｋ＋１個（ｋは０以上２^ｎ−１以下の整数）の初期状態を決定するステップと、量子ビット数ｎのユニタリー性を有する第１の量子回路Ｕ（θ）を決定するステップと、第１のパラメータθ_ｉを決定して第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を量子コンピュータが有する量子ビット群に対して実行するための量子計算情報を生成するステップと、前記量子計算情報に基づく前記一組の初期状態のそれぞれに対する量子計算の計算結果を記憶するステップと、各初期状態に対する計算結果に基づいて式（１）に示す前記ハミルトニアンＨの期待値の和Ｌ_１（θ_ｉ）を算出するステップと、前記和が最小値に近づく方向に前記第１のパラメータθ_ｉを変更して収束条件を満たした値θ^＊を記憶するステップとを含むことを特徴とする。

ここで、｜ψ_ｊ（θ_ｉ）＞はｊ番目の初期状態に対して第１の量子回路（θ_ｉ）を実行した後の量子状態であり、ｗ_ｊは正の係数である。

また、開示の技術の第２の態様は、第１の態様において、係数ｗ_ｊのいずれかｗ_ｓ（ｓは０以上ｋ以下の整数）は、他の係数ｗ_ｊ（ｊ≠ｓ）の値よりも小さいことを特徴とする。

また、開示の技術の第３の態様は、第２の態様において、量子状態｜ψ_ｓ（θ^＊）＞に関する情報を第ｋ励起状態に関する解情報として送信するステップをさらに含むことを特徴とする。

また、開示の技術の第４の態様は、第１の態様において、係数ｗ_ｊのいずれも同一の値であることを特徴とする。

また、開示の技術の第５の態様は、第４の態様において、前記一組の初期状態を混ぜ合わせる第２の量子回路Ｖ（φ）を決定するステップと、第２のパラメータφ_ｉを決定して、第１の量子回路Ｕ（θ^＊）及び第２の量子回路Ｖ（φ_ｉ）を量子コンピュータが有する量子ビット群に対して実行するための量子計算情報を生成するステップと、前記量子計算情報に基づく前記一組の初期状態のうちの任意のｓ番目（ｓは０以上ｋ以下の整数）の初期状態に対する量子計算の計算結果を記憶するステップと、前記ｓ番目の初期状態に対する計算結果に基づいて式（２）に示す前記ハミルトニアンＨの期待値Ｌ_２（φ_ｉ）を算出するステップと、前記期待値が最大値に近づく方向に前記第２のパラメータφ_ｉを変更して収束条件を満たした値φ^＊を記憶するステップとを含むことを特徴とする。

また、開示の技術の第６の態様は、第５の態様において、前記第２の量子回路Ｖ（φ）は、ｋ＋１個の前記一組の初期状態にのみ作用することを特徴とする。

また、開示の技術の第７の態様は、第５又は第６の態様において、｜ψ_ｊ（φ_ｉ）＞をｊ番目の初期状態に対して第２の量子回路（φ_ｉ）を実行した後の量子状態として、｜ψ_ｓ（φ^＊）＞に関する情報を第ｋ励起状態に関する解情報として送信するステップをさらに含むことを特徴とする。

また、開示の技術の第８の態様は、第１から第７のいずれかの態様において、前記方法は、前記量子コンピュータとコンピュータネットワークを介して接続された古典コンピュータが実行することを特徴とする。

また、開示の技術の第９の態様は、古典コンピュータに、ハミルトニアンの励起状態を求めるための方法を実行させるためのプログラムであって、前記方法は、前記古典コンピュータが、量子ビット数ｎ（ｎは正の整数）のハミルトニアンＨに対する一組の互いに直交するｋ＋１個（ｋは０以上２^ｎ−１以下の整数）の初期状態を決定するステップと、量子ビット数ｎのユニタリー性を有する第１の量子回路Ｕ（θ）を決定するステップと、第１のパラメータθ_ｉを決定して第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を量子コンピュータが有する量子ビット群に対して実行するための量子計算情報を生成するステップと、前記量子計算情報に基づく前記一組の初期状態のそれぞれに対する量子計算の計算結果を記憶するステップと、各初期状態に対する計算結果に基づいて式（１）に示す前記ハミルトニアンＨの期待値の和Ｌ_１（θ_ｉ）を算出するステップと、前記和が最小値に近づく方向に前記第１のパラメータθ_ｉを変更して収束条件を満たした値θ^＊を記憶するステップとを含むことを特徴とする。

ここで、｜ψ_ｊ（θ_ｉ）＞はｊ番目の初期状態に対して第１の量子回路（θ_ｉ）を実行した後の量子状態であり、ｗ_ｊは正の係数である。

また、開示の技術の第１０の態様は、ハミルトニアンの励起状態を求めるための古典コンピュータであって、量子ビット数ｎ（ｎは正の整数）のハミルトニアンＨに対する一組の互いに直交するｋ＋１個（ｋは０以上２^ｎ−１以下の整数）の初期状態を決定し、量子ビット数ｎのユニタリー性を有する第１の量子回路Ｕ（θ）を決定し、第１のパラメータθ_ｉを決定して第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を量子コンピュータが有する量子ビット群に対して実行するための量子計算情報を生成し、前記量子計算情報に基づく前記一組の初期状態のそれぞれに対する量子計算の計算結果を記憶し、各初期状態に対する計算結果に基づいて式（１）に示す前記ハミルトニアンＨの期待値の和Ｌ_１（θ_ｉ）を算出し、前記和が最小値に近づく方向に前記第１のパラメータθ_ｉを変更して収束条件を満たした値θ^＊を記憶することを特徴とする。

ここで、｜ψ_ｊ（θ_ｉ）＞はｊ番目の初期状態に対して第１の量子回路（θ_ｉ）を実行
した後の量子状態であり、ｗ_ｊは正の係数である。

開示の技術の第１１の態様は、開示の技術の第１の態様において、 グリーン関数のスペクトル関数の虚部Ａ_ｑ（ω）（ｑは波数、ωは周波数）に出現する、ハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーＥ_Ｇと、ハミルトニアンＨのｎ番目の固有値Ｅ_ｎと、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞（｜Ｅ_ｎ＞はハミルトニアンＨのｎ番目の固有状態、｜Ｇ＞はハミルトニアンＨの基底状態、ｃ_ｑは電子の演算子）と、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ ^†｜Ｇ＞（†はエルミート共役）とを算出する際に、前記収束条件を満たした値θ^＊に基づいて、以下の式（３）を計算することにより、ハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーＥ_Ｇと、ハミルトニアンＨの任意のｊ番目の固有値Ｅ_ｊとを算出するステップと、電子の演算子ｃ_ｋを、電子の演算子の実部と電子の演算子の虚部とに分けるステップと、前記収束条件を満たした値θ^＊に基づいて、以下の式（４）における左辺の＜ψ_ｉ（θ^＊）｜Ａ｜ψ_ｊ（θ^＊）＞のうちの、＜ψ_ｉ（θ^＊）｜にハミルトニアンＨのｎ番目の固有状態＜Ｅ_ｎ｜を代入し、｜ψ_ｊ（θ^＊）＞にハミルトニアンＨの基底状態｜Ｇ＞を代入し、ハミルトニアンＨの任意のｉ番目の固有値Ｅ_ｉをハミルトニアンＨのｎ番目の固有値Ｅ_ｎとして設定し、ハミルトニアンＨの任意のｊ番目の固有値Ｅ_ｊをハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーＥ_Ｇとして設定し、任意の変数Ａに電子の演算子の実部と電子の演算子の虚部とを代入することにより、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞と＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ ^†｜Ｇ＞を算出するステップと、ハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーＥ_Ｇと、ハミルトニアンＨの任意のｊ番目の固有値Ｅ_ｊのｊをｎとすることにより得られるハミルトニアンＨのｎ番目の固有値Ｅ_ｎと、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞と、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ ^†｜Ｇ＞とに基づいて、以下の式（５）を計算することにより、グリーン関数のスペクトル関数の虚部Ａ_ｑ（ω）を計算するステップと、を更に含む方法である。

（３）

（４）

（５）

ここで、｜ψ^＋ｘ _ｉj（θ）＞、｜ψ^＋ｙ _ｉj（θ）＞は以下のように定義される。なお、添え字とは異なる箇所に出現する記号「ｉ」は虚数単位を表す。

開示の技術の第１２の態様は、ハミルトニアンの励起状態を求めるための量子コンピュータであって、量子ビット数ｎ（ｎは正の整数）のハミルトニアンＨに対する一組の互いに直交するｋ＋１個（ｋは０以上２^ｎ−１以下の整数）の初期状態と、量子ビット数ｎのユニタリー性を有する第１の量子回路Ｕ（θ）と、第１のパラメータθ_ｉと、を含む量子計算情報に基づいて、第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を量子ビット群に対して実行し、前記量子計算情報に基づく前記一組の初期状態のそれぞれに対する量子計算の計算結果を出力することを特徴とする量子コンピュータである。

開示の技術の第１３の態様は、本開示の古典コンピュータと本開示の量子コンピュータとを備える、ハミルトニアンの励起状態を求めるためのハイブリッドシステムである。

開示の技術の一態様によれば、ハミルトニアンＨの量子ビット数ｎ及び求めるべきエネルギーの励起準位ｋに応じて決定される一組のｋ＋１個の初期状態に直交性を要求することから導かれる性質を用いることによって、量子コンピュータと古典コンピュータとを備えるハイブリッドシステムにおいてハミルトニアンの励起状態を求めるための方法及びそのためのプログラム並びに当該ハイブリッドシステムを構成するための古典コンピュータにおいて、計算の効率化が可能となる。

開示の技術の第１の実施形態にかかるハイブリッドシステムを示す図である。 開示の技術の第１の実施形態にかかる励起状態を特定するための方法の流れ図である。 開示の技術の第２の実施形態にかかる励起状態を特定するための方法の流れ図である。 開示の技術の第２の実施形態に第２の量子回路Ｖ（φ）の一例を模式的に示す図である。 図４に示す第１の量子回路Ｕ（θ）及び第２の量子回路Ｖ（φ）の一例を示す図である。 第１のパラメータθの最適化プロセスを示す図である。 第２のパラメータφの最適化プロセスを示す図である。

以下、図面を参照して開示の技術の実施形態を詳細に説明する。

（第１の実施形態）
図１に、開示の技術の第１の実施形態にかかるハイブリッドシステムを示す。ハイブリッドシステム１００は、古典コンピュータ１１０と量子コンピュータ１２０とを備え、古典コンピュータ１１０と量子コンピュータ１２０とは、一例としてＩＰネットワークなどのコンピュータネットワークを介して接続されている。両者は、単一の組織が管理する場合も考えられるが、別個の組織により管理されており、古典コンピュータ１１０からの要求に応じて量子コンピュータ１２０が所要の量子計算を行い、当該量子計算の計算結果を古典コンピュータ１１０に返すことで全体として計算が進んでいく場合を例に以下説明を行う。

古典コンピュータ１１０は、通信インターフェースなどの通信部１１１と、プロセッサ、ＣＰＵ等の処理部１１２と、メモリ、ハードディスク等の記憶装置又は記憶媒体を含む記憶部１１３とを備え、各処理を行うためのプログラムを実行することによって構成することができ、古典コンピュータ１１０は１又は複数の装置ないしサーバを含むことがある。また、当該プログラムは１又は複数のプログラムを含むことがあり、また、コンピュータ読み取り可能な記憶媒体に記録して非一過性のプログラムプロダクトとすることができる。

まず、古典コンピュータ１１０は、量子コンピューティングによって解きたい問題に関する問題情報をユーザーのユーザー端末１３０より受信する（Ｓ２０１）。問題の例としては、分子、特に芳香環を有するような発光分子の第ｋ励起状態のエネルギー（ｋは１以上の整数）、触媒が標的分子に近接した際の第ｋ励起状態のエネルギーなどが挙げられる。また、ユーザーにおいてハミルトニアンとして当該問題を表現できる場合には、ハミルトニアンを問題情報として受信してもよい。ユーザー端末１３０は、ＩＰネットワークなどのコンピュータネットワークを介して古典コンピュータ１１０又は古典コンピュータ１１０がアクセス可能な記憶媒体又は記憶装置に問題情報を送信してもよいが、記憶媒体又は記憶装置に記憶して古典コンピュータ１１０の運営者に渡し、当該運営者が古典コンピュータ１１０に当該記憶媒体又は記憶装置を用いて問題情報を入力することも考えられる。

古典コンピュータ１１０は、問題情報を量子計算可能なハミルトニアンＨへの変換を必要に応じて行う。古典コンピュータ１１０が利用可能な量子コンピュータ１２０の量子ビット数がＮ（Ｎは整数）である場合、一例として、古典コンピュータ１１０が処理可能なハミルトニアンＨの量子ビット数ｎはＮ以下とすることが考えられるが、ハミルトニアンＨの量子ビット数ｎは必ずしも量子コンピュータ１２０の量子ビット数Ｎ以下に制約されるものではなくＮを超える値を取ることも考えられる。解きたい問題がハミルトニアンとして与えられている場合においても、そのハミルトニアンをＪｏｒｄａｎ−Ｗｉｇｎｅｒ変換等によって量子コンピュータの扱いやすい形式に変換する必要がある場合や、解きたい問題がハミルトニアンとして与えられておらずハミルトニアンとしての表現に変換を行う必要がある場合がある。また、古典コンピュータ１１０は、ユーザー端末１３０から求めたい第ｋ励起状態のｋ値を受け取っていればその値を用いるが、受け取っていなければ、１以上２^ｎ−１以下のなんらかの整数をｋ値として定めて量子計算に進む。

次いで、古典コンピュータ１１０は、量子ビット数ｎの第１の量子回路Ｕ（θ）を決定する（Ｓ２０２）。第１の量子回路Ｕ（θ）は、ユニタリー性を有する任意の量子回路とすることができ、一例として、ハミルトニアンＨに応じた量子回路とすることができる。第１の量子回路Ｕ（θ）は、パラメータ化されていることから変分量子回路と呼ばれることもある。第１の量子回路Ｕ（θ）は、記憶部１１３又は古典コンピュータ１１０からアクセス可能な記憶媒体又は記憶装置に記憶しておき、いずれかを特定することによって決定することができる。ハミルトニアンＨに応じた回路とする場合には、問題情報に基づいてハミルトニアンＨが定まった後に当該ハミルトニアンＨに適した回路を生成することによって第１の量子回路Ｕ（θ）を決定してもよい。

また、古典コンピュータ１１０は、一組のｋ＋１個の初期状態であって、量子ビット数ｎの互いに直交する初期状態を決定する（Ｓ２０３）。ｎ＝４、ｋ＝２の場合、たとえば｜００００＞、｜０００１＞及び｜００１０＞を一組の初期状態とすることができる。一組の初期状態は、記憶部１１３又は古典コンピュータ１１０からアクセス可能な記憶媒体又は記憶装置に記憶された量子状態の中からハミルトニアンＨの量子ビット数ｎ及び求めるべきエネルギーの励起準位ｋに応じて選択することによって決定することができる。また、ハミルトニアンＨの量子ビット数ｎ及び求めるべきエネルギーの励起準位ｋに応じて生成することによって一組の初期状態を決定してもよい。

そして、古典コンピュータ１１０は、第１の量子回路Ｕ（θ）の第１のパラメータθ_ｉ（ｉは１以上の整数）を決定する（Ｓ２０４）。たとえば、第１のパラメータθ_１は０以上２π未満等の一定の範囲内の乱数又は疑似乱数とすることが考えられる。ここでは、第１の量子回路Ｕ（θ）の決定、初期状態の決定、第１のパラメータθ_ｉの決定の順序で説明したが、これらの順序は異なる順序でもよい。

古典コンピュータ１１０は、量子計算情報を量子コンピュータ１２０に送信する（Ｓ２０５）。ｉ＝１の場合、量子計算情報は一組の初期状態のそれぞれを量子コンピュータ１２０が有する量子ビット群１２３において実現するための初期設定情報と、第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を量子ビット群１２３において実行するための量子ゲート情報とを含み、ｉ≧２の場合、量子ゲート情報のみを量子計算情報としてもよい。初期設定情報は、量子計算情報と同時又はその前後に別途送信するようにしてもよい。

量子コンピュータ１２０は、一例として、古典コンピュータ１１０から送信される量子計算情報に基づいて量子ビット群１２３の少なくともいずれかに照射する電磁波を生成し、電磁波の照射を行うことで、量子回路を実行する。図１の例では、量子コンピュータ１２０は、古典コンピュータ１１０と通信を行う介在装置１２１と、介在装置１２１からの要求に応じて電磁波を生成する電磁波生成装置１２２と、電磁波生成装置１２２からの電磁波照射を受ける量子ビット群１２３とを備える。本明細書において「量子コンピュータ」とは、古典ビットによる演算を一切行わないことを意味するものではなく、量子ビットによる演算を含むコンピュータをいう。

介在装置１２１は、古典ビットにより演算を行う古典コンピュータであり、古典コンピュータ１１０において行うものとして本明細書にて説明する処理の一部又は全部を代替的に行うことが考えられる。たとえば、第１の量子回路Ｕ（θ）を記憶又は決定しておき、量子計算情報として第１のパラメータθ_ｉを受信したことに応じて、介在装置１２１において、第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を量子ビット群１２３において実行するための量子ゲート情報を生成してもよい。また、量子計算情報として一組の初期状態を表す情報を受信したことに応じて、当該一組の初期状態を量子ビット群１２３において実現するための初期設定情報を介在装置１２１において生成してもよい。

量子コンピュータ１２０は、受信した量子計算情報に基づいて、量子計算を実行する（Ｓ２０６）。量子計算を実行するためには、初期設定情報に基づいて量子ビット群１２３に対する初期設定が必要である。ｎ＝４、ｋ＝２の場合、たとえば｜００００＞、｜０００１＞及び｜００１０＞を一組の初期状態とすることができ、各初期状態に対して第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を実行する前に、量子ビット群１２３が各初期状態となるようにＸゲートなどのゲート操作を実行する。量子コンピュータ１２０の詳細に応じて実行可能なゲート操作が異なることから、初期設定情報及び量子ゲート情報は用いる量子コンピュータ１２０において実行可能なゲート操作又は量子ゲートの組み合わせに必要に応じて分解又は変換される。分解又は変換後の情報を初期設定情報及び量子ゲート情報としてもよいし、分解又は変換前の情報を初期設定情報及び量子ゲート情報として量子コンピュータ１２０において必要に応じた分解又は変換をしてもよい。

また、それぞれのゲート操作は対応する電磁波波形へと変換され、生成された電磁波が電磁波生成装置１２２によって量子ビット群１２３に照射される。電磁波波形への変換は、電磁波生成装置１２２において行うことができるが、介在装置１２１において行ってもよい。また、変換を古典コンピュータ１１０において行って量子計算情報を電磁波波形の形式で生成することも考えられる。ここでは、電磁波の照射によって量子回路を実行する例を説明しているが、異なる方式による量子回路の実行を除外するものではない。

そして、量子コンピュータ１２０は、量子計算の計算結果を測定する（Ｓ２０７）。量子計算は、一組の初期状態のうちの各初期状態について実行され、測定される。たとえば、以下の表に示すようなビット列が測定結果として得られる。この例は、ｎ＝４、ｋ＝２として電磁波の照射と測定を繰り返した結果である。繰り返し回数は、古典コンピュータ１１０において決定して、量子計算情報の一部として又は量子計算情報とは別個に量子コンピュータ１２０に送信することが考えられる。あるいは、量子コンピュータ１２０又はその介在装置１２１において決定することが考えられる。

古典コンピュータ１１０は、量子コンピュータ１２０から量子計算情報に応じた量子計算の測定結果を受信して記憶する（Ｓ２０８）。そして、各初期状態について、測定結果を統計処理してハミルトニアンＨのエネルギー期待値を算出し、一組の初期状態について、期待値の和Ｌ_１（θ_ｉ）を算出する（Ｓ２０９）。一組のｋ＋１個の初期状態のうちのｊ番目（ｊは０以上ｋ以下の整数）の初期状態に対して第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を実行した後の量子状態を｜ψ_ｊ（θ_ｉ）＞と表記して、期待値の和Ｌ_１（θ_ｉ）は次式で表すことができる。ここで、ｗ_ｊは正の係数である。

次にｉ＝１の場合、ｉをインクリメントして第１のパラメータθ_ｉを更新し、当該第１のパラメータθ_２について期待値の和Ｌ_１（θ_２）を算出する。ｉ＝２以上の場合、期待値の和Ｌ_１（θ_２）が収束したか否かの収束判定を行う（Ｓ２１０）。たとえば、Ｌ_１（θ_ｉ）を最小化するθ_ｉの値又はそれに近い値を得るために、εを閾値として｜Ｌ_１（θ_ｉ＋１）−Ｌ_１（θ_ｉ）｜＜εを満たしたときに収束したと判定することができる。収束していない場合には、ｉをインクリメントして第１のパラメータθ_ｉを更新し、期待値の和計算を繰り返す。第１のパラメータθ_ｉは、Ｎｅｌｄｅｒ−Ｍｅａｄ法等の最適化アルゴリズムによって決定することができるが、最適化手法に頼らずランダムにθ_ｉを動かしてコスト関数Ｌ_１（θ_ｉ）が最小値等の所望の値となるまで試すこともできる。

ここでは、期待値の和Ｌ_１（θ_ｉ）が最小値に近づくように第１のパラメータθ_ｉを変更しているところ、これは期待値の和に負号を付して、これが最大値に近づくように第１のパラメータθ_ｉを変更することと同義である。

期待値の和Ｌ_１（θ_ｉ）を収束させたθ_ｉを第１のパラメータθ_ｉの最適値θ^＊として古典コンピュータ１１０は記憶する（Ｓ２１１）。

上述の説明において古典コンピュータ１１０において行うものとして説明した各初期状態についての期待値算出、期待値の和の算出、及び収束判定は、量子コンピュータ１２０の介在装置１２１において代替的に行うことが考えられる。

期待値の和Ｌ_１（θ_ｉ）が最小化されるということは、第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）のユニタリー性に鑑みれば、各量子状態｜ψ_ｊ（θ^＊）＞は互いに直交し、かつ、それぞれがハミルトニアンＨの基底状態｜ｇ＞から第ｋ励起状態｜ｅ_ｋ＞までの線形結合によって表されることを意味する。第ｋ＋１励起状態｜ｅ_ｋ＋１＞以上の量子状態が含まれていれば、Ｌ_１（θ_ｉ）は最小値よりも大きな値とならざるを得ないからである。

ここで、一例としてｗ_ｋを１／２、ｗ_０からｗ_ｋ−１までを１とすれば、最も係数の小さい｜ψ_ｋ（θ_ｉ）＞が与えるエネルギー期待値を最も大きいものとするように第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）が最適化されていき、｜ψ_ｋ（θ^＊）＞＝｜ｅ_ｋ＞となることが分かる。このように係数ｗ_ｊのいずれかｗ_ｓ（ｓは０以上ｋ以下の整数）を他の係数ｗ_ｊ（ｊ≠ｓ）よりも小さくすることによって、当該係数に対応する量子状態｜ψ_ｓ（θ_ｉ）＞を第ｋ励起状態に最適化していくことが出来る。

また、別の例として、ｗ_ｊ＜ｗ_ｊ−１と定めることによって、｜ψ_ｊ（θ^＊）＞＝｜ｅ_ｊ＞となることが分かる。このように係数ｗ_ｊを順序付けて小さい値にすることによって、ｊ番目の係数に対応する量子状態｜ψ_ｊ（θ_ｉ）＞を第ｊ励起状態に最適化していくことが出来る。逆に、係数ｗ_ｊを順序付けて大きい値にすることによって、ｊ番目の係数に対応する量子状態｜ψ_ｊ（θ_ｉ）＞を第ｋ−ｊ励起状態に最適化していくことが出来る。

これらの例のように第ｋ励起状態｜ｅ_ｋ＞が得られる場合には、ユーザー端末１３０のユーザーが解きたい問題に対する解に関する解情報を古典コンピュータ１１０は必要に応じてユーザー端末１３０に送信することができる（Ｓ２１２）。解情報には、第ｋ励起状態に関する情報が含まれ、より具体的には、第ｋ励起状態のハミルトニアンＨの期待値を含むことができる。また、解情報には、第ｋ励起状態の測定結果又はこれに対応する情報を含むことができる。また、解情報には、第ｋ励起状態と第ｍ励起状態（０≦ｍ＜ｋ）の間の遷移確率、当該遷移確率をもとにして計算される分子の電気感受率等を含むことが考えられる。

その他にも、本実施形態にかかる手法の応用例としては、第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）として上述した第ｋ励起状態までのすべての励起状態を生成する量子回路を用いることで、ハミルトニアンＨ下の時間発展をシミュレートすることが考えられる。

本実施形態によれば、量子ビット数ｎのハミルトニアンＨの任意の第ｋ励起状態の特定を第１のパラメータθ_ｉという単一のパラメータの最適化によって短時間に少ない量子ビット数で行うことができる。非特許文献１においては、量子コンピュータ１２０の量子ビット数が２ｎである必要があったが、本実施形態によれば、この要求を半数のｎにまで下げることができる。発明者らは、ｎ＝４という比較的少ない量子ビット数について、量子コンピュータ１２０を古典コンピューティングによってシミュレーションを行い、本実施形態の検証をした。シミュレーションではなく実際の量子コンピュータ１２０を用いても同様の結果が得られると考えることに理論上支障はなく、また量子ビット数ｎについても１００以上、さらには１５０以上としても理論上支障なく同様の結果が得られる。

上述の説明では、異なる組織によって古典コンピュータ１１０及び量子コンピュータ１２０が管理されている場合を想定しているが、同一の組織によって一体として管理されている場合には、量子計算情報の古典コンピュータ１１０から量子コンピュータ１２０への送信及び量子コンピュータ１２０から古典コンピュータ１１０への測定結果の送信は不要となる。量子コンピュータ１２０の介在装置１２１において上述の説明における古典コンピュータ１１０の役割を担うことが考えられる。

なお、「××のみに基づいて」、「××のみに応じて」、「××のみの場合」というように「のみ」との記載がなければ、本明細書においては、付加的な情報も考慮し得ることが想定されていることに留意されたい。また、一例として、「ａの場合にｂする」という記載は、明示した場合を除き、「ａの場合に常にｂする」ことを必ずしも意味しないことに留意されたい。

また、念のため、なんらかの方法、プログラム、端末、装置、サーバ又はシステム（以下「方法等」）において、本明細書で記述された動作と異なる動作を行う側面があるとしても、開示の技術の各態様は、本明細書で記述された動作のいずれかと同一の動作を対象とするものであり、本明細書で記述された動作と異なる動作が存在することは、当該方法等を開示の技術の各態様の範囲外とするものではないことを付言する。

また、第１の実施形態で述べたさまざまな代替形態は第２の実施形態又は第３の実施形態においても同様に適用可能であることを付言する。

（第２の実施形態）
第１の実施形態において、係数ｗ_ｊをすべて同一の値とした場合、｜ψ_ｊ（θ^＊）＞は、ハミルトニアンＨの基底状態｜ｇ＞から第ｋ励起状態｜ｅ_ｋ＞までの線形結合によって表されるものの、これらが混在した状態となる。第１のパラメータθ_ｉの最適化によって、量子ビット数ｎの量子状態の取り得る２^ｎ個の互いに直交する量子状態のうちｋ＋１個の量子状態によって張られる部分空間に｜ψ_ｊ（θ^＊）＞が閉じられていると理解することができる。係数ｗ_ｊをすべて同一の値とした場合、第２の実施形態では、第２の量子回路Ｖ（φ）を導入することによって当該部分空間内で第ｋ励起状態を求めることを可能にする。

第１のパラメータθ_ｉの最適値θ^＊が得られた後に、古典コンピュータ１１０は、第２の量子回路Ｖ（φ）を決定する（Ｓ３０１）。第２の量子回路Ｖ（φ）は、上述の一組の初期状態を混ぜ合わせるものであり、換言すれば、これらの初期状態の線形結合によって表される空間内の量子状態に各初期状態を変化させる。第２の量子回路Ｖ（φ）は、パラメータ化されていることから変分量子回路と呼ばれることもある。たとえば、ｎ＝４、ｋ＝３の場合、量子ビット数４の一組の初期状態のそれぞれを下位のビットから埋めていったビット列｜００００＞、｜０００１＞、｜００１０＞及び｜００１１＞により表し、埋められた下位２ビットのみに作用する回路を第２の量子回路Ｖ（φ）とすることが考えられる。より一般的には、第２の量子回路Ｖ（φ）は、一組のｋ＋１個の初期状態にのみ作用するものとすることが考えられる。

図４は、第１の量子回路Ｕ（θ）及び第２の量子回路Ｖ（φ）を模式的に示す一例である。第２の量子回路Ｖ（φ）は、記憶部１１３又は古典コンピュータ１１０からアクセス可能な記憶媒体又は記憶装置に記憶しておき、いずれかを特定することによって決定することができる。

次に、古典コンピュータ１１０は、第２のパラメータφ_ｉ（ｉは１以上の整数）を決定する（Ｓ３０２）。たとえば、第２のパラメータφ_１は０以上２π未満等の一定の範囲内の乱数又は疑似乱数とすることが考えられる。ここでは、第２の量子回路Ｖ（φ）の決定、第２のパラメータφ_ｉの決定の順序で説明したが、異なる順序でもよい。

そして、古典コンピュータ１１０は、第１の実施形態と同様に量子計算情報を量子コンピュータ１２０に送信する（Ｓ３０３）。異なる点は、量子ゲート情報として送信する情報が、最適化された第１の量子回路Ｕ（θ^＊）を量子ビット群１２３において実行するための情報に加えて第２の量子回路Ｖ（φ_ｉ）を量子ビット群１２３において実行するための情報を含む点と、初期設定情報として送信する情報が、一組の初期状態のうちの任意のｓ番目（ｓは０以上ｋ以下の整数）の初期状態を量子コンピュータ１２０が有する量子ビット群１２３において実現するための情報を含めばよい点である。

量子コンピュータ１２０は、受信した量子計算情報に基づいて、ｓ番目の初期状態について量子計算を実行し（Ｓ３０４）、量子計算の結果を測定する（Ｓ３０５）。電磁波照射及び測定が繰り返し行われる点、そして電磁波照射に限られない点は第１の実施形態と同様である。

その後、古典コンピュータ１１０は、量子コンピュータ１２０から量子計算情報に応じた量子計算の計算結果を受信して記憶する（Ｓ３０６）。そして、ｓ番目の初期状態について、測定結果を統計処理してハミルトニアンＨのエネルギー期待値Ｌ_２（φ_ｉ）を算出する（Ｓ３０７）。任意のｓ番目の初期状態に対して第１の量子回路Ｕ（θ^＊）及び第２の量子回路Ｖ（φ_ｉ）を実行した後の量子状態を｜ψ_ｓ（φ_ｉ）＞と表記して、期待値Ｌ_２（φ_ｉ）は次式で表すことができる。

次にｉ＝１の場合、ｉをインクリメントして第１のパラメータθ_ｉを更新し、当該第２のパラメータφ_２について期待値Ｌ_２（φ_２）を算出する。ｉ＝２以上の場合、期待値Ｌ_２（φ_２）が収束したか否かの収束判定を行う（Ｓ３０８）。収束判定は、第１の実施形態と同様に行うことができる。

期待値Ｌ_２（φ_ｉ）を収束させたφ_ｉを第２のパラメータφ_ｉの最適値φ^＊として古典コンピュータ１１０は記憶する（Ｓ３０９）。

上述の説明において古典コンピュータ１１０において行うものとして説明したｓ番目の初期状態についての期待値算出及び収束判定は、量子コンピュータ１２０の介在装置１２１において代替的に行うことが考えられる。

期待値Ｌ_２（φ_ｉ）が最小化されるということは、各初期状態に対して第１の量子回路Ｕ（θ^＊）を実行した量子状態｜ψ_ｊ（θ^＊）＞は互いに直交し、かつ、それぞれがハミルトニアンＨの基底状態｜ｇ＞から第ｋ励起状態｜ｅ_ｋ＞までの線形結合によって表され、そして第２の量子回路Ｖ（φ_ｉ）は各初期状態を混ぜ合わせるものであることに鑑みれば、｜ψ_ｓ（φ^＊）＞は第ｋ励起状態｜ｅ_ｋ＞となることを意味する。第ｋ−１励起状態｜ｅ_ｋ−１＞以下の量子状態が含まれていれば、Ｌ_２（φ_ｉ）は最小値よりも大きな値とならざるを得ないからである。

上記Ｌ_２（φ_ｉ）では、｜ψ_ｓ（φ_ｉ）＞におけるハミルトニアンＨのエネルギー期待値に負号を加えて定義し、期待値Ｌ_２（φ_ｉ）が最小値に近づくように第２のパラメータφ_ｉを変更しているところ、このことは、符号を付さずにハミルトニアンＨのエネルギー期待値自体をＬ_２（φ_ｉ）と定義し、これが最大値に近づくように第２のパラメータφ_ｉを変更することと同義である。

古典コンピュータ１１０は、ユーザー端末１３０のユーザーが解きたい問題に対する解に関する解情報を必要に応じてユーザー端末１３０に送信することができる（Ｓ３１０）。解情報には、第ｋ励起状態に関する情報を含むことができ、より具体的には、第ｋ励起状態のハミルトニアンＨの期待値を含むことができる。また、解情報には、第ｋ励起状態の測定結果又はこれに対応する情報を含むことができる。

本実施形態によれば、第１のパラメータθ_ｉの最適化によって、量子ビット数ｎの量子状態の取り得る２^ｎ個の互いに直交する量子状態のうちｋ＋１個の量子状態によって張られる部分空間に量子状態を閉じた上で、当該部分空間内で追加の第２のパラメータφ_ｉの最適化を行うことにより、第１の実施形態よりも高速に励起状態を得ることができる。

（第３の実施形態）
第３の実施形態では、第１の実施形態又は第２の実施形態のハミルトニアンＨの励起状態を求めるための方法を用いてグリーン関数を計算する。

グリーン関数とは理論計算等において用いられる関数であり、グリーン関数を計算することにより、例えば、物質の相に関する情報を得ることができる。以下の式（Ａ）は、グリーン関数の一表現形式である。

（Ａ）

なお、ｔは時刻であり、ｃ_ａ（・）及びｃ_ｂ（・）は電子の演算子であり、ａ，ｂは電子の励起モード（例えば、波数）であり、Θ（ｔ）はヘビサイドの階段関数である。また、†はエルミート共役を表す。なお、以下において、添え字とは異なる箇所に出現する記号「ｉ」は虚数単位を表す。

なお、第３の実施形態では、ハミルトニアンＨの励起状態を求めるための方法を用いて、グリーン関数のスペクトル関数を計算する。これにより、グリーン関数も算出可能となる。

なお、第３の実施形態では、グリーン関数に対するフーリエ変換により得られるスペクトル関数の虚部のみを計算する。スペクトル関数の虚部の計算結果が得られれば、クラマース・クローニッヒの関係式によりスペクトル関数の実部も再現可能であるためである。

以下の式は、グリーン関数のスペクトル関数と、そのスペクトル関数の虚部である。なお、ηは正の定数である。また、ｑは波数である。なお、ここでは電子の励起モードａ，ｂが共に波数ｑと上向きスピン↑を持つ場合について記述するが、第３の実施形態は一般の励起モードａ，ｂに関するグリーン関数についても同様に適用可能である。

（Ｂ）

第３の実施形態のハイブリッドシステム１００は、上記式におけるスペクトル関数の虚部Ａ_ｑ（ω）を計算する。スペクトル関数の虚部Ａ_ｑ（ω）は、以下の式（Ｃ）によって表される。以下の式（３）は、レーマン表示により表されたスペクトル関数である。

（Ｃ）

上記式（Ｃ）におけるＥ_Ｇは、ハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーである。また、｜Ｇ＞は、ハミルトニアンＨの基底状態である。また、Ｅ_ｎはハミルトニアンＨのｎ番目の固有値である。また、｜Ｅ_ｎ＞はハミルトニアンＨのｎ番目の固有状態である。

第３の実施形態のハイブリッドシステム１００は、上記式（Ｃ）のうちの、グリーン関数のスペクトル関数の虚部Ａ_ｑ（ω）に出現する、ハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーＥ_Ｇと、ハミルトニアンＨのｎ番目の固有値Ｅ_ｎと、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞と、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ ^†｜Ｇ＞とを算出する。

具体的には、まず、ハイブリッドシステム１００のうちの、古典コンピュータ１１０と量子コンピュータ１２０とが、第１の実施形態又は第２の実施形態の収束条件を満たした値θ^＊に基づいて、以下の式（Ｄ）を計算することにより、ハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーＥ_Ｇと、ハミルトニアンＨの任意のｊ番目の固有値Ｅ_ｊとを算出する。また、収束条件を満たした値θ^＊に基づいて、以下の式（Ｄ）を計算することにより、ハミルトニアンＨの基底状態｜Ｇ＞と、ハミルトニアンＨの任意のｊ番目の固有状態｜Ｅ_ｊ＞を求める。

（Ｄ）

なお、スペクトル関数のレーマン表示では、ハミルトニアンＨの固有値Ｅ_ｎのｎはあり得る全ての固有状態を取るが、第３の実施形態では固有値の小さい方から（ｋ＋１）個までしか求めることはできない。

なお、量子コンピュータがＮ量子ビットの系である場合、ハミルトニアンＨの固有値Ｅ_ｎのうちのｎは１から２のＮ乗までを取り得る。ハミルトニアンＨが２^Ｎ×２^Ｎの行列によって表されるため、固有状態が２^Ｎ個存在するからである。

次に、ハイブリッドシステム１００は、上記式（Ｃ）のうちの、グリーン関数のスペクトル関数の虚部Ａ_ｑ（ω）に出現する、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞と、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ ^†｜Ｇ＞とを算出する。

具体的には、ハイブリッドシステム１００のうちの古典コンピュータ１１０は、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞のうちの電子の演算子ｃ_ｑと、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ ^†｜Ｇ＞のうちの電子の演算子ｃ_ｑ ^†とを、以下の式（Ｅ）に示すジョルダン‐ウィグナー変換等によりパウリ行列の和に変換する。なお、添え字ｑ，↑は、電子の波数とそのスピンを表す。

（Ｅ）

なお、上記式（Ｅ）におけるλ_ｎは係数を表し、実数及び純虚数の何れかである。また、Ｐ_ｎはパウリ行列である。また、Ｎ_ｑは、状態の総数を表す。なお、以下ではｃ_ｑ，↑を単に「ｃ_ｑ」と表記し、ｃ^† _ｑ，↑を単に「ｃ^† _ｑ」と表記する。

そして、古典コンピュータ１１０は、上記式（Ｅ）によって得られたパウリ行列の和を、係数λ_ｎが実数のものと虚数のものとに分ける。

そして、古典コンピュータ１１０は、実数と虚数とに分けられたパウリ行列の和を、以下の形式によって表す。

ｃ_ｑ＝α＋ｉβ
ｃ^† _ｑ＝α’＋ｉβ’

上記式における、αとβ（及び、α’とβ’）とがエルミート演算子となっており、可観測量になっている。すなわち、本実施形態においては、電子の演算子というそのままの形式では計測不可な物理量を、αとβ（及び、α’とβ’）という計測可能な部分に分割する。

次に、古典コンピュータ１１０は、以下の式（Ｆ１）及び（Ｆ２）の任意の変数Ａに電子の演算子の実部と電子の演算子の虚部とを代入する。具体的には、古典コンピュータ１１０は、分割により得られたαとβ（及び、α’とβ’）を以下の式（Ｆ１）及び（Ｆ２）に代入する。

（Ｆ１）

（Ｆ２）

ここで、｜ψ^＋ｘ _ｉj（θ）＞、｜ψ^＋ｙ _ｉj（θ）＞は以下のように定義される。

なお、上記式（Ｆ１）及び（Ｆ２）におけるＡは、任意の変数を表す。古典コンピュータ１１０は、上記式（Ｆ１）及び（Ｆ２）のＡに、ｃ_ｑ＝α＋ｉβとｃ^† _ｑ＝α’＋ｉβ’とを代入する。

更に、古典コンピュータ１１０は、上記式（Ｆ１）及び（Ｆ２）における左辺の＜ψ_ｉ（θ^＊）｜Ａ｜ψ_ｊ（θ^＊）＞のうちの、＜ψ_ｉ（θ^＊）｜にハミルトニアンＨの任意のｉ番目の固有状態＜Ｅ_ｉ｜を代入する。また、古典コンピュータ１１０は、上記式（Ｆ１）及び（Ｆ２）における左辺の｜ψ_ｊ（θ^＊）＞にハミルトニアンＨの任意のｊ番目の固有状態｜Ｅ_ｊ＞を代入する。

これにより、上記式（Ｆ１）及び（Ｆ２）の左辺は、＜Ｅ_ｉ｜ｃ_ｑ｜Ｅ_ｊ＞となる。古典コンピュータ１１０は、ハミルトニアンＨの任意のｉ番目の固有値Ｅ_ｉをハミルトニアンＨのｎ番目の固有値Ｅ_ｎとして設定し、ハミルトニアンＨの任意のｊ番目の固有値Ｅ_ｊをハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーＥ_Ｇとして設定する。これにより、上記式（Ｆ１）及び（Ｆ２）の左辺は、＜Ｅ_ｉ｜ｃ_ｑ｜Ｅ_ｊ＞から＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞となる。

更に、上述のように、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞のうちのｃには、α＋ｉβが代入されるため、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞＝＜Ｅ_ｎ｜α｜Ｇ＞＋ｉ＜Ｅ_ｎ｜β｜Ｇ＞となる。

このようにして得られた式に基づいて、量子コンピュータ１２０が量子計算を行い、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞が算出される。なお、＜Ｅ_ｎ｜ｃ^† _ｑ｜Ｇ＞についても同様の方法により算出される。

そして、古典コンピュータ１１０は、ハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーＥ_Ｇと、ハミルトニアンＨのｎ番目の固有値Ｅ_ｎと、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞と、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ ^†｜Ｇ＞とに基づいて、上記式（Ｃ）を計算することにより、グリーン関数のスペクトル関数の虚部Ａ_ｑ（ω）を計算する。グリーン関数のスペクトル関数の虚部Ａ_ｑ（ω）が得られれば、スペクトル関数の実部も計算可能となる。これにより、グリーン関数も計算可能となる。

なお、グリーン関数を計算する場合には、ユーザー端末１３０又は古典コンピュータ１１０によって、ハミルトニアンＨ、電子の演算子を指定する情報である波数ｑ（又はａ，ｂ）、何個の固有値を求めるかを表すｋ_、一組の互いに直交するｋ＋１個の初期状態、及び量子回路Ｕ（θ）が決定される。また、ｃ_ｑとｃ_ｑ ^†とを分解したときに得られる演算子α，β，α’，β’も、ユーザー端末１３０又は古典コンピュータ１１０によって決定されてもよい。

なお、量子コンピュータ１２０は、ユーザー端末１３０又は古典コンピュータ１１０によって決定された、一組の互いに直交するｋ＋１個の初期状態、量子回路Ｕ（θ）、及びｃ_ｑとｃ_ｑ ^†とを分解したときに得られる演算子α，β，α’，β’を取得し、それらに基づいて量子計算を行う。

なお、上記第３の実施形態においては、複数の係数ｗ_ｊの少なくとも１つが異なる場合を例に説明したが、これに限定されるものではない。例えば、以下の文献に基づいて、複数の係数ｗ_ｊの各々をすべて同一の値とした場合のグリーン関数の計算を実行することができる。

R. M. Parrish, E. G. Hohenstein, P. L. McMahon, and T. J. Marttinez, Physical Review Letters 122, 230401 (2019).

このように、第３の実施形態によれば、ハミルトニアンの励起状態を求めるための方法を用いてグリーン関数を計算することができる。

なお、上記実施形態でＣＰＵがソフトウェア（プログラム）を読み込んで実行した処理を、ＣＰＵ以外の各種のプロセッサが実行してもよい。この場合のプロセッサとしては、ＦＰＧＡ（Ｆｉｅｌｄ−Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ Ｇａｔｅ Ａｒｒａｙ）等の製造後に回路構成を変更可能なＰＬＤ（Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ Ｌｏｇｉｃ Ｄｅｖｉｃｅ）、及びＡＳＩＣ（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｓｐｅｃｉｆｉｃ Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｃｉｒｃｕｉｔ）等の特定の処理を実行させるために専用に設計された回路構成を有するプロセッサである専用電気回路等が例示される。また、各処理を、これらの各種のプロセッサのうちの１つで実行してもよいし、同種又は異種の２つ以上のプロセッサの組み合わせ（例えば、複数のＦＰＧＡ、及びＣＰＵとＦＰＧＡとの組み合わせ等）で実行してもよい。また、これらの各種のプロセッサのハードウェア的な構造は、より具体的には、半導体素子等の回路素子を組み合わせた電気回路である。

また、上記各実施形態では、プログラムがストレージに予め記憶（インストール）されている態様を説明したが、これに限定されない。プログラムは、ＣＤ−ＲＯＭ（Ｃｏｍｐａｃｔ Ｄｉｓｋ Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）、ＤＶＤ−ＲＯＭ（Ｄｉｇｉｔａｌ Ｖｅｒｓａｔｉｌｅ Ｄｉｓｋ Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）、及びＵＳＢ（Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ Ｓｅｒｉａｌ Ｂｕｓ）メモリ等の非一時的（ｎｏｎ−ｔｒａｎｓｉｔｏｒｙ）記憶媒体に記憶された形態で提供されてもよい。また、プログラムは、ネットワークを介して外部装置からダウンロードされる形態としてもよい。

また、本実施形態の各処理を、汎用演算処理装置及び記憶装置等を備えたコンピュータ又はサーバ等により構成して、各処理がプログラムによって実行されるものとしてもよい。このプログラムは記憶装置に記憶されており、磁気ディスク、光ディスク、半導体メモリ等の記録媒体に記録することも、ネットワークを通して提供することも可能である。もちろん、その他いかなる構成要素についても、単一のコンピュータやサーバによって実現しなければならないものではなく、ネットワークによって接続された複数のコンピュータに分散して実現してもよい。

なお、本実施形態は、上述した各実施形態に限定されるものではなく、各実施形態の要旨を逸脱しない範囲内で様々な変形や応用が可能である。

2018年11月4日に出願された日本国特許出願2018-207825号及び2019年7月12日に出願された日本国特許出願2019-130414号の開示は、その全体が参照により本明細書に取り込まれる。本明細書に記載された全ての文献、特許出願、および技術規格は、個々の文献、特許出願、および技術規格が参照により取り込まれることが具体的かつ個々に記された場合と同程度に、本明細書中に参照により取り込まれる。

実施例
ｎ＝４のハミルトニアンＨについてのシミュレーション結果を示す。図５は、図４に示す第１の量子回路Ｕ（θ）及び第２の量子回路Ｖ（φ）の一例であり、パラメータＤ_１及びＤ_２は括弧内での繰り返し数を示し、Ｄ_１＝２、Ｄ_２＝６とした。一組の初期状態は、｛｜００００＞，｜０００１＞，｜００１０＞，｜０００１１＞｝とした。第１のパラメータθ_１及び第２のパラメータφ_１の初期値は０以上２π未満等の一定の範囲内の乱数とし、異なる１０個の初期値から行った最適化のうち最も低いコスト関数の値を与えた結果を以下に示す。パラメータの最適化にはＳｃｉＰｙライブラリのＢＦＧＳ法を用いた。励起状態を求める励起順位ｋは３とした。

解くべき問題を表したハミルトニアンＨは次式とした。これは、全結合横磁場イジングモデルである。係数ａ_ｉ及びＪ_ｉｊは、０以上１未満の均一な分布からランダムにサンプルした。量子ビット数ｎは４である。

図６に、第１のパラメータθの最適化プロセスを示す。図６において、フィデリティ（ｆｉｄｅｌｉｔｙ）は｛｜ｇ＞，｜ｅ_１＞，｜ｅ_１＞，｜ｅ_１＞｝により張られる空間と第１の量子回路Ｕ（θ）の出力との間の重なり（ｏｖｅｒｌａｐ）により定義される。より詳細には、｜ｇ＞を便宜上「ｅ_０＞と表記し、ｊ番目（ｊは０以上ｋ以下の整数）の初期状態に対して第１の量子回路Ｕ（θ）を実行した後の量子状態を｜ψ_ｊ（θ）＞と表記して、フィデリティを次式で定義した。図６から、コスト関数が最小値に近づくにつれて期待されたようにフィデリティが１に近づいていくことが分かる。

図７は、第２のパラメータφの最適化プロセスを示す。ここでは、３番目の初期状態｜００１０＞について量子計算を実行し、フィデリティは次式で定義した。図７から、エネルギー期待値が第３励起状態の値に精度よく収束していることが確認された。

Claims (13)

1. ハミルトニアンの励起状態を求めるための方法であって、
   量子ビット数ｎ（ｎは正の整数）のハミルトニアンＨに対する一組の互いに直交するｋ＋１個（ｋは０以上２^ｎ−１以下の整数）の初期状態を決定するステップと、
   量子ビット数ｎのユニタリー性を有する第１の量子回路Ｕ（θ）を決定するステップと、
   第１のパラメータθ_ｉを決定して第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を量子コンピュータが有する量子ビット群に対して実行するための量子計算情報を生成するステップと、
   前記量子計算情報に基づく前記一組の初期状態のそれぞれに対する量子計算の計算結果を記憶するステップと、
   各初期状態に対する計算結果に基づいて式（１）に示す前記ハミルトニアンＨの期待値の和Ｌ_１（θ_ｉ）を算出するステップと、
   前記和が最小値に近づく方向に前記第１のパラメータθ_ｉを変更して収束条件を満たした値θ^＊を記憶するステップと
   を含むことを特徴とする方法。
   

   

   
   
   ここで、｜ψ_ｊ（θ_ｉ）＞はｊ番目の初期状態に対して第１の量子回路（θ_ｉ）を実行した後の量子状態であり、ｗ_ｊは正の係数である。
2. 係数ｗ_ｊのいずれかｗ_ｓ（ｓは０以上ｋ以下の整数）は、他の係数ｗ_ｊ（ｊ≠ｓ）の値よりも小さいことを特徴とする請求項１に記載の方法。
3. 量子状態｜ψ_ｓ（θ^＊）＞に関する情報を第ｋ励起状態に関する解情報として送信するステップをさらに含むことを特徴とする請求項２に記載の方法。
4. 係数ｗ_ｊのいずれも同一の値であることを特徴とする請求項１に記載の方法。
5. 前記一組の初期状態を混ぜ合わせる第２の量子回路Ｖ（φ）を決定するステップと、
   第２のパラメータφ_ｉを決定して、第１の量子回路Ｕ（θ^＊）及び第２の量子回路Ｖ（φ_ｉ）を量子コンピュータが有する量子ビット群に対して実行するための量子計算情報を生成するステップと、
   前記量子計算情報に基づく前記一組の初期状態のうちの任意のｓ番目（ｓは０以上ｋ以下の整数）の初期状態に対する量子計算の計算結果を記憶するステップと、
   前記ｓ番目の初期状態に対する計算結果に基づいて式（２）に示す前記ハミルトニアンＨの期待値Ｌ_２（φ_ｉ）を算出するステップと、
   前記期待値が最大値に近づく方向に前記第２のパラメータφ_ｉを変更して収束条件を満たした値φ^＊を記憶するステップと
   を含むことを特徴とする請求項４に記載の方法。
   

   

   
   
6. 前記第２の量子回路Ｖ（φ）は、ｋ＋１個の前記一組の初期状態にのみ作用することを特徴とする請求項５に記載の方法。
7. ｜ψ_ｊ（φ_ｉ）＞をｊ番目の初期状態に対して第２の量子回路（φ_ｉ）を実行した後の量子状態として、｜ψ_ｓ（φ^＊）＞に関する情報を第ｋ励起状態に関する解情報として送信するステップをさらに含むことを特徴とする請求項５又は６に記載の方法。
8. 前記方法は、前記量子コンピュータとコンピュータネットワークを介して接続された古典コンピュータが実行することを特徴とする請求項１から７のいずれかに記載の方法。
9. グリーン関数のスペクトル関数の虚部Ａ_ｑ（ω）（ｑは波数、ωは周波数）に出現する、ハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーＥ_Ｇと、ハミルトニアンＨのｎ番目の固有値Ｅ_ｎと、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞（｜Ｅ_ｎ＞はハミルトニアンＨのｎ番目の固有状態、｜Ｇ＞はハミルトニアンＨの基底状態、ｃ_ｑは電子の演算子）と、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ ^†｜Ｇ＞（†はエルミート共役）とを算出する際に、
   前記収束条件を満たした値θ^＊に基づいて、以下の式（３）を計算することにより、ハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーＥ_Ｇと、ハミルトニアンＨの任意のｊ番目の固有値Ｅ_ｊとを算出するステップと、
   電子の演算子ｃ_ｋを、電子の演算子の実部と電子の演算子の虚部とに分けるステップと、
   前記収束条件を満たした値θ^＊に基づいて、以下の式（４）における左辺の＜ψ_ｉ（θ^＊）｜Ａ｜ψ_ｊ（θ^＊）＞のうちの、＜ψ_ｉ（θ^＊）｜にハミルトニアンＨのｎ番目の固有状態＜Ｅ_ｎ｜を代入し、｜ψ_ｊ（θ^＊）＞にハミルトニアンＨの基底状態｜Ｇ＞を代入し、任意の変数Ａに電子の演算子の実部と電子の演算子の虚部とを代入することにより、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞と＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ ^†｜Ｇ＞を算出するステップと、
   ハミルトニアンＨの基底状態のエネルギーＥ_Ｇと、ハミルトニアンＨの任意のｊ番目の固有値Ｅ_ｊのｊをｎとすることにより得られるハミルトニアンＨのｎ番目の固有値Ｅ_ｎと、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ｜Ｇ＞と、＜Ｅ_ｎ｜ｃ_ｑ ^†｜Ｇ＞とに基づいて、以下の式（５）を計算することにより、グリーン関数のスペクトル関数の虚部Ａ_ｑ（ω）を計算するステップと、
   を更に含む請求項１に記載の方法。
   

   

   
   （３）
   

   

   
   （４）
   
   

   

   
   
   （５）
   ここで、｜ψ^＋ｘ _ｉj（θ）＞、｜ψ^＋ｙ _ｉj（θ）＞は以下のように定義される。なお、添え字とは異なる箇所に出現する記号「ｉ」は虚数単位を表す。
   

   

   
   

   
10. 古典コンピュータに、ハミルトニアンの励起状態を求めるための方法を実行させるためのプログラムであって、前記方法は、前記古典コンピュータが、
    量子ビット数ｎ（ｎは正の整数）のハミルトニアンＨに対する一組の互いに直交するｋ＋１個（ｋは０以上２^ｎ−１以下の整数）の初期状態を決定するステップと、
    量子ビット数ｎのユニタリー性を有する第１の量子回路Ｕ（θ）を決定するステップと、
    第１のパラメータθ_ｉを決定して第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を量子コンピュータが有する量子ビット群に対して実行するための量子計算情報を生成するステップと、
    前記量子計算情報に基づく前記一組の初期状態のそれぞれに対する量子計算の計算結果を記憶するステップと、
    各初期状態に対する計算結果に基づいて式（１）に示す前記ハミルトニアンＨの期待値の和Ｌ_１（θ_ｉ）を算出するステップと、
    前記和が最小値に近づく方向に前記第１のパラメータθ_ｉを変更して収束条件を満たした値θ^＊を記憶するステップと
    を含むことを特徴とする方法。
    

    

    
    
    ここで、｜ψ_ｊ（θ_ｉ）＞はｊ番目の初期状態に対して第１の量子回路（θ_ｉ）を実行した後の量子状態であり、ｗ_ｊは正の係数である。
11. ハミルトニアンの励起状態を求めるための古典コンピュータであって、
    量子ビット数ｎ（ｎは正の整数）のハミルトニアンＨに対する一組の互いに直交するｋ＋１個（ｋは０以上２^ｎ−１以下の整数）の初期状態を決定し、
    量子ビット数ｎのユニタリー性を有する第１の量子回路Ｕ（θ）を決定し、
    第１のパラメータθ_ｉを決定して第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を量子コンピュータが有する量子ビット群に対して実行するための量子計算情報を生成し、
    前記量子計算情報に基づく前記一組の初期状態のそれぞれに対する量子計算の計算結果を記憶し、
    各初期状態に対する計算結果に基づいて式（１）に示す前記ハミルトニアンＨの期待値の和Ｌ_１（θ_ｉ）を算出し、
    前記和が最小値に近づく方向に前記第１のパラメータθ_ｉを変更して収束条件を満たした値θ^＊を記憶することを特徴とする古典コンピュータ。
    

    

    
    
    ここで、｜ψ_ｊ（θ_ｉ）＞はｊ番目の初期状態に対して第１の量子回路（θ_ｉ）を実行した後の量子状態であり、ｗ_ｊは正の係数である。
12. ハミルトニアンの励起状態を求めるための量子コンピュータであって、
    量子ビット数ｎ（ｎは正の整数）のハミルトニアンＨに対する一組の互いに直交するｋ＋１個（ｋは０以上２^ｎ−１以下の整数）の初期状態と、
    量子ビット数ｎのユニタリー性を有する第１の量子回路Ｕ（θ）と、
    第１のパラメータθ_ｉと、を含む量子計算情報に基づいて、
    第１の量子回路Ｕ（θ_ｉ）を量子ビット群に対して実行し、前記量子計算情報に基づく前記一組の初期状態のそれぞれに対する量子計算の計算結果を出力することを特徴とする量子コンピュータ。
13. 請求項１１に記載の古典コンピュータと請求項１２に記載の量子コンピュータとを備える、ハミルトニアンの励起状態を求めるためのハイブリッドシステム。

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