JPS6212483B2

JPS6212483B2 -

Info

Publication number: JPS6212483B2
Application number: JP7265879A
Authority: JP
Inventors: Kenichi Matsuda
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1979-06-09
Filing date: 1979-06-09
Publication date: 1987-03-19
Also published as: JPS55164801A

Description

【発明の詳細な説明】

プラスチツク製フレネルレンズは、ガラスレン
ズに比べて大口径、軽量、経済性の上で利点があ
り、集光レンズとして多く用いられているもので
ある。従来一般に使用されているフレネルレンズは、
そのフレネル面が平面状に構成されており、集光
レンズとしての用途の面では、球面収差が良く補
正されているけれども、軸外収差を除去すること
ができないために、像形成の目的で使用すること
はできなかつた。そこで、フレネル面をカーブさせて、軸外収差
を改良しようとする発明が、特開昭53−57054
号公報、特公昭47−3775号及び特公昭51−
14900号公報などで公開されている。しかしながら、これらの発明には、次のような
欠点がある。即ち、の発明においては、従来のフレネルレ
ンズ光学系に比し収差が減少しているとはいえ、
その補正方法は理論的でなく、実験的に求めてい
るので、収差を定量的にあらわせず、また物体距
離などの条件が変わつた場合に適用できないとい
う欠点がある。の発明においては、無収差像を形成できるの
は２組の物点が光軸上にある場合のみであり、そ
の像点も光軸上に結ぶから、集光レンズとして使
用する限りにおいて有効であるが、拡がりを有す
る物体面上のどの部分でも無収差な像を要求する
場合には不適である。の発明においては、無収差像を形成できるの
は、その物点が光軸に垂直な面内にあつて、光軸
を中心とする１個の同心円の円周上にある場合の
みであり、その像も光軸と同心な円になる。ここ
では子午面内の光線だけが無収差であり、球欠的
光束については考慮されていないから、の発明
と同様に、集光レンズとして使用する限りにおい
て有効であるが、拡がりを有する物体面上のどの
部分でも無収差な像を要求する場合には、不適で
ある。本発明は、このように従来不可能であつた軸外
のどの部分でも収差が少ない像を得るため、フレ
ネルレンズの収差理論式を求め、この式を平凸レ
ンズとフレネルレンズを組合せた系に適用し、無
収差光学系を設計しようとするものである。そこで、先ずフレネル面に関する収差理論式を
第１図ないし第４図にもとづいて導出すると次の
通りである。フレネルレンズを構成する各輪帯状屈折面は、
曲率中心をとする半径のフレネル面１即ち各
屈折面が配置される母面上に配列されているもの
とする。物点Ｏから出た光線は入射高さｈの屈折点ｑで
屈折し、その屈折光像が像点O′に到達する。任意の高さの屈折点ｑにおける法線２は定点ｃ
を通るので、各屈折面は定点ｃを中心とする半径
ｒの球面の一部と考える。ｃ及びは一直線上に
あつて共軸系を構成する。ｈ＝０におけるｒを特に近軸曲率半径といい、
これをr₀であらわす。また、屈折面の頂点Ａから物点Ｏまで及び像点
O′までの距離をｓ，s′、近軸光線に関するそれら
をs₀，s₀′とし、同じく絞り３まで及び絞りの像
３′までの距離をｚ，z′とし、近軸光線に関する
それらをz₀，z₀′とする。更に物空間及び像空間
の屈折率をｎ，n′、面間隔をd′とし、物点Ｏから
出た光線と光軸ｘが交わる角をｕ、像点O′に向
う屈折光線と光軸ｘが交わる角をu′とし、物体の
大きさをｙ、像の大きさをy′とする。距離の符号
は屈折面の頂点Ａを基準にして光線の進行方向と
同じ方向に測るとき正とし、入射高さｈについて
は光軸ｘから上方へ測るとき正とする。角度につ
いては光線から法線へまたは光線から光軸ｘへ最
小の角度で測り、その方向が時計の針の回転と同
じであれば正とする。球面レンズ系の補助量近軸光線の追跡結果から得られ、一般に用いら
れている球面系の補助量は面番号をｉとして、 Δ（１／ｎｓ）_i＝１／ｎ_ｉｓ_０ｉ−１／ｎ_ｉ′ｓ′_０ｉＱ_si＝ｎ_i（１／ｒ_０ｉ−１／ｓ_０ｉ）＝n′_i（１／ｒ_０ｉ−１／ｓ′_０ｉＱ_zi＝ｎ_i（１／ｒ_０ｉ−１／ｚ_０ｉ）＝n′_i（１／ｒ_０ｉ−１／ｚ′_０ｉ）Ｌ_i＝Ｑ_zi−Ｑ_si＝ｎ_i（１／ｓ_０ｉ−１／ｚ_０ｉ）＝n′_i（１／ｓ′_０ｉ−１／ｚ′_０ｉ） ε_i＝（ｈ_１／ｈ_ｉ）^２１／Ｑ_ｓｉ τ_i＝ε_i＋δ_i Ｐ_i＝１／ｒ_０ｉ（１／ｎ′_ｉ−１／ｎ_ｉ）である。これらに加えて _i＝１／ｒ_ｉ（１／ｎ′_ｉ−１／ｎ_ｉ）とする。球面レンズ系においては、次の関係式があり、
Ｈは絞りの中心を通る光線、即ち主光線の屈折点
ｑにおける入射高さである。Ｈ_iｈ_iＬ_i＝H_1h1L1 （１−１）Ｈ_ｉ／Ｈ_１＝ｈ_ｉ／ｈ_１（１＋L₁δ_i）（１−２）Ｈ_iＱ_zi＝H₁Q_siｈ_ｉ／ｈ_１（１＋L₁τ_i）（１−３）これらの式からＱ_ｓｉ／Ｌ_ｉ＝１／ε_ｉ（１／Ｌ_１＋τ_i）（１−４
）Ｑ_ｚｉ／Ｌ_ｉ＝１／ε_ｉ（１／Ｌ_１＋τ_i）（１−５
）Ｑ_ｓｉ／Ｑ_ｚｉ＝１＋Ｌ_１δ_ｉ／１＋Ｌ_１τ_ｉ（１−
６）以上の式を考慮して次の通り本発明の無収差フ
レネルレンズ系の各収差の式を求めると、次の通
りである。球面収差近軸光線の結像公式は、ｎ／ｓ_０−ｎ′／ｓ′_０＝ｎ
−ｎ′／ｒ_０ Δｒ＝ｒ−r₀≒ｈ^２／２（１／ｒ_０−１／ｒ）（２−
１）屈折点ｑから物点Ｏまで及び像点O′までの距離
をｐ及びp′とし、入射角、屈折角をそれぞれｉ，
i′とすれば、正弦法則よりｓｉｎｉ／ｓ−ｒ_０＝ｓｉｎθ／−ｐｓｉｎｉ
′／ｓ′−ｒ_０＝ｓｉｎθ／−ｐ′ ｐ／ｓ＝１−ｈ^２／２ｓ（１／ｒ−１／ｓ）−Δｒ／
ｓｓ′／ｐ′＝１＋ｈ^２／２ｓ′（１／ｒ−１／ｓ′）
−Δｒ／ｓ′ 従つて、ｎ（１／ｒ_０−１／ｓ）＝n′（１／ｒ_０−１／ｓ′）ｐ／ｓｓ′／ｐ′ ＝n′（１／ｒ_０−１／ｓ′）［１−ｈ^２／２ｓ（１／ｒ−１／ｓ）＋ｈ_２／２ｓ′（１／ｒ−１／ｓ′
）＋（１／ｓ−１／ｓ′）Δｒ］［］内の第２項以下は補正項であるから、ｎ（１／ｒ−１／ｓ）≒Ｑ_s とすれば、ｎ／ｓ−ｎ′／ｓ′＝ｎ−ｎ′／ｒ_０＋ｈ^２／２Ｑ_s ^２Δ（１／ｎｓ） −Ｑ_s（１／ｓ−１／ｓ′）Δｒ球面収差をΔｓ，Δs′とすれば、ｓ＝s₀＋Δｓ、
s′＝s′₀＋Δs′ ∴ｎ／ｓ_０ ^２Δｓ−ｎ′／ｓ_０′^２Δs′ ＝−ｈ^２／２Ｑ_s ^２［Δ（１／ｎｓ）−（Ｐ−）］
（２−２）屈折面がｋ個あり、Δs₁＝０であれば、（２−
２）式の辺々を加えて、ここで（ｈ_ｉ／ｈ_１）⁴Q^２ _ｓｉ［Δ（１／ｎｓ）_i−（Ｐ−
）_i］＝Ａ_i（２− ３）であらわすと、球面収差がない条件は、〓Ａ_i＝０コマ収差第２図において軸外の物点と球心ｃを通る直
線をとし、軸とr₀面との交点までの高さを
h₀とする。また物点から出た光線は軸から高
さのｑで屈折した後、像点′に至る。角度そ
の他の量については図示の記号を用いる。（２−２）式よりｎ／_０ ^２Δｓ−ｎ′／ｓ′_０ ^２Δs′ ＝−ｈ^２／２Ｑ^ｓ _２Δ（１／ｎｓ）＋（ｈ＋ｈ_０）^２／２Ｑ^ｓ _２（Ｐ−） cosθ≒１−ｈ_０ ^２／２ｒ_０ ^２とすれば、 Δ＝Δｓ−ｈ_０ ^２／２ｓ_０−ｒ_０／ｒ_０ ^２同様に、 Δ′＝Δs′−ｈ_０ ^２／２ｓ′_０−ｒ_０／ｒ_０ ^２ ∴ｎ／ｓ_０ ^２Δ−ｎ′／ｓ′_０ ^２Δ′＝ｎ／ｓ_０ ^２Δｓ−ｎ′／ｓ′_０ ^２Δs′−ｎｈ_０ ^２／２ｓ_０−ｒ_０
／ｓ_０ ^２ｒ_０ ^２＋ｎ′ｈ_０ ^２／２ｓ′_０−ｒ_０／ｓ′_０ ^２ｒ_０ ^２＝−ｈ^２／２Ｑ_s ^２［Δ（１／ｎｓ）−（Ｐ−）］＋h₀Q_s ²（Ｐ−）−ｈ_０ ^２／２Ｑ_s ^２（３−１）横倍率βは、β＝ｙ′／ｙ＝ｓ′−ｒ_０／ｓ−ｒ_０＝
ｎｐ′／ｎ′ｐここで、ｐ＝ｓ［１−ｈ^２／２ｓ（１／ｒ−１／ｓ）＋Δｒ／ｓ］≒s₀（１＋ｈ_０ ^２／２ｎｒ_０Ｑ_s＋Δｓ／ｓ_０）（１−
ｈ^２／２ｎｓ_０Ｑ_s＋Δｒ／ｓ_０） p′≒s′₀（１＋ｈ_０ ^２／２ｎ′ｒ_０Ｑ_s＋Δｓ′／ｓ′_０）（１−ｈ^２／２ｎ′ｓ′_０Ｑ_s＋Δｒ／ｓ′_０） ∴β＝ｎｓ′_０／ｎ′ｓ_０［１＋ｈ^２／２Ｑ_sΔ（１／ｎｓ）＋ｈ_０ ^２／２Ｑ_sＰ−（Δｓ／ｓ_０−Δｓ′／ｓ′_０）−（１／ｓ_０−１／ｓ′_０）Δｒ］ β_０＝ｎｓ′_０／ｎ′ｓ_０（１／ｓ_０−１／ｓ′_０）Δｒ＝（ｈ＋ｈ_０）^２／２Ｑ_s（Ｐ−）これより、 β／β_０１＋ｈ^２／２Ｑ_s［Δ（１／ｎｓ）−（Ｐ−）］−h₀Q_s（Ｐ−）＋ｈ_０ ^２／２Ｑ_s−（Δｓ／ｓ_０−Δｓ′／ｓ′_０）Ｑ_z−Ｑ_s＝Ｌとおくと、 Δｓ／ｓ_０−Δｓ′／ｓ′_０＝１／Ｌ（ｎ／ｓ_０ ^２Δ−ｎ′／ｓ′_０ ^２Δ′）−Δｓ／ｚ_０−ｓ_０＋Δｓ′／
ｚ′_０−ｓ′_０ ∴β／β_０＝１＋ｈ^２／２Ｑ_ｚＱ_ｓ／Ｌ［Δ（１／ｎｓ）−（Ｐ−）］−h₀Ｑ_ｚＱ_ｓ／Ｌ（Ｐ−）＋ｈ_０ ^２／２Ｑ_ｚＱ_ｓ／Ｌ＋Δｓ／ｚ_０−ｓ_０−Δｓ′／ｚ′_０−ｓ′_０（３−２）フレネル面が複数個あれば、 −_i＝θ_i−θ_i-1−′_i-1 β_i＝ｎ_ｉｓ′_ｉ／ｎ′_ｉｓ_ｉ従つて、ｈ_ｉ／ｓ_ｉ＝θ_i−θ_i-1 ＋１／β_ｉ−１ｎ_ｉ−１／ｎ′_ｉ−１ｈ_ｉ−
１／ｓ_ｉ−１ここで、ｈ_１／ｓ_１＝ｈ_１／ｓ_１とすれば、 β_i,k＝β_iβ_i+1 ……β_k≒ｎ_ｉ／ｎ′_ｋｓ′_ｋ／ｓ_ｉ
ｈ_ｉ／ｈ_ｋｈ_ｉ／ｓ′_ｉ＝ｈ_ｉ＋１／ｓ_ｉ＋１ θ_i＝ｙ_ｉ
／ｓ_ｉ−ｒ_０ｉこれらから次の結果が導かれる。 _i＝ｈ_i［（ｓ_ｉ／ｓ_ｉ−ｒ_０ｉ−１）ｙ_ｉ／ｈ_ｉ＋（１／ｈ_ｉ−１／ｈ_ｉ−１）ｙ_i＋（１／ｈ_ｉ−１−１／ｈ_ｉ−２）ｙ_i-1…−（ｓ_１／ｓ_１−ｒ_０１−１）ｙ_１／ｈ_１＋１］ラグランジユヘルムホルツの定理より、 n₁u₁y₁＝ｎ_iｕ_iｙ_i 従つて、（ｓ_ｉ／ｓ_ｉ−ｒ_０ｉ−１）ｙ_ｉ／ｈ_ｉ＝−ｎ_１ｕ_１ｙ_１／ｈ_１ ^２ε_i （１／ｈ_ｉ−１／ｈ_ｉ−１）y₁≒−ｎ_１ｕ_１ｙ_１／ｎ
_ｉｈ_ｉ−１ｈ_ｉd′_i-1 そして、ｎ_１ｙ_１／ｓ_１＝ω_１とおくと、 _i＝ｈ_ｉ／ｈ_１［h₁−（ε_１−τ_i）ω_１］ｈ_0i ＝−ｈ_１ω_１／ｈ_ｉＱ_ｓｉ第１面において入射光線と入射瞳との交点の光
軸からの高さを_１とすれば、 h₁＝_１＝_１−ｎ_１Ｈ_１／ｓ_１Ｌ_１＋Ｑ_ｚ１ω_１／
Ｑ_ｓ１Ｌ_１ s₁が十分大きければ第２項は消えるから、 _i＝ｈ_ｉ／ｈ_１［H₁＋（１／Ｌ_１＋τ_i）ω_１］ Δ_１＝０とすれば、（１−５），（２−３）式
により（３−２）式は、（３−１）式において、Δ_i＝０とすれば、
Δ′_iが求められるが、この収差は（ｉ＋１）番
目以下の縦倍率α α_i+1,k＝ｎ′_ｉ／ｎ′_ｋ（ｓ′_０ｋ／ｓ′_０ｉｈ_ｉ／ｈ_ｋ）^２により拡大されて最後の像面において、 Δ′_k,i＝Δ′_iα_i+1,kの収差になる。全系を通しての収差は、ただし、ｇ＝１／ｎ′_ｋ（ｈ_１／ｈ_ｋ）^２ｓ′_０ｋ ^２／ｚ′_０ｋ−ｓ′_０ｋを含まない項をａ，ｂとすれば、（３−３）式
はいまであると、

【式】となり、±_１に対してΔ′_kは等値になる。さらに（３−４）式において±_１に対する
y′_kの平均値を′_kとすれば、 β／β_０＝ｙ′_ｋ／ｙ′_０ｋ＝Δｓ′_ｋ／ｓ′_０ｋ−
ｚ′_０ｋ＋ａ即ち、′_kはΔ′_kの１次関数になり、直線の
勾配y′_0k／（s′_0k−z′_0k）は主光線の勾配と近似的
に等しいから、光線束は主光線を中心として対称
性を有することになる。従つて（３−５）式はコ
マ収差を除去するための条件である。非点収差１個の輪帯は定点ｃを中心とする半径ｒの球面
の一部と考えれば、その回転対称性から物点_s
より出る球欠的光束は直線_sｃ上にある。第３
図のように主光線の入射高さをＨとし、入射光線
と及びｑとの交角をｉ及びｊとし、屈折光
線についてはi′及びj′とし、またとｑ及び_s
ｃが光軸ｘと交わる角を各θ，，ωとし、ｑ
_s＝ｐ_s，ｑ′_s＝p′_sとすれば、ｐ_scosi−ｒ＝ｃ_scos（θ−ω） p′_scosi′−ｒ＝ｃ′_scos（θ−ω） ∴ｎ／ｐ_ｓ−ｎ′／ｐ′_ｓ＝１／ｒ（ncosi−n′cosi′
）（４−１）子午的光束は隣り合う輪帯を通過する２本の光
線を考え、その間隔を微小量dhとする。ｑ_n＝ｐ_n，ｑ′_n＝p′mとすれば、ｄ_i＝ｄ_u−ｄθ ＝［１／ｒcos（ｉ−ｊ）−１／ｐ_ｎcosj］dh ｄ_i′＝ｄ_u′−ｄθ ＝［１／ｒcos（ｉ−ｊ）−１／ｐ′_ｎcosj′］d
h ncosidi＝n′cosi′di′の関係からｎ／ｐ_ｎcosicosj−ｎ′／ｐ′_ｎcosi′cosj′＝ｃｏｓ（ｉ−ｊ）／ｒ（ncosi−n′cosi′）これと（４−１）式からｎ／ｐ_ｓ−ｎ′／ｐ′_ｓ≒ｎ／ｐ_ｎ（１−tanitanj）−ｎ′／ｐ′_ｎ（１−tani′tanj′）（４−２）いま、ｐ_s−ｐ_n＝δ，p′_s−p′_n＝δ′とし、δが
小さければ、１／ｐ_ｓ＝１／ｐ_ｎ−δ／ｐ_ｎ ^２１／ｐ′_ｓ＝１／ｐ′_ｎ−δ′／ｐ′_ｎ ^２これと（４−２）式よりｎ／ｐ_ｎ ^２δ−ｎ′／ｐ′_ｎ ^２δ′＝ｎ／ｐ_ｎtanitanj−ｎ′／ｐ′_ｎtani′tanj′ ｐ_n≒s₀，p′_n≒s′₀，tani≒tanu−tanθと考えて
よい範囲では、ｎ／ｓ_０ ^２δ−ｎ′／ｓ′_０ ^２δ′ ＝H²Q_z ²（１／Ｎ_ｚｓ_０−１／Ｎ′_ｚｓ′_０）（４−３）但し、１／Ｎ_ｚ＝１／Ｑ_ｚ（１／ｒ−１／ｚ_０）１／Ｎ′_ｚ＝１／Ｑ_ｚ（１／ｒ−１／ｚ′_０）物体の大きさをｙとすれば、Ｑ_z−Ｑ_s＝ｎｙ／ｓ_０Ｈ＝ｎ′ｙ′／ｓ′_０Ｈこれと（４−３）式より δ／ｎｙ^２−δ′／ｎ′ｙ′^２＝（Ｑ_ｚ／Ｌ）^２（１／Ｎ_ｚｓ_０−１／Ｎ′_ｚｓ′_０）（４−3′）１／ｎｚ_０−１／ｎ′ｚ′_０＝Ｑ_ｚ／Ｑ_ｓΔ（１／ｎ
ｓ）＋Ｌ／Ｑ_ｓＰ（４−４）これより１／Ｎ_ｚｓ_０−１／Ｎ′_ｚｓ′_０＝Δ（１／ｎｓ）−
Ｑ_ｓ／Ｑ_ｚ（Ｐ−）である。屈折面が複数個あれば、添字ｉを付けて１／Ｎ_ｚｉｓ_０ｉ−１／Ｎ′_ｚｉｓ′_０ｉ＝Δ（１／ｎｓ）_i−（Ｐ−）_i＋Ｌ_１ε_ｉ／１＋Ｌ_１τ_ｉ（Ｐ−）
_i（４−５）（４−3′）式は辺々を加え δ_１＝０であれば、非点収差がないためにはδ′_k
＝０であるから右辺の和がゼロであればよい。右辺は（１−５），（４−５）式などにより歪曲収差フレネル面頂点Ａから絞り３とその像３′まで
の距離をそれぞれｚ，z′、近軸光線によるそれを
z₀，z′₀、球面収差をΔｚ，Δz′とすれば、ｚ＝z₀＋Δｚ，z′＝z′₀＋Δz′ 近軸光線による倍率をβ_０とすれば、 β_０＝（ｚ′_０−ｓ′_０）ｚ_０／（ｚ_０−ｓ_０）ｚ′
_０ Δｚ／ｚ_０−Δｚ′／ｚ′_０＝−１／Ｌ（ｎ／ｚ_０ ^２Δｚ−ｎ′／ｚ′_０ ^２Δz′）＋Δｚ／ｚ_０−ｓ_０−Δｚ′／ｚ′_０−ｓ′_０これと（２−２）式より β＝β_０｛１＋Ｈ^２Ｑ_ｚ ^２／２Ｌ［Δ（１／ｎｚ） −（Ｐ−）］−Ｈ^２／２Ｑ_z｝屈折面がｋ個あれば、 β₀₁β₀₂……β_0k＝〓β_0iとしてここで（１−１），（１−３）式を考えると、（Ｈ_ｉ／Ｈ_１）^２Ｑ_ｚｉ ^２／Ｌ_ｉ［Δ（１／ｎｚ）_i−（Ｐ−）_i−Ｌ_ｉ／Ｑ_ｚｉ _i］＝１／Ｌ_１ε_ｉ ^２（１
＋Ｌ_iτ_i）^３［Ｑ_ｓｉ／Ｑ_ｚｉΔ（１／ｎｚ）_i −（Ｐ−）_i−Ｑ_ｓｉ／Ｑ_ｚｉ ^２Ｌ_iＰ_i＋（１−Ｑ_ｓｉ ^２／Ｑ_ｚｉ ^２）（Ｐ−）_i］に変形できる。さらに（４−４）式より［］内
は Δ（１／ｎｓ）_i−（Ｐ−）_i＋Ｌ_ｉ／Ｑ_ｚｉＰ_i−Ｑ_ｓｉ／Ｑ_ｚｉ ^２Ｌ_iＰ_i＋（１−Ｑ_ｓｉ ^２／Ｑ_ｚｉ ^２）（
Ｐ−）_i ＝Δ（１／ｎｓ）_i−（Ｐ−）_i＋（Ｌ_１ε_ｉ／１＋Ｌ_１τ_ｉ）^２ _i＋２（Ｌ_１ε_ｉ／１＋Ｌ_１τ_ｉ）（Ｐ−
）_i 結局（５−１）式は従つて歪曲収差がない条件は像面湾曲物体面及び像面の曲率半径をＲ，R′とする。
Ａ点を原点にとると、軸外の物点、像点′、
屈折点ｑの座標は、 ……（s₀＋ｙ^２／２Ｒ，ｙ） ′……（s′₀＋ｙ′^２／２Ｒ′，y′）ｑ……（Ｈ_２／２ｒ，Ｈ）球欠的光束は（４−１）式よりｎ／ｐ_ｓ−ｎｃｏｓｉ／ｒ＝ｎ′／ｐ′_ｓ−ｎ′ｃｏ
ｓｉ′／ｒ（６−１）ｐ_s ^２＝（s₀＋ｙ^２／２Ｒ−Ｈ^２／２ｒ）^２＋（ｙ−
Ｈ）^２ ∴１／ｐ_ｓ≒１／ｓ_０［１−ｙ^２／２Ｒｓ_０＋Ｈ^２／２ｒ_０ｓ_０−（ｙ−Ｈ）^２／２ｓ_０ ^２］−Ｈ^２／２ｓ_０ ^２（
１／ｒ_０−１／ｒ） cosi≒１−ｉ^２／２，ｉ≒Ｈ（１／ｒ_０−１／ｚ_０）ｒ＝r₀＋Ｈ^２／２（１／ｒ_０−１／ｒ）これらから（６−１）式の左辺はｎ／ｓ_０−ｎ／ｒ_０−Ｈ^２Ｌ^２／２ｎＲ＋ｎＨ^２／２［１／ｒ_０ｓ_０ ^２−１／ｓ_０ｚ_０ ^２＋１／ｒ_０（１／ｒ_０−
１／ｚ_０）^２］＋ｎＨ^２／２（１／ｒ_０−１／ｒ）（１／ｒ_０ ^２−１／ｓ_０ ^２）＝−Ｑ_s−Ｈ^２Ｌ_２／２ｎＲ＋Ｈ^２／２［Ｌ^２／ｎｒ_０−Ｑ_ｚ ^２／ｎｓ_０＋１／ｒ_０ ^２（2Q_z−Ｑ_s）］＋Ｈ^２／２
Ｑ_s（１／ｒ_０＋１／ｓ_０）（１／ｒ_０−１／ｒ）右辺は同様にして −Ｑ_s−Ｈ^２Ｌ^２／２ｎ′Ｒ′＋Ｈ^２／２［Ｌ^２／ｎ′ｒ_０−Ｑ_ｚ ^２／ｎ′ｓ_０′＋１／ｒ_０ ^２（2Q_z−Ｑ_s）］＋
Ｈ^２／２Ｑ_s（１／ｒ_０＋１／ｓ_０′）（１／ｒ_０−１／ｒ）辺々相引いて１／ｎ′Ｒ_ｓ′−１／ｎＲ_ｓ＝（Ｑ_ｚ／Ｌ）^２Δ（１
／ｎｓ）＋Ｐ−（Ｑ_ｓ／Ｌ）^２（Ｐ−）（６−２）屈折面がｋ個あれば従つてＲ_s1＝∞であれば、球欠的像面湾曲がな
いためには、上式の右辺がゼロになればよい。子午的光束は（４−２）式よりｎ／ｐ_ｎ（１−tanitanj）−ｎ／ｒcosi ＝ｎ′／ｐ′_ｎ（１−tani′tanj′）−ｎ′／ｒcosi
′(6-4) tanitanj≒H²（１／ｒ_０−１／ｚ_０）（１／ｒ−１／
ｚ_０）であるから、球欠的光束の場合を参考にすると、
（６−４）式の左辺は −Ｑ_s−Ｈ^２Ｌ^２／２ｎＲ＋Ｈ^２／２［Ｌ_２／ｎｒ_０−Ｑ_ｚ ^２／ｎｓ_０＋１／ｒ_０ ^２（2Q_z−Ｑ_s）］＋Ｈ^２／２Ｑ_s（１／ｒ_０＋１／ｓ_０）（１／ｒ_０−１／ｒ）−Ｈ_２／ｓ_０Ｑ_z（１／ｒ−１／ｚ_０）（６−４）式の右辺も同様にして求め、辺々相引
くと１／ｎ′Ｒ′_ｎ−１／ｎＲ_ｎ＝（Ｑ_ｚ／Ｌ）^２［Δ（１／ｎｓ）＋２（１／Ｎ_ｚｓ_０−１／Ｎ′_ｚｓ′_０）］＋Ｐ
−（Ｑ_ｓ／Ｌ）^２（Ｐ−）屈折面がｋ個あれば、（６−２）式より従つてＲ_n1＝∞であれば、子午的像面に湾曲が
ないためには、上式の右辺がゼロであればよい。上記説明した各収差をまとめると、球面収差Ｓ(1)＝ΣＡ_i＝Σ１／ε_ｉ ^２［Δ（１／ｎｓ）_i−（Ｐ−）_i］子午的像面湾曲Ｓ(3)＝３Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）²A_i＋Σ_i＋４Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）（Ｐ−Ｐ／ε）_i 球欠的像面湾曲Ｓ(4)＝Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）²A_i＋Σ_i＋２Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）（Ｐ−Ｐ／ε）_i 歪曲収差Ｓ(5)＝Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）³A_i＋Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）_i＋２Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）^２（Ｐ−
Ｐ／ε）_i 平均的像面湾曲Ｓ(3)＋Ｓ(4)／２＝２Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）²A_i＋Σ_i＋３Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）（Ｐ−Ｐ／ε
）_i 非点収差Ｓ(3)−Ｓ(4)／２＝Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）²A_i＋Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）（Ｐ−Ｐ／ε）_i (1) ここでΣは面番号を１からｋまでとすれば、〓
の意味である。各収差をゼロにするためには、上記の式の右辺
をゼロにすればよい。コマ収差を除去する条件は Σ（１／Ｌ_１＋τ_i）Ａ_i＝−Σ（Ｐ−Ｐ／ε）_i＝０屈折面が通常の球面であれば、_i＝Ｐ_iである
から、これらの式の最後の項は消えてザイデルの
三次収差式を与えることが直ちにわかる。以下本発明によつて開示した三次収差式を薄い
レンズに適用してみる。それは１個のフレネル面
を有する単一レンズにおいてs₀₁＝∞の場合に球
面収差だけを除去する例である。第４図示のように第１面をフレネル面、第２面
を球面とし、_１＝s′₀₁＝f′とし、更に_１とr₀₂
の曲率中心を第１面の焦点F′₁に一致させればＳ
(1)＝０になり、高次の項まで球面収差がない集光
レンズを実現できる。第１面を平面、第２面をフレネル面とする場合
には、第５図のように_２＝s′₀₂＝f′とすれば、
同様に球面収差がない集光レンズが得られる。反
射鏡の場合には、同様に＝s′₀とする。実施例本発明の実施例を示すと、これはコマ収差がな
いレンズ系Ｌ_nに対して球面収差と像面湾曲を同
時に除去する場合である。コマ収差がないレンズ系Ｌ_nの球面収差をＳ(1)_n
とし、子午的像面湾曲、球欠的像面湾曲及び平均
的像面湾曲のうちの１収差をＳ（３，４）_nであら
わす。そして第７図示のように半径が_gのフレ
ネル面を有する１個の薄いレンズＬと半径が
_jのフレネル面を有する１個の薄いレンズＬを
Ｌ_nと共軸に配置し、レンズＬとＬの屈折球
面の近軸曲率半径r₀をｒ_0g＝ｒ_0g+1，ｒ_0j＝ｒ_0j+1 とし、さらにr₀の曲率中心をＬ_nの入射瞳に共役
な点に一致させる。曲率中心が入射瞳に共役であると、レンズＬ
とＬの各面については１／Ｌ_１＋τ_i＝０が成立つ。全系として球面収差がないためには、ＬとＬ
の球面収差の合計とＬ_nの球面収差Ｓ(1)_nとが打
消し合えばよい。即ちここで、Ｑ_sg＝Ｑ_sg+1 Ｑ_sj＝Ｑ_sj+1 Δ（１／ｎｓ）_g＝−Δ（１／ｎｓ）_g+1 Δ（１／ｎｓ）_j＝−Δ（１／ｎｓ）_j+1 であるから、Ｓ(1)_n＝１／ε_ｇ ^２（Ｐ−）_g ＋１／ε_ｊ ^２（Ｐ−）_j また全系としてコマ収差がないためには、Ｌ_nに
コマ収差がないのであるから、レンズＬとＬ
についてのみコマ収差を除去すればよい。即ち、（Ｐ−Ｐ／ε）_g＝−（Ｐ−Ｐ／ε）_j であるから、 ∴Ｓ(1)_n＝（１／ε_ｇ−１／ε_ｊ）（Ｐ−Ｐ／ε）_g さらに像面湾曲がないためには、レンズＬと
Ｌの像面湾曲の合計とＬ_nの像面湾曲Ｓ（３，
４）_nとが打消し合えばよい。即ち、そして(2)式を定めれば、_g及び_jを算出でき
る。ε_g＝ε_g+1，ε_j＝ε_j+1であるから、フレネ
ル面がｇ＋１面あるいはｊ＋１面であつても(2)式
が成立する。本発明の実施例では、コマ収差がないレンズ系
Ｌ_nとして平凸レンズを選び、これに(2)式を適用
する。いま第６図示のように第１面による絞りの像が
第２面の曲率中心に一致する１個の平凸レンズの
場合、子午面の光線追跡結果は第１表の通りであ
る。この表から主光線に関する光線の対称性によ
つてコマ収差はないが、球面収差と像面湾曲が大
きいことがわかる。そこでこの収差を改良するため、いま、２個の
薄いフレネルレンズの各曲率中心を絞りの位置に
一致させて対称形に配置し、その後に平凸レンズ
を置く。面番号を第８図のようにr₀₁〜r₀₆とし、_２，
_３面をフレネル面とし、さらに、 r₀₁＝r₀₂＝−r₀₃＝−r₀₄ d′₁＝d′₃＝０ n₁＝n₃＝n₅＝n₇ n₂＝n₄ とすれば、 ε_１＝ε_２＝−ε_３＝−ε_４＝ｒ_０１／ｎ_１Ｓ(1)_n＝A₆＝（ｎ_６／ｎ′_６）^２ｎ_６−ｎ′_６／ｒ_０
６ ^３Ｓ（３，４）_n＝P₆＝ｎ_６−ｎ′_６／ｎ_６ｎ′_６ｒ_０
６従つて、(2)式から像面湾曲がない条件のより１／ｒ_２＝−１／ｒ_３＝１／ｒ_０２＋ｎ_１ｎ′_１Ｐ_６／２（ｎ_１−ｎ′_１）このように構成されるレンズ系は、歪曲収差以
外の収差が良好に補正される。第２表にその収差
を示す。大きな画角でもコマ収差が小さく、画面
の平坦性を示している。以上に説明した通り、フレネルレンズの収差を
理論的に解明することによつて、従来不可能であ
つた収差が少ないフレネルレンズ系を設計するこ
とが可能になり、またその理論式はザイデルの三
次式に似た形になつているため、フレネル面と球
面との合成レンズ系の収差を論じる場合にも、そ
の見通しを容易にする。そしてこの理論式を本発
明に適用する場合には、簡単なレンズ構成で収差
が少ないレンズ系やプラスチツクの材質から軽量
なレンズ系を実現でき、その用途は集光レンズ系
や高い像質を要求しない投影光学系に適当であ
る。

【図面の簡単な説明】

第１図はフレネルレンズの収差理論式を導出す
るための説明図であり、同時に理論式に使用され
る記号を図示したものである。第２図はコマ収差
の説明図、第３図は非点収差の説明図、第４図な
いし第８図はいずれも子午面の断面図であり、屈
折面のうち実線は球面または平面を、点線はフレ
ネル面をそれぞれあらわしている。第４図は球面
収差がない集光レンズを示し、その第１面はフレ
ネル面、第２面は球面より構成されている。第５
図は同じく球面収差がない集光レンズを示し、第
１面は平面、第２面はフレネル面より構成され
る。第６図は従来のコマ収差がない平凸レンズを
示す図、第７図はコマ収差がない一般レンズ系Ｌ
_nに２個のフレネル面を付加して全系として球面
収差と像面湾曲を同時に除去する場合のレンズ系
を示し、第８図は本発明の実施例を示すもので、
平凸レンズの前側に２個のフレネル面を付加して
球面収差と像面湾曲を同時に除去する場合のレン
ズ系を示す。１……フレネルレンズの各輪帯状屈折面、３…
…絞り、３′……絞りの像。

【表】

Claims

【特許請求の範囲】１平凸レンズＬ_nの平面である第１面の前側に
絞りを置き、第１面による絞りの像が第２面の曲
率中心に一致するように構成し、更に半径が_g
のフレネル面を有する１個の薄いレンズと半径が
_jのフレネル面を有する１個の薄いレンズを共
軸に配置し、これら２個の薄いレンズの屈折面の
中心が絞りの中心に一致するように構成し、かつ
平凸レンズＬ_nの球面収差をＳ(1)_n、像面湾曲をＳ
（３，４）_nで表わすとき、１／ε_ｇε_ｊ＝−Ｓ(1)_ｎ／Ｓ（３，４）_ｎの条件を満足するようにフレネル面半径を選ぶ
ことにより全系として球面収差、像面湾曲及びコ
マ収差を除去した無収差フレネルレンズ系。