JPS6197746A - 乱数発生装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 ［産業上の利用分野コ この発明はシフトレジスタ回路を利用した乱数発生装置
に関し、とくに簡易な構成でありながら性質の良好な乱
数を発生できるようにしたものである。

［従来技術］ 近年Ｍ系列発生器（Ｍａｘｉｍｕｍ　Ｌｅｎｇｔｈ　Ｓ
ｈｉｆｔＲｅｇｉｓｔｅｒ　５ｅｑｕｅｎｃｅ　Ｇｅｎ
ｅｒａｔｏｒ）を利用した一様乱数発生装置、が着目さ
れている１Ｍ系列発生器はその係数多項式をガロア体上
の原始多項式に選んだものであり、出力される数列の周
期を係数多項式が同一次数の範囲で最大にするものであ
る。もちろんＭ系列発生器から発生される数列からその
要素をどのように取り出して乱数に用いるかについては
留意する必要がある。たとえばＭ系列（ａ、）から（ａ
ｊＳ”ｊａＪ＋Ｊ−（ａｊ＋１＊””＋ａｊ＋ｘ＋ｚＬ
（ａｊ＋ｚ＋・・・ｙ　ａ　Ｊ　＋　ｋや２）トいうよ
うに乱数を選んでいくと、継続する乱数間に強い関連性
が生じ不適切である。

Ｍ系列から一様乱数を発生させる主たる手法としてはＴ
ａｕｓｗｏｔ＝ｔｈｅの方法とＬｅｗｉｓ及びＰａｙｎ
ｅの方法とが知られている。

Ｔａｕｓｗｏｒｔｔｌｅの方法では１Ｍ系列（ａ＋）の
継続するＱＣ＜、ｐ、ただしＰは糸数多項式の次数）個
の要素の並べて、Ｑビットの２進小数 Ｖ・＝Ｏ，ａ　ｃｒ　ｌ今ｒ−１ａ　’　ｔ４Ｆ−２°
”ａ＋ｔ＊ｒ−１を得、これを乱数とするものである。

なおσはＭ系列から相続く２個の要素を取り出す間隔で
ある。

この手法の概要を第５図に示す。このように生成された
乱数ではＭ系列の周期Ｔと間隔σとを互いに素に選ぶと
（Ｗ、）の周期もＴとなり、またその−周期中にはＯが
２′１回ずつ現われる、従ってｐが悲より十分大きけれ
ばこの乱数は一様に分布することがわかる。

Ｌｅｗｉｓ及びＰａｙｎｅ方法は特性方程式としてｆ　
（Ｄ）＝ＤＰ＋Ｄ’＋１　（Ｐ＞（１）を用い、これに
よって生成されるＭ系列（ａｌ）の位相を適当にずらし
たものを並べて、２進小数ｗ＋＝ｏ、ａ＋”＋＋τ！”
’ａｌ＋ｆ３を得、これを乱数とするものである。この
手法の概要を第６図に示す、この手法のＭ系列（ａ、）
は漸化式 ％式％） を満たし、この結果（ｗ、）は漸化式 ｗ　、　＝＝　ｗ　、−、ｅｙ　Ｉ−ｑで生成できる。

ただしｅはビットごとの排他的論理和である。

しかしながら上述２つの手法には重大な欠点がある。即
ちＴａｕｓｗｏｒｔｈｅの方法では乱数発生に要する時
間が長くなってしまう、またＬｅｖｉｓ及びＰａｙ？１
ｅの方法では一様性が不明となる欠点がある。この方法
自体からは乱数の一様性が保証されていず、そのため一
様性があるのかないのかを吟味する必要がある。

［発明が解決しようとする問題点コ この発明は以上の事情を考慮してなされたものであり、
Ｍ系列発生器等のシフトレジスタ回路から出力される数
列をシャラフリングして出力する乱数発生装置であって
、その構成から乱数の性質を知ることができ、このため
その性質についての吟味をする必要がなく、かつ乱数発
生の所要時間が短かいものを提供することを目的として
いる。

この発明はより具体的にはＭ系列発生器を利用して性質
のすぐれた乱数を簡易に生成する乱数発生装置を提供す
ることを目的としている。

［問題点を解決するための手段］ この発明は以上の目的を達成するために、ｍｌ　Ｉ　Ｉ
Ｉ及び０″を要素とする数列を発生するシフトレジスタ
回路と、このシフトレジスタ回路からのパラレルな出力
Ａを受取りＡＸＧの行列積を実行する行列積回路とを有
している。ただし、ＡはベクトルＧは行列である。

［実施例］ 以下この発明の一実施例について説明しよう。

第１図はこの実施例を示すものであり、この図において
シフトレジスタ回路１は７ステージのシフトレジスタ２
及びエクスクル−シブ・オア回路３からなっている。こ
のシフトレジスタ回路１の特性方程式はｆ（Ｄ）＝Ｄ’
＋Ｄ’＋１である。シフトレジスタ回路１は明らかにＭ
系列発生器であり。

２７−１の周期を有する。

シフトレジスタ２の各ステージからの出力は行列積回路
４にパラレルに供給されている。この行列積回路４は行
列Ｇ で表わすことができる。シストレジスタ２の各ステージ
からの出力の成分をａ、（ｉ＝ｏ〜６）とすれば行列積
回路４の出力ｂｊ（Ｊ＝Ｏ〜６）はｂＪ＝Σａ、　ｇ　
Ｊ’ｌ　（ｍｏｄ２）である。ただし、ｇＪ＋は行列Ｇ
の成分である。行列積回路の出力は一旦ラツチ５にラッ
チされたのち２進小数乱数Ｗｗ＝Ｏ１ｂｏｂ１・・・ｂ
＆ として出力される。

なお行列積回路４は例えば第２図に示すように構成する
ことができる。この図において６はエクスクル−シブ・
オア回路、７は行信号線、８は列信号線である。

この乱数発生装置から発生する乱数の性質を理解するた
めに２次元での分布を求めた。これを第３図に示す。２
次元の分布とは継続する乱数（Ｗ＋。

Ｗ、。□）の分布を調べたものである。図に示す分布に
は規則性がなく、かつ一様性があることが明らかである
。このことは継続する２つの乱数の関連性がなく、しか
も乱数の発生確率が特定のものにかたよらないことを意
味するにの乱数発生装置の乱数がすぐれた性質を有する
ことがわかる。

このことの詳細はのちに理解される。つぎに行列Ｇの意
味について考察を加えることにする。

結論から言えば行列Ｇによって生成される乱数は７ビツ
トの漸近的なしｅｗｉｓ及びＰａｙｎｅの乱数であるＣ
漸近的乱数（ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ　ｒａｎｄ
ｏｍ　ｎｕｍｂｅｒ）の意味はのちに理解される。

まずに次均等分布（ｋ−ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）の
概念を導入しよう。この概念は乱数の一様性の目安とな
るものである。

１口通 乱数（Ｗ、）の継続するに個の要素を座標成分とする点
をＸ、とするとき、ｋ次元超立方体内の任意の点Ｘ（座
標成分がＱビットの２進小数で表わせるもの）に対して
ｐ　（ｘ、＝ｘ）＝２−’真が成立するとき乱数（Ｗ、
）はに次均等分布をするという。ここで確率ｐは１周期
全体にわたる相対頻度を意味する。

座標成分がＱ′？：″ットで１次元がｋであるから超立
方体内の点は２１に個である。ｐ　（ｘ’、＝ｘ）　＝
２−ｋｆｉであれば乱数（Ｗ、）が各点Ｘに均等に分布
することは明らかである。

Ｍ系列に基づく系列（ｗｌ）の分布に即して言えば、に
次均等分布をつぎのように言うことができる。

一定腹 （Ｗ　＋　ｔ　Ｗ　＋＋１　ｔ　””ｔ　Ｗ　＋＋に一
１’）をに１２組と見なすとき、１周期にすべての成分
が０の組は２Ｆ−１−１゛回、他のすべてのパターンは
いずれも２Ｐ−に懺回出現するならば、（ｗ、）はに次
均等分布をする（このことからｐ＜、ｋＱであることは
明らかである）。

ｋ個の継続する乱数を用いてシミュレーションを行うと
きに次均等分布が肝要となることは明らかであろう。

さてＬｅυｉｓ及びＰａｙｎｅの乱数かに次均等分布で
あるためには、乱数Ｗ’ｌを Ｗ　ｌ”　ＯＴ　　ａ　Ｊｔ＊＋　８　、、、、ｓ拳＋
＋　ａ　Ｊ１＋＋△ とし、ｋ　＝　Ｌ　Ｐ　／　Ｑ　Ｊとして、次の行列Ｇ
の各行ベクトルが線形独立になることが、必要十分であ
る（このことについてはＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ
　ｏｆ　ｔｈｅＡＣＭ　Ｖｏｌ、２６．　ｐｐ５１６−
５２３を参照されたい）。

ただしくａ、）はＭ系列、ｐはＭ系列の特性方程式の次
数、Ｌｐ／１２Ｊはｐ　／　Ｑを超えない最大の整数、
Ａ、は（ａ＋ａ＋や、・・・・）である。

このことをｐ＝７．Ｑ＝７の乱数に適用する。

まずに＝ＬＬ／ＩＪ＝１である。そして△ を満たすＧ７の行ベクトルが線形独立であればよ△ い。なおＧ７のサフィックス７は悲＝７であることを示
す。

他方第１図の実施例の乱数は 行ベクトルが線形独立なことは明らかである。このこと
から行列式回路４から出力される乱数（ａ　ｊｘ　ａ　
ｊｚ””　ａ　ｊｔ）ｔ（ａ　ｊｔ＋ｘ　ａ　Ｊ２＋１
””　ａ　Ｊ７Ｂ）が７ビツト１次均等分布をするＬｅ
νｉｓ及びＰａｙｎｅの乱数であることがわかる。

次に、漸近的乱数との関連でこの実施例の乱数について
考察する。

一般にモンテカルロ法等のシミュレーションのために乱
数を使用するとき、要求される精度（ビット長）はその
目的によりさまざまである。従って任意のビット長に対
しに次均等分布が保証されていることが望ましい。例え
ばｐ＝＝７のときの数列ａ　Ｊｘ＋ｔ＊　ａＪｚ＋＋、
ａＪｘ。、・・・・を考えよう。そしてこの数列のうち
上位７ビツトを乱数としたときには１次均等分布（ｋ＝
上７／７」＝１）が確立されているけれども、上位３ビ
ツトを乱数としたときには２次均等分布（ｋ＝Ｌ７／３
Ｊ　＝２）が確立されていないとしよう。そうすると、
この数列からＱ＝７の乱数を取り出すことは好ましいが
。

ｆｌ＝３の乱数を取り出すことは不適切となってしまう
。このことは不都合である。

漸近的乱数は以上の不都合が解消されている乱数である
。これはつぎのようにいうことができる。

■ 次の２条件を満たすＬａｗｉｓ及びＰａｙｎｅの乱数を
漸近的にランダムなＳビットのＬｅ％＋ｉｓ及びＰａｙ
ｎｅの乱数と呼ぶ。

条件１：行列Ｇ、の行ベクトルが任意のＱＣ＜、５）に
対して線形独立となる。

条件２：周期が素数となる。

なお、条件２はつぎのような要請に応えるものである。

即ち通常に次元のシミュレーションで乱数を使用する場
合一様乱数Ｗ１のオーバーラツプしないに組（Ｗｋｌ＋
　Ｗｋｊ＋ｉｔ　”・・Ｗｋｌｌ＋ｗ−１）を用いる。

条件２はこの列に対してに均等分布を保証するために必
要となる。

さて、第１図の実施例で発生させられる乱数が漸近的乱
数かどうかについて考えよう。まずａ＝７の場合にはに
＝１であり、 が成立しているので１次的等分布が確立していることは
明らかである。

Ｑ＝４．５及び６の場合には、ｋ＝１でありそれぞれ上
述から が導き出され、これらの式からＱ＝４．５及び６の場合
に一次均等分布が確立されることは明らかである。

Ｑ−３の場合にはに＝Ｌ７／３」＝２であり、また上述
Ｇ７から が導き出される。ここで横棒で表わした第２、第４及び
第６の行ベクトルがそれぞれ第１、第３及び第５の行ベ
クトルから一意的に決定されることに留意されたい、結
論から述べよう。第１．第３第５の行ベクトルのうち任
意のものをｇＪで表わし、第２、第４及び第６の行ベク
トルのうち対応するものを７Ｊ、１で表わし、さらに７
をＣｇ、ｓ　ｇｚｖ　ｇｓｔ・・・・２ｇ７）で表記す
るとしうよ。

ｇ Ｊｌｌ、Ｉ　　　Ｊ＋７ ｊ＋１．ａ　　　ｊ、ｚ 例えば第３行の行ベクトルｇ、＋、＝（０１１１００１
）であるから第４行の行ベクトルｇＪｚや、＝（１０１
０１００）となる、同様にして第２行及び第６行の行ベ
クトルも求め、つぎの行列Ｇ、を得る。

この行列Ｇ、の各行ベクトルは線形独立となっているの
で、この実施例の乱数はＱ＝３の場合に２次均等分布と
なることがわかる。

さて行ベクトルｇ　Ｊｌｌが行ベクトルｇＪから一意的
に決定されることについて考えておく。

既述のとおりＱ＝３．に＝２ではつぎの式が成立する。

ＡＪ＝ｇＪ、８．Ａ□＋ｇ　ｊ＋ｚ＋’Ａｚ　＋　ｇ　
ｊｆ−Ａｉ　＋　ｇ　Ｊ＋＋−Ａ４＋ｇｊ、、、Ａ、＋
ルＪｔ＋＋　＊　Ａｉ　”ｇ　Ｊ、ｔ　ｌｌ’Ａｔであ
る。また上の式で数列Ａの位相を１つずらすと、 ＡＪ◆１＝　ｇ　Ｊｌｌ・Ａ２　＋　ｇ　、、！、Ａ、
　＋　ｇ　Ｊｌｌ・Ａ４＋　ｇ　ｊ＋＊・Ａｓ・＋ｇＪ
ｐｓ’−Ａｓ＋ｇＪ、＠、Ａ７＋ｇＪｊｔ、’Ａｓ　”
である。

ところでＬｅｗｉｓ及びＰｈａｙｎｅの数列（ａ、）（
ただしｆ（Ｄ）＝ＤＰ＋Ｄｑ＋１）ではａ　、＝　ａ　
、−、＋　ａ　＋−１が成立するのでＡ、＝Ａよ＋Ａ４
である。従ってＡｊ＋、はつぎのように整理される。

Ａ、７＋１＝ｇ　Ｊ＋ｔ−Ａｚ＋ｇ　ｊ中Ａｚ”ｇ　Ｊ
＋ｚ−Ａａ”（ｇ　Ｊ＋３＋ｇ　Ｊ＋７）、Ａ４”ｇ　
Ｊ＋４−Ａｓ”ｇ　ｊｙｓＩＡ＠”ｇ　ｊ＋ｓｅＡｔｇ
Ｊか’Ｉｇｊや、を求め得ることは以上から理解できる
。

なおここではｇｊ、□とｇｊとについて述べたがｇＪ。

ｚｒｇＪ＊ｓ・・・・をそれぞれ７ｊ。□ｔｇＪ＋ｉ・
・・・から求めることができることももちろんである。

このことの証明は上述と同様であり、繰り返さなし）。

さてこの実施例の漸近的ランダムネスの考察にが導き出
される。この場合も横棒で示す行ベクトルをそれぞれ直
ぐ上の行ベクトルから決定してを得る。各行ベクトルは
線形独立なので３次均等分布が確立することがわかる。

Ω＝１の場合にはに＝Ｌ７／ＩＪ　＝７であり、れ直ぐ
上の行ベクトルから順次決定してを得る。各行ベクトル
は線形独立なので７次均等分布が確立することがわかる
。

以上からこの実施例の乱数が７ビツト漸近的な乱数であ
ることがわかる。

なお、第４図はこの実施例の乱数の上位３ビツトを使っ
た場合の２次均等分布の状態を示している。これに対し
、第３図は下位の４ビツトも含めた全ビットを使用した
場合の２次元分布の状態を示している。第３図から下位
４ビツトによって２次元分布の規則性を解消しているこ
とがわかる。

このような規則性の解消は下位４ビツトに対応する、行
列Ｇの第４〜７の行ベクトルからなる行列のランクを高
くすることにより達成される。

つぎに実施例の行列Ｇの決定のしかたについて述べる。

７≧ツト漸近的な乱数を発生させるためには悲＝１から
７まで順にに次均等分布を確立するように行ベクトルを
決定していけばよい。

α＝１ まず行列Ｇ４の任意の１つの行ベクトルを設定する。上
述から理解されるように他の行ベクトルは一意的に決定
される。つぎにこのようにして得た行列Ｇ□の各行ベク
トルが線形独立になっているかどうかを調べる。線形独
立になっていれば、この行列Ｇ１を正規のものとして選
ぶ。線形独立になっていなければ最初に設定する折入ク
トルを他のものにして同様の操作を行う。

例えば行列Ｇ１の第１行ベクトルを（１００００００）
とすると行列Ｇ１はつぎのようになる。

この行列Ｇ４の各行ベクトルは線形独立であるのでこれ
を正規のものとして選ぶことができる。

この選択によりＱ＝１のときの７次均等分布が保証され
る。

Ｑ＝２ 行列Ｇ２の第１、第２及び第３行の行ベクトルは行列Ｇ
よの第１、第２及び第３行の行ベクトルと同一であり、 である。横棒で示す未決定の行ベクトルはｆｌ＝１の場
合と同様に求める。即ち、得られる行列Ｇ２の各行ベク
トルが線形独立になるように、未決定の行ベクトルのう
ち任意の１つを設定する。

例えば第４行の行ベクトルを（０１１１００１）とする
と行列Ｇ２としてつぎのちのが得られる。

この行列Ｇ２の各行ベクトルは線形独立であるのでこれ
を正規のものとして選ぶことができる。

この選択により悲＝２のときの３次均等分布が保証され
る。

Ｑ＝３ 行列Ｇ１．の第１、第２、第３及び第４の行ベクトルは
行列Ｇ２の第１、第２．第４及び第５の行ベクトルと同
一であり、 である。この場合も上述と同様に第５行及び第６行の行
ベクトルを適切に選定して２次均等分布を満たす行列Ｇ
、を得る。

例えば行列Ｇ、はつぎのようなものである。

Ｑ＝４．５　６ｉｆｆ７ α＝＝４．５．６及び７の場合にも同様にして行ルを決
定していく。以下はそのようにして得た行列Ｇ４、Ｇ５
、Ｇｒ、及びＧ７の一例である。ただしアンダーライン
は新たく設定した行ベクトルを示す。

等分布を保証する。

行列Ｇ７が行列積回路４の行列Ｇとして用いられること
は既に述べた。行列積回路４の出力の上位１ビツトを用
いると７次均等分布の乱数が得られ、上位２ビツト、３
ビツトをそれぞれ用いて３次、４次均等分布の乱数が得
られることについては説明を要しないであろう。

なお、この発明は上述実施例の構成の細部に拘束されな
いことはもちろんである。

例えば上述では７ビツト漸近的な乱数を発生するように
したけれどもビット数は適切に選定することができる。

例えば３１ビツト漸近的な乱数をつぎの行列を実現する
行列積回路により生成するようにしてもよい。なお特性
方程式はｆ　（Ｄ）　＝Ｄ”＋Ｄ”＋１である。

［発明の効果］ 以上説明したようにこの発明によればシフトレジスタ回
路の出力を行列積回路に供給してシャラフリングするよ
うにしている。従って乱数の発生の所要時間を短かくす
ることができる。また、行列積回路の行列から乱数の性
質を知ることができ、あらためてその性質を吟味する必
要がない。

また行列積回路の行列を適切に選ぶことによりＳビット
漸近的な乱数を簡易に生成することができる。

【図面の簡単な説明】

第１図はこの発明の一実施例を示すブロック図。 第２図は第１図の行列積回路４の構成例を示す回路図、
第３図及び第４図は第１図実施例を説明するための図、
第５図及び第６図はそれぞれＴａｕｓｗｏｒｔｈｅの方
法及びＬｅｗｉｓ　Ｐａｙｎｅの方法を説明する図であ
る。 第１図 第２図 第３図 第４図 ＷＨＷｉ、Ｉ　　　　　　　　　　　　　　　　Ｗｌ、
２第６図

Claims (4)

【特許請求の範囲】
1. （１）フィードバックシフトレジスタを含んでなる多項
   式回路と、 上記フィードバックシフトレジスタから得られるパラレ
   ルなビットデータＡを受け取り Ａ×Ｇ（ただしＡはベクトル、Ｇは行列である）の行列
   積を実行する手段とを有する乱数発生装置。
2. （２）上記多項式回路をＭ系列発生器とした特許請求の
   範囲第１項記載の乱数発生装置。
3. （３）ｋ次均等分布の乱数が生成されるように上記行列
   Ｇを選定した特許請求の範囲第２項記載の乱数発生装置
   。
4. （４）漸近的乱数が生成されるように上記行列Ｇを選定
   した特許請求の範囲第３項記載の乱数発生装置。