JP3205276U

JP3205276U - 一様独立乱数の乗算合同法高精度生成方法

Info

Publication number: JP3205276U
Application number: JP2016000958U
Authority: JP
Inventors: 宏中澤; 直也中澤
Original assignee: 宏中澤
Priority date: 2016-02-15
Filing date: 2016-02-15
Publication date: 2016-07-21
Anticipated expiration: 2026-02-15

Abstract

【課題】コンピュータ上での乗算合同法による大周期で統計的に正確な一様独立乱数の生成装置を提供する。【解決手段】コンピュータ上の一様独立乱数列｛ｒ１、ｒ２、・・・｝として、１≦ｉ≦６飛びに取られた対（ｒｋ、ｒｋ＋ｉ）、ｋ＝１、２、・・・が独立な対であるという統計的仮説を最も弱く否定する２次スペクトル検定結果を持ち、かつ既存技術の誤りを正して求められた３−６次のスペクトル検定を既存技術と同じ高精度内で満たす様な、法ｄ、乗数ｚの乗算合同法生成機構（ｄ、ｚ）で現時点現社会のシミュレーションの目的に適う倍精度と２５０以上の長い使用可能周期を持つものを検定によって製造開発し、使用者、研究者、技術者、一般消費者が公正明確な性能把握を可能にする表示を求めた。【選択図】図１１

Description

本願はコンピュータ上の一様独立乱数の乗算合同法（ｄ、ｚ、ｎ）、即ち整数の法ｄ、ｄとは素な整数の乗数ｚと種（ｓｅｅｄ）ｎとにより、出発値ｒ_０≡ｎ（ｍｏｄｄ）、０＜ｒ_０＜ｄ、からの列

を順次生成して

をコンピュータ上の一様独立乱数出力見本列とする方法、で優れた統計的性能を十分な長周期と共に与える８個の考案を提出する。以下、ｎは出力列の統計的性格に関係しないので（ｄ、ｚ、ｎ）をしばしば（ｄ、ｚ）と略記する。

確率過程として正確な一様独立性を持つ乱数列を｛ｕ_１、ｕ_２、ｕ_３、・・・｝と記すと、実数ｕ_ｋとｕ_ｋ＋ｊとはｊ＝１、２、３、・・・のどれに対しても互いに独立に区間（０、１）の値を取る。この様な確率論、確率過程論的な定義に対して、コンピュータ上では強く認識すべきいくつかの状況の違いがある。第１に、コンピュータ上の実数は有限の桁しか持てず、乱数列｛ｖ_１、ｖ_２、ｖ_３、・・・｝は必ず有理数、区間（０、１）の倍精度実数なら小数点以下約１５桁程度、からなる。第２に、コンピュータの取り得る状態の総数は有限だから、前出力から次出力を生成せざるを得ない乱数列はコンピュータ上では必ず有限の周期Ｔを持って始めの状態が再現し、ｖ_ｋ＝ｖ_ｋ＋Ｔとならざるを得ない。コンピュータ上の乱数の最も重要な用途は、ゲーム等も含めて種々のシミュレーションであり、工学技術はまず、通常のシミュレーションで求められる乱数の数量では使い切られる事がない十分に大きい乱数周期Ｔを実現する事を求められる。そして通常の科学技術的シミュレーションは必ず倍精度で行われるから、乱数も倍精度を持たねばならない；乱数はでたらめな数だから単精度でよかろう、と言う楽観は、一様独立乱数に基づく、或は一様独立乱数から高精度の関数変換で得られる他の任意の確率分布を持つ乱数に基づく、シミュレーションに対して理論考察を不可能にし、理論解析の立脚点、何をシミュレーションで導出すべきかの目標、を失わせるからである。具体的に古典乱数、例えばＭｅｒｓｅｎｎｅ素数の法ｄ＝２^３１−１とその原始根ｚによる乱数について言えば、Ｔ＝ｄ−１＝２^３１−２≒２^３１であり、得られる乱数は単精度に限られ、現在のパソコン上では５６秒程ですべて生成されてしまう。周期にはさらに精密な考察が求められる。奇素数ｄの原始根の位数はＴ＝ｄ−１、それはｚ^Ｔ≡１（ｍｏｄｄ）が始めて再現する正の整数である。Ｔは必ず偶数となり、ｚ^Ｔ／２≡−１（ｍｏｄｄ）が成立する。故に周期の後半｛−ｚ、−ｚ^２、・・・｝は本質的に前半の繰り返しで独立ではない。この場合独立乱数としての実用（になる）周期はＴ’＝Ｔ／２≒ｄ／２≒２^３０である。現在の速い卓上型コンピュータ（ｉｎｔｅｌｃｏｒｅｉ７−４７７０＠３．４０ＧＨｚ）を生成専一に動かすとＴ’は約２８秒で使い切られる。しかしもしＴ’＝２^５０程度であれば、パソコン上実用周期を使い切るには２８秒×２^２０≒３３９．８２日かかる。勿論Ｔ’≒ｄ／２を２^３０から２^５０に増大させるには法ｄを増大させなければならず、４倍精度整数計算が困難な現在のパソコンでは倍精度計算の範疇で収める工夫のためにも、使い切る時間はこれよりは増大する。Ｔ’≒２^５０なら、１０００並列計算可能な大きな計算機上のシミュレーションでの１時間程度の使用にも十分に耐えるだろう。現在緊要な技術目標は、実用周期Ｔ’≧２^５０と倍精度、そして何よりも優れた統計性、特に独立性、を体現する一様独立乱数見本列の生成法の考案、としてよい。それは考案と言うよりは、極端に稀少な優れた大きい整数の組｛ｄ、ｚ｝の、全く予断を許さない総当り探索以外に方法のない、困難極まる発掘作業と言うべきである。しかし優秀な（ｄ、ｚ）が特定されば、その優れた性能のコンピュータ上確認は容易のはずで、その実際利用は最も簡明な整数演算の組み合わせであり、倍精度或いは４倍精度制限に忠実な算術プログラムの作成という平易な問題に帰着する。ここに提出するのは、高い精度の表現の明確な表示を持つ未だ知られていなかった８組の（ｄ、ｚ）である。いくつかの一般的な理解の確認から始める。

数多くの乱数生成方法の中で、乗算合同法は最も簡単なものでありながら、他のあらゆる生成方法を包摂する最も一般の乱数生成方法である。この理解は中澤と中澤（２００８）に初めて与えられた事実、コンピュータ上の一様乱数のどんな見本列も必ず、無視できる一様誤差１／ｄ≒１／Ｔの範囲で、ある（ｄ、ｚ、ｎ）乗算合同法列で近似される、という認識に発する。乗算合同法はあらゆる生成方式の中で最も計算負荷が少なく、しかも最も容易に強力なスペクトル検定が可能な方法だから、これは数の構造（正確には整数の除法の算術）が我々に与えた恩恵である。この理解はコンピュータ上の乱数生成について、そもそもｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃな漸化式で乱数を生成できるのか、などの形而上学的難問を取り去り、統計的にある数列が一様独立列であるとする仮説を最も弱く否定するものを生成するには、という身近な実際技術の問題に引き戻す。その立場で見れば全問題は、ｄ≧２Ｔ’≧２^５１という制限を受ける非常に大きい整数の組（ｄ、ｚ）で仮説を最も弱く否定するものをどの様に発見するか、である。現在の技術ではその解答はスペクトル検定で優れた成績を持つものを選ぶ事である。法ｄが大きいと、スペクトル検定にはよく知られた計算不可能性の問題が生じる。この大困難は現在既に多く存在するｃｏｍｂｉｎｅｄｇｅｎｅｒａｔｏｒの諸アイデアに次の構造を与えた。例えばＬ’ＥｃｕｙｅｒとＴｅｚｕｋａ（１９９１）、ＳａｋａｍｏｔｏとＭｏｒｉｔｏ（１９９５）、或いは解説Ｗａｎｇ他（２０１１）を参照されたい。要約すると、まず小さい法を持つ複数の優れた乗算合同法（ｄ_１、ｚ_１）、（ｄ_２、ｚ_２）、・・・をスペクトル検定で選ぶ；部分法ｄ_１、ｄ_２、・・・は互いに素とする。次にそれらをｃｏｍｂｉｎｅして、大きな最小公倍数周期を持つ乗算合同法（ｄ、ｚ）を構成する。典型的で有用なのは（ｄ＝ｄ_１ｄ_２、ｚ）の形である。これは例えば、互いに素な法ｄ_１、ｄ_２、・・・に関する連立合同式

で孫子の定理によって法ｄで一意に定まるｚを乗数に選べばよい。しかしながら、ｐｒｉｏｒａｒｔｓは例外なくいくつかのｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｔｅｓｔｓの組によって検定を行い、大きな法ｄでのスペクトル検定結果は提出されていない。乱数の使用者、消費者の側に立てば、これでは推挙されたｃｏｍｂｉｎｅｄｇｅｎｅｒａｔｏｒの正確な性能を知る事ができない、という困難が残存する事になる。

中澤と中澤（２００８）／中澤宏、中澤直也：長周期で高精度の一様独立乱数の設計、２００８年３月９日−７月４日にＵＲＬｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／ｐａｓｔｒｅｐｏｒｔｓ．ｈｔｍｌにファイル名３０９７０４ｊ．ｐｄｆでアップロード；関係する記述はその４−８ページ。Ｌ’ＥｃｕｙｅｒとＴｅｚｕｋａ（１９９１）／Ｐ．Ｌ’ＥｃｕｙｅｒａｎｄＳ．Ｔｅｚｕｋａ：ＳｔｒｕｃｔｕｒａｌＰｒｏｐｅｒｔｉｅｓｆｏｒｔｗｏｃｌａｓｓｅｓｏｆｃｏｍｂｉｎｅｄｒａｎｄｏｍｎｕｍｂｅｒｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ，ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，Ｖｏｌ．５７（１９９１），ｐｐ．７３５−７４６．ＳａｋａｍｏｔｏとＭｏｒｉｔｏ（１９９５）／Ｍ．ＳａｋａｍｏｔｏａｎｄＳ．Ｍｏｒｏｔｏ：Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌｒａｎｄｏｍｎｕｍｂｅｒｇｅｎｅｒａｔｏｒｓｗｉｔｈｓａｆｅｐｒｉｍｅｍｏｄｕｌｕｓ，Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ１９９５ＷｉｎｔｅｒＳｉｍｕｌａｔｉｏｎＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，ｅｄｉｔｅｄｂｙＣ．Ａｌｅｘｏｐｏｕｌｏｓｅｔａｌ．Ｗａｎｇ他（２０１１）／Ｍ．Ｗａｎｇｅｔａｌ．，Ｃｏｍｂｉｎｅｄｒａｎｄｏｍｎｕｍｂｅｒｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ：Ａｒｅｖｉｅｗ，９７８−１−６１２８４−４８６−２／１１／ＩＥＥＥ（２０１１），ｐｐ．４４３−４４７．

コンピュータ上の一様独立乱数を用いなければならない消費者の中で、現在最も大きな困難に直面するのは、シミュレーションを行う研究者、技術者であろう。現在の乱数は周期は当然明示されているが、統計的性能は抽象的なｅｍｐｉｒｉｃａｌｔｅｓｔｓの合否のみに留まっている。必要なのは、一般の商品と同じく、保証された定量的性能であり、その表示である。一様独立乱数の最も信頼性が高い性能表示はそのスペクトル検定から得られる。従ってすべての高精度一様独立乱数列の生成機構は、公正な商取引のためにも、商品のスペクトル検定諸評価を明記すべきであろう。それ以外の新規発見も含めて現考案は、
（イ）ｃｏｍｂｉｎｅｄｇｅｎｅｒａｔｏｒにも含めスペクトル検定を行って選び性能表示とし、
（ロ）（ｄ、ｚ）乗算合同法はさらに（ｄ、ｚ＾ｉ）で２≦ｉ≦６の次数での２次スペクトル検定合格も旧来のｉ＝１と共に同じ合格基準で求め、
（ハ）（ｄ、ｚ、ｎ）の３次以上のスペクトル検定は、正Ｌ単体形の単位胞を持つ格子を基準として合格を考える、
の３点を遂行する。この意味で現考案は先行技術とは明確に異なる。（イ）は第一義的には、ｅｍｐｉｒｉｃａｌｔｅｓｔｓでは判定の採用基準が十分精密かどうか、見落としがないか、十分信頼できるか、の不安があって、スペクトル検定での客観定量的な表現が必要だと考えるからである。検定全体を見通した視野から理解される重大な理由は、スペクトル検定の成功例について考えてより明確に理解されるので下の諸段落に記す。（ロ）の必要は特願２０１３−２０６９４８での発見、そして中澤と中澤（２０１４ａ）での議論に基づく。（ｄ、ｚ）が乱数列Ｓ：＝｛ｖ_１、ｖ_２、ｖ_３、・・・｝を作るとする。乗算合同法（ｄ、ｚ＾ｉ）はそのｉ飛びに取った部分列、例えばｖ_ｋから始まるＳ_ｋ：＝｛ｖ_ｋ、ｖ_ｋ＋ｉ、ｖ_Ｋ＋２ｉ、・・・｝を記述する。仮説「列Ｓが一様独立である」が真ならＳ_ｋも同じ性質を持つ：その仮説の最も弱い否定を与えるためには（ｄ、ｚ＾ｉ）の２次スペクトル検定も高成績でなければならないから、である。この殆ど自明な条件は今まで認識から除外された存在であったが、この条件自体が（ｄ、ｚ）の優秀性の否定のための決定的な役割を持ち得る強力なものであり、また（ロ）が優れた（ｄ、ｚ）の組を（イ）や（ハ）によって発見する大きな計算時間を決定的に削減するためにも極めて重大な役割を果たす事が特願２０１４−２０６９４７以降認識された。現考案のスペクトル検定計算の成功を見れば、（イ）−（ハ）はすべて、鍵となる重要な役割を担う手続である事が再認識されるだろう。

特願２０１３−２０６９４７中澤と中澤〈２０１４ａ〉／ＮａｏｙａＮａｋａｚａｗａａｎｄＨｉｒｏｓｈｉＮａｋａｚａｗａ：Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅｄｅｓｉｇｎｏｆｕｎｉｆｏｒｍａｎｄｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｒａｎｄｏｍｎｕｍｂｅｒｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄｉｎｔｈｅＵＲＬｈｔｔｐ：／／ｎａｋａｚａｗａ−ｐａｔｅｎｔｓ．ｊｐｏｎＡｐｒｉｌ２８−Ａｕｇｕｓｔ５，２０１４ｗｉｔｈｔｈｅｆｉｌｅｎａｍｅｉｎｖｅｎｔｉｏｎｌａ．ｐｄｆ．

条件（ハ）を詳述する。これは特願２０１３−２７３８１４で認識記述され、中澤と中澤（２０１４ｂ）でも言及された。基礎となるのはＬ≧３に対して乱数の相続くＬ連がＬ次元ユークリッド空間で載る格子Ｇ_Ｌが正Ｌ単体、即ち２次元平面の正３角形や３次元空間の正４面体のようにその頂点のすべての対の距離が等しい条件で定まる単体、を張る様な基ベクトルの組を持つ事が相続くＬ連が一様独立と見えるという仮説を最も弱く否定する、というこれも明白な認識に基づいて提出された。この認識はさらに、従来技術のＬ次元スペクトル検定で理想とした格子のＬ単体が正Ｌ単体とは異なるという事実が後に理解された事で補強された。後者の事情は解説、中澤と中澤（２０１５ａ）が平易で詳しい。格子Ｇ_ＬのＬ個の一般の格子点は、それらを含む（Ｌ−１）次元の（超）格子平面を定める。Ｇ_Ｌ格子が理想形に近いかどうかは、これら（Ｌ−１）次元超格子平面の中で平行で隣り合うものの最大間隔、それは法ｄ、乗数ｚ、そして次元Ｌで定まるのでλ_Ｌ（ｄ、ｚ）と記す、が理想格子の場合の最大値Ｍ_Ｌ（ｄ）に近いかどうか、しかも「上から近いかどうか」で判定される（特願２０１３−２７３８１４）。「下から近い」ものは形としては理想格子からは遠いと考えられ、計算結果もそれを支持し、スペクトル検定としては良い評価点を与えられない理由も含めて、詳細は再び中澤と中澤（２０１５ａ）に見られる。この理想値Ｍ_Ｌ（ｄ）は数の幾何学が与えるあらゆる格子での「真の最大値Ａ_Ｌ（ｄ）」、それは歴史的なＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）以来ずっと用いられて来たものであるが、とはＬ≧３では異なる。具体的には次の通りである：

従って、乗算合同法（ｄ、ｚ）が生成する乱数が十分一様独立列に近いとして許容する現在の評価基準は、

の成立である。μ_Ｌ（ｄ、ｚ）＝１は整数ｄ、ｚで定まる乱数のＬ連の格子ではあり得ない。また特願２０１３−２７３８１４で論じ、そして中澤と中澤（２０１５ｂ）が具体例で示した様に、Ｌ≧３でμ_Ｌ（ｄ、ｚ）が１に下から近い場合は、正Ｌ単体を張る基ベクトルを持つ格子からはむしろ遠いと考えられる理由があり、我々はそれを採用しない。

中澤と中澤（２０１４ｂ）／Ｎ．ＮａｋａｚａｗａａｎｄＨ．Ｎａｋａｚａｗａ：Ｍｅｔｈｏｄｏｆｓｐｅｃｔｒａｌｔｅｓｔｓｏｆｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌｒａｎｄｏｍｎｕｍｂｅｒｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄｏｎＪｕｎｅ５−Ｊｕｌｙ３０，２０１４ｗｉｔｈｔｈｅｆｉｌｅｎａｍｅｉｎｖｅｎｔｉｏｎ２ｋ．ｐｄｆｉｎｔｈｅＵＲＬｈｔｔｐ：／／ｎａｋａｚａｗａ−ｐａｔｅｎｔｓ．ｊｐ．中澤と中澤（２０１５ａ）／Ｎ．ＮａｋａｚａｗａａｎｄＨ．Ｎａｋａｚａｗａ：Ｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｙｏｆｓｐｅｃｔｒａｌｔｅｓｔｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄｗｉｔｈｔｈｅｆｉｌｅｎａｍｅｓｐｔｅｓｔ１５ｊｕｎｅ７ｎａｏｒｅｖ．ｐｄｆ．ｏｎＡｐｒｉｌ１０−Ｊｕｎｅ７．２０１５ｉｎｔｈｅＵＲＬｈｔｔｐ：／／ｎａｋａｚａｗａ−ｐａｔｅｎｔｓ．ｊｐ．中澤と中澤（２０１５ｂ）／Ｎ．ＮａｋａｚａｗａａｎｄＨ．Ｎａｋａｚａｗａ：ＲｅｖｉｓｉｔｔｏｔｈｅＭｅｒｓｅｎｎｅｐｒｉｍｅｍｏｄｕｌｕｓｏｆＦｉｓｈｍａｎａｎｄＭｏｏｒｅ，ｕｐｌｏａｄｅｄｗｉｔｈｔｈｅｆｉｌｅｎａｍｅｆｉｓｈｍａｎｍｏｏｒｅｎａｏｒｅｖｌ．ｐｄｆ．ｏｎＳｅｐｔｅｍｂｅｒ１３−２９，２０１５ｉｎｔｈｅＵＲＬｈｔｔｐ：／／ｎａｋａｚａｗａ−ｐａｔｅｎｔｓ．ｊｐ．

スペクトル検定の説明

乗算合同法の設計のためのスペクトル検定は、技術としてＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）の研究で基本的理解を我々に与えた。それは乗算合同法に関して一様独立乱数として優れたものはスペクトル検定でよい成績を挙げるべきであり、同じ周期を与えるすべての乗数（例えば奇素数の法ｄに対するすべての原始根乗数ｚ）に関して、これが良かろうといった先入観なしにすべてを尽くした（ｅｘｈａｕｓｔｉｖｅな）スペクトル検定での選択による他ない、それ以外の選定方法で優れた生成機構（ｄ、ｚ）を得る事はできない、という認識である。あらゆる一様乱数列見本は乗算合同法乱数列と思ってよいから、どのような一様独立乱数見本列であろうと、原理的に近似乗算合同法列を用いてスペクトル検定が可能である。勿論、一般の一様乱数列から近似する（ｄ、ｚ）の法ｄと乗数ｚを特定する事は容易ではない。実際的な可能性は乗算合同法として始めから設計されたものに限られる。換言すれば我々はコンピュータ上の乱数生成機構は工学技術的に専ら乗算合同法とすべきだ、と強く主張する事を許される。（ｄ、ｚ）のスペクトル検定は法ｄと乗数ｚのみに基づくもので、出力乱数列全体に渡る統計的検定を行う事なくｇｅｎｅｒｉｃな性能評価を与えるものとして抜きん出た利点をと結論の信頼度を誇る。検定の基礎は、乗算合同法乱数出力の相続くＬ連をＬ次元ユークリッド空間Ｅ_Ｌの点と考えると、それらがｄとｚで定まる格子、それを前述の通りＧ_Ｌ＝Ｇ_Ｌ（ｄ、ｚ）と記す、の格子点となる、という事実である。そして漸く中澤と中澤（２０１４ｂ）で獲得された知識では、この格子Ｇ_Ｌ（ｄ、ｚ）には一様独立乱数が載るべき理想の格子形がある。格子Ｇ_Ｌ（ｄ、ｚ）＝Ｇ_ＬはＬ個の基ベクトルの整数係数一次結合で表される格子点の全体である。１つの格子の基ベクトルの組としては互いにユニモジュラー変換で結ばれた無数のものが存在する。それら基ベクトルの組の中に正Ｌ単体という一意な幾何学形状を与えるものが存在するもの、それが一様独立乱数の相続くＬ連がＥ_Ｌで載るべき理想の格子形状である；Ｌ＝２次元ではそれは正３角形を張る基ベクトルを持つ３角格子、Ｌ＝３次元ではそれは正４面体を張る基ベクトルを持つ面心立方格子である。この間の事情は解説、中澤と中澤（２０１５ａ）に平易に詳しく与えられている。格子Ｇ_ＬのＬ個の一般の格子点は、それらを含む（Ｌ−１）次元の（超）格子平面を定める。Ｇ_Ｌ格子がこの理想形に近いかどうかは、これら（Ｌ−１）次元超格子平面の中で平行で隣り合うものの最大間隔、それは法ｄ、乗数ｚ、そして次元Ｌで定まるものなのでλ_Ｌ（ｄ、ｚ）と記す、が理想格子における平行隣接格子間隔の最大値Ｍ_Ｌ（ｄ）に「上から近いかどうか」で判定される（特願２０１３−２７３８１４）。「下から近い」ものが形としては理想格子からは遠いと考えられスペクトル検定としては良い評価点を与えられない理由も含めて、詳細は再び中澤と中澤（２０１５ａ）に見られる。

スペクトル検定に関しては、今まで気付かれなかった、しかし重要で大きな効果を持つ今ひとつの条件が、優れた（ｄ、ｚ）一様独立乱数列｛ｒ_１、ｒ_２、・・・｝が満たすべきものとして提唱され（特願２０１３−２０６９４７）、優れた（ｄ、ｚ）の組を発見するそのためにも、極めて重要強力である事の実証が現考案の実施でも強く理解された。少し２次元格子とスペクトル検定値について説明する。２次元平面だから理想格子は簡明に正３角形を張る基ベクトルを持つ３角格子である。（ｄ、ｚ）乱数列の２連が載る格子は様々だが、図１と図２にそれらの具体例を素数の法ｄとその原始根乗数ｚの諸例で示す。この各格子で２つの格子点を結ぶ線が格子線である。格子線の間隔は格子によって色々だが、隣接格子間隔、つまり２つの平行格子線で間に他の格子線が存在しないものの間隔、にはその格子（ｄ、ｚ）で定まる最大の間隔λ_２（ｄ、ｚ）がある。そして（ｄ、ｚ）からの２連の載るＧ_Ｌ（ｄ、ｚ）格子に関しては最大格子間隔λ_２（ｄ、ｚ）が理想形の３角格子の場合に最小値Λ_２（ｄ）＝Ｍ_２（ｄ）を取る。具体的なその値は［数５］の通りであり、この導出は中渾と中渾（２０１５ａ）を参照して頂きたい。（ｄ、ｚ）乱数が一様独立列ならば、図１や図２から見える通り、乱数の相続く２連が載る格子は３角格子に近いはずである。ｉ飛びに取られた乱数の２連の載る格子Ｇ_Ｌ（ｄ、ｚ^ｉ）でこの近さを評価するのがμ_２（ｄ、ｚ^ｉ）：＝λ_２（ｄ、ｚ^ｉ）／Ｍ_２（ｄ）≧１である。但し値１は（ｄ、ｚ）或いは（ｄ、ｚ^ｉ）乱数列では生じない；整数乱数列｛ｒ_１、ｒ_２、ｒ_３、・・・｝あるいはそのｉ飛びの列は整数座標の格子点しか作れないが、３角格子は無理数座標を要するからである。だから図１及び図２の（ｄ、ｚ）格子の中でμ_２（ｄ、ｚ^ｉ）が１に上から近いものがよい独立性を持つ（ｄ、ｚ）乗算合同法だ、という事になる。この直感印象はＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）の強力な検定条件にならって

の成立で確認する事ができる。もとの（ｄ、ｚ）乱数が独立列であるかどうかを判定するのに（ｄ、ｚ＾ｉ）に対する［数７］が不可欠な検定基準である事は特願２０１３−２３６９４７、中澤と中澤（２０１４ａ）で始めて認識提唱された。これは今までの乱数についての考え方の盲点であった。現考案の導出の様に、実際に検定を行って見ると、［数７］の判定は独立性に相応しくない振る舞いの非常に鋭敏で計算負荷の小さい検出方法を与えている。さらにそれは３次以上のスペクトル検定に対する強力な支援もを与える。言い換えると、見かけ上乱数の３連、４連、・・・が夫々の次数の検定で十分合格と見えても、実際には相応しくない場合を発見する強力な手段である。

考案が解決しようとする課題

上に述べた現在の諸理解に基づき一様独立乱数生成乗算合同法（ｄ、ｚ）として望まれる法ｄ、乗数ｚの設計要件をまとめると、
（Ａ）実用周期Ｔ’≧２^５０を与え、
（Ｂ）［数６］を満たし、
（Ｃ）且つ（ｄ、ｚ＾ｉ）の２次スペクトル検定が［数７］を少なくとも２≦ｉ≦６で、既に行われているｉ＝１でのスペクトル検定と共に満たす、
その様な整数の組（ｄ、ｚ）である事、となる。それらを満たす（ｄ、ｚ）の発見は、周期の条件を（Ａ）を満たすあらゆる乗数ｚについて先入観なしにそれがまず計算負荷の軽い（Ｃ）を満たすかどうかを順次調べ、合格するものをさらに（Ｂ）で検定して発見する、そのような膨大な計算以外には方法がない。これはＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）がｅｘｈａｕｓｔｉｖｅｔｅｓｔｓとして我々に与えた重大な経験則の拡張である。

課題を解決するための手段

考案者達は種々の工夫と長大な計算の末に以下の９組を発見した。工夫を再記する。実用周期Ｔ’は、もし周期Ｔの（ｄ、ｚ）乱数列｛ｒ_１、ｒ_２、・・・、ｒ_Ｔ｝にｒ_ｋ≡−１ｍｏｄ（ｄ）を満たすものが存在しなければＴ’：＝Ｔであり、存在すればＴ’＝Ｔ／２である。条件（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）を満たす乗算合同法（ｄ、ｚ）で現在我々が知るもの、得られている優れたもの、は多くはないので、個別に記述する。図３は（＃１）と名付けられた（ｄ、ｚ）の性能諸表である。これは実用周期がＴ’≒２^{４２．６３}と小さいが、現在の机上パソコンなら専一に生成をして、終了に４９．３０時間程かかる。５次スペクトル検定結果は許容範囲を僅かに超えるが、他の面では全体に中庸と言うべき成績である。ある種実際用途には十分役立つだろう。構成は次の通りである：

図４の（＃２）と名付けられた（ｄ、ｚ）はＴ’≒２^{４８．４５}と幾分小さい。法が２^３１より遥かに大きいので、机上パソコンなら生成を終えるのに１１６．０５日程、法の増大による計算時間の増加を考えればこれよりは遥かに多くの時日を、要するだろう。構成は

である。そのスペクトル検定の成績は図４にリストとして示されている。

図５の（＃３）と名付けられた（ｄ、ｚ）はＴ’≒２^{４９．０７}であり、机上パソコンで生成のみを行うなら１７８．３６日を要して使い切られる。これらパソコンでのシミュレーションには十分であろうし、何よりもスペクトル検定結果が優れている。勿論乱数列｛ｒ_１、ｒ_２、・・・、ｒ_Ｔ’｝でｒ_ｋとｒ_ｋ＋８よりも大きく離れたものが互いに十分独立と見る事ができるか、は図１、図２を参照し、シミュレートされる問題の構造を考え合わせて、この程度離れた出力の小さい相関は影響が小さいかどうか、を推理して用いるべきである。構成は

である。そのスペクトル検定の前成績は図５にリストとして示されている。

図６の（＃４）と名付けられた（ｄ、ｚ）はその構成が中澤と中澤（２０１４ｂ）に公開されている：

である。そのスペクトル検定の成績は図６である。机上パソコンで生成のみを行うなら実用周期Ｔ’は１８７．３６日で使い切られる；十分だろう。

図７の（＃５）と名付けられた（ｄ、ｚ）は

である。そのスペクトル検定の成績は図７にリストとして示されている。机上パソコンで生成のみを行うなら２２４．２０日は計算が続く。

図８の（＃６）と名付けられた（ｄ、ｚ）は

である。そのスペクトル検定の成績は図８にリストとして示されている。机上パソコンで生成のみを行うなら独立乱数として使い得る時日は２５５．７５日以上である。

図９の（＃７）と名付けられた（ｄ、ｚ）は

である。その使用可能全周期Ｔ’の卓上型コンピュータでの生成には２９５．８３日よりも大きい時日を要する。（ｄ、ｚ）機構のスペクトル検定の成績は図９にリストとして示されている。

図１０の（＃８）と名付けられた（ｄ、ｚ）は

である。その使用可能周期Ｔ’は卓上型コンピュータでの生成には３２８．２４日以上かかる。そのスペクトル検定の成績は図１０にリストとして示されている。

図１１の（＃９）と名付けられた（ｄ、ｚ）は

である。そのスペクトル検定の成績は図１１にリストとして示されている。その使用可能全周期Ｔ’の生成には卓上型コンピュータでは３４４．５６日以上要する。

考案の効果

これはｃｏｍｂｉｎｅｄｇｅｎｅｒａｔｏｒｓでも、それ以外でもよく知られた技術だが、Ｎ重並列計算では整数Ｍ≒Ｔ’／Ｎを取り、ｎ_ｋ：＝ｚ^ｋＭｍｏｄ（ｄ）をｋ＝１、２、・・・、Ｎまで計算すればよい。｛ｎ_ｋ｝は指数ｋＭを２のべきのべき・・・の積

の形に分解して簡単に計算できる。その後（ｄ、ｚ、ｎ_ｋ）生成機構でｋ＝１、２、・・・、Ｎに対する乱数列Ｎ個を夫々の計算に用いる事になる。

任意の法ｄ、それとは素な乗数ｚで使い得る周期Ｔ’の乗算合同法乱数列、即ち法ｄで見て列Ｓ（ｄ、ｚ）：＝｛ｚ≡ｚ^１、ｚ^２、・・・、ｚ^Ｔ’、・・・｝に対してＳ（ｄ、ｚ^−１）は自明に列Ｓ（ｄ、ｚ）の逆行数列であり、その相続くＬ連はＬ次元ユークリッド空間の点としては自明に座標軸の順序を逆に取った列であり、それらが作るＬ次元格子の幾何学はＳ（ｄ、ｚ）のものと変りはない。故に乗数ｚとｚ^−１とは同じスペクトル検定結果を持つ。また、あと２つだけ同じ周期とスペクトル検定結果を持つ乗数−ｚ、−ｚ^−１が存在する。説明が長いので段落を変える。

（ｄ、ｚ）の相続くＬ連、実際に行われるのはＬ＝２、３、・・・、６、をＬ次元ユークリッド空間の点の座標と見て、それが載る格子の幾何学形状から評価点μ_ｄ ^（Ｌ）（ｚ）を定めるのがＬ次スペクトル検定である。検定を算術的に考える。次の条件を満たすＬ次元双対格子のベクトルｆ、整数成分でｆ＝（ｙ_１、ｙ_２、・・・、ｙ_Ｌ）と表され、条件

を満たすもの、の長さ‖ｆ‖：＝｛（ｙ_１）^２＋（ｙ_２）^２＋・・・＋（ｙ_Ｌ）^２｝^１／２、について、特に最小の正の長さを持つものをｆ_ｍｉｎと記す。ｆ_ｍｉｎは整数ベクトルｆのすべての整数座標を掃過して最小長さのものを探して得られる。Ｌ次スペクトル検定はこれによって値

を定め、（ｄ、ｚ）乗算合同法のＬ次スペクトル検定評価値を

と与える。この幾分超越的な説明の詳細は中澤と中澤（２０１５ａ）に平易に与えられているので御参照頂きたい。この検定の構造は次の事を意味する。乗算合同法（ｄ、−ｚ）の双対格子ベクトルの条件［数２０］は、単にｚの奇数冪の係数ｙ_ｋの符号を変えれば乗算合同法（ｄ、ｚ）のそれと同じであり、この符号の変形によって双対格子ベクトルの長さ、特に最小長さ‖ｆ_ｍｉｎ‖は変わらない。故に（ｄ、±ｚ）は同じＬ次スペクトル検定評価値を持つ。いずれにせよ（ｄ、ｚ）の生成する実用周期をＴ’として生成列を｛ｚ^１、ｚ^２、・・・、ｚ^Ｔ’≡±１（ｍｏｄｄ）｝と取って考えれば、終端以外に±１は出ないから（ｄ、−ｚ）の生成列も同じ実用周期を持つ事は容易にわかる。故に（ｄ、±ｚ）も（ｄ、±ｚ^−１）も、共に同じ実用周期を持ち同じ任意次スペクトル検定評価値を持つ乗算合同法である。１つの合格乗数ｚに対して、このように自動的に４個の合格乗数が定まる。図３から図１１の９個の合格乗数についても、請求項についても、これらは±ｚ、±ｚ^−１として記されている。

現在の卓上型パソコンでは整数としては８バイト、倍精度整数が主流であって４倍精度１６バイト整数の実用は難しい。（ｄ、ｚ）の実用周期がＴ’≒２^５０ともなると、乱数を与える整数の積は容易に倍精度整数を越えてしまい、Ｆｏｒｔｒａｎではこの程度の大きさの定数を入力するだけでエラーとされる事が多い。幸いな事に、実用周期が２^３０以下の算合同法（ｄ_１、ｚ_１）、（ｄ_２、ｚ_２）を互いに素な部分法ｄ_１、ｄ_２で取って、法ｄ＝ｄ_１ｄ_２の乗算合同法（ｄ、ｚ）を想定するのが現在の実用新案の請求項である。この構造は、よく知られたｃｏｍｂｉｎｅｄｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ共通の次の計算手順を与える。まず部分乗算合同法（ｄ_１、ｚ_１）、（ｄ_２、ｚ_２）をスペクトル検定で優れた性能を持つ様に定め、それらを孫子の定理によって次で再び乗算合同法（ｄ、ｚ）に合成する

そして（ｄ、ｚ）のスペクトル検定に進む。但しこれは原則である。この程度の法の大きさでも３−６次検定は大幅に計算時間を増大させるので、当新案を与えた工夫では、まず高速な２次検定を一般化された（ｄ_ｊ、（ｚ_ｊ）＾（ｉ_ｊ））で１≦ｉ_ｊ≦１２にすべて合格するものだけを集めて、Ｍ≒１００００個の合格部分乗算合同法（ｄ_ｊ、ｚ_ｊ）のリストＬ_ｊを作成した。Ｌ_１とＬ_２は同じリストである場合も異なる場合もあり得る；現考案に関わるものでは両者同じである。これらリストＬ_１、Ｌ_２のすべての異なるなる乗数の対、全体で約Ｍ^２個あるいは_ＭＣ_２≒Ｍ^２／２のすべてをｅｘｈａｕｓｔｉｖｅに取って合成乗算合同法（ｄ、ｚ）を作り、（ｄ、ｚ＾ｉ）の１≦ｉ≦６に対する一般化２次スペクトル検定から始めて３次‐６次スペクトル検定を行って合格者９個の成功を得た。これはむしろ実験であって、他にも様々な試みが別種の法について、あるいは途中のスペクトル検定の行い方について試みられなければならない。しかしこの現在の実験から得られる重要な一般的見通しがある。現在の実験（計算時間は数ヶ月である）だけで見るとＭ^２≒Ｏ（１０^８）個の中からほぼ９個の合格者が見つかった。その確率は、優れたと考えられる部分乗算合同法だけを取ったにも関わらず、わずかＯ（１０^−７）ある。これはでたらめに取った法と乗数の組が優れている確率はほぼ０である事、そしてより重大な事としては、合成乗算合同法を工夫されたいかに多くのｅｍｐｉｒｉｃａｌｔｅｓｔｓで選別したとしても、優れたものにはとても当たらないだろう、ｅｍｐｉｒｉｃａｌｔｅｓｔｓだけの評価ではとてもスペクトル検定で高評価のものには当たらないだろうと予測させる。残念ながら現在の考案者達には確定した断言はできないが。

よく知られた計算手法であるが、ｄが互いに素な２つの因数を持つ構造のｃｏｍｂｉｎｅｄｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ共通の利点の利用詳細も［考案の効果］として触れる。互いに素な法ｄ_１、ｄ_２があり、整数ｘ、ｙが

で定められていれば、次が成り立つ：
（孫子の定理）：互いに素な整数ｄ_１、ｄ_２に対するユークリッドの互除法によって

を満たす整数Ｒ_１、Ｒ_２が存在する。［数２４］をｚに対する連立合同式と見ると、その解としてのｚは法ｄで一意であって次の形の表現を持つ：

成分の積ｘ_ｊｙ_ｊ等は（ｍｏｄｄ_ｊ）での８バイト整数演算、倍精度演算の中で安全に行い得るし、関数ｍｏｄ（ｕｖ、ｗ）は８バイト整数ｕ、ｖ、ｗから正確に８バイト整数の答を与える様に設計されている。故に積毎に（ｍｏｄｄ_ｊ）を忠実に実行すれば卓上型パソコン上で倍精度内で算法は正確に実現する。現考案の最大の結果は、何よりも、今までの技術で行われる事のなかった事、ｃｏｍｂｉｎｅｄｇｅｎｅｒａｔｏｒｓをスペクトル検定で定め、倍精度乱数の優れた統計的性質を実現した事、である。ただそれを可能にする計算構造は互いに素な部分法の積を法に取る事であり、孫子の定理により倍精度以内での計算を可能にするというｃｏｍｂｉｎｅｄｇｅｎｅｒａｔｏｒ共通の大きな利点である。

終りにあたって、現考案の直接の目的ではないが、シミュレーションに携わる側からみた現考案の１つの重要な効果に付言する。乱数乗算合同法生成機構のスペクトル検定値、特に一般化された（ｄ、ｚ^ｉ）の２次検定値が十分大きいｉまで機構の性能表示として与えられることは、生成機構の製造者、販売者そして消費者、利用者の公正な商取引として重要であろう。シミュレーションのために使用する研究者、技術者は一般化された（ｄ、ｚ^ｉ）の２次検定を調べ、乱数ｖ_ｋとｖ_ｋ＋ｉとが独立としてよかろう、と確実にわかるｉの上限が各自のシミュレーションプログラムに十分であるかどうか、を検討する事ができるしすべきである。逆に言えば、それができない生成機構を与えられても、行われたシミュレーションの結果に保証がない。優れた一般化２次検定評価をさらに大きいｉ乗まで持つ（ｄ、ｚ）の発見が望まれる。これは多くの人々の参加と終りのない努力を必要とする作業である。諸般の御共感御理解によるさらなる発展を願っている。

素数の法ｄとその原始根ｚによる（ｄ、ｚ）乗算合同法乱数列の相続く２連が持つ格子の形と２次スペクトル検定の評価値ρ：＝ρ_２（ｄ、ｚ）：＝λ_２（ｄ、ｚ）／Ｍ_２（ｄ）との関係をρ≒１．０５、１．１０、・・・、１．３０について示す。素数の法ｄとその原始根ｚによる（ｄ、ｚ）乗算合同法乱数列の相続く２連が持つ格子の形と２次スペクトル検定の評価値ρ：＝ρ_２（ｄ、ｚ）：＝λ_２（ｄ、ｚ）／Ｍ_２（ｄ）との関係をρ≒１．３５、１．４０、・・・、２．７０について示す。＃１と命名された乗算合同法素数（ｄ、ｚ）の法ｄと乗数ｚの構造、同じスペクトル検定値と実用周期Ｔ’を持つ他の３つの乗数ｚ^−１、−ｚ、−ｚ^−１のリスト、（ｄ、ｚ^１）から（ｄ、ｚ^２０）までの２次スペクトル検定値、そして（ｄ、ｚ）の３次から６次のスペクトル検定値、を示した性能表。＃２と命名された乗算合同法素数（ｄ、ｚ）の法ｄと乗数ｚの構造、同じスペクトル検定値と実用周期Ｔ’を持つ他の３つの乗数ｚ^−１、−ｚ、−ｚ^−１のリスト、（ｄ、ｚ１）から（ｄ、ｚ^２０）までの２次スペクトル検定値、そして（ｄ、ｚ）の３次から６次のスペクトル検定値、を示した性能表。＃３と命名された乗算合同法素数（ｄ、ｚ）の法ｄと乗数ｚの構造、同じスペクトル検定値と実用周期Ｔ’を持つ他の３つの乗数ｚ^−１、−ｚ、−ｚ^−１のリスト、（ｄ、ｚ^１）から（ｄ、ｚ^２０）までの２次スペクトル検定値、そして（ｄ、ｚ）の３次から６次のスペクトル検定値、を示した性能表。＃４と命名された乗算合同法素数（ｄ、ｚ）の法ｄと乗数ｚの構造、同じスペクトル検定値と実用周期Ｔ’を持つ他の３つの乗数ｚ^−１、−ｚ、−ｚ^−１のリスト、（ｄ、ｚ^１）から（ｄ、ｚ^２０）までの２次スペクトル検定値、そして（ｄ、ｚ）の３次から６次のスペクトル検定値、を示した性能表。＃５と命名された乗算合同法素数（ｄ、ｚ）の法ｄと乗数ｚの構造、同じスペクトル検定値と実用周期Ｔ’を持つ他の３つの乗数ｚ^−１、−ｚ、−ｚ^−１のリスト、（ｄ、ｚ^１）から（ｄ、ｚ^２０）までの２次スペクトル検定値、そして（ｄ、ｚ）の３次から６次のスペクトル検定値、を示した性能表。＃６と命名された乗算合同法素数（ｄ、ｚ）の法ｄと乗数ｚの構造、同じスペクトル検定値と実用周期Ｔ’を持つ他の３つの乗数ｚ^−１、−ｚ、−ｚ^−１のリスト、（ｄ、ｚ^１）から（ｄ、ｚ^２０）までの２次スペクトル検定値、そして（ｄ、ｚ）の３次から６次のスペクトル検定値、を示した性能表。＃７と命名された乗算合同法素数（ｄ、ｚ）の法ｄと乗数ｚの構造、同じスペクトル検定値と実用周期Ｔ’を持つ他の３つの乗数ｚ^−１、−ｚ、−ｚ^−１のリスト、（ｄ、ｚ^１）から（ｄ、ｚ^２０）までの２次スペクトル検定値、そして（ｄ、ｚ）の３次から６次のスペクトル検定値、を示した性能表。＃８と命名された乗算合同法素数（ｄ、ｚ）の法ｄと乗数ｚの構造、同じスペクトル検定値と実用周期Ｔ’を持つ他の３つの乗数ｚ^−１、−ｚ、−ｚ^−１のリスト、（ｄ、ｚ^１）から（ｄ、ｚ^２０）までの２次スペクトル検定値、そして（ｄ、ｚ）の３次から６次のスペクトル検定値、を示した性能表。＃９と命名された乗算合同法素数（ｄ、ｚ）の法ｄと乗数ｚの構造、同じスペクトル検定値と実用周期Ｔ’を持つ他の３つの乗数ｚ^−１、−ｚ、−ｚ^−１のリスト、（ｄ、ｚ^１）から（ｄ、ｚ^２０）までの２次スペクトル検定値、そして（ｄ、ｚ）の３次から６次のスペクトル検定値、を示した性能表。

Claims

法を奇素数の積ｄ＝２７１５４２９０３９６５１７とし、それとは素な乗数をｚ＝２１６３３９２３７７５５９６とする乗算合同法（ｄ、ｚ）であり、実用周期がＴ’＝６７８８５６９８６９１３９となるものであって、法ｄを構成する２つの奇素数ｄ_１とｄ_２、ｚの部分法での部分乗数ｚ_１とｚ_２、ｚの２乗から２０乗までの２次スペクトル検定成積、（ｄ、ｚ）の２次から６次までのスペクトル検定結果、及びｚと同等な性能を持つ他の３個の乗数、等が次の性能と与えられる乗算合同法。
法を奇素数の積ｄ＝１５３４７７０２５３９２６３６１とし、それとは素な乗数をｚ＝５１５１０２８５７１７９１８６とする乗算合同法（ｄ、ｚ）であり、実用周期がＴ’＝３８３６９２５３９４０２２５３となるものであって、法ｄを構成する２つの奇素数ｄ_１とｄ_２、ｚの部分法での部分乗数ｚ_１とｚ_２、ｚの２乗から２０乗までの２次スペクトル検定成積、（ｄ、ｚ）の２次から６次までのスペクトル検定結果、及びｚと同等な性能を持つ他の３個の乗数、等が次の性能と与えられる乗算合同法。
法を奇素数の積ｄ＝２３６７２１９９１８２２３３５７とし、それとは素な乗数をｚ＝１８３００８３０２７４６０１９９とする乗算合同法（ｄ、ｚ）であり、実用周期がＴ’＝５９１８０４９５４６５１９１９となるものであって、法ｄを構成する２つの奇素数ｄ_１とｄ_２、ｚの部分法での部分乗数ｚ_１とｚ_２、ｚの２乗から２０乗までの２次スペクトル検定成積、（ｄ、ｚ）の２次から６次までのスペクトル検定結果、及びｚと同等な性能を持つ他の３個の乗数、等が次の性能と与えられる乗算合同法。
法を奇素数の積ｄ＝２９８１５０９２２４８５９４４１とし、それとは素な乗数をｚ＝２５７５４５４３５３５９５１９７とする乗算合同法（ｄ、ｚ）であり、実用周期がＴ’＝７４５３７７２７７３８８２２１となるものであって、法ｄを構成する２つの奇素数ｄ_１とｄ_２、ｚの部分法での部分乗数、ｚの２乗から２０乗までの２次スペクトル検定成積、（ｄ、ｚ）の２次から６次までのスペクトル検定結果、及びｚと同等な性能を持つ他の３個の乗数、等が次の性能と与えられる乗算合同法。
法を奇素数の積ｄ＝３３９９０８５４６９２９９３０９とし、それとは素な乗数をｚ＝２７２０６０５１４２３２２８８８とする乗算合同法（ｄ、ｚ）であり、実用周期がＴ’＝８４９７７１３３７１２６３５１となるものであって、法ｄを構成する２つの奇素数ｄ_１とｄ_２、ｚの部分法での部分乗数、ｚの２乗から２０乗までの２次スペクトル検定成積、（ｄ、ｚ）の２次から６次までのスペクトル検定結果、及びｚと同等な性能を持つ他の３個の乗数、等が次の性能と与えられる乗算合同法。
法を奇素数の積ｄ＝３９３１５３２０３６８１３１４９とし、それとは素な乗数をｚ＝３０７００４８５２７９０８６９３とする乗算合同法（ｄ、ｚ）であり、実用周期がＴ’＝９８２８８２９７７２５７１９１となるものであって、法ｄを構成する２つの奇素数ｄ_１とｄ_２、ｚの部分法での部分乗数、ｚの２乗から２０乗までの２次スペクトル検定成積、（ｄ、ｚ）の２次から６次までのスペクトル検定結果、及びｚと同等な性能を持つ他の３個の乗数、等が次の性能と与えられる乗算合同法。
法を奇素数の積ｄ＝４３５５３０８６９７１６１５０１とし、それとは素な乗数をｚ＝８６２４４９０２４６１１２０５とする乗算合同法（ｄ、ｚ）であり、実用周期がＴ’＝１０８８８２７１４１１６６６２３となるものであって、法ｄを構成する２つの奇素数ｄ_１とｄ_２、ｚの部分法での部分乗数、ｚの２乗から２０乗までの２次スペクトル検定成積、（ｄ、ｚ）の２次から６次までのスペクトル検定結果、及びｚと同等な性能を持つ他の３個の乗数、等が次の性能と与えられる乗算合同法。
法を奇素数の積ｄ＝４５７６３００１６５２５２１１７とし、それとは素な乗数をｚ＝１２３１８２４３０１６１２７０６とする乗算合同法（ｄ、ｚ）であり、実用周期がＴ’＝１１４４０７５００７２７５５７９となるものであって、法ｄを構成する２つの奇素数ｄ_１とｄ_２、ｚの部分法での部分乗数、ｚの２乗から２０乗までの２次スペクトル検定成積、（ｄ、ｚ）の２次から６次までのスペクトル検定結果、及びｚと同等な性能を持つ他の３個の乗数、等が次の性能と与えられる乗算合同法。