JPH11184837A - 最短経路探索システム - Google Patents

最短経路探索システム

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JPH11184837A
JPH11184837A JP34124597A JP34124597A JPH11184837A JP H11184837 A JPH11184837 A JP H11184837A JP 34124597 A JP34124597 A JP 34124597A JP 34124597 A JP34124597 A JP 34124597A JP H11184837 A JPH11184837 A JP H11184837A
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evaluation function
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JP34124597A
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English (en)
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Tetsuro Shibuya
哲朗 渋谷
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International Business Machines Corp
Original Assignee
International Business Machines Corp
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Publication date
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Abstract

(57)【要約】 【課題】単一始点複数終点間での最短経路、及び複数始
点複数終点間での最短経路を求める効率的な方法及びそ
のシステムを提供することである。 【解決手段】上記課題を解決するために、本発明では、
従来の計算方法であるダイクストラ法を基本として、グ
ラフ上の点と終点集合との関係情報を用いて、それの高
速化を行う。ここにおける関係情報とは、ある一つの点
v と終点集合 T に関する評価関数 h(v) である。この
評価値を用いることにより、ダイクストラ法を高速化す
ることができる。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【産業上の利用分野】本願は最短経路探索システムに関
し、特に多数点間での最短経路を求める方法及びそのシ
ステムに関する。
【０００２】
【従来の技術】複数点間の最短経路問題とは、複数の始
点の集合と複数の終点の集合を与えられて、すべての始
点と集合の組に対して、その始点終点間の最短経路を求
める問題である。従って、始点が n 点、 終点が m 点
ある場合、求める最短経路は n×m 組の始点終点に対し
て求めなければならない。なお、始点集合と終点集合の
両方に含まれるような点が存在してもよい。枝長が非負
の有向枝グラフ上で単一始点複数終点の最短経路問題の
ほぼ唯一の計算方法として、ダイクストラ法と呼ばれる
計算方法が知られている。以下に参考としてこのダイク
ストラ法の疑似コードを記載する。
【０００３】 1×NshortestPaths(始点 s, 終点集合 T) { S, 順序キュー(PriorityQueue)は空集合 for ( すべての点 v ) 道のり p( v ) = +∞ ; 始点 s を順序キュー にいれる。 道のり p( s ) = 0 ; while( 順序キュー が空でない ) { 順序キュー から道のりp(v) の値の最も小さい点 v を削除。 v を確定集合 S にいれる。 if (確定集合 S が終点集合 T を含む) break。 for ( v を始点とするすべての枝 e (終点 w ) について) { if ( p(w) > p(v) + 枝長(e) ) { p(w) = p(v ) + 枝長(e); 順序キュー に w をいれる。 } } } }
【０００４】従来、複数始点複数終点の最短経路問題の
計算には、ダイクストラ法を始点数に等しい回数だけ繰
り返し、計算を行う方法が用いられる。またこの方法は
各種ナビゲーション・システムにも使用されている。こ
れまで、この計算方法を高速化するような計算方法は知
られていない。
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】従って、本発明が解決
しようとする課題は、単一始点複数終点間での最短経路
を求める、効率のよい方法及びそのシステムを提供する
ことである。また別の課題は、複数始点複数終点間での
最短経路を求める方法及びそのシステムを提供すること
である。また別の課題は、複数点間での最短経路を探索
する際、少ない処理時間でその解を求めることである。
また別の課題は、複数点間での最短経路を探索する際、
最適性を失わない探索方法および探索システムを提供す
ることである。
【０００６】
【課題を解決するための手段】上記課題を解決するため
に、本発明では、従来の計算方法であるダイクストラ法
を基本として、グラフ上の点と終点集合との関係情報を
用いて、それの高速化を行う。ここにおける関係情報と
は、ある一つの点 v と終点集合 T に関する次のような
評価関数 h(v) である。 ・ h(v) : v より終点集合 T の全ての点への全ての最
短経路長の下限値 本発明では、このような条件を満たす評価関数 h(v) が
計算され、値を有する時、最短路長の評価をしている、
という観点から評価値と呼ぶこととする。この評価値を
用いることにより、ダイクストラ法を高速化することが
できる。なお下限値とは、最小値以下の特定値のことで
ある。
【０００７】図２に、本発明の単一始点複数終点の最短
経路を求めるためのブロック図を示す。まず探索の対象
となる点を記憶する順序キューをブロック２１０で作成
する。次にブロック２２０において、順序キュー内に記
憶された点v であって、始点から点v までの経路長 p
(v) と、点v に隣接する全ての点の中で最短経路長の下
限値 h(v) との和が、最小となる点v を特定する。この
ように点vを特定することにより、探索方向の広がり
に、ある指向特性を与えることができる。そしてブロッ
ク２３０で点v を前記順序キューから削除し、ブロック
２４０でこれを最短経路の確定集合Ｓに記憶する。確定
集合Ｓとはいわば最短経路の解を記憶した集合である。
この確定集合Ｓに終点の全てが記憶されたかどうかを判
断する（ブロック２５０）。もし記憶されている場合は
最短経路探索は終了する。次にブロック２６０におい
て、点v に隣接する点w であって、始点から点v の経路
長 p(v)と、点v から点w の経路長の和が p(w)より小さ
くなるような点w をすべて特定する。そして最後にブロ
ック２７０で点w を前記順序キューに記憶し、処理を再
びブロック２２０へ戻す。
【０００８】
【発明の実施の形態】以下、図面を参照して本発明の実
施例を説明する。図１には、本発明において使用される
最短経路探索システムのハードウェア構成の一実施例を
示す概観図が示されている。システム１００は、中央処
理装置（ＣＰＵ）１とメモリ４とを含んでいる。ＣＰＵ
１とメモリ４は、バス２を介して、補助記憶装置として
のハードディスク装置１３（またはＭＯ、ＣＤ−ＲＯＭ
２３、ＤＶＤ等の記憶媒体駆動装置）とＩＤＥコントロ
ーラ２５を介して接続してある。同様にＣＰＵ１とメモ
リ４は、バス２を介して、補助記憶装置としてのハード
ディスク装置３０（またはＭＯ２８、ＣＤ−ＲＯＭ２
３、ＤＶＤ等の記憶媒体駆動装置）とＳＣＳＩコントロ
ーラ２７を介して接続してある。フロッピーディスク装
置２０はフロッピーディスクコントローラ１９を介して
バス２へ接続されている。なおこれら外部記憶装置に
は、ナビーゲションシステムであれば地図情報等を記憶
できる。
【０００９】フロッピーディスク装置２０には、フロッ
ピーディスクが挿入され、このフロッピーディスク等や
ハードディスク装置１３（またはＭＯ、ＣＤ−ＲＯＭ、
ＤＶＤ等の記憶媒体）、ＲＯＭ１４には、オペレーティ
ングシステムと協働してＣＰＵ等に命令を与え、本発明
を実施するためのコンピュータ・プログラムのコード若
しくはデータを記録することができ、メモリ４にロード
されることによって実行される。このコンピュータ・プ
ログラムのコードは圧縮し、または、複数に分割して、
複数の媒体に記録することもできる。
【００１０】システム１００は更に、ユーザ・インター
フェース・ハードウェアを備え、入力をするためのポイ
ンティング・デバイス（マウス、ジョイスティック等）
７またはキーボード６や、視覚データをユーザに提示す
るためのディスプレイ１２を有することができる。ま
た、パラレルポート１６を介してプリンタを接続するこ
とや、シリアルポート１５を介してモデムを接続するこ
とが可能である。このシステム１００は、シリアルポー
ト１５およびモデムまたは通信アダプタ１８(イーサネ
ットやトークンリング・カード)等を介してネットワー
クに接続し、他のコンピュータ等と通信を行うことが可
能である。またシリアルポート１５若しくはパラレルポ
ート１６に、遠隔送受信機器を接続して、赤外線若しく
は電波によりデータの送受信を行うことも可能である。
また該ユーザ・インターフェース・ハードウェアはディ
スプレイおよびポインティングデバイスが一つとなった
タッチパネル形式であって全く構わない。
【００１１】スピーカ２３は、オーディオ・コントロー
ラ２１によってＤ／Ａ（デジタル／アナログ変換）変換
された音声信号を、アンプ２２を介して受領し、音声と
して出力する。また、オーディオ・コントローラ２１
は、マイクロフォン２４から受領した音声情報をＡ／Ｄ
（アナログ／デジタル）変換し、システム外部の音声情
報をシステムにとり込むことを可能にしている。
【００１２】このように、本発明の最短経路探索システ
ム、ナビゲーションシステムは、通常のパーソナルコン
ピュータ（ＰＣ）やワークステーション、ノートブック
ＰＣ、パームトップＰＣ、ネットワークコンピュータ、
コンピュータを内蔵したテレビ等の各種家電製品、通信
機能を有するゲーム機、電話、ＦＡＸ、携帯電話、ＰＨ
Ｓ、電子手帳、等を含む通信機能有する通信端末、また
は、これらの組合せによって実施可能であることを容易
に理解できるであろう。ただし、これらの構成要素は例
示であり、その全ての構成要素が本発明の必須の構成要
素となるわけではない。
【００１３】図３に本発明の単一始点複数終点の最短経
路を求める方法をより詳細に図示する。ステップ300に
おいて、最短経路確定集合Sを初期化し、順序キュー（P
riorityQueue）に、最初の始点ｓを記憶する。また予め
すべての経路の対象となるノードｖに対して、道のり配
列 p(v) に最大値を記憶しておく。但し最初の道のり p
(s) は 0 である。次にステップ310 で順序キューに何
もないかを判断する。もし順序キューが空であれば処理
はステップ320で終了する。これは探索が失敗したこと
を示す。つまり一部又は全ての終点までの経路が存在し
ないことを意味する。もしステップ310の判断がNoであ
れば、ステップ330で順序キューに含まれる点の内で、p
(v)+h(v)が最小となる点vを求める。
【００１４】ここでの p(v)+h(v) が、従来の計算方法
であるダイクストラ法を基本とした計算方法と異なる点
である。すなわちグラフ上の点と終点集合との関係情報
を用いて、それの高速化を行う部分に相当する。ここに
おける関係情報が、ある一つの点 v と終点集合 T に関
する値 h(v)、すなわち評価関数であり、以下のように
定義される。 ・ h(v) : v より終点集合 T の全ての点への全ての最
短経路長の下限値 この評価値を用いることにより、ダイクストラ法を高速
化することができる。なお、下限値とは、最小値以下の
特定値（最短の長さより短い値）という意味である。な
お、この評価関数よりも常に定数だけ大きい値を、評価
関数 h(v) としても構わない。
【００１５】処理は次に、ステップ340に移り、順序キ
ューから、p(v)+h(v)が最小となる点vが削除される。こ
れは最短経路確定集合の１つが見つかったことを意味す
る。ステプ350で確定集合S にこの点v を加える。次に
ステップ360で終点集合T がSに含まれるかを判断する。
ステップ360の判断結果がNoであれば、ステップ370で点
vを始点とするすべての枝eの各終点wについて機能<b>を
行う。
【００１６】機能<b>については、ブロック390で示され
るように、まずステップ392で点vまでの道のりp(v)と枝
長(e)を足したものが、点wまでの道のりp(w)より小さい
かどうかを判断する。その結果がNoであれば処理をステ
ップ398で終了し、その結果がYesであればp(w)にp(v)+
枝長(e)を代入し、順序キューにwを加える。要するに始
点からの点w への最短経路の候補を必要に応じて更新し
ていることに他ならない。ステップ370で新しい順序キ
ューを追加した後、処理は再びステップ310へ戻る。
【００１７】以下、上記の処理フローを疑似コードで記
載したものが以下である。
【００１８】 1×NShortestPaths2(始点 s, 終点集合 T) { S, 順序キュー は空集合。 for ( すべての点 v ) 道のり p( v ) = +∞ ; 始点 s を順序キュー にいれる。 道のり p( s ) = 0 ; while( 順序キュー が空でない ) { 順序キュー からp(v)+h(v) の値の最も小さい点 v を削除。 v を確定集合 S にいれる。 if (確定集合 S が終点集合 T を含む) break。 for ( v を始点とするすべての枝 e (終点 w ) について) { if ( p(w) > p(v) + 枝長(e) ) { p(w) = p(v ) + 枝長(e); 順序キュー に w をいれる。 } } } }
【００１９】このように計算するにより、探索領域を減
らすことができ、計算量の減少を図ることができる。ま
たこの計算方法によって最適性が失われることはない。
なお、始点が複数の場合、ダイクストラ法と同じように
始点数と等しい回数この手続きを行えばよい。
【００２０】さらに、この 評価値h(v) に関して、次の
ような制約をすべての枝 e = (v, w) に対して与える
と、 h(v) < h(w) + 枝長 (v, w) 同じ点を２度以上確定集合 S にいれることを防ぐこと
ができ、この計算量をさらに減らし効率的なものとする
ことができる。
【００２１】枝長非負の有向グラフにおいて常に使える
評価関数 h(v) の最も基本的な値として特に次の評価関
数 h*(v) がある。 ・ h*(v): v より終点集合 T の全ての点への全ての最
短経路長のうち最短の長さ 評価関数 h*(v) は終点集合Tから、逆方向探索によって
求めることができる。以下に、参考として、この h*(v)
を求めたい点集合 U の点に対して求める最も基本的な
疑似コードを示す。
【００２２】 ComputeH*(求めたい集合 U, 終点集合 T) { S, 順序キュー は空集合。 for ( すべての点 v ) h*( v ) = +∞ ; for ( T の全ての点 t ) { t を順序キュー にいれる。 h*( t ) = 0 ; } while( 順序キュー が空でない ) { 順序キュー からh*(v) の値の最も小さい点 v を削除。 v を確定集合 S にいれる。 if (確定集合 S が集合 U を含む) break。 for ( v を終点とするすべての枝 e (始点 w ) について) { if ( h*(w) > h*(v) + 枝長(e) ) { h*(w) = h*(v) + 枝長(e); 順序キュー に w をいれる。 } } } }
【００２３】上記で述べた h(v) の値は h*(v) に限ら
ず、最初の h(v) の条件を満たすものであれば何でもよ
い。つまり h(v) の計算方法に関わらず、そのようなグ
ラフ各点と終点集合との関係情報を使用する方法であれ
ば同様に実施可能である。また上記とは逆に、グラフの
有向枝の向きを逆にすることにより、探索を逆側から
（終点側から）行うことも全く等価であり、そのような
始点と終点を逆にしたような計算方法も全く同様に実施
可能である。また同様の方法で経路長だけを列挙するよ
うしてもよい。
【００２４】なお探索範囲が非常に広い場合、評価値を
グラフ上全ての点に対して求めることが無駄であること
が多い。そこで、評価値を必要に応じて求めるように仕
組むことが可能である。図４に、評価値として、構成で
述べた h*(v) を使ったフローチャートを示す。
【００２５】まずステップ400において、最短経路確定
集合Wを初期化し、順序キュー2（PriorityQueue2）に、
終点集合Tを記憶する。また予めすべての経路の対象と
なるノードｖに対して、h*(v) に最大値を記憶してお
く。但しTに含まれるすべてのtに関して、h*(v)に0を記
憶しておく。次にステップ410 で始点集合Sが空である
かを判断する。もし始点集合Sが空であれば処理はステ
ップ420で終了する。これはすべての組み合わせの始点
終点間の最短経路の計算が終了したことを示す。もしス
テップ410の判断がNoであれば、ステップ430でSから適
当な始点sを選択し、始点集合Sからsを削除する。次に
ステップ440で、確定集合 U を空にして、順序キューに
sを代入し、すべての点vに対して、道のり配列 p(v) に
最大値を記憶しておく。但し最初の道のり p(s) は 0
である。次に処理はステップ450へ移り、順序キューが
空であるか判断する。その結果がYesであれば処理は再
びステップ410へ戻る。その結果がNoであれば処理はス
テップ460へ進む。ステップ460で順序キューに含まれる
点の内で、p(v)+h*(v)が最小となる点vを求める。これ
は最短経路確定集合の１つが見つかったことを意味す
る。
【００２６】次にステップ470で、順序キューから、p
(v)+h*(v)が最小となる点vが削除される。ステップ480
で確定集合U にこの点v を加える。次にステップ490で
終点集合T がUに含まれるかを判断する。ステップ490で
は、Uに関する判断を行っているが、点vが見つかった時
点で点vが終点集合Tに含まれるどうかを判断しても構わ
ない。もし含まれていれば処理はステップ410に戻る。
ステップ490の判断結果がNoであれば、ステップ495で点
vを始点とするすべての枝eの各終点wについて機能<c>を
行う。
【００２７】機能<c>については、図５（ａ）のブロッ
ク500で示されるように、まずステップ510で点vまでの
道のりp(v)と枝長(e)を足したものが、点wまでの道のり
p(w)より小さいかどうかを判断する。その結果がNoであ
れば処理をステップ570で順序キューにwを加えて、ステ
ップ580で機能を終了する。その結果がYesであればステ
ップ520でp(w)にp(v)+枝長(e)を代入する。
【００２８】次に処理はステップ530へ進み、順序キュ
ー2が空かまたは確定集合Wがwを含むかが判断される。
もし含んでれば処理はステップ570へ進み、含んでいな
ければ処理はステップ540へ進む。ステップ540ではuに
順序キュー2の中で最もh*(v)の値が小さい点が代入され
る。次にステップ550で順序キュー2からuを削除し、確
定集合Wにwを加える。そしてステップ560で点uを終点と
するすべての枝fの各始点xについて機能<d>を行う。
【００２９】機能<d>については、図５（ｂ）のブロッ
ク590で示されるように、まずステップ592で点vまでの
道のりp(v)と枝長(e)を足したものが、点wまでの道のり
p(w)より小さいかどうかを判断する。その結果がNoであ
れば処理をステップ598で終了し、その結果がYesであれ
ばh*(x)にh*(u)+枝長(e)を代入し、ステップ596におい
て順序キュー2にwを加える。そして処理はステップ598
へ進み機能を終了する。以下に、上記の必要のない評価
値を最小限しか求めないようにした図４および図５のフ
ローチャートの疑似コードを記載する。
【００３０】 ComputeH*2( 求めたい点 w ) { while(順序キュー2 が空でない、かつ確定集合 W が w を含まない ) { 順序キュー2 からh*(v) の値の最も小さい点v を削除。 v をh*(v) の確定集合 W にいれる。 for ( v を終点とするすべての枝 e (始点 x) について) { if ( h*(x) > h*(v) + 枝長(e) ) { h*(x) = h*(v ) + 枝長(e); 順序キュー2 に x をいれる。 } } } } 1×NShortestPaths3(始点 s, 終点集合 T) { U, 順序キュー は空集合 for ( すべての点 v ) 道のり p( v ) = +∞ ; 始点 s を順序キュー にいれる。 道のり p( s ) = 0 ; while( 順序キュー が空でない ) { 順序キュー からp(v)+h*(v) の値の最も小さい点 v を削除。 v を確定集合 U にいれる。 if (確定集合 U が終点集合 T を含む) break。 for ( v を始点とするすべての枝 e (終点 w ) について) { if ( p(w) > p(v) + 枝長(e) ) { p(w) = p(v ) + 枝長(e); ComputeH*2(w); 順序キュー に w をいれる。 } } } } N×ＭShortestPaths(始点集合 S, 終点集合 T) { W, 順序キュー2 は空集合 for ( すべての点 v ) 評価値 h*( v ) = +∞; for ( T の全ての点 t ) { t を順序キュー2 にいれる。 h*( t ) = 0 ; } for ( S に含まれる全ての点 s ) 1×NshortestPaths3(始点 s, 終点集合 T); }
【００３１】次に、行き止まりのあるようなマップ上で
の探索手法の実施例を示す。上記必要のない評価値を最
小限しか求めないようにする方法でも、終点への経路が
存在しないような点が道路上に存在した場合、グラフ全
体を計算してしまうことがある。たとえば、行き止まり
が存在するようなケースがそれにあたる。そのようなケ
ースで、かつグラフ全体を探索するのが時間がかかりす
ぎるようなケースでは、次のように評価関数を変えて、
実施するとよい。 ・ h'(v): h*(v) と適当な定数 c のうちで小さいもの 評価関数 h'(v)は h*(v)と同様、終点集合Tから、逆方
向探索によって求めることができる。以下に参考とし
て、この h'(v)を求める最も基本的な疑似コードを示
す。
【００３２】 ComputeH' ( 終点集合 T, 定数 c ) { S, 順序キュー は空集合。 for ( すべての点 v ) h*( v ) = c ; for ( T の全ての点 t ) { t を順序キュー にいれる。 h*( t ) = 0 ; } while(順序キュー が空でない) { 順序キュー からh*(v) の値の最も小さい点 v を削除。 v をh*(v) の確定集合 S にいれる。 for ( v を終点とするすべての枝 e (始点 w ) について) { if ( h*(w) > h*(v) + 枝長(e) ) { h*(w) = h*(v ) + 枝長(e); 順序キュー に w をいれる。 } } } }
【００３３】要するに、初期化の段階で、予めすべての
経路の対象となるノードｖに対して、h'(v) に最大値を
記憶するのではなく定数cを記憶しておくわけである。
このようにしておけば、評価値計算のためにグラフすべ
てを探索することを避けることができる。しかしなが
ら、この定数 c を妥当に設定するのは難しい。従っ
て、実際には、始点集合に含まれる点の評価値を求めた
のち、初めて、この c をそれまで求めた評価値の最大
値を超える適当な値に設定するのが妥当である。
【００３４】上記の評価値は実際の道のりを利用した方
法であるが、この方法は逆方向の探索をする必要がある
ため、逆方向の枝の隣接情報がもてないようなメモリの
少ない状況では使えない。そのような場合、直線距離を
用いることも可能である。次のような評価関数、 ・ d(v): v から終点集合の各点への直線距離の中で一
番小さいもの を考えると、これは、評価関数の制限を満たす。これを
求めることに対しては、k-d 木などのデータ構造が知ら
れており、高速に計算することが可能である。さらに、
この評価値の場合、ひとつひとつ必要に応じて計算で
き、無駄な計算は最小限に抑えることが可能である。
【００３５】
【発明の効果】本発明により、地図情報システム、多く
の最適化ツール、巡回商人問題や車両配送問題、倉庫配
置問題などの計算システムに組み込むことのできる、高
速な経路探索システムが提供される。またその探索方法
は複数始点複数終点に対応し、最適性が失われることの
ない計算方法を提供する。本発明の効率的なアルゴリズ
ムにより、従来の手法に比較して最短経路計算部分の処
理時間を３〜７割短縮することが可能となる。
【００３６】
【図面の簡単な説明】
【図１】最短経路探索システムのハードウェア構成の一
実施例を示す。
【図２】本発明の単一始点複数終点の最短経路探索シス
テムのブロック図である。
【図３】本発明の単一始点複数終点の最短経路を求める
フローチャートである。
【図４】始点集合Ｓから終点集合Ｔへの最短経路を求め
るフローチャートである。
【図５】始点集合Ｓから終点集合Ｔへの最短経路を求め
るフローチャートである。

Claims (19)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】１つの始点から複数の終点への最短経路を
    探索するシステムであって、（１）探索の対象となる点
    を記憶するための、順序キューを作成する手段と、
    （２）前記順序キュー内に記憶された点v であって、始
    点から点v までの経路長p(v) と、点v に隣接する点と
    終点集合との関係から得られる評価関数 h(v) との和
    が、最小となる点v を特定する手段と、（３）前記点v
    を前記順序キューから削除する手段と、（４）前記点v
    を最短経路の確定集合Ｓに記憶する手段と、（５）前記
    確定集合Ｓに前記複数の終点の全てが記憶された場合、
    処理を終了する手段と、（６）前記点v に隣接する点w
    であって、始点から点v の経路長 p(v)と、点vから点w
    の経路長の和が、p(w)より小さくなるような点w をすべ
    て特定する手段と、（７）前記点w をすべて前記順序キ
    ューに記憶する手段と、 を具備することを特徴とする、最短経路探索システム。
  2. 【請求項２】複数の始点から複数の終点への最短経路を
    探索するシステムであって、複数の始点の各々に対し
    て、（１）探索の対象となる点を記憶するための、順序
    キューを作成する手段と、（２）前記順序キュー内に記
    憶された点v であって、始点から点v までの経路長p(v)
    と、点v に隣接する点と終点集合との関係から得られ
    る評価関数 h(v) との和が、最小となる点v を特定する
    手段と、（３）前記点v を前記順序キューから削除する
    手段と、（４）前記点v を最短経路の確定集合Ｓに記憶
    する手段と、（５）前記確定集合Ｓに前記複数の終点の
    全てが記憶された場合、処理を終了する手段と、（６）
    前記点v に隣接する点w であって、始点から点v の経路
    長 p(v)と、点vから点w の経路長の和が、p(w)より小さ
    くなるような点w をすべて特定する手段と、（７）前記
    点w をすべて前記順序キューに記憶する手段と、 を具備することを特徴とする、最短経路探索システム。
  3. 【請求項３】１つの始点から複数の終点への最短経路を
    探索するナビーゲション・システムであって、（１）探
    索の対象となる点を記憶するための、順序キューを作成
    する手段と、（２）前記順序キュー内に記憶された点v
    であって、始点から点v までの経路長p(v) と、点v に
    隣接する点と終点集合との関係から得られる評価関数 h
    (v) との和が、最小となる点v を特定する手段と、
    （３）前記点v を前記順序キューから削除する手段と、
    （４）前記点v を最短経路の確定集合Ｓに記憶する手段
    と、（５）前記確定集合Ｓに前記複数の終点の全てが記
    憶された場合、処理を終了する手段と、（６）前記点v
    に隣接する点w であって、始点から点v の経路長 p(v)
    と、点vから点w の経路長の和が、p(w)より小さくなる
    ような点w をすべて特定する手段と、（７）前記点w を
    すべて前記順序キューに記憶する手段と、 を具備することを特徴とする、ナビゲーション・システ
    ム。
  4. 【請求項４】複数の始点から複数の終点への最短経路を
    探索するナビゲーション・システムであって、前記複数
    の始点の各々に対して、（１）探索の対象となる点を記
    憶するための、順序キューを作成する手段と、（２）前
    記順序キュー内に記憶された点v であって、始点から点
    v までの経路長p(v) と、点v に隣接する点と終点集合
    との関係から得られる評価関数 h(v) との和が、最小と
    なる点v を特定する手段と、（３）前記点v を前記順序
    キューから削除する手段と、（４）前記点v を最短経路
    の確定集合Ｓに記憶する手段と、（５）前記確定集合Ｓ
    に前記複数の終点の全てが記憶された場合、処理を終了
    する手段と、（６）前記点v に隣接する点w であって、
    始点から点v の経路長 p(v)と、点vから点w の経路長の
    和が、p(w)より小さくなるような点w をすべて特定する
    手段と、（７）前記点w をすべて前記順序キューに記憶
    する手段と、 を具備することを特徴とする、ナビゲーション・システ
    ム。
  5. 【請求項５】前記手段（６）において、前記評価関数 h
    (v) が h(v) の値よりも h(w)の値と点v から点w への
    経路長の和が大きくなるような条件を常に満たしている
    評価関数 h(v) である、請求項１乃至４の何れかに記
    載のシステム。
  6. 【請求項６】前記手段（２）において、前記評価関数 h
    (v) が、点v に隣接する全ての点の中で最短経路長のう
    ち最短の長さより、短い値である、請求項１乃至４の何
    れかに記載のシステム。
  7. 【請求項７】前記評価関数 h(v) よりも、常に定数だけ
    大きい値をとるようにした評価関数を、評価関数 h(v)
    とする、請求項６記載のシステム。
  8. 【請求項８】前記手段（２）において、前記評価関数 h
    (v) が、点v に隣接する全ての点の中で最短経路長のう
    ち最短の長さに等しい値である、請求項１乃至４の何れ
    かに記載のシステム。
  9. 【請求項９】前記手段（２）において、前記評価関数 h
    (v) が、点v に隣接する全ての点の中で最短経路長のう
    ち最短の長さに等しい値と、適当な定数 c とのうち、
    小さい方の値を取る、請求項１乃至４の何れかに記載の
    システム。
  10. 【請求項１０】前記手段（２）において、前記評価関数
    h(v) が、点v に隣接する全ての点の中で、終点集合の
    各点への直線距離の中で一番小さい値である、請求項１
    乃至４の何れかに記載のシステム。
  11. 【請求項１１】１つの始点から複数の終点への最短経路
    を探索する方法であって、（１）探索の対象となる点を
    記憶するための、順序キューを作成する段階と、（２）
    前記順序キュー内に記憶された点v であって、始点から
    点v までの経路長p(v) と、点v に隣接する点と終点集
    合との関係から得られる評価関数 h(v) との和が、最小
    となる点v を特定する段階と、（３）前記点v を前記順
    序キューから削除する段階と、（４）前記点v を最短経
    路の確定集合Ｓに記憶する段階と、（５）前記点v に隣
    接する点w であって、始点から点v の経路長 p(v)と、
    点vから点w の経路長の和が、p(w)より小さくなるよう
    な点w をすべて特定する段階と、（６）前記点w をすべ
    て前記順序キューに記憶する段階と、（７）前記手段
    （２）乃至（６）を確定集合Ｓに前記複数の終点の全て
    が記憶されるまで繰り返す段階と、 を具備することを特徴とする、最短経路探索方法。
  12. 【請求項１２】１つの始点から複数の終点への最短経路
    を探索するためのプログラムを含む媒体であって、該プ
    ログラムが、（１）探索の対象となる点を記憶するため
    の、順序キューを作成する機能と、（２）前記順序キュ
    ー内に記憶された点v であって、始点から点v までの経
    路長p(v) と、点v に隣接する点と終点集合との関係か
    ら得られる評価関数 h(v) との和が、最小となる点v を
    特定する機能と、（３）前記点v を前記順序キューから
    削除する機能と、（４）前記点v を最短経路の確定集合
    Ｓに記憶する機能と、（５）前記点v に隣接する点w で
    あって、始点から点v の経路長 p(v)と、点vから点w の
    経路長の和が、p(w)より小さくなるような点w をすべて
    特定する機能と、（６）前記点w をすべて前記順序キュ
    ーに記憶する機能と、（７）前記手段（２）乃至（６）
    を確定集合Ｓに前記複数の終点の全てが記憶されるまで
    繰り返す機能と、 を有することを特徴とする、プログラムを含む媒体。
  13. 【請求項１３】複数の始点から複数の終点への最短経路
    を探索するためのプログラムを含む媒体であって、該プ
    ログラムが、（１）探索の対象となる点を記憶するため
    の、順序キューを作成する機能と、（２）前記順序キュ
    ー内に記憶された点v であって、始点から点v までの経
    路長p(v) と、点v に隣接する点と終点集合との関係か
    ら得られる評価関数 h(v) との和が、最小となる点v を
    特定する機能と、（３）前記点v を前記順序キューから
    削除する機能と、（４）前記点v を最短経路の確定集合
    Ｓに記憶する機能と、（５）前記点v に隣接する点w で
    あって、始点から点v の経路長 p(v)と、点vから点w の
    経路長の和が、p(w)より小さくなるような点w をすべて
    特定する機能と、（６）前記点w をすべて前記順序キュ
    ーに記憶する機能と、（７）前記手段（２）乃至（６）
    を確定集合Ｓに前記複数の終点の全てが記憶されるまで
    繰り返す機能と、 を具備し、前記複数の始点の各々に対して、上記（１）
    乃至（７）の機能を適用することを特徴とする、プログ
    ラムを含む媒体。
  14. 【請求項１４】前記機能（５）において、前記評価関数
    h(v) が h(v) の値よりも h(w)の値と点v から点w へ
    の経路長の和が大きくなるような条件を常に満たしてい
    る評価関数 h(v) である、請求項１２乃至１３の何れ
    かに記載の媒体。
  15. 【請求項１５】前記機能（２）において、前記評価関数
    h(v) が、点v に隣接する全ての点の中で最短経路長の
    うち最短の長さより、短い値である、請求項１２乃至１
    ３の何れかに記載の媒体。
  16. 【請求項１６】前記評価関数 h(v) よりも、常に定数だ
    け大きい値をとるようにした評価関数を、評価関数 h
    (v) とする、請求項１５記載の媒体。
  17. 【請求項１７】前記機能（２）において、前記評価関数
    h(v) が、点v に隣接する全ての点の中で最短経路長の
    うち最短の長さに等しい値である、請求項１２乃至１３
    の何れかに記載の媒体。
  18. 【請求項１８】前記機能（２）において、前記評価関数
    h(v) が、点v に隣接する全ての点の中で最短経路長の
    うち最短の長さに等しい値と、適当な定数 c とのう
    ち、小さい方の値を取る、請求項１２乃至１３の何れか
    に記載の媒体。
  19. 【請求項１９】前記機能（２）において、前記評価関数
    h(v) が、点v に隣接する全ての点の中で、終点集合の
    各点への直線距離の中で一番小さい値である、請求項１
    ２乃至１３の何れかに記載の媒体。
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