JPH10171862A - 経路探索方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 一筆書きの経路をニューラルネットを用いて
求める際に、通過すべき点の数が多い場合でも少ない計
算回数で経路が求められるようにする。 【解決手段】 （ａ）のように計算の結果二つのループ
に別れた場合、各点〜におけるループ通過回数と、
辺の数を求める。点、に関しては、ループ１、２と
もに一回通過しているのでｐａｓｓ（ｉ，ｊ）＝１であ
る。また、この点から４本の辺が伸びているので、ｄｅ
ｇ（ｐｔ（ｉ，ｊ））＝４である。これらを次式（８）
に代入し、右辺が０にならなければ、点、について
接続を解いて図１（ｂ）のようにした上で再計算するこ
とにより、１ループに収束し易くする。 【数１６】

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、通信ネットワーク
等において最適な経路（ルート）を検索する経路探索方
法に関するものである。

【０００２】

【従来の技術】従来よりルーティング問題の一つとして
「一筆書き」の経路をいかに求めるかについてさまざま
な研究がなされてきた。例えば、コンピュータネットワ
ークの配線の最適化、プリント配線基板上の配線パター
ンの最適化、ＮＣ（数値制御）自動工作機械のドリル等
のパスラインの最適化、自動倉庫等の搬送経路検索、さ
らには、カーナビゲーションシステムにおける道順検索
等の分野においてこの「一筆書き」の手法が必要とされ
ている。グラフ理論においては、一筆書きは数学的には
オイラー小道（Ｅｕｉｅｒ ｔｒａｉｌ）または、オイ
ラー回路（Ｅｕｉｅｒ ｃｉｒｃｕｉｔ）と呼ばれてい
る。グラフＧのオイラー小道とは、Ｇの全ての辺を通る
小道のことで、オイラー回路とはＧの全ての辺を通る回
路のことである。小道とは、グラフ上において全ての辺
が異なるような道筋のことで、回路とは、閉じた小道の
ことである。連結グラフＧにオイラー回路が存在するた
めの必要十分条件は、「Ｇの各点の次数が偶数であるこ
と」で、閉じていないオイラー小道が存在するための必
要十分条件は、「二つの点の次数が奇数で、他の全ての
点の次数が偶数であること」である。次数とは、グラフ
上の点に対し、その点に接続する辺の個数のことであ
る。この二つの条件のいずれかを満たせば、一筆書きが
可能であるといえる。図５はその一例であり、（ａ）、
（ｂ）は一筆書きが可能な図形の例を、（ｃ）は一筆書
きが不可能な図形の例を示している。グラフ理論による
オイラー回路の解法に関しては、Ｆｌｕｅｒｙがそのア
ルゴリズムを示しているが、以下においてはこれをニュ
ーラルネットワークを用いて解く場合について説明す
る。ここでは、オイラー回路が存在するｎ個の点とｍ個
の辺とからなるグラフＧを対象にして説明する。なお、
オイラー小道が存在するグラフに対しては、次数が奇数
になる２つの点どうしを仮想的な辺で結ぶことで、オイ
ラー回路として解くことができる。

【０００３】一筆書きの問題をニューラルネットで解く
にあたり、２段階の計算を行う。まず第１段階として、
各辺に対してオイラー回路を形成することが可能で、か
つ、１方向にのみ進行が可能となるように、向きをかえ
る計算を行う。そのためのニューラル表現として、ｎ×
ｍ個のニューロンを使用した２次元の行列Ｖhiを考え
る。ここで、h は辺、ｉは有向辺h の始点を表し、ニュ
ーロンＶhiが発火している状態とは、有向辺ｈの始点が
ｉであることを表している。次に第２段階として、第１
段階で向きが定義された各辺を、一つの閉じたループと
なるように並び換える計算を行う。そのためのニューラ
ル表現として、ｍ×ｍ個のニューロンを使用した２次元
の行列Ｗijを考える。ここでｉとｊは辺を表し、ニュー
ロンＷijが発火している状態とは、辺ｉの次は辺ｊを通
ることを表している。次に、ニューラルネットワークの
動作式（モーション方程式）について説明する。ニュー
ロンＶhiおよびニューロンＷijが発火している状態をＶ
hi＝１およびＷij＝１、発火していない状態をＶhi＝０
およびＷij＝０と表現することにする。また、第１段階
及び第２段階で使用されるニューロンＶhiおよびＷijに
対して、それぞれの入力をＵhi、Ｔijと表すことにす
る。なお、ニューロンのモデルとしては、第１段階、第
２段階ともに、 出力＝１if入力＞０ and 出力＝０if入力≦０ で表されるマッカロック・ビッツ・モデルを使用する。 ◆第１段階：辺の向き決定 オイラー回路を形成することが可能なように全ての辺の
向きを一定にするには、次の二つの制約条件（イ）、
（ロ）が必要となる。 （イ）各点が（次数/ ２）回始点として使用されなけれ
ばならない。 （ロ）各辺に対して、始点と終点はそれぞれ一つづつ定
義される。 ニューロンＶhiの発火可能性をｄhiで表すことにする。
任意の辺ｈに対して発火可能なニューロンとは、２点
ｉ、ｊが辺ｈの端点となるようなニューロンＶhiのこと
であり、ニューロンＶhiが発火可能である場合ｄhi＝
１、発火可能でない場合ｄhi＝０と表すことにする。一
つめの制約条件（イ）から得られる動作式の項は次のよ
うに表される。

【０００４】

【数１】 ここで、Ａは任意の正の定数、ｄｅｇ（ｉ）は点ｉに対
してその次数を返す関数である。二つめの制約条件
（ロ）から得られる項は、次のようになる。

【０００５】

【数２】 ここでＢは任意の正の定数である。また、極小解から抜
け出すために次の項を加える。

【０００６】

【数３】 ここでＣは任委の正の定数で、ｈ（ｘ）はヒルクライム
関数と呼ばれる関数である。ヒルクライム関数ｈ（ｘ）
は、ｘ＝０のとき１を返し、それ以外のときは０を返す
関数である。また、関数ｆ（ｘ）は、ｘ≦ｄｉｇ（ｋ）
/ ２のとき０を返し、それ以外のときは１を返す関数で
ある。この計算における動作式は次のようなものとな
る。

【０００７】

【数４】 ◆第２段階：ループ形成 第１段階で向きが決定された辺によってオイラー回路を
形成するには、次の二つの制約条件（ハ）、（ニ）が必
要となる。 （ハ）各辺は一度づつ使用される。 （ニ）全ての辺を用いて閉じた一つのループを形成す
る。 ニューロンＷijの発火条件をｅijで表すことにする。辺
ｉの終点と辺ｊの始点が同一である場合、ニューロンＷ
ijは発火状態となる。発火可能の場合ｅij＝１、発火可
能でない場合ｅij＝０と表すことにする。一つめの制約
条件（ハ）から得られる動作式の項は次のように表され
る。

【０００８】

【数５】 ここで、Ｄは任意の正の定数である。また、極小解から
抜け出すために次の項を加える。

【０００９】

【数６】 ここでＥは任委の正の定数で、ｈ（ｘ）は前述したヒル
クライム関数である。これらの式に対して、次数の低い
点を含む通路を表すニューロンを早めに発火させるため
に正規化を行うための式を加えると、この計算における
動作式は次のように表される。

【００１０】

【数７】 ここでｐｔ（ｉ，ｊ）は辺Ｉ、Ｊが共有する頂点を返す
関数である。二つめの制約条件（ニ）は、上記動作式
（７）で解が収束した時点で検証される。また、グラフ
理論においては、経路探索問題はハミルトン回路問題の
一種と見ることができる。ハミルトン回路問題とは、い
くつかの点が存在する場合にある条件を満たしつつ全て
の点を通るような経路を探索する問題である。この経路
探索問題の場合の条件とは、ある点から他の点に移動す
ることが許されているかどうかである。

【００１１】このような問題のニューラルネットワーク
による解決方法は、本発明者らが「ナイト巡回問題」の
解法として扱っている(K.C.Lee and Y.Takefuji,"Findi
ng aKnight's tour on an NxM chessboard with O(MN)
hysteresis McCulloch-Pitts neurons",IEEE Transacti
on on System Man and Cybernetics,1990) 。以下、本
発明者らによる「ナイト巡回問題」を一般化した方法に
ついて説明する。ここでは経路に制限のあるｎ個の点を
対象にして説明する。そのためのニューラル表現とし
て、図７のようなｎ×ｎ個の２次元ニューロン配列Ｗを
考える。図７（ａ）のニューロンＷｉｊは点ｉ（＝１〜
６）から点ｊ（＝１〜６）への向きを持つ辺を表わし、
ニューロンＷｉｊが発火している状態とは、図７（ｂ）
に矢印で示すように点ｉから点ｊを結ぶ辺を通ることを
表わしている。ニューロンＷｉｊの出力および入力をそ
れぞれＶｉｊ、Ｕｉｊと表わす。ニューロンが発火して
いる状態はＶｉｊ＝１、発火していない状態はＶｉｊ＝
０でそれぞれ表わされる。ここでニューロンのモデルと
しては式（８）のようなヒステリシス・マッカロク・ピ
ッツ・モデルを使用する。

【００１２】

【数８】 ここで、式中のUTP(Upper Trip Point) およびLTP(Lowe
r Trip Point) は任意の定数で、LTP ＜UTP である。ニ
ューロンの入力信号は式（９）のような一次のオイラー
法によって逐次更新されていく。

【００１３】

【数９】 各点間の経路制限として、点ｉが点ｊへ移動可能である
ことをｄｉｊ＝１、移動不可能であることをｄｉｊ＝０
と表わす。このとき、ニューロンの入力を更新させるた
めの動作式は式（１０）のように表わされる。

【００１４】

【数１０】 全てのＵｉｊに乱数で初期値をふって繰り返し計算を進
め、全てのニューロンにおける動作式の値が０になった
時点で収束したものとし、計算を終了する。

【００１５】

【発明が解決しようとする課題】しかし通過すべき点の
数が多くなってくると、上述のような計算を行って計算
が収束して解が得られたとしても、本来は図８（ｂ）の
ように一つの経路で結ばれるはずのものが、高い確率で
図８（ｃ）のように２つ以上の複数のループからなる経
路を呈するという欠点があった。この場合、改めて最初
から再計算を行わなければならず、その場合にも１つの
ループで収束する保証はなく、上述したようなコンピュ
ータネットワークの配線等の多点に対する「一筆書き」
の経路検索には全く役に立たなかった。そこで本発明の
課題は上記従来技術の欠点を解消し、通過すべき点が多
数ある場合でも、ｎ個の点をｍ個の辺で結んだ経路に対
して同じ辺を２度通ることなくすべての辺を通る一つの
経路をニューラルネットを用いて少ない計算量で求める
ことが可能な新規な経路探索方法を提供することにあ
る。

【００１６】

【課題を解決するための手段】上記課題を解決するため
に請求項１記載の発明は、一度計算が収束して得られた
解に対して各点の通過回数を検出して、予め設定した通
過回数に満たないとき経路が複数のループになったもの
として当該点を切り離した上で、再度ニューラルネット
を用いて経路を求めるようにしたことを特徴とする。ま
た、請求項２記載の発明は、接続の条件があらかじめ設
定されているｎ個の点に対して、同じ点を２度通ること
なく全ての点を通る経路をニューラルネットを用いて求
める際に、各点の通過回数を検出して予め設定した通過
回数に満たないとき経路が複数になったものとして当該
点を切り離した上で、再度ニューラルネットを用いて経
路を求めるようにしたことを特徴する。

【００１７】

【発明の実施の形態】以下、本発明に係る経路探索方法
の実施の形態について説明する。 [ 請求項１に対応する実施の形態]本発明の経路検索方
法においても、「一筆書き」の経路をニューラルネット
で解くにあたり、上述した２段階の計算を行う。すなわ
ち、第１段階では、各辺に対してオイラー回路を形成す
ることが可能で、かつ、１方向にのみ進行が可能となる
ように、各辺の向きを定義する。第２段階では、第１段
階で向きが定義された各辺を、一つの閉じたループとな
るように並び換える計算を行う。その際、第２段階の二
つめの制約条件（ニ）、すなわち、全ての辺を用いて閉
じた一つのループを形成する、という条件は、前記式
（７）に示す動作式が収束した時点で検証されるが、上
述したように、得られた解が二つ以上のループとなる場
合がある。そこで、本実施の形態では、得られた解が二
つ以上のループとなる場合には、次の修正を与える。

【００１８】

【数１１】 ここでＦは任意の正の定数で、ｐａｓｓ（ｉ，ｊ）は辺
ｉ、ｊを含むループ内で点ｐｔ（ｉ，ｊ）を何回通過し
たかを返す関数である。この式を与えることで通過回数
の足りない部分を強制的に切り離し、再び計算を行う。
ループが一つであった場合にはそれを解とし、計算を終
了する。正しいときは式（１１）の右辺は０となる。一
例として、図６（ａ）に示すような図形に対して一筆書
きの経路を求める計算をおこなったときに、図１（ａ）
に示すように、計算の結果が二つのループに別れた場合
について説明する。この場合、点に関しては、ループ
１、２ともに一回通過しているのでｐａｓｓ（ｉ，ｊ）
＝１である。また、この点から４本の辺が伸びているの
で、ｄｅｇ（ｐｔ（ｉ，ｊ））＝４である。したがっ
て、点に関しては式（１１）は下記のようになり、そ
の右辺は０にならない。

【００１９】

【数１２】 また、点に関しても点と同様であり、式（１１）の
右辺は０にならない。一方、例えば点に注目すると、
ｐａｓｓ（ｉ，ｊ）＝１、ｄｅｇ（ｐｔ（ｉ，ｊ））＝
４であるから、式（１１）の右辺は０となり一筆書きの
条件を満たしている。そこで、式（１１）の右辺が０に
ならない上記２点、について接続を解いて図１
（ｂ）のようにした上で再計算する。従来においては、
計算の結果が複数のループに別れた場合には、全ての計
算をご破算にして再計算を行っていたため、再計算にお
いてもまた複数ループとなる可能性が高いが、上記のよ
うに式（１１）が０になるという条件を満足しない点の
みをご破算として再計算を行うことにより、１ループに
収束し易くなる。したがって、従来よりも、少ない計算
回数で求める経路を検索することができる。式（１１）
の修正を与えた計算を行うプログラムにより、図３
（ｃ）に示す経路に対し一筆書きの経路を求める計算を
実行したところ、図２に示す正しい結果が従来よりも少
ない計算回数で得られた。

【００２０】参考のために、図３（ａ）、（ｂ）、
（ｃ）に示すような三種類の形状パターンの図形に対
し、従来の経路検索方法を用いて一筆書きの経路を求め
る計算を行った場合の計算回数などの測定結果を表１及
び図４（ａ）、（ｂ）に示す。この結果から、第１段階
の計算はかなり高い確率で収束し、また、かなり複雑な
形状であっても高い確率で収束していることがわかる。
第２段階の計算は第１段階の計算と比較するとやや収束
率が低くなっている。これは特に形状の複雑さに依存す
る部分が大きいと考えられる。計算量に関しては、第
１、第２段階ともに形状が複雑なほど多くなる。

【００２１】

【表１】 このように、経路の形状が複雑になるほど、すなわち通
過すべき点の数が多いほど全ての点を通過する一筆書き
の経路を求めるための計算量が増大する傾向にあるが、
本発明の経路検索方法を適用することにより、通過すべ
き点の数が多い場合でも計算量を大幅に少なくして、短
時間で経路を求めることができる。

【００２２】[ 請求項２に対応する実施の形態]この実
施の形態の経路検索方法においても、上述したニューラ
ルネットの手法を用いる。その際、前記式（１０）で表
わされる動作式が全て０となった時点で解が１つのルー
プであることの検証がなされるが、上述したように、得
られた解が２つ以上のループとなる場合がある。そこで
この実施の形態では、得られた解が２つ以上のループと
なる場合には、解として得られた各辺に対して式（１
３）の修正を与える。

【００２３】

【数１３】 ここでＦは任意の正の定数である。この式を与えること
で経路の選択肢が多い部分を強制的に切り離し、再び計
算を行う。ループが１つの場合には式（１３）の右辺は
０となる。このときはそれを解とし計算を終了する。一
例として図８（ａ）に示すような通過可能な経路の条件
が与えられた６個の点からなる系に対して全ての点を結
ぶ経路を求める計算を行ったときに、図８（ｂ）に示す
ような正しい解が得られず、図８（ｃ）に示すように計
算の結果が２つのループに分かれた場合について説明す
る。この場合、点→点の経路に関しては、点を始
点とするような辺は３通りで点を終点とするような辺
は４通りである。そのため、式（１３）は点→点の
辺に関して下記の式（１４）のようになり、ニューロン
の入力値Ｕ26は減少する。

【００２４】

【数１４】 一方、例えば点→点の辺に注目すると、点を始点
とするような辺は２通りであるが、点を終点とするよ
うな辺は１通りしかない。そのため、式（１３）は点
→点の辺に関して下記の式（１５）のようにその動作
式の値は０となるため、ニューロンの入力値Ｕ41は変化
しない。

【００２５】

【数１５】 従来においては、計算の結果が複数のループになった場
合には、すべての計算をご破算にして再計算を行ってい
たため、再計算においても再び複数ループとなる可能性
が高いが、上記のように式（１３）が０になるという条
件を満足しない辺に関してのみニューロンの入力値を減
少させることによって１つのループに収束し易くなる。
したがって従来よりも少ない計算量で求める経路を探索
することができる。式（１３）の修正を与えた計算を行
うプログラムにより、図９（ａ）に示す経路に対して経
路探索の計算を実行したところ、図９( ｂ) に示す正し
い結果が従来よりも少ない計算量で得られた。

【００２６】

【発明の効果】以上要するに本発明によれば、以下のよ
うな優れた効果が得られる。請求項１記載の発明によれ
ば、ｎ個の点をｍ個の辺で結んだ経路に対して同じ辺を
２度通ることなくすべての辺を通るための一つの経路を
ニューラルネットを用いて求める際に、各点の通過回数
を検出して予め設定した通過回数に満たないとき経路が
複数になったものとして当該点を切り離した上で、再度
ニューラルネットを用いて経路を求めるようにしたの
で、通過すべき点の数が多い場合でも計算量を大幅に少
なくして、短時間で経路を求めることができる。請求項
２記載の発明によれば、経路に条件の与えられたｎ個の
点に対して同じ点を２度通ることなくすべての点を通る
ための一つの経路をニューラルネットを用いて求める際
に、各点の通過回数を検出して予め設定した通過回数に
満たないとき経路が複数のループになったものとして当
該経路を切り離した上で、再度ニューラルネットを用い
て経路を求めるようにしたので、通過すべき点の数が多
い場合でも計算量を少なくして、短時間で経路を求める
ことができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】（ａ）、（ｂ）は請求項１記載の発明の経路検
索方法の実施の形態の一例を示す説明図である。

【図２】請求項１記載の発明の経路検索方法により求め
た一筆書き経路の一例を示す図である。

【図３】（ａ）（ｂ）及び（ｃ）は一筆書きが可能な図
形の例を示す図である。

【図４】（ａ）及び（ｂ）は従来の経路検索方法を用い
て一筆書きの経路を求める計算を行った場合の計算回数
などの測定結果をグラフに表した図である。

【図５】（ａ）、（ｂ）は一筆書きが可能な図形の例を
示す図、（ｃ）は一筆書きが不可能な図形の例を示す図
である。

【図６】（ａ）は一つの経路で各点が結ばれた状態の例
を示す図、（ｂ）は一つの経路で各点が結ばれていない
状態の例を示す図である。

【図７】（ａ）は６×６個の２次元ニューロン配列の例
を示すマトリクスを、（ｂ）は６個の点を結ぶ経路を、
それぞれ示した説明図である。

【図８】請求項２記載の発明の実施の形態の説明に用い
た図であり、（ａ）は６個の点を通過する経路として可
能な条件を例示した図、（ｂ）は（ａ）の条件を満たす
経路を示した図、（ｃ）は（ａ）の条件を満しつつも一
つの経路で各点が結ばれていない状態を例示した図であ
る。

【図９】（ａ）は２５個の点を通過する経路として可能
な条件を例示した図、（ｂ）は請求項２記載の経路検索
方法により（ａ）の条件を満たす経路が得られた結果を
示した図である。

【数１６】

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (51)Int.Cl.⁶ 識別記号 ＦＩ // Ｇ０１Ｃ 21/00 Ｇ０５Ｂ 19/403 Ｄ Ｇ０６Ｆ 15/60 ６５０Ａ

Claims (2)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 ｎ個の点をｍ個の辺で結んだ経路に対し
   て同じ辺を２度通ることなくすべての辺を通るための一
   つの経路をニューラルネットを用いて求める際に、各点
   の通過回数を検出して予め設定した通過回数に満たない
   とき経路が複数になったものとして当該点を切り離した
   上で、再度ニューラルネットを用いて経路を求めるよう
   にしたことを特徴とする経路探索方法。
2. 【請求項２】 接続の条件があらかじめ設定されている
   ｎ個の点に対して、同じ点を２度通ることなく全ての点
   を通る経路をニューラルネットを用いて求める際に、各
   点の通過回数を検出して予め設定した通過回数に満たな
   いとき経路が複数になったものとして当該点を切り離し
   た上で、再度ニューラルネットを用いて経路を求めるよ
   うにしたことを特徴とする経路探索方法。