JPH0950458A - 分子軌道に関する２電子積分の計算方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】 分子軌道の番号による繰返し計算を分割し、
各プロセッサでは分子軌道に関する２電子積分の計算
を、２電子積分の部分和を利用し並列に実行することに
より、プロセッサ数の大きなシステムでの高速計算を可
能とする。 【構成】 １０１でプロセッサ番号Ｉを１とし、処理１
０３を実行、１０３で番号Ｉのプロセッサにおける分子
積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞を計算する 【効果】 プロセッサ数に比例した計算処理の発生を防
ぎ、プロセッサ数の大きなシステムでの高速計算を可能
とする。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、原子分子の大きさで材
料特性を予測するシミュレーションである分子軌道法に
おいて、分子軌道に関する２電子積分の計算方法に関す
る。

【０００２】

【従来の技術】分子軌道法計算においては、Ｆｏｃｋ行
列や配置間相互作用における対角化行列の行列要素や、
全エネルギー等の物理量計算のために、数１で表わされ
る２電子積分の数値を求める必要がある。

【０００３】

【数１】

【０００４】ここで、ｉ、ｊ、ｋ、ｌは分子軌道の番号
を表わす正の整数であり、ｒ１及びｒ２は電子の座標を
表わし、ｒ１２は電子１及び電子２の距離を表わす。分
子軌道φｉは、数２の様に原子軌道χｐ（１≦ｐ≦
ｍ’）の線形結合（ＬＣＡＯ：ｎｅａｒ Ｃｏｍｂｉｎ
ａｔｉｏｎ ｏｆ Ａｔｏｍｉｃ Ｏｒｂｉｔａｌ）で
表わされる。

【０００５】

【数２】

【０００６】ここで、Ｕｐｉは、原子軌道を分子軌道へ
変換するための係数行列の行列要素、ｍ’は線形結合に
用いる原子軌道数を表わす。

【０００７】数１及び数２から、前述の分子軌道に関す
る２電子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞は、数３の様に
表わされる。

【０００８】

【数３】

【０００９】ここで、＜ｐｑ｜｜ｒｓ＞は、原子軌道に
関する２電子積分であって、数４の様に定義される。

【００１０】

【数４】

【００１１】実際の数値計算においては、個々の原子軌
道はスレータ型軌道（ＳＴＯ：Ｓｌａｔｅｒ Ｔｙｐｅ
Ｏｒｂｉｔａｌ）やガウス型軌道（ＧＴＯ：Ｇａｕｓ
ｓｉａｎ Ｔｙｐｅ Ｏｒｂｉｔａｌ）が用いられ、ま
ず入力データで定義された原子軌道の全ての組に対して
前記原子軌道に関する２電子積分＜ｐｑ｜｜ｒｓ＞を解
析的に全て計算しておく。数３に示されるような前記分
子軌道に関する２電子積分は、＜ｐｑ｜｜ｒｓ＞と係数
行列Ｕｐｉとの積和計算である。

【００１２】このとき、全ての分子軌道の組（ｉ，ｊ，
ｋ，ｌ）に対して数３に示される数値計算を行うための
繰り返し計算の数は、分子軌道数をｍとすれば

【００１３】

【数５】

【００１４】となる。実際の数値計算では ｍ≦ｍ’ となることが多いため、数５はｍ’の８次以下と見積も
ることが出来る。

【００１５】このため、従来技術では前記原子軌道に関
する２電子積分の部分和をとることによりこの繰り返し
計算数の次数をさげる工夫が行われてきた。

【００１６】以下、従来技術を図面を用いて説明する。

【００１７】なお、本明細書における以下の記述では、
簡単の為に、前記分子軌道に関する２電子積分を「分子
積分」、前記原子軌道に関する２電子積分を「原子積
分」と記す。また、特別に断りの無い限り、計算に使用
する分子軌道及び原子軌道の個数は、それぞれｍ及び
ｍ’である。

【００１８】図４は、本発明に関する従来技術の処理手
順を示す図である。

【００１９】４０１は、繰返し数カウンタｐが１から
ｍ’まで１ずつ増加する間、一連の処理４０２、４０３
及び４０４をこの順序で繰り返すことを示す。

【００２０】４０２では、全ての正の整数の組（ｉ，
ｊ，ｋ，ｌ）に対して分子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ
＞の値を０とする。ここで、ｉ、ｊ、ｋ、ｌの値はそれ
ぞれ １≦ｉ≦ｍ、１≦ｊ≦ｍ、１≦ｋ≦ｍ、１≦ｌ≦ｍ である。

【００２１】４０３は、２電子積分の部分和ｃｐｊｋｌ
を計算する処理であり、この内容は別に記述する。

【００２２】４０４は、繰返し数カウンタｉが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理４０５を繰り返すことを示
す。

【００２３】４０５は、繰返し数カウンタｊが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理４０６を繰り返すことを示
す。

【００２４】４０６は、繰返し数カウンタｋが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理４０７を繰り返すことを示
す。

【００２５】４０７は、繰返し数カウンタｌが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理４０８を繰り返すことを示
す。

【００２６】４０８では、原子軌道を分子軌道へ変換す
るための係数行列の行列要素Ｕｐｉの複素共役と処理４
０３で計算した２電子積分の部分和ｃｐｊｋｌとの積を
分子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞に加え、この結果を
＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞の新しい値とする。

【００２７】図３は、本発明に関する従来技術及び本発
明の一実施例において、２電子積分の部分和ｃｐｊｋｌ
を計算する処理４０３の内容を示す図である。

【００２８】４０３は、一連の処理３０１、３０２、３
０３及び３０４がこの順序で行われることにより、２電
子積分の部分和ｃｐｊｋｌが計算されることを示す。

【００２９】３０１は、全ての正の整数の組（ｐ，ｑ，
ｒ，ｊ，ｋ，ｌ）に対して部分和ａｐｑｒｌ、ｂｐｑｋ
ｌ、ｃｐｊｋｌの値をそれぞれ０とすることを示す。こ
こで、ｐ、ｑ、ｒ、ｊ、ｋ、ｌの値はそれぞれ１≦ｐ≦
ｍ、１≦ｑ≦ｍ、１≦ｒ≦ｍ、１≦ｊ≦ｍ、１≦ｋ≦
ｍ、１≦ｌ≦ｍである。

【００３０】３０２では、前記数２で表されるような原
子軌道を分子軌道へ変換する係数行列Ｕの行列要素を全
て読み込む。ここで、行列Ｕは、ｍ’行ｍ列の行列であ
る。３０３では、全ての正の整数の組（ｐ，ｑ，ｒ，
ｓ）に対して、原子積分＜ｐｑ｜｜ｒｓ＞の値を読み込
む。

【００３１】３０４は、繰返し数カウンタｑが１から
ｍ’まで１ずつ増加する間、一連の処理３０５及び３０
６をこの順序で繰り返すことを示す。

【００３２】３０５は、繰返し数カウンタｒが１から
ｍ’まで１ずつ増加する間、一連の処理３０７及び３０
８を繰り返すことを示す。

【００３３】３０７は、繰返し数カウンタｓが１から
ｍ’まで１ずつ増加する間、処理３０９を繰り返すこと
を示す。

【００３４】３０９は、繰返し数カウンタｌが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理３１０を繰り返すことを示
す。

【００３５】３１０では、係数行列Ｕの行列要素Ｕｓｌ
と原子積分＜ｐｑ｜｜ｒｓ＞との積を部分和ａｐｑｒｌ
に加え、その結果をａｐｑｒｌの新しい値とする。

【００３６】３０８は、繰返し数カウンタｋが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理３１１を繰り返すことを示
す。

【００３７】３１１は、繰返し数カウンタｌが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理３１２を繰り返すことを示
す。

【００３８】３１２では、係数行列Ｕの行列要素Ｕｒｋ
の複素共役と部分和ａｐｑｒｌとの積を部分和ｂｐｑｋ
ｌに加え、その結果をｂｐｑｋｌの新しい値とする。

【００３９】３０６は、繰返し数カウンタｊが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理３１３を繰り返すことを示
す。

【００４０】３１３は、繰返し数カウンタｋが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理３１４を繰り返すことを示
す。

【００４１】３１４は、繰返し数カウンタｌが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理３１５を繰り返すことを示
す。

【００４２】３１５では、係数行列Ｕの行列要素Ｕｑｊ
と部分和ｂｐｑｋｌとの積を部分和ｃｐｊｋｌに加え、
その結果をｃｐｊｋｌの新しい値とする。

【００４３】以上、図４及び図３に見られるように、処
理４０１はｍ’の１次、処理４０２及び４０３はともに
ｍ’の４次の繰返し数と見積もれる。また、４０４、４
０５、４０６、４０７及び４０８からなる処理の合計は
ｍ’の４次の繰返し数と見積もれる。従って、図４及び
図３に記述された従来技術では、全ての分子軌道の組
（ｉ，ｊ，ｋ，ｌ）に対して数３に示される数値計算を
行うための繰り返し計算の数は、ｍ’の５次となる。

【００４４】ここで、以下の記述における繰り返し計算
の数比較のため、処理４０２及び４０３の繰り返し計算
数をそれぞれ

【００４５】

【数６】

【００４６】および

【００４７】

【数７】

【００４８】とする。

【００４９】また、４０４、４０５、４０６、４０７及
び４０８からなる処理の繰り返し計算数を

【００５０】

【数８】

【００５１】とする。

【００５２】このとき、図３及び図４における処理の繰
り返し計算数は

【００５３】

【数９】

【００５４】となる。

【００５５】これに類似の技術は、例えば、「Ｍｅｔｈ
ｏｄｓ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｔｒｕｃｔｕ
ｒｅ Ｔｈｅｏｒｙ」第６章２０５頁ないし２０８頁
（編集者 ＨｅｎｒｙＦ．Ｓｃｈａｅｆｅｒ ＩＩＩ、
前記該当箇所の執筆者 Ｉｓａｉａｈ Ｓｈａｖｉｔ
ｔ、１９７７年、アメリカ合衆国ニューヨーク州Ｐｌｅ
ｎｕｍ Ｐｒｅｓｓ社発行）に記されている。

【００５６】

【発明が解決しようとする課題】上記従来技術は主とし
てノイマン型計算機を対象として用いられてきた。しか
し、近年、並列計算機を使用した高速計算技術が発展し
てきており、上記従来技術も並列計算機上で実行し計算
を高速化することが期待されている。

【００５７】上記従来技術を並列計算処理するための基
本的な方法は、最も上位に位置する繰返し４０１を分割
して各プロセッサに処理させることである。以下、この
場合の問題点を、図面を用いて説明する。

【００５８】なお、以下の記述において、並列計算機を
構成する並列なプロセッサ数をＮとする。

【００５９】図５は、本発明に関する従来技術におい
て、最も上位に位置する繰返し４０１を分割して各プロ
セッサに並列処理させる手順を示したものである。

【００６０】５０１は、１番目のプロセッサにおいて、
プロセッサ番号Ｊを１とし、処理５０２を実行すること
を示す。

【００６１】５０３は、Ｎ番目のプロセッサにおいて、
プロセッサ番号ＪをＮとし、処理５０２を実行すること
を示す。

【００６２】ここで、５０１及び５０３に記述された処
理内容は、２番目以降（Ｎ−１）番目のプロセッサにお
いても同様である。

【００６３】また、５０１及び５０３は、１番目からＮ
番目までの個々のプロセッサ上でそれぞれ処理５０２が
行われること、及び１番目からＮ番目までの全てのプロ
セッサ上で処理５０２が終了した後に処理５０４が行わ
れることを示している。

【００６４】５０２は、番号Ｊのプロセッサにおける分
子積分の部分和＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞［Ｊ］を計算
する処理であり、この内容は別に記述する。

【００６５】５０４では、全ての正の整数の組（ｉ，
ｊ，ｋ，ｌ）に対して分子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ
＞の値を０とする。ここで、ｉ、ｊ、ｋ、ｌの値はそれ
ぞれ １≦ｉ≦ｍ、１≦ｊ≦ｍ、１≦ｋ≦ｍ、１≦ｌ≦ｍ である。

【００６６】５０５は、繰返し数カウンタｉが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理５０６を繰り返すことを示
す。

【００６７】５０６は、繰返し数カウンタｊが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理５０７を繰り返すことを示
す。

【００６８】５０７は、繰返し数カウンタｋが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理５０８を繰り返すことを示
す。

【００６９】５０８は、繰返し数カウンタｌが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理５０９を繰り返すことを示
す。

【００７０】５０９は、繰返し数カウンタＪが１からＮ
まで１ずつ増加する間、処理５１０を繰り返すことを示
す。

【００７１】５１０では、処理５０２で計算した分子積
分の部分和＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞［Ｊ］を分子積分
＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞に加え、この結果を＜φｉφ
ｊ｜｜φｋφｌ＞の新しい値とする。

【００７２】図６は、本発明に関する従来技術におい
て、最も上位に位置する繰返し４０１を分割して各プロ
セッサに並列処理させる場合、５０２の処理を示したも
のである。

【００７３】５０２は、一連の処理６０１、６０２及び
６０３がこの順序で行われることにより番号Ｊのプロセ
ッサにおける分子積分の部分和＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ
＞［Ｊ］が計算されることを示したものである。

【００７４】６０１では、ＮＰの値をＩＮＴ（ｍ’／
Ｎ）とする。

【００７５】ここで、ＩＮＴ（ｘ）は、実数ｘの絶対値
を超えない最大の整数値に、ｘと同一の符号をつけた整
数値を表す。

【００７６】６０２では、ＪとＮとの大小を比較し、Ｊ
＜Ｎの場合には処理６０４を実行し、それ以外の場合に
は処理６０５を実行する。

【００７７】６０４では、ｐ１の値を（Ｊ−１）×ＮＰ
＋１とし、ｐ２の値をＪ×ＮＰとする。

【００７８】６０５では、ｐ１の値を（Ｊ−１）×ＮＰ
＋１とし、ｐ２の値をｍ’とする。６０３は、繰返し数
カウンタｐがｐ１からｐ２まで１ずつ増加する間、一連
の処理６０６、４０３及び６０７をこの順序で繰り返す
ことを示す。

【００７９】６０６は、全ての正の整数の組（ｉ，ｊ，
ｋ，ｌ）に対して分子積分の部分和＜φｉφｊ｜｜φｋ
φｌ＞［Ｊ］の値を０とする。ここで、ｉ、ｊ、ｋ、ｌ
の値はそれぞれ １≦ｉ≦ｍ、１≦ｊ≦ｍ、１≦ｋ≦ｍ、１≦ｌ≦ｍ である。

【００８０】４０３は、２電子積分の部分和ｃｐｊｋｌ
を計算する処理であり、この内容は別に記述する。

【００８１】６０７は、繰返し数カウンタｉが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理６０８を繰り返すことを示
す。

【００８２】６０８は、繰返し数カウンタｊが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理６０９を繰り返すことを示
す。

【００８３】６０９は、繰返し数カウンタｋが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理６１０を繰り返すことを示
す。

【００８４】６１０は、繰返し数カウンタｌが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理６１１を繰り返すことを示
す。

【００８５】６１１では、原子軌道を分子軌道へ変換す
るための係数行列の行列要素Ｕｐｉの複素共役と処理４
０３で計算した２電子積分の部分和ｃｐｊｋｌとの積を
分子積分の部分和＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞［Ｊ］に加
え、この結果を＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞［Ｊ］の新し
い値とする。

【００８６】以上、従来技術において４０１を分割して
各プロセッサに並列処理させる場合の処理手順を説明し
た。

【００８７】ここで、図３及び図４の様に従来技術をノ
イマン型計算機で実施した場合と、上記図５及び図６に
示した場合とで繰り返し計算数を比較する。

【００８８】図５及び図６に示した場合、繰返し数が
ｍ’の最大次数となる部分は５０１、５０２及び５０３
の部分である。

【００８９】まず、５０２の繰り返し計算数において、
並列化により６０３の繰り返し計算数は（ｍ’／Ｎ）で
ある。

【００９０】次に、６０６の繰り返し計算数は４０２と
同等で上述の数６となる。また、４０３の繰り返し計算
数は前述の数７のようになる。さらに、一連の処理６０
７、６０８、６０９、６１０及び６１１は４０４、４０
５、４０６、４０７及び４０８からなる処理と同等の繰
り返し計算数で、上述の数８となる。

【００９１】従って、５０１、５０２及び５０３の部分
の繰り返し計算数は

【００９２】

【数１０】

【００９３】となる。

【００９４】すなわち、並列化により繰返し数が図４の
場合の（１／Ｎ）倍となる利点がある。

【００９５】しかし、５０１、５０２及び５０３の処理
だけでは、分子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞の計算は
未だ終了せず、各プロセッサＪで分子積分の部分和＜φ
ｉφｊ｜｜φｋφｌ＞［Ｊ］の計算が終了した状態にな
る。したがって、新たに５０４、５０５、５０６、５０
７、５０８、５０９及び５１０の一連の処理による分子
積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞の計算が必要となる。

【００９６】まず、５０４の繰り返し計算数は４０２と
同等で上述の数６となる。次に、５０５、５０６、５０
７、５０８、５０９及び５１０の一連の処理の繰り返し
計算数は４０４、４０５、４０６、４０７及び４０８か
らなる処理のＮ倍と同等で、

【００９７】

【数１１】

【００９８】となる。

【００９９】すなわち、プロセッサ数Ｎに比例する処理
が余計に発生する。

【０１００】この結果、プロセッサ数の大きなシステム
になるほど、数１１に示される様な処理数の増大をまね
き、数１０に示される様な処理数減少すなわち計算高速
化の利点が損なわれ易くなるという問題点があった。

【０１０１】本発明は、前記問題点を解決するためにな
されたものである。

【０１０２】本発明の目的は、分子軌道に関する２電子
積分計算において、プロセッサ数の大きなシステムにお
いても、並列化による計算高速化の利点が損なわれない
様にすることにある。

【０１０３】

【課題を解決するための手段】上記目的は、分子軌道法
計算における分子軌道に関する２電子積分計算をＮ個の
プロセッサで並列に行う計算方法において、前記分子軌
道の総数をｍ、原子軌道の総数をｍ’とし、Ｉを前記プ
ロセッサの番号を表す正の整数とし、おのおの１≦ｉ≦
ｍ、１≦ｊ≦ｍ、１≦ｋ≦ｍ及び１≦ｌ≦ｍなる値をと
る整数ｉ、ｊ、ｋ及びｌを前記分子軌道の番号とし、お
のおの１≦ｐ≦ｍ’、１≦ｑ≦ｍ’、１≦ｒ≦ｍ’及び
１≦ｓ≦ｍ’なる値をとる整数ｐ、ｑ、ｒ及びｓを前記
原子軌道の番号とし、ｉ番目の前記分子軌道φｉを前記
原子軌道の線型結合として表記した場合のｐ番目の前記
原子軌道χｐの係数が行列要素Ｕｐｉで表されるような
係数行列Ｕの全ての要素の値をあらかじめ持ち、電子１
と電子２の距離の逆数に、電子１の座標を有する分子軌
道φｉの複素共役、電子１の座標を有する分子軌道φ
ｊ、電子２の座標を有する分子軌道φｋの複素共役及び
電子２の座標を有する分子軌道φｌを乗じ電子１及び電
子２の座標に関して全空間で積分した結果を分子軌道に
関する２電子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞とし、電子
１と電子２の距離の逆数に、電子１の座標を有する原子
軌道χｐの複素共役、電子１の座標を有する原子軌道χ
ｑ、電子２の座標を有する原子軌道χｒの複素共役及び
電子２の座標を有する原子軌道χｓを乗じ電子１及び電
子２の座標に関して全空間で積分した結果を原子軌道に
関する２電子積分＜ｐｑ｜｜ｒｓ＞とし、前記全ての整
数ｐ，ｑ，ｒ，ｓの組に対して、前記原子軌道に関する
２電子積分＜ｐｑ｜｜ｒｓ＞の計算結果をあらかじめ持
ち、前記原子軌道に関する２電子積分＜ｐｑ｜｜ｒｓ＞
に、前記係数行列の行列要素Ｕｒｋの複素共役、行列要
素Ｕｑｊ、行列要素Ｕｓｌを乗じたものを前記全ての
ｑ、ｒ、ｓについて和したものを２電子積分の部分和ｃ
ｐｊｋｌとし、前記ｉの変域を連続するＮ個の領域に分
割し、前記分割されたＮ個の領域の第Ｉ番目の領域の最
小値及び最大値をそれぞれＮ１（Ｉ）及びＮ２（Ｉ）と
し、Ｉ番目の前記プロセッサにおける計算処理におい
て、おのおのＮ１（Ｉ）≦ｉ≦Ｎ２（Ｉ）、１≦ｊ≦
ｍ、１≦ｋ≦ｍ及び１≦ｌ≦ｍなる値をとる整数ｉ、
ｊ、ｋ及びｌの全ての組に対して、前記係数行列の行列
要素Ｕｐｉの複素共役に前記２電子積分の部分和ｃｐｊ
ｋｌを乗じたものを前記全てのｐの値について和したも
のを前記分子軌道に関する２電子積分＜φｉφｊ｜｜φ
ｋφｌ＞の値とすることにより達成される

【０１０４】

【作用】分子軌道の数をｍ、原子軌道の数をｍ’とす
る。

【０１０５】このとき、分子軌道に関する２電子積分＜
φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞は、上述の数１の様に定義され
る。

【０１０６】また、分子軌道φｉは、上述の数２の様に
原子軌道χｐ（１≦ｐ≦ｍ’）の線形結合で定義され
る。

【０１０７】ここで、Ｕｐｉは、原子軌道を分子軌道へ
変換するための係数行列の行列要素、ｍ’は線形結合に
用いる原子軌道数を表わす。

【０１０８】数１及び数２から、前述の分子軌道に関す
る２電子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞は、数３の様に
表わされる。

【０１０９】ここで、＜ｐｑ｜｜ｒｓ＞は、原子軌道に
関する２電子積分であって、数４の様に定義される。

【０１１０】いま、全ての正の整数の組（ｉ，ｊ，ｋ，
ｌ）に対して分子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞の値を
数３の関係に基づき計算する処理を、Ｎ個のプロセッサ
で並列に処理させる。

【０１１１】ここで、ｉ、ｊ、ｋ、ｌの値はそれぞれ １≦ｉ≦ｍ、１≦ｊ≦ｍ、１≦ｋ≦ｍ、１≦ｌ≦ｍ である。

【０１１２】プロセッサＩにおいて、以下の処理をおこ
なう。

【０１１３】まず、ＮＩの値をＩＮＴ（ｍ／Ｎ）とす
る。

【０１１４】ここで、ＩＮＴ（ｘ）は、実数ｘの絶対値
を超えない最大の整数値に、ｘと同一の符号をつけた整
数値を表す。

【０１１５】次に、Ｎ１の値を（Ｉ−１）×ＮＩ＋１と
する。

【０１１６】次に、ＩとＮとの大小を比較し、Ｉ＜Ｎの
場合にはＮ２の値をＩ×ＮＩとし、それ以外の場合には
Ｎ２の値をｍとする。

【０１１７】そして、全ての正の整数の組（ｉ，ｊ，
ｋ，ｌ）に対して分子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞の
値を０とする。ここで、ｉ、ｊ、ｋ、ｌの値はそれぞれ Ｎ１≦ｉ≦Ｎ２、１≦ｊ≦ｍ、１≦ｋ≦ｍ、１≦ｌ≦ｍ である。

【０１１８】そして、繰返し数カウンタｐが１からｍ’
まで１ずつ増加する間、はじめに数１２で定義される２
電子積分の部分和ｃｐｊｋｌを計算し、次に原子軌道を
分子軌道へ変換するための係数行列の行列要素Ｕｐｉの
複素共役と後述する数１２で定義される２電子積分の部
分和ｃｐｊｋｌとの積を分子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφ
ｌ＞に加え、この結果を＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞の新
しい値とする。

【０１１９】

【数１２】

【０１２０】

【実施例】以下、本発明請求項１の実施例を図面を用い
て説明する。

【０１２１】図１は、本発明の一実施例の処理手順を示
す図である。

【０１２２】１０１は、１番目のプロセッサにおいて、
プロセッサ番号Ｉを１とし、処理１０３を実行すること
を示す。

【０１２３】１０２は、Ｎ番目のプロセッサにおいて、
プロセッサ番号ＩをＮとし、処理１０３を実行すること
を示す。

【０１２４】ここで、１０１及び１０２に記述された処
理内容は、２番目以降（Ｎ−１）番目のプロセッサにお
いても同様である。

【０１２５】また、１０１及び１０２は、１番目からＮ
番目までの個々のプロセッサ上でそれぞれ処理１０３が
行われること、及び１番目からＮ番目までの全てのプロ
セッサ上で処理１０３が終了した後に図１に示す全ての
処理が終了することを示している。

【０１２６】１０３は、番号Ｉのプロセッサにおける分
子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞を計算する処理であ
り、この内容は別に記述する。

【０１２７】図２は、本発明の一実施例において、処理
１０３の処理手順を示す図である。１０３は、一連の処
理２０２、２０３、２０４及び２０１がこの順序で実行
されることにより番号Ｉのプロセッサにおける分子積分
＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞が計算されることを示したも
のである。

【０１２８】２０２では、ＮＩの値をＩＮＴ（ｍ／Ｎ）
とする。

【０１２９】ここで、ＩＮＴ（ｘ）は、実数ｘの絶対値
を超えない最大の整数値に、ｘと同一の符号をつけた整
数値を表す。

【０１３０】２０３では、ＩとＮとの大小を比較し、Ｉ
＜Ｎの場合には処理２０６を実行し、それ以外の場合に
は処理２０７を実行する。

【０１３１】２０６では、Ｎ１の値を（Ｉ−１）×ＮＩ
＋１とし、Ｎ２の値をＩ×ＮＩとする。

【０１３２】２０７では、Ｎ１の値を（Ｉ−１）×ＮＩ
＋１とし、Ｎ２の値をｍとする。

【０１３３】２０４では、全ての正の整数の組（ｉ，
ｊ，ｋ，ｌ）に対して分子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ
＞の値を０とする。ここで、ｉ、ｊ、ｋ、ｌの値はそれ
ぞれ Ｎ１≦ｉ≦Ｎ２、１≦ｊ≦ｍ、１≦ｋ≦ｍ、１≦ｌ≦ｍ である。

【０１３４】２０１は、繰返し数カウンタｐが１から
ｍ’まで１ずつ増加する間、一連の処理４０３及び２０
５をこの順序で繰り返すことを示す。

【０１３５】４０３は、２電子積分の部分和ｃｐｊｋｌ
を計算する処理であり、この内容は別に記述する。

【０１３６】２０５は、繰返し数カウンタｉがＮ１から
Ｎ２まで１ずつ増加する間、処理２０８を繰り返すこと
を示す。

【０１３７】２０８は、繰返し数カウンタｊが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理２０９を繰り返すことを示
す。

【０１３８】２０９は、繰返し数カウンタｋが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理２１０を繰り返すことを示
す。

【０１３９】２１０は、繰返し数カウンタｌが１からｍ
まで１ずつ増加する間、処理２１１を繰り返すことを示
す。

【０１４０】２１１では、原子軌道を分子軌道へ変換す
るための係数行列の行列要素Ｕｐｉの複素共役と処理４
０３で計算した２電子積分の部分和ｃｐｊｋｌとの積を
分子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞に加え、この結果を
＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞の新しい値とする。

【０１４１】以上、図１及び図２に見られるように、２
０４の繰り返し計算数は、

【０１４２】

【数１３】

【０１４３】であり、４０２の（１／Ｎ）倍となる。

【０１４４】また、処理２０１の繰り返し計算数はｍ’
である。

【０１４５】次に、４０３の繰り返し計算数は、前述の
数７のようになる。

【０１４６】一方、２０５、２０８、２０９、２１０及
び２１１からなる一連の処理の繰り返し計算数は、４０
４、４０５、４０６、４０７及び４０８からなる処理の
繰り返し計算数の（１／Ｎ）倍であり、

【０１４７】

【数１４】

【０１４８】となる。

【０１４９】以上、１０３における繰り返し計算数をま
とめると

【０１５０】

【数１５】

【０１５１】となる。

【０１５２】すなわち、数９に示したような、ノイマン
型計算機で実現した従来技術の場合に比べて、繰り返し
計算数を記述する項のうちｍ’についての次数が下がる
項が生じるとともに主要な項が（１／Ｎ）倍されてい
る。

【０１５３】また、従来技術における最上位の繰り返し
処理を並列化した場合に比べて、数１１に示したよう
な、Ｎに比例する項は全く存在しない。

【０１５４】なお、本実施例では原子軌道、分子軌道、
及び原子軌道を分子軌道に変換する係数行列の行列要素
は複素数として取り扱ったが、多くの分子軌道計算で用
いられるように、これらを実数とした場合でも、繰返し
計算数の大小関係は同様である。

【０１５５】

【発明の効果】以上に示したように、繰返し計算数の主
要な項が（１／Ｎ）倍となり並列処理による高速化の利
点が得られる一方で、各プロセッサの処理が終了した後
もプロセッサ数Ｎに比例する処理はまったく発生しな
い。したがって、プロセッサ数の大きなシステムにおい
ても、並列化による計算高速化の利点が損なわれること
はない。

【０１５６】

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施例の処理手順を示す図。

【図２】本発明の一実施例において、処理１０３の処理
手順を示す図。

【図３】本発明に関する従来技術及び本発明の一実施例
において、２電子積分の部分和ｃｐｊｋｌを計算する処
理４０３の内容を示す図。

【図４】本発明に関する従来技術の処理手順を示す図。

【図５】本発明に関する従来技術において、最も上位に
位置する繰返し４０１を分割して各プロセッサに並列処
理させる手順を示す図。

【図６】本発明に関する従来技術において、最も上位に
位置する繰返し４０１を分割して各プロセッサに並列処
理させる場合、５０２の処理を示す図。

【符号の説明】

１０１．．．１番目のプロセッサにおいて、プロセッサ
番号Ｉを１とし、処理１０３を実行、１０２．．．Ｎ番
目のプロセッサにおいて、プロセッサ番号ＩをＮとし、
処理１０３を実行、１０３．．．番号Ｉのプロセッサに
おける分子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞を計算する処
理。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 ユルゲン・シュルティ 東京都国分寺市東恋ケ窪１丁目280番地 株式会社日立製作所中央研究所内

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】分子軌道法計算における分子軌道に関する
   ２電子積分計算をＮ個のプロセッサで並列に行う計算方
   法であって、 前記分子軌道の総数をｍ、原子軌道の総数をｍ’とし、
   Ｉを前記プロセッサの番号を表す正の整数とし、おのお
   の１≦ｉ≦ｍ、１≦ｊ≦ｍ、１≦ｋ≦ｍ及び１≦ｌ≦ｍ
   なる値をとる整数ｉ、ｊ、ｋ及びｌを前記分子軌道の番
   号とし、おのおの１≦ｐ≦ｍ’、１≦ｑ≦ｍ’、１≦ｒ
   ≦ｍ’及び１≦ｓ≦ｍ’なる値をとる整数ｐ、ｑ、ｒ及
   びｓを前記原子軌道の番号とし、ｉ番目の前記分子軌道
   φｉを前記原子軌道の線型結合として表記した場合のｐ
   番目の前記原子軌道χｐの係数が行列要素Ｕｐｉで表さ
   れるような係数行列Ｕの全ての要素の値をあらかじめ持
   ち、電子１と電子２の距離の逆数に、電子１の座標を有
   する分子軌道φｉの複素共役、電子１の座標を有する分
   子軌道φｊ、電子２の座標を有する分子軌道φｋの複素
   共役及び電子２の座標を有する分子軌道φｌを乗じ電子
   １及び電子２の座標に関して全空間で積分した結果を分
   子軌道に関する２電子積分＜φｉφｊ｜｜φｋφｌ＞と
   し、電子１と電子２の距離の逆数に、電子１の座標を有
   する原子軌道χｐの複素共役、電子１の座標を有する原
   子軌道χｑ、電子２の座標を有する原子軌道χｒの複素
   共役及び電子２の座標を有する原子軌道χｓを乗じ電子
   １及び電子２の座標に関して全空間で積分した結果を原
   子軌道に関する２電子積分＜ｐｑ｜｜ｒｓ＞とし、 前記全ての整数ｐ，ｑ，ｒ，ｓの組に対して、前記原子
   軌道に関する２電子積分＜ｐｑ｜｜ｒｓ＞の計算結果を
   あらかじめ持ち、前記原子軌道に関する２電子積分＜ｐ
   ｑ｜｜ｒｓ＞に、前記係数行列の行列要素Ｕｒｋの複素
   共役、行列要素Ｕｑｊ、行列要素Ｕｓｌを乗じたものを
   前記全てのｑ、ｒ、ｓについて和したものを２電子積分
   の部分和ｃｐｊｋｌとし、前記ｉの変域を連続するＮ個
   の領域に分割し、前記分割されたＮ個の領域の第Ｉ番目
   の領域の最小値及び最大値をそれぞれＮ１（Ｉ）及びＮ
   ２（Ｉ）とし、Ｉ番目の前記プロセッサにおける計算処
   理において、おのおのＮ１（Ｉ）≦ｉ≦Ｎ２（Ｉ）、１
   ≦ｊ≦ｍ、１≦ｋ≦ｍ及び１≦ｌ≦ｍなる値をとる整数
   ｉ、ｊ、ｋ及びｌの全ての組に対して、前記係数行列の
   行列要素Ｕｐｉの複素共役に前記２電子積分の部分和ｃ
   ｐｊｋｌを乗じたものを前記全てのｐの値について和し
   たものを前記分子軌道に関する２電子積分＜φｉφｊ｜
   ｜φｋφｌ＞の値とする分子軌道に関する２電子積分の
   計算方法。