JPH09231197A - 温度並列シミュレーティド・アニーリング用恒温槽装置及び温度並列シミュレーティド・アニーリング方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 温度毎に適切なアルゴリズムを使用できるよ
うにして高速に温度並列シュミレーティド・アニーリン
グ処理を行う。 【解決手段】 パラメタ変更手段１０１は、シミュレー
ティド・アニーリング処理手段１０２が第１の温度の下
で効率的に動作するように、シミュレーティド・アニー
リングのアルゴリズムの実行を制御するパラメタを変更
し、シミュレーティド・アニーリング処理手段１０２
は、パラメタ変更手段１０１により設定された条件でシ
ミュレーティド・アニーリング処理を行い、このシミュ
レーティド・アニーリング処理の結果得られた状態を、
第２の温度の下でシミュレーティド・アニーリング処理
を行うことにより得られた状態とを確率的に交換する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、温度並列シミュレ
ーティド・アニーリング用恒温槽装置及び温度並列シミ
ュレーティド・アニーリング方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】近年、様々な分野において生じる問題を
解決するために、比較的大規模な最適化問題を解くこと
が要求されるようになっている。シミュレーティド・ア
ニーリング（simulated annealing ：以下、ＳＡと略
す）はこのような最適化問題を解く汎用近似解法の一つ
であり、ＶＬＳＩ（very large scale integration）の
設計におけるセルの配置問題や生産工程のスケジューリ
ングなどの最適化問題に適用されて成功を収めている。

【０００３】アニーリングは焼きなまし法のことで、物
体を高温にしてからゆっくり冷やして物理的にエネルギ
ー最低の状態（基底状態）に到達させる方法を意味す
る。評価対象のシステムにおいてその評価の目安となる
エネルギーを定義し、システムの焼きなまし過程をメト
ロポリス法（metropolis procedure）を用いてシミュレ
ートし、システムの状態を最適化する手法をＳＡと呼ん
でいる。

【０００４】通常のＳＡのアルゴリズムをもう少し具体
的に述べると次のようになる。まず、いろいろな状態を
持ち得る多数の対象からなるシステムを考える。全ての
対象の状態の総和がそのシステムの状態となるが、シス
テムの状態の実数関数としてエネルギーが定義される。
ＳＡを組み合わせ問題に適用する場合には、その組み合
わせの評価値を用いてエネルギーを定義し、エネルギー
が低いほど評価が良くなるものとする。

【０００５】次に、対象を適当な順番で選んでいき、そ
れぞれの対象に対してメトロポリス法と呼ばれている操
作を施す。ここでは、各対象に候補の状態を確率的に与
え、各対象が与えられた候補の状態になった際のシステ
ムのエネルギーＥ_f と現在の状態におけるシステムのエ
ネルギーＥ_n を計算する。一方で、０から１までの一様
乱数を発生しそれをｒとする。温度パラメータをＴとし
て、 exp〔−（Ｅ_f −Ｅ_n ）／Ｔ〕＞ｒなら各対象を候
補の状態にし、 exp〔−（Ｅ_f −Ｅ_n ）／Ｔ〕＜ｒなら
現在の状態に留まる。

【０００６】この操作を温度Ｔを一定にして続ければ、
温度Ｔとシステムのエネルギーによって与えられるギブ
ス（Gibbs ）分布に収束し、温度Ｔを十分ゆっくり下げ
て０に近づければ、エネルギーの最小値あるいは準最小
値を与える状態にシステムが収束する。後者を物理現象
からのアナロジーでＳＡと呼んでおり、特に温度の変更
のスケジュールをアニーリングスケジュールと呼んでい
る。理論的には、温度Ｔを十分ゆっくり下げた場合にエ
ネルギーの最小値を与える状態に収束することが証明さ
れているが、実用上は処理時間を短縮するために比較的
早く下げることが多い。

【０００７】ＳＡには次のような長所がある。第１は理
論的に最適解に収束する保証があり、実際に最適解また
は準最適解に収束する。第２に汎用的でありいろいろな
問題に簡単に適用できる。第３にはシステムのエネルギ
ーまたは制約条件を表す関数に関してほとんど制約がな
く、これらは連続でなくても構わない。

【０００８】しかし、ＳＡのアルゴリズムは、次の候補
の状態を受け入れるかどうかを決めるだけの基本的に単
純な操作の繰り返しなので、非常に時間がかかることが
多い。また、候補の状態を受け入れるかどうかは現在の
状態と候補の状態の間のエネルギー差に依存して決まる
ので、必ずしも受け入れられるとは限らない。候補の状
態が受け入れられないときシステムは現在の状態に留ま
るため、さらに収束が遅れることになる。つまり、ＳＡ
を用いれば最終的に良い解が得られるのだが、解を得る
までの時間が非常に長いという欠点がある。

【０００９】そこで、ＳＡの処理をより高速化するため
に、先願（特願平７−３７２２２、シミュレーティド・
アニーリングによる次候補生成装置および方法）のよう
なアルゴリズムが考案された。以下、先願の技術につい
て説明する。

【００１０】まず、先願で用いた詳細釣合条件（Detail
ed Balance) について説明する。マルコフ過程が唯一の
確率分布｛Ｐ（ｘ）｝に収束するための必要条件が次式
に示す詳細釣合条件である。

【００１１】 Ｐ（ｘ）Ｐ（ｘ→ｙ）＝Ｐ（ｙ）Ｐ（ｙ→ｘ） ∀ｘ，ｙ …（１） ここで、Ｐ（ｘ）は状態ｘが生じる確率を表し、Ｐ（ｘ
→ｙ）は状態ｘから状態ｙに移る遷移確率を表す。
（１）式の物理的な意味は、予定される定常状態では状
態ｘから状態ｙに移る流れと状態ｙから状態ｘに移る流
れが釣り合っているということである。

【００１２】通常、ＳＡ等の手法では（１）式を満たす
ために、遷移確率Ｐ（ｘ→ｙ）を選択確率Ｐ_C （ｘ→
ｙ）と受理確率Ｐ_A （ｘ→ｙ）に分解して、 Ｐ（ｘ→ｙ）＝Ｐ_C （ｘ→ｙ）・Ｐ_A （ｘ→ｙ） …（２） と表し、受理確率Ｐ_A （ｘ→ｙ）の方で調整する方法を
とる。

【００１３】例えば、状態ｘが生じる確率Ｐ（ｘ）とし
て状態ｘのエネルギーＥ（ｘ）と温度Ｔにより表される
ギブス（Gibbs ）分布を用いると、（２）式より（１）
式の詳細釣合条件は次のように書き換えられる。

【００１４】

【数１】

【００１５】次に、詳細釣合条件の実現方法について述
べる。（３）式において、もし元のエネルギーＥ（ｘ）
に対して、簡単な形での近似エネルギー関数を与えられ
れば、その近似エネルギー関数に対してハミルトン（Ha
milton）方程式を解くことにより、ある選択確率Ｐ
_C （ｘ→ｙ）で次候補の状態ｙを選択することができ
る。

【００１６】そこでまず、エネルギーＥ（ｘ）の簡単な
形での近似エネルギー 外１ （以

【００１７】

【外１】

【００１８】下、Ｅバー（ｘ）と記す）を与える。簡単
な形とは、基本的に計算量が少なくて済む形を意味す
る。この近似エネルギーＥバー（ｘ）は、必ずしも元の
エネルギーＥ（ｘ）に非常に近いという意味で正確であ
る必要はない。例えば、多少不正確であっても、元のエ
ネルギーＥ（ｘ）の一部のみを近似するといったもので
も構わない。もちろん、より正確であればそれに越した
ことはないが、通常正確さを求めると計算量が増えるこ
とが多いので、総合的なパフォーマンスを考慮して適当
なレベルの近似エネルギーを採用すべきである。

【００１９】次に、状態ｘと状態ｙとの間の近似エネル
ギーの差｛Ｅバー（ｙ）−Ｅバー（ｘ）｝に応じて、選
択確率Ｐ_C （ｘ→ｙ）が次式を満たすように次候補を選
択する。

【００２０】

【数２】

【００２１】このとき、（４）式のような選択確率Ｐ_C
（ｘ→ｙ）が遷移確率Ｐ（ｘ→ｙ）および受理確率Ｐ_A
（ｘ→ｙ）とともに（３）式の詳細釣合条件を満たすた
めには、受理確率Ｐ_A （ｘ→ｙ）が次式を満たせばよ
い。

【００２２】

【数３】

【００２３】（５）式より、もし近似エネルギーの差
｛Ｅバー（ｙ）−Ｅバー（ｘ）｝が、ある程度元のエネ
ルギーの差｛Ｅ（ｙ）−Ｅ（ｘ）｝に近ければ、あるい
は一部を近似していれば、結果としてかなり受理確率Ｐ
_A （ｘ→ｙ）を上げることが可能である。

【００２４】一例として、ある状態ｘと状態ｙとの間の
遷移に関する受理確率Ｐ_A （ｘ→ｙ）が次式で表される
とする。

【００２５】

【数４】

【００２６】すると、（６）式の受理確率Ｐ_A （ｘ→
ｙ）は（５）式を満たしている。このとき、Ｐ_A （ｙ→
ｘ）は常に１であり、近似エネルギーＥバーの差が元の
エネルギーＥの差に近ければ受理確率Ｐ_A （ｘ→ｙ）も
１に近くなる。こうして、選択された次候補の受理確率
Ｐ_A （ｘ→ｙ）を１または１に近い値に保つことができ
る。（６）式に示した受理確率Ｐ_A （ｘ→ｙ）は一例に
過ぎず、（５）式を満たすようなものであれば他の受理
確率Ｐ_A （ｘ→ｙ）を用いても構わない。

【００２７】要するに、この方法の本質は次のように表
現できる。まず、なるべくエネルギーＥ（ｘ）を簡単な
形で近似、または予測し、近似エネルギー（予測エネル
ギー）の差｛Ｅバー（ｙ）−Ｅバー（ｘ）｝を確率で実
現するような選択確率Ｐ_C （ｘ→ｙ）に従って次候補の
状態ｙを選択する。そして、近似エネルギー差｛Ｅバー
（ｙ）−Ｅバー（ｘ）｝と実際に観測されたエネルギー
差｛Ｅ（ｙ）−Ｅ（ｘ）｝を受理確率Ｐ_A （ｘ→ｙ）で
清算する。

【００２８】実際にこの方法をインプリメントする際に
は、近似エネルギーのエネルギー差｛Ｅバー（ｙ）−Ｅ
バー（ｘ）｝による選択確率Ｐ_C （ｘ→ｙ）を実現する
ことが必要である。このような選択方法としては、ハイ
ブリッド・モンテカルロ（ＨＭＣ）法（HYBRID MONTE C
ARLO, PHYSICS LETTERS B, Volume 195, number 2, p.2
16-222, 3 Sep. 1987 ）で用いられた方法が使える。特
に、近似エネルギー関数が区分的線形（piecewise line
ar）な関数であれば、ＨＭＣ法による計算は簡単にな
る。区分的線形な関数とは、状態空間の領域による分割
が存在してそのそれぞれの領域内で線形な関数である。

【００２９】ＨＭＣ法では、まず、初期モーメンタムと
して多次元ガウス分布から１つのベクトルをとってく
る。次に、最初の状態（座標）と初期モーメンタムを初
期条件として、エネルギー関数を位置エネルギーとする
ハミルトン方程式をある一定時間だけ積分する。そし
て、到達した座標を次候補の状態として選択する。

【００３０】ここでは、ハミルトン方程式を解く（積分
する）ときに、元のエネルギー関数の代わりに近似エネ
ルギー関数Ｅバーを用いる。 外２ （以下、ｑハット
と記

【００３１】

【外２】

【００３２】す）を任意の次元の状態変数（座標）、
外３ （以下、ｐハットと記す）を状

【００３３】

【外３】

【００３４】態変数と同じ次元のモーメンタムベクトル
とすると、保存すべきハミルトニアン（Hamiltonian ）
は次式で与えられる。

【００３５】

【数５】

【００３６】また、τを計算に用いる仮想的な時間とす
ると、積分すべきハミルトン方程式は次式で与えられ
る。

【００３７】

【数６】

【００３８】（９）式において、 外４ は状態変数と
同じ次元のナブラ（微分演算子を成分

【００３９】

【外４】

【００４０】とするベクトル）を表す。（７）式のハミ
ルトニアンは積分経路に沿って一定に保たれる。ここ
で、近似エネルギー関数Ｅバーが区分的線形であれば、
分割された１つの領域内で積分して得られる状態変数ｑ
ハットの成分は時間τの２次曲線となる。この２次曲線
を領域の境界にぶつかるまで伸ばしていき、境界にぶつ
かったらその時の状態変数（座標）ｑハット、モーメン
タムベクトルｐハット、および積分の残りの時間を記録
しておき、その状態変数（座標）ｑハットとモーメンタ
ムベクトルｐハットを初期条件にして、隣の領域で再び
ハミルトン方程式を積分すればよい。その積分結果は再
び２次曲線になる。このような操作を一定時間τ_C の間
繰り返し、到達した点の状態変数ｑハットの値が表す状
態を次の状態の候補とする。各領域内では近似エネルギ
ー関数Ｅバーが状態変数ｑハットの線形関数であるた
め、（８）、（９）式の積分が容易に行え、次の候補の
選択が簡単になる。

【００４１】図６は先願の次候補生成装置の第１の構成
を示す図であり、図７は次候補生成装置と図示されない
ＳＡのシミュレーション装置またはプロセスとによる状
態遷移処理のフローチャートである。図６の次候補生成
装置１１は連続的な状態変数の次候補を生成する装置で
あり、多次元ガウス分布発生部１２、ハミルトン方程式
積分部１３、近似エネルギー差計算部１４、および近似
エネルギー関数微分発生部１５を備える。

【００４２】図７において処理が開始されると、まずユ
ーザ等の指示により変更する状態変数が指定される（ス
テップＳ１）。このとき、初期状態、積分時間、変更パ
ラメータ情報、および多次元ガウス分布パラメータが次
候補生成装置１１に与えられる。変更パラメータ情報は
シミュレーションの対象システムを表すパラメータ（状
態変数）のうち指定されたものを示し、初期状態は状態
変数の現在の値を示す。また、多次元ガウス分布パラメ
ータは変更されるパラメータの次元を示し、例えば変更
パラメータ情報から得られる。積分時間はハミルトン方
程式を積分するのに用いる時間を示す。

【００４３】次候補生成装置１１の内部では次のように
処理が行われる。まず、多次元ガウス分布発生部１２
が、多次元ガウス分布パラメータにより指定される次元
の多次元ガウス確率分布から１つのベクトルを発生し、
初期モーメンタムとして出力する（ステップＳ２）。近
似エネルギー関数微分発生部１５は、状態変数の値を与
えられるとそれが表す座標における近似エネルギー関数
のグラディエント（gradient：関数の一階微分を成分と
するベクトル）を発生する。

【００４４】ハミルトン方程式積分部１３は、初期状態
と多次元ガウス分布発生部１２からの初期モーメンタム
をそれぞれ状態変数ｑハットとモーメンタムベクトルｐ
ハットの初期値とし、近似エネルギー関数微分発生部１
５からのグラディエントを外５ （以下、グラディエン
トＥバー（ｑハット）と記す）の値として用いなが

【００４５】

【外５】

【００４６】ら、（８）、（９）式のハミルトン方程式
を積分時間だけ積分する（ステップＳ３）。そして、積
分した結果を次候補の状態として出力する（ステップＳ
４）。近似エネルギー差計算部１４は入力された初期状
態とハミルトン方程式積分部１３が求めた次候補の状態
の間における近似エネルギー関数の値の差（近似エネル
ギー差）を計算する。

【００４７】次候補生成装置１１は、こうして最終的に
選んだ次候補の状態と計算した近似エネルギー差とを、
ＳＡのシミュレーション装置またはプロセスに返す。次
候補の状態は、例えば状態変数の値が定義域を出てしま
っているなどの意味のない場合もあるが、その場合はＳ
Ａのシミュレーション装置またはプロセス側でその次候
補の状態を破棄する。次候補の状態が破棄されても、詳
細釣合条件は満たされたままである。

【００４８】特に、近似エネルギー関数Ｅバーとして区
分的線形な関数をとれば、グラディエントＥバー（ｑハ
ット）が定数ベクトルになるために、（９）式より各領
域内でのモーメンタムベクトルｐハットの成分は１次曲
線となり、さらに（８）式より各領域内での状態変数ｑ
ハットの成分は２次曲線となる。したがって、比較的簡
単にハミルトン方程式を解くことができる。

【００４９】ここで用いる近似エネルギー関数Ｅバーは
元のエネルギー関数Ｅでもよいが、大抵の場合、計算量
が増えるので元のエネルギー関数Ｅを採用することは少
ないと考えられる。また、近似エネルギー関数Ｅバーは
少なくとも１階微分可能である必要がある。しかし、微
分した結果は必ずしも連続でなくてもよく、ハミルト方
程式が解ける程度でよい。

【００５０】ＳＡのシミュレーション装置またはプロセ
スは、受け取った近似エネルギー差と次候補の状態とを
用いて、（５）式を満たすような方法でその次候補の状
態を受け入れるかどうかを決定する（ステップＳ５）。
次候補の状態を受理する場合は現在の状態を次候補の状
態に変更し（ステップＳ６）、受理しない場合は現在の
状態に留まる（ステップＳ７）。（５）式を満たす受理
確率を用いれば、近似エネルギーＥバーの差と元のエネ
ルギーＥの差が近いとき、次候補の状態を常に高い確率
で受け入れることが可能になる。したがって、生成され
た次候補の状態が破棄されることが少なく、処理の高速
化が図られる。

【００５１】このような受理確率Ｐ_A （ｘ→ｙ）を実現
するには、例えばメトロポリス法を用いて次のようにす
ればよい。状態ｘから状態ｙへの遷移については、まず
初期状態ｘと次候補の状態ｙの間の元のエネルギー差
｛Ｅ（ｙ）−Ｅ（ｘ）｝を計算する。そして、受け取っ
た近似エネルギー差を｛Ｅバー（ｙ）−Ｅバー（ｘ）｝
とし、０から１までの一様乱数を発生してそれをｒとす
る。ここで、Ａ≡ exp〔−（｛Ｅ（ｙ）−Ｅ（ｘ）｝−
｛Ｅバー（ｙ）−Ｅバー（ｘ）｝）／Ｔ〕＞ｒなら次候
補の状態を受理し、Ａ＜ｒなら現在の状態に留まる。

【００５２】このとき、｛Ｅ（ｙ）−Ｅ（ｘ）｝−｛Ｅ
バー（ｙ）−Ｅバー（ｘ）｝＞０と仮定すると、０＜Ａ
＜１となる。したがって、状態ｙを受理する確率は受理
関数Ａ以下の値を持つ乱数ｒが発生する確率に等しく、
Ｐ_A （ｘ→ｙ）＝Ａ／１＝ exp〔−（｛Ｅ（ｙ）−Ｅ
（ｘ）｝−｛Ｅバー（ｙ）−Ｅバー（ｘ）｝）／Ｔ〕と
なる。また、状態ｙから状態ｘへの遷移については、受
理関数Ａの定義式の中の状態ｘと状態とｙが入れ代わる
ので、Ａ＞１＞ｒとなる。したがって、乱数ｒの値によ
らずに常に状態ｘを受理することになり、Ｐ_A （ｙ→
ｘ）＝１となる。こうして、（６）式の受理確率Ｐ
_A （ｘ→ｙ）が実現され、これは（５）式を満たしてい
る。

【００５３】この方法は受理するかどうかを決定する方
法の一例に過ぎず、（５）式を満たすのであれば、他の
受理方法を用いてもよい。次に、ＳＡのシミュレーショ
ン装置またはプロセスは、処理を終了するかどうかを判
定する（ステップＳ８）。次の状態遷移を行うのであれ
ばステップＳ１以降の処理を繰り返し、そうでなければ
処理を終了する。

【００５４】連続的な状態を対象とする第１の構成は、
例えば、画像復元処理に応用することができる。画像復
元処理とは、ノイズの乗った画像データから元の画像を
復元する処理である。画像復元問題にＳＡを適用した例
としては、S. Geman and D.Geman の論文が知られてい
る（S. Geman and D. Geman, Stochastic relaxation,G
ibbs distribution, and the Bayesian restoration of
images, IEEE Transactions on Pattern Analysis and
Machine Intelligence PAMI-6, No. 6, 1984,pp. 721-
742 ）。

【００５５】画像復元処理においては、グレーレベルで
表された各画素の値（ある範囲の実数値）と、隣接する
画素との間にある離散的な量（０あるいは１）であるラ
インプロセスとが状態変数に相当する。ラインプロセス
はその値が１であるとき、その画素と隣接する画素との
間に切れ目があること、あるいは輪郭線があることを表
す。

【００５６】また、エネルギー関数は次の３つの部分か
ら成る。１つは各画素の値と与えられたノイズの乗った
画像の対応する画素との違いを表す部分である。もう１
つは各画素の値と隣接する画素の値との違いを表す部分
である。もし、隣接する画素との間にあるラインプロセ
スの値が１ならば、その画素の値と隣接する画素の値と
がいくら異なってもエネルギーは増えない。もし、隣接
する画素との間にあるラインプロセスの値が０ならば、
その画素の値と隣接する画素の値とが異なるほどエネル
ギーが増える。

【００５７】もう１つはラインプロセス自身の性質から
得られるエネルギーである。ラインプロセスは輪郭線の
一部を表すと考えられるので、ラインプロセスの値の列
が交わったりすることはあまり起こらない。したがっ
て、このようなことが起こるとエネルギーは非常に大き
くなる。また、ラインプロセスの値の列が曲がることも
あまりないので、このような場合にもエネルギーは比較
的大きくなる。

【００５８】このようなエネルギー関数を用いて、状態
変数のうち連続的な量である画素の値の次候補を第１の
構成の次候補生成装置１１により決定し、最終的に元の
画像を復元することができる。離散的な状態変数のライ
ンプロセスについては、通常のメトロポリス法または後
述する第２の構成の次候補生成装置により、次候補の値
を決定する。

【００５９】図８は、次候補生成装置の第２の構成を示
している。図８の次候補生成装置２１は離散的（discre
te）な状態の次候補を生成する装置であり、図６の多次
元ガウス分布発生部１２、ハミルトン方程式積分部１
３、近似エネルギー差計算部１４、近似エネルギー関数
微分発生部１５に加えて、有限次元ユークリッド空間対
応設定部２２、領域確率分布発生部２３、領域確率密度
比計算部２４、および定義域復帰部２５をさらに備え
る。

【００６０】領域確率分布発生部２３は、入力された初
期状態に対応する有限次元ユークリッド空間内の領域に
与えられている確率分布に従って、その領域内の１点を
発生し、その座標をハミルトン方程式積分部１３、近似
エネルギー差計算部１４、および領域確率密度比計算部
２４に与える。有限次元ユークリッド空間対応設定部２
２は、変更パラメータ情報を基にして、変更するパラメ
ータが有限次元ユークリッド空間のどの次元に相当する
かをハミルトン方程式積分部１３に出力する。

【００６１】ハミルトン方程式積分部１３は、領域確率
分布発生部２３が発生した点の座標を状態変数ｑハット
の初期値として、第１の構成と同様にして（８）、
（９）式のハミルトン方程式を積分時間だけ積分する。
そして、到達した点の座標を近似エネルギー差計算部１
４、領域確率密度比計算部２４、および定義域復帰部２
５に出力する。近似エネルギー差計算部１４は初期状態
に対応する点とハミルトン方程式積分部１３が求めた点
の間における近似エネルギー差を計算する。

【００６２】領域確率密度比計算部２４は、有限次元ユ
ークリッド空間内の２点が与えられたとき、それらの点
が属する領域内におけるそれぞれの点の確率密度の比を
計算して出力する。より詳しくは、ハミルトン方程式の
積分経路の出発点と到達点に対し、領域内におけるそれ
ぞれの点の確率密度の比を計算する。確率密度を計算す
る領域は、点によって異なる可能性がある。この確率密
度の比は、次候補の状態を受け入れるかどうかを決める
際に詳細釣合条件を満たすための修正項として出力され
る。定義域復帰部２５は、与えられた有限次元ユークリ
ッド空間内の１点に対応する状態変数の定義域内の点を
求め、次候補の状態として出力する。

【００６３】図示されないＳＡのシミュレーション装置
またはプロセスは、次候補生成装置２１が出力する近似
エネルギー差と詳細釣合条件修正項とを用いて、生成さ
れた次候補の状態を受理するかどうかを決定する。

【００６４】第１および第２の構成において、近似エネ
ルギーＥバーに関しては、変化させる状態変数（対象）
とそれ以外の変化させない状態変数の値の組を１つ決め
たときに矛盾なく（consistentに）決まるように定義さ
れていればよい。つまり、近似エネルギーＥバーは必ず
しもグローバルに定義されている必要はない。例えば、
ある状態変数を変化させるときにはある近似エネルギー
Ｅバーの定義を用い、別の状態変数を変化させるときに
は他の近似エネルギーＥバーの定義を用いてもよい。こ
れは、近似エネルギーＥバーがそれぞれの状態変数の次
の候補を選択する度に、選択確率Ｐ_C （ｘ→ｙ）を生成
する道具として用いられるだけであるからである。

【００６５】次に、図９から図１４までを参照しなが
ら、第２の構成の次候補生成装置をＶＬＳＩの配置問題
へ適用する例について説明する。ＶＬＳＩ配置問題は、
ＶＬＳＩを設計する際、長方形のセル配置領域にセルを
どのように配置するかを決定する問題である。

【００６６】現在、ＶＬＳＩ配置問題のＳＡ処理に使わ
れているエネルギーは、例えばルーティング（routing
）、オーバラッピング（overlapping ）、ネット混雑
度（net congestion）、ピン混雑度（pin congestio
n）、およびタイミング・ドリブン（timing driven ）
の５種類のエネルギーの和から成っている。ＶＬＳＩの
中の１つのセルの位置を移動させる度に、これらのエネ
ルギーは個別に増減する。

【００６７】配線長により決まるルーティングのエネル
ギーの計算方法として、ハーフ・ペリメータ（half per
imeter）の方法を使っていれば、ルーティングのエネル
ギー自体が区分的線形なので、それをそのまま近似エネ
ルギーとして用いても計算量的に問題はない。ハーフ・
ペリメータの方法とは、あるネットに含まれるピンの位
置をすべて含むような最小の長方形の周長の半分を、そ
のネットの配線長とする方法である。

【００６８】オーバラッピング、ネット混雑度、ピン混
雑度等に関しては一定のエポック毎にある程度の大きさ
の領域に関して平均した量を記録して、それを適当に区
分的線形な関数に変換したものを近似エネルギーとして
使うのがよいと考えられる。しかしこれらの混雑度に関
しては、セルを元の場所から抜き出すことによりその領
域のエネルギーが減ることを考慮に入れなくてはならな
い。

【００６９】混雑度の近似エネルギーの表現について
は、例えば１つの基本セル（basic cell）単位くらいで
元のエネルギーを計算して、それらの値を頂点とした直
角三角形の領域、あるいは長方形の領域内で区分的線形
な関数を使えばよい。各行、各列ごとにそれらの混雑度
を計算し、ある点での混雑度をその点が属する行と列の
混雑度の和として定義するなら、長方形の領域を単位と
して使うことができる。

【００７０】図９は、ＶＬＳＩ配置装置の構成図を示し
ている。図９のＶＬＳＩ配置装置３１は、図８の次候補
生成装置２１に加えて、セル選択部３２、セル状態読出
部３３、多次元ガウス分布パラメータ設定部３４、積分
時間設定部３５、セル状態記憶部３６、セル状態変更部
３７、および受理決定部３８を備える。

【００７１】セル選択部３２は次に動かすセルを選択
し、その選択結果を変更パラメータ情報として次候補生
成装置２１に渡す。セル状態読出部３２はセル選択部３
２から動かすセルを知らされると、セルの状態を記憶し
ているセル状態記憶部３６から動かすセルの現在の状態
を読み出す。そして、読み出した状態を初期状態として
次候補発生装置２１に渡す。

【００７２】多次元ガウス分布パラメータ設定部３４と
積分時間設定部３５は、それぞれ多次元ガウス分布と積
分時間を次候補生成装置２１に渡す。受理決定部３８
は、次候補生成装置２１の出力である次候補の状態、近
似エネルギー差、および詳細釣合条件修正項を受け取っ
て、次候補の状態を受理するかどうかを決定する。次候
補の状態を受理する場合には、セル状態変更部３７がそ
れに従ってセル状態記憶部３６内の対応するセルの状態
を書き換える。そして、以上の処理が一巡すると、セル
選択部３２が再びどのセルを動かすかを決める。

【００７３】上述の状態遷移処理を実際にＶＬＳＩ配置
問題に適用する際には、まずルーティングのエネルギー
に関して適用するのが妥当だと思われるので、以下では
その例について説明する。

【００７４】ＶＬＳＩ配置問題においてエネルギーを決
定する状態変数はあるセルを配置する位置であり、チッ
プ上で離散的に定義される。しかし、あるセルを置く位
置を基本セルに対応する領域内の特定の点で代表させる
と、詳細釣合条件を満たさなくなる。なぜなら、その特
定の点を始点としてハミルトン方程式を積分した結果到
達した点が、いずれかの基本セルに対応しているという
保証はないからである。

【００７５】この問題を解決するために、次候補生成装
置２１は、まずチップ上の全ての領域を対応する基本セ
ルの領域として分割する。あるセルが選ばれた際に、そ
のセルが置いてある基本セルの領域をとり、その領域上
の確率分布に従って１点をとる。その点からハミルトン
方程式を積分して到達した点を領域に含む基本セルをセ
ルの移動先の候補とする。そして、２点間の確率密度の
比を詳細釣合条件修正項として出力する。受理決定部３
８は、詳細釣合条件修正項を用いて修正した受理方法に
より、次候補の状態を受理するかどうかを決定する。こ
のような選び方をすることにより、結果として詳細釣合
条件を満たしながら、離散的な状態変数を扱うことが可
能になる。

【００７６】もう１つの問題は、ルーティングのエネル
ギーがセルの回転状態によって変わってしまうことであ
る。現在の配置プログラムでは、セル内の１つの論理的
なピン（論理設計における仮想的なピン）の座標とし
て、その論理的なピンに対応する複数の等電位のピンの
座標の平均値を用いている。等電位の複数のピンの位置
はセルの回転により変化するので、論理的なピンの座標
は回転不変ではない。したがって、論理的なピン間の配
線長に依存するルーティングのエネルギーもまた回転不
変ではない。

【００７７】この問題を解決する１つの方法は、全ての
ピンの座標はセルの中心にあると仮定することである。
ハミルトン方程式の積分の際に用いる近似エネルギーは
この仮定の基に計算されるものとする。また、セルは初
期状態と同じ向きを保ったまま平行移動していき、移動
の際に回転はないものとする。そして、最終的に候補の
位置についた時点で、その位置の基本セルの形の中に置
けるように、回転も含めた置き方を考える。ここではセ
ルの向きを保つようにするので、必ずしも候補の位置に
セルの原点が置かれるとは限らない。また、移動前と移
動後では同じ基本セルの形の中に置ける置き方の数が異
なる場合がある。その場合には、詳細釣合条件を満たす
ために、例えば受理確率などでそれらの場合の数を補償
する。

【００７８】図１０および図１１は、ルーティングのエ
ネルギーを近似エネルギーとして用いた場合のＶＬＳＩ
配置処理のフローチャートである。図１０において処理
が開始されると、まずセル選択部３２が状態を変化させ
るセルを指定する（ステップＳ１１）。ここで、指定さ
れたセルが移動の対象となる。次に、あらかじめ決めら
れた方法に従って、そのセルに対する近似エネルギー関
数と、離散的なセルの位置に対応付けられたユークリッ
ド空間内の領域（メッシュ）を作成する（ステップＳ１
２）。

【００７９】近似エネルギー関数とメッシュは移動させ
るセルが指定されると決まるので、セル選択部３２が作
成して次候補生成装置２１に入力してもよく、ユーザが
作成してＶＬＳＩ配置装置３１に入力してもよい。ある
いはまた、変更パラメータ情報を基にして次候補生成装
置２１内で作成する構成としてもよい。

【００８０】ここで、ルーティングに関する近似エネル
ギー関数の計算方法と、その計算の基礎になりハミルト
ン方程式を積分する際の単位になるメッシュを作成する
方法について詳しく説明する。近似エネルギー関数とメ
ッシュはセルを１つ固定する毎に決定される。

【００８１】ルーティングのエネルギーは前述のハーフ
・ペリメータの方法により計算される。このとき、セル
の回転の影響をなくすために各ピンの座標はそのピンを
持つセルの中心にあるものとする。一般に、１つのセル
は複数の異なるネットに接続される複数のピンを持って
いるので、指定されたセルに接続されるあるネットを指
定する。そのセルの座標に対する指定されたネットのル
ーティングの量（配線長）は、そのネットに含まれるピ
ンのうち、そのセルのピン以外の他のピンの座標の最大
値および最小値と、そのセルのピンの座標との関係で決
まる。例えば、そのセルの中心の座標が他のピンの座標
の最大値、最小値で囲まれる範囲に入っている限り、ル
ーティングの量は一定である。このルーティングの量を
近似エネルギーとして用いる。

【００８２】具体的には、まず指定されたセルに接続す
るネット毎に、そのネットの中の他のピンのｘ座標とｙ
座標の最大値および最小値を求める。この際、以下のよ
うなことに注意する必要がある。 （１）対象のセルの複数のピンがネットに含まれること
がある。この場合は、それらのピンを除く他のピンの座
標の最大値、最小値を求める必要がある。 （２）ピンの座標は、そのピンのあるセルの中心にある
ものとする。

【００８３】あるネットに対するルーティングのエネル
ギーは、得られた最大値、最小値を境界とする図１２の
ような区分的線形な関数になる。図１２に示された曲面
上の点のｘｙ座標が移動させるセルの中心の座標を表
し、ｚ座標がその位置にセルを配置したときのルーティ
ングのエネルギーを表す。図１２において、最もエネル
ギーの低い矩形領域が、対象とするあるネットの他のピ
ンの分布領域、つまり、それらの他のピンを含む最小の
矩形領域に対応する。

【００８４】このような矩形領域は対象とするセルに接
続されるネット毎に存在し、最終的な近似エネルギー関
数は、そのセルに接続しているすべてのネットに対する
ルーティングのエネルギーの和をとったものである。し
たがって、最終的な近似エネルギー関数もまた区分的線
形な関数になる。

【００８５】また、それぞれの矩形領域の辺を両側に延
長してできる直線により区切られてできる小領域が図１
２のようなメッシュとなる。言い換えれば、１つのセル
に接続されるそれぞれのネット毎にそのセルのピン以外
のピンのｘ座標、ｙ座標の最大値、最小値を求め、得ら
れた最大値、最小値のすべてを境界とするメッシュを作
成する。作成されたメッシュの小領域の中では、近似エ
ネルギー関数は線形である。

【００８６】次に、例えばセル選択部３２が、ステップ
Ｓ１１で指定されたセルの形の中にそのセルを置く置き
方の数を、セルの回転等を考慮して数える（ステップＳ
１３）。そして、次候補生成装置２１内の領域確率分布
発生部２３は、そのセルの原点が置かれている基本セル
に対応するユークリッド空間の領域内の一様確率分布に
従って、その領域内の１点を初期位置 外６ （以下、
ｑ_s ハットと記す）と

【００８７】

【外６】

【００８８】してとってくる（ステップＳ１４）。ま
た、多次元ガウス分布発生部１２は、多次元ガウス分布
から１つのベクトルを初期モーメンタム 外７ （以
下、ｐ_s ハ

【００８９】

【外７】

【００９０】ットと記す）としてとってくる（ステップ
Ｓ１５）。次に、ハミルトン方程式積分部１３は、初期
位置ｑ_s ハットと初期モーメンタムｐ_s ハットとを初期
条件として、近似エネルギー関数を位置エネルギーとす
るハミルトン方程式を積分時間だけ積分する（ステップ
Ｓ１６）。そして、到達した点の位置、モーメンタムを
ｑ_e ハット、ｐ_e ハットとする。このとき、近似エネル
ギー関数微分発生部１５は、ステップＳ１２で作成され
た近似エネルギー関数からグラディエントＥバーを生成
して、ハミルトン方程式積分部１３に入力する。

【００９１】ここで、メッシュを用いたハミルトン方程
式の積分方法を詳しく説明する。図１３は、ハミルトン
方程式の積分経路の例を示している。図１３において、
ｘ軸方向、ｙ軸方向の各直線はメッシュの境界を表す。
境界としては、前述したように、ピンの座標の最大値、
最小値を用いているので、メッシュの幅は一般には一様
ではない。

【００９２】いま、初期位置ｑ_s ハットがメッシュＭ₀
内に入ったとし、積分時間設定部３５から与えられた積
分時間をτ_I とする。メッシュＭ₀ 内ではグラディエン
トＥバーは一定なので、その値を（グラディエントＥバ
ー）₀ とすると、メッシュＭ ₀ 内で（８）、（９）式は
次のように解ける。

【００９３】

【数７】

【００９４】（１０）式の解は単純なτの２次曲線を表
している。特に、（グラディエントＥバー）₀ ＝０のと
きは１次曲線、すなわち直線となる。まず、この２次曲
線とメッシュの境界線との交点とその交点に達するまで
の時間を計算する。最初に到達する交点の位置をｑ₁ ハ
ットとし、交点の位置ｑ₁ ハットに到達するまでの時間
をτ₀ とする。

【００９５】ここで、τ _I ＜τ₀ の場合は、次式のよう
に、到達した点の位置ｑ_e ハットおよびモーメンタムｐ
_e ハットを与えてハミルトン方程式の積分を終る。

【００９６】

【数８】

【００９７】また、τ_I ＞τ₀ の場合は、まず次式のよ
うに交点ｑ₁ ハット、ｐ₁ ハットを与える。

【００９８】

【数９】

【００９９】次にτ_I をτ₁ ＝τ_I −τ₀ に置き換え、
交点ｑ₁ ハットを含む辺を境界としてメッシュＭ₀ に接
しているメッシュをメッシュＭ₁ とする。そして、メッ
シュＭ₀ 内で初期位置ｑ_s ハット、初期モーメンタムｐ
_s ハットを初期条件とし、τ _I を残り時間としてハミル
トン方程式を積分したのと同様にして、メッシュＭ₁内
で交点ｑ₁ ハット、ｐ₁ ハットを初期条件とし、τ₁ を
残り時間としてハミルトン方程式を積分する。

【０１００】このような操作を最終的に残り時間がなく
なるまで、メッシュからメッシュへ次々と移りながら繰
り返していけばよい。このとき、メッシュの境界では、
交点の位置、交点におけるモーメンタム、および積分の
残り時間の３つが次のメッシュ内の積分処理に渡され
る。図９では、メッシュＭ₁ とメッシュＭ₂ の境界上の
交点がｑ₂ ハット、そこでのモーメンタムがｐ₂ ハット
となり、メッシュＭ₂ とメッシュＭ₃ の境界上の交点が
ｑ₃ ハット、そこでのモーメンタムがｐ₃ ハットとなっ
ている。そして、メッシュＭ₃ 内の点ｑ_e ハットに達し
たときに残り時間が０となっている。

【０１０１】この方法によれば、積分経路を逆にたどる
と初期位置に戻る。例えば、最終的なハミルトン方程式
の積分結果である（ｑ_e ハット、ｐ_e ハット）のモーメ
ンタムの符号だけ変えた組（ｑ_e ハット、−ｐ_e ハッ
ト）を初期条件としてハミルトン方程式を時間τ_I だけ
積分すると結果は（ｑ_s ハット、−ｐ_s ハット）とな
る。

【０１０２】次に、定義域復帰部２５がこうして得られ
た到達位置ｑ_e ハットを含む領域に対応する基本セルを
選び、次候補の位置として出力する（ステップＳ１
７）。そして、例えば受理決定部３８がその候補の位置
に元のセルの形を平行移動して得られる形の中に、その
セルを置く置き方の数を数え（図１１、ステップＳ１
８）、互いに等しい確率でそのうちの１つの置き方を選
択する（ステップＳ１９）。

【０１０３】次に受理決定部３８は、詳細釣合条件を満
たし、元の位置と候補の位置での置き方の数を補償する
受理確率を実現する方法、例えばメトロポリス法を用い
て、その候補の位置を受理するかどうかを決定する（ス
テップＳ２０、Ｓ２１）。このとき、詳細釣合条件を成
立させるために、近似エネルギー差と詳細釣合条件修正
項が用いられる。

【０１０４】次候補を受理するならば、セル状態変更部
３７がセル状態記憶部３６内のそのセルの位置を次候補
の位置に移して、選択された回転状態（向き）とし（ス
テップＳ２２）、受理しないならばそのセルを元の状態
のままとする（ステップＳ２３）。

【０１０５】次に、セル選択部３２は処理を終了するか
どうかを判定する（ステップＳ２４）。次の状態遷移を
行うのであればステップＳ１１以降の処理を繰り返し、
そうでなければ処理を終了する。

【０１０６】以上説明したように、移動させる１つのセ
ルを決めると、その移動先の候補の計算のために準備す
ることが多いので、同じセルに対して複数回移動を試み
るとかなり効率的になる可能性がある。ただし、この場
合移動を試みる回数をあらかじめ固定しておく必要があ
る。

【０１０７】ステップＳ１２では、近似エネルギー関数
のメッシュの境界は必ずしもチップ上の基本セルの境界
と一致していないが、これを基本セルの単位、あるいは
その辺の半分の単位に合わせてしまうことにより、基本
セル単位あるいは半基本セル単位のメッシュを作成する
ことも可能である。例えば、チップ上にセルを置くこと
のできない基本セルの領域がある場合は、基本セルの境
界もメッシュの境界に含めておくことで対応が容易にな
る。

【０１０８】図１４は、セルを置くことができない基本
セルの領域の例を示している。図１４においては、メッ
シュの境界が基本セルに対応する領域の境界と一致して
いるものとする。ステップＳ１６のハミルトン方程式の
積分において、例えばメッシュＭ_A 内の積分経路が交点
ｑ_B ハットに達し、そのときのモーメンタムをｐ_B ハッ
トとする。しかし、交点ｑ_B ハットを含む辺を境界とし
て接しているメッシュＭ_Bに対応する基本セルには、そ
のセルを置くことができない。

【０１０９】ここでメッシュＭ_B を無視することにする
と、まず、交点ｑ_B ハットを含む辺に垂直な方向に、セ
ルを置くことのできる基本セルが現れるまで探してい
く。図１４では、メッシュＭ_C に対応する基本セルにそ
のセルを置くことができる。そこで、交点ｑ_B ハットを
メッシュＭ_C にぶつかるまで水平方向に平行移動して、
ぶつかった点をｑ_C ハットとする。点ｑ_C ハットにおけ
るモーメンタムｐ_C ハットは、その向きは交点ｐ_B ハッ
トと同じで、大きさは次式が成立するようにとる。

【０１１０】

【数１０】

【０１１１】この後は、メッシュＭ_C からメッシュＭ_D
へと通常通り積分経路を伸ばしていけばよい。このよう
にすれば、詳細釣合条件を満たしたままセルを置けない
基本セルを無視することができる。ただし、

【０１１２】

【数１１】

【０１１３】となる場合には、どのようにモーメンタム
ｐ_C ハットを選んでも（１６）式を満たすことはできな
い。そこで、例えばその場で反射してしまうようにする
方法がある。すなわち点ｑ_C ハット、モーメンタムｐ_C
ハットの代わりに点ｑ_B ハット、モーメンタム−ｐ_B ハ
ットをとって、同様に積分経路を伸ばしていく。あるい
は、メッシュＭ_B とメッシュＭ_C の境界を鏡のように考
えて、経路を反射させる方法も考えられる。

【０１１４】図１４のような場合に、セルを置けない基
本セルを無視しないことももちろん可能である。この場
合は、どのメッシュ内でも同じように積分経路を延長し
ていき、最終的に到達した点に対応する基本セルにその
セルを置けなければ、その位置の採用をあきらめる。そ
のセルに関して次候補の生成をもう一度やり直してもよ
いし、新しいセルに切り替えてもよい。

【０１１５】チップの端における配置処理には次のよう
な２通りの方法がある。１つの方法は、積分経路がチッ
プの端を越えてしまっても構わず計算する方法である。
チップの外では（９）式の右辺の−（グラディエントＥ
バー）はチップの内側を向いているので、途中の経路が
チップの外に出てしまっても、最終的に到達する場所が
チップ内に終わる可能性が高いと考えられる。もう１つ
の方法は、積分経路がチップの端を越えた時点でそれ以
上の処理を止めてしまう方法である。

【０１１６】前者の方法では、最終的に到達した場所が
チップの外である場合にそのセルに関する処理を止め、
後者の方法では、積分経路がチップの端を越えたらその
セルに関する処理を止めることになる。

【０１１７】以上の説明では、初期モーメンタムｐ_s ハ
ットを選ぶために用いる多次元ガウス分布の分散を１と
したが、より一般的な分布を用いることもできる。例え
ば、２次元の座標ｑハット＝（ｑ_x ，ｑ_y ）に対するモ
ーメンタムｐハット＝（ｐ_x，ｐ_y ）を選ぶために、次
式のような密度関数を持つ多次元正規分布を用いた場合
を考える。

【０１１８】

【数１２】

【０１１９】ただし、σ_x 、σ_y はそれぞれｘ、ｙ方向
の分散である。ここで、

【０１２０】

【数１３】

【０１２１】のような変数変換を行い、ｐ′ハットで確
率分布を表すと次のような標準正規分布となる。

【０１２２】

【数１４】

【０１２３】また、変換後のｑ′ハット、ｐ′ハットに
対して温度Ｔも含んだ場合のハミルトニアンは次式のよ
うになる。

【０１２４】

【数１５】

【０１２５】このとき、ｑ′ハット、ｐ′ハットに関す
るハミルトン方程式は次のようになる。

【０１２６】

【数１６】

【０１２７】したがって、座標ｑハットに関する運動方
程式は、

【０１２８】

【数１７】

【０１２９】となる。（２６）式を見ると、温度Ｔが大
きくなるほど位置エネルギーＥバーのグラディエントの
影響が小さくなり、分散σ_x 、σ_y が大きくなるほどそ
のグラディエントの影響が大きくなることがわかる。分
散σ_x 、σ_y が大きくなるほど、同じモーメンタムｐハ
ットの運動エネルギーとしての評価が小さくなるので、
（２６）式の結果は通常の直観的な推論とも合致する。

【０１３０】ＶＬＳＩ配置処理において温度や分散が具
体的に関係してくるのは、セルを置けない基本セルを無
視する場合である。この場合には運動エネルギーや位置
エネルギーが変わってくるので、例えば（１６）式の代
わりに、

【０１３１】

【数１８】

【０１３２】を用いて、メッシュＭ_B を飛ばす必要があ
る。ただし、（２７）式において、ｐ _B ′ハット、
ｐ_C ′ハットは、それぞれｐ_B ハット、ｐ_C ハットに
（１９）式と同様の変換を施したものである。

【０１３３】次に、ＶＬＳＩ配置処理の具体例について
説明する。セルの座標は例えば離散的な２つの整数の組
で表されるが、セルをある座標に置いたときのセルの原
点の位置のｘｙ座標を基にして、一つのセルの状態を２
次元ユークリッド空間に埋め込むことができる。ＶＬＳ
Ｉのチップ全体の状態としては、各セル毎の２次元ユー
クリッド空間をすべて合わせた有限次元ユークリッド空
間に埋め込むことができる。

【０１３４】ＶＬＳＩチップの各状態に対応する有限次
元ユークリッド空間の領域は、次のように決められる。
簡単のために各セル毎の２次元ユークリッド空間に限定
する。更にそのセルの離散的な座標値は、それぞれの軸
が自然数Ｎ＝｛１，２，・・・｝で表され、実数Ｒの一
部として埋め込まれたとする。このとき、例えばセルの
座標（２，５）に対応する基本セルの領域は〔１．５，
２．５）×〔４．５，５．５）と定義する。また、それ
ぞれの領域にはあらかじめ確率分布を与えておく。

【０１３５】セル選択部３２は動かすセルを選択し、そ
のセルに対応する座標を変更されるべきパラメータとす
る変更パラメータ情報を次候補生成装置２１に与える。
セル状態読出部３３は、選択されたセルを含むすべての
セルの座標をセル状態記憶部３６から読み出し、初期状
態として次候補発生装置２１に渡す。多次元ガウス分布
パラメータ設定部３４は多次元ガウス分布パラメータ
を、また積分時間設定部３５は積分時間をそれぞれ次候
補発生装置２１に与える。この場合、多次元ガウス分布
パラメータは２つの正の実数の組となる。選択されたセ
ルの元の座標を（２，５）とすると、領域確率分布発生
部２３はセルの座標（２，５）に対応する領域〔１．
５，２．５）×〔４．５，５．５）に与えられている確
率分布に従って、その領域内の１つの点をとってくる。
この点を仮に（１．８９，５．３２）とする。

【０１３６】この点を初期位置とし、多次元ガウス分布
発生部１２が多次元ガウス分布パラメータを基にして発
生したベクトルを初期モーメンタムとして、ハミルトン
方程式の積分が行われる。その結果、得られた到達点を
（３．４５，６．９８）とする。定義域復帰部２５は、
到達点（３．４５，６．９８）に対応する基本セルの領
域〔２．５，３．５）×〔６．５，７．５）から、整数
の座標である（３，７）を次候補の位置として出力す
る。

【０１３７】一方で、領域確率密度比計算部２４は
（１．８９，５．３２）と（３．４５，６．９８）の２
つの点における確率密度の比を計算して、詳細釣合条件
修正項として出力する。それぞれの領域で一様確率分布
が与えられた場合は、ルベーク測度に対する確率密度関
数はどこでも１となり一定となる。この場合には、領域
確率密度比計算部２４が出力する確率密度の比はいつで
も１になる。

【０１３８】受理決定部３８は、詳細釣合条件修正項を
用いて次候補の位置を受理するかどうかを決定する。こ
こで、次候補を受け入れるかどうかの決定にメトロポリ
ス法を用いたとする。初期位置をｑ_s ハット、次候補の
位置をｑ_e ハット、点ｑ_s ハットでのセルの回転状態を
Ｒ_s 、点ｑ_e ハットでのセルの回転状態をＲ_e 、点ｑ _s
ハットでの可能な回転状態の数をｒ_s 、点ｑ_e ハットで
の可能な回転状態の数をｒ_e とすると、回転状態Ｒ_s 、
Ｒ_e が選ばれる確率はそれぞれ１／ｒ_s 、１／ｒ_e とな
る。さらに、点ｑ_s ハットに対応してとられた点を
ｑ_s ′ハット、点ｑ _e ハットに対応している点をｑ_e ′
ハット、元のエネルギー関数をＥ、近似エネルギー関数
をＥバー、点ｑ_s ′ハットでの確率密度をｐ（ｑ_s ′ハ
ット）、点ｑ _e ′ハットでの確率密度をｐ（ｑ_e ′ハッ
ト）、温度パラメータをＴとする。このとき、受理決定
部３８は次式の値Ａ′を計算する。

【０１３９】

【数１９】

【０１４０】また、０から１までの一様乱数を発生しそ
れをｒとする。ここで、Ａ′＞ｒなら次候補の位置を受
理し、Ａ′＜ｒなら受理しない。（２８）式において、
エネルギー関数Ｅは離散的なセルの座標の関数であるの
に対して、近似エネルギー関数Ｅバーは有限次元ユーク
リッド空間の連続的な座標の関数である。近似エネルギ
ー差Ｅバー（ｑ_e ′ハット）−Ｅバー（ｑ_s ′ハット）
と詳細釣合条件修正項ｐ（ｑ_e ′ハット）／ｐ（ｑ_s ′
ハット）は、次候補生成装置２１から与えられる。特
に、一様確率分布が与えられた場合はｐ（ｑ _e ′ハッ
ト）／ｐ（ｑ_s ′ハット）＝１となるため、詳細釣合条
件修正項はＡ′の値に影響を与えない。

【０１４１】セル状態変更部３７は、受理決定部３８が
次候補の位置を受理したときセル状態記憶部３６内の該
当するセルの状態を更新し、受理しなかったときは元の
状態に留める。

【０１４２】ＶＬＳＩ配置問題の場合、移動させるセル
の座標が変化させる状態変数に相当し、それ以外の他の
セルの座標の組が変化させない状態変数の組となる。対
象のセルを動かす間はある１つの近似エネルギー関数Ｅ
バーの定義に従う必要があるが、改めて別のセルを動か
すときは別の近似エネルギー関数Ｅバーを定義して用い
ることができる。したがって、近似エネルギー関数Ｅバ
ーは、すべての状態変数に関して必ずしもグローバルに
定義されている必要はない。

【０１４３】以上、第２の構成の次候補生成装置２１を
ＶＬＳＩ配置問題に適用する例について説明したが、こ
の装置は、連続的あるいは離散的な状態変数とエネルギ
ー関数を定義することのできるあらゆる問題に適用可能
である。

【０１４４】例えば、節点と枝から成るグラフを分割す
る問題であるグラフ分割問題（Johnson et al. OPTIMIZ
ATION BY SIMULATED ANNEALING: AN EXPERIMENTAL EVAL
UATION; PARTI, GRAPH PARTITIONING, Operations Rese
arch, Vol. 37, No. 6, 1989, pp. 865-892 ）や、グラ
フを色分けする問題であるグラフ色づけ問題（Johnson
et al. OPTIMIZATION BY SIMULATED ANNEALING: AN EXP
ERIMENTAL EVALUATION; PARTII, GRAPH COLORING AND N
UMBER PARTITIONING, Operations Research, Vol. 39,
No. 3, 1991, pp. 378-406）に適用できる。グラフ分割
問題は回路設計等に応用することができ、グラフ色づけ
問題はスケジューリングに応用することができる。ま
た、生産計画問題（湯上、原、Simulated Annealing に
よる大規模生産計画問題の解法、人工知能９０−８、p
p. 61-69 ）にも適用できる。生産計画問題において
は、例えばある機械がある日に生産する製品の種類を状
態変数として、製品の生産不足量をエネルギーとすれば
よい。

【０１４５】図１５は、次候補生成装置およびＶＬＳＩ
配置装置のシステム構成例を示している。図１５のシス
テムは、中央処理装置（ＣＰＵ）４１、メモリ４２、入
出力装置４３、およびそれらを接続する共通バス４４を
備える。

【０１４６】ＣＰＵ４１はメモリ４２に格納されたプロ
グラムを実行することにより、多次元ガウス分布発生部
１２、ハミルトン方程式積分部１３、近似エネルギー差
計算部１４、近似エネルギー関数微分発生部１５、有限
次元ユークリッド空間対応設定部２２、領域確率分布発
生部２３、領域確率密度比計算部２４、定義域復帰部２
５、セル選択部３２、セル状態読出部３３、多次元ガウ
ス分布パラメータ設定部３４、積分時間設定部３５、セ
ル状態変更部３７、受理決定部３８等の各機能を実現す
る。

【０１４７】また、メモリ４２はさらにセル状態記憶部
３６等の役割を果たし、入出力装置４３はメモリ４２へ
のデータの格納や処理結果の出力に用いられる。以上説
明したように、ＳＡの次候補の選択方法を工夫すること
により次候補の受理確率を向上させることができ、様々
な最適化問題の処理を高速化することが可能になる。

【０１４８】次に、従来の温度並列シュミレーティド・
アニール法について説明する。通常の逐次シュミレーテ
ィド・アニール法では、温度スケジュールに従って温度
Ｔを単調減少させる。一方、温度並列シュミレーティド
・アニール法では、それぞれ相異なる温度を担当するプ
ロセッサに異なる初期解を与え、それぞれ一定温度の下
で同時並列的にアニーリング処理を行う。このとき、逐
次シュミレーティド・アニール法で温度Ｔから温度Ｔ′
に冷却することは、温度並列シュミレーティド・アニー
ル法では、図１６に示すように、温度Ｔを担当するプロ
セッサと温度Ｔ′を担当するプロセッサとの間で解を交
換することに相当する。

【０１４９】また、逐次シュミレーティド・アニール法
で温度スケジュールを設定することは、温度並列シュミ
レーティド・アニール法では、プロセッサ間で解の交換
をいつ行うかを指定することに相当する。そこで、プロ
セッサ間での解の交換を確率的に行わせて温度スケジュ
ールを自動化し、固定的な温度スケジュールを不要にし
ている。

【０１５０】このプロセッサ間で行う解交換の確率は、
以下のように決定される。まず、解の交換確率を（２
９）式のように定める。 （Ｔ−Ｔ′）（Ｅ−Ｅ′）＜０⇒ｐ（Ｔ，Ｅ，Ｔ′，Ｅ′）＝１ ・・・（２９） ここで、ｐ（Ｔ，Ｅ，Ｔ′，Ｅ′）は、温度Ｔを担当す
るプロセッサが評価関数値Ｅの解を持ち、温度Ｔ′を担
当するプロセッサが評価関数値Ｅ′の解を持つとき、そ
れらのプロセッサ間での解の交換確率を示す。

【０１５１】（２９）式は、解交換時に高い方の温度を
担当するプロセッサの持つ解が、低い方の温度を担当す
るプロセッサの持つ解よりも良質である場合、すなわ
ち、評価関数値が小さい場合は無条件に解の交換が行わ
れることを示している。

【０１５２】次に、（Ｔ−Ｔ′）（Ｅ−Ｅ′）≧０の場
合の解の交換確率ｐ（Ｔ，Ｅ，Ｔ′，Ｅ′）は、以下の
ようになる。すなわち、無限時間の後にボルツマン分布
に従う平衡状態が各プロセッサ上で実現された場合、各
プロセッサ間の解の確率的交換は、この平衡状態を崩し
てはならない。そのため、詳細釣合の原理から（３０）
式の関係を満たす必要がある。 ｅ^-(E/T)／Ｚ（Ｔ）・ｅ^{-( E}′^/T′⁾ ／Ｚ（Ｔ′）・ｐ（Ｔ，Ｅ，Ｔ′，Ｅ′） ＝ｅ^{-( E}′^/T) ／Ｚ（Ｔ）・ｅ^{-( E/T}′⁾ ／Ｚ（Ｔ′）・１ ⇔ｐ（Ｔ，Ｅ，Ｔ′，Ｅ′） ＝ｅｘｐ（−（Ｔ−Ｔ′）・（Ｅ−Ｅ′）／（Ｔ・Ｔ′）） ・・・（３０） ここで、Ｚ（Ｔ）は、分配関数である。

【０１５３】以上、（２９）、（３０）式により、プロ
セッサ間の解の交換確率ｐ（Ｔ，Ｅ，Ｔ′，Ｅ′）は、
次のようになる。 ｐ（Ｔ，Ｅ，Ｔ′，Ｅ′） ＝１ ΔＴ・ΔＥ＜０ ｅｘｐ（−ΔＴ・ΔＥ／（Ｔ・Ｔ′）） ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ・・・（３１） ただし、ΔＥ＝Ｅ−Ｅ′、ΔＴ＝Ｔ−Ｔ′である。

【０１５４】このように、温度並列シュミレーティド・
アニール法では、時間の進行とともに変化させるべきパ
ラメータを持っておらず、アルゴリズムは時間的に一様
である。

【０１５５】従って、このアルゴリズムの確率的な動作
は時間的に一様なマルコフ連鎖として記述され、このマ
ルコフ連鎖は既約かつ非周期的であるので、その唯一の
定常状態（平衡状態）に収束する。

【０１５６】また、アルゴリズムの時間的一様性によ
り、ある時点で処理を打ち切って得られた解が不満足な
ものである場合、処理をそのまま継続してさらに最適化
を行うことができる。

【０１５７】さらに、温度並列シュミレーティド・アニ
ール法では、各プロセッサ上で独立に一定温度のアニー
リング処理が行われ、プロセッサ間通信が必要となるの
は解交換の瞬間のみであるため、並列処理との親和性が
高い。

【０１５８】なお、温度並列シュミレーティド・アニー
ル法については、例えば、「小西健三，瀧和夫，木村宏
一，温度並列シュミレーティド・アニール法とその評
価，情報処理学会論文誌，ｖｏｌ．３６，ｎｏ．４，ｐ
ｐ．７９７−８０７，Ａｐｒ．，１９９５．」に記載さ
れている。

【０１５９】以下、一定温度でシュミレーティド・アニ
ーリングを行うものを恒温槽と呼ぶ。

【０１６０】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、上述し
た温度並列シュミレーティド・アニール法においては、
同一のアニーリング・アルゴリズムを全ての恒温槽で使
用しており、解を求めるために多くのＣＰＵ時間を必要
とするという問題があった。

【０１６１】また、上述した先願の最適化問題処理方法
では、低温の恒温槽では高速に処理を行うことが可能で
あるが、高温の恒温槽では低温の恒温槽に比べて処理が
遅くなるという問題があった。

【０１６２】そこで、本発明の目的は、温度毎に適切な
アルゴリズム及びパラメタを使用できるようにして高速
に処理を行うことができる温度並列シュミレーティド・
アニーリング用恒温槽装置及び温度並列シュミレーティ
ド・アニール方法を提供することである。

【０１６３】

【課題を解決するための手段】上述した課題を解決する
ために、本発明によれば、温度並列シミュレーティド・
アニーリングを実行するアルゴリズム及びパラメタを温
度に応じて可変とするようにしている。

【０１６４】このことにより、各温度に最適な条件でシ
ミュレーティド・アニーリングを行うことができ高速に
処理を行うことができる。また、本発明の一態様によれ
ば、シミュレーティド・アニーリングに使用するエネル
ギー関数を温度に応じて可変とする。

【０１６５】このことにより、各温度に最適なエネルギ
ー関数を用いてミュレーティド・アニーリングを行うこ
とができ高速に処理を行うことができる。また、本発明
の一態様によれば、図１に示すように、第１の温度の下
でシミュレーティド・アニーリング処理を行うシミュレ
ーティド・アニーリング処理手段１０２と、前記シミュ
レーティド・アニーリング処理手段により得られた第１
の状態と、第２の温度の下でシミュレーティド・アニー
リング処理を行うことにより得られた第２の状態とを確
率的に交換する状態交換手段１０３と、前記シミュレー
ティド・アニーリングの実行を制御するパラメタを設定
するパラメタ設定手段１０１とを備える。

【０１６６】そして、パラメタ設定手段１０１は、シミ
ュレーティド・アニーリング処理手段１０２が第１の温
度の下で効率的に動作するように、シミュレーティド・
アニーリングの実行を制御するパラメタを変更する。

【０１６７】このことにより、シミュレーティド・アニ
ーリング処理手段１０２におけるシミュレーティド・ア
ニーリング処理を高速化することができる。また、本発
明の一態様によれば、第１の温度の下でシミュレーティ
ド・アニーリング処理を行う第１のシミュレーティド・
アニーリング処理手段と、第２の温度の下でシミュレー
ティド・アニーリング処理を行う第２のシミュレーティ
ド・アニーリング処理手段と、前記第１のシミュレーテ
ィド・アニーリング処理手段により得られた第１の状態
と、前記第２のシミュレーティド・アニーリング処理手
段により得られた第２の状態とを確率的に交換する制御
を行う状態交換制御手段と、前記シミュレーティド・ア
ニーリングを実行するパラメタを、前記第１のシミュレ
ーティド・アニーリング処理手段及び前記第２のシミュ
レーティド・アニーリング処理手段に対して独立に設定
するパラメタ設定手段とを備えている。

【０１６８】そして、パラメタ設定手段は、第１のシミ
ュレーティド・アニーリング処理手段が第１の温度の下
で効率的に動作し、且つ、第２のシミュレーティド・ア
ニーリング処理手段が第２の温度の下で効率的に動作す
るように、シミュレーティド・アニーリングを実行する
パラメタをそれぞれ独立に設定する。

【０１６９】このことにより、各温度に最適な条件でシ
ミュレーティド・アニーリング処理を行うことができ、
シミュレーティド・アニーリング処理を高速化すること
ができる。

【０１７０】

【発明の実施の形態】以下、本発明の一実施例による温
度並列シミュレーティド・アニーリング（ＴＰＳＡ）用
恒温槽装置について、図面を参照しながら説明する。

【０１７１】図２は、本発明の一実施例による温度並列
シミュレーティド・アニーリング用恒温槽装置の構成を
示すブロック図である。図２において、１１０はＴＰＳ
Ａ用恒温槽装置、１１１はＳＡパラメタ設定装置、１１
２はＳＡ実行制御装置、１１３はＳＡアルゴリズム実行
装置、１１４は状態交換装置、１１５は状態保存装置、
１１６はＳＡパラメタ保存装置、１１７はＳＡ一般パラ
メタ保存装置、１１８はＳＡアルゴリズムパラメタ保存
装置、１１９はＳＡエネルギーパラメタ保存装置であ
る。

【０１７２】ＴＰＳＡ用恒温槽装置１１０において、Ｓ
Ａパラメタ設定装置１１１は、ＳＡ実行用のパラメタの
情報を外部から受け取り、ＳＡパラメタ設定装置１１１
が受け取ったパラメタの情報をＳＡパラメタ保存装置１
１６に保存する。

【０１７３】ＳＡパラメタ保存装置１１６は、ＳＡの実
行に関する各種のパラメタを保存するものであり、ＳＡ
一般パラメタ保存装置１１７、ＳＡアルゴリズムパラメ
タ保存装置１１８及びＳＡエネルギーパラメタ保存装置
１１９を備えている。

【０１７４】ＳＡ一般パラメタ保存装置１１７は、温度
や終了条件などのＳＡを実行する一般的なパラメタを保
存する。ＳＡアルゴリズムパラメタ保存装置１１８は、
シミュレーティド・アニーリングを実現するアルゴリズ
ムやそのアルゴリズムに関するパラメタを保存する。こ
のアルゴリズムは、例えば、メトロポリス法によるアル
ゴリズムやハイブリッド・モンテカルロ法によるアルゴ
リズムである。

【０１７５】ＳＡエネルギーパラメタ保存装置１１９
は、シミュレーティド・アニーリングによるエネルギー
計算に関するパラメタを保存する。このパラメタは、例
えば、ＶＬＳＩ配置問題では、オーバーラップ、配線
長、混雑度、配線容量のエネルギー、ネットの混雑度な
どである。

【０１７６】ＳＡ実行制御装置１１２は、ＳＡ実行の指
示を外部から受け取った場合、その指示に基づいて、Ｓ
Ａアルゴリズム実行装置１１３によりＳＡを実行する制
御を行う。

【０１７７】ＳＡアルゴリズム実行装置１１３は、ＳＡ
の実行に必要なパラメタをＳＡパラメタ保存装置１１６
から読み出し、状態保存装置１１５に保存されている状
態を対象にＳＡを実行する。この場合、このパラメタに
基づいて実行するＳＡアルゴリズムを変更してＳＡを実
行することができる。

【０１７８】状態交換装置１１４は、外部と状態の交換
を行う。すなわち、状態保存装置１１５に保存されてい
る状態を読み出し、その読み出した状態を外部に通知
し、外部から供給される別の状態を状態保存装置１１５
に保存する。

【０１７９】状態保存装置１１５は、ＳＡアルゴリズム
実行装置１１３及び状態交換装置１１４から供給された
状態を保存するとともに、その保存された状態をＳＡア
ルゴリズム実行装置１１３及び状態交換装置１１４に供
給する。

【０１８０】次に、本発明の一実施例による温度並列シ
ミュレーティド・アニーリング用恒温槽装置の動作につ
いて、図面を参照しながら説明する。図２において、Ｓ
Ａパラメタ設定装置１１１は、ＳＡ実行用のパラメタの
設定の指示を外部から受けた場合、ＳＡパラメタ設定装
置１１１が受け取ったパラメタをＳＡパラメタ保存装置
１１６に保存する。

【０１８１】ＳＡ実行制御装置１１２は、ＳＡ実行の指
示を外部から受けた場合、ＳＡアルゴリズム実行装置１
１３にＳＡを実行するように指示する。ＳＡアルゴリズ
ム実行装置１１３は、ＳＡ実行制御装置１１２からＳＡ
の実行の指示を受けると、ＳＡパラメタ保存装置１１６
に保存されたパラメタを読み出すとともに、状態保存装
置１１５に保存されている状態を読み出す。そして、Ｓ
Ａパラメタ保存装置１１６から読み出したパラメタに基
づいて、状態保存装置１１５から読み出した状態を対象
にして、ＳＡアルゴリズムを実行する。

【０１８２】また、ＳＡ実行制御装置１１２は、ＳＡ一
般パラメタ保存装置１１７に格納されている終了条件を
監視し、その終了条件が満足された場合、ＳＡアルゴリ
ズム実行装置１１３のＳＡの実行を終了させる。そし
て、ＳＡの実行を終了したＳＡアルゴリズム実行装置１
１３は、ＳＡの実行の終了とＳＡにより得られた最終エ
ネルギー値とをＳＡ実行制御装置１１２に通知する。こ
の通知を受けたＳＡ実行制御装置１１２は、ＳＡの実行
の終了とＳＡにより得られた最終エネルギー値とを外部
に知らせる。

【０１８３】状態交換装置１１４は、外部からの状態の
交換の指示に基づいて、状態保存装置１１５に保存され
た状態を読み出し、その読み出した状態を外部に通知
し、外部から供給された別の状態を状態保存装置１１５
に保存する。

【０１８４】次に、本発明の一実施例による温度並列シ
ミュレーティド・アニーリング実行装置について、図面
を参照しながら説明する。図３は、本発明の一実施例に
よる温度並列シミュレーティド・アニーリング実行装置
の構成を示すブロック図である。

【０１８５】図３において、１２０はＴＰＳＡ実行装
置、１２１はＴＰＳＡ制御装置、１２２は状態交換制御
装置、１２３、１２４はＴＰＳＡ用恒温槽装置である。
ＴＰＳＡ制御装置１２１は、ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２
３、１２４及び状態交換制御装置１２２に指示を与え、
温度並列シミュレーティド・アニーリングを制御する。

【０１８６】状態交換制御装置１２２は、ＴＰＳＡ用恒
温槽装置１２３、１２４に保存されている状態を交換す
る制御を行う。ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３は第１の温
度で動作し、ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２４は第２の温度
で動作し、各ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４のＳ
Ａパラメタ保存装置１１６に保存されたパラメタに基づ
いて、ＳＡの実行を行う。

【０１８７】次に、本発明の一実施例による温度並列シ
ミュレーティド・アニーリング実行装置の動作につい
て、図面を参照しながら説明する。図３において、ＴＰ
ＳＡ制御装置１２１は、ＳＡ実行用のパラメタを各ＴＰ
ＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４のＳＡパラメタ保存装
置１１６に保存する。この際、ＳＡ実行用のパラメタ
は、ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４がそれぞれの
温度に基づいて効率的に動作するように、別々に設定さ
れる。

【０１８８】すなわち、各ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２
３、１２４におけるＳＡを実行する一般的なパラメタ、
例えば、温度や終了条件などを、各温度で最適に動作す
るように、それぞれのＳＡ一般パラメタ保存装置１１７
に別々に保存する。

【０１８９】また、各ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１
２４におけるＳＡを実現するアルゴリズムやそのアルゴ
リズムに関するパラメタを、各温度で最適に動作するよ
うに、それぞれのＳＡアルゴリズムパラメタ保存装置１
１８に別々に保存する。

【０１９０】さらに、各ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、
１２４におけるＳＡのエネルギー計算に関するパラメタ
を、各温度で最適に動作するように、それぞれのＳＡエ
ネルギーパラメタ保存装置１１９に別々に保存する。例
えば、ＶＬＳＩ配置問題において、ＴＰＳＡ用恒温槽装
置１２３が高い方の温度を担当し、ＴＰＳＡ用恒温槽装
置１２４が低い方の温度を担当する場合、高い方の温度
を担当するＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３では、ＳＡのエ
ネルギー計算に関するパラメタとして、オーバーラッ
プ、配線長、端子の混雑度及び配線容量のエネルギーを
使用し、低い方の温度を担当するＴＰＳＡ用恒温槽装置
１２４では、前記パラメタに加えて、ネットの混雑度を
使用する。

【０１９１】次に、ＴＰＳＡ制御装置１２１は、各ＴＰ
ＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４に対し、ＳＡを実行す
るように指示を出した後、ＳＡ実行終了のメッセージが
ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４から通知されたか
どうかを監視する。

【０１９２】そして、ＴＰＳＡ制御装置１２１は、決定
している状態交換のスケジュールに必要なＳＡ実行終了
のメッセージと最終エネルギー値とを、ＴＰＳＡ用恒温
槽装置１２３、１２４から受け取ると、各ＴＰＳＡ用恒
温槽装置１２３、１２４の名前、それぞれの温度及び最
終エネルギー値を状態交換制御装置１２２に渡す。

【０１９３】各ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４の
名前、それぞれの温度及び最終エネルギー値を渡された
状態交換制御装置１２２は、（３０）式又は（３１）式
に従って、各ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４にお
ける状態保存装置１１５に保存された２つの状態を確率
的に交換する。

【０１９４】すなわち、高い方の温度を担当するＴＰＳ
Ａ用恒温槽装置１２３の最終エネルギー値が低い方の温
度を担当するＴＰＳＡ用恒温槽装置１２４の最終エネル
ギー値より小さい場合、ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、
１２４間で無条件に状態の交換を行い、高い方の温度を
担当するＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３の最終エネルギー
値が低い方の温度を担当するＴＰＳＡ用恒温槽装置１２
４の最終エネルギー値より大きい場合、ＴＰＳＡ用恒温
槽装置１２３とＴＰＳＡ用恒温槽装置１２４との間の温
度差及び最終エネルギー値の差分に基づく確率に基づい
て、ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４間で状態の交
換を行う。

【０１９５】このことにより、無限時間の後にボルツマ
ン分布に従う平衡状態が各ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２
３、１２４上で実現された場合、各ＴＰＳＡ用恒温槽装
置１２３、１２４間の状態の確率的交換は、この平衡状
態を保存することができ、詳細釣合の原理を満足させる
ことができる。

【０１９６】このＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４
間の状態の確率的交換を、温度並列シミュレーティド・
アニーリングの終了条件が満たされるまで実行する。な
お、この終了条件は、例えば、ＳＡ実行の最大回数によ
り決定する。

【０１９７】次に、本発明の一実施例による温度並列シ
ミュレーティド・アニーリング制御装置の動作につい
て、図面を参照しながら説明する。図４は、本発明の一
実施例による温度並列シミュレーティド・アニーリング
制御装置１２１の動作を示すフローチャートである。

【０１９８】図４において、まず、ステップＳ１１０に
示すように、各ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４の
ＳＡパラメタ保存装置１１６にＳＡ実行用パラメタを設
定する。

【０１９９】次に、ステップＳ１１１に示すように、各
ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４にＳＡ実行の指示
を行う。次に、ステップＳ１１２に示すように、各ＴＰ
ＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４のＳＡの終了を監視
し、ステップＳ１１３でＳＡの終了条件を満たした場
合、ステップＳ１１４に進む。そして、最もエネルギー
の小さいＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４のエネル
ギーとそのときの状態を報告し、処理を終了する。

【０２００】一方、ステップＳ１１３でＳＡの終了条件
を満たしていないと判断された場合、ステップＳ１１５
に進み、ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４の状態の
交換が必要かどうかを判断する。そして、ＴＰＳＡ用恒
温槽装置１２３、１２４の状態の交換が必要な場合、ス
テップＳ１１６に進んで、状態交換制御装置１２２の状
態交換の指示を出す。ここで、ＴＰＳＡ用恒温槽装置１
２３、１２４の状態の交換が必要な場合とは、例えば高
い方の温度を担当するＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３のエ
ネルギー値が低い方の温度を担当するＴＰＳＡ用恒温槽
装置１２４のエネルギー値より小さい場合、又は高い方
の温度を担当するＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３のエネル
ギー値が低い方の温度を担当するＴＰＳＡ用恒温槽装置
１２４のエネルギー値より大きく且つ交換確率を満たす
場合である。ＴＰＳＡ用恒温槽装置１２３、１２４の状
態交換装置１１４は、この状態交換制御装置１２２から
の指示に基づいて、状態保存装置１１５に保存されてい
る状態の交換を行い、ステップＳ１１２に戻って処理を
続行する。なお、状態の交換は、所定の状態交換周期で
（３０）式又は（３１）式に従って、確率的に行われ
る。

【０２０１】一方、ステップＳ１１５でＴＰＳＡ用恒温
槽装置１２３、１２４の状態の交換が必要でないと判断
された場合、ステップＳ１１２に戻って処理を続行す
る。図５は、ＶＬＳＩ配置問題において、温度を１．０
度に保ってシミュレーティド・アニーリング処理を行っ
た場合のトータルエネルギーの変化を示すグラフで、縦
軸はエネルギー、横軸はepoch を示している。ここで、
epoch とは、一つ一つのセルに順番にシミュレーティド
・アニーリングを適用して全てのセルを一巡することで
ある。

【０２０２】また、図５において、１３０はＳＡを実現
するアルゴリズムとしてメトロポリス法を用いた場合を
示し、１３１はＳＡを実現するアルゴリズムとしてハイ
ブリッド・モンテカルロ法を用いた場合を示している。

【０２０３】このように、低温で処理を行う場合、ＳＡ
を実現するアルゴリズムとしてハイブリッド・モンテカ
ルロ法を使用した方がより速くエネルギーの低い状態に
到達し、低い温度を担当するＴＰＳＡ用恒温槽装置１２
３、１２４では、メトロポリス法よりもハイブリッド・
モンテカルロ法の方が適している。

【０２０４】以上説明したように、本発明の一実施例に
よる温度並列シミュレーティド・アニーリング処理によ
れば、シミュレーティド・アニーリング処理を実現する
アルゴリズムやエネルギー関数を各恒温槽ごとに指定す
ることができ、各温度に効率的なアルゴリズムやエネル
ギー関数を使うことができ、各種の最適化問題の解決に
寄与するところが大きい。

【０２０５】

【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
温度並列シミュレーティド・アニーリングを実行するア
ルゴリズム及びパラメタを温度に応じて可変とすること
により、各温度に最適な条件でシミュレーティド・アニ
ーリングを行うことができ、処理を高速化することがで
きる。

【０２０６】また、シミュレーティド・アニーリングに
使用するエネルギー関数を温度に応じて可変とすること
により、各温度に最適なエネルギー関数を用いてミュレ
ーティド・アニーリングを行うことができ、処理を高速
化することができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施例による温度並列シミュレーテ
ィド・アニーリング用恒温槽装置の機能的な構成を示す
ブロック図である。

【図２】本発明の一実施例による温度並列シミュレーテ
ィド・アニーリング用恒温槽装置の構成を示すブロック
図である。

【図３】本発明の一実施例による温度並列シミュレーテ
ィド・アニーリング実行装置の構成を示すブロック図で
ある。

【図４】本発明の一実施例による温度並列シミュレーテ
ィド・アニーリング制御装置の動作を示すフローチャー
トである。

【図５】ＶＬＳＩ問題において、温度を１．０度に保っ
たままメトロポリス法及びハイブリッド・モンテカルロ
法で処理を行った場合のトータルエネルギーの変化を示
すグラフである。

【図６】先願の次候補生成装置の第１の構成を示す図で
ある。

【図７】状態遷移処理のフローチャートである。

【図８】先願の次候補生成装置の第２の構成を示す図で
ある。

【図９】ＶＬＳＩ配置装置の構成図である。

【図１０】ＶＬＳＩ配置処理のフローチャート（その
１）である。

【図１１】ＶＬＳＩ配置処理のフローチャート（その
２）である。

【図１２】ＶＬＳＩ配置問題のエネルギー関数を示す図
である。

【図１３】積分経路の例を示す図である。

【図１４】セルを置くことができない領域の例を示す図
である。

【図１５】次候補生成装置のシステム構成図である。

【図１６】従来の逐次シミュレーティド・アニーリング
法及び温度並列シミュレーティド・アニーリング法の動
作を説明する図である。

【符号の説明】

１０１ パラメタ設定手段 １０２ シミュレーティド・アニーリング処理手段 １０３ 状態交換手段 １１０ ＴＰＳＡ用恒温槽装置 １１１ ＳＡパラメタ設定装置 １１２ ＳＡ実行制御装置 １１３ ＳＡアルゴリズム実行装置 １１４ 状態交換装置 １１５ 状態保存装置 １１６ ＳＡパラメタ保存装置 １１７ ＳＡ一般パラメタ保存装置 １１８ ＳＡアルゴリズムパラメタ保存装置 １１９ ＳＡエネルギーパラメタ保存装置 １２０ ＴＰＳＡ実行装置 １２１ ＴＰＳＡ制御装置 １２２ 状態交換制御装置 １２３、１２４ ＴＰＳＡ用恒温槽装置

Claims (15)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 第１の温度の下でシミュレーティド・ア
   ニーリング処理を行うシミュレーティド・アニーリング
   処理手段と、 前記シミュレーティド・アニーリング処理手段により得
   られた第１の状態と、第２の温度の下でシミュレーティ
   ド・アニーリング処理を行うことにより得られた第２の
   状態とを確率的に交換する状態交換手段と、 前記シミュレーティド・アニーリングの実行を制御する
   パラメタを設定するパラメタ設定手段とを備えることを
   特徴とする温度並列シミュレーティド・アニーリング用
   恒温槽装置。
2. 【請求項２】 前記シミュレーティド・アニーリングを
   実現するアルゴリズム及び前記アルゴリズムのパラメタ
   を設定するアルゴリズム設定手段をさらに備えることを
   特徴とする請求項１に記載の温度並列シミュレーティド
   ・アニーリング用恒温槽装置。
3. 【請求項３】 前記シミュレーティド・アニーリングの
   エネルギー関数を決定するパラメタを設定するエネルギ
   ーパラメタ設定手段をさらに備えることを特徴とする請
   求項１に記載の温度並列シミュレーティド・アニーリン
   グ用恒温槽装置。
4. 【請求項４】 前記状態交換手段は、シュレーティド・
   アニーリング処理により得られたボルツマン分布に従う
   平衡状態を保存しながら状態の交換を行うことを特徴と
   する請求項１に記載の温度並列シミュレーティド・アニ
   ーリング用恒温槽装置。
5. 【請求項５】 前記状態交換手段は、高い方の温度の下
   で得られた状態のエネルギーが低い方の温度の下で得ら
   れた状態のエネルギーよりも小さい場合、前記高い方の
   温度の下で得られた状態と前記低い方の温度の下で得ら
   れた状態とを無条件に交換し、前記高い方の温度の下で
   得られた状態のエネルギーが前記低い方の温度の下で得
   られた状態のエネルギーよりも大きい場合、前記高い方
   の温度の下で得られた状態のエネルギーと前記低い方の
   温度の下で得られた状態のエネルギーとの差分及び温度
   差に基づく確率に従って、前記高い方の温度の下で得ら
   れた状態と前記低い方の温度の下で得られた状態とを交
   換することを特徴とする請求項１に記載の温度並列シミ
   ュレーティド・アニーリング用恒温槽装置。
6. 【請求項６】 前記アルゴリズム設定手段は、前記シミ
   ュレーティド・アニーリングを実現するアルゴリズムと
   して、メトロポリス法によるアルゴリズム又はハイブリ
   ッド・モンテカルロ法によるアルゴリズムを設定するこ
   とを特徴とする請求項２に記載の温度並列シミュレーテ
   ィド・アニーリング用恒温槽装置。
7. 【請求項７】 前記エネルギーパラメタ設定手段は、Ｖ
   ＬＳＩ配置問題において、オーバーラップ、配線長、端
   子の混雑度、配線容量のエネルギー又はネットの混雑度
   をエネルギー関数を決定するパラメタとすることを特徴
   とする請求項３に記載の温度並列シミュレーティド・ア
   ニーリング用恒温槽装置。
8. 【請求項８】 第１の温度の下でシミュレーティド・ア
   ニーリング処理を行う第１のシミュレーティド・アニー
   リング処理手段と、 第２の温度の下でシミュレーティド・アニーリング処理
   を行う第２のシミュレーティド・アニーリング処理手段
   と、 前記第１のシミュレーティド・アニーリング処理手段に
   より得られた第１の状態と、前記第２のシミュレーティ
   ド・アニーリング処理手段により得られた第２の状態と
   を確率的に交換する制御を行う状態交換制御手段と、 前記シミュレーティド・アニーリングを実行するパラメ
   タを、前記第１のシミュレーティド・アニーリング処理
   手段及び前記第２のシミュレーティド・アニーリング処
   理手段に対して独立に設定するパラメタ設定手段とを備
   えることを特徴とする温度並列シミュレーティド・アニ
   ーリング実行装置。
9. 【請求項９】 前記パラメタ設定手段は、前記シミュレ
   ーティド・アニーリングを実現するアルゴリズムと前記
   アルゴリズムの実行を制御するパラメタとを、前記第１
   のシミュレーティド・アニーリング処理手段及び前記第
   ２のシミュレーティド・アニーリング処理手段に対して
   独立に設定することを特徴とする請求項８に記載の温度
   並列シミュレーティド・アニーリング実行装置。
10. 【請求項１０】 前記パラメタ設定手段は、前記シミュ
    レーティド・アニーリングのエネルギー関数を決定する
    パラメタを、前記第１のシミュレーティド・アニーリン
    グ処理手段及び前記第２のシミュレーティド・アニーリ
    ング処理手段に対して独立に設定することを特徴とする
    請求項９に記載の温度並列シミュレーティド・アニーリ
    ング実行装置。
11. 【請求項１１】 前記状態交換制御手段は、シュレーテ
    ィド・アニーリング処理により得られたボルツマン分布
    に従う平衡状態を保存しながら状態の交換を行うことを
    特徴とする請求項８に記載の温度並列シミュレーティド
    ・アニーリング用恒温槽装置。
12. 【請求項１２】 前記パラメタ設定手段は、前記シミュ
    レーティド・アニーリングを実現するアルゴリズムとし
    て、メトロポリス法によるアルゴリズム又はハイブリッ
    ド・モンテカルロ法によるアルゴリズムを設定すること
    を特徴とする請求項９に記載の温度並列シミュレーティ
    ド・アニーリング実行装置。
13. 【請求項１３】 前記パラメタ設定手段は、ＶＬＳＩ配
    置問題において、オーバーラップ、配線長、端子の混雑
    度、配線容量のエネルギー又はネットの混雑度をエネル
    ギー関数を決定するパラメタとすることを特徴とする請
    求項１０に記載の温度並列シミュレーティド・アニーリ
    ング実行装置。
14. 【請求項１４】 温度並列シミュレーティド・アニーリ
    ングにおいて、 シミュレーティド・アニーリングを実行するアルゴリズ
    ム及びパラメタを温度に応じて可変とすることを特徴と
    する温度並列シミュレーティド・アニーリング方法。
15. 【請求項１５】 温度並列シミュレーティド・アニーリ
    ングにおいて、 シミュレーティド・アニーリングに使用するエネルギー
    関数を温度に応じて可変とすることを特徴とする温度並
    列シミュレーティド・アニーリング方法。