JPH09134342A

JPH09134342A - グレブナ基底生成方法及び装置

Info

Publication number: JPH09134342A
Application number: JP29154595A
Authority: JP
Inventors: Masayuki Noro; 正行野呂; Kazuhiro Yokoyama; 和弘横山
Original assignee: Fujitsu Ltd
Current assignee: Fujitsu Ltd
Priority date: 1995-11-09
Filing date: 1995-11-09
Publication date: 1997-05-20

Abstract

(57)【要約】（修正有）【課題】連立代数方程式などの解法に有効なグレブナ基
底の生成方法及び装置のメモリ資源を節約する。【解決手段】パラメータ間の制約が整数係数連立代数
方程式で与えられるモデルについて、該連立方程式を表
すとともにメモリ中に記述されている整数係数多項式集
合Ｆから、項順序Ｏに関するグレブナ基底を生成するブ
ッフバーガー演算を行う計算機において、１．グレブナ
基底を容易に計算できる項順序Ｏ₁を選び、２．Ｏ₁ に
関するＦのグレブナ基底Ｇ₁を計算し、３．Ｇ₁の各要
素の全ての頭係数を割らない素数ｐを選び、係数をｐに
関する剰余に置き換える操作をφpとし、４．φp
（Ｇ₁）のＯに関するグレブナ基底Ｇ₂を計算し、５．
Ｇ₂の各元ｈに対し、整数係数多項式ｆ_hで、頭係数がｐ
で割り切れず、かつｆ_h の頭数がｈの領域と一致するも
のを求め、６．もしＧ₂の全ての元ｈに対しｆ_h が求ま
ったならばｆ_h の全体を項順序Ｏに関するＦのグレブナ
基底として出力し、７．もしいずれかのｈに対し、ｆ_h
が求まらなければ前記３のｐを取り直し前記４以下を繰
り返すようディジタルプロセッサを制御する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、連立代数方程式な
どの解法に有効なグレブナ基底の生成方法及び装置に係
り、高速演算可能でメモリ資源を節約できるグレブナ基
底生成法に関する。

【０００２】

【従来の技術】工学における諸問題において、連立代数
方程式に定式化される問題は数多い。例えば、システム
の最適化問題、機械設計問題、ロボットの逆運動学計
算、偏微分方程式の求解など、多岐にわたっている。し
かしこれらを代数的に厳密に解く一般的な方法は知られ
ておらず、数値的解法に頼ることがほとんどであった。

【０００３】近年、イデアル理論に基づく解法がいくつ
か知られるようになってきた。その一つの方法にグレブ
ナ基底を使う方法がある。この方法は、与えられた方程
式の解を、過不足なく、数値解を求め易い形で求めるこ
とができるという点で優れているが、グレブナ基底の計
算自体の計算量が、時間的、空間的にかなり大きくなる
場合があるという欠点をもつ。この欠点は、モジュラ計
算の応用、斉次化といった手法によりある程度改良され
ているが、実用化のためにはさらなる改良が必要であ
る。

【０００４】グレブナ基底生成算法は、ブッフバーガー
（Buchberger）算法と呼ばれ、Buchbergerにより考案さ
れ、数多くの人々により改良され、そのアルゴリズムは
計算機に組み込まれて多くの人に使用されてきた。その
アルゴリズムの骨子は以下の通りである。アルゴリズム（１）入力：多項式集合Ｆ出力：Ｆで生成されるイデアルのグレブナ基底Ｇ（１）Ｄ←｛｛ｆ，ｇ｝｜ｆ，ｇ∈Ｇ；ｆ≠ｇ｝ do｛（２）Ｄから規準により０に正規化されることがわかっている対を取り除く（３） ifＤ＝0 then return Ｇ else｛Ｃ←Ｄから規準により一つ選んだ元Ｄ←Ｄ−｛Ｃ｝｝（４）Ｐ←ＣのＳ多項式（５）ｔ＝ＮＦ（Ｐ，Ｇ） if t≠0 then｛Ｄ←Ｄ∪｛｛ｆ，ｔ｝｜ｆ∈Ｇ｝Ｇ←Ｇ∪｛ｔ｝｝｝以上を簡単に説明すると、１．入力多項式集合Ｇから構成される全ての多項式対か
らなる集合Ｄを作り、次項以下を繰り返す。２．Ｄから、ある規準により、計算することなしに、０
に正規化されることがわかっている元を取り除く。３．Ｄが空集合ならば、Ｇを出力する。Ｄが空集合でな
ければ、Ｄから元Ｃを、ある規準により一つ取り出し、
残りを改めてＤとする。４．多項式対ＣからＳ多項式Ｐを作り、Ｇにより正規化
する。Ｐの正規化をＮＦ（Ｐ，Ｇ）と書く。５．ＮＦ（Ｐ，Ｇ）が０でないならば、Ｇの各元と、Ｎ
Ｆ（Ｐ，Ｇ）からなる多項式対を全て、Ｄに加える。さ
らに、ＧにＮＦ（Ｐ，Ｇ）を加える。

【０００５】ここで、用語の説明を行う。ここでは、多
項式を、単項式の和とみなす。単項式とは、項と係数の
積であり、項とは変数の幕積である。項の集合には、あ
る一つの全順序が定められていて、多項式ｆにあらわれ
る項の内、この順序により最大のものを頭項と呼び、Ｈ
Ｔ（ｆ）と書き、ｆにおけるＨＴ（ｆ）の係数をＨＣ
（ｆ）と書く。多項式対｛ｆ，ｇ｝のＳ多項式は、ＨＴ
（ｆ）とＨＴ（ｇ）の最小公倍項をｔとする解き、ＨＣ
（ｇ）・ｔ／ＨＴ（ｆ）・ｆ−ＨＣ（ｆ）・ｔ／ＨＴ
（ｇ）・ｇで定義される。多項式ｆが多項式ｇでリダク
ション可能とは、ＨＴ（ｇ）で割り切れるｆの項ｔが存
在する場合を言う。この場合、ｆの項ｔを、ｇにより消
去するとは、ｆにおけるｔの係数をｃとする時、ｆをｆ
−ｃ／ＨＣ（ｇ）・ｔ／ＨＴ（ｇ）・ｇに置き換えるこ
とを言う。ｆの、多項式集合Ｇによる正規化とは、ｆの
各項がＧの全ての元についてリダクション不可能になる
までＧの元によるｆの項の消去を繰り返すことを言う。
多項式集合Ｇがグレブナ基底であるとは、Ｇで生成され
るイデアルの元が全てＧにより０に正規化される場合を
言う。これは、Ｇから構成される全ての多項式対のＳ多
項式がＣにより０に正規化されることと同値である。

【０００６】以上の計算法において、考えられる主な改
良は、以下の通りである。（１）不必要な正規化計算を省く手法ここでは、・第２項における、０に正規化される対すなわち不必要
対の検出のための規準・第３項における、正規化の対象となる対の選び方の規
準の改良の２種類に分けられる。

【０００７】これは、第４項における正規化が、算法全
体の計算量の主要な部分を占めることと、第３項で取り
出す対の選び方により、計算結果は常に一意的であるに
も係わらず、その後の計算経過が大きく異なるためであ
る。

【０００８】前者では、現在Gebauer-Moellerによる規
準が、後者では、Giovini、Moraらによるphantom degre
eによる規準が最良とされ、実際に、有効性が確かめら
れている。

【０００９】Gebauer,R.and Moeller,H.M.(1988). On a
n installation of Buchberger'saigorithm. J. Symb.
Comp.6/2/3,275-286.Giovini,A.et al(1991)."One suga
r cube,please," or Selection strategiesin the Buch
berger algorithm. Proc.ISSAC'91,49-54.しかし、以上
の改良によっても、第２項における不必要対を完全に排
除することはできず、残った対は実際に正規化を計算し
てはじめて、ある対が不必要対か否かを判定することが
できた。特に、問題によっては、規準によって不必要対
が除かれていても、なお、残った不必要対の正規化にか
かる時間が全体の計算時間の大部分を占めることも少な
くない。

【００１０】Gebauer-Moeller による規準は、極めて鋭
敏であり、これ以上不必要対を除こうとすることは、か
えって計算コストを増大させる結果となる場合がある。
このため、０に正規化される計算にかかるコストをいか
に少なくするかが、この算法の実用化の大きなポイント
の一つとなる。

【００１１】正規化の計算コストが大きくなるのは、一
つの多項式の正規化において、結果が０であるにも係わ
らず、任意多倍長整数である係数が、計算途上におい
て、しばしば極めて大きな数となってしまうことによる
場合が多い。この計算において、計算機はそのような中
間式を格納するためのメモリを用意しなければならず、
大容量メモリを必要とする。

【００１２】（２）正規化計算による係数膨張を押える
手法一般に、前記したような中間式膨張を避けるため、モジ
ュラ演算と呼ばれる手法が用いられる場合がある。これ
は、途中の整数計算において、結果を、ある整数すなわ
ち法で割った剰余で置き換える方法で、当然、中間式膨
張は抑制される。ただし、真の結果に現れる整数の大き
さが、法として選んだ整数の大きさを越える場合、モジ
ュラ演算により得られた結果は真の結果とは一般に異な
り、真の結果を得るためには何らかの操作が必要にな
る。また、得られた結果が、真の結果の係数を剰余演算
して得られるものになっている場合、その法は妥当であ
る、と言われるが、常に法が妥当であるという保証はな
い。

【００１３】グレブナ基底の計算法においても、全ての
ステップでモジュラ計算を適用し、その結果から真のグ
レブナ基底を復元するという試みがいくつかなされてい
るが、真の結果の係数の大きさが不明であり、また選ん
だ法が妥当なもとであることの確認が困難であることな
どから、算法の停止性が保証されないか、あるいは結果
の正当性の確認が困難となり、実用化されていなかっ
た。

【００１４】Winkler,F.(1988).A p-adic Approach to
the Computation of Grobner Bases. J.Synb.Comp.6/2/
3,287-304.Sasaki,T. and Takeshima,T.(1989). A Modu
lar Method for Groebner-basisConstruction over Q a
nd Solving System of Algebraic Equation. J.ofInfor
mation Processing, Vol.12, No.4, 371-379.また、論
文：Carlo Traverso（Pisa Univ.）,Groebner trace al
gorithms,Proc.ISSAC'88,Lesture Notes in Computer S
cience 358,Springer-Verlag.には、モジュラ演算によ
るグレブナ基底計算をまず行い、その際の正規化計算の
履歴を保存し，その履歴を元に、グレブナ規定を計算す
る例が記載されている。

【００１５】具体的には次のようになる。１．法ｐでのグレブナ基底をまず計算する。２．この過程で、φ（Ｐ）を正規化する際、どの要素
で、どの項で消去したか、また、どのペアが０に正規化
したか、という履歴を保存しておく。３．前項の履歴を元に、有理数上でのグレブナ基底を計
算する。その際、・法ｐで０に正規化されたペアに関しては、有理数上の
正規化は行わない。・法ｐで０でない多項式に正規化されたペアに関して
は、履歴を元に有理数上で正規化する。その際、有理数上での正規化が、法ｐでの正規化に対応
しない場合、ｐの選び方が妥当でなかったとして、ｐ
をとり直して１．からやり直す。（実際には、やり直し
の前に復活のための操作が適用される。）４．有理数上でのグレナブ基底候補が求まったら、チェ
ックを行う。もし失敗したら、ｐをとり直して１．に戻
る。

【００１６】この方法では、ｐに妥当な場合、有理数上
での正規化の際、消去すべき項を探す必要がないため、
有理数上での正規化が迅速に行われる可能性がある。一
方で、妥当でないｐを選んだ場合、それが判明するの
は、法ｐでのグレブナ基底計算を最後まで行ない、それ
を基に有理数上でのグレブナ基底計算をしている段階と
いうことになる。その判明する段階が早ければ早いほ
ど、法ｐで無駄な計算を多くしてしまい、メモリ使用量
を増大させる。

【００１７】（３）より最良に近い計算手順での計算これは斉次化を利用した計算手法である。すなわち、対
象となる多項式集合Ｆを予め斉次化してグレブナ基底演
算を行い、最終的に得られた多項式集合Ｆ₁ を非斉次化
するのである。

【００１８】斉次化自体は既知である（T.Becker and
V.Weispfenning,Groebner Bases, GTM Springer-Verla
g,1993）。斉次化は以下のように説明される。体Ｋ
上のｎ変数多項式（x₁,・・・,x_n）∈Ｒ＝Ｋ［x₁,・・
・,x_n］に対し、ｆの、斉次化変数ｔによる斉次化（hom
ogenization）f^*∈Ｒ_h＝Ｋ［x₁,・・・,x_n,t］を f^*(x₁,・・・,x_n,t)=t^dmaxf(x₁/t,・・・,x_n/t) （ただし、ｄ_maxはｆの全次数、すなわち、ｆの各項 x₁
^e1・・・x_n ^enに対し、e₁+・・・+e_nをその項の全次数
とするとき、それらの中で最大のもの）と定義する。こ
の操作によりｆ^*は、全ての項の全次数がｆの全次数に
等しい斉次多項式となる。

【００１９】斉次多項式ｇ（x₁,・・・,x_n,t）に対し、
ｔに関する非斉次化（dehomogenization）ｇ_*を、ｇ_*（x₁,・・・,x_n）＝ｇ（x₁,・・・,x_n,1）で定義する。明らかに（ｆ^*）_*＝ｆが成り立つ。

【００２０】簡単に言えば、斉次化とは、方程式の各項
の次数を同一にすることである。例えば、ｆ（ｘ、ｙ）
＝２ｘ²ｙ＋ｘｙ＋ｘ＋１という方程式があるとする。
この各項の次数をみると、２ｘ²ｙにおいて、２の次数
は０、ｘ²の次数は２、ｙの次数は１であるから２ｘ²ｙ
の次数は２＋１＝３である。同様に、ｘｙの次数は２、
ｘの次数は１、１の次数は０である。

【００２１】この方程式の項の各次数を同一にするた
め、新しい変数ｔを導入する。ｆ（ｘ、ｙ、ｔ）＝２ｘ
²ｙ＋ｘｙｔ＋ｘｔ²＋１ｔ³ とすれば、各項の次数はす
べて３となる。

【００２２】このように次数を同一にした後に本発明に
おけるグレブナ基底を求め、得られた解においてｔ＝１
を代入すれば、次数は元に戻る。斉次化後のグレブナ基
底と、元の多項式集合のグレブナ基底の関係について
は、命題：（Ｈ）ＨＴ（ｇ）_*＝ＨＴ（ｇ_*）が成り立つ。

【００２３】斉次化は最良の計算手順を与えるが、斉次
化により不必要対が急速に増えるという問題がある。特
に斉次化によって、現れる不必要対の正規化は、後にな
って残っているものほど長大な整数の演算が必要とされ
るものが多く、斉次化によって得られた効果を打ち消し
てしまう場合も少なくない。

【００２４】そこで、本発明者は、斉次化を利用しつ
つ、斉次化の欠点を解消し、メモリの利用効率を高めた
グレブナ基底の生成方法を特願平６−２５５７５９号で
提案した（未公開）。これは斉次化手法とモジュラ演算
法（以下trace-liftingということがある）を組み合わ
せたものである。

【００２５】斉次化を用いたグレブナ基底の計算は通常
の場合、次のように行われる。まず、入力多項式集合Ｆ
の各多項式を前記のように斉次化した多項式集合Ｆ_hを
作る。次に、Ｆ_hのグレブナ基底Ｇ_hを計算する。そし
て、このＧ_hを非斉次化し、必要があれば相互正規化を
行ったものをＧとする。このＧがＦのグレブナ基底とな
る。

【００２６】ここで、Ｆ_hのグレブナ基底の計算に用い
られる項順序は、Ｆに対する項順序から決定することが
できる。先に述べたようにグレブナ基底計算において発
生する不必要対が全体の計算効率、ひいてはメモリ使用
効率に悪影響を及ぼすが、このグレブナ基底計算に本発
明のモジュラ演算を適用することにより、不必要対の増
加による計算時間の増大すなわちメモリの使用量が押さ
えられる。しかし、上記でＦ_hのグレブナ基底そのもの
を計算しようとした場合、Ｆ_hの斉次化により、一般に
冗長性の除去操作を行ってもＧ_hの基底の個数は非常に
大きいものとなり、また「不必要対の選択基準」に従っ
た不必要対の除去を行ってもあまり効果がないため、モ
ジュラ演算法の後半部分のグレブナ基底チェックの際、
モジュラ演算により省略した不必要対の正規化を殆どす
べて行わなければならない。

【００２７】しかし、以下の方法によれば、このような
問題を回避して斉次化とモジュラ演算の効果を最大限に
生かし、メモリの使用を最小限として、資源の有効活用
を図ることができる。

【００２８】斉次化＋モジュラ演算法１．入力多項式集合Ｆの各多項式を斉次化した多項式集
合集合Ｆ_hを作る。２．新たに素数ｐを選び、Ｆ_hのグレブナ基底候補Ｇ'_h
をモジュラ演算法により計算する。

【００２９】すなわち、入力多項式集合Ｆから構成され
る全ての多項式対からなる集合Ｄを作ったのち、Ｄから、ある規準により、計算することなしに、０に
正規化されることがわかっている元を取り除き、Ｄが空集合ならば、Ｆを出力する。Ｄが空集合でなけ
れば、Ｄから元Ｃを、ある規準により一つ取り出し、残
りを改めてＤとし、多項式対ＣからＳ多項式Ｐを作り、Ｆにより正規化
し、Ｐの正規化をＮＦ（Ｐ，Ｆ）と書き、ＮＦ（Ｐ，Ｆ）が０でないならば、Ｆの各元と、ＮＦ
（Ｐ，Ｆ）からなる多項式対を全て、Ｄに加え、さら
に、ＦにＮＦ（Ｐ，Ｆ）を加え、これらからを繰り
返すことにより、パラメータ間の制約が連立代数方程式
で与えられるモデルについて、該連立方程式を表す、メ
モリ中に記述されている多項式集合Ｆからグレブナ基底
を生成するブッフバーガー演算をする計算機において、ａ）素数ｐを選び、ｂ）多項式対の正規化形式を、ｐを法として計算し、ｃ）法ｐでの正規化形式が０でない場合のみ有理数上で
正規化形式を計算し、ｄ）法ｐでの正規化形式が０の場合は有理数上でも０と
みなして、有理数上での正規化形式の計算を省略し、ｅ）グレブナ基底の候補Ｇ'_hである多項式集合Ｆ₁ を得
る。３．そして、Ｇ'_hを非斉次化し、相互正規化を行ったも
のをＧ’とする。４．Ｇ’に対しグレブナ基底チェックを行う。５．もし、チェックを通れば、Ｇ’がＦのグレブナ基
底、もし通らなければ、前記２に戻り、再度素数ｐを選
ぶ操作をし、その後前記の操作を繰り返す。

【００３０】ここでは、モジュラ演算法によるグレブナ
基底候補生成と、グレブナ基底チェックとの間に非斉次
化を行ったことに特徴を有する。斉次化Ｆ_hのグレブナ
基底候補であるＧ'_hは基底の個数も大きく、またＧ'_hに
対するグレブナ基底チェックは、数多くの正規化計算を
行わなければならない。しかし、最終的に求めたいもの
はＦのグレブナ基底であり、Ｆ_hのグレブナ基底を求め
る必要はないため、Ｇ'_h のグレブナ基底チェックを省
き、Ｇ'_hの非斉次化から直接Ｆのグレブナ基底候補を求
めるのである。Ｇ'_hの非斉次化は次の効果をもたらす。１．Ｇ'_hを非斉次化した段階で多くの基底が冗長とな
り、それらの冗長基底は除かれ、Ｇ' はＧ'_hに比べてか
なり要素の個数が減る。２．Ｇ' は非斉次化されているため、グレブナ基底チェ
ックにおいて必要となる不必要対の正規化は、Ｇ'_hにお
ける場合に比べて大きく減少することが期待される。以
上により、＜斉次化＋モジュラ演算＞は正規化対の不適
当な選択により計算できなくなるような例に対しても、
安定して高速にグレブナ基底を生成することを可能にす
る。

【００３１】（４）ある順序によるグレブナ基底から他
の順序によるグレブナ基底に直接変換する手法前記した（１）から（３）は、ブッフバーガー算法の改
良であるが、（４）は、ある項順序でのグレブナ基底か
ら、ブッフバーガー算法を経ずに、直接他の項順序での
グレブナ基底を求める方法（基底変換）で、第一の項順
序のグレブナ基底が容易に求まり、かつ基底変換が、ブ
ッフバーガー算法より容易であれば、効率のよいグレブ
ナ基底計算法となる。

【００３２】この方法は、具体的には次のように述べら
れる。Ｏ₁，Ｏ₂を項順序とする。求めるのはＯ₂に関す
るグレブナ基底である。１．ＦのＯ₁（項順序）に関するグレブナ基底Ｇ₁を求め
る。２．ｔ←１，Ｒ←空集合，Ｇ₂←空集合とする。３．もし、ＮＦ（ｔ，Ｇ₁）＝Σ_s∈_Rａ_sＮＦ（ｓ，
Ｇ₁）（ａ_sは有理数）と書けたならば、Ｇ₂にｔ−Σ_s∈
_Rａ_sｓを付け加える。４．そうでなければｔをＲに付け加える。５．Ｏ₂に関してｓ＞ｔかつＧ₂の全ての元のＯ₂に関す
る頭項で割り切れない単項式ｓのうち、Ｏ₂に関して最
低順序のものがもしあれば、それをｔとして第３項に戻
る。６．もしなければＧ₂を出力する。

【００３３】

【発明が解決しようとする課題】以上の種々の改良によ
り、より広い範囲の問題が解けるようになったが、辞書
式順序のグレブナ基底を求める場合、（１）trace-liftingにおいて必要なグレブナ基底チェ
ックのコストが大きい場合がある。（２）trace-liftingによってもなお、不必要な計算
（０に正規化される計算）にかかるコストが大きい場合
がある。（３）基底変換は通常、線形代数的手法により行われる
が、その際、係数膨張が生じ、変換が困難になる場合が
ある。などにより、なお解くのが困難な問題が存在す
る。以下で、これらが生じる理由を述べる。

【００３４】前記（１）は、最終結果の係数が巨大にな
る場合にグレブナ基底チェックを行うことは、多数の多
倍長演算を行うことになり、メモリ使用量、計算時間が
増大するためである。

【００３５】前記（２）は、係数だけでなく、項の数自
体が増大する場合、trace-liftingで係数膨張は押さえ
られても、項の数の増大による正規化計算のコスト増に
より計算時間が増大するためである。

【００３６】前記（３）は、基底変換が、順序の低い単
項式から順に、それより順序の低い単項式の線形集合で
書けるか否かをチェックしていく、という方法であるた
め、実際に線形集合で書けるまでに、多くの無駄な時間
が生じる場合があり、また、その途中の計算自体が係数
膨張を引き起こし、メモリ使用量、計算時間が増大する
場合があるためである。

【００３７】本発明は、計算機において、使用メモリ量
を削減でき、高速演算が可能な、グレブナ基底生成方法
及び装置を提供することを課題とする。

【００３８】

【課題を解決するための手段】本発明は、数学的な性質
により、前記課題における（１）のグレブナ基底のチェ
ックを省き、trace-liftingと基底変換を併用すること
により、（２），（３）の困難を避けながら、使用メモ
リ量を削減し、高速にグレブナ基底を生成する方法及び
装置である。

【００３９】本発明において基本となるのは次の定理で
ある。以下、多項式集合Ｆで生成されるイデアルをＩｄ
（Ｆ）と書く。定理Ｆを整数係数多項式集合とし、Ｏ₁，Ｏ₂を項順序とす
る。Ｇ₁をＦのＯ₁に関するグレブナ基底とする。また、
ｐを素数とする。このとき、条件１：Ｇ₁の各元ｇに対しｇのＯ₁に関する頭項はｐで
割り切れず、φ_p（ｇ）はＩｄ（Ｆ）に属するならば
（ただし、φ_p は、Ｇ₁の各要素の全ての頭係数を割ら
ない素数ｐを選び、係数をこの素数ｐに関する剰余に置
き換える操作である）、 i)φ_p（Ｇ₁）はφ_p（Ｆ）のＯ₁に関するグレブナ基底で
ある。

【００４０】さらに条件２：Ｇ’₂をφ_p（Ｆ）のＯ₂に関するグレブナ基底
とするとき、Ｇ’₂の各元ｈに対し、Ｉｄ（Ｆ）に属す
る整数係数多項式ｆ_hが存在してｆ_hのＯ₂に関する頭
項はｐで割り切れず、ｆ_hとｈとのＯ₂に関する頭項が
一致するならば、 ii)Ｇ₂＝｛ｆ_h｜ｈ∈（Ｇ）’₂｝はＦのＯ₂に関するグ
レブナ基底である。

【００４１】この定理において、条件２は、trace-lift
ing によるグレブナ基底候補生成が成功した時点で満た
されている。trace-lifting においては、この後、Ｇ₂
が実際にグレブナ基底になっているか否かをチェックす
る必要があり、それが前節の１番目の困難の原因であっ
た。しかし、この定理によれば、既に他の項順序でグレ
ブナ基底が計算してあり、それに対する条件１が満たさ
れるよう素数ｐが選ばれていれば、チェックなしにＧ₂
がグレブナ基底であると分かるのである。

【００４２】よって、もし、他の順序に関するグレブナ
基底を求める時間が、チェックに要する時間よりも小さ
いならば、前節の１番目の困難を回避することができ
る。この定理において、条件２は、trace-lifting によ
るグレブナ基底候補生成が成功した時点で満たされてい
る。trace-lifting においては、この後、Ｇ₂が実際に
グレブナ基底になっているか否かをチェックする必要が
あり、それが前節の１番目の困難の原因であった。しか
し、この定理によれば、既に他の項順序でグレブナ基底
が計算してあり、それに対する条件１が満たされるよう
素数ｐが選ばれていれば、チェックなしにＧ₂がグレブ
ナ基底であると分かる。

【００４３】以上の定理を行う本発明では、以下のグレ
ブナ基底生成方法を提供する。（１）パラメータ間の制約が整数係数連立代数方程式
で与えられるモデルについて、該連立方程式を表すとと
もにメモリ中に記述されている整数係数多項式集合Ｆか
ら、項順序Ｏに関するグレブナ基底を生成するブッフバ
ーガー演算を行う計算機において、１．グレブナ基底を容易に計算できる項順序Ｏ₁を選
び、２．Ｏ₁ に関するＦのグレブナ基底Ｇ₁を計算し、３．Ｇ₁の各要素の全ての頭係数を割らない素数ｐを選
び、係数をｐに関する剰余に置き換える操作をφpと
し、４．φp（Ｇ₁）のＯに関するグレブナ基底Ｇ₂を計算
し、５．Ｇ₂の各元ｈに対し、整数係数多項式ｆ_hで、頭係数
がｐで割り切れず、かつｆ_h の頭数がｈの領域と一致す
るものを求め、６．もしＧ₂の全ての元ｈに対しｆ_h が求まったならば
ｆ_h の全体を項順序Ｏに関するＦのグレブナ基底として
出力し、７．もしいずれかのｈに対し、ｆ_h が求まらなければ前
記３のｐを取り直して前記４以下を繰り返すようディジ
タルプロセッサを制御するグレブナ基底生成方法。

【００４４】（２）この（１）において、項順序Ｏに
対し、中間的な項順序を複数個（Ｏ₁，Ｏ₂，・・・Ｏ_n
＝Ｏとする）用意し、Ｏ₁→Ｏ₂，Ｏ₂→Ｏ₃，・・・Ｏ
_n-1→Ｏ_nなる基底変換を、前記（１）の方法により行
い、項順序Ｏに関するグレブナ基底生成方法。

【００４５】（３）前記（２）において、５項におけ
るｆ_hを１．法ｐでのグレブナ基底をまず計算する。２．この過程で、φ（Ｐ）を正規化する際、どの要素
で、どの項で消去したか、また、どのペアが０に正規化
したか、という履歴を保存しておく。３．前項の履歴を元に、有理数上でのグレブナ基底を計
算する。その際、・法ｐで０に正規化されたペアに関しては、有理数上の
正規化は行わない。・法ｐで０でない多項式に正規化されたペアに関して
は、履歴を元に有理数上で正規化する。４．前項の有理数上での正規化が、法ｐでの正規化に対
応しない場合、ｐの選び方が妥当でなかったとして、ｎ
ｉｌを返す。という手順で定義されるtrace-liftingによる候補生成
法で求めるグレブナ基底生成方法。

【００４６】また、本発明では、Ｆを整数係数多項式集
合、Ｏ₁，Ｏ₂を項順序、多項式集合Ｆで生成されるイデ
アルをＩｄ（Ｆ）、Ｇ₁をＦのＯ₁に関するグレブナ基
底、ｐを素数としたとき、Ｇ₁の各元ｇに対しｇのＯ₁に
関する頭項がｐで割り切れるか否かと、φ_p（ｇ）がＩ
ｄ（Ｆ）に属するか否かとを判定し、前記頭項がｐで割
り切れず、かつ、φ_p（ｇ）がＩｄ（Ｆ）に属すると判
定したとき（φ_p は、Ｇ₁の各要素の全ての頭係数を割
らない素数ｐを選び、係数をこの素数ｐに関する剰余に
置き換える操作である）、φ_p（Ｇ₁）はφ_p（Ｆ）のＯ₁
に関するグレブナ基底であると判定する、第１のグレブ
ナ基底判定手段と、Ｇ’₂をφ_p（Ｆ）のＯ₂に関するグ
レブナ基底とするとき、Ｇ’₂の各元ｈに対し、Ｉｄ
（Ｆ）に属する整数係数多項式ｆ_hが存在してｆ_hのＯ
₂に関する頭項がｐで割り切れるか否かと、ｆ_hとｈと
のＯ₂に関する頭項が一致するか否かとを判定し、頭項
がｐで割り切れず、かつ、ｆ_hとｈとのＯ₂に関する頭
項が一致すると判定したとき、Ｇ₂＝｛ｆ_h｜ｈ∈
（Ｇ’）₂｝はＦのＯ₂に関するグレブナ基底であると
判定する第２のグレブナ基底判定手段と、前記第１のグ
レブナ基底判定手段と、第２のグレブナ判定手段の出力
が、いずれも、グレブナ基底であるとの判定出力である
とき、Ｇ₂がφ_p（Ｆ）のＯ₂に関する正当なグレブナ
基底として出力する出力手段と、を備えるグレブナ基底
生成装置を提供する。

【００４７】さて、前節の２番目の困難の回避は、現在
のところ、基底変換による方法が最も有効的であると考
えられている。しかし、通常の基底変換では、３番目の
困難の為に有効性が低下する。

【００４８】そこで、（４）前記（２）において、５
項におけるｆ_hをＧ₂の各元の係数を未定係数に置き換
えて、Ｇ₁による正規形を計算し、係数を取り出して未
定係数に対する線形方程式を解くことにより求める方法
を提供する。

【００４９】すなわち、基底変換を、１．φ_p（Ｇ₁）のＯ₂に関するグレブナ基底Ｇ₂を求
め、２．Ｇ₂の各元ｈ＝Σａ_tt に対し、係数ａ_tを未定係
数ｕ_tで、ｔをＧ₁による正規形ＮＦ(ｔ,Ｇ₁) で
置き換え、３．ｈに現れる各項の係数を取り出し、ｕ_tに関する線
形方程式として解き、解けない場合はｐを取り直し、４．全てのｈについて解けたら、その解全体をグレブナ
基底として出力する。という方法により行う。

【００５０】失敗するｐは有限個のため、大きな素数を
選べば、十分大きい確立で成功する、このとき、通常の
方法と比較して、解に現れる項を予め指定してあるた
め、線形方程式の求解は１回ですみ、無駄な計算がな
い。また、通常の方法では、解に最終的に現れない項も
含めて未定係数法を実行しなければならないが、本発明
の方法では、この点における無駄も生じない。

【００５１】さらに、各ｈに対する計算は互いに全く関
連がないため、完全に並列に実行できる。これは、並列
計算あるいは通信を利用した分散計算方法に対し極めて
有利である。

【００５２】すなわち、本発明においては、φ_p（Ｇ₁）
のＯ₂に関するグレブナ基底Ｇ₂を求めるグレブナ基底
演算手段と、Ｇ₂の各元ｈ＝Σａ_tt に対し、係数ａ_t
を未定係数ｕ_tで、ｔをＧ₁による正規形ＮＦ(ｔ,Ｇ₁)
で置き換える置換手段と、ｈに現れる各項の係数を取
り出し、ｕ_tに関する線形方程式として解き、解けない
場合はｐを取り直し、全てのｈについてｕ_tに関する線
形方程式として解き全てのｈについて解けたら、その解
全体をグレブナ基底として出力する演算手段とを備え
る。

【００５３】以下、本発明の作用について述べる。本発
明の計算機は、グレブナ基底の計算の為の以下のアルゴ
リズムを実行する。

【００５４】アルゴリズム入力：多項式集合Ｆ，項順序Ｏ₁，Ｏ₂ 出力：ＦのＯ₂に関するグレブナ基底Ｇ（１）：ｐ←Ｆの各元の頭項の係数を割らず、かつ未使
用の素数Ｇ₁←candidate（Ｆ，ｐ，Ｏ₁）Ｇ₁がＩｄ（Ｆ）のグレブナ基底でなければ（１）に戻
る。Ｇ₂←candidate（Ｇ₁，ｐ，Ｏ₂）Ｇ₂が多項式集合でなければ（１）に戻る。 returnＧ₂

【００５５】すなわち、前記した第１のグレブナ基底判
定手段と、第２のグレブナ基底判定手段と、を実行し、
前記第１のグレブナ基底判定手段の出力がグレブナ基底
であり、第２のグレブナ判定手段でＧ₂が多項式集合で
あると判定されたとき、Ｇ₂が正当なグレブナ基底Ｇで
あるとして前記出力手段により出力する。

【００５６】ここで、candidate（Ｆ，ｐ，Ｏ）は、素
数ｐに対し、前節の定理の条件２．を満たすような多項
式集合を求める函数で、もし失敗した場合、nilを返
す。このような函数を構成する方法として、trace-lift
ingによるグレブナ基底候補生成や、前節で述べた線形
方程式による方法がある。

【００５７】方程式を解いて数値的な解を求めるために
グレブナ基底を計算する場合、項順序としては、辞書式
順序を用いるのが適当であるが、一般に辞書式順序のグ
レブナ基底を直接計算することは困難である。一方で、
全次数逆辞書式順序によるグレブナ基底計算は、得られ
た結果から直接数値解を求めるのは困難であるが、一般
に計算時間、使用メモリ量は小さい。また、辞書式順序
のグレブナ基底の係数、項数が大きい場合、グレブナ基
底チェックにかかるコストが、時間、メモリ共に非常に
大きくなる場合があり、そのような場合には、ここで述
べた方法による方が、時間、メモリ量共に少なくて済
む。

【００５８】また、前節の定理により、任意個の項順序
Ｏ₁，Ｏ₂・・，Ｏiが与えられている時、素数ｐを使っ
て生成されたＯ₁に関するグレブナ基底候補Ｇ₁に対して
グレブナ基底チェックが行われていれば、Ｇ₁＝candida
te（Ｇ_i-1，ｐ，Ｏ_i）が多項式集合である限り、Ｇ_iが
Ｏ_iに関するグレブナ基底となることがチェックなしに
成立する。全次数逆辞書式順序のグレブナ基底から、辞
書式順序のグレブナ基底を求める際、中間的な項順序と
して適当な項順序を選んで、その順序に関するグレブナ
基底を計算し、そのグレブナ基底から、辞書式順序のグ
レブナ基底を計算する方が高速である場合がしばしばあ
るが、その場合にも、最初の順序に対してのみ、グレブ
ナ基底チェックを行っておけば、後の二つの順序に対し
ては、候補生成の成功のみで、グレブナ基底となってい
ることがわかるため、問題によっては極めて高速に辞書
式順序のグレブナ基底を生成できる。

【００５９】Ｏ₂に関するグレブナ基底候補を求める
際、trace-lifting と線形方程式の求解という二つの方
法があることを述べたが、最終的な結果の係数が比較的
小さい場合には、線形方程式による方法が有利である場
合がある。この方法は、問題を、最終的な結果に含まれ
る基底の個数に等しい部分問題に分割可能であり、それ
らの部分問題間には相互関係がないため、容易に並列化
できる。

【００６０】更に、本発明の利点として、０次元でない
問題、すなわち解が有限個に限らない問題に対して適用
できることが挙げられる。従来の基底変換方法は、０次
元の場合にのみ適用可能であり、trace-lifting は、一
般の場合に適用が可能なものの、０次元でない場合に
は、グレブナ基底チェックが、他の順序でのグレブナ基
底計算に置き変わるため、trace-liftingが高速に実行
できる場合がある。

【００６１】本発明は、システムの最適化問題、機械設
計問題、ロボットの逆運動学計算、偏微分方程式の求解
など、代数方程式の求解をその一部として含む問題に対
応でき、更に、並列計算を行うことにより、実時間での
計算時間を短縮できる。

【００６２】

【発明の実施の形態】以下、本発明の好適実施例を図面
を参照して説明する。本発明の実施の形態にかかる計算
機は、前記アルゴリズムからなるプログラムをコンピュ
ータの中央演算装置において実行することで、以下の手
段を実現する。

【００６３】すなわち、本実施の形態に係る計算機は、
図１に示したように、以下の手段を有する。（１）多項式集合Ｆ，項順序Ｏ₁，Ｏ₂ を入力する入力
手段１と、（２）Ｆの各元の頭項の係数を割らず、かつ
未使用の素数ｐを設定する素数設定手段２と、（３）ca
ndidate（Ｆ，ｐ，Ｏ₁）を計算してＧ₁ を求めるＧ₁算
出手段３と、（４）Ｇ₁がＩｄ（Ｆ）のグレブナ基底で
あるか否かを判定する第１判定手段４と、（５）第１判
定手段でＧ₁がグレブナ基底でないとされたとき、素数
設定手段２に素数ｐの再設定を指示する第１指示手段５
と、（６）第１判定手段４でＧ₁がグレブナ基底である
とされたとき、candidate（Ｇ₁，ｐ，Ｏ₂）を計算して
Ｇ₂を求めるＧ₂算出手段６と、（７）Ｇ₂が多項式集合
であるか否かを判定する第２判定手段７と、（８）第２
判定手段７でＧ₂が多項式集合であると判定されたと
き、このＧ₂ をＦのＯ₂に関するグレブナ基底Ｇとして
出力する出力手段８と、（９）第２判定手段７でＧ₂が
多項式集合でない判定されたとき、当初から計算のやり
直しを命ずる第２指示手段９とを備える。

【００６４】以上の手段により、図に示したフローチャ
ートに従ったグレブナ基底生成が行われる。まず、入力
手段１、例えば、キーボードから多項式集合Ｆ，項順序
Ｏ₁，Ｏ₂が入力される（ステップ１０１）。

【００６５】次に、素数設定手段２によって、Ｆの各元
の頭項の係数を割らず、かつ未使用の素数ｐが設定され
る（ステップ１０２）。この素数ｐは、図示しないサブ
ルーチンによりＦの頭項の係数を参照して自動的に設定
するようにすることができる。そして、Ｇ₁算出手段３
により、candidate（Ｆ，ｐ，Ｏ₁）が計算され、Ｏ₁に
関するＦのグレブナ基底Ｇ₁ が求められる（ステップ１
０３）。

【００６６】第１判定手段４により、Ｇ₁算出手段３に
よって算出されたＧ₁がＩｄ（Ｆ）のグレブナ基底であ
るか否かが判定される（ステップ１０４）。すなわち、
Ｇ₁の各元ｇに対しｇのＯ₁に関する頭項がｐで割り切れ
るか否かと、φ_p（ｇ）がＩｄ（Ｆ）に属するか否かと
が判定され、前記頭項がｐで割り切れず、かつ、φ
_p（ｇ）がＩｄ（Ｆ）に属すると判定されたとき（φ_p
は、Ｇ₁の各要素の全ての頭係数を割らない素数ｐを選
び、係数をこの素数ｐに関する剰余に置き換える操作で
ある）、φ_p（Ｇ₁）はφ_p（Ｆ）のＯ₁に関するグレブナ
基底であると判定される。

【００６７】次に、第１判定手段４によって、Ｇ₁がグ
レブナ基底でないと判定されたとき、第１指示手段５に
より前記素数設定手段２に対して素数ｐの再設定が指示
される（ステップ１０５）。

【００６８】第１判定手段４により、Ｇ₁がグレブナ基
底であると判定された場合には、Ｇ₂算出手段６によ
り、candidate（Ｇ₁，ｐ，Ｏ₂）が計算され、Ｇ₂が求
められる（ステップ１０６）。

【００６９】そして、第２判定手段７により、求められ
たＧ₂が多項式集合であるか否かが判定される（ステッ
プ１０７）。すなわち、Ｇ’₂をφ_p（Ｆ）のＯ₂に関す
るグレブナ基底とするとき、Ｇ’₂の各元ｈに対し、Ｉ
ｄ（Ｆ）に属する整数係数多項式ｆ_hが存在してｆ_hの
Ｏ₂に関する頭項がｐで割り切れるか否かと、ｆ_hとｈ
とのＯ₂に関する頭項が一致するか否かとが判定され、
頭項がｐで割り切れず、かつ、ｆ_hとｈとのＯ₂に関す
る頭項が一致すると判定されたとき、Ｇ₂＝｛ｆ_h｜ｈ∈
（Ｇ’）₂｝はＦのＯ₂に関するグレブナ基底であると
判定される。

【００７０】そして、第２判定手段７によってＧ₂が多
項式集合であると判定されたとき、このＧ₂をＦのＯ₂に
関するグレブナ基底Ｇとして出力手段８から出力する
（ステップ１０８）。

【００７１】第２判定手段７によってＧ₂が多項式集合
でないと判定されたとき、当初から計算のやり直しを第
２指示手段９により命ずる。

【００７２】この実施例で、プログラムは、発明者らが
開発中の数式処理システムＲｉｓａ／Ａｓｉｒ上にイン
プリメントされた。計算機は、ＳｏｎｙＮＥＷＳ５０
００（Ｒ４０００ＣＰＵ，５０ＭＨｚ、主記憶６４Ｍ
Ｂ）を用いた。

【００７３】以下の式は、グレブナ基底計算における著
名なテスト問題をいくつか示したものである。いずれの
例も、計算途中に中間式の大きな係数膨張が生じるた
め、通常の算法では計算不可能、あるいは極めて長大な
計算時間を必要とする例である。Ｋ（５）＝［ｕ₀＋２ｕ₁＋２ｕ₂＋２ｕ₃＋２ｕ₄＋２ｕ₅−１，２ｕ₄ｕ₀＋（２ｕ₃＋２ｕ₅）ｕ₁＋ｕ₂ ²−ｕ₄，２ｕ₃ｕ₀＋（２ｕ₂＋２ｕ₄）ｕ₁＋２ｕ₆ｕ²−ｕ₃，２ｕ₂ｕ₀＋ｕ₁ ²＋２ｕ₃ｕ₁＋（２ｕ₄−１）ｕ₂＋２ｕ₅ｕ₃，２ｕ₁ｕ₀＋（２ｕ₂−１）ｕ₁＋２ｕ₃ｕ²＋２ｕ₄ｕ₃＋２ｕ₅ｕ₄，ｕ₀ ²−ｕ₀＋２ｕ₁ ²＋２ｕ₂ ²＋２ｕ₃ ²＋２ｕ₄ ²＋２ｕ₅ ²］ｏｒｄｅｒ：ｕ₅＞ｕ₄＞ｕ₃＞ｕ₂＞ｕ₁＞ｕ₀ Ｋ（６）＝［ｕ₀＋２ｕ₁＋２ｕ₂＋２ｕ₃＋２ｕ₄＋２ｕ₅＋２ｕ₆−１，２ｕ₅ｕ₀−（２ｕ₄＋２ｕ₆）ｕ₁＋２ｕ₃ｕ₂−ｕ₅ ２ｕ₄ｕ₀＋（２ｕ₃＋２ｕ₅）ｕ₁＋ｕ₂ ²＋２ｕ₀ｕ²−ｕ₄，２ｕ₃ｕ₀＋（２ｕ₂＋２ｕ₄）ｕ₁＋２ｕ₅ｕ²＋（２ｕ₆−１）ｕ₃，２ｕ₂ｕ₀＋ｕ₁ ²＋２ｕ₃ｕ₁＋（２ｕ₄−１）ｕ²＋２ｕ₅ｕ₃＋２ｕ₆ｕ₄，２ｕ₁ｕ₀＋（２ｕ₂−１）ｕ₁＋２ｕ₃ｕ²＋２ｕ₄ｕ₃＋２ｕ₅ｕ₄＋２ｕ₀ｕ₅，ｕ₀ ²−ｕ₀＋２ｕ₁ ²＋２ｕ₂ ²＋２ｕ₃ ²＋２ｕ₄ ²＋２ｕ₅ ²＋２ｕ₆ ²］ｏｒｄｅｒ：ｕ₆＞ｕ₅＞ｕ₄＞ｕ₃＞ｕ₂＞ｕ₁＞ｕ₀ Ｋ（７）＝［ｕ₀＋２ｕ₁＋２ｕ₂＋２ｕ₃＋２ｕ₄＋２ｕ₅＋２ｕ₆＋２ｕ₇−１，２ｕ₆ｕ₀＋（２ｕ₅＋２ｕ₇）ｕ₁＋２ｕ₄ｕ₂＋ｕ₃ ²−ｕ₆，２ｕ₅ｕ₀＋（２ｕ₄＋２ｕ₆）ｕ₁＋（２ｕ₃＋２ｕ₇）ｕ₂−ｕ₅ ２ｕ₄ｕ₀＋（２ｕ₃＋２ｕ₅）ｕ₁＋ｕ₂ ²＋２ｕ₆ｕ²＋２ｕ₇ｕ₃−ｕ₄，２ｕ₃ｕ₀＋（２ｕ₂＋２ｕ₄）ｕ₁＋２ｕ₅ｕ²＋（２ｕ₆−１）ｕ₃＋２ｕ₇ｕ₄，２ｕ₂ｕ₀＋ｕ₁ ²＋２ｕ₃ｕ₁＋（２ｕ₄−１）ｕ²−２ｕ₅ｕ₃＋２ｕ₆ｕ₄＋２ｕ₇ｕ₅ ，２ｕ₁ｕ₀＋（２ｕ₂−１）ｕ₁＋２ｕ₃ｕ²＋２ｕ₄ｕ₃＋２ｕ₅ｕ₄＋２ｕ₆ｕ₅＋２ｕ ₇ ｕ₆，ｕ₀ ²−ｕ₀＋２ｕ₁ ²＋２ｕ₂ ²＋２ｕ₃ ²＋２ｕ₄ ²＋２ｕ₅ ²＋２ｕ₆ ²＋２ｕ₇ ²］ｏｒｄｅｒ：ｕ₇＞ｕ₆＞ｕ₅＞ｕ₄＞ｕ₃＞ｕ₂＞ｕ₁＞ｕ₀ Ｃ（６）＝［abcdef - 1, abcdef + bcdefg + cdefga + defgab + efgabc + fgabcd + gabcde, abcde + bcdef + cdefg + defga + efgab + fgabc + gabcd, abcd + bcde + cdef + defg + efga + fgab + gabc, abc + bcd + cde + def + efg + fga + gab, ab + bc + cd + de + ef + fg + ga, a + b + c + d + e + f + g］ｏｒｄｅｒ：ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ＞ｅ＞ｆ＞ｇＭｏｄ＝［a + b + c + d + e，（b + e）a + cb + dc + ed, （(c + e)b + ed）a + dcb + edc, （(ec + ed)b + edc）a + （e + 1）dcb, edcba - 1］ｏｒｄｅｒ：ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ＞ｅＲｏｓｅ₁ ＝［ｕ₄ ⁴ −２０／７ａ₄₆ ² ，ａ₄₆ ²ｕ₃ ⁴＋７／１０ａ₄₆ｕ₃ ⁴＋７／４８ｕ₃ ⁴−５０／２７ａ₄₆ ²−３５／２７ａ ₄₆ −４９／２１６ａ₄₆ ⁵ｕ₄ ³ ＋７／５ａ₄₆ ⁴ｕ₄ ³ ＋６０９／１０００ａ₄₆ ³ｕ₄ ³＋４９／１２５０ａ₄₆ ²ｕ₄ ³ −２７３９１／８０００００ａ₄₆ｕ₄ ³−１０２９／１６００００ｕ₄ ³＋３／７ａ ₄₆ ⁵ ｕ₃ｕ₄ ²＋３／５ａ₄₆ ⁶ｕ₃ｕ₄ ² ＋６３／２００ａ₄₆ ³ｕ₃ｕ₄ ²＋１４７／２０００ａ₄₆ ³ｕ₃ｕ₄ ²＋４１３７／８０００００ａ₄₆ｕ₃ｕ₄ ² −７／２０ａ₄₆ ⁴ｕ₃ ²ｕ₄−７７／１２５ａ₄₆ ³ｕ₃ ²ｕ₄−２３８６３／６００００ａ₄₆ ²ｕ₃ ²ｕ₄ −１０７８／９３７５ａ₄₆ ⁴ｕ₃ ²ｕ₄−２４３５３／１９２００００ｕ₃ ²ｕ₄−３／２０ａ₄₆ ⁴ｕ₃ ³−２１／１００ａ₄₆ ³ｕ₃ ³ −９１／８００ａ₄₆ ²ｕ₃ ³−５８８７／２０００００ａ₄₆ｕ₃ ³−３４３／１２８０００ｕ₃ ³］ｏｒｄｅｒ：ｕ₃＞ｕ₄＞ａ₄₆ Ｒｏｓｅ₂ ：Ｒｏｓｅ₁ において、ｏｒｄｅｒ：ｕ₃＞ａ₄₆＞ｕ₄ としたものＦａｔｅ＝［ｓ³＋２ｒ³＋２ｑ³＋２ｐ³，ｓ⁵＋２ｒ⁵＋２ｑ⁵＋２ｐ⁵， −ｓ⁵＋（ｒ＋ｑ＋ｐ）ｓ⁴＋（ｒ²＋（２ｑ＋２ｐ）ｒ＋ｑ²）＋２ｐｑ＋ｐ²）ｓ³＋（ｒ³＋ｑ³＋ｐ³）ｓ² ＋（３ｒ⁴＋（２ｑ＋２ｐ）ｒ³＋（４ｑ³＋４ｐ³）ｒ＋３ｑ⁴＋２ｐｑ³＋４ｐ³ｑ＋３ｐ⁴）ｓ＋（４ｑ＋４ｐ）ｒ⁴ ＋（２ｑ²＋４ｐｑ＋２ｐ²）ｒ³＋（４ｑ³＋４ｐ³）ｒ²＋（６ｑ⁴＋４ｐｑ³ −８ｐ³ｑ＋６ｐ⁴）ｒ＋４ｐｑ⁴＋２ｐ²ｑ³＋４ｐ³ｑ²＋６ｐ⁴ｑ］ｏｒｄｅｒ：ｐ＞ｑ＞ｒ＞ｓＬiu＝［ｙ（ｚ−ｔ）−ｘ＋ａ，ｚ（ｔ−ｘ）−ｙ＋ａ，ｔ（ｘ−ｙ）−ｚ＋ａ，ｘ（ｙ−ｚ）−ｔ＋ａ］ｏｒｄｅｒ：ｘ＞ｙ＞ｚ＞ｔ＞ｕＶer＝［（ｘ−ｚ）²＋（ｙ−ｔ）²−１，ｔ²−ｚ³，２ｔ（ｘ−ｚ）＋３ｚ²（ｙ−ｔ），（３ｕｚ²−１）（２ｔｕ−１）］ｏｒｄｅｒ：ｘ＞ｕ＞ｚ＞ｔ＞ｕＨＣ（６）＝［abcdef - ｔ⁶, abcde + bcdef + cdefa + defab + efabc + efabc + fabcd, abcd + bcde + cdef + defa + efab + fabc, abc + bcd + cde + def + efa + fab, ab + bc + cd + de + ef + fa, a + b + c + d + e + f ］ｏｒｄｅｒ：ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ＞ｅ＞ｆ＞ｔ上記各式で示した各問題について、通常の算法による計
算結果、trace-liftingと斉次化による計算結果、本発
明の改良を取り入れた算法による計算結果を対比した結
果を表１に示す。

【００７４】これらの問題のうち、Ｃ（７）を除いて
は、trace-liftingと斉次化の組み合せにより既に解か
れているが、本発明により更に高速に解くことができる
ことがわかる。また、Ｃ（７）に関しては、trace-lift
ingと斉次化による解法は事実上適用不可能であるが、
線形方程式を解く方法により、解くことができた。

【００７５】

【表１】次に、表２、表３に、前記各問題に対する改良前、改良
後の算法による計算時間の比較を示す。計算時間は全
て、全次数逆辞書式順序のグレブナ基底を入力として、
辞書式順序のグレブナ基底を計算するのに必要な時間で
ある。計算機は前記ＳｏｎｙＮＥＷＳ５０００（ＣＰ
Ｕ：Ｒ４０００／５０ＭＨｚ；主記憶６４ＭＢ）であ
る。表１は０次元であるの対し、表２は１次元の問題で
ある。表３は計算に使用する実メモリ量を示す。

【００７６】

【表２】

【００７７】

【表３】以上の各表において使用された記号について説明する。Ｔ全次数逆辞書式順序のグレブナ基底を入力として，trac
e-liftingにより辞書式順序のグレブナ基底を計算す
る。Ｂ-Ｄt_hＬ特願平６−２５５７５９号で提案した斉次化手法とモジ
ュラ演算法（trace-lifting）の組み合わせ）および，
本発明によるチェックの省略を行ったものである。即
ち，全次数逆辞書式順序のグレブナ基底を入力として，
斉次化した入力多項式集合のグレブナ基底候補を求め，
非斉次化，冗長性除去，相互正規化を行い，定理により
グレブナ基底チェックを省略する場合であり、項順序Ｏ
に対し、中間的な項順序を複数個（Ｏ₁，Ｏ₂，・・・Ｏ
_n＝Ｏとする）用意し、Ｏ₁→Ｏ₂，Ｏ₂→Ｏ₃，・・・Ｏ
_n-1→Ｏ_nなる基底変換を、１．グレブナ基底を容易に計算できる項順序Ｏ₁を選
び、２．Ｏ₁ に関するＦのグレブナ基底Ｇ₁を計算し、３．Ｇ₁の各要素の全ての頭係数を割らない素数ｐを選
び、係数をｐに関する剰余に置き換える操作をφpと
し、４．φp（Ｇ₁）のＯに関するグレブナ基底Ｇ₂を計算
し、５．Ｇ₂の各元ｈに対し、整数係数多項式ｆ_hで、頭係数
がｐで割り切れず、かつｆ_h の頭数がｈの領域と一致す
るものを求め、６．もしＧ₂の全ての元ｈに対しｆ_h が求まったならば
ｆ_h の全体を項順序Ｏに関するＦのグレブナ基底として
出力し、７．もしいずれかのｈに対し、ｆ_h が求まらなければ前
記３のｐを取り直して前記４以下を繰り返すことで行う
にあたり、Ｂ-Ｄt_hＬでは、５項におけるｆ_hを１．法ｐでのグレブナ基底をまず計算する。２．この過程で、φ（Ｐ）を正規化する際、どの要素
で、どの項で消去したか、また、どのペアが０に正規化
したか、という履歴を保存しておく。３．前項の履歴を元に、有理数上でのグレブナ基底を計
算する。その際、・法ｐで０に正規化されたペアに関しては、有理数上の
正規化は行わない。・法ｐで０でない多項式に正規化されたペアに関して
は、履歴を元に有理数上で正規化する。４．前項の有理数上での正規化が、法ｐでの正規化に対
応しない場合、ｐの選び方が妥当でなかったとして、ｎ
ｉｌを返す。という手順で定義されるtrace-liftingに
よる候補生成法で求めたのである。

【００７８】Ｂ-Ｄt_hＥtＬ特願平６−２５５７５９号で提案した斉次化手法とモジ
ュラ演算法（trace-lifting）の組み合わせ）および，
本発明によるチェックの省略であり、全次数逆辞書式順
序のグレブナ基底を入力として，ある消去順序（ＥＬＩ
Ｍ）でtrace-liftingによりグレブナ基底候補を求め、
さらにそれを入力として辞書式順序のグレブナ基底候補
を求め，定理によりグレブナ基底チェックを省略する場
合である。

【００７９】Ｂ-ＤＩＬ本発明による改良である。即
ち，全次数逆辞書式順序のグレブナ基底を入力として，
モジュラグレブナ基底を求め，それを雛型として線形方
程式を構成し，その求解により，有理数上の，辞書式順
序グレブナ基底を求める場合であり、項順序Ｏに対し、
中間的な項順序を複数個（Ｏ₁，Ｏ₂，・・・Ｏ_n＝Ｏと
する）用意し、Ｏ₁→Ｏ₂，Ｏ₂→Ｏ₃，・・・Ｏ_n-1→Ｏ_n
なる基底変換を、１．グレブナ基底を容易に計算できる項順序Ｏ₁を選
び、２．Ｏ₁ に関するＦのグレブナ基底Ｇ₁を計算し、３．Ｇ₁の各要素の全ての頭係数を割らない素数ｐを選
び、係数をｐに関する剰余に置き換える操作をφpと
し、４．φp（Ｇ₁）のＯに関するグレブナ基底Ｇ₂を計算
し、５．Ｇ₂の各元ｈに対し、整数係数多項式ｆ_hで、頭係数
がｐで割り切れず、かつｆ_h の頭数がｈの領域と一致す
るものを求め、６．もしＧ₂の全ての元ｈに対しｆ_h が求まったならば
ｆ_h の全体を項順序Ｏに関するＦのグレブナ基底として
出力し、７．もしいずれかのｈに対し、ｆ_h が求まらなければ前
記３のｐを取り直して前記４以下を繰り返すことで行う
にあたり、Ｂ-ＤＩＬでは、５項におけるｆ_h をＧ₂の
各元の係数を未定係数に置き換えて、Ｇ₁による正規形
を計算し、係数を取り出して未定係数に対する線形方程
式を解くことにより求める。

【００８０】以上において、Ｔは，特願平６−２５５７
５９号の改良も含まない，比較用のデータである。表
で，∞は，６４ＭＢの主記憶を全て使い切って計算不能
になったことを示す。⁺は，６４ＭＢの主記憶では計算
できず，実際には，問題をいくつかのステップに分け
て，データをディスク上に保存しながら計算を行ったこ
とを示す。（∞においては，一つの計算自体がメモリの
枯渇を招いて計算不能になったが，⁺では一つ一つの計
算は，実メモリの範囲内で収まっている。）

【００８１】表１は，０次元，即ち解の個数が有限個の
問題に対する計算時間である。Ｂ-Ｄt_hＬは，前記出願
特願平６−２５５７５９号における改良（斉次化）と本
願による改良（チェックの省略）を含んでいる。一般
に，前者の効果が顕著であるが，Ｋ(n)，Ｍod，Ｒoseな
ど結果の係数が大きい問題においては，後者の効果も大
きい。

【００８２】Ｂ-Ｄt_hＥtＬは，さらに，本発明による改
良（中間の項順序の利用）を含む。表から明らかなよう
に，この改良により，顕著な計算時間の短縮が見られ
る。しかし，Ｃ(7)において，計算不能に陥った。

【００８３】Ｂ-ＤＩＬは，本発明による改良（線形方
程式の求解）による。表から分かるように，全ての問題
において，Ｂ-Ｄt_hＥtＬと同程度の計算時間で辞書式順
序のグレブナ基底が計算でき，さらに，Ｃ(7)のよう
に，Ｂ-Ｄt_hＥtＬで失敗した問題でも結果を得ている。
しかも，Ｂ-Ｄt_hＬと比較すれば，その効果は明らかで
ある。

【００８４】表２は，解の個数が無限個ある問題に対す
る計算時間で，定理によりグレブナ基底チェックが省略
できることが，改良後の計算時間の短縮に効果的である
ことが分かる。

【００８５】表３は，いくつかの問題について，実際に
必要とした実メモリ量を示している。−は，メモリ不足
により計算不能になったことを表している。即ち，少な
くとも６４ＭＢ以上のメモリが必要とされることが分か
る。このことから，前特許，本特許の方法が，メモリ使
用量の節約に大きく効果があることが分かる。さらに，
Ｃ(7)における比較で分かるように，本発明における，
線形方程式の利用が，前特許より高いメモリ節約効果を
与える場合がある。

【００８６】

【発明の効果】本発明では、大きな計算時間、メモリを
必要とするグレブナ基底チェックを、比較的容易に計算
できる他の項順序でのグレブナ基底計算に置き換えるこ
とにより、計算時間を短縮し、使用メモリ量を削減する
ことができる。

【００８７】さらに、モジュラ演算により最終的な結果
の形を予想し、未定係数法により、グレブナ基底を、線
形方程式の求解により直接求めることにより、グレブナ
基底を直接計算する際に必要な計算および必要なメモリ
を省くことができる。

【００８８】この線形方程式は、互いに独立に解くこと
ができ、並列計算機、あるいは、分散計算環境において
解くことにより、実時間において計算時間を短縮でき
る。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の概念ブロック図

【図２】本発明のフローチャートを示す図

【符号の説明】

１・・入力手段２・・素数設定手段３・・Ｇ₁算出手段４・・第１判定手段５・・第１指示手段６・・Ｇ₂算出手段７・・第２判定手段８・・出力手段９・・第２指示手段

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】パラメータ間の制約が整数係数連立代数
方程式で与えられるモデルについて、該連立方程式を表
すとともにメモリ中に記述されている整数係数多項式集
合Ｆから、項順序Ｏに関するグレブナ基底を生成するブ
ッフバーガー演算を行う計算機において、１．グレブナ基底を容易に計算できる項順序Ｏ₁を選
び、２．Ｏ₁ に関するＦのグレブナ基底Ｇ₁を計算し、３．Ｇ₁の各要素の全ての頭係数を割らない素数ｐを選
び、係数をｐに関する剰余に置き換える操作をφpと
し、４．φp（Ｇ₁）のＯに関するグレブナ基底Ｇ₂を計算
し、５．Ｇ₂の各元ｈに対し、整数係数多項式ｆ_hで、頭係数
がｐで割り切れず、かつｆ_h の頭数がｈの領域と一致す
るものを求め、６．もしＧ₂の全ての元ｈに対しｆ_h が求まったならば
ｆ_h の全体を項順序Ｏに関するＦのグレブナ基底として
出力し、７．もしいずれかのｈに対し、ｆ_h が求まらなければ前
記３のｐを取り直して前記４以下を繰り返すようディジ
タルプロセッサを制御するグレブナ基底生成方法。
【請求項２】請求項１において、項順序Ｏに対し、中
間的な項順序を複数個（Ｏ₁，Ｏ₂，・・・Ｏ_n＝Ｏとす
る）用意し、Ｏ₁→Ｏ₂，Ｏ₂→Ｏ₃，・・・Ｏ_n _-1→Ｏ_nな
る基底変換を、請求項１の方法により行う、項順序Ｏに
関するグレブナ基底生成方法。
【請求項３】請求項２において、５項におけるｆ
_hを、１．法ｐでのグレブナ基底をまず計算し、２．この過程で、φ（Ｐ）を正規化する際、どの要素
で、どの項で消去したか、また、どのペアが０に正規化
したか、という履歴を保存し、３．前項の履歴を元に、有理数上でのグレブナ基底を計
算し、その際に、法ｐで０に正規化されたペアに関して
は、有理数上の正規化を行わず、法ｐで０でない多項式
に正規化されたペアに関しては、履歴を元に有理数上で
正規化を行い、４．前項の有理数上での正規化が、法ｐでの正規化に対
応しない場合、ｐの選び方が妥当でなかったとして、ｎ
ｉｌを返す、という手順で定義されるtrace-liftingによる候補生成
法で求めるグレブナ基底生成方法。
【請求項４】請求項２において、５項におけるｆ_hを
Ｇ₂の各元の係数を未定係数に置き換えて、Ｇ₁による
正規形を計算し、係数を取り出して未定係数に対する線
形方程式を解くことにより求める方法。
【請求項５】Ｆを整数係数多項式集合、Ｏ₁，Ｏ₂を項
順序、多項式集合Ｆで生成されるイデアルをＩｄ
（Ｆ）、Ｇ₁をＦのＯ₁に関するグレブナ基底、ｐを素数
としたとき、Ｇ₁の各元ｇに対しｇのＯ₁に関する頭項がｐで割り切れ
るか否かと、φ_p（ｇ）がＩｄ（Ｆ）に属するか否かと
を判定し、前記頭項がｐで割り切れず、かつ、φ
_p（ｇ）がＩｄ（Ｆ）に属すると判定したとき（φ_p
は、Ｇ₁の各要素の全ての頭係数を割らない素数ｐを選
び、係数をこの素数ｐに関する剰余に置き換える操作で
ある）、φ_p（Ｇ₁）はφ_p（Ｆ）のＯ₁に関するグレブナ
基底であると判定する、第１のグレブナ基底判定手段
と、Ｇ’₂をφ_p（Ｆ）のＯ₂に関するグレブナ基底とすると
き、Ｇ’₂の各元ｈに対し、Ｉｄ（Ｆ）に属する整数係
数多項式ｆ_hが存在してｆ_hのＯ₂に関する頭項がｐで
割り切れるか否かと、ｆ_hとｈとのＯ₂に関する頭項が
一致するか否かとを判定し、頭項がｐで割り切れず、か
つ、ｆ_hとｈとのＯ₂に関する頭項が一致すると判定し
たとき、Ｇ₂＝｛ｆ_h｜ｈ∈（Ｇ）₂｝はＦのＯ₂に関す
るグレブナ基底であると判定する第２のグレブナ基底判
定手段と、前記第１のグレブナ基底判定手段と、第２のグレブナ判
定手段の出力が、いずれも、グレブナ基底であるとの判
定出力であるとき、Ｇ₂がφ_p（Ｆ）のＯ₂に関する正
当なグレブナ基底として出力する出力手段と、を備えるグレブナ基底生成装置。
【請求項６】請求項５において、求めた、φ_p（Ｇ₁）のＯ₂に関するグレブナ基底Ｇ₂の
各元ｈ＝Σａ_tt に対し、係数ａ_tを未定係数ｕ_tで、
ｔをＧ₁による正規形ＮＦ(ｔ,Ｇ₁) で置き換える置換
手段と、ｈに現れる各項の係数を取り出し、ｕ_tに関する線形方
程式として解き、解けない場合はｐを取り直し、全ての
ｈについてｕ_tに関する線形方程式として解き全てのｈ
について解けたら、その解全体をグレブナ基底として出
力する演算手段とを備えることを特徴とするグレブナ基
底生成装置。