JPH07270198A - カオス評価装置 - Google Patents

カオス評価装置

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JPH07270198A
JPH07270198A JP6165094A JP6165094A JPH07270198A JP H07270198 A JPH07270198 A JP H07270198A JP 6165094 A JP6165094 A JP 6165094A JP 6165094 A JP6165094 A JP 6165094A JP H07270198 A JPH07270198 A JP H07270198A
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JP
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noise
dimension
correlation
signal
chaotic
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JP6165094A
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Nobuyuki Watanabe
伸之 渡辺
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Olympus Corp
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Olympus Optical Co Ltd
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Publication date
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Abstract

(57)【要約】 【目的】離散的データ列のカオス性やノイズを評価する
ためのカオス評価装置を提供すること。 【構成】入力された離散的データ列について埋込み次元
に対する相関次元を求める相関次元計算手段５と、埋込
み次元と相関次元との関係に基づいて所定の評価式によ
り前記データ列に含まれるノイズを評価するノイズ評価
手段６とを具備する。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明はカオス中に含まれるノイ
ズを判別するためのカオス評価装置に関するものであ
り、特に計測されたデータ列に含まれるカオス性とノイ
ズ性を評価するカオス評価装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】近年、カオス理論の工学的応用研究や、
将来の製品への開発研究が進められており、例えば、工
学的応用としては時系列解析、不規則な過程の制御など
の分野への応用が、また、その他では現在までの不規則
な時系列から将来を予測する株価予測や天気予報などの
分野において応用が検討されている。
【０００３】従来、カオスの研究は、力学系が明かなも
のによる非決定論的な振舞いに対して特に主眼がおかれ
ていた。しかし、実際には現実に観測される現象の殆ど
は、力学系が明かでない。近年、カオスの研究の発展に
よって、このような現実の系、すなわち、観測された信
号列に備わっている秩序性（安定性、規則性、カオス
性）を判定し、一見何の規則性もなさそうな信号列の特
徴付けを行うことができるようになった。
【０００４】このような秩序性を判別する基準として
は、フーリエ解析（スペクトル解析）、自己相関関数、
リアプノフ指数およびこれらのスペクトラム（分布構
造）解析による方法が知られている。
【０００５】ところで、最近では、実験的に得られたカ
オス的な時系列から力学系を支配するパラメータに摂動
を与え、系を周期的状態に安定化させる方法が、オット
ー等により報告されている（Ｃontrolling Ｃhaos；
Ｅ．Ｏtt，Ｃ．Ｇrebogi andＡ．Ｙorke．Ｐhys ．Ｒe
v．Ｌett ．64，［11］1196-1199(1990），Ｅxperiment
al Ｃontro-lling of Ｃhaos；Ｗ．Ｌ．Ｄitto，Ｓ．
Ｎ．Ｒauseo and Ｍ．Ｌ．Ｓpano Ｐhys ．Ｒev．Ｌet
t ．65，［25］ 3211-3214（1990））。
【０００６】これらの方法により一見不規則に見える振
舞いをする系も、それがカオス的であれば系を制御する
ことが可能であることが示された。
【０００７】また、カオスの理論の応用により不規則な
時系列における近未来の事象の予測を、過去のデータの
カオス性を調べることにより、可能にする技術が現在、
様々な分野で研究されている。
【０００８】しかしながら、現実の系、たとえば電気回
路によってカオスを生成する系や、半導体レーザによっ
て光カオスを発生する系においては、素子や光信号の導
波路の熱的揺らぎによるストカステイック(stochastic)
なノイズが信号に含まれることがある。
【０００９】確率論的な事象（ノイズ）とカオス挙動を
定量的に区別することは、実験系のカオスにおいては避
けて通ることができない課題である。また、前述のカオ
スを制御する方法においては、系にストカステイックな
ノイズが含まれていると、制御の精度や制御に要する応
答時間が劣化することが知られている。
【００１０】また、予測の問題についても、不規則時系
列でのカオス性とランダムなノイズ成分を定量的に区別
することができれば、予測の信頼性の幅を明らかにする
ことができる。
【００１１】従って、系がカオス的である場合にストカ
ステイックなノイズ信号がどの程度含まれているかは、
実験でのカオスの観測、系を制御する技術、予測する技
術の上で重要な問題であり、このような目的に適用でき
る判別方法にはフーリエ解析（スペクトル解析）による
方法などがあるものの、その判別精度や定量化に問題を
残している。
【００１２】
【発明が解決しようとする課題】確率論的な事象（ノイ
ズ）とカオス挙動を定量的に区別することは、カオスに
おいては重要である。そして、系がカオス的である場合
にストカステイックなノイズ信号がどの程度含まれてい
るかは、実験でのカオスの観測、系を制御する技術、予
測する技術を確立させる上で重要な問題である。
【００１３】しかし、このような目的に適用可能な従来
方法は、その精度や定量化の点で問題が多い。
【００１４】そこで、この発明の目的とするところは、
上記した問題点を克服し、データ列の中のカオス性と、
ノイズ性を信頼性を以て定量的に評価することが可能な
カオス評価装置を提供することにある。
【００１５】
【課題を解決するための手段】上記目的を達成するた
め、本発明はつぎのように構成する。すなわち、離散的
データ列のカオス性やノイズを評価するためのカオス評
価装置であって、第１には、前記離散的データ列につい
て埋込み次元に対する相関次元を求める相関次元計算手
段と、前記埋込み次元と相関次元との関係に基づいて所
定の評価式により前記データ列に含まれるノイズを評価
するノイズ評価手段とを具備する。
【００１６】また、第２には、前記離散的データ列につ
いて微分処理を施す微分処理手段と、前記入力された離
散的データ列について埋込み次元に対する相関次元を求
めると共に、また、前記微分処理手段により微分処理さ
れて得られたデータ列について埋込み次元に対する相関
次元を求める相関次元計算手段と、前記埋込み次元と相
関次元との関係に基づいて所定の評価式により前記デー
タ列に含まれるノイズを評価するノイズ評価手段とを具
備する。
【００１７】また、第３には、前記離散的データ列につ
いて直交変換を施した後、この直交変換された値に対し
て位相雑音を加えて逆変換する位相処理手段と、前記入
力された離散的データ列について埋込み次元に対する相
関次元を求めると共に、また、前記位相処理手段により
処理されて得られたデータ列について埋込み次元に対す
る相関次元を求める相関次元計算手段と、前記埋込み次
元と相関次元との関係に基づいて所定の評価式により前
記データ列に含まれるノイズを評価するノイズ評価手段
とを具備する。
【００１８】
【作用】第１の構成の場合、相関次元計算手段は入力さ
れた離散的データ列について埋込み次元に対する相関次
元を求め、ノイズ評価手段はこの埋込み次元と相関次元
との関係に基づいて所定の評価式によりを前記データ列
に含まれるノイズを評価する。
【００１９】離散的時系列において、カオス性やカオス
系を支配する最小自由度の数の指標として相関次元があ
るが、本発明はこれを定量的に評価することにより、観
測された不規則な時系列に内在する決定論的カオス性と
ノイズを判別し、評価する。
【００２０】すなわち、サンプリングされた時系列デー
タｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘｎから、多次元のベクトル
Ｘｉ＝（ｘｉ，ｘｉ＋ｔ，ｘｉ＋２ｔ，…，ｘｉ＋（ｍ
−１）ｔ），を構成する。
【００２１】ここで、ｘｉ＋ｊｔはサンプリングデータ
ｘｉからｊｔ時間後のサンプリングデータであり、ｍは
埋め込み次元と呼ばれるものである。
【００２２】つぎにＸｉ｜ｉ＝１，…，ｎ−ｍ−１
（ｎ；データ数、ｍ；次元数）の作る多様体について以
下の相関積分を計算する。
【００２３】
【数１】 Θ（ ）はヘビサイド関数であり、これは（ ）の中の
実数が負であれば“０”であり、正であれば“１”とな
る２値関数である。ここで、Ｎは多様体でのサンプリン
グ数であり、ｒは埋め込み次元での超球の半径に相当す
る。また、｜｜はユードリッドノルムである。ｒの関数
Ｃ（ｒ）の意味は、ある点から半径ｒ以内にある点の数
を表している。
【００２４】ところで、有限自由度を持つカオスでは、
ｒと関数Ｃ（ｒ）の間に次の様なスケール則が成り立
つ。 Ｃ（ｒ）〜ｒD …(a) Ｄ〜dlogＣ（ｒ）／dlogr …(b) このとき、ＤまたはＤの極限を相関次元と呼ぶ。また、
相関次元Ｄは式(b) のように、両対数の微分で表すこと
もできる。以降の説明では相関次元Ｄはこれらの定義に
従う。相関次元Ｄはカオスを特徴付けるパラメータの一
つでもある。
【００２５】ノイズの無い場合（Δ＝０）と、ノイズの
ある場合について、(a) ，(b) の式を計算し、埋め込み
次元ｍに対する相関次元Ｄの関係を調べてみると、埋め
込み次元ｍに対して相関次元Ｄをプロットして得られる
関係は、ノイズのない場合は相関次元Ｄの値があるとこ
ろで一定に収束するが、ノイズがある場合には、相関次
元Ｄは一定値には収束せず、増加傾向を辿る。
【００２６】従って、カオスに含まれるノイズを評価す
るためには、埋め込み次元ｍに対する相関次元Ｄの数の
描く曲線（ｍ‐Ｄ曲線）の形状を評価すれば良いことに
なる。 本発明ではこれを利用した。
【００２７】ここで、ｍ‐Ｄ曲線の形状を評価する方法
として、次のような評価関数を導入する。まず、ノイズ
のない場合に埋め込み次元ｍと相関次元Ｄとの関数とし
て次のような関数を与える。
【００２８】 ｖ＝ｃ1 −ｃ2 ・ｅｘｐ（−ｃ3 ・ｕ） …(c) ここで、ｕは埋め込み次元に対応する変数であり、ｖは
相関次元に対応する変数である。また、ここでｃi （但
し、ｉ＝１，…３）は正の実数である。
【００２９】この関数は、ｕを増大していったとき、す
なわち、埋め込み次元を増大していったときに、一定の
値に収束する形を持っている。
【００３０】一方、時系列が全くの無相関なランダムノ
イズであった場合、相関次元Ｄは埋め込み次元ｍの増加
とともに増加する１次の相関を示す。このような場合の
回帰関数を ｖ＝ｃ4 ・ｕ …(d) とする。式(c) に式(d) の項を付加することにより、評
価関数 ｖ＝ｃ1 −ｃ2 ・ｅｘｐ（−ｃ3 ・ｕ）＋ｃ4 ・ｕ …(e) を得る。この評価関数はexp(−ｃ3 ・ｕ）のような、一
定の値に収束する収束項を含む関数を含んでいれば特に
式(e) の形に限定されるものではない。
【００３１】相関次元の傾斜は(e) 式の評価関数のｃ4
の値に反映し、従って、ｃ4 はノイズの標準偏差と密接
な関係を有するので、カオスに含まれるノイズを評価す
るためには(e) 式のｃ1 からｃ4 の値、特にｃ4 の値を
評価すれば良い。
【００３２】これによりカオスとノイズの識別とノイズ
量の推定ができるようになる。
【００３３】また、第２の構成の場合、微分処理手段は
入力された離散的データ列について微分処理を施し、相
関次元計算手段は前記入力された離散的データ列につい
て埋込み次元に対する相関次元を求めると共に、また、
前記微分処理手段により微分処理されて得られたデータ
列について埋込み次元に対する相関次元を求める。そし
て、ノイズ評価手段は相関次元計算手段が求めた前記埋
込み次元と相関次元との関係に基づいて所定の評価式に
より前記データ列に含まれるノイズを評価する。 ｍ‐
Ｄ曲線に対して微分値（（Ｄの変化量）／（ｍの変化
量））の平均値を以てノイズ量を評価すると、カオス的
時系列中のノイズ成分を知ることができる。
【００３４】相関積分の方法の場合、１／ｆあるいは１
／ｆ2 のようにパワスペクトル分布にスケ―ルの相関の
あるノイズでは、カオスとの間に区別がつかない。通
常、抵抗体の揺らぎなどの電子のフォノンによる散乱
や、熱運動体による光の散乱など多岐にわたる自然現象
において１／ｆ揺らぎが存在することが知られている。
【００３５】本発明の第２の構成では、１／ｆノイズの
場合に第１実施例が適応可能になるような信号の前処理
を施す、すなわち、微分する手続きを付加する。これに
より、微分された１／ｆノイズと前述のガウシアン・ノ
イズはｍ‐Ｄ平面上で同様の振る舞いを示す。
【００３６】これと原信号のｍ‐Ｄプロットを比較す
る。両者の乖離が大きいほど１／ｆノイズを含んでいる
ことになる。これにより、カオス的な時系列中での１／
ｆノイズとカオスの区別が定量的にできる。
【００３７】また、第３の構成の場合、位相処理手段は
入力された離散的データ列について直交変換を施した
後、この直交変換された値に対して位相雑音を加えて逆
変換する。また、相関次元計算手段は、前記入力された
離散的データ列について埋込み次元に対する相関次元を
求めると共に、また、前記位相処理手段により処理され
て得られたデータ列について埋込み次元に対する相関次
元を求める。そして、ノイズ評価手段は相関次元計算手
段が求めた前記埋込み次元と相関次元との関係に基づい
て所定の評価式により前記データ列に含まれるノイズを
評価する。
【００３８】相関を持つノイズとカオスを識別するもう
一つの方法は、原信号と相関ノイズを与えた信号のｍ‐
Ｄプロットを比較することによって実現できる。例え
ば、原信号のフーリエ変換した周波数成分から逆フーリ
エ変換を用いさらに位相をランダマイズした時系列を合
成し、この時系列について信号の評価を行う手法であ
る。
【００３９】フーリエ変換Ｆk は原信号Ｘn に対して
【数２】 で与えられる。次に、位相雑音を含ませた合成信号（合
成データ）ｘｉは逆フーリエ変換を用いて
【数３】 と表わすことができ、この式を使用することにより、位
相雑音を含ませた合成信号（合成データ）ｘｉを求める
ことができる。
【００４０】ここでφRND は位相雑音で、ガウス分布の
ものでも、一様分布のものであっても良い。
【００４１】１／ｆノイズにおいては原信号と位相をラ
ンダマイズしたものの間の乖離はほとんどないのに対し
て、カオス時系列の場合は両者の乖離が大きい。従っ
て、この方法は１／ｆノイズ中のカオス成分を定量化す
るのに適する。
【００４２】
【実施例】本発明は相関次元を用いて、カオス的要素に
含まれるノイズ要素を定量的に評価するものであって、
埋め込み次元と相関次元の関係からノイズ要素を定量的
に評価するものであり、以下、本発明の実施例について
図面を参照して説明する。ノイズにはガウシアンノイ
ズ、１／ｆノイズ、１／ｆ位相ノイズなどがあるが、こ
れらのノイズ種別に対応する識別手法と、ノイズ量の評
定手法を説明する。
【００４３】初めにカオス的信号とガウシアンノイズの
識別と、ノイズ量の評定を行う評価装置の実施例を説明
する。
【００４４】（実施例１）実施例１についてその詳細を
説明するが、初めにここで利用する本発明の原理につい
てふれておく。
【００４５】離散的時系列において、カオス性、系を支
配する最小自由度の数の指標として相関次元があると云
う事実を利用して、本発明はこの相関次元を定量的に評
価することにより、観測された不規則な時系列に内在す
る決定論的カオス性とノイズを判別し、評価する。
【００４６】本実施例に適用されるカオス判別の原理を
説明する。
【００４７】サンプリングされた時系列データｘ１，ｘ
２，ｘ３，…，ｘｎとする。これらサンプリングされた
時系列データから、多次元のベクトルＸｉ＝（ｘｉ，ｘ
ｉ＋ｔ，ｘｉ＋２ｔ，…，ｘｉ＋（ｍ−１）ｔ），を構
成する。
【００４８】ここで、ｘｉ＋ｊｔはサンプリングデータ
ｘｉのサンプリング時点からｊｔ時間経過後の時点で得
られたサンプリングデータであり、ｍは埋め込み次元と
呼ばれるものである。
【００４９】つぎにＸｉ｜ｉ＝１，…，ｎ−ｍ−１の作
る多様体について以下の相関積分を計算する。
【００５０】
【数４】 Θ（ ）はヘビサイド関数であり、これは（ ）の中の
実数が負であれば“０”であり、正であれば“１”とな
る２値関数である。ここで、Ｎは多様体でのサンプリン
グ数であり、ｒは埋め込み次元での超球の半径に相当す
る。また、｜｜はユードリッドノルムである。ｒの関数
Ｃ（ｒ）の意味は、ある点から半径ｒ以内にある点の
数、あるいは全サンプリング数に対するその割合を表し
ている。
【００５１】ところで、有限自由度を持つカオスでは、
ｒと関数Ｃ（ｒ）の間に次の様なスケール則が成り立
つ。 Ｃ（ｒ）〜ｒD …(1-a) Ｄ〜d log Ｃ（ｒ）／d log r …(1-b) このとき、ＤまたはＤの極限を相関次元と呼ぶ。また、
相関次元Ｄは式(1-b)のように、両対数の微分で表すこ
ともできる。以降の説明では相関次元Ｄはこれらの定義
に従う。相関次元Ｄはカオスを特徴付けるパラメータの
一つでもある。
【００５２】カオス挙動を示す擬似データを生成するに
はレスラー方程式を使用する。レスラー方程式は式(2)
に示す如きであり、Δをガウシアンノイズとすると、レ
スラー方程式にこのガウシアンノイズΔを加えた式(3)
の如き系により、ガウシアンノイズを含むカオスのデー
タを生成できる。
【００５３】
【数５】 である。ここで、ｐ，ｑ，ｓは時間の関数であり、ｐは
時間微分である。また、Ａ，Ｂ，Ｃは定数である。
【００５４】図１はレスラー方程式のみを使用して、生
成されたカオス挙動を示すデータの例であり（ノイズな
し）、図２は式(3) を用いて生成されたデータの例であ
る（ガウシアンノイズΔを含む）。
【００５５】次に、このようにして生成した擬似データ
（疑似信号）ｐ2 を用い、ノイズの無い場合（Δ＝０）
と、ノイズのある場合について、(1-b) の式を計算し、
埋め込み次元ｍに対する相関次元Ｄの関係を調べた。
【００５６】図１はノイズがない場合に横軸に時間をと
って、上記の式のｐ2 ＝ｐをプロットしたものであり、
図２はノイズがある場合の時間に対する疑似信号（デー
タ）ｐ2 のプロットである。
【００５７】図３に示すように、埋め込み次元ｍに対し
て相関次元Ｄをプロットしてみると、ノイズのない場合
は相関次元Ｄの値が、あるところで一定に収束するが、
ノイズがある場合には、相関次元Ｄは一定値には収束せ
ず、増加傾向を辿ることがわかる。
【００５８】従って、カオスに含まれるノイズを評価す
るためには、埋め込み次元ｍに対する相関次元Ｄの数の
描く曲線（ｍ‐Ｄ曲線）の形状を評価すれば良いことに
なる。
【００５９】ここで、ｍ‐Ｄ曲線の形状を評価する方法
として、次のような評価関数を導入する。まず、評価対
象とする信号（データ）がノイズのない、従って、カオ
ス的変化を呈する信号（データ）のみの場合における埋
め込み次元ｍと相関次元Ｄとの関数として次のような関
数を与える。
【００６０】 ｖ＝ｃ1 −ｃ2 ・ｅｘｐ（−ｃ3 ・ｕ） …(4) ここで、ｕは埋め込み次元ｍに対応する変数であり、ｖ
は相関次元Ｄに対応する変数である。また、ここでｃi
（但し、ｉ＝１，…３）は正の実数である。
【００６１】この関数は、変数ｕを増大していったと
き、すなわち、埋め込み次元ｍを増大していったとき
に、例えば、図４の如き一定の値に収束する形を持って
いる。従って、このように一定の値に収束する形を持っ
ている場合に、ガウシアンノイズを含まないカオス的変
動を呈する信号と判断できる。
【００６２】図４は実測したｍ‐Ｄ曲線に対して式(4)
を回帰させたものである。
【００６３】一方、時系列が全くの無相関なランダムノ
イズであった場合、相関次元Ｄは埋め込み次元ｍの増加
とともに増加する。図５はホワイトノイズに対して各埋
め込み次元ｍでの相関次元Ｄを計算した例で、ｍ‐Ｄ曲
線はほぼ１次の相関である。このような場合の回帰関数
を ｖ＝ｃ4 ・ｕ …(5) とする。式(4) に式(5) の項を付加することにより、評
価関数 ｖ＝ｃ1 −ｃ2 ・ｅｘｐ（−ｃ3 ・ｕ）＋ｃ4 ・ｕ …(6) を得る。この評価関数はexp(−ｃ3 ・ｕ）のような、一
定の値に収束する収束項を含む関数であれば特に式(6)
の形に限定されるものではない。
【００６４】図６はカオス的変動を呈する信号やデータ
に、ガウシアンノイズの標準偏差（ＳＤ）を変えたとき
の相関次元Ｄを埋め込み次元ｍに対してプロットしたも
のであり、この図からノイズ量の増加とともに埋め込み
次元ｍの増加に対する相関次元Ｄの増加傾向が大きくな
っていることが分かる。
【００６５】相関次元の傾斜は(6) 式の評価関数のｃ4
の値に反映されるから、従って、このｃ4 はノイズの標
準偏差と密接な関係を有することになるので、カオス的
変動を呈する信号中に含まれるガウシアンノイズのノイ
ズ量を評価するためには(6)式のｃ1 からｃ4 の値、特
にｃ4 の値を評価すれば良い。
【００６６】つぎに、この原理を適用した実施例１を説
明する。
【００６７】図７は実施例１におけるハードウェア構成
を示したものである。図において、１は計測器、２はＡ
／Ｄ変換器、３は信号処理部、４は出力部である。
【００６８】これらのうち、計測器１はカオス挙動を含
む現象を測定して測定値対応のアナログ信号として出力
するものであり、Ａ／Ｄ変換器２はこの計測器１の出力
をディジタル変換してデータとして出力するものであ
り、信号処理部３はこのＡ／Ｄ変換器２によりデータ化
された計測器１の出力を取り込み、保存すると共に、相
関次元を求め、これよりノイズ評価を行って評価結果を
出力するものであり、出力部４はこの信号処理部３の評
価結果を出力するもので、プリンタやモニタ表示器等が
相当する。
【００６９】信号処理部３は相関次元を求める相関次元
計算部５と、この相関次元計算部５により求められた相
関次元よりノイズ評価を行って評価結果を求めるノイズ
評価部６とを有している。
【００７０】このような構成において、計測器１によ
り、計測された物理量はアナログ信号としてＡ／Ｄ変換
器２に入力される。この信号はＡ／Ｄ変換器２によって
ディジタル信号に変換され、信号処理部３に入力され
る。信号処理部３は相関次元計算部５およびノイズ評価
部６を有しており、信号処理部３に入力されたディジタ
ル信号は、以下に説明する所定の処理を施して、結果を
ディスプレイまたはプリンタなどの出力部５に出力す
る。
【００７１】信号処理部３に入力されたディジタル信号
は相関次元計算部５に入力されると、ここで図８、図９
に示す処理が施される。
【００７２】すなわち、図８におけるフローチャートに
示すように、Ａ／Ｄ変換器２から順次入力されてくるｎ
個のデータ（離散的時系列）は入力順に対応して用意さ
れたｎ個のレジスタのうちの対応するものに順に格納さ
れる。そして、計算に必要なデータが揃ったならば、次
に相関積分および相関積分の両対数傾斜を計算する手続
きを開始する。
【００７３】はじめに、埋め込み次元ｍに２がセットさ
れる（Ｓ１）。これは先のレジスタからデータを読出す
ことで行う。次に、入力されたディジタル信号（デー
タ）ｘ［ｉ］，ｘ［ｉ＋１］…を時系列信号としてｍ次
元のベクトルＸｍ，ｉを生成する（Ｓ２）。
【００７４】これはｘ［ｉ］に対して、ｍ個のスカラの
組、たとえば、ｘ［ｉ］，ｘ［ｉ＋１］，…，ｘ［ｉ＋
ｍ−１］によってｍ次元空間のベクトルを生成するもの
であるが、スカラの組はｒを整数として（ｘ［ｉ］，ｘ
［ｉ＋ｒ］，…，ｘ［ｉ＋ｒｘ（ｍ−１）］のような、
より一般化した離散値の組でも良い。このベクトルの組
Ｘｍ，ｉ｜ｉ＝１，…，ｎ−（ｍ−１）から相関積分を
求める（Ｓ３）。
【００７５】ステップＳ３の手続きの詳細はたとえば図
９の如きである。
【００７６】これを説明すると、まず、ステップＳ３１
により、Ｘｍ，ｉ｜ｉ＝１，…，ｎ−（ｍ−１）の構成
する多様体の大きさを測る。次につぎにＳ３２により距
離の単位を、例えば、距離に対応した１０００個のレジ
スタを用意して、これらのレジスタを用いて離散化処理
をする。
【００７７】これに先駆け、当該距離に対応した１００
０個のレジスタＣ（ｋ）； ｋ＝１，…，１０００はゼ
ロにセットする。
【００７８】次に距離を測るための基準点Ｘｍ，ｊをサ
ンプル数Ｎだけ設定し、個々の基準点Ｘｍ，ｊから多様
体の各点Ｘｍ，ｉまでのノルム（距離）｜｜Ｘｍ，ｉ−
Ｘｍ，ｊ｜｜を測り、その距離に対応したレジスタＣ
（ｋ）｜ｋ＝１，…，１０００をインクリメントする
（Ｓ３５）。ステップＳ３６、Ｓ３７はステップＳ３
４、Ｓ３３に対応した繰り返しループである。
【００７９】すなわち、ここで｜｜Ｘｍ，ｉ−Ｘｍ，ｊ
｜｜（但し“｜｜ ｜｜”はノルムを示す）に対し
てｎ−（ｍ−１）個、ｊに対してＮ個計測し、各レジス
タＣ（ｋ）での分布を得る。つまり、距離毎のヒストグ
ラムを得る。
【００８０】さらにステップＳ３８でＣ（ｋ）を積分す
る。この処理が終わると再び図８に戻ってステップＳ４
からの処理に移る。
【００８１】ステップＳ４では埋め込み次元ｍでの相関
積分の両対数傾斜Ｄ（ｍ）を得る。つぎにステップＳ５
に移り、ここでは例えば、埋込み次元ｍの上限を“１
３”と設定したとすると、“ｍ”が“１３”になるまで
インクリメントしながらステップＳ２、Ｓ３、Ｓ４の処
理を繰り返す。
【００８２】ここでＤ（ｍ）は相関次元に対応する。
“ｍ”が“１３”を越えたならば“ｍ”（埋め込み次
元）の値と、この“ｍ”に対応する“Ｄ”の値（相関次
元の値）をノイズ評価部６に出力し、ｍ‐Ｄ曲線のデー
タとして与える（Ｓ６）。
【００８３】相関次元計算部５によるこのような処理の
結果を受けたノイズ評価部６では図１０に示す如き処理
を行う。
【００８４】図１０の処理を説明すると、まず、ｍ‐Ｄ
曲線に対して、最小自乗法によって式(6) の関数をフィ
ッティングし（Ｓ６１１）、各係数ｃ1 ，〜ｃ4 を求め
る（Ｓ６１２）。係数ｃ1 ，〜ｃ4 が求められたなら
ば、ステップＳ６１３に移る。このステップＳ６１３で
は既知の系におけるノイズの分散または標準偏差と係数
ｃ4 の関係からノイズ量を推定し、係数ｃ1 によりカオ
ス成分の相関次元を推定する。
【００８５】すなわち、カオス的変動を呈する信号やデ
ータに、ガウシアンノイズの標準偏差（ＳＤ）を変えた
ときの相関次元Ｄを埋め込み次元ｍに対してプロットす
ると図６に示した如きとなるが、この図からノイズの増
加とともに埋め込み次元ｍの増加に対する相関次元Ｄの
増加傾向（変化率）が大きくなることが分かる。そし
て、相関次元の傾斜は(6) 式の評価関数のｃ4 の値に反
映されることになり、従って、ｃ4 はノイズの標準偏差
と密接な関係を有するので、カオスに含まれるノイズを
評価するためには(6) 式のｃ1 からｃ4 の値、特にｃ4
の値を評価すれば良い。
【００８６】従って、係数ｃ1 の値からカオスの相関次
元を評価することができ、係数ｃ4の値からノイズの分
散を評価することがきる。
【００８７】このようにして求められたカオスの相関次
元とノイズの分散を出力部４に出力する（Ｓ６１４）。
【００８８】上記のように、埋め込み次元をも、相関次
元をＤとしたときにｍ‐Ｄ曲線を式(6) によって回帰さ
せ、式(6) の係、特に係数ｃ1 とｃ4 を求めるようにし
たので、カオスの相関次元とノイズの分散を定量的に評
価できる。
【００８９】この実施例１は、対象とする離散的データ
列のカオス性やノイズを評価するにあたり、埋込み次元
に対する相関次元を求める相関次元計算手段と、前記埋
込み次元と相関次元との関係に基づいて前記データ列に
含まれるノイズを評価するノイズ評価手段とより構成し
たものであり、ガウシアン・ノイズの標準偏差（ＳＤ）
を変えたときのＤ＝Ｄ（ｍ）を埋め込み次元ｍに対して
プロットすると、図６に示した如きとなり、ノイズの増
加とともに埋め込み次元に対するＤの変化率が大きくな
ることが分かるが、この点に着目して式(5) で図６の各
々の曲線を回帰し（図１１）、式(6) のｃ1 −ｃ4 の係
数を求め、この求めたｃ1 とｃ4 からノイズを評価す
る。
【００９０】式(5) で図６の各々の曲線を回帰し（図１
１）、式(6) のｃ1 −ｃ4 の係数を求めると、図１２の
ようにノイズの分散に対して式(4) の係数ｃ4 は良い相
関を持つことが分かる。
【００９１】従って、上記した構成によれば、カオス的
な時系列に含まれるノイズの種別を判別し、それを定量
化することが可能である。このような評価により、系の
制御の信頼性を評価することや、ノイズを低減する手段
に対するノイズ低減状態把握の指標となる。
【００９２】つぎにカオス的信号とガウシアンノイズの
識別と、ノイズ量の評定を行う評価装置の別の実施例を
実施例２として説明する。
【００９３】（実施例２）ここではノイズ量に関わる数
値を評価する別の例として、ｍ‐Ｄ平面上に描かれた曲
線の１次回帰の傾斜を以てカオス時系列中のノイズ量を
評価する方式を示す。
【００９４】実施例２ではつぎの原理を採用する。
【００９５】先の図６はカオス的変動をする信号または
データにガウシアンノイズの標準偏差（ＳＤ）を変えた
ときの相関次元Ｄを、埋め込み次元ｍに対してプロット
したものである。そして、この図からノイズの増加とと
もに埋め込み次元ｍに対する相関次元Ｄの傾きが大きく
なっていることが分かる。
【００９６】つまり、この傾きによりノイズ量の傾向が
わかることになるから、このことを利用してカオス的動
作を呈する信号中に含まれるノイズ量を定量化する。こ
の実施例では、回帰曲線として、つぎの１次関数式ｙを
用いる（一次フィッテイング）。
【００９７】 ｙ＝ｃ1 ・ｘ＋ｃ2 …(7) この式(7) に示される１次関数式ｙのｃ1 は傾きの値を
示し、ｃ2 は定数項で、実数をとる。
【００９８】このように、実施例２で採用するノイズ量
に関わる数値を評価する評定方法は、図６のｍ‐Ｄ曲線
に対して回帰させ、その傾斜の値ｃ1 を以てノイズ量を
評価すると云う手法をとる。
【００９９】図６を式(7) で回帰した様子を図１３に示
す。図からわかるように、１次関数式ｙにおける傾斜の
値ｃ1 とノイズの標準偏差（ＳＤ）の間には良い相関が
みられた（図１４）。ここではこのことに着目して評価
をする。
【０１００】すなわち、本実施例においてはｍ‐Ｄ平面
上に描かれた曲線の１次回帰の傾斜を以てカオス時系列
中のノイズ量を評価する。評価は既知の系におけるノイ
ズの分散または標準偏差（ＳＤ）とｃ1 の関係から推定
する。これによりノイズ量を推定することができる。
【０１０１】この方法によるノイズ評価は、実施例１で
の構成である図７の構成におけるノイズ評価部６の処理
を図１５のように変更することによって達成される。そ
の他は実施例１と同じであるので、ここでは異なる部分
のみ、説明する。
【０１０２】すなわち、計測器１により、計測された物
理量はアナログ信号としてＡ／Ｄ変換器２に与えられ、
ディジタル信号に変換されて信号処理部３に入力され
る。信号処理部３は相関次元計算部５およびノイズ評価
部６を有しており、信号処理部３に入力されたディジタ
ル信号は、以下に説明する所定の処理を施して、結果を
ディスプレイまたはプリンタなどの出力部５に出力す
る。
【０１０３】信号処理部３に入力されたディジタル信号
は相関次元計算部５に入力されると、ここで図８、図９
に示す処理が施される。そして、この処理の結果として
得られる埋め込み次元ｍの値と、この値に対応する
“Ｄ”の値（相関次元の値）をノイズ評価部６に出力す
る。
【０１０４】ノイズ評価部６では受け取ったデータに対
して、図１５に示す処理を実施して、ノイズ量の評価を
行う。
【０１０５】すなわち、ノイズ評価部６では、図１５に
おけるステップＳ６２１で式(7) に基づく最小自乗法回
帰分析を行い、ｃ1 ，ｃ2 を得る（Ｓ６２２）。つぎに
ステップＳ６２３に移り、ここで既知の系におけるノイ
ズの分散または標準偏差（ＳＤ）とｃ1 の関係からノイ
ズ量を推定する。
【０１０６】ノイズ評価部６により求められたノイズ量
は出力部４に出力され、出力（表示あるいはプリント）
される。
【０１０７】このように、実施例２は、ノイズ量に関わ
る数値を評価する別の方法を示したものであり、離散的
データ列のカオス性やノイズを評価するに際して、図６
のｍ‐Ｄ曲線に対して例えば、式(7) により回帰させ、
その結果の傾斜の値ｃ1 を以てノイズ量を評価するよう
にした。
【０１０８】つまり、ノイズ評価部６において、ｍ‐Ｄ
曲線に対する例えば、式(7) による回帰を実施させ、か
つ、その結果の傾斜の値ｃ1 を以てノイズ量を評価させ
る。このようにしても、ノイズ量の評価を実施すること
ができる。
【０１０９】実施例２はノイズ量に関わる数値を評価す
る別の例として、ｍ‐Ｄ平面上に描かれた曲線の１次回
帰の傾斜を以てカオス時系列中のノイズ量を評価する方
式を示したが、ｍ‐Ｄ平面上に描かれた曲線の微分値を
以てカオス時系列中のノイズ量を評価する方法もある。
これを実施例３として説明する。
【０１１０】（実施例３）図６は、カオス的変動をする
信号にガウシアンノイズの標準偏差（ＳＤ）を変えたと
きの傾斜Ｄ＝d log Ｃ（ｒ）／d log r を、埋め込み次
元ｍに対してプロットしたものである。図からノイズの
増加とともに埋め込み次元ｍに対する傾斜の変化率
【数６】 が大きくなっていることが分かる。
【０１１１】従って、実施例３では図６からノイズ量に
関わる数値を評価する方法として当該変化率
【数７】 の大きさを以て行う手法を採用する。
【０１１２】具体的には、図６のｍ‐Ｄ曲線に対して微
分値 ｘ＝（Ｄの変化量）／（ｍの変化量） …(8) の平均値を以てノイズ量を評価する。それを一般的な表
示方法により表示する。これにより、カオス的時系列中
のノイズ成分を知ることができる。
【０１１３】実施例３をもう少し詳しく説明する。
【０１１４】たとえば、微分値は図１６のように表され
る。微分値とノイズの標準偏差（ＳＤ）の間には良い相
関がみられた（図１７）。そこで、本実施例において
は、ｍ‐Ｄ平面上に描かれた曲線の微分値を以てカオス
時系列中のノイズ量を評価する。
【０１１５】この方法によるノイズ評価は実施例１の構
成図である図７におけるノイズ評価部６の処理を、図１
８のように変更することによって達成される。その他は
実施例１と同じであるので、ここでは異なる部分のみ、
説明する。
【０１１６】すなわち、計測器１により、計測された物
理量はアナログ信号としてＡ／Ｄ変換器２に与えられ、
ディジタル信号に変換されて信号処理部３に入力され
る。信号処理部３は相関次元計算部５およびノイズ評価
部６を有しており、信号処理部３に入力されたディジタ
ル信号は、以下に説明する所定の処理を施して、結果を
ディスプレイまたはプリンタなどの出力部５に出力す
る。
【０１１７】信号処理部３に入力されたディジタル信号
は相関次元計算部５に入力されると、ここで図８、図９
に示す処理が施される。そして、この処理の結果として
得られる埋め込み次元ｍの値と、この値に対応する
“Ｄ”の値（相関次元の値）をノイズ評価部６に出力す
る。
【０１１８】ノイズ評価部６では受け取ったデータに対
して、図１８に示す処理を実施して、ノイズ量の評価を
行う。
【０１１９】すなわち、図１８のフローチャートにおけ
る処理内容は、まず、ステップＳ６３１で微分値ｓ＝ｄ
Ｄ（ｍ）／ｄｍを得る。ここで微分の計測範囲は図１６
に示されたものに限定されず、任意である。
【０１２０】つぎにステップＳ６３２に移り、ここでは
既知の系におけるノイズの分散または標準偏差（ＳＤ）
と微分値ｓの関係からノイズ量を推定する。これでノイ
ズ評価部６の演算処理が終り、求めたノイズ量を出力部
４に出力する（Ｓ６３３）。そして、出力部４により出
力（表示あるいはプリント）させる。
【０１２１】これにより、カオス的な時系列中のノイズ
成分を知ることができる。
【０１２２】以上、上述した各実施例は、いずれもカオ
ス的信号とガウスノイズの識別と、ノイズ量の評定を可
能にする実施例である。すなわち、上述の実施例は相関
積分の方法を主体としているものであるが、この手法で
は１／ｆノイズあるいは１／ｆ2 ノイズ（以下、これら
を総称して単に１／ｆノイズと呼ぶことにする）のよう
にパワスペクトル分布スケ―ルの相関のあるノイズでは
カオスとの間に区別がつかない。通常、抵抗体の揺らぎ
などの電子のフォノンによる散乱や、熱運動体による光
の散乱など多岐にわたる自然現象において１／ｆ揺らぎ
が存在することが知られている。従って、このような１
／ｆノイズの識別法を実施例５として説明する。
【０１２３】（実施例４）実施例４はカオス的信号と１
／ｆノイズの識別と、そのノイズ量の評定を可能にする
もので、以下、実施例を説明する。ここでは対象が１／
ｆノイズの場合に、先の実施例１の装置構成を適応可能
にするような信号の前処理の手段を持たせることを特徴
としている。
【０１２４】すなわち、この実施例では信号処理部３Ａ
に、Ａ／Ｄ変換器２を介して与えられる測定器１の測定
データを微分する手続き要素を付加する。この微分要素
により微分された１／ｆノイズと前述のガウシアン・ノ
イズはｍ‐Ｄ平面上で同様の振る舞いを示す。
【０１２５】これと原信号を図８および図９と同様の手
続きで処理したものを比較する。そして、両者の乖離が
大きいほど１／ｆノイズを含んでいることになる。これ
により、カオス的な時系列中での１／ｆノイズとカオス
の区別が定量的にできる。
【０１２６】ここで採用した原理を説明する。
【０１２７】図１９にカオス的信号について、原信号と
微分信号のｍに対するＤ（ｍ）をプロットしたものを、
また、図２０に１／ｆノイズについて、原信号と微分信
号のｍに対するＤ（ｍ）をプロットしたものをそれぞれ
示す。図２０に黒丸印で示したように、１／ｆノイズの
原信号は有限の相関次元を持つ。これに対して、それを
微分した信号は相関を持たないため、傾斜の値は埋め込
み次元の増加に対して傾斜の値は飽和しない。
【０１２８】一方、図１９に示すように、カオスの場合
も原信号および微分信号に対する埋め込み次元‐傾斜の
プロットは、ほぼ同様の振る舞いを示す。
【０１２９】従って、実施例１の装置構成図である図７
における計算処理部３を、図２１に示した如き構成に置
き換えることにより、カオス信号の中に含まれる１／ｆ
ノイズのようなノイズ成分を評価できる。
【０１３０】以下、実施例４を図２１に基づいて説明す
る。図において、３Ａは計算処理部であり、この計算処
理部３Ａは相関次元計算部５、微分処理部７、記憶部
８、記憶部９、比較部１０、ノイズ評価部１１よりな
る。
【０１３１】相関次元計算部５は内部に複数の入力デー
タ保持用レジスタを有しており、Ａ／Ｄ変換器２を介し
て入力されたデータを順にこの入力データ保持用レジス
タに一時保存すると共に、これらレジスタに保存された
データ（非微分処理データ）について図８、図９に示す
処理を行うと共に、その処理結果をノイズ評価部１１に
渡す機能の他、微分処理部７にて微分処理された結果
（微分処理データ）についても、図８、図９に示す処理
を行って、その処理結果をノイズ評価部１１に渡す機能
を有する。
【０１３２】微分処理部７は、Ａ／Ｄ変換器２を介して
入力されたデータについて微分演算処理をする装置であ
り、この微分処理部７も内部に複数の入力データ保持用
レジスタを有している他、微分結果保持用のレジスタを
も有している。微分処理部７はＡ／Ｄ変換器２を介して
入力されたデータを順にこれらの入力データ保持用レジ
スタに一時保存すると共に、これらレジスタに保存され
たデータを順に読出して微分演算処理し、その結果を微
分結果保持用のレジスタに保持すると云った機能を有す
るものである。相関次元計算部５には、この微分結果保
持用のレジスタを介して微分結果を引き渡すようにして
ある。
【０１３３】ノイズ評価部１１は相関次元計算部５より
得られる非微分処理データに基づくｍ‐Ｄ曲線からノイ
ズ量の推定を行うと共に、微分処理のデータに基づくｍ
‐Ｄ曲線からノイズ量の推定を行うものであり、ここで
のノイズ量の推定は例えば、式(6) に基づく図１０に示
す如き処理により実施する構成としてあり、係数ｃ1お
よび係数ｃ4 を求める。また、既知の系におけるノイズ
の分散または標準偏差と係数ｃ4 の関係からノイズ量を
推定し、係数ｃ1 によりカオス成分の相関次元を推定す
る機能も有する。
【０１３４】記憶部８および記憶部９はデータを保持す
るためのものであり、記憶部８はノイズ評価部１１から
の非微分処理データに基づく係数ｃ4 を保持するもので
あり、記憶部９はノイズ評価部１１からの微分処理デー
タに基づく係数ｃ4 を保持するものである。
【０１３５】比較部１０は記憶部８および記憶部９に記
憶されたデータを比較して両者の乖離の大小を比較する
ものであり、比較結果として得られる乖離の大小からカ
オスであるのか、１／ｆ様ノイズであるのかを判定する
ものである。出力部４は比較部１０の比較結果と、ノイ
ズ評価部１１のノイズ量推定結果を出力するものであ
る。
【０１３６】このような構成において、計測器１によ
り、計測された物理量はアナログ信号としてＡ／Ｄ変換
器２に入力される。この信号はＡ／Ｄ変換器２によって
ディジタル信号に変換され、信号処理部３に入力され
る。信号処理部３は相関次元計算部５およびノイズ評価
部６を有しており、信号処理部３に入力されたディジタ
ル信号は、以下に説明する所定の処理を施して、結果を
ディスプレイまたはプリンタなどの出力部５に出力す
る。
【０１３７】信号処理部３に入力されたディジタル信号
は相関次元計算部５および微分処理部７に入力され、こ
こで一旦、それぞれの内部の入力データ保持用レジスタ
に保管される。そして、微分処理部７では自己の入力デ
ータ保持用レジスタに保管されたデータを読み出して微
分処理を行い、微分処理データとする。また、自己の入
力データ保持用レジスタに保管されたデータを読み出し
て相関次元計算部５では図８、図９に示す処理を施こ
し、また、微分処理部７での微分処理データを用いて相
関次元計算部５では図８、図９に示す処理を施こし、そ
れぞれｍ‐Ｄ曲線のデータとして得る。その結果をノイ
ズ評価部１１に渡す。
【０１３８】すなわち、相関次元計算部５はＡ／Ｄ変換
器２から入力されたデータを、方やそのまま図８、図９
に示す処理を施し、方や微分処理部７に与えて微分処理
されたものを、図８、図９に示す処理を施し、そして、
この処理の結果として得られる埋め込み次元ｍの値と、
この値に対応する“Ｄ”の値（相関次元の値）をノイズ
評価部１１に渡す。
【０１３９】具体的には次のようにして行う。相関次元
計算部５内にはデータの一時保持用にｎ個のレジスタｘ
［ｉ］ ｜ｉ＝１，…，ｎがあり、また、微分処理部７
内にもデータの一時保持用のｎ個のレジスタｙ［ｉ］
｜ｉ＝１，…，ｎと微分結果を保存するレジスタｘ＿
［ｉ］がある。
【０１４０】Ａ／Ｄ変換器２を介して与えられた測定器
１からの入力データは、相関次元計算部５内の入力デー
タ保持用レジスタｘ［ｉ］および微分処理部７内の入力
データ保持用レジスタｙ［ｉ］ ｜ｉ＝１，…，ｎにそ
れぞれ格納される。そして、相関次元計算部５内の入力
データ保持用レジスタｘ［ｉ］に格納されたデータに対
して相関次元計算部５は図８および図９に示す処理を施
こす。そして、この処理の結果として得られる埋め込み
次元ｍの値と、この値に対応する“Ｄ”の値（相関次元
の値）をノイズ評価部１１に出力する。
【０１４１】これによりノイズ評価部１１には非微分処
理データに基づくｍ‐Ｄ曲線と、微分処理データに基づ
くｍ‐Ｄ曲線の２種のデータが揃うことになる。
【０１４２】ノイズ評価部１１ではこれらのデータを元
に、例えば、実施例１のｃ4 が求められ、記憶部８，９
に格納する。すなわち、ノイズ評価部１１では受け取っ
たデータに対して、式(6) に基づく計算処理を実施して
ｃ4 を求め、これより、ノイズ量の評価を行う。
【０１４３】つまり、ノイズ評価部１１では図１０に示
すように、まず、ｍ‐Ｄ曲線に対して、最小自乗法によ
って式(6) の関数をフィッティングし（Ｓ６１１）、各
係数ｃ1 ，〜ｃ4 を求める（Ｓ６１２）。係数ｃ1 ，〜
ｃ4 が求められたならば、ステップＳ６１３に移る。こ
のステップＳ６１３では既知の系におけるノイズの分散
または標準偏差と係数ｃ4 の関係からノイズ量を推定
し、係数ｃ1 によりカオス成分の相関次元を推定する。
求められたｃ4 は記憶部８に記憶される。
【０１４４】他方、微分処理部７の入力データ保持用レ
ジスタｙ［ｉ］に格納されたデータには図２２に示す処
理フローのステップＳ１９１からステップＳ１９３まで
の処理が施される。すなわち、微分処理部７では入力デ
ータ保持用レジスタｙ［ｉ］に格納されたデータを読出
し（Ｓ１９１）、これに対して微分ｄＸ［ｉ］／ｄｉが
計算され（Ｓ１９２）、さらに結果が微分処理部７内の
微分結果保持用のレジスタｘ＿［ｉ］に格納される。
【０１４５】つぎに微分処理部７内の微分結果保持用の
レジスタｘ＿［ｉ］に格納された微分結果が相関次元計
算部５によって読み出され、微分を施していない元のデ
ータに対して施されたものと同じ処理である図８、図９
に示す処理が相関次元計算部５により成され、そして、
この処理の結果として得られる埋め込み次元ｍの値と、
この値に対応する“Ｄ”の値（相関次元の値）をノイズ
評価部１１に出力する。
【０１４６】ノイズ評価部１１では受け取ったデータに
対して、式(6) に基づく計算処理を実施してｃ4 を求
め、これより、ノイズ量の評価を行う。
【０１４７】すなわち、ノイズ評価部１１では図１０に
示すように、まず、ｍ‐Ｄ曲線に対して、最小自乗法に
よって式(6) の関数をフィッティングし（Ｓ６１１）、
各係数ｃ1 ，〜ｃ4 を求める（Ｓ６１２）。係数ｃ1 ，
〜ｃ4 が求められたならば、ステップＳ６１３に移る。
このステップＳ６１３では既知の系におけるノイズの分
散または標準偏差と係数ｃ4 の関係からノイズ量を推定
し、係数ｃ1 によりカオス成分の相関次元を推定する。
【０１４８】そして、その処理結果が上記記憶部９に格
納される。
【０１４９】比較部１０では記憶部８と記憶部９の内容
が比較され、１／ｆ様のノイズの定量を行う。ここで比
較結果の乖離が大きければ、１／ｆ様のノイズ、小さけ
ればカオスと判断される。
【０１５０】比較部１０での判断結果およびノイズ評価
部１１でのノイズ量推定結果はそれぞれ出力部４に出力
（表示あるいはプリント）される。
【０１５１】なお、上記でノイズ評価部１１の処理は実
施例１に対応してｃ4 を求めるものであったが、１次回
帰の傾斜（実施例２のケース）、ｍ‐Ｄ平面上の曲線の
微分値（実施例３のケース）を求めるものであっても良
い。
【０１５２】以上はカオス的挙動を示す信号と１／ｆノ
イズの識別、そして１／ｆノイズのノイズ量評定を可能
にする評価装置の実施例を述べた。この他にも１／ｆ位
相ノイズがあるので、これを対象とした評価装置の実施
例を実施例５として説明する。
【０１５３】（実施例５）実施例５は１／ｆ位相ノイズ
であるか、カオス的信号であるかを識別すると共にその
ノイズ量の評価をする実施例である。
【０１５４】相関を持つノイズとカオスを識別する方法
の一つに、位相ノイズを与えた信号と比較する方法があ
る。これを電子計算機上で実現するには、原信号のフー
リエ変換した周波数成分から、逆フーリエ変換を用い、
さらに位相をランダマイズした時系列を合成し、この時
系列について実施例１における図７の構成で行ったと同
様な手続きにより信号の評価を行うようにすれば良い。
【０１５５】すなわち、フーリエ変換Ｆk は原信号Ｘn
に対して
【数８】 で与えられる。次に、位相雑音を含ませた合成信号（合
成データ）ｘｉは逆フーリエ変換を用いて
【数９】 と表わすことができ、この式(10)を使用することによ
り、位相雑音を含ませた合成信号（合成データ）ｘｉを
求めることができる。
【０１５６】ここで、φRND は位相雑音で、ガウス分布
のものでも、一様分布のものであっても良い。
【０１５７】１／ｆ位相ノイズにおいては、原信号と位
相をランダマイズしたものの間での乖離はほとんどない
のに対して、カオス時系列の場合は両者の乖離が大き
い。従って、この方法は１／ｆ位相ノイズ中のカオス成
分を定量化するのに適した方法である。
【０１５８】カオス的信号と１／ｆ位相ノイズについて
原信号と位相ランダマイズした逆フーリエ信号のｍに対
するＤ（ｍ）をプロットした特性図（ｍ‐Ｄ曲線）を図
２２、図２３に示す。
【０１５９】カオスの原信号は図２３に黒丸印で示した
ように、有限の相関次元を持つ。これに対して、位相を
ランダマイズした信号は同じ相関を持たないため、傾斜
の値は埋め込み次元ｍの増加に対して、傾斜の値は飽和
しない。
【０１６０】一方、１／ｆ位相ノイズの場合は、原信号
および位相をランダマイズした逆フーリエ信号に対する
埋め込み次元ｍ‐傾斜のプロットは、ほぼ同様の振る舞
いをする（図２４）。
【０１６１】従って、原信号および位相をランダマイズ
した信号の相関積分の傾斜の埋め込み次元に対する振る
舞いについて、評価関数により評価した結果を比較する
ことにより、カオス信号の中に含まれる１／ｆ位相ノイ
ズのような相関を持つノイズ成分を評価できる。
【０１６２】以下、この実施例を図２５を参照して説明
する。
【０１６３】図２５はカオス的信号と１／ｆ位相ノイズ
の識別とノイズ量の評定を行うことができる信号処理部
３Ｂの構成を示すブロック図であり、図に示すようにこ
の信号処理部３Ｂは相関次元計算部５、位相処理部１
２、ノイズ評価部１３、記憶部１４、記憶部１５、比較
部１６から構成されている。
【０１６４】これらのうち、相関次元計算部５は、内部
に複数の入力データ保持用レジスタを有しており、Ａ／
Ｄ変換器２を介して入力されたデータを順にこの入力デ
ータ保持用レジスタに一時保存すると共に、これらレジ
スタに保存されたデータ（非位相処理データ）について
図８、図９に示す処理を行うと共に、その処理結果をノ
イズ評価部１３に渡す機能の他、位相処理部１２にて位
相ランダマイズ処理された結果（位相処理データ）につ
いても、図８、図９に示す処理を行って、その処理結果
をノイズ評価部１３に渡す機能を有する。
【０１６５】位相処理部１２は、Ａ／Ｄ変換器２を介し
て入力されたデータについて位相ランダマイズ処理をす
る装置であり、この位相処理部１２も内部に複数の入力
データ保持用レジスタを有している他、位相処理結果保
持用のレジスタをも有している。位相処理部１２はＡ／
Ｄ変換器２を介して入力されたデータを順にこれらの入
力データ保持用レジスタに一時保存すると共に、これら
レジスタに保存されたデータを順に読出して位相ランダ
マイズ処理し、その結果を位相処理結果保持用のレジス
タに保持すると云った機能を有するものである。
【０１６６】ノイズ評価部１３は相関次元計算部５より
得られる非位相処理データに基づくｍ‐Ｄ曲線からノイ
ズ量の推定を行うと共に、位相処理済みのデータに基づ
くｍ‐Ｄ曲線からノイズ量の推定を行うものであり、こ
こでのノイズ量の推定は例えば、式(6) に基づく図１０
に示す如き処理により実施する構成としてあり、係数ｃ
4 を求める。また、既知の系におけるノイズの分散また
は標準偏差と係数ｃ4の関係からノイズ量を推定し、係
数ｃ1 によりカオス成分の相関次元を推定する機能も有
する。
【０１６７】記憶部１４および記憶部１５はデータを保
持するためのものであり、記憶部１４はノイズ評価部１
３からの非位相処理データに基づく係数ｃ4 を保持する
ものであり、記憶部１５はノイズ評価部１３からの位相
処理済みデータに基づく係数ｃ4 を保持するものであ
る。
【０１６８】比較部１６は記憶部１４および記憶部１５
に記憶されたデータを比較して両者の乖離の大小を比較
するものであり、比較結果として得られる乖離の大小か
らカオスであるのか、１／ｆ様ノイズであるのかを判定
するものである。判定結果は出力部４に出力される。出
力部４は比較部１６の比較結果と、ノイズ評価部１３の
ノイズ量推定結果を出力するものである。
【０１６９】このような構成において、計測器１で計測
され、Ａ／Ｄ変換器２でディジタル変換された出力は、
信号処理部３Ｂに与えられ、この信号処理部３Ｂ内にお
ける相関次元計算部５内の入力データ保持用レジスタｘ
［ｉ］および位相処理部１２内の入力データ保持用レジ
スタｙ［ｉ］にそれぞれ格納される。
【０１７０】相関次元計算部５では自己の入力データ保
持用レジスタｘ［ｉ］に格納されたデータについて、図
８、図９に示す処理を施こし、それぞれｍ‐Ｄ曲線のデ
ータとして得る。そして、この得られたデータ（非位相
処理データに基づくｍ‐Ｄ曲線のデータ）をノイズ評価
部１３に送る。
【０１７１】ノイズ評価部１３では例えば、実施例１の
ｃ4 が計算され、記憶部１４に格納される。
【０１７２】他方、位相処理部１２では自己の入力デー
タ保持用レジスタｙ［ｉ］に格納されたデータに対し
て、図２６に示す処理を施する。
【０１７３】すなわち、位相処理部１２では自己の入力
データ保持用レジスタｙ［ｉ］からデータを読み出し
（Ｓ２３０）、これをフーリエ変換してスペクトル成分
Ｆ（ｋ）の分布を求める（Ｓ２３１）。
【０１７４】つぎに位相にガウシアン・ノイズφRND を
加えて逆フーリエ変換する（Ｓ２３２）。この結果は、
位相処理部１２の持つ位相処理済みデータ保持用のレジ
スタｙ´［ｉ］に格納される。
【０１７５】そして、位相処理済みデータ保持用のレジ
スタｙ´［ｉ］に保管されたデータは相関次元計算部５
によって読み出され、位相にノイズが加えられていない
データに対する先の処理の場合と同様に、図８、図９に
示す処理を施し、そして、この処理の結果として得られ
る埋め込み次元ｍの値とこの値に対応する“Ｄ”の値
（相関次元の値）をノイズ評価部１３に渡す。
【０１７６】これによりノイズ評価部１３には非位相処
理データに基づくｍ‐Ｄ曲線と、位相処理データに基づ
くｍ‐Ｄ曲線の２種のデータが揃うことになる。
【０１７７】ノイズ評価部１３ではこれら２種のｍ‐Ｄ
曲線のデータそれぞれを元にして例えば、実施例１のｃ
4 が求められ、記憶部１４，１５に格納する。
【０１７８】つまり、ノイズ評価部１３では図１０に示
すように、まず、非位相処理データに基づくｍ‐Ｄ曲線
に対して、最小自乗法によって式(6) の関数をフィッテ
ィングし（Ｓ６１１）、各係数ｃ1 ，〜ｃ4 を求める
（Ｓ６１２）。係数ｃ1 ，〜ｃ4 が求められたならば、
ステップＳ６１３に移る。このステップＳ６１３では既
知の系におけるノイズの分散または標準偏差と係数ｃ4
の関係からノイズ量を推定し、係数ｃ1 によりカオス成
分の相関次元を推定する。求められたｃ4 は記憶部１４
に記憶する。
【０１７９】同様に位相処理データに基づくｍ‐Ｄ曲線
に対して、最小自乗法によって式(6) の関数をフィッテ
ィングし（Ｓ６１１）、各係数ｃ1 ，〜ｃ4 を求める
（Ｓ６１２）。係数ｃ1 ，〜ｃ4 が求められたならば、
ステップＳ６１３に移る。このステップＳ６１３では既
知の系におけるノイズの分散または標準偏差と係数ｃ4
の関係からノイズ量を推定し、係数ｃ1 によりカオス成
分の相関次元を推定する。求められたｃ4 は記憶部１５
に記憶する。
【０１８０】比較部１６では記憶部１４、記憶部１５に
格納されたデータを比較し、その差が大の時はカオス、
小の時は１／ｆ様のノイズと判定し、結果を出力部４に
出力する。
【０１８１】比較部１０での判断結果およびノイズ評価
部１３でのノイズ量推定結果はそれぞれ出力部４に出力
（表示あるいはプリント）される。
【０１８２】なお、上記した例では、ノイズ評価部１３
の処理を実施例１に対応したものとして説明したが、実
施例２〜４に対応するものであっても良い。また、位相
処理部１２での処理はフーリエ変換以外にもｃｈｉｐ‐
Ｚ変換のような離散的直交変換が適用できる。
【０１８３】以上はカオス的信号と１／ｆ位相ノイズの
識別、そして１／ｆ位相ノイズのノイズ量評定を可能に
する評価装置の実施例を述べた。
【０１８４】しかし、ノイズは単一種類で構成されるも
のではなく、複合するのが普通であるから、カオス的信
号とノイズの識別、そしてノイズについては各種別毎の
ノイズ量の評定を可能にすることが必要である。そこで
これを可能にする実施例をつぎに実施例６として説明す
る。
【０１８５】（実施例６）実施例６では、測定されたデ
ータに未知の種類のノイズおよびカオス性の挙動が含ま
れる場合に、それらを区別して評価できる装置を提供す
る。
【０１８６】図２７に実施例６の構成例を示す。
【０１８７】図において２Ａは信号入力部、５は相関次
元計算部、６Ａはノイズ評価部、１６は比較部、１７は
微分計算部、１８および１９は記憶部、４は出力部であ
る。
【０１８８】信号入力部２Ａは評価対象の信号を入力す
るためのもので、評価対象の信号を離散化して時系列Ｘ
［ｉ］として与えるものである。
【０１８９】相関次元計算部５はこの信号入力部２Ａか
ら与えられる離散化して時系列Ｘ［ｉ］となった評価対
象の信号（データ）について図８、図９に示す処理を行
うと共に、その処理結果をノイズ評価部６Ａに渡す機能
の他、微分処理部１７にて微分処理された結果（微分処
理データ）についても、図８、図９に示す処理を行っ
て、その処理結果をノイズ評価部６Ａに渡す機能を有す
る。
【０１９０】微分処理部１７は、信号入力部２Ａより入
力された評価対象の信号（データ）について微分演算処
理してその結果を相関次元計算部５に与える装置であ
る。
【０１９１】ノイズ評価部６Ａは相関次元計算部５より
得られる非微分処理データに基づくｍ‐Ｄ曲線からノイ
ズ量の推定を行うと共に、微分処理のデータに基づくｍ
‐Ｄ曲線からノイズ量の推定を行うものであり、ここで
のノイズ量の推定は例えば、式(6) に基づく図１０に示
す如き処理により実施する構成としてあり、係数ｃ1お
よび係数ｃ4 を求める。また、既知の系におけるノイズ
の分散または標準偏差と係数ｃ4 の関係からノイズ量を
推定し、係数ｃ1 によりカオス成分の相関次元を推定す
る機能も有する。
【０１９２】記憶部１８および記憶部１９はデータを保
持するためのものであり、記憶部１８はノイズ評価部６
Ａからの非微分処理データに基づく係数ｃ4 を保持する
ものであり、記憶部１９はノイズ評価部６Ａからの微分
処理データに基づく係数ｃ4を保持するものである。
【０１９３】比較部１６は記憶部１８および記憶部１９
に記憶されたデータを比較して両者の乖離の大小を比較
するものであり、比較結果として得られる乖離の大小か
らカオスであるのか、１／ｆ様ノイズであるのかを判定
するものである。
【０１９４】出力部４は比較部１６の比較結果と、ノイ
ズ評価部６Ａのノイズ量推定結果を出力するものであ
る。
【０１９５】つぎにこのような構成の本装置の動作を説
明する。
【０１９６】信号入力部２Ａから離散化された時系列Ｘ
［ｉ］を相関次元計算部５と微分処理部１７に入力す
る。相関次元計算部５では実施例１に示した方法により
相関次元を計算し、式(6) への回帰を用いて係数ｃ1 ，
ｃ4 を計算する。このとき、ｃ4 の値は主にガウスノイ
ズの寄与である。また、このときのｃ1 ，ｃ4 の値は微
分信号との比較のために、記憶部１８に保持する。
【０１９７】微分処理部１７に入力されたデータＸ
［ｉ］は実施例５と同様な方法で微分処理し（ｄＸ
［ｉ］／ｄｉ）、求められた微分値を相関次元計算部５
に渡す。相関次元計算部５ではこの微分値に対して上述
同様、実施例１に示した方法により相関次元を計算し、
式(6) への回帰を用いて係数ｃ1 ，ｃ4 を計算する。こ
の結果を、記憶部１９に保持する。
【０１９８】つぎに比較部１６により記憶部１８に保持
した結果と、記憶部１９に保持した結果と比較を行う。
【０１９９】比較の結果、両者の間に乖離がなければ、
入力信号の時系列はガウスノイズのみを含むカオス時系
列と判定でき、その自由度はｃ1 の値であると推定でき
る。一方、両者の間に乖離があれば、入力信号の時系列
は１／ｆ様のノイズを含むと判断でき、その自由度はｃ
4 の値であると推定できる。
【０２００】従って、比較部１６はその比較の結果、両
者の間に乖離がなければ、入力信号の時系列はガウスノ
イズのみを含むカオス時系列と判定し、その自由度はｃ
1 の値であると推定する。一方、両者の間に乖離があれ
ば、比較部１６は入力信号の時系列は１／ｆ様のノイズ
を含むと判断する。記憶部１８に保持されているｃ4の
値の差は１／ｆノイズのパワーに相関を持つ。
【０２０１】そして、出力部４には判断結果とノイズ量
推定値が出力される。
【０２０２】なお、実施例１から実施例３、及び実施例
４、５の組み合わせにより、カオス時系列中の、ガウシ
アンノイズ、１／ｆノイズをそれぞれ独立に評価する装
置が得られる。
【０２０３】通常の不規則時系列においては、ガウシア
ンノイズ、１／ｆノイズに代表されるスケ―ル則が成立
する不規則過程、決定論的力学に支配されているカオス
が混然となっている状況が考えられる。本発明では実施
例１，２，３のいずれか一つと、実施例４および実施例
５の各手法を組み合わせることにより、前述の３種類の
不規則過程をそれぞれ評価することができる。カオス過
程との量論的乖離はガウシアンノイズに起因するもので
ある。実施例４の方法によりｍ‐Ｄ曲線での原信号と微
分信号との乖離は１／ｆノイズによるものであり、実施
例５の方法によりカオス性を定量化できる。
【０２０４】以上、詳述したように、本発明は以下のよ
うに構成できる。
【０２０５】［１］ 離散データ列のカオス性を評価す
るためのカオス評価装置において、前記離散データ列に
ついて埋め込み次元に対する相関次元を求める相関次元
計算手段と、前記埋め込み次元と前記相関次元との関係
に基づいて前記離散データ列に含まれるノイズを評価す
るノイズ評価手段とから構成する。
【０２０６】［２］ 前記［１］の構成において、前記
離散データ列について微分処理を施す微分処理手段をさ
らに有し、前記離散データ列について相関次元計算手段
による処理とノイズ評価手段による処理とを経て得られ
た結果と、前記微分処理手段からの出力について相関次
元計算手段による処理とノイズ評価手段による処理とを
経て得られた結果を比較する比較手段とを設けて構成す
る。
【０２０７】［３］ 前記［１］の構成において、前記
離散データ列について位相雑音を加える位相処理手段を
さらに有し、前記離散データ列について相関次元計算手
段による処理とノイズ評価手段による処理とを経て得ら
れた結果と、前記位相処理手段からの出力について相関
次元計算手段による処理とノイズ評価手段による処理と
を経て得られた結果を比較する比較手段とを設けて構成
する。
【０２０８】［４］ 前記［３］の構成を採用する場合
において、前記位相処理手段は前記離散データ列に対し
て直交変換を施す直交変換手段と、この直交変換手段か
らの出力を受けて位相雑音を加える位相雑音付加手段
と、この位相雑音付加手段からの出力に対して逆直交変
換を施す逆直交変換手段とを設けて構成する。
【０２０９】［５］ 前記［１］から［４］のいずれか
の構成を採用する場合において、前記ノイズ評価手段は
前記埋め込み次元と前記相関次元との関係を表わす所定
の関数の係数を求める係数算出手段を設けて構成する。
【０２１０】［６］ 前記［５］の構成を採用する場合
において、前記関数は埋め込み次元が増加したときに一
定の値に収束する収束項を含むことを特徴とする。
【０２１１】［７］ 前記［１］から［４］のいずれか
の構成を採用する場合において、前記ノイズ評価手段
は、相関次元の埋め込み次元に関する微分を求める微分
計算手段を設けて構成する。
【０２１２】［８］ 前記［１］から［４］のいずれか
の構成を採用する場合において、前記ノイズ評価手段
は、前記埋め込み次元に対する前記相関次元の傾きを求
める傾き計算手段を設けて構成する。
【０２１３】［９］ 前記［８］の構成を採用する場合
において、前記傾き計算手段は、前記埋め込み次元と前
記相関次元との関係を表わす所定の関数の傾きを表わす
係数を求める係数算出手段を設けて構成する。
【０２１４】［１０］ 前記［９］の構成を採用する場
合において、前記関数は埋め込み次元が増加したときに
一定の値に収束する収束項を含むようにする。
【０２１５】［１１］ 前記［８］の構成を採用する場
合において、前記傾き計算手段は、相関次元の埋め込み
次元に関する微分を求める微分計算手段を設けて構成す
る。
【０２１６】上記［１］から［１１］によれば、離散デ
ータ列のカオス性を定量的に評価できるカオス票か装置
を提供できる。特に上記［１］から［４］によれば、１
／ｆノイズの性質を有するノイズの評価が可能となる。
また、［５］によれば離散データの全体の挙動に関する
性質を計算するので、精度が向上する。また、上記
［６］によれば、系を規定するカオス系の有限自由度の
値を収束項によって推定することができる。さらに、
［７］によれば、近接した離散データ列間の相関飲みに
着目しているので、計算速度が速くなる。また、［９］
によれば、離散データの全体の挙動に関する性質を計算
するので、精度が向上する。また、［１０］によれば、
収束項によってカオス系の有限自由度を推定できると共
に、傾きを求めることによってノイズに関わる成分を求
めることができる。また、［１１］によれば、近接した
離散データ列間の相関のみに着目しているので、計算速
度が速くなる。
【０２１７】
【発明の効果】以上詳述したように、本発明によれば、
観測された時系列の中のカオス性と、ノイズ性を定量的
に評価可能な装置を提供することができる。そして、本
発明により、カオス時系列中のノイズ量を把握し、測定
系の精度、ノイズ量、予測問題の精度保証、制御の精度
保証、またはノイズの低減を図るための対策等に対する
指標を提供することができるようになる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の実施例を説明するための図であって、
レスラー方程式のみを使用して、生成されたカオス挙動
を示すデータの例を示す図。
【図２】本発明の実施例を説明するための図であって、
式(3) を用いて生成されたガウシアンノイズΔを含むデ
ータの例を示す図。
【図３】本発明の実施例を説明するための図であって、
埋め込み次元ｍに対して相関次元Ｄをプロットした例を
示す図。
【図４】本発明の実施例を説明するための図であって、
ガウシアンノイズを含まないカオス的変動を呈する信号
のｍ‐Ｄ曲線の例を示す図。
【図５】本発明の実施例を説明するための図であって、
ガウシアンノイズを含む信号のｍ‐Ｄ曲線の例を示す
図。
【図６】本発明の実施例を説明するための図であって、
カオス的変動を呈する信号やデータに、ガウシアンノイ
ズの標準偏差（ＳＤ）を変えたときの相関次元Ｄを埋め
込み次元ｍに対してプロットした図。
【図７】本発明の実施例を説明するための図であって、
実施例１におけるハードウェア構成を示すブロック図。
【図８】本発明の実施例を説明するための図であって、
実施例１における相関次元計算部５での処理内容を示す
フローチャート。
【図９】本発明の実施例を説明するための図であって、
実施例１における相関次元計算部５での処理内容を示す
フローチャート。
【図１０】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例１におけるノイズ評価部６での処理内容を示
すフローチャート。
【図１１】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、図６の各々の曲線を回帰した場合の図。
【図１２】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、式(5) で図６の各々の曲線を回帰し（図１１）、式
(6) のｃ1 −ｃ4 の係数を求めて得られる図。
【図１３】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、図６を式(7) で回帰した様子を示す図。
【図１４】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、図６を式(7) で回帰した場合の１次関数式ｙにおけ
る傾斜の値ｃ1 とノイズの標準偏差（ＳＤ）の相関を示
す図。
【図１５】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例２におけるノイズ評価部６の処理の例を示す
フローチャート。
【図１６】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、微分値を利用する実施例３の説明をするための図。
【図１７】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、微分値を利用する実施例３の説明をするための図。
【図１８】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例３におけるノイズ評価部６の処理の例を示す
フローチャート。
【図１９】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例４の説明をするためにカオス的信号につい
て、原信号と微分信号のｍに対するＤ（ｍ）をプロット
した様子を示す図。
【図２０】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例４の説明をするために１／ｆノイズについ
て、原信号と微分信号のｍに対するＤ（ｍ）をプロット
した様子を示す図。
【図２１】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、１／ｆノイズを評価するための実施例４の構成を示
すブロック図。
【図２２】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例５の説明をするためにカオス的信号と１／ｆ
位相ノイズについて原信号と位相ランダマイズした逆フ
ーリエ信号のｍに対するＤ（ｍ）をプロットした特性図
（ｍ‐Ｄ曲線）を示した図。
【図２３】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例５の説明をするためにカオス的信号と１／ｆ
位相ノイズについて原信号と位相ランダマイズした逆フ
ーリエ信号のｍに対するＤ（ｍ）をプロットした特性図
（ｍ‐Ｄ曲線）を示した図。
【図２４】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例５の説明をするために１／ｆ位相ノイズにつ
いて原信号と位相ランダマイズした逆フーリエ信号に対
する埋め込み次元ｍ‐傾斜のプロットした特性図（ｍ‐
Ｄ曲線）。
【図２５】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、カオス的信号と１／ｆ位相ノイズの識別とノイズ量
の評定を行うことができる実施例５の構成を示すブロッ
ク図。
【図２６】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例５における位相処理部１２の処理内容を示す
フローチャート。
【図２７】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、本発明の実施例６の構成例を示すブロック図。
【符号の説明】
１…計測器 ２…Ａ／Ｄ変換器 ２Ａ…信号入力部 ３，３Ａ，３Ｂ…信号処理部 ４…出力部 ５…相関次元計算部 ６，６Ａ，１１，１３…ノイズ評価部 ７，１７…微分計算部 ８，９，１４，１５，１８，１９…記憶部 １０，１６…比較部 １２…位相処理部。
【手続補正書】
【提出日】平成７年６月２８日
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００３８
【補正方法】変更
【補正内容】
【００３８】相関を持つノイズとカオスを識別するもう
一つの方法は、原信号と位相ノイズを与えた信号のｍ‐
Ｄプロットを比較することによって実現できる。例え
ば、原信号のフーリエ変換した周波数成分から逆フーリ
エ変換を用いさらに位相をランダマイズした時系列を合
成し、この時系列について信号の評価を行う手法であ
る。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００３９
【補正方法】変更
【補正内容】
【００３９】フーリエ変換Ｆk は原信号ｘn に対して
【数１】 で与えられる。次に、位相雑音を含ませた合成信号（合
成データ）ｘｉは逆フーリエ変換を用いて
【数２】 と表わすことができ、この式を使用することにより、位
相雑音を含ませた合成信号（合成データ）ｘｉを求める
ことができる。
【手続補正３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００４２
【補正方法】変更
【補正内容】
【００４２】
【実施例】本発明は相関次元を用いて、カオス的要素に
含まれるノイズ要素を定量的に評価するものであって、
埋め込み次元と相関次元の関係からノイズ要素を定量的
に評価するものであり、以下、本発明の実施例について
図面を参照して説明する。ノイズにはガウシアンノイズ
のように、スケール則のないもの、１／ｆノイズのよう
に、スケール則が成り立つものなどがあるが、これらの
ノイズ種別に対応する識別手法と、ノイズ量の評定手法
を説明する。
【手続補正４】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１２２
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１２２】以上、上述した各実施例は、いずれもカオ
ス的信号とガウスノイズの識別と、不規則信号に含まれ
るノイズ量の評定を可能にする実施例である。すなわ
ち、上述の実施例は相関積分の方法を主体としているも
のであるが、この手法では１／ｆノイズあるいは１／ｆ
2 ノイズ（以下、これらを１／ｆ様ノイズと呼ぶことに
する）のようにパワスペクトル分布スケ―ルの相関のあ
るノイズではカオスとの間に区別がつかない。通常、抵
抗体の揺らぎなどの電子のフォノンによる散乱や、熱運
動体による光の散乱など多岐にわたる自然現象において
１／ｆ揺らぎが存在することが知られている。従って、
このような１／ｆ様ノイズの識別法を実施例４として説
明する。
【手続補正５】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１２３
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１２３】（実施例４）実施例４はカオス的信号と１
／ｆ様ノイズの識別と、そのノイズ量の評定を可能にす
るもので、以下、実施例を説明する。ここでは対象が１
／ｆ様ノイズの場合に、先の実施例１の装置構成を適応
可能にするような信号の前処理の手段を持たせることを
特徴としている。
【手続補正６】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１２４
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１２４】すなわち、この実施例では信号処理部３Ａ
に、Ａ／Ｄ変換器２を介して与えられる測定器１の測定
データを微分する手続き要素を付加する。この微分要素
により微分された１／ｆ様ノイズと前述のガウシアン・
ノイズはｍ‐Ｄ平面上で同様の振る舞いを示す。
【手続補正７】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１２５
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１２５】これと原信号を図８および図９と同様の手
続きで処理したものを比較する。そして、両者の乖離が
大きいほど１／ｆ様ノイズを含んでいることになる。こ
れにより、カオス的な時系列中での１／ｆ様ノイズとカ
オスの区別が定量的にできる。
【手続補正８】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１２７
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１２７】図１９にカオス的信号について、原信号と
微分信号のｍに対するＤ（ｍ）をプロットしたものを、
また、図２０に１／ｆ様ノイズについて、原信号と微分
信号のｍに対するＤ（ｍ）をプロットしたものをそれぞ
れ示す。図２０に黒丸印で示したように、１／ｆ様ノイ
ズの原信号は有限の相関次元を持つ。これに対して、そ
れを微分した信号は相関を持たないため、傾斜の値は埋
め込み次元の増加に対して傾斜の値は飽和しない。
【手続補正９】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１２９
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１２９】従って、実施例１の装置構成図である図７
における計算処理部３を、図２１に示した如き構成に置
き換えることにより、カオス信号の中に含まれる１／ｆ
様ノイズのようなノイズ成分を評価できる。
【手続補正１０】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１５２
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１５２】以上はカオス的挙動を示す信号と１／ｆ様
ノイズの識別、そして、不規則時系列に含まれる１／ｆ
様ノイズのノイズ量評定を可能にする評価装置の実施例
を述べた。この他にも１／ｆノイズがあるので、これを
対象とした評価装置の実施例を実施例５として説明す
る。
【手続補正１１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１５３
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１５３】（実施例５）実施例５は１／ｆノイズであ
るか、カオス的信号であるかを識別すると共にそのノイ
ズ量の評価をする実施例である。
【手続補正１２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１５５
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１５５】すなわち、フーリエ変換Ｆk は原信号ｘn
に対して
【数３】 で与えられる。次に、位相雑音を含ませた合成信号（合
成データ）ｘｉは逆フーリエ変換を用いて
【数４】 と表わすことができ、この式(10)を使用することによ
り、位相雑音を含ませた合成信号（合成データ）ｘｉを
求めることができる。
【手続補正１３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１５７
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１５７】１／ｆノイズにおいては、原信号と位相を
ランダマイズしたものの間での乖離はほとんどないのに
対して、カオス時系列の場合は両者の乖離が大きい。従
って、この方法は１／ｆノイズ中のカオス成分を定量化
するのに適した方法である。
【手続補正１４】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１５８
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１５８】カオス的信号と１／ｆノイズについて原信
号と位相ランダマイズした逆フーリエ信号のｍに対する
Ｄ（ｍ）をプロットした特性図（ｍ‐Ｄ曲線）を図２
２、図２３に示す。
【手続補正１５】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１６０
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１６０】一方、１／ｆノイズの場合は、原信号およ
び位相をランダマイズした逆フーリエ信号に対する埋め
込み次元ｍ‐傾斜のプロットは、ほぼ同様の振る舞いを
する（図２４）。
【手続補正１６】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１６１
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１６１】従って、原信号および位相をランダマイズ
した信号の相関積分の傾斜の埋め込み次元に対する振る
舞いについて、評価関数により評価した結果を比較する
ことにより、カオス信号の中に含まれる１／ｆノイズの
ような相関を持つノイズ成分を評価できる。
【手続補正１７】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１６３
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１６３】図２５はカオス的信号と１／ｆノイズの識
別とノイズ量の評定を行うことができる信号処理部３Ｂ
の構成を示すブロック図であり、図に示すようにこの信
号処理部３Ｂは相関次元計算部５、位相処理部１２、ノ
イズ評価部１３、記憶部１４、記憶部１５、比較部１６
から構成されている。
【手続補正１８】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１８３
【補正方法】変更
【補正内容】
【０１８３】以上はカオス的信号と１／ｆノイズの識
別、そして１／ｆノイズのノイズ量評定を可能にする評
価装置の実施例を述べた。
【手続補正１９】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】図２２
【補正方法】変更
【補正内容】
【図２２】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例５の説明をするためにカオス的信号と１／ｆ
ノイズについて原信号と位相ランダマイズした逆フーリ
エ信号のｍに対するＤ（ｍ）をプロットした特性図（ｍ
‐Ｄ曲線）を示した図。
【手続補正２０】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】図２３
【補正方法】変更
【補正内容】
【図２３】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例５の説明をするためにカオス的信号と１／ｆ
ノイズについて原信号と位相ランダマイズした逆フーリ
エ信号のｍに対するＤ（ｍ）をプロットした特性図（ｍ
‐Ｄ曲線）を示した図。
【手続補正２１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】図２４
【補正方法】変更
【補正内容】
【図２４】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、実施例５の説明をするために１／ｆノイズについて
原信号と位相ランダマイズした逆フーリエ信号に対する
埋め込み次元ｍ‐傾斜のプロットした特性図（ｍ‐Ｄ曲
線）。
【手続補正２２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】図２５
【補正方法】変更
【補正内容】
【図２５】本発明の実施例を説明するための図であっ
て、カオス的信号と１／ｆノイズの識別とノイズ量の評
定を行うことができる実施例５の構成を示すブロック
図。
【手続補正２３】
【補正対象書類名】図面
【補正対象項目名】図２４
【補正方法】変更
【補正内容】
【図２４】
【手続補正２４】
【補正対象書類名】図面
【補正対象項目名】図２５
【補正方法】変更
【補正内容】
【図２５】

Claims (3)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 離散的データ列のカオス性を評価するた
    めのカオス評価装置において、 前記離散的データ列について埋込み次元に対する相関次
    元を求める相関次元計算手段と、 前記埋込み次元と相関次元との関係に基づいて所定の評
    価式により前記データ列に含まれるノイズを評価するノ
    イズ評価手段と、を有することを特徴とするカオス評価
    装置。
  2. 【請求項２】 離散的データ列のカオス性を評価するた
    めのカオス評価装置でにおいて、 前記離散的データ列について微分処理を施す微分処理手
    段と、 前記離散的データ列について埋込み次元に対する相関次
    元を求めると共に、また、前記微分処理手段により微分
    処理されて得られたデータ列について埋込み次元に対す
    る相関次元を求める相関次元計算手段と、 前記埋込み次元と相関次元との関係に基づいて所定の評
    価式により前記データ列に含まれるノイズを評価するノ
    イズ評価手段と、を有することを特徴とするカオス評価
    装置。
  3. 【請求項３】 離散的データ列のカオス性を評価するた
    めのカオス評価装置でにおいて、 前記離散的データ列について位相雑音を加える位相処理
    手段と、 前記離散的データ列について埋込み次元に対する相関次
    元を求めると共に、また、前記位相処理手段により処理
    されて得られたデータ列について埋込み次元に対する相
    関次元を求める相関次元計算手段と、 前記埋込み次元と相関次元との関係に基づいて所定の評
    価式により前記データ列に含まれるノイズを評価するノ
    イズ評価手段と、を有することを特徴とするカオス評価
    装置。
JP6165094A 1994-03-30 1994-03-30 カオス評価装置 Withdrawn JPH07270198A (ja)

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Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JPH09223122A (ja) * 1996-02-19 1997-08-26 Meidensha Corp 時系列データのカオス性の判別装置
DE19748312B4 (de) * 1996-10-31 2004-12-02 Kabushiki Kaisha Meidensha Vorrichtung zum Unterscheiden eines Zeitreihendatenwerts

Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JPH09223122A (ja) * 1996-02-19 1997-08-26 Meidensha Corp 時系列データのカオス性の判別装置
DE19748312B4 (de) * 1996-10-31 2004-12-02 Kabushiki Kaisha Meidensha Vorrichtung zum Unterscheiden eines Zeitreihendatenwerts

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