JPH07152919A

JPH07152919A - クラスタ採用グラフ

Info

Publication number: JPH07152919A
Application number: JP6227128A
Authority: JP
Inventors: Stephen C North; シー．ノーススチーヴン
Original assignee: American Telephone and Telegraph Co Inc; AT&T Corp
Current assignee: AT&T Corp
Priority date: 1993-09-24
Filing date: 1994-09-22
Publication date: 1995-06-16
Also published as: KR950009489A; CA2130418A1; EP0645738A2; EP0645738A3; US5450535A

Abstract

(57)【要約】【目的】クラスタを用いて有向グラフを自動的にレイ
アウトする複数の技法が開示される。【構成】この技法は、従来の技法によって生成された
ものよりも簡単に理解でき、より美しく、またよりコン
パクトなグラフの絵画的な表現を生成する。これらの技
法が有向グラフをレイアウトするための周知のＤＯＴシ
ステムに加えられるが、これら技法は、グラフの節点を
ランク付けするための反復的技法、クラスタ内の節点が
順序付けされるときサブクラスタを骨格に崩壊するラン
ク内の節点を順序付けするための技法、及びランク付け
及び順序付けされた後に節点を位置決めするための技法
を含むが、この最後の技法は、節点に対するｘ座標を、
事実上、元のグラフが“そのサイドを中心として回転さ
れた”ものである補助グラフを生成し、この補助グラフ
内の節点にランクを割り当てることによって得る。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は情報のグラフ表示、より
詳細には、有向グラフのグラフ表示に関する。

【０００２】

【従来の技術】有向グラフ（ダイグラフ）は集合の要素
間の階層或は非対称な関係を表現する一般的な方法であ
る。ダイグラフは、プロセス及び作業フロー、コンピュ
ータソフトウエアにおける制御フロー及びデータの依存
性、有限状態マシンの表現、及び他のアプリケーション
において自然に発生する。グラフのレイアウト或は製図
はそれらの構造を明らかにすることによってグラフを一
層理解し易いものにする。この理由のために、手書きの
レイアウトが文書化においてしばしば使用される。問題
は、手作業によるグラフのレイアウトは時間がかかり困
難なことである。このために、自動レイアウトプログラ
ムが発明されるようになった。ここでは、ユーザは、レ
イアウトジェネレータの入力に対する節点（node）及び
枝（edges）の仕様を作成する。この仕様はテキスト編
集プログラムを通じて入力することも、或はグラフ仕様
を他の形式のデータ、例えば、プログラムソースコード
から抽出するユティリティプログラムによって生成する
こともできる。この仕様は必ずしも幾何学的座標を含む
とは限らない。レイアウトシステムは、次に、この仕様
を読み、節点及び枝の座標を決定するアルゴリズムを実
行し、そして、グラフの製図の表現を含むグラフィック
ファイルを生成する。このファイルは表示のためにコン
ピュータ画面に伝送されたり、或は印刷のためにプリン
タに伝送されたり、或は将来の使用のために外部記憶デ
バイス上に保存される。

【０００３】しばしば、複合システムのグラフ内の節点
はサブグラフ（subgraphs）に分類される。我々は、用
語“クラスタ（cluster） ”を節点の塊の輪郭を与える
ためにボックスを使用してレイアウト内に描かれた節点
誘導サブグラフを指すのに使用する。このボックスはそ
のクラスタ内に節点を含まないこともある。我々は、ク
ラスタへの節点のクラス分けはユーザーによって、外部
ユティリティによって、或は他の適当な技法によって遂
行されるものと想定する。典型的には、このクラス分け
は、アプリケーション依存情報、或はグラフの構文特性
に依存する。この分解が反復的である場合は、クラスタ
は入れ子にされる。例えば、ソフトウエアエンジニアリ
ングにおけるフォーマルメソッド（formal methods）か
らのプロセス分解ダイアグラムはこのような構造を示す
ことがある。これに関しては、例えば、Harry S.Deluga
chによって、Journal of Systems Software １９、１９
９２年発行、ページ２０７−２２４に掲載の論文『概念
グラフによる多重ビューソフトウエア要件の指定（Spec
ifying Multiple-Viewed Software Requirements with
Conceptual Graphs）』；Robert W.Krut,Jr.及びDavid
P.Woodによる論文『プロセスモデリングの改善の評価
（Evaluation of Process Modeling Improvements）』
、技術報告ＣＭＵ／ＳＥＩ−９１−ＴＲ５、Software
Enginnering Institure、Carnegie-Mellon Universit
y、１９９１年４月発行を参照すること。

【０００４】この領域での最も重要な以前の研究は、Su
giyama及びMisue の“複合グラフ（compound graph）”
レイアウト技法であるが、これに関しては、IEEE Trans
actions on Systems,Man,and Cybernetics ＳＭＣ−１
２：４、１９９１年６月発行、ページ８７６−８９２に
掲載の論文『構造化された情報の視覚化：複合ダイグラ
フの自動製図（Visualization of Structural Informat
ion:Automatic Drawing of Compound Diraphs）』を参
照すること。これは、入れ子にされたクラスタにてダイ
グラフを描くための発見的アルゴリズムの収集である。
この技法は、単純な或は従来の節点から節点への枝のレ
イアウトばかりでなく、“複合”枝、つまり、図１１に
見られるような節点からクラスタ及びクラスタから節点
への枝のレイアウトをサポートする。Newbery 及びTich
y のEdgeシステムも率直な反復によって入れ子にされた
レイアウトを扱う。

【０００５】これに関しては、Frances Newbery Paulis
h 及びWalter F.Tichyによって、Software: Practice a
nd Experience 、２０：Ｓ１、１９９０年発行、ページ
１／６３−Ｓ１／８８に掲載の論文『EDGE: 拡張可能な
グラフエディタ（EDGE: An Extendible Graph Edito
r）』、及びこれもまたFrances Newbery Paulish によ
るPh.D学位論文『拡張可能なグラフエディタの設計（Th
e design of an extendible graph editor）』、Ph.D学
位論文、University of Karlsruhe 、１９９２年１月、
を参照すること。この研究からのグラフが図１３に示さ
れる。Messinger らは、Compoze システム内に反復レイ
アウト技法を実現する。ここでは、主要な目的は性能を
向上させることであり、従って、クラスタは内部データ
構造であり、出力内には明示的には描かれない。これに
関しては、E.B.Messinger 、L.A.Rowe及びR.H.Henry に
よって、IEEE Transactions on Systems,Man and Cyber
netics, ＳＭＣ−２１：１９９１年発行、ページ１−１
２に掲載の論文『大きな有向グラフの自動レイアウトの
ための分割統治アルゴリズム（A Divide-and-Conquer A
lgorithm for the Automatic Layout of Large Directe
d Graphs）』を参照すること。彼等の研究からのもので
ある図１２内においてはこれらの内部クラスタが目につ
く。Brown 及びGargiuloは我々とは幾分か異なる審美的
基準に従う入れ子にされたグラフレイアウトを作成する
技法について説明するが、彼等は、枝と置換し、これに
よってレイアウト内のクラスタを低減するために入れ子
にされたボックス表記法（nested box notation）を採
用する。これに関しては、P.Brown及びT.Gargiuloによ
って、Proc.IEEE Symposium on Assessment of Quality
Software Development Tools 、１９９２年５月発行、
ページ１６４−１７１に掲載の論文『有向グラフの対象
本位のレイアウト』を参照すること。

【０００６】有向グラフのレイアウトと回路（ＶＬＳＩ
或は基板レベル）のレイアウトとの間には類似性が存在
するが、但し、根本的な差異がある。いずれのケースに
おいても、ユーザは要素及びそれらの相互関係を指定す
る。システムは次に要素の配置及び相互接続の経路を決
定する。差異は、レイアウトの品質を測定する目的関数
のタイプにある。グラフの視覚化の目的は、グラフデー
タを人が理解することを助けることにある。回路レイア
ウトの場合は、目的は、致命的な経路遅延、パワー消
費、レイアウト面積等を低減することによって回路性能
を最適化することにある。これらは、結果として非常に
異なるしレイアウトスタイルへと導く。グラフレイアウ
ト及び関連するダイアグラムの読み易さに関してのこれ
以上の議論については、P.Eades 及びR.Tamassiaによっ
て、Brown University Dept.of Computer Science,Tech
nical Report、CS-09-89、１９８９年発行に掲載の論文
『グラフを描くためのアルゴリズム：注釈付参考文献
（Algorithms for Drawing G、raphs:An Annotated Bib
liography）』を参照すること。更新された版がPostSc
riptファイルとして入手できる（anoymous ftp to wilm
a.cs.brown.edu in pub/gdbiblio.ps.z.）。これに関し
ては、P.Eades 及びL.Xueminによって、Proc.IEEE Work
shop on Visual Language(VL'89)、１９８９年、ページ
１３−１７に掲載の論文『有向グラフをいかに描くか』
も参照すること。

【０００７】

【発明が解決しようとする課題】上の議論から明らかな
ように、人によって読まれることを目的とする有向グラ
フのレイアウトは、読み易さ、審美的な美しさ、及び表
現のコンパクトさを考慮にいれるべきである。ここに開
示される発明の一つの目的は、従来の技術によって提供
されるものよりもより読み易く、より美しく、よりコン
パクトな有向グラフを自動的に生成することにある。

【０００８】

【課題を解決するための手段】本発明のグラフを描く技
術は、局所的レイアウト決定と大域的レイアウト決定の
妥協点を探す。結果として、個々のクラスタの内部レイ
アウトは、これらが図面の残りの部分から離れて考慮さ
れた場合は適当であり、しかも、大域的なレイアウトも
また情報に富み、審美的にも美しいグラフが得られる。
我々の技法に従って作成されるグラフは、従って、Mess
inger によって指摘される：クラスタの大域的配置或は
それらの内部レイアウトのいずれかが、単純な反復の場
合のようにあまりにも早期に固定された場合は、結果と
して貧しいレイアウトとなるという問題を回避する。こ
こで開示される装置及び方法の他の目的及び長所は、当
業者においては、以下の図面及び詳細な説明から明白と
なるものである。

【０００９】

【実施例】好ましい実施例の詳細な説明以下の詳細な説明においては、最初に本発明が紹介さ
れ、この発明の周知のＤＯＴレイアウトシステムとの関
係が説明され、次に本発明において採用される新規の技
法が詳細に説明される。

【００１０】導入我々の発明は図面（１、８、１０、１５、１６、１７）
に示されるように、入れ子にされたクラスタを用いて有
向グラフを描く方法に関する。入力ファイルは、従来の
節点及び枝のリストに加えて、クラスタの入れ子構造
（及びオプションとしての形状、色、スタイル、及びフ
ォント選択などのようなグラフ表示仕様）を指定する。
出力レイアウト内においては、クラスタはサブグラスを
描くのに要求されるように重複の内或は入れ子にされた
ボックスの形式にて描かれる。

【００１１】以下の説明においては、我々は図１のグラ
フを基本的な例として使用する。１０１とマークされる
要素はグラフの節点である。要素１０３は枝であり（孤
とも呼ばれる）。１０５とマークされた一群の節点はラ
ンクである。要素１１１、１１３、及び１１５はクラス
タである。この例においては、クラスタ１１３はクラス
タ１１１の内側に入れ子にされる。図１８は図１のレイ
アウトに対する対応する入力ファイルである。我々のこ
の好ましい実施例はＤＯＴレイアウトシステムの修正で
ある。このシステムは１．グラフ表現及びファイルＩ／Ｏルーチン２．ランク割り当てアルゴリズム３．ミニクロスアルゴリズム４．最終座標割り当てアルゴリズム５．スプライン挿間アルゴリズム６．グラフィックコード発生器から構成される。

【００１２】我々はＤＯＴレイアウトシステムのこれら
の要素については以前に様々なところで説明してきた。
これらに関しては、E.R.Gansner 、E.Koutsofios、S.C.
North 、及びK.P.Voによって、IEEE Transactions on S
oftware Engineering 、１９：３、１９９３年３月発
行、ページ２１４−２３０に掲載の論文『有向グラフを
描くための技法（A Technique for Drawing Directed G
raphs）』；並びにS.C.North 及びK.P.Voによって、US
ENIX Winter Conference Proceedings（USENIX冬季会議
議事録）、１９９３年１月発行、ページ１−１１に掲載
の論文『辞書及び抜粋グラフに対する改良されたライブ
ラリ（Improved Libraries for Dictionaries and Abst
ract Graphs）』を参照すること。これら出版物はここ
に参考のために本発明の特許出願に編入される。以下の
説明においては、我々はＤＯＴの要素２、３、４がクラ
スタレイアウトを扱うためにいかに修正されたかを説明
する。

【００１３】データ構造我々の技法においては、節点、枝、及びグラフ並びにサ
ブグラフを表すために以下のデータ構造が使用される。
全てのレイアウト次元はインチ当たり７２ユニットの省
略時座標系を想定する。節点属性 width 節点形状のＸ座標次元 heigth 節点形状のＹ座標次元 rank 整数ランク割り当て（０は最小ランク、つま
り、レイアウトの頂上を示す。） order レイアウトの同一ランク内の節点に対して左
から右へのインデックス type REAL、VIRTUAL 、或はRANKLEDER （四節を参
照）枝属性 weigth レイアウト内の枝の相対コスト（省略時
１．０） minlen 最小長或は頭と尻との間のランク差（省
略時１） headport 頭節点センタに対する頭終点の座標 tailport 尻節点センタに対する尻終点の座標 to-virtual レイアウト内のこの枝を表す一時枝への
ポインタ to-original この枝がレイアウト内で表わす入力枝へ
のポインタ count この枝によって表される枝の数（省略時
１）

【００１４】グラフ／サブグラフ属性 nodesep 隣接する節点及び／或はクラスタ境界間の最
小問題 minrank 任意の節点の最小ランク番号 maxrnak 任意の節点の最大ランク番号 vlist ランク及びオーダによって指標付けされる節
点の二次元配列

【００１５】ランクの割り当て：図１、２及び３我々は、このレイアウトが狙いを持つ矢印に対するトッ
プからボトムへの方向を持つものと想定する。トップ・
ツウ・ボトム製図（top-to-bottom drawing）の入力及
び出力座標に関して標準のグラフィック変換を遂行する
ことによって別の方位、例えば、左から右への方向を持
つようにすることも考えられる。おそらくはクラスタを
含むグラフＧ内の節点の整数ランク割り当ては、主手続
きrank(G) 及び再帰手続きcompute-relative＿ranks(G)
によって計算される。この手続きは、任意の節点が入れ
子の任意のレベルにおいて最大でも一つのクラスタに属
することを想定する。要求される場合は、この条件が外
部予備処理ステップ（ここでは説明なし）によって強制
される。

【数１】

【００１６】我々は、break_cycles（ライン２）及びne
rwork_simplex （ライン１４）の説明は、これらルーチ
ンが既に説明されているために省略する。これに関して
は、E.R.Gansner 、S.C.North 、及びK.P.-Vo に１９９
０年８月に交付された『有向グラフを描くための方法
（A method for drawing directed graphs）』という名
称の合衆国特許第４，９５３，１０６号；及び前述のこ
こに本出願に参照のために編入されたGansner、Koutsof
ios、North、Voによる論文を参照すること。主要な考え
は、入力グラフ内の任意のサイクルが深さ優先探索にお
いて検出されたバック枝（back-edges）を逆転すること
によって破られることである。逆転された枝は、出力図
面内の矢の頭が元の方向を反映するように論理標識によ
ってマークされる。

【００１７】ライン６−１４内の手続き“compute_rela
tive_ranks”は、Ｇの節点に対するランク割り当てを決
定する。Ｇは主グラフ或はクラスタサブグラフであり得
る。我々は、Ｇ内の節点をそれらがＧのサブクラスタ内
に含まれる場合はbound （拘束されている）と分類し、
そうでない場合は、free（自由である）と分類する。出
口において、三つの条件が満足される。第一に、Ｇの個
々の自由の節点は、そのランク割り当てにてラベル付け
される。第二に、Ｇの各拘束された節点は、それが属す
る最もレベルの低いクラスタとの関連でそのランク割り
当てにてラベル付けされる（個々の全ての節点は入れ子
の任意のレベルにおいて一つ以上のクラスタには属さな
いものと想定される。必要であればこの条件は外部予備
処理によって強制される。）第三に、Ｇの内側の個々の
全てのクラスタは、その節点のＧの自由節点に対するラ
ンク割り当てオフセットにてラベル付けされる。このラ
ベル付けは節点の大域的ランク割り当てを決定すること
に注意する。我々はこの計算を全ての相対ランク割り当
てが知られる時点（ライン４）まで延期する。

【００１８】compute_relative_ranksは反復（ライン７
−８）によってＧのクラスタ内の節点の相対ランク割り
当てを発見することから開始する。この反復は葉クラス
タ（サブクラスタを含まないクラスタ）の所で終端す
る。相対ランク割り当てはＧの外側の任意の節点或は枝
には依存しない。レイアウトへのこの効果は、クラスタ
がコンパクトになり、これらのレイアウトがそれらの内
部階層を強調することを助けることである。拘束された
節点の相対ランク割り当ては固定されているため、各ク
ラスタＨはＨと関連する新たな一時的或は“仮想”ノー
ドｖ_H に崩壊される。Ｈの節点はＧから一時的に除去さ
れ、補助リスト内に格納される。全てのクラスタがこの
方法によってランク付け及び崩壊された後に、このアル
ゴリズムの残り（ライン１１−１５）はＧ内の自由節点
及び崩壊されたクラスタをランク付けする。Ｇの枝が走
査され、拘束された終点を持つ枝が図３に示される構造
によって一時的に置き換えられる。この構造は、関数pr
oxy_edges によって生成される。

【００１９】クラスタＨのランクは、節点ｖ_H のポート
として扱われる。ここでＨのｉ番目のランクは、ｖ_H の
中央からオフセットされた座標（ｉ、０）を持つポート
に翻訳される。ポートの扱いはその後、前述のGansner
、Koutsofios、North 、Voの方法に従い、その節点ポ
ートオフセットに従ってクラスタ内枝の最小長さが調節
される。図３においては、クラスタ３０１及び３０７は
仮想節点３１３及び３１５に崩壊される。クラスタ内枝
３０２は仮想節点３１７並びに仮想節点３１９及び３２
１によって置換される。枝３１９及び３２１のminlengt
h （最小長）を計算するために、我々は、端点３０３及
び３０９の局所ランクを調べる。ｒ＝rank(node 309)−
rank(node 303)＋１であるものとする。（定数１はこれ
らクラスタが置かれたときの尾から頭までの要求される
ランク差である。）一般的なケースにおいては、ｒ＞０
の場合は、minlen(edge 321)＝ｒ＋ｍ_O及びminlen(edge
319) ＝ｍ_O にセットする。そうでない場合は、minlen
(edge 319)＝−ｒ＋ｍ_O 及びminlen(edge 321)＝ｍ_O に
セットする。（典型的には、ｍ_O ＝０とされるが付属の
図面においては、ダイアグラム内の０−長枝を回避する
ためにｍ_O ＝１とされる。）要求される枝方向を支持す
るために、weight(node 319)＝３２１及びweight(edge
319)＝ｗ_O にセットする。我々の実現においては、ｗ_O
＝１０とされる。Ｈの崩壊（ライン１０）は、クラスタ
間枝は図示されるように置換されるために、有向枝のク
ラスタ間サイクルを生成することはできない（これは手
続きnetwork_simplex 内にエラーを発生される）。結果
として、クラスタ間枝が大域ランク番号が増加する方向
に常に方位されることがなくなるが、仮想枝重みの不均
衡が要求されるトップからボトムへの方位を強く支持す
る。

【００２０】ライン１６における“compute_relative_r
anks”からの出口の所で、（仮想節点によって表される
ように）自由な節点及びクラスタへのランクの割り当て
が完了する。次に、全ての節点の大域ランク割り当てが
ライン４から呼び出された手続き“compute_absolute_r
anks”を別個に横断することによって遂行される。ここ
では、クラスタＨ内の全ての自由な節点ｖが以下のよう
に調節される。 rank(v)＝rank(v_H)＋rank(v)

【００２１】従来の方法と比較してのこのランク割り当
て方法の長所は、クラスタが他のクラスタ及び自由節点
と垂直に重複することが許され、これでも、枝の意図さ
れたトップからダウンへの方向がおおむね追従されるこ
とである。これはクラスタがメタ節点に崩壊され、離散
された非重複ランク上に置かれる従来のアプローチより
も一層コンパクトなレイアウトを与える。従来の方法に
おいては、クラスタメタ節点のサイズが広く変動し、コ
ンパクト性が欠如するためにレイアウト面積の大きな損
失となり、また、枝が不必要に伸ばされ、レイアウトが
読み苦しくなる。

【００２２】我々は、この技法が図１の一例としてのグ
ラフにいかにして適用されるかを説明する。図２（ａ）
及び２（ｂ）はクラスタ１１３及び１１５の初期ランク
割り当てを示す。図２（ｃ）はクラスタ１１１のランク
割り当てを示すが、ここでは、クラスタ１１３が崩壊さ
れ、近似構造によって置換されている。最後に、図２
（ｄ）は主グラフのランク割り当てを示すが、ここで
は、１１１及び１１３が同様にして崩壊されている。
（図１に示されるような）１１１、１１３及び１１５内
の節点の大域ランク割り当ては、ｖ_H のオフセットを加
算することによって決定される。例えば、図２（ｄ）内
のrank(v₁₁₁)は１であり、節点ｄはクラスタ１１１内に
相対ランク３を持ち、従って、この大域ランク番号は１
＋３＝４となる。図７と図８、及び図９と１０の比較
は、クラスタランク割り当てのこの方法が従来の方法と
比較して、いかによりコンパクトで情報に富んだレイア
ウトを与えるかを実証する。

【００２３】ランク内の節点順序：図１、４このフェーズへの入力はおそらくはクラスタを含むラン
ク付けされたグラフＧである。入力ランク割り当ては、
２節のプログラム、或は任意の他の技法によって決定す
ることができる。出力は、ある与えられたランク内の節
点順序のラベル付けである（０は最も左位置）。この順
序付けは、クラスタを重複を持たない境界長方形にて描
くことを可能にする。必要な出力条件は以下の通りであ
る。つまり、Ｃ₀ 及びＣ₁ がクラスタであり、いずれも
他方の先祖でなく、また、ｕ₀ ∈Ｃ₀ 、ｕ₁ ∈Ｃ₁ であ
り、rank(u₀)＝rank(u₁)及びorder(u₀)＜order(u₁)であ
る場合は、ｖ₀ ∈Ｃ₀ 、ｖ₁ ∈Ｃ₁ もまた存在せず、ra
nk(v₀)＝rank(v₁)及びorder(v₀)＞order(v₁)であるとい
う条件である。非形式的には、Ｃ₀ はそれらが共通に持
つ全てのランク上でＣ₁ の左に来る。

【００２４】我々のアプローチはSugiyamaの反復発見的
アルゴリズムのＤＡＧバージョンの修正である。我々
は、この発見的アルゴリズムmincrossと呼ぶが、これ
は、これが枝の交差を回避するように節点を位置するた
めである。この発見的アルゴリズムの重要な修正は、ク
ラスタレイアウトのために必要とされるが、これは、出
力の順序に関するクラスタ境界ボックス条件が異なるク
ラスタ内の節点が節点の順序付けの調節の際に相互混合
されないことを含蓄するためである。この条件を満足さ
せるためには、個々のクラスタレベル毎に操作し、サブ
クラスタを我々が骨格と呼ぶ仮想節点連鎖に崩壊するこ
とが便利である。これは、ｕ₀ 、ｕ₁ 、ｖ₀、ｖ₁ が全
て同一ランク上にあるときにこの出力条件を保証する。
また骨格がランク間で交差しないことを保証するため
に、我々は、骨格枝に非常に高いカウントを割り当て
る。我々の実現においては、３２ビット整数算術が使用
できる場合はカウントは１０００にセットされ、できな
い場合は、１００にされる。この結果、骨格は、mincro
ssの際に相対位置を交換することができる。但し、実際
の使用においては、出力の順序内で交差することはな
い。これは、ｕ₀ 、ｕ₁ 、ｖ₀、ｖ₁ が二つの異なるラ
ンク上にある場合にこの出力条件を保証する。

【００２５】

【数２】

【００２６】注：キーポイントは、節点位置決め情報が
クラスタ内外の両方に流れることである。クラスタは、
包囲グラフ或は親クラスタ上でmincrossをランする前に
骨格に崩壊される。これらのクラスタの外側の節点の位
置の推定がそれらの内部節点の位置決めの前に知られ
る。これらの情報はクラスタの内部レイアウトをガイド
する。他方、クラスタＨ_i 内の節点の内部順序が知られ
た後の場合は、これはＨ_i の外側の順番に二様に影響を
与える。第一に、Ｈ_i の後に描かれた兄弟クラスタＨ_j
内の節点の順番が接続節点が存在する場合Ｈ_i によって
影響される。第二に、Ｈ_i の親内の自由ノードの順番が
全てのＨ_i が処理された後に更新される。これは、実施
において、Ｈ_i 内の節点、或は包囲グラフ内の自由ノー
ドを性急にフィックスすることに起因する多くのレイア
ウト変則を回避することを助ける。

【００２７】build_initial_layout(G) ：最初に、後方
を指す（rank(u) ＞rank(v) ）任意の枝ｅ＝（ｕ、ｖ）
が代表枝（ｖ、ｕ）によって置換される。第二に、rank
(v)−rank(u) ＞１である任意の枝（ｕ、ｖ）が仮想節
点及び枝の経路によって置換される。len ＝rank(v) ＝
rank(u) である場合は、経路は、（u、virtual₀、virtual
₁、...virtual_len-1、v）であり、ここで、rank(virtual
_i)＝rank(u) ＋ iである。第三に、ＧのvlistsがＧの各
ランク内の節点の数をカウントすることによって割り当
てられる。最後に、自由節点及び（クラスタが崩壊され
たとき生成された仮想節点である）ランクリーダの初期
順序が幅優先探索を使用してセットされる。これはＤＡ
Ｇにおいて以前から使用されている標準技法である。こ
れに関しては、E.R.Gansner 、S.C.North 、及びK.P.-V
o によって、Software: Practiceand Experience 、１
８：１１、１９８８年発行、ページ１０４７−１０６２
に掲載の論文『ＤＡＧ−有向グラフを描くプログラム
（DAG-A Program that DrawsDirected Graphs）』を参
照すること。

【００２８】この好ましい実現においては、vlist 配列
のメモリはＧ及び全てのその入れ子にされたクラスタに
よって共有される。rank(v) 及びorder(v)は大域的ラベ
ルであると見なされる。従って、二つの節点ｕ、ｖがあ
るクラスタのvlist 内で交換された場合、全てのvlists
内でこの更新を直ちに見ることができる。mincross(G、flag) ：これはＤＡＧ発見的アルゴリズムの
修正版である。修正は以下の通りである。Ｇ上でこのni
ncross発見的アルゴリズムの主ループをランする前に、
Ｇのvlist 内の各節点のclust ポインタがセットされ
る。ｖがタイプREALの自由節点である場合は、clust は
nil にセットされる。ｖがタイプREALの拘束節点である
場合は、clust はそれが属するＧのクラスタと関連す
る。ｖがRAKLEDERである場合は、clust はそれが代表す
る部分グラフにセットされる。ｖがVIRTUAL である時
は、clust はnil である。

【００２９】その後、flag引数の値がミニクロスの振る
舞いを制御する。ＤＡＧ及びＤＯＴは両方ともミニクロ
スによって枝の交差を回避するＧの節点の順調のための
探索プロセスにおいてｕとｖがグラフのvlist 内で交換
できるか否かをテストするために呼び出される述語関数
left２right(u、v)を持つ。我々は、left２right をflag
も因数として受理するように修正する。flagはＧの部分
グラフが骨格に崩壊された場合はTRUE（真）であり、こ
れらは他の節点と相対的に位置を変えることを許される
ことに注意する。そうでない場合は、flagはFALSE
（偽）であり、Ｇの部分グラフが拡張されており、Ｇの
自由節点のみが移動できることを示す。従って、flagが
FALSE の場合は、ｕ、ｖは、そのいずれかのclust ポイ
ンタがセットされている場合は交換することができな
い。VIRTUAL 節点のnil への設定によって、いかにして
仮想枝がクラスタ境界を横断してルートに移動すること
を許されるかに注意すること。

【００３０】collapse_cluster(H) ：Ｈの接点及び枝は
一時的に骨格によって置換される。Ｈの内側の二つの端
点を持つ任意の枝はこうして隠される。Ｈ内にちょうど
一つの端点を持つ枝ｅ＝（ｕ、ｖ）は以下のように再処
理される。ｖがＧ内において自由である場合は、mapclu
ster(G、v) ＝ｖに定義し、rankleader(v) である。既に
経路（mapcluster(G、u) 、mapcluster(G、v)）が存在し
ない場合は、経路Ｐがｅにセットされたto-original ポ
インタを用いて構成され、ｅのto-virtualポインタはＰ
内の最初の枝にセットされる。そうでない場合は、経路
Ｐが既に存在し、ｅの多重枝、或はmapclusterの同一値
を持つ他の端点（ｕ′、ｖ′）上の枝のいずれかによっ
て表される。このケースにおいては、ｅは、weight(e)
及びcount(e)によってＰの仮想枝に沿ってweight及びco
unt の値を増分することによってＰ内に併合される。

【００３１】expand_cluster(H) ：現在骨格によって表
されているＨがその自由節点及び部分クラスタの骨格に
よって置換される。この構成は、Ｈの節点及び枝を以下
のように取り付けることを伴い。Ｈの内側のクラスタが
崩壊される。Ｈの内側の長い枝が仮想節点連鎖に変換さ
れる。次に、Ｈのこれら節点の初期順序がbuild_initia
l_layoutを使用してＨの外側の節点への全ての枝を無視
して計算される。この初期レイアウトは任意の他のグラ
フと共有しない一時的なvlist 配列に構成される。各ラ
ンク内の最も左の節点にはorder ＝０が割り当てられ
る。構成の後に、このレイアウトは、以下のように、Ｈ
の大域的に共有されるvlist 内に併合される。Ｈの各ラ
ンクｒに対して、個々の節点ｖに大域order(v)＝order
(v)＋order(rankleader(v) ）が割り当てられる。Ｈの
外側及びその右側への節点も順序替えを行なわなければ
ならない。Ｎ_r をＨ内のランクｒ内の節点の最高順序で
あるものとする。order(v)＞order(rankleader(r) ）で
あるような全ての節点ｖに対して、order(v)＝order(v)
＋Ｎ_r −１にセットする。残りの操作は、一つの端点を
Ｈ内に、そして他の端点をＨの外側に持つ枝ｅ＝（ｕ、
ｖ）を取り付けることである。これらの枝の各々は、co
llapse_cluster内に割り当てられた経路Ｐ＝（mapclust
er(G、u) 、mapcluster(G、v)）を持たなければならな
い。ｆをＰの最初の枝であるものとする。count(f)＝co
unt(e)の場合は、ｐのこれらの端点が（ｕ、ｖ）に移動
される。count(f)＞count(e)の場合は、（ｕ、ｖ）間の
新たな経路Ｐ′がＰの節点に隣接して生成され、Ｐの枝
は、それらのcount 及びweight値からcount(e)及びweig
ht(e) を減分することによって調節される。この新たな
経路は新たな仮想節点及び枝から構成され、Ｐ内の個々
の仮想節点ｖ_p に対して、我々は、order(v_p')＝order
(v_p) ＋１を持つ新たな仮想節点ｖ_p'を生成する。ま
た、order(w)＞order(v_p) の全ての節点ｗに対して、or
der(w)＝order(w)＋１にセットする。

【００３２】図１の例に従がう、bulid_initial_layout
によって決定された初期構成が図４（ａ）に示される
が、ここでは、クラスタ１１１及び１１５が骨格４０１
及び４０３に崩壊されている。このグラフに関してミニ
クロスがランされ、トップレベルのクラスタが膨張され
る。図４（ｂ）に示されるように、４０１の４０５への
膨張は（クラスタ１１３に対応する）骨格４０７の生成
を伴う。４０１上でミニクロスをランした後に、骨格４
０５が膨張され（図１の全グラフが与えられる）、クラ
スタ１１３の内容がミニクロスによって処理される。最
後に、再帰呼からミニクロス手続きに戻ったとき、自由
節点、例えば、ｓの位置が枝の交差が低減されるように
このmincross発見的手続きによって更新される。

【００３３】ノード位置：図５及び６このフェーズは、既に設定されているrank(v) 及びorde
r(v)の制約の下で、節点に対する（ｘ、ｙ）レイアウト
座標を計算する。vlist 配列はミニクロスフェーズから
得られていると想定することが好都合であるが、但し、
order(v)を決定するために別のアルゴリズムが使用され
た場合は、このvlist は各グラフの節点リストを走査す
ることによって構成することもできる。このため、節点
座標を計算するための以下のアルゴリズムは、前のステ
ップとは独立なものである。節点のＹ座標は、ＤＯＴの
標準実現の場合のようにセットされるが、但し、ランク
ｒ_i とＲ_i+1 の間の分離が（nlev）（nodesep(G)）によ
って増加される点が異なる。nlevはｒ_i とｒ_i+1 との間
に水平境界ボックス枝を持つ入れ子にされたクラスタの
深さの最大差である。この調節は、クラスタ境界ボック
スの水平サイドに対する空間を隣接するランクの間に引
き、この全ての回りにnodesep(G)のマージンを与えるこ
とを許す。議論の残りの部分は、Ｘ座標に集中する。仮
想及び実節点は両方とも割り当てられた座標を持つ。仮
想節点はレイアウト内に直接は現われないが、Gansner
、Koutsofios、North 、Voの前述の文献によって説明
されるように、これらの座標は、スプライン挿間をガイ
ドする。この参考文献はまた、フェーズ１においても既
に使用された標準のネットワークシンプレックス技法に
よって解決することができる制限された線型プログラム
を形式化することによって、クラスタを含まないグラフ
内の節点座標を割り当てる技法についても説明する。

【００３４】この目的関数は：

【数３】であり、これは前に説明したように、節点及びクラスタ
の左から右への配置の制約を持つ。非形式的には、これ
らの制約はランク内の節点の順序、並びにクラスタの順
序及び入れ子構造化の順序を強制する。

【００３５】以下は前述のGansner 、Koutsofios、Nort
h 、Voの文献において説明される技法の修正である。こ
れは、ランクがＹ座標に対応するように、１／７２イン
チの単位にて、“グラフをそのサイドを中心に回転す
る”操作であると考えることができる。幾つかの点で、
この技法は、従来の技術において説明される発見的アル
ゴリズムよりも優れている。つまり、これは、厳密な目
的関数に対して最適なレイアウトを発見し、実現が簡単
であり、また制約枝として符号化できる有益な延長に対
して従順である。但し、これは、これを入力グラフＧに
関して遂行することは、これらの枝が（これらがトップ
からボトムへの配置を含蓄するが）節点の左から右への
順序は含蓄しないために適当でない。従って、ランクの
割り当てがランク割り当て問題を解決することによって
Ｘ座標を発見する目的のためにＧから構成された補助グ
ラフＧ′上で計算される。この構成は、Ｇの節点、枝、
及びクラスタの線型走査によって遂行される。Ｇ′のこ
れら節点は、（長い枝を表わすための仮想節点を含む）
Ｇの節点並びに追加の仮想節点：つまり、Ｇ内の（長い
枝を表わす仮想枝を含む）各枝に対する一つ節点及び各
クラスタ（左及び右境界ボックスのＸ座標）に対する二
つの節点である。Ｇ′のこれら枝は節点及びクラスタの
左から右への順序を制約する枝と、Ｇの枝のレイアウト
コスト（layoutcost）を表わす枝とに分割することが
できる。Ｇ′の構成はＧの節点、枝、及びクラスタの線
型走査によって遂行される。Ｇ′のこれら節点（変数）
及び枝（制約）が以下にリストされる：

【００３６】節点Ｖ（Ｇ）内のｖに対して：ｘ_ｖＥ（Ｇ）内のｅに対して：ｘ_ｅクラスタ（Ｇ）内のｃに対して：ｘ_cleft、ｘ_cright

【００３７】枝同一のランク上の隣接する節点を分離するためにＶ（Ｇ）内のｖ、ｗに対して、ここで、rank(v) ＝rank
(w) 及びorder(v)＝order(w)−１：ｘ_v →ｘ_w ［weight＝０、minlen＝width(w)/2＋width
(v)/2＋nodesep(G)］クラスタ内の節点封じ込めを強制するためにクラスタ（Ｇ）内のＣ０に対してｖがクラスタ（Ｃ０）内の任意のＣ１に属さないような
Ｖ（Ｃ０）内のｖに対してｘ_cleft →ｘ_v [weight＝０、minlen＝Nodesep] ｘ_v→ｘ_crigth[weight＝０、minlen＝Nodesep]

【００３８】クラスタの入れ子化を強制するためにクラスタ（Ｇ）内のＣ０、Ｃ１に対して、ここでＣ０＝
親（Ｃ１）ｘ_c0left→ｘ_c1left［weight＝０、minlen＝Nodesep］ｘ_c1right →ｘ_c0rigth ［weight＝０、minlen＝Nodese
p］隣接するクラスタの分離を強制するためにクラスタ（Ｇ）内のＣ０、Ｃ１に対して、ここで親（Ｃ
０）＝親（Ｃ１）Ｖ（Ｃ０）内にｖがそしてＶ（Ｃ１）内にｗが存在する
場合はここで、rank(v) ＝rank(w) そしてorder(v)＝Order(w)
−１：ｘ_c0right →ｘ_c1left［weight＝０、minlen＝Nodese
p］クラスタをコンパクトにするためにクラスタ（Ｇ）内のＣに対してｘ_cleft →ｘ_crigth［weight＝Ｗ、minlen＝Nodesep］重み付けされた枝のレイアウトコストを測定するためにＥ（Ｇ）内のｅ＝（ｖ、ｗ）に対してｘ_e →ｘ_v 、ｘ_e →ｘ_w ［weight＝weight(e) 、minlen
＝０］

【００３９】枝がｖ或はｗのポート（オフセット座標）
に接続されるとき、minlen（最小長）が調節されること
に注意する（前述のGansner 、Koutsofios、North 、Vo
の文献を参照すること）。我々の実現におけるＷの値は
５０である。

【００４０】我々の主要な例に対するこれら制約の構造
が図５及び６に図解される。図５は左から右への順序を
制御する枝を示す。５０１とマークされた要素は、レイ
アウトの元の節点である。５０３とマークされた要素は
クラスタ境界ボックス座標に対する仮想節点である。５
０５とマークされた要素はクラスタ境界ボックス座標５
０３との関連で節点５０１を制約する仮想枝である。５
０７とマークされた要素はクラスタの入れ子構造化を強
制する枝である。５０９とマークされた要素は、隣接す
るクラスタの左から右への順序を強制する枝である。５
１１とマークされた要素は節点５０１の左から右への順
序付けを強制する要素である。

【００４１】図６はそれらの端点のＸ座標変位によって
入力枝を伸ばすレイアウトコストを符号化する枝を示
す。このダイアグラムは各入力枝を一つの仮想節点６０
１と二つの枝６０３にて置換するための構成を示す。各
枝６０３は一つの仮想節点６０１と入力節点６０５の一
つを接続する。network_simplex に提供される制約グラ
フは図５及び６に示される節点及び枝の合併である。こ
のグラフは非輪状である（全ての枝が左から右に向くこ
とができる）。前述のように、補助グラフに対して決定
されたランクが、次に、元のグラフの節点及びクラスタ
境界ボックスに対するＸ座標割り当てとして読み出され
る。最終的な観察として、枝スプラインが終点節点を含
まないクラスタの境界ボックスが回避されるようにルー
トされた場合、より良いレイアウトが結果として得られ
ることがわかる。ある与えられた節点に隣接するホワイ
ト空間の広がりを発見するＤＯＴ内のルーチンがこの実
現においてはリターンされる領域を任意の隣接するクラ
スタ境界ボックスを横断しないように制限するように修
正されている。

【００４２】結論前述の詳細な説明は、当業者に対して、本発明において
従来の技術によって提供されるものよりも美的感覚的に
一層心地よく、読み易く、一層コンパクトな有向グラフ
を生成するために採用される技法を開示する。ここに開
示されたこれら技法の実現は発明者に現時点において知
られている最良のものではあるが、当業者においては、
実現における多くのバリエーションが可能であることが
直ちに明らかになるものである。さらに、ここに開示さ
れた複数の技法を一括的に採用することが特に有効であ
るが、これらをばらばらに採用することも可能である。
上に説明の諸々の事情のために、前述の詳細な説明は、
あらゆる点において解説のための一例であり、限定を意
図するものではないことを理解されるべきである。従っ
て、ここに開示される本発明の範囲は、この詳細な説明
からではなく、むしろ特許請求の範囲を法律によって許
される全幅にて解釈することによって決定されるべきで
ある。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の技法によって描かれたグラフの一例で
ある。

【図２】図１のグラフにおいてランクの割り当てがいか
に行なわれているかを示す図である。

【図３】本発明の技法に従ってグラフが描かれるときク
ラスタ間枝がいかに扱われるかを示す図である。

【図４】ミニクロスによって図１のグラフがいかに処理
されるかを示す図である。

【図５】図１のグラフの節点がそれらのランク内でいか
に順序付けられるかを示す図である。

【図６】節点枝の位置がいかに決定されるを示す図であ
る。

【図７】従来の技術に従って描かれた二部グラフを示す
図である。

【図８】本発明の技法を使用して描かれた図７のグラフ
を示す図である。

【図９】従来の技術に従って描かれたプロセスグラフを
示す図である。

【図１０】本発明の技法を使用して描かれた図９のグラ
フを示す図である。

【図１１】従来の技法を使用して描かれたグラフを示す
図である。

【図１２】従来の技法を使用して描かれたもう一つのグ
ラフを示す図である。

【図１３】従来の技法を使用して描かれたさらにもう一
つのグラフを示す図である。

【図１４】人手によってレイアウトされたグラフを示す
図である。

【図１５】従来の技法を使用してのグラフの自動レイア
ウトを示す図である。

【図１６】本発明の技法に従ってレイアウトされた手続
き呼のグラフを示す図である。

【図１７】もう一つの本発明の技法に従ってレイアウト
された手続き呼のグラフを示す図である。

【図１８】図１のグラフに対する入力リストを示す図で
ある。図面内の参照番号は二つの部分を持つ。つまり、
二つの下位数字は図面内の項目の番号であり；残りの数
字はその項目が初めて現われる図面の番号である。従っ
て、参照番号２０１を持つ項目は、図２内に最初に現わ
れる。

【符号の説明】

１０１節点１０３枝１１１、１１３、１１５クラスタ

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】有向グラフを自動的に描くためにコンピ
ュータシステムを使用する方法であって、この有向グラ
フ及びこの中に含まれるクラスタが中に含まれるクラス
タに属さない自由節点とこれに属する拘束節点から構成
され、この方法がこれら節点にランクを割り当てるステ
ップを含み、ランク割り当ての改良されたステップが：この有向グラ
フ及びこの中に含まれるクラスタに関して中に含まれる
各クラスタに相対ランクを割り当てるステップ、中に含まれる各クラスタを仮想節点に崩壊するステッ
プ、及びこれら自由節点及び仮想節点に相対ランクを割
り当てるステップ、を含む複数のステップを反復的に遂
行するステップ；及び前記の反復ステップが完了した時
点で、全ての節点に絶対ランクを割り当てるステップを
含み、ここで、あるクラスタ内の自由節点のランクがそ
のクラスタ内に崩壊された仮想節点の絶対ランク及びそ
のクラスタ内の自由節点の相対ランクによって決定され
ることを特徴とする方法。
【請求項２】クラスタにグループ化されたサブグラフ
を含む節点の有向グラフを自動的に描くためにコンピュ
ータシステムを使用するための方法であって、この方法
がこれら節点にランクを割り当てるステップを含み、ランク割り当ての改良されたステップが：各節点或はク
ラスタにその節点或はクラスタを直接に含むグラフ或は
クラスタに対して相対的な相対ランクを割り当てるステ
ップ；及び各節点或はクラスタにその節点或はクラスタ
を直接に含むグラフ或はクラスタの絶対ランクから決定
される絶対ランク及びその節点或はクラスタの相対ラン
クを割り当てるステップを含むことを特徴とする方法。
【請求項３】クラスタにグループ化されたサブグラフ
を含む節点の有向グラフを自動的に描くためにコンピュ
ータシステムを使用する方法であって、この方法がある
ランク内の節点を順序付けるステップを含み、このランク内の節点の順序付けの改良されたステップ
が：そのランク内に直接に含まれる各クラスタをクラス
タ全体の一つの表現に崩壊するステップ；及びこの表現
を節点として扱うことによってランク内の節点の順序付
けを行うステップを含むことを特徴とする方法。