JPH0660180A - たたみこみ劣化画像ならびに信号の復元方法及び装置 - Google Patents

たたみこみ劣化画像ならびに信号の復元方法及び装置

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JPH0660180A
JPH0660180A JP3258309A JP25830991A JPH0660180A JP H0660180 A JPH0660180 A JP H0660180A JP 3258309 A JP3258309 A JP 3258309A JP 25830991 A JP25830991 A JP 25830991A JP H0660180 A JPH0660180 A JP H0660180A
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JP
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signal
equation
impulse response
derivative
signals
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JP3258309A
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Muralidhara Subbarao
ムラリダラ・スバラオ
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State University of New York SUNY
New York University NYU
Original Assignee
State University of New York SUNY
New York University NYU
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Publication date
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    • G06F17/10—Complex mathematical operations
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    • G—PHYSICS
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    • G06T—IMAGE DATA PROCESSING OR GENERATION, IN GENERAL
    • G06T5/00—Image enhancement or restoration
    • G06T5/70—Denoising; Smoothing
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    • G06T—IMAGE DATA PROCESSING OR GENERATION, IN GENERAL
    • G06T5/00—Image enhancement or restoration
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    • G06T—IMAGE DATA PROCESSING OR GENERATION, IN GENERAL
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    • G06T2207/20201—Motion blur correction

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Abstract

(57)【要約】 【目的】 ピンぼけ画像のようなたたみこみ劣化信号を
復元するための装置、方法の提供。 【構成】 劣化信号は、雑音が低減され、その各種導関
数が計算される。導関数のそれぞれに、対応する重みパ
ラメータが乗算されて重みつき導関数が得られる。重み
つき導関数は次いで合算され、復元された信号を得る。
重みつきパラメータは、これら自体ではたたみこみ核の
モーメントにもとづいて計算される。本発明に係る装置
は、雑音低減手段と、重みパラメータ計算手段と、乗算
手段と、そして合算手段とから成っている。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は、畳みこみ処理により劣
化された信号を復元する方法ならびに装置に関する。特
に、該方法は、また収束画像を得るために非収束画像を
復元するのに適している。該方法は、畳みこみに対する
新規な信号処理技法を用いる。
【０００２】
【従来の技術】たたみこみ処理によって劣化された信号
の復元方法は信号処理における多くの領域に用途が見出
せる。例えば、画像処理において、目的物の不鮮明な画
像がその目的物の焦点の合った画像が得られるように復
元することが可能である。この焦点ぼけは、カメラ自体
の焦点合わせの誤り、カメラと対象物との間の相対運動
（カメラが振れるとか、対象物が動くとか）、光学系の
収差、及び航空画像ならびに人工衛星画像の場合の大気
の乱流などに起因する。
【０００３】たたみこみ劣化信号を復元する方法は何れ
の次元数の信号に対しても同じである。例えば、該方法
は、１次元音声信号、２次元画像信号、３次元時間で変
動する画像信号（例えばテレビジョン画像シーケンス）
に対して同一である。従って、便宜のために、本発明の
方法は１次元信号について詳細な説明を先ず実施する。
２次元ならびに３次元の各信号に対する復元方法の一般
的説明はその後で簡単に説明する。
【０００４】典型的信号劣化モデルには、たたみこみ処
理と雑音処理と双方に依る劣化が含まれる。図７はこの
モデルを示している。このモデルは１次元信号の場合で
あって下記の数式（１）により定義される。
【数１】
【０００５】上記の数式において、ｔは時間に相当する
１次元独立変数、ｆ（ｔ）はオリジナル非不純化信号、
ｈ（ｔ）はインパルス応答関数に相当するたたみこみ
核、ｎ（ｔ）は付加的雑音、＊はたたみこみ操作、そし
てｇ（ｔ）は劣化信号をそれぞれ表わしている。インパ
ルス応答関数ｈ（ｔ）は次の数式（２）の条件を満足す
る。
【数２】 上記数式において、Ａは常数（一般に１に等しい）であ
る。
【０００６】信号復元の問題は不純化信号ｇ（ｔ）を与
えられているオリジナル信号ｆ（ｔ）、ならびに雑音ｎ
（ｔ）及びインパルス応答関数ｈ（ｔ）の双方に関する
ある種の重要な情報を評価することである。
【０００７】時間領域内のたたみこみ操作はフーリエ領
域における乗算操作に対応する。従って、ωを用いてフ
ーリエ周波数変数を表わし、Ｇ（ω）、Ｈ（ω）、Ｆ
（ω）及びＮ（ω）によって、ｇ（ｔ）、ｈ（ｔ）、ｆ
（ｔ）及びｎ（ｔ）のフーリエ変換をそれぞれ表わし、
数式（１）における信号劣化モデルは次の数式（３）の
ようにフーリエ領域内に書き込まれる。
【数３】
【０００８】典型的信号復元問題に対する典型的解法は
２段階処理により行われる。図８はこの２段階処理を示
している。第１の段階は雑音低減段階であって、劣化し
た信号ｇ（ｔ）が、雑音低減フィルターに相当するたた
みこみフィルターを通される。雑音低減フィルターのイ
ンパルス応答関数は、ｌ（ｔ）で表わされ、そのフーリ
エ変換は、やはり雑音低減フィルターの変換関数として
のＬ（ω）で表わされる。雑音低減フィルターの出力は
ｇ1 （ｔ）で表わされ、そのフーリエ変換はＧ1 （ω）
で表わされる。ここで、復元問題に対する典型的解法の
第１段階は次の数式に総括される。
【数４】
【０００９】典型的解法の第２段階は逆フィルター段階
もしくはたたみこみ解除段階と呼ばれる。この段階にお
いては、雑音低減フィルターの出力ｇ1 （ｔ）は、たた
みこみ解除（ｄｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ）フィルター
に相当するもう１つのたたみこみフィルターを通され
る。畳みこみフィルター解除のインパルス応答関数はｍ
（ｔ）で表わされ、そのフーリエ変換はＭ（ω）で表わ
される。このフィルターの効果はたたみこみ核ｈ（ｔ）
をもった畳みこみから生じたオリジナル信号ｆ（ｔ）の
劣化を元通りにすることである。従って、たたみこみ解
除フィルターと言われる。フーリエ領域においては、Ｍ
（ω）はＨ（ω）の逆数である、すなわち次の数式
（５）で表わされる。
【数５】
【００１０】 れる。ここで畳みこみ解除段階は次の数式のように総括
される。
【数６】
【００１１】 られた見積りである。
【００１２】信号復元に対するこの基本技術については
多くの変った種類がある。よく知られたものの１つの技
術は最小二乗フィルター法もしくはウィーナフィルター
法である。この手法では、雑音低減フィルターＬ（ω）
の特性は雑音対信号比で決まる。Ｌ（ω）は次の数式
（７）で与えられる。
【数７】 ここでΓ（ω）は信号対雑音出力密度比であり、次の数
式（８）で定義される。
【数８】
【００１３】信号復元に対する典型的技術及び、上述の
基本技術に関する各種に相当する他の手法についての更
なる詳細については多くの文献に見出すことができる。
例えば、１９８２年版、Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ
社刊、Ａ．Ｒｏｓｅｎｆｅｌｄ及びＡ．Ｃ．Ｋａｋ著に
よる、第２版、“Ｄｉｇｉｔａｌ ＰｉｃｔｕｒｅＰｒ
ｏｃｅｓｓｉｎｇ”（「デジタル画像処理法」）中の、
第７章 Ｒｅｓｔｒａｔｉｏｎ（復元法）参照。また、
１９８９年版、Ａ．Ｋ．Ｊａｉｎ及びＰｒｅｎｔｉｃｅ
Ｈａｌｌ著“Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ Ｄｉ
ｇｉｔａｌＩｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ”（「デ
ジタル画像処理法の基礎」）の第８章、“Ｉｍａｇｅ
Ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｒｅｓｔｏｒａｔｉｏ
ｎ”（「画像フィルター法及び復元法」）を参照。
【００１４】上記にその概要を説明した典型的信号復元
技術は多くの著しい欠点をもっている。重要な欠点の１
つは、たたみこみ核ｈ（ｔ）の正確な形に対して極めて
敏感であり、従って、たたみこみ核ｈ（ｔ）に関する重
要な情報がたたみこみ解除フィルターを構成することが
要求される。前に説明したように、たたみこみ解除フィ
ルターの変換関数Ｍ（ω）はＨ（ω）から、Ｍ（ω）＝
１／Ｈ（ω）のように決められる。多くの適用におい
て、関数Ｈ（ω）に関する充分な知識は、Ｍ（ω）によ
って規定されるたたみこみ解除フィルターを決定するた
めには用いられない。例えば、焦点をはずしたカメラ系
統の場合、たたみこみ核は極めて複雑な関数である。
（この問題点に関する論述については、１９８０年版、
Ｐｅｒｇａｍｏｎ Ｐｒｅｓｓ刊、Ｍ．Ｂｏｒｎ及び
Ｅ．Ｗｏｌｆ共著、“Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ Ｏｐ
ｔｉｃｓ”（「光学の原理」）の第８，８節参照。ま
た、１９９０年２月７日発行、ＮＹ１１７９４−２３５
０、Ｓｔｏｎｙ Ｂｒｏｏｋ、ニューヨーク州立大学、
電気技術学部、Ｃｏｍｐｕｔｏｒ Ｖｉｓｉｏｎ Ｌａ
ｂｏｒａｔｏｒｙ所属の本発明者により著わされた、Ｔ
ｅｃｈｎｉｃａｌ Ｒｅｐｏｒｔ（技術報告書）９０．
０２．０７、“Ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｐｔｈ ｉｎｆｏｒ
ｍａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｓｐｒｅａ
ｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆ ａ ｄｅｆｏｃｕｓｅｄ
ｏｐｔｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ”（焦点をずらした光学
系の点ひろがり関数における深さ情報について」）を参
照。従って、たたみこみ核に対する近似が用いられねば
ならないだろう。しかし、復元の出力がたたみこみ核の
正確な形状に対して極めて敏感であるので、このような
近似は高度に誤った結果を生ずるだろう。総括的に言う
と、この技術は、たたみこみ核ｈ（ｔ）の正確な形状を
無視するような明白な組織的な方法を提供はせず、モー
メントパラメータのようなたたみこみ核の汎用性をもっ
た統計的性質を用いる。
【００１５】典型的復元技術の第２の重要な欠点はフー
リエ領域におけるたたみこみ解除フィルターの仕様と、
劣化信号のフーリエ変換を計算することによってこの方
法を実施する可能性にある。何れかの点ωにおける何れ
かの信号ｇ（ｔ）のフーリエ変換Ｇ（ω）でも、−∞＜
ｔ∞に対する全信号ｇ（ｔ）に依存する。従って、実際
問題として、窓操作を実施せねばならない。すなわち、
信号を有限間隔にある非零値をもつ窓関数を乗算し、信
号を復元する前にその信号のヒーリエ変換を計算する。
これがフーリエ変換Ｇ（ω）の望ましくないゆがみを導
く。その結果、
【００１６】典型的復元技術のもう１つの欠点は信号の
フーリエ変換を計算する場合の高度な計算上の複雑性で
ある。典型的復元技術のもつ更なる欠点は、該技術を、
たたみこみ核ｈ（ｔ）が時間とともに徐々に変化するよ
うな場合に適用することが困難であるという点である。
この典型的技術を、雑音ｎ（ｔ）特性が時間と共に徐々
に変化するような場合に直接的に適用することもまたで
きない。
【００１７】
【発明が解決しようとする課題】本発明の目的は、たた
みこみ核のモーメントのような汎用性をもった統計的性
質だけを用い、しかもたたみこみ核の正確な形状に関す
る情報を要求しない粗野な方法で、たたみこみ劣化信号
を復元する方法である。
【００１８】本発明のもう１つの目的は、たたみこみ劣
化信号を復元する方法を提供するにあって、その方法で
は、復元の質を、たたみこみ核のモーメントのような、
たたみこみ核の汎用性のある性質の周囲に徐々に増すや
り方で情報を付加してゆくことによって改善することが
できる。
【００１９】本発明のもう１つの目的は、何れの点であ
ってもその点における復元信号の値が、その点を含む小
さい間隔の中に存在する劣化信号のこれら復元された値
だけを用いて計算される、そのようなたたみこみ劣化信
号を復元する方法にある。
【００２０】本発明の更に目的とするところは、たたみ
こみ核の特性、そしてまた雑音の特性が時間と共に徐々
に変化するそのような場合に容易に適用できる。そのよ
うなたたみこみ劣化信号の復元方法を提供するにある。
本発明のもう１つの目的は本発明に係る方法を実施する
ための、効率的な、簡単なしかも費用効果的な装置を提
供することである。
【００２１】
【課題を解決するための手段】本発明は、たたみこみ核
によりオリジナル信号をたたみこんだ結果生じた劣化信
号を復元する方法を提供する。該たたみこみ核は、また
インパルス応答関数に属する。該インパルス応答関数
は、インパルス応答関数の汎用性のある性質を規定する
モーメイトパラメータのセットにより特徴づけられてい
る。本発明の方法は以下にその概要を示す段階を含んで
いる。
【００２２】第１に、導関数信号のセットが劣化信号の
導関数を求めることによって算出される。次いで、イン
パルス応答関数のモーメントパラメータの値にもとづい
て、重みパラメータが、導関数信号のセットのそれぞれ
の要素に対応して算出される。次に、導関数信号のセッ
トの各要素がその対応する重みパラメータで乗算されて
重みつき導関数のセットを得る。最後に、重みつき導関
数のセットの少くとも２つの要素が相互に合算されて復
元信号を得る。かくして、オリジナル信号の推定が劣化
信号から得られる。
【００２３】もしも劣化信号が雑音で劣化されると、そ
の時は、付加的雑音低減段階が、上記にその概要を説明
した復元方法に付加される。該劣化信号は導関数信号の
セットを計算することを進めるに先立って、雑音低減フ
ィルターを通すことができる。
【００２４】もしも劣化信号が２次元画像（すなわち、
テレビジョンとかビデオ画像信号）であれば、上記の復
元方法はぼけた画像から焦点の合った画像を作るために
用いることができる。このぼけはビデオカメラの焦点合
わせの誤りとか、あるいはその他のたたみこみ劣化処理
に依存している。幾何光学的な焦点合わせの誤ったカメ
ラの場合、インパルス応答関数は、特定形状領域の内側
の常数であり、該領域の外側で零である。該領域の形状
は、倍率因子に対する場合を除いて、カメラの口径の形
状の領域と同じである。円形口径に対しては、インパル
ス応答関数はぼけた円と呼ばれ、しかもこの関数は図９
に示すような円筒形又はトーチカ形をしている。カメラ
のインパルス応答関数はまたカメラの点ひろがり関数と
呼ばれる。
【００２５】本発明の方法はどんな次元数の信号でも復
元するために用いることができる。特に、１次元信号
（例えば音声信号）に対しても用いることが可能であ
る。本発明の方法は、アナログ信号にもデジタル信号に
も共に用いることができる。これら双方の信号の場合、
信号はその次元数を問わない。特に、この方法はアナロ
グ音声信号、デジタル音声信号、アナログ画像信号及び
デジタル画像信号を復元する上で有効である。
【００２６】本発明に係る装置は以下の各項により構成
されている。すなわち、 （ｉ）導関数信号のセットを得るための劣化信号の導関
数を計算するための微分手段と； （ｉｉ）インパルス応答関数のモーメントパラメータの
値を入力として取り、そしてこれらの値にもとづいて導
関数信号のセットの各要素に対応する重みパラメータを
計算するための重み計算手段と； （ｉｉｉ）導関数信号のセットの各要素にそれらに対応
する重みパラメータを乗算して重みつき導関数のセット
を得るための乗算手段と；そして、 （ｉｖ）重みつき導関数のセットの少くとも２つの要素
を合算して復元信号を得るための合算手段。
【００２７】本発明の装置は電子機器を用いて実施する
ことができる。該電子機器は、アナログコンピュータ及
びフィルタのようなアナログ機器であってもよく、また
デジタルコンピュータ及びフィルタのようなデジタル機
器であってもよく、あるいは、アナログコンピュータ、
デジタルコンピュータ、アナログフィルタ、及びデジタ
ルフィルタを含むアナログ及びデジタル機器の組合わせ
であってもよい。本発明の装置は、復元信号に対する雑
音効果を低減するための雑音低減手段を付加的に含める
ことも可能である。
【００２８】
【実施例】本発明の適用について説明するが、先ず１次
元信号について、そしてその後、２次元ならびに多次元
信号について説明する。全ての場合において、信号劣化
モデルは、前に説明した典型的劣化モデルと同一であ
る。
【００２９】１．１次元信号の復元 本発明の好適実施態様において、劣化信号ｇ（ｔ）は雑
音効果の最小化のために、先ず雑音低減フィルタを通さ
れる。この雑音低減段階は前に説明したところの信号復
元のための典型的解法の最初の段階に等しい。この段階
は、信号の局所的平滑化に対する公知の技術の１つを用
いて実施される。その技術とは、例えば、米国メリーラ
ンド州２０７４２−３４１１、Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｐａｒ
ｋ、メリーランド州立大学、Ｃｅｎｔｅｒ ｆｏｒ Ａ
ｕｔｏｍａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ発行のＴｅｃｈ
ｎｉｃａｌ Ｒｅｐｏｒｔ ＣＡＲ−ＴＲ−４２４に掲
載の、Ｐ．Ｍｅａｒ 及び Ｉ．Ｗｅｉｓｓ共著、“Ｓ
ｍｏｏｔｈｅｄ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ Ｆ
ｉｌｆｅｒｓ ｆｏｒ Ｊｍａｇｅｓ”（「画像用平滑
化微分フィルター」）に述べられている技術である。雑
音低減段階は実際問題として、他と異る特別な段階であ
る必要はなく、この段階は他の段階と共に組合わされて
同時に実施される。従って、表記上の簡素化のために、
雑音低減段階の出力はまたｇ（ｔ）と表わされる。雑音
低減段階の後の、信号ｇ（ｔ）の劣化は、インパルス応
答関数ｈ（ｔ）によるオリジナル信号ｆ（ｔ）のたたみ
こみにより支配的である。
【００３０】この事実は次の方程式（９）によって表わ
される。
【数９】 ここで、＊はたたみこみ操作を表わす。この同一方程式
は次の数式（１０）で拡大して書くことができる。
【数１０】
【００３１】インパルス応答関数ｈ（ｔ）の第ｎ項のモ
ーメントはｈｎで表わされしかも次の数式（１１）で定
義される。
【数１１】
【００３２】オリジナル信号ｆ（ｔ）はテイラー級数の
中に拡大できる。点ｔを取り囲むｆ（ｔ−ｒ）のテーラ
級数拡大は次の数式（１２）である。
【数１２】 ここで
【数１３】
【００３３】数式（１３）からのｆ（ｔ−ｒ）をたたみ
こみ方程式（１０）に代入し、そして方程式（１１）を
用いると、次の数式（１４）を得る。
【数１４】
【００３４】上記方程式はたたみこみ数式として扱われ
る。この数式は、１つの関数ｈ（ｔ）のモーメント及び
他の関数ｆ（ｔ）の導関数により、２つの関数ｆ（ｔ）
とｈ（ｔ）のたたみこみを表わしている。このたたみこ
み関係式は、１９６８年版（Ｒｏｂｅｒｔ Ｅ．Ｋｒｅ
ｉｇｅｒ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ Ｃｏｍｐａｎｙによ
って１９８６年に再印刷された）ＭｃＧｒａｗ Ｈｉｌ
ｌ Ｂｏｏｋ Ｃｏｍｐａｎｙ発行のＡ．Ｐａｐｏｕｌ
ｉｓ著“Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ
ｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｏｐ
ｔｉｃｓ”（光学における用途を伴ったシステムならび
に変換）の第３１頁から引用される。（この数式はまた
１９８９年に、本発明の発明者によって独立に導出され
た。）
【００３５】インパルス応答関数が時間限定されれば、
すなわち、ある定数Ｔに対するｔ＞Ｔにおいて、｜ｈ
（ｔ）｜＝０ であるならば、たたみこみ数式は迅速に
収れんするように表わすことができる。これは真に多く
の実用上（例えば焦点合わせを誤ったカメラ）の場合に
生ずる。従って、たたみこみ数式（すなわち、方程式
（１４））の右辺はあるＮに対するオリジナル信号ｆ
（ｔ）の（Ｎ＋１）番目及びそれより高次の導関数を否
定することによって切取ることができる。すなわち、ｎ
＞Ｎに対する近似、ｆn （ｘ）＝０ を用いることがで
きる。この近似法により、このたたみこみ数式は次の数
式で表わせる。
【数１５】 ここでｇ0 ＝ｇ（ｔ）。切捨てたたみこみ方程式（１
５）は次の形で表わすことができる。
【数１６】
【００３６】上式の各項を並べかえて次式を得る。
【数１７】 ここで、ｆ0 ＝ｆ（ｘ） である。
【００３７】方程式（１７）の何れかの辺のｍ次導関数
をとると、そしてｍ＋ｎ＞Ｎに対してｆm+n ＝０ とす
ると、次式を得る。
【数１８】
【数１９】
【００３８】本発明のねらいは劣化信号ｇ（ｔ）からの
方程式（１７）におけるオリジナル信号ｆ0 ＝ｆ（ｘ）
を推定することである。
【００３９】方程式（１８）は劣化信号ｇ（ｔ）のｍ次
導関数によるオリジナル信号ｆ（ｔ）のｍ次導関数
ｆm 、及びオリジナル信号ｆ（ｔ）の（ｍ＋１）次及び
これ以上高次の導関数ｆm+n を表わす。従って、方程式
（１８）は方程式（１７）のｆnの項の代入に使える。
得た方程式において、ｆm+n の項は、再び、ｆ（ｔ）の
（ｍ＋ｎ＋１）次及びそれより高次の導関数を含む式で
置換できる。再帰的方法（常に、ｎ＞Ｎに対してｆn ＝
０とする）によるこの代入手法を実施することによっ
て、方程式（１７）の右辺はｇ（ｔ）およびｇ（ｔ）の
導関数によってのみ表わすことができる。最終的に得ら
れた式では、各項は並べかえられて次の形の数式（２
０）を得ている。
【数２０】 ここで、ｎ＝０，１，……Ｎに対するｗn は重みパラメ
ータであってモーメントパラメータｈn に依存する。従
って、本発明の方法は先ず、ｎ＝０，１……Ｎに対する
導関数を計算し、次いで、ｎ＝０，１……Ｎに対するモ
ーメントパラメータｈn を用いて重みパラメータｗn の
全てを計算し、そして、方程式（２０）の右辺を計算す
る。この方法を実施する装置が図１に示してある。
【００４０】方程式（２０）は従来技術では知られてい
ない新らしいたたみこみ解除数式である。劣化信号の導
関数ｇn は局所的操作により計算可能であり、すなわ
ち、点ｔにおける導関数はεが極めて小さい正の数であ
る、（ｔ−ε，ｔ＋ε）のようなｔの周りの小さい間隔
内の信号ｇ（ｔ）の値を用いて計算できるのであって、
この場合、従来技術におけるように極めて大きい間隔に
おける信号ｇ（ｔ）の値を特に知る必要はないのであっ
て、それは従来技術はフーリエ領域におけるたたみこみ
解除にもとづいているからである。上記のたたみこみ解
除式により必要とされる操作の局所的性質が原因で、計
算量はより少ない。上記のたたみこみ解除式のもつもう
１つの重要な利点は、重みｗn はインパルス応答関数の
モーメントｈn を包有する代数式によって与えられる。
モーメントｈn はインパルス応答関数の汎用性のある、
すなわち全体的特性を規定する。実際問題として、かか
る汎用的性質はインパルス応答関数の実際の形状よりも
一層あらっぽく推定できる。これに対して、従来技術で
はインパルス応答関数の実際の形状についての知識を要
求する。インパルス応答関数の形状に関する正確な知識
は実際問題として得ることはむつかしい。
【００４１】２．実例 本発明の方法は簡単な実例で図解しよう。ｆ（ｔ）の３
次ならびにそれ以上高次の導関数を全て零となるように
求め、ここにＮ＝２を得る。従って方程式（１７）にＮ
＝２をセットして次の数式（２１）を得る。
【数２１】
【００４２】方程式（１８）から、方程式（２１）の右
辺に現われるｆ1 及びｆ2 に対する次の方程式（２
２），（２３）を得る。
【数２２】
【数２３】
【００４３】方程式（２３）のｆ2 を方程式（２２）に
代入して各々は次の数式を得る。
【数２４】
【００４４】方程式（２４）と（２３）とのそれぞれｆ
1 とｆ2 とを方程式（２１）に代入して、次の数式を得
る。
【数２５】
【００４５】方程式（２５）の各項を並べかえると、次
の数式を得る。
【数２６】 ここで、次の数式を条件として用いる。
【数２７】
【００４６】方程式（２６）は、Ｎ＝２の場合、方程式
（２０）に等しい。かくして、方程式（２９）におい
て、オリジナル信号ｆ0 ＝ｆ（ｔ）の推定は、劣化信号
の導関数の重みつき合計を求めることによって得られて
いることがわかる。重みはインパルス応答関数ｈ（ｔ）
のモーメントに依存する。これらのモーメントは既知で
ある。従って、重みは計算できる。従って、この実例の
場合、信号復元の方法は以下のように総括される。
【００４７】１．雑音効果を低減するため劣化信号を雑
音低減フィルタを通す。
【００４８】２．劣化信号ｇ（ｔ）の、零次（ｇ0 ）、
１次（ｇ1 ）、及び２次（ｇ2 ）の各導関数を計算して
導関数信号のセット｛ｇ0 ，ｇ1 ，ｇ2 ｝を得る、ここ
で、ｇ0 ＝ｇ（ｔ）、ｇ1 ＝ｄｇ（ｔ）／ｄｔ、そして
ｇ2 ＝ｄ2 ｇ（ｔ）／ｄｔ2である。
【００４９】３．モーメントパラメータのセット
｛ｈ0 ，ｈ1 ，ｈ2 ｝を用いて、導関数信号セット｛ｇ
0 ，ｇ1 ，ｇ2 ｝の各モーメントに対応する重みパラメ
ータを算出する。すなわち、ｇ0 に対応するｗ0 ，ｇ1
に対応するｗ1 そしてｇ2 に対応するｗ2 を計算する、
ここで、ｗ0 ＝１／ｈ0 、ｗ1 ＝ｈ1 ／ｈ0 2、そしてｗ
2 ＝（ｈ1 2／ｈ0 3−１／２・ｈ2 ／ｈ0 2）である。
【００５０】４．導関数信号のセット｛ｇ0 ，ｇ1 ，ｇ
2 ｝の各要素を、それらに対応する重みパラメータを乗
算する。すなわち、ｇ0 にｗ0 を、ｇ1 にｗ1 を、そし
てｇ2 にｗ2 をそれぞれ掛け算して、重みつき導関数の
セット、｛ｗ0 ｇ0 ，ｗ1 ｇ1 ，ｗ2 ｇ2 ｝を得る。
【００５１】５．重みつき導関数のセットの内の少くと
も２つの要素を合算すなわち加え合わせて、オリジナル
信号ｆ0 ＝ｆ（ｔ）の推定である復元信号を得る。例え
ば、次の数式で表わされる。
【数２８】
【００５２】方程式（２８）を実施する装置については
図２に示してある。この装置は図１に示す一般的な装置
のうち、特殊な場合である。この装置は雑音低減手段、
微分手段、合算手段及び重み計算手段から成っている。
この装置は電子回路構成を用いて実施される。特に、ア
ナログコンピュータ、あるいはデジタルコンピュータ、
あるいはアナログ及びデジタルコンピュータの組合わせ
たコンピュータを用いて実施できる。図３はアナログ電
子回路構成を用いて実施される単一微分ユニットを示
す。図４もまた単一微分ユニットを示すがデジタル電子
回路構成を用いて実施される。図１の微分手段はこのよ
うな多くの微分ユニットから成っている。
【００５３】たたみこみ劣化の１つの重要な種類は、た
たみこみ核が原点周囲に対称的である場合であり、すな
わち、ｈ（ｔ）＝ｈ（−ｔ）である。この場合、ｈ
（ｔ）の全ての奇数モーメントが零であるということ、
すなわち、ｉ＝０，１，２……に対して、ｈ2i+1＝０で
あることを示すことができる。従って、計算量が相当程
度低減する。たたみこみ劣化のもう１つ別の種類は、た
たみこみ核ｈ（ｔ）が次式で表わす条件を満足する場合
である。
【数２９】 この場合は、また計算量のいくらかの低減があろう。
【００５４】重要なたたみこみ核の１つは次の数式によ
って定義される移動平均核である。
【数３０】 ここで
【数３１】 この場合、ｈ（ｔ）のモーメントは次の数式（３２）で
あることを示すことができる。
【数３２】
【００５５】さて、重要な、劣化信号の第５次までの導
関数（すなわち、方程式（１６）及び（１７）における
Ｎ＝５）のみについて考察すると、復元信号は次の数式
（３３）で示すことができる。
【数３３】
【００５６】上記の数式は均一な運動のぼけによって劣
化した画像を復元するのに用いることができる。例え
ば、ｇ（ｘ，ｙ）を、写真撮影カメラの光軸に直角に動
く対象物（例えば車）を写真撮影することによって得ら
れる２次元画像とする。汎用性を損うことなく、画像の
ｘ軸は対象物の運動方向に沿って採ることができる。対
象物は運動しているので、写真フィルム上の対象物の画
像はまた、シャッタが開かれフィルムが露光されている
間は運動している。
【００５７】フィルム上のこの対象物の画像の運動は、
写真における、いわゆる運動ぼけを起す。Ｔが露光時間
中に対象物の画像がフィルム上を運動した距離とする
と、ぼけ画像、ｇ（ｘ，ｙ）とぼけていない画像、ｆ
（ｘ，ｙ）との間の関係は、次の数式（３４）によって
与えられるたたみこみ劣化として表わすことができる。
【数３４】 ここで
【数３５】
【００５８】ここで、たたみこみ核ｈ（ｘ，ｙ）は、方
程式（３５）により、ｘにのみ依存しｙには依存しな
い。従って、ぼけ画像ｇ（ｘ，ｙ）は、ｘに関するｇ
（ｘ，ｙ）の部分導関数の重みつき合計を採ってぼけて
いない画像ｆ（ｘ，ｙ）の推定を得るように復元するこ
とができる。特に、ｘについての、ｇ（ｘ，ｙ）の第６
次ならびにそれ以上高次の部分導関数が全て否定される
と、方程式（３３）に極めて似ている復元のための次の
数式（３６）が得られる。
【数３６】
【００５９】重要なもう１つのたたみこみ核は次の数式
（３７）で定義されるガウスの核である。
【数３７】 この場合は、ｈ（ｔ）のモーメントは次の数式（３８）
であることを示すことができる。
【数３８】
【００６０】再び、重要である劣化信号ｇ（ｔ）の第５
次までの導関数だけを考えると、（すなわち、方程式
（１６）と（１７）におけるＮ＝５）、復元信号は次の
数式（３９）であると示すことができる。
【数３９】
【００６１】次にのべる考察が上記の実例からなされ
る。劣化信号の復元値はパラメータＮの選択に依存して
いる。典型的な値は多分２と４の間であろう。大方の場
合、６以下の値で充分満足である。Ｎに対する最適値
は、根底にある信号ｆ（ｔ）の性質、すなわちその帯域
幅、ならびに劣化信号ｇ（ｔ）のもつ雑音量によっても
決まる。何れの点ｔにおいても復元信号の値は、ｔの周
りの劣化信号ｇ（ｔ）の局所特性（すなわち導関数）
と、インパルス応答関数ｈ（ｔ）の汎用特性（すなわち
モーメント）とに依存する。従って、本発明の方法は、
たたみこみ核ｈ（ｔ）が時間と共に漸次変化する場合に
適用できる。これは、重みパラメータｗn の計算の中に
用いられるモーメントパラメータｈn を時間とともに漸
次変えることによって達成される。
【００６２】本発明の方法において信号を復元する上で
必要な最高次のモーメントはｈN である。Ｎの値は、も
っと高い次数のモーメントの形でたたみこみ核ｈ（ｔ）
の周囲にもっと多くの情報が利用できるようになるとき
に増すことができる。Ｎの増大と、劣化信号ｇ（ｔ）の
雑音対信号比の改良により、復元信号の質が改良され
る。
【００６３】時間と共にある雑音特性の漸次変化は雑音
低減フィルタの特性を対応的に変えることによって処置
できる。
【００６４】３．２次元信号の復元 本発明の方法は、焦点の合っていないカメラ系統で生じ
たぼけ画像のような２次元たたみこみ劣化信号を復元す
るのに用いることができる。便宜のために２次元信号を
画像に相当させて扱うことをする。
【００６５】たたみこみ劣化画像は、ｇ（ｘ，ｙ）で表
わされ、ここでｘとｙとは独立変数であり、これらの変
数は共に、デカルト座標系における点を規定する。たた
みこみ核はｈ（ｘ，ｙ）で表わされ、オリジナルの純正
な画像はｆ（ｘ，ｙ）で表わされる。従って、次の数式
（４０）を持つ。
【数４０】
【００６６】次の表記法は、ｇ（ｘ，ｙ）、ｆ（ｘ，
ｙ）の部分導関数、ならびにｈ（ｘ，ｙ）のモーメント
を表わすために用いられよう。
【数４１】
【数４２】
【数４３】
【００６７】上記の表記法を用いて、次の数式（４４）
で示すたたみこみ数式が２次元の場合として導出され
る。
【数４４】
【数４５】
【００６８】この数式は方程式（１４）によって与えら
れる１次元たたみこみ数式を導出する方法に極めて似て
いる方法により導出することができる。従って、この微
分はここではなされない。
【００６９】Ｎより高次元のｆ（ｘ，ｙ）の全ての部分
導関数を零にとり、すなわち、次の数式（４６）とな
す。
【数４６】
【００７０】２次元たたみこみ数式は次の数式（４７）
のように書くことができる。
【数４７】
【００７１】この数式（４７）から、１次元の場合に対
する方法に従い、次の数式（４８）を導出する。
【数４８】 上記数式（４８）は、ｍ＝０，１，２，……及びｎ＝
０，１，２，……，に対するもので、（ｍ＝ｎ＝０）に
対するものではない。
【００７２】さて、１次元信号の場合におけるように、
方程式（４８）は次の数式（４９）で表す方程式を導出
するのに用いることができる。
【数４９】
【００７３】上記数式（４９）は１次元の場合の方程式
（２０）に同じである。上記方程式においては、ｋ＝
０，１，２，……Ｎ に対するｗi,k-i ，ｉ＝０，１，
２，……，ｋはモーメントパラメータｈi,k-i に依存す
る重みパラメータである。従って、本発明の方法は、先
ず、劣化信号ｇ（ｘ，ｙ）の導関数ｇi,k-i を計算し、
次いで、モーメントパラメータｈi,k-i 、ここでｋ＝
０，１，２，……Ｎ に対して、ｉ＝０，１，２，…
…，ｋ，を用いて全ての重みパラメータ、ｗi,k-i を計
算し、そして、方程式（４９）の右辺を計算することか
ら成っている。この数式の適用は実施例と共に図示して
ある。
【００７４】３．１．実例 ２次元より高い次元の、ｆ（ｘ，ｙ）の全ての部分導関
数を零となるようにし、方程式（４８）においてＮ＝２
を得る。従って次の数式（５０）を得る。
【数５０】 ここで
【数５１】
【数５２】
【数５３】
【数５４】
【数５５】
【００７５】数式（５１）、（５２）、（５３）、（５
４）及び（５５）のｆ0,2 ，ｆ1,1，ｆ2,0 ，ｆ0,1 ，
ｆ1,0 をそれぞれ方程式（５０）に代入して各項を整理
して次の数式（５６）を得る。
【数５６】 ここで
【数５７】
【数５８】
【数５９】
【数６０】
【数６１】
【数６２】
【００７６】数式（５６）ないし（６２）において、考
察したことは、２次元たたみこみ劣化信号は、重みがた
たみこみ核のモーメントに依存している劣化信号の部分
導関数の重みつき合計を用いることによって復元できる
ということである。この復元構成を実施する装置につい
ては図５に示してある。
【００７７】３．２．実例 重要な特殊な適用の１つは焦点ぼけカメラによるぼけ画
像を復元することである。この場合、たたみこみ核は次
の数式（６３）で表わされる。
【数６３】
【００７８】この核（零空間）は図９に図示してある。
ここでは、たたみこみ核ｈ（ｘ，ｙ）は、原点に中心を
もち、半径がΔの円形領域内側に１／πΔ2 の一定値を
もつ。この核は時に円筒形すなわちトーチカの形状をし
た核として扱われる。この核は原点の周囲に対称図形を
もつ、すなわち、これは円形に対称図形である。円形対
称のいかなる関数、ｈ1 （ｘ，ｙ）に対しても、この関
数の全ての奇数モーメントは零であるということを示す
ことができる、すなわち次の数式（６４）となる。
【数６４】
【００７９】従って、方程式（６３）におけるｈ（ｘ，
ｙ）の全ての奇数モーメントは零である。従って、もし
ｍが奇数、あるいはｎが奇数であれば、ｈm,n ＝０であ
る。偶数モーメントに対しては、次の数式（６５）で表
わすことができる。
【数６５】
【００８０】５より大きい次元数をもつ、ｆ（ｘ，ｙ）
の全ての部分導関数を零にして、すなわち、ｍ＋ｎ＞５
に対して、ｆm,n ＝０とし、次の数式（６６）で表わさ
れる復元数式が導出される。
【数６６】 ここで
【数６７】
【００８１】重要なもう１つの場合は、たたみこみ核が
次の数式で与えられる２次元ガウス形核である。
【数６８】
【００８２】この核はまた円形対称である。従って、も
しｍが奇数かもしくはｎが奇数（あるいはｍもｎも共に
奇数）であれば、ｈm,n ＝０である。核の偶数モーメン
トは次の数式（６９）で与えられる。
【数６９】
【００８３】４．多次元信号の復元 前に説明したように、本発明の方法はどんな次元数の信
号でも復元するのに使うことができる。ここでは、ｎを
正の整数として、ｎ次元の信号に対する復元方法を簡略
に総合的に述べよう。便宜上、表記法ｘi はｎ個の変数
（ｘ1 ，ｘ2 ，……ｘn ）を表わすのに用いられる。例
えば、ｆ（ｘi ）はｎ個の変数の関数ｆ、すなわち、ｆ
（ｘ1 ，ｘ2 ，……，ｘn ）を表わす。たたみこみ劣化
信号は、ｇ（ｘi ）で表わされ、たたみこみ核は、ｈ
（ｘi ）で表わされる。そしてオリジナルの純正信号
は、ｆ（ｘi ）で表わされる。ｇ（ｘi ）の部分導関数
は次の数式（７０）で表わされる。
【数７０】 ここでは、ｋ＝１，２，……ｐに対して、ｉk ＝１，
２，……ｎである。同様な表記法が、ｆ（ｘi ）の部分
導関数にも用いられる。
【００８４】たたみこみ核のモーメントは次の数式（７
１）で表わされる。
【数７１】 ここでは、ｋ＝１，２，……ｐに対して、ｉk ＝１，
２，……ｎである。
【００８５】合計に対するアインシュタインの表記法
を、用いることが可能で、（すなわち、合計は繰返し指
標についての意味をもっている）、次の数式（７２）で
表わされるように、点ｘi の周囲のｆ（ｘi −αi ）の
テイラー級数展開を表わす。
【数７２】
【００８６】Ｎより高次元のｆ（ｘi ）の全ての部分導
関数を零とし、すなわち、ｐ＞Ｎに対してｆi1,i2 ……
ip＝０とし、次の数式（７３），（７４）が導出され
る。
【数７３】
【数７４】
【００８７】方程式（７４）は、ｇ（ｘi ）の部分導関
数のためにのみ、ｆ（ｘi ）を表わすための反復法でも
って、方程式（７３）のｆ（ｘi ）の部分導関数に対す
る代入のために用いることができる。結果として得られ
る方程式は次の数式（７５）の形をとる。
【数７５】
【００８８】ここで、ｗi1,i2 ……ik は重みパラメー
タであって、この重みパラメータはモーメントパラメー
タ、ｈi1,i2 ……ik に依存する。上記方程式は再び、
ｇ（ｘi ）の部分導関数の重みつき合計として、オリジ
ナル信号ｆ（ｘi ）を表わし、この場合、これらの重み
はたたみこみ核ｈ（ｘi ）のモーメントに依存する。従
って、この場合の方法と装置とは、１次元ならびに２次
元信号の場合と同じである。この場合の装置については
図６に示してある。
【００８９】たたみこみ劣化信号の復元のための方法と
装置について説明した。１次元ならびに２次元信号に対
する本発明の適用について実例を用いて説明した。
【００９０】本報告における方法、装置及び用途につい
ての説明には多くの特性を含んでいるが、これらの特性
は本発明の範囲に関する制限条件として解釈すべきでは
なく、むしろ本発明の好適実施態様の実施例として解釈
すべきである。本明細書中に開示されている本発明の更
に改造や拡大については本発明の関連する同業技術分野
の人達にとっては当然起ることであるし、全てそのよう
な改造については添付の特許請求の範囲及びそれと同等
な内容によって定義されるところの本発明の範囲及び思
想の中に入るものと考えられる。
【図面の簡単な説明】
【図１】一般的な場合における１次元たたみこみ劣化信
号を復元するための方法と装置を示す概略図。
【図２】１次元たたみこみ劣化信号を復元するための方
法と装置の特定の実例を示す図。
【図３】電子回路構成により実施されるアナログ微分ユ
ニットを示す図。
【図４】デジタル微分ユニットを示す図。
【図５】２次元信号に対する本発明の復元計画実施の特
定の実例を示す図。
【図６】多次元たたみこみ劣化信号を復元するための方
法及び装置を示すブロック図。
【図７】典型的信号劣化モデルを示すブロック図。
【図８】典型的信号復元問題に対する典型的解法を示す
図。
【図９】円形口径をもった、焦点合わせを誤ったカメラ
のインパルス応答関数を示す図。
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 ムラリダラ・スバラオ アメリカ合衆国ニューヨーク州11776− 2927，ポート・ジェファーソン・ステーシ ョン，ユニバーシティ・ドライブ 23

Claims (12)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 劣化信号を復元する方法であって、前記
    劣化信号は、オリジナル信号をインパルス応答関数によ
    って巻込んだ結果生じたものであり、前記インパルス応
    答関数はモーメントパラメータのセットにより特徴づけ
    られており、前記方法は： （ａ）前記劣化信号を微分器のセットに提供し、前記微
    分器は出力として、前記劣化信号に応答し且つそれに対
    応して微分信号のセットを提供し、 （ｂ）モーメントパラメータの前記セットを重み計算手
    段に供給し、前記重み計算手段は出力として重みパラメ
    ータのセットを提供し、それぞれのパラメータは導関数
    信号の前記セットの１つに対応し、 （ｃ）前記重みパラメータと導関数信号の前記セットと
    を乗算手段に送信して導関数信号の前記セットと対応す
    る重みパラメータとを乗算し、かくして重みつき導関数
    信号のセットが出力として応答する乗算手段を提供さ
    れ、そして、 （ｄ）重みつき導関数信号の前記セットを合算手段に供
    給して重みつき導関数信号の前記セットの少くとも２つ
    の信号を合計し、かくして、前記オリジナル信号が出力
    として前記合算手段により発生される、これらの段階か
    ら成ることを特徴とする方法。
  2. 【請求項２】 前記劣化信号が、段階（ａ）から（ｄ）
    にもとづく処理を更に実施するのに先立って、雑音低減
    フィルターを先ず通過させられることを特徴とする請求
    項１に記載の方法。
  3. 【請求項３】 前記劣化信号が２次元画像であることを
    特徴とする請求項１に記載の方法。
  4. 【請求項４】 前記インパルス応答関数はガウス関数で
    あることを特徴とする請求項１に記載の方法。
  5. 【請求項５】 前記インパルス応答関数は特定形状領域
    の内側の常数であり、そして前記領域の外側で零である
    ことを特徴とする請求項１に記載の方法。
  6. 【請求項６】 前記劣化信号は１次元信号であることを
    特徴とする請求項１に記載の方法。
  7. 【請求項７】 前記劣化信号はデジタル信号であること
    を特徴とする請求項１に記載の方法。
  8. 【請求項８】 前記インパルス応答関数が２次元円筒状
    もしくはトーチカ形状関数であり、該関数は円形領域の
    内側では常数でありそして前記円形領域の外側では零で
    あることを特徴とする請求項３に記載の方法。
  9. 【請求項９】 前記２次元画像がデジタル画像であるこ
    とを特徴とする請求項３に記載の方法。
  10. 【請求項１０】 劣化信号を復元する装置であって、前
    記劣化信号はオリジナル信号をインパルス応答関数によ
    って巻込んだ結果生じたものであり、前記インパルス応
    答関数はモーメントパラメータのセットにより特徴づけ
    られており、前記装置は： （ａ）導関数信号のセットを得るために前記劣化信号の
    導関数を算出する微分手段と； （ｂ）モーメントパラメータの前記セットを入力として
    とり、そして導関数信号の前記セットのそれぞれの要素
    に対応する重みパラメータを算出するための重み計算手
    段と； （ｃ）導関数信号の前記セットのそれぞれの要素に対応
    する重みパラメータを乗算して重みつき導関数のセット
    を得るための乗算手段と；そして （ｄ）復元信号をうるために重みつき導関数の前記セッ
    トの少くとも２つの要素を合算するための合算手段とを
    備えることを特徴とする装置。
  11. 【請求項１１】 計算手段が電子式デジタル装置である
    ことを特徴とする請求項１０に記載の装置。
  12. 【請求項１２】 雑音低減手段が更に含まれて成ること
    を特徴とする請求項１０に記載の装置。
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