JPH06278080A - Calculation method for natural frequency - Google Patents
Calculation method for natural frequencyInfo
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- JPH06278080A JPH06278080A JP5067855A JP6785593A JPH06278080A JP H06278080 A JPH06278080 A JP H06278080A JP 5067855 A JP5067855 A JP 5067855A JP 6785593 A JP6785593 A JP 6785593A JP H06278080 A JPH06278080 A JP H06278080A
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Abstract
Description
【０００１】[0001]
【産業上の利用分野】本発明はロボットの作動制御に関
し、特にロボットアームの作動時に発生する振動を制振
する際に問題となる固有振動数を算出する方法に関す
る。BACKGROUND OF THE INVENTION 1. Field of the Invention The present invention relates to robot operation control, and more particularly to a method for calculating a natural frequency which is a problem when damping vibrations generated during the operation of a robot arm.
【０００２】[0002]
【従来の技術】今日、産業用ロボットは製造業を始め様
々な業種において使用されている。このロボットは、省
力化が図れる、劣悪な環境の下でも作業が可能であるな
どの優れた特性があるが、その一つに正確な作業が行え
ることがある。2. Description of the Related Art Today, industrial robots are used in various industries including the manufacturing industry. This robot has excellent characteristics that it can save labor and can work even in a bad environment, and one of them is that it can perform accurate work.
【０００３】図５には、３軸制御型のロボットが示され
ている。Ｘフレーム１上をｘ方向にＹフレーム２が摺動
可能に設けられ、さらにＺフレーム３がＹフレーム２上
をｙ方向に摺動可能に設けられている。Ｚフレーム３に
はハンド部４が設けられ、Ｚ方向に移動可能である。こ
の構成によって、このロボットは所定の範囲内におい
て、ある位置のワークを掴み、別の位置まで移動させ、
ここでワークを放すという動作ができる。従って、この
ようなロボットは製造業において、組み付け工程に盛ん
に用いられている。FIG. 5 shows a three-axis control type robot. A Y frame 2 is slidably provided on the X frame 1 in the x direction, and a Z frame 3 is slidably provided on the Y frame 2 in the y direction. A hand portion 4 is provided on the Z frame 3 and is movable in the Z direction. With this configuration, this robot grabs a workpiece at a certain position and moves it to another position within a predetermined range.
The work can be released here. Therefore, such a robot is actively used in the assembly process in the manufacturing industry.
【０００４】この組み付け工程に際しては、移動終端点
においてワークの移動を急速に停止することによって振
動が発生し、この振動が収束してからでないと所定の位
置に組み付けられないという問題がある。このときの振
動は、ロボットのフレームの剛性、質量や掴んでいるワ
ークの質量により決定される固有振動数で振動する。こ
れを利用して、本出願人により先に出願された特願平４
−２６３７１４号、特願平４−２６４３８５号、特願平
４−３２５３４６号などにより示された技術には、１回
目の加振力に対し、２回目の加振力が制振力として作用
するように制御タイミングが設定される技術が記載され
ている。すなわち、１回目の加振力によって発生した振
動は、そのときの系の固有振動数で振動し２回目の加振
力はこの振動と逆の位相で加えられ、これによって１回
目の加振によって発生した振動を打ち消すように設定さ
れている。In this assembling process, vibration is generated by rapidly stopping the movement of the work at the movement end point, and there is a problem that the vibration cannot be assembled until it is assembled in a predetermined position. The vibration at this time vibrates at a natural frequency determined by the rigidity of the frame of the robot, the mass of the robot, and the mass of the workpiece being gripped. Utilizing this, Japanese Patent Application No. 4 previously filed by the applicant
In the technique disclosed in Japanese Patent Application No.-263714, Japanese Patent Application No. 4-264385, Japanese Patent Application No. 4-325346, the second excitation force acts as the damping force with respect to the first excitation force. The technique for setting the control timing is described. That is, the vibration generated by the first exciting force vibrates at the natural frequency of the system at that time, and the second exciting force is applied in the opposite phase to this vibration, whereby the first exciting force causes It is set to cancel the generated vibration.
【０００５】[0005]
【発明が解決しようとする課題】前述の出願に開示され
た技術によれば、固有振動数を何らかの形で求める必要
がある。固有振動数を求める最も一般的な方法として
は、対象となる物体に加速度センサを取り付けて、対象
となる物体を加振し、前述の加速度センサからの信号を
高速フーリエ変換器（ＦＦＴ）により周波数分析すると
いう方法がある。この方法を図５に示した装置において
行おうとすれば、ワークを移動する際の移動終端点ごと
に、また移動するワークの質量ごとに固有振動数を求め
る必要が生じる。すなわち、図５のＡの位置とＢの位置
のように終端点が違う場合にはｙ方向のオーバハング量
が変化するため、系の剛性などが変化し、固有振動数が
変化する。また、ワークの質量が変化しても固有振動数
が変化する。According to the technique disclosed in the above-mentioned application, it is necessary to obtain the natural frequency in some form. The most general method for obtaining the natural frequency is to attach an acceleration sensor to the target object, vibrate the target object, and use a fast Fourier transformer (FFT) to convert the signal from the acceleration sensor into a frequency. There is a method of analysis. If this method is performed in the apparatus shown in FIG. 5, it is necessary to obtain the natural frequency for each moving end point when moving the work and for each mass of the moving work. That is, when the end points are different, such as the position A and the position B in FIG. 5, the amount of overhang in the y direction changes, so that the rigidity of the system changes and the natural frequency changes. Further, even if the work mass changes, the natural frequency also changes.
【０００６】したがって、様々なワークを対象にして、
様々な組み付け作業を行うロボットにおいて、その作業
ごと、ワークごとに固有振動数を前述の方法で求めてい
ては、多くの工数が必要となる。Therefore, for various works,
In a robot that carries out various assembling works, a large number of man-hours are required if the natural frequency is calculated for each work and each work by the above-mentioned method.
【０００７】また、新たな作業を行わせる場合は、その
終端点とワーク質量により、その都度固有振動数を測定
する必要がある。この場合には、一旦設置したロボット
に加速度センサを取り付け、ＦＦＴにより解析を行なう
必要が生じる。しかし、他の施設・設備の関係で設置さ
れたロボットの近傍にＦＦＴを持ち込むことができない
場合もある。また、ロボットを設置した工場にＦＦＴが
ない場合もあり得る。以上のように、作業内容ごとに固
有振動数を求めていては多くの工数が必要となるという
問題があった。また、新たな作業内容に対応して、固有
振動数を測定しようとしても、これができない場合もあ
るという問題があった。When a new work is to be performed, it is necessary to measure the natural frequency each time by the end point and the work mass. In this case, it is necessary to attach an acceleration sensor to the robot once installed and perform analysis by FFT. However, there are cases where it is not possible to bring the FFT near the robot installed due to other facilities / equipment. Further, there may be a case where the factory in which the robot is installed does not have the FFT. As described above, there has been a problem that a large number of man-hours are required to obtain the natural frequency for each work content. Further, there is a problem that even if an attempt is made to measure the natural frequency corresponding to new work contents, this may not be possible.
【０００８】本発明は前述の問題点を解決するためにな
されたものであり、作業内容ごとに固有振動数を測定す
る必要がなく、作業内容を指定することによりその作業
内容に対応する固有振動数を算出する方法を提供するこ
とを目的とする。The present invention has been made to solve the above-mentioned problems, and it is not necessary to measure the natural frequency for each work content, and the natural vibration corresponding to the work content can be specified by designating the work content. It is intended to provide a method of calculating a number.
【０００９】[0009]
【課題を解決するための手段】前述の目的を達成するた
めに、本発明にかかる固有振動数の算出方法は、ロボッ
トアームの可動範囲内の複数箇所で、複数種の質量のワ
ークを移動させたときの固有振動数を各々測定するステ
ップと、前記測定された固有振動数を基に固有振動数を
ロボットアームの作動位置とワーク質量との関数として
表すステップと、任意のアーム作動位置と任意のワーク
質量における固有振動数を前記の関数に基づき算出する
ステップとを含む。In order to achieve the above-mentioned object, a method of calculating a natural frequency according to the present invention is to move a work of a plurality of types of mass at a plurality of locations within a movable range of a robot arm. Measuring the natural frequency of the robot arm, the step of expressing the natural frequency as a function of the working position of the robot arm and the work mass based on the measured natural frequency, and any arm working position Calculating the natural frequency of the work mass based on the above function.
【００１０】[0010]
【作用】本発明は以上のような構成を有しており、ロボ
ットの固有振動数をロボットアームの作動位置とワーク
の質量との関数として予め表しているので、個々の作業
内容が定められれば、直接固有振動数を測定することな
く、前記関数によって、これを求めることが可能とな
る。The present invention has the above-mentioned structure, and since the natural frequency of the robot is expressed in advance as a function of the operating position of the robot arm and the mass of the work, the individual work contents can be determined. It is possible to obtain this by the above function without directly measuring the natural frequency.
【００１１】[0011]
【実施例】以下、本発明にかかる好適な実施例を図面に
従って説明する。DETAILED DESCRIPTION OF THE PREFERRED EMBODIMENT A preferred embodiment of the present invention will be described below with reference to the drawings.
【００１２】図１は本実施例の装置を示し、図５に示し
た装置と同様の構成については、同一の符号を付し説明
を省略する。図中の点Ａ1 から点Ａ8 の８個の点により
囲まれた領域が本装置のハンド部４の可動範囲である。
本装置は前述の装置と同様、可動領域内の任意の点から
別の点までワーク５を把持して移動させることができ
る。この作動は図２に示した制御部で行われる。すなわ
ち、コントローラ１０内のＣＰＵ１１は内部メモリ１２
に記憶されている作動プログラムに基づいてサーボアン
プ１３に指令を送る。この指令に基づきサーボモータ１
４が駆動され、このモータ１４がロボットの各フレーム
の移動を行いハンド部４の位置決めを行う。本装置の場
合はｘｙｚの各方向の各々にサーボアンプ１３、サーボ
モータ１４が備えられており、独立して駆動されてい
る。FIG. 1 shows the apparatus of this embodiment, and the same components as those of the apparatus shown in FIG. An area surrounded by eight points A 1 to A 8 in the figure is a movable range of the hand unit 4 of the present apparatus.
Like the above-mentioned device, this device can grip and move the work 5 from an arbitrary point in the movable region to another point. This operation is performed by the control unit shown in FIG. That is, the CPU 11 in the controller 10 has the internal memory 12
A command is sent to the servo amplifier 13 based on the operation program stored in. Servo motor 1 based on this command
4 is driven, and this motor 14 moves each frame of the robot to position the hand unit 4. In the case of this device, a servo amplifier 13 and a servo motor 14 are provided in each of the xyz directions and are independently driven.
【００１３】前述の移動の開始点と終了点の組み合わせ
は作業内容ごとに異なり、さらにワークも作業内容によ
り異なるためにワークの質量も異なる。よって、装置全
体の剛性や、梁としての寸法が異なるので、固有振動数
も異なる。本実施例の装置においては、前記可動範囲内
の複数の点および複数のワーク質量において、その固有
振動数を加速度センサを取り付けてＦＦＴにより測定
し、これらのデータを基に固有振動数の算出式を求めて
いる。The combination of the starting point and the ending point of the above-mentioned movement differs depending on the work content, and the work mass also differs depending on the work content, and therefore the work mass also differs. Therefore, since the rigidity of the entire device and the size of the beam are different, the natural frequencies are also different. In the apparatus of the present embodiment, at a plurality of points and a plurality of work masses within the movable range, the natural frequency is measured by FFT with an acceleration sensor attached, and the natural frequency is calculated based on these data. Are seeking.
【００１４】すなわち、ロボットのハンド部４の座標を
（ｘ，ｙ，ｚ）、ワーク５の質量をＷ、固有振動数をｆ
とすると、これらの関係を示す関数 ｆ＝Ｘ（ｘ，ｙ，ｚ，Ｗ） …（１） を導く。That is, the coordinates of the hand portion 4 of the robot are (x, y, z), the mass of the work 5 is W, and the natural frequency is f.
Then, the function f = X (x, y, z, W) (1) indicating these relationships is derived.
【００１５】この関数（１）を前述の内部メモリ１２に
記憶し、ハンド部４の移動制御ごとにその移動終了点の
座標と、このときのワークの質量から、関数（１）に基
づき固有振動数を算出する。This function (1) is stored in the above-mentioned internal memory 12, and the natural vibration is calculated based on the function (1) from the coordinates of the movement end point for each movement control of the hand unit 4 and the work mass at this time. Calculate the number.
【００１６】そして、実際の移動制御においては、前述
の固有振動数に基づき制振制御を行なう。例として、ロ
ボットアームを停止する時の減速開始時に生じる振動を
減速終了時に生じる振動によって打ち消す、特願平４−
２６４３８５号において示された制振制御を用いて説明
する。この制振制御は、定速移動しているロボットアー
ムを停止する時に生じる２つの振動、すなわち減速開始
時に発生する振動と、減速終了時に生じる振動とを互い
に干渉させることにより制振効果を得ている。ロボット
アームを停止させる際には、所定の加速度で減速させる
必要があるが、定速制御から減速制御に移行する点にお
いてサーボモータのトルクピークが発生し、このとき１
回目の振動が発生する。さらに一定の加速度で減速させ
る減速制御から静止位置に停止させる際にもサーボモー
タのトルクピークが発生し、このとき２回目の振動が発
生する。１回目の振動は、厳密には静止位置とは異なる
位置で発生するために、静止位置での固有振動数とは異
なる振動数で振動するが、この違いはごく僅かのもので
ある。よって、静止位置における固有振動数に基づき制
御を行なっても実際には問題は生じない。この振動を２
回目の振動で打ち消すわけであるが、２回目の加振は１
回目の加振と反対方向に加振されることを考慮すれば、
１回目と２回目の加振の時間間隔がちょうど固有振動数
の逆数である固有周期（Ｔ＝１／ｆ）の整数倍であるこ
とが制振の条件となることが分かる。すなわち、減速の
開始時から、静止トルク発生時までの時間ｔが ｔ＝ｎＴ （ｎ＝０，１，２，…） となるように制御される。このように、１回目と２回目
の加振力が固有周期だけ位相をずらすことによって、１
回目の加振により発生した振動を２回目の加振で打ち消
すことができる。Then, in the actual movement control, the vibration suppression control is performed based on the above-mentioned natural frequency. As an example, Japanese Patent Application No. 4-
This will be described using the vibration suppression control shown in No. 264385. This damping control obtains a damping effect by interfering with each other two vibrations that occur when stopping a robot arm that is moving at a constant speed, that is, a vibration that occurs when deceleration starts and a vibration that occurs when deceleration ends. There is. When stopping the robot arm, it is necessary to decelerate at a predetermined acceleration, but a torque peak of the servo motor occurs at the point of transition from constant speed control to deceleration control.
The second vibration occurs. Further, the torque peak of the servo motor also occurs when the deceleration control for decelerating at a constant acceleration is stopped at the stationary position, and at this time, the second vibration occurs. Strictly speaking, the first vibration occurs at a position different from the rest position, and thus vibrates at a frequency different from the natural frequency at the rest position, but this difference is very small. Therefore, even if the control is performed based on the natural frequency at the stationary position, no problem actually occurs. This vibration is 2
It is canceled by the second vibration, but the second vibration is 1
Considering that the vibration is applied in the opposite direction to the first vibration,
It can be seen that the vibration damping condition is that the time interval between the first and second vibrations is an integral multiple of the natural period (T = 1 / f) which is just the reciprocal of the natural frequency. That is, the time t from the start of deceleration to the generation of the static torque is controlled to be t = nT (n = 0, 1, 2, ...). In this way, the first and second excitation forces are phase-shifted by the natural period
The vibration generated by the second vibration can be canceled by the second vibration.
【００１７】図３には、本実施例の装置の操作を示すフ
ローチャートが示されている。図３（ａ）のフローは前
述の関数（１）を求める事前段階のフローである。まず
ロボットアームの可動範囲内の複数の代表点での固有振
動数を、加速度センサの出力をＦＦＴで解析することに
より求める（ステップＳ１）。実際に実験したデータの
一部を図４に示す。このときの実験においては、ｘ，
ｙ，ｚの各座標に対して各４か所、すなわち６４の位置
に対して、各々３種の質量のワークにより測定を行って
いる。次に、測定条件、すなわちロボットアームの位置
とワークの質量と、固有振動数の関係を示す式を求める
（ステップＳ２）。前述の実験データを基に関数を求め
ると、 ｆ＝−0.0083ｙ−0.0511ｚ−1.1628Ｗ＋35.22 …（２） となる。FIG. 3 is a flow chart showing the operation of the apparatus of this embodiment. The flow of FIG. 3A is a flow of a preliminary step for obtaining the above-mentioned function (1). First, the natural frequencies at a plurality of representative points within the movable range of the robot arm are obtained by analyzing the output of the acceleration sensor by FFT (step S1). Some of the data actually tested are shown in FIG. In the experiment at this time, x,
Measurements are carried out at four locations, that is, at 64 positions, with respect to each of the y and z coordinates, using works of three kinds of mass respectively. Next, an equation showing the relationship between the measurement conditions, that is, the position of the robot arm, the work mass, and the natural frequency is obtained (step S2). When a function is obtained based on the above experimental data, it becomes f = -0.0083y-0.0511z-1.1628W + 35.22 (2).
【００１８】この結果によれば、ｘ方向の位置に関して
は固有振動数に影響しないことが分かる。これは実験に
用いた装置はＸフレーム１が両端支持の梁となる構造を
有し、その他のフレームの片持ち支持構造に比して十分
な剛性があったためと考えられる。また、各変数（ｙ，
ｚ，Ｗ）に関して２次の項がないことから、ｘ，ｙ，ｚ
の各座標に対して２か所、ワーク質量に対して２種の１
６種のデータによって、前記の関数を求めても、予測の
精度に関して影響を与えないことが分かる。すなわち、
本実施例のような３軸直交型ロボットであって、各フレ
ームの断面形状または断面２次モーメントが大きく変化
しないような場合は、前述のように１６種のデータによ
り実用上十分な精度の予測が行える。From this result, it can be seen that the natural frequency is not affected with respect to the position in the x direction. It is considered that this is because the apparatus used in the experiment had a structure in which the X frame 1 was a beam supported at both ends, and had sufficient rigidity as compared with the cantilevered support structure of other frames. In addition, each variable (y,
z, W) has no quadratic terms, so x, y, z
There are 2 positions for each coordinate and 2 types for the work mass.
It can be seen from the six types of data that the determination of the above function does not affect the accuracy of prediction. That is,
In the case of the three-axis orthogonal robot as in this embodiment, when the sectional shape or the geometrical moment of inertia of each frame does not change significantly, as described above, 16 kinds of data are used to predict the accuracy sufficient for practical use. Can be done.
【００１９】図３（ｂ）に、以上のように求められた予
測式（２）に基づき行われる固有振動数算出のフローが
示されている。固有振動数を求めたい点の座標（ｘ，
ｙ，ｚ）、ワーク重量（Ｗ）の情報を内部メモリ１２か
ら読み出す（ステップＳ３）。そして、この値に基づき
固有振動数の算出を行う（ステップＳ４）。この固有振
動数に基づき、前述したように１回目と２回目の加振の
タイミングを調整し、１回目の加振で発生した振動が２
回目の加振で制振される制御を算出し、これを内部メモ
リに記憶する。（ステップＳ５）。そして、対象となる
全ての点について固有振動数の算出が終了したかが判断
され、終了していない場合はステップＳ３に戻り、また
終了している場合は固有振動数算出プログラムを終了す
る。FIG. 3 (b) shows a flow of natural frequency calculation performed based on the prediction formula (2) obtained as described above. The coordinates of the point (x,
Information of y, z) and work weight (W) is read from the internal memory 12 (step S3). Then, the natural frequency is calculated based on this value (step S4). Based on this natural frequency, the timing of the first and second vibrations is adjusted as described above, and the vibration generated by the first vibration is 2
The control that is damped by the second vibration is calculated and stored in the internal memory. (Step S5). Then, it is determined whether or not the calculation of the natural frequency has been completed for all the target points. If the calculation is not completed, the process returns to step S3, and if it is completed, the natural frequency calculation program is ended.
【００２０】以上、本実施例においては３軸直交型のロ
ボットについて説明したが、多関節型のロボットにおい
ても、その可動範囲の複数の点において実測を行い、こ
の実測によって得られたデータを基に、固有振動数をロ
ボットアームの位置（姿勢）とワークの質量の関数とし
て表すことができる。よって、本発明の範囲は３軸直交
型ロボットに限らず、その他の構成を有するロボットに
おいても適用可能である。Although the three-axis orthogonal type robot has been described in the present embodiment, the articulated robot is also actually measured at a plurality of points in its movable range, and the data obtained by the actual measurement is used as a basis. In addition, the natural frequency can be expressed as a function of the position (posture) of the robot arm and the mass of the work. Therefore, the scope of the present invention is not limited to the three-axis orthogonal robot, but is applicable to robots having other configurations.
【００２１】また、実施例おいてはワークの質量を変数
として取り扱ったが、ハンド部４を作業内容に応じたも
のに取り替えて作業する場合も考慮して、このハンド部
４の質量も含めた質量を変数として取り扱うことも可能
である。Further, although the mass of the work is treated as a variable in the embodiment, the mass of the hand 4 is also included in consideration of the case where the hand 4 is replaced with a work according to the work content. It is also possible to treat mass as a variable.
【００２２】[0022]
【発明の効果】以上のように本発明によれば、固有振動
数を算出するための予測式を、予め固有振動数と、ロボ
ットアームの位置とワークの質量との関数として求めて
おくことにより、任意の点における固有振動数を予測す
ることができる。そして、作業内容ごとに固有振動数の
測定を行う必要がなく、また新たな作業を行う場合に
も、あらためて測定を行う必要がない。よって、作業の
効率化を図ることが可能となる。As described above, according to the present invention, the predictive equation for calculating the natural frequency is obtained in advance as a function of the natural frequency, the position of the robot arm and the mass of the work. , The natural frequency at an arbitrary point can be predicted. Further, it is not necessary to measure the natural frequency for each work content, and it is not necessary to measure again when performing a new work. Therefore, the work efficiency can be improved.
【図１】本発明にかかる実施例の構成を示す図である。FIG. 1 is a diagram showing a configuration of an exemplary embodiment according to the present invention.
【図２】本実施例の制御系のブロック図である。FIG. 2 is a block diagram of a control system of this embodiment.
【図３】本実施例の操作を示すフローチャートである。FIG. 3 is a flowchart showing the operation of this embodiment.
【図４】実際に固有振動数を測定したデータの一部を示
す図である。FIG. 4 is a diagram showing a part of data obtained by actually measuring a natural frequency.
【図５】一般的な３軸直交型ロボットの構成を示す図で
ある。FIG. 5 is a diagram showing a configuration of a general 3-axis orthogonal robot.
１ Ｘフレーム ２ Ｙフレーム ３ Ｚフレーム ４ ハンド部 ５ ワーク １０ コントローラ １１ ＣＰＵ １２ 内部メモリ １４ サーボモータ 1 X frame 2 Y frame 3 Z frame 4 Hand part 5 Work piece 10 Controller 11 CPU 12 Internal memory 14 Servo motor
Claims (1)
うロボットアームの固有振動数の算出方法であって、 前記ロボットアームの可動範囲内の複数箇所で、複数種
の質量のワークを移動させたときの固有振動数を各々測
定するステップと、 前記測定された固有振動数を基に、固有振動数をロボッ
トアームの作動位置とワーク質量との関数として表すス
テップと、 任意のアーム作動位置と任意のワーク質量における固有
振動数を前記の関数に基づき算出するステップと、を含
む固有振動数の算出方法。1. A method of calculating a natural frequency of a robot arm for gripping a work and moving the work, comprising moving a work of a plurality of types of mass at a plurality of locations within a movable range of the robot arm. The step of measuring the natural frequency of the robot arm, the step of expressing the natural frequency as a function of the working position of the robot arm and the work mass, based on the measured natural frequency, and an arbitrary arm working position. Calculating a natural frequency in an arbitrary work mass based on the above function.
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP5067855A JP3072687B2 (en) | 1993-03-26 | 1993-03-26 | Calculation method of natural frequency |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP5067855A JP3072687B2 (en) | 1993-03-26 | 1993-03-26 | Calculation method of natural frequency |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH06278080A true JPH06278080A (en) | 1994-10-04 |
| JP3072687B2 JP3072687B2 (en) | 2000-07-31 |
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ID=13356988
Family Applications (1)
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|---|---|---|---|
| JP5067855A Expired - Fee Related JP3072687B2 (en) | 1993-03-26 | 1993-03-26 | Calculation method of natural frequency |
Country Status (1)
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|---|---|
| JP (1) | JP3072687B2 (en) |
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