JPH0520406A

JPH0520406A - メタボール多角形分割装置および画像装置

Info

Publication number: JPH0520406A
Application number: JP3172694A
Authority: JP
Inventors: Hiroshi Komazaki; 弘駒崎
Original assignee: Fujitsu Ltd
Current assignee: Fujitsu Ltd
Priority date: 1991-07-12
Filing date: 1991-07-12
Publication date: 1993-01-29

Abstract

(57)【要約】【目的】メタ表面を多角形近似する。【構成】メタボールの形状、色等のデータを格納した
メタボールのデータベース10から互に影響させ合いたい
一連のメタボールのデータをメタボールデータ管理部11
が取り出し、メタ表面多角形分割分割12は、指定された
分割数で一連のメタボールを分割し、その分割座標に対
応したメタ表面上の座標を求め、このメタ表面上の座標
より多角形を形成し、セグメントバッファ13に格納す
る。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、画像生成ならびに画像
表示の分野において、“メタボール（正確にはメタ表
面）”を高速に表示するための画像生成並びに画像表示
技術に関する。近年、“メタボール”を用いて、効果的
に曲面を表示することが行われている。メタボールを用
いると、滑らかに面を接続することが可能であるため、
人体などの画像の生成などに役立つ。

【０００２】

【従来の技術】図２は、従来のメタボールによる画像生
成法の原理図である。本画像生成法は参考文献（西村
他、「分布関数による物体モデリングと画像生成の一手
法」、電子通信学会論文誌、’85／４，Ｖol. Ｊ68−Ｄ
No.４）に開示されている。図２中、200 は、メタボー
ルの形状データなどを格納したメタボールデータベー
ス、201 は、視点から発射されたレイと各メタボールが
交差するか否かを判定するメタボール‐レイ交差判定
部，202 は、レイとメタボールが交差する場合に、レイ
とメタ表面との交点をｔリストを用いた方法で求める、
メタ表面‐レイ交点計算部、203 は、レイとメタ表面と
交点と照明情報などから、スクリーンの画素の明るさ・
色などを算出するライティング部、204 は、各画素の明
るさ・色を蓄積するフレームバッファ、205 は、その画
素の明るさ・色を表示するＣＲＴディスプレイである。

【０００３】メタボールは、３次元空間に配置された点
電荷の作り出す等電位面をヒントに、形状に応用したも
のである。しかしながら、実際の点電荷の分布関数は無
限の範囲に広がっているために、通常分布関数を有限の
範囲に収めたものを用いる。また、分布関数で表現され
ているために、形状表面が陽に関数表現できないという
特徴がある。これを用いて画像を生成するには、例え
ば、上述の参考文献に述べられているような方法では、
図３のように、レイトレーシング（光線追跡法）を用い
て、画像を生成する。

【０００４】この原理は、視点からスクリーン上の画素
に向かってレイを発射し、視線と交差するメタボールを
選別し、その各メタボールの視線上に於ける分布関数を
求め、その分布関数の値の和があるしきい値（threshol
d ）を越えた点を、レイとメタ表面（後述の定義参照）
との交点とすることにある。その交点を求める方程式
は、一般には代数的に解くことが出来ないために、上述
の参考文献では、各メタボールの視線上の分布関数を幾
つかの区間に分け、その各区間で方程式を近似的に解
く、「可変節点位置近似解法」を用いている。

【０００５】次に上述したメタボール、メタ表面、ｔリ
ストの定義を説明する。（ａ）メタボールメタボールの定義は２，３存在するが、大阪学院大学教
授（元大阪大学助教授）大村晧一工学博士の定義による
メタボールは、以下のような分布関数ｗ_i（x，y ，z
）を用いた式で表される。すなわち、個々のメタボー
ルｍ_iは、中心位置ｃ _i．半径ｂ_i．重みｄ_iなどによ
って、以下のように定義される。

【０００６】

【数１】ここで、ベクトルは英字の下線付きで表わしｃは位置ベ
クトルを表わす。また、この形状の外側へと向かう法線
ベクトルｎは

【数２】で表わされる。式（１）の部分をメタボールの核、式
（２）の部分をメタボールの裾という。

【０００７】（ｂ）メタ表面幾つかのメタボールを使用した場合（メタボール単独で
もよい）、それらで構成される形状の分布関数は、各々
のメタボールの分布関数の和になる。つまりメタボール
ｍ_iがメタボールの集合Ｍの要素であるとき、この集合
Ｍが成す形状の分布関数の表面は、

【数３】である。ただし、Ｔはしきい値（threshold ）で、通常
簡単のために１とおくことが多い。この式で定義された
形状（すなわち、分布関数ｗ（x ，y ，z ）のしきい値
がＴ以上になった部分）の表面を、メタ表面という。我
々が通常画像で見ている図４のようなメタボールの表面
は、実はこのメタ表面である（メタボールは、あくまで
球の形状の分布関数で定義された形状である）。

【０００８】（ｃ）ｔリスト節点番号をｋとした時、メタボールｍ_iのｔリストの要
素は、（i，ｋ，ｔ_ik）と表わされる。ｔリストは、こ
の要素をある法則に従って連結し、リスト構造にしたも
のである。

【０００９】

【発明が解決しようとする課題】従って、レイトレーシ
ングを使用してメタボールを用いた画像を生成する場
合、レイの本数だけ（つまり画素の数だけ、例えば128
×128 ドットの小さな画像だと、16384 本のレイにな
る）、メタボールとの交差判定を行う必要があり、また
レイがメタボールと交差する場合は、「可変節点位置近
似解法」を用いて、方程式を何回か解き、メタ表面との
交点を求めねばならないため、計算量が非常に多く、計
算コストも高かった。もちろん、メタボールの表面色な
どを変更した場合も、最初からレイトレーシングを用い
て画像を生成する必要があった。

【００１０】また、メタボールの画像となって現れる部
分（メタ表面）の形状が一般的にははっきりとは分から
ないため、この表面を多角形分割を行って近似し、近年
発達してきた多角形を高速に描画することができるグラ
フィックワークステーションでの描画が出来ないなどの
不都合が生じていた。なお、最近のグラフィックワーク
ステーション（ＧＷＳ）は秒速最大100 万ポリゴン（一
秒間に最大100 万枚の多角形を描画することができる）
の性能を持つものが現れている。

【００１１】本発明では、上述の問題点に鑑みてなされ
たもので、メタ表面を指定の方法で多角形で近似し、レ
イトレーシングのような高価な画像生成法を用いずにメ
タボールによる画像生成を可能とするメタボール多角形
分割装置および画像装置を提供することを目的とする。

【００１２】

【課題を解決するための手段】図１は本発明の原理図で
ある。同図において10はメタボールの形状・色を含むデ
ータを格納したメタボールのデータベース、11はこのメ
タボールのデータベース10から互に影響させ合いたい一
連のメタボールのデータを取り出すメタボールデータ管
理部、12は指定された分割数で前記一連のメタボールを
分割し、その分割座標に対応したメタ表面上の座標を求
めこのメタ表面上の座標より多角形を形成するメタ表面
多角形分割部、13はこの多角形データを格納するセグメ
ントバッファである。

【００１３】また、メタボールの形状・色を含むデータ
を格納したメタボールのデータベース10と、このメタボ
ールのデータベース10から互に影響させ合いたい一連の
メタボールのデータを取り出すメタボールデータ管理部
11と、指定された分割数で前記一連のメタボールを分割
し、その分割座標に対応したメタ表面上の座標を求めこ
のメタ表面上の座標より多角形を形成するメタ表面多角
形分割部12と、この多角形データを格納するセグメント
バッファ13と、この多角形データごとに輝度計算を行い
１つの多角形は同一の色を割り当てるコンスタントシェ
ーディング部14とを備えたものである。

【００１４】また、メタボールの形状・色を含むデータ
を格納したメタボールのデータベース10と、このメタボ
ールのデータベース10から互に影響させ合いたい一連の
メタボールのデータを取り出すメタボールデータ管理部
11と、指定された分割数で前記一連のメタボールを分割
し、その分割座標に対応したメタ表面上の座標を求めこ
のメタ表面上の座標より多角形を形成するメタ表面多角
形分割部12と、この多角形データを格納するセグメント
バッファ13と、この多角形データの頂点に対して輝度計
算を行い、頂点間で線形補間した色を多角形を表示する
画素に割り当てるグーローシェーディング部15とを備え
たものである。

【００１５】また、メタボールの形状・色を含むデータ
を格納したメタボールのデータベース10と、このメタボ
ールのデータベース10から互に影響させ合いたい一連の
メタボールのデータを取り出すメタボールデータ管理部
11と、指定された分割数で前記一連のメタボールを分割
し、その分割座標に対応したメタ表面上の座標を求めこ
のメタ表面上の座標より多角形を形成するメタ表面多角
形分割部12と、この多角形データを格納するセグメント
バッファ13と、この多角形データの頂点の法線よりこの
多角形を表示する各画素の法線を線形補間し、各画素ご
とに輝度計算を行うフォングシェーディング部16を備え
たものである。

【００１６】また、メタボールの形状・色を含むデータ
を格納したメタボールのデータベース10と、このメタボ
ールのデータベース10から互に影響させ合いたい一連の
メタボールのデータを取り出すメタボールデータ管理部
11と、指定された分割数で前記一連のメタボールを分割
し、その分割座標に対応したメタ表面上の座標を求めこ
のメタ表面上の座標より多角形を形成するメタ表面多角
形分割部12と、この多角形データを格納するセグメント
バッファ13と、視点から表示画面の画素に向ってレイを
発射し、視点に最も近い前記多角形上の点を求めて画像
を生成するレイトレーシング部17を備えたものである。

【００１７】

【作用】メタボールデータ管理部11はメタボールのデー
タベース10より互に影響させ合いたい一連のメタボール
のデータを取り出し、メタ表面多角形分割部12は、この
一連のメタボールのデータと、指定された分割数より、
この一連のメタボールを分割し、この分割座標に対応し
たメタ表面上の座標を求め、このメタ表面上の座標より
多角形を構成する。この多角形をセグメントバッファ13
に格納する。これによりレイトレーシングを用いてメタ
ボールとの交差判定を行う必要もなく、処理を迅速に行
うことができる。

【００１８】また、このようにして得た多角形を用い、
多角形単位で輝度計算を行って１つの多角形は同一の色
を割り当てるコンスタントシェーディングを行うことが
できる。

【００１９】また、このようにして得た多角形を用い、
この多角形の各頂点に対して輝度計算を行い、頂点間で
線形補間した色を多角形を表示する各画素に割り当てる
グーローシェーディングを行うことができる。

【００２０】また、このようにして得た多角形を用い、
この多角形データの頂点の法線より、この多角形を表示
する画素の法線を線形補間し、各画素ごとにこの法線に
基づき輝度計算を行うフォングシェーディングを行うこ
とができる。

【００２１】また、このようにして得た多角形を用い、
視点から表示画面の画素に向ってレイを発射し、視点に
最も近い多角形上の点を求めて画像を生成するレイトレ
ーシングを行うことができる。

【００２２】

【実施例】以下、本発明の実施例を図面を用いて説明す
る。第１実施例は図１に示す原理図と同一構成である。
以下構成部の動作を説明する。メタボールデータ管理部
11が、メタボールのデータベース10から、互いに影響さ
せ合いたい一連のメタボールの形状データや色・材質係
数等を取り出す。以下では、この取り出された一連のメ
タボールを、互いに影響し合う物（つまり、変形・融合
などが起き得る物、変形・融合などが起きない場合も存
在する）として扱う。

【００２３】使用者はメタ表面多角形分割部12に対し
て、分割数を指定する。この分割数は、メタボールをど
のくらいの分割数で分割するか、を指定する。具体的に
は、図５のように、メタボールの表面（メタ表面ではな
い。分布関数の値が、零になる境界。前述のメタボール
の定義式で言えば、変数ｒ_iが、メタボールの半径ｂ_i
に等しくなるところ）を、緯度方向に（または直径を）
ｍ分割（偶数）、経度方向にｎ分割、というような指示
を行う。この分割数を大きく取れば、メタ表面を細かく
多角形に分割できて精度良い近似が可能であるが、多角
形数が多くなるので、多角形への分割と分割後の多角形
の描画に時間がかかるようになるため、注意が必要であ
る。

【００２４】次に、メタ表面多角形分割部12は、分割さ
れるメタボールの数によって、処理を分岐し、メタ表面
を分割、多角形を生成する。（１）メタボールが１個しかない場合メタボールが１個しかない場合は、図６に示すように、
メタボールの中心から、メタボールの北極（又は南極で
もよい）に向かって線分を引く。しかし通常の状態では
北極・南極の区別が無いので、メタボールの中心から、
メタボールの位置を定義しているワールド座標系の座標
軸（ｘｙｚのどれか）に平行な線分を引くことにする。
この線分上に於いてメタボールの分布関数が与えられた
しきい値Ｔ（Threshold ）を越えた所を後述の探索法で
探索し、メタボールの中心から与えられたしきい値Ｔ
（Threshold ）を越えた所（メタ表面）での半径ｒを求
める。

【００２５】次に、このメタボールと中心が同じで、半
径ｒの球を考え、この球の表面を、緯度・経度方向に指
定された分割数で緯線・経線を引いて分割し、その交点
を求める。交点を求めるには、何も方程式を解く必要は
無く、球の半径ｒと緯線・経線の分割数から求められる
分割の角度から、極座標から直交座標への変換公式を使
うことで、求められる。

【００２６】この交点を分割後の多角形の頂点とし、北
極または南極から見た最初の緯線までは、北極または南
極を一つの頂点とし、北極または南極から見た最初の緯
線と、各経線との交点を頂点とする三角形に、他の部分
は各緯線・経線の交点を頂点とする四角形に分割するこ
とで、多角形分割を行う。更に以後の実施例で述べる描
画部で、多角形の頂点の法線ベクトルを必要とする場合
は、メタボールの中心から各多角形の頂点へと向かうベ
クトルを正規化することで、求めることが可能となる。

【００２７】何故このような単純処理で多角形分割が可
能かと言うと、メタボールがただ一つしかない場合は、
分布関数の値が等しくなる境界（等分布関数面）は、球
面になるからである（参考文献参照）。従って、メタボ
ールが１個しかない場合は、計算が簡単となり、処理速
度の向上に役立つ。メタボールを単独で扱う場合は、例
えば、あるメタボールを、他のメタボールと変形又は融
合等の、メタボール相互間の影響をさせずに用いたい場
合である。

【００２８】（２）メタボールの個数が、２個以上の
場合メタボールの個数が２個以上になると、メタボール相互
間の干渉（変形・融合等）を考えなければならない。そ
こで、（１）のメタボール単独の場合とは異なるアプロ
ーチを取ることにする。説明を簡単にするため、図７に
示すようにメタボール２個の場合で話を進める。まず、
（ａ）に示すように２つの相対するメタボールの中心を
通り、互いに平行な２つの大円を求める。これらの大円
を完全に含む面の方程式は、２つのメタボールの中心同
士を結ぶ線分に垂直で、各メタボールの中心を通る平面
を求めることで可能となる（平面は、法線ベクトルと平
面を通る一点が定まれば、一意に定まる）。

【００２９】次に（ｂ）に示すごとく、この大円が経線
上にあると考え、等分に分割した緯度を通る直径を求
め、（ｃ）に示すごとく、各直径を表わす線分を分割し
た点を求める。しかしながら、（１）の場合と同様、各
メタボールの北極・南極ははっきりとは分からないの
で、以下のような方法でこの大円を緯度並びに直径方向
に分割する点を求める。

【００３０】まず、どちらか片方のメタボールの外
形を表す球（中心（ｘ₀，ｙ₀，ｚ₀），半径ｒ₀）の
方程式と、その球に属する大円を完全に含む平面の方程
式（法線ベクトルｎ＝（ｎ_x，ｎ_y，ｎ_z），ワールド
座標原点からの距離ｄ₁）が、以下のようであるとす
る。平面：ｎ_xｘ＋ｎ_yｙ＋ｎ_zｚ＋ｄ₁＝０球：（ｘ−ｘ₀）²＋（ｙ−ｙ₀）²＋（ｚ−ｚ₀）²＝ｒ₀ ² また、平面の法線ベクトルｎ＝（ｎ_x，ｎ_y，ｎ_x）
は、正規化されているとする。

【００３１】次に、ｎと平行でない単位ベクトルＶ
_et を考える。Ｖ_et は以下のようにして求める。（ａ）もし｜ｎ_x｜≧｜ｎ_y｜かつ｜ｎ_x｜≧｜ｎ_z
｜ならば、Ｖ_et ＝（０，１，０）（ｂ）もし｜ｎ_y｜≧｜ｎ_x｜かつ｜ｎ_y｜≧｜ｎ_z
｜ならば、Ｖ_et ＝（０，０，１）（ｃ）もし｜ｎ_z｜≧｜ｎ_x｜かつ｜ｎ_z｜≧｜ｎ_y
｜ならば、Ｖ_et ＝（１，０，０）つまり、ｎの各要素の中で、絶対値最大の成分以外の成
分のうち一つが１であるような単位ベクトルを考えれば
良い。

【００３２】ｎとＶ_et との外積を、Ｖ_i とする。す
なわち、Ｖ_i ＝ｎ×Ｖ_et ｎとＶ_i との外積を、Ｖ_j とする。すなわち、Ｖ_j
＝ｎ×Ｖ_i

【００３３】与えられた緯度方向の分割数をＮとす
ると、大円における１分割数あたりの角度Δθは、Δθ
＝２π／Ｎである。また直径方向分割数をＭ（偶数）と
すると、半径方向の半径の増加分Δｒは、２ｒ₀／Ｍと
なる。この時、大円の中心から放射状に緯度方向分割数
Ｎと同じ本数の線分を出し、それらを直径方向に分割し
た際の、各点の座標Ｐ_mk は、Ｐ_mk ＝ｍΔｒ（Ｖ_i cos （ｋΔθ）＋Ｖ_j sin （ｋΔ
θ）＋（ｘ₀，ｙ₀，ｚ ₀）で求められる。ただし、１≦ｍ≦Ｍ／２、０≦ｋ≦Ｎの
整数である。

【００３４】以上のような方法で図７（ｃ）に示すよう
にこの大円を緯度方向並びに直径方向に分割する点を求
める。この方法を用いて、２つのメタボールの大円内と
大円の円周上に点を発生させるのであるが、片方のメタ
ボールに対して上記Ｐの式の第一項を求めたら、もう片
方のメタボール内の大円の各点の座標は、この式の第一
項にそのメタボールの中心座標を加えることで求められ
る。この手法で点を発生させた後、図８のように、２つ
の大円同士で対応する２点を通る直線を求め、これが片
方のメタボールと交差する点を求める。この方法は以下
のようである。

【００３５】便宜上、一方のメタボールを「メタボール
０」、もう一方のメタボールを「メタボール１」とす
る。メタボール０の大円上の点をＰ₀ ＝（Ｐ_0x，Ｐ_0y，
Ｐ_0z）、Ｐ₀ に対応するメタボール１の大円上の点をＰ
₁ とすると、点Ｐ₀ から点Ｐ₁ へ向かう直線の方程式
（ｔをパラメタとする媒介変数表示）は、以下のように
なる。

【数４】となる。ここで、Ａ＝（Ａ_x，Ａ_y，Ａ_z）は直線の方
向ベクトルで、以下のようになる。

【数５】

【００３６】要するに、ベクトルＡはベクトル（Ｐ₁ −
Ｐ₀ ）の単位ベクトルである。この直線の方程式（６）
と、メタボール０との交点を求める。メタボールの表面
（分布関数の値が零となるところ）は球状であるので、
交点は以下のように二次方程式を解くことで求められ
る。メタボール０の表面の方程式（中心（ｘ₀，ｙ₀，
ｚ₀），半径ｒ₀）：（ｘ−ｘ₀）²＋（ｙ−ｙ₀）²＋（ｚ−ｚ₀）²＝ｒ₀ ² これに直線の方程式を代入し、ｔについて整理すると、 αｔ²＋βｔ＋γ＝０ ……（８）

【００３７】ここで、

【数６】である。ただし、αは計算せずとも１であることが分か
っているので、求める必要はない。（それは、レイの方
向ベクトルが正規化されているため、αの値が常に１と
なるからである）。なお、この計算には、あらかじめＰ
_0x−ｘ₀，Ｐ_0y−ｙ₀，Ｐ_0z−ｚ₀を計算しておいてか
ら、各係数の計算を行ったほうが良い。

【００３８】次に方程式（８）は二次方程式であるの
で、この判別式をＤとすると、その値は、Ｄ＝β²−４γ ……（10）と計算される。ここで点Ｐ₀ は、メタボール０の内部に
ある点であるので、この直線はメタボール０と２つの交
点を必ず持つ。それらの交点のうちｔの値の小さい方を
ｔ₁、大きい方をｔ₂とすると、これらは以下のように
求めることができる。ｔ₁＝（−β−√Ｄ）／２ ……（11）ｔ₂＝（−β＋√Ｄ）／２ ……（12）ただし、求める必要のあるのはｔ₁だけである。それ
は、図８のように、ｔ₁に対応するメタボール０上の点
Ｓ₀ は直線の始点から見て、直線の方向ベクトルとは逆
方向に有るからで、このためｔ₁は常に負、ｔ₂は常に
正となるからである。そこで、ｔ₁に対応するメタボー
ル０上の点Ｓ₀ の座標を求める。

【００３９】

【数７】以上の手順で交点Ｓ₀ が求まったら、次にメタ表面を多
角形分割するために、この点を起点とし、方向ベクトル
Ａである直線の方程式を考え、これをレイとする。そし
て、後述する方法で、このレイとメタ表面との交点を求
め、分割後の多角形の頂点とする。また多角形の頂点に
おける法線ベクトルが必要ならば、後述する方法で求め
ることが可能である。

【００４０】（３）メタボールの数が３個以上の場合基本的には２個の場合の拡張と考えて良い。２個のメタ
ボールを一組として考え、全ての組み合わせについて向
かい合う大円をセットし、大円内に放射状の点を求め、
メタ表面との交点を求めて、多角形の頂点（と必要なら
ば頂点の法線ベクトル）を求める。

【００４１】以上の手順で求められた多角形群は、セグ
メントバッファ13の多角形のデータベースに格納され
て、後の表示に使用される。この方法でメタ表面を多角
形に分割すると、普通のレイトレーシングでメタボール
を画像にするよりもはるかに少ないレイ・メタボールの
交点計算の量で、画像の生成が出来るなどの利点があ
る。

【００４２】次にメタボールが単独で存在する場合の、
交点探索法について説明する。例として、世界座標系の
ｘ軸に平行な線分を、メタボールの中心から引くことに
すると、この線分を含む直線の方程式は、以下のように
なる。

【数８】ｃ＝（ｃ_x，ｃ_y，ｃ_z）はメタボールの中心で、ｔ≧
０である。この線分は、中心から半径方向に外向きに引
かれる。また、このメタボールの分布関数の式を、メタ
ボールの中心からの距離をｒとして、以下のように定義
する。

【００４３】

【数９】ここでｂはメタボールの半径、ｄはメタボールの重みで
ある。一方、メタボールの中心からこの線分上の点まで
の距離をｔ（ｂ≧ｔ≧０）とすると、この線分上のメタ
ボールの分布関数は、図９のようになる。また、上述の
参考文献より、線分上の分布関数の式ｗ（ｔ）は、

【数１０】したがって、しきい値Ｔ（Ｔ＜ｄとしないと、しきい値
がメタボールの分布関数の最大値よりも高い所に出てし
まうので、交点が無くなる）とし、また、線分の始点か
らｔが正になる方向だけを考えればいいので、以下の３
個の方程式を立てれば良い。

【数１１】

【００４４】この三個の方程式のうち、最後のものはあ
り得ない（というか関係ない）ので考慮の対象から外
す。残りをｔについて解くと、

【数１２】となる。実際にはこの二つの解を両方求めてみて、それ
ぞれの区間に入ったものを本当の解とする。これで求め
られた解を前述のメタボールが１個しかない場合での、
しきい値Ｔを越えた所までの半径ｒとして用いる。

【００４５】次にメタボールが２個以上存在する場合
の、交点探索法について説明する。この場合には、交点
の座標は上述のメタボールが１個のときのように解析的
には求められないことが分かっている（上述の参考文
献）。そこで、次のような「可変節点位置近似解法」を
用いる。

【００４６】処理ａメタボールｍ_i（i ＝０，１，‥
‥）とレイとの交差判定（その１）レイの方向余弦をＡ＝（Ａ_x，Ａ_y，Ａ_z），その始点
をＳ₀ ＝（Ｓ_0x，Ｓ_0y，Ｓ_0x）とすると、ｔを媒介変数
としたレイの方程式は以下の式（19）のようになる。

【数１３】また、交差判定の対象となるメタボール（メタ表面では
ない）ｍ_i（i ＝０，１，‥‥）上の点Ｐは、各メタボ
ールの半径をｂ_i，中心をｃ _iとするとき、一般的に以
下のような式で表現できる。｜Ｐ−ｃ _i｜²＝ｂ_i ² ……（20）この式に、上記レイの方程式（19) を代入して整理する
と、以下のｔに関する２次方程式（21) が導かれる。ｔ²＋Ｂ_iｔ＋Ｃ_i＝０ ……（21）

【００４７】ここで、

【数１４】である。処理ａでは、上記方程式（21）の係数Ｂ_i，Ｃ
_iを求める。

【００４８】処理ｂメタボールｍ_iとレイとの交差判
定（その２）方程式（21）は２次方程式であるから、その判別式をＤ
_iとすると、その値は、Ｄ_i＝Ｂ_i ²−Ｃ_i ……（23）と計算される。この判別式（23）の値が負か零であれ
ば、今交差判定を行っているメタボールはレイと交点を
持たないので、次のメタボールとの交差判定に移る。い
ずれのメタボールとの交点も無いという場合はあり得な
い（何故なら、レイの始点がメタボール上の点であるか
ら）。もしこの判別式の値が正ならば、今交差判定を行
っているメタボールはレイと交点を持つ（かもしれな
い）ので、Ｄ_iの値を取っておき、次の処理ｃへいく。

【００４９】処理ｃレイの始点から各メタボールとの
交点までの距離計算このメタボールｍ_iは、レイと２つの交点を持つ可能性
がある。そこで、ｔ_di＝√Ｄ_iと−Ｂを一度だけ求め、
その値をとっておき、以下の処理で使用する。そして、
レイの始点から各交点までの距離のうち、値の大きな方
ｔ_i+を、以下の式（24）で求める。ｔ_i+＝−Ｂ_i＋ｔ_di ……（24）また、レイの始点から各交点までの距離のうち、値の小
さなｔ_i-を、以下の（25）式で求める。ｔ_i-＝−Ｂ_i−ｔ_di ……（25）以上の処理ａ〜処理ｃまでの処理を、関係する全メタボ
ールについて行い、交点のあったメタボールについての
み、各ｔ_i+，ｔ_i-を適切なデータ構造で保存しておく。

【００５０】次に，レイ上の分布関数の方程式ｗ
^#（ｔ）＝Ｔを解いて、メタ表面とレイとの交差判定・
交点計算を行う。Ｔはしきい値である。レイ上の分布関
数の近似方程式を、以下のようにおく。ｗ^#（ｔ）＝ａｔ²＋ｂｔ＋ｃ＝Ｔ ……（26）係数ａ，ｂ，ｃの初期値を零とする。

【００５１】処理ｄｔリストの生成処理ａ〜ｃで求めた視点からメタボールｍ_iまでの距離
のうち、ｔ_i-を節点番号零の点におけるｔ_i0に対応させ
る（ｔ_i+をｔ_i3に対応させる）。そこで、要素（i ，
０，ｔ_i0）をｔリストの要素とし、ｔ_i0の小さい順にｔ
リストの全要素をソートし、ポインタで接続してｔリス
トを生成する。ｔリストの要素数が１個しかない（メタ
ボールの数が１個しかない）場合はありえない。

【００５２】処理ｅｔリストの処理（その１）ｔリストの先頭の要素が（ｍ，ｎ，ｔ_mn）の時、メタボ
ールｍ_mの節点ｎ（ｎ＝０，１，２，３）に関する近似
分布関数Ｗ^#（ｔ）の各係数の変化分Δａ，Δｂ，Δｃ
を求め、今までのａ，ｂ，ｃに加える。Δａｔ²＋Δｂ
ｔ＋Δｃは以下のようになる。

【数１５】ただし、ｈ_iはレイとメタボールｍ_iの中心との最短距
離、ｅ_iはｈ_iの関数で、次式（28）のような形をして
いる。

【数１６】

【００５３】処理ｅｔリストの処理（その２）ｔリストの２番目の要素が（ｐ，ｑ，ｔ_pq）の時、区間
〔ｔ_mn，ｔ_pq〕で２次方程式ｗ^#（ｔ）＝Ｔを解く処理
を行い、ｔリストの先頭要素を（ｍ，ｎ＋１，ｔ_mn+1）
と更新する。ただし、ｎ＝３の場合はｔリストの先頭の
要素を取り除く。取り除いた結果、ｔリストの要素が
（ｋ，１，ｔ_k1）だだ１つになった場合は、メタボール
が１個の場合の特殊処理（後述する処理ｊ）を行って、
交点を探索する。もちろん、ｔリストの要素が１個の場
合で１が４ならば、もう交差判定の対象となるメタボー
ルは無いわけであるが、そのような場合は存在しない
（必ず２個以上のメタボールと交差するから）。ｔリス
トの要素（i ，ｋ，ｔ_ik）のうち、節点番号１と２に対
応するｔ_ikの値ｔ_i1，ｔ_i2は以下のように求められる。
これらの値は必要になった時点で求める。もちろん、ｅ
_iの計算は一度だけで済ませる必要がある。ｔ_i1＝−Ｂ_i−ｅ_iｔ_di ｔ_i2＝−Ｂ_i＋ｅ_iｔ_di

【００５４】処理ｆ方程式の判別と求解処理ｅで解いた方程式の解が得られた（処理法は以降に
記す）ならば処理ｇへ。もし解が得られなければ、ｔリ
ストをｔ_ik（定義（ｃ）参照）の小さい順にソートし直
す。ｔリストの要素が無くなるまで、処理ｅから繰り返
す。ｔリストの要素が全て無くなるまで方程式の解が得
られないならば、レイと交差するメタ表面は無い（こう
いう場合はあり得る）。

【００５５】次に処理ｅで解いた方程式の解が得られた
場合の処理法について説明する。（１）方程式（26）が、２つの異なる実数解を持つ場
合（方程式の判別式が正の場合）得られた解が、区間〔ｔ_mn，ｔ_pq〕に入っているかどう
かを確認する。区間からはみ出した解は採用しない（他
の区間で他の値の解が求まるから）。また、得られた解
の符号によって処理が変化するので注意が必要である。
２つの解のうち、大きな方をｔ₊，値の小さな方をｔ_-
とし、先にｔ₊を求める。ｔ₊の符号により、以下の
（ａ）（ｂ）に処理が分かれる。

【００５６】（ａ）ｔ₊が正の場合ｔ₊に対応する交点は、レイの始点から見てレイの進行
方向にある（以下レイの始点から見たレイの進行方向を
「レイの始点の前」という。よって、レイの始点から見
た進行方向と逆の方向を「レイの始点の後ろ」とい
う）。次に、レイの始点から各交点までの距離のうち、
値の小さな方ｔ_-を求める。ｔ_-の符号によって、処理
が以下の，の２つに分かれる。ｔ_-が負か零の場合ｔ_-に対応する交点は、レイの始点の後ろ（レイの始点
から見て、レイの進行方向と逆方向）に有るか、レイの
始点がメタ表面によってできる形状の内部に有る形にな
る。また、ｔ_-が零の場合は、レイの始点がメタ表面に
よってできる形状の表面にある。従って、ｔ₊に対応し
た交点のみを計算することとする。その他詳細は後述す
る処理ｈ参照。ｔ_-が正の場合ｔ_-に対応する交点も、ｔ₊に対応する交点と同じく、
レイの始点の前に有る。また、計算式（24），（25）か
ら明らかなように、ｔ_-＜ｔ₊である。そこで、ｔ_-，
ｔ₊に対応した交点の座標Ｐ_-，Ｐ₊を処理ｈで求める
（ここでは計算しない）。これがメタ表面とレイとの交
点の座標である。

【００５７】（ｂ）ｔ₊が負か零の場合ｔ₊は、レイの始点からの交点までの距離のうち、大き
い方に対応している。したがって、この値が負か零であ
るということは、２つの交点が両方ともレイの始点の後
ろに有る（ｔ₊が負の場合）か、若しくはｔ_-に対応す
る交点はレイの後ろに有り、ｔ₊に対応する交点はメタ
表面上に有る（ｔ₊が零の場合）ことを意味する。この
ような場合は、交点が有るとはみなさない。よって、次
のメタ表面との交点を探索する。

【００５８】（２）方程式（26）が、１つの重解を持
つ場合（方程式の判別式が零の場合）得られた解に対応する交点は、レイとメタ表面が接触す
る場合に相当する。このような場合は、交点があるとは
見なさない。（３）方程式（26）が、２つの複素数解を持つ場合
（方程式の判別式が負の場合）この場合は、解は得られない。

【００５９】処理ｇｔリストの処理（その３）処理ｆで解が得られた時、レイとの交点Ｐにおいて、メ
タ表面の色や表面状態に影響を与えるメタボールの集合
は、ｔリストからｋ＝０の要素に対応したメタボールを
取り除いたものである。すなわち、もしｔリストの要素
が（ｊ，０，ｔ _j0）ならば、ｊ番目のメタボールはメタ
表面に影響を与えない。また、ｔリストの先頭要素が
（ｊ，３，ｔ_j3）ならば、ｊ番目のメタボールもメタ表
面に影響を与えない。なぜならば、ｔ_j3から始まる区間
のメタ表面には、ｊ番目のメタボールは影響を与えない
からである。

【００６０】処理ｈ交点と法線ベクトルの計算処理ｆで、方程式の解（すなわち視点からの距離）が求
められたので、交点の座標がわかる。視点から交点まで
の距離（方程式の解）をｔ_eqとし、交点Ｐの座標を（Ｐ
_x，Ｐ_y，Ｐ_z）とすると、その値は以下の式（29）で
求められる。

【数１７】

【００６１】法線ベクトルの各要素は、交点に関係する
各メタボールの関数式の和の関数式を、ｘ，ｙ，ｚの各
成分で偏微分したものである。和の関数式をｗ（ｘ，
ｙ，ｚ），各メタボールの関数式をｗ₀（ｘ，ｙ，
ｚ），ｗ₁（ｘ，ｙ，ｚ），‥‥‥‥ｗ_N-1（ｘ，ｙ，
ｚ）とすると、交点における法線ベクトルｎの各成分
（ｎ_x，ｎ_yｎ_z）は、

【数１８】となる。法線ベクトルを正規化することは、いうまでも
ない。

【００６２】処理ｉ全ての交点を求める同様にして、レイとメタ表面との交点をすべて求め、交
点座標、交点における法線ベクトル、各交点に影響を及
ぼすメタボールの番号、関数値を出力する。この際に注
意することは、（ａ）ｔリストの先頭の要素を（ｍ，ｎ，ｔ_mn）とした
時、ｎが３である場合は、この要素はメタボールｍ_mの
分布関数の右端を示すので、ｔ_mnで始まる区間にはメタ
ボールｍ_mは影響を及ぼさない。（ｂ）ｔリストの先頭の要素を、（ｍ，ｎ，ｔ_mn）とし
た時、ｎが０である場合は、この要素はメタボールｍ_m
の分布関数の左端を示すので、ｔ_mnで終わる区間にはメ
タボールｍ_mは影響を及ぼさない。つまり、ｔリストの値と区間とをよく見て、交点に影響
を与えるメタボールを選択する必要がある、ということ
である。

【００６３】処理ｊメタボールがただ１個しかなくな
ってしまった場合（もしくはこれと同等の場合）の特殊
処理この場合は４つの節点に区切られた３つの区間内で順番
に解を探索する必要がある。

【００６４】次に第２実施例を説明する。第２実施例か
ら以降に述べる第５実施例までは、いずれも第１実施例
で得られた多角形データを用いて画像処理する装置であ
り、，本実施例はコンスタントシェーディング（又はフ
ラットシェーディング）処理を行う装置である。図10は
第２実施例の構成を示すブロックで図１と同一符号のも
のは同一の機能を表わす。

【００６５】図10において、一点鎖線で囲った範囲がコ
ンスタントシェーディング部14であり、1001はセグメン
トバッファ13に格納された多角形を管理し以降の処理の
ために取り出すセグメント管理部、1002は多角形の明る
さ、色など輝度計算を行うライティング部、1003は多角
形のうち視界から外れた部分を取り除くクリッピング
部、1004は多角形に色塗りをする面塗り部、1005はアナ
ログ量を計数形の表現にする微分解折器で直線のラスタ
化を行うＤＤＡ（Digital Differential Analyzer ）
部、1006は視点から見えなくなる部分を消去する隠面消
去部、1009は視点より見える画素のＺ値を格納するＺバ
ッファ、1007はＣＲＴ1008に表示するデータを格納する
フレームバッファである。

【００６６】次に動作について説明する。セグメントバ
ッファ13に格納された多角形データは、セグメント管理
部1001によって一枚ずつ取り出され、多角形ライティン
グ部1002で照明情報や各図形の色などから各多角形毎の
ライティングを行う。次に、クリッピング部1003で視野
に入らない部分を刈り込まれ、面塗り部1004で走査線
（スキャンライン）毎の形状に分けられ、さらにＤＤＡ
部1005によって３次元ＤＤＡの手法により画素の集合ま
でに展開される。ここで隠面消去部1006は、ＤＤＡ部10
05で展開された各画素のＺ値をＺバッファ1009に格納さ
れている該当画素のＺ値と比較して、今展開された画素
が、可視であるかどうかを判定する。これは例えばＺ値
が小さければ可視であるとあらかじめ設定されている場
合は、Ｚ値が今まで格納されているＺ値よりも小さけれ
ば可視と判定する。この隠面消去の手法は、３次元ＣＧ
（コンピュータグラフィック）の分野においては、Ｚバ
ッファ隠面消去と呼ばれ、広く用いられている方法であ
る。また、アルゴリズムが高速でそのうえハードウェア
化し易いため、グラフィックワークステーション (ＧＷ
Ｓ）などの様々な分野で用いられている。また、画素の
色には、多角形ライティング部1002で付けられた色がそ
のまま表示される。このような手法を、フラットシェー
ディング（またはコンスタントシェーディング）とい
い、曲面を近似的に表示するにはあまり向かないが、非
常に高速な画像生成手段である。

【００６７】次に第３実施例を説明する。図11は第３実
施例の構成を示すブロック図である。一点鎖線で囲まれ
た範囲がグーローシェーディング部15である。本実施例
は、第２実施例が多角形ごとに色付けしたのに対し、多
角形の各頂点おける色から各頂点間の画素の色を線形補
間し、色表現を行うようにしたもので、なめらかな色付
けとなる。このため多角形ライティング部1002が頂点ラ
イティング部1102となり、これ以降のクリッピング部11
03、面塗り部1104、ＤＤＡ部1105、隠面消去部1106が頂
点ライティング部1102の出力に対応した処理を行う。

【００６８】次に動作について説明する。セグメントバ
ッファ13に格納された多角形データは、セグメント管理
部1001によって一枚ずつ取り出され、頂点ライティング
部1102で照明情報や各図形の色などから各多角形の頂点
のライティングを行う。次に、クリッピング部1103で視
野に入らない部分を刈り込まれ、面塗り部1104で走査線
（スキャンライン）毎の形状に分けられ、さらにＤＤＡ
部1105によって３次元のＤＤＡの手法により画素の集合
までに展開される。ここで隠面消去部1106は、ＤＤＡ部
1105で展開された各画素のＺ値をＺバッファ1009に格納
されている該当画素のＺ値と比較して、今展開された画
素が、可視であるかどうかを判定する。

【００６９】これは例えばＺ値が小さければ可視である
とあらかじめ設定されている場合は、Ｚ値が今まで格納
されているＺ値よりも小さければ可視と判定する。この
隠面消去の手法は、第２実施例と同じであるが、クリッ
ピング部1103からＤＤＡ部1105までの間では、多角形の
頂点の色を線型補間によって画素の段階の色に至るまで
求められ、各画素毎の色となって、フレームバッファ10
07に書き込まれて、ＣＲＴ1008によって表示される。こ
のような手法を、グーローシェーディングと言い、高速
であり、写実的な画像を生成できる画像表示手段の一つ
である。

【００７０】次に第４実施例を説明する。図12は本実施
例の構成を示すブロック図であり、一点鎖線で囲まれた
範囲がフォングシェーディング部16である。本実施例
は、画像生成手段として、多角形分割時に生成された頂
点の法線ベクトルを使用し、頂点ライティングを行わ
ず、クリッピング部1203からＤＤＡ部1205までの間にお
いては、頂点の色を線型補間するのでは無く、頂点にお
ける法線ベクトルから各画素における法線ベクトルを線
型補間によって求め、さらに隠面消去終了後の画素に対
してライティング部1202が各画素毎の法線ベクトルと照
明情報や各図形の色などを用いてライティングを行い、
フレームバッファ1007に書き込む。この手法を、フォン
グシェーディングと言い、各画素毎の法線ベクトルを使
用してライティングを行うため、グーローシェーディン
グよりもより計算量は増加する（グーローシェーディン
グは１次元の色の補間だが、フォングシェーディングは
３次元ベクトルの補間を行う必要がある）が、グーロー
シェーディングより写実的な画像を生成することが可能
である。

【００７１】次に第５実施例を説明する。図13は本実施
例の構成を示すブロック図であり、一点鎖線で囲まれた
範囲がレイトレーシング部17である。本実施例は、画像
生成手段として、多角形分割で生成された多角形に対
し、レイトレーシングによる画像生成を行うものであ
る。レイトレーシングは、前述のように視点から画素に
向かってレイを発射し、そのレイと交点を持つ物体（こ
の場合は多角形）を探索するものである。この処理を行
うのが、交差判定／交点計算／隠面消去部1301である。
この名称からはこの部分を３つの部分に分けられそうで
あるが、実際には各画素毎に、レイが多角形と交差するか（交差判定）交差するならば、レイと多角形との交点を求める
（交点計算）レイと多角形との複数の交点の中で、一番視点に近
いものを求める（隠面消去）という処理を行うため、分
けることは出来ない。画像生成手段としてレイトレーシングを用いると、鏡面
反射／透過などの実際の光の振る舞いに近い画像表現が
出来る反面、計算量が多くなる。しかしながら、メタボ
ールを直接交差判定の対象とするのではなく、多角形を
その対象とするために、その処理量は小さくなる、とい
う利点もある。また、交差判定／交点計算／隠面消去部
1301では、交点における法線ベクトルも求めるため、第
４実施例におけるライティング部1202以降が、そのまま
使用可能である。

【００７２】

【発明の効果】以上の説明から明らかなように、本発明
はメタボールを分割し、それに対応したメタ表面に多角
形を形成することによりメタボールを使用した画像を高
速に生成することができる。またこのようにして得た多
角形データを、コンスタントシェーディング、グーロー
シェーディング、フォングシェーディング、レイトレー
シングなどの手法を用いて画像処理を行うことができ
る。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の原理図である。

【図２】従来の手法を実現するブロック図である。

【図３】レイトレーシングの原理を説明する図である。

【図４】メタ表面の画像の例を示す図である。

【図５】経度方向と緯度方向分割の説明図である。

【図６】メタボール１個の場合のメタ表面算出説明図で
ある。

【図７】メタボール２個の場合の緯度方向の分割および
直径方向の分割点の説明図である。

【図８】多角形分割前処理でメタ表面との交点を探索す
る説明図である。

【図９】分布関数を示す図である。

【図１０】本発明の第２実施例の構成を示すブロック図
である。

【図１１】本発明の第３実施例の構成を示すブロック図
である。

【図１２】本発明の第４実施例の構成を示すブロック図
である。

【図１３】本発明の第５実施例の構成を示すブロック図
である。

【符号の説明】

10 メタボールデータベース 11 メタボールデータ管理部 12 メタ表面多角形分割部 13 セグメントバッファ 14 コンスタントシェーディング部 15 グーローシェーディング部 16 フォングシェーディング部 17 レイトレーシング部 1001 セグメント管理部 1002 多角形ライティング部 1102 頂点ライティング部 1202 ライティング部 1003，1103，1203 クリッピング部 1004，1104，1204 面塗り部 1005，1105，1205 ＤＤＡ部 1006，1106，1206 隠面消去部 1007 フレームバッファ 1008 ＣＲＴ 1009 Ｚバッファ

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】メタボールの形状・色を含むデータを格
納したメタボールのデータベース（10）と、このメタボ
ールのデータベース（10）から互に影響させ合いたい一
連のメタボールのデータを取り出すメタボールデータ管
理部（11）と、指定された分割数で前記一連のメタボー
ルを分割し、その分割座標に対応したメタ表面上の座標
を求めこのメタ表面上の座標より多角形を形成するメタ
表面多角形分割部（12）と、この多角形データを格納す
るセグメントバッファ（13）とを備えたことを特徴とす
るメタボール多角形分割装置。
【請求項２】メタボールの形状・色を含むデータを格
納したメタボールのデータベース（10）と、このメタボ
ールのデータベース（10）から互に影響させ合いたい一
連のメタボールのデータを取り出すメタボールデータ管
理部（11）と、指定された分割数で前記一連のメタボー
ルを分割し、その分割座標に対応したメタ表面上の座標
を求めこのメタ表面上の座標より多角形を形成するメタ
表面多角形分割部（12）と、この多角形データを格納す
るセグメントバッファ（13）と、この多角形データごと
に輝度計算を行い１つの多角形は同一の色を割り当てる
コンスタントシェーディング部（14）とを備えたことを
特徴とする画像装置。
【請求項３】メタボールの形状・色を含むデータを格
納したメタボールのデータベース（10）と、このメタボ
ールのデータベース（10）から互に影響させ合いたい一
連のメタボールのデータを取り出すメタボールデータ管
理部（11）と、指定された分割数で前記一連のメタボー
ルを分割し、その分割座標に対応したメタ表面上の座標
を求めこのメタ表面上の座標より多角形を形成するメタ
表面多角形分割部（12）と、この多角形データを格納す
るセグメントバッファ（13）とこの多角形データの頂点
に対して輝度計算を行い、頂点間で線形補間した色を多
角形を表示する画素に割り当てるグーローシェーディン
グ部（15）とを備えたことを特徴とする画像装置。
【請求項４】メタボールの形状・色を含むデータを格
納したメタボールのデータベース（10）と、このメタボ
ールのデータベース（10）から互に影響させ合いたい一
連のメタボールのデータを取り出すメタボールデータ管
理部（11）と、指定された分割数で前記一連のメタボー
ルを分割し、その分割座標に対応したメタ表面上の座標
を求めこのメタ表面上の座標より多角形を形成するメタ
表面多角形分割部（12）と、この多角形データを格納す
るセグメントバッファ（13）とこの多角形データの頂点
の法線よりこの多角形を表示する各画素の法線を線形補
間し、各画素ごとに輝度計算を行うフォングシェーディ
ング部（16）を備えたことを特徴とする画像装置。
【請求項５】メタボールの形状・色を含むデータを格
納したメタボールのデータベース（10）と、このメタボ
ールのデータベース（10）から互に影響させ合いたい一
連のメタボールのデータを取り出すメタボールデータ管
理部（11）と、指定された分割数で前記一連のメタボー
ルを分割し、その分割座標に対応したメタ表面上の座標
を求めこのメタ表面上の座標より多角形を形成するメタ
表面多角形分割部（12）と、この多角形データを格納す
るセグメントバッファ（13）と視点から表示画面の画素
に向ってレイを発射し、視点に最も近い前記多角形上の
点を求めて画像を生成するレイトレーシング部（17）を
備えたことを特徴とする画像装置。