JPH04108136A

JPH04108136A - 直線材で構成された５回回転対称の平面材

Info

Publication number: JPH04108136A
Application number: JP22226590A
Authority: JP
Inventors: Akio Hizume; 明男日詰
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1990-08-22
Filing date: 1990-08-22
Publication date: 1992-04-09

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】（産業上の利用分野）この発明は、一定幅の直線材を、非周期的で５回対称に
編みあげることによって、任意の広さの平面材を、任意
の密度で製造する方法に関するものである。

非周期的とは、いかなる平行移動によっても、図が完全
に重ならないものをいう。

回転対称性とは、ある回転軸まわりに２に／ｎラジアン
回転させると図が完全に一致するものを０回対称の図形
という。

（従来の技術）従来、直線材を織りあげた製品には、布、ｌｌｉ物、竹
細工、藤工芸、フェンス、建築下地、ハニカム構造など
があり、非常に多彩である。従来は、第３ＵｊＩに示す
ような縦糸と横糸による２回回転対称の系列か、第４図
に示すような俗にカゴメと呼ばれている３重に織りあげ
られた３回回転対称の系列のものばかりであった。

これらの工作は、羊純な繰り返しであるがら、見た目も
単調で、こわれやすがった、また編まれた製品の全体の
形も、４角形や６角形、もしくはその整数倍の辺を持っ
た多角形にしがならなかった。

２重、３重の編み方があるのだがら、それに続く次の素
数として、５１の編み方が当然期待される。しかし文明
の発生以来今日まで、どこまでも広く編み続けてゆける
ことを保証する、再現性ある方法は知られてぃながった
０以上のような理由で、我々の身の回りには、５回回転
対称の製品がほとんどないのである。

例外的に、第５図に示すパラクミンスター・フラー氏の
発明したジオデシックドームは５回回転対称の構造物で
あり、無限に大きな球面を構成することも理論的に可能
である。しかるにジオデジ・ｌクドームは球面に限られ
ており、平面に展開できない。したがって応用範囲は非
常に限られる。またＩＭ密に寸法の割り出された数種類
の線部材と、形成が困難で高価なジヨイントを必要とす
る。だから素人が再現することは困難で、実施には高度
な専門知識と工業技術を必要とした。

（発明が解決しようとする課題）従来の織物や竹細工などは、基本的に定規や接着剤を使
わず手作業のみで編まれている。そして一定の幅をもっ
た直線材相互の摩擦だけで形を保っている。これと同様
な手軽さで５回回転対称に編む方法が、当然開発されで
あるべきなのに開発されていない０本発明はこうした当
然の要請にこたえるべ〈発明されたものである。すなわ
ち本発明は、どこまでも広い平面を、任意の密度で５回
回転対称に編みあげる、再現可能な方法を提供するもの
である。

（課題を解決するための手段）以上のような問題点を解決するために、ペンローズタイ
ル（ｐｅｎｒｏｓｅ　　ｔｉｌｅ）という図形を利用し
た。まずこの図形に一定の変換を施し、設計図を作成す
る。そして一定幅の直線材を設計図のとおりに編んでゆ
けば目的が達成されることをつきとめ、発明が完成した
。

ペンローズタイルとは、幾何学や結晶物理学で近年注目
されている図形である。ペンローズタイルは第６図に示
すように、正５角形の一辺を共有させながらある規則で
平面上に張っていった紋様である。その規則とは、小さ
い構造が大きな構造の手本になるよう自己相似に構成す
るというものである。この紋様の存在は昔からヨハネス
・クブラーやアルブレヒト・デューラーらによってうす
うす気付かれてはいた。しかしこの図の重要性と原理を
初めて数学的に解き明がしたしたのは、１９７４年にロ
ジャー・ペンローズ（ＲｏｇｅｒＰｅｎｒｏｓｅ）氏に
よってである。ゆえにこの紋様はペンローズタイルと呼
ばれている０文献（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　　　　
ｉｎｔｅｌｌｉｇｅ−ｎｃｅｒ　　、２．１．９７８）
にその原理が詳しく書かれていて、誰でも商量に作図す
ることができる。

（作用）ペンローズタイルは５回回転対称で非周期的な図形であ
る。そして平面上を無限にタイル張りしてゆくことがで
きる。

本発明は、以上のようなペンローズタイルの対称性にし
たがって、直線材を構成したものであるから、でき上が
った平面材もまた５回回転対称で非周期的である。また
直線材を５回回転対称に、どこまでも編みつづけてゆけ
ることが保証されるわけである９しかも母体となるペン
ローズタイルが与えられれば、直線材の編み方は一意的
に決定されるので、再現性もある。

（実１１以下本発明の詳細な説明する。

まず設計図を次に説明する方法で作成する。

（イ）適当な大きさの５角形で作られたペンローズタイ
ルを−ｅ要な広さだけ用意する。

（ロ）ペンローズタイルのひとつひとつの５角形内部に
、第７図に示すようなトモエ模様を、時計回り（Ｂ）か
反時計回り（Ａ＞のどちらかに統一して描き込む、以下
、反時計回り（Ａ）に統一したものとして説明を続ける
。ゆえにこれがら示す図面では鏡像にあたる異性体が存
在することに注意。

（ハ）前段階（ロ）において描き加えた線はすべて残す
０才な、前前段附（イ）のペンローズタイルにおいて、
３つの正５角形が第８図に示すような関係をつくるとき
の辺ｏＰにあたる線も残す。

それ以外の線をすべて消す。

以上の変換によって第９図に示すような設計図ができる
。この図がち、５回回転対称に編まれた直線材の上下陶
体の主な情報かえられるのである。

すなわち第９図では、交差部（１）において直線材（１
２）の背後を直線材（１１）がくぐっていると見なすわ
けである。

参考までに、第１１図にペンローズタイルの各成長段階
において、上記一連の図形処理と施したようすを示す、
この後も同様に、無限に展開してゆくことができる。

ところで第９図の交差部（２）と交差部（３）は、以上
の処理によっても、直線部材の上下関係が確定しない不
定箇所である。だがここは、直線材がからみ合わず、構
造的にも重要なところではないから、直線材の上下関係
は自由でも良い、しかし、もし完全を期したいのであれ
ば、処理法の統一をはかっておけばよい、そのひとつの
例を第１０図に示す。

こうして、ちととなるペンローズタイルが同一であれば
、直線材を編むための設計図は一意的に決まる。あとは
、この設計図のとおりに実際に直線部材を使って手作業
で編めばよい６第２図は最も密に編み込んだ状態の実施例であり、すき
間はほとんど無く、たいへん丈夫である。

もちろん直線材相互の摩擦だけで形を保つ。

また、適当な直線材を無視することによって、第１図に
示す実施例ように疎に編むこともできる。

二１７はこれで十分に丈夫で美しく、こちらの実施例の
方が多く実用にあたいするであろう。

また、疎に編む方法で小品を作る場合、回転対称の中心
をどこに置くかによって、やや製品の印象が違ってくる
。そこで参考までに、もう２種類だけ疎に編んだ実施例
を第１２図と第１３図に紹介しておこう０両図上部にそ
の母体となるペンローズタイルを掲げておく、だが第１
図、第１２図、第１３図の間に本質的な違いはなく、目
が細かくなればなるほど三者の違いは問題にならなくな
る。

応用例として、従来の竹細工の要領で周囲を曲げてゆき
、カゴやザルを作ることも簡単にできる。

第１２図を設計図にして、藤で作ったカゴの例を第１４
図に示す。

また第１６図のような疎に編んだパターンのシルエット
を型にとって、編む代わりに、一体成形の鋳物やコンク
リートに応用してもよい（第１５図示）、これをハニカ
ム構造に利用すれば、従来になく軽くて強い平面材がえ
られ、きわめて経済的である。特に航空機やロケットな
どの壁体への応用が期待される。なお、この一体成形の
場合、異性体は存在しない。

（発明の効果）以上の方法で構成された平面材は、直線材が５重にから
み合っているから、あらゆる外力に対して、５方向に延
びた直線材が一体となって抵抗する。ゆえに、従来にな
く粘り強い平面材かえられる。−本の直線材の破局が、
全体にとって致命的になることもない、また直線材の継
手による強度低下も、従来の平面構成法に比べれば、あ
まり心配はいらない、したがって、もし航空機の圧力隔
壁にこのパターンが使われていたならば、１９８５年の
日本航空ジャンボ機の事故も起こらなかったと思われる
。

考古学によるとカゴの発明は土器の発明よりも古いそう
である。おそらく、縦糸と横糸だけによる２何回転対称
の布が初めて織られたのは、文明発生の頃にまでさかの
ぼるのだろう、つまりこの、直線材によって平面を作る
発明の出現が、文明発生の瞬間と言っても過言ではない
０人類はこの基本的な発明の上に１着物、カゴなどの器
、機械製品、小屋を作ってきた。だから現在でも４我々
の身のまわりの人工物は、はとんど四角いもので占めら
れているのである。

従って本発明も同様に、直線材によって平面を作るもの
であるから、応用はあらゆる人工物に適用できる。この
５重に編む方法が知られたからには、日常の品々から巨
大建築物に至るまで、あらゆる人工物を、すっかり５回
回転対称なシステムに作り替えることも可能である。こ
の文明の根底から揺さぶる波及効果は絶大である。

また、図柄は黄金比に支配されており、非周期的なので
、美しく飽きがこない、キリスト教教会の薔薇窓に最適
な図案である。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の疎に編んだ実施例、第２図は密に編ん
だ実施例、第３図は従来の２何回転対称の平面材、第４
図は従来の３回口転対称の平面材、第５図は従来の５回
回転対称の球面材、第６図はペンローズタイルの作り方
の説明図、第７図はトモエ模様の説明図、第８図は保存
する線の位置を示した説明図、第９図は実施例の設計図
、第１０閣は不定箇所を処理した実施例の設計図、第１
１図はペンローズタイルの各成長段階において変換を施
した様子、第１２図は疎に編んだ実施例、第１３図は疎
に編んだ実施例、第１４図は本発明を鰺のカゴに応用し
た例の写真、第１５図は本発明をハニカム構造に応用し
た例の斜視図、第１６図は実施例第１図のシルエットで
ある。

Claims

【特許請求の範囲】

直線材を、ペンローズタイルの対称性に従って、非周期
的で５回回転対称に構成することによって得られる平面
材。