JPH03216562A - 離散的フーリエ変換による正弦波の周期と位相の検出方法及びその装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は正弦波の周期と位相を離散的フーリエ変換を用
いて高精度に検出する離散的フーリエ変換による正弦波
の周期と位相の検出方法及びその装置に関する。

〔従来の技術〕

従来技術としては特開昭５９−１１４６７４号公報，特
開昭６０−１１４７７３号公報が知られている。即ち、
従来，正弦波のような周期波の周期や位相を定量的に求
める方法は離散的フーリエ変換を用いる方法が一般的で
ある。この離散的フーリエ変換は周期波を時系列にサン
プリングしてデジタル化した後、次式で周波数情ＩＮＦ
　（ｋ）を求めるものである。（以下、。　をｅｘｐ（
ｘ）と表現する） Ｊまたはｋ＝ｏ，１，２，・・・・・・，Ｎ−１Ｎ＝２
ｆｆ′（ｍ：整数） Ａ（ｊ）は周期波のサンプリングされたデジタル値、Ｎ
は全サンプリング数である。

離散的フーリエ変換の結果のＦ　（ｋ）は（１）式で示
したように複素数の演算で求まるからＦ　（ｋ）も次の
ような複素数として表現できる。

Ｆ　（ｋ）　＝　Ｆ、（ｋ）　＋　ｉ　Ｆ　Ｌ（ｋ）　
　　　　　　　（２）すなわちフーリエ変換の結果のＦ
　（ｋ）は実数部を　Ｆ，（ｋ）．虚数部をＦｆ　（ｋ
）とするベクトルである。Ｆ　（ｋ）の周波数成分の強
度を示すスペクトルの高さＳ　（ｋ）はベクトルの長さ
（絶対値）を計算すれば次式のように求まる。

Ｓ（ｋ）＝　ｌ　Ｆ（ｋ）Ｉ＝　４１下１ｙ　　　　（
３）第２図は、周期数の離散的フーリエ変換後のスペク
トルＳ　（ｋ）の一例を示す。離散的フーリエ変換の場
合、横軸ｋは周波数の情報ではなく，周期波の１周期当
りのサンプリング数の情報を示す。

正確には次式のように全サンプル数Ｎをｋで除算するこ
とで１周期当りのサンプル数Ｐの情報を求めることがで
きる。

Ｐ　＝　Ｎ　／　ｋ　　　　　　　　　　　　　　（４
）従って第２図のようなスペクトル図においてｋ＝０　
（Ｐ＝ｏＯ）でのスペクトルＳ　（ｋ）は直流成分を示
し，ｋが大きい程スペクトルＳ　（ｋ）は短い周期の情
報を示す。第２図の例ではｋ＝ｏの直流成分以外でｋ＝
ｎｏの位置でスペクトルＳ　（ｋ）が最大となっている
ので、周期波にはデータのサンプル数にしてＰ。”　Ｎ
ｏ　／　ｎ　ｏ　の周期成分が最も多く含まれているこ
とを示している。また（１）式において周期波Ａ　（ｊ
）を正弦波とすると次式の演算によって正弦波Ａ　（ｊ
）が持つ位相φ。を求めることができる。

〔発明が解決しようとする課題〕

上記従来技術は離散的フーリエ変換で求まるスペクトル
の位置が離散的であるため精度上つまり分解能上あるい
は処理時間上の決定的な課題があるという点について配
慮がされておらず、最大スペクトルの位置のみを扱って
正弦波の周期または位相を求めようとすると誤差が生じ
るという課題があった。

本発明の目的は離散的フーリエ変換の課題を解決すべく
スペクトル分布より精度のよい正弦波の周期と位相を導
き出す離散的フーリエ変換による正弦波の周期と位相の
検出方法及びその装置を提供することにある。

〔課題を解決するための手段〕

上記目的を達成するために、本発明による正弦波の周期
と位相の検出方法及びその装置は離散的フーリエ変換後
の最大スペクトル及びその周辺のスペクトルの高さが正
弦波の周期によって変化することに着目し，最大スペク
トルとその周辺のスペクトルの位置及びベクトルから事
実上の最大スペクトルの位置を導き出し、この事実上の
最大スペクトルの位置と上記複数個のスペクトルのベク
トルとから精度のよい正弦波の周期と位相を求めるよう
にしたものである。

〔作用〕

従来の画一的な離散的フーリエ変換を用いた方法では、
フーリエ変換が離散的であるため、スペクトルＳ　（ｋ
）の位置ｋも離散的でサンプル点数Ｎ個分しか分解でき
ないという精度上の課題を有していた。この課題を例を
挙げてもう少し詳しく述べてみよう。例えば正弦波を１
２８点サンプルでフーリエ変換するとするとフーリエ変
換後のスペクトルの横軸（ｋ＝ｏ，１．２・・・）は（
４）式より正弦波の周期Ｐに換算して第３ｒｊ！Ｉ（ａ
）のようになる。ここで例えばｋ＝６とｋ＝７に注目す
るとこの位置で得られるスペクトルは周期にしてＰ＝２
１．３３３とＰ＝１８．２８６の情報を与えるに過ぎな
い。すなわちＰ＝１８．２８６〜２１．３３３の情報は
直接スペクトルに現われない。ここで検出の精度を上げ
る方法としてデータのサンプル数を多くする方法がある
。例えば１０２４点サンプルでフーリエ変換を施すとス
ペクトルの位置ｋと周期Ｐの対応は第３図（ｂ）のよう
になる。第３図（ａ）と第３図（ｂ）を比べると当然の
ことながら１０２４点のフーリエ変換の方が高い分解能
でスペクトルを得ることができる。このようにしてサン
プル点数を大きくすればする程，高い分解能でスペクト
ル（すなわち周期の情報）を得ることができるが、スペ
クトルの位置はあくまでも離散的であり、分解能には自
ずから限界が生じ、かつサンプル点数を多くすることに
よってフーリエ変換処理にかなりの時間がかかるという
欠点がある。

以上、周期の検出を例にとったが、（５）式による位相
も必ずしも正確であるとは限らないことは明白である。

このような精度上の欠点を補う方法として、特開昭５９
−１１４６７４が挙げられる。これによると最大スペク
トルの両隣のスペクトルのレベル比を検知し、そのレベ
ル比からサンプルクロックの周波数を自動的に調整し、
高い周波数の波形を正確に解析する．しかしこの方法で
も、それなりにサンプルデータが増すためフーリエ変換
処理に時間がかかり、結局は離散的なスペクトルを扱う
ため解析精度に限界がある． また、特開昭６０−１１４７７３に高分解能化の方法が
報じられている．この方法はデータの切り出しに伴う切
り出し誤差を防ぐためサンプルしたデータの前後を自己
回帰モデルで推定し、全体のデータをフーリエ変換して
精度の高いスペクトルを得ようとするものである．しか
し、この方法にしてもつぎ足したデータ分だけデータ数
が多くなるため処理に時間がかかり、かつデータ点数以
上スペクトルを分解できないという決定的な課題を有し
ていた． 上記に示したように、スペクトルが離散的であるが故に
避けられない精度上の問題を次式のような周期Ｐと位相
φを持つ正弦波Ａ　（ｊ）に離散的フーリエ変換を施し
た場合について具体的に説明する。

２π・　　　　　　（６） Ａ（ｊ）＝ａ＋ｂ　ｃｏｓ　（］＝，）＋φ）Ｊ＝Ｏｔ
　　ｌｙ　　２＋　　・・・・・・，Ｎ−１ここでａは
直流分、ｂはゲインである。まず（４）式よりサンプル
点数Ｎを周期Ｐで除算した結果が整数値ｎ　ｏ　（　＝
Ｎ　／　Ｐ　）であれば、フーリエ変換後のスペクトル
Ｓ　（ｋ）は第４図に示すようにｋ＝Ｏとｋ：ｎｏの位
置にのみ現われる。このような場合にはｋ＝ｏすなおち
（６）式の直流成分ａによるスペクトル位置以外で、ス
ペクトルＳ　（ｋ）が最大となる位置ｋ＝ｎＯを検知し
て、（４）式より周期Ｐ．（＝Ｎ／ｎｏ）を求めれば，
この情報Ｐ０は（６）式の正弦波Ａ　（ｊ）の周期Ｐと
一致する。また（５）式より求まる位相φ。も（６）式
の位相φに一致する．つぎにサンプル数Ｎを周期Ｐで除
算した結果が整数値でない場合を考えてみる．すなわち
、Ｎ 下＝ｎ，　　＋Δ　　　　　　（７） ｎＯ：９１数，　ΔＩ　＜　０．５ とすると、離散的フーリエ変換後のスペクトルＳ（ｋ）
は第５図のようになる。このような場合にはｋ＝ｏ以外
で本来は　ｋ＝ｎ，＋Δの位置に破線で示す事実上の最
大スペクトルが現れるはずであるが、スペクトルの位置
ｋはサンプル点数Ｎ個分しか分解できないため（ｋ＝ｏ
，１，２，・・・・・・Ｎ−１）　、結果として第４図
と同様に　ｋ＝ｎｏの位置に最大スペクトルが現れる。

この第４図と第６図のスペクトルの模様の違いは、第５
図において端数Δの影響によって　ｋ＝ｎ，の周辺にも
スペクトルＳ　（ｋ）が分布するという点である．ここ
で，端数Δが生じた場合、従来の画一的な方法で最大ス
ペクトルの位置ｋ　＝ｎ．を用いて正弦波の周期Ｐを求
めると、その誤差Ｅは次式で表わせる．例えば周期Ｐ＝
１０，フーリエ変換点数Ｎ＝１２８とするとｎ０＝１３
，Δ＝−０．２であるから（８）式より周期Ｐの検出誤
差Ｅはｉ＝−０．１５４となる。フーリエ変換点数を多
くしてＮ＝５１２とすると検出誤差Ｅはｉ＝０．０３９
となる．一方，位相φ。も端数Δがある限り（５）式の
演算では正確に求まらないのは明白である．上記２例で
示したようにサンプル点数Ｎを大きくすれば誤差εを小
さくできるが、フーリエ変換が離散的でである限り　（
８）式による誤差はまぬがれない。またサンプル点数Ｎ
を大きくするとフーリエ変換の処理時間が長くなるとい
う欠点もある。

このような従来の離散的フーリエ変換の精度上問題点を
解決する方法としてＭＥＭの理論がある。

このＭＥＭの理論は有限のＩ測波形から繰り返し展開に
より無限関数を想定するものであるが、これには計算が
複雑で処理に時間がかかるという装直化する上での決定
的な課題がある。

また，もう一つの解決策として最大スペクトル周辺のス
ペクトル分布を第６図のように最も類似する関数で最小
２乗近似し、その近似関数の最大値より事実上の最大ス
ペクトルの位置を推定する方法が考えられる。しかしこ
れには近似関数の設定が難しいことから、精度の高い推
定ができないという課題がある。

上記課題を解決すべく，本発明の正弦波の周期と位相の
検出方法及びその装置は、事実上の最大スペクトルの位
置を離散的フーリエ変換式を展開することにより，最大
スペクトルとその周辺のスペクトルのベクトルを変数と
して数式で求めることができ、実際にフーリエ変換で得
た上記スペクトルのベクトルを上記数式に代入して演算
を施すと事実上の最大スペクトルの位置が推定できる。

そして、これより正確な正弦波の周期と位相が演算で求
めることができる６ 〔実施例〕 まず本発明の原理について説明する。

上記（６）式の正弦波Ａ　（ｊ）をオイラーの公式によ
り更に次式のように書き直す。

ｂ　　　　２πｊ Ａ（ｊ）＝ａ＋　　　（ｅｘｐ（ｉ（　　Ｐ　　＋φ）
）２ ＋ｅｘｐ（ｉ（垣＋φ））｝ Ｐ ここで正弦波Ａ　（ｊ）を（１）式のフーリエ変換式に
代入して展開するとフーリエ変換値Ｆ　（ｋ）は次のよ
うになる。

ｊ聰０ 上式において第１項は直流成分ａのフーリエ変換である
からデルタ関数となる。但し有限個のフーリエ変換であ
るため有限な値を持つ。第２項と第３項は等比級数の公
式を用いれば係数ｂ／２を省略して次のようになる． ｓｉｎ　ｘ　（ｋ−Ｎ／Ｐ） ｓｉｎ　ｘ　（ｋ／Ｎ−１／Ｐ） ｅｘｐ（ｉ｛φ−π ｋ１ （丁一丁）　（Ｎ−１））） 直流成分ａの第１項を省略してまとめるとフーリエ変換
値Ｆ　（ｋ）は次式で与えられる．ｓｉｎ　ｘ　（ｋ−
Ｎ／Ｐ）　　　　　　　　　　ｋ　　　ＩＦ（ｋ）＝−
７。ｔｃ　（ｋ／Ｎ−１／Ｐ）　　・・スｐ（ｉ　　（
φ−・（　Ｎ　　　　　｝テー）　　（Ｎ−１）））ｓ
ｉｎ　ｎ　（ｋ＋Ｎ／Ｐ）　　　　　　　　　　ｋ　　
　１ｓ．ｉｎｓ（ｋ／Ｎ＋１／Ｐ）　　　ｅｘｐ（−”
　　｛φ＋π（　　ｓ　　＋　　ｐ　　）（Ｎ−１））
）　　（９）士　． 次に最大スペクトルとその両隣りのスペクトルの大きさ
を（９）式より求めてみる。事実上の最大スペクトルの
位置ｋ０を上記（７）式から次式のように設定する。

ｋ０＝Ｎ／Ｐ＝ｎ０＋Δ　　　　　　　　　（１０）ｎ
０　：整数，１ΔＩ＜０．５ ここでｎ。は前述したようにフーリエ変換で求まる最大
スペクトルの位置で、Δは事実上の最大スペクトルの位
置の小数点以下の端数である。（９）式においてｋ＝ｎ
ｏと置いて（ｌＯ）式を代入すると位Ｉｎｏにおける最
大スペクトルｐ（ｎｏ）を次式で求めることができる。

ｓｉｎπ（一Δπ）　　　　　　　Δπｐ’　（ｎｏ　
）＝　ｓｉ。ｇ（４ｓ７Ｎ）　ｅｘｐ（ｉ（φ十薯ｒ（
Ｎ−１））　）ｓｉｎΔπ ｓｉｎπ（Δπ／Ｎ） ｅｘｐ（ｉ Δπ （φ＋Δπ−］ｒ）） ｓｉｎΔ２ｃ　　　　　　　　　　　　　　　２ｎ，　
ｘ　　　Δπ＋ｓｉ。ｘ｛（２ｎ．＋Δ５／Ｎ｝”ｅｘ
ｐ（−　ｉ　（φ＋Δπ一了−１「））ここで、Ｎ＝６
４以上を設定すると，１Δ１く０．５であるからｓ　ｘ
　ｎ　　Ａ−！−４　Ａ　”と近似できる。

ＮＮ よって上式は次のようになる． １　　　　　　Δπ　　　１　　　　　　　　２ｎｏπ
　ΔπＦ（ｎ，）＝〜ｓｉｎΔπ（−ｅｘｐ（ｉ　（Φ
−７））＋Ｈｅｘｐ　（−ｉ　（Φ一−７−Ｈ）））八
２ （Φ＝φ＋Δπ， ｋ　＝ｓｉｎＳ玉） Ｎ 更に上式をオイラーの公式によりｓｕｎ，ｃｏｓに分け
展開した結果（省略） ？π ｃｏｓ■″：１， Ｎ ，　Δπ　．　Δπ ｓｘｎ　，　＝　，・ Δπ −ｉ？−弁Ｏ と近似するとＦ（ｎｏ）の実数部Ｒと虚数工は次式で得
られる。（係数ＮｓｉｎΔπを省略して）上記と同じ方
法で例えばＦ（ｎ，−１）最大スペクトルの左隣のスペ
クトル）の実数部Ｒ′と虚数部ＩＩＩ，更に例えばＦ　
（　ｎ　ｏ　＋　１　）　　（最大スペクトルの右隣の
スペクトル）の実数部Ｒ′と虚数部Ｉ′を求めると次の
ようになる．（全て係数Ｎ　ｓｉｎΔπを省略して） このようにして，最大スペクトルｐ（ｎｏ）とその両隣
のスペクトルＦ　（ｎ，−１）とＦ　（ｎ，＋１）のベ
クトル（実数部と虚数部）が明らかになるとピーク位置
の偏りを示す端数Δを次の演算で推定することができる
。（ｌ１）式と（１１’　）式より実数部を利用すると 二二で（Ｉ２）式両式において第１項ｃｏｓΦの係数の
絶対値の最小値を求めると １　　１　　　　１ ７（丁一ユー、） ＝０．４２４３ （Δ＃０．５のとき） １１　　　　１ ７（τ１Δ＋１） ＝０．４２４３　　（Δ：−Ｏ．Ｓのとき）２ｎ，π 之なる。更に第２項のｃｏｓ　　（Φ−コー）の係数に
おいてＮ＝６４，ｎ０＝４　（すなわちピッチＰ＝１６
）なる本来ｌ／１散的フーリエ変換にとって悪い条件を
与えてみると となり、 これらを（Ｉ２）式にあてはめてみると次の（１３）式
を観察するとｃｏｓΦ，ｃｏｓ（Φ一午）は±１．０の
範囲でしか変化し得ないのでＲ−Ｒ’　，Ｒ−Ｒ’が大
きければ大きい程，第１項が支配的となり、第２項は無
視できる。今、第２項が無視できると仮定すると（１２
）式は次式で示される．（１４）式ニオいてｃｏｓΦを
消去するととなり、 これよりΔを求めると次のようになる。

（１１）式で虚数部を利用しても ？る関係が得られるので右辺第２項が無視できると仮定
すると（１５）式と同様に次式でΔが求まる。

Ｉ’　−Ｉ’ 硅■’−２■ヤ■　　・・・・・・（１７）（１５）式
か（１７）式かの選択（すなわちどちらが誤差が少ない
かの選択）は、一つの方法として、Ｒと工（（１１）式
）の絶対値の大小関係を判定し、ＩＲＩ＞ＩＩ＋なら当
然の結果として（１２）式の右辺第２項が無視できると
考えられるので（１５）式を用いればよい。Ｉ　ｒ　Ｉ
＞ＩＲＩなら（１６）式右辺第２項が無視できると考え
られるので（１７）式を使えばよい．ＩＩ＋＝ｌＲＩな
ら（ｌ５）式，　（１７）式のどちらを使ってもほとん
ど同等と考えられる。

（ｌ５）式と（１７）式の右辺の変数はフーリエ変換で
求まるスペクトルの実数部と虚数部であるから、上記選
択の判定で（ｌ５）式又は（１７）式を計算して事実上
の最大スペクトルの位Ｋ　ｎ０＋Δの推定が可能となる
。こうして最大スペクトルの位置ｎ，＋Δが求まると正
弦波の周期Ｐは（１０）式より次式で計算される． Ｎ Ｐ＝，＋６　　・・・・・・・・・（１８）また．　（
１５）式又は（Ｉ７）式で端数Δが得られると正弦波の
位相φも次の方法で求めることができる。

（１１）式Ｒの両辺にＫを乗じ、（１１’）式Ｒ′の両
辺にＬを乗じて両者の両辺を差し引くと次式のようにな
る． ，ＩＫＬ ＫＲ−ＬＲ　　＝　　　（　　−　　　　）ｃｏｓΦ　
　−・・−（１９）π　　Δ　　Δ−１ 更に（ＩＩ）式Ｔと（１１’）式Ｉ′について同様のこ
とを行なうと ＩＫ　　　　Ｌ　　　　． Ｋ　Ｉ　−　Ｌ　Ｉ　’　＝　一（−　−　　　　）　
ＳｘｎΦ　・−−−−−−−・（２０）π　　Δ　　Δ
−１ となる。ここで（２０）式を（１９）式で除算すると下
式が得られる． ｓｉｎΦ　　　　　　　　ＫＲ−ＬＲ’−：　ｔ　ａ　
ｎΦ＝ＫＩ−ＬＩ’ ＣＯＳΦ 故に Φ＝ｔａｎ１ ＫＲ−ＬＲ’ （ＫＩ−ＬＩ・） ・・・・・・（２ｌ） Φ＝φ＋Δπであるからこれを（２１）式に代入して位
相φを求めると ＫＲ−ＬＲ’ φ＝　ｔａｎ７１　（　　　　　　）一Δπ　・・・・
・・（２２）ＫＩ　　ＬＩ’ となる。ここでは，（１１）式，　（１１’）式におい
てＲ，Ｉ，Ｒ’　　　Ｉ’の式を用いたが，これに限ら
ず例えばＲ，Ｉ，Ｒ’　　Ｉ’の式を用いても上記と同
じ方法で以下のように位相φが求まるのは言うま上記作
用は簡略化のため（１１）式，　（１１’）式より近似
を用いて端数Δと位相φを求めているが、（ＩＩ）式，
（１１’　）式よりΔとφを未知数として連立方程式を
解いてΔとφを求めることも可能である（厳密解）但し
、この場合解が複雑となり高速化という点で難がある．
また、上記作用は一例として最大スペクトルとその両隣
のスペクトルを扱ったが，必ずしもこの限りでなく、そ
の他のスペクトルを複数個扱っても上記と同じ論法で端
数Δが選択できこの結果周期Ｐと位相φが求まることは
言うまでもない。

次に本発明を第１図に示す実施例により具体的に説明す
る。

第１＠において、１は正弦波信号Ａをサンプリングする
サンプリング回路、２はサンプリングされた信号をＡ／
Ｄ変換するＡ／Ｄ変換器、３はＡ／Ｄ変換されたサンプ
ルデータＡ（ｊ）を記憶する第１の記憶回路（Ｌ）、４
は記憶されたサンプルデータＡ　（Ｊ）（Ｊ＝Ｏｙ　１
＊・・・・・・，Ｎ−１）を導いて離散的フーリエ変換
を実行するフーリエ変換回路，５はフーリエ変換ベクト
ルＦ　（ｋ）の実数部Ｆ、（ｋ）と虚数部Ｆ．（ｋ）を
記憶する第２の記憶回路（２）、６は記憶したフーリエ
変換ベクトルＦ　（ｋ）の実数部Ｆ，（ｋ）と虚数部Ｆ
ｉ（ｋ）（ｋ＝ｏ，１，・・・・・・，Ｎ−１）からス
ペクトルのＡサｓ　（ｋ）　＝　　Ｆ，ｋ　＋Ｆｌｋ　
　＆計ｌｔル第１（７）演算回路（１）、７は計算され
たスペクトルＳ　（ｋ）に最大値を与える最大スペクト
ルの位！　ｋ＝ｎ．を求める最大値探索回路、８はｋ＝
ｎ．から事実上の最大スペクトルの位置までの偏り（端
数）Δを演算する第２の演算回路、９は端数Δとフーリ
エ変換ベクトルＦ　（ｋ）の実数部Ｆ，（ｋ）と虚数部
Ｆ．（ｋ）から正弦波信号Ａの周期Ｐと位相φを求めて
出力する第３の演算回路（３）である．次に第１図の動
作を説明する。入力する正弦波信号Ａはサンプリング回
路１でサンプリングされてＡ／Ｄ変換器２に入力され、
Ａ／Ｄ変換器２でサンプルデータＡ　（ｊ）に変換され
る。いま正弦波信号Ａの周期（１周期当りのサンプル数
）をＰとし位相をφとするとサンプルデータＡ　（ｊ）
は先の（６）式で示される。

２π Ａ　（ｊ）　＝ａ＋ｂ　ｃｏｓ　（　ｐ　ｊ＋φ）（Ｊ
＝Ｏｙ　　Ｉ−＋　　２ｔ　・・・・・・，Ｎ−１）　
　　　（６）ここでｊはサンプリング番号を示し、ｊを
時間軸とするとＡ（ｊ）は時系列のサンプルデータを示
す。サンプルデータＡ（ｊ）は全て第１の記憶回路（１
）３に記憶される。つぎにフーリエ変換回路４は先の式
（１）に基づいて、記憶回路３からサンプルデータＡ（
ｊ）を導いて離散的フーリエ変換を実行する．（下式） 離散的フーリエ変換には高速フーリエ変換ＦＦＴの手法
がよく知られている。離散的フーリエ変換の結果Ｆ　（
ｋ）は先の（２）式のように実数部をＦ．．（ｋ）と虚
数部を　Ｆ．（ｋ）とするベクトルで現れる。離散的フ
ーリエ変換ベクトルＦ　（ｋ）の実数部Ｆ，（ｋ）と虚
数部Ｆ．（ｋ）は第２の記憶回路（２）５に記憶される
。

ここで離散的フーリエ変換の場合に変数ｋは周期Ｐの情
報を示し、先の（４）式のＰ＝Ｎ／ｋなる演算で周期Ｐ
の情報を計算できる。具体的にはフーリエ変換ベクトル
Ｆ　（ｋ）の実数部Ｆ、（ｋ）と虚数部ＦＬ（ｋ）より
全ての変数ｋについてスペクトルの高さＳ（ｋ．）を求
め、その最大スペクトルの位［　ｋ　＝　ｎ　，より（
４）式から周期Ｐを求めると、これが最も正弦波信号Ａ
のもつ周期Ｐに近い周期となる。このスペクトルＳ　（
ｋ）の模様の一例は第５図に示した通りである．第５図
のように（６）式の直流分ａによって直流成分位１ｉｋ
＝ｏで最大スペクトルが生じる可能性があるので、上記
最大スペクトルの位！　ｋ＝ｎ，はｋ＝ｏ以外で求めな
ければならない。

つぎの第１の演算回路（ｌ）６は記憶回路５に記憶され
た実数部Ｆ，（ｋ）と虚数部Ｆ（　（ｋ）よりスペクト
ルの高さＳ　（ｋ）を（３）式により求めるものである
。最大値探索回路７はｋ＝ｏ以外でスペクトルＳ　（ｋ
）から最大値を探索し、その最大スペクトル位［ｋ＝ｎ
，を求めて出力する。この最大値探索はベクトルＦ　（
ｋ）のＦ，（ｋ），Ｆｔ（ｋ，）を記憶している記憶回
路５のアドレスと変数ｋを対応ずけておくことにより実
現できる。最大値探索回路７で求まった最大スペクトル
位置ｋ＝ｎ，は記憶回路５に入力され、これにより記憶
回路５から（１１）式に示した最大スペクトル位置ｎ。

とその両隣りの位置（ｎｏ　　１），（ｎｏ＋１）のベ
クトルの実数部と虚数部が抽出される。これらのベクト
ルをもう一度以下に示す． Ｆ　Ｃｎｓ−１）の実数部：　Ｆ，（ｎｏ−１）＝Ｒ’
Ｆ（ｎ，−１）の虚数部：　Ｆｔ　（ｎｏ　　１）＝Ｉ
’Ｆ　（ｎ＠）の実数部　　：　Ｆ，　（ｎｏ）　＝Ｒ
Ｆ　（ｎ＠）の虚数部　　シＦｔ（ｎｏ）＝’Ｆ（ｎ，
＋１）の実数部：　Ｆ　ｒ　（　ｎ　ｏ　＋　１　）　
＝Ｒ　’Ｆ　（ｎ，＋１）の虚数部：　Ｆｔ　（ｎ，＋
１）＝１’この最大スペクトルＦ　（ｎＯ）とその両隣
りのスペクトルＦ　（ｎｏ−１）　，　Ｆ　（ｎ，＋１
）のベクトルの実数部Ｒ’　，Ｒ，Ｒ’　と虚数部■“
，Ｉ，Ｉ’は先ず第２の演算回路（２）８に入力され、
先の（ｌ５）式または（ｌ７）式によって第５図に示し
たように最大スペクトル位ｉ１　ｋ　＝　ｎ　，から事
実上の最大スペクトルの位置までの偏り（端数）Δが計
算される．実際、演算回路（２）８は判断機能も有して
おり、Ｒｌ＞ＩＩ１なら（ｌ５）式により、ＩＲＩ＜Ｉ
ＩＩなら（ｌ７）式より端数Δを求める。また、ＩＲ１
＝ＩＩＩなら（１５）式，　（１７）式のどちらを使っ
てもよいようになっている。このように演算回路（２）
８によって端数Δが計算されると事実上の最大スぺクト
ル位置ｋ＝ｎ０＋Δが明らかとなるので、第３の演算回
路（３）９は先の（１８）式により正弦波信号Ａの周期
Ｐを求め、さらに上記端数Δと上記抽出されたベクトル
の実数部Ｒ’　，Ｒ，Ｒ’　と虚数部工“，Ｉ，Ｉ’　
を利用して先の（２２）式を演算して正弦波信号Ａの位
相φを求めて、これらを出力する． 上記実施例では正弦波信号Ａをサンプリング回路２でサ
ンプリングする構成となっているが、イメージセンサの
ような光学的検出手段で干渉縞等を扱うシステムであれ
ば、検出手段自体がサンプル信号を出力するので上記構
成部分をイメージセンサのような素子に置き換えてもよ
い．またフーリエ変換等のソフトウエア上の処理時間が
許されるなら、記憶回路３以後の回路構成をコンピュー
タに置き換えソフトウエアで各回路の動作を実行しても
よいことは言うまでもない。

また上記実施例では最大スペクトルとその両隣のスペク
トルから周期と位相を求めることとしているが、その他
のスペクトルを複数個利用しても（１１）式と（１１’
）式に示したのと同じ論法で精度の高い周期と位相を求
めることができる。

第７図と第８図は本発明の動作をコンピュータでシミュ
レーションした例である。サンプリング値Ａ（ｊ）は ２π　． Ａ（ｊ）＝２（１０　（　１　＋ｃｏｓ　（下Ｊ＋φ）
｝・・・・・・（２３）とし、ｊ＝Ｑ，ｔ，２ｔ・・・
・・・を与えたときに求まる数Ａ　（ｊ）を小数点以下
を四捨五入して整数値で求めてある。サンプル点数はＮ
＝１２８　（すなわちＡ（０）〜Ａ（１２７）の離散的
フーリエ変換）とした．第７図は本発明の動作シミュレ
ーションによって周期Ｐを求めたもので横軸は実際の設
定周期（すなわち（２３）式のＰ）で、縦軸は求めた周
期の検出誤差の絶対値Ｅ　（検出値をＰ′とするとε＝
ＩＰ’−ＰＩ）である。この検出誤差Ｅは（２３）式に
おいて１個の周期Ｐ（横軸）に対し、種々の位相φ（０
〜πの異なる１０個の値）を与え、それぞれで求まる検
出誤差の最大値を示す。第８図は位相φの検出結果を示
すもので横軸は（２３）式の周期Ｐを示し縦軸は一定の
周期Ｐに対し種々の位相φ（０〜πの異なる１０個の値
）を与えたときに求まる検出値の誤差の絶対値の最大値
を示す。

結果として周期Ｐの検出（第７図）では０．００２２以
下，位相φの検出には０．００５４ｒａｄ以下の検出精
度が得られていることが分かる。

〔発明の効果〕 本発明によれば上記シミュレーションで明らかなように
１ａ敗的フーリエ変換で求まる離散的なスペクトルから
事実上の最大スペクトルの位置を理論的に求めることが
でき、これにより精度の高い正弦波の周期と位相を検知
できる。また比較的少ないサンプリング数（フーリエ変
換点数）でも理論的に周期と位相を求められるので処理
時間を短くできるという効果も得られる。また，本来な
さわでいた窓関数設定という面倒な操作も不要である。

また、本発明は光学的干渉縞を処理して物体の表面形状
を測定する装置やスペクトルアナライザー等への応用範
囲は広い。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例を示す装置のブロック図，第
２図は周期波の離散的フーリエ変換後のスペクトル例図
、第３図は従来の離散的フーリエ変換による周期の検出
精度を示す図、第４図及び第５図はそれぞれ正弦波の離
散的フーリエ変換による２通りのスペクトル例図、第６
図は事実上の最大スペクトルの位置を検知する方法の従
来例を示す図、第７図及び第８図はそれぞれ本発明の動
作に基づいて正弦波の周期と位相の検出誤差を求めたコ
ンピュータによるシミュレーション例を示す図である。 １・・・正弦波信号Ａのサンプリング回路、２・・・Ａ
／Ｄ変換器， ３・・・サンプルデータＡ　（ｊ）の記憶回路（１）、
４・・・Ａ（ｊ）のフーリエ変換回路、５・・・フーリ
エ変換ベクトルＦ，（ｋ），ＦＬ　（ｋ）の記憶回路（
２）、 ６・・・スペクトルＳ　（ｋ）の演算回路（１），７・
・・スペクトル最大値探索回路、 ８・・・端数Δの演算回路（２）， ９ ・・周期Ｐと位相φの演算回路（３）．第 ？ 辺 第３図 Ａ／　−　ｔｏｚ＋１，場合 第 ６ （２） スへ０７トルＳθＤ ス公フトルＳ◇（） 第 ７ 閃 第 ８ 閃 手 補正書（自発） ・１・成　２ＩＩ．　４　　，１２０ 許庁長官殿 件の表示 弄べ１キ２ 年 特許願第 １　０　６　１ 正をする者 １１件との閏係

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、正弦波信号をサンプリングして離散的フーリエ変換
   を施して得られる離散的スペクトルの中から直流成分を
   示す０次以外で最大スペクトルとその周辺のスペクトル
   を検知し、これら複数個のスペクトルの位置とベクトル
   成分（実数部と虚数部）から該正弦波の周期と位相を求
   めることを特徴とする離散的フーリエ変換による正弦波
   の周期と位相の検出方法。 ２、正弦波信号を離散的なデジタル信号として取り出す
   手段と、取り出したデジタル信号を離散的フーリエ変換
   してスペクトルの高さとベクトル成分（実数部と虚数部
   ）を求める手段と、直流成分を示すスペクトル以外で最
   大の高さを持つスペクトルとその周辺のスペクトル検知
   してこれら複数個のスペクトルのベクトル成分を抽出す
   る手段と、抽出した該ベクトル成分から上記正弦波信号
   の周期と位相を演算する手段とから成る離散的フーリエ
   変換による正弦波の周期と位相の検出装置。