JPH03100771A - アレイ処理方法 - Google Patents
アレイ処理方法Info
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- JPH03100771A JPH03100771A JP2205951A JP20595190A JPH03100771A JP H03100771 A JPH03100771 A JP H03100771A JP 2205951 A JP2205951 A JP 2205951A JP 20595190 A JP20595190 A JP 20595190A JP H03100771 A JPH03100771 A JP H03100771A
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Links
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- 101100007331 Saccharomyces cerevisiae (strain ATCC 204508 / S288c) COS3 gene Proteins 0.000 claims 1
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Classifications
-
- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
- G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
- G06F17/10—Complex mathematical operations
- G06F17/14—Fourier, Walsh or analogous domain transformations, e.g. Laplace, Hilbert, Karhunen-Loeve, transforms
- G06F17/147—Discrete orthonormal transforms, e.g. discrete cosine transform, discrete sine transform, and variations therefrom, e.g. modified discrete cosine transform, integer transforms approximating the discrete cosine transform
-
- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
- G06F15/00—Digital computers in general; Data processing equipment in general
- G06F15/76—Architectures of general purpose stored program computers
- G06F15/80—Architectures of general purpose stored program computers comprising an array of processing units with common control, e.g. single instruction multiple data processors
- G06F15/8007—Architectures of general purpose stored program computers comprising an array of processing units with common control, e.g. single instruction multiple data processors single instruction multiple data [SIMD] multiprocessors
- G06F15/8023—Two dimensional arrays, e.g. mesh, torus
Landscapes
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Abstract
(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。
め要約のデータは記録されません。
Description
【発明の詳細な説明】
〔産業上の利用分野〕
本発明は、広（いえば数値データの多次元アレイを効率
的に処理するために適当なアレイプロセッサおよびアレ
イ処理方法に関するものである。
的に処理するために適当なアレイプロセッサおよびアレ
イ処理方法に関するものである。
更に詳しくいえば、本発明は、２次元映像データアレイ
のような、２次元またはそれより高い次元のデータアレ
イの解析、変換、濾波、圧縮、符号化、復号化、再構成
等を行うようにされたアレイプロセッサおよびアレイ処
理方法に関するものである。
のような、２次元またはそれより高い次元のデータアレ
イの解析、変換、濾波、圧縮、符号化、復号化、再構成
等を行うようにされたアレイプロセッサおよびアレイ処
理方法に関するものである。
他の平面状視覚映像を十分に小さい画素の２次元アレイ
に分割し、画素における映像の輝度その他の視覚的な質
を適性に表す数値を各画素に割当てることにより、その
映像の画像を数値的に正しく表すことができる。視覚映
像を表すそのような映像データの集まりにおける種々の
数値は、映像中の画素の位置を定める２つの座標を表す
独立した２つの指数により索引されるから便利である。
に分割し、画素における映像の輝度その他の視覚的な質
を適性に表す数値を各画素に割当てることにより、その
映像の画像を数値的に正しく表すことができる。視覚映
像を表すそのような映像データの集まりにおける種々の
数値は、映像中の画素の位置を定める２つの座標を表す
独立した２つの指数により索引されるから便利である。
したがって、平面状視覚映像を表す数値の集まりを数の
２次元アレイとして処理できるから便利である。
２次元アレイとして処理できるから便利である。
たとえば、データにより表されている映像を解析するた
め、または映像のある面の表示を強調するために映像を
変更するために、デジタルコンピュータその他のデジタ
ル処理装置において映像データの２次元アレイをデジタ
ル的に処理できる。
め、または映像のある面の表示を強調するために映像を
変更するために、デジタルコンピュータその他のデジタ
ル処理装置において映像データの２次元アレイをデジタ
ル的に処理できる。
視覚データを表す数値データの２次元アレイのデジタル
処理のとくに重要な応用は、映像の視覚的な質を不当に
低下することなしに、与えられた映像を表すために必要
な数値の数を減少させるという目標を有する。映像を満
足に表すために必要な映像データ値の数を減少できるな
らば、与えられた量のデジタルメモリに記憶できる映像
のデジタル表現の数を増加でき、かつ、映像のデジタル
表現をある点から別の点へデジタル的に送ることができ
る速さを高くできる。視覚映像を表すために必要な数値
の数を減少させるデジタル処理技術のことを、一般に映
像データ圧縮技術と呼ぶ。
処理のとくに重要な応用は、映像の視覚的な質を不当に
低下することなしに、与えられた映像を表すために必要
な数値の数を減少させるという目標を有する。映像を満
足に表すために必要な映像データ値の数を減少できるな
らば、与えられた量のデジタルメモリに記憶できる映像
のデジタル表現の数を増加でき、かつ、映像のデジタル
表現をある点から別の点へデジタル的に送ることができ
る速さを高くできる。視覚映像を表すために必要な数値
の数を減少させるデジタル処理技術のことを、一般に映
像データ圧縮技術と呼ぶ。
個別余弦変換がデジタル映像処理において重要な役割を
演する。とくに重要なものは、点の２次元アレイについ
ての２次元個別余弦変換である。
演する。とくに重要なものは、点の２次元アレイについ
ての２次元個別余弦変換である。
映像処理の用途にお−（ては、２次元個別余弦変換の後
に量子化過程が続くことがしばしばある。とくに、連続
トーン映像のためのデータ圧縮技術において、量子化さ
れる個別余弦変換が広く用いられている。従来の映像デ
ータ圧縮技術において最も広く用いられている映像デー
タの各種の２次元アレイのうちには正方形状の８ｘ８ア
レイ、正方形状の１６Ｘ１６アレイ、および長方形状の
１６×８７レイがある。
に量子化過程が続くことがしばしばある。とくに、連続
トーン映像のためのデータ圧縮技術において、量子化さ
れる個別余弦変換が広く用いられている。従来の映像デ
ータ圧縮技術において最も広く用いられている映像デー
タの各種の２次元アレイのうちには正方形状の８ｘ８ア
レイ、正方形状の１６Ｘ１６アレイ、および長方形状の
１６×８７レイがある。
実入力データのｘ（ｋｌ、に２）、０≦に１、ｋ２≦に
−１として示される２次元ＫＸＫアレイが与えられると
、２次元個別余弦変換 （ｒＤｃＴＪ ）は ＤＣＴ （ｎｔｌｎ２） ” と定義される。ここに、１≦ｎ≦に−１に対してｃ （
ｏ）−（Ｔ７に、ｃ （ｎ）−Ｃ丁７ｘで；！６る。
−１として示される２次元ＫＸＫアレイが与えられると
、２次元個別余弦変換 （ｒＤｃＴＪ ）は ＤＣＴ （ｎｔｌｎ２） ” と定義される。ここに、１≦ｎ≦に−１に対してｃ （
ｏ）−（Ｔ７に、ｃ （ｎ）−Ｃ丁７ｘで；！６る。
０≦に、ｎ≦に−１に対して、（ｎ＋１．に＋１）エン
トリイがｃ （ｎ） ｃｏｓ ［πｎ （２に＋１）
／２Ｋ］であるようにＣでＫＸＫマトリックスを示し、
マトリックスＣとそれ自身の直接積をＣ＠Ｃで示すもの
とする。オペレーション「０」はテンソル積またはクロ
ネッカー積とも呼ばれる。０≦に！、ｋ２≦に−１に対
してそれのｋｌＫ＋に２エントリイがｘ（ｋｌＳｋ２）
であるようにＸかに２次元列ベクトルをＸで表すものと
する。入力データＸのそのような記述は列−メージャー
オーダーと呼ばれる。列−メージャーオーダーで書かれ
たＫＸＫ個の点についての２次元個別余弦変換の出力は
マトリックス−ベクトル積（Ｃ＠Ｃ）ｘに等しい。
トリイがｃ （ｎ） ｃｏｓ ［πｎ （２に＋１）
／２Ｋ］であるようにＣでＫＸＫマトリックスを示し、
マトリックスＣとそれ自身の直接積をＣ＠Ｃで示すもの
とする。オペレーション「０」はテンソル積またはクロ
ネッカー積とも呼ばれる。０≦に！、ｋ２≦に−１に対
してそれのｋｌＫ＋に２エントリイがｘ（ｋｌＳｋ２）
であるようにＸかに２次元列ベクトルをＸで表すものと
する。入力データＸのそのような記述は列−メージャー
オーダーと呼ばれる。列−メージャーオーダーで書かれ
たＫＸＫ個の点についての２次元個別余弦変換の出力は
マトリックス−ベクトル積（Ｃ＠Ｃ）ｘに等しい。
従来、２次元個別余弦変換を実現する最も一般的なやり
方は「行−列」法と呼ばれる１次元個別余弦変換の入れ
予成２段応用を介するものであった。ニー・ケー・シャ
イン（Ａ、に、Ｊａｆｎ）著「デジタル映像処理の基礎
（Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ ＤｉｇｉｔａｌＩ
ｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｌｎｇ） Ｊ （プレンテ
ィスホール（Ｐｒａｎ−ｔｌｅｅ Ｈａｌｌ）、アメリ
カ合衆国ニューシャーシー州、イングルウッド・クリフ
ス（ＥｎｇｌｅｗｏｏｄＣＩＩｆＴｓ）発行）、１３４
〜１３５ページ参照す行−列法をに２個の点に対する２
次元個別余弦変換のマトリックスに関連させる便利な方
法は次のマトリックス一致（１ｄｅｎｔｌｔｙ） （Ｃ＠Ｃ）−（ＣＪ＠ＩＣ） −（Ｃ＠１）（１＠Ｃ） −Ｐ （１＠Ｃ） Ｐ’ （１８Ｃ） によって行うものである。ここに、ＩはＫＸＫ−致マト
リックスで、Ｐは「完全−シャツフル」順列マトリック
スと呼ばれる。完全−シャツフル順列マトリックスＰは
、全てのマトリックスＡとＢに対するＰ （Ａ＠Ｂ）Ｐ
’−Ｂ＠Ａであるようなマトリックスである。行−列法
はに点１次元個別余弦変換を２に回呼出す手順を生ずる
。したがって、行−列法のすなおな従来の応用は２ＫＸ
Ｋ２−２に８乗算と２ＫｘＫ （Ｋ−１）−２に２ （
ｋ−２）加算および減算を用いる。更に、その行−列法
を実現するための回路に対しては、回路中のあらゆる経
路は、以前に計算された第１段乗算の直線的な組合わせ
である係数を含む第２段の乗算を含む。
方は「行−列」法と呼ばれる１次元個別余弦変換の入れ
予成２段応用を介するものであった。ニー・ケー・シャ
イン（Ａ、に、Ｊａｆｎ）著「デジタル映像処理の基礎
（Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ ＤｉｇｉｔａｌＩ
ｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｌｎｇ） Ｊ （プレンテ
ィスホール（Ｐｒａｎ−ｔｌｅｅ Ｈａｌｌ）、アメリ
カ合衆国ニューシャーシー州、イングルウッド・クリフ
ス（ＥｎｇｌｅｗｏｏｄＣＩＩｆＴｓ）発行）、１３４
〜１３５ページ参照す行−列法をに２個の点に対する２
次元個別余弦変換のマトリックスに関連させる便利な方
法は次のマトリックス一致（１ｄｅｎｔｌｔｙ） （Ｃ＠Ｃ）−（ＣＪ＠ＩＣ） −（Ｃ＠１）（１＠Ｃ） −Ｐ （１＠Ｃ） Ｐ’ （１８Ｃ） によって行うものである。ここに、ＩはＫＸＫ−致マト
リックスで、Ｐは「完全−シャツフル」順列マトリック
スと呼ばれる。完全−シャツフル順列マトリックスＰは
、全てのマトリックスＡとＢに対するＰ （Ａ＠Ｂ）Ｐ
’−Ｂ＠Ａであるようなマトリックスである。行−列法
はに点１次元個別余弦変換を２に回呼出す手順を生ずる
。したがって、行−列法のすなおな従来の応用は２ＫＸ
Ｋ２−２に８乗算と２ＫｘＫ （Ｋ−１）−２に２ （
ｋ−２）加算および減算を用いる。更に、その行−列法
を実現するための回路に対しては、回路中のあらゆる経
路は、以前に計算された第１段乗算の直線的な組合わせ
である係数を含む第２段の乗算を含む。
その結果、整数の算術で計算が行われる時に最後の出力
においである指定された確度を保証するために、第２段
の乗算は、出力の指定された確度より非常に大きい整数
を含まなければならない。
においである指定された確度を保証するために、第２段
の乗算は、出力の指定された確度より非常に大きい整数
を含まなければならない。
一部は映像データ圧縮のための技術における中心的な役
割のために、量子化された個別余弦変換は多くの注目を
あびている。個別余弦変換計算を行うためのいくつかの
手順が提案されている。映像データ圧縮応用においては
、個別余弦変換の出力には量子化が通常行われる。この
場合には、変換の位取りされた出力を計算することが通
常は十分である。というのは、個別余弦変換の位取り係
数を量子化において組合わすことができるからである。
割のために、量子化された個別余弦変換は多くの注目を
あびている。個別余弦変換計算を行うためのいくつかの
手順が提案されている。映像データ圧縮応用においては
、個別余弦変換の出力には量子化が通常行われる。この
場合には、変換の位取りされた出力を計算することが通
常は十分である。というのは、個別余弦変換の位取り係
数を量子化において組合わすことができるからである。
位取り係数を量子化マトリックスに組合わせると計算を
ある程度節約できることがある。個別余弦変換を行うた
めの従来の手順には、それらの手順の実現が計算経路の
少なくともいくつか、典型的にはほとんどの計算経路、
が２つまたはそれ以上の乗算を順次含むことを通常水め
る、という欠点がある。
ある程度節約できることがある。個別余弦変換を行うた
めの従来の手順には、それらの手順の実現が計算経路の
少なくともいくつか、典型的にはほとんどの計算経路、
が２つまたはそれ以上の乗算を順次含むことを通常水め
る、という欠点がある。
１次元８点個別余弦変換を計算する手順と、それに続く
スカラー量子化が、「トランザクションズ・オブ・アイ
イーアイシーイー（Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆ ｔ
ｈｅ ＩＥＩＣＥ） Ｊ Ｅ７１巻（１９８８年１１月
）１０９５〜１０９７ページ所載のアライ他の論文（「
アライ他の発表」と呼ぶ）に記載されている。その発表
によれば、物品の１次元変換に対して５回の乗算と２９
回の加算を求められる。さらに、物品の変換方法はハー
ドウェアチップにおける並列実現のために効果的である
ことが示されている。その理由は各信号経路はたかだか
１回の乗算を有するからである。８点個別余弦変換とス
カラー量子化のシーケンスは映像データ圧縮において効
果的であることが述べられている。データの８×８２次
元アレイについての２次元８Ｘ８個別余弦変換を行うた
めに、発表の１次元８点個刑余弦変換手順を採用する方
法はアライ他の発表には開示されていない。上記のよう
に、行−列法は、１次元個別余弦変換を２回順次適用し
て２次元個別余弦変換を行うために行−列法が従来用い
られている。アライ他の発表の１次元８点個刑余弦変換
手順の２回順次適用を用いて、２次元８×８個別余弦乗
換を行うために「行−列」法が採用されるものとすると
、合計で８Ｘ５＋８Ｘ５すなわち８４０回の乗算を求め
られる。更に、そのような順次行−列手順において乗算
が２つの深さで入れ子にされる。そのような入れ子式乗
算は一般にハードウェアチップで実現することは困難で
ある。更に、切上げ誤差または切捨て誤差による確度の
低下を避けるために、その２つの深さの入れ子式乗算の
２段目の語長を１行目の語長より長くすることを要する
。従来の行−列手順は単一段乗算よりも十分に長くとる
。
スカラー量子化が、「トランザクションズ・オブ・アイ
イーアイシーイー（Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆ ｔ
ｈｅ ＩＥＩＣＥ） Ｊ Ｅ７１巻（１９８８年１１月
）１０９５〜１０９７ページ所載のアライ他の論文（「
アライ他の発表」と呼ぶ）に記載されている。その発表
によれば、物品の１次元変換に対して５回の乗算と２９
回の加算を求められる。さらに、物品の変換方法はハー
ドウェアチップにおける並列実現のために効果的である
ことが示されている。その理由は各信号経路はたかだか
１回の乗算を有するからである。８点個別余弦変換とス
カラー量子化のシーケンスは映像データ圧縮において効
果的であることが述べられている。データの８×８２次
元アレイについての２次元８Ｘ８個別余弦変換を行うた
めに、発表の１次元８点個刑余弦変換手順を採用する方
法はアライ他の発表には開示されていない。上記のよう
に、行−列法は、１次元個別余弦変換を２回順次適用し
て２次元個別余弦変換を行うために行−列法が従来用い
られている。アライ他の発表の１次元８点個刑余弦変換
手順の２回順次適用を用いて、２次元８×８個別余弦乗
換を行うために「行−列」法が採用されるものとすると
、合計で８Ｘ５＋８Ｘ５すなわち８４０回の乗算を求め
られる。更に、そのような順次行−列手順において乗算
が２つの深さで入れ子にされる。そのような入れ子式乗
算は一般にハードウェアチップで実現することは困難で
ある。更に、切上げ誤差または切捨て誤差による確度の
低下を避けるために、その２つの深さの入れ子式乗算の
２段目の語長を１行目の語長より長くすることを要する
。従来の行−列手順は単一段乗算よりも十分に長くとる
。
その理由は２段目の乗算を開始できるまでに１段目の乗
算を一般に終了せねばならないからである。
算を一般に終了せねばならないからである。
ｒＩＭＳ Ａ１２１Ｊと呼ばれているハードワイヤさ
れた２次元個別余弦変換映像プロセッサが、インモス・
コーポレーション（Ｉｒｕ＋＋ｏｓ Ｃ□ｒｐｏｒａｔ
１−ｏｎ）によって配布されている１９８９年３月付の
製品告知に記載されている。映像プロセッサは固定８×
８サイズのデータのブロックで作動する。この映像プロ
セッサは２つのマトリックス乗算アレイを含む。各アレ
イは８×８マトリックス乗算を６４クロツクサイクルで
行う。１つのマトリックス乗算アレイは他方のマトリッ
クス乗算アレイの下流側に配置される。順次乗算段は一
般に遅延を生ずる。上記製品告知によれば、データは映
像プロセッサの入力端においてブロック周波数でサンプ
ルされ、結果出力が１２８クロツクサイクル後に現われ
る。
れた２次元個別余弦変換映像プロセッサが、インモス・
コーポレーション（Ｉｒｕ＋＋ｏｓ Ｃ□ｒｐｏｒａｔ
１−ｏｎ）によって配布されている１９８９年３月付の
製品告知に記載されている。映像プロセッサは固定８×
８サイズのデータのブロックで作動する。この映像プロ
セッサは２つのマトリックス乗算アレイを含む。各アレ
イは８×８マトリックス乗算を６４クロツクサイクルで
行う。１つのマトリックス乗算アレイは他方のマトリッ
クス乗算アレイの下流側に配置される。順次乗算段は一
般に遅延を生ずる。上記製品告知によれば、データは映
像プロセッサの入力端においてブロック周波数でサンプ
ルされ、結果出力が１２８クロツクサイクル後に現われ
る。
本発明は、各計算回路がせいぜい１つのささいでない乗
算を要する、２つまたはそれ以上の次元のデータのアレ
イに対して多次元個別余弦変換を実行するアレイプロセ
ッサおよびアレイ処理法を含む。
算を要する、２つまたはそれ以上の次元のデータのアレ
イに対して多次元個別余弦変換を実行するアレイプロセ
ッサおよびアレイ処理法を含む。
ここで用いる「ささいな乗算」という用語は、ｎを正ま
たは負の整数として、０、±１および±（２）０による
乗算である。ささいでない乗算というのは、ささいな乗
算の定義において指定した数のうちの１以外の数による
乗算である。
たは負の整数として、０、±１および±（２）０による
乗算である。ささいでない乗算というのは、ささいな乗
算の定義において指定した数のうちの１以外の数による
乗算である。
本発明のアレイ処理法は、物理変数を表す実数値データ
点の入力データアレイを得るために、その物理変数をサ
ンプリングする過程を有する。入力データアレイの次元
数はｍである。ここに、ｍは２より大きいか、２に等し
い整数である。
点の入力データアレイを得るために、その物理変数をサ
ンプリングする過程を有する。入力データアレイの次元
数はｍである。ここに、ｍは２より大きいか、２に等し
い整数である。
本発明のアレイ処理法は、入力データアレイに対して、
位取りされたｍ次元個別余弦変換を行う過程を更に有す
る。位取りされたｍ次元個別余弦変換は、前乗算段出力
データを得るために入力データアレイの前乗算段加算／
減算演算を行う過程と、乗算段出力データを得るために
前乗算段出力データに対して乗算段乗算／加算／減算演
算を行う過程と、後乗算段出力データを得るために乗算
段出力データに対して後乗算段加算／減算演算を行う過
程とを順次含む。前乗算段と後乗算段との加算／減算演
算はせいぜいささいな乗算演算を含み、それらの演算は
行−列ベースについて行われる。
位取りされたｍ次元個別余弦変換を行う過程を更に有す
る。位取りされたｍ次元個別余弦変換は、前乗算段出力
データを得るために入力データアレイの前乗算段加算／
減算演算を行う過程と、乗算段出力データを得るために
前乗算段出力データに対して乗算段乗算／加算／減算演
算を行う過程と、後乗算段出力データを得るために乗算
段出力データに対して後乗算段加算／減算演算を行う過
程とを順次含む。前乗算段と後乗算段との加算／減算演
算はせいぜいささいな乗算演算を含み、それらの演算は
行−列ベースについて行われる。
本発明のアレイ処理法は、変換されて量子化された出力
データを得るために、後乗算段出力データを量子化する
過程を更に含む。後乗算段出力デ−夕の量子化は、変換
−位取り補償した量子化マトリックスの対応する要素に
従って、要素ごとに行う。変換−位取り補償した量子化
マトリックスの各要素に対応する変換−位取り補償係数
が乗ぜられる。各変換色取り係数は、位取りされたｍ次
元個別余弦変換に関連する対角線マトリックス係数の対
角線要素の逆数に対応する。
データを得るために、後乗算段出力データを量子化する
過程を更に含む。後乗算段出力デ−夕の量子化は、変換
−位取り補償した量子化マトリックスの対応する要素に
従って、要素ごとに行う。変換−位取り補償した量子化
マトリックスの各要素に対応する変換−位取り補償係数
が乗ぜられる。各変換色取り係数は、位取りされたｍ次
元個別余弦変換に関連する対角線マトリックス係数の対
角線要素の逆数に対応する。
本発明のアレイプロセッサは本発明のアレイ処理法を実
現する回路である。
現する回路である。
本発明のアレイプロセッサは任意の次元数のデータアレ
イに応用できるが、現在ではそれの最大の応用は２次元
およびおそらくは３次元であると予、１ｌＰ１される。
イに応用できるが、現在ではそれの最大の応用は２次元
およびおそらくは３次元であると予、１ｌＰ１される。
本発明のアレイ処理法の好ましい２次元８×８個別余弦
変換手順は５４回のささいでない乗算と、特定の実現に
応じて１／２または２による４〜６回の乗算と、４６２
回の加算および減算と、それらに続く量子化過程とを要
求する。したがって、本発明の好ましいアレイ処理法は
、量子化の前に８０回の乗算と４８４回の加算および減
算を要する。
変換手順は５４回のささいでない乗算と、特定の実現に
応じて１／２または２による４〜６回の乗算と、４６２
回の加算および減算と、それらに続く量子化過程とを要
求する。したがって、本発明の好ましいアレイ処理法は
、量子化の前に８０回の乗算と４８４回の加算および減
算を要する。
上記行−列法を用いて２次元に適用されるアライ他の発
表の１次元個別余弦変換手順と、または、８３回の乗算
と４６０回の加算および減算を量子化の前に要するベラ
ターリ（Ｖｃｔｔｃｒｌ Ｉ）発表（エム・ベラターリ
（Ｍ、Ｖｅｔｔｅｒｌｌ）、Ｐｒｏｃ、 ＩＣＡＳＳＰ
−８５，１５３８〜１５４１ページ、タンパ（ＴａＩｌ
ｐａ） 、１９８５年３月）の８×８２次元個別余弦変
換手順と比較することが好ましい。
表の１次元個別余弦変換手順と、または、８３回の乗算
と４６０回の加算および減算を量子化の前に要するベラ
ターリ（Ｖｃｔｔｃｒｌ Ｉ）発表（エム・ベラターリ
（Ｍ、Ｖｅｔｔｅｒｌｌ）、Ｐｒｏｃ、 ＩＣＡＳＳＰ
−８５，１５３８〜１５４１ページ、タンパ（ＴａＩｌ
ｐａ） 、１９８５年３月）の８×８２次元個別余弦変
換手順と比較することが好ましい。
本発明のアレイ処理法の好ましい個別余弦変換手順の利
点は、乗算演算が１段だけ求められることである。それ
らの手順は、入れ子式乗算演算を要する従来の個別余弦
変換に対してハードワイヤされたアレイプロセッサ回路
で経済的に実現できる。さらに、本発明のそのような好
適なアレイプロセッサにおける計算回路は本質的に並列
である。
点は、乗算演算が１段だけ求められることである。それ
らの手順は、入れ子式乗算演算を要する従来の個別余弦
変換に対してハードワイヤされたアレイプロセッサ回路
で経済的に実現できる。さらに、本発明のそのような好
適なアレイプロセッサにおける計算回路は本質的に並列
である。
こうすることにより高速演算を行うことができる。
更に、本発明のそのような好適なアレイプロセッサ回路
にただ１つの乗算段を使用することによって、語長また
は確度に関して不当に不利をもたらすことなしに、整数
乗算を使用できるよ°うにされる。たとえば、本発明の
アレイ処理法の８×８の２次元個別余弦変換手順が、整
数演算を用いて８ビット語長の８×８人カデータアレイ
に対して高い確度で行われていた。その乗算の結果は１
５ビツトをこえなかった。
にただ１つの乗算段を使用することによって、語長また
は確度に関して不当に不利をもたらすことなしに、整数
乗算を使用できるよ°うにされる。たとえば、本発明の
アレイ処理法の８×８の２次元個別余弦変換手順が、整
数演算を用いて８ビット語長の８×８人カデータアレイ
に対して高い確度で行われていた。その乗算の結果は１
５ビツトをこえなかった。
本発明のアレイプロセッサは、それの高速性と高い確度
のために、映像データ圧縮のような映像処理応用にとく
に適する。本発明のアレイプロセッサの利点は、２次元
データ解析、濾波、符号化および復号化の諸応用におい
ても大きな価値があることである。
のために、映像データ圧縮のような映像処理応用にとく
に適する。本発明のアレイプロセッサの利点は、２次元
データ解析、濾波、符号化および復号化の諸応用におい
ても大きな価値があることである。
第１図は好適な８×８２次元個別余弦変換手順の全体の
流れ図である。第１図および第２〜９図においてデータ
は全体として左から右へ流れる。
流れ図である。第１図および第２〜９図においてデータ
は全体として左から右へ流れる。
第２図は、第１図の流れ図においてＲ１として示されて
いる初めの８点加算／減算演算の流れ図である。第２図
と第３〜９図において、データの流れ経路中の矢印はそ
の経路に沿って流れるデータに−１を乗することを記号
化したものである。
いる初めの８点加算／減算演算の流れ図である。第２図
と第３〜９図において、データの流れ経路中の矢印はそ
の経路に沿って流れるデータに−１を乗することを記号
化したものである。
大きい黒点で示されているノードに、全体として左から
右への向きの２つまたはそれ以上のデータの流れ経路が
集まることは、それらのデータの流れ経路からのデータ
がそのノードにおいて加え合わされることを示す。
右への向きの２つまたはそれ以上のデータの流れ経路が
集まることは、それらのデータの流れ経路からのデータ
がそのノードにおいて加え合わされることを示す。
第３図は、第１図の流れ図にＭｌで示されている最初の
乗算演算の流れ図である。第３図と第４図の流れ図にお
けるボックスはそれぞれのボックス内に指定されている
係数による乗算を意味する。
乗算演算の流れ図である。第３図と第４図の流れ図にお
けるボックスはそれぞれのボックス内に指定されている
係数による乗算を意味する。
第４図は第３図の流れ図にＭ２で示されている第２の８
点乗算演算の流れ図である。
点乗算演算の流れ図である。
第５図は第１図の流れ図にＭ３で示されている１６点乗
算演算の流れ図である。
算演算の流れ図である。
第６図および第７図は、第５図の流れ図にそれぞれＱ、
とＱ２で示されている第１と第２の２点乗算演算の流れ
図である。第６図と第７図の流れ図中のボックスは、そ
れぞれのボックス内に示されている係数による乗算を示
す。それらの係数は第３図と第４図において指定されて
いる。
とＱ２で示されている第１と第２の２点乗算演算の流れ
図である。第６図と第７図の流れ図中のボックスは、そ
れぞれのボックス内に示されている係数による乗算を示
す。それらの係数は第３図と第４図において指定されて
いる。
第８図は第５図の流れ図においてＱ３で示されている４
点乗算演算の流れ図である。長方形のボックスと菱形の
ボックスはそれぞれのボックスに示されている係数によ
る乗算を示す。
点乗算演算の流れ図である。長方形のボックスと菱形の
ボックスはそれぞれのボックスに示されている係数によ
る乗算を示す。
第９図は第１図の流れ図にＲ２で示されている第２の８
点加算／減算演算の流れ図である。
点加算／減算演算の流れ図である。
第１０図は本発明のアレイ処理法の好適な２次元８×８
個別余弦変換手順と、それに続く対応する逆個別余弦変
換手順との確度の測定値を供給する実験の結果のヒスト
グラムである。この実験はランダムな８ビツトデータ点
の８×８２次元アレイを用いる約１００００回の実行を
含んでいた。１５ビット精密整数乗算を用いて好ましい
順個別余弦変換手順と逆個別余弦変換手順とを実行した
。そのようにして得た結果を、得た対応する結果と比較
することにより確度を決定し、６４ビット精密乗算を用
いる従来の逆個別余弦変換手順を置換した。第１０図の
ヒストグラムは結果におけるプラスマイナス１ビツトの
どのようなずれも記録する。
個別余弦変換手順と、それに続く対応する逆個別余弦変
換手順との確度の測定値を供給する実験の結果のヒスト
グラムである。この実験はランダムな８ビツトデータ点
の８×８２次元アレイを用いる約１００００回の実行を
含んでいた。１５ビット精密整数乗算を用いて好ましい
順個別余弦変換手順と逆個別余弦変換手順とを実行した
。そのようにして得た結果を、得た対応する結果と比較
することにより確度を決定し、６４ビット精密乗算を用
いる従来の逆個別余弦変換手順を置換した。第１０図の
ヒストグラムは結果におけるプラスマイナス１ビツトの
どのようなずれも記録する。
Ａ０個別刑余変換の分解
１次元個別フーリエ変換は次のように書くことができる
。
。
π
二重に、ω鵬ｅ
ると、上の式は
１／２に、ある。
Ｘｋ ””２に−に−１とす
を意味する。ｘｋが実数であれば、前の式はＸ ω も
実数であることを意味する。。
実数であることを意味する。。
ａＳｂを実数としてＩＮ−ａｎ＋ ｉｂｎと書くと、積
この式の虚数部はＯであるから
このｂ を上の式の右辺に代入すると
となる。ここに、Ｒｅｘ はＸ の実数部を示す。
ｎ
したがって、先にわかったように、与えられた長さの実
ベクトルに対する１次元個別余弦変換を行うために、二
重長さベクトルの下半分において元の順序で与えられた
ベクトルの成分をコピーすることにより、および二重長
さベクトルの上半分において逆の順序で与えられたベク
トルの成分をコピーすることにより形成された前記二重
長さベクトルについての個別フーリエ変換の出力の初め
の半分の実数部を計算できる。このようにして得た実数
部に、ｎ−０の場合には１／ｆｌが乗ぜられ、ｎ−０の
場合には５ｅｅ（πｎ／２Ｔ）が乗ぜられる。
ベクトルに対する１次元個別余弦変換を行うために、二
重長さベクトルの下半分において元の順序で与えられた
ベクトルの成分をコピーすることにより、および二重長
さベクトルの上半分において逆の順序で与えられたベク
トルの成分をコピーすることにより形成された前記二重
長さベクトルについての個別フーリエ変換の出力の初め
の半分の実数部を計算できる。このようにして得た実数
部に、ｎ−０の場合には１／ｆｌが乗ぜられ、ｎ−０の
場合には５ｅｅ（πｎ／２Ｔ）が乗ぜられる。
個別フーリエ変換の実数部を得ることは実ベクトルに対
する線形演算である。したがって、Ｄが、（１，１）エ
ントリイとして４２を有し、２≦ｍ≦にとして、（ｍ、
ｍ）エントリイとして２ｓｅｃ ［（ｍ−１） ｙｒ／
２ Ｋ］を有するＫＫＫ対角線マトリックスであると
定義すると、１次元個別余弦変換マトリックスＣを −ＤＦ として因数分解できる。ここに、Ｆは、二重にされた個
別フーリエ変換の初めのに項の実数部を生ずるために、
実入力ベクトルに作用する線形変換のマトリックスであ
る。
する線形演算である。したがって、Ｄが、（１，１）エ
ントリイとして４２を有し、２≦ｍ≦にとして、（ｍ、
ｍ）エントリイとして２ｓｅｃ ［（ｍ−１） ｙｒ／
２ Ｋ］を有するＫＫＫ対角線マトリックスであると
定義すると、１次元個別余弦変換マトリックスＣを −ＤＦ として因数分解できる。ここに、Ｆは、二重にされた個
別フーリエ変換の初めのに項の実数部を生ずるために、
実入力ベクトルに作用する線形変換のマトリックスであ
る。
２次元個別余弦マトリックスは
（Ｃ＠Ｃ）−（ＤＦ＠ＤＦ）
−（Ｄ＠Ｄ）（Ｆ＠Ｆ）
と書くことができる。マトリ・ソクスＤ＠Ｄは対角線で
ある。個別余弦変換の後で量子化が行われると、マトリ
ックスＦ８Ｆによる積だけを計算でき、量子化において
対角線係数Ｄ＠Ｄを吸収できる。
ある。個別余弦変換の後で量子化が行われると、マトリ
ックスＦ８Ｆによる積だけを計算でき、量子化において
対角線係数Ｄ＠Ｄを吸収できる。
発明者の１人であるニス・ウインゴグラ・ラド（Ｓ、
’［ｎｇｏｇｒａｄ）によりｒＭａｔｈ、オブ・コンビ
ューテーションズ（Ｍａｔｈ、ｏｆ Ｃｏｎｐｕｔａｔ
ｌｏｎｓ）Ｊ 、３２巻（１９７８年）１７５〜１９９
ページに発表された手順を用いて、マトリックスＦを次
のように因数分解できる。
’［ｎｇｏｇｒａｄ）によりｒＭａｔｈ、オブ・コンビ
ューテーションズ（Ｍａｔｈ、ｏｆ Ｃｏｎｐｕｔａｔ
ｌｏｎｓ）Ｊ 、３２巻（１９７８年）１７５〜１９９
ページに発表された手順を用いて、マトリックスＦを次
のように因数分解できる。
−ＰＢＭＡ
ここに、ＡとＢは有理マトリ・ｌクス、Ｐは順列マトリ
ックス、Ｍは個別フーリエ変換の乗法「コア」と見なす
ことができる。マトリ・ソクス２Ｆの上記因数分解によ
って、マトリックスＦにより乗算を行うための手順が与
えられる。これはその乗算演算を、加算と減算を含むだ
けである演算の間にサンドイッチ状にはさみ、順列で終
わる。
ックス、Ｍは個別フーリエ変換の乗法「コア」と見なす
ことができる。マトリ・ソクス２Ｆの上記因数分解によ
って、マトリックスＦにより乗算を行うための手順が与
えられる。これはその乗算演算を、加算と減算を含むだ
けである演算の間にサンドイッチ状にはさみ、順列で終
わる。
次に、直接積マトリックスＦ＠Ｆによる乗算について考
える。マトリックスのテンソル積についての標準的な結
果は次式を生ずる。
える。マトリックスのテンソル積についての標準的な結
果は次式を生ずる。
Ｆ＠Ｆ−ＰＢＭＡ＠ＰＢＭＡ
−（Ｐ＠Ｐ）（Ｂ■Ｂ） （Ｍ＠Ｍ） （Ａ＠Ａ）直
接積マトリックスＰ＠Ｐは２次元ビット反転に対応する
順列マトリックスである。Ａ＠ＡとＢ＠Ｂを含む積の実
現には加算と減算だけを含む。それらは標準的な行−列
または入れ予成のようにして実行できる。
接積マトリックスＰ＠Ｐは２次元ビット反転に対応する
順列マトリックスである。Ａ＠ＡとＢ＠Ｂを含む積の実
現には加算と減算だけを含む。それらは標準的な行−列
または入れ予成のようにして実行できる。
マトリックスＭはブロック対角線である。更に、各ブロ
ックをある多項商リングの表現における要素として見る
ことができる。この事実を用いて直接積マトリックスＭ
ＵＭをブロック対角線の形に分解するために使用できる
。そのマトリックスの各ブロックは再びある多項商リン
グの表現における要素である。多項積を取扱うための知
られている技術をそれらの各技術において使用できる。
ックをある多項商リングの表現における要素として見る
ことができる。この事実を用いて直接積マトリックスＭ
ＵＭをブロック対角線の形に分解するために使用できる
。そのマトリックスの各ブロックは再びある多項商リン
グの表現における要素である。多項積を取扱うための知
られている技術をそれらの各技術において使用できる。
Ｂ、逆直接余弦変換の因数分解
個別余弦変換マトリックスは直角である。これはそれの
逆数がそれの置換である。したがって、（Ｃ＠Ｃ）’−
（Ｃ’＠Ｃ’） ＝（Ｃｔ＠Ｃｔ） −（Ｆ Ｄ＠Ｆ Ｄ） ＝ （Ｆ ｔ＠Ｆ ｔ）（Ｄ＠Ｄ） である。前のＡ節におけるように、 （ＦｔｅＦｔ）−（ＢｔｏＢｔ）（ＭｔｅＭｔ）Ｘ （
Ａｔ８Ａｔ）（Ｐ ＯＰ ）である。ここに、マト
リックスＡとＢを含むマトリックスによるマトリックス
の乗算は加算と減算だけを含み、（Ｍ″×Ｍ１）は、多
項リングの表現における要素と見ることができるエント
リイを有するブロック対角線である。直接積マトリック
スＤ＠Ｄは対角線である。それらの観察により、２次元
量子化された個別余弦変換を反転するための効率的な手
順が得られる。
逆数がそれの置換である。したがって、（Ｃ＠Ｃ）’−
（Ｃ’＠Ｃ’） ＝（Ｃｔ＠Ｃｔ） −（Ｆ Ｄ＠Ｆ Ｄ） ＝ （Ｆ ｔ＠Ｆ ｔ）（Ｄ＠Ｄ） である。前のＡ節におけるように、 （ＦｔｅＦｔ）−（ＢｔｏＢｔ）（ＭｔｅＭｔ）Ｘ （
Ａｔ８Ａｔ）（Ｐ ＯＰ ）である。ここに、マト
リックスＡとＢを含むマトリックスによるマトリックス
の乗算は加算と減算だけを含み、（Ｍ″×Ｍ１）は、多
項リングの表現における要素と見ることができるエント
リイを有するブロック対角線である。直接積マトリック
スＤ＠Ｄは対角線である。それらの観察により、２次元
量子化された個別余弦変換を反転するための効率的な手
順が得られる。
Ｃ，８ｘ８２次元個別余弦変換
８ｘ８２次元個別余弦変換という特別な場合に対しては
、上のＡ節の結果によって次の因数分解が得られる。
、上のＡ節の結果によって次の因数分解が得られる。
Ｃ８″″Ｄ ｇ Ｐ ｇ Ｂ ｇ Ｍ ｓ Ａ ｓここ
に、Ｄ８は８Ｘ８対角線マトリツクスであって、それの
（１，１）エントリイが４２／４であり、それの（ｊ、
ｊ）エントリイが、ｊ≠１に対して、 １ ／４ ｓｅｃ［（ｊ −１） ／ １６］である。
に、Ｄ８は８Ｘ８対角線マトリツクスであって、それの
（１，１）エントリイが４２／４であり、それの（ｊ、
ｊ）エントリイが、ｊ≠１に対して、 １ ／４ ｓｅｃ［（ｊ −１） ／ １６］である。
この一致（ｉｄｅｎｔｉｔｙ）は直接計算により確かめ
ることができる。それは、前記ライノブラッド（ｗｌｎ
ｏ−ｇｒａｄ）発表に与えられているものの行（ｌ Ｉ
ｎｅｓ）に全体として沿う構成に続いて得ることができ
る。
ることができる。それは、前記ライノブラッド（ｗｌｎ
ｏ−ｇｒａｄ）発表に与えられているものの行（ｌ Ｉ
ｎｅｓ）に全体として沿う構成に続いて得ることができ
る。
その構成によって更に因数分解が行われる。
Ａ３１Ｉ−Ｒ３Ｒ２Ｒ１およびＢ８鱈５２Ｓ１゜ここに
、 ここで、任意の８次元ベクトルにマトリックスＲ１、Ｒ
２、Ｒ３、Ｓｌ、Ｓ２を乗じた積を評価するには加算と
減算だけを要することを観察する。
、 ここで、任意の８次元ベクトルにマトリックスＲ１、Ｒ
２、Ｒ３、Ｓｌ、Ｓ２を乗じた積を評価するには加算と
減算だけを要することを観察する。
実際に、それらの積はそれぞれ８回、７回、３回４回、
４回の加算と減算で計算できる。直接積マトリックスＡ
ｓ ＠ Ａ ｇによる積は標準的な行−月決を用いて
初めに評価される。すなわち、入力マトリックスの全て
の行にマトリックスＡ８がまず乗ぜられ、それから結果
マトリックスの全ての列にＡ が乗ぜられる。Ａ８によ
る積は因数分解Ａ ｓ −Ｒａ 、Ｒ２、Ｒｔを介して
１８回の加算と減算により行うことができる。これは１
６回行われるから、Ａ ａ ＠Ａ ａによる砧は２８８
回の加算と減算により行われる。同様に、Ｂ８８Ｂ８に
よる積は行−列のやり方で、１２８回の加算と減算によ
り行われる。
４回の加算と減算で計算できる。直接積マトリックスＡ
ｓ ＠ Ａ ｇによる積は標準的な行−月決を用いて
初めに評価される。すなわち、入力マトリックスの全て
の行にマトリックスＡ８がまず乗ぜられ、それから結果
マトリックスの全ての列にＡ が乗ぜられる。Ａ８によ
る積は因数分解Ａ ｓ −Ｒａ 、Ｒ２、Ｒｔを介して
１８回の加算と減算により行うことができる。これは１
６回行われるから、Ａ ａ ＠Ａ ａによる砧は２８８
回の加算と減算により行われる。同様に、Ｂ８８Ｂ８に
よる積は行−列のやり方で、１２８回の加算と減算によ
り行われる。
Ｍ８＠Ｍ８による積の計算は行−列のやり方では行われ
ない。それよりも、次のマトリックスの一致が用いられ
る。
ない。それよりも、次のマトリックスの一致が用いられ
る。
ここに
る。入力データマトリックスの３列目と５列目には（Ｊ
２／２）Ｍ８が乗ぜられる。それらの各列／マトリッ
クス乗算は（Ｊ ２／２）による４回の乗算と、１／２
よる２回のささいな乗算と、プラス２×２マトリツクス
（Ｊ ２／２）Ｎによる積で行うことができる。これは
３回の乗算と、３回の加算および減算で行うことができ
る。２列目と８列目は同時に取扱われて、Ｎ＠Ｍ８によ
るマトリックス直接積を考慮に入れる。計算のこの部分
の手順は次のマトリックス一致を基にしている。
２／２）Ｍ８が乗ぜられる。それらの各列／マトリッ
クス乗算は（Ｊ ２／２）による４回の乗算と、１／２
よる２回のささいな乗算と、プラス２×２マトリツクス
（Ｊ ２／２）Ｎによる積で行うことができる。これは
３回の乗算と、３回の加算および減算で行うことができ
る。２列目と８列目は同時に取扱われて、Ｎ＠Ｍ８によ
るマトリックス直接積を考慮に入れる。計算のこの部分
の手順は次のマトリックス一致を基にしている。
である。したがって、入力データマトリックスＸ（ｋｌ
、Ｒ２）の１列目、２列目、４列目、６列目にはマトリ
ックスＭ８がおのおの乗ぜられる。
、Ｒ２）の１列目、２列目、４列目、６列目にはマトリ
ックスＭ８がおのおの乗ぜられる。
それらの各列／マトリックス積は４２／２による２つの
乗算プラスＮによる積を含む。これは３回の乗算と３回
の加算および減算で行うことができ１８次元ベクトルＶ
は７行めと８行めのエントリイをおりまぜることにより
形成される。Ｖのｔｓｌと、第２と、第４と、第６のエ
ントリイ対に４８（ＪＪ２／２）Ｎがおのおの乗ぜられ
る。それらの各乗算には３回の乗算と、３回の加算およ
び減算を要する。最後に、第７と第８のエントリイ対は
同時に取扱われる。
乗算プラスＮによる積を含む。これは３回の乗算と３回
の加算および減算で行うことができ１８次元ベクトルＶ
は７行めと８行めのエントリイをおりまぜることにより
形成される。Ｖのｔｓｌと、第２と、第４と、第６のエ
ントリイ対に４８（ＪＪ２／２）Ｎがおのおの乗ぜられ
る。それらの各乗算には３回の乗算と、３回の加算およ
び減算を要する。最後に、第７と第８のエントリイ対は
同時に取扱われる。
８Ｎ−
であることが観察される。この因数分解を用いて、ＮＯ
Ｎによる積は４２／４による２回の乗算と、１０回の加
算および乗算により行うことができる。
Ｎによる積は４２／４による２回の乗算と、１０回の加
算および乗算により行うことができる。
要するに、この手順は５４回の乗算と、４６２回の加算
および減算と、１／２による６回の加算とを必要とする
。
および減算と、１／２による６回の加算とを必要とする
。
ＡＰＬプログラミング言語による好ましい８Ｘ８の２次
元個別余弦変換を実現するコンピュータープログラムが
、この詳細な説明の末尾に添附した付録ＡにｒＰｕｎｃ
ｔｉｏｎ ＲｕｎＪで示されているものとして述べられ
ている。第１〜９図は好ましい個別余弦変換の流れ図で
ある。
元個別余弦変換を実現するコンピュータープログラムが
、この詳細な説明の末尾に添附した付録ＡにｒＰｕｎｃ
ｔｉｏｎ ＲｕｎＪで示されているものとして述べられ
ている。第１〜９図は好ましい個別余弦変換の流れ図で
ある。
Ｄ、別の８×８２次元個別余弦変換手順前節の２次元個
別余弦変換手順は、個別余弦変換マトリックスＣ８から
の下記の対角線マトリックスＤ１を因数分解することを
含んでいた。
別余弦変換手順は、個別余弦変換マトリックスＣ８から
の下記の対角線マトリックスＤ１を因数分解することを
含んでいた。
Ｄｊａｇ（２，４ＣＯ８−’−，４ＣＯ３−３−！！−
、４ＣＯ８Ｅ−！！−，ＡＣＯ８−叩一。
、４ＣＯ８Ｅ−！！−，ＡＣＯ８−叩一。
１６ １８ １６
１６画−１口丁、副１→ Ｂ あるいは、個別余弦変換マトリックスＣ８から下記の対
角線マトリックスＤ１を因数分解できる。
１６画−１口丁、副１→ Ｂ あるいは、個別余弦変換マトリックスＣ８から下記の対
角線マトリックスＤ１を因数分解できる。
Ｍ總
そうすると次の因数分解が得られる。
Ｃ８１Ｃ８１１１１Ｄ２Ｒ２
ここに、
である。
通常の０．１．２．３．４．５．６．７の代りに順序が
０．４．６，２．１，５，７，３、
であるように行が並べられている、個別余弦変換マトリ
ックスの明らかな因数分解が、有効数字４桁まで、出力
データに数値で与えられている。
ックスの明らかな因数分解が、有効数字４桁まで、出力
データに数値で与えられている。
１１１１１
１−１−１１１
１−１１−１１
１−１００
０１０−１
−１０１０
ｏｏｔ−ｔ
１０００
１１
１−１１
１１−１
−１０
−１０
１’０−１
０−１
１００
０
０
ｔ
１
０
０
０
０
００
００
００
００
１１
１−１
０−１−１
−１１
１０００ ０
０１００ ０
ｏｏｉｏ 。
００ ０ １．４１４０
０ ０ ０ ０ １．３０７
００００ Ｇ、５４１２
ｏｏｏｏ 。
ｏｏｏｏ 。
０ ００
０ ００
０ ００
０ ０−Ｏ
−０，５４１２００
Ｊ０７００
０ ｌ ０
０ ０ １．４１４
０．３５３６０ ０ ０ ０ ０
００ ０．３５３８０ ０ ０ ０
００ ０ ０．１９１３０ ０
０ ００ ０ ０ ０．４６１９０
０ ００ ０ ０ ０ ０
．２１２６０ ００ ０ ０ ０
０ ０．１１１０２００ ０ ０
０ ０ ０ ０．３１８２ｏｏｏｏｏｏ。
００ ０．３５３８０ ０ ０ ０
００ ０ ０．１９１３０ ０
０ ００ ０ ０ ０．４６１９０
０ ００ ０ ０ ０ ０
．２１２６０ ００ ０ ０ ０
０ ０．１１１０２００ ０ ０
０ ０ ０ ０．３１８２ｏｏｏｏｏｏ。
前のように、次のように直接績マトリックスを因数分解
することにより、２次元、８Ｘ８個別余弦変換手順を得
ることができる。
することにより、２次元、８Ｘ８個別余弦変換手順を得
ることができる。
Ｃ＠Ｃ−（Ｄ ８Ｄ ）（Ｒ２＠Ｒ２）８ ８
２ ２ Ｘ （Ｍ＠Ｍ）（Ｒ１＠Ｒ，） ここに、対角線直接績（Ｄ２＠Ｄ２）を量子化器に組込
むことができる。直接績マトリックス（Ｒ＠Ｒ）と（Ｒ
１＠Ｒ１）は標準釣行−列２ のやり方で実行できる。直接績マトリックス（Ｍ＠Ｍ）
は前とほぼ同様に拡張される。拡張された結果は直接列
−順序ベースで用いられる。
２ ２ Ｘ （Ｍ＠Ｍ）（Ｒ１＠Ｒ，） ここに、対角線直接績（Ｄ２＠Ｄ２）を量子化器に組込
むことができる。直接績マトリックス（Ｒ＠Ｒ）と（Ｒ
１＠Ｒ１）は標準釣行−列２ のやり方で実行できる。直接績マトリックス（Ｍ＠Ｍ）
は前とほぼ同様に拡張される。拡張された結果は直接列
−順序ベースで用いられる。
上記手順をＡＰＬプログラミング言語で実現するコンピ
ュータプログラムを添附の付録Ｂに示す。
ュータプログラムを添附の付録Ｂに示す。
このＤ節の第２の手順は、１／２による６回の乗算が２
による４回の乗算へ変えられる点が、０節における第２
の手順よりも有利である。両方の手順は同数の加算およ
び減算と、回数のささいでない乗算をＨする。第１の手
順は一般にダイナミックレンジと数値的安定性の面で一
般に有利である。
による４回の乗算へ変えられる点が、０節における第２
の手順よりも有利である。両方の手順は同数の加算およ
び減算と、回数のささいでない乗算をＨする。第１の手
順は一般にダイナミックレンジと数値的安定性の面で一
般に有利である。
希望によっては、一方の手順の行（２，６）に対する位
取りと、他方の手順の行（１，５，７゜３）に対する位
取りを利用して第１の手と順第２手順をみ合わせること
ができる。たとえば、下記の対角線からマトリックスを
８点個別余弦変換マトリックスＣ８から因数分解できる
。
取りと、他方の手順の行（１，５，７゜３）に対する位
取りを利用して第１の手と順第２手順をみ合わせること
ができる。たとえば、下記の対角線からマトリックスを
８点個別余弦変換マトリックスＣ８から因数分解できる
。
ｘ
一般に、対角線因数分解数りは、対角線エントリイを次
のように順序を変えることにより、変えることかできる
。
のように順序を変えることにより、変えることかできる
。
（ｉ） ２←→６
（ｉｆ）１←→７と３←→５
（ｉｆｆ）２←→６と１←→７と３←→５それらの変更
はとくに助けとなる。というのは、種々の量子化マトリ
ックスに結合されると、あるものは他のものよりもより
高い数値安定性を提供するからである。たとえば、下記
の量子化マトリックスＡ＝（Ａｉｊ）について考える。
はとくに助けとなる。というのは、種々の量子化マトリ
ックスに結合されると、あるものは他のものよりもより
高い数値安定性を提供するからである。たとえば、下記
の量子化マトリックスＡ＝（Ａｉｊ）について考える。
のジヨイント・フォトグラフィック・エキスパーツ・グ
ループ（ｒＪＰＥＧＪ ）へ省略時量子化マトリックス
２文書番号ＪＰＥＧ−５（以前は４８００）ＩＳＯ／Ｉ
ＥＣＪＴＣＩ／ＳＣ２／Ｗ６８／ＪＰＥＧとして提案さ
れている。
ループ（ｒＪＰＥＧＪ ）へ省略時量子化マトリックス
２文書番号ＪＰＥＧ−５（以前は４８００）ＩＳＯ／Ｉ
ＥＣＪＴＣＩ／ＳＣ２／Ｗ６８／ＪＰＥＧとして提案さ
れている。
Ｅ、逆８×８゛２次元個別余弦変換
個別余弦変換マトリックスＣは直交マトリックスである
、すなわち ｃ −１＝ ｃ Ｔである。しだがとがで
きる。
、すなわち ｃ −１＝ ｃ Ｔである。しだがとがで
きる。
量子化解除マトリックスはＤＡＤである。これは要素ご
とを基にして、符号化された係数を乗するために用いる
ことができる。
とを基にして、符号化された係数を乗するために用いる
ことができる。
このマトリックスＡは国際標準化機構ＩＥＣ。
換されたマトリックスＭＴはマトリックスＭとほぼ同じ
構造である。また、置換されたマトリックスＭＴ＠ＭＴ
の直接積は直接積マトリックス（ＭＵＭ） Ｔの置換に
等しい。したがって、個別余弦変換に対して開示された
種類の逆個別余弦変換手順を得ることができる。
構造である。また、置換されたマトリックスＭＴ＠ＭＴ
の直接積は直接積マトリックス（ＭＵＭ） Ｔの置換に
等しい。したがって、個別余弦変換に対して開示された
種類の逆個別余弦変換手順を得ることができる。
あるいは、逆個別余弦変換を
量子化解除マトリックスはＤ−１ＡＤ’である。このマ
トリックスは、上記ジヨイント・フォトグラフィック番
二キスパーツ・グループの省略時量子化マトリックスの
場合のように、安定度をより高くできる。
トリックスは、上記ジヨイント・フォトグラフィック番
二キスパーツ・グループの省略時量子化マトリックスの
場合のように、安定度をより高くできる。
２次元８Ｘ８の場合に対しては、前節の逆個別余弦変換
を、次のようにして４つの有効数字ヘマトリックスの形
で数値的に拡張できる。
を、次のようにして４つの有効数字ヘマトリックスの形
で数値的に拡張できる。
−１−１−１−１
Ｒ■ＸＸＸ、ここに
１ １２３
ｔｏｏｏ ｏ ｏ ｏ ｔ
ｏｌｏｏ ０ ０ １ ０
ｏｏｔｏ ｏ ｔ ｏ 。
Ｘ −１−０００１１０００
ｏｏｏｔ−ｔ ｏ ｏ 。
００１０ ０−１ ０ ０
０１００ ０ ０−１ ０
１０００ ０ ０ ０−１
１０ ０ １ ０ ０ ０ ０
０ｆ １ ０ ０ ０ ０ ０
０１−１０００００
０−１−１１−１
０ｌ−ＩＩ
００１−１
０００１
１ １０ ０００００
１−１００００００
００１−１００００
ｏｔｏｏ。
０１００
００１０
ｏｏｏｒ
Ｍ−１−
１０００００００
０１００００００
００１，４１４２０００００
０００１００００
００００−１，８４７８０−０，７８５３７０００００
０１，４１４２００ ００００−０，７８５３７０１，８４７８００００００
００１ １０００００００ ０１００００００ ００１０００００ ００００１００−１ ０００００１１０ ０００００１−１０ ００００１００１ Ｙ −１゜ ｏｏ ｏｏｏｏ。
０１，４１４２００ ００００−０，７８５３７０１，８４７８００００００
００１ １０００００００ ０１００００００ ００１０００００ ００００１００−１ ０００００１１０ ０００００１−１０ ００００１００１ Ｙ −１゜ ｏｏ ｏｏｏｏ。
１０ ０００００
０ １ −１ ０ ０ ００
０１ １００００
００ ０１０００
００００１０−１
００ ０００１０
００ ００１０１
−
１０００００００
ｏｏｏｏｔｏｏ。
ｏｏｉｏｏｏｏ。
００００００１０
０００００１００
０１０口００００
０００００００１
０００１００００
Ｄ−１゜
０．３５３５５０ ０ ０ ０ ０
０ ００ ０．４９０３９０ ０
０ ０ ０ ００ ０ ０．４
６１９４０ ０ ０ ０ ００
０ ０ ０．４１５７３０ ０ ０
００ ０ ０ ０ ０Ｊ５３５５
０ ０ Ｇｏ ０ ０ ０
０ ０．２７７７９０ ０８ ０
０ ０ ０ ０ ０．１９１３４０
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
０．０９７５４５８Ｘ８２次元個別余弦変換手順
をＡＰＬプログラミング言語で実現するコンピュータプ
ログラムが添附の付録ＡにｒＦｕｎｅｔｉｏｎ ＲＵＮ
ＩＮＶ Ｊで示されているプログラムとして述べられて
いる。
０ ００ ０．４９０３９０ ０
０ ０ ０ ００ ０ ０．４
６１９４０ ０ ０ ０ ００
０ ０ ０．４１５７３０ ０ ０
００ ０ ０ ０ ０Ｊ５３５５
０ ０ Ｇｏ ０ ０ ０
０ ０．２７７７９０ ０８ ０
０ ０ ０ ０ ０．１９１３４０
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
０．０９７５４５８Ｘ８２次元個別余弦変換手順
をＡＰＬプログラミング言語で実現するコンピュータプ
ログラムが添附の付録ＡにｒＦｕｎｅｔｉｏｎ ＲＵＮ
ＩＮＶ Ｊで示されているプログラムとして述べられて
いる。
量子化に吸収すべき対角線マトリックスをとラベル付け
する。そうすると、位取りされた変換補償され、修正さ
れた量子化マトリックスはＤＩＡＤｌである。それの（
ｉ、ｊ）エントリイはＡ、、／ｄ、ｄ、である。
する。そうすると、位取りされた変換補償され、修正さ
れた量子化マトリックスはＤＩＡＤｌである。それの（
ｉ、ｊ）エントリイはＡ、、／ｄ、ｄ、である。
ＩＪ Ｉ Ｊ
開示されている最初の手順は
Ｄｌ−
一方第２は
０．３５３６０ ０ ０ ０ ０
０ ００ １．２５４９０ ０ ０
０ ０ ００ ０ ０．２７０６０
００ ０ ００ ０ ０ ０Ｊ
ＯＯ７０００００００００，８５３８０００ ００００００，４５００ ０００００００，８５（８０ ０００００００１，２８１ １２８１２２１０５１５１ １３８１８５２０３２４８ １４８１８８２１９２９５ １３２２２２２７０３２１ １４４２４４８８７５２７ １５１８０５４５２４７３ ２１２８８４４４１４４８ １５９２８２２７４２５４ １９２２５１２２１ ２８９５０８８６０ ４１８４６８３９０ ４８０８４３４０７ ５４４１８５４４８ ５０９５１４３８４ ４４８４１２２８１ ２４７１７３１２３ Ｄ２−″ を有する。
０ ００ １．２５４９０ ０ ０
０ ０ ００ ０ ０．２７０６０
００ ０ ００ ０ ０ ０Ｊ
ＯＯ７０００００００００，８５３８０００ ００００００，４５００ ０００００００，８５（８０ ０００００００１，２８１ １２８１２２１０５１５１ １３８１８５２０３２４８ １４８１８８２１９２９５ １３２２２２２７０３２１ １４４２４４８８７５２７ １５１８０５４５２４７３ ２１２８８４４４１４４８ １５９２８２２７４２５４ １９２２５１２２１ ２８９５０８８６０ ４１８４６８３９０ ４８０８４３４０７ ５４４１８５４４８ ５０９５１４３８４ ４４８４１２２８１ ２４７１７３１２３ Ｄ２−″ を有する。
０．３５３６０ ０ ０ ０ ０
０ ００ ０．３１８２０ ０ ０
０ ０ ００ ０ ０．４６１
９０ ０ ０ ０ ００ ０
０ ０．１８０２０ ０ ０ ００
０ ０ ０ ０．３５３６０
０ ００ ０ ’０ ０ ０
０．９０８１０ ００ ０ ０ ０
０ ０ ０．１９１３００ ０
０ ０ ０ ０ ０ ０．２１
２６そうすると ９８ ６１ ２５１ １１９ ９５ ３３１ ８８ ７５ ２８８ ２９６ ２８４ ８９３ １９６２２７ ８７９ １２１ １８１ ３９２ １０１５ ８８２２５２３ １３６０９８７ ２５５７ １９２ １２５ ７５４ ２３１２０１ ９８５ ２４５ １３０ ７８１ ８００ ５３３ ２３２０ ５４４ ３４０ １５２３ ２５３ １２７ ６５２ １５２８ ６９８ ８２７８ １４９０ ５１９２５３２ １１２ ８１ ７０ ８１８ ０２４ ７８ ４８３ Ｉ９０ 第１の位取りされた変換補償された量子化マトリックス
は第２のものよりも非常によいダイナミックレンジを示
す。第１の位取りされた変換補償された量子化されたマ
トリックス中の最小の数は６０であって、右下隅にある
。その数６０はマトリックス中の残りのエントリイより
十分に小さいから、通常はそれを無視できる。この最小
値６０を無視すると、第１の変更され、量子化されたマ
トリックスのダイナミックレンジはもはや８、あるいは
、２進では、３ビツトより大きくない。
０ ００ ０．３１８２０ ０ ０
０ ０ ００ ０ ０．４６１
９０ ０ ０ ０ ００ ０
０ ０．１８０２０ ０ ０ ００
０ ０ ０ ０．３５３６０
０ ００ ０ ’０ ０ ０
０．９０８１０ ００ ０ ０ ０
０ ０ ０．１９１３００ ０
０ ０ ０ ０ ０ ０．２１
２６そうすると ９８ ６１ ２５１ １１９ ９５ ３３１ ８８ ７５ ２８８ ２９６ ２８４ ８９３ １９６２２７ ８７９ １２１ １８１ ３９２ １０１５ ８８２２５２３ １３６０９８７ ２５５７ １９２ １２５ ７５４ ２３１２０１ ９８５ ２４５ １３０ ７８１ ８００ ５３３ ２３２０ ５４４ ３４０ １５２３ ２５３ １２７ ６５２ １５２８ ６９８ ８２７８ １４９０ ５１９２５３２ １１２ ８１ ７０ ８１８ ０２４ ７８ ４８３ Ｉ９０ 第１の位取りされた変換補償された量子化マトリックス
は第２のものよりも非常によいダイナミックレンジを示
す。第１の位取りされた変換補償された量子化されたマ
トリックス中の最小の数は６０であって、右下隅にある
。その数６０はマトリックス中の残りのエントリイより
十分に小さいから、通常はそれを無視できる。この最小
値６０を無視すると、第１の変更され、量子化されたマ
トリックスのダイナミックレンジはもはや８、あるいは
、２進では、３ビツトより大きくない。
量子化は、位取りされた２次元個別余弦変換の結果の要
素を、位取りされた変換補償された量子化器マトリック
スの対応する要素で分割することにより、要素ごとに行
われる。分割前に、変換されたデータ点と量子化器マト
リックスの対応する要素との相対的に大きさをテストし
て、０と±１を生ずる量子化の後にそれらの対を識別す
ることにより、時間を大幅に節約できる。
素を、位取りされた変換補償された量子化器マトリック
スの対応する要素で分割することにより、要素ごとに行
われる。分割前に、変換されたデータ点と量子化器マト
リックスの対応する要素との相対的に大きさをテストし
て、０と±１を生ずる量子化の後にそれらの対を識別す
ることにより、時間を大幅に節約できる。
Ｆ、１６点個別刑余変換の因数分解
１６店個別刑余変換マトリックス０１Ｂについての好ま
しい因数分解を以下に述べる。
しい因数分解を以下に述べる。
偶数の指数をつけられた行が奇数の指数をつけられた行
に先行するように、配置された１６点個別刑余変換マト
リックスを０１８で示すことにする。
に先行するように、配置された１６点個別刑余変換マト
リックスを０１８で示すことにする。
また、Ｉ８で８ｘ８一致マトリックスを示し、Ｊ で、
Ｉ８の列の順序を逆にすることにより■８から得られた
８Ｘ８マトリツクスを示すことにする。
Ｉ８の列の順序を逆にすることにより■８から得られた
８Ｘ８マトリツクスを示すことにする。
次のマトリックス積について考える。
数値的には、４桁の有効数字まで、マトリックスＦｌと
Ｆ２は下記のように与えられている。
Ｆ２は下記のように与えられている。
Ｆ、−
０，２５０，２５０，２５０，２５０，２５０，２５０
，２５０，２５０，３４６８０，２９４０，１９Ｂ４
Ｄ、０Ｂ８９７−０．０Ｂ８９７−０．１９８４
−０．２９４ −０．３４８１１０．３２８８ ０
．１３５１−０．１３５３−０．３２８８−０Ｊ２８８
−０．１３５３ ０．１３５３ ０．３２８８０．２９
４ −０．０８１１９７−０．３４８１１−０．１９８
４ ０．１９８４ ０．３４６１１−０．０６８９７−
０．２９４０．２５ −０．２５ −０．２５ ０．２
５ ０．２５ −０．２５ −０．２５ ０．２５
０．１９８４−０．３４６１１ ０．０６ｇ９７０．２
９４ −０．２９４ −０．０６１１９７０．３４６ｇ
−０，１９８４０，１３５３−０，３２８８０，３２
６８−０，１３５３−０，１３５３０，３２８８−０，
３２８８０，１３５３０，０６８９７−０，１９６４０
，２９４−０，３４６１１０，３４６８−０，２９４０
，１９６４−０，０８８９７Ｆ −（／Ｔ） ’Ｃで
あることがわかる。ここ８ に、Ｃ８は８点個別余弦変換マトリックスである。
，２５０，２５０，３４６８０，２９４０，１９Ｂ４
Ｄ、０Ｂ８９７−０．０Ｂ８９７−０．１９８４
−０．２９４ −０．３４８１１０．３２８８ ０
．１３５１−０．１３５３−０．３２８８−０Ｊ２８８
−０．１３５３ ０．１３５３ ０．３２８８０．２９
４ −０．０８１１９７−０．３４８１１−０．１９８
４ ０．１９８４ ０．３４６１１−０．０６８９７−
０．２９４０．２５ −０．２５ −０．２５ ０．２
５ ０．２５ −０．２５ −０．２５ ０．２５
０．１９８４−０．３４６１１ ０．０６ｇ９７０．２
９４ −０．２９４ −０．０６１１９７０．３４６ｇ
−０，１９８４０，１３５３−０，３２８８０，３２
６８−０，１３５３−０，１３５３０，３２８８−０，
３２８８０，１３５３０，０６８９７−０，１９６４０
，２９４−０，３４６１１０，３４６８−０，２９４０
，１９６４−０，０８８９７Ｆ −（／Ｔ） ’Ｃで
あることがわかる。ここ８ に、Ｃ８は８点個別余弦変換マトリックスである。
８点個別余弦変換マトリックスＣ８の因数分解について
は上で指定した。マトリックスＦ、はマトリックスＦ１
はほぼ同じやり方で因数分解でき、（ＪΣ）−１項が対
角線マトリックスに組合わされる。ここでマトリックス
Ｆ２について考える。まず、８Ｘ８順列マトリックスＰ
を次のように定める。
は上で指定した。マトリックスＦ、はマトリックスＦ１
はほぼ同じやり方で因数分解でき、（ＪΣ）−１項が対
角線マトリックスに組合わされる。ここでマトリックス
Ｆ２について考える。まず、８Ｘ８順列マトリックスＰ
を次のように定める。
２−
０．３５１９ ０．３３８３ ０．３１１８ ０．２７
３３ ０．２２４３ ０．１８６７ ０．１０２６ ０
．０３４［ｉ５０．３３８３ １）、２２４３ ０．Ｄ
３４１ｉ５−０．１ＢＢ７ −０．３１１８−０Ｊ５１
９−０．２７３３−０．１０２６０．３１１８ ０．０
３４６５−０．２７３３−０．３３１１３−０．１０２
６ ０．２２４３ ０Ｊ５１９ ０．１８８７０．２７
３３−０．１８８７−０．３３８３ ０．０３４Ｂ５０
．３５１９ ０．１０２６−０．３１１８ ０．２２４
３−０．３１１１１−０．１０３８ ０．３５１９−０
．０３４８５−０．３３１１３ ０．１８６７ ０．２
７３３０．１０８７−０．３５１９ ０．２２４３ ０
．１０２８−０．３３８３ ０．２７３３ ０．０３４
６５−０．３１１１１０．１０２８ −０．２７３３
０．３５１９ −０．３１１８ ０．１８８７ ０．０
３４８５−０．２２４１１ ０．３３８３０．０３４６
５−０．１０２８ ０．１６８７−０．２２４３ ０．
２７３３ −０．３１１１１ ０．３３８３−０Ｊ５１
９１００ ０００ ００ ００１ ０００ ００ ００ロー１００ ００ ｐ−ｏｔｏ ｏｏｏ ｏ。
３３ ０．２２４３ ０．１８６７ ０．１０２６ ０
．０３４［ｉ５０．３３８３ １）、２２４３ ０．Ｄ
３４１ｉ５−０．１ＢＢ７ −０．３１１８−０Ｊ５１
９−０．２７３３−０．１０２６０．３１１８ ０．０
３４６５−０．２７３３−０．３３１１３−０．１０２
６ ０．２２４３ ０Ｊ５１９ ０．１８８７０．２７
３３−０．１８８７−０．３３８３ ０．０３４Ｂ５０
．３５１９ ０．１０２６−０．３１１８ ０．２２４
３−０．３１１１１−０．１０３８ ０．３５１９−０
．０３４８５−０．３３１１３ ０．１８６７ ０．２
７３３０．１０８７−０．３５１９ ０．２２４３ ０
．１０２８−０．３３８３ ０．２７３３ ０．０３４
６５−０．３１１１１０．１０２８ −０．２７３３
０．３５１９ −０．３１１８ ０．１８８７ ０．０
３４８５−０．２２４１１ ０．３３８３０．０３４６
５−０．１０２８ ０．１６８７−０．２２４３ ０．
２７３３ −０．３１１１１ ０．３３８３−０Ｊ５１
９１００ ０００ ００ ００１ ０００ ００ ００ロー１００ ００ ｐ−ｏｔｏ ｏｏｏ ｏ。
０００ ０００ ０１
ｏｏｏ ｏａｔ ｏ。
０００ ０１０ ００
００００００−１０
８×８マトリツクスＧ２を下記のように定める。
Ｇ −ＰＰ Ｐ−１−
２
０，７０３７０，８２３６−０，５４［１８０，６７８
７０，０８９３１０，３３３３０，４４１１６−０，２
０５３５０、［１２３８−０，５４６８０，８７８７０
，０８９３１０Ｊ３３３ ０．４４８８ ０．２０５３
０．７０３７−０．５４８８ ０．８７８７ ０．０
８９３１ ０．３３３３ ０．４４８８ −０．２０５
３ −０．７０３７ −０．６２３８０．６７６７ ０
．０８９３１ ０．３３３３ ０．４４１１８ −０．
２０５３ −０．７０３７ −０．６２３６ ０．５４
８８０．０８９３１ ０．３３３３ ０．４４１１６
−０．２０５３ −０．７０３７ −０．６２３６ ０
．５４６６ −０．６７６７０．３３３３ ０．４４８
８ −０．２０５３ −０．７０３７ −０．６２３６
０．５４８Ｂ −０，８７６７−０，０Ｂ９３１０
．４４８［ｉ −０，２０５３−０，７０３７−（１
，８２３８［１，５４６６−０，８７Ｂ７５−０．０Ｂ
９３１−０．３３３３−０．２０５３ −０．７０３７
−０．６２３６ ０．５４６８ −０．６７６７ −
０．０６９３１−０．３３３３ −０．４４８６マトリ
ツクスＧ２は「多項」形式である。
７０，０８９３１０，３３３３０，４４１１６−０，２
０５３５０、［１２３８−０，５４６８０，８７８７０
，０８９３１０Ｊ３３３ ０．４４８８ ０．２０５３
０．７０３７−０．５４８８ ０．８７８７ ０．０
８９３１ ０．３３３３ ０．４４８８ −０．２０５
３ −０．７０３７ −０．６２３８０．６７６７ ０
．０８９３１ ０．３３３３ ０．４４１１８ −０．
２０５３ −０．７０３７ −０．６２３６ ０．５４
８８０．０８９３１ ０．３３３３ ０．４４１１６
−０．２０５３ −０．７０３７ −０．６２３６ ０
．５４６６ −０．６７６７０．３３３３ ０．４４８
８ −０．２０５３ −０．７０３７ −０．６２３６
０．５４８Ｂ −０，８７６７−０，０Ｂ９３１０
．４４８［ｉ −０，２０５３−０，７０３７−（１
，８２３８［１，５４６６−０，８７Ｂ７５−０．０Ｂ
９３１−０．３３３３−０．２０５３ −０．７０３７
−０．６２３６ ０．５４６８ −０．６７６７ −
０．０６９３１−０．３３３３ −０．４４８６マトリ
ツクスＧ２は「多項」形式である。
ここで、８×８対角線マトリツクスＤの（ｌ。
ｌ）項を０２の（ｔ、１）である“ようにとることによ
り、８Ｘ８対角線マトリツクスＤを定める。
り、８Ｘ８対角線マトリツクスＤを定める。
−
０，７Ｑ３７ Ｑ ０
０ ０．８２３８ ０
０ ０ −０．５４６６
Ｄｏ ０
０ ０ ０
００
０ ０ ０
０ ０ ０
０
０
０
０．８７６７０
０ ０．０６９３１
０
０
０
００
０ ０ ０
０ ０ ０
０ ０ ０
０ ０ ０
０．３３３３ Ｄ ０
０ ０．４４８６ ０
０ ０ −０．２０５３
２つの８×８加算／減算マトリックスＲ，とＲ１−
１−１１０１０００
１１０１０１００
１−１−１０００１０
１１０−１０００１
１−１１０−１０００
１１０１０−１００
１−１−１０００−１０
１１０−１０００−１
２−
ｉｏ ｏｏｏｏ ｏ 。
００ １０００−１ ０
ａｔ ｏｔｏｏ ｏ 。
００ ０００１ ０−１
１０ ０１００ ０ ０
００ ０００１ １ ０
００ ００１０ ０ １
０ｆ−１０００００
８×８のマトリックスＭを
Ｍ−Ｒ’ＤＧ Ｒ−１
１２２
により定める。Ｍは、おのおの「多項」形式である４つ
のマトリックスの直接和であることを直接計算により検
査できる。
のマトリックスの直接和であることを直接計算により検
査できる。
４つの有効数字に対して、マトリックスＭは次のように
与えられる。
与えられる。
−
０．２５０
０ ０．１７Ｂｇ
０
０
０
０
０
０
０ ０ ０
０ ０ ０
０．２３１６ ０．０９６５７０
−０．０９６５７０．２１１ ０
０ ０ Ｇ、２４５２
０ ０ ０．１３８９
０ ０ ０．０４８７７
０ ０ ０．２０７９
０
０
０
０
０．１３８９ ０．０４８７７
０．０４８７７ ０．２０７９
Ｇ、２０７９ ０．２４５２
−０．２４５２ −０．１３８９
０．２（１７９
−０，２４５２
−０，１３８９
−０，０４１１７７
マトリックスＦ２で定められたマトリックスＧ２と６２
によりマトリックスＭを定める表現は反転して、マトリ
ックスＦ２に対する表現をＤ′Ｒ−ＭＲ”２の形のマト
リックス積として生ずす ることができる。ことに、Ｄ゛は対角線マトリックス、
Ｒ′ とＲ−２は加算／減算マトリックス、Ｍは多項式
の形のマトリックスの直接和である。
によりマトリックスＭを定める表現は反転して、マトリ
ックスＦ２に対する表現をＤ′Ｒ−ＭＲ”２の形のマト
リックス積として生ずす ることができる。ことに、Ｄ゛は対角線マトリックス、
Ｒ′ とＲ−２は加算／減算マトリックス、Ｍは多項式
の形のマトリックスの直接和である。
類似の因数分解が８点個別余弦変換マトリックスＣ８に
対して存在することを思い出すであろう。
対して存在することを思い出すであろう。
そのマトリックスＣ８はここでは
（８） （８）と書かれる。
−ＤＲＭＲ
８１８２
したがって、１６×１６個別余弦変換マトリッここに、
ニーに、マトリックスＤ（ｌＢ）は対角線、マトリッ（
１Ｂ） （１Ｂ）は加算／減算マトリックスＲと
Ｒ２ ス、ＭｌＧはマトリックスの直接和である。各マトリッ
クスは多項形式である。
１Ｂ） （１Ｂ）は加算／減算マトリックスＲと
Ｒ２ ス、ＭｌＧはマトリックスの直接和である。各マトリッ
クスは多項形式である。
要約すると、
である。
−１１
Ｃ，Ｂ−（Ｆ Ｄ Ｐ）
（Ｐ’Ｒ’）Ｍ
、Ｄ（１Ｂ）Ｒ１（１Ｂ）Ｍｌ、Ｒ２（１Ｂ）Ｇ、非正
方形データアレイに対する個別余弦変換非正方形の２次
元個別余弦変換手順を以下の節に述べる。８×１６個別
余弦変換手順は前記１６６点個別余変換マトリックス０
１Ｂと８点個別余弦変換マトリックスＣ８を用いる。
方形データアレイに対する個別余弦変換非正方形の２次
元個別余弦変換手順を以下の節に述べる。８×１６個別
余弦変換手順は前記１６６点個別余変換マトリックス０
１Ｂと８点個別余弦変換マトリックスＣ８を用いる。
上記のように、８点と１６点の個別余弦変換マトリック
スＣ８と０１６は下記のように因数分解できる。
スＣ８と０１６は下記のように因数分解できる。
。−Ｄ（１６）Ｒ（１Ｇ） （１Ｇ）Ｒ
１８１１Ｂ２
データの８×１６７レイに対して、直接積マトリックス
Ｃｓ ＠ Ｃｔｅは次のようになる。
Ｃｓ ＠ Ｃｔｅは次のようになる。
直接積マトリックス＜ Ｄ（８） ＠Ｄ（１０） ）は
対角線マトリックスであり、位取りされた変換補償され
た量子化マトリックスを形成するために、そのマトリッ
クスの項を量子化に吸収できる。
対角線マトリックスであり、位取りされた変換補償され
た量子化マトリックスを形成するために、そのマトリッ
クスの項を量子化に吸収できる。
（８） （Ｉ６））８（Ｒ０Ｒ）
（８） （１Ｂ）
（Ｒ０Ｒ１２２
により指定された加算と減算を行−列のやり方で行うこ
とができる。
とができる。
直接積マトリックス（Ｍ８＠Ｍ８）による積は直接列−
順序ベースについて行われる。この直接積は拡張され、
多項型のより小さいマトリックスの直接和として表され
る。
順序ベースについて行われる。この直接積は拡張され、
多項型のより小さいマトリックスの直接和として表され
る。
必要とされるささいでない乗算の数を決定するために、
直接積は −（Ｍ８＠Ｍ８） ＠（Ｍ８＠Ｍ） と書かれる。Ｍ８＠Ｍ８部は２次元８×８個別余弦変換
の乗算部と同じである。これには、上記のように、５４
回のささいでない乗算を伴う。
直接積は −（Ｍ８＠Ｍ８） ＠（Ｍ８＠Ｍ） と書かれる。Ｍ８＠Ｍ８部は２次元８×８個別余弦変換
の乗算部と同じである。これには、上記のように、５４
回のささいでない乗算を伴う。
次に、直接積Ｍ８■Ｍを次のように書くことができる。
ここにγ（ｊ） −ＣＯ８（πｊ／１６）である。
Ｍによる積を計算するためのささいでない乗算の数は、
右下のＨで示されている４×４のブロックをどのように
計算するかに依存する。
右下のＨで示されている４×４のブロックをどのように
計算するかに依存する。
Ｍによる積は７回という小さいささいでない乗算で行う
ことができる。しかし、この場合にはより多くの加算と
減算を求められるから、それは−般に最も好ましいとい
うものではない。ブロックＨは８点個別余弦変換の奇数
行の初めの４列の４×４ブロツクの１／２倍である。し
たがって、ブロックＨは次のように書くこともできる。
ことができる。しかし、この場合にはより多くの加算と
減算を求められるから、それは−般に最も好ましいとい
うものではない。ブロックＨは８点個別余弦変換の奇数
行の初めの４列の４×４ブロツクの１／２倍である。し
たがって、ブロックＨは次のように書くこともできる。
Ｈによる積は８回のささいでない乗算で計算できる。そ
の８回の乗算のうたの４回はＤに対するものであり、１
回は ２に対するものであり、３回は る２つの砧に対する２Ｘ１２−２４回のささいでない乗
算がある。
の８回の乗算のうたの４回はＤに対するものであり、１
回は ２に対するものであり、３回は る２つの砧に対する２Ｘ１２−２４回のささいでない乗
算がある。
次に、
に
するものである。
この第２のやり方はささいでない乗算のカウントのため
に仕様できる。しかし、この第２のやり方のために、あ
る乗算は入れ子式にされる。これはある用途には許容で
きない。
に仕様できる。しかし、この第２のやり方のために、あ
る乗算は入れ子式にされる。これはある用途には許容で
きない。
Ｈによる積は９回のささいでない乗算で計算することも
できる。この場合には乗算は入れ子式でなく、かつ第１
のやり方よりも少ない数の加算と減算が求められる。
できる。この場合には乗算は入れ子式でなく、かつ第１
のやり方よりも少ない数の加算と減算が求められる。
ブロックＨによる積を計算するために第２のやり方を用
いると、Ｍによる２つの積に対する４×１２−４８回の
ささいでない乗算と、ｆｌＭによについて考える。
いると、Ｍによる２つの積に対する４×１２−４８回の
ささいでない乗算と、ｆｌＭによについて考える。
Ｂ＠Ｂ−Ｒａ（ＢＢ）Ｒａ−１
および
Ｂ ＠ Ｈ−Ｒｂ （Ｈｉｉ） Ｒｂ −’であるよう
に、加算／マトリックス／減算マトリックスＲａとＲ６
が存在する。この結果は台数論理から導かれる。すなわ
ち、フィールドのテンソル積はフィールドの直接和であ
る。アドリアン・アルバート（Ａｄｒｉａｎ Ａｌｂｒ
ｅｔ）著「代数の構造（Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｒ Ａ
ｌｇｃｒｔ） Ｊを参照されたい。したがって、ＢをＭ
回計算するとベクトルはＢ／４に対して３回のささいで
ない乗算、ｆｌＢ／８に対して３回のささいでない乗算
、Ｂ＠Ｂに対して６回のささいでない乗算、Ｂ＠Ｈに対
して１６回のささいでない乗算、を含む。
に、加算／マトリックス／減算マトリックスＲａとＲ６
が存在する。この結果は台数論理から導かれる。すなわ
ち、フィールドのテンソル積はフィールドの直接和であ
る。アドリアン・アルバート（Ａｄｒｉａｎ Ａｌｂｒ
ｅｔ）著「代数の構造（Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｒ Ａ
ｌｇｃｒｔ） Ｊを参照されたい。したがって、ＢをＭ
回計算するとベクトルはＢ／４に対して３回のささいで
ない乗算、ｆｌＢ／８に対して３回のささいでない乗算
、Ｂ＠Ｂに対して６回のささいでない乗算、Ｂ＠Ｈに対
して１６回のささいでない乗算、を含む。
Ｍ＠Ｍによる積を計算するためのささいでない乗算の合
計回数は１００＋５４−１５４である。
計回数は１００＋５４−１５４である。
Ｅ、 ２次元１６Ｘ１６個別余弦変換
１６Ｘ１６の２次元データ点アレイに対する２次元個別
余弦変換のために、 上述の 。−Ｄ（ｌＢ）Ｒ（１Ｂ）ＭＲ（ｌＢ）６１６ および変更を本発明は含む。
余弦変換のために、 上述の 。−Ｄ（ｌＢ）Ｒ（１Ｂ）ＭＲ（ｌＢ）６１６ および変更を本発明は含む。
以下に付録を示す。
（１Ｂ） （１Ｂ））
ｘ（ＲｅＲｌ
ｘ（Ｍ１６°ＭＩＢ）
（ｔｅ） （１Ｂ）。
ｘ（Ｒ＠Ｒ２
本発明は以上説明した特定の実施例に限定されるもので
はない。説明した回路と方法を、本発明の範囲と教示か
ら逸脱することなしに変更でき、本発明に一致する他の
すべての実施例、別のもの、−２７７ＳｅＧ １９６ ！２＠ ＳＳｕ ＱＮＳ −ＩＱ６ １１７３ １３９ １１９２７１３１３３８ ７２１＋ ＋彎−１１；ｈ、ｅｒユ；−−：＋６輯冑會＊−＊ Ｎ
ｕｆｆｉｓｒｉｃ ｕＰＨＡＺ ”’＊” ＮｕＩＩ
ｅｒｉｃ １１ｇ７ｄ ＋＋＊＊＊＠Ｎｕｍｅｒｉ
ｃＭｒＸＡＺ”冑−費書会Ｎｕｍ＠ＴｉＣ（ｕ＊＊＊ 一会−Ｎｕ＋＋＋ａｒｉｅＧＡｍａ”冑−＊＊＊ Ｎｕ
ｌＩ＠ｒｉｃ ５Ｋ ””ａＳＩＯ６／２９１Ｓ：ＯＳ
コＯ＋＋＊ｈｌｌｌ（Ｃ１ＱＩＩＦＩＲ１ｄ°ＡＤＤ−
ｇ＊ＷＮ＊ＦＩＲ５ｒＡＤＤＨ：ＡＯ：ＪｘＪ２Ｊ３＋
Ａｕ：ＡＳ＋Ａ６ＩＡＩｉＪｏｔａｘ＋＃２．ｊ＋３．
８ｕ、ＢＳ：ＢＧ＋ＪＴ７：Ｊｓ９１０７／（Ｉｓｌｌ
：５０：ＳＱ＊冑会ＦｕｎｃｔｉｏｎＰＥＲＭＵＴＥｍ
会肯に１１ム−９４４３９！ ４０ム −１３３１３３４ −検値−３６２ 訂 ・７１４
はない。説明した回路と方法を、本発明の範囲と教示か
ら逸脱することなしに変更でき、本発明に一致する他の
すべての実施例、別のもの、−２７７ＳｅＧ １９６ ！２＠ ＳＳｕ ＱＮＳ −ＩＱ６ １１７３ １３９ １１９２７１３１３３８ ７２１＋ ＋彎−１１；ｈ、ｅｒユ；−−：＋６輯冑會＊−＊ Ｎ
ｕｆｆｉｓｒｉｃ ｕＰＨＡＺ ”’＊” ＮｕＩＩ
ｅｒｉｃ １１ｇ７ｄ ＋＋＊＊＊＠Ｎｕｍｅｒｉ
ｃＭｒＸＡＺ”冑−費書会Ｎｕｍ＠ＴｉＣ（ｕ＊＊＊ 一会−Ｎｕ＋＋＋ａｒｉｅＧＡｍａ”冑−＊＊＊ Ｎｕ
ｌＩ＠ｒｉｃ ５Ｋ ””ａＳＩＯ６／２９１Ｓ：ＯＳ
コＯ＋＋＊ｈｌｌｌ（Ｃ１ＱＩＩＦＩＲ１ｄ°ＡＤＤ−
ｇ＊ＷＮ＊ＦＩＲ５ｒＡＤＤＨ：ＡＯ：ＪｘＪ２Ｊ３＋
Ａｕ：ＡＳ＋Ａ６ＩＡＩｉＪｏｔａｘ＋＃２．ｊ＋３．
８ｕ、ＢＳ：ＢＧ＋ＪＴ７：Ｊｓ９１０７／（Ｉｓｌｌ
：５０：ＳＱ＊冑会ＦｕｎｃｔｉｏｎＰＥＲＭＵＴＥｍ
会肯に１１ム−９４４３９！ ４０ム −１３３１３３４ −検値−３６２ 訂 ・７１４
【図面の簡単な説明】
第１〜９図は本発明のアレイ処理方法で採用される好ま
しい８×８２次元個別余弦変換手順の流れ図を一緒に構
成するものであり、第１０図は本発明のアレイ処理法の
好適な２次元８×８個別余弦変換手順と、それに続く対
応する逆個別余弦変換手順との確度の測定値を供給する
実験の結果のヒストグラムである。
しい８×８２次元個別余弦変換手順の流れ図を一緒に構
成するものであり、第１０図は本発明のアレイ処理法の
好適な２次元８×８個別余弦変換手順と、それに続く対
応する逆個別余弦変換手順との確度の測定値を供給する
実験の結果のヒストグラムである。
Claims (1)
- 【特許請求の範囲】 １、（ａ）ｍを２より大きいか、２に等しい整数として
、次元ｍを有し、物理変数を表す実数データ点の入力デ
ータアレイを得るために物理変数をサンプリングする過
程と、 （ｂ）入力データアレイに対して、位取りされたｍ次元
の個別の余弦変換を行う過程であって、（ｂ、１）前乗
算段出力データを得るために、たかだかささいな乗算演
算だけを含み、かつ行−列を基にして実行される前乗算
段加算／減算演算を入力データアレイに対して行って、
前乗算段出力データを得る操作と、 （ｂ、２）乗算段出力データを得るために、直接行順序
をつけられたベースまたは直接列順序をつけられたベー
スに対して行われる乗算段乗算／加算演算／減算演算を
前乗算段出力データに対して行って乗算段出力データを
得る過程と、 （ｂ、３）後乗算段出力データを得るために、たかだか
ささいな乗算演算だけを含み、行−列を基にして実行さ
れる前乗算段加算／減算演算を乗算段出力データに対し
て実行する過程と、 を順次含む前記入力データアレイに対して、換算された
ｍ次元の個別の余弦変換を行う過程と、（ｃ）変換され
て量子化された出力データを得るために、変換−位取り
を補償された量子化マトリックスの対応する要素に従っ
て、後乗算段出力データを要素ごとに量子化する過程と
、 （ｄ）変換されて量子化された出力データを蓄積する過
程と、 を備え、変換−位取り補償された量子化マトリックスの
各要素に対応する変換−位取り補償係数が乗ぜられ、各
変換−位取り補償係数は、位取りされたｍ次元の個別余
弦変換に関連する対角線マトリックス係数の対角線要素
の逆数に対応するアレイ処理方法。 ２、請求項１記載のアレイ処理方法において、ｍは２に
等しく、したがって、過程（ａ）において得た入力デー
タアレイの次元は２であり、過程（ｂ）において行った
位取りされた個別余弦変換は位取りされた２次元個別余
弦変換であるアレイ処理方法。 ３、請求項２記載のアレイ処理方法において、２次元入
力データアレイは８×８アレイであり、位取りつれた２
次元個別余弦変換は８×８の位取りされた２次元個別余
弦変換であるアレイ処理方法。 ４、請求項３記載のアレイ処理方法において、位取りさ
れた２次元８×８個別余弦変換は下記の８×８対角線マ
トリックス Ｄｌａｇ（√２．４ＣＯＳπ／１６、４ＣＯＳ２π／１
６、４ＣＯＳ３π／１６、４ＣＯＳ４π／１６、４ＣＯ
Ｓ５π／１６、４ＣＯＳ６π／１６、４ＣＯＳ７π／１
６）の逆数とそれ自身の直接積であるアレイ処理方法。 ５、請求項３記載のアレイ処理方法において、位取りさ
れた２次元８×８個別余弦変換に関連する対角線マトリ
ックス係数は下記の８×８対角線マトリックス ４Ｄｌａｇ（√２ＣＯＳπ／１６＋ＣＯＳ７π／１６、
ＣＯＳ２π／１６＋ＣＯＳ６π／１６、√２、ＣＯＳ３
π／１６＋ＣＯＳ５π／１６、−ＣＯＳ５π／１６＋Ｃ
ＯＳ３π／１６、−ＣＯＳ２π／１６＋ＣＯＳ６π／１
６、−ＣＯＳπ／１６＋ＣＯＳ７π／１６）の逆数とそ
れ自身の直接積であるアレイ処理方法。
Applications Claiming Priority (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| US40363189A | 1989-09-06 | 1989-09-06 | |
| US403631 | 1989-09-06 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH03100771A true JPH03100771A (ja) | 1991-04-25 |
Family
ID=23596466
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP2205951A Pending JPH03100771A (ja) | 1989-09-06 | 1990-08-02 | アレイ処理方法 |
Country Status (2)
| Country | Link |
|---|---|
| EP (1) | EP0416311A3 (ja) |
| JP (1) | JPH03100771A (ja) |
Families Citing this family (10)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| EP0557204A3 (en) * | 1992-02-21 | 1995-10-18 | Sony Corp | Discrete cosine transform apparatus and inverse discrete cosine transform apparatus |
| CA2094524A1 (en) * | 1992-07-30 | 1994-01-31 | Ephraim Feig | Digital image processor for color image compression |
| US5654910A (en) * | 1992-08-26 | 1997-08-05 | Sony Corporation | Processing method and apparatus for performing 4 ×4 discrete cosine transformation or inverse discrete cosing transformation |
| US5420811A (en) * | 1992-08-26 | 1995-05-30 | Sony Corporation | Simple quick image processing apparatus for performing a discrete cosine transformation or an inverse discrete cosine transformation |
| JPH06103301A (ja) * | 1992-09-17 | 1994-04-15 | Sony Corp | ８ｘ８離散コサイン変換回路および８ｘ８離散コサイン逆変換回路 |
| JPH08235159A (ja) * | 1994-12-06 | 1996-09-13 | Matsushita Electric Ind Co Ltd | 逆コサイン変換装置 |
| US5701263A (en) * | 1995-08-28 | 1997-12-23 | Hyundai Electronics America | Inverse discrete cosine transform processor for VLSI implementation |
| US6134270A (en) * | 1997-06-13 | 2000-10-17 | Sun Microsystems, Inc. | Scaled forward and inverse discrete cosine transform and video compression/decompression systems employing the same |
| US6421696B1 (en) | 1999-08-17 | 2002-07-16 | Advanced Micro Devices, Inc. | System and method for high speed execution of Fast Fourier Transforms utilizing SIMD instructions on a general purpose processor |
| CN109300095A (zh) | 2018-08-27 | 2019-02-01 | 深圳Tcl新技术有限公司 | 图像增强方法、系统及计算机可读存储介质 |
Family Cites Families (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| EP0374297B1 (de) * | 1988-12-23 | 1995-04-26 | ANT Nachrichtentechnik GmbH | Verfahren zur Durchführung einer zweidimensionalen Spektraltransformation oder Spektralrücktransformation |
-
1990
- 1990-08-02 JP JP2205951A patent/JPH03100771A/ja active Pending
- 1990-08-09 EP EP19900115274 patent/EP0416311A3/en not_active Withdrawn
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| EP0416311A2 (en) | 1991-03-13 |
| EP0416311A3 (en) | 1993-02-03 |
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