JPH02101501A - 工業的資源を割当てる方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 背景技貞 本発明は複数の資源利用者に資源を割当てるシステム、
特に複数の関連したサブシステムを含み、サブシステム
の各々は全体の資源割当装置の効率に影響を与える関連
する多数の動作パラメータを含むようなシステムにおけ
る有利な資源割当て方法を選択する装置に関する。

資源の割当てとシステムの最適化の必要性は電話伝送シ
ステムの伝送設備の割当て、工場における製品の割合の
制御、工業製品の市場展開、在庫管理、サービス産業に
おける従業員のスケジュール管理など広い範囲の工業お
よび技術の分野で必要になる。この意味では資源割当て
とは特定の技術あるいは産業上の結果を得るための特定
の技術あるいは産業上の資源の展開のことである。資源
割当の目標は資源を最適に利用することである。

資源割当と最適化の決定問題では典型的に最適化される
システムの制御可能なパラメータについである種の制約
がある。資源の利用可能量には限界があることが多いし
、さらに特定の応用でそれが有用である場合も限られて
いる。例えば、通信システムの個々のリンクのトラヒッ
ク伝送能力には限界があり、一方通信システムに与えら
れる全トラヒックにも限界がある。従って、特定のリン
クに必要な容量以下の容量しかないとすれば、システム
の全体の性能を劣化することになるかもしれない。しか
しひとつのリンクに必要以上の容量を持つことも同様に
無駄である。資源の各々の割当ては一種の兼ね合い、す
なわち割当の利益とコストの関係を考慮しなければなら
ない。従って問題はすべての制約を満足し、利益を最大
にし、全コストを最小にするような資源の割当方法を見
付けることである。

このような資源割当問題の代表的な方法はリニアプログ
ラミング（線形計画法）のモデルと呼ばれる。このよう
なモデルは制約と利益と割当の関係を定量的に表わすよ
うになっている。このような式は定数係数を未知の割当
値に乗じたものの和であるときには線形であると呼ばれ
る。もちろん多くの資源割当の問題はこのような線形の
式で表わすことはできず、未知数の何乗かを含んだり、
関係の中に他の非線形性を含んでいる。このようなシス
テムは線形計画法のやり方には適していない。それでも
線形計画法のモデルの応用はその簡単さと比較的広い応
用範囲のために産業界で広く用いられている。例えば電
話システムの設計、航空会社の乗員のスケジュール管理
あるいは石油化学のプロセスの能率の良い制御のために
線形計画法のモデルが使われている。

線形計画法の問題はシステムの制御可能なパラメータが
未知変数となった線形方程式の集合と、利益を表わす線
形の関係で形成される。線形方程式の集合は制約と呼ば
れ、利益の式は目的関数と呼ばれる。線形方程式はまた
制約を表わす行ないと右辺のベクトルを使って表わすこ
ともできる。

線形方程式を表わすさらに他の方法として各々の制御可
能なパラメータを多次元空間の別々の次元として見る方
法がある。このような空間では、最適化されるべきシス
テムをモデル化した線形方程式の可能な解の集合は多次
元の幾何学的な形状を持ちこれは各々がシステムの制約
条件のひとつに対応する多角形で形成された表面を持つ
多面体となっている。このような制約式は何千になるこ
とも何百万になることすらあるので、このような多面体
の面の数はこれに対応して極めて多数になる。

技術的にはポリトープと呼ばれるこの多面体は問題の制
約条件を視覚的に表わすものとして構成される。

線形計画法の問題に対する最適解はポリトープの頂点に
あることが知られており、これをバーティクスと呼ぶ。

線形計画法の問題を解くアルゴリズムは可能なポリトー
プの表面あるいは内部で点から点をたどってゆく。アル
ゴリズムの各ステップは利益の式を改善しながらポリト
ープ中のある点から他の点への経路を見付ける。もしそ
の点が最適であるか、最適点に極めて近くなったときに
アルゴリズムが終了する。

線形計画法の手法の応用はコンピュータ技術のブレーク
スルーと進歩によって急速に広がって来ている。以前に
は解けなかったような問題も、充分な計算資源があれば
解けるようになってきた。

特にＮ、　Ｋ、カーマーカ（Ｋａｒｍａｒｋｅｒ）の最
近の発明はコンビナトリ力説（Ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉ
ｃａ）　４　（４）頁３７３−３９５の“線形計画法の
新らしい多次元時間アルゴリズムと題する論文（Ａ　Ｎ
ｅｗＰｏｌｙｎｏｍｉｎａｌ　−Ｔｉｍｅ　Ａｌｇｏｒ
ｉｔｈｍ　ｆｏｒ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉ
ｎｇ）　（１９８４）　　”に述べられているが、この
発明では線形計画法の問題での資源の割当の最適解を求
める計算が高速にできるようになっている。昔のシンプ
レックスアルゴリズムは何十年もの間線形計画法の問題
を解く標準的な方法であったが、制約ポリトープの表面
をバーチフス（ｖｅｒｔｅｘ）からバーチフスに進んだ
。これに対してカーマーカの発明は制約ポリトープの内
部から出発して、放射状のステップで最適のバーチフス
に進む。連続したステップは放射状であるから、最適の
バーチフスに到達するためのステップははるかに少なく
なり、従ってカーマーカの発明は特に大型の問題ではシ
ンプレックスアルゴリズムよりはるかに早くなる可能性
を示した。

これは注目すべき進歩ではあるが、多くの実際上の決定
問題で、カーマーカ法を含む線形計画法の手続の直接の
応用を実行すると現在の技術での計算の限界を大幅に越
えてしまうものがある。このような大規模な線形計画法
の問題としては通信ネットワーク管理、運送制御、在庫
管理、工業のための生産計画、財務計画問題などがある
。これらの問題は通常冬期間あるいは多地域にわたる意
思決定プロセスに関係しており、決定変数は期間から期
間にわたり、また地域から地域にわたって相関を持つた
めに、問題は大規模で複雑なものになる。

このような大規模な問題の顕著な特徴はこれが制約行列
について同様な特殊な構造を持っており、この類似性か
らこのような問題を実際に取扱から望みが出て来ること
になる。このような特別の構造の例は第１図に図示する
ようにブロック化されていたり、階段状の部分行列を含
んでいたりする。

第１図は制約行列が矩形１０の中に入っていることを示
す。行列の中でその列の大部分にＯでない項を含むよう
な行は影を付けたブロック１１で示されている。列の各
々で少くともひとつのＯでない項を持つような特徴を持
つ区間は影を付けたブロック１２．１３．１４で示され
ている。このような図示の方法はプラトレイ　（Ｂｒａ
ｄｌａｙ）他の“応用的数学プログラミング”（Ａｐｐ
ｌｉｅｄ　ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｒｏｇｒａｍｍ
ｉｎｇ）アディソンウェスレイ　（八ｄｄｉｓｏｎＷｅ
ｓ　Ｉ　ｅｙ）刊１９７７の頁５０６の図に見られるよ
うに行列の本質的な構造を示すための共通的に用いられ
る方法である。

影を付けた領域１２−１８の各々は制御できるパラメー
タに強い相関がある場合の異るサブシステムの中での制
約の関係を表わしている。影を付けた領域１１はサブシ
ステムの間の関係から生ずる制約の関係に対応している
。

このような特別の構造を利用してこのように大きい問題
を解くために従来技術でも種々の分解の方法が知られて
いる。

分解のための周知の方法のひとつはＧ、Ｂ、ダンチヒ（
Ｄｏｎｔｉｚｇ）、Ｐ、ウルツ（Ｗｏｌｆｅ）による列
発生法であり、これはエコノメトリカ誌（Ｅｃｏｎｏｍ
ｅｔｒｉｃａ）　２９　（４）頁７６７−７７８（１９
６１）の“線形計画法のための分解アルゴリズム”　　
（Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　
ｆｏｒ　ＬｉｎｅａｒＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　）と題
する論文に述べられている。

その方法はまた“プライスデイレクティブ分解”（ｐｒ
ｉｃｅ−ｄｉｒｅｃｔｉｖｅ　ｄｅｗｃｏｐｏｓｉｔｉ
ｏｎ）とも呼ばれている。

列発生法の考えはアルゴリズムが進むときに必要になっ
たときにだけ必要な列を発生することである。アルゴリ
ズムは元の問題よりはるかに小さい問題で出発し、小さ
な解の集合を保つ。能率の良い列発生方弐で良い候補が
得られるときには各々のイタレーション（ｉｔｅｒａｔ
ｉｏｎ）で元の制約行列の列のひとつを発生し、使って
いる解の集合に含める。一般に候補となる列の数が多い
ので、この方法の速度はいかに早く良い候補を見付ける
ことができるかにかかっている。さらにアルゴリズムを
終了するまでには多数の列を発生しなければならない。

このような欠点があるために、列発生法は一般に低速で
ある。

他の分解法としてＡ、Ｍ、ジオフリオン（Ｇｅｏｆ　ｆ
ｒｉｏｎ）のオペレーションリサーチ誌１８巻（１９７
０）の“非線形分解可能システムのための資源指向方法
”　（Ｐｒｉｍｏｌ　Ｒｅ５ｏｕｒｃｅ−ｄｉｒｅｃｔ
ｉｖｅＡｐｐｒｏａｃｈｅｓ　ｆｏｒ　Ｏｐｔｉｍｉｚ
ｉｎｇ　Ｎｏｎ−１ｉｒｅＮｏｎ−１１ｒｅａｒＤｅｃ
ｏ　Ｓｙｓｔｅｍｓ）と題する論文に述べられた方法が
ある。資源指向分解の主たる考え方は問題を複数の副問
題とひとつの主問題に分解し、副問題の属性の一部を目
的関数に含めるようにすることである。次に元の問題を
種々の副問題に資源を割当てながら、イタレーションに
よって、副問題を独立したものとして解き、解を主問題
に与えて、その問題を解く。主問題の解は、各イタレー
ションで、部分問題に対して新らしい資源を与えること
になり、これを次のイタレーションで使用する。

上述した分解の手法は一般の線形計画法の手法の直接の
応用と比べて２つの利点を持っている。

第１の利点は問題を副問題に分解したあと、元の大きな
問題を直接解く必要がなくなるということである。第２
の利点は副問題は一般に特殊な線形計測法問題とするこ
とができ、従ってそれを解くのに特別な能率の良い方法
を使えるということである。例えば、ネットワークのシ
ンプレックスアルゴリズムは能率の良いグラフデータ構
造を使って実装されており、これはＦ、グローバ（Ｇｌ
ｏｖｅｒ）他のネットワーク（Ｎｅｔｗｏｒｋ）誌第４
巻　ｐ、　１９１−２１２．１９７４年の“最小コスト
ネットワークフロー問題のためのプライマル、デュアル
およびプライマルーデュアル計算機コードの実現と計算
上の比較”（Ｉｍｐｌｅｎ＋ｅｎｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ
　ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ
　ｏｆ　Ｐｒｉｍａｌ、Ｄｕａｌ、ａｎｄ　Ｐｒｉｍａ
ｌ−ＤｕａｌＣｏｍｐｕｔｅｒ　Ｃｏｄｅｓ　ｆｏｒ　
Ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｃｏ５ｔ　Ｎｅｔｗｏｒｋ　Ｆｌｏｗ
Ｐｒｏｂｌｅｍｓ）と題する論文で報告されている。こ
れによれば、ネットワークフローの線形計測法問題は特
殊シンプレックス法を使って通常のシンプレックス法の
何百倍も早い速度で解くことができる。

資源指向分解の主な欠点は主問題を解くときに非線形の
最適化問題が生じてしまうということである。この非線
形性の元は副問題の属性を主問題の目的関数に入れるこ
とから来ている 衾夙互叉Ｗ 本発明の原理に従えば、この非線形の主問題はカーマー
カによって発明されたアルゴリズムの変形によって解決
される。詳しく述べれば、新らしい目的関数は、非線形
であるが、ピースワイスリニアな凸関数であり、これは
解から部分問題から誘導される関数である。図の言葉で
説明すれば、本方法はカーマーカの発明によって明らか
にされた原理に従い、プロセスは主問題を規定するポリ
トープの中に留まる。初期のフイージブル点、すなわち
割当の集合を見付けたあとで、カーマーカの方法は動作
点を“仕事空間”　（ｗｏｒｋｉｎｇｓｐａｃｅ）の中
心にスケーリングして投射し、その点からコスト関数を
最も早く改善する移動方向を見付ける。

このような方向は“最急勾配″（ｓｔｅｅｐｅｓｔ　ｄ
ｅｓｃｅｒ＋ｔ）方向と通常呼ばれている。しかし、カ
ーマーカ法に従えば、適切な勾配方向を再評価して中心
をとりなおす前はほとんどポリトープの壁に向って動く
のに対して、本発明の改良された方法では勾配方向に向
ってライン探索を実行し、その方向に向って割当値の最
適の集合を移動する。可能な場合にはその方向は最急勾
配方向に対応する。より詳しく述べれば、各々のイタレ
ーションでとられる割当値の集合は、ポリトープの壁で
壁からある選択された距離だけ離れた（例えば壁への距
離の０．９７倍）所に達するか、あるいはそれより先で
はコストが増大しはじめるような割当の集合のいずれか
にゆくライン探索に沿った割当値の値の最小コスト集合
である。イタレーションは最適値が見付かるまでくりか
えされる。

主問題の制約行列はほとんどいつでも全体の元の問題を
規定する行列より大幅に小さいから、本発明に関連した
カーマーカステップは比較的短い時間で評価できる。（
反転するべき行列が小さいから。）ライン探索のプロセ
スは特別の線形計画法の手法が利用できるから能率が良
い。この結果として本発明のプロセスはピースワイスリ
ニアで凸であるかあるいは線形の目的関数を持つが、主
問題と副問題に分解するのが都合のよいようなシステム
に対して高速の解法を提供する。

詳狙在■所 上述したように民間企業においても、−単位としては便
利に取り扱かうには大きすぎるが、独立した副問題の集
合と実効的に副問題を組合わせた主問題とに分解できる
能率的な資源割当の問題が存在する。このような問題で
は主問題はピースワイスリニア問題（すなわち、ピース
ワイスリニアで凸な目的関数と線形な制約を持つプロセ
ス）であり、このような問題は直接カーマーカ法では解
くことができない。しかし、本発明に従えば、どのよう
なピースワイスリニアな問題にでも修正されたカーマ法
を応用することができる 従って、本発明の原理に従えば、その動作がピースワイ
スリニアな方程式の集合としてモデル化されるシステム
、あるいはその動作が線形方程式の集合によってモデル
化され、独立した副問題と主問題に分解できるようなシ
ステムの動作を最適化できる。詳しく述べれば、本発明
の手順は次のステップをふんでピースワイスリニアな問
題を解くようになっている。

１　最適化されるべきシステムについての情輻を集める
。特に制御可能なパラメータとシステムに関する制約お
よびその値を最小化すべき目的関数を明らかにする。

２　その資源割当を最適化するべきシステムの資源割当
の状態を決定する。

３　アフィンスケーリングの方法によってコストの勾配
方向を確認する。

４　確認された方向をポリトープの壁に達するまである
いは利益がそれ以上上らなくなるまで（コストの低下が
止まるまで）ポリトープ中の点（割当ての集合）まで進
む。

５　この点を資源割当の次の状態として選択し、この次
の点がイタレーションのプロセスを停止するべき最終解
に充分近くないときには、ステップ２に戻る。

もちろん本発明の手続きは与えられた資源割当の仕事の
特定の性質に注意を払う必要があり、この目的のために
問題は有用な形式で表現しておかなければならない。こ
の分野における標準的な方法では、制御可能なパラメー
タは数学的なシンボル（変数）で表わされ、最適化され
るべきシステムの関係はｑれらの変数を関連される式で
表わされる。他の方程式は元の方程式から導びかれてこ
れらの方程式が評価される。このようにして得られたパ
ラメータの値が最後に物理的に制御できるパラメータと
関連付けられ、所望の資源割当が行なわれる。

システムと元の方程式から誘導され本発明の手続きのス
テップを指定するのを助ける方程式の定量的な関係を以
下に数学的に説明する。

数学的車端 第２図と１９８８年５月１０日の米国特許４．７４４，
０２８に明らかにされたカーマーカアルゴリズムに従え
ば、ポリトープ５０の内部の開始点５１がまず選択され
る。カーマーカのアルゴリズムは完全にポリ１−−プ５
０の内部を軸方向に進み、ステップ的に５２．５５．５
６・・・と連続した点を進み、次第に最適点５３に近付
く。カーマーカのアルゴリズムでは、シンプレックスの
アルゴリズムに従ってバーテックスがらバーテックスに
表面を進む代りに、ポリトープ５０の中を進むから、カ
ーマーカのアルゴリズムは特に大規模なシステムでは少
数のステップですむので、本質的に高速である。

線形計画法モデルの形式的表現は１、最大化あるいは最
小化するべき目的関数と、許容できる割当の物理的な制
約を表現した制約関係の形をとる。

これらの制約はできるだけ正確に物理的システムに存在
する実際の物理的制約を表わし、これに対応するように
しておかなければならない。

本明細書の意味においては、線形計画法のモデルはモデ
ル中の複数のサブシステムを表わす特殊な構造を持った
モデルであると考えられる。サブシステムはそれ自身の
割当値と他のサブシステムとは独立した制約関係を持っ
ている。さらに、ザブシステムの割当値はサブシステム
間の相関関係を表わす全体のグローバル関係によって制
約される。従って、制約には２種類存在する。各サブシ
ステムのローカルな制約と全システムについてのグロー
バルな制約の２種類である。最適化された資源割当を誘
導するためのモデルと手続きは以下に標準的なベクトル
表示で示されている。

目標は形式的には次の文で表わされる。ｉが開開題すな
わちその資源を割当てるべき企業のサブシステムを表わ
すとしたとき、ベクトルＸ、とｙｔ　　（ｉ＝１・・・
・・・ｋ）について、ΣＣ１Ｘ１　　を最小化するもの
を見付ける。（１）ここで であり、すべての１について ＥｉＸｉ＝、ｆｆｔ であり、すべてのｉについて ｘｉＪ’ｉ≧０ であり、Ｃｉ　はサブシステムｉのコスト係数のベクト
ルであり、ｃｉ　　はベクトルＣ１の転置であり、ｘ８
とｙ、はサブシステムｉの割当値のベクトルであり、ｋ
は全企業に含まれるサブシステムの数であり、Ａ、は１
番目のサブシステムの中のパラメータの関係を記述する
ｍ　Ｘ　ｎ　ｉの係数行列であり、ｎｌはサブシステム
ｉの中の割当値の数であり、ｂはｍ個の制約限界のベク
トルの数であり、Ｅ８はサブシステムｉの制約行列であ
る。もっと明示的には、ベクトルｙ、はサブシステムｉ
に与えられた資源割当であり、これはどこか政府が各省
に割当てる資源（例えば予算）に似ている。、Ｘ。

ベクトルはサブシステムｉの中の与えられた資源の割当
を記述しく予算の分配に対応）、弐Ｅｉｘｉ＝　７！は
Ｅ、の行列で表わされた制約（省の中の制約）のような
Ｘｉ　とｙｔの間の関係を記述する。

上述の問題は次のように書き直される。

ｈ（ｙｔ＋・・・＋）’！＝、ΣＶｉ（ｙｚ）を最少化
する。　　　　　　　　　　　　　　　　（２）ここで ΣＡ１ｆｆ１　＝　ｂｓ ｙ１≧０（すべてのｉについて） で ｖｓ（ｙθ＝最小（Ｃ！”ｉが　Ｅｉ”ｉ　＝　Ｊｉ＋
　”ｉ≧Ｏを満足）（３）■＝０’ｉ）は凸であり、ま
た関数ｈ（ｙｔ、・・・、ｙ、）も凸であることを示す
ことができる。

上述したように、本プロセスの第１ステツプは割当タス
クのフィージブルな初期解を見付けることである。現存
せずに従って動作していないシステムで、システムの設
計を行なっているときに、システムを最初から最も最適
な形で建設したいときには、初期フィージブル状態を見
付ける問題は困難である６例えば、このような問題は通
信システムを作るために海底ケーブルを布設するような
ときに生ずる。明らかにこのような状況ではケーブルを
布設する前に海底ケーブルを最適化したいと思う。幸な
ことに１９８８年５月１０日の“能率の良い資源割当″
（Ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｎｄ　Ａｐｐａｒａｔｕｓ　ｆｏ
ｒＥｆｆｉｃｉｅｎｔ　Ｒｅ５ｏｕｒｃｅ　Ａ１１ｏｃ
ａｔｊｏｎ）と題する米国特許４，７４４，０２６のパ
ンデルバイ　（Ｖａｎｄｅｒｂｅｉ）の発明は初期フィ
ージブル点を決定する方法を示している。これに対して
、多くの他の応用では、現在するシステムの資源割当の
仕事を探す必要がある。ここでは初期フィージブル点は
現在のシステムで存在する状態であり、その状態を最適
化イタレーションの初期のすなわち第１の状態とするこ
ととし、これをｙｌと名付ける。

本発明のプロセスに従えば、ｙｌによって指定された与
えられた割当の集合であって、要素３’ｆ、汀、・・・
ｙ？、・・・昇、に対して種々のｖｉ（ｙハを評価する
ことによって関数ｈ（ｙＬ、、、、ｙ！輝評価される。

すなわち主問題の初期解と種々のサブシステムへの割当
に対して、サブシステムｖｔ（ｙ？）、の中の割当の初
期解を誘導しなければならない。個々のｖｉ（ｙり＋を
評価するプロセスは与えられた’／Ｅの値について式（
３）によって表わされる線形計画性問題を解くことによ
って実行される。一般にこのような開開題を解くための
特別のアルゴリズムが存在しなければ、これにはＧ、Ｂ
、ダンチソヒ（Ｄｏｎｔｚｉｎｇ）の“線形計画法とそ
の拡張”（Ｌｉｎｅａｒ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ａ
ｎｄ　ＥｘＬｅｖｓｉｏｎｓ）　（プリンストン大学出
願１９６３）に述べられた標準のシンプレンクスアルゴ
リズムを使うことができる。

もし開開題がネットワークフロー問題やトランスポーチ
−ジョン問題のような特殊線形計画法モデルであれば、
能率の良い特殊アルゴリズムを使うことができる０例え
ば、Ｊ、　Ｌ、ケニントン（にｅｎｎ　ｉｎｇ　ｔｏｎ
）とＲｏＶ、ヘルガソン（Ｈｅｌｇａｓｏｎ）の“ネッ
トワークプログラミングのアルゴリズム（ワイリー　１
９８０）のネットワークシンプレックスアルゴリズムを
使ってネットワークフローあるいはトランスポーチ−ジ
ョン副問題を解くと考えよう。

各々のｖｌ（ｙ？）の最適解は行列Ｂ？で表わされ、こ
れは元の制約行列Ｅ、の立方部分行列でありＢ？Ｘム、
＝ｆｆｉ であるとしよう。行列Ｂｉはカノニカル基底行列と呼ば
れることもある。これは最適の割当値の状態を定義する
のに必要・充分な集合を形成するＥ。

の列で形成されている。このＢ　？を元に、最適の資源
割当値　Ｘ？（場合によっては上値と呼ばれる）と最適
の双対値ｄ、は次式で表わされる。

Ｘム、　＝　（Ｂ？）−１ｙ７ ｘ４．＝０゜ ｄ？　”　（Ｃｎ、ゲσ３ｆ）−’　　　　　　　　　
　　　　（４）ここでｃＢ、は、Ｂ７の列に対応する基
本資源割当値の成分だけを含むベクトルＣ８の一部であ
り、Ｘ？　＝　（ｘ、ＩＢ、　、　ｘ丸）、である。こ
こで上に付けた添字ｔはベクトル（あるいは行列）の転
置を示し、Ｅｉ　＝［Ｂ１Ｎｉ１である。

以上で主問題の初期割当の集合と、開開題の初期割当の
集合の確認を完了する。アルゴリズムの残りの部分は割
当値のひとつの集合から他の集合に移行するイタレーシ
ョンのプロセスである。プロセスの説明を分りやすくす
るために、現在の割当値をｘ７とｙ（の集合が１＝＝１
．、、、、ｋについて分っているとする。割当値を次の
値、ｘｉｉ　Ｉ　’ＩＰ”　、ｉ＝１、・・・、ｋに移
動するプロセスについて説明する。

このようなイタレーションのプロセスは最適の（あるい
は最適に近い）割当値が見付かるまでｊ＝１．２．・・
・、について繰返される。上述した初期プロセスのあと
では、ｉ＝１．・・・　ｋについて割当値”ｉ　、３’
ｉ　　は得られている。

イタレーションのステップでｚｊの動きの方向を計算す
るのに双対の値ｄｊ　が使われる。このような方向は、
その方向の移動によってコストが低下するので勾配方向
と呼ばれる。このステップでの方向ｚ４　は次のベクト
ルで与えられる。

ｚ４　＝　ＤｊＰｊＤ７ｄ４．　　　　　　（５）ここ
で Ｄｊ　＝　”／’ｆ　　の要素を持つ対角行列Ｐ７＝η
−則ＡＩ（ΣＡ、Φ？）２人！）−１八渕。

ｉ＝１ である。また主問題の双対ベクトルｗｊはで定義される
。

もしベクトルＺ４の大きさが充分小さく、双対ベクトル
ｗＪがフィーシビリテイの制約を満足していれば、現在
の割当値は最適値に近いことが示される。従って本発明
のプロセスの停止条件はもし１ｚ１１　≦ＥＩ　Ｔ：　
Ａ！−≦Ｃｉ　＋６２　ナラ停止（１）ただし、εｌと
８２は充分小さな正であり、すべてのｉの値につい゛ζ
上記関係となる。もし停止条件が満足しなければ、プロ
セスはベクトル−１Ｊによって与えられる方向で異る割
当値の方向に移動することになる。ここで例外的な状況
では、割当値が目的関数（第３図）の領域の間の境界上
に正に存在するにはその点では明白な微分が存在せず、
従ってｍ−は勾配方向ではない可能性がある。このよう
な例外的な状況では、割当値のまわりに摂動を与えてそ
の点を目的関数のいずれかの領域に移す。

ベクトル−ｚＪは移動の方向を示しているが、ステップ
の大きさはｍ−によって定義される１次元の線に沿って
ライン探索の動作を実行することによって決定される。

すなわち、目的関数はピースワイスリニアであるから、
ポリトープは目的関数の特定の線形のセグメントが動作
する（適用できる）各々の部分に分割される。従って、
現在の線形部分に留っている間だけ（そして、もちろん
ポリトープ内に留っている間だけ）ポリトープの中でベ
クトルー−によって指定できる方向に進んで良いことは
明らかである。しかし本発明に従えば、コストは異る速
度でかもしれないが減少し続けるので、さらに次のポリ
トープセグメントに進むことができる。

ライン探索のプロセスにおいては、次のＩ次元の最適化
問題をＯからｄ　の間で次を最小化するように ｈ（ｙｊ　−ｃｃｚ’）、　　　　　　　　　（８）コ
、ニーｃ　　ｙ’＝（ｙ４．−、、、ｙ４）、ｚｊ＝（
ｚ４．−’−、、ｚ４）。

であるようなｑ についてスカラーαを解く。この探索のプロセスはＧ、
Ｂ、ダンチッヒ（Ｄｏｎｔｚｉｇ）の“線形計画法と拡
張”に述べられたデュアルシンプレックスアルゴリズム
で行なわれている。特殊な高能率のデュアルシンプレッ
クスアルゴリズムはまたＹ、イクラ（Ｉｋｕｒａ）とＧ
、Ｌ、ネムハウザ（Ｎｅｍｈａｕｓｅｒ）の“トランス
ポーチ−ジョン問題のための多項式時間デュアルシンプ
レックスアルゴリズムの計算経験″　（Ｃｏｍｐｕｔａ
ｔｉｏｎａｌ　Ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ　ｗｉｔｈ　ａＰ
ｏｌｙｎｏｍｉｎａｌ−ｔｉｍｅ　Ｄｕａｌ　Ｓｉｍｐ
ｌｅｘ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒｔｈｅ　Ｔｒａｎ
ｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ　Ｐｒｏｂｌｅｉｖ）と題するデ
ィスクリート応用数学誌第１３巻頁２３９−２４８（１
９８６）の論文およびＡ、ナカヤマ（Ｎａｋａｙａｍａ
）の“最小コストフロー問題のための多項式時間デュア
ルシンプレックスアルゴリズム”（Ａ　Ｐｏｌｙｎｏｍ
ｉｎａｌ−ｔｉｍｅ　Ｄｕａｌ　Ｓｉｍｐｌｅｘ　Ａ１
ｇｏｒｉｔｈａ＋　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ＭｉｎｉｍｕｍＣ
ｏｓｔ　Ｆｌｏｗ　Ｐｒｏｂｌｅｍ）と題する日本オペ
レーションリサーチ学会誌（Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ｔ
ｈｅ　０ｐｅｒａｔｆｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈ　５ｏｃ
ｔｅｔｙ　ｏｆ　Ｊａｐａｎ）第３０巻第３号頁２６５
−２９０　　（１９８７）の論文に見られる。

ライン探索のプロセスを実行している間に、資源割当値
ｘ１が更新される。

ライン探索の解謔、が見付かったときに、割当値の新し
い集合が ｙ声＝３Ｊ　　ｃ？Ｚ’、　　　　　　　　（９）とし
て求められる。この割当値の更新のあとで、移動方向を
見付けるプロセスが繰返され、２・ベクトルの大きさと
Ｗ′ベクトルのフィーシビリテイがチエツクされ、もし
必要ならば他の割当への移行が行なわれる。

プロセス 割当ステップのフローチャートを図面の第４図に示す。

第４図に示したように、まず制御可能な企業なパラメー
タを識別し、企業の線形計画法モデルを形成し、第１図
に示すような基本的構造を明らかにすることが、必要で
ある。これはブロック１００で示されるステップで実行
される。次に厳密なフィージブル点が設計されるシステ
ムについて実行される計算あるいはもっと一般的には最
適化するべきシステムの現存する状態をプロセスに知ら
せるセンサを通して選択される。ブロック１０１で示さ
れるこのステップは主問題についてだけの初期割当の識
別を含んでいる。

この先を進めるためには、開開題に対して初期に割当て
られた資源の最適割当が必要である。この資源の最適割
当の計算はブロック１０２で（シンプレックス法あるい
は特殊シンプレックスアルゴリズムのような最も便利な
方法を使用して）実行される。破線１０３で囲んだ第４
図の残りの部分は本発明の手順のイタレーション部分で
ある。

第４図のイタレーション手続き１０３は次のようなステ
ップから成る。要素ｙのフィージブルな割当と各サブシ
ステムにおける関連した最適割当Ｘが与えられたときに
、 （１１ブロック１０４で移動の予測された方向が勾配方
向であるように最適の双対値を再計算する。

（２）ブロック１０５で式（６）に従って最適の双対値
から勾配方向を判定し、式（７）から主問題の双対を計
算する。

（３）ブロック１０３で勾配方向の現在値をテストし、
その大きさが関係（８）を満足するかを調べる。

（４）　　もし大きさのテストに満足すれば、ブロック
１１０で終了し、最後に利用できた割当の集合（種々の
Ｘｉ）をサブシステムに与える。

（５）　　もし大きさテストを満足しないときには、ブ
ロック１０７で弐（９）に従ってライン探索を実行する
。

（６）　　ブロック１０７のライン探索のあとで、ブロ
ック１０９において式（１２）に従ってｙの割当値を変
更する。

（７）新らしい割当値ｙを与えられたとき、サブシステ
ム割当Ｘを変更して、ブロック１１０で双対値を求め、
ブロック１０４に再び入る。

元々のカーマーカの方法でも大きなステップを進むこと
ができるので、上述した方法は急速に収速する。さらに
各々のカーマーカのステップは主問題の大きさがはるか
に小さいからカーマーカの方法を直接適用するよりも（
計算上）高速であることが期待される。ライン探索の手
順はまた特殊双対シンプレックスアルゴリズムを使って
能率良く実行される。

第５図のプロセスは第４図のプロセスに見られるステッ
プの大部分を含んでいる。サブシステムの最適割当を評
価する必要はない。従って第５図のプロセスは、順番に
最適化されるべきシステムに関する情報を収集するステ
ップ１００、割当の初期フィージブル値を得るステップ
１０１、およびイタレージジンのステップ１０３を含ん
でいる。

ステップ１０３は勾配方向を判定するステップ１０５、
資源割当のためにそれ以上のイタレージジンが必要かど
うかをテストするステップ１０６を含んでいる。もしこ
れ以上のイタレージジンが必要でなければ、ステップ１
０３は終了し、最後に評価された資源割当が、ステップ
１１０で最適化するべきシステムに割当られる。さもな
ければ、久テップ１０７が実行され、次の資源割当状態
を見付けるライン探索を実行し、ステップ１０９で次の
状態を評価する。次に制御はステップ１０５に戻る。

【図面の簡単な説明】

第１図は影を付けた部分でその内容が非零であるような
部分行列を示すブロック構造を持つ行列のグラフ； 第２図は線形プログラミングモデルの最適資源割当を判
定するためのカーマーカ法のグラフ表示；第３図はポリ
トープが異る勾配方向の領域を含むような本発明のイタ
レージジンのステップのグラフ表示； 第４図は特殊構造を持つ線形計測法問題を能率良り解り
ための本発明のプロセスステップのフローチャート； 第５図はピースワイスリニアシステムの最適化に応用さ
れる本発明のプロセスステップのフローチャートである
。 〔主要部分の符号の説明〕 ５０・・・・・・ポリトープ ５１・・・・・・開始点 ５３・・・・・・最適点 ＦＩＧ。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、資源の選択された割当に関連したコストを減少する
   ように企業の工業的資源を割当てる方法であって、 該企業の制御可能なパラメータは変数で表わされ、 該資源の該割当は線形関係で制約されて、 該変数の線形方程式で表わされ、 該コストは該変数のピースワイスリニアな与えられた凸
   関数で表わされる方法において、該方法は各イタレーシ
   ョンが １）関連するコストベクトル ２）ベクトルコンポーネントを含み、該ベクトルコンポ
   ーネントの各々は該サブエンティティの該線形制約関係
   のひとつで、一定の量だけ変化させた結果としての該コ
   ストの変化の表示の割合に対応するような該サブエンテ
   ィティの各々についての臨界ベクトルを有し該各々のイ
   タレーションでは選択された停止条件を満足しない限り
   、次のイタレーションでの潜在的資源割当を発生するよ
   うになっており、各々のイタレーションはさらに、 次のイタレーションにおける該新らしい潜在的資源割当
   を生成するのに使用するために該潜在的資源割当てに関
   連する勾配方向ベクトルを発生し； 該潜在的資源割当てに関連した臨界価値ベクトルを発生
   し； 該勾配方向ベクトルと該臨界価値ベクトルをテストして
   該勾配ベクトルが第１の予め定められたスレショルド以
   下になり、該臨界価値ベクトルが線形不等式の予め定め
   られた集合を満足するときにプロセス停止信号を発生し
   ； 該テストのステップでプロセス停止信号が発生しなかっ
   たときに、コストの低下が止まるという判定が行なわれ
   るかあるいは該新らしい潜在的資源割当が該制約に達す
   るかのいずれかが生ずるまで該勾配方向ベクトルに沿っ
   て進むことによって次のイタレーションのための新らし
   い潜在的資源割当を発生する段階を含む ことを特徴とする工業的資源を割当てる方法。 ２、資源の選択された割当に関連するコストを削減する
   ように企業の工業的資源を割当てる方法であって、 該企業の制御可能なパラメータは変数で表わされ、 該資源の該割当は線形の制約を持っており、該変数の線
   形の方程式の集合で表わされ、これは該企業の相関する
   要素を示す主サブセットと複数のサブシステムサブセッ
   トに分解できるようになっており、サブシステムサブセ
   ットの各々は該企業の比較的独立したサブエンティティ
   を表わし、制約関係の集合になっており、その各々は該
   変数の与えられた集合とは独立になっており、該主サブ
   セットは該サブシステムサブセットの関連を付ける制約
   関係の集合になっており、 該コストは該変数の線形関数で与えられ、 該方法は資源割当のイタレーションを含み、各々のイタ
   レーションは該企業の該相関のある要素と該企業の該サ
   ブエンティティの両方の潜在的な資源割当を受けとり、
   該資源割当は １）関連するコストベクトル ２）ベクトルコンポーネントを含み、該ベクトルコンポ
   ーネントの各々は該サブエンティティの該線形制約関係
   のひとつで、一定の量だけ変化させた結果としての該コ
   ストの変化の表示の割合に対応するような該サブエンテ
   ィティの各々についての臨界価値ベクトルと、 ３）該サブエンティティの臨界価値ベクトルをまとめた
   該相関のある要素に対する全体的臨界価値ベクトルと、 を有し、該各々のイタレーションでは選択された停止条
   件が満足されない限り、次のイタレーションのための潜
   在的資源割当を発生するようになった工業的資源を割当
   てる方法において、各々のイタレーションは更に該サブ
   エンティティの該潜在的資源割当に関連した該臨界価値
   ベクトルを発生し； 次のイタレーションのための新らしい潜在的資源割当を
   生成するのに使うために該サブエンティティの該潜在的
   資源割当に関連した勾配方向ベクトルを発生し； 該臨界価値ベクトルを発生する該ステップにもとずいて
   該全体的臨界価値ベクトルを発生し； 該勾配方向ベクトルと該全体的臨界価値ベクトルをテス
   トして該勾配方向ベクトルが第１の予め定められたスレ
   ショルド以下になったときおよび該全体的臨界価値ベク
   トルが線形不等式の予め定められた集合を満足したとき
   にプロセス停止信号を発生し、 該テストの段階で該プロセス停止信号が発生しなかった
   ときに、コストの低下が停止したとの判定が行なわれる
   かあるいは該新らしい潜在的資源割当が該制約のひとつ
   に達するかするまで該勾配方向に沿って進んで次のイタ
   レーションのための新らしい潜在的資源割当を発生する 段階を含むことを特徴とする工業的資源を割当てる方法
   。