JP7812880B2 - 数値不安定性を解決するためのシステムおよび方法 - Google Patents

Description

コンピュータ支援設計（ＣＡＤ）またはコンピュータ支援エンジニアリング（ＣＡＥ）を使用した部品の設計のために、多くのシステムおよびプログラムが市場で提供されている。これらのいわゆるＣＡＤシステムは、ユーザが、物体または物体の組立品の複雑な三次元モデルを構築および操作することを可能にする。したがって、ＣＡＤシステムは、縁または線、または特定の事例では面または多角形を使用して、モデル化された物体の表現を提供する。線、縁、面、または多角形は、例えば、不均一有理Ｂスプライン（ＮＵＲＢＳ）などの様々な様式で表され得る。

これらのＣＡＤシステムは、主に幾何学的形状の仕様である、物体によりモデル化された部品または部品の組立品を管理する。特に、ＣＡＤファイルには幾何学的形状が生成される仕様が含まれる。幾何学的形状から、表現が生成される。仕様、幾何学的形状、および表現は、単一のＣＡＤファイルまたは複数のＣＡＤファイルに保存されてもよい。ＣＡＤシステムは、設計者にモデル化された物体を表すためのグラフィックツールを含み、これらのツールは、複雑な物体の表示専用である。例えば、組立品は数千個の部品を含み得る。ＣＡＤシステムを使用して、電子ファイルに保存される物体のモデルを管理することができる。

ＣＡＤシステムおよびＣＡＥシステムの出現により、物体のための幅広い表現の可能性が可能になる。こうした表現の一つは、有限要素モデル（ＦＥＭ）である。ＦＥＭ、またはその他のＣＡＤ、ＣＡＥ、またはコンピュータベースのモデルは、モデルが、モデルが表す基礎となる物体の特性を有するようにプログラムされてもよい。ＦＥＭモデルまたは他のこうしたコンピュータベースのモデルがそのような方法でプログラムされる場合、それはモデルが表す物体のシミュレーションを実施するために使用され得る。例えば、ＦＥＭを使用して、車両の内部空洞、構造を囲む音響流体、および任意の数の現実世界の物体およびシステムを表し得る。所与のモデルが物体を表し、それに応じてプログラムされる場合、現実世界の物体自体をシミュレーションするために使用され得る。例えば、ステントを表すＦＥＭを使用して、実際の医療設定におけるステントの使用をシミュレーションしてもよい。

コンピュータベースのモデルは、モデルが表す物体の設計を改善するために使用され得る。設計の改善は、モデルの設計、ひいては、モデルが表す基礎となる現実世界の物体に対する変更を識別するために、一連のシミュレーションを実行するコンピュータベースの最適化技術の使用によって識別され得る。

現実世界の物体の物理学ベースの挙動、すなわち、物理的挙動を決定するためのコンピュータベースの方法が存在するが、これらの既存の方法は、不正確な結果を提供し得る。具体的には、既存の方法は、大変位、ならびに大変形を受けるモデルの主解を決定する際に、発散および局所的な数値不安定性を経験する場合がある。主解を得る際の発散／不安定性は、分析完了の失敗、すなわち、収束した解に達しない。そのため、既存のシミュレーションおよびモデリング方法の改善が必要である。実施形態は、こうした改善を提供する。実施形態は、現実世界の物体の設計、現実世界の物体の挙動の決定、およびシミュレーションに対する主解を決定する際の数値不安定性を解決するための疑似構成モデリングを提供するシミュレーションを対象とする。

こうした例示的な実施形態の一つは、現実世界の物体の物理的挙動、すなわち、物理学ベースの挙動を決定するためのコンピュータ実装方法である。こうした実施形態は、プロセッサのメモリ内に、複数の要素を使用して現実世界の物体を表すコンピュータベースのモデルを定義することから始まる。定義されたモデルは、複数の要素の各要素によって表される一つ以上の材料を示す。実施形態は、続いて、一つ以上の材料の物理的挙動を記述する方程式を定義し、非線形変形勾配行列の関数である安定化方程式を定義する。次いで、荷重に供される現実世界の物体のシミュレーションは、（ｉ）定義されたコンピュータベースのモデル、（ｉｉ）物理的挙動を記述する定義された方程式、および（ｉｉｉ）定義された安定化方程式を使用して実施される。こうした実施形態では、シミュレーションを実施することは、安定化方程式を複数の要素の各々に適用することを含む。シミュレーションを実施する結果は、現実世界の物体の物理的挙動、すなわち、物理学ベースの挙動を示す。

一実施形態によれば、「要素」（すなわち、現実世界の物体を表すために使用されるコンピュータベースのモデルの要素）は、有限要素モデル（すなわち、コンピュータベースのモデル）のモザイク式要素である。しかしながら、実施形態は、モザイク式要素を利用することに限定されず、代わりに、実施形態は、三角形または四辺形の膜またはシェルなどの任意の要素を採用し得ることに留意されたい。

実施形態では、コンピュータ実装方法は、モデル内の複数の要素の各要素について、定義された安定化方程式に基づいて人工的内力を要素に関連付けることによってさらに継続する。別の実施形態では、モデル内の複数の要素の各要素について、人工ベースおよび物理学ベースの挙動（すなわち、人工ベースおよび物理学ベースの挙動の組み合わせ）を、関連する人工的内力に基づいて要素と関連付けることによってさらに継続する。一実施形態によれば、コンピュータ実装方法は、各要素に関連付けられた人工的内力、および各要素に関連付けられた人工ベースおよび物理学ベースの挙動を使用して、荷重に供される現実世界の物体のシミュレーションを実施する。

さらに別の実施形態では、コンピュータ実装方法は、定義された安定化方程式を使用して現実世界の物体のシミュレーションを実施し、複数の要素のうちの所与の要素に関連付けられた条件値を低減する。こうした実施形態では、条件値は、非線形変形勾配行列の関数である。

別の実施形態では、コンピュータ実装方法は、シミュレーションを実施した結果に基づいてコンピュータベースのモデルを更新し、（ｉ）更新されたコンピュータベースのモデル、（ｉｉ）物理学ベースの挙動を記述する定義された方程式、および（ｉｉｉ）定義された安定化方程式を使用して、現実世界の物体のシミュレーションを実施することによって、現実世界の物体の更新された物理的挙動を決定する。

別の実施形態では、コンピュータ実装方法は、決定された更新された物理的挙動が基準を満たすまで、（ｉ）決定された更新された物理的挙動に基づいて、コンピュータベースのモデルを更新することと、（ｉｉ）更新された物理的挙動を決定することと、を反復することをさらに含む。

一部の実施形態では、コンピュータベースのモデルは、有限要素モデル、境界要素法、有限差分法、有限体積法、または離散要素法のうちのいずれか一つまたは組み合わせである。

実施形態では、コンピュータベースのモデルによって表される現実世界の物体は、任意の現実世界の物体であってもよい。例えば、一実施形態では、現実世界の物体は、自動車、産業設備、飛行機、土木構造物、海洋装置、医療器具、消費財、電子装置、装甲車両、または製造設備のうちのいずれか一つである。さらに、コンピュータベースのモデルによって表される現実世界の物体は、他の実施例の中でも特に、自動車用途、産業設備用途、飛行機用途、土木構造物用途、海洋装置用途、医療器具用途、消費財用途、電子装置用途、装甲車両用途、または製造設備用途のうちの一つで使用され得る。このようにして、実施形態は、現実世界の物体の設計を最適化し、現実世界での適用を利用する用途を最適化することができる。

実施形態では、自動車の対応する物理学ベースの挙動は、衝突中の自動車のボディパネルの変形であり得るが、これらに限定されない。

実施形態では、産業設備の対応する物理学ベースの挙動は、動作中の産業設備の一つ以上の部品の変形であり得るが、これらに限定されない。

実施形態では、飛行機の対応する物理学ベースの挙動は、空気力学的力に供される飛行機の翼の変形であり得るが、これらに限定されない。

実施形態では、土木構造物の対応する物理学ベースの挙動は、荷重に供される一つ以上の構造構成要素の変形であり得るが、これらに限定されない。

実施形態では、海洋装置の対応する物理学ベースの挙動は、様々な程度の静水圧に供される海洋装置の変形であり得るが、これらに限定されない。

実施形態では、医療器具の対応する物理学ベースの挙動は、トルクに供されるシリンジ針先端の変形であり得るが、これらに限定されない。

実施形態において、消費財の対応する物理学ベースの挙動は、例えば、消費財の通常の使用に関連する変形を受けるときの例示的な消費財の変形であってもよいが、これに限定されない。

実施形態では、電子装置の対応する物理学ベースの挙動は、接地衝撃に関連する変形に供されるときの電子装置の変形であり得るが、これらに限定されない。

実施形態では、装甲車両の対応する物理学ベースの挙動は、衝撃の吸収に関連する変形に供されるときの装甲車両の変形であり得るが、これらに限定されない。

実施形態では、製造設備の対応する物理学ベースの挙動は、動作中の製造設備の一つ以上の部品の変形であり得るが、これらに限定されない。

さらに別の実施形態は、現実世界の物体の物理的挙動を決定するためのシステムを対象とする。こうした実施形態では、システムは、プロセッサと、その上に格納されたコンピュータコード命令を有するメモリと、を含む。プロセッサおよびメモリは、コンピュータコード命令を用いて、システムに、本明細書に記載される任意の実施形態または実施形態の組み合わせを実装させるように構成される。

別の実施形態は、現実世界の物体の物理的挙動を決定するためのクラウドコンピューティング実装を対象とする。こうした実施形態は、一つ以上のクライアントとネットワークにわたって通信するサーバによって実行されるコンピュータプログラム製品を対象とする。コンピュータプログラム製品は、プロセッサによって実行されるとき、プロセッサに本明細書に記載される任意の実施形態または実施形態の組み合わせを実装させるプログラム命令を有するコンピュータ可読媒体を備える。

前述は、異なる図全体を通して同様の参照文字が同じ部分を指す添付図面に図示されるように、例示的な実施形態の以下のより具体的な説明から明らかになるであろう。図面は必ずしも正確な縮尺ではなく、代わりに実施形態を図示することを強調するものである。

図１は、例示的なトポロジー最適化ワークフローのフローチャートである。 図２は、大変形および幾何学的非線形モデリングによる分岐の表現を示す。 図３Ａは、一実施形態による、非変形構成における、積分点を有する二次４節点要素の二次元（２Ｄ）コンピュータベースのモデルを示す。図３Ｂ～３Ｅは、四つの異なるタイプの運動学的変形についての変形勾配行列Ｆの関数として、図３Ａの２Ｄの二次４節点要素の要素積分点で計算される条件数を示すプロット図である。 図４は、一実施形態による非線形ＣＡＥワークフローのフローチャートである。 図５は、実施形態による現実世界の物体の物理的挙動を決定するための方法のフローチャートである。 図６は、一実施形態による、未変形状態から変形状態への材料粒子Ｐの変形を示す。 図７は、一実施形態による最適化方法のフローチャートである。 図８は、実施形態を既存の幾何学的非線形有限要素に組み込む方法を示す。 図９Ａ～９Ｄは、追加された人工的構成材料モデリングがない場合、および一実施形態による、人工的構成材料モデリングがある場合の、二次元（２Ｄ）および三次元（３Ｄ）Ｃ字型構造を示す。 図１０は、既存の方法を使用して決定された２Ｄシミュレーション結果、および実施形態を使用して決定された２Ｄシミュレーション結果を示す。 図１１は、既存の方法を使用して決定された３Ｄシミュレーション結果、および実施形態を使用して決定された３Ｄシミュレーション結果を示す。 図１２は、一実施形態による、感度ベースの設計最適化ワークフローのフローチャートである。 図１３は、弾性材料特性および弾塑性材料特性の両方が定義される、幾何学的非線形トポロジー最適化のベンチマークモデルを示す。 図１４Ａは、既存の方法および実施形態を使用して解決された、弾性物理的材料に対する幾何学的非線形トポロジー剛性最適化の結果を示す。図１４Ｂは、既存の方法および一実施形態を使用して解決された、弾塑性物理的材料に対する幾何学的非線形トポロジー剛性最適化の結果を示す。 図１５は、既存の方法および一実施形態を使用して決定された二つの弾性トポロジー最適化設計を示す。 図１６Ａおよび図１６Ｂは、非線形一過性３Ｄトポロジー最適化モデルを示す。 図１７Ａは、既存の方法を使用して実施される最適化に失敗する３Ｄモデルの設計密度レイアウトを示す。図１７Ｂは、最適化反復の関数として正規化された最大垂直変位の目的関数値および正規化された体積制約値を示す、図１７Ａの３Ｄモデルの最適化反復履歴プロット図である。図１７Ｃは、陰影が局所的人工不安定性を示す、図１７Ａの３Ｄモデルの失敗した主解の応力を示す３Ｄモデルである。図１７Ｄは、一実施形態による数値安定化が適用される場合に、陰影が図１７Ａおよび図１７Ｃのモデルの応力を示す３Ｄモデルである。 図１８Ａは、収束したトポロジー最適化の最適化設計密度レイアウトを示す。図１８Ｂは、最適化反復の関数として正規化された最大垂直変位の目的関数値および正規化された体積制約値を示す、図１８Ａの３Ｄモデルの最適化反復履歴プロット図である。図１８Ｃは、陰影が最大変位点での初期設計の主解の応力を示す３Ｄモデルを描写する。図１８Ｄは、陰影が、実施形態が適用される最大変位点での最適化設計の主解の応力を示す３Ｄモデルを描写する。 図１９は、一実施形態による、現実世界の物体の物理的挙動を自動的に決定するためのコンピュータシステムの簡略化されたブロック図である。 図２０は、実施形態を実装し得るコンピュータネットワーク環境の簡略化されたブロック図である。

例示的な実施形態の説明を、以下に記載する。

現実世界の物体を表すコンピュータベースのモデルを使用する多くのシミュレーションは、大変位および／または大変形を受けるモデル（またはその一部分）の主解を決定する際に、発散および局所的な数値不安定性を経験する。特に、主解への収束の欠如は、ソリッド要素と空隙要素との間の剛性演算子が著しく悪条件になり得る幾何学的非線形トポロジー最適化分野で一般的である。典型的には、組み立てられたシステムのための有限要素剛性演算子の数値悪条件性は、モデル内のいくつかの歪んだ要素によって人工的に引き起こされる。実施形態は、システムの剛性全体を変更することなく、追加の人工的構成モデリングを物理的構成モデリングに追加することによって、モデルの悪条件部分を局所安定化することによって、この問題を解決する。

数値安定化を達成するための以前の試みは、材料が様々な荷重および／または変形にどのように応答するかを表す数学的記述を修正するが、こうした修正は、要素剛性演算子の条件数に関連していない。こうした以前のアプローチは、すべての低剛性（すなわち、柔軟）要素に、主解の剛性演算子に対する全体的な剛性を加える。この既存のアプローチは、しばしば線形スケーリング係数を使用して剛性スケーリングを操作するが、悪条件演算子という問題を直接解決するわけではなく、それによっていくつかの欠点を有する。例えば、ヒューリスティックスキームを適用する必要があり、剛性演算子を良条件にさせるために、柔軟要素にどの程度の剛性を追加すべきかを識別することは直感的ではない。さらに、柔軟要素に加えられる剛性が小さすぎる場合には、剛性演算子は依然として悪条件がある。逆に、柔軟要素に過剰な剛性が加えられる場合、全体的な主解は、物理的システムの元の解と比較して過度に変化する可能性が高い。

局所的な数値不安定性の問題は、幾何学的非線形トポロジー最適化において特に顕著である。典型的な幾何学的非線形トポロジー最適化方法では、ソリッド－空隙材料レイアウトが強制され、典型的には、空隙材料とソリッド材料との間の剛性比は、１０^－９～１０^－６の範囲内である。それによって、空隙要素および中間密度要素は多くの場合、剛性演算子に対して悪条件であり、したがって、主解を解決する一方で、非常に大きく歪む。したがって、主解についての解はしばしば決定されないことがある。その結果、最適化ワークフロー全体が収束せず、収束された最適化設計は得られない。

図１は、幾何学的非線形トポロジー最適化のための剛性演算子における局所的な人工的分岐の数値不安定性に対処する例示的な安定化アプローチの方法１００のフローチャートである。方法１００は、物体の設計変数、すなわち、材料レイアウトの初期設計を受信する、または別の方法で定義することによって、工程１０１で始まる。一実施形態では、初期設計は、工程１０１でコンピュータベースのモデルで示される。次に、幾何学的非線形モデリングを含む主解の有限要素分析１０２が、工程１０１からの材料レイアウトを使用して実施される。一実施形態によれば、主解は、ＦＥＭ分析の結果である。実施形態では、特定の値は、最適化の定式化のための主解、例えば、載荷中のモデルにおける特定の変位から取られ得る。続いて、感度分析１０３が適用され、次に、設計変数が、感度分析１０３に基づいて更新１０４される。その後、工程１０１から最初に定義されたモデルの構成材料は、工程１０４から更新された材料レイアウトを使用して更新１０５される。次に、方法１００は、最適化が収束したかどうかを確認１０６する。最適化が収束していない場合、方法１００は工程１０２に戻り、別の最適化反復を実施して、工程１０２、１０３、１０４、１０５、および１０６を繰り返す。工程１０６で、最適化が収束した設計をもたらしたと決定された場合、方法１００は、設計変数、すなわち、材料レイアウトに対して最適化された設計１０７をもたらし、方法１００が終了する。

方法１００の各工程１０１～１０７は、トポロジー最適化のワークフローにおける異なる可能性のある工程を表す。既存の安定化アプローチおよび実施形態の両方が、方法１００に実装され得ることに留意されたい。例えば、本明細書に記載される実施形態は、有限要素分析の工程であるブロック１０２で実装され得る。

要素除去が、空隙要素および中間密度要素に対する悪条件の剛性演算子の幾何学的非線形トポロジー最適化の問題を改善するために試みられてきた。この既存の要素除去アプローチは、方法１００に示される安定化アプローチの構成材料更新の工程１０５で実装され得る。要素除去安定化アプローチは、設計変数に依存し、主解の変形には依存しない。したがって、既存の要素除去アプローチは、主解の変形に依存する実施形態と比較して、完全に異なる。

要素除去アプローチは、主解の材料レイアウトの低剛性要素を除去するが、要素除去アプローチには欠点がある。例えば、要素除去法では、どの要素を除去するかを決定するために、設計変数に対してどの閾値を適用すべきかは明らかではない。それによって、良好な条件の剛性演算子を得るために除去される必要がない多くの要素が除去される。さらに、要素除去アプローチは、最適化反復中に以前に除去された要素を再導入するという遅いプロセスを有し、それによって、多くの最適化反復を引き起こし、結果として高い計算コストをもたらす。

また、仮想領域アプローチは、空隙要素および中間密度要素に対して、悪条件のある剛性演算子を有する幾何学的非線形トポロジー最適化の問題を改善するための試みで使用されてきた。この仮想領域アプローチはまた、構成材料更新の工程１０２で実装される。既存の仮想領域安定化アプローチは、設計変数に依存し、主解の変形には依存しない。

仮想領域アプローチは、材料レイアウトの設計変数に基づいて、低剛性要素を、線形剛性演算子を有する要素に変換する。問題としては、仮想領域アプローチを利用する場合、元の剛性演算子を線形剛性演算子に変換するためにどのスキームおよびスキーム内のパラメータを適用すべきかは明らかではない。さらに、非常な大変形については、仮想領域スキームのパラメータは、最適化反復中に漸進的に修正されなければならず、これは、多くの最適化反復および高い計算コストをもたらす。

また、緩和した収束基準アプローチは、空隙要素および中間密度要素に対して悪条件のある剛性演算子を有するという幾何学的非線形トポロジー最適化の問題を改善するためのなおも別の過去の試みである。緩和した収束基準アプローチは、方法１００の有限要素分析の工程１０２で実装することができる。緩和した収束基準アプローチは、主解の収束基準を緩和するが、剛性演算子が悪条件であるという問題を解決しない。さらに、主解の収束基準を緩和することは欠点を有する。例えば、スキーム内のどのスキームおよびパラメータを主解の収束基準を緩和するために適用すべきかは、明らかではない。さらに、緩和した収束基準アプローチを使用する場合、柔軟要素に取り付けられた有限要素節点は、人工振動を開始することができる。人工振動は、多くの最適化反復を引き起こし、結果として高い計算コストをもたらす。人工振動はまた、主解が収束しないように、他の要素の節点に融合することができる。

なおもさらに、可塑性材料の補間が、空隙要素および中間密度要素に対して悪条件である剛性演算子を有するという幾何学的非線形トポロジー最適化の問題を改善するために試みられてきた。可塑性材料の補間は、図１の方法１００の有限要素分析の工程１０２で実装することができる。可塑性材料の補間アプローチは、弾性ヤング率のペナルティ化よりも、塑性降伏および／または塑性硬化に対して低いペナルティ化を適用する。これらのペナルティ化は、設計変数の関数であり、主解の変形に対するものではないため、可塑性材料の補間アプローチは、本明細書に記載される実施形態とは異なる。可塑性材料の補間アプローチには欠点がある。例えば、可塑性材料の補間アプローチは、すべての実行可能な構成材料モデルとは対照的に、部品が弾塑性材料モデルによって表され得る材料からなる構造にのみ適用され得る。

また、超弾性基材アプローチは、空隙要素および中間密度要素に対して悪条件の剛性演算子を有するという幾何学的非線形トポロジー最適化の問題を改善するためにも試みられてきた。この超弾性基材アプローチは、有限要素分析の工程１０２で実装され得る。このアプローチでは、超弾性（例えば、ゴム材料）が、設計ドメインの基材に適用される。超弾性基材アプローチには欠点がある。例えば、このアプローチは、部品が超弾性モデルによって表され得る材料からなる構造にのみ適用され得る。したがって、超弾性基材アプローチは、すべての実行可能な構成材料モデルに対処するのに適してはいない。さらに、超弾性基材アプローチは、空隙要素に対する一般的な剛性全体を追加するが、本明細書に記載される疑似構成モデリングアプローチは、条件数に直接的に基づく。

したがって、既存の方法は、（１）柔軟要素の剛性のみを増加させ、剛性演算子の条件数にリンクされていない、（２）設計変数に依存し、主解の変形に依存しない最適化ワークフローに適用される、（３）数値悪条件のある剛性演算子の中核的な問題に対処しないが、代わりに、数値悪条件のある剛性演算子の主解に対する影響を定量化することを回避しようと試みる。このように、以前の方法では、大域剛性演算子を数値的に安定化させるために構成モデリングを操作するように試みたが、既存の方法は、要素剛性演算子の条件数に関連して構成モデリングを直接操作しない。

図２は、幾何学的非線形モデリング２０１中の大変形によって引き起こされる異なる分岐の例を示す。具体的には、図２は、全体的な物理的座屈不安定性２０２と、局所的な悪条件の剛性演算子によって引き起こされる局所的な人工的数値不安定性２０３との間の差を示す。全体座屈は、実施形態によって対処されない。代わりに、実施形態は、局所的な悪条件の剛性演算子によって引き起こされる局所的な人工的数値不安定性２０３の問題を抑制する。この問題は、剛性レイアウト２０５および応力分布２０６を有するコンピュータベースのモデル２０４について図２に示される。モデル２０４が荷重２０７に供されると、これは、コンピュータベースのモデル２０４の応力分布２０６の拡大図２０９に示すように、要素２０８の著しい変形および人工的数値不安定性を引き起こす。

大変形（歪みが変形場の直線化を無効にするのに十分大きい変形）および幾何学的非線形モデリングは、多くの用途、例えば現実世界の物体の現実的なモデル化において重要である。システム／物体が小さな変形および歪みを有する場合、物理的に正確な結果をなおも達成しながら、変形されていない幾何学的形状において平衡が決定され得る。対照的に、システム／物体が大変形および幾何学的非線形挙動を有する場合は、物理的に正確な結果を達成するために、変形された幾何学的形状において平衡が決定される。こうしたシステムでは、大変形をシミュレーションしながら、幾何学的モデリングは正確な結果を達成する必要があり、大変形および幾何学的非線形モデリングは、モデリング応答において分岐点を導入する。例えば、これらの分岐点は、座屈前および座屈後２０１の現実的なモデリング、および最終的にシステムの安定性の正確な予測において重要であり得る。典型的には、全体座屈２０１のシナリオでは、これらの物理的分岐点は、悪条件の剛性演算子をもたらすが、数ある例の中でも特に、準静的モデリング、強制変位負荷、および弧長法を使用して数値的に安定化され、物理的主解を得ることができる。

大変形および幾何学的非線形モデリングは、モデル内の低剛性領域（例えば、要素２０８）を過度に歪ませる可能性があり、これは有限要素シミュレーションにおける局所要素の悪条件の剛性演算子による数値的人工不安定性２０３につながる可能性がある。典型的には、これらの低剛性領域は、いくつかの有限要素からなり、予測される全体的物理的座屈のモデリングの品質およびシステムの予測される安定性にはほとんどまたは全く影響しない。しばしば、これらの数値的人工不安定性は、大変形および幾何学的非線形分析が主解の収束を達成することを失敗させる。これらの数値的人工不安定性は、これらの有限要素の数値積分が実行不可能となるように、少数の有限要素を過度に変形させ得るため、この失敗が発生する可能性がある。さらに、これらのいくつかの有限要素剛性演算子は、不定値、または負の定値でさえもあるため、人工的局所分岐が発生し、大きな非物理的変位をもたらす。さらになおも、幾何学的非線形分析に適用される反復ソルバーのスキームは、局所剛性演算子が悪条件であり、それによって収束された解が得られないため、主解内で振動し続ける。

本明細書に記載される実施形態は、剛性演算子を良条件にし、数値的人工不安定性を抑制するために、人工的構成材料モデリングを追加する新しいアプローチを実装する。

図３Ａは、四つの積分点３０８ａ～ｄを使用して完全に統合されている、未変形状態の２Ｄの二次４節点要素３０１（有限要素節点３０１ａ～ｄを有する）を示す。図３Ｂ～３Ｅはそれぞれプロット３０２、３０３、３０４、および３０５であり、平面歪みを想定した変形勾配行列Ｆ ３０７ａ～ｄの関数として要素３０１の条件数３０６ａ～ｄを示す。条件数３０６ａ～ｄは、要素３０１の四つの異なる運動学的変形モード、すなわち、プロット３０２に示す単軸圧縮、プロット３０３に示す単純せん断、プロット３０４に示す体積圧縮、およびプロット３０５に示す斜め圧縮について、四つの数値積分点３０８ａ～ｄで計算される。これらのプロット３０２、３０３、３０４、３０５は各々、小変形率から大変形率３０７ａ～ｄに対する剛性演算子の条件数３０６ａ～ｄをそれぞれ示す。プロット３０２、３０３、３０４、および３０５は各々、変形率３０７ａ～ｄの関数として、要素３０１の変形のそれぞれの可視化３０９ａ～ｄを有する。

プロット３０２、３０３、および３０４は、三つの変形モードが、小変形および過剰な変形の両方に対して、数値的に合理的な条件数３０６ａ、３０６ｂ、および３０６ｃをもたらすことを示す。対照的に、プロット３０５の変形は、非常に高い条件数３０６ｄをもたらし、システムを数値的に不安定にさせる。プロット３０５はまた、変形された要素の表面が要素の積分点（この実施例では、積分点３０８ｃ）のうちの一つに近づくときに、条件数３０６ｄが著しく増加することを示す。この観察はまた、他の要素タイプ、数値積分点アプローチ（例えば、積分点の異なる位置）、および変形モードについて確認することができる。

典型的には、輸送・交通部門（例えば、自動車）、航空宇宙・防衛部門（例えば、飛行機）、生命科学部門（例えば、医療機器）、およびハイテク部門（例えば、携帯電話やラップトップ）から適用される多くのシミュレーションは、大変形非線形有限要素モデリングを適用して、主解を解決する際に物理的に正しい結果を得る。しかしながら、これらの有限要素モデルは、何千もの要素、または何百万もの要素の中でも非常に少数の要素が局所人工的数値分岐を有し、これが剛性演算子を悪条件にさせるため、主解の収束中に時々失敗する。これらの局所人工的数値分岐は、主解についてのみ解決する場合と、主解が反復最適化ワークフローの一部である場合との両方に発生し得る。

実施形態は、前述の産業が経験する問題に対処し、これは、人工的疑似構成モデルが要素剛性演算子の条件数に基づく、数値不安定性かつ悪条件の要素剛性演算子を排除するために、幾何学的ＣＡＥモデル（例えば、有限要素モデル）に追加される追加の人工的疑似構成モデルを導入することによって行われる。

図４は、現実世界の物体をシミュレーションして、物体の挙動を決定するためのワークフロー４００のフローチャートである。最適化ワークフローのユーザが定義した目的関数は、有限要素モデルの要素における変位を最小化することである。ワークフロー４００は、工程４０１で、コンピュータベースのモデル、例えば、物体を表す有限要素モデルを定義することから始まる。工程４０１でモデルを定義した後、方法４００は工程４０２および４０５に進む。工程４０２で、物理的構成モデルが定義される。一方、工程４０５では、人工的構成モデルが工程４０１で定義された有限要素モデルに追加される。次に、方法４００は、工程４０６での人工的内力を工程４０５からの人工的構成モデルに追加する。一実施形態によれば、工程４０６で追加される人工的内力は、工程４０５の人工的構成モデルを使用して計算された応力に基づく。続いて、方法４００は、工程４０６の人工的内力に基づき、工程４０７で人工的剛性演算子を人工的構成モデルに追加する。物理的内力は、工程４０３で、工程４０２で定義された物理的構成モデルに追加される。工程４０３で加えられる物理的内力は、工程４０２からの物理的構成モデルを使用して計算された応力に基づく。物理的剛性演算子は、工程４０４で、工程４０３からの物理的内力に加えられる。工程４０４で追加された剛性演算子は、工程４０３からの物理的内力に基づく。（工程４０３で加えられる）物理的内力および（工程４０６で加えられる）人工的内力の両方、および外力は、工程４０８で組み立てられて剰余になる。このようにして、工程４０８は、物理的システム（工程４０３からの力）および人工的システム（工程４０６からの力）の両方からの外力および内力を使用して、剰余を組み立てる。同様に、物理的剛性演算子（工程４０４から）および人工的剛性演算子（工程４０７から）の両方は、剛性演算子４０９に組み立てられる。このようにして、工程４０９は、物理的システムからの剛性演算子（工程４０４からの剛性演算子）および人工的システムからの剛性演算子（工程４０７からの剛性演算子）の両方を使用して、剛性演算子を組み立てる。続いて、方法４００は、組み立てられた大域剛性演算子４０９を使用して、工程４１０で有限要素モデルの主解および平衡を解決する。次いで、ワークフロー４００は、工程４１１で、主解が収束したかどうかを確認する。解が収束していない場合、方法４００は、工程４０２および４０５に戻り、ワークフロー４００の工程４０２～４１１を繰り返す。工程４１１で、主解が収束したと決定された場合、ワークフロー４００は、工程４１２で収束した主解をもたらし、方法４００が終了する。

ワークフロー４００では、工程４０１、４０２、４０３、４０４、４１１、および４１２は、標準的な非線形ＣＡＥワークフロー（有限要素モデリングのワークフロー）の一部であり得る工程である。工程４０１、４０２、４０３、４０４、４１１、および４１２に加えて、方法４００は、数値不安定性および悪条件の要素剛性演算子を排除する工程を含む。具体的には、方法４００は、工程４０５で人工的構成モデリングを追加し（有限要素積分点で非線形変形行列Ｆの条件数を使用して人工的疑似構成モデルを追加）、工程４０６で人工的内力を追加し、工程４０７で人工的剛性演算子を追加する。このように、方法４００は、既存のＣＡＥワークフローの工程に加えて、工程４０５、４０６、および４０７を含む。方法４００では、工程４０８で、構造平衡を定義する剰余は、工程４０３からの物理的内力および工程４０６からの人工的内力を使用して組み立てられる。物理的剛性演算子４０４および人工的剛性演算子４０７は、４０９で組み立てられ、全体構造的剛性演算子をもたらす。その後、工程４０８からの組み立てられた剰余および工程４０９からの組み立てられた剛性演算子を使用して、工程４１０で主解が決定される。工程４１１で、解が収束しているかどうかを決定するための確認が実施される。一実施形態によれば、工程４１１での確認は、（工程４１０で決定された）主解からの結果／値を使用して、ユーザ定義の目的関数および制約を評価する。解が収束していない場合、追加のソルバーの反復が実施され、方法４００は工程４０２および４０５に戻り、解が収束している場合、方法４００は工程４１２に移動する。

有限要素分析における数値的可解性は、剛性演算子の条件数に依存することが多い。変形行列Ｆが悪条件性である場合、応力計算は数値的に不安定であり得、剛性演算子は悪条件であり得、多くの場合、主解のための解の発散を引き起こす。実施形態は、有限要素積分点での非線形変形行列Ｆの条件数を使用した局所的安定性疑似構成モデリングを導入する。一実施形態では、条件数Ｆに依存する構成材料法則が定義され、この構成材料法則は、図４に示すように、有限要素セットアップにおける剛性演算子の条件数を最小化する応力を誘発する。それによって、加えられた人工的応力は、いくつかの重要な要素に対する剛性演算子の条件数を最小化する方向にのみ導入され、加えられた人工的応力は、単に所与の要素のすべての方向の剛性を増加させるものではない。

実施形態、例えば、方法４００は、悪条件の要素剛性演算子によって引き起こされる局所的な人工的分岐の数値不安定性に対処し、幾何学的非線形モデリングによって引き起こされるシステムの全体的物理的座屈（物理的分岐）全体に影響を与えないか、または修正しない。

他の進歩の中でも特に、実施形態は、悪条件の低剛性要素を有する幾何学的非線形有限要素モデルに対して、主解の厳密な数値計算を実装することによって、先行技術よりも改善される。これにより、実施形態は、物理的主解を決定することができ、一方で、主解を得るためにより少ないソルバーの反復回数を必要とし、それによって、計算コストを低減する。

さらに、局所的な数値不安定性の問題が特に顕著である幾何学的非線形トポロジー最適化のワークフローについては、実施形態は、空隙材料とソリッド材料との間に高い剛性比を有するソリッド－空隙材料レイアウトを強制することができる。このアプローチは、すべての最適化反復に対する主解の収束をもたらし得る。さらに、高い剛性比でソリッド－空隙材料レイアウトを強制することは、主解が失敗せず、最適化反復当たりのソルバーの反復回数が少なく、それによって計算コストがより低いため、設計を決定することを可能にする。さらに、実施形態では、設計変数に応じてヒューリスティックスキームおよびヒューリスティックパラメータが最適化反復中に修正されず、これは、より少ない最適化反復回数の実行をもたらし、そのため、実施形態は、最適化反復当たりのソルバーの反復回数が少なく、計算コストがより低い。

局所的な人工的数値不安定性は、変形プロセス中に現れることが多く、有限要素の剰余の主解の解決スキームにおいて非収束をしばしば引き起こす。局所的な人工的数値安定性の問題を解決するための以前のアプローチは、主解における収束の問題をもたらす。したがって、これらの以前のアプローチは、完全な主解を数値的に取得できない。さらに、以前のアプローチは、主解の収束履歴に振動を生成し、剰余は、数千から数百万もの要素のうちのいくつかの要素に対して満たされていない。

実施形態は、モデル内の各有限要素に対して剛性演算子の条件数を直接追加し、それによって、実施形態は有限要素モデルの数値安定性に強く結合される。本実施形態はまた、局所的要素変形の条件数に依存する構成材料法則を定義し、これは条件数を最小化する応力を誘発する。さらに、実施形態は、必要に応じて局所領域（すなわち、いくつかの要素）で強制される。このアプローチはまた、局所変形の関数であり、したがって、第二のフィールド（すなわち、設計変数の第二のセット）を必要としないため、より一般的である。したがって、実施形態は、主解の安定した収束を確実にする。

図５は、現実世界の物体の物理的挙動を決定するための方法５００のフローチャートである。方法５００は、一実施形態による、数値不安定性および悪条件の要素剛性演算子を排除する工程を含む。方法５００は、コンピュータ実装され、そのため、コンピュータコード命令を実行する一つ以上のプロセッサによって実装され得る。

方法５００は、方法を実装するプロセッサのメモリ内にコンピュータベースのモデルを定義することによって、工程５０１で開始する。工程５０１で定義されるコンピュータベースのモデルは、複数の要素を使用して現実世界の物体を表し、現実世界の物体の複数の要素の各要素によって表される一つ以上の材料を示す。工程５０１で定義されるコンピュータベースのモデルは、有限要素モデル、境界要素法、有限差分法、有限体積法、または離散要素法のうちのいずれか一つまたは組み合わせである。さらに、工程５０１で定義される現実世界の物体は、他の実施例の中でも、自動車、産業設備、飛行機、土木構造物、海洋装置、医療器具、消費財、電子装置、装甲車両、または製造設備のうちのいずれか一つである。次いで、一つ以上の材料の物理学ベースの挙動を説明する方程式が、工程５０２で定義される。工程５０２に続いて、安定化方程式が工程５０３で定義される。一実施形態によれば、安定化方程式は、非線形変形行列Ｆの関数である。その後、荷重に供される現実世界の物体のシミュレーションは、（ｉ）工程５０１からの定義されたコンピュータベースのモデル、（ｉｉ）工程５０２からの物理学ベースの挙動を記述する定義された方程式、および（ｉｉｉ）工程５０３からの定義された安定化方程式を使用して、工程５０４で実施される。

方法５００の実施形態は、定義されたモデル（工程５０１で定義）内の複数の要素の各要素について、定義された安定化方程式（工程５０３で定義）に基づいて人工的内力を要素に関連付けることをさらに含む。こうした実施形態は、複数の要素の各要素について、人工ベースおよび物理学ベースの挙動（すなわち、人工ベースおよび物理学ベースの挙動の組み合わせ）を、関連する人工的内力に基づいて要素と関連付けることをさらに含み得る。

工程５０３で実施される荷重に供される現実世界の物体のシミュレーションは、各要素に関連付けられた人工的内力、および各要素に関連付けられた人工ベースおよび物理学ベースの挙動を使用して実施され得る。さらに、方法５００の実施形態では、定義された安定化方程式（工程５０４での）を使用して現実世界の物体のシミュレーションを実施することは、複数の要素のうちの所与の要素に関連付けられた条件値を低減する。さらに、こうした実施形態では、条件値は、非線形変形勾配行列の関数である。

方法５００のさらに別の実施形態は、工程５０４で実施されたシミュレーションの結果に基づいて、コンピュータベースのモデルを更新する。こうした実施形態は、後続のシミュレーションを実行して、現実世界の物体の更新された物理的挙動を決定し得る。一実施形態によれば、この後続のシミュレーションは、更新されたコンピュータベースのモデル、物理学ベースの挙動を記述する定義された方程式、および定義された安定化方程式を使用して実施される。なおも別の実施形態は、決定された更新された物理的挙動がユーザ定義の基準を満たすまで、（ｉ）決定された更新された物理的挙動に基づいて、コンピュータベースのモデルを更新することと、（ｉｉ）更新された物理的挙動を決定することと、を反復、すなわち繰り返してもよい。

方法５００の一実施形態では、モデルは、一つ以上の現実世界の物体から測定値を取ることによって、工程５０１で定義される。このようにして、工程５０１で定義されたモデルは、測定値が取得された現実世界の物体を表す。こうした実施形態では、方法５００を使用して、現実世界の物体の挙動を決定し、現実世界の物体自体の設計改善を決定することができる。こうした実施形態では、物体の測定値は、工程５０１で使用されてモデルを定義し、方程式は、現実世界の物体の特性に基づいて、工程５０２および５０３で定義される。次いで、シミュレーションは、本明細書に記載されるように工程５０４で実施されて、現実世界の物体の挙動を示す結果を決定する。これらの結果に基づいて、現実世界の物体に対する設計変更を決定することができ、現実世界の物体自体を、決定された変更に従って修正することができ、または現実世界の物体を、決定された変更に従って製造することができる。他の例示的な実装の中でも特に、こうした機能は、車両の耐衝撃性の改善を決定するために使用され得る。例えば、実施形態は、シミュレーション中に、例えば、自動車の構造部材が、１時間当たり６０マイルの衝突に関連する変形を受けるときに故障すると決定し得る。こうした実施形態は、衝突に関連する変形に耐える構造部材の厚さが決定されるまで、例えば、より厚い構造部材を有する自動車のモデルを使用して反復することができる。次いで、こうした実施形態は、決定された厚さを有する構造部材を用いて自動車を製造することによって継続し得る。このプロセスにより、実施形態は、人間による試行錯誤での典型的な要件なしに、適切な設計変更を決定し、決定された設計を有する現実世界の物体を製造することができる。

幾何学的非線形トポロジー最適化の具体的な適用は、有限要素モデルが安定性の問題を有する場合、中間要素または空隙要素をモデリングすることを伴う。本実施形態は、（ｉ）以前の方法と比較して計算コストが低く、（ｉｉ）計算効率が増大する結果をもたらす、ソルバー反復の低下および最適化反復の低下をもたらす。さらに、主解の解決は失敗せず、完全に最適化された設計が達成される。

本実施形態は、（ｉ）物理的システムのモデリングに適用されるすべてのタイプの構成モデル、および（ｉｉ）大変形有限要素モデリングに適用されるすべてのタイプの形状関数に対する、条件数の数値安定化をサポートする。それによって、実施形態は、すべての有限要素タイプ、例えば、静的、準静的、および過渡的なモデリングなどの大変形を含むすべての物理学モデリング、ならびに主有限要素解を決定するために適用されるすべてのタイプおよび数値ソルバー方法の組み合わせに利用することができる。

図６は、材料粒子Ｐ６０１がその基準構成６０６（Ｐ６０１）からその変形構成６０７（ｐ６０３）に移行する際の、材料粒子Ｐ６０１の経路線６０５を示すプロット６００を示す。プロット６００は、変形勾配行列Ｆ ６０８が古典的な連続理論に従って定義され、その未変形状態Ｘ６０２における材料粒子Ｐ６０１の変形から変形されたｐ６０３への変形が変形状態ｘ６０４を有することを示す。

構造分析は、プロット６００に見られるように、荷重が適用されるとき、構造内の材料粒子が取る経路を説明する。材料粒子Ｐ ６０１は、基準構成６０６において位置ｘ６０２にあり、分析中に新しい位置ｘ６０４に変形し、変位はｕ（Ｘ）６０５である。質量保存が想定されるため、粒子は消失することができず、したがって、粒子は、

の全単射としてマッピングされる。

ここから、変形構成における無限小ベクトルは、次式のように表される：

変換行列は、変形勾配行列Ｆとして次式のように定義される：

実施形態は、特定の質点において、変形勾配の条件数と相関する歪みエネルギー電位Ｆを定義する。その動機は、悪条件である変形勾配Ｆは、右Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ変形テンソルの計算Ｃ＝Ｆ^ＴＦを悪条件にさせるためである。したがって、変形勾配の小さな変化は、右Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ変形テンソルの大きな変化をもたらす。結果として、右Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ変形テンソルから計算された応力および節点力は、変形勾配エントリーに対して類似の感度を示す。この悪条件性の結果は、質点での応力の振動、および最終的にはニュートン・ラプソン反復スキームの剰余節点力の振動をもたらし、これは収束を妨げる。したがって、実施形態によって実装される超弾性材料モデルの目的は、システムが、積分点で悪条件の変形勾配を有する状態に到達するのを防止することである。

フロベニウスノルム|| ||_Fによって誘発される条件数が適用される。このノルムは、条件数が、右Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ変形テンソルの変形勾配Fの二つの偏差不変量

および

と、右Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ変形テンソルCとの観点から表すことができるために選択され、次式の通りである：

変形勾配の条件数Ｆはフロベニウスノルムによって誘導され、次式である：

これらのフロベニウスノルムは、Ｆ^ＴＦおよびＦ^－ｔＦ^－１のトレースの二乗根として表すことができ、式中、（．．．）^－Ｔ＝（（．．．）^Ｔ）^－１＝（（．．．）^－１）^Ｔであり、次式が得られる：

二つの行列Ａ、Ｂの行列積のトレースについては次式：Ｔｒ（ＡＢ）＝Ｔｒ（ＢＡ）である。したがって、κ_Ｆ（Ｆ）における末項は、次式のように書き直すことができる：

二つの可逆行列Ａ，Ｂ∈Ｒ^ｎ×ｎは、次式：（ＡＢ）^－１＝Ｂ^－１Ａ^－１であり、κ_Ｆ（Ｆ）における末項は、次式のように書き直すことができる：

右Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ変形テンソルの定義Ｃ＝Ｆ^ＴＦを使用すると、この式から次式が得られる：

正方行列のトレースＡ∈Ｒ^ｎ×ｎは、その固有値の合計

である。

さらに、可逆行列の固有値Ａとその可逆Ａ^－１間の関係は、

である。

これは、これら二つの行列の固有値分解を考慮すると、些少である。これら二つの方程式を、κ_Ｆ（Ｆ）に適用すると、次式が得られる：

固有値Ｃは、有限歪み理論において二乗化された主ストレッチλ_ｉ ^２：

である。

主ストレッチの定義をκ_Ｆ（Ｆ）に適用すると、次式が得られる：

主ストレッチに対する偏差主ストレッチの定義を再配置すると、次式が得られる：

κ_Ｆ（Ｆ）中のλ_ｉを

に置き換えると、次式が得られる：

不変量

および

は、次式のように定義される：

κ_Ｆ（Ｆ）中の

および

を置き換えると、最終的に次式が得られる：

結果として、条件数κ＿Ｆ（Ｃ）の上限は、次式のように推定される：

以下の点：κ_Ｆ（Ｆ）は、主ストレッチλ_ｉを偏差ストレッチ

これは、条件数κ_Ｆ（Ｆ）およびκ_Ｆ（Ｃ）が体積ストレッチに依存しないことを黙示する。そのため、それらは、構成材料モデルレベルに対する数値安定性に影響を与えない。しかし、過度な体積圧縮または張力は、有限要素法の他の部分における丸め誤差に起因して収束の問題につながる可能性がある。

一実施形態は、条件数κ_Ｆ（C）に対処する人工的構成材料候補の可能性を示し、二つの偏差不変量

および

を使用する。しかしながら、他の候補が適用されてもよい。

条件数に対処する一般的な人工的構成材料候補の可能なセットκ_Ｆ（C）は、二つの偏差不変量

および

ｏｆ Ｃ、および第三の不変量Ｊ^ｅｌｏｆ Ｃに依存することができ、次式によって定義される：

それにより、歪みエネルギー電位に基づく条件数に対して実装され得る人工的構成材料モデルの一つのセット（Ｎ＝１、Ｎ＝２など）は、

である。

式中、

は、歪みエネルギー電位に条件数を組み込む。以下に記載の実施例に適用される歪みエネルギー電位は、本形態の簡略化されたバージョンであり

、次式が得られる：

開示された証明および方程式は、実施形態が、物理的システムの構成材料モデルではなく、運動学を表す変形行列Ｆに依存することを示す。それによって、実施形態は、すべてのタイプの構成モデル（弾性、可塑性、粘弾性、粘塑性、超弾性、損傷、地力学、マイクロ工学など）、ならびに等方性、直交異方性、および異方性モデルからなる物理的システムの数値安定化をサポートし、さらに、実施形態は、これらの物理的構成材料モデルに限定されない。

開示されたプルーフおよび方程式はまた、実施形態が、大変形有限要素モデリングで適用されるすべてのタイプの形状関数をサポートすることを示す。それによって、実施形態は、２Ｄまたは３Ｄ要素、ならびに一次、二次、およびより高次の要素、三角形、四角形、四面体、六面体、五面体、ピラミッド要素など、および連続体、シェル、膜、ビーム要素など、すべての有限要素タイプと共に使用され得る。さらに、実施形態は、これらの要素タイプに限定されないことに留意されたい。開示された証明および方程式はまた、実施形態が、静的、準静的、および過渡モデリングとしての大変形を含む、すべてのタイプの物理学モデリングをサポートすることを示す。

開示された証明および方程式はまた、実施形態が、陰解法、 陽解法、およびハイブリッド方法、直接法ソルバーまたはプレコンディショナを使用した反復法ソルバーを使用した演算子の因数分解、ニュートン・ラフソン法または増分反復手法、増分負荷、一次方法（例えば後退オイラー法）、二次方法（例えば、ニューマークβ法）、または高次方法（例えば、ルンゲ・クッタ法）を含むがこれらに限定されない、主有限要素解を決定するために適用される数値ソルバー方法のソルバーのあらゆるタイプおよび組み合わせをサポートすることも示す。

図７は、現実世界の物体をシミュレーションして、物体の挙動を決定するためのワークフロー７００のフローチャートである。ワークフロー７００は、図４に関連して本明細書で上述したワークフロー４００の理論上の実装である。ワークフロー７００は、工程７０１で、コンピュータベースのモデル、例えば、有限要素モデルを定義することから始まる。工程７０１でモデルを定義した後、方法７００は工程７０２および７０５に進む。工程７０５では、人工的構成モデルが工程７０１で定義された有限要素モデルに追加される。次に、工程７０６で、人工的内力が工程７０５で定義された人工的構成モデルに加えられる。工程７０６で追加される人工的内力は、工程７０５の人工的構成モデルを使用して計算された応力に基づく力を含む。実施形態は、次に、工程７０６の人工的内力に基づき、工程７０７で人工的剛性演算子を人工的構成モデルに追加する。ワークフロー７７０の他のパスでは、工程７０２で、物理的構成モデルが７０１で定義された有限要素モデルに追加される。次いで、物理的内力は、工程７０３で、工程７０３で物理的構成モデルに追加される。物理的内力は、工程７０２からの物理的構成モデルを使用して計算された応力に基づく。続行するには、物理的剛性演算子は、工程７０４で、（工程７０３で追加される）物理的内力に加えられる。工程７０４で追加された物理的剛性演算子は、工程７０３で追加される物理的内力に基づく。工程７０３で加えられる物理的内力および工程７０６で加えられる人工的内力の両方は、工程７０８で組み立てられて剰余になる。同様に、工程７０４からの物理的剛性演算子および工程７０７からの人工的剛性演算子の両方は、工程７０９で剛性演算子に組み立てられる。次いで、工程７１０で、方法７００は、工程７０９で組み立てられた大域剛性演算子を使用して、有限要素モデルの主解および平衡を解決する。次いで、ワークフロー７００は、工程７１１で、主解が収束したかどうかを確認する。主解が収束していなかった場合、方法７００は、工程７０２および７０５に戻り、工程７０２～７１１を繰り返す。工程７１１で、解が収束したと決定された場合、ワークフロー７００は、工程７１２で収束した主解をもたらし、方法７００が終了する。

図７のワークフロー７００は、図４に関連して本明細書で上述したワークフロー４００の理論上の実装である。ワークフロー７００では、工程７０１、７０２、７０３、７０４、７１１および７１２は、標準的な非線形ＣＡＥワークフロー（有限要素モデリングワークフロー）の一部であり得る工程である。工程７０１、７０２、７０３、７０４、７１１、および７１２に加えて、方法７００は、数値不安定性および悪条件の要素剛性演算子を排除するための工程７０５～７１０を含む。具体的には、方法７００は、工程７０５で人工的疑似構成モデリングを追加し（要素積分点で非線形変形行列Ｆの条件数を使用）、工程７０６で人工的内力を追加し、工程７０７で人工的剛性演算子を追加する。方法７００では、工程７０８で、構造平衡を定義する剰余は、工程７０３からの物理的内力および工程７０６からの人工的内力を使用して組み立てられる。物理的剛性演算子７０４および人工的剛性演算子７０７は、工程７０９で組み立てられ、全体構造的剛性演算子をもたらす。その後、工程７０８からの組み立てられた剰余および工程７０９からの組み立てられた剛性演算子を使用して、工程７１０で主解が決定される。工程７１１で、解が収束しているかどうかを決定するための確認が実施される。解が収束していない場合、追加のソルバーの反復が実施され、方法７００は工程７０２および７０５に戻り、解が収束している場合、方法７００は工程７１２に移動する。

工程７０８で定義されるシステムの平衡の組み立てられた剰余｛Ｒ｝は、外力｛Ｐ｝（例えば、加えられた荷重）、物理的システムの内力｛Ｉ_人工的｝（工程７０３から）、および追加された人工的疑似構成モデリングのための内力｛Ｉ_物理的｝（工程７０６から）からなる。７０８において組み立てられた剰余｛Ｒ｝はまた、他の実施例の中でも特に、例えば、接触力、慣性力、および熱負荷などの他の力を含み得る。

内力｛Ｉ_物理的｝ および｛Ｉ_人工的｝は、主解のフィールド｛Ｕ｝の関数であり、モデル収率で定義されたすべての有限要素（ｅ＝１，２，．．．，Ｎｅｌ）にわたって要素力｛ｉ_ｅ｝を合計することによって決定される。

式中、［Ｄ_物理的］および［Ｄ_人工的］は、それぞれ、物理的システムの構成モデリングおよび追加された人工的構成モデリングである。物理的構成モデリングはまた、例えば、可塑性について、状態変数｛α｝の関数であり得る。

概して、実施形態は、全体的な物理的内力を人工的内力よりも有意に大きくする（｛Ｉ_物理的｝ ＞＞ ｛Ｉ_人工的｝）ので、全体的な主解｛Ｕ｝は、追加された人工的構成モデリングのためには変更されない。しかしながら、少数の人工的な悪条件の低剛性要素については、実施形態は、追加された人工的構成モデリングの人工的応力に起因して人工的内力を追加する。それによって、要素レベルでのこれらのいくつかの要素について、要素の物理的内力は人工的要素力よりも低い（｛ｉ_{物理的，ｅ}｝ ＜ ｛ｉ_{人工的，ｅ}｝）が、全体的な主解｛Ｕ｝は変化しない。

したがって、工程７０９で組み立てられ、剰余｛Ｒ｝＝｛０｝を満たす幾何学的非線形主解｛Ｕ｝を決定するために工程７１０で使用される大域剛性演算子［Ｋ］は、主解｛Ｕ｝に対する偏導関数を使用して、次式のように導出される。

式中、

実施形態は、物理的要素剛性演算子［ｋ_{物理的，ｅ}］にいくつかの重要な要素に対して人工的要素剛性演算子［ｋ_{人工的，ｅ}］を追加することによって、剛性の組み立てられた演算子［Ｋ］の条件数を最小化する方向に人工的要素力｛ｉ_{人工的，ｅ}｝を導入し、単に所与の要素のすべての方向の剛性を増加させない。

実施形態の人工的要素剛性演算子［ｋ_{人工的，ｅ}］は、物理的剛性演算子［Ｋ_物理的］によって与えられる全体的物理的座屈（分岐点）全体が変更されるほど多くの剛性を導入しない。

図４に示す例示的なワークフロー４００および図７に示す例示的なワークフロー７００は、有限要素（またはＣＡＥ）システムのソースコードに実装することができる。実施形態はまた、既存の有限要素システムが、大変形モデリングのための不変量に基づいて、人工的構成材料モデルのうちの一つ以上を既にサポートしている場合、非侵入的な様式で実装することができる。非侵入的な様式は、本明細書で以下に記載される実装結果に対して選択され、ここで、実施形態は、出願人によって提供される有限要素ソルバーＡｂａｑｕｓ（登録商標）を使用して実装された。この非侵入的実装の一実施例が図８に示されており、物理的モデルの各有限要素は、人工的構成材料モデルを使用して新しい人工的有限要素に複製される。複製された人工的有限要素は、新しい要素ＩＤを有するが、複製された物理的有限要素の節点ＩＤを維持する。それによって、人工的構成材料モデリングは、物理的構成材料モデリングに一貫して追加される。組み立てられた有限要素システムは、良好な条件の大域演算子を強制するために、元の物理的システムの挙動および追加された人工的安定化を重ね合わせる。Ａｂａｑｕｓ（登録商標）で実装された実施形態は、すべての任意の要素タイプをサポートする。

図８は、既存の幾何学的非線形有限要素ソルバーに実装された例示的な実施形態を示す。図８では、有限要素８０１は、要素の物理的モデリングを表し、有限要素８０２は、要素の人工的モデリングを表し、有限要素８０３は、物理的有限要素モデリング８０１および人工的有限要素モデリング８０３の組立品を表す。物理的モデル８０１の各有限要素は、人工的構成材料モデルを使用して新しい人工的有限要素８０２に複製される。複製された人工的有限要素は、新しい要素ＩＤ ８０５（有限要素の縁境界）を有するが、８０３に示すように、複製された物理的有限要素の節点ＩＤ（例えば、節点８０４）を維持する。

図９Ａ～９Ｄは、実施形態、例えば、方法４００の演算を検証するために使用される、２Ｄモデル９０１～９０２および３Ｄモデル９０３～９０４の両方における、例示的なＣ字型構造を示す。実施形態の演算を検証するために、人工的構成材料モデリング９０５ａ～ｂをＣ字型構造９０２および９０４内に追加して、有意に低い剛性を有する空隙領域９０５ａ～ｂの有限要素の数値不安定性を安定化した。厳密にソリッド（人工的構成材料モデリングなし）モデル９０１および９０３は、ソリッド－空隙（人工的構成材料モデリングあり）モデル９０２および９０４と比較するための基準モデルである。モデル９０１および９０３（開いた空隙を有する）のシミュレーション結果をモデル９０２および９０４のシミュレーション結果と比較すると、空隙領域９０５ａ～ｂは厳密にソリッドモデル９０１および９０３と比較して、全体システム挙動および応答に影響を与えないため、実施形態を検証する。

この検証は、２Ｄ有限要素モデリング（モデル９０１および９０２）および３Ｄ有限要素モデリング（モデル９０３および９０４）を使用して行われた。これらの結果（図１０および図１１に関連して以下に説明される）を決定するために、モデル９０１～９０４を左側に完全に拘束し、２Ｄモデル９０１および９０２の力Ｆ_１＝０．０２ ９０６およびＦ_２＝０．０３ ９０７、ならびに３Ｄモデル９０３および９０４のＦ_１＝０．２ ９０８およびＦ_２＝０．３ ９０９によって、右側の二つの角に載荷した。モデル９０１～９０４は、２Ｄモデル９０１および９０２については寸法１０×１０×１および厚さ１、ならびに３Ｄモデル９０３および９０４については寸法１０×１０×１０を使用して、寸法がないままにされる。

図９Ａ～９Ｄのソリッド材料（Ｃ字型構造を作製）は、ヤング率Ｅ_ｓ＝１およびポアソン比ν＝０．３を有する線形弾性材料としてモデル化される。モデルには、厳密にソリッドモデル９０１および９０３、ならびに組み合わせられたソリッド－空隙モデル９０２および９０４の二つの異なるバージョンがある。ソリッドモデル９０１および９０３は、Ｃ字型ソリッド領域のみを含む。ソリッド－空隙モデル９０２および９０４は、ソリッドＣ字型領域からなり、これはさらに、有意に軟質の空隙領域９０５ａ～ｂを封入する。空隙材料９０５ａ～ｂは、空隙材料９０５ａ～ｂのヤング率が有意に低く、Ｅ_ｖ＝１０^-９であることを除いて、ソリッド材料と同一である。それによって、空隙領域は、全体システムの挙動および応答に影響を与えるべきではないが、空隙領域の有限要素は、局所的な人工的数値不安定性および分岐に起因して、数値不安定性がある傾向がある。したがって、図９Ａ～Ｄは、実施形態が、全体システムの決定された挙動および応答を実質的に変化させることなく、ソリッド－空隙モデル９０２および９０４の空隙要素を数値的に安定化することができることを示す。したがって、ソリッドモデル９０１および９０３を使用して決定された解および応答は、モデル９０２および９０４の実施形態を使用して決定された解および応答が一致することを検証するためのシステム挙動の参照解である。

図１０は、四つの異なる要素タイプの実施形態を検証するためにシミュレーションで使用された２Ｄ構造１００１ａ～ｄ、１００２ａ～ｄおよび１００３ａ～ｄ（構造１００１ａ～ｄは構造９０１に対応し、構造１００２ａ～ｄおよび１００３ａ～ｄは構造９０２に対応し、実施形態は構造１００３ａ～ｄに適用された）を示す。使用される四つの要素タイプは、三角形３節点一次平面応力要素（ＣＰＳ３）１００４ａ、三角形６節点二次平面応力要素（ＣＰＳ６）１００４ｂ、四角形４節点一次平面応力要素（ＣＰＳ４）１００４ｃ、およびアワーグラス制御（ＣＰＳ４）１００４ｄによる次数低減積分を有する四角形４節点一次平面応力要素であった。第一の列１００５は、四つの要素タイプ１００４ａ～ｄの主解の参照解としての厳密にソリッドなモデル１００１ａ～ｄを示す。第二の列１００６は、数値安定化を使用しないソリッド－空隙モデル１００２ａ～ｄの構造応答を示す。数値安定化が適用されないモデル１００２ａ～ｄについては、四つの要素タイプ１００４ａ～ｄについて、主解を解く有限要素は、（列１００７に示す結果とは異なり）最終的変形が決定される前に数値的に失敗する。第三の列１００７は、四つの要素タイプ１００４ａ～ｄのソリッド－空隙モデル１００３ａ～ｄの構造応答を示し、ここで、数値安定化が実施形態に従って適用される。列１００７の構造応答は、列１００５に示される最終的変形と数値的にかつ実質的に一致する。このように、２Ｄモデルへの実施形態の適用は、不安定性がない場合の結果を修正しないが、不安定性がある場合、例えば、列１００６では、実施形態はシミュレーション結果を首尾よく決定する。

図１１は、三つの異なる要素タイプの実施形態を検証するためにシミュレーションで使用された３Ｄ構造１１０１ａ～ｃ、１１０２ａ～ｃ、および１１０３ａ～ｃ（構造１１０１ａ～ｃは構造９０３に対応し、構造１１０２ａ～ｃおよび１１０３ａ～ｃは構造９０４に対応し、実施形態は構造１１０３ａ～ｃに適用される）を示す。三つの要素タイプは、四面体４節点一次要素（Ｃ３Ｄ４）１１０４ａ、六面体８節点一次要素（Ｃ３Ｄ８）１１０４ｂ、およびアワーグラス制御（Ｃ３Ｄ８Ｒ）１１０４ｃとの次数低減積分を有する六面体８節点一次要素である。第一の列１１０５は、厳密にソリッドなモデル１１０１ａ～ｃを、主解の参照解として示す。第二の列１１０６は、数値安定化が実装されなかったソリッド－空隙モデル１１０２ａ～ｃの構造応答が実施され、そのため、最終変形が決定される前に、（列１１０７に示される結果とは異なり）主解の有限要素の解決が数値的に失敗したことを示す。第三の列１１０７は、本明細書に記載される実施形態に従って数値安定化が実装された、ソリッド－空隙モデル１１０３ａ～ｃの構造応答を示す。モデル１１０３ａ～ｃの列１１０７の結果は、厳密にソリッドなモデル１１０１ａ～ｃの列１１０７の結果と数値的にかつ実質的に一致する。このように、３Ｄモデルへの実施形態の適用は、不安定性がない場合の結果を修正しないが、不安定性がある場合、例えば、列１１０６では、実施形態はシミュレーション結果を首尾よく決定する。

図１０および１１の数値実験および所見は、異なる要素タイプ（１００４ａ～ｄおよび１１０４ａ～ｃ）ならびに２Ｄ要素および３Ｄ要素の実施形態を検証する。さらに、実施形態は、予測される全体物理的応答および挙動のモデリング品質に実用的な影響を有さない。これは、列１００５および１００７の結果、ならびに列１１０５および１１０７の結果の類似性によって示される。第二に、実施形態は、安定化を適用しない方法とは対照的に、異なる剛性を有する要素を伴う大変形が生じるシミュレーションの成功を可能にする。これは、列１００６のシミュレーションが失敗し、列１００７のシミュレーションが成功した図１０、および列１１０６のシミュレーションが失敗し、列１１０７のシミュレーションが成功した図１１に示される。

実施形態の適用は、剛性演算子の条件数が一つの最適化反復から別の他の最適化反復に著しく変化し得る、幾何学的非線形最適化の文脈にある。局所的な数値不安定性の問題は、幾何学的非線形トポロジー最適化のワークフローについて特に顕著であるが、その理由は、空隙材料とソリッド材料との間に高い剛性比を有するソリッド空隙材料レイアウトを強制するためである。図１２は、空隙要素（柔軟要素）の数値安定化のための人工的構成モデリングの実施形態が、幾何学的非線形トポロジー最適化のワークフロー１２００に実装され得る実施例を示す。

図１２は、一実施形態による、感度ベースの設計最適化プロセス１２００のワークフローを示す。設計実装のワークフロー１２００は、追加の工程１２０３～１２０８と共に、図４、図５、および図７のそれぞれワークフロー４００、５００、および７００に関して、本明細書で上述したように、人工的構成数値安定化１２０２を実施する。

最適化ワークフロー１２００は、工程１２０１で、設計変数の初期セットによって説明される初期設計で開始する。次に、工程１２０２で、数値安定化のための人工的構成モデリングを含む主解が、各最適化設計反復に対して決定される。各最適化設計の反復は、１２０１から初期設計変数を取り、工程１２０２ａで、人工的構成モデルを物理的構成モデルに追加することから始まる。工程１２０２ｂで、工程１２０２ａからの物理的モデルおよび人工モデルを使用して、剰余および剛性演算子を組み立てる。次に、工程１２０２ｃは、工程１２０２ｂからの組み立てられた大域剛性演算子を使用して、ＣＡＥモデル（有限要素モデル）の主解および平衡を解決する。工程１２０２ｄは、主解が収束したかどうかを確認する。工程１２０２ｄで、解が収束すると決定された場合、反復は、収束した主解が工程１２０２ｅに移動するという結果をもたらす。工程１２０２ｄで、主解が収束していないと決定された場合、ワークフローは工程１２０２ａに戻る。

サブ工程１２０２ａ～ｅの後、収束した主解が決定され、方法１２００は工程１２０３に移動し、そこで目的関数および制約の値が決定される。目的関数および制約の値の非限定的な例としては、モデルの直接測定（例えば、質量、重心など）または主解の結果によって決定される測定（例えば、剛性、変位、力、応力、歪みなど）が挙げられる。

次に、工程１２０４で、目的関数の感度および制約が計算される。一実施形態では、主解に基づく目的関数の感度および制約は、工程１２０４で、直接法または随伴法を使用して計算され、Ａｂａｑｕｓ（登録商標）のカーネルに実装される。

続いて、最適化問題を、工程１２０５で、数学的プログラミング、すなわち、最適化計算を使用して解決する。一実施形態によれば、数学的プログラミングは、目的関数および制約に対するユーザ定義設計目標の値に厳密に基づく。さらに、数学、コンピュータ科学、およびオペレーションズ・リサーチでは、数学的プログラミングは、代替的に数学的最適化または単に最適化と命名され、（いくつかの基準に関して）いくつかの利用可能な代替案からの最良の解の選択のプロセスであることに留意されたい。方法１２００の実施形態は、当技術分野で公知の任意のかかる数学的プログラミングを使用し得る。

次の最適化反復のための新しい物理的モデルは、工程１２０５で見出される設計変数値に基づいて、工程１２０６で生成される。実施形態では、設計変数（工程１２０５で決定される）および物理的モデル変数（工程１２０６で更新される）は、例えば、サイズ最適化のための厚さ設計変数と同じであり得ることに留意されたい。しかしながら、設計変数および物理的モデル変数はまた、例えば、設計変数が物理的密度および剛性にマッピングされる相対的密度である密度トポロジー最適化として異なってもよい。

工程１２０７は、最適化が収束したかどうかを確認する。最適化が収束していない場合、方法１２００は工程１２０２に戻り、新しい最適化反復が開始される。最適化が収束した場合、最適化ワークフロー１２００は、工程１２０８に移動し、最終的設計を出力する。一実施形態によれば、物体の変化の収束基準が、例えば、０．１％未満であり、設計変数の変化が、例えば、０．５％未満である場合、最適化ワークフローは収束される。

図１３は、幾何学的非線形トポロジー最適化のベンチマークモデル１３００を表し、そのうち、一つは厳密に弾性材料特性１３０２を適用し、もう一つは弾塑性材料特性、すなわち弾性材料特性１３０２と可塑性材料特性１３０３を適用する、二つのバージョンが定義されている。モデル１３００は、右側にクランプ留めされ、右側中間にｙ方向に印加された荷重Ｐ １３０１を有する。モデル１３００は、３，６００個の四辺形４節点一次平面歪み要素（ＣＰＥ４）からなる。

例示的な実装は、トポロジー最適化のために最適化ワークフロー１２００をモデル１３００に適用する。最適化の目的関数は、設計ドメインに対して５０％の相対質量制約を受ける力Ｐ １３０１での荷重方向における変位を最小化する。それによって、モデル１３００の剛性は、所与の質量に対して最大化される。設計ドメインは、各有限要素が、設計ドメインにおいて新しい最適化された概念的材料レイアウトを決定するためのトポロジー最適化における設計変数である、モデル１３００全体として定義される。

図１４Ａおよび図１４Ｂは、図１３に関連して本明細書で上述したモデル１３００の二つのバージョンの剛性最適化問題のための幾何学的非線形トポロジー最適化の結果を示す。最適化ワークフロー１２００を適用して、図１４の様々な最適化結果を決定した。具体的には、列１４０３ａ～ｂに示される結果は、工程１２０２で数値安定化を適用することなく生成された。列１４０４ａ～ｂの結果は、工程１２０２で人工的構成モデリングの使用を通して数値安定化を適用することによって生成された。列１４０３ａ～１４０３ｂおよび列１４０４ａ～１４０４ｂの結果は、異なる負荷の大きさに対して得られた異なる設計を示す。数値実験は、図１４Ａおよび１４Ｂの幾何学的非線形トポロジー最適化の結果について、厳密に弾性の最適化設計１４０１（すなわち、厳密に弾性の材料特性１３０２を適用するモデル１３００のバージョンを使用して生成された結果）は、数値安定化を適用しない場合（列１４０３ａ）、Ｐ＝１００ｋＮよりも高い荷重の大きさでの最適化収束に失敗し、弾塑性最適化設計１４０２（すなわち、弾塑性材料特性を適用するモデル１３００のバージョン、すなわち、弾性材料特性１３０２と可塑性材料特性１３０３を使用して生成された結果）は、数値安定化を適用しない（列１４０３ｂ）場合、Ｐ＝７．５ｋＮよりも高い荷重の大きさで最適化の収束に失敗することを示す。対照的に、工程１２０２の実施形態による人工的構成材料モデリングを追加することによって数値安定化を適用したすべての最適化事例は、最適化設計を見出す際に収束する（列１４０４ａ～ｂ）。

図１５は、二つの弾性トポロジー最適化設計１５０１および１５０２を示し、モデルがＰ＝５００ｋＮの荷重の大きさに供された。図１５は、図１４の列１４０３ａおよび１４０４ｂからの５００ｋＮの荷重の結果をさらに示し、ここで、数値安定化は適用されず（列１４０３ａおよび１５０１）、数値安定化は人工的構成モデリングを追加することによって適用された（列１４０４ａおよび１５０２）。図１５は、有限要素が数値的に不安定であり、（拡大図１５０３に示すように）悪条件であるため、数値安定化１５０１を有しない最適化のワークフローは、最適化反復中に主解中に失敗することを示す。したがって、安定化が適用されない最適化のワークフロー全体は、最適化収束に失敗する。人工的構成モデリング１５０２を追加することによって数値安定化を有する最適化のワークフローは、最適化設計に収束する。さらに、最適化反復履歴は、追加された人工的構成モデリングのプロット１５０４ａ～ｂに示される。

さらに、図１５は、最適化反復履歴のプロット１５０４ａおよび１５０４ｂを含む。具体的には、プロット１５０４ａは、変位１５０８と最適化反復１５０７ａの比較を示し、プロット１５０４ｂは、相対質量１５０９と変位１５０７の最適化反復１５０７ｂの比較を示す。プロット１５０４ａ～ｂは、目的における滑らかな収束を示し、また、少ない最適化反復が必要であり、そのため、計算コストが低いことも示す。図１５はまた、物理的構成材料モデル１５０５の応力分布および追加された人工的構成モデリング１５０６の応力分布を示す。応力スケーリングは、示される二つの応力分布１５０５および１５０６について異なる。最適化設計のソリッド部分は、主に物理的応力を伝達するが、追加された人工的構成モデリングによる応力は、良条件の全体演算子および数値安定性を確保するために必要な位置および方向にのみ存在する。

図１４および図１５に図示した最適化結果は、実施形態に関して以下の結論をもたらす。第一に、実施形態は、弾性および弾塑性の両方の構成材料モデルから成る物理的システムの数値安定化をサポートする。より一般的には、実施形態は、すべてのタイプの物理的構成モデルに適している。第二に、実施形態は、数値安定化に必要な位置および方向において、応力、それによって剛性のみを追加する。それによって、実施形態は、システムの剛性全体を変更しない追加の人工的構成モデリングを物理的構成モデルに追加することによって、モデルの悪条件部分を局所的に安定化する。上述のように、多くの以前のアプローチは、すべての位置および方向で、それによって、追加の剛性が必要でない位置および方向でも、モデルに全体的な剛性を追加する。第三に、実施形態が幾何学的非線形トポロジー最適化ワークフローに適用される場合、実施形態は、設計変数に依存しないが、最適化反復中の構造レイアウトの主解の変形に厳密に依存する。したがって、設計変数に応じたヒューリスティックスキームおよびヒューリスティックパラメータは、最適化反復中に修正されない。これにより、有意に少ない最適化反復が必要となる。実施形態は、より少ない反復を必要とするため、実施形態は、以前の参照およびベンチマーク参照と比較して、より低い計算コストを有し、有意に速く、かつより滑らかな最適化の収束を有する。さらに、実施形態は、最適化設計を決定するのにより短い実行時間を有する。実施形態は、最適化された幾何学的非線形設計を達成するために、最適化反復回数に関して、以前のすべての数値安定化方法を実施する。さらに、実施形態は、物理的システムのいくつかの要素が所与の最適化反復における構造平衡の主解に対して数値的に不安定かつ悪条件である場合に、最適化が収束に失敗することを防止する。

図１６Ａおよび図１６Ｂは、幾何学的非線形の一過性３Ｄトポロジー最適化を示し、弾塑性材料特性１６０５は有限要素モデル１６００に対して定義される。

図１６Ａおよび図１６Ｂでは、モデル１６００は、二つの剛直な支持体１６０２ａ～ｂ上に配置された柔軟ビーム１６０１を含み、ビーム１６０１の中央は移動する剛体パンチ１６０３に露出される。支持体１６０２ａ～ｂは完全に制約され、その一方で、パンチ１６０３は垂直方向に自由に移動し、初期速度ｖ_０＝１０ｍ／ｓと、質量ｍ＝２００ｋｇを有する。ビーム１６０１は制約されない。四つの本体（ビーム１６０１、支持体１６０２ａ～ｂ、およびパンチ１６０３）の間の接触は、μ＝０．１の摩擦係数を有する。弾塑性材料特性１６０５は、ビーム１６０１の材料について定義され、一方で二つの下部支持体１６０２ａ～ｂおよびパンチ１６０３はすべて剛直であると仮定される。一実装では、モデル１６００は、図１６Ｂに示すように、二つの対称面を適用することで、１／４に低減される。１／４ビームは、１３，４８２のＣ３Ｄ８直線六面体要素を使用して離散化される。図１６Ａは、完全モデル１６００ａを表し、図１６Ｂは、対称を適用することによって縮約モデル１６００ｂを表す。

一実装では、１２００における最適化ワークフローは、トポロジー最適化のためにモデル１６００に適用される。最適化の目的関数は、２５個の個別の時点ｔ_１∈｛０．００１，０．００２，．．．，０．０２５｝でのパンチ１６０３に対する基準点ＲＰ １６０４の経時的な最大垂直変位を最小化することである。さらに、設計ドメインに対して３０％の相対質量制約が強制される。それによって、動的剛性は、所与の質量に対して最大化される。トポロジー最適化のための設計ドメインは、各有限要素が、新しい最適化された概念的材料レイアウトを決定するためのトポロジー最適化における設計変数である、柔軟ビーム１６０１全体として定義される。

図１６および図１６Ｂに関連して本明細書で上述した動的剛性最適化問題のための幾何学的非線形トポロジー最適化の結果を、図１７Ａ～１７Ｄおよび図１８Ａ～１８Ｄに示す。

図１７Ａは、数値安定化が適用されなかった実装における、失敗した最適化反復（具体的には反復回数２２）の密度設計レイアウトを表す３Ｄモデル１７０１を示す。図１７Ｂは、最適化反復１７０８の関数として正規化された最大垂直変位の目的関数値１７０６および正規化された体積制約値１７０７を示す、最適化反復履歴を表すプロット１７０２である。図１７Ｃは、同一の柔軟ビーム１６０１、剛体パンチ１６０３、および支持体１６０２ａを備える、図１６Ａ～１６Ｂからの同じ３Ｄモデルである３Ｄモデル１７０３を示す。モデル１７０３における陰影は、局所的人工不安定性現象１７０４が示された最適化反復回数２２における失敗した主解の最後の収束時間増分における応力を示す。現象１７０４は、最終的に主解の失敗を引き起こし、したがって、数値安定化が適用されない場合、最適化反復回数２２が完全に失敗した。図１７Ｄは３Ｄモデル１７０５を示し、ここで陰影は応力を示す。モデル１７０５は、図１７Ａの同じモデル１７０１、同一の柔軟ビーム１６０１、剛体パンチ１６０３、および支持体１６０２ａを備える、図１６Ａ～１６Ｂからの同じ３Ｄモデルである、同じ３Ｄモデル１７０１である。さらに、モデル１７０５は、図１７Ｃのモデル１７０３と同じ時点で決定されるが、モデル１７０５は、１２０２で人工的構成モデリングの追加を使用して数値安定化を適用することによって決定された。人工的構成モデリングを追加することによって、局所的人工不安定性および局所座屈は観察されず（図１７０９に示すように）、主解は完全に収束する。

図１７Ｃからの結果は、数値安定化が適用されない場合、主解が最適化反復２２で収束しないことを示す。低密度領域のうちの一つにおける局所的不安定性および座屈現象１７０４が観察され、主分析が失敗する。それによって、完全な最適化は、最適化反復回数２２で失敗する。対照的に、図１７Ｄに示すように、実施形態に従った数値安定化が適用されるとき、同じモデルに対して、主解の完全な収束が達成される。それによって、実施形態を使用することによって、主解の分析は完全に収束し、分析中に局所的不安定性および座屈の兆しは観察されない１７０９。

図１８Ａは、方法１２００を使用して決定された最適化設計密度レイアウトを有する３Ｄモデル１８０１を示す。こうした実装では、モデル１８０１のレイアウトは、最適化反復回数９１で決定された。図１８Ｂは、最適化反復１８０６の関数として正規化された最大垂直変位の目的関数値１８０４および正規化された体積制約値１８０５を示す、最適化反復履歴を表すプロット１８０２である。図１８Ｃは、３Ｄモデル１８０２を示し、ここで、陰影は、最大変位を有する時点での最適化反復回数０での初期設計の主解の応力を表す。モデル１８０２は、同一の柔軟ビーム１６０１、剛体パンチ１６０３、および支持体１６０２ａを備える、図１６Ａ～１６Ｂからの同じ３Ｄモデルである同じ３Ｄモデルである。図１８Ｄは、３Ｄモデル１８０３を示し、ここで、陰影は、最大変位時点での最適化反復回数９１における最適化設計の主解の応力を表す。

図１８Ａ～１８Ｄの結果は、非線形トポロジー最適化のための実施形態の適用は、ソリッド－空隙トポロジー最適化設計に完全に収束する方法をもたらし、最適化反復プロセス中に主解が失敗しないことを示す。さらに、図１７Ｂおよび図１８Ｂのそれぞれプロット１７０２および１８０２と比較したとき、数値安定化のためのより滑らかな最適化反復の収束挙動が観察される。

実施形態は、幾何学的非線形モデリングおよび大変形連続体有限要素モデリングを含むモデリング分野で使用することができ、数値的に悪条件の剛性演算子によって数値的人工不安定性が生じる。

実施形態は、収束した主解を得るために、より少ないソルバーの反復を必要とする。さらに、実施形態は、有限要素モデルにおける大域演算子の数値的な人工的悪条件を抑制することによって、収束した主解が得られることを確実にすることができる。

構造的有限要素モデルに関連して実施形態が本明細書に記載されているが、実施形態は、構造的有限要素モデルに限定されず、他の実施例の中でも特に、熱、流体、および／または電磁設計を表す有限要素モデルなどの有限要素法を使用して解決される、マルチフィジックス有限要素モデルなどの他のドメインにも適用され得ることに留意されたい。

実施形態は、概念設計中の幾何学的非線形トポロジー最適化に使用することができる。こうした用途では、空隙要素および中間密度要素は、剛性演算子に対してしばしば悪条件である。それによって、トポロジー最適化ワークフローにおける主解の解は、ゆっくりと収束するか、または収束せずに最適化ワークフロー全体を失敗させる。

実施形態を利用して、設計レイアウトとは無関係に、各最適化反復において、主解のより速い収束を強制することができる。本技術の実施形態は、設計レイアウトとは無関係に、各最適化反復において主解が解に収束することを強制することができる。

有利なことには、実施形態は、要素剛性演算子の条件数を構成モデルに直接リンクすることができる。

図１９は、本明細書に記載される任意の様々な実施形態による、現実世界の物体の物理的挙動を決定するために使用され得る、コンピュータベースのシステム１９２０の簡略化されたブロック図である。システム１９２０は、バス１９２３を備える。バス１９２３は、システム１９２０の様々な構成要素間の相互接続として機能する。バス１９２３に接続されるのは、キーボード、マウス、ディスプレイ、スピーカなどの様々な入力および出力デバイスをシステム１９２０に接続するための入力／出力デバイスインターフェース１９２６である。中央処理装置（ＣＰＵ）１９２２は、バス１９２３に接続され、実施形態を実装するコンピュータ命令の実行を提供する。メモリ１９２５は、図４、図５、図７、および図１２に関連してそれぞれ前述した方法４００、５００、７００、および１２００など、本明細書に記載される実施形態を実装するコンピュータ命令を実行するために使用されるデータ用の揮発性記憶装置を提供する。記憶装置１９２４は、オペレーティングシステム（図示せず）および実施形態構成などのソフトウェア命令のための不揮発性記憶装置を提供する。システム１９２０はまた、ワイドエリアネットワーク（ＷＡＮ）およびローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）を含む、当技術分野で既知の任意の様々なネットワークに接続するためのネットワークインターフェース１９２１を備える。

当然のことながら、本明細書に記載の例示的な実施形態は、多くの異なる方法で実装されてもよい。一部の実例では、本明細書に記載される様々な方法およびシステムは各々、コンピュータシステム１９２０、または図２０に関連して本明細書で以下に記載されるコンピュータ環境２０２０などのコンピュータネットワーク環境などの物理的コンピュータ、仮想コンピュータ、またはハイブリッド型汎用コンピュータによって実装され得る。コンピュータシステム１９２０は、例えば、ＣＰＵ １９２２によって実行するために、メモリ１９２５または不揮発性記憶装置１９２４のいずれかにソフトウェア命令を読み込むことによって、本明細書に記載される方法を実行するマシンに変換され得る。当業者であれば、システム１９２０およびその様々な構成要素が、本明細書に記載される任意の実施形態または実施形態の組み合わせを実施するように構成され得ることを、さらに理解するべきである。さらに、システム１９２０は、システム１９２０に内部または外部で動作可能に結合されたハードウェア、ソフトウェア、およびファームウェアモジュールの任意の組み合わせを利用して、本明細書に記載される様々な実施形態を実装し得る。さらに、システム１９２０は、本明細書に記載されるように、物理的物体を作り出すために装置を制御するように、製造装置に通信可能に結合されてもよく、またはその中に埋め込まれてもよい。

図２０は、本発明の実施形態を実装することができるコンピュータネットワーク環境２０２０を示す。コンピュータネットワーク環境２０２０では、サーバ２０２１は、通信ネットワーク２０２２を介してクライアント２０２３ａ～ｎにリンクされる。環境２０２０は、クライアント２０２３ａ～ｎが、単独で、またはサーバ２０２１と組み合わせて、本明細書に記載される方法のいずれかを実行することを可能にするために使用され得る。非限定的な例として、コンピュータネットワーク環境２０２０は、クラウドコンピューティング実施形態、サービスとしてのソフトウェア（ＳＡＡＳ）実施形態などを提供する。

実施形態またはその態様は、ハードウェア、ファームウェア、またはソフトウェアの形態で実装されてもよい。ソフトウェアに実装される場合、ソフトウェアは、プロセッサがソフトウェアまたはその命令のサブセットを読み込むことを可能にするように構成された任意の非一時的コンピュータ可読媒体上に格納され得る。次に、プロセッサは命令を実行し、装置を動作するか、または本明細書に記載の方法で動作させるように構成される。

さらに、ファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、または命令は、データプロセッサの特定の動作および／または機能を実行するものとして本明細書に記述されてもよい。しかしながら、当然のことながら、本明細書に包含されるこうした記述は単に便宜上のものであり、こうした動作は実際には、計算装置、プロセッサ、コントローラ、またはファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、命令などを実行する他の装置に起因する。

当然のことながら、フロー図、ブロック図、およびネットワーク図は、より多くまたはより少ない要素を含んでもよく、異なるように配置されてもよく、または異なるように表されてもよい。しかし、さらに当然のことながら、特定の実装は、ブロック図およびネットワーク図、ならびに実施形態の実行を示すブロック図およびネットワーク図の数を特定の方法で実装することができる。

したがって、さらなる実施形態はまた、様々なコンピュータアーキテクチャ、物理的コンピュータ、仮想コンピュータ、クラウドコンピュータ、および／またはいくつかのそれらの組み合わせに実装されてもよく、したがって、本明細書に記載のデータプロセッサは、実施形態を制限するものとしてではなく、例示のみを目的としている。

例示的な実施形態が特に示され、説明されてきたが、当業者であれば、添付の特許請求の範囲に包含される実施形態の範囲から逸脱することなく、形態および詳細の様々な変更をその中に行うことができることを理解するであろう。

本明細書に引用されるすべての特許、公開された出願、および参考文献の教示は、参照によりその全体が組み込まれる。

参考文献
［１］ Ｓｃｈｉｌｌｉｎｇｅｒ， Ｄ．， Ｄｕｓｔｅｒ， Ａ．， Ｒａｎｋ， Ｅ． （２０１２）． Ｔｈｅ ｈｐ－ｄ－ａｄａｐｔｉｖｅ ｆｉｎｉｔｅ ｃｅｌｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｓｏｌｉｄ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ． ８９：１１７１-１２０２．

［２］ Ｓｉｇｍｕｎｄ， Ｏ．， Ｍａｕｔｅ， Ｋ． （２０１３）． Ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ． Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ， ４８（６）：１０３１-１０５５．

［３］ Ｓｉｇｍｕｎｄ， Ｏ． （２０２２）． Ｏｎ ｂｅｎｃｈｍａｒｋｉｎｇ ａｎｄ ｇｏｏｄ ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｉｎ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ， ６５， ３１５

［４］ Ｂｒｕｎｓ， Ｔ．Ｅ．， Ｔｏｒｔｏｒｅｌｌｉ， Ｄ．Ａ． （２００３）． Ａｎ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｒｅｍｏｖａｌ ａｎｄ Ｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ Ｓｔｒａｔｅｇｙ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｔｏｐｏｌｏｇｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｌｉａｎｔ Ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．５７：１４１３-１４３０．

［５］ Ｂｒｕｎｓ， Ｔ．Ｅ．， Ｓｉｇｍｕｎｄ， Ｏ． Ｔｏｒｔｏｒｅｌｌｉ， Ｄ．Ａ． （２００２）． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｔｏｐｏｌｏｇｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｔｈａｔ Ｅｘｈｉｂｉｔ Ｓｎａｐ Ｔｈｒｏｕｇｈ． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ． ５５：１２１５-１２３７．

［６］ Ｂｒｕｎｓ， Ｔ．Ｅ． （２００６）． Ｚｅｒｏ ｄｅｎｓｉｔｙ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｉｎ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ＆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．１９６： ５６６-５７８．

［７］ Ｂｅｈｒｏｕ， Ｒ．， Ｌｏｔｆｉ， Ｒ．， Ｃａｒｓｔｅｎｓｅｎ， Ｊ．， Ｆｅｒｒａｒｉ， Ｆ．， Ｇｕｅｓｔ Ｊ． （２０２１）． Ｒｅｖｉｓｉｔｉｎｇ ｅｌｅｍｅｎｔ ｒｅｍｏｖａｌ ｆｏｒ ｄｅｎｓｉｔｙ－ｂａｓｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｂｙ Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ＆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ． ３８０：１１３７９９．

［８］ Ｗａｎｇ， Ｆ．， Ｌａｚａｒｏｖ， Ｂ． Ｓ．， Ｓｉｇｍｕｎｄ， Ｏ．， ａｎｄ Ｊｅｎｓｅｎ， Ｊ． Ｓ． （２０１４）． Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ｆｉｃｔｉｔｉｏｕｓ ｄｏｍａｉｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ａｎｄ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｓｔｒａｉｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ＆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ． ２７６（７）：４５３－４７２．

［９］ Ｄａｌｋｌｉｎｔ， Ａ．， Ｗａｌｌｉｎ， Ｍ．， Ｔｏｒｔｏｒｅｌｌｉ． Ｄ．Ａ． （２０２１）． Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ ｂｕｃｋｌｉｎｇ ｍｏｄｅｓ ｉｎ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． ６４（４）：１７５１－１７６３．

［１０］ Ｂｌｕｈｍ， Ｇ．Ｌ．， Ｓｉｇｍｕｎｄ， Ｏ．， Ｐｏｕｌｉｏｓ Ｋ． （２０２１）。Ｉｎｔｅｒｎａｌ ｃｏｎｔａｃｔ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｆｏｒ ｆｉｎｉｔｅ ｓｔｒａｉｎ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ． ６７：１０９９-１１１４．

［１１］ Ｗａｌｌｉｎ， Ｍ．， Ｉｖａｒｓｓｏｎ， Ｎ．， ａｎｄ Ｔｏｒｔｏｒｅｌｌｉ， Ｄ．Ａ． （２０１８）． Ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ ｅｌａｓｔｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ＆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ． ３３０：２９２－３０７．

［１２］ Ｂｕｈｌ， Ｔ．， Ｐｅｄｅｒｓｅｎ， Ｃ．Ｂ．Ｗ．， Ｓｉｇｍｕｎｄ， Ｏ． （２０００）． Ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｕｓｉｎｇ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． １９：９３-１０４．

［１３］ Ｐｅｄｅｒｓｅｎ， Ｃ．Ｂ．Ｗ．， Ｂｕｈｌ， Ｔ．， Ｓｉｇｍｕｎｄ， Ｏ． （２００１）． Ｔｏｐｏｌｏｇｙ Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｏｆ Ｌａｒｇｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｃｏｍｐｌｉａｎｔ ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ． ５０：２６８３－２７０５．

［１４］ Ｐｅｄｅｒｓｅｎ， Ｃ．Ｂ．Ｗ．， Ｆｌｅｃｋ， Ｎ．Ａ．， Ａｎａｎｔｈａｓｕｒｅｓｈ， Ｇ．Ｋ． （２００６）． Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ａ ｃｏｍｐｌｉａｎｔ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｔｏ ｍｏｄｉｆｙ ａｎ ａｃｔｕａｔｏｒ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｔｏ ｄｅｌｉｖｅｒ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｏｕｔｐｕｔ ｆｏｒｃｅ． ＡＳＭＥ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｄｅｓｉｇｎ， １２８：１１０１－１１１２．

［１５］ Ｍａｕｔｅ， Ｋ．， Ｓｃｈｗａｒｚ， Ｓ．， Ｒａｍｍ， Ｅ． （１９９８）． Ａｄａｐｔｉｖｅ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌａｓｔｏｐｌａｓｔｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ． Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． １５：８１－９１．

［１６］ Ｗａｌｌｉｎ， Ｍ．， Ｊｏｎｓｓｏｎ， Ｖ．， Ｗｉｎｇｒｅｎ， Ｅ． （２０１６）． Ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｉｎｉｔｅ ｓｔｒａｉｎ ｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ． Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． ５４：７８３-７９３．

［１７］ Ｐｅｄｅｒｓｅｎ， Ｃ．Ｂ．Ｗ． （２００２）． Ｒｅｖｉｓｉｔｉｎｇ Ｔｏｐｏｌｏｇｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｗｉｔｈ Ｅｌａｓｔｏｐｌａｓｔｉｃ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ． Ｉｎ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ １５ｔｈ Ｎｏｒｄｉｃ Ｓｅｍｉｎａｒ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， Ａａｌｂｏｒｇ， Ｄｅｎｍａｒｋ．

［１８］ Ｌａｈｕｅｒｔａ， Ｒ．Ｄ．， Ｓｉｍｏｅｓ， Ｅ．Ｔ．， Ｃａｍｐｅｌｌｏ， Ｅ．Ｍ．Ｂ．， Ｐｉｍｅｎｔａ， Ｐ．Ｍ．， Ｓｉｌｖａ Ｅ．Ｃ．Ｎ． （２０１３）． Ｔｏｗａｒｄｓ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｗ ｄｅｎｓｉｔｙ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｌａｒｇｅ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ． ５２（４）： ７７９－７９７．

［１９］ Ｏｒｔｉｇｏｓａ， Ｒ．， Ｒｕｉｚ， Ｄ．， Ｇｉｌ Ａ．Ｊ．， Ｄｏｎｏｓｏ， Ａ．， Ｂｅｌｌｉｄｏ， Ｊ．Ｃ． （２０２０） Ａ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｙｐｅｒｅｌａｓｔｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ＳＩＭＰ ｍｅｔｈｏｄ． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ． ３６４：１１２９２４．

［２０］ Ｏｒｔｉｇｏｓａ， Ｒ．， Ｍａｒｔｉｎｅｚ－Ｆｒｕｔｏｓ， Ｊ．， Ｇｉｌ Ａ．Ｊ．， Ｈｅｒｒｅｒｏ－Ｐｅｒｅｚ， Ｄ． （２０１９）． Ａ ｎｅｗ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｌｅｖｅｌ－ｓｅｔ ｂａｓｅｄ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｙｐｅｒｅｌａｓｔｉｃ ｍａｔｅｒｉａｌｓ． Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． ６０：２３４３-２３７１．

［２１］ Ａｂａｑｕｓ． （２０２２）． ＳＩＭＵＬＩＡ Ｕｓｅｒ Ａｓｓｉｓｔａｎｃｅ． Ｄａｓｓａｕｌｔ Ｓｙｓｔｅｍｅｓ．

［２２］ Ｒｉｋｓ， Ｅ． （２００８）． Ｏｎ ｔｈｅ Ｐｕｒｐｏｓｅ ａｎｄ Ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｂｕｃｋｌｉｎｇ Ａｎａｌｙｓｉｓ． ２ｎｄ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｂｕｃｋｌｉｎｇ ａｎｄ Ｐｏｓｔ－ｂｕｃｋｌｉｎｇ Ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｌａｍｉｎａｔｅｄ Ｓｈｅｌｌ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， Ｂｒａｕｎｓｃｈｗｅｉｇ， Ｇｅｒｍａｎｙ．

［２３］ Ｚｉｅｎｋｉｅｗｉｃｚ， Ｏ．Ｃ．， Ｔａｙｌｏｒ， Ｒ．Ｌ． ａｎｄ Ｆｏｘ， Ｄ． Ｄ． Ｔｈｅ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｓｏｌｉｄ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， Ｓｅｖｅｎｔｈ Ｅｄｉｔｉｏｎ， Ｅｌｓｅｖｉｅｒ， （２０１４）

［２４］ Ｂａｔｈｅ， Ｋ．Ｊ．， Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ａｎａｌｙｓｉｓ， Ｐｒｅｎｔｉｃｅ－Ｈａｌｌ， Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ Ｃｌｉｆｆｓ， Ｎ． Ｊ．， （１９８２）．

［２５］ Ｂｅｒｇｓｔｒｏｍ， Ｊ． （２０１５）． Ｉｎ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｏｆ Ｓｏｌｉｄ Ｐｏｌｙｍｅｒｓ： Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ． Ｅｌｓｅｖｉｅｒ．

［２６］ Ｔｏｓｃａ． （２０２２）． ＳＩＭＵＬＩＡ Ｕｓｅｒ Ａｓｓｉｓｔａｎｃｅ． Ｄａｓｓａｕｌｔ Ｓｙｓｔｅｍｅｓ．

［２７］ Ｋｌｅｉｂｅｒ， Ｍ．， Ａｎｔｕｎｅｚ， Ｈ．， Ｈｉｅｎ， Ｔ． Ｄ． ａｎｄ Ｋｏｗａｌｃｚｙｋ， Ｐ． （１９９７）． Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｉｎ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ， Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ａｎｄ Ｓｏｎｓ．

［２８］ Ｃｈｏｉ， Ｋ． Ｋ． ａｎｄ Ｋｉｍ， Ｎ． Ｈ （２００５）， Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ２： Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ、Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ Ｉｎｃ．

［２９］ Ｍｉｃｈａｌｅｒｉｓ， Ｐ．， Ｔｏｒｔｏｒｅｌｌｉ， Ｄ． Ａ． ａｎｄ Ｖｉｄａｌ， Ｃ． Ａ． （１９９４）． Ｔａｎｇｅｎｔ Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ Ｄｅｓｉｇｎ Ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ Ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｔｒａｎｓｉｅｎｔ Ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ Ｃｏｕｐｌｅｄ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ Ｅｌａｓｔｏｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ， Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ３７： ２４７１-２４９９．

Claims (20)

1. 現実世界の物体の物理的挙動を決定するためのコンピュータ実装方法であって、プロセッサによって、
   前記プロセッサのメモリ内に、複数の要素を使用して前記現実世界の物体を表すコンピュータベースのモデルを定義することであって、前記定義されたモデルが、前記複数の要素の各要素によって表される一つ以上の材料を示す、定義することと、
   前記一つ以上の材料の物理学ベースの挙動を記述する方程式を定義することと、
   非線形変形勾配行列の関数である安定化方程式を定義することと、
   前記モデル内の前記複数の要素の各要素について、前記定義された安定化方程式に基づいて、人工的内力を前記要素に関連付けること、および、前記関連付けられた人工的内力に基づいて、人工ベースおよび物理学ベースの挙動を前記要素に関連付けることと、
   （ｉ）前記定義されたコンピュータベースのモデル、（ｉｉ）物理学ベースの挙動を記述する前記定義された方程式、および（ｉｉｉ）前記定義された安定化方程式を使用して、荷重に供される前記現実世界の物体のシミュレーションを実施することであって、前記シミュレーションを実施することが、前記安定化方程式を前記複数の要素の各々に適用することを含み、前記シミュレーションを実施することの結果が、前記現実世界の物体の前記物理的挙動を示す、実施することと、を含む、コンピュータ実装方法。
2. 前記モデル内の前記複数の要素の各要素について、
   物理学ベースの挙動を記述する前記定義された方程式に基づいて、物理的内力を前記要素に関連付けることをさらに含む、請求項１に記載のコンピュータ実装方法。
3. 前記複数の要素の各要素について、
   前記関連付けられた人工的内力と前記関連付けられた物理的内力とを用いて剰余を組み立てることであって、前記組み立てられた剰余は構造平衡を定義する、ことをさらに含む、請求項２に記載のコンピュータ実装方法。
4. 前記荷重に供される前記現実世界の物体の前記シミュレーションを実施することが、各要素に関連付けられた前記人工的内力、および各要素に関連付けられた前記人工ベースおよび物理学ベースの挙動を使用することをさらに含む、請求項１に記載のコンピュータ実装方法。
5. 前記定義された安定化方程式を使用して前記現実世界の物体の前記シミュレーションを実施することが、前記複数の要素のうちの所与の要素に関連付けられた条件値を低減し、前記条件値が、前記非線形変形勾配行列の関数である、請求項１に記載のコンピュータ実装方法。
6. 前記シミュレーションを実施する前記結果に基づいて、前記コンピュータベースのモデルを更新することと、
   （ｉ）前記更新されたコンピュータベースのモデル、（ｉｉ）物理学ベースの挙動を記述する前記定義された方程式、および（ｉｉｉ）前記定義された安定化方程式を使用して、前記現実世界の物体のシミュレーションを実施することによって、前記現実世界の物体の更新された物理的挙動を決定することと、をさらに含む、請求項１に記載のコンピュータ実装方法。
7. 前記決定された更新された物理的挙動が基準を満たすまで、（ｉ）前記決定された更新された物理的挙動に基づいて、前記コンピュータベースのモデルを更新することと、（ｉｉ）前記更新された物理的挙動を前記決定することと、を反復することをさらに含む、請求項６に記載のコンピュータ実装方法。
8. 前記コンピュータベースのモデルが、有限要素モデル、境界要素法、有限差分法、有限体積法、または離散要素法のうちのいずれか一つまたは組み合わせである、請求項１に記載のコンピュータ実装方法。
9. 前記コンピュータベースのモデルによって表される前記現実世界の物体が、自動車、産業設備、飛行機、土木構造物、海洋装置、医療器具、消費財、電子装置、装甲車両、または製造設備のうちのいずれか一つである、請求項１に記載のコンピュータ実装方法。
10. 現実世界の物体の物理的挙動を決定するためのシステムであって、
    プロセッサと、
    コンピュータコード命令がその上に格納されたメモリを含み、前記プロセッサおよび前記メモリが、前記コンピュータコード命令を用いて、前記システムに、
    前記メモリ内に、複数の要素を使用して前記現実世界の物体を表すコンピュータベースのモデルを定義することであって、前記定義されたモデルが、前記複数の要素の各要素によって表される一つ以上の材料を示す、定義することと、
    前記一つ以上の材料の物理学ベースの挙動を記述する方程式を定義することと、
    非線形変形勾配行列の関数である安定化方程式を定義することと、
    前記モデル内の前記複数の要素の各要素について、前記定義された安定化方程式に基づいて、人工的内力を前記要素に関連付けること、および、前記関連付けられた人工的内力に基づいて、人工ベースおよび物理学ベースの挙動を前記要素に関連付けることと、
    （ｉ）前記定義されたコンピュータベースのモデル、（ｉｉ）物理学ベースの挙動を記述する前記定義された方程式、および（ｉｉｉ）前記定義された安定化方程式を使用して、荷重に供される前記現実世界の物体のシミュレーションを実施することであって、前記シミュレーションを実施することが、前記安定化方程式を前記複数の要素の各々に適用することを含み、前記シミュレーションを実施することの結果が、前記現実世界の物体の前記物理的挙動を示す、実施することと、を行わせるように構成された、システム。
11. 前記プロセッサおよび前記メモリが、前記コンピュータコード命令を用いて、前記モデル内の前記複数の要素の各要素について、前記システムに、
    物理学ベースの挙動を定義する前記定義された方程式に基づいて、物理的内力を前記要素と関連付けさせるようにさらに構成された、請求項１０に記載のシステム。
12. 前記プロセッサおよび前記メモリが、前記コンピュータコード命令を用いて、前記複数の要素の各要素について、前記システムに、
    前記関連付けられた人工的内力と前記関連付けられた物理的内力とを用いて剰余を組み立て、前記組みたてられた剰余は構造平衡を定義するようにさらに構成された、請求項１１に記載のシステム。
13. 前記シミュレーションを実施する際に、前記プロセッサおよび前記メモリが、前記コンピュータコード命令を用いて、前記システムに、各要素に関連付けられた前記人工的内力、ならびに各要素に関連付けられた前記人工ベースおよび物理学ベースの挙動を使用させるように構成された、請求項１０に記載のシステム。
14. 前記定義された安定化方程式を使用して前記現実世界の物体の前記シミュレーションを実施することが、前記複数の要素のうちの所与の要素に関連付けられた条件値を低減し、前記条件値が、前記非線形変形勾配行列の関数である、請求項１０に記載のシステム。
15. 前記プロセッサおよび前記メモリが、前記コンピュータコード命令を用いて、前記システムに、
    前記シミュレーションを実施する前記結果に基づいて、前記コンピュータベースのモデルを更新することと、
    （ｉ）前記更新されたコンピュータベースのモデル、（ｉｉ）物理学ベースの挙動を記述する前記定義された方程式、および（ｉｉｉ）前記定義された安定化方程式を使用して、前記現実世界の物体のシミュレーションを実施することによって、前記現実世界の物体の更新された物理的挙動を決定することと、を行わせるようにさらに構成された、請求項１０に記載のシステム。
16. 前記プロセッサおよび前記メモリが、前記コンピュータコード命令を用いて、前記システムに、
    前記決定された更新された物理的挙動が基準を満たすまで、（ｉ）前記決定された更新された物理的挙動に基づいて、前記コンピュータベースのモデルを更新することと、（ｉｉ）前記更新された物理的挙動を前記決定することと、を反復させるようにさらに構成された、請求項１５に記載のシステム。
17. 前記コンピュータベースのモデルが、有限要素モデル、境界要素法、有限差分法、有限体積法、または離散要素法のうちのいずれか一つまたは組み合わせである、請求項１０に記載のシステム。
18. 前記コンピュータベースのモデルによって表される前記現実世界の物体が、自動車、産業設備、飛行機、土木構造物、海洋装置、医療器具、消費財、電子装置、装甲車両、または製造設備のうちのいずれか一つである、請求項１０に記載のシステム。
19. 現実世界の物体の物理的挙動を決定するためのコンピュータプログラムであって、ネットワークにわたり一つ以上のクライアントと通信するサーバによって実行される前記コンピュータプログラムが、
    コンピュータ可読媒体を含み、前記コンピュータ可読媒体が、プログラム命令であって、プロセッサによって実行されるときに、前記プロセッサに、
    前記プロセッサのメモリ内に、複数の要素を使用して前記現実世界の物体を表すコンピュータベースのモデルを定義することであって、前記定義されたモデルが、前記複数の要素の各要素によって表される一つ以上の材料を示す、定義することと、
    前記一つ以上の材料の物理学ベースの挙動を記述する方程式を定義することと、
    非線形変形勾配行列の関数である安定化方程式を定義することと、
    前記モデル内の前記複数の要素の各要素について、前記定義された安定化方程式に基づいて、人工的内力を前記要素に関連付けること、および、前記関連付けられた人工的内力に基づいて、人工ベースおよび物理学ベースの挙動を前記要素に関連付けることと、
    （ｉ）前記定義されたコンピュータベースのモデル、（ｉｉ）物理学ベースの挙動を記述する前記定義された方程式、および（ｉｉｉ）前記定義された安定化方程式を使用して、荷重に供される前記現実世界の物体のシミュレーションを実施することであって、前記シミュレーションを実施することが、前記安定化方程式を前記複数の要素の各々に適用することを含み、前記シミュレーションを実施することの結果が、前記現実世界の物体の前記物理的挙動を示す、実施することと、を行わせるコンピュータ命令を含む、コンピュータプログラム。
20. 前記定義された安定化方程式を使用して前記現実世界の物体の前記シミュレーションを実施することが、前記複数の要素のうちの所与の要素に関連付けられた条件値を低減し、前記条件値が、前記非線形変形勾配行列の関数である、請求項１９に記載のコンピュータプログラム。