JP7749242B2

JP7749242B2 - Ｓｐｈ基盤の超弾性シミュレーション方法及び装置、並びに方法を行う、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に保存されているコンピュータプログラム

Info

Publication number: JP7749242B2
Application number: JP2023209270A
Authority: JP
Inventors: ジョンヒョンハン，; ミンヒョンキ，
Original assignee: Korea University Research and Business Foundation
Current assignee: Korea University Research and Business Foundation
Priority date: 2023-03-07
Filing date: 2023-12-12
Publication date: 2025-10-06
Anticipated expiration: 2043-12-12
Also published as: EP4428740A1; JP2024127734A; KR102602805B1; US20240303397A1

Description

本発明は、物理基盤のアニメーション技法に係り、さらに詳細には、ＳＰＨに基づいて超弾性変形体をシミュレーションするための方法及び装置に関する。

ＳＰＨ（ＳｍｏｏｔｈｅｄＰａｒｔｉｃｌｅＨｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ）基盤の変形体シミュレーションの従来技術としては、国際ジャーナルであるＰＡＣＭＣＧＩＴ（ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＡＣＭｏｎＣｏｍｐｕｔｅｒＧｒａｐｈｉｃｓａｎｄＩｎｔｅｒａｃｔｉｖｅＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓ）に掲載された、「ＦａｓｔＣｏｒｏｔａｔｅｄＥｌａｓｔｉｃＳＰＨＳｏｌｉｄｓｗｉｔｈＩｍｐｌｉｃｉｔＺｅｒｏ－ＥｎｅｒｇｙＭｏｄｅＣｏｎｔｒｏｌ」（以下、既存技法）論文の技術が代表的である。

該技術は、パーチクルからなる変形体の次の位置及び速度を近似するために、後退オイラー法を適用するが、二つのリニアシステムを順番に解くようにして、それらを近似する。

ここで、二つのリニアシステムの解は、それぞれコレスキー分解（ＣｈｏｌｅｓｋｙＦａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ）と、調整した共役残差（ＰｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄＣｏｎｊｕｇａｔｅＧｒａｄｉｅｎｔ）である。

既存技法は、超弾性モデルのうち最も単純な同行回転（Ｃｏｒｏｔａｔｅｄ）モデルを表現するのに最適化した技法であるため、ネオ・フッキアン（ｎｅｏ－Ｈｏｏｋｅａｎ）やサン－ブナン・キルヒホッフ（Ｓｔ．Ｖｅｎａｎｔ－Ｋｉｒｃｈｏｆｆ）などの、さらに精巧なモデルを適用した、ＳＰＨ基盤の変形体の動きをシミュレーションすることができない。
また、高い弾性係数や大きい時間間隔を使えば、シミュレーション結果が不安定になるという問題がある。

ＦａｓｔＣｏｒｏｔａｔｅｄＥｌａｓｔｉｃＳＰＨＳｏｌｉｄｓｗｉｔｈＩｍｐｌｉｃｉｔＺｅｒｏ－ＥｎｅｒｇｙＭｏｄｅＣｏｎｔｒｏｌ論文

本発明が解決しようとする課題は、複雑度は低めながら正確度を高めることができるＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーションのための方法及び装置を提供することである。

前述した技術的課題を解決するために、本発明の一実施形態によれば、ＳＰＨ（ＳｍｏｏｔｈｅｄＰａｒｔｉｃｌｅＨｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ）基盤の超弾性シミュレーション装置であって、プロセッサと、前記プロセッサに連結されるメモリを備えるが、前記メモリは、ｍ個のパーチクルで構成されるＳＰＨ基盤の変形体について、離散時間での前記ｍ個のパーチクルそれぞれの状態を、位置及び速度集合と定義し、前記ｍ個のパーチクルそれぞれの新たな状態を解くための目的関数を最適化するために、前記ｍ個のパーチクルそれぞれの超弾性エネルギーを、残りのポーズボリューム（ｒｅｓｔ－ｐｏｓｅｖｏｌｕｍｅ）、材料パラメータ、ベクトル化された変形勾配、及び前記ベクトル化された変形勾配の投映を用いて近似し、前記近似された超弾性エネルギーを用いてヘッセ行列（Ｈｅｓｓｉａｎｍａｔｒｉｘ）の初期近似を探索し、前記探索された初期近似に基づいて、前記ＳＰＨ基盤の変形体をシミュレーションするように、前記プロセッサによって実行されるプログラム命令語を保存したＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション装置が提供される。

前記変形勾配は、次の数学式で定義される。

前記超弾性エネルギーは、次の数式で定義される。
ここで、Ψは、弾性エネルギー密度関数を示し、前記変形体の弾性材料の類型によって変わる。
前記変形勾配は、ゼロエネルギーモードを通じて近似される。

前記新たな状態は、次の数式で表現される。
ここで、ｈは、時間段階サイズ、Ｍは、質量行列、ｆ_ｅｘｔは、外部力を示し、ｆ_ｉｎｔ（ｘ）は、ＳＰＨフレームワークの弾性力及びゼロエネルギーモード抑制力を含む内部力を示し、

前記内部力は、負の傾きで評価され、前記新たな状態は、次の数式で表現される。

前記目的関数の最適化問題は、次の数式で再公式化される。

前記プログラム命令語は、Ｌ－ＢＦＧＳ（Ｌｉｍｉｔｅｄ－ｍｅｍｏｒｙＢｒｏｙｄｅｎ－Ｆｌｅｔｃｈｅｒ－Ｇｏｌｄｆａｒｂ－Ｓｈａｎｎｏ）アルゴリズムを用いた繰り返し接近方式により、前記目的関数を最適化することができる。

本発明の他の側面によれば、プロセッサ及びメモリを備える装置において、ＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーションする方法であって、ｍ個のパーチクルで構成されるＳＰＨ基盤の変形体を生成するステップと、ｍ個のパーチクルで構成されるＳＰＨ基盤の変形体について、離散時間での前記ｍ個のパーチクルそれぞれの状態を、位置及び速度集合と定義するステップと、前記ｍ個のパーチクルそれぞれの新たな状態を解くための目的関数を最適化するために、前記ｍ個のパーチクルそれぞれの超弾性エネルギーを、残りのポーズボリューム（ｒｅｓｔ－ｐｏｓｅｖｏｌｕｍｅ）、材料パラメータ、ベクトル化された変形勾配、及び前記ベクトル化された変形勾配の投映を用いて近似するステップと、前記近似された超弾性エネルギーを用いてヘッセ行列（Ｈｅｓｓｉａｎｍａｔｒｉｘ）の初期近似を探索するステップと、前記探索された初期近似に基づいて、前記ＳＰＨ基盤の変形体をシミュレーションするステップと、を含むＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション方法が提供される。

本発明のさらに他の側面によれば、前記方法を行う、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に保存されているコンピュータプログラムが提供される。

本発明によれば、ネオ・フッキアン（ｎｅｏ－Ｈｏｏｋｅａｎ）やサン－ブナン・キルヒホッフ（Ｓｔ．Ｖｅｎａｎｔ－Ｋｉｒｃｈｏｆｆ）などの、さらに精巧なモデルを適用した、ＳＰＨ基盤の変形体の動きをシミュレーションすることができる。

また、本発明によれば、既存技法を最適化問題に確張し、これをＬ－ＢＦＧＳ（Ｌｉｍｉｔｅｄ－ＭｅｍｏｒｙＢＦＧＳ）で解いて、既存技法に比べて高い弾性係数や大きい時間ステップ（ｔｉｍｅｓｔｅｐ）を使っても、安定したシミュレーション結果を生成することができる。

本発明の望ましい一実施形態による、ＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション装置の構成を示す図面である。本実施形態による、Ａ０に基づいたＬ－ＢＦＧＳアルゴリズムを示す図面である。多様な弾性モデルでテストしたソルバの結果を示す図面である。本実施形態によるシミュレーション結果と、既存技法のシミュレーション結果を示す図面である。本実施形態によるＬ－ＢＦＧＳアルゴリズムを適用した結果と、既存のニュートン（Ｎｅｗｔｏｎ）法のシミュレーション結果を示す図面である。

本発明は、多様な変更を加えることができ、かつ様々な実施形態を持つことができるところ、特定の実施形態を図面に例示し、詳細な説明で詳細に説明する。しかし、これは、本発明を特定の実施形態によって限定しようとするものではなく、本発明の思想及び技術範囲に含まれるすべての変更、均等物ないし代替物を含むと理解されねばならない。

本明細書で使う用語は、単に特定の実施形態を説明するために使われるものであり、本発明を限定しようとする意図はない。単数の表現は文脈上明らかに表さない限り、複数の表現を含む。本明細書で、「含む」または「持つ」などの用語は、明細書上に記載された特徴、数字、段階、動作、構成要素、部品またはこれらを組み合わせたものが存在するということを指定するためのものであり、一つまたはそれ以上の他の特徴や数字、段階、動作、構成要素、部品またはこれらを組み合わせたものなどの存在または付加の可能性を予め排除しないと理解されねばならない。

また、各図面を参照して説明する実施形態の構成要素が、該実施形態のみに制限的に適用されるものではなく、本発明の技術的思想が維持される範囲内で他の実施形態に含まれるように具現され、また別途の説明が省略されるとしても、複数の実施形態が統合された一つの実施形態に再び具現されることもあるということは言うまでもない。

また、添付図面を参照して説明するに際して、図面符号にかかわらず同一の構成要素には同一のまたは関連する参照符号を与え、これについての重なる説明は省略する。本発明を説明するに際して、係る公知技術についての具体的な説明が本発明の趣旨を不要に不明にすると判断される場合、その詳細な説明を省略する。

図１は、本発明の望ましい一実施形態による、ＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション装置の構成を示す図面である。
図１に示されたように、ＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション装置は、プロセッサ１００及びメモリ１０２を備える。

プロセッサ１００は、コンピュータプログラムを実行するＣＰＵ（ｃｅｎｔｒａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｕｎｉｔ）やＧＰＵ（ｇｒａｐｈｉｃｓｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｕｎｉｔ）、その他に仮想マシンなどを含む。
メモリ１０２は、固定式ハードドライブや着脱自在の保存装置などの揮発性保存装置を含む。着脱自在の保存装置は、コンパクトフラッシュ（登録商標）ユニット、ＵＳＢメモリスティックなどを含む。メモリ１０２は、各種ランダムアクセスメモリなどの揮発性メモリを含んでもよい。

本実施形態によるメモリ１０２には、ｍ個のパーチクルで構成されるＳＰＨ基盤の変形体のシミュレーションのためのプログラム命令語が保存される。
これらのプログラム命令語は、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に保存される。

本実施形態によるプログラム命令語は、ｍ個のパーチクルで構成されるＳＰＨ基盤の変形体について、離散時間での前記ｍ個のパーチクルそれぞれの状態を、位置及び速度集合と定義し、前記ｍ個のパーチクルそれぞれの新たな状態を解くための目的関数を最適化するために、前記ｍ個のパーチクルそれぞれの超弾性エネルギーを、残りのポーズボリューム（ｒｅｓｔ－ｐｏｓｅｖｏｌｕｍｅ）、材料パラメータ、ベクトル化された変形勾配、及び前記ベクトル化された変形勾配の投映を用いて近似し、前記近似された超弾性エネルギーを用いてヘッセ行列（Ｈｅｓｓｉａｎｍａｔｒｉｘ）の初期近似を探索し、前記探索された初期近似に基づいて、前記ＳＰＨ基盤の変形体をシミュレーションする。

本実施形態によれば、Ｌ－ＢＦＧＳ（Ｌｉｍｉｔｅｄ－ｍｅｍｏｒｙＢｒｏｙｄｅｎ－Ｆｌｅｔｃｈｅｒ－Ｇｏｌｄｆａｒｂ－Ｓｈａｎｎｏ）アルゴリズムを用いた繰り返し接近方式により、前記目的関数を最適化する。

以下では、本実施形態によるＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション過程を詳細に説明する。
本実施形態によるＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーションは、変形勾配（ＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎＧｒａｄｉｅｎｔ）及びゼロエネルギーモード抑制（Ｚｅｒｏ－ＥｎｅｒｇｙＭｏｄｅＳｕｐｐｒｅｓｓｉｏｎ）に基づく。

以下では、これらについて詳細に説明する。
弾性エネルギーモデル（ｃｏｒｏｔａｔｅｄ、Ｎｅｏ－Ｈｏｏｋｅａｎ及びＳｔ．Ｖｅｎａｎｔ－Ｋｉｒｃｈｏｆｆなど）は、弾性を持つ変形体に広く使われる。

既存のＳＰＨ基盤の変形体についての変形勾配は、次のように表現される。

ここで、回転運動を正しくキャプチャすることが重要である。
で表示される超弾性エネルギーは、数式１で与えられた変形勾配を用いて定義される。
ここで、Ψは、弾性エネルギー密度関数を示し、変形体の弾性材料の類型によって変わる。
数式１に与えられた変形勾配近似の周知の問題が、ゼロエネルギーモードである。

次は、以前に提案されたゼロエネルギーモードを抑制する暗黙のペナルティ力（ｉｍｐｌｉｃｉｔｐｅｎａｌｔｙＦｏｒｃｅｓ）を示す。
数式５は、行列－ベクトル積形式で示すことができる。

以下では、最適化過程を詳細に説明する。
ｔｎの状態が与えられれば、陰的オイラー式（ｉｍｐｌｉｃｉｔＥｕｌｅｒｓｃｈｅｍｅ）は、次のようにｔ_ｎ＋１の次の状態を近似する。
ここで、ｈは、時間ステップサイズ、Ｍは、質量行列、ｆ_ｅｘｔは、外部力（例えば、重力）を示し、ｆ_ｉｎｔ（ｘ）は、ＳＰＨフレームワークの弾性力及びゼロエネルギーモード抑制力を含む内部力を示す。

数式８で新たな状態ｘｎ＋１を解くために、次の目的関数ｇ（ｘ）を最小化するｘｎ＋１を見つける最適化の問題で再公式化される。
表記を単純化するために、これからｘｎ＋１の代わりにｘを使う。
数式９で与えられた目的関数を最適化する問題は、ニュートン法などの繰り返しの接近方式を使って解決することができる。
ここで、添字は、繰り返し回数を示し、
である。

ニュートン法の早い収斂特性にもかかわらず、ソルバ（ｓｏｌｖｅｒ）の繰り返し当りヘッセ行列
を計算し、因数分解をせねばならないため、効率性が劣る。

本実施形態では、Ｌ－ＢＦＧＳ（Ｌｉｍｉｔｅｄ－ｍｅｍｏｒｙＢｒｏｙｄｅｎ－Ｆｌｅｔｃｈｅｒ－Ｇｏｌｄｆａｒｂ－Ｓｈａｎｎｏ）アルゴリズムを用いる。

以下、本実施形態についての行列の効果的な近似値を示し、実験で最適化に基づいた弾性ＳＰＨソリッド・ソルバの効率を示す。

以下では、ヘッセ行列の初期近似を説明する。
Ａ_０で表示するヘッセ行列の初期近似は、Ｌ－ＢＦＧＳの収斂速度に相当な影響を及ぼす。

本実施形態では、Ｂで表示する、所望の“定数近似”を、次のように定義する。
最後に、ヘッセ行列Ａ０の初期近似は、Ｂで完了する。

図２は、本実施形態による、Ａ_０に基づいたＬ－ＢＦＧＳアルゴリズムを示す図面である。
図３は、多様な弾性モデルでテストしたソルバの結果を示す図面である。

図３を参照すれば、左側の同行回転モデル（ｃｏｒｏｔａｔｅｄｍｏｄｅｌ）よりは、本実施形態によるモデルが、弾性ビームの捻れをさらによく表現するということが分かる。

図４は、本実施形態によるシミュレーション結果と、既存技法のシミュレーション結果を示す図面である。
図４の（ａ）のように、Ｌ－ＢＦＧＳを１回進行した場合、シミュレーションが多少不安定ではあるが、図４の（ｂ）のように、Ｌ－ＢＦＧＳの進行回数を２回に増加させれば、直ぐシミュレーションが安定するということが分かる。
図４の（ｃ）のように、既存技法でシミュレーションを進行した場合、不安定であり、図４の（ｄ）のように、既存技法でシミュレーションを安定させるためには、ｈのサイズを縮めねばならず、これは、複雑度が大きくなるという問題点がある。

図５は、本実施形態によるＬ－ＢＦＧＳアルゴリズムを適用した結果と、既存のニュートン法のシミュレーション結果を示すた図面であり、これを通じて、本実施形態によるＬ－ＢＦＧＳアルゴリズムを適用しても、既存のニュートン法とあまり差がないということが分かる。

前記本発明の実施形態は、例示の目的のために開示されたものであり、当業者ならば、本発明の思想及び範囲内で多様な修正、変更、付加が可能であり、これらの修正、変更及び付加は、下記の特許請求の範囲に属すると見なせねばならない。

１００プロセッサ
１０２メモリ

Claims

ＳＰＨ（ＳｍｏｏｔｈｅｄＰａｒｔｉｃｌｅＨｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ）基盤の超弾性シミュレーション装置であって、
プロセッサと、
前記プロセッサに連結されるメモリと、を備え、
前記メモリは、
ｍ個のパーチクルで構成されるＳＰＨ基盤の変形体について、離散時間での前記ｍ個のパーチクルそれぞれの状態を、位置及び速度集合と定義し、
前記ｍ個のパーチクルそれぞれの新たな状態を解くための目的関数を最適化するために、前記ｍ個のパーチクルそれぞれの超弾性エネルギーを、残りのポーズボリューム（ｒｅｓｔ－ｐｏｓｅｖｏｌｕｍｅ）、材料パラメータ、ベクトル化された変形勾配、及び前記ベクトル化された変形勾配の投映を用いて近似し、
近似された超弾性エネルギーを用いて、ヘッセ行列（Ｈｅｓｓｉａｎｍａｔｒｉｘ）の初期近似を探索し、
探索された前記初期近似に基づいて、前記ＳＰＨ基盤の変形体をシミュレーションするように、
前記プロセッサによって実行されるプログラム命令語を保存するが、
前記プログラム命令語は、
Ｌ－ＢＦＧＳ（Ｌｉｍｉｔｅｄ－ｍｅｍｏｒｙＢｒｏｙｄｅｎ－Ｆｌｅｔｃｈｅｒ－Ｇｏｌｄｆａｒｂ－Ｓｈａｎｎｏ）アルゴリズムを用いた繰り返し接近方式により、前記目的関数を最適化し、
前記ヘッセ行列は
であり、前記初期近似の探索により
を定数近似に変更し、
ここで、Ｘは、それぞれパーチクルの位置、ｈは、時間段階の大きさ、Ｍは、質量行列、Ｈは、ゼロエネルギーモードヘッセであり、
パーチクル当りの超弾性エネルギー
は、次のように近似され、
ここで、Ｖ_ｉは、ポーズボリューム（ｒｅｓｔ－ｐｏｓｅｖｏｌｕｍｅ）、
Ｗ_ｉは、ポアソン比（Ｐｏｉｓｓｏｎ’ｓｒａｔｉｏ）、ヤング率（Ｙｏｕｎｇ’ｓｍｏｄｕｌｕｓ）などの材料パラメータで構成され、ｖｅｃ（・）は、３×３行列を９×１ベクトルにベクトル化し、Ｚ_ｉは
を、
を満たすマニホールドに投映したものであり、
は、下記のように行列－ベクトル積形式で表現され、
前記定数近似は、次のように定義され、
ヘッセ行列Ａ_０の初期近似は、下記の数式のようにＢで完了する
、ことを特徴とするＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション装置。
前記変形勾配は、次の数学式で定義される、ことを特徴とする請求項１に記載のＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション装置。
前記超弾性エネルギーは、次の数学式で定義される、ことを特徴とする請求項２に記載のＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション装置。
ここで、Ψは、弾性エネルギー密度関数を示し、前記変形体の弾性材料の類型によって変わる。
前記新たな状態は、次の数式で表現される、ことを特徴とする請求項３に記載のＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション装置。
内部力は、負の傾きで評価され、前記新たな状態は、次の数式で表現される、ことを特徴とする請求項４に記載のＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション装置。
前記目的関数の最適化問題は、次の数式で再公式化される、ことを特徴とする請求項５に記載のＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション装置。
プロセッサ及びメモリを備える装置において、ＳＰＨ（ＳｍｏｏｔｈｅｄＰａｒｔｉｃｌｅＨｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ）基盤の超弾性シミュレーションする方法であって、
ｍ個のパーチクルで構成されるＳＰＨ基盤の変形体を生成するステップと、
前記ｍ個のパーチクルで構成されるＳＰＨ基盤の変形体について、離散時間での前記ｍ個のパーチクルそれぞれの状態を、位置及び速度集合と定義するステップと、
前記ｍ個のパーチクルそれぞれの新たな状態を解くための目的関数を最適化するために、前記ｍ個のパーチクルそれぞれの超弾性エネルギーを、残りのポーズボリューム（ｒｅｓｔ－ｐｏｓｅｖｏｌｕｍｅ）、材料パラメータ、ベクトル化された変形勾配、及び前記ベクトル化された変形勾配の投映を用いて近似するステップと、
近似された超弾性エネルギーを用いて、ヘッセ行列（Ｈｅｓｓｉａｎｍａｔｒｉｘ）の初期近似を探索するステップと、
探索された前記初期近似に基づいて、前記ＳＰＨ基盤の変形体をシミュレーションするステップと、を含み、
前記目的関数は、Ｌ－ＢＦＧＳ（Ｌｉｍｉｔｅｄ－ｍｅｍｏｒｙＢｒｏｙｄｅｎ－Ｆｌｅｔｃｈｅｒ－Ｇｏｌｄｆａｒｂ－Ｓｈａｎｎｏ）アルゴリズムを用いた繰り返し接近方式により最適化され、
前記ヘッセ行列は
であり、前記初期近似の探索により
を定数近似に変更し、
ここで、Ｘは、それぞれパーチクルの位置、ｈは、時間段階の大きさ、Ｍは、質量行列、Ｈは、ゼロエネルギーモードヘッセであり、
パーチクル当りの超弾性エネルギー
は、次のように近似され、
ここで、Ｖ_ｉは、ポーズボリューム（ｒｅｓｔ－ｐｏｓｅｖｏｌｕｍｅ）、Ｗ_ｉは、ポアソン比（Ｐｏｉｓｓｏｎ’ｓｒａｔｉｏ）、ヤング率（Ｙｏｕｎｇ’ｓｍｏｄｕｌｕｓ）などの材料パラメータで構成され、ｖｅｃ（・）は、３×３行列を９×１ベクトルにベクトル化し、Ｚ_ｉは
を、
を満たすマニホールドに投映したものであり、
は、下記のように行列－ベクトル積形式で表現され、
前記定数近似は、次のように定義され、
ヘッセ行列Ａ_０の初期近似は、下記の数式のようにＢで完了する、
ことを特徴とするＳＰＨ基盤の超弾性シミュレーション方法。
請求項７に記載の方法を行う、ことを特徴とするコンピュータで読み取り可能な記録媒体に保存されているコンピュータプログラム。