JP7396601B2 - 解析装置、解析方法及びプログラム - Google Patents
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Description
まず、本実施形態の理論的構成及びその応用例について説明する。本実施形態では、カーネル平均埋め込みを拡張し、線形作用素に値を持つ確率測度に内積・ノルム等の「近さ」の概念を与える。ただし、複数のランダム性の情報をできるだけ保った解析を行うために、内積の値は複素数値ではなく、線形作用素値とする。このために、RKHSを用いた既知のカーネル平均埋め込みの代わりに、RKHMを用いたカーネル平均埋め込みとする。
Xをデータ(ランダム性を持つデータ)の属する空間、Aをフォン・ノイマン環(von Neumann-algebra)とし、A値positive definite kernel k:X×X→Aを考える。ただし、写像k:X×X→AがA値positive definite kernelであるとは、以下の条件1及び条件2を満たすことをいう。なお、フォン・ノイマン間の具体例としては、例えば、線形作用素全体の集合や行列全体の集合等が挙げられる。
(条件2)mを任意の自然数として、任意のx0,x1,・・・,xm-1∈Xと任意のc0,c1,・・・,cm-1∈Aに対して、
ここで、positiveとはvon Neumann-algebraで正定値であることを意味し、全ての固有値が0以上であるエルミート行列(つまり、エルミート正定値)等の一般化である。
2.1 A値測度の間の距離
有限A値測度μ、νのA値距離を以下で定義する。
このとき、Φが単射であれば、例えば、||γ(μ,ν)||は距離の性質を完全に満たす。つまり、||γ(μ,ν)||=||γ(ν,μ)||、||γ(μ,ν)||=0ならばμ=ν、||γ(μ,ν)||≦||γ(μ,λ)||+||γ(λ,ν)||が任意の有限A値測度μ、ν、λに対して成立する。
A=Cm×mとする。Xに値を持つm個の確率変数X1,・・・,XmとY1,・・・,Ymを考える。PをX上の確率測度とし、μXを、(i,j)成分がXiとXjの共分散を表す測度(Xi,Xj)*PになるようなA値測度(又は、その測度を中心化したバージョン
量子力学において、Aを有界線形作用素全体の集合とする。量子の状態は線形作用素ρにより表され、その観測はA値測度μにより表されるため、量子の状態を表す線形作用素ρ1、ρ2、観測を表すA値測度μ1、μ2に対し、各状態の観測μ1ρ1とμ2ρ2の近さはΦ(μ1ρ1)とΦ(μ2ρ2)の内積により表すことができる。
A=Cm×mとする。複数のA値測度μ1,・・・,μnに対して、〈Φ(μi),Φ(μj)〉k∈Aを(i,j)ブロックに持つ行列をGとする。Gはエルミート正定値行列になるため、固有値λ1≧・・・≧λmn≧0と、これらの固有値にそれぞれ対応する正規直交な固有ベクトルv1,・・・,vmnとが存在する。第i主軸を
機械学習や統計のRKHSにおけるカーネル平均埋め込みを用いる既存の方法は、RKHSにおける確率測度のカーネル平均埋め込みを、上記の例1で記載した共分散を表す測度のRKHMにおけるカーネル平均埋め込みに一般化することで、依存し合う複数の要素を持つデータに対して適用可能となる。例えば、以下のような例が挙げられる。
次に、本実施形態に係る解析装置10のハードウェア構成について、図1を参照しながら説明する。図1は、本実施形態に係る解析装置10のハードウェア構成の一例を示す図である。
次に、本実施形態に係る解析装置10の機能構成について、図2を参照しながら説明する。図2は、本実施形態に係る解析装置10の機能構成の一例を示す図である。
次に、本実施形態に係る解析装置10が実行するデータ解析処理の流れについて、図3を参照しながら説明する。図3は、本実施形態に係るデータ解析処理の一例を示すフローチャートである。
最後に、上記の「2.1 A値測度の間の距離」に記載した例1及び例2に対して、本実施形態に係る解析装置10を適用した場合の実験結果について説明する。
X=R、Ω=R5とし、Ω上の、Xに値を持つ以下の式(4)~(6)のような確率変数からデータを作成した。
上記の式(4)で定義される[X1,X2,X3]に従う独立なデータと、上記の式(5)で定義される[Y1,Y2,Y3]に従う独立なデータとをそれぞれ用意し、上記の参考文献1に記載されているtwo-sample testを行った。なお、two-sample testは2種類のサンプルが同じ確率分布に従うかどうかを判定するテストである。
・Case2:[X1,X2,X3]に従う独立なデータ10個と[Y1,Y2,Y3]に従う独立なデータ10個
上記の例2において、m=2、s=4とする。また、
11 入力装置
12 表示装置
13 外部I/F
13a 記録媒体
14 通信I/F
15 プロセッサ
16 メモリ装置
17 バス
101 取得部
102 解析部
103 記憶部
Claims (6)
- ランダム性を持つ複数のデータのデータ集合を取得する取得部と、
前記データ集合上の確率測度μ及びνであって、フォン・ノイマン環に値を持つ確率測度μ及びνを、カーネル平均埋め込みを拡張した写像ΦによってRKHM上にそれぞれ写像したΦ(μ)及びΦ(ν)の内積又はノルムを、前記確率測度μ及びνの内積又はノルムとして計算する解析部と、
を有することを特徴とする解析装置。 - 前記確率測度はランダム性を持つ複数のデータ間の共分散を表す測度を各成分とする行列、前記フォン・ノイマン環はm×mの複素数値行列全体の集合であり、
前記解析部は、
前記データ集合上に値を持つm個の確率変数をそれぞれX1,・・・,Xm及びY1,・・・,Ym、XiとXjの共分散を表す測度を(i,j)成分とする確率測度をμ=μX、YiとYjの共分散を表す測度を(i,j)成分とする確率測度をν=μYとして、前記確率変数X1,・・・,Xmから得られたデータと前記確率変数Y1,・・・,Ymから得られたデータとを用いて、Φ(μX)及びΦ(μY)の内積を、m×mの複素数値行列を値に持つ正定値カーネルにより近似計算する、ことを特徴とする請求項1に記載の解析装置。 - 前記確率測度は量子力学において量子の状態を表す測度、前記フォン・ノイマン環はm×mの複素数値行列全体の集合であり、
前記解析部は、
前記量子の観測を表す前記フォン・ノイマン環上の測度をμ'、前記量子の状態をρ1及びρ2、前記確率測度をμ=ρ1μ'、ν=ρ2μ'として、前記データ集合に含まれるデータを用いて、Φ(ρ1μ')及びΦ(ρ2μ')の内積を、m×mの複素数値行列を値に持つ正定値カーネルにより計算する、ことを特徴とする請求項1に記載の解析装置。 - 前記解析部は、
前記内積又はノルムの計算結果を用いて、前記データ集合の次元削減、前記確率測度の可視化、又は前記確率測度に対する異常検知を行う、ことを特徴とする請求項1又は2に記載の解析装置。 - ランダム性を持つ複数のデータのデータ集合を取得する取得手順と、
前記データ集合上の確率測度μ及びνであって、フォン・ノイマン環に値を持つ確率測度μ及びνを、カーネル平均埋め込みを拡張した写像ΦによってRKHM上にそれぞれ写像したΦ(μ)及びΦ(ν)の内積又はノルムを、前記確率測度μ及びνの内積又はノルムとして計算する解析手順と、
をコンピュータが実行することを特徴とする解析方法。 - コンピュータを、請求項1乃至4の何れか一項に記載の解析装置として機能させるプログラム。
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