JP7181988B2 - 情報処理システム、情報処理方法およびプログラム - Google Patents

Description

本発明の実施形態は、情報処理システム、情報処理方法およびプログラムに関する。

近年、量子アニーリング現象を使ったコンピュータや、量子アニーリング現象をエミュレートするコンピュータの開発が進められている。例えば、特許文献１は二次の最適化問題を解く方法を開示している。これらのコンピュータによって組み合わせ最適化問題を高速に解くことが期待されている。上述のコンピュータの利用時には、事前に問題をイジングモデルに変換しなくてはならないことがある。

しかし、ハミルトン路問題のグラフをイジングモデルに変換すると、計算に必要なスピン数が大きくなりすぎてしまう。非特許文献１の方法を使うと、イジングモデルへの変換後に、グラフのノード数の二乗のスピン数が必要となってしまう。必要な計算資源を抑えつつ、高速にハミルトン路問題を解く技術の開発が求められている。

国際公開第２０１７／１９９７５３号

Ａｎｄｒｅｗ Ｌｕｃａｓ，"Ｉｓｉｎｇ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍａｎｙ ＮＰ ｐｒｏｂｌｅｍｓ"，［ｏｎｌｉｎｅ］ １２ Ｆｅｂｒｕａｒｙ ２０１４, ｆｒｏｎｔｉｅｒｓ ｉｎ ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｗｅｂ，ＵＲＬ:https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fphy.2014.00005/full

本発明の実施形態は、必要な計算資源を抑えつつ、高速にハミルトン路問題を解く情報処理システム、情報処理方法およびプログラムを提供する。

本発明の実施形態としての情報処理システムは、ハミルトン路問題のグラフにおいて、ノードごとに、前記ノードに連結されたエッジのグループである、エッジグループを生成し、前記エッジグループごとに、前記エッジグループに含まれる前記エッジが経路として選択されたか否かを示す二値変数を生成し、さらに前記二値変数をスピンとする、イジングモデルを生成する、第１コンピュータと、前記イジングモデルの解を計算する、第２コンピュータとを備える。前記第１コンピュータは、前記第２コンピュータが計算した前記イジングモデルの解に基づき、前記ハミルトン路問題の解を求める。

第１の実施形態に係る情報処理システムの構成例を示したブロック図。 無向のハミルトン閉路問題の例を示した図。 イジングモデルへの変換処理の例を示したフローチャート。 エッジのグループの例を示したテーブル。 擬似解の例を示した図。 イジングマシンの解を検証する処理の例を示したフローチャート。 イジングマシンの解を検証する処理の例を示したフローチャート。 経路として選択されたエッジの例を示したテーブル。 情報処理システムが実行する全体の処理の例を示したフローチャート。 有向のハミルトン閉路問題の例を示した図。 イジングモデルへの変換処理の例を示したフローチャート。 エッジのグループの例を示したテーブル。 イジングマシンの解を検証する処理の例を示したフローチャート。 イジングマシンの解を検証する処理の例を示したフローチャート。 経路として選択されたエッジの例を示したテーブル。 第３の実施形態に係る情報処理システムの構成例を示したブロック図。 第４の実施形態に係る情報処理システムの構成例を示したブロック図。 コンピュータの構成例を示したブロック図。

以下、図面を参照しながら、本発明の実施形態について説明する。また、図面において同一の構成要素は、同じ番号を付し、説明は、適宜省略する。

（第１の実施形態）
はじめに、第１の実施形態に係る情報処理システムの概要について説明する。第１の実施形態に係る情報処理システムは、ハミルトン路問題をイジングモデルに変換し、ハミルトン路問題の解を求める。ハミルトン路問題とは、任意のグラフについて、すべてのノードを一度だけ通る経路を求める問題のことをいう。ハミルトン路問題において、経路の始点のノードと経路の終点のノードが異なるノードであってもよい。したがって、ハミルトン路問題の経路は、閉路であるとは限らない。

一方、任意のグラフについて、すべてのノードを一度だけ通る閉路を求める問題を、ハミルトン閉路問題という。ハミルトン閉路問題は、ハミルトン路問題に始点のノードと終点のノードが同一ノードであるという条件を付加したものであるといえる。ハミルトン路問題およびハミルトン閉路問題が適用されるグラフは、複数のノードと、２つのノード間（ノードのペア）を連結するエッジとを含む。なお、すべてのノードのペアについてエッジが存在していなくてもよい。ハミルトン路問題およびハミルトン閉路問題では、ノード間のエッジ数を減らすことによって、問題を緩和し、求解を容易にすることが可能である。

第１の実施形態では、情報処理システムを使ってハミルトン閉路問題を解く場合を例に説明する。ただし、情報処理システムを使って経路の始点のノードと経路の終点のノードとが異なるハミルトン路問題を解くことを妨げるものではない。経路の始点のノードと経路の終点のノードとが異なるハミルトン路問題を解く場合については、後述する。

イジングモデルでは、エネルギーの関数が＋１または－１のいずれかの２値をとる複数の変数ｓ_ｉ（ｉ＝１、２、・・・）の二次多項式によって表現される。ここで、エネルギーの関数はハミルトニアンとよばれる。ハミルトニアンは組み合わせ最適化問題における目的関数に相当する。また、変数ｓ_ｉは二値変数またはスピンともよばれる。イジングモデルの最適解は、エネルギーが最小となる変数の値の組み合わせ（ベクトル）となる。イジングモデルのパラメータは二値変数であるため、組み合わせ最適化問題で使われる離散変数との変換が容易である。例えば、２進数の０および１をそれぞれ＋１または－１のいずれかに対応付けることができる。イジングモデルの詳細については後述する。

各変数ｓ_ｉにグラフのノードｖと、経路上の順序ｗの組み合わせを対応付け、ハミルトン閉路問題を解いた場合、Ｎ^２個の変数ｓ_ｉが必要となる。ハミルトン閉路問題の規模が大きくなると、ノード数ｖ_ｍａｘが増える。したがって、このような定式化を行った場合、問題を解くのに必要な変数ｓ_ｉの数が大幅に増大してしまう。

ハミルトン閉路問題を解くのに必要なスピンの数が増えてしまうと、現実の問題を取り扱うことが可能なスピン数のイジングマシンが用意できなくなったり、イジングマシンのコストが非常に高くなったりするおそれがある。ここで、イジングマシンとはイジングモデルを解くコンピュータのことをいう。例えば、超伝導量子ビットを使った量子アニーリングマシンや、ゲート方式の量子コンピュータでは、ハードウェア上の制約によって、取扱い可能なスピン数に上限が存在する場合がある。また、ノイマン型コンピュータを使った場合、必要なコンピュータの台数が増えてしまう。また、一般に、問題を解くのに必要なスピン数が多くなるほど、計算にかかる時間も長くなってしまう。

したがって、現実のハミルトン閉路問題を高速に解くためには、コンピュータで使う必要のあるスピンの数を抑えるのが好ましい。そこで、本実施形態に係る情報処理システムでは、必要なスピン数をグラフのエッジ数と等しくなるように、ハミルトン閉路問題のグラフをイジングモデルに変換する。そして、イジングモデルをイジングマシンによって解く。解は所定の条件を満たす必要がある。イジングマシンは当該条件を満たす解が得られるまで、求解処理を繰り返す。ここで、所定の条件とは、解が最適解であることであってもよいし、その他の条件であってもよい。また、所定の条件は、前者と後者の組み合わせであってもよい。

ノード数をＮとすると、グラフのエッジ数の上限はＮ（Ｎ－１）／２となる。したがって、各変数ｓ_ｉにグラフのノードｖと、経路上の順序ｗの組み合わせを対応付けた場合と比べ、必要なスピン数を半分未満にすることができる。エッジ数が多いグラフにおけるハミルトン閉路を探索するのは比較的容易であることが知られている。現実には、Ｎ（Ｎ－１）／２より少ないエッジ数のグラフにおけるハミルトン閉路の探索が行われることが多い。このため、現実に扱われる問題では、必要なスピン数がＮ（Ｎ－１）／２より少なくなる。

必要なスピン数が抑えられるため、イジングマシンを使ってより規模の大きい問題を解くことが可能となる。また、スピン数の抑制により、計算時間の短縮をはかることもできる。すなわち、本実施形態に係る情報処理システムでは、必要な計算資源を抑えつつ、高速にハミルトン路問題を解くことができる。

以下では、第１の実施形態に係る情報処理システムの構成例について説明する。

図１は、第１の実施形態に係る情報処理システムの構成例を示した図である。図１のシステムは情報処理装置１と、イジングマシン１０とを備えている。情報処理装置１は、プロセッサと記憶装置を備えたコンピュータ（第１コンピュータ）である。情報処理装置１の各構成要素の詳細については、後述する。イジングマシン１０は、イジングモデルを解くコンピュータ（第２コンピュータ）である。情報処理装置１と、イジングマシン１０はネットワーク２０を介して接続されている。これにより、情報処理装置１とイジングマシン１０との間におけるデータ通信が可能となる。ネットワーク２０の例としては、ＴＣＰ／ＩＰによる通信ネットワークが挙げられるが、使われるインタフェースと通信規格の種類については特に問わない。

イジングマシン１０の種類については特に問わない。例えば、イジングマシン１０は、量子アニーリングマシンであってもよい。また、イジングマシン１０は、量子ゲート方式の量子コンピュータであってもよい。イジングマシン１０は、ノイマン型コンピュータ上でイジングモデルを解くプログラムを実行するものであってもよい。例えば、Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ Ａｎｎｅａｌｉｎｇ法を実行するプログラムを使うことができる。

さらに、イジングマシン１０は、ノイマン型コンピュータにイジングモデルの求解処理の少なくとも一部を実行するハードウェア回路を組み合わせたものであってもよい。ハードウェア回路の例としては、ＦＰＧＡやＡＳＩＣなどが挙げられるが、回路の種類については限定しない。複数のノイマン型コンピュータを使ってイジングマシン１０を実現してもよい。また、イジングマシン１０は、上述のコンピュータの組み合わせであってもよいし、その他の構成のコンピュータであってもよい。

イジングモデルは、主に強磁性体や相転移現象のモデルとして使われてきた。しかし、近年は組み合わせ最適化問題を解くためのモデルとしての利用が増えている。以下では、イジングモデルの概略について説明する。下記の式（１）は、イジングモデルのハミルトニアンＨを示している。ハミルトニアンＨはイジングモデルのエネルギーである。また、ハミルトニアンＨは最適化問題における目的関数に相当する。

ここで、Ｊ_ｉｊは、スピン間の相互作用係数の行列である。ｓ_ｉ、ｓ_ｊは二値変数（スピン）であり、＋１または－１のいずれかの値をとる。ｈ_ｉは各スピンにおける局所磁場のベクトルである。

イジングマシン１０の演算部１２は、イジングモデルの解を求める。演算部１２は、ハミルトニアンＨの値が可能な限り小さくなるパラメータのベクトル（ｓ_１、ｓ_２、・・・、ｓ_Ｎ）を求める。演算部１２によって求められたイジングモデルの解は、上述のパラメータのベクトル（ｓ_１、ｓ_２、・・・、ｓ_Ｎ）となる。演算部１２によって求められる解は、ハミルトニアンＨの値が最小値となる解（最適解）であることが期待される。ただし、演算部１２によって求められる解は必ず最適解でなくてもよい。例えば、複数回の求解処理を実行して最適解を求めてもよい。また、複数の演算部１２を使って並列的に求解処理を実行し、最適解を求めてもよい。

イジングマシン１０の制御部１１は、イジングマシン１０の各構成要素の制御を行う。例えば、イジングマシン１０の制御部１１は、情報処理装置１の制御部４から送信された制御信号を、ネットワーク２０を経由して受信する。イジングマシン１０の制御部１１は、当該制御信号に基づき、演算部１２を制御する。また、イジングマシン１０の制御部１１は演算部１２によって求められたイジングモデルの解を情報処理装置１に転送する。

イジングマシンの記憶部１３は、イジングマシンの動作に必要なデータを含む各種のデータを保存可能な記憶領域を提供する。例えば、イジングマシン１０の制御部１１は、記憶部１３をイジングモデルのデータや、イジングモデルの解が一時的に保存されるバッファとして使ってもよい。また、記憶部１３には、プログラムや、制御用のデータが保存されていてもよい。

記憶部１３は、例えばＳＲＡＭ、ＤＲＡＭなどの揮発性メモリであってもよいし、ＮＡＮＤ、ＭＲＡＭ、ＦＲＡＭなどの不揮発性メモリでもよい。またハードディスク、ＳＳＤなどのストレージ装置や、外部の記憶装置であってもよい。すなわち、記憶部１３の種類については特に問わない。また、記憶部１３は複数の種類のメモリやストレージの組み合わせであってもよい。なお、イジングマシン１０は必ず記憶部１３を備えていなくてもよい。

次に、情報処理装置１の各構成要素について説明する。情報処理装置１は、入力部２と、変換部３と、制御部４と、記憶部５と、検証部６と、出力部７とを備えている。

入力部２を介して、ハミルトン閉路問題が情報処理装置１に入力される。ハミルトン閉路問題が情報処理装置１に入力される方法については特に問わない。例えば、入力部２は、キーボード、マウス、タッチパネルなどの入力装置であってもよい。この場合、ユーザが入力装置を使ってハミルトン閉路問題を入力することができる。また、入力部２は、他の情報処理装置とデータ通信が可能な通信回路であってもよい。この場合、通信回路は他の情報処理装置からはハミルトン閉路問題のデータをダウンロードすることができる。入力部２より入力されたハミルトン閉路問題のデータは、記憶部５に保存される。ハミルトン閉路問題のデータの例については、以下の図２で説明する。

図２は、無向のハミルトン閉路問題の例を示している。図２のグラフ２１は、無向グラフである。グラフ２１は、ノードＮ１～Ｎ６と、エッジＥ１～Ｅ９とを含む。図２の例では、ノード数がＮ＝６、エッジ数がＭ＝９となっている。図２におけるＮとＭの値は例であり、グラフのノード数とエッジ数はこれとは異なっていてもよい。図２のテーブル２２はグラフ２１の各エッジが連結しているノードのペアを格納している。テーブル２２には、エッジ数Ｍに等しい数のエントリが存在している。例えば、エッジＥ１はノードＮ１とノードＮ２のペアを連結している。テーブル２２には、その他のエッジが連結しているノードのペアの情報も格納されている。

変換部３は、ハミルトン閉路問題のグラフをイジングモデルに変換する。図３は、イジングモデルへの変換処理の例を示したフローチャートである。ここでは、図３を参照しながら、変換部３が実行する処理の例を説明する。

まず、変換部３はグラフのノードごとに、当該ノードと連結されているエッジのグループを生成する（ステップＳ１０１）。そして、変換部３は、生成したエッジのグループをエッジグループとして、記憶部５に保存する（ステップＳ１０２）。図４のテーブル２３は、図２のグラフについて、エッジグループを生成した例である。テーブル２３には、ノード数Ｎに等しい数のエントリが存在している。例えば、グループＧ１は、ノードＮ１と連結されているエッジＥ１、Ｅ３、Ｅ７を含んでいる。グループＧ２は、ノードＮ２と連結されているエッジＥ１、Ｅ２、Ｅ４、Ｅ７を含んでいる。すなわち、エッジグループは、グラフの各ノードと連結されているエッジのリストであるといえる。

次に、変換部３は、イジングモデルのハミルトニアン（エネルギー）の式を下記の式（２）に設定する（ステップＳ１０３）。

ここで、ｇは各エッジグループ、Ｇはエッジグループのテーブルに含まれるエッジグループの集合、ｓ_ｉはスピン（二値変数）である。

上述のように、本実施形態に係る情報処理システムでは、グラフの各エッジがスピンに対応付けられる。エッジが経路に選択されている場合、当該エッジに対応するスピンはｓ_ｉ＝＋１となる。一方、エッジが経路に選択されていない場合、当該エッジに対応するスピンはｓ_ｉ＝－１となる。各ノード間の経路がハミルトン閉路を形成する場合、ハミルトン閉路を構成するエッジはｓ_ｉ＝＋１のスピンに対応し、ハミルトン閉路を構成していないエッジはｓ_ｉ＝－１のスピンに対応しているともいえる。

式（２）を参照すると、ひとつのエッジグループにおいて、経路として選択されているエッジが２本（＋１のスピンが２つ）存在すると、当該エッジグループに対応する項の値が最小値（２－２／２－２／２＝０）となることがわかる。これは、グラフにおいて、あるノードに連結されているエッジのうち、２本のエッジが経路として選択されている状態に対応する。なお、エッジグループに対応する項の値は、当該エッジグループにおける、経路として選択されていないエッジの本数（－１のスピンの数）には依存しない。

グラフの各ノードに連結されているエッジのうち、２本のエッジが経路として選択されているという条件は、式（２）において、各エッジグループに含まれるエッジに対応するスピンのうち、２つのスピンが＋１である場合に対応する。このとき、式（２）のエネルギーはＨ＝０となり、最小値をとる。すなわち、上述の対応関係より、イジングマシンから出力された解において、エネルギーがＨ＝０であれば、エッジ上の経路が各ノードを連結するハミルトン閉路を形成している可能性があるといえる。なお、エネルギーがＨ＝０であることは、イジングマシンの解がハミルトン閉路を形成するための必要条件であるが、十分条件ではない。この理由については後述する。

変換部３は、変換処理により生成したイジングモデルのデータを、記憶部５に保存してもよい。また、変換部３は、変換処理により生成したイジングモデルのデータを、制御部４に転送してもよい。

制御部４は、イジングモデルの解を求めるために、イジングマシン１０を制御する。例えば、制御部４は、イジングマシン１０にイジングモデルのデータをイジングマシン１０に転送する。そして、制御部４は、イジングマシン１０に当該イジングモデルの解の計算を求める指令を送信する。すなわち、制御部４は、ネットワーク２０を介してイジングマシン１０に各種の制御信号を送信することができる。また、制御部４は、イジングマシン１０より、計算されたイジングモデルの解を受信する。制御部４は、受信したイジングモデルの解を記憶部５に保存してもよい。また、制御部４は、受信したイジングモデルの解を検証部６に転送してもよい。

記憶部５は、ハミルトン閉路問題のグラフに係るデータ、グラフのイジングモデルへの変換に必要なデータ、イジングモデルの解の検証に必要なデータ、情報処理装置１で動作するプログラムのデータなど、各種のデータを保存可能な記憶領域を提供する。記憶部５は、例えばＳＲＡＭ、ＤＲＡＭなどの揮発性メモリであってもよいし、ＮＡＮＤ、ＭＲＡＭ、ＦＲＡＭなどの不揮発性メモリでもよい。またハードディスク、ＳＳＤなどのストレージ装置や、外部の記憶装置であってもよい。すなわち、記憶部５の種類については特に限定しない。また、記憶部５は複数の種類のメモリやストレージの組み合わせであってもよい。

検証部６は、イジングマシン１０で計算された解が、ハミルトン閉路問題の解となっているか否かを検証する。例えば、イジングマシン１０の仕様や種類によっては、必ず計算された解のエネルギーがＨ＝０とはならないことがある。Ｈが０でない場合、計算された解に対応する経路がグラフ上でハミルトン閉路を形成しない。したがって、検証部６はイジングマシン１０で計算された解がハミルトン閉路問題の解になっていないと判定する。

ただし、解のエネルギーがＨ＝０となるイジング問題の最適解が得られたとしてもその解に対応する経路がグラフ上でハミルトン閉路を形成しているとは限らない。例えば、計算された解に対応する経路が図２のグラフ２１において、エッジＥ１、Ｅ４、Ｅ７を含む閉路と、エッジＥ５、Ｅ９、Ｅ６を含む閉路を形成しているものとする。この場合、グラフ２１の全ノードについて、ノードに連結されているエッジのうち、２本のエッジが経路として選択されているため、式（２）のエネルギーはＨ＝０となる。しかし、このような経路はハミルトン閉路の条件を満たしていない。そこで、検証部６はイジングマシン１０で計算された解に対応する経路が、グラフ上で複数の閉路を形成している場合、解がハミルトン閉路問題の解となっていないと判定する。グラフ上で複数の閉路を形成する解を擬似解とよぶ。図５は、擬似解の一例を示している。

図６と図７は、イジングマシンの解を検証する処理の例を示したフローチャートである。以下では、図６と図７を参照しながら、処理を説明する。

はじめに、検証部６は、イジングマシン１０で計算された解のエネルギーがＨ＝０であるか否かを判定する（ステップＳ２０１）。解のエネルギーＨが０ではない場合（ステップＳ２０１のＮＯ）、検証部６はイジングマシンの解はグラフ上でハミルトン閉路を形成しないと判定する（ステップＳ２１４）。

解のエネルギーがＨ＝０である場合（ステップＳ２０１のＹＥＳ）、検証部６はイジングマシンの解（ｓ_１、ｓ_２、・・・、ｓ_Ｍ）を参照する（ステップＳ２０２）。そして、検証部６はイジングマシンの解より、ｓ_ｉ＝＋１となる番号ｉのエッジのリストを抽出する（ステップＳ２０３）。ステップＳ２０３は、経路として選択されているエッジを抽出する処理に相当する。図８のテーブル２４は、ステップＳ２０３で抽出されたエッジのリストの例を示している。テーブル２４の第１列は、経路として選択されたエッジを示している。一方、第２列は当該エッジが連結しているノードのペアを示している。以降では、ステップＳ２０３で生成されるテーブルを経路テーブルとよぶことにする。テーブル２４は経路テーブルの一例である。

次に、検証部６は経路テーブルにおけるいずれかのノードを初期ノードＩＮに設定する（ステップＳ２０４）。そして、検証部６は経路上で初期ノードＩＮと隣接しているいずれかのエッジをエッジＥＤに設定する（ステップＳ２０５）。例えば、テーブル２４において、ノードＮ５が初期ノードＩＮとして選択された場合、エッジＥ４またはＥ７がエッジＥＤに設定される。

次に、検証部６はＩＮを変数ＮＤに代入し、０を変数ＣＮＴに代入する（ステップＳ２０６）。そして、検証部６は経路上でノードＮＤと隣接しているエッジのうち、エッジＥＤでない方のエッジをＥＯとする（ステップＳ２０７）。次に、検証部６は経路上でエッジＥＯと隣接しているノードのうち、ノードＮＤでない方のノードをＮＴとする（ステップＳ２０８）。

そして、検証部６は変数ＮＤにＮＴを代入する。また、検証部６はエッジＥＯをエッジＥＤに設定する。さらに検証部６は変数ＣＮＴの値に１をインクリメントする。（以上、ステップＳ２０９）次に、検証部６は変数ＣＮＴの値がグラフのノード数に等しいか否かを判定する（ステップＳ２１０）。ステップＳ２１０の判定において、検証部６は、グラフのすべてのノードをトレースされたか否かの確認を行っている。

変数ＣＮＴの値がグラフのノード数とは異なる場合（ステップＳ２１０のＮＯ）、検証部６は変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードになっているか否かを確認する（ステップＳ２１３）。変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードではない場合（ステップＳ２１３のＮＯ）、検証部６はステップＳ２０７～Ｓ２０９の処理を繰り返した後、再びステップＳ２１０の判定を行う。変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードである場合（ステップＳ２１３のＹＥＳ）、検証部６はイジングマシンの解がハミルトン閉路を形成しないと判定する（ステップＳ２１４）。

変数ＣＮＴの値がグラフのノード数に等しい場合（ステップＳ２１０のＹＥＳ）、検証部６は変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードになっているか否かを確認する（ステップＳ２１１）。変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードである場合（ステップＳ２１１のＹＥＳ）、検証部６はイジングマシンの解がハミルトン閉路を形成していると判定する（ステップＳ２１２）。変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードでない場合（ステップＳ２１１のＮＯ）、検証部６はイジングマシンの解がハミルトン閉路を形成していないと判定する（ステップＳ２１４）。

イジングマシンの解がハミルトン閉路を形成しているか否かの判定が行われたら（ステップＳ２１２またはステップＳ２１４）、図６と図７の処理は終了する。検証部６は、イジングマシンの解がハミルトン閉路を形成しているか否かを示す情報を記憶部５に保存してもよい。また、検証部６は検証処理の結果をユーザに通知してもよい。なお、図６と図７に示した処理は、イジングマシンの解の検証処理の一例にしかすぎない。したがって、これとは異なる処理によってイジングマシンの解がハミルトン閉路を形成しているか否かを判定してもよい。

出力部７は、求められたハミルトン閉路問題の解を出力する。出力部７によるデータの出力形式は特に問わない。例えば、出力部７はディスプレイにハミルトン閉路問題の解を表示してもよい。また、出力部７はプリンタを使ってハミルトン閉路問題の解を紙に印刷してもよい。出力部７は、外部の記憶装置にハミルトン閉路問題の解のデータを保存してもよい。出力部７は、通信回路を使って外部の情報処理装置にハミルトン閉路問題の解のデータを送信してもよい。

情報処理装置１の入力部２、変換部３、制御部４、検証部６、出力部７、ならびにイジングマシン１０の制御部１１を、例えばＣＰＵなどのプロセッサ、ＡＳＩＣ、ＦＰＧＡ、ＣＰＬＤなどのハードウェア回路で実装してもよい。また、上述の各構成要素をＯＳ（Ｏｐｅｒａｔｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍ）やアプリケーションなどのプログラムまたはハードウェアとプログラムの組み合わせによって実装してもよい。なお、イジングマシン１０の演算部１２の構成については特に問わない。例えば、演算部１２は各種のハードウェア回路によって実装されていてもよいし、各種のプログラムによって実装されていてもよい。上述のように、イジングマシン１０の演算部１２の構成は、イジングマシンの種類によって異なる。

図９は、情報処理システムが実行する全体の処理の例を示したフローチャートである。以下では、図９を参照しながら処理を説明する。

はじめに、ハミルトン閉路問題が情報処理装置１の入力部２を介してシステムに入力される（ステップＳ１１１）。入力部２の説明で述べたように、ハミルトン閉路問題がシステムに入力される方法については特に問わない。そして、情報処理装置１の変換部３は、ハミルトン閉路問題をイジングモデルに変換する（ステップＳ１１２）。ステップＳ１１２で実行される変換処理の詳細は、変換部と図３、図４の説明で述べた通りである。情報処理装置１の制御部４はイジングモデルのデータをイジングマシン１０に転送し、イジングマシン１０に求解処理の開始指令を送信する。そして、イジングマシン１０を使ってイジングモデルの解を計算する（ステップＳ１１３）。

イジングマシン１０によってイジングモデルの解が求められたら、イジングモデルの解は情報処理装置１に転送される。情報処理装置１の検証部６は、イジングモデルの解がハミルトン閉路を形成しているか否かを検証する（ステップＳ１１４）。ステップＳ１１４で実行される検証処理の詳細は、検証部６と図５～図８の説明で述べた通りである。

情報処理装置１の検証部６によってイジングモデルの解がハミルトン閉路を形成しないと判定された場合（ステップＳ１１４のＮＯ）、情報処理装置１の制御部４はイジングマシン１０に再び求解処理の開始指令を送信する。そして、イジングマシン１０は再びイジングモデルの解を計算する（ステップＳ１１３）。

同じイジングモデルを使っていても、試行によってイジングマシン１０から異なる解が出力されることが期待される。試行によって異なる解が出力される要因はイジングマシン１０の種類によって異なる。例えば、量子アニーリングマシンやゲート方式の量子コンピュータでは、量子ビットにおける重ね合わせ状態のうち、いずれかの状態が量子論的な確率で観測されるため、試行によって異なる解が出力される。また、ノイマン型コンピュータや、ハードウェア回路を使ったコンピュータの場合には、求解処理中で使われる擬似乱数の効果のため、試行によって異なる解が出力される可能性がある。

このため、複数回の試行（イジングマシン１０による求解処理）によって、ハミルトン閉路を形成する解が求められる確率が大きくなる。処理の高速なイジングマシンを使い、時間当たりに実行される試行の回数を増やしてもよい。なお、図９のフローチャートでは、特に試行回数に上限を設けていないが、試行回数に上限を設けてもよい。例えば、所定の時間内に試行を繰り返しても、ハミルトン閉路を形成する解が得られない場合、処理を停止してもよい。また、試行回数をカウントし、カウントされた値がしきい値を超えたら、処理を停止してもよい。

情報処理装置１の検証部６によってイジングモデルの解がハミルトン閉路を形成すると判定された場合（ステップＳ１１４のＹＥＳ）、システムは求められた解を結果として出力する（ステップＳ１１５）。ステップＳ１１５で実行される処理の詳細は出力部７の説明で述べた通りである。

第１の実施形態に係る情報処理システムでは、計算に必要なスピン数が抑えられている。このため、必要な計算資源を抑えつつ、高速にハミルトン路問題を解くことが可能である。

（第２の実施形態）
第１の実施形態では、無向グラフのハミルトン閉路問題の解を求める場合を例に説明した。ただし、本実施形態に係る情報処理システムを使って有向グラフのハミルトン閉路問題の解を求めてもよい。第２の実施形態の求解処理では、有向グラフのハミルトン閉路問題の解を求める。実行される処理の違いを除けば、第２の実施形態に係る情報処理システムの構成は、第１の実施形態（図１の構成）と同様である。以下では、第１の実施形態との相違点を中心に、第２の実施形態の情報処理システムを説明する。

有向のハミルトン閉路問題は入力部２を介して、情報処理装置１に入力される。図１０は、有向のハミルトン閉路問題の例を示している。図１０のグラフ２５は、有向グラフである。グラフ２５は、ノードｎ１～ｎ６と、エッジｅ１～ｅ９とを含む。図１０の例では、ノード数がＮ＝６、エッジ数がＭ＝９となっている。図１０におけるＮとＭの値は例である。グラフのノード数とエッジ数はこれとは異なっていてもよい。図１０のテーブル２６には、エッジ数Ｍに等しい数のエントリが存在している。例えば、エッジｅ１はノードｎ１からノードｎ２に向かっている。

変換部３は、ハミルトン閉路問題の有向グラフをイジングモデルに変換する。図１１は、イジングモデルへの変換処理の例を示したフローチャートである。ここでは、図１１を参照しながら、変換部３が実行する処理の例を説明する。

まず、変換部３は有向グラフのノードごとに、当該ノードへ向かっているエッジのグループＧｉｎを生成する（ステップＳ１２１）。また、変換部３は有向グラフのノードごとに、当該ノードから他のノードに向かっているエッジのグループＧｏｕｔを生成する（ステップＳ１２２）。そして、変換部３は、生成したエッジのグループをエッジグループとして、記憶部５に保存する（ステップＳ１２３）。

図１２のテーブル２７は、図１０のグラフについて、エッジグループを生成した例である。テーブル２７には、ノード数の２倍の数、２Ｎに等しい数のエントリが存在している。例えば、グループＧｉｎ１は、ノードｎ１に向かっているエッジｅ７を含んでいる。グループＧｏｕｔ１は、ノードｎ１から他のノードに向かっているエッジｅ１、ｅ３を含んでいる。このように、エッジグループは、グラフの各ノードと連結されているエッジのリストである。ただし、あるノードに向かうエッジのグループと、あるノードから他のノードに向かうエッジのグループは、別々のエッジグループとなる。

次に、変換部３は、イジングモデルのハミルトニアン（エネルギー）の式を下記の式（３）に設定する（ステップＳ１２４）。

ここで、ｇは各エッジグループ、Ｇはエッジグループのテーブルに含まれるエッジグループの集合、ｓ_ｉはスピン（二値変数）である。

第２の実施形態においても、グラフの各エッジがスピンに対応付けられる。エッジが経路に選択されている場合、当該エッジに対応するスピンはｓ_ｉ＝＋１となる。一方、エッジが経路に選択されていない場合、当該エッジに対応するスピンはｓ_ｉ＝－１となる。

式（３）を参照すると、それぞれのエッジグループについて、経路として選択されているエッジが１本（＋１のスピンが１つ）存在すると、当該エッジグループに係る項の値が１－２／２＝０（最小値）となることがわかる。これは、グラフにおいて、あるノードに連結されているエッジのうち、１本の当該ノードに向かうエッジと、１本の当該ノードからその他のノードに向かうエッジとが経路として選択されている状態に対応する。なお、エッジグループに係る項の値は、当該エッジグループにおける、経路として選択されていないエッジの本数（－１のスピンの数）には依存しない。

したがって、式（２）において各エッジグループに含まれるエッジに対応するスピンのうち、１つのスピンが＋１であるとき、グラフの全ノードについて、ノードに連結されているエッジのうち、１本の当該ノードに向かうエッジと、１本の当該ノードからその他のノードに向かうエッジとが経路として選択されているといえる。

各エッジグループに含まれるエッジに対応するスピンのうち、１つのスピンが＋１であるとき、式（３）のエネルギーはＨ＝０となり、最小値をとる。すなわち、上述の対応関係より、イジングマシンから出力された解において、エネルギーがＨ＝０であれば、エッジ上の経路が各ノードを連結するハミルトン閉路を形成している可能性があるといえる。第１の実施形態と同様、エネルギーがＨ＝０であることは、イジングマシンの解がハミルトン閉路を形成するための必要条件であるが、十分条件ではない。

検証部６は、イジングマシン１０で計算された解が、ハミルトン閉路問題の解となっているか否かを検証する。以下では、有効グラフのハミルトン閉路問題における検証処理について説明する。

図１３と図１４は、イジングマシンの解を検証する処理の例を示したフローチャートである。以下では、図１３と図１４を参照しながら、処理を説明する。

はじめに、検証部６は、イジングマシン１０で計算された解のエネルギーがＨ＝０であるか否かを判定する（ステップＳ３０１）。解のエネルギーＨが０ではない場合（ステップＳ３０１のＮＯ）、検証部６はイジングマシンの解はグラフ上でハミルトン閉路を形成しないと判定する（ステップＳ３１２）。

解のエネルギーがＨ＝０である場合（ステップＳ３０１のＹＥＳ）、検証部６はイジングマシンの解（ｓ_１、ｓ_２、・・・、ｓ_Ｍ）を参照する（ステップＳ３０２）。そして、検証部６はイジングマシンの解より、ｓ_ｉ＝＋１となる番号ｉのエッジのリストを抽出する（ステップＳ３０３）。ステップＳ３０３は、経路として選択されているエッジを抽出する処理に相当する。

図１５のテーブル２８は、ステップＳ３０３で抽出されたエッジのリストの例を示している。テーブル２８の第１列は、経路として選択されたエッジを示している。一方、第２列は出発ノードを、第３列は到着ノードをそれぞれ示している。テーブル２８の各行のエッジは、出発ノードから到着ノードに向かっている。以降では、ステップＳ３０３で生成されるテーブルを経路テーブルとよぶことにする。テーブル２８は経路テーブルの一例である。

次に、検証部６は経路テーブルにおけるいずれかのノードを初期ノードＩＮに設定する（ステップＳ３０４）。そして、検証部６はＩＮを変数ＮＤに代入し、０を変数ＣＮＴに代入する（ステップＳ３０５）。次に、検証部６は、出発ノードがＮＤであるエッジの到着ノードをＮＡとする（ステップＳ３０６）。

そして、検証部６は変数ＮＤにＮＡを代入する。また、検証部６は変数ＣＮＴの値に１をインクリメントする。（以上、ステップＳ３０７）次に、検証部６は変数ＣＮＴの値がグラフのノード数に等しいか否かを判定する（ステップＳ３０８）。ステップＳ３０８の判定において検証部６は、グラフのすべてのノードをトレースされたか否かの確認を行っている。

変数ＣＮＴの値がグラフのノード数とは異なる場合（ステップＳ３０８のＮＯ）、検証部６は変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードになっているか否かを確認する（ステップＳ３１１）。変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードではない場合（ステップＳ３１１のＮＯ）、検証部６はステップＳ３０６、Ｓ３０７の処理を繰り返した後、再びステップＳ３０８の判定を行う。変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードである場合（ステップＳ３１１のＹＥＳ）、検証部６はイジングマシンの解がハミルトン閉路を形成しないと判定する（ステップＳ３１２）。

変数ＣＮＴの値がグラフのノード数に等しい場合（ステップＳ３０８のＹＥＳ）、検証部６は変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードになっているか否かを確認する（ステップＳ３０９）。変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードである場合（ステップＳ３０９のＹＥＳ）、検証部６はイジングマシンの解がハミルトン閉路を形成していると判定する（ステップＳ３１０）。変数ＮＤが初期ノードＩＮと同一のノードでない場合（ステップＳ３０９のＮＯ）、検証部６はイジングマシンの解がハミルトン閉路を形成していないと判定する（ステップＳ３１２）。

イジングマシンの解がハミルトン閉路を形成しているか否かの判定が行われたら（ステップＳ３１０またはステップＳ３１２）、図１３と図１４の処理は終了する。検証部６は、イジングマシンの解がハミルトン閉路を形成しているか否かを示す情報を記憶部５に保存してもよい。また、検証部６は検証処理の結果をユーザに通知してもよい。なお、図１３と図１４に示した処理は、イジングマシンの解の検証処理の一例にしかすぎない。したがって、これとは異なる処理によってイジングマシンの解がハミルトン閉路を形成しているか否かを判定してもよい。

第２の実施形態に係る情報処理システムの全体の処理は、第１の実施形態に係る情報処理システム（図９の処理）と同様である。第２の実施形態に係る情報処理システムでも、計算に必要なスピン数が抑えられている。したがって、必要な計算資源を抑えつつ、高速にハミルトン路問題を解くことが可能である。

（第３の実施形態）
第１の実施形態に係る情報処理システムは１台のイジングマシンを備えていた。ただし、情報処理システムは複数台のイジングマシンを備えていてもよい。第３の実施形態に係る情報処理システムは複数台のイジングマシンを備えている。複数台のイジングマシンは求解処理を並列的に実行することができる。以下では、第１、第２の実施形態との差異点を中心に、第３の実施形態に係る情報処理システムを説明する。

図１６は、第３の実施形態に係る情報処理システムの構成例を示したブロック図である。図１６の情報処理システムは、情報処理装置１と、イジングマシン１０ａと、イジングマシン１０ｂと、イジングマシン１０ｃと、イジングマシン１０ｄとを備えている。図１６では、４台のイジングマシンが示されているが、これは一例にしかすぎない。したがって、イジングマシンの台数はこれとは異なっていてもよい。例えば、１０００台のイジングマシンを使ってもよい。

情報処理装置１とイジングマシン１０ａ～１０ｄはネットワーク２０を介して接続されている。これにより、情報処理装置１とイジングマシン１０ａ～１０ｄとの間におけるデータ通信が可能となる。ネットワーク２０の例としては、ＴＣＰ／ＩＰによる通信ネットワークが挙げられるが、使われるインタフェースと通信規格の種類については特に問わない。

図１６では、イジングマシン１０ａ～１０ｄの内部の構成要素が省略されている。ただし、イジングマシン１０ａ～１０ｄの構成は、図１のイジングマシン１０と同様であるものとする。また、イジングマシン１０ａ～１０ｄの種類については特に問わない。例えば、イジングマシン１０ａ～１０ｄは同一の種類のイジングマシンであってもよい。また、イジングマシン１０ａ～１０ｄは、複数の種類のイジングマシンを含んでいてもよい。各種類のイジングマシンは異なる特性を有するため、イジングモデルによって、最適解が求められる確率や計算時間が異なることがある。したがって、複数の種類のイジングマシンを使うことによって、最適解が求められる確率を高め、計算時間を短縮することができる。

例えば、制御部４は、イジングマシン１０ａ～１０ｄに対して同一のイジングモデルの解の計算を求める指令を送信する。そして、イジングマシン１０ａ～１０ｄは同一のイジングモデルの解を並列的に計算する。イジングマシンの種類によっては、並列的な計算による性能の向上が見込める場合がある。そして、情報処理装置１の制御部４はイジングマシン１０ａ～１０ｄから、計算されたイジングモデルの解を受信する。情報処理装置１の検証部６は、各イジングマシンで計算された解がハミルトン閉路の解を形成しているか否かを判定する。検証部６は、複数の解の検証処理を並列的に実行してもよい。また、検証部６は、それぞれの解の検証処理を逐次実行してもよい。検証部６によって、いずれかの解がハミルトン閉路の解を形成していると判定されたら、出力部７はハミルトン閉路の解を各種の形式で出力する。

入力部２に入力されるハミルトン閉路問題のグラフは、有向グラフであってもよいし、無向グラフであってもよい。したがって、変換部３は、有向グラフをイジングモデルに変換してもよいし、無向グラフをイジングモデルに変換してもよい。変換部３によって実行される変換処理の詳細は、第１の実施形態および第２の実施形態で述べた通りである。

（第４の実施形態）
第１～第３の実施形態に係る情報処理システムでは、ハミルトン閉路問題をイジングモデルに変換（変換処理）してから、イジングモデルの解を計算（求解処理）していた。ただし、ハミルトン閉路問題の解が求められるのであれば、必ずイジングモデルへの変換処理を実行しなくてもよい。第４の実施形態に係る情報処理システムでは、ハミルトン閉路問題をメタヒューリスティクスアルゴリズムで解く。メタヒューリスティクスアルゴリズムの実行中における解の変換では、エッジグループに属する２本または１本のエッジが経路として選択されていない場合、二値変数の値の反転によって目的関数の値が小さくなるようにする。

図１７は、第４の実施形態に係る情報処理システムの構成例を示したブロック図である。図１７の情報処理装置１ａは、入力部２と、制御部４と、記憶部５と、検証部６と、出力部７、ソルバー８とを備えている。入力部２、記憶部５、検証部６、出力部７の機能は第１～第３の実施形態に係る情報処理装置と同様である。制御部４は、情報処理装置１ａの各構成要素を制御する。

ソルバー８は、ハミルトン閉路問題をメタヒューリスティクスアルゴリズムによって解く。ソルバー８には、ハミルトン閉路問題のグラフの情報（ノードと、ノード間を連結するエッジの情報）が入力される。メタヒューリスティクスアルゴリズムの例としては、Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ Ａｎｎｅａｌｉｎｇ法、タブーサーチなどの局所探索法、粒子群最適化（ＰＳＯ）、遺伝的アルゴリズムなどが挙げられる。ただし、ソルバー８は、どのような種類のアルゴリズムを使ってもよい。例えば、Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ Ａｎｎｅａｌｉｎｇ法では、初期解から解の変換を繰り返しながら、最適解または最適解に近い局所最適解の探索を行う。

ソルバー８の例としては、プロセッサ上でメタヒューリスティクスアルゴリズムを実行するプログラムが挙げられる。ただし、ソルバー８は、ＦＰＧＡ、ＡＳＩＣなどのハードウェア回路によって実装されていてもよく、実装方法については特に問わない。第４の実施形態では、ソルバー８が上述の各実施形態に係るイジングマシンに相当する処理を実行する。

以下では、ソルバー８がＳｉｍｕｌａｔｅｄ Ａｎｎｅａｌｉｎｇ法を使っている場合を例に説明する。ここでは、目的関数として、変数ｓ_ｉ（ｉ＝１、２、・・・、Ｍ）をパラメータとする、エネルギーＥの関数が使われるものとする。そして、求められる最適解はエネルギーＥの極小値であるものとする。変数ｓ_ｉは＋１または－１のいずれかの値をとる。

無向グラフのハミルトン閉路問題の場合、解の変換時において、変数ｓ_ｊの値を反転させたときのエネルギーＥの変化量として、下記の式（４）を使うことができる。

ここで、Ｇ_ｊはｓ_ｊを含むエッジグループの集合であり、集合ｇはＧ_ｊに含まれる各エッジグループである。

一方、有向グラフのハミルトン閉路問題の場合、解の変換時において、変数ｓ_ｊの値を反転させたときのエネルギーＥの変化量として、下記の式（５）を使うことができる。

ここで、Ｇ_ｊはｓ_ｊを含むエッジグループの集合であり、集合ｇはＧ_ｊに含まれる各エッジグループである。

式（４）、（５）の変換式において、エッジが経路に選択されている場合、当該エッジに対応する変数はｓ_ｉ＝＋１となる。一方、エッジが経路に選択されていない場合、当該エッジに対応する変数はｓ_ｉ＝－１となる。

式（４）では、エッジグループに属する２本のエッジが経路として選択されている場合、∂Ｅ／∂ｓ_ｊ＝０となり、解の変換によってエネルギーＥの値が変わらない。しかし、エッジグループに属するいずれのエッジも経路として選択されていない場合と、エッジグループに属する１本のエッジのみが経路として選択されている場合には、∂Ｅ／∂ｓ_ｊ＜０となり、二値変数ｓ_ｊの値の反転によってエネルギーＥの値が減少する。エネルギーＥの変化は、目的関数の値の更新に相当する。目的関数の値が更新されるため、解の変換時に二値変数ｓ_ｊの値が反転される確率が高くなる。

式（５）では、エッジグループに属する１本のエッジが経路として選択されている場合、∂Ｅ／∂ｓ_ｊ＝０となり、二値変数ｓ_ｊの値の反転によってエネルギーＥの値が変わらない。しかし、エッジグループに属するいずれのエッジも経路として選択されていない場合には、∂Ｅ／∂ｓ_ｊ＜０となり、二値変数ｓ_ｊの値の反転によってエネルギーＥの値が減少する。エネルギーＥの変化は、目的関数の値の更新に相当する。目的関数の値が更新されるため、解の変換時に二値変数ｓ_ｊの値が反転される確率が高くなる。

第４の実施形態では、ソルバー８による解の変換が行われるたびに、エネルギーＥの変化量の計算処理が必要となる。ただし、第１～第３の実施形態における、グラフのイジングモデルへの変換処理が不要となる。このため、第４の実施形態に係る情報処理システムを使った方が、第１～第３の実施形態に比べ、計算時間が短縮されることがある。

（第５の実施形態）
上述の各実施形態では、情報処理システムを使って、経路の始点のノードと、経路の終点のノードが同一である、ハミルトン閉路問題を解く場合を例に説明を行った。ただし、必ず経路の始点のノードと、経路の終点のノードは同一でなくてもよい。第５の実施形態では、経路の始点のノードと、経路の終点のノードが異なるハミルトン路問題の解が求められる場合を説明する。以下では、第１～第３の各実施形態との差異点を中心に、第５の実施形態に係る情報処理システムを説明する。

グラフ上の経路における、始点のノードと、終点のノードが異なっている場合、ハミルトニアンＨとして、下記の式（６）を使うことができる。

ここで、ｇは各エッジグループ、Ｇはエッジグループのテーブルに含まれるエッジグループの集合、ｓ_ｉはスピン（変数）である。式（６）のＴ_ｇは、以下に述べるように条件によって異なる値をとる。

無向グラフのハミルトン路問題において、エッジグループｇが始点のノードまたは、終点のノードに連結されたエッジのグループである場合、Ｔ_ｇ＝１となる。また、エッジグループｇが始点および終点以外のノードに連結されたエッジのグループである場合、Ｔ_ｇ＝２となる。有向グラフのハミルトン路問題において、エッジグループｇが始点のノードに向かうエッジを含むときまたは、終点のノードから他のノードに向かうエッジを含むとき、Ｔ_ｇ＝０となる。また、エッジグループｇが始点のノードに向かうエッジおよび終点のノードから他のノードに向かうエッジを含まない場合、Ｔ_ｇ＝１となる。

なお、無向グラフのハミルトン路問題において、経路の始点のノードと、経路の終点のノードが等しい場合、式（６）では、エッジグループｇに関わらずＴ_ｇ＝２となる。この条件は、上述の式（２）に対応する。同様に、有向グラフのハミルトン路問題において、経路の始点のノードと、経路の終点のノードが等しい場合、式（６）では、エッジグループｇに関わらずＴ_ｇ＝１となる。この条件は、上述の式（３）に対応する。したがって、上述の式（６）は一般化されたハミルトニアンの表記であるともいえる。

処理で使われるハミルトニアンが異なる点を除けば、第５の実施形態に係る情報処理システムの機能と構成は、第１～第３の各実施形態に係る情報処理システムと同様である。

（第６の実施形態）
第４の実施形態では、ハミルトン閉路問題をメタヒューリスティクスアルゴリズムで解く場合について説明をした。経路の始点のノードと、経路の終点のノードが異なるハミルトン路問題をメタヒューリスティクスアルゴリズムで解いてもよい。以下では、第４の実施形態との差異点を中心に、第６の実施形態に係る情報処理システムを説明する。

第６の実施形態に係る情報処理システムの構成は、上述の図１７と同様である。ソルバー８が解の変換時に使う式は下記のようになる。

無向グラフのハミルトン路問題の場合、解の変換時において、変数ｓ_ｊの値を反転させたときのエネルギーＥの変化量として、下記の式（７）を使うことができる。

ここで、Ｇ_ｊはｓ_ｊを含むエッジグループの集合であり、集合ｇはＧ_ｊに含まれる各エッジグループである。変数ｓ_ｉは＋１または－１のいずれかの値をとる。

一方、有向グラフのハミルトン閉路問題の場合、解の変換時において、変数ｓ_ｊの値を反転させたときのエネルギーＥの変化量として、下記の式（８）を使うことができる。

ここで、Ｇ_ｊはｓ_ｊを含むエッジグループの集合であり、集合ｇはＧ_ｊに含まれる各エッジグループである。変数ｓ_ｉは＋１または－１のいずれかの値をとる。

式（７）、（８）のＴ_ｇは、以下に述べるように、エッジグループの条件に依存する係数である。

無向グラフのハミルトン路問題において、エッジグループｇが始点のノードまたは、終点のノードに連結されたエッジのグループである場合、Ｔ_ｇ＝１となる。また、エッジグループｇが始点および終点以外のノードに連結されたエッジのグループである場合、Ｔ_ｇ＝２となる。有向グラフのハミルトン路問題において、エッジグループｇが始点のノードに向かうエッジを含むときまたは、終点のノードから他のノードに向かうエッジを含むとき、Ｔ_ｇ＝０となる。また、エッジグループｇが始点のノードに向かうエッジおよび終点のノードから他のノードに向かうエッジを含まない場合、Ｔ_ｇ＝１となる。

解の変換時に実行される、エネルギーＥの変化量の計算処理が異なる点を除けば、第６の実施形態に係る情報処理システムの機能と構成は、第４の実施形態と同様である。

上述の各実施形態では、経路として選択されたエッジに対応する変数をｓ_ｉ＝＋１としていた。ただし、経路として選択されたエッジに対応する変数をｓ_ｉ＝－１としてもよい。この場合、ハミルトニアンＨまたは、エネルギーＥの変化量の計算時において変数の符号を反転させればよい。また、上述の各実施形態の求解処理では、目的関数の極小値が最適解となっていた。ただし、目的関数の極大値が最適解となるように問題の定式化を行ってもよい。

また、ハミルトン路問題において、特定のエッジが経路として選択されるという制約条件がある場合、式（６）～式（８）の計算時において、当該エッジを含むエッジグループについて、Ｔ_ｇの値から１を減算する。そして、エッジグループから当該エッジを削除することによって制約条件なしの問題に変換することができる。また、ハミルトン路問題において、特定のエッジが経路として選択されない場合には、グラフから当該エッジを削除すればよい。

上述の各実施形態に係る情報処理システムを、各種の用途に使うことができる。例えば、上述の各実施形態に係る情報処理システムを使って、ＤＮＡの配列アセンブリを行ってもよい。また、上述の各実施形態に係る情報処理システムを使って、配車計画、配送計画、作業の割り当て計画、ソフトウェアのテスト計画、機械のテスト計画の生成を行ってもよい。また、経路検索、金融ポートフォリオの最適化のために上述の各実施形態に係る情報処理システムを使ってもよい。ここで述べた用途は例であり、これらとは異なる用途のために上述の各実施形態に係る情報処理システムを使うことを妨げるものではない。

（第７の実施形態）
第７の実施形態では、ＤＮＡの配列アセンブリへの適用例について説明する。第７の実施形態に係る情報処理システムの構成は上述の各実施形態と同様であるものとする。

ＤＮＡの配列アセンブリでは、ＤＮＡ鎖をＤＮＡ断片に切断する。ＤＮＡ鎖の切断は、例えば制限酵素を使うことによって行うことができる。そして、ＤＮＡ断片の検出と、塩基配列の特定を行う。最後に、塩基配列が特定されたＤＮＡ断片を連結し、元のＤＮＡ鎖の配列を構築する。

ハミルトン路問題を解く情報処理システムを使って、ＤＮＡ断片間の連結関係を特定することができる。このとき、各ＤＮＡ断片をグラフのノードに、ＤＮＡ断片間の連結関係をグラフのエッジにそれぞれ対応付けることができる。上述の各実施形態で述べた方法に基づき、グラフに係るハミルトン路の解を求めることにより、ＤＮＡ断片間の連結関係を特定することができる。

すなわち、情報処理装置は、ＤＮＡ鎖の配列を決定するために、ノードをＤＮＡ鎖が切断されたＤＮＡ断片に、エッジをＤＮＡ断片の連結関係にそれぞれ対応付けることによって、ハミルトン路問題のグラフを生成する。そして、生成されたグラフに基づいてエッジグループを生成してもよい。また、当該エッジグループに基づき、イジングモデルを生成してもよい。

なお、各ＤＮＡ断片における塩基配列の重複に基づいて、各ＤＮＡ断片が連結されるか否かを判定することができる。したがって、情報処理装置がＤＮＡ断片の塩基配列を解析した結果、他のＤＮＡ断片と連結されないと判定される場合、エッジグループから当該ＤＮＡ断片に対応するエッジを除外してもよい。これにより、計算に必要なスピン数を減らすことができるため、計算資源の使用量や計算時間を抑制できる。

例えば、図２のグラフ２１で、ノードＮ２とノードＮ３がエッジＥ２によって連結されないことが判明した場合を想定する。この場合、図４のテーブル２３（エッジグループ）のグループＧ２とグループＧ３からエッジＥ２が削除される。情報処理システムがＤＮＡの配列アセンブリ以外の用途に適用される場合においても、不要なエッジを除外してエッジグループを生成してもよい。

（第８の実施形態）
第８の実施形態では、コンピュータのハードウェア構成について説明する。コンピュータの例としては、サーバ、クライアント端末、組み込み機器のマイコン、タブレット、スマートフォン、フィーチャーフォン、パソコンなどが挙げられる。ただし、コンピュータの機能は、仮想コンピュータ（ＶＭ：Ｖｉｒｔｕａｌ Ｍａｃｈｉｎｅ）やコンテナなどによって実現されていてもよい。

図１８は、コンピュータ１００の一例を示す図である。図１８のコンピュータ１００は、プロセッサ１０１と、入力装置１０２と、表示装置１０３と、通信装置１０４と、記憶装置１０５とを備える。プロセッサ１０１、入力装置１０２、表示装置１０３、通信装置１０４、記憶装置１０５は、バス１０６により相互に接続されている。

プロセッサ１０１は、コンピュータ１００の制御装置と演算装置を含む電子回路である。プロセッサ１０１として、例えば、汎用目的プロセッサ、中央処理装置（ＣＰＵ）、マイクロプロセッサ、デジタル信号プロセッサ（ＤＳＰ）、コントローラ、マイクロコントローラ、状態マシン、特定用途向け集積回路、フィールドプログラマブルゲートアレイ（ＦＰＧＡ）、プログラム可能論理回路（ＰＬＤ）またはこれらの組合せを用いることができる。

プロセッサ１０１は、バス１０６を介して接続された各装置（例えば、入力装置１０２、通信装置１０４、記憶装置１０５）から入力されたデータやプログラムに基づいて演算処理を行い、演算結果や制御信号を、バス１０６を介して接続された各装置（例えば、表示装置１０３、通信装置１０４、記憶装置１０５）に出力する。具体的には、プロセッサ１０１は、コンピュータ１００のＯＳ（オペレーティングシステム）や、プログラムなどを実行し、コンピュータ１００に含まれるそれぞれの装置を制御する。

プログラムを使うことによって、コンピュータ１００に、上述の各実施形態に係る情報処理装置またはイジングマシンの機能を実装することができる。プログラムは、一時的でない有形のコンピュータ読み取り可能な記憶媒体に記憶される。上記の記憶媒体は、例えば、光ディスク、光磁気ディスク、磁気ディスク、磁気テープ、フラッシュメモリ、半導体メモリであるが、これに限られない。プロセッサ１０１がプログラムを実行することによって、コンピュータ１００は上述の各実施形態に係る情報処理装置またはイジングマシンの機能を提供することができる。

入力装置１０２は、コンピュータ１００に情報を入力するための装置である。入力装置１０２は、例えば、キーボード、マウス、タッチパネルなどであるが、これに限られない。ユーザは、入力装置１０２を用いることによって、情報処理システムにハミルトン路問題を入力することができる。

表示装置１０３は、画像や映像を表示するための装置である。表示装置１０３は、例えば、ＬＣＤ（液晶ディスプレイ）、ＣＲＴ（ブラウン管）、有機ＥＬ（有機エレクトロルミネッセンス）ディスプレイ、プロジェクタ、ＬＥＤディスプレイなどであるが、これに限られない。表示装置１０３には、ハミルトン路問題の入力画面、イジングマシンによる計算の実行結果、イジングマシンの解の検証結果、ハミルトン路問題の解の表示画面などが表示される。

通信装置１０４は、コンピュータ１００が外部装置と無線または有線で通信するために使用する装置である。通信装置１０４は、例えば、ＮＩＣ（Ｎｅｔｗｏｒｋ Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｃａｒｄ）、通信モジュール、モデム、ハブ、ルータなどであるが、これに限られない。コンピュータ１００は、通信装置１０４を介して、リモートのデータセンター、情報端末からハミルトン路問題のデータを取得してもよい。また、コンピュータ１００（情報処理装置１）がデータセンターやマシン室に設置されたサーバなどである場合、コンピュータ１００は通信装置１０４を介して、リモートの情報通信端末から送信された指令を受け付けたり、画面表示の内容をリモートの情報通信端末に表示させたりしてもよい。

記憶装置１０５は、コンピュータ１００のＯＳや、プログラム、プログラムの実行に必要なデータ、プログラムの実行により生成されたデータなどを記憶する記憶媒体である。記憶装置１０５には、主記憶装置と外部記憶装置が含まれる。主記憶装置は、例えば、ＲＡＭ、ＤＲＡＭ、ＳＲＡＭであるが、これに限られない。また、外部記憶装置は、例えば、ハードディスク、光ディスク、フラッシュメモリ、磁気テープなどであるが、これに限られない。ハミルトン路問題のデータ、エッジグループ、経路テーブル、イジングマシンの計算結果は、記憶装置１０５に保存されてもよいし、外部のサーバやストレージ上に保存されてもよい。

なお、コンピュータ１００は、プロセッサ１０１、入力装置１０２、表示装置１０３、通信装置１０４、記憶装置１０５を、それぞれ１つずつまたは複数備えてもよい。また、コンピュータ１００にプリンタやスキャナなどの周辺機器が接続されていてもよい。

上述の各実施形態に係る情報処理装置およびイジングマシンは、単一のコンピュータ１００により構成されてもよいし、複数のコンピュータ１００が相互に接続された情報システムによって構成されていてもよい。

さらに、プログラムは、コンピュータ１００の記憶装置１０５に予め記憶されていてもよいし、コンピュータ１００の外部の記憶媒体に記憶されていてもよいし、インターネット上にアップロードされていてもよい。いずれの場合にも、プログラムをコンピュータ１００にインストールして実行することにより、上述の各実施形態に係る情報処理装置またはイジングマシンの機能を実現することができる。

本発明のいくつかの実施形態を説明したが、これらの実施形態は、例として提示したものであり、発明の範囲を限定することは意図していない。これら実施形態は、その他の様々な形態で実施されることが可能であり、発明の要旨を逸脱しない範囲で、種々の省略、置き換え、変更を行うことができる。これら実施形態やその変形は、発明の範囲や要旨に含まれると同様に、特許請求の範囲に記載された発明とその均等の範囲に含まれるものである。

１、１ａ 情報処理装置
２ 入力部
３ 変換部
４、１１ 制御部
５、１３ 記憶部
６ 検証部
７ 出力部
８ ソルバー
１０、１０ａ、１０ｂ、１０ｃ、１０ｄ イジングマシン
１２ 演算部
２０ ネットワーク
２１、２５ グラフ
２２、２３、２４、２６、２７、２８ テーブル
１００ コンピュータ
１０１ プロセッサ
１０２ 入力装置
１０３ 表示装置
１０４ 通信装置
１０５ 記憶装置
１０６ バス

Claims (23)

1. ハミルトン路問題のグラフにおいて、ノードごとに、前記ノードに連結されたエッジのグループである、エッジグループを生成し、前記エッジグループごとに、前記エッジグループに含まれる前記エッジが経路として選択されたか否かを示す二値変数を生成し、さらに前記二値変数をスピンとする、イジングモデルを生成する、第１コンピュータと、
   前記イジングモデルの解を計算する、第２コンピュータとを備え、
   前記第１コンピュータは、前記第２コンピュータが計算した前記イジングモデルの解に基づき、前記ハミルトン路問題の解を求める、
   情報処理システム。
2. 前記第１コンピュータは、前記第２コンピュータによって計算された前記イジングモデルの解に基づき前記ハミルトン路問題の解が求められない場合、再び前記第２コンピュータに前記イジングモデルの解の計算を実行させる、
   請求項１に記載の情報処理システム。
3. 前記グラフは、無向グラフであり、
   前記第２コンピュータによって計算される前記イジングモデルの前記解は、すべての前記エッジグループについて、前記エッジグループに属する２本の前記エッジが経路として選択されている場合に相当する、
   請求項２に記載の情報処理システム。
4. 前記グラフは、有向グラフであり、
   前記第１コンピュータは、前記ノードに向かう前記エッジの前記グループと、前記ノードから他のノードに向かう前記エッジの前記グループとを、別々の前記エッジグループとして生成し、
   前記第２コンピュータによって計算される前記イジングモデルの前記解は、すべての前記エッジグループについて、前記エッジグループに属する１本の前記エッジが経路として選択されている場合に相当する、
   請求項２に記載の情報処理システム。
5. 前記第１コンピュータは、前記エッジグループの集合Ｇ、前記エッジグループｇ、前記二値変数ｓ_ｉ、前記エッジグループｇの条件に依存する係数Ｔ_ｇを使って、下記の式の前記イジングモデルを生成する、
   

   

   請求項１または２に記載の情報処理システム。
6. 前記ハミルトン路問題において、前記経路の始点の前記ノードと、前記経路の終点の前記ノードとが同一の前記ノードであり、前記グラフが無向グラフである場合、前記係数Ｔ_ｇの値は前記エッジグループｇに関わらず２となる、
   請求項５に記載の情報処理システム。
7. 前記ハミルトン路問題は、前記経路の始点の前記ノードと、前記経路の終点の前記ノードとが同一の前記ノードであり、前記グラフが有向グラフである場合、前記係数Ｔ_ｇの値は前記エッジグループｇに関わらず１となる、
   請求項５に記載の情報処理システム。
8. 前記第１コンピュータは、前記第２コンピュータによって計算された前記イジングモデルの解が、前記グラフ上で複数の閉路を形成する場合、再び前記第２コンピュータに前記イジングモデルの解の計算を実行させる、
   請求項６または７に記載の情報処理システム。
9. 前記グラフが無向グラフである場合、前記エッジグループｇが始点の前記ノードまたは、終点の前記ノードに連結された前記エッジの前記グループであるならば、前記係数Ｔ_ｇの値は１となり、前記エッジグループｇが前記始点および前記終点以外の前記ノードに連結された前記エッジの前記グループである場合、前記係数Ｔ_ｇの値は２となる、
   請求項５に記載の情報処理システム。
10. 前記グラフが有向グラフである場合、前記エッジグループｇが始点の前記ノードに向かう前記エッジを含むときまたは、終点の前記ノードから他のノードに向かう前記エッジを含むならば、前記係数Ｔ_ｇの値は０となり、前記エッジグループｇが前記始点の前記ノードに向かう前記エッジおよび前記終点の前記ノードから前記他のノードに向かう前記エッジを含まない場合、前記係数Ｔ_ｇの値は１となる、
    請求項５に記載の情報処理システム。
11. 前記第２コンピュータは、量子アニーリングマシン、ゲート方式の量子コンピュータ、Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ Ａｎｎｅａｌｉｎｇ法を実行可能なノイマン型コンピュータの少なくともいずれかである、
    請求項１ないし１０のいずれか一項に記載の情報処理システム。
12. 複数の前記第２コンピュータを備えた、
    請求項１ないし１１のいずれか一項に記載の情報処理システム。
13. 前記第１コンピュータは、ＤＮＡ鎖の配列を決定するために、前記ノードを前記ＤＮＡ鎖が切断されたＤＮＡ断片に、前記エッジを前記ＤＮＡ断片の連結関係に対応付けることによって、前記グラフを生成し、生成された前記グラフに基づいて前記エッジグループを生成する、
    請求項１ないし１２のいずれか一項に記載の情報処理システム。
14. 前記第１コンピュータは、前記ＤＮＡ断片が他の前記ＤＮＡ断片と連結されないと判定される場合、前記エッジグループから前記ＤＮＡ断片に対応するエッジを除外する、
    請求項１３に記載の情報処理システム。
15. 前記第１コンピュータは、前記グラフの少なくともひとつのエッジを除外して前記エッジグループを生成する、
    請求項１ないし１２のいずれか一項に記載の情報処理システム。
16. ハミルトン路問題のグラフにおいて、ノードごとに、前記ノードに連結されたエッジのグループである、エッジグループを生成し、前記エッジグループごとに、前記エッジグループに含まれる前記エッジが経路として選択されたか否かを示す二値変数を生成し、前記二値変数をパラメータとする目的関数の解を計算し、前記目的関数の解に基づく、前記ハミルトン路問題の解を求める、ハードウェア回路と、
    前記ハードウェア回路が生成した前記エッジグループと、前記ハードウェア回路が生成した前記二値変数とを保存する、記憶部とを備えた
    情報処理システム。
17. 前記ハードウェア回路は、前記グラフが有向グラフである場合、前記ノードに向かう前記エッジの前記グループと、前記ノードから他のノードに向かう前記エッジの前記グループとを、別々の前記エッジグループとして生成し、前記目的関数の解の計算では、前記エッジグループに属する１本の前記エッジが経路として選択されていない場合、前記二値変数の値の反転によって前記目的関数の値を更新する、
    請求項１６に記載の情報処理システム。
18. 前記ハードウェア回路は、前記グラフが無向グラフである場合、前記目的関数の解の計算では、前記エッジグループに属する２本の前記エッジが経路として選択されていない場合、前記二値変数の値の反転によって前記目的関数の値を更新する、
    請求項１６に記載の情報処理システム。
19. ハミルトン路問題のグラフにおいて、ノードごとに、前記ノードに連結されたエッジのグループである、エッジグループを生成するステップと、
    前記エッジグループごとに、前記エッジグループに含まれる前記エッジが経路として選択されたか否かを示す二値変数を生成するステップと、
    前記二値変数をスピンとする、イジングモデルを生成するステップと、
    前記イジングモデルの解を計算するステップと、
    前記イジングモデルの解に基づき、前記ハミルトン路問題の解を求めるステップとをコンピュータが実行する、情報処理方法。
20. ハミルトン路問題のグラフにおいて、ノードごとに、前記ノードに連結されたエッジのグループである、エッジグループを生成するステップと、
    前記エッジグループごとに、前記エッジグループに含まれる前記エッジが経路として選択されたか否かを示す二値変数を生成するステップと、
    前記二値変数をパラメータとする目的関数の解を計算するステップと、
    前記目的関数の解に基づく、前記ハミルトン路問題の解を求めるステップとをコンピュータが実行する、情報処理方法。
21. ハミルトン路問題のグラフにおいて、ノードごとに、前記ノードに連結されたエッジのグループである、エッジグループを生成するステップと、
    前記エッジグループごとに、前記エッジグループに含まれる前記エッジが経路として選択されたか否かを示す二値変数を生成するステップと、
    前記二値変数をスピンとする、イジングモデルを生成するステップと、
    前記イジングモデルの解を計算するステップと、
    前記イジングモデルの解に基づき、前記ハミルトン路問題の解を求めるステップとをコンピュータに実行させる、プログラム。
22. 前記イジングモデルの解は、量子アニーリングマシン、ゲート方式の量子コンピュータ、Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ Ａｎｎｅａｌｉｎｇ法を実行可能なノイマン型コンピュータの少なくともいずれかによって計算される、
    請求項２１に記載のプログラム。
23. ハミルトン路問題のグラフにおいて、ノードごとに、前記ノードに連結されたエッジのグループである、エッジグループを生成するステップと、
    前記エッジグループごとに、前記エッジグループに含まれる前記エッジが経路として選択されたか否かを示す二値変数を生成するステップと、
    前記二値変数をパラメータとする目的関数の解を計算するステップと、
    前記目的関数の解に基づく、前記ハミルトン路問題の解を求めるステップとをコンピュータに実行させる、プログラム。

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